Practica 3

Introducción a la matemática (MAT-99) Práctica No3 Tema: Principio de Inducción Pre universitario - FCPN 1. Demostrar que: 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) , 2

∀n ∈ N

2. Demostrar que la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales es n(n + 1)(2n + 1) 6 3. Demostrar que:

1 1 n 1 + + ··· + = 1·2 2·3 n · (n + 1) n+1

4. Demostrar que 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =

n(n + 1)(n + 2) 3

5. Demostrar que 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n2 (n + 1)2 4

6. Demostrar que 1 + r + r2 + · · · + rn =

1 − rn+1 , 1−r

∀n ≥ 0

Demostrar que cos α cos(2α) cos(4α) · · · cos(2n α) =

sin(2n+1 α) 2n+1 sin α

7. Demuestre por inducción que 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 =

n(2n − 1)(2n + 1) 2

8. Demuestre por inducción que 20 + 21 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1 1

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P RÁCTICA N O . 3 9. Demuestre por inducción que 13 + 33 + 53 + · · · + (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1) 10. Considere las siguientes ecuaciones 1=1 2+3+4=1+8 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64 conjeture una la fórmula general sugerida por estas y demuéstrelas. 11. Considere las siguiente ecuaciones: 12 + 02 = 12 ,

32 + 42 = 52 ,

72 + 242 = 252 ,

52 + 122 = 132 ,

92 + 402 = 412 ,

112 + 602 = 612 .

conjeture una la fórmula general sugerida por estas y demuéstrelas. 12. Calcular

7 X

7 X

1 − 2i,

(−1)i − i

n=2

i=2

13. Determinar una fórmula para a) b) c)

Pn

i=1

1 − 2i3

i=0

2i+1 − 4

i=1

4i−1 − i3

Pn Pn

14. Suponga que aij = i − j 2 verificar que: 4 3 X X

aij =

i=1 j=2

4 X 3 X

aij

j=2 i=1

15. Usando la fórmula de cambio de variable muestre que: n n+1 X X 1 1 1 − =2− n 2i−1 2j−1 2 i=0

j=1

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P RÁCTICA N O . 3

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16. Usando la fórmula de cambio de variable muestre que: n n+2 X 1 X 2 1 2+ − =1+ n i j−2 2 2 2 i=1

j=3

17. Exprese lo siguiente usando la notación de sumatoria. 1 1 1 + + ··· + 2 3 17 b) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 a) 1 +

c) 13 − 23 + 33 − 43 + 53 − 63 + 73

Observación: Si a, b ∈ Z diremos que "a divide a b"si existe k ∈ Z tal que b = k a y escribiremos a|b. Es decir: a|b ⇔ ∃k ∈ Z : b = k a. Por ejemplo 3|6 pues existe k = 2 tal que 6 = 2·3. Una propiedad muy importante es: Proposición.Sean α, β ∈ Z , si n|a y n|b entonces n|α a + β b. Demostración: Por hipótesis existen k1 , k2 ∈ Z tale que a = k1 n y b = k2 n entonces: α a + β b = α (k1 n) + β (k2 n) = (α k1 + β k2 ) n = kn así existe k = α k1 + β k2 tal que α a + β b = k n por lo tanto n|α a + β b. Por ejemplo 5|10 y 5|15 entonces si tomamos α = −2 y β = 3 entonces (−2) 10 + 3 · 15 = 25 y es claro que 5|25. 1. Demostrar que: ∀ n ∈ N : 3|7n − 4n . 2. Demostrar que: ∀ n ∈ N : (a + b)|a2n−1 + b2n−1 . 3. Demostrar que: ∀ n ∈ N : 8|32n + 7. FCPN-UMSA

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P RÁCTICA N O . 3 4. Demostrar que: ∀ n ≥ 0 : 9|n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 . 5. Demostrar que: ∀ n ∈ N : 57|7n+2 + 82n+1 . 6. Demostrar que 3 divide a 22n + 5. 7. Demostrar que 3 divide a 22n+1 + 1. 8. Demostrar que 64 divide a 72n + 16n − 1. 9. Demostrar que 6|n3 + 11n para todo n. 10. Demostrar que 4n + 15n − 1 es divisible por 9. n

11. Demostrar que 3n+2 |(103 − 1).

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