Problemas De Circuitos Electricos Jesus Fraile Mora

,Prüblemas de : *:-^:uitos :Clfl(

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Jesús Fmil*

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Prob ernas de eireuiees eléctricos Jesús Fraile

l'{ora

Caterlrática de I ngenieia E!édrica Escuela de /ngenferos

de Caminos" Canoles y Puertos

llniversida d Politécnica de Mocirid

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Problemas de circuitos eléctricos Froile Moro

l.

PEARSON EDUCAOÓN, S.A, ,MAdrid, 20 I 3' ISBN: 9788490354056 l*4areria: 62 I .3. Ingeniería eléctrica

Formato:195x250mm

Páginas:358

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EDUCAqÓN, SA.

@ 2OI3 PEARSON

C/

Riber¿ del Loira, 28

28042 Madrid (España) www.Pearson.eS ISBN: 9788490354056

Depósito Legal: M-

Equipo

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9 128-20 I 3

editoria,,

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Editor: Miguel Martín-Romo Equipo de diseño:

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Diseñadora Senior: Elena Jaramillo Técnico de diseño: Pablo Hoces de la Guardia Equipo de producción:

Director¿: Mana lllescas Coordinadora: Tini Cardoso Diseño de Cubíerta: Equipo de diseño de Pearson Educación S.A

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.

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Fnoblemas de eírcu'i€os eléecrieos

!

Prólogo

Capítulo L.

Introducción a la teoría de los circuitos eléctricos

Capítulo 2.

Circuitos de corrienre altema sinusoidal . ..

Capítulo3. Circuitostrifásicos Capítul.o 4"

...

..

..

.

.

63

..:....

153

Régimen t¡ansicorio de los circuitos eléctricos

279

Este libro de Problemas de Circuitos Eléctricos es el complemento ideal del texto de Ci¡cuitos Eléctricos, l.'edición, escrito por este mismo autor y pubücado por Pearson Educación, S.A. el año 2012. En este libro de problemas están resueltos con detalle no solamente los ejercicios propuestos en el libro mencionado, sino que se han añadido otros suplementarios en los que se señala la respuesta final, Io que ha dado lugar a un total de 223 problemas, que facilitan el estudio de los Ci¡cuitos Eléctricos. La mayorÍa de los problemas que contiene esta obra, proceden de los exámenes propuestos a los alumnos de la asignatura de Electrotecnia de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid, pero puede ser un texto muy útil para aquellos estudiantes de otras ingenierías que necesiten estudiar los Circuitos Eléctricos en sus nuevas Car¡eras de Grado y que se están incorporando progresivamente en España para adaptarlas al Espacio Europeo de Enseñanza Superior.

Recomenda:nos con el mayor ahínco a los -estudiantes que utilicen este libro de problemas, que se esfuercen en comprender las ideas físicas subyacentes en los diversos ejercicios en lugar de memorizar los mismos. La memorización es antónimo del aprendizaje verdadero. Los estudiantes tienden enseguida a aprender recetas para la resolución de problemas, olvidándose muy a menudo de las partes más sustanciales de los mismos. Al resolver ejercicios prácticos se deben seguir los siguientes pasos: 1) reducción del problema físico a un estado de ldeaLaación que pueda ser expresado matemáticamente en forma de ecuaciones; 2) resolución de este próblema puramente matemático y 3) interpretación de los resultados en función de las condiciones del problema propuesto. Mi experiencia me indica, que la atención de los alumnos es absorbida únicamente por el segundo paso, de manera que no alcanzan a distinguir claramente la relación que existe entre este y el verdadero problema fÍsico. Querido estudiante, procura en la resolución de los problemas aplicar estos tres pasos sucesivos, con ello obtendrás uná concepción plena de la asignatur4 potenciando tus capacidades de aprendizaje. Si al resolver algún problema aparece alguna dificultad, es sÍntoma de que la parte correspondiente de la asignanrra no ha sido suhcientemente asimilada y requiere un estudio sriplementario. Conviene entonces repasar la teoría nuevamente y volver a intenta¡ la solución. Lo importante no es hacer muchos ejercicios sino entender Io que se est¿{ haciendo. En definitiva hay que aprender a aprender, esta es la frase rrágica de todo proceso educativo. Deseo agradecer a mi espos4 hijos y nietos, Ia paciencia mostrada durante la preparacióri de este texto y por comprender mi vocación docente, por su aliento y comprensión, y a quienes esta obra les ha rEstado muchas horas de convivencia.

El autor quiere también dar las gracias a Miguel Ma¡tín Romo, editor universitario de Pearson España, por su en que este proyecto de libro fuera ya una realidad. "mp"ño

3r)

1l) Figura

a) Resistencia equivalente del circuito de Ia Figura

l.l

b)

1.1a

En primer lugar, se observa que las tres resistencias de 3 Q situadas entre los nudos B, C y D, se encuentran formando una estrell4 que transformada en triángulo da lugar a un yalor Zt: 3 Zy : 9 O. que se dibuja entre los terminales CB, CD y DB tal como se muestra en la Figura 1.2a- Debido a la transformación anterior, en[e los terminales CB y DB quedan respecüvamente dos ramas eh paralelo de resistencias de 9 O cada un4 cuya resistencia equivalente es de 4,5 f) en cada caso.

En la Figura l.2b se muestran los cambios anteriores y se observa una red en triiíngulo entre los nudos A, C y D de resistencias iguales de 9 Q. Al transformar este trirángulo en estrella da lugar a Zy: Z¡13 : 913 :3 Q. Dos de estas resistencias, las que tocan a los nudos C y D, están en serie con las resistencias de 4,5 Q de la derecha, dando lugar a una resistencia equivalente en cada rama de 3 + 4,5 : 7,5 {2. En la Figura L.2c de la izquierda se muestra la nueva red resultante. Es inmediato observarquelasdosiesistencias de7,5 Q.estánenparalelo,dandounaresultantedeT,5l2:3,75 Qyqueesuí en serie con la resistencia de 3 Q, por lo que la resistencia total o equivalente del circuito entre los terminales A y B seráde 3 * 3,75 : 6,75 O.

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

=3'3=9O

3+4,5=7,iO

b) 7

,5

//7 ,5

3+4,5 =7,5{l

fl =3,75 O

\--

3

§) en serie coD 3,75 () = 6,75 C¿

-\^ 3c¿ 3.7io A C#

B

A ázso C+A^.-+'C

B

c)

Figura 1.2 l

lr)

Resistencia equivalente del cireuito de la Figura 1.1b

)

y tal como se muestra en la red central'de la Figura 1.3a, se ha procedido a dibujar la red de un modo más conveniente, gue evite el cn¡ce de resistencias para que sea más fácil detectar las Primerarnente,

conexiones enfre ellas. Se observa que entre los nudos A, C y D, se forma una red en triángulo de resistencias igualss y de valor 3 O. Su equivalente sería una red en estrella de resistencias iguales y de valor Zy : Z¡/3 : 3/3 : 1 O. Una vez reahzada esta transformación, tal como señala la Figura 1.2a derecha,

lasrarnasquecontienenalosnudosCyDest¿ínformadaspordosresistenciasenserieydelQcadaun4 lo que da {ugar a una resistencia equivalente de I * | : 2 {2 para cada una de las ramas, obteniendo de

l

l l

)

)

a) I

l ) l

lo fl=2

)

BA o-aAAr
1c}

2Qll2Q= I f) Figura 1.3

INTRoDUCCIóN

I u rronía DE Los ctRcutros rLÉctn¡cos 3

este modo la red izquierda de la Figura l.3b en [a que es eviclenteque las resisiencias de2eestán en paralelo y que dan Iugar a uha resistencia equivalen[e de I O (ver Figura 1.3b cerrtral). Esta nueva resistencia queda en serie con la de I Q, resultante de Ia primera transformación en estrella, por lo que se 7 {l,la cual está en paralelo con la resistenci¿t cle 2 e que había sustituye por otra equivalente de 1 en el circuito original entre los nudos A y B, lo que da lugar a una resistencia equi.ralente RAB i e, ta1 como se muestra en la Figura l.3b de Ia derecha.

2/lZ:

* :2

:

IQ

B

lcls¡ 6O

lo,

o{

lr¿

6l)

IO

*'"l{n 1r) b)

a)

Figura 1.4 ;i:S:oluCiSnilj

t:'Éá+.rÉFiiiil.5

a) Resistencia equivalente

detr

circuito de la Figura l.4a

En primer lugar, se transforma la conexión en estrella formada por ias resistencias de 2 Q existente entre los nudos C, E y D, en conexión triángulo. El valor de Ia resistencia equivalente será: Z6: 3Zy: 6 C), tai como señala la parte derecha de la Figura 1.5.

6r)

Figura 1.5 En la parte superior izquierda de la Figura 1.6 se ha repetido la red transformada de la Figura 1.5. En la Figura 1.6 se observan dos redes en triángulo: la red BCE y la red CDA, de 6 O cada una, que al transformarlas a estrella se obtiene una resistencia resultante igual a: Zy: Zol3 : 613 :2 Q, dando lugar al circuito central superior de la Figura 1.6, en la que se aprecia que existen dos resistencias en paralé-

lo:unade6Qyotrade6*6:12QsituadasentralosnudosEyD,siendosuequivaienteunaresistencia de 12/16

:

4 Q.

RED:

12-6 '72 rz+6:rg:4Q

PROBLE/'4AS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

En la paite superior derecha de la Figura 1.6 se muestra la red transformada de acuerdo con los carnbios anteriores. En la red inferior izquierda de la Figura 1.6, se han sumado en serie las dos resistencias de 2 Q que van al nudo C 1o que da lugar a una resistencia de 2 + 2: 4 O, que estii en paralelo con la

resistenciadeSOexistenteentrelosnudosDyEloquedalugaraunvalorequivalentedes/3Q(verred cenkal inferior de la Figura 1.6). Finalmente, se observan tres resistencias en serie de: 2 {¿, 813 Q y 2 O, lo que da lugar a una resistencia equivalente resultante de la red entre los terminales A y B de valor:

820 n,r12+2+r:TCl

2A

Ro+ c)

o D

6olltz04a

B2

"1 4l/8=8BA F^*=

)

j'

2+2+8/3=2o13tt

¿ B

Figura 1.6

a) Resistencia equivalente del circuito

de la Figura

1.4b

i

de al

Debido a la simet¡ía de Ia figura, la mejor forma de calcular la resistencia equivalente entre los nudos la diagonal principal del cubo, es determinar la distribución de corrientes por las resistencias del cubo conectar un ge.nerador extemo y calcular finalmente Ia resistencia equivalente de la red, aplicando el segundo lema de Kirchhoff a un lazo del circuito. De este modo si se aplica una d.d.p. U, entre A y B, distribución de corrientes en la red será la indicada en la Figura t.l.f-a corriente ^I suminist¡ada por batería se divide, en el nudo A, en tres partes iguales de Il3 A iada unar que van respectivamente haiia tos nudos M, N y P. Al llegar estas corrieot s estos nudos se dividen en dós partes iguales de It6 cada " tal como se muesaa en la Figura

lá la

'

una,

1.7-

En cada uno de los nudos R, S y T, se suman las corrientes respectivas que llegan a los mismos + 116: Il3) yvuelveporB unacorriente totall(queeslasuma Il3 + Il3 * Il3 delas tresramas que Ueg1l al nudo B). Aplicando el segundo lema de Kirchhoff al circuito A-M-S-B-generador de tensión U, (116

resulta:

U:»RI ; Por lo que la resistencia equivalente entre

U: (í) ., (á)' . '

AyB

será:

5 _Í u 6' R------O I16

5

t )

L

;

)

) )

1

j

INTRoDUCCIóN

R

lfl tg,x,

1/3"

e

La

to

rroníe

B

DE

Los ctRCUtTos

rLÉcrnlcos s

1

Figura 1.7

B

3c)

A(

|

PI

?.)

I l0v ') J

aa1

\

Ei

lc¿

ioo __--l l\ ^

lo

-

lo<

I

Figura 1.8 Lit:Eii;S¡i'"1=+i*EEÍl

#s.tflü6i6ñ?,i ri?J#irE+.:!i¡ir¡.lEF;i *:Bñ¿t+Bnri:E

i

Si se observa el circuito original, entre los nudos B, C, D y E se dispone de una red de resistencias de 1 Q conectadas en estrella que se transforman a un triángulo de resistencias iguales y con un valor de R¿ : 3,Ry: 3 Q. Esta red es la mostrada en la Figura L.9 y a partir de la cual se van a efectuar las siguientes reducciones:

NudosByE.Existendosresistenciasde3Qy6Oenparalelo,suequivalenteserá:.3/16:ZQ. NudosDyE.Existendosresistenciasenparalelode3Oy6(),suequivalenteserá:3/16=ZQ. 3C¿

Zo:37"=3.1:3'O

6 Cl en

paralelo con

3 C)

l0v E 6

Figura 1.9

O en parálelo con

3 C!

=2

f)

=2Q

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Aplicando estas reducciones al circuito anterior, se obtiene el circuito de la derecha de Ia Figura 1.9 y que se ha vuelto a dibujar en la parte izquierda de la Figura 1.i0. A este circuito se puede apiicar la equivalencia A-Y a la red en triángulo que se tiene entre los nudos A, D y B. La nueva red en estrella transformaclá, Ry : Rol3 : I Q da lugar al circuito segundo de la Figura 1.10, en el que se observan que existen las resistencias en seriede Lo-yZ Oque se pueden sumar dando lugar auna resistencia de 3 Q. Las dos resistencias resultantes de 3 Q quedan en paralelo, cornbinándose en una resistencia equivalente de 1,5 O, porlo que resulta, finalmente, e[ circuito de la derecha de la Figura 1.10, que es una simple malla en la que Ia corriente tiene un valor de: 10.

I__:4A 1+

Zol3=313=L

1,5

{l I f)

en serie con 2

f) = 3C¿

to

,,',ü130,,3c,=,,5'

r0v 20 I f)

en serie con 2 Cl = 3 Cl

Figura

l.f

0

E

E

zA

Figura 1.11 ::

:rir' ¡ii:'.r,liJ::

::-t;

i:

;''Srilucidiinl j:1:!:t¡r.i:t l_ ¡.rti

Para facilita¡ el esrudio del circuito vamos a volver a dibujar la red de la Figura 1.11 asignando co4?ntes *l -a-Ias divercas ramas del eircuitoJo que da lugrrla red dela Figura 1-f2.En e§táEiicui¡o se sáb" valor de Ia corriente que circula por la resistencia de 4 O de Ia rama derecha siruada entre los nudos D y E es de 2 A. I)e este modo, ta d.d.p. entre los nudos D y E, será iguai a (Joe = 8 V. Por consiguiente, la corriente /¡ que circula por la resistencia en paralelo con la anterior conectada entre los mismos nudos,

q*

4.2:

será:

' Ir:y'E:1: '44

z

e +

Primerlema de Kirchhoff en el nudo

.:.

D: Ir:2+ It:2* 2:4 A

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LOS CIRCUITOS EIÉCTP.ICCS 7

i"

1.\

FiEura 1.12

La corriente .I, que llega aI nudo D, provoca una caída de tensión en la resistencia de 2 Q conéctada entre los nucios C y D, de valor de valor U6p:2 Iz:2.4:8 V. De este modo, la d.d.p. Uce: Uco * LIpe: 8 * 8 : 16 V. En esta situación, en la resistencia de 4 Q de la rama CE, circulará una corriente

It:

U¿s/4

:

16/4

:

4 A. Por

1o tanto

el valor de la corriente i, que circula por la rama BC,

seobtieneaplicandoelprimerlemadeKi¡chhoffeneinudoC,resultandoser:i:lz*lz:4*4:8A. Acontin_qaciónsepuedecalcularelvalordelacaídadetensiónentrelosnudosByCyentreByEdel siguiente modo:

[Jrc:6-i:6.8:48

V ::> IJ*¡': (Jec* (JcE:48 + 16 :64Y

de donde se deducen el valor de las corrientes.[o e 15 de la Figura 1.12:

Uo. 64 Io:É:G:*O,

Uo. 64 It:É:G:OA

De este modo, del nudo B parten las corrientes i,

.Io

e /5, Que corresponde a una corriente total:

i+/4+ 1s:8 +4+4:L6A la corriente anterior (y que corresponde a la corriente total ^16 del circuito)" debe circular por la resistencia equivalente en paralelo existente entre los nudos A y B, cuyo valor es: R.r: 6l/3 :2 Q, por lo que la

d.d.p.entrelosnudosAyBtendráunvalor: que alimenta el circuito será igual a: U,

:

U,g: R"n.il:2-16:32Y.

l.16 + U^B * Use : 1.16 + 32 +

to

64:

LIZY

20

2Y

3C)

Figura

l.l3

Latensión Urdelgenerador

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

t§a-NBianlii

a'{áflil..-:.a¡i-i:.I*i=.}'-{

Vamos a simplificar la red transformando los generadores reales de la misma. Se va realizar el proceso en dos fases: primeramente, se simplifica la red situada a la izquierda de los nudos A y B, y que se ha separado en la Figura 1.14. Se observa que entre los nudos C y B, hay un generádor de corriente real de 1 A en paraleio con una resistencia de 2 Q que se puede transformar en un generador de tensión equivalente. La' f.e.rn. de este generador es E = R.I = 2- L la resistencia serie de dicho generador es la del generador de.corrienle, 2 O. En [a segunda red de la Figura 1.14 se muestra esta sustirución con Ia polaridad correcta del generador de tensión, cuyo terminal positivo es el que apunta la corriente del generador de

:2Y,y

intensidadEn esta segunda Figura 1.14 se observa que hay dos generadores de tensión en serie, de 2 V eada uno, que dan lugar a un generador de tensión.equivalente de2*2:4,.V,.con la polaridad señalada en la tercera red de la Figura 1.14. Además se observa que hay tres resistencias de la rama que están er- serie y su equivalente será una resistencia de 1 + 1 + 2: 4 Q. EL paso siguiente, mostrado en [a cuarta red de la Figura 1.14, consiste en traniformar el generador real de tensión anterior, de 4 V, en serie con la resistencia de 4 §1, en un generador de corriente, que da lugar a un valor del generador de corriente eguivalente de 414: I A y el valor de la resistencia 4 Q en paralelo.

Figura 1.14

. Por otro lado, se observa en la Figura 1.13 que entre los nudos A y B existe un generador de corriente de 5 A en paralelo con resistencia de 4 O. Existe un generador de tensión de 20 V en serie con dos resistencias de 1 Q cada una, que se dibuja separadamente, en la Figura 1.15. Esta rama será equivalente a un generador dg corriente, de valor 2012: 10 A, y una resistencia en serie de 2 Q.

l0A

Figura

l.l5

Después de las transformaciones anteriores, eI circuito de la Figura 1.13, comprendido entre los nudos se ha transformado en el circuito de Ia izquierda de la Figura 1.16, formado por tres generadores de corriente en paralelo y tres resistencias en paralelo- El generador de corriente resultante será la suma algebraica de los valores de los tres generadores (precaución con los sentidos de las corrieníes en los mismos), I 5 + 10 6 A (hacia arriba), mientras que la resistencia equivalente será la combinación en paralelo

AyB

-

:

INTRODUCCIÓN

a

n rrcníe DE Los ctRcurros rÉcrRtcos

9

Q. En el esquema central de la Figura

1'16.,_se Inuestra este generador de corriente real resultante.

Al transfornar estl g",.,"ruoo,. r]e corriente a tensiÓn se obtiene la parte izquierda del circuito situado a la derecha en la Figura'1.i;, ;r" es un genera_ dor de tensión de valor E : l'6 : 6 v, y una resistencia en serie de valor r ó. art" g"nerador, conjuntaménteconlasresistenciasde2Qy3Qylasuyapropia,fbrmanunasolamauadanclJlugaraunacorriente por la resistencia de 3 O de

--¿

valor: I_

1A

por lo que la potencia disipada en esta resistencia será:

p=RIz:3.L2:3W

r0A

Figura

l.l6

Figura 1.17

En nlqer lugar, vamos a simplificar Ia red desdoblando el eircuito original en dos circuitos independientes: el circuito a) que incluye los nudos MABCD y el circuito b) formádo por los nudos FGEH . La caída de tensión total Ur¡, se obtendrá mediante la suma de las d.d.p. Uor, Uss y

U*,

UeN.

a) Circuito formado por los nudos M, A, B, C y D. En la Figura 1.18a se muestra esre circuito. Los cambios a realizar son los siguientes: a.1) Nudos A y C. El generador de corriente de 1 A en paralelo con resístencia de I O se transforma 1'1 : I V, en serie con una resistencia de 1 Q (ver Figura i.lgb). a2) Nudos D y C-El generador de corriente de2A en paralelo con resistencia de I O se transforma

en un generador de tensión de

enungeneradordetensiónde2.L:2YyunaresistenciaánseriedelQ(verFigura1.1Bc).

:

¡0

PROBI.EMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

ff*:á=

2A

b)

Figura

c)

l.l8

unavez rearizados los cambios indicados, se obtiene er circuito equivarente de ra Figura 1.r9. para este circuito se aplica et métoáo ¿e tas corri"rár

¿"tara,

:::::::t '

dando lugar a las siguientes ecua_

MaIal: 2-rl+ I=(Z+I + 1 +I).It-t.Iz + 4:5.1r_ I, _l_5*9:_l-4+(t+ Malla2: l+Z).12 =+ 3__/, +4.12

Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, se obtiene el valor de ambas corrientes:

/¡:1A

i Iz:lA

de esie modo Ia caída de tensión U¡uu vale:

Uvs

:

Un¿rr

*

Ues

= Z..Ir + l.

12

+ 5 : Z. I +

rc¿

l.l

+5=

g

V

ñ

,rT

Fígura

t.l9

b) circüto formado por los nudos F, D, H y E. En Ia Fig,ra r.20a se muestra este circuito. se ':bserva que ent'e los nudos F ü ffi;úo-ne de úna red t ia,goto c,yo equivarentáen a una red formada por estrera da rugar r".irt"n"lr" ;;i ñ, [r ;;

".*,

ñ;*':,

ra Figura r.20b.

INTRoDUCCIóN e

lo

r"n

rroníe

DE Los ctRCUtTos

rÉcrRtcos

t1

H

bi

a)

Figura 1.20

Aplicando la transformación anterior, el circuito de la Figura 1.20 se convierte en el circuito de la Figura 1.21a. En este circuito, al reducir la rama de paralelo, se transforma en eJ. circuito de una sola malla mostrado en la Figura 1.21b, permitiendo el cálculo directo de la tensión entre los nudos E y N.

'

'I3:-=ll+l+2 =2A; f/sN: 2.2=4Y

Figura 1.21

Las transformaciones realizadas permiten transformar el circuito original de la Figura 1.18 en el circuito de la Figura 1.22. Obséwese que en este circuito la corriente 1"r és igual a cero. Este resultado suele sorprender a los estudiantes, pero es consecuencia de aplicar el primer lema de Kirchhoff al nudo E o al nudo B.

lo

5V

)tuA N I, l

tu?' 9V

Figura 1.22

Sin embargo, pese a no haber corriente por la rama BE, sí que hay diferencia de poténcial entre esos nudos debido a la existencia del generador de tensión de 10 V. Es decir Ia d.d.p. entre los nudos B y E vale Us6 = - 10 V. Como consecuencia de los resultados anteriores, Ia d.d.p. solicitada entre los nudos $ y N será, finalmente: U¡z¡r

:

Ur"s

*Uge

*

t/rN

: 8-

10

* 4 : 2Y

12

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELECTRICOS

)

)

Figura 1.23

ͧó.1ücióntij.j lri.'i-::*,rj?',¡)i..rrí

El qu.: la intensidad en la resistencia R6 sea nula (que representa la condición de equilibrio del puente), quierc decir que los nudos D y B deben tener el mismo potencial, o de otro modo, si se toma c.omo referencia de potenciales ei nudo inferior C, se cumplirá que Ia tensión Ur. que existe entre los terminales BC, rlebe ser la misma qr.re la existente ent¡e los nudos D y C. Las tensiones anteriores se obtienen directa'rrenie del circuito de la Figura 1.23 teniendo en cuenta las reglas del divisor de tensión y de este modo se piiede escribir:

UU

[irc: R;+ R;'R"; Uec:

R3

+ R4'R4

al iguaiar las d.d.p. antetiores resulta: R2

Ri + que es

la condicíó¡t de equilibrio

R4

R2

+ Rz'R¡:Rl'R¿

R3 +.R4

ciel puerúe de Wheaisiorue

y que indica que el producto de las dos resis-

tencias de las ramas opuestas del puente es igual al producto de las otras dos ramas opuestas.

4

o ¿l

12

\-/20v

I

Xá§to

20 A

RA"

3C¿

l0v Figura 1.24

INTRoDUCCIóN

n u rEoníe

En la Figura

1,.24 se indican el sentido de las corrientes de malla. ecuaciones son las siguientes:

DE

Los clRculTos

rLÉcrnrcos I S

El circuito posee tres mallas cllyas

Malial: 2*5:(2+L)lt-212-lI3 ? 7:31¡-ZI"-ll-r Malla2: 8 - 5 + 20: -2It+Q+1+3)12-3h => 23:-zlt+912-313 + -18: -LIr-3lz+4;i3 Malla3: -8 - 10- -11, -3lz+ (3 + 1X3 Las corrientes f, e ír, necesarias para ei cáicuio de la caída de tensión en la resistencia de 2 ohrnios situada en la rama AB, vaien: 172

Ir-- * A; Ir:

L5¿

++

A

de donde se cieduce que la con'iente que c'ircula por la rama AB vale:

Ixz: It - Iz: por

1o que Ia

t7?

- t32: 40 10 +4 A:;:

diferencia de poteuciai solicitada, Uos U¡.a

:

2.1o,

-

0,909

A

es:

5:2.0,909

- 5-

-3,18 V

Figura l-25

Al tratarse de un ci¡cuito espacial §a

que se cruzan las resistencias de 1 O y de 3 O), el primer paso debe ser transformar el circuito para obtener un esquema plano. Para ello, la rama existente entre los nudos A y C se desplaza hacia la izquierda, result¿ndo el circuito mostrado en la Figura 1.26. Al aplicar a este circuito el método de las corrientes de malla se obtienen las ecuaciones siguientes:

.

_ af 1: -4:5It Ltl +3lz-ll3 MallaZ: 4Malla 3: - 10 : -21, - l[z + 313

Malla

'

14

PRoBLEMAS DE ctRCUtTos

eÉcrnlcos

./--. 12

2

{l

lrn*/

IOV

Figura 1.26

,J

De donde se obtiene que la corriente f1 que atiaviesa Ia resistencia de 3 Q es iguat a potencia la absorbida por esta resistencia de 3 ohrnios vale:

p

:311:3(-

3)2

:27

-

3 A, por lo que l

W l )

)

)

) I

)

)

Figura 1.27 i1Ei,Fi";iE;§.B:#ii

+EiOItrlGlOnigj

i¡fs$#¡ili#,iiÉ+i

En primer.lugar, se va a aplicar el método de las mallas al circuito de la Figura 1.27 y después se impondrá la condición particular del enunciado de que i 0, como ecuación añadida. En la Figura 1.28 se muestra el circuito de la Figura 1.27 con las corrientes de mallas asignadas.

:

Qu., 2V

)

)).Figura'1.28

) )

) )

INTRODUCCIÓN N

I-¿.

TEORíA DE LOS CIRCUITOS

ELÉCTRICOS 15

Las ecuaciones de maila del circuito de la Figura l-28 son:

t2 : (6 + R)Ir - 4lz - RI3 Malla 1: Malla 2: -2 : - 4lt + l3lz - 313 2: -RIt - 3//2+ (11 + R)/3 Malla 3: Condición: i:l:-lz:0 de donde se obtiene:

l6+R 12 -Rl

l-+

Iz:

l-*

-2 -3

z

iIs

Aplicando la condición particular de corriente nula

+R -

A -L

-R de.

dondé se deduce la ecuación: 312.

-R I

12

-''

2

R:

1,1

-4

Il-R

-3 2l

--

I

ti+Rl

16+R

i : I,

- h:

16+R

tTl

13 -rl

0 se tiene:

-4

r2l

-3 l:l -4 13 -2| +Rl I -n -3 2l

600, lo que da lugar a un valor de la resistencia: .R : 1,923 {l-

0,5 r¿

2v

Figura 1.29

Para calcular el valor de la cor¡iente solicitada por el método de las mallas, es necesario transformar primero el generador de corriente real a su equivalente de tensión y también anula¡ el efecto de la resistencia de la rama de la derecha, puesto que está en paralelo con un generador de tensión ideal, y por eso no tiene influencia a efectos externos. El generador de corriente de I A en paralelo con la resistencia de 0,5 f), es 1.0,5 0,5 V, en serie con una resistencia de 0,5 Q. equivalente a un generador de tensión de valor U Por otra parte, en la rama CB existe una resistencia de 1 Q conectada en paralelo con el generador de tensión de 2 Y . El circuito no quedará modificado si se cancela esta resistencia, dado que la tensión existente entre los nudos B y C no varía. Haciendo estos cambios, el circuito de la Figura 1.29 se transforma en el circuito de la Figura 1.30. Las ecuaciones de mallas que rigen este circuito son:

:

:

0- 4lt- LIz- llt 1,5 : -1lr * 2//2- 0,513 Malla3: - 1,5: -LIr- 0,5//2+ L,513 Mallal: Malla2:

t6

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I

Io 0,5

/ñ

Al Io

c¿

2v Figura 1.30 de donde se obtienen los valores de las cor¡ientes

f,

3t26

it:--A;, ¿o

e.Ir:

Iz:i

a

-:26 13'*

y, por consiguiente, el valor de la corriente i será igual a:

i

: Iz - Ir: -t2+3: i5 A 26- ú:0,577

L2Y

ztt

B

Figura

2A

1.31

H$iü,ffiffi.,$ lii!iF,i#¡frE#-+i'el

)_

En este circuito hay un generador ideal de corriente y que por ello no se puede transformar en generador de tensión equivalente. Un generador de corriente es un elemento activo cápaz desuministrar una corriente al circuito, pero la tensión entre sus terminales es desconocida y depen¿L ¿e ta resistencia ofrecida por el circuito externo. En esta situación, en la Figura 1.32 se ha repetido el circuito de la Figura 1.31, pero se supone que el generador de intensidad posee una tensión U, desconocida que, como tal, debe incluirse en las ecuaciones del circuito, teniendo presente que el valor dá Ia intensidad en la rama donde se sitúa dicho generador de corriente es conocida.

)

I

)

)

l,

l

I La rronín DE Los ctRcurros rÉcrnrcos 1T

tNTRoDUCCtóru

Xn60 It ZOBZO

'l

F

Figura 1.32 Las ecuaciones corespondientes a las tres mallas delcircuito de la Figura 1.32 son: .l

Malla Malla Malla

1: L2= 101r -ZIz -Zh 2: O: -ZI¡+1012 -2Iz 3: -Us: -ZIi -ZIz+(2 + 2)L

(1)

Q) (3)

La corriente suministrada por el generador de intensidad coincidirá con la corriente opuesta a la mary de valor 2 A, es decir: It - 2 A. Sustituyendo este valor en las ecuaciones de las mallas y despejando 11 e 12, resulta:

:

cada en la malla 3

1,

:

0,75

A; Iz:

-0,25 A

Llevando estos valores a la ecuación de la malla (3), se obtiene el valor de la tensión del generador de corriente:

U,

:

Uco

:

2' (lt

-

/¡) + 2. (Iz -

I) :

2. (0,75

+ 2) + 2'

(- 0,25 *.2) :

5,5

+ 3,5 :

9

V

1A

20 c

Figura 1.33

Para resolver este circuito vamos area)izar dos transformaciones previas antes de plantear las ecuaciones de malla. La primera transformación consiste en agrupar las dos ramas existentes -entre los nudos C y D en una sola rama. Esta transformación se muestra en [a Figura.l.34,'para ello se debe convertir, en primer

t8

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

lugar, el generador de tensión en corriente (Figura 1.34b), determinar después el equivalente en paralelo de las dos resistencias de 2 ohmios y convertir nuevamente el generador de corriente en tensión, lo que da lugar al circuito de la Figura l.34c.La segunda transforrnación es convertir la red de la Figura 1.33 en un aircuito plano, para ello se colocará la resistenciade I O que existe entre los nudos A y C de tal modo que no se cruce con ninguna rarna, en nuestro caso se ha situado a la izquierda tal como se observa en la

Figura 1.35.

b)

a)

c)

Figura 1.34 Esta red de la Figura 1.35 es equivalente aI circuito original pero en la que se ha cambir¿o gÍa del circuito para poder aplicar el método de las mallas.

..^.

LI

i, topolo-

8V

Figura 1.35

Las ecuaciones de ncalla del circuito de la Figura 1.35 son:

3- 3It- llz- tI3 Malla 2: 6: jLIr+2Iz-LI3 Malla 3: Ur- l: -Ir -12+413 Malla

1:

Condición generador de corriente: /3 de donde se deducen los valores de las corrientes

y

de

:

1

A

la tensión existente en bornes del génerador de

corriente:

Ir:3A; 12:5A; /¡:lA;

Us: -3 Y

INTRODUCCIÓN A I.N rrONíN DE LOS CIRCUIIOS EiÉCTNICOS T9

a) La diferencia

de potencial existente entre los nudos

Ueo: +1.(/r - Iz)-2:1. b)

A y D tiene un valor:

(3

-5) -2:-4Y

La potencia sunrinistrada por el generador de corriente al circuito será:

n

Pr: Ur'1s: (-3)'1:

13 W

lo que significa que este generador absorbe una potencia de 3 W,

es

decu actúa como receptor de energía.

En este circuito se introduce un rruevo tipo de elemento activo denominado genera.dor depenliente, en el que su magnitud (tensión o corriente) depende del valor de otra variable del circuito. Eri este caso, el valor del generador de corriente depende del valor de la intensidad que circula por 1a resistencia de i !2 de Ia rama CD. La resolución de este tipo de circuitos es la misma que la utilizada en el caso general, teniendo en cuenta que el .valor de la corriente de este generador no es un parámetro sino que depende de otra variable de Ia red. En la Figuia 1.37 se repite la red de la Figura 1.36, incluyendo ios sentidos de las corrientes de malla respectivas para aplicar las ecuaciones cofrespondientes.

'4. -

'

Figura 1.37

?o

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Las ecuaciones son las siguientes:

: 11r - llz 2//2- L13 Ur: 0:-'1lr - llz+ 4//7 Malla3: : Condición: I,5i Iz - I,

Malla I: l0 Malla 2:

Condición: i

-

:

U,

/z

Resolviendo el sisterna de ecuaciones lineales, se obtienen los siguientes resultados:

Ur:15Y de potencial en bornes del generador será, por consiguierte Ur: 15 V. It:-4Ai

La diferencia

Iz:8A:i;

13:1A;

Figura 1.38 .,:iiz-,.r?.f:,:*;:r-¡1i-r-

,.

hlüéiónid

;!u-_rj¡!;: f yir.-\rí:i:.!q.

por el método de los nudos (tensiones de nudo), se debe conseguir que todos los generadores del circuito sean de corriente. Por ello, si existen generadores de tensión reales, se deben transforrnar en generadores de corriente reales aplicando las ieyes de equivalencia entre los mismos. En el circuito dé la Figura 1.38 existen dos generadores de tensión reales, ambos deZY, en serie con resistencias de I Qy 2 fl, que se transforman en generadores de corriente en paralelo con sus resistencias respectivas. Las transformaciones son las siguientes: Para estudiar un circuito

a) El generador

de tensión 2 V serie con la resistencia de 1 Q, es equivalente a un generador de coA, en paralelo con una resistencia de I Q.

rriente de valor 2ll :2

generador de tensión de 2Y en serie con resistencia de 2 Q, es equivalenle a un gene!44or dg de 212: 1 A, én paralelo con una re§isténcia d1 2 Q.córriente

b) El

Apücando estas transformaciones al ci¡cuito original, se obüene el circuito mostrado en Ia Figura A continuación para aplicar el análisis'por nudos se debe elegir el nudo de referencia o nudo de potencial cero y al cual se referirán las tensiones de los demás nudos. Se puede elegir cualquier nudo como nudo de referencia, aunque en la práctica se simpiifican las ecuaciones si se toma el nudo al que lleguen más ramas- En el caso de la Figura 1.39 se ha tomado como nudo de referenóia el nudo D, donde su tensión es cero voltios, Un : 0. 1.39.

INTRODUCCIÓN A LA TEORíA DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

2I

Figura 1.39

El sistema lineal que se obtiene al aplicar el método de los nudos al circuito de la Figura

Nudo A:

z*t:r:[i.i.i]*

-l

1

u,

Nudo

B: -2 - L: -3 :

Il-1 11l -tuo*1,*r*lJu'

Nudo

C:

-l

I

1

-1-

"r,

I

-Tu,

-í

1

u"

-i,,.[i. i4f u,

u"

de donde se obtienen los valores de las tensiones en los nudos

uo:

,.r,

A y B que nos interesan:

*'t 'r: -#.u

De este modo la d.d.p. en bornes del generador-de corriente de la Figura 1.38 es Ia d.d.p. entre los nudos anteriores A y B:

(Joa-

(J¡- Us:

Figura 1.40

1,5

V

22

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

í::'Lii¡¡lii:ÍliPlr;lr

¡rSiil'¡c'i6rfrl iir ri

i::iil-*i.Éi¡i::üil

De nuevo, para aplicar el método de los nudos, lo primero que debe hacerse es transformar los generadoi res de tensión en generadores de corriente. En este caso, se dispone de dos generadores de tensión de I V

y2VenserieconlasresistenciasdelAy2Qrespectivamente.Elprirnerodeellosseráequivalenteaun generador de corriente de valor lll : L A en paralelo con la resistencia de 1 Q y situado entre los nudos ,{ y B. El segundo de ellos será equivalente a un generador de corriente de valor ?f2: I A en paralelo coa uila resistencia deZ {l y situado entre los nudos D y B.Aplicando al circuito original ambas transformaciones, y seleccionand.o como nudo de refe,rencia el nudo B, el circuito resultante es e[ mostrado en la ljigura L-41 .

0,5 c)

Figura 1.41

Las ecuaciones de nudos del circuito son:

Nudo de referencia B: Nudo A: Nudo C: Nudo D:

:0 1- SUA-ZU: -zUo

Us

1--2U^+3Uc

0: -ZU¡

+

Z,5UD

diferencia de poiencial solicitada coincide con eI valor calculado de la tensión en el nudo A, ya que 0, al haber tomado el nudo B como referencia de tensiones. De las ecuaciones antericres se ol¡tiene: Uo : 0,806 V. I-,a

[/.as

: Uo- Ur- Ue-

A

20 B

FiEura 1.42 j l

TNTRODUCCTó|\

r n rroníe DE Los CTRCUTTOS Écrnrcos e

23

i,ij i'..#,r-i:iÍ j,;.,,.t i§OlUClon.r¿

it]l'r:{ill¿i:ü:ii

a) Transformación de generadores de tensión reales El generador de 10 V en serie con resistencia de 2 Q es equivalente a un generador de'corriente de l0l2:5 A en paralelo con resistencia de2 O siruado entre los nudos A y C. EI generador de 5 V en r:erie con resistencia de I fl, es equivalente a un generador de corriente de 5/1 : 5 A en paralell ccn resistencia de 1 O colocado entre los nudos A y C. Este circuito se puede seguir reduciendo teniendo en cuenta que los generadores anteriL:ies se encuen. tran en paralelo y su equivalente será un nuevo generador de corrie=te cuyo vaior será la suma de ambos. De igual forma, las resistencias de ambos generadores se encuentran en para!.elo 1' pueden ser si-rsdruiCos por su equivalente. En la Figura 1-43 se muestra el circuito resultante.

5+5: l0 A 2

{Ull Cl=2/3

{t

6C¿

Figura 1.43 Las ecuaciones de nudo del circuito de la Figura L.43, en el que se ha tomado como referencia e[ nudo

C de la izquierda, son:

Nudo de referencia C:

Uc:0

Nudo A:

t-i 11 ro=[**,r" 4-

Nudo B: que' resolviendo' dan lugar a

"' ";":T;i:r,'

1

1rl

- i u"*

(rs:

L,

*

11

u)rr:

0,5U8

-o,suA

*

2

,

u,

tzvolribs.

La potencia suministrada por el generador de corriente al circuito será el próducto de la corriente que suministra, I 4 A, por ia tensión existente en sus bornes, I/,, $lgrg¡nq4g-gQ!-lajeEsión-eoelnudo-B---

:

--

-iu, :ZUe. -

{*haberetegido-efn-uA-Cmmo

reGren@iuministra¿a

es

P,

:

L2-4:

48 W.

-

24

PRO8LEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

12Y

Figura

1.44

|

riir,ffiE;ff'tr$ 'Xransforrnación de generadores de tensión En el circuito de ia Figura 1.44 existen dos generadores de tensión de 12 V y de22 V, pero a diferencia de los casos a:rterÍores solamente se podrá transformar a generador de corriente, el generador de 12 V, debido a ser el único de los dos que posee resistencia en serie (es decir, es un generador real de tensión). Este generador real de tensión de LZ V está en serie con una resistencia de 2 O, por 1o que es equivalente a un gznerador de corriente con .I : LNZ : 6 A en paralelo con Ia resistencia de 2 Q. Este generador eslá conectado ertre ios nudos A y C. El segundo de los generadores de tensión, el de 22 V, no se puede transformar a generaCor de corrienie por ser ideal (su resistencia intema es cero). Un error frecuente entre los estudiantes es considerar que la corriente de un generador. de tensión es cero; debe recordarse que esta corriente es rJesconocida y que depende del circuito. Por ello, al aplicar el método de los nudos se supondrá que estc generador de tensión suministra una corriente incógnita de valor 1¿ y eue será una variable a determinar. En la Figura 1.45 se ha mcstrado el circuito equivaiente de la Figura I.44, en eI que se ha tomado como nudo de referencia o nudo de tensión cero el nudo D. Las ecuaciones dp nudos que rigen el circuito son:

D: Ua:0 fija: U¡: 22 Y

Nudo de referencia Nudo A. Tensión

Nudo B: Nudo C:

1l-l

11

1

-au.

iuo-L;*r-1uu 11f-l lrl -6- -iu" - eu,*L**1+i)u. -1-

D

zo

Figura 1.45

INTRODUCCIÓN A

U

TEORÍA DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

25

Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtienen los siguientes valores:

U^:22 voltios; Us:

12

voltios; Uc:4

voltios

Para calcular Ia potencia en los generadores se debe volver al circuito original y determinar las corrientes que circulan por las diversas ramas. De acuerdo con el circuito original de la Figura i.44, las corientes que cireulan por las diversas ramas son:

uo-uo It:#: '55

22-lz ----;-:2

Ai U¡c: U^- Uc:22 - 4: L8:2/i3{-12 + /3:3

[z:it*h:2*3:5A; Unn Un-Un

t¡s:T----1

:

I+: 4-0

I

Uac 8

A

uB-uc_12-4:1A; 88

:'tri

P,: Us- Is, son respectivamente: P(Lzlfl: L2(-I): L2(-3): -36W; P(22Y):22'12:22.5: i10 W; P(l A) : Uoe./, : (0 - l2).1 : - 12 W es decir, la suma de las potencias generadas es igual a: X Pgro : -36 + 110 - 12:62 W. Por otro lado, las potencias absorbidas por las resistencias, P : R./2, son: P(5O) : 5.Ii: 5.22: 20W; PQ$: 2.11:2.32: 18 W; P(Sf)) :8.11:8-12:8 W; P(l E¿): l.l?: l'42: 16\V Por consiguiente las potencias sqmlnistradas por los gener44ores,

que coresponde a una potencia total disipada en las resistencias de valor: E Se cumple con ello ei balance o equilibrio energético del ctcuito ya que:

LPr:6zw: IPou:6zw

1A

loBlo

Figura 1.46

Pair:20 +

18

+

8

+ 16:62 W.

)

26

PROBLEAáAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

)

.

..

l

Se va a resolver el problema por el método de las mallas, lo que requiere plantear tres ecuaciones, a las que se debe añadir una ecuación adicional que exptese la condición del enunciado del problema de que el generador de tensión no suministra potencia al circuito, lo que significa que Ia corriente que circula por é1 debe ser cero. En la Figura I.47 se muestran las corrientes de malla elegidas, así como la va¡iable de tensión asiguada U, al generador de corriente de Ia rama central.

,"

?,o ñ [Jz lo

Figura 1.47

Las ecuaciones de las mallas son:

Malla

\:2

1:

A

Malla2:

2-Ur:-tlt*llz

Malla 3:

Ur:

Condición generador:

Ir:.\ - \

-LIL +

213

.)

Aplicaudo la condición impuesta de que la potencia suministrada por el generador de tensión nula: P :2Iz: O :+ Iz: O

es

valor que al incluirlo en las ecuaciones de malla hace que el valor de la corriente de la rama inferior -- -d-erecha sea 13 = 3 A.

a) La corriente

eu el generador d3 intensidad es:

b) La diferencia

de potencial entre los nudos

/, :

\- Iz: I: :

A y C vale:

U,.c:2-1-It:2 - 1.3:-lV

) l

3 A. \ l

I ,)

')

INTRODUCCIÓN A LA TEORíA DE LOS CIRCUITOS EIÉCTRICOS

27

Figura 1.48

Se va a resolver este problema aplicando e[ método de las mallas. En el circuito de Ia Figura 1.49 se muestran los sentidos de las corrientes de malla asignados, así como la denominación de las tensiones asociadas Uil ! Usza los generadores de corriente-

?,

I2

IV

ust

F

0,5

c¿

0,5

f)

Figura 1.49

Las ecuaciones de las ma1las son:

Malla l: Malla 2: Malla 3: Malla 4: Malla 5: Condición generador: Condición generador:

/r:3A;

11:34 1--L\+212 + Iz:LA 2h-ll4 1Us2: -lh+1,14 + 1/5 Ucz: 0,5/I f, : 3 A In- Is: 1 A

12:LA]' /3:1,5A; Ia:21.;.I5:14;

Ür¡:3V; Us2:A5Y

2A

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Las potencias eléctricas suministradas por los generadores son:

A: Pil: Ust.let:3.3 : 9 W Generadorde tensión de 1V: Pr: Ue-Ir: lQ3- Iz): l(1,5 Generadorde corriente de 1 A: Pr2: Usz. Ie2:0,5.1 :0,5 W Generador de corriente de 3

l):0,5

W

Figura 1.50

Se va resolver esie circuito por el método de las mallas. Para ello §e deben transformar todos los generadores de corriente reales de la red de la Figura 1.50 en generadores reales de tensión. Por otra parte, se debe cambiar la topología del circuito para evitar el cruce de las resistencias centrales (que se cruzan, pero no se cor¿an), es por ello que la resistencia de 0,5 O conectada entre los nudos A y C se ha fasladado a ia izquierd4 tai como muestra el circuito equivalente de la Figura 1.51. El generador de corriente de 2 A es ideal y no se puede cambiar a tensión, conservándose en este ci¡cuito. Las ecuaciones de las rnallas de este circuito son:

l: -1 + L¡r: (0,5 + 0,5 + lXr - 0,512- lI3 Malla2: 5 + 1+ 1- -0,5Ir +(1 +0,5 + 0,5)12 - 0,5¡3 Maila3: -UE- 5 - -llr- 0,512 + (0,5 + i + 2)L-2{4 Malla 4: -4 - -Zh + 214 Condición: It - h: 2 A Malla

0,5

l)

I4

/r]'i

'_0,5 Q

Ir)

lo Figura

l.5l

2A

El=ti

TNTRoDUCCIóN e

u rroní¡, DE Los ctRcutros rÉcinrcos ?g

Los valores resultantes de las conientes son:

/r:-6A;

12:0A; /3:-8A;

/¿:-10A

y de este modo resulta:

a) La potencia b) La potencia

: I Q es: P(1i'): R''l]:

disipada en la resistencia R,

g g¿

suministrada por el generador de tensión E, al circuito es:

P(E) : Ez.? Io): 4. (10) : 40 W

Figura 1.52 |rrei!l_F-lEri_;¡:il:a

H§Otl{cloni.t ji"*.!f¡,',1+j ,1i,1i-iJ,¿:i*-+E

En la resolución de este circuito se va emplear el método cle mallas. El único -Eenerador de corrir..nts reaL que se puede transformar en un generador de tensióu, es el forrnado por el generador
1: 8 :5Ir - ll2- 313 Malla2: 12 : -llt + 3[z - zlj Malla 3: h: -Z A Malla

?3., Fuente 1.53

30

PROBLEMAS DE CIRCU¡TOS ELECTRICOS

que dan lugar a los siguientes valores de las corrientes:

12:3A; h:-2A

/¡:lA;

a) Potencia entregada por el generador de corriente de 2 A El valor de la tensién de este generador, siguiendo las ramas externas del circuito de la Figura 1.53 desde et terrninal positivo al negativo de este generador, es:

Ur: -LI3- ll.

+5+

12: -l'(-2) - I + 17:

18

V

pcr io que Ia potencia surninistrada por el mismo vale: Ps(z

b)

A)

- IJ -

'I,

:

18'2

:

36 W

Potencia rlisipada en [a resistencia de 3 O

Para calcrrlar esta potencia es preciso determinar, en primer lugar, la d.d.p. entre los nudos C

Uco: 3(It - I¡) - ¡ : 3'(l + 2) y al','olve;

¿rl

3

:

cir¿uiro original de la Figura 1.52, se calcula la corriente

y D:

6V

/s,

que circula por la misma:

I.r:P:1--, o JJ

rie este modo Ia potencia disipada en la resistencia de 3 ohmios será:

P(3 O)

:

RIz

: 3'22:

12 W

Llbseruaciótr: Es importante darse cuenta que [a corriente que circula por la resistencia de 3 Q de] circuito de la Figura 1.53 es It - Iz - I - (2):3 A, porlo que la potencia disipada en esla resistencia sería: R/2 : 3 .32 : 27 W. Sin embargo, la potencia disipada en la resistencia de 3 Q del circuito original es de 12 W tai como se ha calculado antes. Esto se debe a que la transformagión de generador de corriente a tensión es válida solamente a efectos externos a estos elementos pero no a efectos internos. Obsérvese quelapotenciaqr:e suministraelgeneradorde corriente delaFigura 1.52 es: Uoc.lr: (-6).1 : -6 W y la pctencia disipada en la resistencia en paralelo es de 12 W, por lo que el conjunto swninistra uoa potencia de: - 6 - 12 : - 18 W (en definitiva, el conjunto absorbe 18 W^). Para el generador de tensión equivalente delaFigura 1.53,lapotencia suministradaporél vale: Ur.(/r - Ir):3.3:9 Wy la potencia disipada en la resistencia en serie de 3 O es de27 W, por Io que el conjunto suministra una potencia: 9 - 27 = - 18 W que coincide lógicamente con el resultado anterior. En def,rnitiva" ambos generadores reales equiualentes suministran las mismas potencias al circuito, sin embargo las potencias internas generadas son distintas.

l l

tI.lrRoDUCCtóN a

L,q

tronía

DE Los ctRCUlTos

rÉcrntcos

g

l

Figura 1.54 #Jr,I"9li:!-rfl !E¡#tJf¡!{X ¡EH!SÉ.E,!ii|it¡i,¡

iEüGlf,tcloní$ P-W.#S.:.sI:¡+,;ÍHI..S

Vamos:á resolver este problema por el método de las rnallas, razón por la cual toCo¡: Ios geu.lrarlor:i ile corriente en paralelo con resistencias serián transformados en generadores de tensión en srri.e con su resísteneia coúeQoñdiente. Sin embarg-; Cómo ya se ha destácadó en el problema anterior, si se solicita¡ en el problema variables internas, hay que volver al circuito inicial. Las transfirrmaiiones cr:rrespoudierrtes son:

a) Nudos Ay B.EL generador de corriente de 3,5 A en paralelo con la resistencia de 6 f), es equ.ivai,".nte a un generador de tensión de valor 3,5 . $ :21 V en serie con la resistencia de 5 ().

b\ Nudos B y C. El generador de corriente de I A en paralelo con la resistencia de 4 Q, es equivalenre a un generador de tensión de valor en serie con la resistencia de 4 §J.

1.4:4Y

c) Nudos A y C. El generador de tensión en paralelo con la resisiencia de 5 Q. La tensión en ei cir;.uito no se verá afectada por la eliminación de 1a resistencia, pero el eliminarla presupone que se anu.la la corriente.que circula por ella y, por tanto, disminuye en su vaior ia corriente surninistratja por el generedor. Para determinar la potencia suministrada por este generador, se deberá volver al ci¡'cuito onginal y tener presente que dicho generador, además de la corriente que suministra al circuito, también aümenra a la resistencia cancelada. Al realizar estas transformaciones, se obtiene el circuito que se muestra en la Figura 1.5-5. l¿5 ssrr6ciones de malla de este circuito son: Malla Malla Malla

1: 2: 3:

- 3lt -IIz-213 -?L : - 1/r + L0Iz-3I3 4: -2It -3Iz+913 5

Figura 1.55

)

32

PROBLEIV1AS DE CIRCUITOS ELÉC'RICOS

l I

soluciones: '

que dan hrgar a Ias siguientes

,

13:04

Iz:-ZA;

\:1A;

^

a) potencias suministradas por los genéradores al circuito. Pr: (Jr.Ir 5 V. La corriente que suministra este generador es la suma de la que entrega al ck¡:.,.rito irás l¿ que entrega a la resistencia que tenía en paralelo (y eliminada en el circuito de la Figura !..jj,l, ;az,iin por1" cuat ei necesario volver al circuito original. En esie ci¡cuito original se cumple que: Gznere-d.<;r de tensi¡jn dc

Ir¡:ft*/ec:,*+:1+

l:2A

\

d:: dcniie iesulia:

: 5 V;

Urr

Pet:

Üu'In: 5'2:

I.a ¡-:t-,itncia entregada par el generador de corriente de L'órlles, fica, por La ccrni.ente del generador, es decir:

:

P(l A)

[J.LA

:

(4

-

4'Ir)'.1

de, e.ste moclo

:

W

I A es el producto de la tensión entre sus

:4' I :

.t-n pctencia entregada por ét generado,r de corriente de 3,5 's,omes por la corrieirte de generador:

P(3,5 A)

10

4W

A es el producto de ia tensióo entre

sus

(J¡e.3,5: (21+ 6'I)'3,5 A:9'3,5:31,5 W

la potencia totai suministrada por todos los generadores

P,

:LUJi :

10

+ 31,5

es:

* 4 :45,5 W

y ias potencias absorbidas por las resistencias son:

.P(1

. h)

o)

:+:

e

w;

p(4n,:+:E:4w;

P(zo):+:l:r*, P(5,,)

P(3

:+:?=r*r

o)

:+: I:

P(6o)

121Y

:+:?:13,sw

Connprobación del balance de potencias

Por consiguiente la potencia total disipada en las resistencias es:

.

P¿¡.

:

9 + 2 + 12+ 4

+5 +

13,5

:

45,5 W

que coincide con [a potencia total surninistrada por los generadores, cumpliéndose de este modo el balance energético o balance de potencias en el circuito.

I )

INTRODUCCIÓN A lA TEORíA DE IOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS

33

Figura 1.56 i¡f

,iiii

.i-ffi..É:!ii:jl{

ii'SotüDiót',i.,'{

ts#rfigI#:+.*g

Se va a resolver este circuito por el método de los nudos. Por consiguiente, se deben transformar los generadores reales de tensión en generadores reales de corriente. En el presente circuito solo se debe transformar el generador de tensión de 20 V en serie con la resistencia deT {1, que se encuentra en la r¿rrna CD. El generador de cor¡iente equivalente suministrará una intensidad de valor 20/2 : 10 A, en paralelo con Ia resistencia deZ Q. Una vez transformado este generador, entre los nudos C y D, quedarí;u: conectadas dos resistencias en paralelo, ambas de 2 {1, que serían equivalentes a una resistencia de I Q (vc;.. Figura 1.57a). En la Figura 1.57b se muestra el circuito transformado final en el que se ha tomado el nudo D como nudo de referencia de cero voltios.

D a)

b)

Figura 1.57

Las ecuaciones de nudds del ci¡cuito de la Figura 1.57b son:

Nudo de referencia

D:

Uo -- 0

Nudo A:

3:2U¡-

Nudo B:

0=-LU^+2,5Us-0,5Uc t2: - 0,5u8 + l,suc

Nudo C:

LUe

que dan lugar a los resultados siguientes'

Ua:3V; U3=3Y; U¿:9Y

34

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELECTRICOS

a) Corriente eléctrica suministrada por el generador de tensión

de 20

V

Para caleular la corriente eléctrica 1, que suministra el generador de20 V al circuito, es necesario volver al circuito original de la Figura 1.56. Téngase en cuenta que, de los resultados de las ecuaciones de nudo, se puede determina la d.d-p. entre los nudos C y D, que vale: Usp - Uc - Uo : 9 - 0 - 9 voltios. De este modo, planteando la ecuación que determina esta d.d.p. en el circuito original de Ia Figura 1.56, se obtiene: a^_ff

(Jca

b) Diferencia

= 20

- 2.1, => I,:'#: ^2

5,5 A

de potencial en bornes del generador de corriente de 5 A

La tensión en sus bornes es Ia d.d.p. entre los nudos A y D, tensión Uto

c) Poter:rcia eléctrica suministrada por

: Uo:

3 Y.

el generador de2 A

La potencia elécrica suministrada será igual al producto de la tensión existente en sus bornes por la cornente que inyecta al circuito. La tensión U, del generador es la tensión existente entre los nudos C y A, que vale: Uce.= Uc - U¡. De este modo la potencia suministrada por este generador es:

Pr: Ur.Z= (Uc- Uo).2:

(9

- 3).2: l2W

Figura 1.58

Ya¡¡qs a resolver este groblema por el método de las mallas. P-reyiamentedebemos rnodificar la topología del circuito para conseguir un circuito plano, lo que se consigue extrayendo del circuito la resistencia de 1 O de la rama AC y dibujándola entre ambos nudos pero por el lado derecho sin que se cn¡ce ahora ninguna rama. Por otro lado, al utilizar el método de las mallas, se deben transformar los generadores reales de corriente de la red en generadores reales de tensión. Se observa que en el circuito de la Figura 1-58 tan solo existe un generador de corriente de 2,5 A en paralelo con la reiistencia de 4 O; el generador de tensión equivalente tendrá un valor de2,5 .4 : lO V en serie con la resistencia de4 Q-La rama corespondiente está situada entre los nudos C y B.

-

tNTRoDUCCIóru e Le

rconíe

DE

Los clRCUtTos

rÉcrn¡cos gs

Otro aspecto a considerar es intentar reducir al máxirno el número de rnallas de la red, con objeto de simplificarLl problerna al reducir el número de incógnitas. En este sentido se bbs"rua que entre los nudos A y D existe un generador de tensión en serie con una resistencia y que este conjunto está en paralelo con una resistencia de2 Q. Es por ello que todo este grupo se puede simplificar realizando algunos cambios; la transformación a realízar es la siguiente: el generador de tensión de 10 V en serie con Ia resistencia cle 2 Q se transforma previamente en un generador de coniente de l0/2: 5 A, en paralelo con la resistencia deZ Q; esta resistencia queda en paralelo con la resistencia de 2 Q de Ia otra rama lo que da como rcsultado un generador de corriente de 5 A en paralelo con una resistencia de I Q. Transformando este generador de corriente a tensión, se obtiene entre los nudos A y D un generador de tensión de valor 1-5 : 5 V,.en serie con una resistencia de L Q. En la Figura 1.59a se muestran estos cambios sucesivos y en Ia Figura 1.59b se ha dibujado la red equivalente Ce la Figura 1.58 que ha quedado preparada para apücar el rnétodo de las mallas.

2Q ilv

+ us

,q rox A.(I_fo

.a)

b)

Figura 1.59

Las ecuaciones de las mallas son:

Malla l: Malla 2: Malla 3: Malla 4:

UB

-

: L0lL-lIz -4L 10 : - 1[t+212 5h -5[4 -5 to: -4It -sir+toto 10

A estas ecuaciones debe añadirse la condición de la corriente que circula por la rama 1 y que impone e[ generador de corriente correspondiente, es decir: Condición de la rama 1: /1

:

5A

lo que da lugar, al resolver el sistemas de ecuaciones lineales anteriores, a los siguientes resultados: /1

:5A;

12:7,5A; I7:4A; Io:54 p-otencr-assuministradas por los

generadores del circuito.

36

a)

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELECTRICOS

Potencia suministrada por los generadores

Potencia dél generador d.e tensión de 10 V: Pgt: Uct'lr1. Como quiera que este generador se ha transformadc, se debe volver al circuito inicial. Previamente, por medio del circuito de la Figura 1.59b, se puede calcula¡ Ia tensión existente entre los nudos A y D que debe ser Ia misma que en la red de la Figura 1-58, lo que da lugar a las ecuaciones siguientes:

: l0 - Zlrt transformadodelaFigura 1.59: Uap - 5 - l.lr:5 - 1.7,5: -2,5Y

Circuito original de la Figura 1.58: Uop

.

Circuito

de donde se deduce que:

Iil:6,25 A

Pst: l0:6,25:

62,5 W

Potencia del generador de tensión de 5 V: Pez: U12, I12.La tensión del generador es de 5 V y Ia corriente se obtiene del circuito de la Figura 1.59b y que vale lrz: Iz - .I, por io que resulta:

Psz:5'(Iz- I):5'(7,5 - 4):

17,5 W

Potencía del generador de corriente de 5 A: Psz: Ua3- Ip. La corriente en este generador es de 5 A, y la tensión se obúene de la ecuación correspondiente a la malla 1, donde el valor de U* corresponde al denomina
:

P s3

32,5

'5

:

L62,5 W

Polencía en el generador de 2,5 A: Ps+: (Jr+.Isa.La corriente es de 2,5 A, mientras que la tensión en bornes es la d.d.p. entre los nudos B y C, es decir:

Uec:

10

+ (/r

- I).4 :

10

V + Pe+: L0.2,5 :

sus

25 W

Por Io tanto la potencia elictrica total entregada por los generadores es:

I

Pg"n

:

+

62,5

77,5

+

162,5

*

25 :267,5

w

b) Potencia disipada en las resistencias P{2 O en serie con generador 10

P(2Orama

DA):

u2^^

2.52

P(l l) {e

rama DB)

_donde-qe dedUqe

I

:+

I

:

RI?

2,52

:

V¡

:

:

7\,tzs +

A¡: RIz:5.52:125

= 5(I+

- I)':

5

W;

p(4 6¡)

:&. :g : 44

6,25W; P(l () rama AC) :*:

52

:

W;

25 W;

25 W

1

q4apSlg4sia disipada pdi,

:78,125 W;

P(5 Oen serie generador5

É:t:3,725W;

P(5 () en paralelo generador 5

$ : Z.llt:2-6,252

!o-ta,I en

3,125

+

Lz5

las resisteqsiaq dq

ralqi

+ 5 + zs + 6,25 *

25

:

267,5

w

c) Comprobacién del balance de potencias en el circuito A la vista de los resultados numéricos anteriores se comprueba que la potencia total suministrada por los generadores, coincide con la potencia disipada en las resistencias del circuito, por fo que se cumple el balance de potencias del circuito.

¡l I

INTRoDUCCTóI t ¡. Lc rcoRía DE Los clRCUlTos

rLÉcratcos sv

Figura 1.60 .,a-

uG}+i4ffii€

ils6tu"H¡61f* K,Eá-*EI$E¿

El circuito de la Figura 1.60 se va a resolver por el método de mallas, aplicando

además la condición

impuesta de que la potencia suministrada por el generador de intensidad es de 54 W. Esta condición significa que la tensión en bomes de dicho generador debe ser de 5413: 18 V. En la Figura 1.61 se muestran las corrientes de malla correspondientes.

Figura 1.61 Las ecuaciones que rigen el circuito anterior son:

Malla

Ur-E:6It-llz E:6Iz-ZIt

1:

Malla2:

7--rIL-212+613 Condición de corriente: It:3 A Condición de potencia: Pr: Ur'3 + [/, : Malla 3:

18

que al resolver las ecuaciones anteriores dan lugar a los siguientes resultados:

f¡

:3 A;

12:

L

A; \:2 A; E=2Y

V

38

PROBLE,\"AS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

De acuerdo con los valores anteriores se tiene:

a) F.e.m. del generador E: Por los cálculos realizados,

E:2Y.

b) Potencias eléctricas suministra{las por los generadores:

: et 54 W. U rz: I 12. La corriente suministrada por este generador, de acubrdo con

Generador de corriente de 3 A. Esta potencia es dato: Generador de tensión E: P : ,z el esquema de la Figura 1.61 es:

P

Irz: Iz- i, : | - 3: -Z A + Pez:2.(-2): -4 W Potencia del generador de tensión pcnderá con la corriente calculada 13.

del Y: Pst:

Uez--lr3. La corriente suministrada al circuito corres-

Ip: Iz: 2 A -. Prs: Uet-Iez:7 -2 :

L4W

La suma de las potencias suministradas por los generadores es por lo-ianto

I

P,

:

54

+ (-4) +

L4:

64W

c) Potencias disipadas en las resistencias:

P(l O) : 1.(1r -

I)': 1.(3 - 2)2: LW; PQq:2.(lzP(3 Q) : 3123: 3.22 : LZW P(4 f¿) : 4I?.: 4-Lz : 4W; es decir, la potencia total disipada

I

Is)':2.(L - Z)2:2W; P(5 O) : 511 : 5.32 : 45W

por las resistencias eléctricas del circuito tiene un valor: Po,,,n

: 1 * z + 12 + 4 + 45 :

64w

que coincide con la potencia total suministrada por los generadores. Se cumple por ello el balance de potencias en el circuito.

sv 10,

Figura 1.62

rov(

\

TNTRoDUCCIóN

e

Ln

rroniR

DE

Los clRcurros

rÉcrnrcos

Gg

1d*:i+1ÍÍilii:¡r:'i¿¡r.:

risé1üoióiii:i

iü,*ii'il*$i;Ei:il

El circuito de la Figura i.62, tiene tres generadores de tensión y dos de corriente, en uno de los cuaies su intensidad depende de la corriente que atraviesa el generador de tensión de 20 V situado entre los nudos D y C (generador dependiente). La forma de resolver circuitos que poseen generadores dependientes, bien sean de tensión o ccrriente, es la misma que en los casos generales (bien sea el método de las mallas o el de los nudos), pero se deben incluir las ecuaciones funcionales de estos generadores dependientes. Este circuito se va a resolver por mallas de acuerdo con el esquema de la Figura 1.63.

l0 )ur L I +

2ov

Figura 1.63

Las ecuaciones de mallas y las condiciones de potencia y de corriente del circuito §on:

.

Malla3:

Ur: 0 :>- Ur:25 Y -5 :5Iz + Iz: -l A :+ /r:-154 'Ur*s+10-20:2Iz

Condición de corriente:

i:

Mal1a

-25 +

1:

Malla 2:

;' Io

- It

pero, en la riltima ecuación teniendo en cuenta que f1

IL+9\:L0Ia a) La intensidad

de cofrenE

.Ir

,.:,.

- It: 10 d : 10 (I4 + I¿:-104

de acuerdo con la Figura 1.63, vale:

Ie:-In=10.4. o' t"

*-*t:rl"::t:,::::

tuente de corriente dependiente es:

^Ir), resulta:

40

PF.OBI"EMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

I h

Figura 1.64

El circuito de la Figura 1.64

está formado por cinco generadores, cuatro de ellos de tensión y uno de corriente de los cuales, el generador de tensión de valor 4i3, es dependiente del valor de la corriente que at¡aviesa la resistencia de 1 O. Se va a aplicar el método de ias mallas para determinar el valor de la resistencia R del circuito. En la Figura 1.65 se muestran las corrientes de mallas asignadas: I^, Io e 1".

a rt

a

b

I t,

Figura 1.65

Lu,

de malla que rigen el circuito mostrado en la Figura i.65 son:

""o""iones Malla

a: 4h + 6: (R + 2)1, - 21" Malla b: Iu: 2 A Mallac: 5:-ZI"*31. Condición: 4\(I^- IJ i tOá => I"(I^ -

2)

:

42, ya que

Resolviendo el sistema se llega a una ecuación de segundo grado en /o:

2I:+L-136=0 que ria lugar a las siguientes soluciones:

I"

: 8 A; I^:

-1712 A

it:

I"

n

INTRoDUCCIóN

u rronÍe

DE Los

ctRcutros

llevando estos valores a la ecuación de la malla c) se obtienen los siguientes valores de

I":7A;

rÉcrnrcos 4l 1":

I":-4é.

valores que al llevar a la ecuación de ia malla 1, conduce a los siguientes resultaclos para la resistencia R:

R:4O;R:2ll7Q

¿

El valor entero de R es, por consiguiente, de 4 O.

Figura 1.66

El circuito de la Figura 1.66 está formado por cuatro generadores: uno de corriente y tres de tensión de los cuales uno es dependiente: 5i3. El valor de este generador de tensión depende de la corriente que atraviesa la resistencia de 10 O. Varnos a aplicar en la resolución del problema el método de las mallas de acuerdo con la asignación de corrientes que se señala en la Figura L.67.Las ecuaciones de las mallas son las siguientes:

_

Malla

Us+5h*Ut=Q

a:

-10-5í3:1¡o-r, -Q.--llb+11/" I^-1.:3

Malla b: Malla c: Condición:

Condición de potencia: P(5rg) = 5\(1.

Al resolver el sistema

-

/o)

:

:

230 W

se obtiene una ecuaeión de segundo grado cuya variable es la tensión del gene-

rador de tensión Ur:

"uru.

51.(I^* /u)

,orr.ror",,on,

"3 Usr

*'o''

''ooo

]

o

:30 V; Ur2: -36Y

42

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELECTRICOS

Analizando ambos valores y teniendo en cuenta que si el generador de tensión debe tener la polaridad señalada en la Figura 1.66, la única solución vátida correspondería a * 30 V.

&

'ov

/") r0 r¡

I Figura 1.67

Figura 1.68

ii*rYr*'HFE# ii50.luoton# +3;tlqɧiB-1:gÉ

EI circuito de la Figura 1.68 eslá formado por tres generadores: uno de corriente y dos de tensión y en el que intervienen dos generadores dependientes. Tanto el generador de tensión dependiente, de valor 5iu, como el generador de corriente dependiente 2ro, dependen de la corriente que circula por la resistencia de 1.O situada en la rama superior. En la Figura L.69 se muest¡an las corrientes de malia con las que se va a plantear Ia resolución del circuito. Las ecuaciones de estas mailas son las siguientes:

1: -Ur: 15IL }/.alla2: 12: -Zi^ Malla

3:

-5i^: -tlt Condición: L: It - Iz Condición: ia: Iz - It :1 Malla

612

-

7Iz

+

713

3L

)

A

(dato)

que al resolver el sistem4 da lugar a los siguien[es valores de las corrientes:

It: -Z Ai Iz: -Z A;

I¡

l-

: -3

A

) )

INTRoDUCCTóN

I

L.q

rconía

DE Los clRCUlTos

rLÉctnrcos 43

U, se obtiene al sustituir los valores de las conientes en ia ecuación quedalugaraun valor: Ur: - 15.(-2) +6.(-2) + 1.(-3):15 V. 1, lo

EI valor de la tensión del generador que representa alamalla

Figura 1.69

Figura 1.70

S,rr¡'iir?:11*iiiilfÉii'-rri'¿

*tiOlUCIOArH H§ti¡98';i&h*q+.1!

El circuito de la Figura 1.70, está formado porcuatro generadores: dos de tensión y dos de corrien[e, uno de los generadores de tensión es un generador dependiente cuya magnitud es función de la corriente que circula por la resistencia de 2 Q de la rama central; de los dos generadores de intensidad uno corresponde a un generador dependiente qub es funcióh del valor.dé la terisión que se tiene en la resistencia de 2 Q de la rama superior derecha. En la Figura 1.71 se ha vuelto a dibujar este circuito que se va a resolver por el método de las mallas. Las ecuaciones corespondientes son:

a: Us¡ * Usz: II^ b: -Z - A4:ZIa c: - Urí - 3iz= 2¡" Mallad: 2:-21.*3ld Condición: ir: I^- 16 Condición: Zut: Iu- I" Malla Malla Malla

ademiís la tensión

u¡:

---CondiEiórL* 21,o.

,ro

44

iRCBLEMAS DE CIRCUITOS EIÉCTRICOS

Figura 1.71

En el cálculo de Ia corriente 1r, tan solo inte¡vienen los valores de.las cor¡ientes de malla lue Io. Operand,: sobre !a*c e-cuacir:nes planteadas, se cbu.ene un valor de la,:orriente I^:7 A. Fara Ia corriente /¡, se llega a 1a ecuación Ce segur.do grado siguiente:

l7I3+ LsIb- 38:0 cl',yos resultados son: I5, : -2 A: Iaz: 19117 A. De este modo, la corriente da'1 da lugar a ios Cos valores siguientes:

i,

dei generador de intensi-

ir: I^- 16 :+ ir1:7 - (-Z): 9 A; ig2:'l - +3: L7 #t7 de acur:rdo con el enunciado la solución válida es

i, :

O

9 A, porque corresponde a un valor entero.

6V i

ffi#gffiBe.E Vamos a resolver el circuito por el método de las mallas. En Ia Figura 1.73 se muesEan las corrientes de raalla a,signadas. En el enunciado'se inriica que la potencia absorbida por el generador de tensión de 6 V es de 48 \M, esto significa que Ia corriente ieal en este generad.or debl dirigirse del terminal positivo al terr''rinal negativo del misrno. En estas condiciones, Ias ácuaciones que rigei el sisteñra aplicadas al cir-

cuito mcstrado en la. Figura 1.73 son:

TNTRODUCCTóN A

lq r¡Onía

DE LOS

CrRCUrros

1: -6 :(1 +R)/¡ -R13 MallaZ: Iz: -6 Malla 3: 1i, - Us: -R1r * R1-. Malla 4: Ur: - llz + 3//4 Condición: 1,5u6: Iq - It Condición: ub: L.(Iz - Iq) Condición: 6(Iz - I) : -48 Malla

,ñ .4i, ' ,

(/-v L/_'o Figura 1.73

Al ¡esolver las ecuaciones anteriores

se obtienen los siguientes resultados:

\:2 A; Iz: -6 A;

Iz = 4

A; Ia: -2 A

que al llevar a la ecuación de la malla 1 nos da:

-6:

(1 + R)Ir

de donde se deduce finalmente que R

:

- Rh:

(1 + R).2

4 ohmios.

Figura 1.74

- R.4:2 -

2R

rÉcrnrcos 45

46

PRoBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Íitri1;il:F,iir;:irirJij

i.t§olticlonilY :il¡:-"f :i*:!f.i¡i*

ji.l'H

Resolviendo el problema por el método de las mallas se obtiene el circuito de la Figura 1.74 qte muestra los sentidos de las corrientes asignadas. Las ecuaciones correspondiéntes son:

l: - uB: zlt - lI3 ur: 2/2 - ll3 Malla 2: Malla3: -l: -llt- llz+213 Condición: L,: L.(Iz - I) Condición: P: (&r,) - Ua: 4W Malla

rñ

iFlu, ,

Ar+

lo ,fircr Figura 1.75

Al

operar con Ias ecuaciones anteriores se llega a la siguiente ecuación de segundo grado en

k

3t¿-t6k*16:0 cuyos resultados son:

kt: 4', kr: teniendo en cuenta que, según el enunciado Ia constante

/c

4

i debe ser entera, el resultado válido es k -- 4.

)I

Figura 1.76 )

.¡

=- --

INTRODUCCIÓN

I

U rrONiN

DE LOS CIRCLIITOS ELÉCTNICOS

4V

..§aiú¿¡d;', .

j

:i'i..í"1;,'r1i;,ror;i1i

respuesta (en nuestro caso la corriente i que circula por la resistencia de 4 ohmios) corno suma de las corrientes que cada uno de los generadores del circuito, actuando individualmente, produce en la resistencia de 4 ohmios. Debe tenerse er1 cuenta que cuando se analiza la acción de un úrrico generador en la parte del circuito que se desea estudiar, deben anularse las acciones de Ios demás generadores de la red, haciendo en los generadores de tensión que su f.e.m. sea cero, lo que se consigue en la práctica cortocircuitando el mismo para hacer u, 0; sin embargo la anulación de un generador rje corriente requiere hacer que su intensidad generadora sea nula, es decir is 0,

El principio de superposición trata de determinar la

:

:

para lo cual debe abrirse el ci¡cuito para que no circule corriente.

Por otro 1a,1o, al existir varios generadores en la red, la actuación de un único generador requerirá descornponer el circuito original en tantos circuitos como generadores existan, de tal modo Que e-¡ s¿cl¿ urro de estos circuitos solamente se tenga en cuenLa el efecto que produce en la red uno solo de los generadores, anulando la acción de todos los demás. En el caso del circuito d! la Figura 1.76 se estudiará de este modo el ef,ecb del generador de24 V, anulando los generadores de 30 V y 7 A,y se calculará la corriente i, que circulará en la resistencia de 4 O (Figura 1.77); a continuación se estudiará el efeclo del generador de 30 V, anuiando los efectos de los generadores de 24 Y y 7 A y el circuito proporcionará en la rama de Ia resistencia de 4 Q una corriente i2 (Figura 1.78) y, por último, se calculará ei efecto del generador de 7 A, anulando los generadores de 24 Y y 30 V, que proporcionará en dicha rama una coniente l, (Figura 1.79). La suma de las tres corrientes i1, i2 e \, dará como resultado la cc.rriente total que circuia por la resistencia de 4 O cuando los tres generadores actúen simultáneamente en el circuito.

a) Efecto del generador de tensión

de 24 V

Anulando los generadores de tensión de 30 V (tensión cero, cortocircuito) y de corrienle de 7 A (corriente celo, circrrito abierto), el circuito original se convierte en la red indicada en ia Figura 1.71. El valor de la corriente i, es el indicado por las ecuaciones siguientes:

Iu:

.L :...._ =+ i,--7'7 3 + 6lltz 24

I

14

6+tz

-A 7

8f¿

69¿ 4{t

Figura 1.77

t-

Figura 1.78

30V

48

PROtsLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

b) Efecto del generador

l

V

de tensión de 30

I

Anulando Ios generadores de tensión de24Y (tensión cero, cortocircuito) y de corriente de 7 A (corriente cero, circuito abierto), el circuito original se transformaní en el indicado en la Figura 1.78. El valor de la corriente i2 es:

12:

c) Efecto del generador

30 15 =-:-A 8+4+3t/6 147 30

de corriente de 7

A

Anulando los generadores de tensión de 24Y (tensión cero, cor:toctrcuito) y de 30 V (tensión cero, cortocircuito), el circuito origieal se üansformará en el ci¡cuito indicaclo en Ia Figura I.79a, que se ha transformado en eI de la Figura 1.79b para facilitar el cálculo de la corriente i3, cuyo valor es:

8

8

: -- t -, 4B+@+6/rr--- t s+4+z-+¿'r ^

6f¡

a)

A4c¿

h)

)

Figura 1.79 En consecuencia, la corriente total que circula¡á por la resistencia de4 O actuando todos los generadores simultáneamente será:

j

158 i:it*iz+h:T-l*4:54 I

i

Figura 1.80

TNTRODUCCTóN

l

r-q

rrOeía

DE LOS CTRCUTTOS

tiÉcrncos 49

!!Iii,'::,:+;'l:..1;

:i'üoluctoRlir ¿ii ó;:r:i-r iir l:i: íl l-_:1,r:..

El circuito de la Figura 1.80 consta de tres generadores, uno de corriente y clos de tensión (uno de estos

es

un generador ciependíente). Debe destacarse que cuando se dispone cle un generador dependiente, la metÁdología de cálculo por el método de superposición no sigue el procedimiento clásico de cálculo qu" ,. hu realizado en el problema anterior. Esto se debe a que eI valor o magnituC de 1a tensión o corrien,;e de u:r generador dependiente es función de la corriente o tensión de una rama cie [a red, por lo qrre t,nr¿o se

aplica el método de sttperposición ntmca se pueden anular los genera,lores rlepindientes, ya que esta acción daría lugar a perder la relación funcional con la variable de la que procedi. De este r-ro,Jo cuanclo se aplique el principio de superposición a circuitos {:tue tengan generadcres clepenrlienres, estos sienipre deben esta¡ incluid«;s en lodos los circuitos que se foimen por aplicación del teorema de superpcsición. AI aplicar esLas ideas al ci¡cuito de la Figura 1.80, se tiene:

a) Efecto del generador

de corriente de 9

A

Anulando el efecio del generador de tensión de ti V, la corriente i,1 que atraviesa 1a resiste;.rcia cle 1 el se s¿lg¡li?{:á me{iante el circqito mostrado en la parte izquierda de la Figura 1.8I. Este circuito sü transforrna en el de la parte derecha de la Figura 1.81, convi¡tiendo el generador de corriente cie 9 A en generador tensión. Al aplicar las ecuaciones de malla a este circuito se obtienen Ias siguientes ecuaci'oies:

Condición:

ia: -

de.

Iz

[,faila1: 9-3ib:lfll Malla?: 3io:2[r-llr Malla3: 0--LIr*2\;

-

+ 11:9A 9:l\-3h + 0:2i2*21. + 12:0A => i",:0A :=> 0--LI2+Zh + .I, : 0A

lr¿

t

9V iE*.-*r

t

I

,t

ib

Figura 1.81

b) Efecto

del generador de tensión de 6 V

Anulando el efecto del generador de corriente de 9 A, la corriente i*que atraviesa la resistencia de I l), se calculará mediante el circuito most¡ado en la Figura 1.82. Las ecuaciones de este circuito son las mostradas a continuación:

1: -3ío:1¡, MallaZ: 3io: 2¡' - ,r' + I'z:2 A Malla3: -$---lI;+2/.\ + I\:-l\:-2A Condición: I\ : - ia :+ 11 : 3I\: - 6 A Malla

de donde se deduce:

i^z: Ii

-

I't

:2 - (-2):

4A

50

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Figura 1.82 Por consiguiente, la corriente l" del circuito de la Figura 1.80 será Ia suma de lcs valores arlteriores, es

decir:

i":i"r *i^z:0+4:4A

10f¿ lOV

loc)

lA

Figura 1.83

Fffi#.ffi§ ÉIi.o].[¡GlOn+ cifi §i¿rji:rí4'I"-¿É;1

El teorema de Thévenin indica que cualquier circuito con dos terminales

accesibles (dipolo) puede ser sustifJido por un generador de tensión en serie con una resistencia. La tensión dei generador (denominada f.e.rn. Ce Thévenin E1¡) es el vaior de la diferencia de potencial que existirá entre los terminales de la red cuando esté en circuito abierto, mientas que la resistencia equivalente de Thévenin es la resistencia que presenta la red entre los terminales A y B, una vez que se han anulado los efectos de los generadores intemos del ci¡cuito. Recuérdese que la anulación del generador de tensión (ua:0) significa sustituirlo por un cortocircuito, mientras que la anulacíón de un generador de corriente (i¿ : 0) equivale a sustinrirlo porun circuito abierto. Aplicando estos conceptos al circuito de la Figura 1.83 se tiene:

a) Cálculo

ciel generador de tensión equivalente o tensión de Thévenin:

E*

SegÚ¡ se ha geflalado, la teqsiónqtre los terminales A y B (que ya estií en-circuito abierto)-s.erá !a teusién del generador de Thévenin, y para su cálculo se puede utiliza¡ el método auxiliar gue se desee: ¡1all¿5, nudo§, ... En este caso el problerna se va a resolr¡er por el método de las mallas, lo que requiere sustituir los geueradores reales de corriente en generadores reales de tensión, lo que va a dar lugar a un circuito con una sola malla. Obsérvese que el primero de estos generadores de corriente, que es de 2 A, es equivalente a un generador de tensión de valor 2. L0 : 20 V en serie con una resistencia de 10 Q. El segundo de los generadores, que es de 1 A, es equivalente a un generador de tensión de valor l-2A:20 V, en serie con una resistencia de 20 O. En la Figura 1-84 se muestra el circuito equivalente resultante.

)

l

tNTRoDUCCtóru e

u

rconí,c DE Los clRcutros

riÉcrnrcos sI

Figura 1.84 En este circuito de Ia Figura 1.84 se puede escribir la ecuación de malla: 10 20: (10 + 10 + 20)lL + Il :4T

l0 + 20 -

por consiguiente la tensión entre los telminales A y B es iguai Uxs

:

20

+ ZOI. :

20

*

20' 0,25

==

o'25 A

a:

:

25 Y

:

Em

.

b)

Cátrculo de la resistencia equivalente de Thévenin

Cotno se ha indicado en la inaoducción de este problema, esta resistencia será la que presenia la red ent¡e los tenninales A y B cuando se anulan los generadores internos. Aplicanclo estos conceptos al circuito de la Figura 1.83, se obtiene el circuito mostrado en la Figura 1.85. En este circuito se observa que la resistencia de 20 {l queda en paralelo con las dos resistencias de 10 O conecr.adas a su vez en serie y su rcsultante está, además, en serie con la resistencia de 10 Q que está uaida e.l terminal A ,Je saiida. por consiguiente la resistencia l?*, tendrá un valor: Rrn

: fi

+ 20/l(10 +

10)

== 10

Figura 1.85

Figura 1.86

+

20

-

:

20 O

52

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

rFii.i+s.¡.:i,;¡.ltiIilg

$,sñtiiiÍéiiif 1r?t:l;ii!d+,'-UrÍYi :l'::i

Para calcular la corriente I que circula por la resistencia de 1 ohmio, aplicando el teorema de Thévénin, es

preciso extraer esta resistencia del circuito y obtener el circuito equivalente de Thévenin que presenta el resto de la red entre los terminales A y B. Una vez obtenidos los valores del generador de tensión de Thévenin y la resistencia equivalente de Thévenin, se conecta¡á de nuevo la resistencia de I O, formándose una malla e¡r la que se podrá calcular el valor de la corriente solicitada.

a) Cáiculo del generador de tensión equivalente de Thévenin, Br¡ Es la tensión c¡ue existe entre los terminales A y B cuando se deja abierto el circuito..En esta situación, el circuito original de Ia Figura 1.86 se transiorma en la red de la Figura 1.87, en Ia cual se ha realizado, prev-ia*nente, la conversión del generador.de,corriente real ,de 2'A,en'paralelo con la.resistencia de 2 ohurios por un generador real de tensión equivalente de valor 2-Z = 4 V en serie con la resistencia de 2 Q.De esle modo, result¿ una sola malla que permite calcula¡ la d.d.p. entre los terminales A y B de acuerdo con las siguienies ecuaciones:

4*2:

(3

"l

l+2)I ::+ f:

Em: U¡a:31 -Z -3-2:lY

I A;

áá'A 2v

;

to

+ 4V

)

2{'

B

Figura 1.87

b) Cálculo de Ia resistencia equivalente de Théveniil, ftrr, Para calcular esta resistencia, deben anularse los generadores del circuito original, lo que equivale a sustituir lcs generadores de tensión por cortocircuitos y los de corriente por circuitos abierlos. De este modo el circuito original de la Figurá 1.86 (al que previamente se ha extraído la resistencia de carga que hay entre A y B) se transforma en el mostrado en la Figura 1.88. En este circuito, ia resistencia existente entre lcs terr¡ünales A y B, es el resultado de la conexión en paralelo de la resistencía de 3 Q con las resistencias en serie de I Q y 2 O. El resultado de este paralelo es:

Rrh:3Wl3C):1,5Q

Figuna 1.88 rl

tNTRoDUCCIóN e

il

rroRí¡

DE

Los ctRCUtTos

rÉcrRrcos sg

c) Cálc¡¡lo de la corriente i En la Figura 1.89 se ha dibujado el circuito equivalente de Thévenin'de la red de la Fieura 1.86 que está formado, de acuerdo con los resultados anteriores, por urr generador d.e teusión Ein : I V y ur:a resist¿ncia en serie Rr,, : 1,5 Q. Una vez obtenido el equivalente Thévenin del circuito, se conecta l¡ resi.stencia de I O de carga existente entre los termi,nales A y B.que existía :n el circuiio originai, de es.re modo el cálculo de la corriente por esta resistencia se lirnita a iesolver una única maila.

Figura f .89

La corriente i que circula por la resistencia de 1 oimio de Ia Figura 1.89

,:

es:

i

1+

1.5

---:04,t 2,5

que es eI resultaCo solicitaCo.

20Y

Figura 1.90

En el circuito de la Figura 1.90 se incluye un generador de tensión dependiente de valor 2 Ip es decir que depende de la intensidad que circula por la rama donde está ubicado el generador de tensión de 20 V. Cuando existen generadores dependientes, la determínación de la resistencia equiualente de Théaenin no se puede calcular anulando los generadores sino que debe determinarse mediante el cociente de Ia tensión de Thévenin por la corriente de cortocircuito que se obtiene entre terminales. Para resolver este problema se siguen los siguientes pasos:

a) Cálculo

de Ia tensión Thévenin E¡¡.

Esta tensión es la existente entre los nudos A y B cuando se abre el circuito, es decir cuando no existe ninguna carga conectada entre los terminales A y B. En la Figura 1.91 se muestra el circuito eguivalente para determinar esta tensión.

-!l I

54

PROBLEA,IÁ.S DE CIRCU'TOS ELÉCTRICOS

IO

e

21,

l_'\

' i80v :--! lrr

-'-J}

Figura 1.91

--oB

Eo ¿l cir¿uiro de la Figura 1.91 se tiene una sola m¿{l¿ que da lugar a utra coniente:

20 cie esie rnodo ia ri.d.p. entre

- 30:'ZIt +

¿,

: #: ¿

-30 A

A y B vendrá defrr:ida poc

UtB: U^c-i'Uc¡:2Ir + IIt * 80:31r + 80:3'(-30)'+ 80: -10 + Em: -10'V t') üái,;ulo de lrt resisteucia

Thévenin equlr,atrente, Rr¡

que en el circuito eÉisten gene-ya su..ha señalado, para caicular esta resistencia, teniendo en cuenla i¿doras depcndierrtes,
Cornc

A

uz[, Io 1r¿

I ,*,.=r*

E0v?

+ B

Figura 1.92 Esta red tiene dos mallas cuyas ecuaciones son:

1: - 60 : 2Ir - ll2 Malla 2: 80 + 2\: -1\ * Malla

cuyosresultadosson:

.

2Iz

, _ t A; Iz: I.o* = -20 A - -40

r1

de donde se deduce que la resistencia de Thévenin es:

-10 o's o ^ : E* :16 = #:

-Rrn

Nota'adicíonal:En teoría de circuitos, la corriente de cortocircuito se denomina corriente de Norton y representa la corriente de un generador de intensidad equivalente que estií en paralelo con la resistencia de Thévenin. El circuito equivalente resultante se denomina equivalente de Norton que es el dual del equivalente de Thévenin. En definitiva, el circuito equivalente de la red se pue,Je expresar en forma de generador de tensión en serie con una resistencia (teorema de Thévenin) o de un generadorde corriente en Paralelo con Ia misma resistencia (equivalente de Norton).

|NTRODUCCIÓN

c) Fotencia.en la resistencia

I

IE rrONíN DE LOS CIRCUITOS ELÉCTNICOS 55

de 4"5 O conectada entre A y ts

ünavez sustiruido ei circuito por un generador d¿ tensión Ern en serie con la resistencia R¡¡,, se conecta la resistencia externa entre los terminales A y B. I)e este modo se obtiene el circuito eqr:ivalente de la Figura 1.93 que es el circuito final en el que se dellen realizar los cálculos solicitados.

4§C|,

Figura 1.93

En esie circuiio de una soia malia se tiene uira corriente:

I_

10

0,5

+

4,5

:24

por lo que ia potencia disipada en la resis¿encia de 4,5 ohrnios tendrá un valor:

P:4,5-22:lEW

15A

Figura 1.94

a)

Crálculo del generador de tensión equivalente de Thévenin,.E,¡

De actrerdo con el teorema de Thévenin, la tensión del generador E¡¡ será la tensión entre los terniinales A y B cuando se abre el circuito entre esos terminales, es decir se extrae la resistencia R del circuito. Transformando además el generador de corriente de la derecha de la Figura 1.94 en generador de tensión, resulta uu generador de tensión de 15. 6 : 90 V en serie con una resistencia de 6 ohmios. En la Figura 1.95 se muestra el circuito equivalente resultanie.

56

PROBLEMAS DE CIRCUITOS EIÉCTRICOS

+I

Figura 1.95

En este circuito se calculan las cor¡ientes señaladas teniendo ea cuenta que en una rarna la resistencia total es de 9 * 3 : l2O, y en la otra de 6 * 8 : 14 Q, lo que da lugar a:

90 65 14 65 L4 35 t:¡¡1q¡li=, ot It:i L4-rn: l'26:tA;

L2 65 12 10 Iz:I'26--l'26:TA

por lo que la d.d.p. entre los terninales A y B es igual:

UtB: h) Cálculo

3lL

-

8lz

-

100

:

3

.

3s 8 'T10 : g-

100

: -

i.15

V

:

En

de Ia resistencia equivalente, R.¡¡

Es la resistencia entre los terminales A y B cuando se anulan los efectos de lcls generadores, es decir cuando se cortcci¡cuitan los generadores de tensión y se abren los de corrierrie. De este urodo se obtiene la reC Dasiva señalada en Ia Figura 1.96, en la que se ha realizado previamente una transformación de una rea en triángulo de 9 ohmios eD una red en esEelia equivaleute, Io que da lugar a dos ramas en paralelo de' l¿rs resistencias en serie de 3 Qy 6 O con la asociación en serie de otras dos resistencias de 1 A y 8 Q, y el coniunto en serie con una resistencia de 1,5 O.

3r) 1,5 f¿ 4,5 §2 A (HAAr-4Alrre-+ B

Figura 1.96

De este modo, la resistencia total entre los terminales A y B, o resistencia de Thévenin, es igual a:

Ros

:

R:¡

:

1,5

+

(3

+ 6Y(t +-8)

-

1,5

* 4,5:6

O

q) Potencia eu R para obtener una potencia disipada máxirna De acuerdo con los resultados de los apartados anteriores, en ta Figura 1.97 se muestra el circuito equivalente de Thévenin de la red de la Figura 1.94, que esuí constituidipor un generadolde tensión de tl5 V con la polaridad señalada y una resiitencia en serie de 6 ohmios.

I

INTRODUCC!ÓN A LA rrONíN DE LOS CIRCUITOS rTÉCTAICOS

57

115 V

Figura '!.§7

La corriente de Ia malla de este circuito es 115/(5 resistencia R: t

+ n), fo que da lugar

a una potencia disipada en la

152

P:Á(6+Rf\1¡ Para óalcular el vaicr de Ia resistencia R de forma que se disipe en ella la máxima pcier:ci4 procederemos a derivar Ia expresión antericr e iguaiar ia derir¡ada a ce.ro, io que conduce al siguiente resultat1o:

dP

dR:0

+ 'R:6f)

con es¡e valor, la corriente sería igual a ll5/12 A y la potencia disipada en la rnisma tendrá un valor de 551,0,1.W.

A

R=44

Figura

a) Cáiculo

1.9.8

de la tensión del generador de Thévenin,.E*

Para deterrninar esta tensión, se debe ab¡ir el circuito entre los terminales A y B y calcuiar la tensión que seobtiene entre esos terminales. El circüito resultante es el mostrado en la figurai.gS,'que al resolver ior mallas y teniendo en cuenta que i = 12, da Iugar a las siguientes ecuaciones:

1: 2//2: 41, - 21, Malla 2: 5 : -2It * 5Ir: Malla

312

58

PROBLEMAS DE CIRCUIIOS EGCTRICOS

-'

de donde se obtiene: 5

It: Iz: -A 3

Figura 1.99

De este modo, Ia d.d.p. entre los tenninales A y B vale:

Uts: -S + LIz+ LIL+

10

b) CáIculo de la resistencia equivalente, fi'¡¡ Al existir el generador de tensión dependiente

:

5

*

3/¡

:

5

* 5 : i0 V :

E¡¡

de valor 2i, debe calcularse la coriente de cortocircuito Al resolver este circuito por m,allas,

entre ios ter¡ninales A y B según la red mostrada en la Figura 1.100. da lugar alas siguientes ecuaciones:

1: 212:4[, - 212- 213 Malla2: 5--ZIt+5Iz-Lh Malla 3: 5: -ZIt - LIz+ 4L Malla

y

se obtiene

13

es por

\

el valor de la corriente de cortocircuito:

:

I.or,o

:

10

A

ello o¡e la re"qistencia de Thévenin tendrá el siguiente valor:

\^ Eft 10 Rrr,:-Jl:-=1o r*rto ru -+i

20

/rL 2Ct I

lq'ro Figura 1.100

)

tNrRoDUCctóN

c) Potencia disipada en La resistencia

de 4

I urroníe oe los ctRcutrcs emcrnrcos s9

f}

En la Figura 1.t01 se muestra el circüto equivalenie de Thévenin de la red original de la Figura 1.98, al que se ha conectado la resistencia de carga de 4 ohmios entre los terminales A y B. En este circuito la corriente que [o recorre tiene un valor:

:2 A ¡:"A I +4 por

1o que la potencia disipada en

la resistencia de 4 ohmios vale:

p

:

RI2

:4.2.2:

16

W

A

lOV I

L

Ffgura 1.101

R=44

60

1

PROBLE/V'IAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

.1. La Figura P.1.1 representa

un cubo en el que todas las aristas son resistencias de I l). Determinar las resistencias equivalentes: a) entre los terminales B y D; b) entre los termlnales A y D.

Sugerencia: Establecer en cada caso y por condiciones de simetría la distúbución de corrientes que se obtendrían en las diversas ramas de la red, alimentando el cubo por un generador de tensión U, aplicado entre los nudos cuya resistencia se quiere determinar. 1f¿

1c)

I B

r

l\¡

1c¿

c

IO

-+

rJ-

¿N

ts¡ F¡

lro l.l<

B

IO

220V

>lo

1c¿

toc)

's

8c)

lo ,tto N

Figura

-

P.l.l

Figura P.1.2

[Resp. a) Rso : 314 Q (se requiere poner tres corrientes incógnitas en las rarnas, que cumplan el primer lema de Kirchhoff en cada nudo; después se debe aplicar el segundo lema de Kirchhoff a t¡es lazos del cubo; finalmente la resistencia equivalente es el cociente entre la tensión U, del generador y la corriente / total que suministra a la red); b) ReD : 7nZ A (se resuelve de un modo similar al caso anterior; en este caso se reguiere poner cinco corrientes incógnitas en las ramas)]

1.2. En el circuito de Ia Figura P.1.2 calcular: a) corriente 1, suministrada por el generador de22A Y; b) diferencias de potenci4 Uoo, Uso y Ucnt c) corriente 1¡ que circula por Ia resistencia de 30 Q. [Resp. a) Ia:20 A; b) U*o:200 V; lJa»:100 V; Uco : 60 V; c) It:2 A] 1.3. En el circuito de Ia Figura P.1.3, calcular el valor de la corriente l simplificando previamente la red. vv\tf¿

lC¿

20

20

i^^

I )roo,,

20

;:

L

2{t

'""

ito

I

2

ol

(

304

1

Figura P.1.3 [Resp.

't'4'

I:

40 A]

En el circuito de la Figura P.1.4, calcular: a) va.lor de la resistencia R si el generador de tensién de 4 voltios absorbe 16 W; b) diferencia de potencial en los bornes del generaJor de corriente.

INTRODUccIóN a

40

3C¿

ñv

^,,t

u rconíe DE tos ctRcutTos rrÉcrnlcos ói

8A

ú,

20

M

B

lr¿

'oQ Figura P.1.5

Figura P.1.4 [Resp. a)

ft

:

1.5. En el circuito

¡n.!t

Ucp

:

1.6. En el circuito

15 O; U¡a,¡

:

40 voltios]

de la Figura P.1.5, calcular la diferencia de potencial Uco Y la corriente i.

52Y;

i:2

Al

de la Figura P.1.6, calcular: a) la diferencia de potencial Ueo; b) corriente i; c) ciiferen-

cia de potencial Uss.

<-, 60v 5A

DD Figura P.1.6 [Resp. a)

Uco:

40 V; b)

5 A; c) U6s

:

:

30 V]

1.7. En el circuito de la Figura P.1.7, tomando el nudo D como referencia de tensiones y aplicando método de los nudos calcular los valores de las corrientes I^, I,o, I" e I¿.

2Q

') oov '/

/.+

79-

+tu

A;/u

:

2 A;

I":

>?()

Figura P.1.8 1

A;

ZO

RL<

B

c

Figura P.1.7

I^:4

A

tc¿

1A

[Resp.

Vroe

1"

: I A]

Í

el

62

PROBLEMAS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

1.8. En el'circuito de la Figura P.1.8, determinar: a) equivalente de Thévenin entre los terminales A y B; b) valor de una resistencia Rr de carga conectada entre los terminales A y B para que se transfiera la miáxima potencia a la misma y calcular el valor de esta potencia. tR."rp. a) Er¡

1.9.

:

l0 V; Rrr,

:

1

O; b)

Rl:

1 O;

PL:

25 WI

En el circuito de la Figura P.1.9, determinar: a) equivalente de Thévenin entre los terminales A y B.

20

3C)

Figura P.1.9 [Resp.

a) Ett:

8 V;

Rtr

:

0,8 O]

f .10. Determinar la inductancia equivalente de los circuitos con bobinas acopladas mostrados en la Figura P.1.i0. Ll

a)

Figura P.1.10 [Resp. a)

L.s: Lt + h + 2M; b) Z"q : (Lth -

Mz)/(Ll +

k-

Lral

r

)

l

!

I