Practica Prueba De Hipotesis (cap Ii)

PRUEBA DE HIPOTESIS

Prueba de Hipótesis Primer bloque EJERCICIO 1. Una m.a. de 25 elemento dio una media de 13,5 y una desviación estándar de 4,4.efectuar una constante de la hipótesis 𝐇𝟎 :μ=16 vs 𝐇𝟏 :µ≠16 al nivel del 5%.suponga que la muestra fue extraída de una población N(μ;..)donde .. es conocida. SOLUCION: n = 25, 𝛼 = 5% = 0.05 𝑔𝑙 = 25 − 1 = 24 S=4.4 X=13.5 i. Hipótesis H0 : µ = 16 H1 : µ≠ 16 i. El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=25

𝑥̅ −

< 13.5 −

𝑡0 𝛿

√𝑛 2.064 ∗ 4.4

≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ +

𝑡0 𝛿 √𝑛

≤ 𝜇ℎ ≤ 13.5 +

2.064 ∗ 4.4

√25 √25 ∴ [ 12.937 ≤ 𝜇ℎ ≤ 13.963]

>

EJERCICIO 2.Las estaturas de 20 recién nacidos fueron tomadas en el departamento de Pediatría de Hospital Loayza. Cuyos resultados en cm. son: 41 50 52 49 54 50 49 47 52 49 50 52 50 47 49 51 46 50 49 50 𝑛 = 20 𝑔𝑙 = 19 𝑥̅ = 49.35 𝑆 = 2.719 ∝= 0.05 a) Suponga que inicialmente la población de las estaturas es normal con varianza 2cm; constante las hipótesis 𝐻0 : 𝜇 = 50 𝑣𝑠 𝐻1 : 𝜇 > 50. 𝜎=2 𝑥̅ − 𝜇0 𝑍= 𝜎 √𝑛 𝑍 = −1.453 1+𝛾 𝑃(𝑍 < 𝑍0 ) = → 𝑍0 = 1.959 2

ESTADISTICA

Página 1

PRUEBA DE HIPOTESIS

∴ 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 50 𝑐𝑚 EJERCICIO 3.La asociación de los propietarios de industrias, metalurgias; están muy preocupados por el tiempo perdido en accidentes de trabajo, cuya media en los últimos tiempos. ha sido del orden de 60 horas/ hombre, por año y desviación estándar de 20 horas / hombre.se probo un programa de prevención de accidentes y, después del mismo, se tomo una m.a. de 9 industrias y se termino el número de horas por hombre perdidas por accidente que fue de 50 horas ¿usted diría al nivel del 5% que hay evidencia de mejoría?. SOLUCIÓN: n =9, x=50,α=5% y s=20 1) Hipótesis H0 : µ = 60 H1 : µ < 60 2) El estadígrafo de prueba para n≤30 es :

𝑍=

𝑥̅ − 𝜇0 𝜎 √𝑛

3) La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=8 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975

t0=2.306

Respuesta: No hay evidencia de mejoría, se acepta 𝐻0 EJERCICIO 4.Los errores aleatorios cometidos en las pesadas de una cierta balanza sigue una distribución normal de media cero y desviación estándar 1 m gr. después de 9 pesadas se ha comprobado los siguientes errores(en m gr):-0.07;0.3;1,8;-0,1;2,0;2,3;0,62;0,12;1,4 a) Demostrar que existe una región critica U.M.P, para contrastar las hipótesis de que la balanza funciona correctamente frente a la alternativa de que tiene Un error sistemático positivo. SOLUCIÓN: Hipótesis H0 : µ = 0 Ha : µ ≠0 ESTADISTICA

Página 2

PRUEBA DE HIPOTESIS

n=9, x=0.93,s=1,α=95%

𝑍=

𝑧=

𝑥̅ − 𝜇0 𝜎 √𝑛 0.93−0 1 √9

=2.79

Para la región critica: α=95%, gl=9-1=8 P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975

t0=2.306

b) ¿Cuál de las dos hipotisis, puede aceptarse con un nivel de significancia α=0,1? SOLUCIÓN: Para la región critica: α=95%, gl=9-1=8 𝑃(𝑇0 < 𝑇) =

1+𝛾 2

→

𝑇0 = 1.86

Rpta: se acepto la Ha EJERCICIO 5.Un investigador agrícola creía que el numero medio de acres que los hacendados de un determinado departamento dedicaban a cierto cultivo era inferior a 6.el investigador envió por correo un cuestionario a una m.a. simple de 25 hacendados de ese departamento, en que les solicitaba información sobre el números de acres sembrados.la media es la desviación típica de la muestra fue de 5 y 1,5 respectivamente. ¿al nivel de 5% sirven estos datos de apoyo a la opinión del investigador? SOLUCIÓN: 1) Hipótesis H0 : µ ≥ 6 H1 : µ < 6 ESTADISTICA

Página 3

PRUEBA DE HIPOTESIS

2) El estadígrafo de prueba para n<30 es :

n=25, x=5, s=1,5 x  c 56 Tc  = =-3.33  / n 1.5 / 5 3) Para la región critica: 𝛾 = 0.95 gl =25-1=24 1+𝛾 1 + 0.95 𝑃(𝑡 < 𝑡0 ) = = = 0.975 2 2

→

𝑍0 = 2.064

EJERCICIO 6.El salario promedio de los empleados de las industrias siderúrgicas es de 2,5 salarios mínimos, con una desviación estándar de 0,5 salarios mínimos. si una firma particular tiene 49 empleados con una salario mínimos podemos afirmar que esta industria paga salarios inferiores ? SOLUCIÓN: 1) Hipótesis H0 : µ = 2.5 H1 : µ < 2.5 2) El estadígrafo de prueba para n<30 es : n=49, x=2.3

zc 

x  0

/ n

=

2.3  2.5 =-2.8 0.5 / 49

3) Para la región critica γ=0.90 P [z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.90+1)/2=0.95=𝑍0 = 1.645

Rta: se acepta

ESTADISTICA

Página 4

PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 7.La precipitación pluviométrica anual en la sierra tiene desviación estándar conocida =3,1 y media desconocida para los últimos 9 años fueron obtenidos los siguientes resultados:30,5;34,1;27,9;35;26,9;30,2;28,3;31,7;25,8 a) Construya una prueba de hipótesis para saber si la media de la precipitación pluviométrica anual es menor o igual que 30 unidades. utilice un nivel de significancia de 5% SOLUCIÓN: Hipótesis: H0 : μ 30 H1 : μ>30 El estadígrafo de prueba para n 30 es : n=9, 𝑥̅ =30.044, s=3.1 𝑥̅ − 𝜇 30.044 − 30 𝑡= = = 0.042 𝑠 3.1 √𝑛 √9 Hallamos T0, γ=0.95, gl=9-1=8 𝑃(𝑡 < 𝑡0 ) =

1+𝛾 1 + 0.95 = = 0.975 2 2

→

𝑡0 = 2.306

Se acepta H0 b) Discuta el mismo problema desconocido: Rpta se rechaza H0 c) Suponiendo que, µ=33 ¿Cuál es la probabilidad de llegar a una conclusión errada en el caso a. Hipótesis: H0 : μ 30 H1 : μ>30 El estadígrafo de prueba para n 30 es : n=9, 𝑥̅ =30.044, s=3.1 𝑥̅ − 𝜇 30.044 − 33 𝑡= = = −2.8606 𝑠 3.1 √𝑛 √9 Hallamos T0, γ=0.95, gl=9-1=8 1+𝛾 1 + 0.95 𝑃(𝑡 < 𝑡0 ) = = = 0.975 2 2

ESTADISTICA

→

𝑡0 = 2.306

Página 5

PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 8. La cantidad promedio que se coloca en un recipiente en un proceso de llenado se supone que es de 20 onzas. En forma periódica, se escogen al azar 25 recipientes y el contenido de cada uno de estos se pesa. Se juzga el proceso como fuera de control cuando la media maestral es menor o igual a 19.8 o mayor o igual a 20.2 onzas. Se supone que la cantidad que se vacía en cada recipiente se encuentra aproximada, en forma adecuada, por una distribución normal con una desviación estándar de 0.5 onzas. 𝑛 = 25 𝑔𝑙 = 24 𝑥̅ ≤ 19.8 ó 𝑥̅ ≥ 20.2 𝑆 = 0.5 ∝= 0.05 a) Enuncie las hipótesis nula y alternativa que son propias para esta situación. 𝐻0 : 𝜇 = 20 𝑣𝑠 𝐻1 : 𝜇 ≠ 20 b) Obtener la probabilidad del error tipo I. 𝑥̅ − 𝜇0 𝑇= 𝑆 √𝑛 𝑇 = −2 ó 𝑇=2 1+𝛾 𝑃(𝑇0 < 𝑇) = → 𝑇0 = 2.064 2 c) Graficar la función potencia de esta prueba.

EJERCICIO 13. Un fabricante de un cierto tipo de acero especial afirma que su producto tiene un severo servicio de control de calidad, que es traducido en la desviación estándar de la resistencia a la tensión, el cual no es mayor que 5 kg por cm2. Un comprador, deseando verificar la veracidad de la afirmación, tomo una muestra de 11 varillas y los sometió a una prueba de tensión. Los resultados fueron los siguientes: x = 263 y S2 = 48. Estos resultados traen alguna evidencia contra la afirmación del fabricante?

ESTADISTICA

Página 6

PRUEBA DE HIPOTESIS

Solución: i) Planteamos las hipótesis: H0 : σ2 <= 25 H1 : σ2 > 25 ii) Nivel de significancia α = 0.05 iii) Estadígrafo de contraste: dado que S2 = 48 y σ2 = 25, entonces el valor de la estadística de prueba resulta: (𝑛 − 1)s 2 (11 − 1)48 𝑥2 = = = 19.2 σ2 25 iv) Región critica: para α = 0.05 2 (11 𝑥∝2 (𝑛 − 1) = 𝑥5% − 1) = 18.3

Conclusión: Se rechaza H0, pues 𝑥𝑐2 = 19.2 > 18.3 y concluimos que de que los datos si proporciona evidencia contra la información del fabricante EJERCICIO 14. Un analista de sistemas esta probando la posibilidad de usar un nuevo sistema de computadora. El analista cambiara el procesamiento al nuevo sistema solo si hay pruebas de que el nuevo sistema usa menos tiempo en el procesamiento que el sistema antiguo. A fin de tomar una decisión, se seleccionó una muestra de siete trabajos y se registró el tiempo de procesamiento, en segundos, en los dos sistemas, con los siguientes resultados: Trabajos 1 2 3 4 5 6 7

Viejo 7 3 9 8 7 6 11

Nuevo 5 2 6 7 4 7 8

Al nivel de 0.01. ¿Usa el nuevo sistema menos tiempo para el procesamiento? ¿Qué suposición es necesaria para efectuar esta prueba?

Trabajos

1

2

3

4

5

6

7

D

-2

-1

-3

-1

-3

1

-3

̅ = −1.714 𝐷 𝑆𝐷 = 1.496 𝐻0 : 𝜇𝐷 = 0 𝑣𝑠 𝐻1 : 𝜇𝐷 < 0

ESTADISTICA

Página 7

PRUEBA DE HIPOTESIS

𝑇𝑐 =

̅ − 𝛿0 𝐷 𝑆𝐷 √𝑛

𝑇𝑐 = −3.0318 𝑃(𝑇0 < 𝑇) =

1+𝛾 2

→

𝑇0 = 3.143

∴ 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻0 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑝𝑟𝑢𝑒𝑣𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 EJERCICIO 18. Un fabricante desea comparar el proceso de armado común para uno de sus productos con un método propuesto que supuestamente reduce el tiempo de armado. Se seleccionaron 8 trabajadores de la planta de armado y se les pidió que armaran las unidades con ambos procesos. Los siguientes son los tiempos observados en minutos. Trabajador

Proceso actual

1 2 3 4 5 6 7 8

38 32 41 35 42 32 45 37

Proceso propuesto 30 32 34 37 35 26 38 32

¿Existe alguna razón para creer que el tiempo de armado para el proceso actual es mayor que el del método propuesto por más por 2 minutos? ¿Qué supociones son necesarias para probar la hipótesis? Solución: Trabajador Proceso actual 1 2 3 4 5 6 7 8

i. ESTADISTICA

Proceso propuesto 38 32 41 35 42 32 45 37

30 32 34 37 35 26 38 32

Di=Xi-Yi 8 0 7 -2 7 6 7 5

Promedio

4.75

Desv. Típica

3.69

Hipótesis Página 8

PRUEBA DE HIPOTESIS

H0 : µD≤2 (tiempo de armado del proceso actual no es mayor que el método propuesto por más por 2 minutos) H1: µD >2 (tiempo de armado del proceso actual es mayor que el método propuesto por más por 2 minutos) El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=8

ii.

Tc 

D  0 SD / n

=

4.75  2

3.69 / 8

=2.1079

iii.

La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=7 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.306

iv.

Conclusión: puesto que Tc < t0, aceptamos H0, al nivel de 5%, es decir tiempo de armado del proceso actual no es mayor que el método propuesto por más por 2 minutos.

EJERCICIO 19. Un medico desea saber si una cierta droga reduce la presión arterial media. El midió la presión arterial en 5 voluntarios antes y después de la aplicación de la droga, obteniendo los resultados que se dan en la siguiente tabla. Voluntario A B C D E Antes 68 80 90 72 80 Después 60 71 88 74 76 ¿Usted cree que existe evidencia estadística de que la droga realmente reduce la presión arterial media? R. Al nivel de 5% no hay evidencia estadística de que la droga reduce la presión. Solución: Voluntario

A

B

C

D

E

Antes

68

80

90

72

80

Después

60

71

88

74

76

Di=Xi-Yi

8

9

2

-2

4

promedio

4.2 4.49

Desv. Típica ii.

iii.

Hipótesis H0 : µD = 0 (la droga reduce la presión arterial media) H1 : µD ≠0 (la droga no reduce la presión arterial media) El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=5

Tc  iv.

ESTADISTICA

D  0 SD / n

=

4.2  0

4.49 / 5

=2.09

La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=4 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.776

Página 9

PRUEBA DE HIPOTESIS R.A R.R

R.R

-2.776

2.776 TC=2.0 9

v.

Conclusión: puesto que Tc pertenece a la región de aceptación, al nivel de 5% aceptamos H0, la droga reduce la presión arterial media.

EJERCICIO 20.Se llevó a cabo un estudio para determinar el grado en el cual el alcohol entorpece la habilidad del pensamiento para llevar a cabo determinada tarea. Se seleccionaron al azar 10 personas de distinta características y se les pidió que participaran en el experimento. Después de proporcionarles la información pertinente, cada persona llevó a cabo la tarea sin nada de alcohol en su organismo. Entonces, la tarea volvió a llevarse a cabo, después de que cada persona había consumido una cantidad suficiente de alcohol para tener un contenido en su organismo de 0.1%. Supóngase que los tiempos '"antes" y "después" (en minutos) de los 10 participantes son los siguientes. Participante

Antes

Después

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

28 22 55 45 32 35 40 25 37 20

39 45 67 61 46 58 51 34 48 30

¿Puede concluirse a un nivel de 5% que el tiempo promedio "antes" es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos? R. Si Solución:

ESTADISTICA

Participante

Antes

Después

Di=Xi-Yi

1 2 3 4 5 6 7 8 9

28 22 55 45 32 35 40 25 37

39 45 67 61 46 58 51 34 48

11 23 12 16 14 23 11 9 11 Página 10

PRUEBA DE HIPOTESIS

10

20

30 Promedio

10

Desv. Típica i.

ii.

Hipótesis H0 : µD≤0 (tiempo promedio "antes" no es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos) H1: µD >10 (tiempo promedio "antes" es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos) El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=10

Tc  iii.

D  0

=

14  10

S D / n 5.14 / 10

=2.46

La región critica para α=0.05, γ=0.95 , para (n-1)=9 grados de libertad P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.262

R.R

R.A

t0=2.2 62

iv.

14 5.14

Tc=2.4 6

Conclusión: puesto que Tc > t0, rechazamos H0, a un nivel de 5% el tiempo promedio "antes" es menor que el tiempo promedio "después" por más de 10 minutos.

EJERCICIO 21. Un inversionista desea comparar los riegos asociados con dos diferentes mercados A y B. El riego de un mercado dado se mide por la variación en los cambios diarios de precio. El inversionista piensa que el riesgo asociado con el mercado B es mayor que el del mercado A. Se obtienen muestras aleatorias de 21 cambios de precio diarios para el mercado A y de 16 para el mercado B. Se obtienen los siguientes resultados. Mercado A

Mercado B

𝐱̅A =0,3

𝐱̅B =0,4

SA =0,25

SB = 0.45

a) Si se supone que las muestras provienen de dos poblaciones normales e independientes, ¿a un nivel de 5%, encuentra apoyo la creencia del inversionista? R. Se rechaza H0, luego el inversionista encuentra apoyo. Solución: a. i. Hipótesis ESTADISTICA

Página 11

PRUEBA DE HIPOTESIS

ii.

H0 : µ1 = µ2 (encuentra apoyo la creencia del inversionista) H1 : µ1 ≠ µ2 (no encuentra apoyo la creencia del inversionista) Nivel de significancia α = 0.05

iii.

El estadígrafo de prueba para n+m≥30 es :

Zc 

iv.

( x1  x 2 )  ( 1   2 ) S12 S 22  n1 n 2

=

(0.3  0.4)  (0) =-0.8 0.0625 0.2025  21 16

La región critica para α=0.05, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0=1.960

R.A R.R

R.R

-1.960

1.960 ZC=-0.8

v.

Conclusión: puesto que Zc se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, encuentra apoyo la creencia del inversionista.

EJERCICIO 22. Considere Ud. los siguientes datos referidos a la cotización de la plata en $ por onza: Mes E

F

M

A

M

85

14,7

13,0

12,3

11.6

86

8,0

8,3

7,2

87

12.4

14.0

10,6

J

J

A

S

10,8 10,0 8,6

8,9

7,3

6,7

5,6

N

D

10,1 9,1

8,6

8,4

7,1

8,7

9,5

9,8

10,6

11,7

13

11.8 12.1 12,1 11,9 9,9

8,8

9,1

6,5

O

Se plantean las siguientes hipótesis: "Puede observarse que, pese al irregular comportamiento cronológico de la cotización de la plata, este mineral no ha diferido significativamente de su cotización de equilibrio en los mercados internacionales, la cual es de $ 10 por onza, con una desviación estándar de $ 1,5 por onza". Pruebe la veracidad o falsedad de esta hipótesis, a la luz de los datos muéstrales presentados. R. n =36, ZC = -0,133. No se rechaza H0. ESTADISTICA

Página 12

PRUEBA DE HIPOTESIS

Solución: 14,7 8,0

13,0 8,3

12.4

14

12,3 7,2

12 10,8 10,0 8,6 7,3 6,7 5,6 6,5

10,6 11,7

13

12

8,9 10,1 9,1 8,6 8,4 7,1 8,7 9,5 9,8 10,6

12 12,1 11,9 9,9 8,8 9,1

Promedio 10.03 Des. Típica 1.50 i.

ii. iii.

Hipótesis H0 : µ = 10 (El mineral no ha diferido significativamente) H1 : µ ≠ 10 (El mineral ha diferido significativamente) Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n≥30 es : n=36

Zc  iv.

x  0

/ n

=

10.03  10 =-0.13 1.50 / 36

La región critica para α=0.05, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0=1.960

R.A R.R

R.R

-1.960

1.960 ZC=-0.13

v.

Conclusión: puesto que Zc se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, El mineral no ha diferido significativamente

EJERCICIO 23. El gerente de una planta sospecha que el número de piezas que produce un trabajador en particular por día, fluctúa más allá del valor normal esperado. El gerente decide observar el número de piezas que produce este trabajador durante 12 días, seleccionadas éstos al azar. Los resultados son: 14, 12, 9, 13, 12, 14, 15, 8, 7, 15, 11 y 9. Si se sabe que la desviación estándar para todos los trabajadores es de dos unidades y si el número de éstas que se produce diariamente, se encuentra modelado en forma adecuada por una distribución normal, a un nivel de 5%, ¿tiene apoyo la sospecha del gerente? Solución: De los datos obtenemos: x =11.58, σ=2

ESTADISTICA

Página 13

PRUEBA DE HIPOTESIS

i.

Hipótesis: H0 : µ = 0 (no fluctúa más allá del valor normal esperado) H1 : µ > 0 (fluctúa más allá del valor normal esperado)

ii. iii.

Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n≤30 es : n=12

Tc  iv.

v.

x   0 11.58  0 = =20.05 2 / 12 S/ n

La región critica para α=0.05, γ=0.95 con (n-1)=11 grados de libertad P [T≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.201 Conclusión: puesto que Tc > t0, rechazamos H0, a un nivel de 5% el número de piezas fluctúa más allá del valor normal esperado, tiene apoyo la sospecha del gerente.

EJERCICIO 24. Una compañía está tratando de decidir cuál de dos tipos de neumáticos va a comprar. Es deseo del directorio de la compañía, comprar los neumáticos a menos que haya alguna evidencia de que la marca B resultó mejor. Se hace un experimento en el que se utilizaron 14 neumáticos de cada marca. Se prueba bajo condiciones semejantes hasta que se desgasten totalmente. Los resultados obtenidos fueron: Marca B: Marca A:

𝐱̅1 =35000 km. 𝐱̅2 = 32000 km.

S1= 4200 km. S2 = 2800 km

a) ¿Bajo qué supuestos se puede resolver este problema? b) ¿Que marca de neumáticos decidirá comprar la compañía? R. Se rechaza H0: Tc = 2,302. La compañía decidirá comprar la marca B. Solución: a. Necesitamos comprobar si σ1 y σ2 son iguales o diferentes(puesto que son desconocidas): i. Hipótesis H0 : σ1= σ2 H1 : σ1≠ σ2 ii. Nivel de significancia α = 0.05 iii. El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es :

Fc 

S A2 4200  1 .5 = S B2 2800

iv.

La región critica para α=0.05, α /2=0.025 con n1=14 y n2=14 F α /2 (n1-1; n2-1)=F2.5%(13; 13)=3.12 F 1-α /2 (n1-1; n2-1)=1/ F2.5%(13; 13) =1/3.12=0.32v. Luego la región critica C= {Fc: Fc>0.32 ó Fc<3.12}

v.

Conclusión: puesto que F=1.5 se encuentra Є C, asumimos que las varianzas poblacionales son iguales.

b. Analizamos las medias: ESTADISTICA

Página 14

PRUEBA DE HIPOTESIS

i.

ii. iii.

Tc 

Hipótesis H0 : µ1 = µ2 (no hay evidencia de que B es mejor que A) H1 : µ1 ≠ µ2 (hay evidencia de que B es mejor que A) Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es (σ1=σ2):

( x1  x 2 )  ( 1   2 ) (n1  1) S12  (n2  1) S 22 ) 1 1 (  ) n1  n2  2 n1 n2

=

(35000  32000)  (0) (13)4200 2  (13)2800 2 1 1 (  ) 14  14  2 14 14

=2.30 iv.

La región critica para α=0.05, γ=0.95 con (n1+n2-2)=26 grados de libertad P [T≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.056

R.A R.R

R.R

-2.056

2.056

TC=2.30

v.

Conclusión: Tc se encuentra en la región de rechazo, rechazamos H0, a un nivel de 5%, hay evidencia de que B es mejor que A.

EJERCICIO 25.A continuación se presenta la tabla de cotizaciones del plomo y cobre para los años 1086 y 1987. Meses

1986

1987 ESTADISTICA

E F M A M J J A S 0 N D E

Cobre

73,1 72,4 68.5 69,0 69,4 59,1 65,3 65,9 64,8 66,4 65,5 66,8 71,1

Plomo

29,4 28,0 27,8 26,1 26,1 23,7 25,1 23,7 23,4 22,6 20,8 20,3 21,5 Página 15

PRUEBA DE HIPOTESIS

F

74,7

20,6

a) Respecto a la inestabilidad observada y a las variaciones irregulares en los precios internacionales del cobre y plomo, ¿se puede afirmar que existen diferencias significativas? R. No, FC =1,8949747 b) Algunos economistas sostienen que los precios promedio de equilibrio de ambos metales son de $ 60/lb en el caso del cobre y $ 30/lb en el caso del plomo. Compruebe la veracidad o falsedad de estas afirmaciones. R. El precio promedio de equilibrio del cobre no es $ 60; el precio promedio de equilibrio del plomo no es $ 30.

Solución: Cobre X1=68 S1=3.91

Plomo X2=24.22 S2=2.95

a. Comprobamos si σ1 y σ2 son iguales o diferentes(puesto que son desconocidas): i. Hipótesis H0 : σ1= σ2 (no existen diferencias significativas) H1 : σ1≠ σ2 (existen diferencias significativas) ii. Nivel de significancia α = 0.05 vi. El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es :

Fc 

S A2 3.912  1.8 = S B2 2.95 2

iii.

La región critica para α=0.05, α /2=0.025 con n1=14 y n2=14 F α /2 (n1-1; n2-1)=F2.5%(13; 13)=3.12 F 1-α /2 (n1-1; n2-1)=1/ F2.5%(13; 13) =1/3.12=0.32 Luego la región critica C= {Fc: Fc>0.32 ó Fc<3.12}

iv.

Conclusión: puesto que F=1.8 se encuentra Є C, aceptamos H0, asumimos que las varianzas poblacionales no son iguales, no existen diferencias significativas en los precios internacionales del cobre y plomo.

b. Analizamos las medias: i. Hipótesis Para el cobre: H0 : µc =60 (precio promedio es 60) H1 : µc ≠ 60 (precio promedio no es 60) Para el plomo: H0 : µp =30 (precio promedio es 30) H1 : µp ≠30 (precio promedio no es 30) ii. Nivel de significancia α = 0.05 iii. El estadígrafo de prueba para n ≤30 y m≤30 es (σ1=σ2): ESTADISTICA

Página 16

PRUEBA DE HIPOTESIS

Para el cobre:

Tc 

x  c

/ n

=

68  60 =7.65 3.91 / 14

=

24.22  30 =-2.33 2.95 / 14

Para el plomo:

Tc 

iv.

x  p

/ n

La región critica para α=0.05, γ=0.95 con n1=14 y n2=14 grados de libertad. P [T≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.145 R.A R.R

R.R

-2.145

2.145 Tplomo=-7.33

v.

Tcobre=7.65

Conclusión: Tplomo y Tcobre se encuentra en la región de rechazo, rechazamos H0, a un nivel de 5%, El precio promedio de equilibrio del cobre no es $ 60; el precio promedio de equilibrio del plomo no es $ 30.

EJERCICIO 26. El Departamento Estadístico de un conocido banco nacional desea realizar un estimado preliminar de la importancia relativa de dos de sus principales sucursales en la venta de moneda extranjera. Para tal efecto se decide tomar como datos los montos vendidos de moneda extranjera durante dos semanas de operación en ambas sucursales y se obtienen los siguientes datos: L 3800 4220

Sucursal A Sucursal B

M 3805 4180

M 1880 1650

J 3740 3950

V 3810 3990

L 3930 4210

M 3820 4170

M 3515 3950

J 4010 4020

V 3810 4200

¿Existirá diferencia relativa de ambas sucursales en operaciones de moneda extranjera? Solución: Sucursal A Promedio=3612 Desv. Típica= 621.7725558 i.

ESTADISTICA

Sucursal B Promedio=3854 Desv. Típica= 782.349737

Hipótesis H0 : µ1 = µ2 (no hay diferencia relativa) Página 17

PRUEBA DE HIPOTESIS

ii. iii.

Tc 

H1 : µ1 ≠ µ2 (hay diferencia relativa) Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n+m≤30 es (σ1=σ2):

( x1  x 2 )  ( 1   2 ) (n1  1) S  (n2  1) S ) 1 1 (  ) n1  n2  2 n1 n2 2 1

2 2

=

(3854  3612)  (0) (9)621.77 2  (9)782.35 2 1 1 (  ) 10  10  2 10 10

=0.76 iv.

La región crítica para α=0.05, γ=0.95 con (n1+n2-2)=18 grados de libertad P [T≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.101

R.A R.R

R.R

-2.101

2.101

TC=0.76

v.

Conclusión: Tc se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, no existe diferencia relativa en operaciones de moneda extranjera.

EJERCICIO 27. Una empresa estaba considerando establecer un servicio de reparto de tamales los domingos en la mañana en un distrito de Lima. Con base en el costo de este servicio y las utilidades que se pueden lograr, ha llegado a la siguiente conclusión: si hay prueba de que el pedido promedio será más de 10 tamales por casa en ese distrito, entonces se instituirá el servicio de reparto. Si no se puede demostrar con pruebas, no se instituirá el servicio. Con base en la experiencia previa en otros distritos, se estimo que la desviación estándar era de 3 tamales. Se va a hacer una encuesta en una m.a de 35 residencias. La empresa esta dispuesta a tener un riesgo de 1% de que se instituirá el servicio cuando la demanda promedio es menor de 10 tamales por casa. a. Calcule la probabilidad de instituir el servicio de reparto cuando la demanda promedio es de 13 tamales por casa. SOLUCION 𝛿 = 3 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛 = 35 En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño 𝛼 es: 𝛿 𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 𝜇0 + 𝑍𝛼 } √𝑛 Donde para ∝= 0.01, 𝑍𝛼 = 2.33 ESTADISTICA

Página 18

PRUEBA DE HIPOTESIS

i.Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝝁 ≤ 𝟏𝟎 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜) 𝑯𝟏 ∶ 𝝁 > 1𝟎 (𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜) ii.La región de la prueba resulta: 𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 10 + 𝐶 = {𝑋/𝑋 > 10 +

3 √35

(2.33)}

3

(2.33)} √35 𝐶 = {𝑋 ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 11.18152565} La probabilidad es: 𝑃 = 𝑝[𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜/𝜇 = 13] 𝑃 = 𝑝[𝑋 > 11.18152565/𝜇 = 13] 𝑋 − 13 11.18152565 − 13 > ] 3 𝛿 √35 √𝑛 𝑃 = 𝑝[𝑍 > −3.58] = 1 − 𝑝[𝑍 ≤ −3.58] =1 − 0.00017 𝑷 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟖𝟑 b. Calcule la probabilidad de instituir el servicio de reparto cuando la demanda promedio es de 11 tamales por casa. 𝑃 = 𝑝[

SOLUCION 𝛿 = 3 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛 = 35 En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño 𝛼 es: 𝛿 𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 𝜇0 + 𝑍𝛼 } √𝑛 Donde para ∝= 0.01, 𝑍𝛼 = 2.33 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝝁 ≤ 𝟏𝟎 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜) 𝑯𝟏 ∶ 𝝁 > 1𝟎 (𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜) La región de la prueba resulta: 3 𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 10 + (2.33)} √35 3 𝐶 = {𝑋/𝑋 > 10 + (2.33)} √35 𝐶 = {𝑋 ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 11.18152565} La probabilidad es: 𝑃 = 𝑝[𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜/𝜇 = 11] 𝑃 = 𝑝[𝑋 > 11.18152565/𝜇 = 11] 𝑋 − 11 11.18152565 − 11 > ] 3 𝛿 √35 √𝑛 𝑃 = 𝑝[𝑍 > 0.3579734056] = 1 − 𝑝[𝑍 ≤ 0.3579734056] =1 − 0.63683 𝑃 = 𝑝[

ESTADISTICA

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PRUEBA DE HIPOTESIS

𝑷 = 𝟎. 𝟑𝟔𝟑𝟏𝟕 c. Si la empresa quiere tener una posibilidad del 90% de instituir el servicio de reparto cuando la demanda promedio de población es de 13 tamales ¿Qué tamaño de muestra se debe seleccionar? SOLUCION Dado que ∝= 0.01,

𝑦 1 − 𝛽 = 0.90 ↔ 𝛽 = 0.10 𝑍𝛼 = 2.33 𝑍𝛽 = 1.29

Para hallar el tamaño de la muestra: (𝑍𝛼 + 𝑍𝛽 )2 . 𝛿 2 (𝜇0 − 𝜇1 )2 (2.33 + 1.29)2 . 32 𝑛= = 13.1044 ≈ 14 (10 − 13)2 𝑛=

La muestra que se debe seleccionar para teber un 90% de posibilidad de instituir el servicio de reparto es: 𝒏 = 𝟏𝟒 d. Si la empresa selecciono una m.a de 64 casas y esta dispuesta a tener un riesgo de 1% calcule la probabilidad de establecer el servicio de reparto cuando la demanda promedio es 12 tamales por casa. SOLUCION 𝛿 = 3 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛 = 64 En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño 𝛼 es: 𝛿 𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 𝜇0 + 𝑍𝛼 } √𝑛 Donde para ∝= 0.01, 𝑍𝛼 = 2.33 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝝁 ≤ 𝟏𝟎 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜) 𝑯𝟏 ∶ 𝝁 > 1𝟎 (𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜) La región de la prueba resulta: 3 𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 > 10 + (2.33)} 8 3 𝐶 = {𝑋/𝑋 > 10 + (2.33)} 8 𝑛 𝐶 = {𝑋 ∈ 𝐼𝑅 /𝑋 > 10.87375} La probabilidad es: 𝑃 = 𝑝[𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑡𝑜/𝜇 = 12] 𝑃 = 𝑝[𝑋 > 10.87375/𝜇 = 12] 𝑋 − 12 10.87375 − 12 > ] 3 𝛿 8 √𝑛 𝑃 = 𝑝[𝑍 > −3.003333] = 1 − 𝑝[𝑍 ≤ −3.003333] =1 − 0.0013352 𝑷 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟔𝟔𝟒𝟖 𝑃 = 𝑝[

ESTADISTICA

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PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 28. Una maquina que llena bolsas de café pone 400 gramos de café en cada bolsa, cuando funciona correctamente. La cantidad colocada en la bolsa tiene distribución normal, con una desviación estándar de 30 gramos. El gerente de producción dejara de llenar bolsas si hay pruebas de que la cantidad promedio de café puesta en cada bolsa es menor de 400 gr. Si se selecciona una m.a de 25 bolsas y el gerente de producción esta dispuesta a tener un error tipo I de 5%: Calcule la potencia de la prueba y la probabilidad de un error tipo II si la cantidad promedio de café puesta en la bolsa es 395 gramos. SOLUCION 𝑆 = 30 𝑔𝑟 , 𝑛 = 25 , 𝜇0 = 395 En términos de la media muestral la región crítica de la prueba de tamaño 𝛼 es: 𝛿 𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 < 𝜇0 − 𝑍𝛼 } √𝑛 Donde para ∝= 0.05, 𝑍𝛼 = 1.645 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝝁 ≥ 𝟒𝟎𝟎 (𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑗𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑛𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠) 𝑯𝟏 ∶ 𝝁 < 𝟒𝟎𝟎 (𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑗𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑛𝑎𝑟 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠) La región de la prueba resulta: 30 𝐶 = {𝑋 = (𝑋1 … . 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼𝑅 𝑛 /𝑋 < 400 − . 1.645} √25 3 𝐶 = {𝑋/𝑋 < 400 − (1.645)} 5 𝐶 = {𝑋/𝑋 < 390.13} La probabilidad de un error tipo II si la cantidad promedio de café puesta en la bolsa es 395 gramos es: 𝛽 = 𝑝[𝐴𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎𝑟 𝐻0 /𝐻0 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑎] = 𝑝[𝑋 ≥ 390.13/𝜇 = 395] 𝑋 − 395 390.13 − 395 ≥ ] 30 𝛿 5 √𝑛 𝛽 = 𝑝[𝑍 ≥ −0.811666] = 1 − 𝑝[𝑍 ≤ −0.811666] =1 − 0.20897 𝛽 = 𝑝 = 𝟎. 𝟕𝟗𝟏𝟎𝟑 Y la potencia prueba será 𝟏 − 𝜷 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟖𝟗𝟕 𝛽 = 𝑝[

ESTADISTICA

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PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 29. Un analista financiero desea saber si ha habido o no un cambio significativo en las utilidades por acción de un periodo a otro entre las empresas industriales mas grandes del Perú. Una muestra aleatoria de 15 empresas seleccionadas entre 150 arrojo los siguientes resultados: UTILIDADESPOR ACCION (S) AÑO 1(y) AÑO 2(x) 4.12 4.79 2.85 3.20 2.81 3.34 3.39 1.94 2.03 -2.86 4.91 3.69 2.28 2.50 4.10 4.30 6.39 7.16 0.52 1.78 2.44 0.80 -2.25 -1.31 5.01 5.06 1.85 2.15 1.95 2.07

COMPAÑIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Y-X -0.67 -0.35 -0.53 1.45 4.89 1.22 -0.22 -0.2 -0.77 -1.26 1.64 -0.94 -0.05 -0.3 -0.12

Con un nivel de significancia de 0.01, ¿hay una diferencia en las utilidades por acción entre los dos años? ¿Que suposiciones son necesarias para efectuar estas pruebas? SOLUCIÓN 𝑛 = 15 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝝁𝑫 = 𝟎 (ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠) 𝑯𝟏 ∶ 𝝁𝑫 ≠ 𝟎 (𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠) 𝐷 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟐𝟔𝟔𝟔𝟕 𝑆𝐷 = 𝟏. 𝟓𝟒𝟑𝟑𝟒𝟐𝟔 Para ∝= 0.01 , buscamos en la tabla de distribución T, y se encuentra: 𝑡∝ (𝑛 − 1) = 𝑡0.01 (14) = 2.624 Estadígrafo de contraste: 𝑇𝑐 =

𝐷−0 𝑆𝐷 √𝑛

= 2.455708, como

Región critica: 𝐶 = {𝑇𝑐 /𝑇𝑐 < −𝑡∝ (𝑛 − 1) 𝑜 𝑇𝑐 > 𝑡∝ (𝑛 − 1)} Como 2.455708 > -2.624 y 2.455708 < 2.624, no se rechaza la 𝑯𝟎 , es decir hay diferencia entre las utilidades.

ESTADISTICA

Página 22

PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 30. La productividad en el trabajo depende fuertemente de muchos y muy variados factores, tales como el salario, la complejidad de la operación y el ambiente de trabajo. Pero es a menudo el diseño de la operación(es decir, la secuencia ordenada de movimientos del trabajador y de utilización del material), el factor mas importante en la productividad. Dos diseños de operación se someten a consideración para ser implantados en una fábrica. De un estudio de tiempo y movimientos se tiene que 12 trabajadores usando el diseño A, obtiene una media de 304 segundos y una desviación estándar de 18 segundos y 15 trabajadores usando el diseño B, obtiene una media de 335 segundos con una desviación estándar de 24 segundos. ¿Presentan estos datos evidencia suficiente de una diferencia en la tasa de productividad para los dos diseños? Use ∝= 𝟎. 𝟎𝟏

SOLUCIÓN 𝑛𝐴 = 12

𝑛𝐵 = 15

𝑋𝐴 = 304𝑠 𝑋𝐵 = 335𝑠 𝑆𝐴 = 18𝑠 𝑆𝐵 = 24𝑠 ∝ Para ∝= 0.01 , 2 = 0.005 𝐹𝑐 =

𝑺𝟐𝑨

=

182 = 𝟎. 𝟓𝟔𝟐𝟓 242

𝑺𝟐𝑩 Analizamos la igualdad de las varianzas: 𝑯𝟎 ∶ 𝜹𝟐𝑨 = 𝜹𝟐𝑩 𝑯𝟏 ∶ 𝜹𝟐𝑨 ≠ 𝜹𝟐𝑩 𝐹∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = 𝐹0.005 (11; 14) = 4.508475 2

1 = 0.195961 𝐹0.005 (14; 11) 2 Como 𝑭𝒄 = 𝟎. 𝟓𝟔𝟐𝟓 > 0.19596, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠. En cuanto al contraste de promedio de la tasa de productividad tenemos: 𝐹1−∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) =

𝑯𝟎 ∶ 𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 = 𝟎 𝑯𝟏 ∶ 𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 ≠ 𝟎 (304 − 335) − 0 (𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 ) − 0 𝑇𝑐 = = = −3.711364054 2 + 14. 242 11. 18 2 2 (𝑛 − 1)𝑆𝐴 + (𝑛𝐵 − 1)𝑆𝐵 1 √ 1 . 0.15 √ 𝐴 25 ( + ) 𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1 𝑛𝐴 𝑛𝐵 Sabemos que 𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1) = 𝑡0.01 (25) = 2.485 Luego la región critica es: 𝐶 = {𝑇𝑐 /𝑇𝑐 < −𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1) 𝑜 𝑇𝑐 > 𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1)} Dado que: 𝑇𝑐 = −3.711 < −𝑡0.01 (25) = 2.485 𝑦 𝑇𝑐 = −3.711 < 𝑡0.01 (25) = 2.485, Entonces se rechaza 𝑯𝟎 , es decir los datos no evidencian una diferencia suficiente en la tasa de productividad para los dos diseños. EJERCICIO 31. Un fabricante anuncia que la resistencia a la tensión promedio de las cuerdas A excede a las de las cuerdas B en 12 Kg como mínimo. Para demostrarlo, se prueba bajo condiciones similares 50 piezas de cada tipo de cuerda.las cuerdas A tienen una resistencia a ESTADISTICA

Página 23

PRUEBA DE HIPOTESIS

la tensión 86.7 Kg con una desviación estándar de 6.28 Kg, mientras que las cuerdas B tienen una resistencia a la tensión promedio de 77.8 Kg, con una desviación estándar de 5.61 Kg. Pruebe lo enunciado por el fabricante utilizando un nivel de significancia de 5%. SOLUCIÓN Teniendo en cuenta que 𝑛𝐴 = 𝑛𝐵 = 50 , son muestras grandes: 𝑛𝐴 = 50 𝑛𝐵 = 50 𝑋𝐴 = 86.7 𝐾𝑔 𝑋𝐵 = 77.8𝐾𝑔 𝑆𝐴 = 6.28 𝐾𝑔 𝑆𝐵 = 5.61 𝐾𝑔 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 ≥ 𝟏𝟐 𝑯𝟏 ∶ 𝝁𝑨 − 𝝁𝑩 < 1𝟐 Nivel de significancia: ∝= 0.05 Estadígrafo de prueba: 𝑍𝑐 =

(𝑋𝐴 −𝑋𝐵 )−12 𝑆2 𝑆2 √ 𝐴+ 𝐵 𝑛𝐴 𝑛𝐵

=

(86.7−77.8)−12 2 2 √6.28 +5.61 50 50

=

−31 √1.41821

= −𝟐. 𝟔𝟎𝟑𝟏

Región crítica para ∝= 0.05, 𝑍∝ = 1.645: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 < −1.645} Conclusión: puesto que 𝒁𝒄 = −𝟐. 𝟔𝟎𝟑𝟏 < −1.645, se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, el promedio de la tensión de las cuerdas A, no excede a las de las cuerdas B en 12 Kg como mínimo EJERCICIO 32. Un inversionista desea decidir entre dos tipos de valores. Para su decisión cuenta con la siguiente información acerca del rendimiento, expresado como porcentaje del precio. VALOR A 7.8 10.3 7.9 8.7 9.2 VALOR B 9.2 9.1 11.1 8.8 9.6 ¿Sugieren estos datos que el valor B produce mayor utilidad que el valor A? SOLUCIÓN Teniendo en cuenta que 𝑛𝐴 = 6 , 𝑛𝐵 = 5 , son muestras pequeñas: 𝑛𝐴 = 6 𝑛𝐵 = 5

8.9

𝑋𝐴 = 86.8 𝑋𝐵 = 9.56 𝑆𝐴 = 0.9208691547 𝑆𝐵 = 0.9071934744 PARA SABER SI LAS VARIANZAS SON DISTINTAS O IGUALES: Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝜹𝟐𝑨 = 𝜹𝟐𝑩 𝑯𝟏 ∶ 𝜹𝟐𝑨 ≠ 𝜹𝟐𝑩 Estadígrafo de prueba: 𝐹𝑐 =

𝑺𝟐𝑨 𝑺𝟐𝑩

=

0.8480 0.823

= 𝟏. 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟕𝟔𝟔𝟕

Para: ∝= 0.05 𝑦 ∝/2 = 0.025 𝐹∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = 𝐹0.025 (5; 4) = 9.36 2

1 0.025 (4;5)

𝐹1−∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = 𝐹 2

1

= 7.39 = 0.135

Dado que 𝑭𝒄 = 𝟏. 𝟎𝟑𝟎𝟑𝟖 > 0.135, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠. ESTADISTICA

Página 24

PRUEBA DE HIPOTESIS

En cuanto a las medias tenemos: Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝝁𝑨 = 𝝁𝑩 (𝑙𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) 𝑯𝟏 ∶ 𝝁𝑨 > 𝝁𝑩 (𝑙𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐵 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐴) Nivel de significancia: ∝= 0.05 Estadígrafo de prueba: 𝑇𝑐 =

(𝑋𝐴 −𝑋𝐵 )−0

𝑆𝑝 √𝑛1 +𝑛1 𝐴

𝑆𝑝 = √ 𝑇𝑐 =

donde 𝑆𝑝 = √

2 +(𝑛 −1)𝑆 2 (𝑛𝐴 −1)𝑆𝐴 𝐵 𝐵

𝑛𝐴 +𝑛𝐵 −1

𝐵

5. (0.920869)2 + 4. (0.90719347)2 = 𝟎. 𝟗𝟏𝟒𝟖𝟏𝟔𝟑 9

(𝑋𝐴 − 𝑋𝐵 ) − 0

=

−0.76 = −𝟏. 𝟑𝟕𝟏 0.5539487

1 1 + 𝑛𝐴 𝑛𝐵 Sabemos que 𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1) = 𝑡0.05 (9) = 2.262 Región crítica : 𝐶 = {𝑇𝑐 /𝑇𝑐 > 2.262} 𝑆𝑝 √

Luego la región crítica es: 𝐶 = {𝑇𝑐 /𝑇𝑐 < 𝑡∝ (𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 1) }| Dado que: 𝑇𝑐 = −1.371 < 𝑡0.05 (9) = 2.262 Entonces no se rechaza 𝑯𝟎, es decir el valor B no produce mayor utilidad que el valor A. EJERCICIO 33. Una industria lechera desea adquirir una maquina embotelladora y somete a consideración dos modelos distintos, el modelo A y el modelo B. Suponga que las maquinas resultan bastante parecidas y aproximadamente con el mismo costo, por lo que el factor decisivo será la variabilidad en la cantidad embotellada. (Se preferirá el modelo con menor variabilidad en la cantidad embotellada). Para demostrar que la variabilidad de su maquina es menor que la del modelo B un vendedor de la compañía A consigue una muestra de 30 registros de embotellado del modelo A y una muestra de 10 registros del modelo B. las varianzas muestrales fueron 𝑺𝑨 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟕 𝒚 𝑺𝑩 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟔𝟓. ¿Proporcionan estos datos apoyo estadístico para la suposición del vendedor? SOLUCIÓN Para analizar la variabilidad. 𝑛𝐴 = 30 𝑛𝐵 = 10 2 𝑆𝐴 = 0.027 𝑆𝐵 2 = 0.065 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝜹𝟐𝑨 ≥ 𝜹𝟐𝑩 𝑯𝟏 ∶ 𝜹𝟐𝑨 < 𝜹𝟐𝑩 Nivel de significancia: ∝= 0.05 Estadígrafo de prueba: 𝐹𝑐 =

𝑺𝟐𝑨 𝑺𝟐𝑩

= 𝟎. 𝟏𝟕𝟐𝟓𝟒𝟒𝟑𝟕

Para: ∝= 0.05 𝐹∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = 𝐹0.05 (29; 9) = 2.868783 1 (9;29) 0.05

𝐹1−∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1) = 𝐹0.95 (29; 9) = 𝐹

1

= 2.222873 = 𝟎. 𝟒𝟒𝟗𝟖𝟔𝟖

Región critica: 𝐶 = {𝐹𝑐 /𝐹𝑐 < 𝐹1−∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1)} ESTADISTICA

Página 25

PRUEBA DE HIPOTESIS

Dado que 𝑭𝒄 = 𝟎. 𝟏𝟕𝟐𝟓 < 0.449868, se rechaza 𝑯𝟎 , es decir los datos apoyan a la suposición dl vendedor EJERCICIO 34. Un editor afirma que los estudiantes que reciben instrucción en matemáticas usando un texto que acaba de publicar, obtendrán una calificación final cinco puntos mayores por lo menos que la de los estudiantes que emplearon el texto anterior. Se eligen al azar 36 estudiantes para asignarles 18 a cada clase, el grupo experimental, que emplea el nuevo texto para su aprendizaje; y el grupo de control, que utiliza el texto anterior. En el examen final, para el grupo experimental se obtiene 𝑋1 = 83.05 𝑦 𝑆1 = 6.04, y para el grupo de control 𝑋2 = 76.85 𝑦 𝑆2 = 5.95; para plantear la hipótesis nula usando ∝= 𝟎. 𝟎𝟏 SOLUCIÓN Teniendo en cuenta que son muestras grandes: 𝑛1 = 18 𝑛2 = 18 𝑋1 = 83.05 𝑋2 = 76.85 𝑆1 = 6.04 𝑆2 = 5.95 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≥ 𝟓 𝑯𝟏 ∶ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 < 5 Nivel de significancia: ∝= 0.01 Estadígrafo de prueba: 𝑍𝑐 =

(𝑋𝐴 −𝑋𝐵 )−5 2

2

𝑆 𝑆 √ 1+ 2

𝑛1 𝑛2

=

(83.05−76.85)−12 2 2 √6.04 +5.95 18 18

−1.2

= 1.998389629 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟎𝟒𝟖𝟒

Región crítica para ∝= 0.01, 𝑍∝ = 2.33: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 < −2.33} Conclusión: puesto que 𝒁𝒄 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟎𝟒 > −𝟐. 𝟑𝟑, no se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, los estudiantes que reciben una instrucción en matemáticas usando el texto nuevo obtendrán una calificación final cinco puntos mayores por lo menos que los que emplearon el texto anterior EJERCICIO 35. En un estudio sobre el tiempo de reacción humana a una estimulo, unos psicólogos emplearon dos muestras independientes de sujetos. Una muestra estaba compuesta por 11 hombres entre 25 y 45 años de edad y la otra constaba de 13 mujeres de las mismas edades. Las varianzas de los tiempos de reacción fueron de 12 milisegundos cuadrados para los hombres y de 4 milisegundos cuadrados para las mujeres. Con base en estos datos, ¿Debería el psicólogo sacar como conclusión que la población representada por los tiempos de reacción de los hombres es más variable que la representada por las mujeres? SOLUCIÓN Para analizar la variabilidad. 𝑛𝐻 = 11 𝑛𝑀 = 10 2 𝑆𝐻 = 12 𝑆𝑀 2 = 4 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝜹𝟐𝑯 ≤ 𝜹𝟐𝑴 𝑯𝟏 ∶ 𝜹𝟐𝑯 > 𝜹𝟐𝑴 ESTADISTICA

Página 26

PRUEBA DE HIPOTESIS

Nivel de significancia: ∝= 0.05 𝑺𝟐

Estadígrafo de prueba: 𝐹𝑐 = 𝑺𝟐𝑯 = 𝑴

𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟔

=𝟗

Para: ∝= 0.05 𝐹∝ (𝑛𝐻 − 1; 𝑛𝑀 − 1) = 𝐹0.05 (10; 12) = 2.7533 𝐹

Región critica: 𝐶 = {𝐹𝑐 > 𝐹∝ (𝑛𝐴 − 1; 𝑛𝐵 − 1)} 𝑐

Dado que 𝑭𝒄 = 𝟗 > 𝟐. 𝟕𝟓𝟑𝟑 , se rechaza 𝑯𝟎 , es decir la población representada por los tiempos de reacción de los hombres es más variable que la representada por las mujeres. EJERCICIO 36. Una empresa ganadera desea comprar dos marcas de alimentos: A y B, y decide experimentar con ellos antes de realizar la compra definitiva. El alimento A fue proporcionado a 10 animales seleccionado aleatoriamente, mientras que el alimento B a 6 animales obteniéndose los siguientes resultados de incrementos de pesos:

a) Probar si existe diferencia significativa entre los incrementos medios de pesos producidos por los alimentos a un nivel de  = 0.02 Solución: Se hace uso de la siguiente fórmula y el siguiente gráfico:

t

xy

s12 s 22  m n

Hipótesis: Ho:  A = B H1:  A K B : 0.02 XA = 4, SA² = 6.6 XB = 5, SB² = 6.4 gl = 11 aprox. To = 2.718 T = - 0.761,

ESTADISTICA

-2.718<-0.761<2.718

Página 27

PRUEBA DE HIPOTESIS

Observando en el grafico T se encuentra en la zona de aceptación, por lo que se acepta Ho y se rechaza H1, de esta manera no hay una diferencia significativa entre los pesos de los alimentos. EJERCICIO 37. Midiendo muestras de fibras de nylon tomadas de dos máquinas de hilar se encontró que 8 de la primera máquina tenía una media en diners de 9.67 con una desviación estándar de 1.81 diners, mientras que 10 de la segunda máquina tiene una media de 7.43 diners y una desviación estándar de 1.48 diners. a) ¿Podría usted afirmar a un nivel de 5% de que la media de hilado de la primera máquina es mayor en 1.5 diners que de la segunda máquina?

Solución: Hipótesis: Ho: u1 – u2 < 1.5 H1: u1 – u2 > 1.5 : 0.05 X1 = 9.67 S1 = 1.81 X2 = 7.43 S2 = 1.48 gl = 14 aprox. To = 2.145 T = 0.933 0.933 < 2.145 Se acepta Ho y se rechaza H1, por lo cual se concluye que la primera maquina no es mayor en 1.5 diners EJERCICIO 38. En un estudio sobre la presión arterial, se consideran las presiones sistólicas de un grupo de niños con uno de sus padres hipertensos y otro grupo de niños cuyos padres tienen presión normal. Los datos han sido los siguientes: X1 = 105.8 X2 = 97.2

S1² = 50.51 S2² = 50.41

n1 = 10 n2 = 9

Se quiere comprobar estadísticamente, si el tener progenitores hipertensos influye en la presión sistólica. Use  = 0,10 Solución: Hipótesis: Ho: u1 < u2 H1: u1 > u2  = 0.10 gl = 17 aprox. To = 1.74 T = 2.638 2.638 > 1.74 Se rechaza Ho y se acepta H1 luego el tener progenitores hipertensos si influye en la presión sistólica del individuo.

ESTADISTICA

Página 28

PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 40. Una empresa desea invertir parte de sus utilidades en la compra de Bonos. El gerente financiero de la empresa afirma que la cotización promedio de los Bonos de Desarrollo es mayor que la de los Bonos tipo C de Cofide clase 12va. Recomendando invertir en los Bonos de Desarrollo. Se toma una m.a. de la cotización promedio de los bonos en 10 meses consecutivos, obteniéndose los siguientes resultados Bonos de Desarrollo

Bonos Tipo C

104

71

112.3

72.6

121

71.8

120.1

72.6

119

71.2

123.6

72.5

128

67.8

131.4

67.2

132.8

66.5

133.6

65

¿Existe alguna diferencia significativa en las cotizaciones promedio? ¿Qué alternativa de inversión decide tomar la empresa? Solución: Xd = 122.58 Xc = 69.82

Sd² = 89.61 Sc² = 8.34

nd = 10 nc = 10

Hipótesis: Ho: ud = uc H1: ud K uc  = 0.05 gl = 11 To = 2.201 T = 16.857 Se rechaza Ho y se acepta H1, por lo tanto si existe una diferencia significativa en las cotizaciones promedio, la empresa debería aceptar la propuesta del gerente en invertir en los bonos de desarrollo. ESTADISTICA

Página 29

PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 41. Se mide la humedad de cierto producto químico enviado por dos proveedores. Del primer proveedor se miden 41 muestras obteniéndose X1= 9,8%. Y S1²= 10,95; del segundo proveedor se miden 31muestras obteniéndose X2= 8,5% y S2²= 6,60. ¿Se puede afirmar que existe una diferencia de por lo menos 5% de humedad entre el producto enviado por el primer proveedor y el segundo? Solución: Hipótesis: Ho: u1 – u2 = 0.05 H1: u1 – u2 K 0.05  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 0.18 Se acepta Ho y se rechaza H1, no existe una diferencia entre el producto enviado por el primer proveedor y el segundo EJERCICIO 42. Se desea comparar dos tipos de ampolletas que difieran en el material de sus filamentos. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tamaño 49 para el material 1 y 60 para el material 2 y se mide el tiempo de duración de cada ampolleta. Supongamos que el tiempo de duración del material 1 tiene distribución exponencial con parámetro Material

Tamaño de la muestra

Promedio

Varianza

1

49

10

120

2

60

15

240

¿Puede concluirse que el material 2 es mejor que el1? Solución: Hipótesis: Ho: u2 < u1 H1: u2 > u1  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 1.968 1.968> 1.96 Se rechaza Ho y se acepta H1 luego se concluye que el material 2 es mejor que el 1 EJERCICIO 43. Se realiza un estudio para determinar si la dieta alimenticia afecta la producción en vacas lecheras. Para ello se seleccionan 25 vacas al azar dividiéndolas en dos grupo, el primero con 12, a las cuales se les asigna una dieta con alfalfa deshidratada y las restantes 13 continúan con la dieta estándar. Al cabo de tres semanas se mide la producción de leche obteniéndose (en libras).

ESTADISTICA

Página 30

PRUEBA DE HIPOTESIS

Dieta

N

Media

Desv. Est.

Alfalfa deshidratada

12

42.25

8.740

Estándar

13

45.15

7.998

¿Hay evidencia de que las vacas producen menos leche con la dieta de alfalfa deshidratada que con la estándar? Use =0,10 Solución: Hipótesis: Ho: uA > uE H1: uA < uE  = 0.10 To = 1.717 T = -0.86 -0.86>-1.717 Se acepta Ho y se rechaza H1 luego se concluye que las vacas no producen menos leche con la dieta alfalfa deshidratada EJERCICIO 44. Suponga que la SUNAT está contemplando implementar un nuevo programa que tendría por objetivo grabar las utilidades de las empresas más grandes, correspondientes a una de las siguientes actividades económicas que se consideran como potencialmente generadoras de ingresos para el Fisco: 1) Comercio al por menor, restaurantes y hoteles, y 2) Transportes, Almacenamiento y Comunicaciones. Para decidir la orientación del nuevo impuesto, se le encomienda a Ud. analizar y sustentar al interior de cuál actividad económica se han generado mayores niveles de eficiencia en términos de utilidad promedio y variabilidad (existen sospechas de que el sector comercio al por menor, restaurantes y hoteles se ha venido comportando en forma menos eficiente que el sector transporte, almacenamiento y comunicaciones). Se cuenta con la información de 5 de las empresas más grandes según actividad económica en 1998 (se espera que el comportamiento de la actividad económica en dicho año se repita para el en curso).

UTILIDAD DE EMPRESAS SEGÚN ACTIVIDAD ECONÓMICA (en miles de soles) COMERCIO AL POR MENOR, RESTAURANTES Y HOTELES 1.- Tiendas Limatambo S.A. -2800.0 2.-Rosales Diesel S.A. 191,2 3.-Cía. Operadora de Grifos S.A. 266.3 4.- Productores del Norte 2780.0 5.- J.B. Alhajas S.A. 16,0

ESTADISTICA

Página 31

PRUEBA DE HIPOTESIS

TRANSPORTE, ALMACENAMIENTO Y COMUNICACIONES 1.-Transerv S.A. 1400,0 2.- Naviera Humbolt S.A. 1508,0 3.- Cía. Peruana de Teléfonos S.A. 700,0 4.- Consorcio Naviero Peruano S.A. -2100,0 5.- Iberia Línea Aérea de España -1862,2 ¿Qué diría usted a la SUNAT sobre la eficiencia de dichas actividades económicas en términos de utilidad promedio y variabilidad?. ¿Cuál sería su recomendación? R. El comercio al por menor, restaurante y hoteles es más suficiente en términos de utilidad promedio y variabilidad que el sector transporte, almacenamiento y comunicaciones EJERCICIO 45. Un empresario está interesado en lanzar un nuevo producto al mercado, pero está indeciso respecto al sector al cual se dirigirá. Su asesor le indicó que la variable decisiva para la toma de decisión es el ingreso familiar y por ende sugirió que el producto sea dirigido al sector A, puesto que el ingreso promedio del mismo, excede al de B por lo menos en US$ 1500 El empresario ordenó a una Cía. especializada en estudios de mercado, la ejecución de un estudio de mercado en cada sector, del cual se supo que los ingresos promedios eran de US$ 15000 y $ 14600; respectivamente, con desviaciones iguales a US$ 1800 en el caso de A y US$ 2400 para B, siendo los tamaños muéstrales considerados de 15 y 10 familias en cada sector, respectivamente. ¿Cree usted, que los datos presentados le dan la razón al asesor del empresario?

X A  15000

 A  1800

X B  14600

n A  15

 B  2400 n B  10

H 0 : X A  X B  1500 H 1 : X A  X B  1500

TC 

( X A  X B )  do 1 1 sp  n A nB

sp 2 

(n A  1) A2  (n B  1) B2 (n A  n B  2)

Reemplazando valores y haciendo los cálculos respectivos

sp 2  4226086.957 sp  2055.7449 TC 

(15000  14600)  1500  1100   1.3108 2055.4749(0.4082) 1 1 2055.4749  15 10

t (n A  nB  2)  t 0.05 (23)  1.714

por tanto los datos presentados no darán razón al

asesor Tc = -1,3108 ESTADISTICA

Página 32

PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 46 Un grupo de economistas, en un estudio especializado, llegan a la siguiente conclusión: "En el Perú no se ha logrado alcanzar un considerable saldo positivo en la balanza comercial ya que históricamente el saldo promedio de la Balanza Comercial ha sido como máximo 38,58 millones de dólares". Suponga que se le encomienda a Ud. juzgar la validez o falsedad de dicha conclusión y que cuenta pira ello con información mensual del saldo de la Balanza Comercial FOB correspondiente a 1998 (Período representativo de comportamiento a largo plazo de la variable objeto de estudio) 1998 E Saldo 63. Balanza 10 Comercia l FOB

F 109. 10

M 123. 50

Media 103. = 8333

A 56

M J J A S O 154 133 132.8 157. 76. 8 182..5 9

N D 32. 2 24. 10

Desviación Estándar = 51. 997314

a) ¿Qué diría Ud. acerca de la validez o falsedad de la conclusión a la que se llegó en el estudio especializado al que se hace referencia?

H 0 : u  38.58 H 1 : u  38.58

X  u 0 103.8333  38.58   4.3472 S 51.997314 n 12 t (n  1)  t 0.05 (11)  1.976

TC 

Por tanto se rechaza H 0 es decir la conclusión a la que llegó el estudio es falsa b) Determine, a nivel teórico, los errores tipo I y IIError tipo I: EL saldo promedio de la balanza comercial es mayor que 38.58 Error tipo II: EL saldo promedio de la balanza comercial es como máximo 38.58 c) Calcule la probabilidad de que la conclusión a la que se llegó en el estudio especializado sea falsa, considerando un saldo promedio de la Balanza Comercial en el Largo Plazo igual a 100 millones de dólares. Región de la prueba

C  {X / X  u0 



t } n 51.997314 X  38.58  12 X  65.5385 P[ H1 / u  100 | P[ X  65.5385 | u  100]]

ESTADISTICA

Página 33

PRUEBA DE HIPOTESIS

P[

X  100

 n



65.5385  100 ] 51.997314 12

P[T  2.29] P[T  2.29]  1  P[T  2.29] P[T  2.29] =1-0.0212 Entonces la probabilidad de que dicha conclusión sea falsa es 0.9788 d) Calcule la probabilidad de que la conclusión a la que se llegó en el estudio especializado sea verdadera, considerando un saldo promedio de la Balanza Comercial en el Largo Plazo igual a 100 millones de dólares Esta parte se calculará de forma análoga pues las condiciones son las mismas, se puede notar que esta pregunta es el complemento de la anterior, por tanto la probabilidad de que la conclusión del estudio sea verdadera será 0.0212

e) Calcule la probabilidad de que la conclusión a la que se llegó en el estudio especializado sea verdadera cuando el saldo de la Balanza Comercial haya sido igual a 85 millones de dólares.

C  {X / X  u0 



t } n 51.997314 X  85  12 X  100.0103 P[ H1 / u  103.8333 | P[ X  133.4937 | u  103.8333]] X  103.8333 100.0103  103.8333 P[  ]  51.997314 n 12

P[T  2.2547] P[T  1.2320647] Entonces la probabilidad de que dicha conclusión sea verdadera será 0,11145 EJERCICIO 47. Una Cía. está probando dos nuevos envases para su té filtrante. Se eligieron 30 tiendas de abarrotes; en 15 de ellas se colocó un tipo de envase y en las 15 restantes otro. El volumen mensual de ventas de los envases nuevos se expresó en forma de porcentaje de las ventas mensuales de los meses anteriores. Se llevó a cabo un registro para cada tienda. Para el envase A, el aumento del promedio de ventas fue de 8% con una desviación estándar de 24%. Para el envase B. el aumento del promedio de ventas fue de 3% con una desviación estándar de 20%. a. ¿Existe prueba significativa de que el incremento en el promedio de ventas del envase A sea mayor de 2%?

ESTADISTICA

Página 34

PRUEBA DE HIPOTESIS

X A  8% S A  24%

X B  3%

n A  15

S B  20% n B  15

H 0 : u A  2% H 1 : u A  2%

TC 

X A  uA 8  2   0.96825 S 24 n 15

t (n A  1)  t 0.05 (14)  1.761 TC  t b.

No existe prueba significativa

¿Dan estos datos prueba suficiente de que la diferencia entre el incremento en el promedio de ventas del envase A y de B sea mayor del 3%?

H 0 : u A  u B  3% H 1 : u A  u B  3% TC 

( X A  X B )  do



2 A

nA





2 B

nB



(8  3)  3 24 2 20 2  15 15

 0.24794

Z (n A  nB  2)  Z 0.05 (28)  1.701 Estos datos no son prueba suficiente para afirmar dicha conclusión

EJERCICIO 48. Un inversionista extranjero desea invertir en nuestro país, incentivado por las perspectivas favorables de la economía y la elevada rentabilidad ofrecida por diversas modalidades de inversión. Este inversionista contrata a una empresa consultora para que evalúe las diversas modalidades de inversión existentes, presentándole únicamente las dos mejores alternativas que ofrecen una rentabilidad inedia mensual mayor a la mejor alternativa dejada de lado por el inversionista en su país de origen La Cía. consultora presenta al inversionista la siguiente información sobre la rentabilidad media mensual y desviación estándar correspondiente a los últimos 13 meses para ambas alternativas de inversión (periodo representativo del mediano plazo): 𝑿𝑨 = 𝟑. 𝟗𝟎% , 𝑿𝑩 = 𝟑. 𝟒𝟎% 𝑺𝑨 = 𝟎. 𝟓𝟓% , 𝑺𝑨 = 𝟎. 𝟔𝟎% Con la información presentada, responda usted lo siguiente:

ESTADISTICA

Página 35

PRUEBA DE HIPOTESIS

a) ¿Cuál de las dos alternativas de inversión calificaría usted como la más eficiente en el mediano plazo, en términos de variabilidad y rentabilidad media en comparación con lo que ha dejado en su país de origen? Para la variabilidad

H 0 :  A2   B2 H 1 :  A2   B2 FC 

S A2 0.55 2   0.8402 S B2 0.60 2

f1 / 2 (n  1)  f 0.975 (11)  2.01 Se acepta H 0 por tanto ambas alternativas califica b) ¿Las mejores alternativas de inversión presentadas, le permitirán al inversionista cumplir con su objetivo de rentabilidad mínima (mejor alternativa dejada de lado en su país de origen o costo de oportunidad)?

H 0 : u A  uB H1 : u A  u B ZC 

gl 

(X A  X B )  0 2 A



2 B

(3.90  3.40)  0 0.55 2 0.60 2  13 13

S S  n A nB

 S A2 S B2      n A nB 

2

2

2

 S A2   S B2       n A    nB  n A  1 nB  1

2

 2.21

 0.55 2 0.60 2     13   13 2

 0.55 2     13   14

2

 0.60 2     13  14

2

 2  25.079

f  ( gl )  f 0.05 (25)  1.78 Se rechaza H 0 La rentabilidad promedio de A es más eficiente que la de B c) Sustente usted la verdad o falsedad de la siguiente afirmación hecha por la Cía. consultora:"En el mediano plazo, la alternativa de inversión B implica un riesgo mínimo debido a que la variabilidad asociada a dicha modalidad de inversión ha sido como máximo igual a 0,45% (menor a la que se registra tradicionalmente en el caso de otras alternativas de inversión de mínimo riesgo)".

H 0 : u A  u B  0.45 H 1 : u A  u  0.45 TC 

( X A  X B )  do



2 A

nA





2 B

nB



(3.90  3.40)  0.45 0.55 2 0.60 2  13 13

 0.2148

Z (n A  nB  2)  Z 0.05 (24)  1.711 Por tanto se acepta

ESTADISTICA

H0

La afirmación es verdadera

Página 36

PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 51. Catalina Oviedo, analista de la compañía petrolera Petro Peni, ha sido asignada para investigar la afirmación de que los distribuidores de Petro Perú cobran más por La gasolina sin plomo que los distribuidores independientes. Catalina teme que si elige dos muestras aleatorias independientes de estaciones de servicio para cada tipo de distribuidor, la variabilidad en el precio debida a la localización geográfica puede ser un factor que altere los resultados del estudio. Para eliminar esta fuente de variabilidad, elige un par de grifos - una de Móvil y una de Petro Peni - con proximidad geográfica. Los resultados del muestreo de Catalina son: REGION

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

PETRO PERÚ

7.05 7.19 7.27 7.19 7.36 6.99 7.09 6.98 6.87 6.79 7.27

MOVIL

6.99 7.09 7.09 7.09 7.18 7.09 7.09 6.89 6.89 6.86 7.19

Con un nivel de significancia de 0,01, ¿cuál deberá ser la conclusión de Catalina? . REGION

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

PETRO PERÚ

7.05

7.19

7.27

7.19

7.36

6.99

7.09

6.98

6.87

6.79

7.27

MOVIL

6.99

7.09

7.09

7.09

7.18

7.09

7.09

6.89

6.89

6.86

7.19

diferencia

0.06

0.10

0.18

0.10

0.18 -0.10 0.00

De donde

0.09 -0.02 -0.07 0.08

D  0.05 y S D  0.0925

H 0 : uD  0 H1 : u A  0

TC 

Para

D  0 0.05  0   1.7928 SD 0.0925 11 n

  0.01

t (n  1)  t 0.01 (10)  2.764 H0 Se acepta

Te = 17928. Petro Perú no cobra más que Móvil

Segundo bloque EJERCICIO 1. Las condiciones de mortalidad de un país es tal que la proporción de nacimientos que sobreviven hasta 60 años es de 0,6. contrastar esa hipótesis al nivel de 5% si 1000 nacimientos muestreados aleatoriamente, se verifico 530 sobrevivientes hasta 60 años.

ESTADISTICA

Página 37

PRUEBA DE HIPOTESIS

SOLUCIÓN: i. Hipótesis: H0 : π =0.6 (sobreviven hasta 60 años) H1 : π ≠ 0.6 ii. El estadígrafo de prueba para n>30 es :

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

n=1000, x=530 𝑝̅ =

Z iii.

0.53  0.6  4.52 0.6(0.4) 1000

𝑥 530 = 𝑛 100

=≫

𝑝̅ = 0.53

Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.96

Respuesta: se rechaza H0

EJERCICIO 2.Un fabricante afirma que al menos 90% del equipo que ha surtido para cierta fabrica cumple con las esopecificaciones.se examina una muestra de 60piezas de equipo y se encuentra que 48 de ellas son defectuosas, puede decirse que los datos proporcionan suficiente evidencia para rechazar la afirmación del fabricante? SOLUCIÓN: Hipótesis: H0 : π ≥0.9 (sobreviven hasta 60 años) H1 : π < 0.9 El estadígrafo de prueba para n>30 es :

ESTADISTICA

Página 38

PRUEBA DE HIPOTESIS

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

n=60 , x=48

𝑝̅ =

Z

𝑥 48 = 𝑛 60

=≫

𝑝̅ = 0.8

pˆ   0

 0 (1   0 )

n 0.8  0.9 Z  2.5 0.8(0.1) 60 i.

Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.96

Respuesta: se rechaza H0

EJERCICIO 3.Con base a la siguiente tabla. No fuman cigarros s/filtro cigarros c/filtro total Hombres 12 64 14 Mujeres 8 26 16 total 20 90 30

90 50 140

a) contrastar la hipótesis de que la proporción de fumantes es 80%. Use α=0.04 SOLUCIÓN: ESTADISTICA

Página 39

PRUEBA DE HIPOTESIS

i.

Hipótesis H0 : π = 0.8 H1 : π ≠ 0.8 ii. Para la prueba para n>30 es: 𝑛 = 140 𝑥 = 110 𝑥

110 140

𝑝̅ = 𝑛 =

=≫

pˆ   0

Z

 0 (1   0 ) n

ii.

𝑝̅ = 0.786

=

0.786  0.8 =-0.42 0.8(1  0.8) 140

Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.96+1)/2=0.98 Z0=2.06

R. se acepta H0 z0 =-0.42 b) contrastar la hipótesis de que la proporción de los que fuman cigarros con filtro es 70% use a=0.02 SOLUCIÓN: i) Hipótesis H0 : π = 0.7 (cigarrillos c/filtro) H1 : π ≠ 0.7 (cigarrillos c/filtro) ii) Para la prueba para n>30 es: 𝑛 = 140 𝑥 = 90 𝑥

𝑝̅ = 𝑛 =

Z

90 140

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iii. ESTADISTICA

=≫

=

𝑝̅ = 0.643

0.643  0.7 =-1.472 0.7(1  0.7) 140

Hallamos Z0, α=0.02γ=0.98 Página 40

PRUEBA DE HIPOTESIS

P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.98+1)/2=0.99 Z0=2.33

Rpta: se acepta H0

EJERCICIO 4. Se lanza una moneda 100 veces y se obtiene 60 caras. Contrastar al nivel de 5% la hipótesis de que la moneda está cargada. SOLUCIÓN: i) Hipótesis H0 : π = 0.7 H1 : π ≠ 0.7 ii)

Para la prueba para n>30 es: 𝑛 = 100 𝑥 = 60 𝑥 60 𝑝̅ = = =≫ 𝑛 100

Z

iii)

ESTADISTICA

𝑝̅ = 0.6

0 .6  0 .5 pˆ   = =2 0.5(1  0.5)  0 (1   0 ) n 100

La región critica para α=0.05, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0=1.96

Página 41

PRUEBA DE HIPOTESIS

Rpta: se acepta H0

EJERCICIO 5. Los productos de un determinado programa de televisión pretenden modificar si, por lo menos, un cuarto de los que tienen televisor no ven el programa regularmente. Una investigación encomendada a una empresa especializada mostro que de 400 familias entrevistadas, 80 ven el programa regularmente. En base a estos datos. ¿Cuál debe ser la decisión de los productores? SOLUCIÓN: i) Hipótesis

ii)

𝐻0 : 𝑃 ≥ 0.25 Para la prueba para n>30 es:

𝑣𝑠

𝐻0 : 𝑃 < 0.25

𝑃0 = 0.25 𝑛 = 800 𝑥 = 40 𝑥 𝑃̂ = = 0.2 𝑛 ∝= 0.01

𝑍𝑐 =

iii)

𝑃̂ − 𝑃0 √𝑃0 (1 − 𝑃0 ) 𝑛 𝑍𝑐 = −3.265 La región critica para α=0.01, γ=0.99

𝑃(𝑧0 < 𝑇) =

1 + 0.99 = 995 2

→

𝑧0 = 2.575

∴ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻0 , 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 Rpta: se rechaza H0,se debe modificar el programa . EJERCICIO 6. Un fabricante de lavadoras afirma que solo el 5% de todas las unidades que venden sufren una falla durante el primer año de operación normal. Una organización de consumidores ha pedido a 20 familias de igual número de miembros que han adquirido estas lavadoras. Que reporten cualquier mal funcionamientos durante el primer año. Al final de este, solo tres familias reportaron mal funcionamiento. Si la organización de consumidores cree que la proporción de lavadoras que sufrirán alguna falla es más alta que el valor ESTADISTICA

Página 42

PRUEBA DE HIPOTESIS

afirmado por el fabricante, determine si se puede rechazar la afirmación del fabricante al nivel de 10%. SOLUCIÓN: i)

ii)

Hipótesis H0 : p = 0.7 H1 : p ≠ 0.7 El estadígrafo de prueba para n≤30: 𝑛 = 20 𝑥=3 𝑝̅ =

T

iii)

𝑥 3 = 𝑛 20

=≫

𝑝̅ = 0.15

pˆ  p 0.15  0.05 = =2.053 p(1  p) 0.05(1  0.05) n 140

La región critica para α=0.1, γ=0.9 y gl=20-1=19

𝑃(𝑡 < 𝑡0 ) =

1+𝛾 1 + 0.9 = = 0.95 2 2

→

𝑡0 = 1.729

Rpta: se rechaza el H0 EJERCICIO 11. Una compañía productora de combustibles asegura que una quinta parte de los hogares en una cierta ciudad se calientan con petróleo. a) ¿hay alguna razón para dudar de esta afirmación si, en una m.a. de 1000 hogares de esta ciudad, se encuentra que 236 se calientan son petróleo? Use ∝= 0.1% 𝑃0 = 0.2 𝑛 = 1000 𝑥 = 236 𝑃̂ =

𝑥 = 0.236 𝑛

∝= 0.001 ESTADISTICA

Página 43

PRUEBA DE HIPOTESIS

𝐻0 : 𝑃 = 0.25 𝑍𝑐 =

𝑣𝑠

𝐻0 : 𝑃 ≠ 0.25

𝑃̂ − 𝑃0 √𝑃0 (1 − 𝑃0 ) 𝑛

𝑍𝑐 = 2.846 𝑃(𝑍0 < 𝑍) =

1+𝛾 2

→

𝑍0 = 3.090

∴ 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻0 , 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑢𝑑𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 EJERCICIO 13. El responsable de la campaña política del candidato A piensa en el ambiente de las últimas semanas previas a las elecciones. El piensa que su candidato se encuentra en igual posición que su oponente, el candidato B. pero han ocurrido algunos reveses en los años anteriores. El responsable lleva a cabo una encuesta en 1500 ciudadanos. Si de los 1500, 720 indican una preferencia por el candidato A. ¿existe alguna razón para creer que el candidato A se encuentra en desventaja con relación al candidato B? Solución:

pˆ  i.

720  0.48 1500

Hipótesis: H0 : π = 0.50 (preferencia por el candidato A) H1 : π ≠ 0.50 (no hay preferencia por el candidato A)

ii. iii.

Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n>30 es : n=720

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iv.

=

0.48  0.50 =-0.011 50(1  50) 720

Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960

ESTADISTICA

Página 44

PRUEBA DE HIPOTESIS R.A R.R

R.R

-1.960

1.960 Z=-0.011

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, sigue habiendo preferencia por el candidato A. EJERCICIO 14. Se cree que al menos el 65% de los habitantes de cierta ciudad favorecen un nuevo provecto. ¿Qué conclusión se puede sacar si sólo 120 de una muestra de 200 residentes apoyan dicho proyecto? Use a =0,03 R. No se rechaza H0 : ZC =-1.4825 Solución:

pˆ 

120  0.6 200

iv.

v. vi.

Hipótesis: H0 : π ≥0.65 (la ciudad favorecen un nuevo provecto) H1 : π < 0.65 (la ciudad no favorecen un nuevo provecto)

Nivel de significancia α = 0.03 El estadígrafo de prueba para n>30 es : n=120

Z

pˆ   0

 0 (1   0 )

=

n vii.

0.6  0.65 =-1.36 0.65(0.25) 120

Hallamos Z0, γ=0.97 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.97+1)/2=0.985 Z0= 2.17 R.A

R.R

-2.17

ESTADISTICA

Z=-1.36

Página 45

PRUEBA DE HIPOTESIS

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, la ciudad favorecen un nuevo provecto. EJERCICIO 15. Un fabricante afirma que al menos el 25% del público prefiere su producto. Se toma una muestra de 200 personas para verificar su afirmación. Con α=0.05. ¿Qué tan pequeño debe ser el porcentaje en la muestra para poder refutar su afirmación de manera correcta? R. Debe ser menor que 0,19%. Solución: x pˆ  200 i. Hipótesis: H0 : π ≥0.25 (prefiere el producto) H1 : π < 0.25 (no prefiere el producto) ii. iii.

Nivel de significancia α = 0.05 Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.96

R.A R.R

-1.96 Z > -1.960

iv.

Para poder rechazar ,H0 debe ser mayor que -1.960, asumimos Z=-1.960 : n=200

 1.960 

x  0.25 x 200 , desarrollando la ecuación obtenemos que =0.1942 200 0.25(1  0.25) 200

Conclusión: Para poder refutar H0 debe ser menor a 0.1942, por lo tanto a un nivel de 5%, el porcentaje en la muestra=19%. EJERCICIO 16. El propietario de una firma de mayoreo quería saber la proporción de cuentas por cobrar con más de 60 días de vencidas. El propietario estima que a lo más 20% de las cuentas por cobrar tienen más de 60 días de vencidas. Una muestra aleatoria de 150 cuentas por cobrar revela que 36 tenían más de 60 días de vencidas. Al nivel de 5% ¿es válida la estimación del propietario? Solución:

ESTADISTICA

Página 46

PRUEBA DE HIPOTESIS

36  0.24 150 i. Hipótesis: H0 : π ≤0.20 (las cuentas por cobrar tienen más de 60 días de vencidas) H1 : π > 0.20 (las cuentas por cobrar no tienen más de 60 días de vencidas)

pˆ 

ii. iii.

Nivel de significancia α = 0.05 El estadígrafo de prueba para n>30 es : n=150

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iv.

=

0.24  0.20 =1.22 0.20(0.80) 150

Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 R.A

R.R

1.960 Z=1.22

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, las cuentas por cobrar tienen más de 60 días de vencidas.

EJERCICIO 17. Los "ratings" del público televidente han vuelto a los productos y patrocinadores muy sensibles a las afirmaciones acerca del auditorio que ve mi programa dado. Una estación de televisión afirma que su noticiero de las 10 de la noche es visto por el 50% del auditorio en su área de cobertura. Una empresa que desea comprar tiempo de publicidad durante el noticiero desea validar la afirmación de la transmisora. Para tal fin toma una m.a. de 100 televidentes potenciales y 38 indican que ven el noticiero de las 10 de la noche. ¿Es esta evidencia suficiente de que la afirmación de la estación transmisora es falsa? Use α = 0.01 R. Si. YC =-2.4 Solución: 38 pˆ   0.38 100 i. Hipótesis: H0 : π =0.50 (el noticiero de las 10 de la noche es visto por el 50% del auditorio)

ESTADISTICA

Página 47

PRUEBA DE HIPOTESIS

H1 : π ≠ 0.50 (noticiero de las 10 de la noche no es visto por el 50% del auditorio) ii. iii.

Nivel de significancia α = 0.01 El estadígrafo de prueba para n>30 es : n=100

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iv.

=

0.38  0.50 =-2.4 0.50(0.50) 100

Hallamos Z0, γ=0.99 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.576

R.A R.R

R.R

-2.56

-2.56 Z=-2.4

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de aceptación, aceptamos H0, a un nivel de 5%, el noticiero de las 10 de la noche es visto por el 50% del auditorio. EJERCICIO 18. El fabricante afirma que la vida media de cierto tubo electrónico es de 600 horas. Se extrae una m.a. de 100 de un embarque de esos tubos y se encuentra que sólo 23 duraron más de 600 horas. ¿Cree usted en la aseveración del fabricante? Solución:

23  0.23 100 i. Hipótesis: (asumimos que la mitad tiene un promedio de 600 horas de vida) H0 : π =0.50 (la vida media de los tubos electrónicos es de 600 horas) H1 : π ≠ 0.50 (la vida media de los tubos electrónicos no es de 600 horas)

pˆ 

ii. iii.

ESTADISTICA

Nivel de significancia α = 0.01 El estadígrafo de prueba para n>30 es : n=100

Página 48

PRUEBA DE HIPOTESIS

Z

pˆ   0

 0 (1   0 ) n

iv.

=

0.23  0.50 =-5.4 0.50(0.50) 100

Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960

R.A R.R

R.R

-2.56

-2.56

Z=-5.4

Conclusión: puesto que z se encuentra en la región de rechazo, rechazamos H0, a un de 5%, la vida media de los tubos electrónicos no es de 600 horas

nivel

EJERCICIO 19. El representante de mercadotecnia de una compañía desea determinar la aceptabilidad de un nuevo producto en una comunidad. Si pudiera afirmarse que alrededor del50% de los residentes de la comunidad comprarían el producto, el representante sugeriría a la compañía que lo ponga a la venta en la comunidad. De una muestra de 64 residentes seleccionados al azar en la comunidad, 24 de ellos afirmar que comprarían el producto. ¿Qué conclusión puede usted obtener acerca de la aceptación del producto en esa comunidad? SOLUCIÓN Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑 ≥ 𝟎. 𝟓𝟎 𝑯𝟏 ∶ 𝒑 < 0.50 Proporción muestral: 24 𝑝0 = = 0.375 64 Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐

=

(𝑝̂−𝑝0 ) 𝑝 (1−𝑝0 ) √ 0 𝑛

=

(0.50−0.375) √

0.50(0.50) 64

=

0.125 0.0625

=2

Región critica para ∝= 0.05, 𝑍∝ = 1.645: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 < −1.645} Dado que 𝒁𝒄 = 𝟗 > −1.645 , NO se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, el representante de mercadotecnia debe sugerir a la compañía que ponga en venta en la comunidad el nuevo producto.

ESTADISTICA

Página 49

PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 20. En un estudio reciente que abarco 25 años, se investigo la posible protección que proporciona la ingestión de una forma de vitamina A, llamada caroteno, contra el desarrollo de cáncer pulmonar, se encontró que 500 hombres que habían ingerido una baja cantidad de estas sustancias durante un tiempo, 15 desarrollaron cáncer pulmonar, pero un grupo del mismo tamaño en que el consumo de caroteno era mayor, solo 4 personas desarrollaron cáncer, bajo las suposiciones apropiadas. ¿Puede concluirse que la ingestión de caroteno, reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres? Use α=0.01 SOLUCIÓN 𝑛1 = 𝑛2 = 500 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝟏 ≤ 𝒑𝟐 𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝟏 > 𝒑𝟐 Proporciones muestrales: 15 4 𝑝̂1 = = 0.03 , 𝑝̂2 = = 0.008 500 500 Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 Donde 𝑝̂ =

𝑍𝑐 =

𝑛1 𝑝̂1 +𝑛2 𝑝̂2 𝑛1 +𝑛2

=

(𝑝̂1 −𝑝̂2 )

=

1

500(0.03)+500(0.008)

(0.03 − 0.008) √0.019(0.981)(0.004)

1

√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 ) 1 2 1000

=

= 𝟎. 𝟎𝟏𝟗

0.022 0.008634581

= 2.5479

Región critica para ∝= 0.01, 𝑍∝ = 2.33: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 2.33} Dado que 𝒁𝒄 = 𝟐. 𝟓𝟓𝟔𝟐 > 2.33 , se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, puede concluirse que la ingestión de caroteno, reduce el riesgo de desarrollar cáncer pulmonar en los hombres. EJERCICIO 21. Un líder sindical, piensa que la proporción p1 de obreros a favor de control de precios y salarios es mayor que la proporción p2 de ejecutivos a favor del control. Se toman muestras aleatorias independientes de 200 obreros y 200 ejecutivos y se encuentran 45 obreros y 35 ejecutivos a favor del control. ¿Proporcionara esta evidencia apoyo estadístico a la suposición del líder sindical? SOLUCIÓN 𝑝̂1 = 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟 𝑝̂2 = 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑗𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑎 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟 𝑛1 = 𝑛2 = 200 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝟏 ≤ 𝒑𝟐 𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝟏 > 𝒑𝟐 Proporciones muestrales: 45 35 𝑝̂1 = = 0.225 , 𝑝̂ 2 = = 0.175 200 200

ESTADISTICA

Página 50

PRUEBA DE HIPOTESIS

Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 Donde 𝑝̂ 𝑍𝑐 =

=

𝑛1 𝑝̂1 +𝑛2 𝑝̂2 𝑛1 +𝑛2

(0.225 − 0.175)

=

=

(𝑝̂1 −𝑝̂2 )

=

1

1

√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 ) 1 2 200(0.225)+200(0.175) 400

= 0.2

0.05 = 𝟏. 𝟐𝟓 0.04

√0.2(0.8)(0.01) Región critica para ∝= 0.05, 𝑍∝ = 1.645: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 1.645} Dado que 𝒁𝒄 = 𝟏. 𝟐𝟓 < 1.645 , se acepta 𝑯𝟎 , es decir, la evidencia no proporciona apoyo estadístico a la suposición del líder sindical, y por ende la proporción de obreros a favor del control de precios y salarios no es mayor que la proporción de ejecutivos a favor del control. EJERCICIO 22. Un economista al servicio de una agencia estatal desea determinar si la frecuencia de desempleo en las grandes áreas urbanas del estado es diferente. Con base en muestras aleatorias de cada ciudad, cada una de 500 personas, el economista encuentra 35 personas en un área y 25 en la otra. Bajo las suposiciones adecuadas y con nivel de 5% ¿existe alguna razón para creer que las frecuencias de desempleo en las dos áreas son diferentes? SOLUCIÓN 𝑛1 = 𝑛2 = 500 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝟏 ≠ 𝒑𝟐 Proporciones muestrales: 35 25 𝑝̂1 = = 0.07 , 𝑝̂2 = = 0.05 500 500 Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 Donde 𝑝̂ 𝑍𝑐 =

=

𝑛1 𝑝̂1 +𝑛2 𝑝̂2 𝑛1 +𝑛2

=

(0.225 − 0.175) √0.06(0.94)(0.004)

=

(𝑝̂1 −𝑝̂2 ) 1

1

√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 ) 1 2 500(0.07)+500(0.05)

=

1000

= 0.06

0.02 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟏𝟓 0.01501998

Región critica para ∝= 0.05, ,

∝ 2

= 0.025 𝑍

∝/2

= 1.96

𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 < −1.645 𝑜 𝑍𝑐 > 1.645} Dado que 𝒁𝒄 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟏𝟓 > −𝟏. 𝟗𝟔 𝒚 𝒁𝒄 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟏𝟓 < 1.96 , se acepta 𝑯𝟎 , es decir, no existe razón alguna para creer que las frecuencias de desempleo en las dos áreas son diferentes. EJERCICIO 24 Un usuario de grandes cantidades de componentes eléctricos adquieren estos principalmente de los proveedores a y b debido a una mejor estructura con precios, el usuario hará negocios únicamente con el proveedor b si la proporción de artículos defectuosos para A y B es la misma.de los grandes lotes el usuario selecciona al azar 150 de A y 120 unidades de B, inspecciona las unidades y encuentra 9 y 9 unidades defectuosas ESTADISTICA

Página 51

PRUEBA DE HIPOTESIS

respectivamente. Bajo las suposiciones adecuadas y con base en esta información ¿Existe alguna para no comprar en forma única las componentes del proveedor B? use α=0.02 SOLUCIÓN 𝑛1 = 150 , 𝑛2 = 120 𝑝̂1 = 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑒𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐴 𝑝̂2 = 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑒𝑒𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐵 Proporciones muestrales: Proveedores A: 𝑝̂1 = Proveedores B: 𝑝̂2 =

9 150 9 120

= 0.06 = 0.075

Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝟏 ≠ 𝒑𝟐 Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐 Donde 𝑝̂ = 𝑍𝑐 =

𝑛1 𝑝̂1 +𝑛2 𝑝̂2 𝑛1 +𝑛2

=

(𝑝̂1 −𝑝̂2 )

=

1

150(0.06)+120(0.075) 270

(0.06 − 0.075) √0.06667(0.93333)(0.015)

Región critica para ∝= 0.02, ,

1

√𝑝̂(1−𝑝̂)(𝑛 +𝑛 ) 1 2

∝ 2

=

= 𝟎. 𝟎𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕

−0.015 = −𝟎. 𝟒𝟖𝟗𝟖𝟓 0.030621

= 0.01 𝑍

∝/2

= 2.33

𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 < −2.33 𝑜 𝑍𝑐 > 2.33} Dado que 𝒁𝒄 = −𝟎. 𝟒𝟖𝟗𝟖𝟓 > −1.96 𝑦 𝒁𝒄 = −𝟎. 𝟒𝟖𝟗𝟖𝟓 < 1.96 , se acepta 𝑯𝟎 , es decir, no existe razón alguna para no comprar en forma única las componentes del proveedor B. EJERCICIO 25. Un sociólogo cree que la proporción de hombres que pertenecen a un grupo socioeconómico determinado (grupo A) y que ven regularmente lucha en televisión, supera en mucho a un segundo grupo de hombres (grupo B) que también ven lucha. Muestras aleatorias simples de los grupos arrojaron los siguientes resultados.

Grupo A: n = 150 Nº hombres: 98 Grupo B: n = 200 Nº hombres: 80 ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para apoyar la tesis del sociólogo? Solución: Hipótesis: Ho: uA < uB H1: uA > uB pA = 0.65 pB = 0.4  = 0.05 Zo = 1.96 ESTADISTICA

qA = 0.35 qB = 0.6

Página 52

PRUEBA DE HIPOTESIS

Z = 4 4 > 1.96 Se rechaza Ho y se acepta H1 luego se concluye que los datos si tienen evidencia suficiente que apoyan la tesis del sociólogo EJERCICIO 26. Dos grupos de 50 pacientes cada uno, tomaron parte en un experimento en el cual un grupo recibió píldoras que contenían una droga antialérgica, y el otro grupo recibió píldoras que no contienen la droga. En el grupo que recibió la droga, 15 pacientes mostraron síntomas alérgicos, mientras que, en el grupo que recibió la píldora sin droga, hubo 24 con ese síntoma. ¿Es esto evidencia suficiente para concluir que la droga es eficaz para reducir los síntomas? Solución: Hipótesis: Ho: u1 < u2 H1: u1 > u2 P1 = 0.3 P2 = 0.48  = 0.05 Zo = 1.96 Z = -1.894 Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la droga no es eficaz para reducir los síntomas. EJERCICIO 27. Se va a efectuar una encuesta sobre habitación en San Isidro y en Miraflores, para determinar la proporción de unidades habitacionales ocupadas por familiar de ingresos altos. Una muestra aleatoria de 600 unidades habitacionales en San Isidro reveló 150 unidades ocupadas por familias de ingresos altos. Una muestra de 300 unidades en Miraflores reveló 120 unidades ocupadas por familias de ingresos altos. ¿Existe alguna diferencia entre San Isidro y Miraflores en la proporción de unidades habitacionales ocupadas por familias de ingresos altos? Solución: Hipótesis: Ho: uS = uM H1: uS K uM PS = 0.25 PM = 0.4  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 4.5 Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que si existe una diferencia de unidades habitaciones entre San Isidro y Miraflores

ESTADISTICA

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PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 28. Una empresa que se especializa en publicidad por correo ideó un cuestionario nuevo que, en su conjunto, va a obtener más respuestas que el cuestionario normal. El nuevo cuestionario se envía a una muestra de 200 posibles encuestados. El número de respuestas es 120. Cuando se utilizó el cuestionario normal con 250 posibles encuestado, contestaron 115. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que el nuevo cuestionario es mejor que el usual? Solución: Hipótesis: Ho: uNu < uNo H1: uNu > uNo PNu = 0.6 PNo = 0.46  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 2.95 Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que el nuevo cuestionario será mejor que el usual. EJERCICIO 29. Una institución bancaria contrató los servicios de una compañía de publicidad para averiguar cuál de sus dos modalidades de ahorro A ó B prefiere el público no bancario. En una encuesta se encuentra que 56 de 200 ahorristas encuestados prefieren la modalidad de ahorro A y 29 de 150 ahorristas prefieren la modalidad B. ¿Se puede concluir que la modalidad de ahorro A tiene mayor aceptación que la modalidad B? Use  = 6% Solución: Hipótesis: Ho: uA < uB H1: uA > uB PA = 0.28 PB = 0.19 P (estadígrafo) =(0.28+0.19)/350 = 0.24  = 0.06 Zo = 1.89 Trabajando con el estadígrafo tenemos Z = 1.52 Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la modalidad A no tiene mayor aceptación que la modalidad B

ESTADISTICA

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PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 30. Un grupo de investigadores del Ministerio de Educación afirman que en Lima, la proporción de hombres que recibieron educación primaria es igual al de las mujeres. Para probar su afirmación los investigadores tomaron una muestra de 1722 hombres, de los cuales 411 recibieron educación primaria. En base a esos datos. ¿Se puede decir que los investigadores tenían la razón? Solución: Hipótesis: Ho: uh = um H1: uh K um Ph = 0.24 Pm = 0.25 P (estadígrafo) = 0.244  = 0.05 Zo = 1.96 Z = 0.667 Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que los investigadores tenian la razón EJERCICIO 31. Cierto fabricante pretende que no más del 5% de sus artículos son defectuosos. El jefe de departamento de producción decide ejecutar un proceso de control sobre los artículos fabricados, para lo cual se seleccionan dos muestras aleatorias de 200 artículos cada una con un intervalo intermedio de un mes en los envíos. Y se inspeccionan cuidadosamente los artículos. La muestra del primer surtido contenía 12 artículos defectuosos y la segunda 180 artículos buenos. (Q= 1%) a) ¿Cree usted que la afirmación hecha por el fabricante es verdadera luego de examinar la primera muestra? Hipótesis: Ho: u1 – u2 < 0.05 H1: u1 - u2 > 0.05 P1 = 0.06 P2 = 0.9  = 0.01 Zo = 2.576 Z = -32.962 Se acepta Ho y se rechaza H1, por la cual se concluye que la afirmación hecha por el fabricante si es verdadera b) ¿Existieron diferencias significativas en la proporción de artículos defectuosos al comparar los resultados de ambas muestras? Hipótesis: Ho: u1 = u2 H1: u1 K u2 P1 = 0.06 P2 = 0.9  = 0.01 ESTADISTICA

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Zo = 2.576 Z = 36 Se rechaza Ho y se acepta H1, por la cual se concluye que si hay diferencias significativas en ambas proporciones. EJERCICIO 32 En el pasado, el 10% de las solicitudes para cierta caridad, enviadas por correo, dieron como resultado ayuda financiera. Se afirma que debido a la buena situación económica actual, más del 10% de las solicitudes de este año darán como resultado ayuda monetaria. Para probar esta afirmación, se selecciona aleatoriamente a 100 personas y se les hace una solicitud, 15 responden donativos. ¿Puede llegarse a la conclusión de que las personas se han vuelto significativamente mas generosos con ∝= 𝟎. 𝟎𝟐? SOLUCIÓN Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑 ≤ 𝟎. 𝟏𝟎 𝑯𝟏 ∶ 𝒑 > 0. 𝟏𝟎 Proporción muestral: 15 𝑝0 = = 0.15 100 Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐

=

(𝑝̂−𝑝0 ) 𝑝 (1−𝑝0 ) √ 0 𝑛

=

(0.10−0.15) 0.10(0.90) √ 100

=

−0.05 0.094868

= −0.527046

Región critica para ∝= 0.02, 𝑍∝ = 2.05: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 2.05} Dado que 𝒁𝒄 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟕𝟎 < 2.05 , se acepta 𝑯𝟎 , es decir, no puede concluirse que las personas se han vuelto significativamente más generosas. EJERCICIO 33. Se ha insinuado que los profesores se han vuelto más despreocupados al calificar a sus estudiantes. En el pasado. 80% de todos los estudiantes universitarios de primer año obtenían 14 ó calificaciones superiores. Una encuesta de la clase más reciente de estudiantes universitarios de primer año muestra que 8100 de 10000 estudiantes universitarios de primer año de la muestra recibieron calificaciones de 14 o mayores. ¿Es verdadero de que los profesores de han vuelto más despreocupados? Use   0.01. SOLUCIÓN Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑 ≥ 𝟎. 𝟖𝟎 𝑯𝟏 ∶ 𝒑 < 0.80 Proporción muestral: 8100 𝑝0 = = 0.81 10000 Estadígrafo de la prueba: 𝑍𝑐

=

(𝑝̂−𝑝0 ) 𝑝 (1−𝑝0 ) √ 0 𝑛

=

(0.80−0.81) √

0.80(0.20) 10000

=

−0.01 0.004

= −2.5

Región critica para ∝= 0.01, 𝑍∝ = 2.33: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 2.33} Dado que 𝒁𝒄 = −𝟐. 𝟓 < 𝟐. 𝟑𝟑 , se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, los profesores se han vuelto mas despreocupados.

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PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 34. Con el fin de decidir cuál de los productos A ó B se lanzará al mercado, el departamento de marketing de una empresa realiza una promoción con el fin de dar a conocer ambos productos. El jefe de departamento, conoce que la inversión en el producto A es mayor que en la de B y también tiene información que la utilidad de salir el producto A a la venta será mayor que la de B, por lo cual, el jefe de departamento preferiría que sea el producto A que salga al mercado. Para tal fin, establece la siguiente regla: "Si la diferencia entre el porcentaje de ventas potenciales de A y de B derivadas de la promoción hecha es menor o igual a 3%. Entonces el jefe del departamento de marketing, objetará la salida al mercado del producto A". El porcentaje de ventas potenciales de A fue de 74%. Sobre el total de hogares en las que se promocionaron este producto en calidad de prueba, y el porcentaje de ventas potenciales de B. fue de 70%. Se ofrecieron cada producto aproximadamente a 12000 hogares. En base a estos datos, ¿el jefe del departamento de marketing objetará la salida al mercado del producto A? SOLUCIÓN 𝑛𝐴 = 𝑛𝐵 = 12000 Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝑨 − 𝒑𝑩 ≤ 𝟎. 𝟎𝟑 (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐴 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜) 𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝑨 − 𝒑𝑩 > 0.03 (𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐵 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜) Proporciones muestrales: 𝑝𝐴 = 0.74 𝑝𝐵 = 0.70 Estadígrafo de la prueba: (𝑝̂𝐴 −𝑝̂𝐵 )−𝒑𝟎 (0.74−0.70)−0.03 𝑍𝑐 = = ̂ (1−𝑝 ̂𝐴) 𝑝 ̂ (1−𝑝 ̂𝐵) 𝑝 √0.74(0.26)+0.70(0.30) √ 𝐴 12000 12000 + 𝐵 𝑛𝐴

=

0.01 0.00579

= 1.727

𝑛𝐵

Región critica para ∝= 0.05, 𝑍∝ = 2.33: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 > 2.33} Dado que 𝒁𝒄 = 𝟏. 𝟕𝟐𝟕 > 1.645 , se rechaza 𝑯𝟎 , es decir, el jefe de departamento no objetara la salida al mercado del producto A. EJERCICIO 35. Un especialista en política de una universidad, cree que la proporción de votantes del área A que va a votar en las próximas elecciones excede en más de 5% a la proporción de votantes del área B que volarán en las mismas elecciones. Con el fin de ver si los hechos corroboran esta hipótesis, el profesor hace una encuesta entre los votantes del área A y del área B, con los siguientes resultados. AREA

TAMAÑO DE MUESTRA

A B

150 160

NUMERO DE PERSONAS QUE VOTARAN EN LAS ELECCIONES 113 104

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para fundamentar la opinión del especialista al nivel de significancia del 5%?

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PRUEBA DE HIPOTESIS

SOLUCIÓN 𝑛𝐴 = 150, 𝑛𝐵 = 160

Hipótesis: 𝑯𝟎 ∶ 𝒑𝑨 − 𝒑𝑩 ≥ 𝟎. 𝟎𝟓 (𝑉𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐴, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝐵) 𝑯𝟏 ∶ 𝒑𝑨 − 𝒑𝑩 < 0.05 (𝑉𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 , 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝐵) Proporciones muestrales: Votantes de área A: 𝑝̂𝐴 = Votantes de área B: 𝑝̂ 𝐵 =

113 150 104 160

= 0.7533 = 0.65

Estadígrafo de la prueba: (𝑝̂𝐴 −𝑝̂𝐵 )−𝒑𝟎

𝑍𝑐 =

̂ (1−𝑝 ̂𝐴) 𝑝 ̂ (1−𝑝 ̂ 𝐵) 𝑝 √ 𝐴 + 𝐵 𝑛𝐴 𝑛𝐵

=

(0.7533−0.65)−0.05 0.753(0.247) 0.65(0.35) + 150 160

√

=

0.0533 0.051597

= 1.0331

Región critica para ∝= 0.05, 𝑍∝ = 2.33: 𝐶 = {𝑍𝑐 /𝑍𝑐 < −2.33} Dado que 𝒁𝒄 = 𝟏. 𝟎𝟑𝟑𝟏 > −𝟐. 𝟑𝟑 , no se rechaza 𝑯𝟎 .

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