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Probabilidad Condicional

La probabilidad condicionada es uno de los conceptos clave en Teoría de la Probabilidad. En el tema anterior se ha introducido el concepto de probabilidad considerando que la ´única información sobre el experimento era el espacio muestral. Sin embargo, hay situaciones en las que se incorpora información suplementaria como puede ser que ha ocurrido otro suceso, con lo que puede variar el espacio de resultados posibles y consecuentemente, sus probabilidades. En este contexto aparece el concepto de probabilidad condicional

Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B

EJEMPLO

En un grupo de amigos el 80 % están casados. Entre los casados, el 75 % tiene trabajo. Finalmente, un 5 % no están casados y tampoco tiene trabajo. a) ¿Qué porcentaje no tienen trabajo? b) Si uno tiene trabajo, ¿qué probabilidad hay de que esté casado? c) ¿Qué porcentaje están casados entre los que no tienen trabajo?

La Regla de la multiplicación Establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes. P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes. siendo P (B|A) la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A.

EJEMPLOS

1. Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos objetos son seleccionados sin reemplazo (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos? Solución: Sea los eventos A1 = {primer objeto defectuoso}, A2 {segundo objeto defectuoso} entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que: P (A1) = 20/100 ; P (A2/A1) = 19/99 Así la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos es:

P (A1 ∩ A2) = P (A1) P (A2/A1) (20/100)(19/99) 19/495 = 0.038 Ahora suponga que selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres objetos seleccionados sean defectuosos es:

P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩A2) (20/100)(19/99)(18/98) 19/2695 = 0.007

2. Se extraen sucesivamente, y sin reemplazamiento, tres bolas de una urna que contiene 7 bolas blancas y tres negras. Calcular la probabilidad de que las dos primeras bolas extraídas sean blancas y la tercera negra. El experimento consta de tres etapas y, al no devolverse la bola extraída de la urna en cada etapa, la probabilidad de los resultados que pueden darse en las extracciones sucesivas depende del resultado en la anterior. Si consideramos los sucesos B1: Salir bola blanca en la primera extracción, B2: Salir bola blanca en la segunda extracción, N3: Salir bola negra en la tercera extracción, La probabilidad que nos piden es P(B1 ∩ B2 ∩ N3) que, aplicando la regla de multiplicación, se calcula de la siguiente forma:

Probabilidad total

Entonces, la probabilidad del evento B, llamada probabilidad total, se calcula empleando la siguiente fórmula:

Teorema de Bayes El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calculadas cuando se posee nueva información. Desarrollado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensión de lo que ha aprendido hasta ahora acerca de la probabilidad condicional.

Comúnmente se inicia un análisis de probabilidades con una asignación inicial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna información adicional se procede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema de Bayes permite calcular las probabilidades a posteriores y es:

EJEMPLO

1) Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea. a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?

Solución:

a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:

c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería? Se debe calcular las tres probabilidades posterior empleando el Teorema de Bayes

La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:

La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:

Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad , es la mayor.

Bibliografía http://www.sangakoo.com/es/temas/probabilidad-condicionada http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2004/1/PyEC02.pdf http://www3.uah.es/jmmartinezmediano/Segundo%20CS/MCCSS%20Tema%2009b%2 0Problemas%20de%20probabilidad%20condicionada.pdf http://www.monografias.com/trabajos89/probabilidad-total-y-teoremabayes/probabilidad-total-y-teorema-bayes.shtml#ixzz4oYma8HvZ