Problemario De Geometria Analitica

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

PROBLEMARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Guía Geometría Analítica

1

GUIA DE GEOMETRIA ANALITICA NOCIONES BASICAS Y LINEA RECTA. Distancia entre dos puntos

d  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2

x1  rx2 1 r

xp 

yp 

y1  ry2 Razón de división 1 r

x1  x2 y  y2 ym  1 Punto medio 2 2 y  y1 m 2 Pendiente x 2  x1 m m tan  2 1 Ángulo entre dos rectas, m1  m 2 Paralelas, m1 m 2  1 1  m2 m1 Perpendiculares y  y1  m( x  x1 ) Ecuación de la recta punto pendiente y  y1 y  y1  2 ( x  x1 ) Ecuación de la recta dados dos puntos x2  x1 xm 

Ax  By  C  0

d 

Ax1  By1  C 

A2  B 2

Ecuación general

m

A C Pendiente; b   ordenada al origen B B

Distancia de una recta a un punto.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son A(-2,5) B(4,3) yC(7,-2). d  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2

 d AB  36  4  d AB  40  d AB  6.324

d AB 

(4  2) 2  (3  5) 2

d BC 

(7  4) 2  ( 2  3) 2

d CA 

(2  7) 2  (2  5) 2

 d BC  9  25  d BC  34  d BC  5.83  d CA  81  49  d CA  130  d CA  11.401

PERÍMETRO: 6.32 + 5.83 + 11.40 = 23.55 u

Guía Geometría Analítica

2

2.- Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento de línea A(4,-3) y B(1,4) en la razón de 2. 4  (2)1 x  rx 2 Xp  1  Xp   Xp 2 3 1 r  3  ( 2) 4 y  ry 2 5 Yp  1  Yp   Yp  COORDENADAS: P(2, 5/3) 3 3 1 r

3.- Encuentra el ángulo de inclinación de la línea que pasa por los puntos L(-3,-5) y M(6,7). y 2  y1 75 12  m  m x 2  x1 63 9 12 12 tan      tan 1 ( )  9 9

m

EL ÁNGULO ES:   53.13

4.- Escribe la ecuación de la línea recta en su forma general que pasa por los puntos C(2,-3) y D(4,2). x y 2 –3 = -3x + 4 + 4y – 2x + 12 – 2y 4 2 = -5x +2y + 16 ECUACIÓN: 5x – 2y – 16 = 0 x y

5.- Determina la ecuación de la línea que pasa por (-2,3) y es perpendicular a la línea 2x – 3y + 6 = 0 m

A 2 2   B 3 3

Perpendicular : y  y1  m( x  x1 ) 2 y  6  3 x  6

3 y  3   ( x  2) 2

ECUACIÓN: 3x + 2y = 0

6.-Encuentra la pendiente, ordenada y abscisa al origen de la recta 5x – 2y – 10 = 0 m

A 5 5   B 2 2

b

PENDIENTE: m= 5/2

C  10   5 B 2

ORDENADA: b= -5

7.-Encuentra el ángulo agudo entre las rectas:

Guía Geometría Analítica

a

C  10  2 A 5

ABSCISA: a= 2

2x + 3y – 4 = 0 ,

3

3x + y + 5 = 0 m1  

A 2  B 3

m m tan   2 1  1  m2 m1

m2  

3  3 1

2 7 3  3 7 6 3 9 1 3

3

7   tan(  )  142.125 9

  37.875

ANGULO AGUDO: 37.875° 8.-Calcula la distancia del punto (5,2) a la recta d 

Ax1  By1  C 

A B 2

d 

2

2x – 4y + 3 = 0

2(5)  4(2)  3 5    1.11  4 .47  4  16

DISTANCIA: 1.118u 9.-Encuentra la ecuación general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el triángulo cuyos vértices son A(4,1) , B(2,-3) y C(-3,-5). m

Mediatriz F  AB Px 

42 3 2

Py 

1 3  1 2

y 2  y1  3  1  4   2 x 2  x1 24 2

Pm (3,-1) 1 ( x  3) 2

F (3,-1)

y  y1  m( x  x1 )

y 1  

m = -1/2

2 y  2  x  3

x  2y 1  0

ECUACIÓN: x + 2y – 1 = 0 EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1. Halla el valor de “x” si la distancia entre (x, 2) y (1, 2) es 5 Sol. x1 = 2, x2 = -4 2. Demuestra que los puntos A(2, 2), B(6, 6) y C(2, 2) son los vértices de un triángulo isósceles. 3. Demuestra que los puntos A(2, 8), B(6, 1) y C(0, 4) son los vértices de un triángulo rectángulo.

Guía Geometría Analítica

4

4. Halla el perímetro de los triángulos cuyos vértices son a) A(4, 4), B(6, 6) y C(0, 3) b) A(-2,5), B(4,3) y C(7,-2)

Sol. 29.06 Sol : 23.56

5.- Demuestra que el triángulo cuyos vértices son, A( 5,2), B ( 2,1),C (3,4) es escaleno. 6.- Prueba que los puntos (2, 3), (1, 2) y (4, 1) son colineales por cualquier método y encuentra la ecuación de la recta Sol. x+3y-7=0 7.- Demuestra que los siguientes puntos son colineales, por cualquier método. a) A(4, 2), B(0, 1), C(4, 0) b) A(6, 2), B(2, 1), C(2, 4) 8.- Encuentra las coordenadas del punto que divide al segmento de línea A(4,-3) y B(1,4) en la razón 2. 9.- Encuentra las coordenadas del punto P, tal que r  A( 4 ,2 ), B (2 ,5) y r 

Sol : P(2, 5/3)

AP sí, PB

2 3

Sol. P(8/5, -16/5)

10.- Encuentra los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos A(2, 5) y B(3, 6). Sol. P(4/3, -7/3), Q(-1/3, 4/3) 11.- Un segmento de recta tiene por extremos los puntos A(1, 2) y B(5, 6). Determina las coordenadas del punto C, tales que AC/CB =1/4. Sol. P(9/5, 2/5) 12.- Encuentra el ángulo de inclinación de la línea que pasa por los puntos L(-3,-5) y M(6,7). Sol : 53.13º 13.- Encuentra el ángulo agudo entre las rectas: a) 2 x  3 y  4  0 y 3x  y  5  0 b) 2 x  3 y  7  0 y 5x  2 y  10  0

Sol : 37.87º Sol. 78.11°

14- Encuentra los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos. A(4, 2), B(6, 1), C(0, 1) Sol. A=109.65°, B=37.88°, C=32.46° 15.-Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°, sabiendo que la recta final tiene una pendiente m = 3. Calcula la pendiente de la recta inicial. Sol. m=1/2 16.-Halla el área del triángulo o polígono cuyos vertices son: a) A(2, 4), B(3, 6), C(1, 7) b) A(3, 1), B(5, 6), C(2, 8), D(4,5)

Guía Geometría Analítica

Sol. 13.5 u2 Sol. 70 u2

5

Sol. 31 u2

c) A(5,1), B(3,6), C(1,-4), D(-2,-3)

17.- Aplicando la condición de perpendicularidad, demuestra que el triángulo es rectángulo A(3, 2), B(5, 4), C(1, 2) 18.- Escribe la ecuación de la línea recta en su forma general que pasa por los puntos C(2,-3) y D(4,2). Sol : 5x-2y-16=0 19.- Halla la ecuación de la recta de pendiente m=1/2, que forma con los ejes de coordenadas un triángulo de 16 unidades de área. Sol. x-2y+8=0, x-2y-8=0 20.- Determina la ecuación de la línea que pasa por (-2,3) y es perpendicular a la línea 2x-3y+6=0 Sol : 3x+2y=0 21.- Dada la ecuación general de la recta, determinar la pendiente, ordenada al origen, abscisa al origen y su gráfica. a) b)

5x  4 y  20  0 5 x  2 y  10  0

Sol. m=-5/4, b=5, a=4 Sol : m=5/2, a=2, b=-5

22.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 2) y es paralela a la recta 2x3y+4=0 Sol. 2x-3y-2=0 23.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(6, 1). Sol. x-y-8=0 24.-Encuentra la ecuación general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el triángulo cuyos vértices son A(4,1), B(2,-3) y C(-3,-5) Sol : x+2y-1=0 25.-Halla la ecuación de la mediana que pasa por el vértice A del triángulo cuyos vértices son A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4) Sol. 5x+2y-16=0 26.- Halla la ecuación de la altura que pasa por el vértice C del triángulo cuyos vértices son A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4) Sol. 3x+4y-7=0 27.- Calcula la distancia del punto (5,2) a la recta 2x - 4y + 3 = 0.

Sol : d=

5 = 1.11u 2

28- Calcula la distancia entre el punto P(4, -1) y la recta que pasa por el punto A(2, 3) con pendiente de -3/4. Sol. 3x+4y-18=0, d=2 29.- Calcula la distancia entre el punto A(2, 1) y la recta que pasa por los puntos B(5, 4) y C(2, 3) 30.- Encuentra la distancia entre las rectas paralelas a) 9 x  16 y  72  0 y 9 x  16 y  75  0

Guía Geometría Analítica

Sol. 4.74 u

Sol. d = 8 u

6

b) x  2 y  2  0 y 2 x  4 y  3  0

Sol. d=1.56 u

CIRCUNFERENCIA. Ecuación de la circunferencia con centro en el origen Ecuación de la circunferencia con centro en (h, k) Ecuación general, con A=C

x2  y2  r 2

( x  h)  ( y  k )  r Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 D h 2A 2

2

2

k 

E 2A

r

D 2  E 2  4AF 2A

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro en el origen y las coordenadas de los extremos de un diámetro son P(3,4) y Q(-3,-4). d  9  16  5 C (0,0) d  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 2 2 2 x y r ECUACIÓN: x 2  y 2  25 2.- Encuentra la ecuación general de una circunferencia cuyos extremos de un diámetro son A(5,-6) , B(-7,2). 57  1 2 62 Py   2 2 Px 

d d 

 x 2  x1  2  ( y 2  y1 ) 2 36  16 

(1  5) 2  ( 2  6) 2

52

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2

Pm (-1,-2)

d 

x 2  2 x  1  y 2  4 y  4  52  0

( x  1) 2  ( y  2) 2  52

ECUACIÓN: x2 + y2 + 2x + 4y – 47 = 0

3.- Encuentra la ecuación general de la circunferencia con centro C(-4,-1) y es tangente a la recta 3x + 2y – 12 = 0. d 

Ax1  By1  C 

A B 2

r

2

3( 4)  2( 1)  12 

94



 26   7.211 3.605

( x  h)  ( y  k )  r ( x  4)  ( y  1) 2  52 x 2  8 x  16  y 2  2 y  1  52  0 ECUACIÓN: 2

2

2

2

x 2  y 2  8 x  2 y  35  0

4.- Dada la ecuación de la circunferencia 36x2 + 36y2 – 24x + 108y + 85 = 0. Determina que representa. 24 108 85 x y 0 36 36 36 2 85 x2  x  y 2  3y   3 36

Dividiendo entre 36: Asociando:

Guía Geometría Analítica

x2  y2 

x2  y2 

24 85 x  3y  0 36 36

7

x2 

Completando:

2  1 x  3  3

2

1 3 0 (x  )2  ( y  )2  0 3 2 36

 3   2

 y 2  3y  

2



85 1 9   36 9 4

SOLUCIÓN: Punto

5.- Dada la ecuación de la circunferencia, determine las coordenadas del centro y la longitud del radio 2x2 + 2y2 – 16x – 4y + 16 = 0. x 2  y 2  8x  2 y  8  0 x 2  8 x  (4) 2  y 2  2 y  (1) 2  8  16  1  ( x  4) 2  ( y  1) 2  9

C(4,1)

y

radio = 3

6.- Encuentra la ecuación en su forma ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,2) y B(-3,8) y su centro está sobre la recta x – 4y – 4 = 0. 33 0 2 Punto medio pendiente 28 ym  5 2 xm 

Ecuación de la mediatriz El centro en la intersección

m AB 

82  1 33

y  5  1( x  0) x y5  0

x  4 y  4  0 ____ 1

x  y  5  0 _____  2 

Radio r  (3  8) 2  (2  3) 2  146 Ecuación de la circunferencia.

x=-8 y=-3 C(-8, -3)

ECUACIÓN: (x+8)2+(y+3)2=146

EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Halla la ecuación de la circunferencia, que cumple con las condiciones señaladas. a) b) c) d) e) f) g) h)

Centro en el origen, radio 8. Sol. x 2  y 2  64 Centro en (-2,3) y radio 4. Sol. x 2  y 2  4 x  6 y  3 Centro en (-2,1) y pasa por el punto (4, 3) Sol. ( x  2) 2  ( y  1) 2  40 Centro en (4, -1) y pasa por el punto(-1, 3). Sol. x 2  y 2  8 x  2 y  24  0 Diámetro con extremos en (2, 3), y (4, -1) Sol. ( x  3) 2  ( y  1) 2  5 centro en (-4, 3) y es tangente al eje “y”. Sol. x 2  y 2  8 x  6 y  9  0 Centro en (2, 5) y tangente a la recta 3x + 4y – 1 = 0 Sol. ( x  2) 2  ( y  5) 2  25 Centro (-2, 3) y tangente a la recta 20x – 21y – 42 = 0 x 2  y 2  4 x  6 y  12  0

2.- Halla el centro y el radio de las circunferencias siguientes reduciendo primero a su forma ordinaria: a) x 2  y 2  8 x  10 y  12  0

Guía Geometría Analítica

Sol. C(4, -5),

r 

53

8

b) x 2  y 2  8 x  7 y  0

Sol. C(4, 7/2), r  113

c) 2 x 2  2 y 2  10 x  6 y  15  0

Sol

2

C(5/2, -3/2), r = 4

3.- Encuentra el centro y el radio de la circunferencia de ecuación. Utilizando las fórmulas. a) 2 x 2  2 y 2  4 x  16 y  22  0 b) x 2  y 2  6 x  4 y  5  0

Sol. r=3, C(1, -4) Sol. r=8, C(-3, 2)

4.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, -4) y (5, 2) y que tiene su centro en la recta x-2y+9=0. Sol. x 2  y 2  6 x  6 y  47  0 5.- Determina la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos A(1, 2), B(3, 1) y C(-3, -1) Sol. x 2  y 2  x  3 y  10  0 6.- Determina la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto (1, 2) y que es tangente a la recta 2x+3y-18=0 en el punto (3, 4). Sol. 7.- Dada la ecuación, determina que representa, un punto, una circunferencia o un conjunto vacío a) 36 x 2  36 y 2  24 x  108 y  95  0 Sol. Conjunto vacío. 2 2 b) 2 x  2 y  16 x  12 y  58  0 Un punto. 2 2 c) 4 x  4 y  28 x  8 y  60  0 Conjunto vacío. 2 2 16 x  16 y  64 x  8 y  17  0 d) Circ. Real. 8.- Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, -1) y que es concéntrica a la circunferencia x 2  y 2  6 x  8 y  30  0 Sol. 9.- Encuentra la ecuación de la circunferencia de centro en (-2, 4) y pasa por la intersección de las rectas 4x-7y+10=0, y 3x+2y-7=0. Sol. 10.- Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con x 2  y 2  x  10 y  18  0 y que es tangente a la recta 20x-21y-42=0. Sol. PARABOLA Vértice en (h, k) ECUACION ORDINARIA (y-k)2 =4p(x-h) (x-h)2=4p(y-k)

TIPO

FOCO

DIRECTRIZ

LADO RECTO

horizontal Vertical

(hp, k) (h, kp)

x = hp y = k p

4p 4p

EJERCICIOS RESUELTOS:

Guía Geometría Analítica

9

1.- Encuentra la ecuación general de la parábola con foco en (5,1) y directriz la recta y + 7 = 0. ( x  h) 2  4 p ( y  k ) ( x  5) 2  4(4)[ y  3] p=4    x 2  10 x  25  16 y  48

ECUACIÓN: x 2  10 x  16 y  23  0 2.- Encuentra la ecuación en su forma general de la parábola con foco en F(2,5) y ecuación de su directriz y = 1. ( x  h) 2  4 p ( y  k )



( x  2)  4( 2)( y  3) 2

x 2  4 x  4  8 y  24

ECUACIÓN: x2 – 4x – 8y + 28 = 0 3.- Encuentra la ecuación general de la parábola con focos en (0,-2) y directriz la recta: x – 5 = 0. ( y  k ) 2  4 p ( x  h) p = 2.5 ( y  2) 2  4(2.5)[ x  2.5]  y 2  4 y  4  10 x  25 ECUACIÓN: y 2  10 x  4 y  21  0 4.- Dada la ecuación de la parábola, encontrar las coordenadas del vértice y foco y la ecuación de la directriz: 2y2 – 12y – 24x – 30 = 0. 2( y 2  6 y  3) 2 )  24 x  30  18 Factorizando y Completando T.C.P. 2( y  3) 2  24 x  48  2( y  3) 2  24( x  2)  Div. Entre 2: ( y  3) 2  12( x  2)

4p = 12

 p=3 F (h+p, k)  Ec. Direc. x = h – p

Vértice: (-2, 3) Foco (1, 3) Ecuación Directriz: x = – 5

5.- Encuentra las coordenadas del vértice y del foco y la ecuación de la directriz de la parábola: 2y2 – 8x – 8y – 32 = 0. Dividiendo entre 2: y 2  4 x  4 y  16  0  y 2  4 y  ( 2) 2  4 x  16  4  ( y  2) 2  4 x  20  ( y  2) 2  4( x  5) p=1 VÉRTICE (-5, 2) F (h + p, k)  FOCO (-4, 2) Ec. Direc. x = h - p  x = -6 DIRECTRIZ x + 6 = 0 6.- Un arco parabólico tiene una altura de 20m y 20m de ancho. ¿Cuál es la altura del arco a 5m del centro? ( x  h) 2  4 p ( y  k )

V (h,k)  V(0,20)

Guía Geometría Analítica

P(x,y)  P(10, 0)

10

100 = -4p (-20)  100 = 80 p

 p = 1.25

Sustituimos: x2 = -4 (1.25) (y-20)  x2 = -5 (y-20) Sí x = 5 : 25 = -5y + 100  5y = 100 – 15  5y = 75 ALTURA: y = 15 m EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Halla la ecuación de la parábola con: a) con vértice en el origen y foco (0, 3/5)

Sol.- x2= -12/5 y, 5x2=-12y

b) vértice en el origen y foco (7/2, 0)

Sol.- y2=-14x

c) vértice en el origen y directriz x = ¾

Sol.- y2=-3x

d) Vértice en (3,3) y directriz x=1, e) Foco en (4, 3) y directriz y=5 f) Vértice (2, 3) y Foco (1, 3)

Sol. y 2  16 x  6 y  59  0 Sol. x 2  2 x  16 y  63  0 Sol.- y2+12x+6y-15=0

2.- De la ecuación de la parábola, halla las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la directriz, traza la gráfica. a) x 2  8 y  0 Sol.- V(0,0), p=2, F(0,2), direc. y=-2 2 b) y  24 x  0 Sol.- V(0,0), F(6,0), direc. x=-6 2 c) x  2 x  8 y  31  0 Sol.- V(1,-4), F(1,-2), Y=-6 p=2 2 2 y  12 x  8 y  16  0 d) Sol. V(2, 2), F(7/2, 2), x=1/2 e) 5 y 2  20 x  20 y  60  0 Sol.- V(-4,2), p=1, F(-3,2), x=-5 2 f) y  12 x  4 y  16  0 Sol.- V(-1,2), F(-4,2), direc. X=2 3.- Un arco parabólico tiene una altura de 30 metros y una luz (ancho) de 45 metros. Halla la altura del punto del arco situado a 8 metros del centro. Sol. 26.20m 4.- Un arco parabólico tiene una altura de 9 metros y de base 12 metros. Halla la ecuación y la altura de los puntos del arco situados 4 metros del centro. Sol. x 2  4( y  9) , y=5m 5.- El cable de suspención de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 25m y están separados una distancia de 200m, quedando el punto mas bajo del cable a una altura de 5m sobre la calzada del puente usando el piso del puente como el eje “x” y como eje “y” el de simetría de la parábola. Halle la ecuación de esta. Calcula la altura de un punto situado a 50m del centro del puente? Sol.- y= 10m

Guía Geometría Analítica

11

6.- El cable de suspención de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 30m y están separados una distancia de 100m, quedando el punto mas bajo del cable sobre la calzada del puente. Halle la ecuación de esta. Calcula la altura de un punto situado a 25m del centro del puente. Sol.- y=7.5m 7.- La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante es de 100m y la flecha del cable es de 15m. Obtén la altura del cable a 30m del centro del mismo. Sol.- y= 5.4m

ELIPSE. ECUACIÓN ( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 a2 b2 ( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 b2 a2

LR=

2b 2 a

VÉRTICES

FOCOS

COVERTICES

V(h  a, k)

F(h  c, k)

B(h, kb)

V(h, k  a)

F(h, k  c)

B(hb, k)

e=c/a

EJE MAYOR = 2a

EJE MENOR = 2b

1.- Encuentra la ecuación de la elipse en su forma general con focos en F(0,25) y F’(0,-25) y vértices en V(0,30) y V’(0,-30). a=30, c=25, b 2  a 2  c 2  900  625 ; b2=275 Elipse vertical con centro en el origen ( x  h) 2 ( y  k ) 2 x2 y2  1    1 275 900 b2 a2

Ecuación ordinaria

ECUACIÓN: 900 x 2  275 y 2  247500  0

Guía Geometría Analítica

12

2.-Encuentra la ecuación de una elipse en su forma general dadas las siguientes condiciones: C(1,4) , F(1,8) y excentricidad 1/5. Elipse Vertical c=4 e

a = 20 b 2  384

Ecuación: ( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 b2 a2

1 c  5 a

b2  a2  c2

1 4  5 a b 2  400  16

( x  1) 2 ( y  4) 2  1 384 400





x 2  2 x  1 y 2  8 y  16  1 384 400



400 x 2  800 x  400  384 y 2  3072 y  6144  153600  0  400 x 2  384 y 2  800 x  3072 y  147056  0 Dividiendo entre 16: 25 x 2  24 y 2  50 x  192 y  9191  0 ECUACIÓN: 25 x 2  24 y 2  50 x  192 y  9191  0

3.- Dada la ecuación, encontrar las coordenadas de los vértices, focos, así como la longitud del lado recto y la excentricidad: 9x2 + y2 – 54x – 8y + 88 = 0 9( x 2  6 x )  ( y 2  8 y )  88 Asociando y Factorizando: 9( x 2  6 x  (3) 2 )  ( y 2  8 y  (4) 2 )  88  81  16 Completando T. C. P. : 9( x  3) 2  ( y  4) 2  9 

* Elipse Vertical… a=3 b=1 c= LR =

Diviendo entre 9:

( x  3) 2 ( y  4) 2  1 1 9

F ( h, kc ) F ( 3, 4+ 8 ) F ( 3, 4– 8 )

8

2b 2 a

e = c/a

 

2(1) 3

e 8



LR  2

9( x  3) 2 ( y  4) 2  1 9 9

C ( 3, 4) V ( h, ka) V ( 3, 7) V ( 3, 1)

3

3

4.- Determina si la siguiente ecuación representa una elipse, un punto o un conjunto vacío. 5x2 + y2 – 10x – 2y + 71 = 0 5( x 2  2 x)  ( y 2  2 y )  71  5( x 2  2 x  (1) 2 )  y 2  2 y  (1) 2  71  5  1 5( x  1) 2  ( y  2) 2  65

CONJUNTO VACÍO 5.- Un arco tiene forma de semielipse con ancho de 150m, siendo su máxima altura de 45m. Encuentra la altura de los soportes situados a 50m de la orilla hacia el

Guía Geometría Analítica

13

centro del arco. a = 45 * Elipse Vertical b = 75 x2 y2 x2 y2  1    1 5625 2025 b2 a2 Sí x = 25 625 y2  1 5625 2025

 1265625  5625 y 2  11390625  5625 y 2  11390625  1265625 y2 

10125000 5625

 y 2  1800

ALTURA: y = 42.42m

EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.-Halla la ecuación de la elipse, conociendo los siguientes datos. a) Vértices (5, 0), focos en (3, 0) b) Vértices en (0, 6), excentricidad 2/3 c) C(0, 0), pasa por (3,3), un vértice en (0, 5) d) Focos (4, 0), Lado recto = 18/5 e) V(2,1), V(8,1), F(3,1),F(7,1) f) F(2, -1) F(10, -1) excentricidad=2/3 g) V(3, 1) V(3, 7) L.R=2/3

x2 y 2  1 25 16 x2 y 2  1 Sol. 20 36 x2 y2  1 Sol. 225 / 16 25 x2 y 2  1 Sol. 25 9

Sol.

Sol. 5 x 2  9 y 2  50 x  18 y  89  0 Sol. 20 x 2  36 y 2  240 x  72 y  36  0 Sol. 9 x 2  y 2  54 x  8 y  88  0

2.-Determine vértices, focos, lado recto, excentricidad y centro de la elipse con ecuación: a) 2 x 2  9 y 2  18  0 Sol. V(3,0), F(7, 0), LR=4/3, e=7/3, C(0,0) 2 2 5 x  4 y  20  0 b) Sol. V(0, 5), F(0, 1), LR=8/5, e=1/5, C(0,0) c) 3x 2  4 y 2  6 x  24 y  27  0 , Sol.V(1,3),V(-3,3),F(0,3),F(-2,3)LR=3,e=1/2, 2 2 d) 9 x  6 y  54 x  36 y  81  0 , Sol. V(-3,6),V(-3,0),F(-3,4.73),F(-3,1.27), LR=4, e=3/3, C(-3,3) 3.-Un arco tiene forma de semielipse con ancho de 150m, siendo su máxima altura de 45m. Encontrar la altura de dos soportes situados a 25m del centro del arco. Sol. 302 m. 4.- El arco de un paso subterráneo es una semielipse de 90 m. de ancho y 30 m. de altura. a) Halla el ancho situado a 10m de altura

Guía Geometría Analítica

14

b) Obtener la altura de un punto situado a 20m. de la orilla. Sol. a) 42.42m, b) 25m. 5.- Un jardinero desea trazar una elipse ayudado con un lazo y 2 estacas. Las estacas las coloca en los focos de la elipse separadas 7m. ¿De que longitud será el lazo para que atado en las estacas se pueda trazar una elipse de 0.625 de excentricidad. Sol. 11.2m 6.- La órbita de la tierra es una elipse con el sol en uno de sus focos, la longitud del eje mayor es 287 millones de kilómetros y la excentricidad es de 1/62. Halla la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol. Sol. Máx. 1.5 millones, Mín 1.41 millones Km.

HIPERBOLA. ECUACIÓN ORDINARIA

VÉRTICES

FOCOS

COVÉRTICES

( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 a2 b2

V(h  a, k)

F(h  c, k)

B(h, k b)

( y  k ) 2 ( x  h) 2  1 a2 b2

V(h, k  a)

F(h, k  c)

B(h  b, k)

e=c/a

E. Trans = 2a

E. Conjug. = 2b

LR 

2b 2 a

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.-Encuentra la ecuación de la hipérbola en su forma general, con focos en (1,6) y (1,0) y su excentricidad 3/2. c=3 Ecuación: 2 3 c 3 3 (y  k) ( x  h) 2 e   a=2   3a  6  1 2 a 2 a a2 b2

Guía Geometría Analítica

15

b2  5

( y  3) 2 ( x  1) 2  1 4 5

b2  c2  a2  b2  9  4 5( y 2  6 y  9)  4( x 2  2 x  1)  20  0





5 y  30 y  45  4 x  8 x  4  20  0 ECUACIÓN: 5 y 2  4 x 2  30 y  8 x  21  0 2

2

2.- Dada la ecuación de la hipérbola, encontrar las coordenadas de un vértice, la ecuación de una asíntota y la longitud del lado recto. ( x  h) 2 ( y  k ) 2 ( x  2) 2 ( y  3) 2 C (-2, -3)  1   1 1 4 a2 b2 a=1

V (ha, k)

b=2

V (-1, -3)

Asíntotas :

V (-3, -3)

x2 y3  0 1 2

Lado Recto :

2b 2 2( 4)  a 1

L.R = 8

3.- Dada la ecuación de la hipérbola, encontrar las coordenadas de los vértices, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas: 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0. 9( x 2  2 x)  16( y 2  4 y )  199

Asociando y Factorizando: Completando T. C. P.:

9( x 2  2 x  (1) 2 )  16( y 2  4 y  (2) 2 )  199  9  64

9( x  1) 2  16( y  2) 2  144  Diviendo entre 144:

* Hipérbola Horizontal

( x  1) 2 ( y  2) 2  1 16 9

F ( h  c, k ) F ( 6, –2) F ( –4,–2)

a=4 b=3 c=5 LR = e

c a

2b 2 a





2(9) 4

e5



LR  9

9( x  1) 2 16( y  2) 2  1 144 144

C ( 1, –2) V ( h  a, k)) V ( 5, –2) V (–3, –2)

2

4

4.- Encuentra la ecuación de la hipérbola vertical en su forma general, cuyas ecuaciones de las asíntotas x – 2y + 1 = 0, x + 2y – 3 = 0, y distancia entre los vértices 2.

Guía Geometría Analítica

16

x  2y 1  0 x  2y  3  0

2x – x

2a = 2 b=2

 a=1

2 =0

2 1 2

( y  k ) 2 ( x  1) 2  1 a2 b2

x  2y  3  0



( y  1) 2 ( x  1) 2  1 1 4

4( y 2  2 y  1)  1( x 2  2 x  1)  4  0 4 y 2  8 y  4  x 2 2 x  1  4  0

1 + 2y – 3 = 0 2y = 3 –1 y 1

ECUACIÓN: 4 y 2  x 2  8 y  2 x  1  0 C ( 1, 1)

5.- Dada la ecuación de la hipérbola, encontrar las coordenadas de un vértice y la ecuación de una asíntota: 9x2 – 16y2 – 36x – 32y – 124 = 0. Fact. y Completando. T.C.P.: 9( x 2  4 x  ( 2) 2 )  16( y 2  2 y  (1) 2 )  124  36  16 9( x  2) 2  16( y  1) 2  144



( x  2) 2 ( y  1) 2  1 16 9

C (2, -1) a=4 b=3 V (h  a, k)  V (6, -1) y V (-2, -1)

9( x  2) 2 16( y  1) 2  1 144 144



* Hipérbola Horizontal

Asíntotas: 3x+4y-2=0 ; 3x-4y-10=0

EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Halla la ecuación de la hipérbola en su forma ordinaria, que tiene su centro en el origen, de acuerdo a los datos: x2 y2  1 16 20 y2 x2  1 b) Vértices (0, 5) y un extremo del eje conjugado (3, 0) Sol. 25 9 x2 y2  1 c) Focos (3,0), lado recto = 5 Sol. 4 5

a) Vértices (4, 0), Focos (6,0)

d) Focos (7, 0), excentricidad=2

Guía Geometría Analítica

Sol.

x2 y2 Sol. 49  147  1 4 4

17

e) Vértices (0, 2), lado recto=9

y 2 x2  1 4 9 x2 y2  1 Sol. 9 7

Sol.

f) Vértices (3, 0), excentricidad=4/3

2.- Encuentra las coordenadas del centro, vértices, focos, la longitud de cada lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de las hipérbolas. a) 2 x 2  9 y 2  18  0 b) 9 x 2  4 y 2  36  0 c) 4 x 2  9 y 2  36  0 LR=9,

Sol. C(0, 0), V(3, 0), F(11, 0) e=11/3, LR=4/3, asíntotas 2x  3y=0 Sol. C(0, 0), V(2, 0), F(13, 0) e=13/2, LR=9, asíntotas 3x  2y=0 Sol. C(0, 0), V(0, 2), F(0, 13) e=13/2,

asíntotas 3y  2x=0 d) 5 x  4 y  20  0 Sol. C(0, 0), V(0, 2), F(0, 3) e=3/2, LR=5, asíntotas 5y  2x=0 3.-Halla la ecuación de la hipérbola si te dan los siguientes datos. 2

2

a) V(3, 4), V’(3, 0) F(3,5), F’(3, -1). b) V(3, 4), V’(5, 4) F(2,4), F’(6, 4). c) V(2, 4),V’(6, 4), excentricidad=3/2 d) F(1, 6), F’(1, 0), excentricidad=3/2 e) V(3, 3), V’(3, -3), LR=8/3

Sol.  4 x 2  5 y 2  24 x  20 y  36  0 Sol. 3x 2  y 2  24 x  8 y  29  0 Sol. 5 x 2  4 y 2  40 x  32 y  4  0 Sol. 5 y 2  4 x 2  8 x  30 y  21  0 Sol. 4 y 2  9 x 2  54 x  117  0

4.- De la ecuación de la hipérbola, encuentra las coordenadas del centro, vértices, focos, la longitud de cada lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. a) a) 5 x 2  4 y 2  20 x  8 y  4  0

Sol. C(2,1),V(4, 1),V’(0, 1),F(5, 1),F’(-1, 1), e=3/2, LR=5, 5(x-2)  2(y-1)=0

b) 4 y 2  3 x 2  6 x  24 y  21  0 Sol. C(-1,3),V(-1,4.73),V’(-1,1.27), F(-1,3+7), F’(-1,3-7), e=7/3, LR=8/3, 2(y-3)  3(x+1) =0 c) 4 x 2  y 2  16 x  6 y  3  0

Sol . C(-2,-3),V(-1,-3),V’(-3,-3), F(-2+5,-3), F’(-2-5, -3), e=5, LR=8, 2(x+2)  (y+3) =0

d) x 2  5 y 2  16 x  10 y  9  0 Sol. C(-2,-1),F(1,-1),F’(-5,-1), V(-2+5,-1), V’(-2-5, -1), e=3/5, LR=8/5, 2(x+2)  5(y+1) =0 2 2 e) 9 x  16 y  36 x  32 y  124  0 Sol.- V(6,-1), V(-2,-1), e=5/4, 3x+4y-2=0, 3x-4y-10=0 2 2 f) x  9 y  4 x  18 y  14  0 Sol.- V(1,-1), V(-5,-1), e=10/3, x+3y+5=0, x-3y-1=0

Guía Geometría Analítica

18

g) 25 y 2  4 x 2  100 y  24 x  36  0 Sol.- V(-3,4), V(-3,0) e=29/2, 2x-5y+16=0, 2x+5y-4=0

TRASLACIÓN, ROTACIÓN DE EJES Y ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Forma general de la Ecuación de segundo grado. Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0

TRASLACIÓN: x  x ' h ;

y  y' k

ROTACIÓN: a  Método I : B Tan 2  AC   Ángulo de Rotación A '  A cos 2   Bsen cos  Csen 2 B'  2Asen cos  B cos 2   Bsen 2  2Csen cos  B'  0 C'  Asen 2  Bsen cos  C cos 2  D '  D cos  Esen E '   Dsen  E cos F'  F

b  Método II : x  x ' cos  y 'sen ; y  x 'sen  y ' cos

Ecuación general de segundo grado. I = B2 - 4AC Indicador o Discriminante Si: < 0 Elipse o Circunferencia. = 0 Parábola. > 0 Hipérbola. EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Transformar la ecuación 4 x 2  9 y 2  8 x  54 y  113  0 , mediante una traslación de los ejes coordenados. Primer método: Se sustituyen en la ecuación x por x’+h la y por y’+k.

Guía Geometría Analítica

19

4 x ' h   9 y' k   8 x ' h   54 y' k   113  0 ,desarrollando los binomios al 2

2

cuadrado: 4 x ' 2 2hx ' h 2   9 y' 2 2ky' k 2   8 x ' h   54 y' k   113  0 Efectuando los productos: 4 x ' 2 8hx '4h 2  9 y' 2 18ky'9k 2  8x '8h  54 y'54k  113  0

Agrupando términos semejantes y reordenando: 4 x ' 2 9 y' 2  8h  8 x '18k  54  y'4h 2  9k 2  8h  54k  113  0

La ecuación transformada no debe tener términos de primer grado, se igualan acero los coeficientes de x’ y y’ , con lo cual: 8h-8=0 y 18k-54=0, entonces: h=1 y k=3 Por lo tanto, el nuevo origen está en (1,3). Al sustituir los valores de h y k, la ecuación 2 2 transformada nos queda así: 4x' 9y' 36  0 . Segundo método: Como esta ecuación de segundo grado no tiene el término en xy, puede efectuarse la transformación completando cuadrados. La ecuación dada se escribe de la siguiente manera: 4x 2  8x  9 y 2  54 y  113 . Factorizando:



 



4 x 2  2x  9 y 2  6 y  113 , completando los cuadrados y sumando la misma

cantidad a los dos miembros de la ecuación tenemos:



 



4 x 2  2 x  1  9 y 2  6 y  9  113  4  81 .

Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo: 4 x  1 2  9 y  3 2  36 , sustituyendo x-1=x’, y-3=y’ se obtiene la ecuación transformada: 4x' 2 9y' 2 36  0 . 2.- Simplifique mediante una rotación de ejes la ecuación: 5x 2  6xy  5y 2  9  0 , en otra que no tenga término en xy. Utilizando las fórmulas del método I: B 6 6    A C 55 0 Tan 2   ArcTan 2   2  90 90     45 2 Tan 2 

Guía Geometría Analítica

20

Por trigonometría se sabe que: sen 45 

2 2 , por lo que al sustituir en y cos 45  2 2

A’,B’,C’,D’,E’,F’. Se tiene:  A '  5  B'  0

2 2

2

   

   6    

2

  2   6 C'  5   2   D'  0, E '  0, F' 

  

 9

2 2

   

2 2

 

    5     

2 2

2 2

 

2 2

 

2 2

   

     

    5     



  5 2   6 2   5 2   32  A'  8  4  4  4  4  2

 

  

10 12 10 8     C'  2 4 4 4 4

La ecuación dada se transforma en: 8x '2 2 y'2 9  0 . Utilizando las fórmulas del método II: Al sustituir los valores de sen45° y cos45° en las fórmulas de rotación del método II se obtiene: x 

2 2 x '  2 2

2 x ' 2 y' 2 2 , y x ' y'  2 2 2

2 x ' 2 y' . 2

Sustituyendo los valores de x y y en la ecuación: 

2 x ' 2 y'   2 

5 

2

   6    

2 x ' 2 y'    2 

 2 x ' 2 y'      5  2       

2 x ' 2 y'   9  0, 2 

efectuando operaciones













5 2 x '2 4 x ' y'2 y'2 6 2 x '2 2 y'2 5 2 x '2 4 x ' y'2 y'2   9 4 4 4 10 x '2 20 x ' y'10 y'2 12 x '2 12 y'2 10 x '2 20 x ' y'10 y'2  36, reduciendo términos semejantes : 32 x '2 8 y'2  36 , simplificando :

La ecuación dada se transforma en: 8x '2 2 y'2 9  0 EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Determina que cónica representa cada una de las siguientes ecuaciones. a) x 2  2 xy  y 2  8 x  16  0 b)

3 x 2  2 xy  3 y 2  2 2 x  6 2 y  2  0

c) 4 x 2  24 xy  11 y 2  56 x  58 y  95  0 d) x 2  y 2  4 x  2 y  3  0 e) 12 y 2  4 x 2  72 y  16 x  144  0 f) x 2  8 y  0

Guía Geometría Analítica

Sol.

Parábola Sol. Elipse Sol. Hipérbola

Sol. Circunferencia Sol. Hipérbola. Sol. Parábola

21

2.- Eliminar los términos de primer grado de las ecuaciones siguientes, por medio de una traslación de ejes. a) y 2  6 y  4 x  5  0

Sol . y 2  4 x

b) 3 x 2  4 y 2  6 x  8 y  10  0

Sol. 3x 2  4 x 2  9  0

c) 2 x 2  5 y 2  12 x  10 y  17  0

Sol. 2 x 2  5 y 2  40  0

d) 3x 2  3 y 2  12 x  12 y  1  0

Sol. 3 x 2  3 y 2  25  0

3.- Mediante una traslación de ejes, simplificar la ecuación en otra que carezca de términos de primer grado, indicando el nuevo origen y el tipo de curva de que se trata. a) x 2  5 y 2  2 x  20 y  4  0 Sol.- x2+5y2=25, O’(-1,2), Elipse b) x 2  4 y 2  4 x  8 y  8  0

Sol.- x2+4y2 =16, O’(2,1), Elipse

c) 2 x 2  5 y 2  12 x  10 y  17  0

Sol.- 2x2+5y2=40, O’(3,-1) Elipse

d) 3 x 2  4 y 2  6 x  8 y  13  0

Sol.- 3x2-4y2=12, O’(1,-1) Hipérbola

4.- Transformar las siguientes ecuaciones mediante una rotación para que desaparezca el término Bxy. a) 3 x 2  2 xy  y 2  8 x  16 y  30  0 Sol. 2 x 2  y 2  2 2 x  6 2 y  15  0 b) x 2  3xy  y 2  8  0

Sol. 5 y 2  x 2  16  0

c) 5 x 2  4 xy  2 y 2  2  0

Sol. 6 x 2  y 2  2  0

d) 25 x 2  36 xy  40 y 2  52  0

Sol. 3x2+52y2-52=0

COORDENADAS POLARES. 2

d  r 21  r2  2r1 r2Cos( 2  1 ) x  r Cos

r 2  x2  y2

Area 

;

y  r Sen

y ;   arc. tan x

1 r1 r2 Sen ( 2  1 ) 2

Distancia entre dos puntos. Rectangulares a polares Polares a rectangulares Area entre el polo y dos puntos

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Traza la gráfica de la ecuación dada en coordenadas polares: a) r = 4(1+cos) (cardioide)

Guía Geometría Analítica

22

 r

0° 8

30° 7.46

60° 6

90° 4

120|° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 2 0.53 0 0.53 2 4 6

330° 7.46

2.- Halla la distancia entre los puntos A(2, 75°) y B(-3, 60°) y el área: Se sustituyen los valores en la fórmula: AB  2 2  (3) 2  2(2)(3)Cos (60  75) AB 

4  9  1.5911 

24.59  4.96

El área A

1 ( 2)( 3) Sen(60  75)  0.7764 2

x2  y2  6x  8 y  3  0 3.- Transforma la ecuación rectangular a polar. Se cambia x2+y2=r2 , x por rCos, y por rSen r 2  6rCos  8rSen  3  0

4.- Transforma la ecuación polar a rectangular. r 

4 2  Sen

2r  rSen  4 Sustituyendo r y rsen, 2 x 2  y 2  y  4

Transponiendo -y, elevando al cuadrado y simplificando obtenemos. 4 x 2  3 y 2  8 y  16  0 ecuación de una elipse

EJERCICIOS PARA RESOLVER. 1.- Halla la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares: a) (6, 45°), y (10, 90°) b) (30, 30°) y (30, -90°) c) (3, 150°) y (-2, 60°) d) (1, 4/3) y ( 3, /3)

Sol. 7.15 Sol. 51.96 Sol. 3.6 Sol. 4

2.- Halla el área de los triángulos cuyos vértices son el polo y los pares de puntos del ejercicio uno Sol. a) 21.21 u2 b) 389.71 u2 c) 3 u2 d) 0

3.- Traza la gráfica de la ecuación dada en coordenadas polares. a) b) c)

6 2  sen  3 r 1  cos r  2 cos  3 sen  r

Guía Geometría Analítica

Sol. Elipse. Sol. Parábola. Sol. circunferencia.

23

r  1  2 Sen e) r  3(1  Sen )

Sol.

d)

f) r 2  4 Cos 2 4.- Transforma las ecuaciónes rectangulares a polares. 2 Sol. r 

2x 2  3 y 2  6

a)

b) y  6 y  4 x  5  0 c) 2 x 2  3 y 2  4 x  12 y  20  0 d) xy  2 2

6 2 cos   3 sen 2  2

Sol. r 2 Sen2  4

5.- Transforma las ecuaciones polares a rectangulares e indica de que curva se trata. 4 2  3 cos 7 b) r  2  2 cos 2 c) r  3  2 sen  d) r  4 sen 

a) r 

Sol. x 2  y 2  4 x  0 circunferencia.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS. EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Halla la ecuación rectangular de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son: x  1  4 Tan  y y  2  3 Sec eliminando el parámetro utilizando la relación entre tangente y secante. 1  Tan 2  Sec 2 Se despeja Tangente y Secante de las ecaucaiones paramétricas. Tan  

Sustituyendo: O sea.

x 1 4

y2 3 ( x  1) 2 ( y  2) 2 1  16 9 2 2 ( y  2) ( x  1)  1 9 16

y

Sec 

2.- Halla la ecuación rectangular de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son: x=4t, y=5t-2 Se elimina el parámetro "t" despejandola en cada ecuación e igualando. t

x 4

y t

y2 5

Igualando 

x y2  4 5

 ECUACION 5 x  4 y  8  0

EJERCICIOS PARA RESOLVER.

Guía Geometría Analítica

24

1.- En cada uno de los ejercicios siguientes, traza la curva correspondiente, partiendo de sus ecuaciones paramétricas y encuentra la ecuación rectangular de la curva. a) x 

5 cos y 2

b) x  2 Sen c) x  4t ;

y

2 sen  5

; y  3Cos y  5t

f)

x

; y

3 Cos 2

g) x  2Tan  i)

x  2 Sec  1

j)

x  6 Sen

;

Sol. x 2  3 y  9  0 Sol. xy  20

2 Sen 3

; y  3Cot

h) x  3Cos  4

Guía Geometría Analítica

5 t2

; y

Sol. 9 x 2  4 y 2  36  0 Sol. 5 x  4 y  0

d) x  3t  3 ; y  3t 2  6t e) x  4t 2

Sol. 625 x 2  16 y 2  100

y  2 Sen  2

; y  3Tan   1

; y  2Csc

Sol. 16 x 2  81y 2  36  0 Sol. xy  6 Sol. 4 x 2  9 y 2  32 x  36 y  64  0 Sol. 9 x 2  4 y 2  18 x  8 y  31  0 Sol. xy  12

25