Problemas De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
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A. H. KI1CeJleB. M. JI. Kpacaon, f. 11. MaKapeRKO C50PHHK
3A,llA4
no 05blKHOBEHHblM ,[lHEPEHUI1A)lbHbIM 1tPABHEHHSlM HSJl.ATllJIbCfOO
.BblCllIAJI
MOCI(BA
UIKOJlA.
A. Kiseliov M. Krasnov O. Makarenko
PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
CuatUl edición
traducido del ruso por EMILlANO APARICIO BERNARDO candidato A doctor en clencias ílslcc-matemáiicas
EDITORIAL MOSCÚ
MIR
HA HCflAliCKO,"
fl3WKIi
Primera edición 1968 edición 1973 Tercera edictón 1979 (7"orlo edición 1984 Segunda
Imprf/SO
©
tI'
la URSS
TraduCCIón al español. Editoriol Mlr, 1979
TNDICE
§ § § § §
J. 2. 3. 4. 5.
Conceptos Mélodo d. W!lodo de Método de Ecuaciones
§ § § §
6. 7. 8 9.
Eeuaclones h,)mogéri cas y r~duclblu a ella. . . 41 Ecuaciones lineales de primer orden, Ecunciones de llerouu"l 48 Ecuaciones dif4?r~nci.le$ exactas. Factor integran1e 54 Ecuaclones diferenciales d. primer o,den no resueltas Con respecto u la derivada • . . 60 I Ecuación de primer orden y de grado 11 con respecto 8 y' 60 2. Ecuacíones de l. forma /(/1.1/') - O Y /(x. y') = O. 61 3. Ecuaciones de Lagrunge y Clalrau(. 6S Composición de las ecuacrcnes diferenciales d. las ramilias de Curvas. Problemas de trayectorias 68 Soluciones singulares . 74 Diversos problemas 82 Ecuaciones diferenciales de orden superior. Reduccrén del orden de l. ecuactén. . 84 Ecuaciones diferenciales lineales de orden ti 97 1. Independencia hneal d. las tuncrones Determinante de Wronsky (wronskiono) 97 2. Ecuaciones lineales homoC'en.as de cceücientes constantes 107 3. Ecuaciones line.le~ no homogéneas lo cornptclas] de eoeIiclentes constantes . 112 4_ Ecuaciones de Euler . . . . . 124 5. Ecuaciones dllerenciales ltncetes de coeñclenles variables 127 6. Composlcton de la ecuación diferencial dado el sistema Iundarnental de soluciones . . . . 134 M~!odo de lsocllnas poro las ecuaciones diferenciales de segundo orden 137 Problemas d. contorno . 140 lnlegración de la. ecuaciones diferenciales median le series 145
.~
fundamentales 9 isocllnas . 17 Euler 25 aproximaciones sucesivas 28 COn variables separables )' ecuacloues reducibles
~
t
§ 10. § 11. § 12, § 13. 14.
§ 15. § 16. § 17.
•
••
§ '8. Slslemas de ecuaciones
diferencio'es de coeüclentes constanles . • . . . . . . . . . 168 1. Reducción d. UI1 ststems a una ecuacién de a-ésfmo orden 169 2. Método de Euler de inlegracJ6n de un sistema de ecuacíones diferenciales
lineales
homogénea.
de coellcienles
cons-
tantes diante
• 170
.
3. Resolución de sistemas de ecuaciones diferencia combinaciones
les me-
integnlbles
175
In
4. Mélodo de variación de las constantes § 19. Teoría de 13 cslabllldad . . . • 1. Eslabllidad según Liapunov 2. Tipos elementales d. puntos de reposo 3. Eslabilidad según l. primer. aproximación
'~4 • '84 187
'92
4. Eslabilidad de las soluciones de las ecuaciones les con respecto a ,. variación de los segundos de las ecuaciones . . 5. Crlterlo de Roulh·Hurwii~ 6. Criterio
geométrico con un
§ 20. Ecuaciones § 21. Mélodo operactonal ecuaciones
. .
• .
.
.
. t94 . 197 200
.
.
•
derivada.
203
resotucíén
•
.
y sus propiedades
de Laplace
mentales
d. .
• 208
lunda. 208
2. Ecuaeiones lineales de coeficientes constantes 3. Sisfemas de ecuaciones dtlerenciales lineales Respuestas
. •
de Mijáilov)
.
de eslabilidad (crilerlo parámetro pequeño en l. y su aplicación para ,.
dUerencla'es
l. L. transformación
•
diferencia· miembros
.
.
.
•
.
•
.
.
.
. 218 . 22' .
. 226
INTRODUCCION A LA EDICION ESPAÑOLA
El presente libro de problemas es la traducción de la segunda edición de nuestro libro "Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias". Está destinado fundamentalmente para los estudiantes de tos centros superiores de enseñanea técnica y abarca casi todas las secciones del curso de ecuaciones diferenciales para los centros superlores Indicados. El libro contiene 1000 problemas que se deben resolver individualmente. Al comienzo de cada apartado se da una exposición breve de las nociones fundamentales y se resuelven unos ejemplos típicos. Se presta atención fundamenlal a aquellas cuestiones que no están aclaradas con suficiente detalle en los cursos existentes y que, como muestra la experiencia, son difíciles para los estudiantes. Por ejemplo, se expone muy detalladamente el método de las isoclinas para las ecuaciones de primero y segundo órdenes, la aplicación de las sertes a la resolución de las ecuaciones diferenciales, las soluciones singulares, algunos problemas de estabilidad, etc. A Jos autores nos causa gran satisfacclón el hecho de que nuestro libro se traduzca al castellano y quedaríamos muy contentos si encontrase una buena acogida. A. Kiselio» M.
Krasnou
G. Makarenko
§ l. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Se llama ecuación diferencial una ecuación que (Iga 1a variable Independiente x, la función incógnita !Í Y(x) y sus derivadas y'. y" ..... 11.1• es decir. una ecuación de la forma rt». U. U'. y" ..... y('¡)=0.
=
En otras palabras, se llama cCllació/1 diferencial una ecuación en la que figura la derivada o diferencial de la función incógnita. Si la función incógnita y = (I(.e) depende de una sola variable independiente x. lo ecuación dllerenclut se llama ordinaria. Por ejemplo:
1) *+X!I=O. 3) (x'
2)
f/"+y'+x=cosx.
+ !I)dx + (x + yl dy =0.
diferencial l'S el de la derívada de mayor orden que ligura en la ecuación. Por ejemplo: la ccuaclón dllerenctal !I' xy e' es de primer orden; la ecuación diferencial U" I'(.~)fl = O, donde p(x) es una íunclén dada. c< de 2· orden: la ecuación diíerencial.ylX - xy" x'. es de 9' orden. Se llama SOlllCiólI de la eCllació'l diferencial una función y = cp(x). dctcrmlnada en el intervalo (a. 11) junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden 11 inclusive, tal que 111 hacer In sustitución !I = cp(x) en la ecunclén diferencial. -:518. se convierte en una identidad con respecto a x en ~1 intervalo (a. (1). Por ejemplo, ta función !I = sen x cos x es solución de lA ecuación !1ft !I = O. r::n efecto. derivando dos veces esta lunción, se llene: El orde»
de ulla ecnactot:
+ = +
=
+
+
!J' ~ cos x - sen x.
f!"
=-
S~II
X -
cos x,
Sustituyendo en [a ecuación diferencial s" e Y por sus expresiones. resulta la identidad: - sen x - cosx + sen x +cosx ... 0. La gr álica de una solución de la ecuación diFerencial se denomina curva integral de la ecuación. . La forma general de una ecuación de primer orden es. F{x, Si
en.
la ecuación
y, y')=O.
(I)
(J) es posible despejar IJ'
=i (x.
que representa fina ecuación respecto a la derivada.
y', resulta.
y),
(2)
de primer
orden,
resuella.
con
Teorema de existencia y unicidad. Sea dada una ecuación diferencial y' = /(x. y). donde la función J(x, y) está definida en un recinto O del plano XOY que contiene el punto (xo, Yo). Si la lunción f (x, y) satislace a las condiciones: a) í (x, y) es una lunción continua de dos variables x e y. en el recinto D: b) f (x, y) admite derivada parcial continua con res,,1--,.,.---'----"';( pedo de x e y en el recinto D. Q x. entonces, existe una, y sólo una, solución y = cp(x) de la ecuaf'ig. I ción dada que satisface a la cond ición !I J._." = Yo' La condición Y lx-x. = Yo se llama condicién inicial. El problema de la búsqueda de la solución de la ecuación y' = f(x, y) que satisface a la condición inicial U Ix=<. = Yo' lleva el nombre de Cauchy. Gecrnétrlcamente 'esto signilica que se busca la curva int.ég(ár que pasa por el punto dado Mo(xo, Yo) del plano XOY (lig. 1). El teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia de solucíén única del problema de Cauchy para la ecuación y' = it», y), pero estas condiciones no son necesarias. Precisamente, puede existir una solución única
%.
10
de la ecuación y' = f (x, U) que satisface a la condición y lx_x. = Yo' a pesar de que en el punto (xo. Yo) no se cumpla la condición a) o la condición b}. o estas dos condiciones simulláneamentc. Ejemplo
1. I
r
r=v
:;=-:,.
AqUi,¡(X.Y)=~,'
En los puntos (xo. O) del eje OX no se cumplen las condiciones a) y b) (la [unción [i«, y) y su derivada par-
Fig.
cial
~~ son discontinuas
en el eje OX),
punIo del eje O~ pasa una = ¡!3 (x - xo)' (lIg. 2). Ejemplo
2. y'=xy
El segundo
miembro
su derivada
parcial
sola curva
mas,
por cada y =
inlegral
+ e-Y.
de la ecuación
f (x, y)
= xU + e-V
:~ = x - e-U son continuas
y
con res-
pecto a x e Y en todos los puntos del plano XO Y. En virtud del teorema de existencia y unicidad, el recinto en el que la ecuación dada tiene solución única es todo el plano XOY. Ejemplo
3.
El segundo es una [unción
U'=T3V"~ y'.
f V"ü2
miembro de la ecuación [t«, y) = definida y continua en lodos los puntos
del 11
plano XO Y. La derivada
f-'u = ..!_
parcial
se hace infi·
l' U
nitn para y = O. o sea, en el eje OX. de modo que para !I = O se infringe la coudlclon b) del teorema de existenda )' unicidad. Por consiguiente, es posíhle que no huya unicidad en los puntos del eje OX. Fécilmente ~e com(x+ <)3 I'ru~b~ quo la íuncién y - --ijes soluclén de la ecuar1 .t
A
y-
cíon
considerada.
A,I~más,
c_
la ccuaddn. tiene la solución evidente y ~ O. Así, pues, por cada punto del ejc OX no palian al menos dos curvas IJ'__ integrales y, por conslguiente. en los puntos de este eje, verdaderamente. queda in". A, fringida la unicidad (Hg. 3). Son tarnhién lineas InFill· 3 legra les las formadas por trozos de las parábolas cúbicas l.•~ el' y los segmentos del eje O,\'; por ejemplo, las
líneas ABOCI• ABD"C., A,/3,x. ele. De este modo. por coda punto del eje OX pasan infinitas lineas Inll!gral<.>s. Aplicando el teorema d~ existencla y unicidad señalar en los problemas que siguen los recintos en los que las ecuaciones dadas admiten ~()llIción única.
¡.
1. y'=x'+
3. !I'=!I+3~ 5, U'=V.~-U
2. y'=.!.... y
y.
4. /1'=
-)(..
6. !J'=I/I-Jl.
7.1/,=y+I, , %-9
8. y' = sen '1 - cos x, 10.
9. !J' = l - ctg 11. Se llama
solución
(2) una íunclén
general !I='Il(X.
que 'depende
de una constante
y,=.rax-y-1.
de la ecuación
dllerencial (3)
C). arbitraria
las. condíciones: .1) &;Ia sáÍisrace a la ecuaclón valores de la constante C; 12
VX=V.
C y que cumple
(2) para
cualesquiera
2) cualquiera que sea la condiciór inicial YI_x. =s; (y(xo) = Yo) (4) siempre se puede asignar un valor Co a la constante. C tal, que la función y = q>(.t, Col satisfaga a la condición inicial (4) dada Se supone que el punto (xo, Yo). pertenece al recinto en el que se cumplen las condictones de existencia y unicidad de la solución. Se llama solución particular de la ecuación dllerencial (2) a la que se obtiene de la solución general (3), asignado cualquier valor determinado a la constante arbitraria C. . Ejemplo 1. Comprobar que la función y = x + C es la solución general de la ecuación diferencial y' = l Y hallar la solución particular que satisface a la condición inicial y 1.-0 = O. Interpretar geométricamente el resultado. S o l u ció n. La función y = x C satisface a la ecuación dada para cualesquiera valores de la constante arbitraria C. En efecto, y'=(x +C)'= 1. Consideremos una condición inicial arbitraria y 1.=•• = = Yo' Poniendo x = Xo. y = !lo en la igualdad y = x + e, hallamos que e = !lo - xo. Poniendo este valor de e en la función dada, se tiene: y = = x + Yo- Xo· Esta función satisface a la condición ini~ > cial dada; en efecto, poniendo / _0 ~-?:\"K X=Xo resulta Y=Xo + Yo w -Xo = Yo. Así, pues, hemos demostrado que la función y = x + C es la solución general de la ecuación dada. En particular, poniendo Xo = O, Yo = O, obtenemos la Flg. 4 solución particular y = x. La solución general de la ecuación considerada, o sea, la función y = x + C. determina en el plano XOY una familia de rectas paralelas de coeficiente angular k = 1. Por cada punto Mo(xo, Yo) del plano XOI' pasa la única curva integral: y = x + Yo - xo. La solución particular !J = x determina una de las curvas integrales, a saber, la recta que pasa por el origen de coordenadas (fig. 4).
+
-JJ '(' 13
Ejemplo 2. Comprobar que la (unción y = Ce' es la solución general de la ecuación y' - y = O Y hallar la solución particular Que satisface a la condición inicial yl,., =-1. S o l u ció n. Se tiene y = Ce«, y' = Ce'. Poniendo en la ecuación dada las expresiones de y e y'. resulta. Ce> - Ce' _ O, o sea, la función y = .Ce' satisface a la ecuación considerada para cualesquiera valores de la cuno
slantc C. Asignemos una condición inicial arbilraria y 1... " =Yo. Sustituyendo en la función Y = Ce'. x e !/ por xo, Yo, se llene Yo = Ce-", de donde e =Yr/i-x,. La función y = = !Ioe'- r. satisface a la condición inicial. En efecto. poniendo X=Xo, resulta Y=Yol!"-"= = yo. La función Y = Ce' es la solución general de la ecuación dada. Para Xo = 1, Yo = -l. obtenemos Ia solución particular y:;a - C','(-I. -q lO
-~
I ,
Geométrlcarnente, la solución general determina una familia de curvas integrales que representan las gráficas de funciones exponen~ ciales; la solución particular es la curva integral que pasa por el Fi!r. 5 punto Mo(l. -1) (Hg. 5). Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:
I
11. y= $e~x, 12. y
xy'+y=cosx.
= Ce-2• + 1- e~,
!I-t~y+e~. 13. y::.2+C¡!I+xL
(1- x2)!/
+ xy=2x.
vr::-xr. yy' = x _ 2~3.
14. II"'PX
14
15. 11= e", eeenc<.
xU' == U tg In y.
<
J ePdt+Ce<.
16. y=e<
.
v'-g=e<+"'.
11
xv' ,.,.U+ X sen x.
sen /
J -¡-di,
17.y=x
O
18.
II=X(J ~
x=cost} 19. y=sent
x=/e'
20. y=e-'
dx+C).
}
+ yy'=O.
x
.
'
(1
x=earelJtt
+ xy) y' + y2
c=
O,
}
21. y=e-.,«Io'
.
x =1 In t 22. y=/2(2Inl+
y-
+
x=t+arcsent l'
y=Z-
xy'=O. rl Y In4=4x
}, 1) ,
.t=lnt+senf 23 . y =t (1 sen 1) 24.
xy'-U,=xe"
V-I
-
}
+ cos t 1 /2'
• X
.
x= In U'
= y'
+ seny'.
+ arcsen
11'.
1
x=/'+e' 25. y={-13+(t-l)e'
• y"+ev'=x.
Verificar que las Iunctiones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas: 26. y
e , = o;;;x
27. Y = - 3x
y' -
1
+ c'
28. !I=lo(C+ex).
29. Y-=Vx2-Cx. 30. y = x (e -
tg x . Y = O. 1/' = 31f.
y'=e·-v. (X2+y2)dx-3xgdy=0.
lo I x 1),
(x - v) dx
+ x dy = O. 15
31. x = !JCC!I+I,
!JI
32. .r ={/In Cy, La relacíón
=
(In./'
X
In y) •
11'(x + !/) "'" {l· y. C) = O. que de forma Implícita
de-
termina 1a solución general, se llama íntegral general de la ecuación diferencial de primer orden. La relación que S~ obtiene en la integr-al general al atribuir a la constante C un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. El problema de resolución o de integración de una ecuación dilerencial consiste en hallar la solución general o la integral general de la ecuación difererrcial considerada. Si. además, se ha dado alguna condición inicial. se pide íurnbien hallar la solución' partlcular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipolentes. siderar
además también
á
Comprobar
~~ =j(x.
de la ecuación la ecuación
ddx
!I
=_,(
1
X.!i
!I) se
)
si las relaciones dadas son integrales de diferenciales indicadas o no lo SOI1 (e =
las ecuaciones = consl.}:
l.
33. e-Y-Cx= 3 4. !l' ,le = '7
+ I =C',
xy'
+ 7' . xy dy + i/• dx = xds . 35. ,,3 - 4x~y + 2xy2 - y3 = O. (3x' - 8xy + 2!f2)dx - (4.1" - 4.101/+ 31/') d!l 36. y2 + 2Cx = c~, Y!I,1 + 2.rg' = y + I 2
.J
37. ardgf-1n(CIIX2+y2)=O, (x
+ y)dx
- (x-
y) dg=O.
.e
38. x=!/
39. x
J senI d/.
y = XIJ'
2
o
s0111 f -I-dt=y o
xy' IG
.
con-
Iny.
+ x In y = x sen x + y In!l.
+ yO sen x'.
=0.
§ 2. METODO
DE rSOCLINAS
La ecuación y'=[(x,
y)
(1)
determina en cada punto (x, y) donde existe la Iuncién i t«, y). el valor de y', o sea. el coeíicienle angular de la' tangente a la curva integral en este punto. Si en cada punto del recinto O se ha dado el valor de alguna magnitud, se dice que en el recinto O está definido el campo de esta magnitud Por lo tanto, 111 ecuación diferencial (1) determina un campo de di reccioncs. La terna de números (x, !I, 11') determina la dirección de una recta que pasa por el punto (x, !I). El conjunto de los segmentos de estas recias es la representación geométrica det campo de direcciones. El problema de integración de la ecuación dilerenciul (t) se puede Interpretar asl: hay que hallar una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma dirección que el campo en este punto, Frecuentemente. el problema de la construcción de las curvas integrales se resuelve introduciendo las lsocllnas, Se Ilama tsoctina el lugar geométrico de puntos en los que las tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una misma dirección. La lamilia de las isoclinas de la ecuación diferencial (JJ se determina por la ecuación
f (x,
y) = k,
(2)
donde k es un parámetro. Dando al parámetro k valores nurnér icos próximos dibujarnos una red bastante compacta de isoc1inas. sirviéndose de las cuales se pueden trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuación diferencial (1). . . O b s e r v a ció n 1. La isociina nula f (x, y) = O proporciona las lineas en las que pueden estar situados los puntos de máximo y de mínimo de las curvas integrales. Al trazar las curvas integrales, para mayor exactitud, hallan también el lugar geométrico de los puntos de in1-442
17
flexión,
Para esto se halla V" de la ecuacion
¡/' ~ =~ax -1- ~V' (1tl Y se iguala
= 2L ()~
+ f(r.
I
a cero. La linea determinada ,JI <1/ (iX+f(x, V) uu =0
es, precisamente.
el lugar geométrico
(1):
y)!!L (]!I
(3)
por la ecuación
(4)
de los puntos
de in-
flexión. si éstos existen Ejemplo 1. Sirviéndose de las isoclinas, trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuación dilerencial yf = 2x _ !/. S o I u ció n. Para obtener las ecuaciones de las tsoctinas, ponemos y' = k (k = const). Se tiene: 2x-y=k.
o bien,
y=2,t-k.
Las isocJinas son rectas paralelas. Para k = O se obtiene ta lsoclina !I 2x. Esta recia divide el plano xa y en dos partes, en cada una de las cuales la derivada ,¡ !iene un mismo signo (Hg. 6), Las curvas integrales. cortándose con la recta y = = 2x. pasan de la región de decrecimiento de la función y a la región de crecimiento de
=
-f"'ff.~'ffH--"'~
::n~i.S~~
Yc;t~ce~:~~:. ~ore~~
cuentran los puntos extremales de las curvas integrales, los plintos de mínimo, Consideremos otras dos isoclinas: k=-l,
y-2x+1
y k= l. 1I=2x-1.
Las tangentes, trazadas a
Fij¡, 6
las curvas
puntos d'e' intersección forman
con el eje
ax
18
en los
ángulos de 135° y 45°, respectivala segunda derivada: 11" =.
}iallelnos .. ahora = 2-g' = 2-2x + y.
mente.
integrales
con las isoclinas k = - I Y k 7 1,
La recta y = 2x - 2. en la que .!lN = 0, es la isoclina que se obtiene pata k = 2, 'f a la vez es una curva íntegral, de lo que puede 'uno convencerse sustituyendo en la ecuación. Como el segundo miembro de la ecuación considerada f (x. y) = 2.~- Y. satisface a las condiciones del teorema de existencia y unicidad en. todo el plano XOI', las demás curvas integrales no se cortan con esta isocllna, La ísoclina y = 2x, en la que se encuentran los puntos mínimos de las curvas integrales, está situada .sobre la isocllna y =2x - 2, por lo cual. las curvas integrales que pasan por debajo de la iscclína y = 2x - 2 no tienen puntos extrema les. La recia y = 2x - 2 divide el plano XOY en dos parles. en una de las cuales (la que está situada sobre la recia) !I' > 0, y por lo tanto, las curvas integrales tienen dirigidas hacia arriba sus concavidades, y en la otra, u" < 0, y por consiguiente. las curvas integrales tienen sus concavidades dirigidas hacia abajo. Como las curvas integrales no se cortan con la recta y 2x - 2. ésta no es el lugar geométrico de los puntos de inflexión. Las curvas integrales de la ecuación dada no tienen puntos de inflexión. La investigación realizada nos permite trazar aproximadamente la familia de las CUf\'3S integrales de In ecuación (lig. 6).
=
Ejemplo 2. Trazar, aproximadamente. las curvas integrales de la ecuación dtíerenclal y' = sen (x + Y). empicando el método de isoclinas. S o I u ció n. Poniendo y' = 11, donde k = const, se oh tiene la ecuación de las isoctinas sen (x !I) = k. siendo -1 :o;:; k :o;:; 1. Para k = 0, se tiene sen (x Yl = O. de donde
+
y=-x+nn
(n=O, ±I,
:!:2, ...
+
1.
(1)
La5 tangentes a las curvas integrales en sus puntos de Intersección con estas isoclinas. son horizontales. Determinemos si las curvas integrales tienen extremos relativos en las isoclinas y = -x JlI1, Y cuáles son: máximos o rninímos. Para esto, hallamos la derivada segunda
+
y"=(l l'
+ y')cos(.r + y)=[1 + Sen (x + y)Jcos(x + y). 19
Para y
= -); + n/l, o sea, + sen nn) cos
y" = (1
si x lIfl
+ g = nn, se
tiene:
=cos "n = (- 1)"
Si 11 es par, resulta, y" > O. y por consiguiente, las curvas integrales tienen mínimos relativos en los puntos de Intersección con las isociinas y = -); nn, donde n = O. ±2, ±¡~, ... ; si TI es impar, resulta, y" < O, Y las curvas integrales tienen máximos relativos en los puntos de intersección con las isoclinas y = -x nTl, donde n = =±1,±3 ..... Hallemos ahora las isoclinas:
+
+
k=-l,
sen(x+!I)=-I;
y=-x-~+21tn
(2)
k=I,
sen(x+y)= 1;
y=-x+~+2n/l
(3)
(n=O. ±I, :!:2, .' .). Las isocllnas son rectas paralelas con el coeficiente angular igual a -1, o sea, que se cortan con el eje OX formando con éste un ángulo de 135°. Fácilmente se com-
i+
prueba que las isoclinas y =- x 2nn (n = O ±, ± 1, ... ) son curvas integrales de la ecuación diferencial considerada (para esto, es suficiente poner la [unción
1/=-x-i+2nn. El segundo función f(x, y) del teorema de del plano XOY, tan y por ende,
-i + 2nrt.
en la ecuación (1)). miembro de la ecuación dada, o sea, la = sen(x y), satisface a las condiciones existencia y unicidad en todos los puntos por esto, las curvas integrales no se coro no se cortan con las isoclinas U = - x-
Por otra
+
parte,
la derivada
y" se anula
si
+ sen (x + y) = O, o sea, cos(x + y) = 0, o sea, en las
en las isoclinas (2), y si isoclinas (2) y (3) Al pasar (de izquierda a derecha) por las isoclínas (3), !J" cambia el sigrio de más a menos. Por ejemplo, si se considera la "franja" cdmprendída entre .Ias isocllnas y = -x e y = I
= -~ +=
+T
n', resulta que en la ísoclina y =- x se tiene y" O; bájo la isoclina, y" > '0, o sea, la concavídad de las curvas integrales está dirigida hacia arriba, y sobre la· íscclina. y" < ·0, o sea, la concavidad de las 20'
curvas integrales está dirigida hacfjl abajo. Por lo danto, las isoclinas (3) representan el lugar geométrico de IQs puntos de inflexión de las curvas integrales. Los datos obtenidos permiten trazar aproximadamente la larnilia de
Pig. 7
las curvas integrales de la ecuación dada. Para mayor exactitud. se deben trazar también unas cuantas isoclínas (lig. 7). Ejemplo 3. Aplicando el método de las isoclinas, Iralas curvas integra les de la ecuación y' = y - X2 2x - 2. S o I u ció n. Pongamos yi = k (k = consl). La ecuación de las isoc1inas es:
+
zar
+
!J -
x,
+ 2x -
2"", k.
o bien,
U = x2 -
2x
+ 3 + k.
Las ísoclmas son parábolas con el eje vertical de simetría x = 1. Entre las isoc!inas no hay curvas íntegrales. En electo, poniendo en la ecuación dada y = = x' - 2x 2 k. !I 2x - 2, se tiene, 2x - 2 = x, - 2x 2 k - x' 2x - 2, o bien, 2x - 2 = k. Pero. cualquiera que sea el valor de k, esta igualdad no puede verificarse idénticamente con respecto a x. Sea k = O. En este caso, las curvas integrales tienén tangentes horizontales en los puntos de intersección con la isoclina y = x, - 2x 2. La isoclina k = 0, o sea, la parábola y = X2 - 2x 2, divide el plano XOY en dos
+ + + +
= +
=
+ +
21
partes: en una de ellas y' < O (las soluciones decrecen). mientras que en la otra !J' > O (las soluciones crecen). Como esta isoclina no es una curva integral, en ella están situados los puntos de extremo relativo de las curvas inlegr 1. La curva Integral que plisa por el punto (l. 1). o sea, por el vértlce de la parábola y = X2 - 2x 2, no tiene exIremo relativo en este punto. Los coeficientes angul ares de las tan~entes a las curvas integra les en los puntos de 1115 lsoclinas k = 1. y =
+
+
= A-2 -
2x
+ 3.
Y k = - l.
g=x' - 2x + l. son iguales II 1 Y -l. respectivamente. Para averiguar las dlrecclones de las concavidades de las curvas integrales. hallemos la derivada segunda. Se tiene. y" - y' - 2..: + 2 = g +2.t - 2- 2x 2=y-
+
x'+ x'.
Esta se anula solamente en los puntos situados en la parábola y ... Xl. Las curvas integrales tienen sus concavldades dirigidas hacia abajo (gil < O) en los puntos del plano XOY cuyas coordenadas satlsíacen a la condición U<xt, 'J sus concavidades dirigidas hacia arriba (y">O), en los puntos, donde U > xt. Los puntos de interseccién de las curvas integrales con la parábola !J = x2, son los puntos de inílexién de éstas. Asi, pues. la parábola !I = x2 éS' el lugar .geométrlco de los punlos de inflexión de las CUFva~.integrales. . El sefúlldo míembro de la ecuación inicial f(x. y) = .. ~ !/ _. j;. +.2x - 2" satistace' 3 las condiciones del teoreina .dj!' exístencía y unlcldad en todos -10'5 puntos ·del plano .XOy., por 19 cual, por cada punto del plano pasa, una 501'acurva-Integral de la ecuación, I'i¡. 8
22
Aplicando los resultados oblenldos, trazamos aproximadamenle la familia de las curvas integrales de la ecuación dada (lig. 8). O b s e r v a ció n 2. Los puntos de intersección de dos o más isoclinas pueden ser puntos singulares de la ecuación diferencial (1) (o sea. puntos en los que el se· gundo miembro de la ecuación (1) no está delínido). Examinemos la ecuación Uf La famill'a de las 0=
f.
f
Isoclinas SI' determina por la ecuación =k. Esta' representa una familia de rectas que pasan por el origen de coordenadas. de modo que en este punlo se corlan las isocllnas que corresponden a diversas pendientes de las tangentes 3 las curvas integrales. Fácilmente se observa que la solución general de la ccuaclón dada es de la forma U= y que el punto (O. O) es un punto singular de la ecuación diferencial. En este caso. las isoclinas son curvas integrales de la ecuación (lig. 9). Ejemplo 4. Aplicando el método de las isocllnas, trazar las curvas integrales de la ecuación
ex
2L_.!..=..!.. ds
-
S o l u e ¡ó n. Poniendo!(
II+S'
= k(k = const},
la ecuación de la familia de las Isoclinas
obtenemos
J!...=..!.- •.
II+X-""
Por lo lanlo, las isoclínas son rectas que pasan por el origen de coordenadas O (O, O). Para '1 = -1, obtenemos la lsoclina IJ = O (el eje OX): para k = O, la isoclina !I = x: para k = l. la isocllna x = O (el eje OY). Examinando la ecuación "Invertida" a« y+. dg
== Ñ -
x •
hallamos la Isoellna U = - x, en todos los puntos de la cual, las curvas integrales tienen tangentes verticales. Todos las Isoclinas de la ecuación considerada se cortan en el punto (0,0) (punto singular de la ecuacién). 23
Sirviéndose de las isoclinas curvas inlegrales (lig. 10).
obtenidas
trazamos
las
Flg. 10
FIII·9
Aplicando el método de las isoclinas. trazar las curvas integrales de las ecuaciones diferenciales siguientes: 55. y'=2xy 56. y'={1 - y)(lxl 57. !J' =sen (!J - 2.x)
40. y'=X+ 1 41. y'= x+!I 42. y'=y- x 1
43. !J' = '2 (x - 2y
+ 3)
44. y'=(y-l)' 1)...
46. !J' = x, -
y'
48. y'=y49. y' = x,
60. y' = !-=-!. y
61. y'=_~
(x - y) ...'
+ 2x -
62. y' y
=
I
y+
..-1
64. y'=y
'51. g'=
"+!I x-y
65. y'=!p
52.
l' -
5S. g'=254. y'=
1
1
63. yl .... X
50. y'=
y'=
y
59. !J' = !I - x'
45. y'={y47. y' =cos
58. !J'=x~+
=y1
xy
66. y'
y
67. y'= I +y'
1- ¡r.
!lB.
u'= x
+ 2x
§ 3. METODO
DE EULER
Con este método se puede hallar en el segmento [xo, b] la solución aproximada de la ecuacién V.' = l(x, V) que satisface a la condición inicial vl%= =Yo. El método de Euler consiste en sustituir por una quebrada de segmentos rectos la curva it;l.tegral buscada de la ecuación dllerenclal que pasa por el punto Mo(xo, Yo). Dividamos el segmento [xOo b] en n partes (no necesariamente iguales) por los puntos Xo < .tl < X2 < ... < < Xn = b. Tracemos. por el punto inicial Mo(xo, Yo) de la curva integral, una recta MoM de coeficiente angular {(xo, Yo), hasta ~I punto MI (XI, Yd de intersección con la recta x = XI. La ordenada del punto MI se determina por la Iórmula YI = Yo + f (xo, Yo) (XI -
xo)·
Tracemos por el punto MI (XI,' yl) una recta MIMz de coeficiente angular f (XI, yl) hasta el punto M2{X2, Y2) de intersección con la recta x = X2. La ordenada del punto M, se determina por la fórmula
y,= y,
+ ({XI'
YI)(X2
-
x,).
De modo análogo se determina el punto Ms(x" y,), etc. La ordenada del punto M" (.~", y,,) se determina por la lérrnula Los valores aproximados de la solución de la ecuación dada en los puntos XI, '<2, ••• , x. SOI1; !II, Y2, •.. , !In. Haciendo la construcción correspondiente se obtiene una quebrada, denominada quebrada de Euler, que representa aproximadamente la curva integral que pasa por el plinto MO(XD. !lo) (lig. 1I j. Generalmente, para facilitar los cálculos y las acotaciónes se divide el segmento [.100, bJ en partes iguales y se hace la notación /¡ = x~ - X,._I' La magnitud J¡ se llama intervalo de variación del argumento.
Se puede demostrar que, cumpliéndose ciertas condiciones respecto de la lunción lts, 1/), para It - O la solución aproximada proporciona la solución exacta de la ecuación dada que satisface a la condíción inicial !J 1,_•• ~ Yo' Ejemplo. Apl icando el método de las quebradas de Euler, hallar en el segmento [O, 1] [a solución aproximada de la ecuación 1/ = 2x - 1/ que satisface a la condición 111.=0 = X,} = - 1. Dividir el segrnen1./ lo [O, 1) en 10 parles iguales y comparar los valores Fig. 11 de la solución aproximada en los puntos de división con tos valores respectivos de la solución exacta y = 2x - 2 e-x. S o I u ció n. Los valores de las ordenadas l/k en los puntos M. (x., I/~) se calculan por la íórmula
+
+
f (Xk-" YIo-,) (Xt (k= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10).
YA = Y.-I
-
X._I)
En este caso, !(Xh_', IIk-') = 2x._, - !JA-I Y las diferencias. x,- Xo = X2 - XI = ... = x,o - Xo = h = 0.1, puesto que se ha dividido el segmento lO, 1] en 10 parles iguales y, por consiguiente. !JA=Y',-' (2Xh_lI/k-I) ·0,1, k 1.2 •... 10.
+
=
kl··I~kl ". O 1 2 3 4 5 6
o 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0;6
O 0,2 0,4 0.6 0.8'
-1
-0,9000
-9.7000
-.0,6710 -0,5439. -0:4!l95 1,2 -0,2686 p;7; 1,4 -0 ..1217 -0.03047 O,~ 9 -0.187~ 10 -0.34~.
~
26
1.0
.~;g':'~ ~:o
".
-Yk
1 1,1 1,19 1;271. 1.3439 1¡4095 1.468fi 1.5217 1.6695 1.61'26
I
F'.-u•• o.r 0.1 0,1100 0.1190 0.127'1 0,13439 0.14095 0.14666 _ 0.15217 0;16695 0.16126
b'1t+1
-0.900 -().7900 -0,6710 -0.5139 -0.4095 . ~0.2686 0,1217 0.03047 0,1874 0,:1~86
l·k-
2x.-H
.x.
-1 -0.8052 -0.7813 -0.6592 -0,5297 -0,393); -0,.2512 -O,IQ34 0,0493 0.2066 0.3679'
Los resultados de los cólculos se escriben ·en una tabla, en' cuya última columna se señalan los valores
0,4095
+ 0,39351=0,0160;
el valor del error relativo es: • -
O,Olrlo ._ - • o'•. 1-0,40951 -, O 039 _.,
u-
Aplicando el método de Euler y empleando In regla de cálculo, resolver los problemas siguientes: 69. Hallar para x = I el valor de la solución de la ecuación y' = xly 2 correspondiente a la condiclón ínlcial !11_o -= O (h = O, 2). 70. Trazar. aproximadamente, eu el segmento (1, 31. la curva integral de la ecuación y' = x +!1 que pasa por el punto M (1,2) y calcular y (3) (11= 0.2). Para las ecuaciones que siguen, formar una tabla de los valores de la solución que satisface a la condición inicial dada en el segmento indicado:
+
71. y'=f,
y(I)-I,
72. y' = ~xy,
u (O)=
73. y' = .~2 +
!l,
74. r¡'= 1+
Xl/2,
75. y'=
1-
%~
y',
(1,4)
("=0,5).
[O, Ij
(h=O,I).
y{O)=O,
(O,IJ
(h=O.I).
{¡(O)-O,
to,
y(O)=
{O, 11,
1,
1,
l)
(/¡=O,I). {II=O,I). 21
§ 4. METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
Supongamos que se pide hallar la solución 11 = y(x) de la ecuación diferencial y'=f(x.
que satisface ~ la
condición
!I}.
(1)
inicial (2)
Y 1..... , = Yo·
Supondremos que en cierto rectángulo D {I x - x.1 < Q, 1 y - Yo 1 < b} con centro en el punto (x •• Yo), para la ecuación (1). se cumplen las condiciones al y b) del teorema de existencia y unicidad de la solución del problema (1)-(2) (véase la nág, lO). La solución del problema (1)-(2) se puede hallar por el método de aproximaciones sucesivas que consiste en lo siguiente:
Se forma una sucesión de funciones minadas por las relaciones reiteradas
{!In (xll. deter-
x
Yn (x) =Yo
+ J ¡(1, Y._I ({)( dI,
(/t
=
1. 2 •...
).
(3)
"
Por aproximación nula yo(x) se puede lomar cualquier Iunción que sea continua en un entorno de! punto x = Xo; en particular, y.(x) "'" Yo, donde Yo es el valor inicial de Cauchy (2). En virtud de las hipótesis que se hacen con respecto a la ecuación (1). las aproximaciones sucesivas {y" ('i)} convergen hacia la solüéíón exacta de la ecuación (1) que satisface a la condición (2) en cierto intervalo Xo - h < x < x. + h, donde h=min(a.
~}.
M = rnax D 1 f (x. !lH
(x., ..
28
(4)
La cota del error cometido al sustituir la solución y(x) por la aproximación n·ésima y,,(x) es: M·N,I-1
ti
I y(x) -Yn(x)I<;--",-h donde N
= ,s,max ylsO
exacta (5)
,
I ul' [. iJlf"
Por el método de las aproximaciones sucesivas hay que detenerse en una n de modo que IlIn+1 - y'o I no supere al error permitido. Ejemplo, Empleando el método de las aproximaciones sucesivas, hallar la solución aproximada de la e~u~ción g' = x'
+ y2,
que satisface a la condición inicial 111=0 = O en el rectángulo -1 <; x <; 1,-1 <; g';;;; 1. S o 1 u ció n, Se tiene If (x, y) 1= x + Y. ~ 2, o sea, M = 2, Tomamos por h el menor de los números a = I b I 1 Según (4), las aproximaciones M=2' o sea," =2" sucesivas
convergen
en el intervalo
I
- 2'
< x < 2"1
Estas
son: I/o(X)=O: y,(x)-=
r(t2+Y~dl= o
El error absoluto 8 la magnitud
I y, (X)
x;;
de la tercera -!J (x)
1';;
aproximación
*(+y
no supera
27 =~; 29
En este caso, N=
mgxj
~t1='mgxI2!J
1=2.
En los siguientes ejercicios hay que hallar tres aproo xlruaciones sucesivas: 76. y' - x:' - 11; Y 1,,__ • - o. 77. IJ'=x+.r/; IJ Ix=-, ... 0. 7S.
fI'=x+y;
79.
y' = 2y - 2x' - 3;
y 1..." =1. l/l •..., =2.
SG, xy'=2x-y;
y 1.....
=2.
§ 5. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS
La ecuación diferencial de
{(I
forma
~(y)dIJ=f(x)dx
(1)
se /lama eCllación con uarlables separadas
Las ecuaciones de: la lorma i¡)r(X) ",,(y)dx='I',(x)"'dy)d//,
(2)
en las que los coeficientes de: las dilerenclales se descomo ponen en lactores qué dependen solamente de x o solamente de Yr se llaman ecuaciones con variables separabIes. _DJ-vi.dicndopor el producto '1>. (Y)ql2(x) éstas se reducen a ecuacloñes con variables separadas: 'l'. (.<) dx- <= ~. (y) dy '1',(.<) '4>, (v) •
(2')
La integral
general
J
de esta ecuación
J
dx-
Cf,(X) Cf, (xl
tien~ la Iorma
"';($) dy=C..
(3)
,¡" (v)
.pI (y)
O b s e r v a ció n. La división por dar lugar a que se pierdan las soluciones anulan al producto .p, (Y)
particulares
puede que
~
:~=f
(ax
+ bU +' e),
donde a, b y e son constantes, se reduce ,a una ecuación con variables separables haciendo la sustitución z=ax+by Ejemplo
1. Resolver 3e' Ig ydx
+c.
la ecuación
+ (2 -
~)sec"
S o I u ció n. Dividimos ambos ción por el producto tg !l' (2 - ex) 341' d.t 2- e<
+
Ha resultado una ecuación tegrándola hallamos:
ydy =0. miembros
=O
seo' y dy tl1l1
de la ecua-
.
con variables
separadas.
in-
- 311112- eX 1+ ln l tg !l1=C,. Efectuando
la potenciación,
_lIlli_ .r12-0'1' =t:"',
obtenemos: o bilen
I
~
IR U
I
=e e '.
De aquí, Igy
(2-.''>' Designando
=+.J'.
_e-o
± eCo = C, se liene:
(2:::1' =C,
o bien,
t¡¡-y-C(2-exj3=O.
Hemos obtenido la integral general de la ecuación dada. Al dividir por el producto tg y. (2 - ex) se suponía que ninguno de los [actores se convertía en cero. lgualaudo cada factor a cero, obtenemos, respectivamente: y=kIt
(k=O.
±I, ±2, ... ), x=ln2. 31
Sustituyendo en la ecuación inicial comprobamos que y = kn y x = In 2 son soluciones de esta ecuación. Estas pueden obtenerse formalmente de la integral general haciendo e = o y e = oo. Esto significa que la constante C se sustituye por ~" después de lo cual, la Integral general loma la forma
¿ (2-e")3=Q,
tgy-
o bien,
Cztgy-(2-e7"=O;
haciendo en la última igualdad C. = O, lo que corresponde a C = 00, tendremos (2 - e··)3 = O: de aquí obtenemos la solución x = In 2 de la ecuación inicial. En consecuencia, las funcliones y = kn (k = O, ±l, ±2, ... ) y » = In 2 son soluciones particulares de la ecuación dada, Por consiguiente, el resultado final es Ig y - C (2 - e )3 = O. X
Ejemplo 2. Hallar la solución particular
de la ecua-
ción
que satisface a la condición inicial y I~=o = 1. S o I IJ ció n. Se tiene: (1 +eX)y
~~ =e'.
Separando las variables, resulta: e" dx I +.x'
ydy=
Integrando, hallamos la integral general y; = In (1 -
+ eX) + C,
.
I
Poniendo en (1) x.=O, tendremos 2=ln2+C, -
I
( 1) de donde
C=2-ln2. Poniendo este valor de C en (1). obtenemos ·Ia integral particular hallarnos:
• y-=In
+ c')~+ l.
(-2I
de
donde
la
solución
particular
buscada
es':
y =
=Yln(I'/t+l. Ejemplo 3, Hallar ción
de la ecua-
partlcular
la solución
y'senx=ylny, 'que satisface
'iniciales siguientes:
a las condiciones a) y I
"= e,
..(-7
s o I u ció
b)
YI
=rn ~
1.
n, Se tiene ~~ sen x = gln y,
Separamos
las variables ,Iy
¡¡Ing
Integrando,
dx
=SiñX'
hallamos la integral Inllny
1=ln!tg
general fl+,nC.
Después de potenciar, obtenemos: Iny=C·lg'I' que es la solución a) Pongamos
.
x
o bien,
general
ahora x
.
y=e
C·tll.!. 2
de la ecuación considerada. c·lg~ y = e; entonces, e = e".
n = '2'
~~
De aqui que C= 1. ASI, pues, y=e '. b) Hallemos ahora la solución partlcul ar de la ecuación que satisface a la condición inicial =-f = 1.
Y!
=
C·lg.!
Poniendo C = O en la solución general y e', obtenemos la solución particular buscada. Obsérvese que cuando se obtenía la solución general. In constante C liguraba bajo el signo del logaritmo. por lo cual, e = o se puede considerar como valor límite. La solución particular y = I está comprendida entre los ceros del producto y.ln y·sen x, por el cual dividimos ambos miembros de la ecuación dada. 3-442
33
Integrar
las ecuaciones:
+ X2)tiy =0.
81. (1 +y~dx+(1
82. (1 +!J~)d.t+.tydy=O. 83. (y2
+ xy2) y' + x2 -
yx2 = O.
84. (1 +y2)dx=xdy.
+ y2 + yy'VI + x2 =0.
85. xVI
86. xVI-y2dx+yVI-x·dy=O. 87. e-~(l +y')=
YI,_~=1.
1 yl_,=1.
88. ylnydx+xdy=O, 89. y'=a<+Y (a>O,a*
1).
90. c'(1 +x2)dy-2x(1
+eg)d.t=O.
+ eX) yy' = eV. y 1.t=O= o. + y2)(é.t d x - .egdy) - (1 + y) dy = O. 93. (xy' - y' + x- 1) dx + (x'y2xy + X2+ 2y- 2x + 2) dy =0. 94. y' =sen (~- y). 95. y' = a.t + by + e (a, b, e - const). 96. (x + y)' y' = a 91. (l
92. (1
2•
97. (l-y)e"y,+__L_=O.
x In x
98. (1
+ y')
99. X!¡2(xy'
V 1 + y'
dx ={y -
+ y) = a2•
3
)(1
+ X')2
ti!!.
100. (xV + l)dx+2x'dy=0. (la sustitución xy = t). 101. (1 +X2y2)¡¡+(xy_ 1)2xy'=O. (la sustitución xy = t).
+
+ .e] dy = O + 4xly)dx + (xy2-4x3)dy=
y+ :1: -.·2) 'dx +. (xV (la sustitucíón xy "'" t)
1Q2. (X2y3
10.3. (x'G_ 2x5
+ 2x~-¡f
(la susfltución
y c. lx). (x
104. y'
+ y)m
+ I = (x + y)n + (x;'
v)P •
O
105. (Inx + ya) dx - Sxll d¡¡... (J. 106. (x.y + 2xyIn1.u+ ylny) dx + (2x2lny + x)dy=O (la sustitución xlng=I). 107. y-xy'=a(1 1'18. (a2
+X2y').
+ yi) dx + 2x V ax.-
.é dy=O.
ulx_=O. 109. Uf
+ sen
.. ~ y = sen .. -; y •
Ejemplo 4. Hallar una curva que pase pcr el punto. de medo que la pendiente de la tangente. en cual. quiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en 3 unidades. S o 1 u ció n. Basándose en el significado geométtíco de. la primera derivada. obtenemos Ia ecuación. diferencial de la familia de curvas que cumplen la condición pedida, (O,-2),
:~=u+3.
(1)
Separando las variables e integrando. obtenemos la solución general (2) Inl!/+3r-x+C. Como la curva buscada tiene que pasar por el punto (O,-2). o sea. (3) /11....0=-2. de (2) determinamos el valor de C correspondiente a esta curva; 111.1-2 31 = O + C. o sea, C = O, de modo que x = Inlu + 31. de donde
+
y=-8±e'.
En virtud de la condición (S), se debe tomar el signo más; U=e" - S.
Ejemplo 5. Un depósito cilíndrico de volumen Vo está lleno de aire atmosférico. que se comprime de un modo adiabático (sin intercambio de calor con el medio que le rodea) hasta que su volumen se hace igual a V tCalcular el trabajo invertido durante la compresión.
~
~
s o I u ció n. Es sabido que el proceso caracteriza por la ecuación de Poisson .L
_(..!::.!t). V
Po -.
adiabático
se (1)
'
donde Vo es el volumen inicial del gas, Po es la presión inicial del mismo y k es una magnitud constante para el gas dado. Designemos con V y P. respectivamente, el volumen y la presión del gas en el momento en que el embolo estaba situado a la altura h; )' con S, el área de la superficie del émbolo. Entonces, a I descender el émbolo en la magnitud dh, el volumen del gas disminuirá en la magnitud dV = S dIJ. En este caso, se realizará el trabajo dW = - pSdh o bien. dM = - pdV (2) Hallando p en la ecuación de Poisson (1) Y sustituyendo en (2), obtenemos la ecuación diferencial del proceso: P
dW=Integrando
(3). se tiene:
W--
En virtud tenemos
Y.
Po o
f
v. -
W'
=
1)1'.-'
W
+c .
lv_v. = O.
(4) de (4) ob-
PoV. k-I
adiabática
[(~°r-'-I).
(desde (5)
'Povo [('Vo)k-' _ 1] . V,
. '. , ,¡jo....Hall a t, unacurva .que pase • I
(3)
pov~
de compresión
W= :~~
V =. V.. resulta:
av,
(k-
inicial
c=-
Para
v·
dI' _
de la condición
Por lo tanto, el trabajo v, hasta V) es:
~.o
k-I,
por el punto (O. -2). de.medo qU'~:'el,"~oe[iciente angular de la tangente en cualquietá de, -sus puntos- sea igual a la ordenada del mismo punto. .aumentada tres veces. 36
t 11. Hallar una curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas X = O, X = x, sea una función dada de y:
Q "'" a'ln ~. 1 J 2. Un punto material de masa Igual 8 1 g se mueve en linea recta debido a la acción de una fuerza que es dlrectamente proporcional al tiempo, calculado desde el Instante I O, e inversamente proporcional a la velocidad del punto. En el instante t = 10 s la velocidad era igual a 50 cmls, y la fuerza, igual a " dinas. ¿Qué velocidad lendrá el punto al cabo de un minuto del comíenzo del movimiento? 113. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante, es una circunferencia .. 114. Una bala se Introduce en una tabla de Ir = 10 cm de espesor con la velocidad Vo = 200 mIs traspasándola con la velocidad VI = 80 mIs. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad. hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. 115. Un barco retrasa su movimiento por la acción de la reststencia del agua, que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es 10 mls, después de 5 5 su velocidad seré 8 mis. ¿Después de cuánto tiempo 1~ velocidad se hará 1 mIs? 116. Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola. 117. Según la ley de Newton, la velocidad de enírlamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura To del aire. Si la temperatura del aire es de 20' e y el cuerpo se en fria en 20 min desde lOO" hasta 60", ¿dentro de cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta 30'? 118. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente ele la recta que. une este punto con el origen de coordenadas.
=
37
119. Determinar el camino S recorrido por un cuerpo duranle el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 s el cuerpo r-ecorre 100 m y en 15 s. 200 m. 120. El londo de un depósito de 300 litros de capacidad. está cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la dilerencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg de sal para 3 litros de agua') y que la cantidad de agua pura dada disuelve 1/3 de kg de sal por min, hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora. 121. Cierta cantidad '!le una 'substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg de sal. Actuando con 90 litros de agua se observó que durante I hora se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional, a' la cantidad de sal no dlsuelta y a la diferencia, entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg para 3 lilros). 122. Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes de coordenadas se divide por la mitad en el punto de contacto. 123. Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg de humedad. se colocó en una habitación de 100 mS de volumen. donde el aire tenia al prlncíplo el 25% de humedad. El aire saturado. a esta temperatura, contiene 0.12 kg de humedad por 1 roa, Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedará al Hnalizar el segundo día? N 6 t a, La humedad contenida en una substancia porosa se evapora 8'1 espacie quela rodea con una velocidad que es proporcional a la cantidad de humedad que hay eh I,a substancia y \!S tarnblen proporcional a la dilerencia eñtre ,la. humedad del-alee que la 'rodea y la humedad del
aire eatutado- - ,
,
, i24. Gieríª canttdad de una substancia indisoluble que - conlJe'rié en'sus'peros. ~A,g de sal' se somete a la acción de ,~OIltros: de .agua- D.es'pués "de',5-min 'se dtsuél.ye ·l kg de S¡¡1. ¿Uentro"'~e"i:uárito,: tiempo se disolveré el 99'% dé la c'!nlitlad'inipíal de sal> 38,
125. Una pared de ladrillos tiene 30 cm de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura d~ la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared: si la tem· peratura en la superficie interior de la misma es igual 'a 20° y en la exterior. a O°. Hallar también la' cantidad de calor expedida por la pared (por I mI) al exterior duran te un dia. N o t a. Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagación del calor a través de una superlicie A, perpendicular
.
,
dT
al eje ·OX, es: Q = - kS dí'
.donde
k es el
coeficiente de conductibilidad térmica: T. la temperatura; 1, el tiempo y S. el área de la superficie A; (11 = 0,0015).
=f
126. Demostrar que la ecuación :~ con la condi· ción inicial yl,,-o = O tiene infinitas soluciones de la foro ma y ex. Esta misma ecuación con la condición inicial YI_o = Yo .¡. O no tiene solución alguna. Trazar las curo vas integrales. t 27. Demostrar que el problema
=
~ =s", tiene al menos dos soluciones IX
U 1... -0=0 para O
= 1. Trazar las curvas integrales para 128. Hallar la solución de la ecuación ~~ =Ulln!tr
(11
Y una para
a =~. 1.
rel="nofollow"> O),
que satislace a la condición Inicial y 1... _0 = O. ¿Para qué valores de a tiene solución única? 129. Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y'
+ U Ig x = x Ig x + 1
en los puntos de sus intersecciones con el eje OY son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY. Integrar las siguientes ecuaciones diíerenclales: 130. cos y' = O. 131. e~'= l. 132. seny'=x. 39
133.lny'=x. 134. tgy'=O. 135. e'·=x. 136. (g y' = x, He aquí algunos problemas en los que se necesita hallar la solución particular conociendo el comportamiento de la solución para x - eo, Ejemplo. Hallar la solución de la ecuación rseny·y'=2.
(1)
que cumple la condición !I~Tcuando
x ....
(2)
OO.
s o I u e í ó n. Separando las variables hallamos la integral genera I de la ecuación
e integrando, (1):
I
cos Y-
xr+C.
La condición (2) nos da: cos
1- = e, sea.
e = O. De
este
= :'
modo la integral particular tiene la forma: tOS y A ésta le corresponden infinitas soluciones particulares la forma I !I=±arccosxr+2nrt,
n=O, ±I,
±2,
'"
de (3)
estas soluciones hay solamente una que cumple la condición (2). Esta se halla pasando al límite en la Igualdad (3) para x - oo. Resulta: Entre
-r = ± arccosO
+ 2nn,
o bien,
i = ± T + 21t11.
De aquí que (4)
Fácilmente Yn =
se observa. que (4) tiene dos raíces:
t; la
raíz
11
=
t
que corresponde
IL=
O
al signo menos
ante
are cos?-
no vale (n tiene que ser entero o igual a
cero). Por lo tanto, ecuación (1). es:
la solución .
particular
de la
buscada
1
Y = arc cos 7' En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuacion-es que cumplen las condiciones' indicadas para x - ± oo. 16
x_,.+
137. x'y' cos y + 1=0, Y-a n, 10
1, Y-'all,
138. x'y' +cos2y= 139.
.!.4
y'-seny=l, l.
eY=e{J/!I+
1,
7
!I
= 2x (tc
+ y),
144. x2f/+sen2u=l,
y es acotada
para x-++oo.
I1 es acotada U es acotada I!
Y-TTt,
Una Iuncion {(.t, g) es homogénea argumentos si se cumple la 'identidad
para x-+oo.
para
x -+
00_
x->+oo.
§ 6. ECUACIONES HOMOGENEAS y REDUCIBLES
f (I.t,
oo.
y-2tc,x-+-
142. (x+ I)y'=y-l, 143.
+ ee ,
x-.oo.
y_5Tt,
140. (l+x2)Y'-2cos'2y=0, 141.
x ....
00"
A ELLAS
de grado
11
en sus
(y) a In, (.t, y).
+
Por ejemplo, f (x, y) = X2 !J~ - xy es una función homogénea de segundo grado, puesto que f (Ix, fy) = = (t.t)' (IV) 2 -(tx)(tg) t'(x? 92 - xy) = t2/{x, y).
+
=
+
41
Para
ti
= O. se ücne , ,una [unción de grado cero. Por
y,
ejemplo. f (x. 11)= :.~ grado cero. puesto Que
I (tx.ly)=
es una función homogénea
(I~)'- (ly)'
t (~t -l/t)
x' -
('x)'+(ly)'
"(xi+.!I'l
..'+y'
Una ecuación diferencial
de la forma
de
y'
=f(x.
:~ =f(x.
y). y) se
llama homogénea si f(x. y) es una función homogénea de grado cero en sus argumentos. la ecuación homogénea siempre se puede representar en la forma
~=~(f)· Introduciendo ecuación rabies:
(1)
una nueva función incógnita
u=
(1) se reduce a la ecuación con variables
f.
la
sepa-
du X7X=~(II)-U.
Si 1I = 110 es una raiz de la ecuación cp(u)- 11 -= O. la solución de la ecuación homogénea es. 1/ = l/o. o bien. y = Uo'" (recta que pasa por el origen de coordenadas). O b s e r v a e j. ó n. Al resolver las ecuaciones homogé· neas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución 11 IIX. Las ecuaciones de la forma
=
(2) se reducen a homogéneas trasladando el origen de coordenadas al punto (Xo, Yo) de intersección de las rectas
alx +b,1I +e, =0 Esto se consigue haciendo
y
atx+~1I +e.=O.
la sustitución de las variables:
x = f, + xo.
11= 11
+ Yo'
El método indicado no es aplicable cuando las rectas alX blU el = O Y a,x b2u e2 = O son paralelas. Pero. en este caso.
+
42
+
+
+
y la ecuación (2) se puede escribir err la forma dI!
-¡¡;- =
~.(O,X + b,y) +el]e,
f [ a,x + b,g +
=
F (
a,x
+ b ,y ) ,
(3)
estudiada en el §5. Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma P (x, y) dx +Q (x, y) dll='O. será homogénea si !,(x, y) y. Q(x, y.) son .runcíones hornogéneas de un mismo grado. A veces, la ecuaclén se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = za. Esto ocurre cuando todos los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y, y el grado a - 1 a la derivada !!1!...dd• •f Ejemplo t. Resolver la ecuación xy' = V x. _ y2
+ y.
S o I u ció n. Escribamos la ecuación en In forma
!f=yl
-(ff +~. f
Como la ecuación es homogénea, hacemos ti = o bien, y = tlx. Entonces, y' = xu' + 11. Sustituyendo en la ecuación las expresiones para y e y', obtenemos x ~: =VI-u'l, Separamos las variables du
VI-u'
dx
=-;-
De aqul, integrando hallamos: arcsen s ee ln] x 1+lnC,(C, > O), o bien, arcsenll=lnC'¡.t1. Como C,I x 1= ± C,x, haciendo la notación ± C, - C, obtenemos arcsen u = In Cx,
donde l ln Cx 1";;;%. o bien, e2
" ";;;Cx,.;;;e"f. " Sustituendo
por ~
general
tendremos
la integral arcsen
,.
~ =In ex.
Por consiguiente, la solución general es: y = x sen In Cx. Al sepa rar las variables dividíamos ambos miembros de la ecuación por el producto x VI - u2, por lo cual. se podrían perder las soluciones que convierten en cero sus factores. Pongamos ahora x y V I - u' = O. Pero x = no es solución de la ecuación, debido a lo cual re-
=
°
sulta,
I - ~x: = 0, de donde
°
y = ± x. Con
una
prueba
directa nos convencemos de que las funciones y = - x e y = x son soluciones de la ecuación. Estas .son soluciones. singulares de la ecuación dada. Ejemplo
2. Resolver
la ecuación
(x+y-2)dx+(x-y+4)dy=O. S o I u e j ó n. Examinemos gebraicas lineales:
(1)
el sistema
de ecuaciones
al-
X+Y-2=0} x-y+4=0 El determinante
.
de este sistema
¿\=I: -: 1=-2*0. El sistema tiene solución única: Xo = -1, Yo = 3. Hacemos la sustitución x = i - 1, Y = " 3. Entonces, la ecuación (1) loma la forma
+
(~+~)~~+(G Esla es una ecuación
homogénea.
Tj) d" =O. Haciendo
nemos. ,,(;f. Eu) ds +(6 - ~u) (~du -de-donde :
+ uds)
11 =
= O,
Us,
obte-
Separamos las variables
!!i+
s
Integrando. Inl t
1
d
I-u
+2u
u' u=
O
.
hallamos
1 1+ 2"lnll + 2u- wl=
Volviendo a la variables
JI.
(.~+I) 2[ 1+
2~
~~(.I + 2)1.- u2)=Q.
InC;
11.
obtenemos: (11-3)']_
_
%+1
(%+1)'
-Ch
o bien. X2
+2xy - y~- 4x
+ 8y=C.
(C=C,
+ 14).
Ejemplo 3. Resolver la ecuación
(.~+ U + l)dx+(2x
+2y-
I)dy =0
S o 1 u ció n. El sistema de ecuaciones algebraicas neales
li-
X+Y+I=O} 2.~+2y-
1
es incompatible. El determinante
=0 del sistema
ó=1 ~ ~ 1=0. En este caso no es aplicable el método empleado en el párrafo anterior. Para integrar la ecuación hacemos 111 sustitución x
+ y=z.
dy=dz-
d x,
La ecuación toma la iorma (2 - z}d.t +(2z
-
1) dz =0.
Separando las variables obtenemos 2z-1
dx - "'i"=2 dz - O.
De aqui que x-2z-3Inlz-2J=C.
Volviendo a las variables x, y, obtenemos la inte~ral geueral de la ecuación dada: x + 2y + 31nlx + y - 21 = =C. Ejemplo 4. Resolver la ecuación l)dy+2xy3dx=0.
(X'y2_
S o [ u ció n. Hacemos la sustitución y = z", dy = = o.z"" dz, donde por ahora o. es un número arbitrario que se elegirá a continuación. Sustituyendo y y dy en la ecuación por sus expresiones, obtenemos: (*~-I)az"-ldz+2xz3·dx=0.
o bien (X'z3u-1 -
Z·-I)
dz
(l
+ 2xz'·
d x = O.
=
Obsérvese que el grado de x2z3'x-' es 2 + 3et - 1 30. + 1, el grado de z"-l es a - 1 Y el grado de xz"" es I + Jet. La ecuación obtenida será homogénea si los grados de lodos los términos resultan iguales, es decir, si se cumplo! la condIción 30. + 1 = a - l. De aquí que et = -l. Por consiguiente, tenemos y = 1. la ecuación inicial z toma 13 forma --(IX')
x dz+2-dx=0 :ll
21:zf
o bien,
{z'_ x')dz
+ 2zxdx
,
=0.
=
Pongamos ahora z IIX, dz = udx + x duo Entonces, esta ecuación loma la forma (1I'-I)(lIdx+xdll)+ +2udx =0. De donde u (u' I)dx x(u'_ t)du=O.
+
Separando
Inlegrando,
las variables
+
en esta ecuación, obtenemos:
ss:x _ uU;-I du=O. +u
hallarnos: In] x 1+ In (11' + I)-lnl u 1=lnC,
o bien,
46
Sustituyendo
u por _!_. obtenemos
la integral
general
+
de la ecuación considerada: I x2y' = <;y La ecuación tiene además la solución trivial y O. que se obtiene de la integral general escribiéndola en la forma y =. 1-+:'11' y pasando después a límites para
=
e-
ee, Por consiguiente. la Iuncíén ción particular dé la ecuación dada. Integrar las ecuaciones:
y
= O es
una solu-
14S.4x-Sy+y'(2y-3x)==0.
+ V y' - x· . + 1/' + y' (x' - xy + 4y") =0. 148. 4x' + xy - 3y! + y' (- 5x' + 2xy + y') = O. 149' 2xy . y = 3.t'-y'· 148. xy' =y 147. 4x' - xy
150. 2.~y' (x'
+ y')",
U (y'
+ 2x').
151. xy'=Vy2_X2•
+
+
+
152. ax' 2bxy cy' U' (bx' ISS. (y'-3x')dU=-xydx. 154. y'df +2(x'x¡/)dy=O.
+ 2cxy + fu') = O.
+
155. (y - xy')? = x' U2• 156. 3x y-2+ y'(x-I)=O.
+
157.2x+2y-l+y'(x+y-2)=0. + 7)dx - (3x -7y-
158.(3y -7x 159. (Y+II
Vx2y4+
3)dy=0.
l)dx+2xdy=0.
+
160. 4xy2dx (3x'y- l)dy=O. 161. (x+y')dx+(3yS-3!lx)dy=0.
+
+
162. 2 (x'y VT+"?7)dx x'dy=O. 16S. (2x - 4y) d x (x y - 3)dy=0. 164: (x-
+ +
2y-l)d.t
+(3x - 6y +2)dy=0.
165. (x-y+3)dx+(3x+y+
l)dy=O.
166. (x+y)dx+(x+y-l)dy=O. 167. ycosxdx+(2y-senx)d!I=0. 47
(x-
169. y3 dy
ycos';Jdx '3y2x dx
170. Y dx
+ (2 x¡¡ -
168.
+
v
+ XCOSfd!l.=O. + 2x3d.( =0. x)dy =0.
171. Hallar
una curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. . 172. Hallar la curva para la cual la razón del segrnento interceptado por la tangente' en el eje O y al radío-veotor es una cantidad constante. J 73. Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado. al reilejarse. son paralelos a una dirección dada. 174. Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal a cualqulera de ¡;US puntos. es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. 175. Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje O Y por la normal. es Igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.
§ 7. ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DE BERNOULLI
Se llama ecúdción. diferencial lineal de primer orden. a Ia 'que' es line.á!· con respecto a la función lncégnita y su derivada, Esta ,tie!1!!'I~ forma
~ + p(x)y=q(x), 48
(1)
donde p(x) y q(x) son funciones continuas de x en la región en que se pida inlegrar la ecuación (1)_ Si q (x) ~ O. la ecuación (1) se llama lineal no homogénea. Si q(x) "'" O. se dice que la ecuación (1) es lineal homogénea. Esta última es una ecuación con variables separables y posee la solución general (2) La solución general de la ecuación lineal no homogénea se puede hallar por el mélodo de variación de la constanteo según el cual se busca una solución de la ecuación (1) de la forma
donde
es una función incógnita nueva de x. ecuación (1) se puede integrar también del modo siguiente. Hacemos y =11 (x) u (x), (:l) c(x)
La
Poniendo
(3)
en (1).
obtenemos:
u'v
después
de
las
transformaciones
+ 11 (pu + CJ') =q (x).
(4)
Determinando v(x) de la condición ti' + pu = O. haliamos después la función 11 (x) resolviendo la ecuación (4). obteniendo, por consigulente, la solución y = 110 de la ecuación (1). En este caso. ti (x) es una solución particular cualquiera de la ecuación u' + pu = O (distirua de la solución Irivial !J "'" O). O b s e r v a ció n. Puede ocurrir que la ecuación diferencial SCH lineal respecto a X. considerada esta varlablc como función de y. La forma normal de tal ecuación es: ~;+ r(y) x=q: (y). Ejemplo
1.
Resolver la ecuación y' + 2xy = 2xe-<'.
S o I u ció n. Apliquemos el método de variaclén constante. Consideremos la ecuación homogénea
(5)
de la
y' +2xy=O, 49
correspondiente a la ecuación no homogénea dada. Esta es una ecuación con variables separables. Su solución ge· neral tiene la lorma y=ce-<'.
Buscamos In solución general de la ecuación no homogénea en la forma y =c(x) e-x' (6) donde c(x) es una función incógnita de x, Poniendo (6) en f5), obtenemos e' (x) = 2x. De donde c(x) = X2 + c. Resumiendo, la solución general de la ecuación no homogénea es y =(X2
+ e) e=",
donde e es la constante de integración. Ejempto 2. Resolver la ecuación J
dy
dx =
JC CO.
U
+ sen 2y
•
S o 1 u ció 11. La ecuación dada es lineal, considerando x como funclión de y: dx
Tg - x cos y = sen 2y.
(7)
Buscamos la solución general de la ecuación en la, forma x = /ley) .v(y). Se tiene . dx
du
do
Tg=v Tg+uTg' dx en ecuacion .• S US t·tluyen d o x y Tg ti :~
(r) , obtenemos
+u(~; -vcosu)=sen2y.
Hallamos v (U) de la condición .!!!!..-vcosy=O.
'~!J
'Tomarnos ~lllquier
solución particular (no trivial) de esta ecuación, por ejemplo ti (U) = e'" v, Entonces, e'tnv~=sen d!l 50
2y •
De donde Il-
fe-sen
Q
sen 2y d!l
Por consiguiente,
+ sen y) + c.
2e-se." (1
=o -
la solución general es
x = ce"· v - 2 sen !I - Z. de Bernoulli.
Ecuación forma
Esla
es una
ecuación
.de la (8)
~~ +p(x)y=q(X)yA,
'*
donde n O; 1, puesto que para n = O y n = I esta ecuación es lineal. La ecuación (8) se reduce a una ecuación lineal haciendo la sustitución conveniente sustitución
Ejemplo. Resolver
=
y
la ecuación xy'
s o I u ció
+
n. Hagamos xou'
Hallamos
2
Pero resulta más
.~I'
resolver la ecuación de Bernoulli haciendo la (sin reducirla a lineal) y = u (x) u (x).
y
=
u(xlv (xl. Tendremos
+ u (xv' + vl =
la {unción
la ecuación xv'
de Bernoulli:
y=y2Inx.
+v
ti
U2V2
(x) como solución
= O. Resulta,
u' = u~ In x . Separando x tenemos
-..!.=f
particular
=~.
v (x)
las variables
.!!!.;_dx=x:f
u
In x.
e integrando.
~_.!..-c x X
de
Entonces, cb-
I
o sea, u
=
I + ex
x
+ In x
.
La solución general de la ecuación es: I
!I = I
,.
+ ex + Inx
. 51
Integrar las ecuaciones: 176. y'+2y=x2+2x. 177. (x'+2x-
I)U=.~-1.
I)y'-(x+
178.xlnx·u'-u=x3(3Inx-I). 179. (a' - X2) yf + xu = a~. 180. 2XII' - U =3x', 181. (.<+ l)dy-[2y+(.~+ 182 .'_ • Y
1)']d.r=O.
1
x sen 11 + 2 sen 211
-
183. !I' - 2xu=2xex'. 184. x(x3+
1)11' +(2x3-
I)y = X>:-2. Y 1'_0= 1.
185. y'+Ucosx=senxcosx, 1
186. xlnx.y'-(I+lnx)U+2 187. 3xu'-211=~.
y
188.8xl/-y=-
.
189. (xU
V-x(2+lux)=O.
~.
11'1.1'+1
+ x'y3) y' = 1.
190. U' -11 = 2xex+x'. 191. xV' 192. xV
= U + x'
sen x .
+ 2x3y = y2(1 + 2x2).
193'. y = .~¿
2xy
y1
194. 2 sen x . U'
(11'
+ Y cos x = U (x cos l
X -
3x ' 195. y'= <'+!J+I' 1
196.
,
'<+'2 y +U "'+x+1
=
+ Y x ..'(.t'+ .a'a') (1 + X2)y'=xy+
= Ij'
197. 3y' 198.
199. ¡/+ 52
X~I
(l-x')U'
("+.1'+1)'''' 1
x2yt.
=-f(x+lj3y2.
x
(3.1"
x'
-
a'.')
sen x).
+ y' + lId!! + xydx=O.
200. (x' 201. y'=
2ylny~y
J(
202. x(x-I)y;+y=
x2(2x-I). u 1'_0=0,
203. y'-ytgx"""secx,
+ sen y =x + l. y' + sen y + x COS iI + x = O.
204. y' cos y 205.
206. y' -
,
207. 208,
/+1 =e" (1 + x)".
f cp (ux)
da = n
• y'+xscn2y=xe-"~osty
(la suslifuciÓnl=lgy).
En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisfacen H las condlctcnes Indicadas: 209. y' - 2x!/ = cos x - 2x sen x, y es una lunclón acotada cuando 210,2
¡IX y' - y= - sen y es acotada
211. y'-ylnZ=Z y es acotada
VX' -
cuando x -> ..n'(cosx-I)ln2, cuando x -+
cos
+ ee,
x
->
+ oo,
212. 2x2y' - xU = 2x cos x - 3 sen x, y-.O cuando x_ + oo. sen' x 213. y'senx-lIC-osX=---;'I' y_ O cuando x - oe , 214. (1 X2) In (1 x') y'-2xy = In (l+x')-2x
+
+
U- 215. U' y_2
%
cuando
e'lI =';'sen+
cuando
.T_ -
oo.
VX',
eo,
- c' cos
arctg x,
+.
x ..... - oo.
216. u'-ylnx=-(J +2Inx)r', y -+ O cuando x_,. + oo. G3
§ 8. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS FACTOR INTEGRANTE
La ecuación diíerencial de la forma M (:t. yldx+N(x.
y)dy=O
(1)
se llama ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una íunclón u(x. y): W dx+NdYE3d"""'Txdx+-¡¡¡dy, él"
¡
e«
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición c),If dll
...-
,)N tix
(2)
(en un recinto simplemente conexo D de variación de x, y). La integral general de la ecuación (1) tiene la forma II(X, !/) = C. o bien. x
f
y
M(x.
f
U)dx+
N (xo.
y)dy=C.
(3)
v.
Ejemplo. Resolver (sen xy
ecuación diferencial
la
+ xy cos xvI dx + x· tos xU dy = O.
S o 1 u ció n. Comprobemos que la ecuación dada es una ecuación diferencial exacta. Se tiene 8M Ty=iJy
c) (
=:t cos:tu
senxy
+ xycosxy )=
+ x cos :tU-X2!!
sen xy = 2x cos xy-.t2y
sen xV,
.~~ = ;: (x2 cos xy) = 2x ros xy - x'y sen xt), o sea. {1M
(lN
Tg-7jX.
Como vemos, se cumple la condición , U
(x, y) =
.S .+
+ xy cos.xy)
(sen xy
= x sen xy I~
dx
(2). Por consíguiente, v
+f
~
x~ cos xoy dy = xb sen
xoYoi
x sen xy
= e"
Xo sen xaY ~, = x sen. xy -
de modo que
= e + xosen
x sen·xy
XoYo, o bien,
Al resolver agunas ecuaciones
diferenciales se pueden agrupar los términos de tal modo que resulten combinaciones fáciles de integrar. Ejemplo.
Resolver la ecuación diferencial (x3 xy2) dx (x2y ya) dy = O.
+
+
+
(2')
.. E n es t e caso, Tu .tM = 2 .~y, Tx iJN = 2 xy, y S o I u C Ion. se cumple la condición (2); por consiguiente, tenemos una ecuación diferencial exacta: Esta se reduce a la forma du = O mediante una agrupación directa de sus términos. En efecto, escríbámosla en la Iorrna x.ldx
+ xy
(y dx
+ x dy) + y.1 dy = O.
Aqui x3 dx=d
XY(!ldx
(~').
+ xdy)=
y3dY=d( Por lo tanto,
la ecuación d ( ~. )
o bien, asi d
=d(
(x~)'),
~').
(2') se puede escribir
así
+ d ( (X~): ) + d ( ~. ) = O,
[~+ 4
(XII)'
Por consiguiente, la integral y de la ecuación (2'), es:
x'
xyd (xy)
2
+ y'4 ] -,general
O
de la ecuación
(2") (2/1),
+ 2(xy)~ + y·=C.
En algunos casos. por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diierencial exacta, se con55
sigue. hallar' una. Iuncién ~1(X, y) tal que al multiplicar el primer miérnhro !le- (1) por ella, resulta una diferencial (ola";
+ ",N dy.
dx
dU=J.LM
(4)
Tal función fL(x, y) se llama factor integrante, la definición de [actor integrante se llene i)
Según
t)
= ilx
dy (fLM)
(",N)
o hien N~-Mi!J.!..=(~iJx i)y
(IN) i)x
al}
J.L,
de donde N
iJ In
l' _ M
iJx
a In l' = aM _ 2!!... iJl}
dy
(5)
iJx -
Para hallar el factor integrante, hemos obtenido una ecuación en derivadas parciales. Indiquemos unos casos particulares en que fácilmente se- puede hallar la solución de la ecuación (5), o sea, el factor integrante. 1. JI = J.I (x). En este caso, ~~ = O Y [a ecuación (5) toma la forma iJM
dlnl'
--¡¡;-
aN
Tu-a:<
=
(6)
N
Para que exista un Iactor integrante no dependiente de y es necesario y suficiente que el segundo miembro de (6) dependa solamente de x. En este caso, In fl se halla por cuadraturas. Ejemplo 1. Examinemos la ecuación
º
(x
+ y2) dx
-
2y.~dy=
O.
S o I u c i n. Aquí
M=x+ y2, Se Ilerre
56
N= -2xy.
Por consiguiente. In =sr=r :2 d
11
In
jJ ~
2 In I x l.
-
I 11 =-¡;.
La ecuación
• +x'l y'
dy = O
2~
dx -
%~
es una ecuación diferencial exacta. Su primer miembro se
puede representar en la Iorma
i!.._
2.
0-
d(lnl x 1-
f)=o
x
•
De donde y la integral
general de la ecuación dada es:
,,'
x=C·c7.
~~:)+,
2. Análogamente, si (~~ depende solamente de y. la ecuación (1) tiene un lacíor integrante J.l = ¡.¡(y) Que depende solamente de !l. Ejemplo 2. 2xyln ydx + (.t' +!/ ¡ryr,:T)dy=O. Solución. Aquí M=2xylny, N=x·+u:VY~+1. iJN
Se tiene
aM
Tx-Ty _ Al
-
2.<-2.(.(I"¡I+l) 2.<1/ in y =-
I
íi .
Por ccnslguíente, d
In)1
----;¡y La ecuación 2xy In 1/ d,t 11
=-
1
Ii
1 '1=-. Y
+ x' + fI !IJlY'+T dy=O
es tina ecuación diierencial exacta y puede escribirse de 1,1 forma d (x2ln y) + U V y";- I dU = 0, de donde t
x2InY+'3{y2+
1.
1)2 =C. 67
Ejemplo 3. Resolver la ecuación (3x
+ 2y + !I)dx + (x + 4xy + 5!1)dy=O. + y2)
si su factor integrante es de la forma)! = q:(x S o I u ció n. Hagamos Z = x y2. Entonces y, por consiguiente,
+
i) In l' ijX ¡j
d
In l'
In " _ ~ illj dz
La ecuación furma
d In l' = --¡¡;-
02
= --¡¡;- . -;r.:.
.!!!. _
d
ilv -
¡.¡=q>(z)
,
In l' . 2 42 y.
(5) para hallar el factor integral
(N-2My)~=~-
4.
tiene la
ilN ilx
iJ!J
o bien (1M
ti
In ,.
-¡¡;- = Como M
=
3x
+
21/
dM
+ IJ',
dN
Tu-7jX N·
2My
N = ,r + 4xy
+ 5y',
resulta
JN
di-di"
1
1
= .'+!J' =z· d In Il 1 por lo cual --¡¡z- = z' de donde J.I = z, o sea. J.I = x + + y2. l\1ullipl icando I~ ecuación dada por ji = s + y' obN
tenernos (3x2 + 2x!1
VIIJ
+ 4.ty'
+ 2y3 + yl) dx + + (x' + 4x'!1 + 6XIJ" + 4xy3 + 5y') dy = O.
Esta es una ecuación integral general es x
f (3x2 + 2xy + 4xy'
r
y según
(3). su
+ 6xoY' + 4xoy + 5y')
dy = e,
dHerencial
+ 2/1 + !JI)
dx
exacta
+
11
+
y,
o bien, 58
(xg + 4x~y
3
c-=
e + X~!lo + 2xM + 2xoY~+ xolfo + !ti + 4 Después de hacer unas transformaciones sencillas resulta
donde
(x
Integrar
+ y)(x + yi)2=
C.
las ecuaciones:
+ y2) +!J (x2 + 2!/) y' =0_ + 6X!J2 dx + (6X2!J + 4y3),dy = O.
217. X (2x.2 218. (3X2 219.
(V~ +.!..+.!..)dX+ .. (-+y' x y
220. (3x2tg y 221. 222. 223. 224.
X' (
2x+~
+ ( ,f ..,+y y' + .!..!J - ~)y' 2~~)dx + !X3SCC21/ + 4y +~) 3
+ y'
)
,,:
d.t=
+ y' !!I'
(SO:2)(. +X)dX+(yse~:x)ifY=O. 2 (3x - 2)(. - y) dx + (2y - x + 3i¡2) dy ( xy + 2xy - JL)" ds + Jf) +x' Xi
x dx
+ y dy
+ x dy -
V"'+!l
228 • 229.
230.
dy ==0.
= O.
In x) dy = O.
Y d" =O.
x'
+)
+ y sen x + dx + + (xcosy - cos x +~) dy= O. y + sen x co.,' xy d + ( x + sen!J )d y = O . xy cos' xy ~ + (y'-3x·)dy O I 1 fJ~ !/ ' Y:x:::ol= . {n cos (nx + my) - m sen (mx + ny» dx + + (m cos (,IX + my) - 1I sen (1IIX + ny)} dy = O. f xdx+ydy () t ) Jf(x' + y') (l-x'-y') -1- y VII'-x' + 7 X
226. (sen y
227.
= O.
dy.
+ ev, + + x· -
225_
dy
000'
X
X
(ydx-
xdy)=O.
59
-4 ros
231. (~sen ~y !f
+ 232. 233. 234. 235. 236.
237. 238.
239. 240.
JLX
.t'.
+ +
+ 1) dx +
I !J ) XI) ( -cos---sen-+ x x!l yy~
+
-
dy=O.
+
Y (X2 y' a2) dy x (x" y. - a2) dx = O. (x1 yZ I)dx - 2xydy= O, (l ~(x). (3xZy yl) dx (x3 3xy2) dy =O. xdx+ydy+x(xdy-ydx)=O,Il=q¡(X2+y2). (x2+y)dx-xdy=0, p. =q> (x). (x+y1)dx-2xydy=0. (l=q>(x). (2x2y 2!J 5) dx (2.~ 2x) d!! =O, ¡I =
+ + +
+
+
+ +
+
+
241. (x+senx+seny)dx+cosydy=O, 242. (2xy2 -
30 dx
243. (3y2 - x) dx
+ (7 -
+ (2y
3 -
1l=
3x!lJ dy ~ 0,
I" =
6.
+ y2).
§ 9. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN RESUELTAS CON RESPECTO A LA DERIVADA
NO
1. ECUAC10N DE PRIMER ORDEN y DE GRADO n CON RESPECTO A y'.
(y')"
+ p, (x,
y)
«r: + '" ...
Resolvemos y'=ft(x,
+p"-o(x,yJy'+p"(.~,y)=O.
esta ecuación
y). y'=f2(X.
y) •....
con respecto y'=fdx.
las soluciones reales de la ecuación
eo
(1).
(1)
a y". Sean g)(k:S;;n)
(2)
El conjunto
de las integrales
Cll,(,~,y.C)=O.
Cll2(X.y.C)~0
....•
Cll.(x.y:C)=O,
(3)
donde Cll,(x. Y. C) = O es la integral de la ecuación y' = f,(x, y) (i = J, ...• k), representa la integral general de la ecuación (1). Por lo tanto. por cada punto del dominio en que !I toma valores reales, pasan «k» curvas integrales. Ejemplo.
Resolver la 'ecuación
yy"
+ (x -
'
y) y' - x = O.
S o I u ció n. Despe] ando g'. tenemos 9- x +
Y (x
-
g)'
+ 4ry
2/1
o bien,
IJ'=J.
y' = - ~ de donde
y'+x'=C2.
y=x+C, Integrar
las siguientes
244. g" - (2x
ecuaciones:
+ y) U' + (x2 + .ty) =O.
245. xy" + 2xy' - U =O. 246. 4U" - 9-t = O. 247. y,t _ 2yy' = U2 (e' - 1). 248. ¡,:.y,2
+ 3xyy' + 2y' = O.
249. xy" - 2yy'
!/ -
+ x = O.
2xy' - 8x' =O. 251. y"+(x+2)ev=O. 252. y" - UU" - x2y' x2y 250.
+
= O.
2. F.CUACIO;liES DE I.A FOll,\\A f (v·y')
-o
y
f (r.
y') -o.
Si en estas ecuaciones se puede despejar y', resultan ecuaciones con variables separables. Por consiguiente, son de interés los demás casos. a) En I~ ecuación í (y. y') = O se puede despejar y: y=cp(!I').
Hacemos!!,
= p. Entonces. y
=
'I'(p). 61
Diferenciando esta ecuación obtenemos
y
sustituyendo dy por pdx,
Pdx.., cp'(p) dp,
de donde dx=
Obtenemos paramétrlca
dp
c¡f~l
Y
x=
f
c¡f!P)
la solución general de la ecuación en forma x=
f 1:> dp+C
U =cp(p)
Ejemplo. y = a (~~ S o l u ció n.
cosa,r
dp+C.
r+ t b ( :~
1
t·
(1)
(a. b. son constantes).
Hacemos :: = p Y. por lo tanto, y =
+bp3. o bien, pdx=2apdp+3bf)2dp.
dl/=2apdp+3fJp'dp,
De aqui que dx=2a dp La solución general es
+ 3bpdp.
y. x=2up
3 + "2b,r+C.
l.
x=2ap++b,r+C u=a,r+bp3
b) En la ecuación f(y. !I') = O no puede despejarse ni y ni U' (o se despejan con dHicultad), pero estas últimas pueden expresarse en íorma paramélrica mediante algún parámelro 1: y=cp(t),
b=1jl(/)
(P=
~~).
dU = p d x = $ (/)dx, Por otra parte, dy=cp'(f)dl. de modo que ..¡,(/)dx=
Entonees,
= cp'(I} dt De donde
1/ dx=
~l:l
di.
x=
f Tfiídl. c¡f(ll
Por consiguiente, obtenemos la soluclén-gener el de la ecuación dilerencial dada en Iorrna paramétrlca
x=
f
'f/(I) i> (1)
di
+C
!
.
(2)
g=cp(l)
+
Ejemplo. y'/, (y')'" = l. S o I u ció n. Hacemos y d _
= cos' l.
y'=p=sen3/,
-Seos'I ••nldl
dl/ _
x---¡;--
sen"
De donde
f (3 -
x~ La solución
general
s.~'I)(1t.-3{+3clg'+C, es
x=3t +3c1gl
+C
y=cosl{
} .
e) Ecuación de la f (x, g') = O. Supongamos que en esta ecuación se puede despejar .r: x = Ql(Y'). Hacleudo y'." p. obtenemos dx = q>' (p) dp. Pero dx=
tf:
y. por consiguiente.
modo que dy=p'f"(p)dp.
u=
y.
;
=qo'(p}rfp.
de
I p
Por lo tanto. tenernos la solución general de la ecuación en forma paramétrica (p es un parámetro): x=cP(p)
y=
f 1p'(p)pdp+C
1 .
(3)
Observación. En las ecuaciones (1) y (3) no se puede conslderar p como la derivada, sino como un parámetro. d
Ejemplo.
a ,/:
r
+ b t ti.; = x, • d
'
G3
Solución. x~ap+bp'.
~=I'.
d.Y:=adp+2bpdp.
dy = pdx=apdp + 2b,r dp, y=f,r +{ bp3+C. Así, pues, x-ap+b¡i' a
y = '2';
} 2
+ "3 bp + e
es la solución general.
3
Por analogla con el C850 b). se puede probar resolver la ecuación f(x, y'} = O introduciendo un parámetro l. Integrar tas siguientes ecuaciones: 253. y = y"
e«. L
=e'.
254. y'
+ sen y'.
255. x = In U'
256. x= y" - 2y'
+ 2.
257. Y =!I' ln y'.
258. y=arcseny'+ln(l+y'j. 259. y=(y'-I)e.'. I
260. y'·x=e7.
+ y") = l.
261. x(1
3
262. ,t( 1+ y')2 = a. I
2
2
+ ylT == aS.
263. y.
264,
y4_y'"_Y!l"~O.
265. x - y'
+ sen y'.
266. Y = y' (1 64
+ ,,'
tOS
y/.
:1. ECUACIONES
DE LAG~ANC::U; y CI,AIRA"UT
a) La ecuación de Lagrange tiene la forma: y
= xq>
(g')
-1-
$ (y').
Haciendo g' = p, dlíerenciando y sustltuyendo .dy por p d x, reducimos esta ecuación. ,a otra que considerada en x como función de p es lineal. Resolviendo esta última x = r ip, e), obtenemos la solución genera] de la ecuación inicial en íórma paramétrica: ' x=r(p, e) g=r (p, e) q> ()P
} (p p + 'e,,()
es un parámetro).
Además. la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares (véase § 11) de la forma y = .p(c)x $(c), donde e es una ra iz de la ecuación e =
+
+
Ejemplo. Integrar la ecuación y=2xy'+lny'. S o I u ció n. Hacemos
+ Inp.
y' = p.
Entonces.
hallamos
Diferenciando,
pdx=2pdx+
y = 2xp
+
tf:.
2xáp+
de donde dx P-¡¡¡;=-
2
x-p'
I
o
b'
dx 2 Tp=-pX-
len,
I p"
Hemos obtenido una ecuación de lO' orden, que respecto de x es lineal. Resolviéndola hallamos C
x=7--;;'
I
Poniendo el valor hallado de x en la expresión de !J, resulta
1
x=..f.._..!.. p' P
+p-2C
y=lnp
2
•
65
b) La ecuación de Clairout es de la forma y=xy'+1ll(Y')· El método de resolución es el mismo que para la ecuación de Lagrange. La solución general de la ecuación de Clairaul liene la forma
+ ",(e).
y=Cx
La ecuación de Clairaut puede tener también una solución singular, que se obtiene eliminando p entre las ecuaciones y= xp 1jJ (p), x W'(p}= O.
+
Ejemplo. Integrar y
+
la ecuación
= xy' + 2~
S o I u e í ó n. Haciendo
(a
= const).
y' = p, obtenemos
y
Diferenciando esta última ecuación y sustituyendo dy por p dx, hallarnos pdx = pdx+ -;:;__:~----_,'";x
+ x dp dp
2~' dp, de donde
(x -
2~')
= O.
Examinemos los dos lactores del primer miembro de la última ecuación. Igualando a cero el primer factor, tenemos Fig. 12
dp=O,
d.e ·:aonde.p = C, y
la solución general
de la ecuación ini-
cial: es y=Cx+ Es!!!.es un haz monoparamétrlco 66
2~'
de rectas.
Igualando a cero el segundo factor tendremos:
Eliminando p entre esta ecuación y la ecuación y = "'" xp resulta y' = 2ax. Esta también es una solución de la ecuación considerada (solución singular). Desde el punto de vista geométrico la curva y' '" 2a.l: es la envolvente del ha? de rectas deferrninado por la solución general (Hg. 12). Integrar las siguientes ecuaclones:
+;p.
= xy' + U' In y'. = 2xU' + In y'. y=.I:(1 + y') + y". U = 2.1:Y' + sen y'.
267. 2U 268. y 269. 270.
"
271. y=xy 3
I -7'
+ ell. +....;. !J' + y".
272. Y ='2 .l:y' 273. y=.l:y' '274. y=.ty'
yy'- y' + I =0.
275. xy"-
VI
276. y=xy'+a 277. Y = .l:y' 278.
IJ
+ v'
a¡/
+y".
1+11'
.'
I
x=7+7'
279. Hallar la curva cuya langente íorma con los ejes coordenados un triángulo de área constante S = 2a2• 280. Hallar la curva para la cual el segmenlo de la tangente comprendido entre los ejes coordenados llene una longitud constante a. S'
t7
§ 10. CO.MPOSICION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAS FAMILIAS DE CURVAS. PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
l. Composición de las ecuaciones diferenciales de las familias de curvas. Sea dada la ecuación de una familia monoparamétrica de curvas planas y=q>(x. Derivando
a)
(a es un parámetro).
(1)
(1) respecto de x, hallamos y' = q>~ (x, a).
Eliminando el parámetro la ecuación diferencial
"a" entre
(2) (1) Y (2). obtenemos
F(x. y. Y')'PO.
(3)
que expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia (1). La ecuación (3) es la ecuación diferencial buscada de la familia (1). Si una familia monoparamétrica de curvas se determina por la ecuación
eliminando
el parámetro
~ +.~ y'=O ex ey
.
(5)
Supongamos. ahora que se tia la relación (x, !j. al' a2, ... , a.)=O, 68
(6)
donde al, a2, ' , '. a; S9n parámetros. Derivando (6) respecto de x, n veces. y eliminando los parámetros ,al> ,a2 ••• , , , " an entre (6) y' 'las ecuaciones obtenidas, obtenemos una relación de la forma F(x, Y. y'. y" •.. ,. y(~):=O, (7) Esta es la ecuación diferencial de ja familia, n·para· métrica de curvas (6) dada, en el sentido de que (6\ 'es la integral general de la ecuácíón (7). '2. Pró'blemas de trayectcrtas. Sea dada una familia de curvas planas:
al = O,
(1)
dependiente de un parámetro a, La curva que en cada uno de sus puntos íorma un ángulo constante ct. con la curva de la familia (1) que pasa por el mismo punto. se llama trayectoria isogonal de la familia. En particular, si a = ~,se tiene una trayectoria ortogonal. Suponiendo dada la lamilia (1) buscaremos sus trayectorias isogonales. a) Trturectoría« ortogonales. Se forma la ecuación diferencial de la lamilia de curo vas dada (véase ('1 p. 1): rt», y. y')=O. (2) La ecuación dilerencial de las trayectorias ortogonales tiene la forma: (3) F(x. y, -..!,)=O, y, La integral general de esta ecuación lIl¡(x, y,
C)=O
proporciona la familia de trayectorias ortogonales. Supongamos que la familia de curvas planas se da por una ecuación en coordenadas polares
(5)
donde a, es un parámetro, Eliminando el parámetro a entre (5) y ~~ = O, obtenemos la ecuación diferencial de la 69
fami~ia (5): F(p, <¡l, p')= O. Suslituyendo en estap'por- ~ obtenemos la ecuación dilerencial de la familia de P • las trayectorias ortogonales:
F(p, b)
Traqectorios
-7)=0.
lsogonales,
Supongamos que las trayectorias se cortan con las curvas de la familia dada balo un ángulo 11., donde tg «=k. Se puede demostrar que la ecuación diferencial de las trayectorias lsogcnales tiene la forma F
(x,
y,
t+-;,;) = O.
Ejemplo 1. Hallar la ecuación diferencial de la familia de hipérbolas x, JI..' ¡ji"- T= 1. S o I u ció n. Derivando esta ecuación respecto de x, obtenemos ' a'- 2 sr=
2.t
O,o bi.en'7=gy· x ,
Multipliquemos ambos miembros por x; entonces x, -;;;;=xyy'. Sustituyendo en la ecuación. hallamos xyy' _ y2= l. Esta es la ecuación dilerencial de la iamilia de hipérbolas. Ejemplo 2. Hallar la ecuación diferencial de la íarnilia de curvas (a es un parámetro) y=a(t
_e-f).
S o I u ció 11. Derivando respecto de x ambos miembros de la. ecuación. se tiene
70
De aqul que a=- 1:11' Poniendo la expresión obtenida de a en la ecuación de la familia de las curvas. obtenemos. y=-1ñ7(I-
x
y'),
o bien. ylng' Esta es la ecuación curvas dada.
+x(1
- y')=O.
diferencial
buscada
de la familia
de
Ejemplo a. Hallar las trayectorias orfogonales de la familia de recias y = kx. S O I u ció n, Esta consta de rectas que pasan por el origen de coordenadas. Para hallar la ecuación diferencial de la familia dada, deriva rnos respecto de x ambos miembros de la ecuación y = kx. Resulta, y' k. Eliminando el parámetro k en el y sistema de ecuaciones
=
y= kx
l
y'=k
J'
obtenemos la ecuación diíerencial de la familia: xy' = y, Sustl tuyendo en ella !I por
- 7"1 ferencial
resulta la ecuación dide las trayectorias
ortogonales yg'
+x
-7 = y,
o
bien,
Fig. 13
= O. Esta es una ecua-
ción con variables separables; inlegrándola obtenemos la ecuación' de las trayeclones ortogonales x, tf = C (C;;;;. O). Las Irayeclorias orlo'gonales son círcuníerencias con el centro en el origen de coordenadas (lig. 13).
+
Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la familia de las curvas que son ortogonales a la familia X2 y2 = 2ax.
+
71
s o 1 u ció n. La familia dada de curvas representa una familia de circunferencias cuyos centros están siluados en el eje OX y son tangentes al eje O Y. Derivando respecto de x ambos miembros de la ecuación de la Iamília dada, hallamos: .~ +yy'=a. Eliminando el parárnetro a entre las ecuaciones x"+ !Í'=2ax ,t+Y!l'~(l
,
obtenemos la ecuación diferencia! de la Iamilia dada: X2 y~ 2.tyy' - O. de las trayectorias ortogonales es:
Fig. 14
+
La ecuación diferencial X2 - y2
}
+ 2xy (-7) =0,
o bien, y' = x,2:.!y' .
Esta
ecuación es homogénea. Integrándola obtenemos: = Cy. Las curvas integrales son circunferencias cuyos centros están situados en el 'eje O Y y son tangentes al eje OX (Ilg. 14).
X2
+ y2
Ejemplo 5. Hallar familia de parábolas
las trayectorias
ortogonales
de la
s o Iu ció n. Formarnos la ecuación diferencial de la familia de parábolas. Para esto, derivamos respecto de x ambos miembros de la ecuación dada: y' 2ax Eliml-
=
f = ¿. bien, y' = ~, que representa la ecuación .de· la. íamllla considerada Sustituyendo en esta ecuación y' por -7' obtenemos
nando el par ámetro a, hallamos
)<1 ecuación.
- ..!,. = 2ft. , !I" ,,2
'y2.= - T 72'
diferencial
_o
de las trayectorias
ortogonales
o bien, ddY = - 2" . Integrándola,
+ e,
"y
o bíen, 2" + y' = C, donde-C x:f
halla~os
> O.
La
familia
ortogonal
buscada
es una familia
de elipses
(fig. 15).
Ejemplo 6. Hall'ar las trayectorias ortogonales familia de lemniscatas p2 = a cos 2(1). S o I u ció n. Tenemos _ p~= a cos 2(1) pp' = - a_ sen 2(1).
de la
Eliminando el parámetro a obtenemos la ecuación diferencfal de' la familia de curvas dada: p'= - p Ig2(1).
y
Fig. 15
fíg.16
Sustituyendo p' por - ~: hallamos la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales p'
-7=-ptg2q¡.
4
De donde = ctg 2'1' dq¡. Inlegrando, obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales p2 = e sen 2q¡. Las trayectorias ortogonales de la Iamilia de lemniscatas son lemniscatas cuyos ejes de simetría íorrnan con el eje polar un ángulo de ±4So (lig. 16). 73
Formar las ecuaciones dHercnciales de las siguientes familias de curvas: 281.
1/=7'
286. y' = 2Cx
282. x, - y' = ax.
288. y=Clx
x
283.I/=aeñ. 284. y=Cx-C-C'. 285. !I
+ C:.
287. y=ax'+bx+C.
289. (x-a)·
= eX (ax + b).
290. Y
+
C;
+ (y-
+C
l .
b)2 = ).
= Cle' + Cze-x.
291. y=asen(x+a):
Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curas: 292. y'+2ax=a'. a>O. 297. r- 1/'= a'. 293. y =0:1'. 298. J' + JI = a·. a es un par metro 299. r+y'=2ay. 294. y = ae=, (1 = const. 300. A:1 - ~ y1 = a'. 295. cos y = ae-·. 301. P'"" a (1 +COS'l'). 296. Je' +~ y'= a'. 302. y' =4 (x - a). á
§ 11. SOLUCIONES SINGULARES
Una solución !I = !p(x) de 111ecuación dlferencial F(x, y. 1/') -= O
(1)
se llama singular. si en cada uno de sus puntos se infringe la propiedad de unicidad. es decir, si por cada uno de sus puntos (xo. Yo). además de esta solución. pasa también otra. solución que tiene en el punto (xo •. !lo) la misma tangente que la solucíon Y = 'P(x). pero que no coincide con esla última en ningún entorno del punlo (xo, Yo) arbitrariamente pequeño. La grálica de una solución singular se 74
llamará
curva integral singular de fa ecuación
función F (x. Y. y') y sus derivadas
parciales
(1 l. Si la ~
y
g~
son continuas con respecto a todos los argumentos x. y. Y. cualquier solución singular de In ecuación fI 1 sallsface timbién a la ecuación: iJP(iC. iJy
v· ¡() =.O
(2)
Por consiguiente. para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) hay que eliminar Y entre las ecuaciones (1) Y (2). La ecuación que resulta al eliminar y: (3)
1j>(x. y)-O.
se denomina p-discrimlnante de la ecuación (1). y la curva determinada por la ecuación (3). curva p-discrimtnante [abrevlado, escribiremos: CPO). Frecuentemente ocurre que la CPO se descompone en unas cuantas ramas. En este CHSO se debe averiguar 51 cada una de éstas por separado es solución de la ecuación (1). y en caso afirmativo se debe comprobar si es solución singular es decir. si se infringe la unicidad en cada uno de sus puntos. Se llama envolvente de una familia de curvas (4)
(x, y. C)=O a la curva
que en cada uno de sus puntos
es tangente a una de las curvas de la familia (4). siendo cada segmento de la misma tangente a una Infinidad de curvas de la familia (4) .• ) SI (4) es la inlegral general de la ecuación (1), la envolvente de la lamiiia de curvas (4). en caso de que exista. será una curva integral singular de esta ecuación. En efecto. en los puntos de la envolvente los valores x, y. y' coinciden con los valores correspondientes de la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x, y); por consiguiente, en cada punto de la envolvente los valores x, y. y' satisfacen 3 la ecuación F (.~. y. y') O. es decir. la envolvente es una curva integral.
=
y",
.) S. dic. que las curv as r, son tangcntu fult •• tienen en este punto una tang~nte común.
en un punto M•. si 75
Por otra parte, en cada punto de la envolvente se inla unicidad, puesto que flor cada punto de la misma al menos dos curvas integrales en una misma dirección: la envolvente y la curva integral de la familia (4) que es tangente a ésta en el punto considerado. En consecuencia. la envolvente es una curva integral singular. Por el curso de análisis matemático se sabe C¡U~ la envolventc íorma parle de la curva e·dlscriminante (abrevlndarneute CCO) determinada por el sistema de ecuaciones lriugc
pasan
tJ)(X'U'C)=O} ~(.t.!I.CI
-=
iJC
(5)
O
Una rama de la CCO es envolvente cuando en ella se cumplen las condiciones siguientes: 1) Las derivadas parciales OiJ y ~' existen y sus x uy módulos están acotados:
I~~I~M,I:I~N,
(6)
donde M Y N son constantes: 2)
:.p
O, o sino :
.p
o.
(7)
o b s e r v a ció n 1. Las condiciones 1) Y 2) solamente son suficientes. por lo cual. pueden ser envolventes también las ramas de la CCD en las que no se cumple alguun de estas condiciones. O b s e r v a ció n 2. En el caso general. el p-discrlminante contiene: 1. A la envolvente (E). 2. Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (e2¡. 3. Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) (~): óp=E·
e2•
R..
El C-di~~rlmlnante contiene: L A la envolvente (E). 2. Al lugar geométrico de los puntos cuadrado (/12). 76
(8)
anocdales
al
3. Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo (R3): Ac =E·
A2 .jf.
(9)
Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular) de la ecuación dilerenciál, Esta fig,ura tanto en la curva p-.discriminante, como en la curva e-discriminante a la primera potencia, circunstancia que facilita la averiguación de la solución singular. Ejemplo 1. Hallar las soluciones singulares de' la ecua' ción diferencial 2g (y' + 2) - xy" = O. (1) S o I u ció n. La solución singular, si ésta existe, se determina por el sistema: 2y(g'+2)-XY'·=O}. (2) 2y- 2xg'=O donde la segunda ecuación (2) se ha obtenido de la (1) derivando con respecto a s'. Eliminando g' se obtiene la curva p·discriminanle g~+4xy=O, (3) que se descompone en dos ramas: g=O (3a) y (3b) y=-4x. Reemplazando n6S convencemos de que estas functiones son soluciones de la ecuación (1). Para determinar si las soluciones (3a) y (3b) son singulares o no, bailamos la envolvente de la familia Cy-(C-il)=O, (4) que representa la Integral general de la ecuación (1). He aquí el sistema para la determinación de la curva C·discriminante Cy_(C-X)2=O }. (5) g-2(C-x)=O Eliminando C entre estas 'ecuaciones, obtenemos: Il+4xy=O 77
o bien, y = O e y (3h). Como en las diciones (6) y (7), y = O e y = - 4x (3b) son soluciones
= - 4x, lo cual coincide con (3a) y líneas (3a) y (3b) se cumplen las conhacemos la conclusión de que las lineas son envolventes y. por lo tanto, (3a) y singulares de la ecuación dada. le - x)' Las curvas integrales (4) son parábolas y = --c-'
mientras que las líneas y = O, y = - 4x son las envolventes de esta familia (lig. 17). Ejemplo
2. (1)
Derivando Eliminando
(1) con respecto a
u'.
resulla:
2y'=O. y' entre (I) y (2), obtenemos: r=O.
(2)
(3) El eje de ordenadas es la curva discriminante. Esla no es una curva integral de la ecuación (1). pero según el es-
Plg. 17
Flg. 18
querría. (8)., puede representar el lugar geométrico de los puntos de. contacto de las curvas integrales. Las ..soluclones de la ecuación (1) son las parábolas
y=r+C, y las curvas dtíerenctebles partes (lig. 18.) 78
y=-x'+C
(4)
que se pueden formar con sus
En la lig. 1.8 se observa que la recta x = O verdaderamente es el lugar geométrico de los puntos de contacto de las curvas integrales de la ecuación (1). Ejemplo 3. y" (2·- 3y}'=4(1-
y).
(1)
Hallemos la ePD eliminando !I entre el sistema de ecuaclones: y"(2 - 3y)2 - 4 (1 - Y)=O}. 2y'(23y)2=0
(2)
Resulta: (2-
Translormamos
- y)=O.
3yf(1
(3)
(1) a la forma dz
-;¡;=±
2..=2L 2V~'
y hallamos la inlegral general y~(I-U)=(x
-CIt.
(4)
Eliminando C entre las ecuaciones del sistema y2(I- y)-(X-C)'=O} 2 (x - C)=O
hallamos la
ceo: yf{1 _
As],
pues. de
(3) y (6)
vI-O.
(5) (6)
obtenemos:
Áp= (1 -
y) (2 - 3y,..
Á,=(I- y)l.
El laclor I - Y está elevado en el p-discriminante y en el C·discriminante a la primera potencia y representa la envolvenle. Por Jo tanto. la función y = I es una solución singular de la-ecuación diferencial (1). Sustituyendo dtrectamente nos convencemos de que y = I satisface a la ecuación. La ecuación 2 - 3y = O. que eslá elevada a la segunda potencia en el p·discriminantc y que no ligura en el C·dis· críminante, representa el lugar geométrico de los puntos de contacte (C2). 79
Finalmente. la ecuación y = O. que está elevada a la segunda potencia en el C-discriminante y que, no figura 'en el p-discriminante. representa el lugar geométrico de los puntos anoedales (A2) (lig. 19). Ejemplo 4. Dada la familia de curvas integrales y2_(X+C)3=O
(1)
de una ecuación diferencial de primer orden, hallar una solución singular de la misma.
Fill. 19
s o I u ció
n. Hallamos
la curva C-discriminante:
y2_(X+C)3+0} _ 3 (x C)2= O
+
.
(2)
Eliminando aquí C, resulta, y.=O. (3) Como en la recta y = O no se cumple la condicíón (7), pues, en virtud de la ecuación (2),
,)m
7íi'=- 3(x+C,
\2
=0,
.Y en virtud de la ecuación ·Fig.2ó
~
(3),
a¡¡=2y=O,
la recta iI = O'es el lugar geométrico de los puntos múltiples de la familia (1) o con más precisión; de los puntos de-retroceso (véase la lig. :?P). , Pero. a la. vez, este. lugar geométrico de puntos y = O es tarribién ta envolvente de la Iarnilia (1), pues, en cualquier punto (- C, O), tanto para la recia IJ = O como 80
3
para I~ parábola semicúbica y = (~+ C):I, se cumple la igualdad de sus coeficientes angulares 9'1",= -c = O,. Por consiguiente, la función 9 = O es una solución singuiar de la ecuación diíerencial y = y"; para la cual, la familia (1) es la integral general. Ejemplo 5. Hallar la solución singular, partiendo de la ecuación diferencial
!
XV"~ -2Y9'
+4x=0
-(1)
y de su integral general _,-2= 2C(y - 2C).
s o I u e j 6 n.
(2)
Eliminemos C entre las ecuaciones 2C(y-2C)-x2=O }. 2 (y - 2C) - 4C = O
Obtenemos:
(3)
y2 _ 4x2=0,
o bien, y=±2x.
(4)
Ambas rectas (4) SOI1 lineas integrales de la ecuación (1), por lo cual las funciones 1/ = 2x e y = - 2x son soluclones singulares de la ecuación (1). En los siguientes ejercicios hay que hallar las solucíones singulares, si éstas existen: 303. (1 + y")y2 - 4yy' - 4x = O. 4y = O.
304. 9,1 -
305. !/-4xlJlJ'+8y2=0.
!l = O.
306. !J" -
V'f7l + a
,Para qué valores del par ámetro a tiene esta ecuación solucion singular? 307. y' =
+ + 3x5
308. (X9' y)2 309. y (y - 2x!J'f 310. 81/311. ~ .. 442
12¡/
(x!J' - 2y) =O. ~ 2y'.
= 27 (y
-
x).
(y'_Ij2~yt. 81
Mediante el C-discriminante, hallar gulares de las ecuaciones diferenciales sabiendo sus integrales generales. 312. y=xy'+y";
y=CX+C2.
313. (xy'+y)1=y2y'; 314. y~y"
+ y'=
y(C-X)=Cl.
1;
(x -C)'+
y'=
x' +C(x-3yl+t2=O.
316. 3xy"-6yy'+x+2y=0:
Va2y"+bz;
§ 12. DIVERSOS
Integrar
y=CxVa't2+b'.
P'R,OBLEMAS
las siguientes
318. (y- ya) dx
1.
y=Cex+7r'
315. y"_yy'+ex=O;
317. y=.ry'+
las soluciones sinde primer orden,
ecuaciones:
+ (2xy'
319. y'=(x-y)2+
J.
320 .. ~ sen x . y'
-1- (sen
- x - ay') dy ~ O.
x - x cos x) y = sen x cos x - x
~ 321. Tx+ycosx=ynsen
2x
n =1= 1.
+
322. (xa - 3xy') dx (!l- 3X2.y)dy =O. 323. (5xy- 4y' - 6.<2) dx -1- (y2 - 8xy + 2,5x') dy = O. 324. (3.
+ (3x'Y-
6y2 -
'326. (2..~!le%'- x sen x) dx 327.
2y'
+ y' + ~,=0.
328. y' = 2. ~ y' . 329. x'
+ xy' =3x + !J.'.
1) dy = O• ¡L=IJl(·~·Y)·
-,325. (y-xy'lnx)dx+xdy=O,
+ e-"
dy =O.
3S0. 4x3y2 dx
+ (x'
331. X!lY'-
y2=x'.
dx
332. x'
xy
- 2x
_
+ y'
-
1) dy'= O.
d.y
2y' - xy .
1) y' - 2y = -%,-
.
1-4%
333. (2x -
+ 3)d.~ + (3x + y + l)d!J= + C05-2+-=cosY . Y 2-·
334. (x - y 335 . Y
I
X
O.
% -
+1 (9x x
336. y' (3x' - 2x) - y (6x - 2)
4) = O.
337. xy2g'-!l=+x" 338. y'=
tg2(ax+
by
+ e),
b"l'a,
aÓ>O.
yl.~,=1.
339. (1 +ef)d.(+ef(I-~)dY=O,
+ y2) dx - xy dy = O. (x - y + 2) dx + (x - y + 3) dy = O. (xy' + y) d x - x dy =0. (x2 + y2 + 2x)dx + 2ydy= O. (x - I)(y' - y + 1) dX=(y + l)(x2+ x + I)dy. (x - 2xg - g2) y' + y2 -O.
340. (x' 341. 842. 343. 344. 345.
346. yeos x dx
+ (2y -
sen x) dy = O.
347. y'- 1 =ex+2¡t. 348. 2(r +2x!y
- y'x) d x
349. x2y"y' ~ 2xy' - y,
+ (y2 + 2x2y -
n.p
x')dy =0.
- 2
350. (VI+x'+ny)dx+(VI
+y2+nx)dy=O,
U Ix-(l=n.
+
+ +
351. (3 (x +y) a2]!J' =4 (x y) b2• 352. ax yy" (x' - ay' - b) y' - x!J = O, (la sustitución x· = s, y' = t).
+
353. (x - {/) d x
+ 2xy
dy = O. 83
{¡ 13. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION
Las ecuaciones diferenciales de lI·éstimo orden tienen la forma F(x,
o, despejando
y, !J', !J", •.. , y1n)=o.
(1)
ylnl,
yl') = f (x, y, yf, y", ...•
y(n-J).
(2)
Subsiste el siguiente teorema de existencia y unicidad de la solución de la ecuación diferencial (2). Teorema. Si en la ecuación (2) la función f (x, !J, y', y" .... , yl"-I», cumple las siguientes condiciones: a) es continua respecto de sus argumentos x, y, y', y" •..•• yln-I), en un recinto D de variación de los mismos, b) tiene derivadas parciales continuas .HL, .HL ay
ag' ,
con respec t o a I os argumen t os y, y , y , ... . . . , y(u-t) en el recinto D, entonces, existe y es única la solución y = ¡p(x) de la ecuación (2) que verifique las condiciones y 1...... = Yo' !J = y~, . . .• yln-I) 1 , = YÓ'-II, (3) 111
iJl
I
!Jy. ' ... , !JgIO-II
,f
1:-..
donde los valores x=xo' y = Yo' yf = y~, y(n-I)= lIb,-t) están comprendidos en el recinto D, La:S có~dici'ohes (3) se llaman condiciones iniciales. )::1 problema qué tiene por objeto hallar la solución y = W(x) .9C la écuación (2) que cumple las condiciones iniciales (3) se denomina problema de Cauchy. Para las ecuaciones de segundo orden y" = f (x, y, y'), las condiciones iniciales son de la forma y I.<;"X. = Yo' y' I.=x. = !J~, 84
, donde xo. Yo. Y~ son unos números dados, En este caso; el .teorerna de existencia y unicldad tiene el sigulente si'gnifi· qdo geométrico: Por el punto dado Mo,(x~ •. Yo) del ¡ilano XOY pasa una sola curva integral que tiene una pendtenie dada y~, Se llama solución general de una ecuación dileréncial ,(2) .de orden n., el conjunto .de todas sus', soluciones- determinadas por la íérrnula Y = cp(x. C'I, C2• ,,'. C'tI). ,que contiene n constantes arbitrarlas eh 'G2, ... '. '. eJi, talesque, dadas las condiciones 'lnidales (3). existen unos ',v¡¡lo:reS C2• " , • t. de modo que y = cp(x. C,. t2• ' , " Cn) sea la solución de la ecuación (2) que cumple las condiciones iniciales, Cualquier solución, obtenida de la solución general para valores asignados de las constantes arbitrarias e" e2• ' , ' , en. se llama solución particular de la ecuación diferencial. Una relación de la forma (1) (x, Y. e" 2• "'. Cn)=O, que determina en forma implicita la solución general de la ecuación diJerencial se llama integral general de la
e,.
e
misma,
e,.
en
Asignando a las constan les C2. ' , , • unos numéricos admisibles concretos, obtenemos una particular de la ecuación diierencia1. La gráfica de una solución particular o de una particular se llama Cllrva integral de la ecuación cial considerada,
valores integral integral diíeren-
+
Ejemplo, Demostrar que,!I = C,.t e2 es la solución general de la ecuación diferencial y" = O, S o I u ció n, Demostremos que y = e,x Cz satisface a la ecuación dada, En electo, tenemos y' = e" y" = O, Supongamos ahora que se dan unas condiciones iniciales arbitrarias y 1.=.<. - Yo' y' 1-.,,- = y~, Demostremos que las constantes C, y C2 se pueden elegir de modo que Y = C,x C2 cumpla estas condiciones, Se tiene
+
+
y=e,x+cz,
Poniendo x = xo. obtenemos
y'=C
el sistema:
yo=e,xo+ez y~=e,
l.
"
ss
e,= +
del que unívocamente se determinan e, =!Io y ... Yo- xoYó' Por lo tanto, la solución Y <= y~ (x - xo) Yo cumple las condlctones iniciales asignadas. Geométricamente. esto significa que por cada punto Mo(xo, Yo) del plano xa y pasa una sola recta que tiene una pendiente dada. . Evidentemente, una sola condición inicial, por ejemplo. y 1..-.,= Yo' delermina un haz de rectas con centro en el punto Mo(xo, !Jo), es decir, una sola condición inicial no es suficiente para garantizar la existencia de solución úníca. Demostrar en los siguientes ejercicios que las [unciones dadas son soluciones de las ecuaciones indicadas: y" + 2y' + 2y = O. +e2 sen 2x), y" - 4y' + 8y .... O. x (sen x - cos x), y" + Y = 2 (cos x + sen x). (e, + C~X)e-3., !J" +6y' + 9/1....0.
354. y=e-'(3cos
x - 2sen x),
355. y ... e" (e, cos 2x 356. y ~
357. y= 358. /I=- x, In x, xy'" ~ 2. 359. X=y2+y, U'y'''=3y'''. 360. x + e = e=«, y" = y". 361. x=y+lny, y!/'+¡/'-U"=O. 362. y=C, +C~
,f
383. U=e,x +c.x
x'y" - (xl
' ,..dt, e' f
xy" +
e;
. f
+ x) !J' +(x +
x~ In2.~ . U" - x In x . !J' '. x=/(2In.t-I)+C, 36". U .... (llnf+C. x=(/+ I)e' +e, 366. Y = I~e' C.
1) y=O .
I~'(
x
86
x)y'=O.
(x> O).
di
364. u=C,lnx+Czlnx
+
(1-
2
+ (In x + }
' } '
(x>
1),
1) y ~ O.
!/'(I +2Iny/= u"eV',(y'
+ 2) ...
l. 1.
367.'
X
_..!..
=G., +C,(I
2
sen
21) } ,
2(1 - y)!I' = 1 + y".
yo: 1- C, sen2t
1
x~~lnt+~ 3.68.
I
3
y"t _ 2y'y~' + 3 =O.
'
y=-;¡-/+Tt' Verificar que las funciones dadas son .Ias. soluclonés generales de las ecuaciones correspondlentes:
369. y=C,senx+C2cosx, 370. y=..!..(C,e' +C:¡e-·). JC
y"+y=O. xy" 2y' - xy =0.
+
371. y=C,x+C21nol". 372. y373. x
x2(1 -
lI(x + C,)Z + C.. + C. = y3 + C,II.
yy" y"
374. :c+C.=lnsen(y+C,),
+ .~y' -
+!/
y=O.
= 1.
+ 6yy'> = O. y"=y'(I+y")
.
• senl
f -,-di.
375. y=C,x+C.x
o .t sen
In x) y"
x . y" - x COS x . y'
+ cos x . y = O.
Verificar que las relaciones dadas son integrales nerales o particulares) de las ecuaciones indicadas:
(ge-
3
C.)2= l.
y"=(1 yV'=1.
376. (x- C,)2+(y_ 377. tr=I+(I-xJ2,
378. sen (y - CJ =c'-c"
y" = y' (1
379. C,x+C.=ln(C,y-I), 380. Y In y ~ x
•
+ J el' di.
+ y")"'i.
+ y'.).
yy"=y"+y' y (1
.
+ In y) y" + yr = 2xye".
o R.EDUCCION DEI. OR.DEN DI! LA ECLJACION Señalemos otros tipos de ecuaciones permiten reducir el orden. ). ¡¡
diferenciales
que
Después de integrar n veces obtenemos la solución general y=
---
f ... f f(x)d.t A
.
'" dX+C.,
..,.-1
(II-I)!
t"-~
+C,
(n-2)í
+ ...
... +C._1x+C •.
La ecuación no contiene la función derivadas hasta el orden k - t inclusive: 11.
F (x, yl.', y'HII,
íncognlta
y sus
... , ytA') = O.
Se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo la sustitución yl')(x) = p(x), después de lo cual la ecuación toma la forma F(x, p, p', ... , p.n-')=0.
De esta ecuación determinamos p=f(x, C" C2, •••• Cn-A). siempre que esto sea posible. y hallamos después y de la ecuación yth) = [t«, C .. C,. "', Cn..../,) integrándola k veces. JI t. La ecuación no contiene la variable independiente F(y, y', y" .... , y
.!!JL dx
" =p,
1I,=.!!E..=.!!..E..!!JL= ax d/l dx y'" _ :,.
(p ::)
= :/1
(p
*):~ p =
P 2
dp dg , :~
+ p (~y . etc.
Poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar de y', y", ..,' , 00), resulta una ecuación diferenclal de orden
11-1.
J V: ,La ecuación. F(x, y, y", ... , y(J'j)=Q
88
es homogénea respecto . . • , g<0', o sea.
de los argumentos
g. g!. g" •
F (x, Iy, I!I, ... , Iy(o,) = '·F (.t, y, y', ... , y<")
JII
Se puede disminuir sustitución
el orden de esta ecuación haciendo
u=e J
~d~
,
donde z es una nueva (unción incógnita de x: z = z(x). V. La ecuación es tal. que al escrlbírla mediante dllerenciales F (x, U, dx, dy, d2g, ... , d"y-) =O, resulta que F es homogénea respecto de sus argumentos x, U dx, dU, d2g, •.. , doy, donde se supone que x y dx son de primer grado e y, dg, d2y, etc., de grado 111. En estas du
•
,Py
condiciones, -;¡¡ sera de grado 1/1- 1, dx' de grado m-2, etc. Para reducir el orden de la ecuación se hace la sustitución x = e'. y = 1Ie'"', Como resultado obtenemos una ecuación diferencial entre 11 y t que no contiene a t explicita mente, la cual permite reducir su orden en una unidad (caso 111). Al resolver el problema de Cauchy para las ecuaciones de orden superior es conveniente determinar los valores de las constantes e, durante el mismo proceso de resolución y no después de haber hallado la integral general de la ecuación. De este modo, resulta más rápida la resolución del problema, pudiendo ocurrir también que se slrnpllfique considerablemente la integración. puesto que las constantes e, tienen ya valores numéricos concretos. Cuando las constantes son arbitrarias, la integración resulta más difícil y a veces suele ser imposible expresar la Integral por luncíones elementales. Como ejemplo, veamos el siguiente problema de Cauchy U" = 2y3, gl.-o = 1, y' 1_ = 1.
e,
Poniendo y' = P. obtenemos p
1;= 2y3,
de donde p' = y'
+ e"
o bien ~ =
V y'+e,. 89
Separando
las variables.
hallamos
, .~+ e1 = S (y' + C,l-'" dy.
En el segundo miembro de la última iguidad resulta una integral de una diferencial binornla. En este caso, m = O. n
= 4.
P = - {. o sea. es un caso no integrable.
Por consiguiente. esta integral no se expresa en forma de combinación finita de [unciones elementales. No obstante. empleando las condiciones iniciales. resulta CI = O. Por lo tanto, _~/; = y2. de donde, teniendo en cuenta las condiciones
1_ • y = _1_-x
iniciales. hallamos finalmente
de casos distintos de diferencial.
He aquí unos cuantos ejemplos reducción del orden de la ecuación Ejemplo 1. Hallar yf"
la solución
S o I u ció n. Integrando dada. resulta
general
sucesivamente
+
+
y" =-cos x sen x el' yf __ sen x - cosx +C,x
y=cosx-
sen
Ejemplo 2. Hallar
de la ecuación
+ cos x,
=sen x
x+e,
la ecuación
+ C2•
~' +C2X+C3•
la solución
general
de la ecuación.
yll'=~
"
y señalar la solución que cumple las condiciones iniciales y 1_, = O. yf 1._1 = l. y" 1,_, = 2. S o I u ció n. Inlegrando
esta ecuación
sucesivamente
tres veces. hallamos y 11 = !J'
90
=
J -;r d x=--x-In .. I
-2'11I2x-lnx
In "
. XI
+C
+Clx+C..
J'
(1)
Busquemos la solución que cum~le las condlélones lnlciales dadas. Poniendo en (1) los 'datos iniciales, obtenemos
1
~ +C~+Ca=O CI+C,=I -1 +CI=2 De donde CI = 3, CI = - 2, Cs
3. Resolver
La sohlción buscall'a es-
+ !2 x2 -
2 !I = - .! 2 In x
Ejemplo
=+
2x.
+ 1.. 2
la ecuación
V 1+(11")'.
g"'=
S o I u ció n. La ecuación
no conliene la funcl6n Incognlla !I y su derivada, por lo cual, hacemos y" "'"p. La ecuación toma ahora la forma
~~ = VI Separando
e Integrando, obtenemos • .x+c. _ .-(.+C~. p= 2
p por !IN resulta
Sustituyendo
... +c. _ ,~(K+C.1 2
y'l~ Integrando ex+Ct
11'=
+p2.
las variables
sucesivamente.
+
se tiene r+C'
,-(X+CI)
2
+C20
o bien
g=
+ C,) + CtX
II-sh(.c EJelflplo 4. Resolver
6-tx+C ••
-2
+C2.c+C.
+C3•
la ecuación
.cgV
_
gIV=O.
S o I u ció n, La ecuación no contiene la funcl6n In' cógnlta y sus derivadas hasta el tercer orden Inclusive. Por esto, haciendo l/IV- P. resulta
x
dp
dx
-p=O • 01
De donde
!lIV=e1x.
p=eIX.
Integrando sucesivamente. C 12" x'+C
rrr !I"=
!I" =C1 !I' =
~
hallamos
2•
• + C,X + C
3•
el 24 +e, 2" + CsX + c•. Xi
Xl
.tI
.1"
x!
i2ij+e'T+e32"
!I =el
+C,X +C$
o bien y
donde
=C
IX5
el =
+ C2x3+ C3X2 + C,x
I;~'CI
= ~'.
+ C$'
e3 = ~a.,
Ejemplo 6. "Resolver la ecuación !I"
+ 1/"
=2e-u.
S o I u ció n. La ecuación no contiene la variable independiente x, Haciendo 11' = p, y" = P ddP, obtenemos !) la ecuación de Bernoulli p ~:
Con la sustitución lineal
+ pt=2e-
p•
pI = z, ésta se reduce a la ecuación
~+2z=4e-Y dy cuya solución general es z = 4e-V
•
+ C,e-2y•
Sustituyendo z por p' = y", obtenemos
*=±
Separando las variables x +C.=
¡!4e-'+C1e-2¡¡. e Integrando, resulta ±
+
V4e>-C1•
De aqui que donde
C,
-
C¡=-¡-. Esta es la integral
de la ecuación
Ejemplo 6. Resolver
dada.
la ecuación
xZyy" = (y -
xy')Z.
S o 1 u ció n. La ecuación es homogénea respecto de Y. y', !f". Con la sustitución y =eJ .dX, donde z es una nueva función incógnita de x, el orden de la ecuación se disminuye en u.na unidad. Se tiene,
y' = zeS Poniendo sulta
x2 (2'
+ z2) / por e'
Simplificamos X2
(z'
1/" = (z'
ZdX,
en la ecuación
+
Z2)
S .,Ix J
= (1 -
+ Z2)
eJ za •. de y. y'. gil. re-
las expresiones = (eS .dx _
.tuI
=. xz)Z,
o bien,
x2z'
ZdX)'.
+ 2xz
= l.
Esta ecuación es lineal. Su primer miembro se puede escribir en la forma (x202)'= 1; De donde X2Z=.~+Ch o bien, I
02=-:'+7'
e
Hallamos la Integral
f
o2dx=
f(++
La solución general
:!)dX=lnlxlde la ecuación
:' +lnCz· dada es
In I x I+.f! In e,. x
y=e Además. la ecuación
o bien, y=C2xe tiene la solución trivial
_f.L
•
y
= O.
Ejemplo 7. Resolver la ecuación x3y" =(y _ xy')2. 93
S o 1 u ció n. Demostremos que esta ecuación es hornogeneralizada. Suponiendo que x, y, y'. y" son de grado 1°. m·ésimo, (m-I)·ésimo y (m-2)·é.simo. respectlvarnente, e igualando los grados de todos los términos. obtenemos (0) 3 (m - 2) = 2m.
génea
+
=
de donde m l. La resoíubllldad de la ecuación (.) es la condición de la homogeneidad generalizada de la ecuación. Hagamos la sustitución X =:
e'.
JI:;;;tI
IiC'.
Como dy
(~7+ u).'
dt
dg
.!!i _
d
"':"':"--;--'-= ....!!.. + Il,
(fi"=-¡¡;di
.1
dI
,1 (dI!)
dI
dI
dx' -
dz
TI después de simplificar loma la forma
por el factor e" la ecuación
!!:.!!._+~=('~)2 dI' dI di' Poniendo
du
TI
= p,
d'u
dp
-¡¡¡; = p Tu' obtenemos p
~Z+p=p~, +
. dp 1 =- p. De donde p = O. o bien. Tu Integrando ta segunda ecuación, resulta p= t
du
+C,e". o bien. TI
= 1 +C,eu•
La solución general de esta ecuación es u=ln 94
.'
c,"+c,'
dada
Volviendo a las variables x e y. obtenemos general de la ecuación dada
la solución
x
c,x+C,'
U=xln
=
=
N o t a. El caso p O nos da u = e, o bien, y ex, solución particular que resulta de la solución general 'para = e-c, 2"",0.
e,
e
Integrar las ecuaciones: 381. 382. 38S. 384.
=
=
U'" xe«, U (O) = U' (O) U" (O) = O. y'V= x, u"'=xlnx. U{I)=U'(I)~u"(Il=O. U'" = x cos x.
+
=
385. ylll
(x ~
Y (1) = y'{I)=
2)"
y" (1)=
O.
+ 6 = O. + + y,1 + 1 = O. r:- 2U"y' + 3 = O. xy" = y' In Ji..... x
386. U"' - 5y' 387. (1 )(2) y" 388. 389.
390. U"I 391.
s"
+ y,t = s".
+ y,,,, = 1.
392. y"(1+21ny')=1. 893. x= V"' 394. 4V'
+ l.
+ y'"
= 4xu"
,
r.
395. y,,1 - U'y'" = (~
S97. U"=
+ 2) ell = 1. ~ + ;:. y(2)=0'.u'(2)=4.
398. y" =
VI +Ur.
396. U" (y'
399. y"=y'lny';
y'I..,..<}=1.
yl_=O.
400.
2y" In Uf = Uf; Y
401.
y"
+ y' JI' y,1 -
1_1 ... -
1
= O;
6e-2,
U'
',<==1= e-t.
IJ '__ n = O. IJ' ,-"
= - 1. 95
1 + y"; y I_.,= In 2 -
402. 2!l'yl/= 403. xy'"
+ y"
-
1, y'
l\'=()= -
1 =O.
X -
404. y'y'" - 3y'" = O. 405. xy"yll=!;"
+fx<. l.
406. x'y'" +2x'l!J"=
407. VI-x"Jy,,+VJ-y"=O.
+ 2y"
408. (x - 1) y'" 409. gily3 = l.
= "/:: .
410. yg"-g"-I=O. 411. 3y'g"=2y;
y(O)=g'(O)=l.
412. y"=aeu• 413.4y •
"=+-. 4
r y
•
414.3y"=gJ. 415.
1
+ y,2 = 2yg".
416. ¡/'g"=-
l. g(I)=
417. y"'=3gy'; 418.
vs" -
l. y'tl)=O.
U(O)=U'
(0)= 1, y"(O)=t,
g,2 = tly'.
419. UU"=Y".
420. y" = e2y, y (O) = O, U' (O) = 1. 421. 2UY" - 3y,2 = 4y2.
+
422. gil = 1 g". 423. xy'(Uy" _ gr) _ l/y,2 =."'U3• 424. ,t'!/ = (U - XU')3, '425. y,,+y,2+2y'=0; 426. gil = U'(I
1/ (1) = y"(I) = 1.
Y1....o=ln2, g'I..-<>=-I.
+ g"), 3
427. 3g"=(¡ 428. g"(1 96
+y")2.
+ 21ng') =
1; 9 1.=0 =0,
1/' 1.-0= l.
l.
429. y"(y'+2),,"=
1; YI_o=e-I,
+
+
y'I_=-1.
u: .
3yy'y" 2y'· 1!..(yy" - y") = x " 431. Hallar el tiempo que necesita un cuerpo pata caer a la Tierra desde la altura de 400 000 krn (aproxünadamente, ésta es la distancia desde la Luna hasta el centro 430. y?y"'-
de la Tierra), si la altura se mide desdé el centro de la Tierra y el radio de la misma es 6400 km, aproximadamente. 432. Hallar la ley del movimiento de un 'punto' mateo. rial de masa ni que se mueve por una recta OA debido a la acción de una fuerza repulsiva que es inversamiente proporcional al cubo de la distancia del punto x = OM hasta el centro inmóvil O. 433. Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad [l. Durante la caída, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo. 434. Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas. de modo que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio mixtilinco formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto. 435. Hallar la curva cuyo radio de curvatura es constanteo
§ 14. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n:
INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS FUNCIONES. DETEQMINANTE OE WRONSKY (WllONSKIANO)
1.
Sea dado un sistema finito de r¡ funciones yl(x) , ... , y,.,(x), definidas en el intervalo (a, b). Se dice que estas son linealmente dependientes en d intervalo (a, b), si existen unas constantes Gtlo (X2, .•• , a", no sirnulY2(X),
7-442
w
táneamente iguales a cero, tales que para lodos los valores de x de esle intervalo se cumple la identidad; , a,!!, (x)
+ a,y.lx) + ... + a.yo
(x) e!! O.
Si esta identidad se cumple solamente para al = a2 = . ...= an = O, se dice que las lunciones !JI (x), gz(x), . .. . • !In (x) son linealmente independientes en el intervalo fa, b),
Ejemplo 1. El sistema de Iunclones t. x, xZ. x3 es linealmente independiente en el intervalo (- eo, + 00). En electo, la igualdad a,·1 a2X + a3,\'2 + (L~x3 = O puede cumplirse para todos los valores de x E (-00, +00) solamente cuando al = "2 = 0.3 = '" = O. Si al menos uno de estos números es diferente de cero, en el primer miembro de esta igualdad tendremos un polinomio de grao do no superior al tercero; éste puede convertirse en cero no más que 'para tres valores de x del intervalo considerado r
+
Ejemplo 2. El sistema de funciones ck,., et,., ek"" donde k,. k~. k3 SOl) distintos dos a dos, es linealmente independiente en el intervalo - 00 < x < + oo. Supongamos. por el contrario, que el sistema dado de funciones es linealmente dependiente en este intervalo. Entonces, (A)
en el intervalo (- eo, + (0). siendo distinto de cero al menos uno de los números al, CX2,0.3; sea 0.3 =1= O. Dividiendo ambos miembros de la identidad (A) por ek •• , resulta (1)
Derivando (1), obtenemos a2{~ - k,)e(k,-k,¡.
+ aa(k3 -
k,)e(k.-k,J.
=0.
(2)
J;>ividi~ndo ambos miembros de la identidad (2) por tiene
e~~""~>l',se
Derivando
(:3). obtenemos
a, (k3 -
k,) (k, -
kt) e(t.-t,I. "" O,
lo cual es imposible, ya que o:~ =F O, por la hipótesis, k, .¡. k k~ =F. kJ y e('.-lJ. =F O. La "hipótesis sobre la dependencia lineal del sistema dado de funciones nos conduce a una contradicción, Por consiguiente, 'este sistema de funciones es linealmente índependiente en el intervalo (- 00, + 00). El sea. la identidad (A) se cumple solamente cuando ct, a2 0:) O
=
=
=
Ejelnplo 3. El sistema de funciones ea.< sen ~x. e'U cos px. donde p =F O. es linealmente independiente en el intervalo - 00 < x < + oo. Determinemos unos valores a, y 'a2 de modo que se cumpla la identidad
o.
a,e'" sen ~x + a.¡e"" cos !Ix""
Dividiendo ambos miembros de esta identidad resulta a, sen fU' + a, ces ~x _ o.
11) por e"-''¡''O. (2)
=
Poniendo en (2) el valor x O. obtenemos «2 = O y. por consiguiente, a, sen IIx - O: pero la función sen IIx no es idénticamente igual :\ cero. por lo cual, a, = O. La ídentldad (2) y. por lo tanto. la identidad (1). subsisten solamente cuando a, = a2 = O, o sea, las funciones conslderadas son linealmente Independientes en el intervalo -
00
< x < + oo.
.
N o t a. En particular. queda demostrado que las íunclones trigonométricas. sen IIx. cos IIx. son linealmente lndependientes .. Ejemplo 4. Las sen(x-'¡)son (-
00,
funciones
linealmente
sen ,e,
dependientes
sen
(x+i).
en el intervalo
+ 00).
Demostremos que existen tales números a. .. u •. as. no todos iguales a cero. que en el Intervalo - 00 < x < + 00 tiene lúgar la identidad
a, senx+
+
i) +a3sen (x -'¡)iiilO.
(A)
~
Suponiendo
que la identidad
(A) eslá cumplida.
=.:¡..
mos. por ejemplo. x = O. x tendremos el sistema homogéneo tres incógnitas a¡, a2. CL3:
i-
a.¡ sen I
a, 1"2 a, El determinante
x =~. Entonces. de tres ecuaciones
+ a.¡ sen '8 +
+ CL¡ sen T + as sen
ob-
con
i =O
Cl, sen
3:1
5"
haga-
(1)
3n
T =O
de este sistema
o
sen
i -seni
1
6=
3.-.
11
5,,-
3"
I/'2 sen- 8 sen- 8
senTsellT
es igual a cero. Por consiguiente. las soluciones del sistema homogéneo (1) no son nulas, o sea. existen tales números Cl2. a. uno por lo menos. de los cuales difiere de cero. Para hallar estos ternos de números CL,. az. a, tornemos. por ejemplo. Ias dos primeras ecuaciones' del sistema (1):
a,.
(1.,
"1
7l"'F' r2
sen
-1- a.l sen -3
i1t
8·
+
sen
(1..
sen - = O
De la primera ecuación tenemos al
Haciendo Il:!= l de este sistema (1) (1,
100
= - 2 cos
n· 8
112=a3;
.¡.
obtendremos
= - 2 cos'¡.
.¡ = O
Il,
I
de la segunda.
al'
la solución
a.¡ = l. Il:!= 1.
no nula'
la
E
Demostremos ahora que para estos valores de 01' ~, 0l identidad (A) se cumple para todos los x e (-00, +00) ·1. Tenemos, cualquiera que sea x, 0,
sen el
x + ~sen(x +'¡) + al sen (x - ¡.)El -
2 cos
i sen x + 2 sen x cos .¡
55
O.
Por consiguiente, el sistema dado de funciones es linealmente dependiente en el Intervalo - 00 < x < + oo. N o t a. Se puede enunciar otro criterio de. índependencia lineal para el caso de dos íuncíones. Las funciones 'PI (x) Y 'P'(x) son linealmente independientes en el íntervalo (a, b) si la razón : no es Idénticamente cons-
:~!
tante: ~ ~;~ .. const en este Intervalo; si :: :~: - const, las funciones serán linealmente dependientes .•• ) Ejemplo 5. Las funciones tg x y cig x son linealmente independientes en el intervalo O < x < puesto que la
-r'
razón
ttl!" = tg2 cgx
X
;;ji
const
en este intervalo.
Ejemplo 6. Las funciones sen 2x y sen x cos x son linealmente dependientes en el intervalo - 00 < x < + 00, puesto que la razón la 2:e~n:c~:s: ..., 2 (en los
s.~·;e:"
puntos de discontinuidad de la función se~':::' x' esta razón se completa asignándole su "verdadero valor", de modo que resulle una función continua) . • ) Se puede establecer
l. dependencia
(x+'¡), sen (z-i) + $On(x - .¡-)- 2<0$ T sen .. 6 sen e, •• n
- 2cos
lineal de las lunclones
admitiendo
stn
que s.n(x+'¡')+
(x+ i) + .en(x -i)-
¡. sen x-O .
• ) También se puede s.nallr otro criterio de dependencl. IIne.1 d. n funcionu (ti;;;' 1): Las lunelenes !/I (x), U.x •.•• , y. (x) son lin •• lrnente dependientes en el Intervalo (a, b), si .1 menos uno de ellas puede expresarse en este íntervalc como combinación lineal d. Ins eestsntes. En caso contrario, el sistema d. funcione. es linealmente independiente. (Nota del r.) 101
Averiguar si las (unciones dadas son linealmente índeen su campo de definición.
pendlentcs
436. 4. x, 437. 1. 2,
X, x2.
438 . x, 2x, 439.
X2.
xes,
(t'( I
xZex.
440. sen .r, tos x, tOS 2x. 441. 1, sen x, tOS 2x.
442. 5, coso x, sen" x. 443. cos x, cos (x
+ 1).
cos(x - 2).
444. 1. sen 2x, {sen x - cos x? 445. x, aJcn'
(x
< O).
446. Igo x, Ig. x'
(x> O).
447. 1, arcscu ,
cu1
450. e -.,
e-. I
451. x, xl
1 eT di . al'
•
~;dt
(xo > O).
x,
"'.
Supongamos que las 11 (unciones 111(x), 11'(.1') •• ,. IIn(x) admiten derivadas hasta el orden (,t - 1). El
delerminante W [YJ' y, •...•
Un! =
II,(X) (x)
y;
111.-11 (x)
Y. (x)
11; (x)
.. .
Y. (x) Y~ (x)
!J~n-l)(x) .. , y!:,-ll{X)
determinante de \'í!rolLslly (o wronskiano) de estas Iunclones. Obsérvese que, por lo general, .el wronskiano es una función de x- definida en cierto intervalo. se tlama
102
Para el caso de tres funciones, el wronskiano tiene la forma yJ(x) ydx) Ua(x) W Iy" u?, YJI = y: (x) y; (x) V; (x) •
I
U:' (x) U~(x) Unx) Ejemplo 7. Hallar el wronskian~ de las funciones !/I (x) -= e'<', Y2(X) =e',.<, Va (x) = e-t,x. S o l u e í 6 n. Se tiene
I k:~'k:;: I
W Iyo. Y1, Y31= k~;:'
kie."
a=
=»
k~ek,x k~l!k""
ctt,+,,+k,). (k2 -
11,) (ka ~ k,) (k) - k~).
Ejemplo 8. Hallar el wronskiano de las lunciones y,(x)=senx.
U¡(x)=sen(x+i),
Y3(x)=sen(x-i).
S o ! u e í ó n. Se tiene W
lu,. y" Y31=
(x +.¡)
sen x
sen
cos x
cos (x+~)
- sen .t
-
sen
(x + i) -
sen
(x - i) n'
cos (x-a) sen
=0,
(x - -i)
puesto que la primera y úluma filas del determinante son proporcionales. En los siguientes ejercicios se pide hallar el wrenskia-
no de los sistemas de funciones lndicados: 452. 1, x. I
453. v, -;. 454. 1, 2, x'. 455. e-x, xc-x. 456. cX, 2e'. e=», 457. 2, cos x, cos 2x. 103
458. sen x,
sen(x+f).
459. are,cos';',
arcsen';'.
460. n, arcsen x, arccos x, 461. 4, sen2 x, cos 2x. 462. x, Inx. 463. 464. e' sen x, eC cos x.
e-"
465. e-3' sen 2x,
cos 2x.
466. cos x, sen x. 467. sen(~-x),
cos(~-x).
Subsiste el 'siguiente teorema. Teorema. Si el sistema de funciones y,(x), y,(x), ., ., Un (x) es linealmente dependiente en el sej!mento [a, b), su wronskiano es idénticamente nulo en [a, b~ As!. pues, el sistema de funciones sen sen +
(x .¡),
x,
sen
(x - ¡.)
es ltnealrnente dependiente en et intervalo + (0) y, como fácilmente se com prueba, su wronskiano es igual a cero (véanse los ejemplos 4 y 8). Este teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un sistema de funclones. El reciproco no se cumple, puesto que, el wronskiano puede ser nulo también cuando las funciones consideradas foro man en el intervalo un sistema linealmente independiente. Ejemplo 9. Examinemos las funciones (-
00,
Ut (x) =
Y2(X) = 11)4
I
O,
(x - ~
¡
(x-fY, O
t'
si 0~x~2 I
si 2<x~l,
si si
I
Sus grálicils tienen la forma que se muestra en la fig.21. . Este sistema de funciones es linealmente Independiente, puesto que solamente para a, = a1 = O se cumple la identidad a,!J, (x) + a2!I2(x) - O. En efecto, considerándola en el segmento [O, ;],obtenemos a2!l1(x) e _ O, de donde Q.1 = O, puesto que Y2(X) ~ O; no obstante, en el segmento [{, 1) se tiene a,y, (x) Fig. 21 _ O. de donde a, = O. puesto que !b (x) O en este segmento. Consideremos el wronsklano del sistema W IYI' Y2). En el segmento
=
=
*'
ro, +]
W{y"
en el segmento
[{,
Y21=1:
(x (
-{YI1)
2x-- 2
=0,
1]
Por lo tanto, W (gl, YlI "'" O en el segmento 10. Ij. En los siguientes problemas se pide demostrar que las funciones dadas son Iinealrnente independientes y su wronskiano es idénticamente nulo. Construir las gráücas de estas íunclones. si -1~x~O si O <x~ 1, si -1 ~x~O si O<x~1. 105
O. si VI (.xl ={ (x _ 2)'. si 469.
O"';x~2 2 < x"'; 4,
v, (xl =
{(X-2F. O.
si si
1/o{X}=
r, { O,
si -2"';x~O si O<x~I,
{O
si -2"';x~0 si 0< x< l.
470. v~'(x)= 471. YI(X}=x',
X;,
0~x<2 2 < x ~ 4,
-1 <x...;
v,(x}-xlxt,
1.
Veamos un criterio mas de dependencia lineal de un sistema de funciones. Supongamos que se considera un sistema de funciones v, (x), v,(x} •... , v. (x) dadas en el segmento la, b). b
Hagamos
(V" V,)=
El determ inante
f
y,•...•
II.)
• (/1" YI) (!lI'
r (UI'
(1 l= t, 2.....
V,(x}V¡(x)dx
Y.) = (V,. gl)
yJ
(V2. y,)
(y •• YI) (Y•• !l.) '"
(!I,. !l.) (V,. y.) IU., Y.)
se denomina determinante de Gram del sistema de lunetones (y~(x){. Teorema. Para que el sistema de funciones !/I (x). U2(X) •••.• u.(x) sea linealmente dependiente as necesario y suficiente que <su determinante de Gram sea igual a cero. Ejemplo 10. Demostrar Que las Iuncíones UI = X. y, = 2x son linealmente dependientes en el segmento (O, 1] -) . • ) La de~endencl. linea de estas Iuncíones en cualquier aegm,ento es censecuencra inmediata del ctUerlo expuesto eri l. nola de I.'pig. 101 (Vbse también la noto del T. en In pole. 101. En este caso. ", - 2YI. (Nota del r.)
106
s o I u ció • (y,y,)=
n Se tiene
•
f x'dx=+; o
(y, lit) = (YfY,) =
,
(Y2' 112)=
r(Y"II,}=
f 2.rd.JI:=f; •
f 4.t'dx=-r. o
ti
,1+f T =0.
por consiguiente, las funciones y, {x} y y,(x} son linealmente dependientes. 472. Empleando el criterio expuesto, comprobar que las funciones en los ejemplos 438, 442, 444 son linealmente dependientes en el segmento (- n. n], 2. ECUACIONES LINEALP.S HO~\OGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
Sea dada la ecuación diferencial
Iloy'·l+a,y"'-'l+ '.' +a.y=O,
el)
donde ao. a, •...• a son constantes reales. Consideremos la ecuación caracterlstica ft
a""."+a,,,,IO-'+ ... + a,. =0.
(2)
Supongamos que Al. At •. , .• A. son las raíces de la ecuacíén (2). entre las cuales puede haber múltiples. Se pueden presentar los casos siguientes: 11) A,. A.! ....• J..o son reales y distintas. En este caso, el sistema lundamental de solucIones de la ecuación (I) tiene la lorma:
y la solucIón general de la ecuación homogénea es Y~.... c,i"
+ C#~" + ... + C./·.";
b) las ralees de la ecuación caracterlsttca pero algunas de ellas son múltiples.
son reales. 107
Sea. por ejemplo, ¡., = ),.= ... = i:~o=~, de modo que i es una raíz k - múlUple de la ecuación (2), mientras que todas las demás n-k raíces son distintas. En este caso, el sistema fundamental de soluciones tiene la forma e1...A, xel.x,
.'('J
e1.K,
.0.,
x"-'i'x,
e"'k+r", .. "
eA.""
y la solución general es
9,=C/"+c2xi'+c3x'i'+
... +Ctxk-'i'+
+ Ck+le~HI'+ ... + C.e'o·; e) algunas de las raíces de la ecuación característica son imaginarias. Para fijar ideas, supongamos que '" = a + ijl; }.. = = a - l~, As = V + iO, ,., = V - iO, ji =1= O. 6 =1= Ó, y que las demás ralees son reales tomo, por la hipótesis, los coeficientes a¡ (i = O, 1,2, ... , n) de la ecuación (1) son reales. las raices imaginarías de la ecuación (2) son conjugadas dos a dos. En este caso, el sistema fundamental de soluciones tiene la íorma e"'cosjlx, e""'senjlx. eV'cosOx, e" sen 6x, ls'. eA.', .... in%,
y la solución general es y¡¡=C,elUcos jIx + C~ ... sen lIx + C3ev, cosOx + + C,ev• sen Ox C6C~" + .., + c.i.'; d) si ,., = Ct ¡ji es una raíz k - múltiple de la ecuación (2) (k':;;; -I)' entonces, A. = ct - ¡ji también será una raiz k - múltiple y el sislema iundamenlal de soluciones tendrá la íorma: e'" cos jIx, e"'" sen jIx, xe'" cos lIx, xe"" sen jIx., ••• . ,., x)-'il.lcostix, xt-1eCUsenpx, eA:A+lx ••.• , i·,,&.
+
+
Por consiguiente, la solución general es: u¡¡=C,elU cos fix C.e·· sen lIx C3xea, cos ~x + +C,xe""sen~.I: + ... + Cu_,xk-1e"" cos jIx + + C2kx'-'e"' sen'jIx + c2*+,i'HI' + .,. + c.i.'.
+
108
+
Ejemplo
1. Hallar
la soluclén
general
de la ecuaclén
ylll - 2y" - Sy''''' O S o I u ció n. Formamos
la ecuación
"a_ 2,,2-
característica
3'-=0.
Hallamos sus ralees: ).1 = O, ]..2 = - l. ?-3 = 3. Como éstas son reales y distintas, la solucién general tiene la forma
Yg= el Ejemplo
2. Hallar
la solución
y'" S o 1 u ció
+ C,e-' +e~3.,.
+ 2y"+
n. La ecuación
general
característica
+ ).=0. = - 1, A3
1.3+2]..2
de la ecuación
y'=O' tiene la lorma
De aqul hallamos: Al = A2 = O. Las raíces son reales. Una de ellas (precisamente A 1) es múltiple, de segundo orden. por lo cual, la solución general es: Ya = Cle-x Cyce-x C3•
+
Ejémplo
3. Hallar
+
la solución
+ 4y" +
y'"
S O 1 u e i 6 n. La ecuación },,'+4.A.1
=-
general
de la ecuación
13g' =O.
característica
+ 13)..=0
tiene las siguientes
ralees: "1=0, "2=-2-31,
La solución
general
Y. = el Ejemplo
+ C,e-t.
4. Hallar
!Iv - '2yll'
"3=-2+31.
es: tOS 3x
+e,e-'Zx sen 3x.
la solución
+ 211'" -
4y"
general
+ y' -
de la ecuación
2y = O.
S o I u ció n. La ecuación caracler ística ¡,b _ 2},'
+ 2}} -
o bien, (l. - 2){/!
4)..2
+}" -
2 =O
+ t)' = O. 109
tiene las siguientes raíces: A = 2 es una ra¡~ simple y A = ± j es un par de ralees imaginarias de segundo orden. La solución general es
y. =
Cié'
-1- (C.
+ Csx) cos x
(e, + CsX)sen
x.
Ejemplo 5. Resolver la ecuación ylV
+ 4y'"
+ 8y"
S o I u ció n. Formamos A·+4A3+8~.2+8A+4=0,
+ 8y' + 4y = O. la ecuación
característica
o bien, W+2A+2)'=0.
Esta tiene las raíces imaginarias
de segundo
orden:
Al=}., = - 1 - 1, 1.3= A, = - 1 + 1, y, por consiguiente, la solución general liene la forma
Y. = ele-x cosx + C,c-x senx+esxe-x cosx + C,xe-' sen x, o bien. U, =e-X(C,
+C~)cosx
+ e-"(Cs + C,x) sen x.
Formar las ecuaciones díierenc.lales lineales neas conociendo sus ecuaciones características. 473. }..
homogé-
+ 31.+ 2=0.
474. 2.l}- 31.-5=0. 475. A(A+ 1)(A+2}=0. 476. (}.'+ 1)'=0. 477. }.s=O. Formar las ecuaciones diferencIales llneales homogéneas si se conocen las raíces de sus ecuaciones caracteristicas y escribir sus soluciones generales. 478. }.I.= 1,1.,=2. 479.
"t = 1, A, = l.
.482.
e-x, ex.
'ISO. h,;= 3 - 2i, A, = 3 + 21. .4S.1. A, = 1, "->.= 1. As~ 1. Formar las ecuaciones dilerencíales lineales hornogeneas si se dan .sus sistemas íundamentátes de soluciones . 483. 1, eX.
¡ro
484. e-2'x, xer>. 4S5. sen 3x, cos 3x. 486. 1, x, 487. e', e'/:C, e3"" 488, e=, xe~, .~2eX. 489. e", xer, e'lx-. 490. 1, x, e'. 491. 1, sen x, cosx. 492. eZx, sen .t. cos x, 493. l. e-X sen x, e-x cos.e,
Integrar las siguientes ecuaciones: 494. 1/" - y =O. 495. 3y" - 2y' - Sy = Q. 498. y'" - 3y" 3!1' - Y = O, y(O) = 1, y'(0)=2, y"(0)=3.
+
497. yft
+ 2y' + Y = O.
498. u" _ 4y' y(0)=6, 499. yt/f
500. 501. 502. 503. 504. 505.
+ ay = o. y'(O)=
10.
+ 6!J" + II!J' + 6y =0.
y" - '2y' - 2y =0. i/\'1+2yv+yIV=O. 4y" - Sy' -1- 5!J=0. y'" - Sy =O. ylV + 41/" + 10y" + 12y' + 5y = O. y"-2y'+2y=O, y(O)=O. y'(O)=I.
+ 3y =0, + 2y't1 -1- 4y" yV -1- 4y'V + 5y'" -
y(O) = l.
506. yft - 2y' 507. ylV 50S.
509. y'"
+ 2y"
510. y'" - 2y"
2y' -
y'(O) =3.
5y = O.
61/' - 4y =0.
- y' - 21/ = O.
+ 2!J' = O.
511. l/IV - Y = O. 512. yX=O. 513. y'''-3y'-2y=0. 514. 2y'" - 3y"
+ y' =0. 111
3. ECUACIONES LINEALES NO IiOMOGENEAS COMPLETASI DE COEFICIENTES CONSTANTES
(9
Sea dada la ecuación diferencial lloy,n,
+ allfn-o + ..' + a.y
=·f
(x)
(1)
de coeficientes constantes reales ao. al •.. '. ano La solución general de la ecuación no homogénea (1) (llamada también completa) es igual a la suma de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y de cualquier solución particular de la ecuación no hornogénea. La solución general de la ecuación homogénea correspondiente se halla según las reglas expuestas anteriormente en el apartado 2. Por lo tanlo, el problema de la inlegración de la ecuación (t) se reduce al problema de la búsqueda de una solución particular yp de la ecuación no homogénea. En el caso general. la inlegración de la ecuación (1) puede realizarse por el método de variación de las constantes arbitrarias. No obstante, cuando los segundos miembros tienen una forma especial la solución particular puede hallarse con mayor facilidad por el método de selección. Para que sea posible emplear el mélodo de selección. el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) tiene que tener, en el caso general, la forma:
f (x)'"
eQt[P. (x) cos ~x
+ Q", (x) sen ~xJ,
(2)
donde p. (x) y Q ... (.t) son polinomios de gradó ro y m. respectivamente. En este caso, se busca una solución partíeular yp de la ecuación (1) de la forma Yo =x'e'"
(P. (xl cos~x
+ Q. (x) sen flxl.
(3)
donde k - max (m. /1). Ti. (x) y l;'i. (x) son poltnomles en x de grado k. de coeficienles indeterminados, y s es el orden de muttiplicídad
; (x) = !,a¡f¡{x), 1-1
112
(4)
donde f¡ (x) son de la forma (31. en virtud del principio de superposiclón se busca una solución particular Y'i> de la ecuación (1) de la forma
,
!/p= I~ a'Ylp He aqul un cuadro sinóptico 'de {as formas de soluclones particulares para distintas formas de segundos rniernbros.
~. "1
Se¡:tllldQ l,*¡(:mbM de J.::. o(lI:telón
orden
dHerenc(~r
PormD,. de la '(IhJcllSn p.JIrtlculM. donde .e-u~:c VIt.
R3¡e~ de ra eeuOle(¡\u (.,r~cle_rts1ic.:l
1
l. El número O
a.
esl
"0
rniz de lo ecuación carcctertsttca
P,.(x)
I
2. El nú,ntro O es r.lz dv·la ecuselén carnel.rislicR de orden s
II
P", (.tI aflJl es real)
(11
1. (;1 número (t. uc es raíz de 1.1 ecuectén caratlcristica
2. El nl1mero u es rol.
de la ecuaelen ceraclerlslic. de orden $
l. Los números -:ip son
111
Po (xl tOS tlx+ +Q,. (x) se', p..
raices
ecuación lic. 2.
110
de
In
ceracterts
:l:i/ll
Los números son !~Ices de l. ecuacron caracter lstlca de orden s
1. IAsnúmerosu±ljlno son raíces de •• ecuaeíén caracterisIV
•a'IPo
(x) COs px+ +Q •• (x) sen jlxl
»; (x)
I I
I I
x'P .. lx}
P,,,
(x) ....
x'P,.
(x)'"
'P. (x) ces px+ + Q. (Xl sen px x, (P" (x) cosllx+ +Q. (x) sen p.t)
(p. (x) ces jlx+
+12. (.x)
sen flxl eox
He ...
números O:l:í~ x' (P. (x) cosllx+ son ralees de la +Q. (x) sen jlx) e"" ccueclée c;nacler is· tica de orden s
2. los
113
Ejemplo 1. Hallar
la solución general' de la ecuación
y'" - y"
+ Y"-
U=,x'
+' x'. +
n. La ecuación caracterisüca 1.$ _ 1,2 J. - I O tiene raíces dlstlntast A.; 1, "2 = - l. -'.3 = i, por lo cual, la solución general Ug de la ecuación homogénea correspondiente es:
+
S o I u ció
=
=
!I¡¡ = C,cx +C, cos x
+ C3sen
x;
Corno el número O no es raíz de la ecuación caracterlstica. se debe buscar la solución particular YI> de la ecuación dada de la forma Up=A,x2+A.x+Aa. donde A l. A2, As son, por ahora, dos, Para hallarlos. se sustituye ecuación dada, resultando - AI.~2
+ (2AI -
A2).t
+ (A2
de donde
coeficientes indeterminala expresión de !lp en In -
2AI -
A,=-I}
2A,-A.=
l
Aa) = .. 2
+ -",
.
A. - 2A, - As=O Resolviendo
este sistema
Por consiguienle,
hallamos:
A.=-3,
AI=-I,
la solución Yp=-
y la solución
general
y=Cle' Ejemplo
A3=-J. es
particular xl -3x-
I
de la ecuación dada
+ C2 cosx +Casen
7. Hallar la solución
y'" -y" = l2x2
x
_,e2
general
tiene la forma -
3x - J.
de la ecuación
+ 6x.
$.0 ,1u c] 6 n. La ecuación característica )..S ')..2 = O lí~li,e las ralees ~I ')..2 0, )..3 = 1" por lo cual, la solución general 'de la ecuación homogénea correspondiente es::
= =
11-1
Como el número O es raíz múltiple de segundo 'orden de la ecuación característica. se debe buscar una solución particular de la forma UP=X~(AIX2 + Azx + A3)= A·,x" + A2x3 + Al;!:2. la expresión de Y1'
Sustituyendo
-en
-I"aecuación dada,
sé
tiene: - i2A,.r
+ (24A
I -
6A:) x
+ (6A
2A3) =
2 -
iilx2 + 6x,
de donde - 12A,=12 24A¡-6A2=6
} •
6A2-2AJ=O La solución de este sistema es: Al = -l. As = - 15. Por lo tanto, Up=
-~.
-
5x3 -
A2"'!'
-S,
15",,2.
La solución general de la ecuación dada es: y=CI
+C2X+C3~
- x~ -
SX3 -
15x2.
Ejemplo 3. Hallar la solución general de la ecuación U" - 6y' + 9y = 25e' sen x. S o I u ció n. La ecuación característica ,.' - 6,. + -\- 9 = O tiene las raíces ;_1 = '-2 = 3; la solución gene· ral !/N de I~ ecuación homogénea es U, = (el + C2x)e'-<. Se busca una solución particular yp de la forma !Jp = e'<.(a cos x + b sen x). Poniendo la expresión de !/p en la ecuación y simplificando ambos miembros de ésta por ex, obtenemos (30 - 4b) cos x + (4a + 3b) sen x = 25 sen x. De aquí resulta 3a - 4b .... Q } 4a+3b~25
.
La solución de este sistema es: a = 4. b guiente, !J" = e' (4 cosx + 3sen x}.
= 3. 'Por
eonsi-
115
La solución general de la ecuación dada es: !I=(C, +C2x) e3• e% (4cos x 3 sen x).
+
+
el ~egulldl) miembro [(x) contiene las hondones trígonométric,.s sen ~x y cos ~x, resulta conveniente pasar' a las funciones exponenclales, como se muestra en el siguiente ejemplo, Supongamos que se necesita resolver la ecuación diferencial:
CU311dl)
(1)
y"+y=xcosx,
En este caso, ;,2 + I = O, l••= - i, h2 = /, )' la solución general de la ecuación hornogenea tiene la forma y~ = e, cosx
+ Czsen
x,
Se debe buscar una solución particular Yv de la ecuación no homogénea de la forma Yp= xl(A ..~ A.) cos x + (B,x + Bz) sen x].
+
Procederemos del modo siguiente. Consideremos la ecuación (2)
Fácilmente se observa que el segundo miembro de la ecuación inicial es la parte real del segundo miembro de la ecuación (2): x cos x = Re (xé'), Partiremos del principio de que, si la ecuación diferencial de coeficientes reales L [y)=f,
(x)
+ íf2 (x)'
tiene una solución y = u(x)+ iv(x), entonces. I/(x) es solución de la ecuación L[y] = [.(x), mientras que D(X) es solución de la ecuación L (y] = [2("), Hallemos 21, para la ecuación (2): zp= (Ax
= + B.~)e' .. + 2 (2Ax + B) ie'x - (Ax + Bx) e's.
+ B) xe"
z;' = 2Ae'~
(~X2
Z
·Sus!ituyendo. en la ecuación miembros por e=, tendremos: 2/1
ue
(2) y simplificando
+ 4Axl + 2Bi = .t,
ambos
de donde A=--;¡-,
8i=O,
8=-7=-;¡-'
A+ Por lo tanto, .z¡,=( - '¡'x2 +
(
4Ai= 1.
*
x)elX
I
A
*
=( -.¡. x2 + x) (cosx+lsenx)= x
+ ..'senr
+ 1 %senx -
~
Re z,
X(:()$Z
+4 .I"senx
x' co. x
4'
= y,
de la ecuación (1).
A veces este método facilita y simplifica los cálculos relacionados con la búsqueda de las soluciones particulares. Ejemplo 4. (1)
y" +4y=sen2x.
Consideremos la ecuación ZIl+42==tfllx,
(2)
sen 2x = 1m e11",
zp= Axe"", ~;= - 4 Axe'lx Sustituyendo
en la ecuación
(2).
+ 4iAelix.
obtenemos
4iA= 1, A=-f. z.= - '¡'xe?IX= -
-f x (cos2x + ¡sen 2x) = r
I
=-¡- x sen 2x -l-;¡-cos de la ecuación
Imzp=-fcos2x=!I. Determinar
le,
forma
2x.
(1).
de la solución particular de la 110 homogénea. si se ccnoccn
ecuación diíerenclal lineal las ralees de su ecuación mlernbro f (x):
característica
y el segundo 117
515. "',=1,
1.,=2:
f(x)=llx'+b-t+c.
516. "',=0,
'",!=I;
f(x)=a.l·+bx+c.
+ + +
517. A, =0, A.!=O: f (xl = ax2 ñx c. !:i18. A, = l. A,,=2: f(.t) =e-'(ax 11). 519. A, = - 1, "2= 1; f(x) = c-'«I~' f, 1.2=-1;
620. A,=521.
.),,=0, '-2= 1;
522.
",=-/,
523.1.,=-21. 524.
+ [¡l.
f(xl=e-X(ax+b).
f(.t)-=senx+cosx.
f(xl=scnx+cos-t.
I_,=l; '.. =2/;
f(x)=Asen2x+Bcos2x.
+
f (x) = 11sen kx 8 cos lu .. f(x)=-c-«Asenx+Ucosx).
A, = - ki, "-,= ki;
525. A,=1.1.t=l; 526. ),,=-1-1 {(x)=e-«A
. .),2=-1 +1; senx+ 8cos r}, 527. "'=.)".I=I.3~ 1, f(x)=ax1+bx+c. 528.1.,=0, '.,=1, ;,,-2; f(x)=ax'+bx+c. 529.1.,=""=0.
;'3=1;
530.
Á,
531.
'.,=/. '...,=-l,
532.
al
f(x)=ax·+bx+c.
f
=]..z= ;.,=0;
(.l)=ax·
"3=1:
+ bx +c.
f(x)=sen.t+cos.t.
A,= - l. "-2= l. A3=2
b) A,=O,
)'2=2.
el l., =A~=
-
d) ).,~A2="-3=
A3=3
1, 1.3= 1 - 1
{(xl = ae-< + be'.
e) '., = - 1, 1.2 = '.,= 1 fl A,=h2=~= 1 533.
al '., ='0. 1.,... bl A,=k, '-2=
1 1
el ),,=A,,=k d) ).,=A.=O,
el h,="'z=k.
fl ", 118
Aa= 1
"3... 1
= A" ="3=11
f (x)
= (ox2 1,*O,k*l.
+ os + e) ctx,
"'J =
534. al A,= '-2 = l. 2 b) ).,=-;. ;.,=1, ~=O
}
535. al A,-3-2I, ,.• =3+21, ).J=).~=O. bl). ,-3 - 21 I = -1 -, '-3 = 3'+ 21
f{xl=ascnx+bcosx. ) f(.d=e3·(st.n~x+
+ 1:0& 2x).
= ).,
. la Iorrna de la soluclórr partícular 'para ecuaciones dlierenciales línéales no homo-
Determinar las siguientes géneas:
+ 3y' =3.
536. !l'
537. !!"-7!/=(x-l)'. 538. !I" 3y' = eX.
+
539.y"+7!/=e-1,. 540. !I" - 8¡/ 541. y" -
lO!!'
+ 16y =(1 - x) e". + 25y -= e". 3
542. 4yl.l
3y'
-
= .ro7".
543. !/' - !I' - 2y = e' 544. !I" - 4!t' =xeh. 545. 11" 546. 1/'
+ e-b.
+ 251/ =cos 5x, + Y =sen x - cos x,
547. 1/" + 16y=sen(4x +al. 648. y" + 4y' + 8.'1 = e1• (sen 2x + 549.
v" -
550. y" 551. !I" 552.
!f"
4y'
+ 8y = el. (sen 2x -
(OS 2x).
cos 2x).
+ 6y' + 13y =e-·lx cos 2x. + k2y = k sen (kx +«). + k2!f
= k.
+
553. y" 4!f = sen x sen 2x. 554. y" - 4y' = 2 cos' 4x. 555. y'"
+
y = x. 556. y"'+6y"+ Ily'+6U=I. 557.
l" + y' =2.
119
+
658. U'" U" =3. 559. yrv _ y ~ 1. 560. UIY - !/ =2. 561. ylV - y" =3. 562 .
!f'" = 4.
.'IIV -
+ 4v'" + 4y""" l. + 2y'" + V" = o"'. V'V + 2y'" + y" = er«. !I'V + 2y''' + V" = xc-t. UIV + 4U" + 4y =sen 2.t. UIV + ,IU" + 4U -= cos x, y'V + 4!f" + 4U = X sen 2.1'. ylV + 2n2y" + n'u = a sen (n.l· + «).
563. !lIV 564. ylV 565. 566. 567. 568. 569. 570.
571. l/'V - 2n2v"
574.
+ 1l~!I-
cos (n-x
+ a).
+ 4y'" + 6y" -1- 4y' + y = sen x, 4[1'" + 6y" - 4!J' + Y = e'. UIV -4!JIII + 5y"4!J' + y-xe'.
572. U'V 573. ylY
-
Resolver
las siguientes
675. !I" 576. !J"
+ 2!1' + y= + 2y' + 2 = O.
ecuaciones: 2.
577. y"+9y-9=0.
+
578. U'" y" = 1. 579.5ylll-7!J"-3=0.
+ 5 =0. + s'" = 2.
580. ylV - 6y'" 581. 3ylY
+ 2V" - 2V' + y = 1. + 4g = .1'2.
582.
!lIV -
2y"'
583.
_!f" -
4y'
+
= 8.1'.
584. y" 8y' 585. y" - 2liy' 586. y" 120
+ k2y =e'. + 4y' + 4y = 8e-2<.
(k.p
1).
687. /1"
+ 4/1' + 3y
= ge-l ••
588. 7y" - y' = 14x. 589. 1(' ay' _ 3xe-3x•
+
590. U"
+ Sy' + 6U = 10(1 -
x) e-·x•
691. g"
+ 2y' + 2y = 1 + x.
592. g" 593. y"
+ y' + u = (x + x2)"'. + 4y' - 2!J = 8 sen 2x.
+
594. y" !I = 4x cos x, 595. 11"- 2my' m2y = sen nx. 596. y"
+
+ 2y' + Sy = e-
X
+
597. y" n1y = 2.cos IIIX 598. y" - U' .... cX sen x.
sen2x.
+ 3 sen IIIX
(m #: e).
+ 2y' = 4cr' (sen x + ces x), + 4y' + 5y = 10e- cos x, y" + 21/' + 5y=e-x (2x + sen2x).
599. y"
2x
600. !f" 601.
602. 4y"
+ 8f/
= x sen x.
+
603. y" - 3y' 2g == se", 604. gil y' - 21/= x.e~'.
+
+ 2y = (x' + xl el'. + y' - !I ~ x, + x. 2y'" + 2y" - 2g' + g =e" ..
605. 11"- 3y' 606. 1/'" - g" 607. y'V -
608. 1/" - 2y' + !/ = x3• 609. 5y" - 6y' 5g = 13e< eh x. 6tO. !/'V y"=x1 x.
+
+
+
611. !/v -y,v=xcr'-1. 612. y" +y=xtsel1x. 613. y"
+ 2y' +!I = x2e-x
614. 1/'" - 4y' = xe?x
ros x.
+ sen x + x2.
615. 1/'" - 1/ = sen x, 616. gil + 2y' 2y == e-X cos x
+
617. y'V - 21/"
+y
=s
+ xe:»,
ccs x, 121
618. 619.
y"+y=2senxsen2x. y" +4u=.~sen2x.
620. UIV
+ 2UI/' + 2y" + 2y' + y = xe" +{
621. y"
+ U' =C.05·.t + eX +
cos x.
.t2.
+ 4U'" = e'" + 3 sen 2x + l. + 3/1' - U = e" cos 2x. U 2y' + 4y = e' cos x + + sen U" + y'= x' -e-'+ e'. y" - 2y' - 3U=2x + e-X - 2el·. U" + 4y =e' + 4 sen 2x + 2 cos' x -
622. UV
623. y'" - 3y" 624. 625. 626. 627.
III
.(1
-
2x.
1.
628. y"+3U'+2y=6xe-x(l-e-·J. 629. 11"
+ Y = ces? 2x + sen21-
630. y" - 4y' 6S 1. y" - 4y'
+ 5y = el"
(sen x
. + 2 cos xl.
+ 5y = I + cos" x + e2'. 632. s" - 2y' + 2y= e' sen' f. 633. y" - 3y' = I + e' + cos x + sen x, 634. y" - 2y' + 5y =e'«( - 2 sen· x) + 10.< + l. 635. y" - 4y' + 4y'" 4.< + sen x + sen 2.<. 638. y" + 2y' + y 1+ 2cosx + cos2x - sen 2x. 637. y" + U' + U + ( = sen x + x + x·. 6S8. y" + 6U' + 9y = 9.te-3, + (+ 9.sen x. 639. y" + 2U' + I = 3 sen 2x + cos x. <=
En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen las condiciones iniciales dadas: 640. y"- SU' + 6y=(12x -7)e-x; 641. 1'1/+9y=6e3'; 642. 1'" - 4y(
643. U" 122
y (O) "" u/(Ol=O.
y (O) =y'(O) ='0.
+ Su = 2x20':
+ 6y' + 9y = 10 sen x;
y (O) =2, U' (O) -= 3. y (O)=y' (O)= O.
+ y=2cos
~44. y"
x;
y (O)= l. y'(O) =0.
+ 4y =sen x;
U(O) ==; U' (O) = 1.
645. UN
646. y"-6y'+9y=x'-x+3;
y{O)=t.
647. y"-4u'+4y=e2.<;
y(0)=2.
U'(Ó)=·~. y'(0)=8 .
+ = 4 (sen 2x +cos
2x); y (n) =s' (n) = 2". 5rX(sen x+cosx); Y (0)=-4,. y'(0)=5.
.648. g'l 4y 649. y"-y'=-
+ 2y = 4e
cos x;. y (n) =~, y' (11.) ='!ln.. y(O)=O. y'(O) = l. U"(0}=2.
x
~50. y" - 2y' 651. y"'-y'=-2x;
652. UIV -y=86"';
y(O)=-I.
y'(O}=O.
U"(O)=I,
y'''(O)=O. 653. U'" - y =2x;
y(O)= y' (O)=0.
654. y'V - y=8ex; y"'(O) =6.
y (O) = O. y'.(O) = 2. y" (O) = 4,
y"(0}=2.
En los siguientes problemas se necesita hallar las sodones partículares de las ecuaciones que cumplen en el finito las condiciones dadas: 655. yN - 4y' + 5y = sen x. y es acotada para x _ +00. 656. y"
+
2y'
+
5y = 4 cos 2x
+ sen 2x,
y es acotada
para x- - oo. 657. y"-y=I,
Y es acotada
658. y"-y=-2cosx, 659. y"-2y'+y=4e-x•
y-O
660. y"+4y'+3u=8e"'+9, 661. y" - U' - 5U = 1, y662. y"+
para x_oo.
U es acotada
4U'+4y=2e"'(senx
para x_oo.
para x_+oo. y-3
para x_-oo.
1
- '5 para x- oo. + 7cosx).
y_O
para
X~-<X).
663. U" - SU'
+ 6U = 2e-2.t(9sen2x + 4cos
+
para xoo. 664. y" - 4U' + 4U=(9x2 + 5x - 12) e-x,
2x).
y_O
U.... O para
+ cc ,
x .....
123
4. ECUACIONES
DE EULER
Las ecuaciones de la fOrtlw aox"!I"I+a,.t,,-ly,n-IJ+ , .. +an-1xy'+any=O. (12) dOltde todas las <1r son constantes. se [laman ecuaciones de Euler
Mcdiallte
de la variable independiente .,,=et, estas ecuacíoucs se reducen a ecuaciones lineales hornogéneas de coeficientes constantes:
I>OY'í'1
In sustitución
+ b1y¡n-lI+
.00
+ bn_1y;.+
bny(l)
=0.
(t3)
N o l a 1. Las ecuaciones
de la forma ao (ax + b)" y('l¡ + ar (ax b)"-I y1n-ll+ ... ... +an_1(ax+l»y'+a"y=O (14) también se llaman ecuaciones de Euler y se reducen a ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes haciendo la susti!ución de la variable ax + 1>=11'. N o l a 2, Para la ecuación (12) se pueden buscar directamente soluciones particulares de la forma
+
y
=a:
xk,
obtenieudo para k una ecuación que coincide con la ecuación característica de la ecuación (13). Ejemplo. Hallar la solución general de la ecuación de Euler
x2y" + 2xy' - Sy = O. P r i m e r m él o d o. Haciendo en la ecuación la sustltución x = et, se tiene: dy
,=.!!J!.. d.
Y
(
= di
d.
:¡¡:
d'y
=e-I.!!J!..di
'
dY)_1
""di' - di' e'
"=
e
-21 (
d'y di'
_.!!..I!..) di
y la ecuación toma I~ forma d'U
(iíí
6
d!¡ + dJ~
O Y'= .
Las 'alces de I~ ecuación característica son: )., = - 3, ]"= 2, y la sotucíón general de Ja última ecuación es;
y
==
+ C,e Pero, + C2X2, o bien,
C,e-3'
= C,x-3
2,.
corno
x =.et,
resulta
y
=
s= ~ +C2X2, S e g un d o m é t o do. <ecuación dada de la forma desconocido Se tiene
Se busca
y'=kXk-', Sustituyendo
y"=k(k-l)xl-2.
en la ecuación,
x2k (k -
una solución de 'I~ es un número
y = .~', donde k
resulta
+ 2xkxk-'
1) X~-2
-
6.tk = O,
o bien x~[k(k-l)+2k-6J=0.
+
Pero. como x· 'íé O, se tiene k{k - 1) 2k - 6 = O, o bien, k2 k - 6 = O. Las raíces de esta ecuación son: k, = - 3, ~ 2. El sistema fundamental de soluciones correspondiente es:
+
=
Y'l==x2,
y,=x-3, y la solución
general
tiene la forma
y=C,x-l lntegrnr
las siguentes
+C2x'.
ecuaciones
de Euler;
665. X2!/"+xy'-y·=0. 666.
X2[/"
667. xV' 668. xy" 669. (x
+ 3xy' + y = O. + 2.~y' + 6y =O.
+ [/'= O. + 2)2 g" + 3 (x+
+
670. (2x 1)2 v" - 2 (2 x 671. x'y"'-3xY"+3y'=O.
2)y' - 3y=0.
+ 1) y' + 4y = O.
672. X'9'" =2y'. 673. (x
+ f)2 y'"
674. (2x
- 12g' =O.
+ 1)2 y'" + 2 (2x + 1) y" + g~= O. 125
Las ecuaciones
no homogéneas ~ a.xkY!'l=
de Euler
de la lorma
,\,uPm(In x).
11,_0
donde P",(u) es un polinomio de grado m. se pueden resolver también por el método de elección del mismo modo que se resolvían las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de coellcientes constantes cuyos segundos miembros son de la r()rm~ t!'ZP m (x). Ejemplo.
Resolver
la ecuación
X21/" -
XI/'
de Euler
+ 2/1 = x In x.
So l u ció n. La ecuación caracteristica k (k-I )-k+ bien k2 - 2k 2 O. tiene las ralees k, = = I - i, k. = 1 i. Por consiguiente, la solución general de la ecuación homogénea correspondiente es:
+ 2 = O. o
+ =
+
Yr= x(CI cos ln x
+ Ctsen
Buscamos una solución particular x(A In x 8). S~ tiene.
de la
+
=
In x). forma
Yo =
Y"=~. • It Sustituyendo
en la ecuación
!Ix - x(Alnx+
dada, resulta
A + 8) +2x(A
In x + 8)=xlnx,
o bien. Ax In x
+ 8x
= x In x, de donde A = l. B
= O. Asi, pues.
yp=xlnx. La solucíón general
es
y =.x(CI cosln x Resolver
las siguientes
+ C. sen In x) + xln ecuaciones
Euler: 675. x2y"
+ xy' + y=x(6-ln
676. x2y" - xy' 126
+ !J = 2x.
x).
x,
no homogéneas
de
677. x
2
u">:
678. x~Y"- 2xy' 679. x2y" 680. x2y"
161n x
xy'-8y=--x-'
+ 2y =
X2 -
2x
+ 2.
+ xy' - y=x"', 1m 1* 1. + 4xy' + 2y <= 2 In2 x + 12x.
5. ECUACIONES DIFERENCIAL·ES tiNÉALES DE COEFICIENTES
VARIABLES
Si se conoce una solución particular YI (x) de la ecuación !In) + p, (x) y,n-II + ... + o; (x)!J =O, (1) se puede rebajar
el orden de esta última en una unidad deje de ser lineal) haciendo y = !l,Z. donde z es una nueva [unción incógnita. y poniendo después z' = tI [se puede hacer directamente la sustitución u = (:.)']. Conociendo k soluciones particulares de la ecuación (I), linealmente independientes, se puede rebajar el orden de la ecuación en k unidades. La solución general de la ecuación (sín que
yln)
+ p, (x)
yln-',
+ ... + P. (x)
Y = ¡(.() (2)
se expresa como una suma de una .de sus soluciones particulares y de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (1). Si se conoce un sistema rundamental de ia ecuación homogénea correspondiente (1), la solución general de la
ecuación no homogénea. (2) se puede hallar mediante cuadraturas pOI el método de variación de las constantes. La solución general de la ecuación (1) tiene la forma donde C"
y=e,y, + e2Y2 + ... e2, ••• , en son constantes
Buscaremos
una
solución
de la
+Cr.Y~,
(3)
arbitrarias. ecuación
(2)
de la
forma y=C,(x)y,+C.(X)Y1+ donde
el (x),
C.{x)
ciones incógnitas
•... de x.
,
en (x)
'"
+Cn{x)Yn,
(4)
son, por ahora, unas fun121
Para determinarlas,
obtenernos
el siguiente
sistema:
1
y,e; + y.e; + ... +y.e~=o
~;~~¿~: ..:..~!I:e~~~ !ir-Ole;
+ 14 1(;; +
+ yj,n-lJe:, = f (x)
n-I
Resolviendo este 2, ... n), resulta de, "'(i;"
sistema
con
= epi (x )
respecto
a
.
e; (x)
(6)
(l "'" 1,
(i= 1,2, .. "' n).
De aqul hallamos
= f
e¡(x)
11).
Sustituyendo en (4) e;(x) por la expresión obtenida, lamos la solución general de la ecuación (2). Para la ecuación de segundo orden Un el sistema
+ p¡(x)y' + p~(x)u=
(5) lendrá
U;C;
J
} (5')
•
obtenemos
11,,(.<)
W
ID,.
de donde hallamos
e I (x) = -
f(x),
+ .U;C; = ¡(x)
en (5') C:yC2,
Cl=-
hal-
la forma
YIe;+U2C~=O, Despejando
(6)
!/,I (xj d« W IYh y,]
y,¡ ,
+ é e2 ()x = f lo
YI' (x)
W [y,.
"tI dx
+ c:2,
e,
donde y C2 son las constantes de integración. Observación Para la ecuaci6n 00 (x) donde
a.(x)
ijÉ
y"
+ a, (x) y' + a., (x) U = f (x),
1, 00 (.t) .p O, el sistema
+ !I~C;=O 'e' + '~ f (x) YI I U~ ~= u.tx) Yle;
128
(5'} tiene la forma } •
Ejemplo l. Hallar la solución general, de la-ecuación xu" + 2U' + xy =O, sabiendo que y, = se: x es una solución particular. Solución. Hacemos y= s~;'X ·z. donde i es una llueva función
de x. Se tiene
incógnita
y'= U;z + u,z'. u"=Y7z+2y;z'
+ y,z".
en la ecuación dada. resullá (.~y;' + 2!1; + Xii,) z + xy,z" + 2 (xy; + y,)z'
Sustituyendo
= O.
Pero. como y, = se;.t es una solución particular de la ecuación dada. se tiene xu;' + 2u; + .tU, =0. por lo cual. xy,z" +2 (xY;+U,)z'=O. (1) Mas.
se;, x • y por consiguiente.
ti, =c(>~.• _
La ecuación
z" sen x Escribamos
XU;
+ Y, =cos
x.
(1) toma la forma
la ecuación ~
+ 2z' cos x = O. en la forma
I
z'1
2~-O
s~nx-'
De aquí. se tiene
(In 1z' 1+ 21111sen x 1)' = O, de donde Il1lz' 1+21nl Integrando
o bien. z/sen2x=C,.
$~nxl=lnC,.
esta ecuación.
hallamos
z=-C,ctgx+C¡, y. por consiguiente.
la solución
general
de la ecuación
dada es: o bien.
9-'.'
129
EjemplO'
20 Hallar
u"
la sclución
general
+ .! .. !J' + !J = .!_.~
de la ecuación
(q= O}o
S o I u ció n La solución general de la ecuacíén horno- o g/mea correspondiente llene la forma (véase el ejemplo 1):
6C; + Cz co; x
!JR = e,
of
o
Po, consiguiente, el sistema fundamental de soluciones es: Yf
Busquemos
sen
(O$X
J(
y,.:::. - .. -o
-x-'
c;,
la solución gencr31 de la ecuación dada por de las constantes arbitrarias:
el método de variación
sen .. y=C,(x)-.t-+
donde e, (x)o e2(x) de x a determinar.
CO¡(x ) -
por ahora o funciones
son,
Con este fino formamos
Incógnítus
el siguIente
sistema:
e; (x) e,I (X ) ..'M.r .("-
""" x
se; o,
+ e'? (X ) -
+ C~(or) f
$en
rG; x = 00 ti ca.
X -
X:
oC
-1. X
o
Oc aqui hallamos:
C; (x)
=s
cos x, C2(x) = -
SCIl.\Oo
Integrando, obtenemos:
e,
(x) - sen
oY
+ e,. e2 (o~)= COS.f + é2,
y pcniendolos
en la expresión de general de la ecuación dada: _ i< .en Y-l..I-X-
JC
resulta la solución
y,
+ e-~-xces JC
_¡_ t
I
-¡.
ta!.. '
EJemplO' 30 Resolver la ecuación gil + Y = S o I u c j ó no La ecuación homogénea correspondlente es: ,/' + y = 00 0$1,1 'ecuación caracteristlca A' + 1 = O tienelas raíces imaginarlas A, = - i, A.~ = ¡y la solución genera'l de la ecuación homogénea tiene la forma: !la = e, cos x + e2 sen x, 130
Buscamos forma:
la solución general y =
donde
e, (x) y
e, (x)
inicial en la
de la ecuación
cos x
+ez (xl sen x,
'(1)
son funciones Incógnitas
Cz(x)
hallarlas. formamos el sistema: cos x . Cí (x) + sen - sen x . eí(x}+cosx
de x. Para
x . C1 = O ·C~(x)
}
=-'.' cos x
Resolvemos este sistema con respecto a C;(x) y Cí (x): eí (x) = - tg x; = l.
Cz (.~)
Integrando.
hallamos:
C, (x)= ln] cos x
1+ e"
Cz(x) = x
+ ez'
Poniendo en (I) las expresiones de C¡(x) y C2(X). obtenemos la solución general de la ecuación dada:
y=
e, cos x + Cz sen x + cos x . In 1cos x ,+ x sen x.
Aquí, cos x-ln lcos xj-j-x sen x es una solución par tlcular de la ecuación no homogénea inicial. Integrar las siguientes ecuaciones (y, e Y. son soluciones particulares de la ecuación homogénea): 681. x"y'" - 3x'y" 682. (x' -
-1- 6xy'
1) y" = 6y;
- 6y =O;
683. (2x+J)y"+(4x-2)y'-8y-0; 684. (x' - x)!f"
+ (2x -
y, = X •
.tI2
= x2,
y, es un polinomio. y,=e'''-'. 3)y' -
2y=O: y, es una lrac-
ción racional en cuyo denominador figuran factores lineaes (los d tvisores del coeficiente de y"). 685. (3x+2x2)y"-6(1 polinomio.
+x)y'+6y=6.
+ + + y" + Igx'!J' + coso x- y =0;
!/J
es
un
686. x, (In x - 1) gil - XU' !I = O. U, = x. 687. yn (Ig x - 2ctg x) U' 2ctg~ x- 9 = O; !/i =-sen x. 688.
689. (1 +x2}y"+xy'-y+ 690. 9'
x2y"
1=0;
- xy' - 3y = 5:.-', y,
.//,= cos(sen r), !JI=X,
=..!.... :c 131
691. (4x1-x)
y" +2(2x-1)
11' + ye~X= + 11' tg x = ,os' x sen x
692. y" 693. y"
694. (x+ 695. x (x -
y'-4y
xc'lx -
1)3y"+3(x+
1, Yo
= !2xZ-6x.
= sen
=¿.
y,
1/.
•
lJ2y'+(x+
1) y" - (2x-l) y'
+ 2!1=
I)y=(iln(x+ X2
(2x-3),
1).
sv=s'.
696. Una cadena de 6 m de longitud se desliza desde una mesa sin rozamiento, Si el movimiento ccmienzn desde el momento en que cuelga l m de 1<1cadena ¿cuánto tiempo tardará en deslizarse {oda la cadena? 697. Hallar la ecuación del movimiento de un punto sabiendo que la dependencia de la aceleración del tiempo se expresa por la fórmula a = 1.2/, si para / = O la distancia s = O Y para f = 5 la distancia s = 20. 698. Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizonlal a causa de la acción de un golpe que ha ortgínado una velocidad inicial 1.10' Sobre el cuerpo actúa la luerza del rozamiento igual a - km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer el cuerpo. 699. Un punto material de masa m = I se mueve por una recta acercándose a un centro por el cual es repelido con una fuerza igual a k2x (x es la distancia del punto al dx centro}. Para (=0, x=a, Tt=ka. Hallar la ley del movimiento. Empleando el método de variación ntegrar las siguientes ecuaciones: 700. U"
+ 411 = CO$I2Jc + Y = tg' x.
•
701.
U"
702.
U" -
70°<J •.
ti" - ' y'~-7+1' I
704.
U"
705. U'/
U=
;;e_:_ I •
+ Y = -v sen' +U-
I
x
-...;.,...,,--
(co>2x)'/·
.
de las constantes.
707. y"
2x'+x'~4x-6 x'
+ 211
706. 1/'" - 211"- y'
+ y = -,---'--. V sen" x cosa ~ x
+ Y = x,·+ I . y" + 2y' + 2U = eX s~ox .
708. y" - 211' 709.
g' = el,. cos eX.
710. g 711. y"
+ y' = -
..!. . x
712. y"+311+2y=
(X;I)"
+ y = ;, '
713.
U"
714.
xy" - (1
+ 2X2)
y' = 4.I..3e".
715. g" - 2 tg x . g' = 1. 716. x In x' y" _!J'
= In' x.
717. xl/"+(2x-l)y'=-4.~2. 718. (x 719.
+ U= (x -
1) g" - xy'
y=e-
y"+y'+e-1X
y, =ex,
l)2e";
YI=cose-
3x;
720. (x.-x-l)y"+(2x3-2x.-
x )Yf_g
x•
= (X-I)2; y, =_!_. JC
JC
(En los problemas que siguen se indica el sistema íundamental de soluciones y,. y? de la ecuación homogénea correspondiente), 72.1. (cos.e- sen x) y"
+ z scn x·
Uf - (sen X+C05X),y=
=eX (cosx - sen x),; YI = éy, =sen x, 722. xy" - yf - 4x3y= 16x'ex'; !JI =e<', !J. =e-x'. 7~3. x(1 - x ln x) y" =(I-xlox)2eX; 724. 4 (x2 y
+ (1 + x, In x) y'
+ x) y" + 2 (2x +
2Y2 1.<=1=-3-'
-(x
+ I)y
=
y,=lox.
YI=e",
1) y' - Y =2 Ir x· 1
y'IX=1 = ¡!2';
1/1
+ x,
«r:
= y x,
Y2=Yx+l. 133
725.
y" - sen XCOSX· y' - y= sen x, y 1-0 =
COS2.t.
=y'I._,=I; 726. sen x . y"
y,=sec.t,
!I,=tgx.
+ 2 cos x . y'
.
U I'-
T = 1,
x
1=4 = o; sv=
U'
= 2 COS 2.t,
- sene . y
1
Señ7' Y. =señX'
lim y=l;
727.4xU"+2U'+y=1.
X~+OO
U, = sen
V'X,
Y. = tOS
728. 4xy"+2Y'+y=6-t;x,
11m y=O.
x
729. (l+x2)y"+2xy'= y'
VX. x4+~
1+1 :' x
Jim y= "8~'
x-++oo
1._0=0.
730. (l-x)U"+.ty'-U=(x-I)'eX,
lim
731.
lim y= O; y, = In x, Y2= %~+(II)
2
732. y"+-y'-y=4e', x
y=O,
X-+-e»
1""0= 1: y,=x, Yl=e". ~ 2 (2-lnx)y"+x(4-lnx)!¡'-y=~.
y
~-~~ Vi
lim y=O,y'~=_,=--;
x~-oo
ti'
a-X
Y'=7'
Yz=-.-.
73S. x3(lnx-l)y"-x'y'+xU=2Inx,
r: e
Iim y=O x~+co
y,=x, Y2=lnx. 734. (y2-2x)y"+(2-x2)y'-2(1-x)y=2(x_I), 11m U= I YI=x2, Y2=e'. x ..
+(0
6. COMPOSICION DE LA ECUACION DIFERENCIAL El SISTEMA fUNDAMENTAL DE SOLUCIONES
Examínernos
un sistema
de funciones
!J, (x), Y2 (x), ...•
Y.. (xl.
independiente en el segmento derivadas hasta el orden n inclusive, linealmente 1801
DADO
(1)
[a, (¡l, que tienen
Enlonces. la ecuaci6n YI(X) y; (X)
y.(x)
!l. (x)
y~(x)
y~(x)
Y (X) y/(X)
=0, YI"l(x)
ykn) (x) ."
y~.l (x)
yln)
(2)
(x)
donde y(x) es una función Incógnita; es una eéuacl6n di, ferencial lineal, para la cual las íunclones U, {x), U2(X), .•. .. . , u. (x) Iorrnan un sistema fundamental de soluciones. El coeílctente de y
el determlnanle
(3)
del primer miembro de
(3) por los elementos de la tercera columna, se tiene: U"-y=O.
Esla es la ecuacíón diíerendal Ejemplo 2. Formar cual, las funci:>nes
buscada.
la ecuación
Iorrnan el sistema fundamental
diferencial,
de soluciones.
para la
S
o
01 u
ció
n, 'Formemos
la ecuación,
(2):
bien,
2'x
I+ 2
- '2X ~,
1=0,
4x' 4x2 - 2 y"
Desarrollando este último determinante de la 3" columna, tendremos:
por los elementos
xy" - s'>: 4x'y=0.
(4)
En este ejemplo, el wronsklano W [¡¡,. yi] = - 4x se anula para x = O Sin embargo, esto no contradice a la teorla general, según la cual, el wronskiano del sistema Iundamental de soluciones de la ecuación dHerencial lineal homogénea
!f"
+ p, (x) ¡f'-') + '" + P. (x) y = O,
(5)
cuyos coeficientes son funciones continuas en el segmento (o. b), no se anula, en ningún punto x del segmento lo, b), Escribiendo la ecuación (4) en la forma
=:I s'>:
g"
4ry=
O,
(6)
observamos que el coeficiente de y' es una función dlscont1nua en el punto x = O, de modo que en este punto ya no se cumple la condición de que los coeficientes de la ecuación (6) sean funciones continuas, FOI mar las ecuaciones. dHercnciales, para las cuales los sistemas dados de funciones forman los sistemas íundamentales de soluciones:
785. yr(x} = 1, y,(x}=x,
!/3(x)=r,
736. y, (x) = sh x, Yo(x)..:
eh x,
737. g,(x)=x, 788, !J, (x)
!J.(x)=e',
= sen x
2,
Y'I
739. y¡(x) ='x •. y.(x) 186
(x) .... cos x2, x'
= e'.
§ 15. METODO ,DE
ISOCLlNAS PARA LAS ECUACION'ES D'IFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
El método de ísocllnas (véase el § 2) se emplea también para la resolución de algunas ecuaciones de segundo orden. Tales son las ecuaciones que se pueden reducir a las de PI imer orden. por ejemplo. las ecuaciones de la forma d'x ( di( ) (1) -¡¡;;- + f lIT' x = o. Introduzcamos ~
os:
(1
~~
una nueva variable
v = ~;. Entonces,
y la ecuación (1) toma la [arma do
I (o, xl
Tx=--u-
(2)
Esta es "na ecuación de primer orden en la que x es la variable índependlente. Para su solución se puede aplicar el rnélodo de isoclinas. lnterpretaremos la variable x como el desplazamiento de un punto del sistema y ':;; = 11 como su velocidad. El plano de las variables x, ti se llama plano [ásieo. Por consiguiente, la ecuación (2) determina la velocidad como lnnción del desplazamiento. Construyendo el campo de las isoclinas para la ecuación (2) se puede trazar la curva integral una vez dado.el punto inicial (xo. 110). Esta representación gráfica de la velocidad (J como [unción del desplaaamiento x: u = v(x), se llama cuadro [ásico. Las curvas del plano s. ti que representan esta dependencia funcional se denominan trayectorias [ásicas, Los valores instantáneos de x y IJ son coordenadas del punto de la trayectoria íásica. Este último se denomina punto representatiuo. Con el tiempo. el punto representativo se desplaza por la trayectorla Iásica. Obsérvese que la velocidad posttiva suscita COI1 el tiempo un !37
aumento
del desplazamienlo.
En efecto,
en virtud
de la
suslltución 11 = ~~ • para 11 > O. se tiene ~; > O. lo cual significa que al aumentar I también aumenla x. Por lo tanto. en la mitad superior del plano íásico, en donde 11 > O. el punto representativo tiene que moverse de izquierda a derecha. mientras Que en la mitad Interior del plano, en donde 11 < O. de derecha a izquierda. Por consiguiente, el movimiento por la Irayectoria fásica se eíectúa en dirección de las agujas del relo]. Ejemplo 1. Construir para la ecuación
la trayectoria d'x -¡j¡f"
s o I u ció
n. Hacemos
en el plano
lásico
+ X = O.
(3)
~; = v. La ecuación
(3) toma
la forma 11
do di
Lus ecuaciones
+ x =O,
do = _.... x o bi en. di
de las isoclinas
para
(41
(4). son:
_!"=It. o
Trazando las lsoclinas, correspondientes a distintos valeres de It, hallamos que las trayectorias Iásicas son clrcunIerencias con centro en el punto (O. O) (lig. 22). Obsérvese, que las trayectorias fásicas cerradas corresponden a les movimientos periódicos. Fácilmente se observa que. en ei caso de la ecuación (3), verdaderamente resulta un movimiento periódico. Resolviendo (3) por los métodos expuestos anteriormente. hallamos: x (1) = el cos t E J e m p lo 2. Trazar
ecuucién
eI'x
dx
-¡¡¡;--Tt S'o I u e i Ó.n Ha~ell1os (5) toma la forma do
11
t. Iásícas para
+ x =0.
= :; . Entonces. u-x
Tt=-u138
+ C, sen
las trayectorias
la (5)
la ecuación
(6)
=~.
La ecuaclón de las Isoclinas es: o ~ x Las 1rayectorlas Iáslcas tienen la forma de espirales que se desenrollan (lig. 23). En el cuadro fásico se puede observar que el movimiento es aperiódico. con una amplitud que crece indeIInidamente con el tiempo.
y
Pig.22
PIIl·23
Traz ar las trayectorias ecuaciones diferenciales: d'"
740. -¡¡¡r
Iásicas
para
las
siguientes
dx + di + x =O.
d'x.
dx
741. "(j¡'i'+2Tt+6x=0. d'"
742. "'Ji' d2x
743. "(j¡'i'
dx + ')- di + x = O. dx )2 + ( di + x=O.
dO,
744. -¡¡¡r-2
( di dX)2
( Ti dx ) = O ( expu-e.
d'x 745. -¡¡¡r-x·exp
746. ~+exp( 747.
d', -¡¡¡r
+x
d.x +Ti-2x~0.
-
(dX)2 'iiT
~;)-
.)
x=O.
~ O. 139
§ 16. PROBLEMAS DE C.ONTORNO
Para mayor simplicidad segundo orden
estudiaremos la ecuación de
Y"+PI(x)y'+".(x)y~O.
(1)
Se supondrá que los coeficientes PI (x) Y P2(X) son íuncíones continuas en cierto intervalo (/J. b). En este caso, toda solución g(x) de la ecuación (1) quedara determinada en lodo este intervalo. A continuación, en lugar de la ecuación (1) consideraremos la ecuación Ip(x)y')'
- q(x)y = O,
p(x)
> O.
(2)
Las ecuaciones (1) Y (2) pueden transformarse una en la otra LA solución de la ecuación diferencial (2) se determina completamente por las condiciones iniciales y (xQ) -. Yo,
y'
(xo) = yó.
Sin embargo. en muchos problemas de Ilsica se suelen buscar soluciones dadas de otro modo Por ejemplo, se puede plantear el problema: hallar una solución de la ecuación (2) que tome en los puntos a y 11 unos valores dados ·y.(al e y(b). Generalmente, en tales casos, interesan solamente los valores de la solución para los valores de x de (a, /1) C-omo los valores y(a) e y(b) se dan en los extremos del intervalo, 105 problemas de este género se denominan problemas de contorno. A continuación se to·mará como básico el Intervalo (O, n) (Intervalo fundamental). con lo cual no quedará restringida la generalidad de tos I azonemientos. 140
Una rorma bastante general de condiciones de contorno para la ecuación de segundo orden es la siguiente: huY (O)+ h,y' (O)= A, ko!J (It)
+ k,y'
(3)
(n) = B,
donde ho. lu, ko. k~, A., B son unas constantes dadas y !ro. 'h,. ko. 11, no son simultáneamente iguales aceró, SI A = 8 = O. las condlcíones de contorno se llaman, homogéneas
Por ejemplo.
t) y(O)=y(n)=O.
2) hoY (O) - y' (O), y'
(It) = - h,IJ (n);
ho'
tu ;»
3) y' (O)= y' (It) ='0,
O.]
. (3')
4) Y (O) 0= Y (a), y' (O) = y' (n).
Por lo general. los problemas de contorno no siempre tienen solución. es decir. 110 siempre existe una solución tat que en tos extremos del Intervalo tome los valores indicados. Por ejemplo, el problema de contorno y"=O, y (O) - y(n) = J, y' (O) + 1I/(It) = O no tiene solución alguna. El problema y" }.!J = O, y (O) = y (n) = O
+
(4)
tiene solución no nula solamente para valores enteros de VA. En efecto. de la solución general de la ecuación diferencial (4) y =CJe"::;:'
+ C2'!-v=i:·
se deduce que pueden cumplirse las condiciones de contorno cuando. y sólo cuando, A = 112 es el cuadrado de un número entero n. Las soluciones correspondientes son las (unciones y. = sen /IX. Como se observa en este ejemplo. si en la ecuación (2),
q es función del parámetro >'. en ciertas condiciones, existen tales valores del parámetro para los que el problema de contorno homogéneo para la ecuación (2) tiene solución no nula, Estos valores de>. se llaman valores propios (o autovalorcs) y las soluclones correspondientes del problema de contorno, íuncíones propias (o aulofunciones). 141
Estas últimas se determinan salvo un factor constante arbitrario. Asi, pues, para el problema de contorno U" + +),y=O, y(O)= y(n)= O. los números )2,22,33, ... y las funciones sen x, sen 2x, ... son los valores propios y las funciones propias, respectivamente, del problema. Junio con los valores propios simples, cuando a un valor propio corresponde una sola función propia (salvo un factor constante), pueden existir valores propios mültiples, cuando a un valor propio 1.0 le corresponden dos íuncienes propias linealmente independientes. Para resolver los problemas de contorno (en el caso de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas) se procede del síguienle modo: se halla la solución general de la ecuación diferencial dada: 9 = CIYI(x) Ct!h (x) CnY" (x).
+
+ ... +
donde y,(x), y.(x), ... , y,.(x) son soluciones linealmente independientes. Después se exige que esta solución y(x) satisfaga a las condiciones de contorno dadas. Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones para la determinación de Ch C2 •••• , Cn. Resolviendo este sistema, en caso de que esto sea posible, se halla la solución del problema de contorno planteado. En este caso, si surge el problema de la determinación de los valores propios, la condición de existencia de solución no nula del sistema, por el que se determinan CI, C2•.. " Cn, es la condición que determina los valores propios. Generalmente. esta ecuación en ,_ es trascendente. 750. ¿Para qué valores de A la ecuación y" + I,y = O tiene solución 110 nula que satisfaga a las condiciones:
=
a) y' (0)= y' (n) O, b) y (O) y (tt). y' (O) = y' (n)?
=
751. ¿Para qué valores de i, el problema de contorno Y"+"y=O y(O)=y(I)=O
•.
poseela solución (rivial y """ O? 752. ¿Cu41 de Jos problemas que siguen tiene solución? a] y" -
y
= 0,
b) y"+j¡=O,.
y (O) = 0,
y (2n) = 1,
y(O)=O.
y(2n)=
1.
753. Resolver el problema de contorno y(O)=u(I).
U"+(A.-(o)t¡y~O.
1.('(0)=u' (1).
Considerar los casos .. - (O' > O, A. - tu' = O, i. - (0)' < O. 754. Hallar la solución de lA ecuación y!/' ([1')2 1 = O que pasa por los puntos ,(O, 1) Y (1,2). Resolver- los siguientes problemas de contorno:
+
+
755. ¡j" (x) = k2U (x),
donde 'k'""! a2s2,
U (xo) = 111' 756. y"(x)=a2·s·u(x), 767. U" (x) - a2sy (x) 8) U (0)=..
1
y(O)=II,
758. y"(x) = a s 759. y" (x) = ¡,,2y (x)
.y. (O)= 111'
U'(:Xo)=O:
= O. y'(xo} =0,
b) y'(O)=-+, 2 2y(x)
y (xo)=O.
+ a'gl,
y(O) = y (xo)·
(A."¡' O)
a) U (0)=0,
Y (1)
=1"I
b) U'(O)=O,
y(1)
=1"I
e) y(O)=O,
y'(t)=1"
d) y'(O)=O,
u'(I)=+.
I
760. UIV - )..'y =0. y(O)= y"(O) =0, y(n)= 761.
!lIV -
+
>"'y=O, y(O)=y'
y"(n)=O.
(0)=0, u(n)=y"(n)=O.
762. ylV - ¡,'U = O, y (O)= U' (O) = O. y (n) = y' (n) =O. 763. y'"
+ ay"
- a2y' - a'g= O,
g (O)=-Ü.
1
+~, [1(1)=0. 2U'" + 2y" - 2y' + U = cos2x,
g'(O) = J
764. UIV y(O)-
u(n)=~,
y'(O)
=~,
U'(n)=fs..
N o t 8. Los valores propios de los problemas estudiados anteriormente forman una sucesión numérica ere143
dente. Si los coelicientes de la ecuación diferencial lienen un punlo singular en la Frontera del dominio Iundarnental o si el dominio Iundarnenlal es inlinllo, 'por ejemplo. Iodo el eje numérico. el espectro. o sea. el conjunto de los valores propios puede tener otrn estructura En particular. puede haber espectros Que contengan todos los números de algún intervalo de vnlores h. denominados espectros continuos. Por ejemplo, supongamos que se necesita resolver la ecuación r/' + J,y = O para el intervalo - 00 < < Jo: < + 00 con las "condiciones de contorno": y(x) tiene que estar acotada en el infinito. Está claro que, en este caso, cualquier número J. no negativo es un valor propio al cual le corresponden las funciones propias sen x y tOS Vig. Al resolver los problemas de la física matemáttca que dan lugar a problemas de determinación de los valores propios, frecuentemente resultan ecuaciones diferenciales de la íorma
vr
(p (x) y'l' - q (xly
+ J.p~x) IJ =0
(4)
tales que en puntos finitos del dominio fundamental puede haber singularidades de la ecuación diferencial: por ejemplo: se anula el coeficiente p(x). Para estos puntos stngulares. las condiciones a satisfacer aparecen del carácter mismo del problema; por ejemplo: que la solución sea continua o acotada, o bien que sea infinita pero de oro den no superior a un orden prefijado. Estas condíclones desempeñan el papel de condiciones de contorno. Un ejemplo tipico es la ecuación de Besset (xy')'
+:» "' + J..xy =0,
(51
que aparece en los problemas de la física matemátlca. En este caso, p(x) "'" x y ya no se cumple la suposición hecha anteriormente de que sea p(x) > O en todo el dominio fundamental O."; x.s; 1, puesto que p(O) = O. Para, la ecuación de Bessel, x = O es un punto singular. La. exigencia
Resolver los problemas de contorno: 765. xy"+y'=O, y(I)=<1y'(I), y(x) está para x -. O. 766. x2yIV+4xy'''+2y"=O, y(I)=y'(I)=O, eslá acotada para x ~ O, 761. x3ylV
+ 6x2y'" + 6xy" = O,
está acotada para x. -;
Y (~) =y'(I)
acotada y(x~
= O, y(x)
(f,
§ 17. INTEGRACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
1. Este mélodo resulta muy usual al aplicarlo 3 las ecuaciones dllerenciales lineales. Aquí lo aplicaremos para el caso de ecuaciones- dI' segundo orden. Sea dada una ecuación diferencial de segundo orden:
y"
+ p (x) y' + q(x)
y -O.
(1)
Supongamos que los coeficientes p(x) y q(x) se expresan en fOI rna de series, dispuestas según las potencias en leras positivas de x, de modo que la ecuación (1) se puede escribir de la forma
+
y"+{au+a,x+azx2
...
)y'+ +(bo+b,x+¡"'x2+
... )y=O.
(2)
Busquemos la solución de esta ecuación en forma de una serie de potencias (3) 10-442
145
Poniendo en (2) la expresión de nemos: ..
w
~ k (k -
l) c!.tó-2
y sus derivadas. obte-
..
+ 1: akxk 1: kC.xk-1 + k:::aO
J¡~~
Ij
t:t;;IIIl
N
..
+ k=:oO 1: b.x· _=ti 1: CkX'
=O.
(4)
Multiplicando las series de potencias. reuniendo los términos semejantes e igualando a cero los coeficientes en distlntas potencias de x del primer miembro de (4). resultan las ecuaciones·: x" 2·
l Cz
+ ~CI + boCil = O
x' 3·2 C3+2aoc2+alcl Tboc, Tb,co=O x' 4·3 c. 3a"c3 + 2a,cz+ aacI b~c2+blel
+
+
+ bzCo= O
(5)
Cada una de las ecuaciones (5) contiene un coeliciente indeter minado más que la anterior. Los coeficientes Co y el se mantienen arbitrarios y desempeñan el papel de constantes arbitrarias. La primera de las ecuaciones (5) proporciona '2: la segunda. es: la tercera, e,: etc. En general. de la (k + + 1) -éslrna ecuación se puede determinar e'H' una vez conocidos eo. el ••••• CHI. En la práctica es conveniente proceder del modo siguiente: Por el esquema señalado se buscan dos soluciones: Ijl (x) e IJ2(X). Para IJI (x) se loma eo = I Y el = O, y para IJ,(x) se loma Co = O y el = l. lo cual es equlvalente a las siguientes
condiciones iniciales:
111(0)= l.
y;(O)=O.
y,(O)=O;
IJ~(O)= l'
} (6)
Toda solucíén de. la ecuación (1) será combinación lineal de las soluciones 1/1 (x) e I/,(x). Si las condiciones iniciales son de la forma y(O) = A, y' (O) = B. entonces. es evidente que 1/ = Ay, (~) 14G
+ By, (x).
Finalmente, enunciaremos (sin exponer la demostración) el teorema de existencia de solución de la ecuación (1) en forma de serie (3). Teorema. Si las series
~
p(x)=
~
y
DAX·
q(x)=
keoj
..
~ bAx· k~(J
son convergentes para I~1< R. la serie de potencias (3,) consh ulda del modo indicado anteriormente también es convergente para estos mismos valores de x y es solucién de la ecua don (I). En particular, si p(x) y q(x) son polinomios en x, la serie (3) será convergente para cualquier valor de x. Ejemplo. Hallar la solución de la ecuación y" - xy' - 2y=O
(1)
en forma de serie de potencias. S o I u el ¡ Ó n. Buscamos !tI (x) en la forma
.. .. .. .z
!J, (x) = ~ c.x·,
(2)
k_D
Entonces.
y' (x) = ~ kc I
y" (x) =
,t .... I.
t
(k -
k.~
J
(3)
X·-I
1) he X·-l. •
(4)
Poniendo (2), (3) Y (4) en (1). hallamos:
i: (k -
l)kc.x'-2
l_f
-
i kC1X· -
.-1
2 ~ c.x' ~
= O.
(5)
los términos semejantes e igualando a cero los coellclentes en distintas potencias de x, resultan unas relaciones de las cuales se hallan los coeíicientes c:, (',. c., ... Para precisar. hagamos Reduciendo
y,(O)~
1,
1/;(0)=0.
(6)
Entonces, de (2) y (6) (7) 147
y de (3) y (6) (8) Asi, pues, se tiene Xo 2c, - 2co=O.
de donde, en virtu d de (7), c, = 1, x' 3· 2c, - l· el - 2e, ~ O de donde. en virtud de (8), Cs"'" O, I
x? 4·3c,-2c,
-2c,
=0, de donde c'=3'
x3 5·4'5-3c,
-2c,¡ =0, de donde c.=O,
x. 6·5c,-4c, -2c, =0, de donde c,= ~. =~ y, por consiguiente, VI (x)~ 1
1 I +.. + 3X<+15x'+ ..0
...
(9)
Oc modo análogo, tomando (10) y las condiciones iniciales Y2(0) =0,
V~(O)=1,
(11)
AI=I,
(12)
resulta
.40=0,
y poniendo (10) en (1), hallamos:
..
~ 1] k (k - J) .-0
A:tXk-?
-
~ t-I
;éJ 2A2~O,
+ 2) A~Xk = O
A2=0
3 . 2Al - 3AI = O,
A3=~.
x' 4 ·.3A, - 4A.= O,
A,=O,
x3 5· 4.As - 5A3=O,
As="2'74'
x· 6 ' 5Ao,-
Ao=O,
Xl
6A • .." O,
x' 1 "6A, - 7 A6 =O, 148
(k
I
1
A7=z:-;¡-:¡¡,
Es evidente que A:!,t = O,
A"....
2 ·4· 6' •.. (2k)
(k = 1, 2, 3, ...
l.
Asi, pues, xl
ot'
s'
1/2(X)=.x+T+-r.4+m+
'"
.. (.~'r
.!. ... =x ~ -k-,.-=-xe·.
(13)
.1-9
La solución general
de la ecuación (1) tendrá la forma
y (x)= Ay, (x)
+ 8y.(x),
donde U, (x) e Y2(X) se determinan y (13), respectivamente.
por las fórmulas (9)
2. Desarrollo de la solución en lino serie de potencias
generalizada. Definición.
Una serie de la forma
-
(14)
donde p es un número dado y la serie de potencias ~ c_xA .1-0 es convergente en cierto recinto Ixl < R. se llama serie de potencias generalizada. Si p es un número entero no negativo, la serie de potencias generalizada (14) se convierte en una serie de potencias ordinaria. Subsiste el siguiente teorema. Teorema. Si x = O es un ounto singular de la ecuación (1). cuyos coelicienies p(x) y q(x) admiten los desarrollos
(15) donde los series que figu.ran ell los numeradores son COII' Ixl < R, y los coeitctentes CID, bo JI bl no son simutláneamente ig(lales a cero. elllonces la ecuación (1) posee al menos una solución en forma de
vergent~.~ en cierto recinto
14~
serie de notencias generolizado
~
Y=K·~CkXk k-a
que es convergente
(CO~
O),
al merlOs en el mismo recinto
(16)
Ixl < R.
Para hallar el exponente P '1 los coeficientes c" es necesario poner la serie (16) en la ecuación (1 l. sirnpliñcar' por xP e igualar a cero los coeíiclentes en distintas potencias de x (método de los coeficientes indeterminados}. En este (350. el número p se halla de la ecuación llamada delermittatiua (17)
donde a,) =
11m
b.,,= ,->0 lim x?q(x).
xp (xl.
),'... 0
(18)
Supongamos que PI y fJ2 son las raíces ele la ecuación dcrer rnlnativa (17)_ Distinguiremos tres casos: 1. Si I~ diferencia PI - P? no es un número entero o cero. se pueden construir dos soluciones de la forma (16): y, =);1"
.. ..
~ tkX' k=O
!h = :&1 ~
h=l)
AkXk
(co ~ O).
(Ao
* O).
2 Si la dHerencia PI - [>2 es un número entero positivo. por lo general. solamente se puede construir una Serie (solución de la ecuación (1»: (19) 3. Si In ecuación (17) posee una raíz múltiple PI = P2. también se puede construir solamente una serie (la solución (19». Está claro que en el primer caso las soluciones y, (x) e Y2.(X) construidas son linealmente independientes (o sea, la razón de las mismas no es constante). En el segundo y tercer casos. se ha construido solamente una solución (19) Señalemos, sin exponer la demostración, que si la dilerenvia PI - P2 es un número en-
100
tero positivo o cero, además solución de la forma
~
Y. = Ay, (xl In x Vemos.
pues,
complementarlo
(19l habrá. una
de la solución
+ x'" .1>00 ~ Akxt. Y2(X)
que ahora de la forma
contiene
(20) un sumando
Ay, (xl In x, donde 11' (xl se expresa en la O b s e r v. a ció n. Puede en (20l sea igual a cero. y expresión en íorma de una zada. ·Ejemplo
1. Resolver 2x2y"
S o 1 u ció
la ecuación
+ (3.. -
2x2, u'>: (x
n Escribamos
Y"
íorrna (19). ocurrir que la .constante A entonces, para Y2 resulta liná serie de potencias generali-
+ ~.,2x' - _2x'
+ 1) Y =O.
(1)
(1) en la ícrma y' -
.:..±..!. 2x'
y
=
°
(2)
o bien (3) Busquemos
la solución
11 (x) en la íorma ec
tI (xl = x· ka{) ~ c,«
•
Para
hallar
p escribimos
(4)
(C.oFO).
la ecuación
determinativa (5)
donde aú c=
r~I~O 3- 2.' -2= "23 '
K
b = 11m ( --, ... 0
+ ¡) =--,I 2
2
o sea, 3 I p(p-I)+'2p-'2=O'
o bien,
151
De aquí.
De acuerdo a la regla expuesta tomamos (x> O).
.. y,(x) = ~~ A •. t..o
(6)
rt.
Para Hallar los cceíicientes CO. C, •.... Cn. ... sustituimos Y, (x) Y sus derivadas (x) e Y~(x) en la ecuación (1). Se tiene
g;
(7)
-
.. (
1) (
1)
t(x) = ~ k+ '2 k - '2 C.x .2"
Después de las trnnstormacícnes,
-
~k(2k+3)C.x
-
(8) loma la forma
..+! ·-~2(k+I)C.x
•...;
'=0.
(9)
Como se busca una solución para x> O. se puede si mpll ficar por x~'" y obtenemos:
152
De aqui, hallamos los coeficientes:
Haciendo
las relaciones
x' x~
1·5C,-2·ICo=O 2· 7C2 - 2 . 2C,
x3
3 • 9C9
x"
ti
(2n
para la determinación
=O
2 • 3C~ = O
-
+ 3) C. -
en la primera
de
(II)
2IlC._1
ecuación
=O
de las
relaciones
(11)
2
Co = l. obtenernos, C, = 7;' De la segunda De la tercera Fácilmente
ecuación
De este
que
2"
(II=I, 2, 3, ... ).
... (2,.+3)
-n
t7 .
Cj = 5 .~. 9'. etc.
ecuación. se observa
e = 5.7.9
C2 =
se tiene
modo. Y,
(X)=.J[I
+~
5.7.9
k_O
De modo análogo se hallan Resulta que para Ao = l.
.~~);2k+3)]'
también
los coeficientes
(12) AA.
A,=I, de modo que (13) La solución
general
de la ecuación (1) es:
y (x) = Ay, (x) donde YI(")
+ By, (x),
A y B son constantes arbitrarias y las funciones e !/2(X) están dadas por las iórmulas (12) y (13). 153
2. La ecuación de Bessel
Ejemplo
+
x2y"
+ (.~2 -
xy'
p") y = O.
(1)
>
donde p es una constante dada. p O. S o i u ció n. Escribamos (1) en la forma gil
=!..
P (x)
Aquí,
x' - p' +""71 y' + -;t-'-
q (x) = x' -;/'
"
(véanse
(2)
las fórmulas
(15»,
x
de modo Que
ao= lim xp(x)= ...0 b _l' ., ( )_ o-Imxqx--p
y = o.
I
}
(véanse las fórmulas
2
(18».
...0
La
deterrnmauva
ecuación
para pes:
p(p-I)+I·p-p2=O,
bien,
Las raíces de la ecunción
p, =J) P.=-p Buscamos
Bessel zada:
la primera
solución de! una
(1) en forma
(3)
()'_/)2=0
(3) son: ).
(4)
particular de la ecuación de serie de potencias generalí-
~
y =xP
l: Ckx',
(5)
k=U
Reemplazando
~
X2 ~ .~
Ck (k
y, y'
e
y"
+ p) + p-l)
o: bien, después
Iicación por xP:
(ll
en la ecuación Xk+p-2
(1),
resulta
~ + x k~1: el (k+p) xk+p-I + ~ + (x2 - p~ k_O 1. C.~HP=O,
detranslormaciones
elementales
.
y sirnpli-
De aquí. igualando a cero los coelicieníes tencias de x, se tiene. {p' - ¡r)Co=O. [(1 p}2 - pZl
J!'
+ + pJ~+ p)" + p)2._
p~j 42 pZjC3
I(k
+ p)2 -
pi]
X2
x'
+ Co =.0, + e, =0.' + C2=0,
rjC.
e. + C.-z
(7)
., ,
~
.
o,
La primera de las relaciones (7) se cumple para quier valor del coeficiente Co. De la segunda relación (7) obtenemos: e, = O. De la tercera: C C. c. 2=-(2+p]1
De la cuarta: De la quinta: C _ 4-
-
Es evidente par son iguales
cual-
p'=-Z'(I+P)'
C3 = O. C, (4 ... p)'
Ce
= 2'
p'
que todos a cero: C2k+l =O
e
(-1)' Ca
Para simplificar
...
+ p) (2 + p) . 1 • 2
.
de subíndice im-
(k = O, 1, 2, ... )
de subíndice
= 2;;; (p + I)(p + 2)
(1
los coeficientes
Los coeficientes 2~
po·
e, =·0.
[(2 x3 ((3 x· 1(4
x'
en distintas
(8)
par son de la forma:
(p + k) • kl
los cálculos
(k = 1, 2, ... )
ulteriores,
e0-_' z/lr{v){p+I)' 1
(9)
hagamos (10)
donde T'(v) es la función Gamma de Euler. La función Gamma dé Euler 1'(\'1 se define para lodos los valores positivos (y también para todos los' valores 155
complejos cuyas partes reales sean positivas) siguiente:
r (v¡ ===
.. f e-'
X·-I
del modo (11)
dx.
o
La función Gamma posee las siguientes
propiedades
importantes: 1. I'(-y+ 1) = vf'{v). 2. 1'(1) ... 1. Si k es un número entero positivo, se tiene: 3.
r(v+k+
4.
r(k+t}=k!
I)=(v+
1)(,,+2) ... (v+k)r'(v+
1)
Aplicando (lO) y las propiedades de la función r ocupémonos de la transformación del coeficiente C?~: C
(-1)' ... (1,+ k). kl.i"r
?A0= 2'. (p + 1)(,,+2)
=
(p+ 1) (-1» (p+ k
~+·-.,r
+ 1)
pues, en virtud de la prorledad 3, (p + I)(p + 2) ... ... (p+k)r(p+ 1) es igua a r(p+k+ 1). Ahora, la solución particular de la ecuación de Bessel, que a continuación indicaremos con /~, toma la forma (12)
Esta función se llama
función
de Bessel de primera
especie
de orden p.
La segunda solución particular de la ecuación de Bessel (1) la buscaremos de la forma
..
!I
=x-' ~ C.xo,
(13)
0-0,
donde - p es la segunda ralz de la ecuación determinativa (3). Está claro que esta solución puede obtenerse de la solución (12) sustituyendo p por - p, puesto que en la 166
(1) P está elevado a una potencia par y no varía al sustituir p por - p. Asi, pues, ecuación
Lp(X)
~
(_I)k
= 1.J 'klr(k+
I
p)
*-0
("')2'-_ T '
(14)
Esta función se llama Iuncíén de Bessel de primera especíe de orden - p. Si P no es un número entero, las soluciones J,~(x) y Lp(x) son linealmente independientes, puesto que 'sus de: sarrollos en series eomíenzan con potencias distintas d'e x y, por consiguiente, la combinación lineal a,/p(x)+ + a2J_p(x) puede ser igual a cero idénticamente sólo para a, = <Xil = O. Si p es un número entero, las funciones l,,(x) y'-p(x) son linealmente dependientes, pues L.(x)=(-I)"
¡.(x)
(n es entero).
(15)
Así, pues, cuando p es entero, en lugar de '-p(x) hay que buscar otra solución que sea linealmente independiente con l,,(x). Para esto, introducimos una nueva función J p (x)
cOS
pn. -
'_p(x)
sen pn
(16)
suponiendo primero que p no es entero, Es evidente que la función Y.(x), determinada de este modo, es solución de la ecuación (1) (puesto que representa una combinación lineal de.las soluciones particulares I,,(x) y L,,(x». Pasando a limites en (16), cuando p tiende a un número entero, se obtiene la solución particular Yv(x) linealmente independiente con J p(x) y determinada ya para valores enteros de p. La íunción Y. (x) definida aquí se llama funci6n de Bessei de segunda especie de orden p, o también Iuncíén de Weber O). De este modo, para todo p, entero o fraccionario, hemos construido el sistema [undamerüal de soluciones de la ecuación de Bessel (1). De aqui se deduce
"¡
Alguno. autores N. (x , (Nota del T.)
la 1I0nton tunetcn
de
Neumano
y la indIcan 157
que la solución general de la ecuación (I) puede representarse en la forma 11=Al.
(x)
+ BY. (x),
(17)
donde A y B son constantes arbitrarias. No obstante. cuando p 110 es entero" la solución general de la ecuación de Besset se puede tomar. de la íorma !I = a,I.(x)
donde a, y N o tal.
<12
+ a,1 _p(x),
son constantes arbitrarias. La ecuación Que Irecuentemente x'y"
+ xy' + (k'x!
donde k es cierta constante ción de Bessel
- p') y=O,
(lB)
aparece (19)
(k =1= O). se reduce a la ecua-
t' ~~+ t ~~+ (t' sustitución t.., kx.
p') !/. = O
(20)
mediante la La solución general de la ecuación (20). (cuando p no es entero) es:
+ (J,¡I_p(~),
y=a,/.(t)
y entonces, la solución general de la ecuación (19) toma la forma: !I = (1.,1. (kx)
Cuando
p
+ a,1
_p
(kx),
es entero, y = a,1 p (kx)
+
N o t a 2. Una clase muy amplia de ecuaciones de la forma (21)
donde a"b. e, m son constantes (a > O, m =lo O). lntrcduclendo una nueva variable t y una nueva íuncién " según las fórmulas
u=(v) -t I
158
11,
se reducen a la ecuación de Bessel t2~+1
.,2) u =0,
~+(12_ di
dI'
donde a -
i>.
,
«=-2-'
2
m
"'=T'
Cuando e = O y cuando ecuación de Euler. Inlegrar mediante diferenciales:
770. (1
(a -
7
1)' -
P =
= O,
111
series
768. s'>: 2xg=O, 769. 4xy"
Vc
Y=-'-II-'
m'
4b.
.
(2~)
la ecuación
(21) es la
siguientes
ecuacíones
las
y(O)= 1.
+ 2y' + g =O.
+ xl y'
- ny = O.
771. 9x(I-.()y"-12!1'+4y=0.
+
gil XV' + y=O. 773. y"-xy'+y-l =0,
772.
g(O)=y/(Ol=O.
En los ejercicios 774-778 hay que hallar seis términos del desarrollo de JI (x). 774. y"-(I+x2)y=O, y(0)=-2, y/(0)=2. 775. JI"=x2J1-
y',
y(O)=
1,
y' (O)=0.
776. gil - ge'" = O. 777.
s' = X2 + g2.
778. !J' = a" Hallar
+ xg.
las soluciones
1/(0)=0. g(O)=O generales
de las ecuaciones
de
Bessel: 779. 780. 78 J. 782.
X2J1"
+ xy' + (4r - -b-)g
xV' + xg' + (x~ - *) 9 , 1 gil + -;¡ !J' + 9' y = O. y" + L y' + 4y "'" O. x
783. X·y" - 2xg'
+ 4 (x'
- 1) y
=0, O.
= O. IS9
· I
I
784. xY"+2'Y'+-;¡-y=O.
+ ¿ y' + !J = O. V',.+ fv' +4v=O.
785. V" 786.
Demostrar
la justeza
de las siguientes
relaciones:
787. J~(x)=Jp-t(x)-7Jp(x}. 788. l~(x}=-
lp+I(x)+';Jp(x). 2p
789. 1P+I(x) =71
(x) - 1p-J (x) ..
p
+
790. l~ (.~)= Jo (.~) 791. J2(x) -
+
J~ (x).
Jo(x)=2J({(x).
+
792. 13(x) 3J~ (.r) 4J~" (x) = O. 793. x2J~ (~.) = (¡Y - p - x') J o (x) XJI1+1 (x). 794. Comprobar que soluciones de la ecuación
+
VX
J, (2
VX)
y
V:;: Y,
Vx)
son
VX /"i (VX)
son
(2
xV"+y=O. 795. Comprobar soluciones
Vx 1-~ (Vx)
que
I
y
I
de la ecuación 1
xy" +2'y'+-;¡ 796. Comprobar
1
y~O.
que x
C,/p(x) es solución N.o t: a ecuaeíones sencillo al
r IIr(l)
+C.Jp(x)
de la ecuación de Bessel. 3 -. He aqui otro método de. integración de las diferenciales mediante series que resulta más emplearlo a las ecuaciones dlíerencíales no Ji.
ncales. Sea dada la ecuación diferencial y,r.J=f(x, y, y', ... , ylr.-Il) 160
(1)
v las condiciones iniciales
y I,_x. = Yo' y' 1,=,. = !I~. "" yl(x) es ho!omorla en un enlomo Ix ~
xol,<:
p dél punto
x
..
<=
~o, sr eh este enlomo'
ésta es expresable por una sede de potencias
XO)k,
'=0 en el recinto Ix - xol < p. Análogamente. la función (jl(x¡, X2 ••••• x,,) se llama holomorla con respecto de todos sus ·~rgumelllos en el entorno IXk-XJi'II
convergente
del punto ("'iO).x~I, serie de potencias ",(XI'
Xz •••••
. , ..
X~I) si
xn)=
= -Yo ckr"! - .. .t (x I n
convergente Subsiste
por una
es expresable
.('0))" (x,.. - x!0l)": ... (x - x
en el recinto ! s, - I < Pt
xr'
el siguiente
(k = l. 2 .....
n).
teorema.
Teorema. Si el segundo miembro de la ecuación (1) es /lna [uncion holomoria con respecto de todos SI/S argumenios x, Y. y', . , .• y(n-'I en entorno Q:
Ix-xol
!y-yo!
.. !y'-y¿l<
< R"
... , Iyln-Il-
Ybn-I'I < R,
,
del purüo (xo' Yo' y~ •.. '. yhn- ,). la ecuación (1) tiene Ulla Y sólo una solución y = y(x) que cumple las condiciones inicia/es (2) y es ha/amorfa ell /tn entorno del ounso x = x.: y(.t)=!lo+y~(x-x.)+~~
(x-.ro?+"· (4) 161
La sede donde
(4) es convergente
Ix -xol < p,
en el eecinto
(5) aquí, a. y b. son unas constantes que satislacen dícíones: O < a < R·, O < b < R, y
M=máxl!(x,
a las con(6)
y, y', ... , y(',-I)I.
Il
60S primeros n + I coeílclenles de la serie (4) se determinan por las condiciones iniciales (2) y la ecuación diferencial (l). Los demás coeficientes se determinan por la ecuación diferencial, derivándola sucesivamente. Por ejemplo: a
tI+
1= yl'+1I
= 3l. (l••
I
(lL lL + 'ii2.L I I . '+
Ip..t. =
+ (7yiJf
-1-
by
g,
__ 1
n-I
Yo
~II
X-'Cl
o b s e r v a e ¡ 6 n. yln1
iJx
+ P, (,r)
iJl i)!¡
~
k-I
(jJJf,}t)
y<.+ll)
I~-.c.
. y(Hll (xo).
(7)
x-s.
Si la ecuación (1) es lineal, P. (.ro) Y = 'l> (x).
ylO_I, -1- ."
.
+
(8)
=
1,2 •.... n) y ,p(x) son funciones hotomorlas en lodo el eje O«, la serie (4) es convergente tarnblén en todo el cj e. donde
Ph(X)
(k
efemplo. Hallar los cuatro primeros términos del desarrollo en serie de Taylor de la solución Y = y(x) de la ecuación y"=C,:rV,
que cumple las condiciones Iniciales: U
'_0
= 1,
S o I u:c i ó n. Fácilmente
y' Ix.. o = O.
se observa que el segundo miembro de la ecuación, o sea, la función e"ll, es desarro llable en serle de potencias de x e y en un entorno de punto (O, O): esta serie es convergente en la región -00 -c « « +;00. -00 < Y < +00 (es decir, el segundo miembro es una [unción holomorta). lG2
Buscaremos una solución particular en [orma de serie (4): y' lO) J/' (O) 2 r: (O) y(x)=y(0)+-II-x+-2-'-X +~x3+ .... Empleando =
=
exvlx_o
la
misma
ecuación,
hallamos:
1.
y" (Q) "'" .
Derivando sucesivamente ambos miembros de la ecua, ción y haciendo x = O en las igualdades obtenidas, tendré11)0s:
+ XI/') e"v I.~ = 1, 'V (O) = (2y' + xy" + (y + xy,)'1e-"V f.o=) =- 1.
y'" (O) '"" (1/ U
Poniendo en la serIe (t) 10$ valores obtenidos y"(O), y'''(O), I/tV (O), obtenemos el desarrollo buscado de la solución:
En los ejercicios siguientes hay que hallar los tres primeros términos del desarrollo en serie de potencias de la solución de la ecuación di[erencial para las condiciones iniciales dadas. 797. y' = 1 - ,ty, '798.
Y
'
u- x =y+x'
799. U' = sen xu, 800. U"
+ xy = 0,
111'.0= l. U 1.,....,= 1. y
!.ooIJ ~
801. U" -senxy'=O. 802. xy"+Usenx=x, 803. U"lnx-senxy=O, 804. s'" U"
+ x sen y = O,
O,
y'I • .-o'= 1.
y'
uf_=e-', y 1• ..0
=-%:
1...."=0. u'I_.=O.
y' 1....0=0.
1.-0=0.
3. Búsqueda de las sotuctones ctones diferencia/es lineales. 11'
y' I.da = 1.
1...0=0. ul_n=t, y
periódicas
de las ecua·
lG3
Sea dada una ecuación diferencia 1 lineal no homogénea de 2" orden, de coeficientes constantes !JI'
+ PIY' + P2Y = f (xl,
(1)
donde {(x) es una íuncién periódica, de período 2n, desarrollable en serie de Fourier
f (x) =
..
a;
+ ~ (an tOS IIX + b. sen ru).
(2)
-1
Busquemos la Iorma
una solución periódica
de la ecuación
..
A =7+ ~,/.j (A. eosnx + B. sen 11.1').
I/(x)
(1) en (3)
-1
Reemplazando la serie (3) en la ecuación (1). elegimos sus coeficientes de modo que (ormalmente se cumpla la igualdad (1). Igualando los términos independientes y los coeficientes de cos nx y sen nx en los primeros y segundos miembros de la igualdad obtenida, hallamos: P'l
.=
8
¡
A _ (p,-~·)Q.-p,nb.
Ao=~' (p, -
,,-
n') b.
(p2-n~'l+prIl1
+ p,lla.
(p~-n')'+pl,,2
(
•
I 2
I~=,
)
(4)
....
La primera de las igualdades (4) nos da la condición necesaria para la existencia de una solución de la forma (3): si ao q. O. E'S necesario que sea p. "Í' O. Poniendo (4) en (3) resulta: y'(x) ..
161
~+
Cuando PI = O y P2 = ,z', donde Il = 1, 2•... , existjr'á solución periódica solamente si se cumple lá condición
*J
:In
!In
an =
f(.>;) cosn.~ dx = O,
bn ...
J (x)' sen nx di' ='0,
I ¡:¡ f
o
o (6)
, Los coeficientes AA y B" para ,f¡.-=p ..1l .se hallan por- las. fórmulas (4), mientras 'que 'los coeliclentes A. y Bn 5011' constantes arbitrarios, puesto que la expresión A. cos iii+ + B" sen IIX es la solución general de la ecuación horno, génea correspondiente. Cuando no se cumplen las condiciones (6), 'la ecua, ción (4) carece de soluciones periódicas (aparece el fenómeno de la resonancia). Cuando P2 = O y 00 = O, el coeficiente Ao queda Indeterminado y la ecuación (4) tiene una infinidad de soluciones periódicas. que se diferenéian entre si en un sumando constante. Si el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) llene periodo 2/ 2n, hay que buscar la solución de la ecuación (1) en la íorrna
*
Ao
y = "2
..
+ ~~ ( Aa
cos
1Wx
-1-
+ Br. sen
11nx )
-1-
.
tI=-!
En este caso, las fórmulas (4) varian correspondientemente. Ejemplo 1. Hallar las soluciones periódicas de la ecuación _X'~ y "+4 y-_¿.¡
n'
•
n-3
S o I u ció n. Se tlene PI=O. P2=4=22,
ao=O, a.=O. b.=
I
11'
(1L=3,4•... ), 165
La Iuncién f (xl = ~ st:tr
no contiéne
el término
.-3
+
resonante 02 cos 2x bt sen 2x. y, por consiguiente, ecuación tiene una Infinidad de soluciones periódicas. Los coeficientes se hallan por las lérmutas (4): Ao=O,
An=O.
Todas fórmula
8,=0,
las soluciones
y(x)=
I
8.=
+ 8, sen
Ateos 2x
(11=3,4, ... ).
.'(4-n")'
periódicas
la
quedan ~
2x - ¿,¡
dadas
por la
sennx
lit (n' _ 4) ,
=3
donde A2 y 82 son constantes Ejemplo
2. Hallar
arbitrarias.
las soluciones
ción y"
periódicas
de la ecua-
+ y =eosx.
s o I u ció
n. En este caso, PI = O, P2 = l. Cornprobemos el cumplimiento de las condiciones (6). Se tiene:
~
~
~
f cosxcosxd.tc: J cos .td.t.=n oF O; Icosxsen.tdx=O. 1
o
o
o
(aquí. n = 1). Las rendiciones (6) de existencia de solución no se cumplen. Por consiguiente. la ecuación tiene soluciones periódicas. Ejemplo clón
3. Hallar
las soluciones
de la ecua-
gil _ g = Isen x l.
S o 1 u e í 6 n. La runción de período n. La desarroltamos Intervalo (-n, n): 2
Isenxl=--. n
4 ~..
n _1
166
periódicas
periódica dada no
I (x)
= Isen x I es periódica, en serie de Fourler en el
eo,2nx
~ 4,,'1'-1
I
(- n, 11).
Buscamos y (x)
.. = -t- + ~ la solución
de la ecuación dada de la forma
+ 8. sen nx).
(A. tos nx
''1IiA.t
Se tiene a!n_' =0, a., =-..:!._J_ n 4n'1' _
:!r).
De las fórmulas
4 GO=ñ'
p,= - J,
p, =0,
} (n= J, 2, .. .).
ti =0
l'
n
(4) hallamos: A!n-' =0; 8.=0
Por consiguiente. de la forma
(/1= 1,2, , .. ),
la ecuación tiene una solución periódica
2 Y (X)=---11.
4 :It
l:., cos--o 211x l6n'-l
-,
=1
Hallar las soluciones ciones diferencia les, 805. y"
periódicas
de las siguientes
ecua-
.,
+ 3y = 1 + l:
.. :x . ..
.
... 1
806. y"
+ y = ~~
11_1
807 . y
"+ y
I
sen IlX =~-¡¡;-, ~
~I=I
808. y"-4y'+4y=nZ-x2,
-1t<x
809. y" - 4y = Icos nx ,.
+
B10. y" - 4y' 4y = arcsen (sen .e). 811. y"+9y=sen3x. 167
§ 18. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES CONSTANTES
Se llama sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeücicntes constantes a I de la lorma dX1
~
dt = -'"ai,X,
+ 1,(1)
(i = 1, 2, ....
n),
(1)
/-1
donde ail son unos números dados y [;(1), unas funciones dadas. El sistema lineal se llama homogéneo, si todas f,(I).. O. El conjunto de funciones XI = '1'1 (/),
X1
= CIlt (t),
, .. ,
X.
= q>. (1),
(2)
determinadas y diierenciables, con derivadas continuas, en el intervalo (a, b), se llama solución del sistema (1) en este intervalo, si las funciones (2) convierten a las ecuaciones del sistema (1) en identidades, que se cumplen para todos los valores de t de (a, b). El problema de la búsqueda de la solución x)
=x¡(t),
x. =
x, (t~,
... ,
Xn
= Xn
(/)
(3)
que salislace a las condiciones iniciales
se denomina problema de Cauchy. Examinaremos cuatro rnetodos muy difundidos de solución de sistemas de ecuaciones diferencIales lineales de coeficientes constantes de la forma (1). 168
1. REDUCCION
01; UN SISTE,\1A
A ,UNA ECUACI,ON
DE n·ESI¡\\O ORDEN El modo mas sencillo de integrar el sistema (I) consiste en reducirlo a una ecuación diferencial de orden n. Resulta que se obtiene una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, Ilustremos este método en ,el ejemplo de un sistema de dos ecuaciones:
~; =ax+by+;(t) dg
Ti = ex + dy
}
(1,1) (1)
.
+ g (/)
(1;2)
Aquí, a, b, e. a son coeficientes constantes, f(I), g(l) son unas funciones dadas, mientras que x(t), y(l) son las funciones incógnítas. De la ecuación (1, 1) hallamos:
y=H~; -ax-f(l)), Reemplazando
y en la segunda
(2)
ecuación
del sistema
por
el segundo miembro de (2). y ~~ por la derivada del segundo miembro de (2). obtenemos una ecuación dijerencial de segundo orden en x(l):
d'" d" A(ii1+BTt+ex+Pl1
) =0.
donde A. B, e son constantes. De aquí hallamos. x = x(t, el. C1) y poniendo el valor hallado Ejemplo.
de x, asi como ~~ . hallamos
Integrar
el sistema
en (2)
y,
de ecuaciones (3,1) (3)
(3,2) De (3,1) hallamos: (4) 169
Poniendo (4) en (3,2), resulta una ccuacion diferencial !ineal de segundo orden con coeficientes constantes: d'x
íJiT' -
x = O.
I -
(5)
La solución genera! de I~ ecuación
+ C~-'
x=C,e' Poniendo en nemos:
(4)
(5) es:
- l.
(6)
la derivada respecto a. t
de (6) obte-
y=C,e' - c-e:' - 1. La
solución general del
sistema
(3)
es:
.t:':C,e' +C~-' - 1 } y=C,e'-C~e-' - 1 • 2. METODO DE EULEI¡ DE INTEGRACION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
Examinemos este método en el caso de un sistema de tres ecuaciones diierenciates lineales: dx
di =ax+ dy
di=a,x
by
+cz (1)
+ó,y +c,z
dz
+ C2Z
di =~+b2Y
Buscamos la solución del sistema en la forma· x='}..e",
g=lJe",
z="IJ",
donde 1.,. J.l, v Y r son constantes.
(2)
Poniendo (2) en (1) Y simpliiicando por el', resurta un sistema de ecuaciones para determinar )... J.l Y v: {a-rP..+óJ.l+C-y=O,
a,)..+ (b, -r) alA 1.10
JL
+c,v=O,
+ 11:11 + (e; -
r) v = O..
1
El sistema (3) posee solución no nula cuando su deter-
minante .:\ es íguat a cero:
I C.-'
b
6=1 ':
=0.
j; C,
~
(4)
La ecuación (4) en , denominada caeaclerlstlca,
es
cúbica. a) Supongamos que las ralees 'l. (2 Y '3 de la ecuación característica son reales y distintas. Sustituyendo en (3) r por el número y resolviendo el sistema (3) se obtienen los números ¡.h '" Y "1_ Haciendo después en (3) r = '2. se obtienen los números ;'2, 112, '12. Finalmente. para r = '3. resulta ),3. 11a- "3. Para las tres colecciones de los números í., 11 Y v, obtenemos tres sistemas de soluciones particulares:
'1
XI~}.,lerlt,
Yr=~IC'!',
y,
.t2=;'¡e',t, .\'3
== A3e"I,
==
)J!lCr,(
Z, Z2
I
Y3=I13er",
='II,er,1 = '1/"
}
.
(5)
'3= V'jé"
La solución general del sistema (1) tiene la Iorma x = C,x, + Ctx-. + C3x" y=C,Y, +C2Y,+ Z = C,z, C2Z2
+
C.Y3'
(6)
+ C3z a-
Ejemplo l. Resolver el sistema dx 3 x-y+z. 71=
dy
71=-x+5y-z,
(7)
3z.
dz Tt=x-y+
S .:>1u ció n. Escribimos la ecuación característica
3~/ 5-=-1, ~I 1=0 1 () bien, ,3_11,2+
I
-1
36, -36
3-r
= O. 171
los
A las raíces ;1 = 2.
= 3.
'1
'3 = 6 les corresponden
números
",=1.
...,=0,
"'1=-1;
"2=
1l2= 1, IlJ = - 2,
"2=
1,
1.3 = J,
"3 =
1; lo
Escribirnos las soluciones particulares xJ=e'U
z,=-e'1'
u.=».
1
xt=eu,
YóJ
Xa=IP,
us= -2&',
Respuesta:
z,";' e~' zJ=Ifl'
e3t,
r:;:.
+
+
.~ = C ,¿J' C2eu Cle61 U = C,é" - 2C3C6' Z = - CI¿JI C.¡?' C¡,c6/
+
(9)
} •
(lO)
+
b) Examinemos ahora el caso cuando las ra ices de la ecuación característica son complejas. Ejempto 2. Resolver el sistema
~~=x- Su } d d~
(ll)
•
=2x- y
S o I u ció n. Escribimos el sistema para la deterrninación de í. y 11: (l-r)1.-5",=0} (12) 2~.-(1+r) ",=0 . La ecuación caracteristlca
I
J-r 2
-5
1=0
-I-r
tiene las raíces r =. 3i, r2 = - 3i. Poniendo en (J~) '1 = 3i, obtenemos dos ecuaciones para la detcrtninaclón de Al y. "'1: (1- 3i))., -511-,=0 2)",- (1+3/)fL,=0 1'12
}',
una de las cuales es consecuencia
y,=(1-31)~I.
(13)
De modo análogo, ..sustltuyendo en (12) Ji!: (aiz '2 = = -3i, se halla la segunda soiución 'particular: (14)
Pasemos a un nuevo sistema fundamental de solucíones: _ XI + x, x':=:--2-'
YI + '12 11- "---2-'
a. _ x, '-x, }
...,-
•
2'
111 ~V2
(IS)
Y'=-2-¡ -
Aplicando la conocida fórmula de Euler e",ulI = cos al :l: i sen at,
(16)
donde « es un número real, de (14) y (15) obtenemos: x,=5cos3t. li, = cos3i
x,=5sen3i; Y2= sen 31 - 3cos3i.
+ 3 sen 31.
La solución general del sistema (11) es: x =C,x,
y=Clfí,
+ C,jh=
+ C¡x~ = SC, COS 31 + 5C
1 sen 31, C,(cos3t + 3sen 3/)+C2(scn3t-3cos3l).
O b s e r va ció n. Una vez. hallada la primera solución particular (13) se podría haber escrito inmediatamente la solución general del sistema (11), aplicando las fórmulas X=CIRex,+C2tmx" }. (17) y=C, Re y, C, 1m y,
+
donde Re z y 1m z indican las partes real e imaginaria del número complejo z, respectivamente, es decir, que si 2 = = a + [Ji, entonces, Re z = D, 1m z = b. e) Caso de raíces múltiples. 113
Ejemplo
el
3. Resolver
sistema
~~ =2X+Y}
(18,1)
~ =4y-x
«(8,2)
l.a ecuación
en raeteristiea
(18)
s o I u e i ó n.
2-r
l I ":""0 4- r -
1 -1
+
o bien, r' - ()r 9=0 tiene una raíz múlfiple La solución se debe buscar de la forma
r,=r,=3.
+ f,,/)e3/ t = (A., + ~z{) él' J'
x=p., y Poniendo
(19)
(19) en «(8,1). obtenemos:
+ ~,t.) +
3 (J.., Identificando en el primero
"', =2 (~,
+ ""t)
+ (1... + ",,().
los coeficientes de iguales potencias y segundo miembro de (20), resulta: 3;',
+ J.L, = 2/., +"'2 } 3,.,=2J.L,+f.'2
(20)
de /
(21)
•
de donde
1..,="',+J.l, }. J.l.=""
(22)
Las cantidades ,., y l.t, se mantienen arbitrarias. Jndicéndolas mediante e, y C2, respectivamente. obtenemos la 56, lución general del sistema (18) en la forma: x=(C,
y·=(C, obser
v a ció
+C,t)e51 +C2 +C~)e1'
Fácilmente niendo (Hl) en (18.2) se obtiene En electo, de la igualdad f.'2+3 (~2 IN
11.
+ ~2f)
= 4 (A.,
}
.
se comprueba que poel mismo resultado' (22)
+ 1-12t) -
("', + I-I,t)
obtenemos dos relaciones para' la determinación mediante ,,) y J.t): J.L2
+ 3i", = 4"2
-
Jo)
3JÁl = 4V2 -
de donde
+
J-:¡ =,,) JÁ:,
de 'llT y J.I.~
},
J.L') f.L2 = '1).
3, RESOLUCIOfll DE SISTE~MS DE ECUACJONES DIFERENCIALES MEDIANTE COMB)NACIONES INtEGRABLES'
Este método de integración de sistemas de ecuaciones diferenciales (no necesariamente lineales) consiste en lo siguiente: mediante operaciones aritméticas convenientes (por ejemplo, sumando. restando. etc.) de las ecuaciones del sistema dado se forman las llamadas combinaciones integrables. o sea, unas ecuaciones fáciles de integrar de la forma
p(t, donde
u es
~(I),
...
u,
~~)=O,
(1)
una función de las funciones buscadas
x) (t),
xn(I).
Ejemplo 1. Resolver el sistema
~=L} dI dy
x x'
o
.
Tt=y-
,So t u ció n. Escribamos el sistema XdX=!l'dl} ydy=x2dl
(2)
(2)
en la [arma (3)
.
Sumando término a término, obtenemos: x dx
+ y dg = + y2)di .• '(X2
o bien. á(xl+y')
x~+ ,,'
de donde
I.n(i1
=?dt
-
J
+ !/)=21 + InC). li5
Potenciando, se tiene
x, + y'-C,t?'.
(4)
Restando término a término la segunda ecuación (3) de la primera, obtenemos x dx>- ydl/=(y2_X2)di,
o bien,
d(x'-V') x' _ v'
de donde
= - 2 di,
xt_y'=C,e-'lJ.
(5)
Despejando x e y en (4) y (5). hallamos la solucíén gen~ral del sistema (2): x
= VC,e?1+ e,e-t/,
y=
Vb,t?'_C,e-?',
donde para simplificar se ha hecho -
1
C, ='2C"
-
I
C.='2 C,.
Ejemplo 2. Hallar la solución particular ~~=3x+ 5y, ~ 2x-Sy, Tt=-
}
del sistema
(6.1)
(6,2)
~
que satisface a las condiciones iniciales ,;1_=2, y
y 1/-0=5.
(7)
s o I u ció n. Mulliplicando por 2 la primera ecuación sumándola con la segunda. resulta d'(~t u). =2(2x
+ y),
'de donde 2x+ y~Cle?l, !I =C,e'U - 2x. 176
(8)
Poniendo (8) en (6,1), obtenemos una ecuación llneal para determinar x: Jx = Ti
-
7x
+ se,e-"',
(9)
Dc aqul, (10)
Por consiguiente, y =-
-4- C,e?' -
(11)
2C~-lI,
Las expresiones (lO) y (11) representan la solución general del sistema (6), Para hallar la solución particular que satisface a la condición (7) hay que sustituir en (10) y (11) lAS va' riables t, x e !I por los números O, 2 Y 5. respectivamente. Para la determinación de el y C2, resulta el sistema de ecuaciones
2=C.+'9C 5" 5= -
}
(12)
1..c,2C. 9 "
de donde
C,=9, La respuesta
C:""'-3.
es;
x = 5e'u - 3e-lI !J= - e21
}
+ 6e-U
•
4. METODO DE VARIACION DE LAS CONSTANTES Aqul
ilustraremos
este método
en
el
caso
de tres ecua'
cion es no homogéneas.
Sea
dado el sistema
+ a,x + b,y + e,z = t, (t), + X + b,y + e2,z "'" 1, (t), 2' + aJx + bJ!J + e~z = fa (1).
x,'
!J'
(Li
(1,1) (1,2)
(1)
(1,3)
In
Suponemos que ya se ha hallado la solución general del sistema homogéneo correspondiente y que tiene la forma
+ C + C3.~a,
x = C,.~,
ZX2
}
y=C,!J,+C'!J2+C3Ya' z =G,z, C2ZZ C"Z3'
+
Vamos a buscar neo (1) de In lorma
.
+
una solución
del sistema
.I'=C,(I)x, +C,(I)x2 +C,(I)'~J' y=CI (1) !JI +C2(1) 11,+C3(/)Y3' z
(2)
= el (1) z, + ez (/) z, + C (1) l
no hornogé-
} ,
(3)
Z,.
donde el (1). ez(l), e,(t) son unas nuevas funciones incógnitas Pongamos (3) en (1); la ecuación (1, 1) toma la forma
C;xl
+ C;x + Ch + C (x; + Q.,x + + e,z,) + + e2(X~ + a,.~~+ 1>,!J2 + e,z,,) -1+ C,(.~~ + a"~J + b'YJ + e,z3)=f, (1). 2
I
b,!J1
l
(4)
Todas las sumas que figuran entre paréntesis se convertirán en cero (puesto que (:1) es solución de la ecuación homogénea correspondiente), de modo que tendremos:
C;Xi+C~Z+C~X3=f,(t). Análogamente, tenemos:
(5)
de (1,2) y (1,3), después de poner (3),ob·
e;y, + C;yz + C;'Y C;<" + qzz + C3Z
'2 ({), }
j
=
j
=13 (/).
(6)
El sistema de ecuaciones (5) y (6), lineales con respecto a el. C~, CJ, tiene solución, puesto que 51' determinante ll. =
1;: : :: I '* ZI
2'2
es distinto de cero, en virtud de las soluciones particulares rrespondiente.
liS
O
Z3
de la independencia lineal del sistema homogéneo co-
Una vez conocidas el ((), et(tl, CH!}, integrando hala solución
IIHmo~ e, (tI, e,u). e.(t) y, por consiguiente, (3) del sistema no homogéneo (1).
Ejemplo. Empleando el método de variación constantes, resolver el sistema
~;+ 2x + 4y = I + 41, dy + . TI x-Y=2" 3 l' s o I u ció n, Resolvemos géneo
primero el sistema
~;+ 2.t + 4y = O,
de las
(7)
horno-
}
tly
(8)
dT+x-y=O. Derivando la primera ecuación respecto de 1, resulta
~;:+ 2
~;
+4
~~ = O.
!~
Pero de la segunda ecuación = y - x, por esto obtenemos ti' .. +? dx + dí' - di 4!1- 4x =.O O e l•a primera
ti'"
{ii'l
.. 4 !I = - rlt dx - 2x , d e mo d o que eCUaClO11
ti.. ti" + 2 TI-1Tí -
2.t- 4x=O,
o bien, d'x
dx
"ifi' + di - 6... = O. La solución general de esta ecuación es: .x=C¡e2' +C~-31.
Pero, como enemos u-
179
Sustituyendo C2 por 4C2, tendremos: x=C,e?'+4C.e-3, y = - C,e?' C"e-at.
}
(9)
+
Esta es la solución general del sistema homogéneo (8). Busquemos ahora una solución del sistema no homogéneo (7) de la forma x=C,
(l)e·1
+ 4C2(1) e-3'
}
y=-C,(/)e'U+C.(I)e-J1•
(10)
Después de poner (10) en (7), obtenemos
= I + 4t 1 + C~(I) e-JI ={t2
Cl (t) e21 + 4CZ(i) e-31 -Cl
(1)
él'
De aquí, 1+ 41-61'
Cl(/)=
5
C2(I) =
_21
e,
1+41+.!!.1' 2 5
e3'.
Por consiguiente, C,(I)=
1~3(2
t+}t' C. (/) = -5-
e-u+C,
e3' + C.
1 '
(11)
donde el, c. son las constantes de integración. Poniendo en (10) las expresiones halladas de Cl (1) y C.(t), obtenemos la solución general del sistema (7):
+ 4C.e-St + t + t2 t u=-C,e·'+cze-31-}t2I' x
=>
C,élt
(12)
Obsérvese que las funciones <¡J, (/) = 1+12 Y
Resolver renciales:
812.
':!t
los siguientes
=3-211
de ecuaciones
dile-
}
d
•
_Jf_=2x-
2/
di
~; =x-2y 813.
sistemas
}
d
.
-%=x+3y 814.
~; +3x+
y=O }
Ú
•
,¡~-x+ y=O
x (O) =ti (O) = 1.
d:r I y - 31' . - '2 I / + '2 3 di = 3.t - '2
815.
d
d~
•
=2y- 21-1
~; =-7x+U 816.
}
d
•
f¡ = -
':!t
}
5y
=2:c-
-2x 9y }
817. d ::=x+8y
.
d.
Tt=Y+
Z
dy
818. Tt=Z+x d.
(j(=X+U dx Tt=Y
+Z
dy
819. di =3x dz
Tt=3x+
+Z ti 181
dx
o
7í=<>Y 820.
!!j¡-= di
Tt
2z
= 2.t + 8y
~~ = 2x
- 2z
+y -
2z - /
+2
82J.~~=I-x
f+
ti r
,,; =x+y-z-
dx
Tt=-x+y+2+e 822.
tly
I 1
+ z + e"•
Tt =x - y ,/~
lít=x+!I+z+4 -¡¡¡=xcost dx 823.
~!: J
2
= (e'
}
5}x
tlx, Tt=e-!l-
824.
cly =01' dI
+X _
d d~
3y -.~
=_
X
211
x (O)=900 • !/ (01= 900 .
•
}
x(0)=6,
•
=-
-=!/ a« 826. :~
119
31} .
Tt=3x + Sy dx 825.
•
+ 0- ) Y 1
y(O)=
-2.
} •
x (O) = y (O) = 1.
di
Tt=dx 827.
tlx
4 ( x+!/)
-¡¡¡+4 -¡¡¡=182
}
dy
•
4y
x(O)= 1,
!/(O)=o_
SU}
~;. ='¡.1'-
828.
,1"
.
(jj"=,t
~·;=.I'+!!+I 829.
!I(O) = 1.
~(O)=O.
}
1
'7 • ,~(O) = -
1i' y
(O) =
5
- 9"'
*=.~-2y+21 Ti d x =,t+5y
830.
}
dy
.1'(0)= -2,
,
y (O) =).
-¡¡¡=-3y-l' dI; dy -¡¡¡+2-¡¡¡=17x+8y
831.
}
l/x
.1'(0)=2,
'
y(O)=-1.
13T1 = 53x+ 2y '~~=y 832. ,Ix liT-Ti-x
}
.JJ,_ + y .
833.
x(n)=-I,
~+i!!..=e-I_y di di .1.1'
}
d!J
+ TI = sen 1 -
2 TI
y(ltl-O.
•
x(O)=-2,y(0)=I.
211
2 :1,.; =6S-y-611-1+3} 834.
,x(O)=2.
111
11(0)=3.
%=2y-21-1 lIx -;¡¡=-¡¡
835 .
I}
.!!.t.=i . <
di
836. _d_I_=_É_=_!!L_. ",y - n.' lit - (g 1.'( dx
dy
Jp
1137. -Y=-7=-¡-=-p' 838.
NO' -
1
dI
2XjI
dx
-
~1 =:.~
;:-¡:; =:
mi
lip d. X ~
!J
IlIJ
839. I dx =(1- 2x'l dI I dy=
840
_ •
di
(l_X'l_y'l
=
}.
+ 2.r -
(Ix +Jr¡
,Ix
2/x
=
t)dl rly 2Jy'
841. !!!_=.!!!..=l!!!._. t " Ig 842 .
.!!!... =.!!:._ =!!JL. X!I I!I JX
§ 19. TEORIA
DE LA ESTABILIDAD
l. ESTAB¡LlD.~D SEGUN LlAPUNO\'
Sea dado
un sistema
dx,
di=!¡(x"
x~, ....
de ecuaciones x,p t)
(i=l,
diferenciales n).
2, ....
(I)
(i = l. 2 .... ,n) del sistema (1), que satisface a las condiciones iniciales ",¡(lo) = epiO (i = 1, 2, ... , n) se llama estable segúll Liapunou, si para cualquier f\ > O existe un número oS(€) > O. tal que, para cada solución .1', (1) (i = 1, 2, . , . , 11) del sistema {l ) cuyos valores iniciales cumplan las condiciones Un¡J solución
1 xiC/u} 50
verifica
(jl/(I)
- epi. I la desigualdad
Ixdl)
<ó
-
(i = 1, 2 ..... (i = 1, 2, ....
n). n)
(2) (3)
para todos los valores I ¡;¡, lo. Si para valores de Il > O arbitrariamente pequeños no se cumple la desigualdad (3), al menos para una solución xi(I} (i 1. 2, ... , n), la solución Ij>i(t) se llama ines-
=
table.
Si, en las condiciones (2), además del cumplimiento de la desigualdad (3). se cu.mple también la condición lim Ix¡{I)-<¡J,(l}!=O, (i=l, 2 .... , n), (4) I .. ~
1M
la solución
!p,
(1)
(i = 1, 2, ... , 11) se lI~m~ ostntottcc-
mente estuble. El estudio de la estabilidad de una solución CPi(l) (i 1, 2, ... , 11) del sistema (1) se puede reducir al estudio de la estabilidad de la solución nula (trivial) Xi '"" O (i = t, 2, ... , It) de un sistema análogo al sistema (1):
=
'~r =F¡{x"
X2' •• "
x.,
t)
(i= 1,2,
... , n)
(1/)
=
donde F,(O, O, ... , O, 1) "'" O (i 1, 2, , .. , n). Se dice que O (i 1, 2, ... , 11) es un punto de reposo del sistema (1'). Para el caso del punto de reposo, las definiciones de estabilidad e inestabilidad se pueden formular así: el punto de reposo x, ... (1 (i l. 2, ... ,11) es estable según Liaoüno», si para cualquier O es posible hallar un Ó O talque cualquier solución x,(1) (i = 1,2, ... , nI, cuyos datos iniciales XIO x, (lo) (i = 1, 2, ... , n) satisfacen a la condición
..:,=
=
=
>
1'
<6
se verilica
I x¡(l) I < e
8>
=
(i= 1,2,
... , n)
(2')
la desigualdad (i = 1, 2, ... , Ir), (3')
para
L_-==:E.==~
todos los valores I;;¡' lo. La significación geornótrica para.n = 2 es la siguiente: Por muy estrecho que sea el X. cilindro de radio e con el eje 01, existe en el plano 1 = lo un entorno del punto (O, O, lo), de amplitud las curvas integrales
f'jg. 24
2~, tal que todas
x,=xJ(I) } X2= x.(l) , que salen de este entorno se mantienen dentro cilindro para todos los valores I;;¡' to (véase la Sí, además de la desigualdad (3), se cumple la condición limlx,(I) 1= O (i = 1, 2, , .. , n) la I~
..
dad se llama asintotíca.
de este lig. 24). también establli-
Si para valores de 6> O arbitrariamente pequeños no se cumple la condición (3') al menos para una solución .1',(1) (i = l. 2•.... nI. el punto de reposo del sistema X, _
0(1 = 1.2 .....
n) es tnestubte.
EJemJ>lo. Partiendo de la definición de estabilidad según Liapunov. aclarar si es estable o no lo es, la solución del slslcrna (1) que satislace a las condiciones iniciales .1'(0\ =0. y(O) =0. S o I u ció n. La solución del sistema (1) que satisface a las condiciones inictales dadas es: x(/) == O. !J (1) _ O. Cualquier solución de este sistema que satisfaga a las condiciones iniciales .1'(0) = '\'0. y(O) = Yo tendrá 13 íorma X(I)=
Xocos 1- !losen l.
y (1)= x, sen I
+ yocosl.
Tomemos & > O arbitrariamente y mostremos existe un número 6(e» O lal que. siendo
(1)
que
1.1'0- O 1< 6, Iyo- 01< ó,
se veriíican (as desigualdades 1 x (t) - O 1=1 .1'0 cos I - Yo sen 1 1< e. (5) 1 y (1) - O 1= 1 .1'0 sen I + y~ cos 1 I < e para todos 10$ valores 1 ;;¡." O. En virtud de la definición, esto significará que In solución nula x(l) "'" O. {/(I) _ O del sistema (1) es estable según Liapunov, Se tiene, evidentemente,
1x"cost - Yosen 11.;;;lxocosll + 1Yosen tl.;;;!x" 1 +I Yo1 I.1'0sen t + yocos tl';;;!.rosen t 1+1 Yocos tI.;;;!xo 1+1 Yo! para todos los valores t. Por lo tanto, si Ixol+IUol< e. también será I .1'0 cos I - Yo sen / I < e 1 Xo sen I + Yo cos 11 < 8 para todos los valores l. 186
(6)
(7j
=i,
Por consiguiente, si por ejemplo se loma <'I(e)
entonces, siendo I·tol <6 y 1!lo 1 < 6, en virtud de (6) se cumplirán las desigualdades (7) para todos los valores t:;.. O, ~s decir, que en efecto, la solución nula del sistema (1) es estable según Liapunov. No obstante, la estabil.idad 110 es asintótica. Basándose en la definición de estabilidad según LiapUIIOV, estudiar la estabilidad de las soluciones de las si· guientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones: d.r
843. -¡¡¡=x+l,
x(O)= 1.
844. 71=2/(..:+ 845.
x(O)=O.
~{¡ =-x+e,
dx ') 846. -¡¡¡=_
847.
1),
x(I)=I,
+ 1,
E. di =x
-
~=.!.. tll
t-'>y-
X
(O)= 1. I
13'1 .
l·
,; .
x(O)=!I (0)= O.
I
nJ: . Tt=- x- 3y I 848.
!!JL di =x
~
I
- y
x (O)=!I (0)=0.
2 TIPOS ELE¡\o\I!NTALI!S DE PUNTOS DE REPOSO
Sea dado UI1 sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes
d'; = °IlX + a'2!1 d
+. =
021X
1
+ ai'JY
'
(1)
donde se supone A=
a22 l0"a21 a"1
*0.
El punto x = 0, y = 0, en el que se anulan los segundos miembros de las ecuaciones del sistema (11, se llama punto de reposo del sistema (1) o punto singular. 187
Para estudiar los puntos de reposo del sistema que lormar la ecuación caracteristica
I
au (l,¡1
A.
al2 aZ2 -
A
1=0
(1) hay
(2)
y hallar sus raíces ).,1 y ),.2. Son posibles los casos siguientes: 1. Las raíces y 1.2 de la ecuación característica (2) son reales y distintas: a) "1 < O, )0;2 < O. Punto de reposo de estabilidad asintótica (nodo estable, Hg. 25).
"1
Fig 25
Fig.26
b) )'1> O. ¡'2> O. Punto de reposo inestable (nodo inestable Hg. 26). e) "1 > O, ¡'2 < O. Punto de reposo inestable (punto de ensilladura .. lig. 27).
Fig.27
11. Las raíces imaginarias:
Flg.28
de la ecuación
característica (2) son
'a) p < O, q =P O. Punto de reposo de estabilidad tótica (loco estable, lig. 28). 188
asín-
b) p inestable.
> O.
q =1= O. Punto de reposo inestable fig. 29).
Fig.29
(foco
Fig.30
e) p = O. q =1= O. Punto de reposo estable (centro. fig.3O).
ng.
I'ig. 32
31
=
JlI. L3ii.raices son múltiples. A, í.~: u) Al 1-2 < O. Punto de reposo de estabilidad tlca (nodo estable, fig. 31. 32).
=
FIII·33
1)) l.,
=
eslntó-
fiE. 34
A~ > O. Punto de reposo Inestable
(nodo ines-
table. ¡¡~ 33. 3~). 1811
Ejemplo. Determinar
el carácter
del punto de reposo
(O, O) del sistema d.c =5x Ti
g
Ti= 'fy 2 x+Y
s o I u ció
n. Formamos
I
-1
2
I
6'-
J.: -
"
la ecuación característica
S-A
o bien,
1
-J.
1=
O,
+ 7 =O.
Sus ralces z, =3 + ¡/2' > O,J-2=3- ¡/:r > O, son reales, dlstlntas y positivas. POr consiguiente. el punto de reposo (O, O) es un nodo tnestable. Determinar el carácter de los puntos de reposo para los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: d"
849.
di= ti d~
3 + x y
=-2%+
I
J. 1
Ji"=-x+3y ti
855.
•
7t-=-x+y 2
ds
852.
-¡¡¡=-
X-Yt
1
!J!...=3x- y 7T= dx 3x+7y d d~ dx
'iii' 854. 190
=2x
+ 5g
856.
.
1
857.
•
= -2x + l'5 y
d" -¡¡=7.t -3g
U
d
ti: =x-3g :: =3x d
_J!_=3y dI
l·
•
1
Ti=-x-y ¡Ix d.
I I
,/: =x+y
di
853.
•
dx =3xdi
J
¡
2y
d
j',=x+y
y
dx
851.
Ji"=-x+ dx 850.
¡ •
•
858. ¿Par:] reposo
\0. O)
tfll~ valores de ~ es estable que sigue?
del sistema
2
di=
de
¡
I
dx
di=-3x+o.y l/y
el punto
x+y
J
.
N o t a. Sea dado un sistema les lineales dx,
de ecuaciones diferenciade coeficientes constantes
homogéneas
..
~
-¡¡f-=-'.JD¡¡X¡ i=t
(i=l.
2•...•
(11;;;;'2).
tt)
(3)
Para este sistema subsisten tipos análogos de dlsposición de I~,; curvas integrales alrededor del origen de coordenadas (punto de ensilladura generalizado. nodo generalizado. ele). En este caso, sí las parles reales de todas las raíces de la ecuación característica del sistema (3) son negativas. el punto de reposo de este sistema X, ES O (i = 1, 2..... lt) es asintótlcamente estable. Si. al menos para una raíz de la ecuación caracteristlca, la parte real es positiva. el plinto de reposo es inestable. Ejemplo. ¿Es estable sistema que sigue?
el punto
de reposo
(O. O. O) del
~; =_X+2j úY=_2y_z Úl
de
dí=!f-Z S o l u ció
n, Formamos -1-'0 O· 1
°
la ecuación
O 1 -2-).-1 I
caraclerlstica
I
=0,
-I-J.
o bien, (1 +t..)(_.2+3'A+3)=0.
Las parles reales de las raíces de la ecuación caracte3. ± 1 -2'Va son nega tiivas. p or ns. uica "'1= - l'• "2.3= - '2 consiguiente. el punto de reposo del sistema dado es asíníóticarnente estable. J91
3. EST.~BILlOAO
SEGUN LA PRI.MEr~A ¡\PROXIMACION
Sea dado un sistema
de ecuaciones
ds¡
(jf=f¡(xl•
x.)
X2 •••••
y sea XI ES O (i = l. 2, ...• mismo, o sea.
tilO, O•...
,0)=0
diferenciales
(í=I,
2, ...•
,¡) un punto
(1)
11)
de reposo
del
(i= 1,2, ... , ,¡).
que las funciones f¡(xl. X2, .•. , x ..) son dilerenciables en el origen de coordenadas una cantidad suficiente de veces. Desarrollando las funciones Ji por la fórmula de Taylor, según las Xt, en un entorno del origen de coordenadas, resulta Se supondrá
dXt
"
,..,
Tt= ~ at/x,
+ Rt (x¡,
/=1
donde a.¡ = dftfO.
xz, ... , x.)
g'x, " ..
O)
•
(1 = 1,2 •...•
Y R, son los termines
n), (2) ínüní-
lésimos de segundo orden con respecto a XI, X2, ••• , En lugar de! sistema (1) consideraremos el sistema dX1
~
di ="" a.¡»¡
(i= l. 2, .. " n)
·(au=collst).
x•.
(3)
1=1
denominado sistema de ecuaciones de t,'ra aproximación para el sistema (1). Subsiste lo siguiente: 1. Si las partes reales de todas las raíces de la ecuación caracteristica
a'I-').. Q.¡ll
an,
a'2
ato
aZ2 - ,.
. '.
a,,?
.a~•. a.n -;.
1=0
(4)
son negativas. las soluciones nulas x,,,,,,O (i= 1,2, "', n) de los sistemas (3) y (2) son asintótica mente estables. 2. Si la parte real de al menos una raiz de la ecuación característica (4) es positiva, la solución nula del sistema (2) es inestable. 192
3. Si las parles reales de todas las raíces de la ecuación característica (4) 110 SOI1 positivas, siendo igual a cero la parte real de al menos una rai~, el estudio de la estabilidad según la primera aproximación es. por lo ge· neral, imposible (comienzan a influir los términos no lineales de RI)' Ejemplo. Estudiar
según la primera ap= O del sistema
la estabilidad,
roxtrnaclón, del punto de reposo x = O. !J x,.,.2x+y-5y;. } g=3x +0+ ~ . = ~;,
(i
S o 1 u ció
11.
El sistema
de primera
J=2x+U,
ü=
~n·
aproximación
(5) es
}
g=k+O;
~
los términos no lineales satisfacen a las condiciones neo cesartas, pues su orden es ;;:: 2. Formamos la ecuación característica para el sistema (6): 2-'.
3
1
1 I t _", = O.
i" -
o bien.
Las raíces de la ecuación caracteristica l•• -
3- 1((3 --2--
son
reales
(i)
> O.
y l.,
3", -
Por
I = O.
i.,= 3
(7)
+ ,'-
2 la •
consiguiente,
la solución nula x = O. !I = O del sistema (5) es inestable. Estudiar la estabilidad. según la primera aproximación. de la solución nula x = O. !J O de los siguientes sistemas:
=
.~ =x 859.
+ 2!1-
sen y'
!i=-.~-3!1+x
i =- x + 30 860. . y=-x-4y+
}
l I:
(" T e - I
+ .(.sen g t -cosy
i:=-2x+8senZy} 86 t. !i = x _ 3!1 + 4x3
,
}
.
.
+
.(= 3x - 22sen '/ X2 862. Y. = sen x - •:>y +' e'-'1
-
y3 } . 19.1
+
1
·i =-1 Ox 4eY - ·1COS!/ 863.. 11= 2'e - 2 -y+'" .... t =e 7 x
864..
865.
U=c'
,
+ 2 sen U ~ -
3
3 x x. = - ~
f¡ = - y i =
í xe'
866.
fJ = 2x
!I-
I
~'
}
+I"..x'
+ li'I sen MU 2x + )..'" - ¡/ - 3y + sen ,r2 <)
+ ye
ti = i= 868.
tx-
+
~.
,
I ¡. +.\-' 1,
.!..
~.
3y cos y -
(e' - 1) - 9y
fJ= sx-seny+
I
I II/~
+.r Uf'
X = Sx + JI cos y -
~
.'-
1i~3x+2y+
1
U' cos x ,
1-
I
869.
x J!/
_~
~ i=-:'senx-7y(I-!I)·' 867.
l'
';2 -U~eV
I l'
I ,
4. ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON RESPECTO A LA VARIAC10N DE LOS SEGUNDOS MIEMBROS DE LAS ECUACIONES
Sean dadas las ecuaciones diferenciales y'=f(.\'.
y).
y'=f(.t,
y)+9(x.
(1) g),
(2)
donde las íunclones f («, y) y a (x, g) son continuas en un dominio G del plano XO y y la Iunción {(x, y) admite en este domInio derivada parcial continua Supongamos que en el dominio G
:! '
19(x, U) I';;;e. 194
(3)
Si y = cp(x) e 11= 11' (x) son soluciones de las ecuaciones (1) y (2), respectivamente, que .cumplen una misma condición inicial
entonces,
I
M
=
1"" ~ (e"",-".I- 1),
-Ij>(x)
(4)
l·
max_1 ::
!x.y)<Ea U la acotación (4) se deduce que, si la perturbación de la íunción 6 (x, 11) que figura en el segundo miembro de la ecuación (1) es suficientemente peqeña en el dominlo G la diferencia entre las soluciones de las ecuaciones
Pe
(1) Y (2) será pequeña en valor absoluto en un intervalo Iinito de variación de x, Esto permite resolver aproximadamente ecuaciones diíerenciales complicadas sustituyeudolas por ecuaciones elegidas racionalmente que se resuelvan con mayor íacilidad. Esta última circunstancia puede utllizarse esencialmente para la resolución de ecuaciones diferenciales liga· das con problemas de la ílsica o de la técnica. Ejemplo.
- ~ :;;;; y:;;;;
Hallar
t}
Q{ - ~:;;;; x "" ~;
en el cuadrado
la solución
aproximada
de la ecuación
!J' = sen (xy), que cumple
la condición
(1)
inicial
(2)
111.<"",,=0,1, y acotar el error. S o I u ció n. Sustituyamos la
ecuación
(1)
por
la
ecuación
La ecuación ción
y'=xy
(3)
111_0=0,1.
(4)
(3) con la condición
inicial
.'
(4) tiene la solu-
II=O,I.e', 1)'
195
que para todos los valores de ,~e [- ~; ~], no sale luera del cuadrado fundamental Q, En virtud del teorema de existencia l' unicidad de la solución, la ecuación (1) con la condicién inicial (2) admite una sola solución y = 'Hx) y por solución aprox!, t:
madi, del problema
y = 0.1 . e' .
(1) -- (2) se puede IOI11M
que representa la solución Acotemos la diferencia
(3)-(4).
del problema •
1
, )
(-2~x~2
~=lcp(x)-tj)(,\')I.
... q>(x) =O,I . eT es la solución del problema (3)(4). En el C3S0 considerado ¡(x, y) = xY. por lo cual.
donde
1:~ 1=1 x I~~. Según 111 formula
de Taylor, IzI' I sen z - z I'¡;; -¡¡.
Por consiguiente.
en el cuadrudo .
lsenx!l-xyl~-¡; Utilicemos
Q se tiene:
I xIII'
1
1
<-;¡¡7¡f=384'
la cota (4) tomando e=
.,!.. M = max 1 iJ2l.I=-2' . V
• M)'t
'x.VISQ
Resulta:
~=1 q¡(x) - 1j>(.~)I'¡;; 1~2(e+ "1-
1) <
ok,
xe]-+,{-]. Fácilmente
se observa que (1) - (2) 110 sale íuera del ¿Cuanto se diferenciaran nes dadas a continuación, ción Inicial Y=x, =!Jo en (xo = O)? 870. !J' = _Jf__ 1+.>:
!J'= 19G
la solución ",(x) det problema cuadradu fundamental Q. las soluciones de las ecuaciosi cumplen una misma condilos intervalos considerados
+ x, '
I!.< +x'+O,OI
sen x en
lO, H·
871. y' !I
=e
~ IH',
.""" +
, -= --¡-=:¡¡
c'
cos xv lOH + s ')
[O 2]
en
.
.
I
872. y' =;¡ arctg xy, I
y' =:J arctg xy
+ O,OOIe-"
en 10, 1).
3. CRITERIO DE RO UTli·HUR\VITZ
Sea dada una ecuación diferencial lineal de coeíicientes reales constantes au!f'I+al!ln-I,+ ... +a..y=O (1) (ao, al' ... , a. = const, Clo > O La .sotuctén nula !I El O de la ecuación (1) es astntóticamente estable, cuando las partes reales de todas las ra ices de la ecuación caracteristlca f (1.) !la a~i-.·+ aIJ."-1 + ... Q .. =O (2)
+
son negativas.
Criterio de Routh -
les de todas
es necesario
Hunait«, Para que las partes rea-
las raíces
de la ecuación (2) sean negativas y suliciente que sean positlvos lodos los me-
nores prlnclpales
diagonales
de la matriz de Hurwltz O
O ...
O
a, a,
a~ O
O ...
O
~
a3
al
al
u•...
O
O
O
O
O
O .••
un
(1,
a"
o)
11.
O
O
O
,
l· í
(3)
La matriz de Hurwitz se compone del modo siguiente: En la diagonal principal se escriben los coeficientes del polinomio (2), comenzando por al Y terminando por a •. Las columnas. una tras otra, constan de los coeficientes de subíndices solamente impares o de subindíces solamente pares. Entre estos últimos VII incluido el coeíicíente oo. Todos los demás elementos de la matriz, corres1(17
pendientes a subíndices mayores que cero, se suponen igua les a tero. Los menores diagonales principales Hurwilz son de la forma
6,=a,.
~I,
=1 ~
62
6,.=
o menores
rI
que
de la matriz de
~,I,...
110
¿h= r a, aJ
a.
as a, a,
a,
u. O
aJ
il,!
a,
O
aA
a, aJ
O
O
O
O
O
...
tln
Por lo tanto, la condición de Hurwitz dice: para que la solución y "'" O de la ecuación (1) sea estable, es neo cesario y suficiente que se cumplan las relaciones: 6,>0,
62>0,
... ,6.>0.
Como ó" = a".;\,,_1o la condición por a" > O. Ejemplo. Estudiar de I a ecua ción
ó.
la estabilidad
>O
(4) puede sustituirse
de la solución
!I'v +5y'" + 13y" + 19y' + IO!l=O. S o I u ció n. Formamos la ecuación característica f{A) ""'Al
+
5}.J
+ 13,,} + 191.+ 10=
nula (S)
O.
Aquí, ao = l. al = 5, a2 = 13, a3 = 19, (1, = 10. Escribimos los menores diagonales de Hurwitz
6,=
=11: o
ti.3
I~ 10
5 19
O
O
5
O
13 10
19
1 13 =4240>
O
O
O
lO
~1=424>O, 19 61=5>
/).2=1 195 O.
O.
11=46>
13
O,
Ha resultado que Ó, > O, Ó~ > O, ó~> O, /:;..> O. Por consiguiente, la solución trivial y I!I!I O de la ecuación (5) es aslntéticarnente estable. Los cálculos se pueden efectuar del modo siguiente. Formamos primero el menor superior de Hurwltz Ó •• después de lo cual fácilmenle se escriben todos los menores inieriores Ó._I, .... /:;'" Ahora se pueden calcular sucesivamente/:;." Ó~, etc. Si aparece un menor negativo, la solución es inestable y el cálculo ulterior es superfluo. . Estudiar la estabilidad- de la solución nula de las siguientes ecuaciones:
+ 2y =O_ + 4'" + 7y" t 6y' + 2y = O. !J"' + 5y" + 9y' + 5y =O.
873. y'" - 3y' 874. ylV
875. 876. ylV -
+
2y"'
877. l/'V 7!j'" 878. y'" - 3y"
+ 1/" + 2y' - 21/=O. + 17y" + 17y' + 6y=0.
+ 12-1/'-
10y = O.
879. y'V + 5y'" + IBy" + 34y' + 'lOg = O. 880. l/'V + 7!J'" + 19!1" + 23y' + 10y = O. 881. y'V + lIy'" + 41y" + 611/' + 30y =O. 882. yV+3y'V-51/"'-15y"+4y'+ 883. yV + 7!J'V + 33y'"
+ 88!/'
12y=0. + 122y' + 60y = O-
¿Para qué valores de a será estable la solución nula de las siguientes ecuaciones? 884. !J"' + 2y" + ay' + 3y =O.
!/ + 3y =O. y'" + 2y'" + ay" + 11'+ Y = O.
885. y'V + Qy'" + 21/" + 886.
¿Para qué valores de a, 11 sera estable la solución nula de las siguientes ccuaclones? 887. y'JI 888. y"'
+ o.y" +py' + y =0.
+ 3y'" + ay" + 2y' + ~y = O.
6. CRITERIO GEOMETRICO DE EST,\BILlDAD (CRITERIO DE MIJAILOV)
Sea dada. una ecuación dílerencial orden de coeficientes reales constantes
+
lineal de n-ésimo
+ ... + a.y = O.
(1)
-'+ ... +a,,=O.
(2)
1Zo!!!n) a,y(n-', Su ecuación característica es:
fO,)==OoI:+
alAn
El criterio de Mijáilov permite resolver el problema de la disposición de las raíces de la ecuación característica (2) en el plana complejo y, por consiguiente, el problema de la estabilidad de la solución nula de la' ecuación (1). Haciendo ), = iw, resulta f (/6» = u (6)) Lo (ur). (3) donde 4 1/ (e) "'" an - 0n_26>2 + 0._,00 -
+
v{oo)=an_J6>-
+ ...
an_3w3
...
}.
(4)
La magnitud f{i6», estando fijado el valor del parámetro 00, se puede representar en el plano complejo 1/, v en íorma" de un vector con el ori'11 gen en el origen de coordenadas. Al variar 6> en el intervalo (- 00, + 00), el extremo de este vector describirá una curva que lleva el nombre de Mijállov (lig.35). Como la íuncién I/{ro) es par, la curva de Mijáilo\' es Fig. 3S simétrica con respecto del eje Ou, por lo cual. es suficiente trazar la parte de la curva que corresponde a la variación del parámetro 00 desde O hasta + oo. Si el polinomio [P..), de grado n, tiene m rafees con la parte real posítíva y n - ni raíces con la parte real negativa, el ángulo de rotación q¡ del vector f (i6», al variar (¡) desde O hasta + no, es igual a q>= (n - 2m)T' Esta claro que para la estabilidad de la solución de la ecuación el) es necesario y suficiente que sea m = O. 2{)()
Criterto de Mijáiíov. Para que la solución nula y"" O de la ecuación (I) sea estable, es necesario y suficiente que, al variar ~l desde O hasta 00: 1) el vector l(ioo) efectúe una rotación en un ángulo
+
cp = It
i,
o sea, que M ~ vueltas
en dirección
contra-
ria a la de las llguJas de un reloj, 2) el hodogralo de J(ilJ)) no pase por el origen (O, O). De aquí se deduce que, para que la solución de la ecuación (1) sea estable, es necesario que todas las raíces de las ecuaciones '1(00)=0, v(IJ)=O sean reales y se alternen entre si, es decir, que entre cualquier par de raíces de una ecuación haya una raíl de la otra. !J s
la estabilidad de la solución
Ejemplo. estudiar O de );1 ecuación
+ y'" +4y" + y' + y=o.
ylV
s o Iu e í Ó
ll.
nula
Formamos
1" ecuación
caracleristica
f(í.)=}"+i.3+4},'+~+
l.
Se tiene, [(;(1))=(1)'
-1Cú"-4ro'+
iro+ 1,
4(1)'+ 1, v(w)=-(I)3+(I)=ro(I-(I))(1 II(W)=<~4
Trazamos
-
la curva u=u(oo) } Q = v (00)'
O)
+(1)).
O
u
¡i2 - )fa O
+
O';;;; ro <
+
00
I I
-2
lim (:t+-+~
~=o u
I o I
(Véase la fig. 36). 201
El ángulo de rotación del radio vector
1-.
'1'=
4 '1-=(I~-
2m = 4 Y como n = 4, se tiene m = 0, o sea, todas las raíces de la ecución característica están situadas en el semiplano de la izquierda, .] por lo cual, la solución trtvial y""O es asintóticamenle estable. Pig 3ú Aplicando el criterio de . tvlijá ílov, estudiar la estabilidad de la solución nula de las siguientes ecuaciones:
- 2m}
De aquí que
11 -
y
+ 7y" + 7[1' + 2y = O. + 2y" + 2y' + y = O. 2ylV + t3y'll + 28y" + 23y' + 6i1 = O. 3y'V + 13ylll + 19y" + t Iy' + 2y = O.
889. 2y'" 890. gil' 891. 892.
893. 2ylV
+ 6U'" + 9y"
-1- 6y'
+ 2y = Q.
+ 4y'" + 16," + 24¡1' + 20y = O. 895. U + 13ylV -H3y"' +5ty" -I-40y' + t:1y=O. 896. y"' + Y = O. 897. ylV + u" + U' + U = O. 898. yV + 3[11v + 2U'" + y" + 3y' + 2y =O. 899. [Iv + ylV + y'" + U" + y' + y = O. 900. 2¡¡'V + 1 ty"' + 2JU" + 16[1' + 4y =0. 901. y" + yV + U'l' + y" + y' +U=O. 902. 2ylV + 9y'" + 32y" + 54y' + 20y = O. 9.03. 6ylV + 29y'" + 45U" + 24¡t' + 4y = O. 894. ylV V
904. yV
+ UIV + 2y"t + 2y" + 2y'
905. UVI 906. yV 202
-1- 2!1= O.
+ U,v.+ 3¡p + 2U'" + 1!1" + 2!1' + 2y
+ 2ylV + y'll + Zy" + y' + 2!J=O.
= U.
§ 20. ECUACIONES
CON UN PARAJ\'\ETRO PEQUEÑO EN LA DERIVADA
Sea dada la ecuación
diferencial
,Ix _ f(1 Tt-
e es
donde
Sí.
'(')
}
'¡'iS,
ti}
parámetro,
un
recinto
I!II 1/11
cerraao
de variación
t.
de
x,
e,
la
función F(I, x, e} es eonlinuo COII respecto al coniunto de sus argumentos !I sotisince a las rondiclones de Lipscñd :
respecto a x; I f(t, x" e) -
COII
F(t,
XI'
e} I~NI
xII,
,t2 -
donde N no depende de f. x, e la solnción
de la ecuacion
(1) es una [uncion continua de e. En muchos problemas de la Hsíca aparecen de la forma dx 1 (1, 8Tt=
(2)
x),
don M e cs un parámetro pequeño, Dividiendo por e ambos miembros ésta S~ reduce a la forma ax l f Tt=. (1, de dende se ve que el segundo
tinuo
e = 0, por lo cual
para
teorema
sobre
la dependencia
del parámetro
para
que
de la ecuación
(2).
.e),
(3)
miembro
de (3) es discon-
no se puede aplicar continua
ya el
de 13$ soluciones
8,
El problema nes
ecuaciones
se plantea
así: ¿Cuáles son las ccndtcio-
se pueda despreciar
el
término
8 ':::
en
la
ecuación (2), para valores pequeños de IEI, y como aproo xirnación a la solución de la ecuación diferencial (2) se pueda considerar la denominada "ecuación degenerada" ¡(/,
x)=o?
(4) 203
Para precisar. supongamos que 8> O y que la ecuación degenerada (4) tiene solamente tilla sulución x= q¡(t).
En dependencia del comportamiento de f (t, x) en las proximidades de la solución x = cp(t) de la ecuación (4). la solución x(I, e) de la ecuación diíerenclal (2) para ¡;- O, o bien tiende a la solución x = '1'(1) de I~ ecuación degenerada. o bien se aleja rápidamente de ella. En el primer caso. la solución x =(lJ ele la ecuación degenerada e> estable y puede sustituir aproximadamente a la solución x 11, el de la ecuación (:l) (rig, 37).
Fig.37
Fi¡¡, 38
+.
Si la [unción [(l. x) cambia el signo de - a' la solución x = Cf(L) de la ecuación degenerada (4) es inestable y sustituir la solución x(t, E) de la ecuación diferencial (2) por la solución de la ecuación degenerada (4) es imposible (Hg, 38), Condiciones suficientes:
1. Si (JI ~~
x)
ción degenerada
en la solución x = ",(t) de la ecua-
(4). ésta es estable,
JI. Si iJf~/,) > O en la solución x = cp(l) de la ecuacién degenerada (4), ésta es inestable. Si la ecuación degenerada (4) tiene unas cuantas soluciones x = Cf,(I) (i = 1, 2, .. _, m). se debe estudiar la 204
estabilidad de cada una de ellas mediante los criterios' y 11 expuestos. En este caso, el comportamiento de las curvas integrales de la ecuación diferencia I (2) cuando e - O puede ser distinto y depende de la elección de .las condiciones iniciales (del punto inicial (lo, Xo». Es posible también el caso semlestable, cuando al pasar por la curva x =(t) de la ecuación degenerada y se mantienen en un enlorno de ella para 1> lo. Pero esto es justo sólo cuando no hay perturbaciones de la ecuación (2). He aquí estos criterios. Supongamos que en un entorno de la solución serniestable x = ,f.(I) de la ecuación degenerada (4) la función 1(/. x);;;' O. Si ,p/(l) > O, las curvas integrales de la ecuación (2) que Re aproximan a la curva IC = lo (el punto inicial (lo, )(.0) tiene que estar situado en el campo de atracción de la solución semieslable x = q¡(IJ; si (lo. )(.0) está situado en el campo de repulsión, la curva integral correspondiente de la ecuación (2) se aleja rápidamente de la curva x = (tj se cortarán con ésta. y por la otra parle de la curva x = O para lo"¡;; t < 1, Y '1>' (1) < O para I > 1,. entonces. siendo suficientemente pequeño E, las curvas integrales que parten de! punto 205
(to, .to) , perteneciente
al campo de atracción de la raíz próximas a la curva x = cp(t) para (o 11 < (< 110 ó > O; en un entorno del punto 1 =:; 1) éstas se cortan con la curva x =
x;= cp(t). se mantienen
+
Fig. 40
=
Si, en un enlomo de la solución semieslable x cp(t}; la [unción f (l, x)"';; O, para que sean válidas las afirmaciones expuestas hay que sustituir los signos de la deri'lada ",' (1) por los contrarios. Ejemplo ecuación
J. Averiguar
si la solución
x = x(I, e) de la (5)
e> O, que cumple la condición inicial x a la solución de la ecuación degenerada
t
> lo Y e_'
11=1. = Xo,
tiende
x = t2 cuando
O.
S o I u ció n. Se tiene, ol(1,x) ox
_o(/'-Y)-_I
ilx
-
,
de modo que la solución de la ecuación degenerada x = (2 es estable y, por consiguiente, la solución de la ecuación dada x = x(t. 8), que parte de cualquier punto inicial (to, 1'0), tiende a la solución de la ecuación degenerada cuando s-.Oy t > (o (lig. 40). Puede uno convencerse de esto haciendo una prueba directa. Resolviendo I~ ecuación diferencial (5) corno ecuación lineal no homogénea con la condición inicial dada x·I/.t, = xo. hallamos: I-t.
x(/, e)=(xo206
t~+2elo-
2e~e --.-
+ 12 -
2el
+ 2e2,
de donde directamente
se observa
que, siendo I
> lo, o
sea,
l-fo>Q,
Ejemplo
2.
x (t, e) ~ f2 cuando 8 -- O. Lo mismo para la ecuación e ~~
x (e' ~ 2}.
=;o
Aqul, la ecuación degenerada x(eo' - 2) = O liene dos soluciones: 1) x~O. 2) x=ln2. Se tiene iJIU.x) iJx
I
,r.=ij
=(e"-2+
te')
~
I.\'-0'=-1
de modo que la solución x = O es estable; al~; xl
L"I'"
= (e' - 2
de modo que la solución x rada es inestable Hig. 41).
I
(le ro
+ xe-') '.,>=1,,,, = 21n2 > O, = In 2 dé la ecuación degene-
I
),.~, F.g 42
Fi~.41
Ejemplo
3.
e ~~ =(x-t)2.
=
=
La ecuacién degenerada [x - fJo O tiene la ralz x t de segundo orden. Como en un entorno de esta raíz se liene 1(/, x)l!!!(x-fl'>O.0, la solución x = I es semiestable, y si el punto (1.. xo) pertenece al sernlplano que eslá situado bajo In recta x = t {campo de atracción de la raiz x = {J. la curva integral
x = x(l. e) que parte del punto (lo. Xo) se mantendrá para t :» 'o en un entorno de la linea x = f (lig. 42). Estudiar ta estabilidad de las soluciones de las ecua-
ciones degeneradas
para tas siguientes ecuaciones dileren-
ciales: 907
. =sr=»> '. dx
,"
908. e ~~ =.~(l' 909. e
I~; =
(x -
+ I-
x).
i) (x -
el).
910. e ~~ =x!-(l. dx
911. &/i/=xf, 912. e
I~~
_P_I).
=(x-tl(ln,~
11,< _(91 3. E/i/
I
+ .\,.)2
tí x
914. eTt=x-t+
1.
§ 21. METODO OPERACIONAL y SU APLlCACION LA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
PARA
l. LA TRANSFORMACION DE lAPlACE FUNDAMENTALES EL
OOJE1'O
y
SU
y PROPIEDADES
IMAGEN
Se llama fttncl6n.-objelo una función compleja de variable real f (/) que cumple las slgulentes condiclones: 1) !(I)=Opar,,«O:
2) {(/) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en todo el eje l. a excepción de algunos puntos en los que f (1) Y sus derivadas tienen discontinuidades de primera especie, siendo [irrito el número de tales puntos en cada intervalo ¡¡nito del eje t. :J} al aumentar l. el crecimiento del módulo de la función f (t) 110 es superior 111 de al¡::una función exponencial, es decir existen unos números M > O Y so;;;;' O, tales que
I[(/) I < Me'"
(1)
para todos los valores de l. El número So se llama exponente de crecimiento de la función {(I). Se llama imagen de la lunctén-objeto (según Laplace), la función F(p) de variable compleja p = s jo determinada por la lórrnula
+
..
F(p)=
f
di.
{(I)q-P'
(2)
"
siendo Re p > So, donde So es el exponente ele crecimiento de /(t). La condición (1) garantiza la existencia de la inlegral (2). La transformación (2), que hace corresponder a cada Iuncíón-objeto [(tI su función-imagen F(p), se llama translormacior; de Laplace, lo cual se anota escribiendo:
f (1)
* F(p).
Subsiste el siguiente teorema: Si f (1) f (p), en cualquiera de sus puntos de continuidad la función f(1) se determina así:
*
0+1_
¡(1) = ~¡
f
eP'F (p) dp,
(3)
a_l.
donde a+feo
f
0 ..../00
d+ll)
e"'F(p}dp=
11m b ..
f
ePtF(p)dp
+00 o-lb
(la fórmula (3) se denomina fórmula de inversión par a la transformación de Laplace]:
llROPII:J.l1AOES DE LA TRANSFORM.\CION
OE LA.PLACC
1. Propiedad lineal. Para cualesquiera constantes plejas ct. y ~. se tiene al (1) + M (1) =1= aF (p) + po (p) (aquí y a continuación
se supondrá
=1=O(p). 11. Teorema de semeian za. Para r.x>0
como (4)
que 1(1) =1=.F(p).
g(l)
cualquier
constante (5)
Si í'(f) es una
111. Derivació/l de la [unción·obie/o. íunclón-objeto, se tiene
I' Ge
f (O) .• ¡
(t) =1= pF (p) -
(6)
e r al iza ció n. Si l{l) tiene derivadas contínuas hasta el orden n en (O. + (0) siendo f(nl(/) funciónobjeto. se tiene ¡tnl(/)=1=
11
P"F(p) - pr.-lf (O) - p'-Y (O) -
IV. La derivación
de la imagen
multiplicación de la función-objeto mado con el signo menos. es decir,
...
-
r» (O).
(7)
es equivalente a la por el argumento to-
f'{p)"=-If(t)·
(8)
Gen e r a Iiza e í ó n, (p),,= (-1)"
f{r.¡
V. La integración
I"f
(t).
de la función-objeto
división de la imagen por
(9)
se reduce a la
p:
t
J !(I) di="•
o
F(p) p
(10)
') Aqui y 3 continuación, la notación f(O) tiene el significado siguiente: f (O) = 1(+0) = lim f (~~ 0.1 mismo modo. ('(O) .... . x~o+o ... , /(" - )) (01 son abreviaciones de los límltes a la derecha correspondientes. (Nota del r.)
210
VI. La integración de la imagen división de la [unción-objeto por t:
..
f F(p)dp,,= Teorema
posítivo
'1'.
de la tarlallza.
(11)
/~I)
J F(p)dp
(se supone qne la integral VII_
es equivalente a la
es convergente],
Para cualquier número
se tiene: f{i-'t)Fe-PtF(p).
(12)
VIII. Teorema del despíazamienlo (multiplicación de la íunclón-objeto por una función exponencial). Para cualquier número complejo A. se tiene (13) éll (i) F F (p - 1..). IX. Teorema del producto (E. Borel). El producto de dos imágenes F (p) Y G(p) es también una función-imagen, siendo I
J f(-r)g(i-'r)df.
F(p)G(p),,=
(14)
o
La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de convolución de las funciones (factores] 1(1) y g(l) Y se denota por
,
(f·g)=
f f('r)g(t-'t)d't. o
El teorema IX afirma que la multiplicación genes es equivalente objeto:
a la convoluci611
F(p) G (p)".. ({-g).
X.
de las imáde las [unciones-
(15)
Para que la imagen es necesario y suficiente que la función-objeto 'ti) sea una combinación lineal de funciones de la forma ¡mél (m es un número entero no negativo. A. es complejo) . Teorema de la imagen
racional.
F(p) sea una función racional
...
211
XI.
Cálculo
de la [unción-objeto
cuando
la imagen
es
una ¡raCclÓtl racional. Supongamos que F (p) es una íracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simples es: (16)
donde Mk,. y P. son unos números
complejos.
Entonces, (17)
será una íunción-objeto cuya imagen es la función I'(p). En particular, si lodos los polos de I'(p) son simples, se tiene: (ti) = 1:. M"e"k', (18) donde
•
M. = Res P (p). Pk
¡:~
Si F(p) = ~ es una fracción racional, siendo el grado del polinomio A (p) menor que el del polinomio 8 (p) la Iunción-objeto correspondiente a F (p) es: n
f(I)=
~ I d .-' ~ (ti _ 1)1 lim ~ k k .-)p.dp
(
F(p)(p-
P.)'.
ePI),
(19)
donde IJh son los polos de F(p), n" son sus órdenes de multiplicidad y la suma se extiende a todos los polos. En particular, si todos los polos de F (PI son simples, la fórmula (l~) se simplifica y toma la forma "\.-., A (Pk) Pk' f) (t = J.¡¡¡--"( ).e . ~
p.
Ejemplos: 1. Hallar la imagen de la función unidad (función salto unidad) TJ(1) (Iig. 43): TJ({)= 212
O para { l para
t O.
{20)
de Heavislde
(21)
s o I u ció
n. Según
(2) y (21). si tiene:
w
'](1)*
,.
J• e-p/'l(I)dl=
J
u
o
1 e-P/dL=-¡;(Rep
>0).
Asi, pues,
r¡(i),,=.!.. .
(22)
p
2. Hallar (Hg. 44).
de la función
la imagen
"escalera
regular"
. .0
r-! I
I .....----1 I I
s« 11
I
2a
7 } __
I I
I I I I I
I I I I
fa
~---i
1
1
zr
3r
~f
t
Fig.44
Fig. 43
S o I u e ¡ ó n. Se tiene f (1) Z~) + ...}. Por el teorema
+ '1(1 -
f (1)
I
¡---1
* a (..!. + .!..ep
La expresión entre trica con la razón ésta es convergente
paréntesis
q = e-
de la tardanza,
+
r) resulta
+ .Lp e-2p' + ...).
P'
p
= a ir¡ (1) + '1 (t -
es una progresión
p'.
Como y obtenemos
geomé-
!q! = !e- ,! = e-" < 1,. p
f(l):i=!!..·--I- . • P I -e-P' 3. Hallar la imagen de la [unción es un número complejo arbitrario. S o l u ció n. w
é'
*J u
f(l) = eA', donde
)"
w
e-P/(/.'
di =
I
e-(P-kl'
di = __ 1p-).
u
213
si Re (p - }.)
> O, o
sea. si Re p
iI"*
> Re}"
Así, pues. (23)
P~A'
si 1.= 1. se tiene
En particular.
1
l.
e""'p_l' y si
~=-I. e
4. Hallar
-t
1 ""'p+l' .»
la imagen de la función
,+
Se tiene ch/=.!__,f-.
Solución.
lineal y 1,,, resultados
Aplicando 1<1 prupiedad rrafo anterior, resulta
. 1 (1 chl""'"2 p_1 5. Hallar
la imagen
Solución.
f(I)=ch/, -1
p + p+11) = 11'_1
de la función
del pá(24)
.
f (I) = sen "'/
COS
~I.
Como sen a./'COsIII=i-rsen(<<+p)l+
+ sen
(<<-II) 11,el problema se reduce a hallar la imagen de la [unción sen 001. Se tiene, sen
(t)/
=
d, (e""l -
e-..t,)
*
I (1p-ci>[
*21 por lo cual, sen«lcoslll=:r
.
1
-
1)
p+.,¡
[a+~ pt+(CH'W +
y después
de unas transformaciones delínitivarnente: "
sen al coslll 6, Hallar
'"F
(25)
a-~ W J '
p'+(a
elementales,
resulta
a (pI + (X' _.p') fa' + p' + "')' 4a'll"
la función-objeto
sabiendo I
F(P}= (p'+ 1)" 214
'"
= p'+,.."
que la imagen
es
5 o I u ció
1" método. Aplicando el, teorema del pro-
11.
dudo y la fórmula
p' ~ 1
'* sen 1, se
tiene
t
(p' ~ 1j'
= e' ~
1 • p' ~ 1
'* f sen
T sen (i - 't) d« =
o
I
J
= ~ [cos (2'f - t) - cos tI d't =~(sen I o 2" método, Se sabe que sen t
de derivación
*'
p' ~ 1 •
t cos 1).
Por la' Iérmula
de la imagen (8), tenem~s:
. ( p' +1)'1
-1 sen I =;=
= - (p'
2p
+ 1)' .
De aquí, aplicando la fórmula (10) de in legración funcion-objeto, resulta definitivamente
J I sen t
de la
I
(e'
1 + 1),
•
1 '2
=¡=
dt
= '21 (sen I -
1 cos tj.
o 3« método.
Según la fórmula ,,+1(10
I
J
f(I)=2'11
a-lC13
(19),
eP! dp
,
flkt
(P'+I),=lResCl+I)' Pie
k
donde la suma se extiende a todos los polos de la función
lp'
~t
1)"
teniendo
en cuenta
sus órdenes
de multiplicl-
dad. En el caso considerado, los polos son: PI '" i, p. = - i, ambos de segundo orden, es decir, n, 2 Y n2 = 2, de modo que:
=
=tim...!L,(eP-:-We:']=lirn .!!....[~J= dp (p' + 1)' ....., dp (p + p -tim (p,+IFt .. '-e 2(p+/) -tim (p+/)t-2 e
Res
e",1
(pi + 1)1
p-+l
i)2
pI
p...,.
PI-
(p+i)'
-
P""
(p+W
l-íI
-. 11
=-;¡¡- e . ePIt
Res -('IJ,
+ J )"•
=-
1+(/
--0-", ,11 215
Por consiguiente, ,p,1
2
¡(I)=Res-(
PI+I
7. Hallar
)2
eP,t +Res-(.
I
)~ =-(senl-Icost).
Pl+1
la función-objeto
2
sabiendo que la imagen es
1 (p_I»(P"+
F(p}=
1) •
s
o I u ció n. Descomponemos simples: 3
1
3
F(p)=ap=r-T
1
1
+2'
(p-IJ>
F (p)
en
1 (p-I)'
fracciones
I
-21
1
p+1
1
-3' Hallando f(l) =
-
p-2
p'-p+l'
la función-objeto para cada sumando, obtenemos:
3,3,1, se - T1e +T
12e
I
1+
2fc-l_
-
'3 e"
Va-1
C052
n....!.. +-3-ezsen-r"
+ ,fa-
8. Hallar la Iuncion-objeto, si la imagen es: 2p+3
F(p)= p'+4p'+3p' S o I u ció n. 1" fracciones simples:
Descomponemos
método.
F(p)
en
F(p)='!"_"!"._I __ '!"._IP
Hallando nemos:
2
la Iunción-objeto f(t)=
p+1
para
2
p+3'
cada
l-fe-'-fe-3t-
2" método. Apliquemos la fórmula (20). Como los polos de la función F (p) p,=O, 216
p.=-I,
pa=-3,
sumando,
oble ..
son simples y A (p)= 2p
se tiene
f (1) =
+ 3.
8(p)=pl+
8'(p)=3p2+8p
e"ot
A (pJ B' (PI)
+ B'A (p,) (p,)
ep,1
4p2 +3p.
+ 3.
+ B'A (P.) eP" = (p,) = I - Te-f
- Te-3I.
En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función-objeto
dada:
915.P-2/+2. 916.
+ .41 + 41. 2
/3
917. (1-2)",)(1-2).
918. te:", 919. (1
+ 2) I~t.
920. eh' [11. 1)2el-t 1](1- 1)
921. (t -
922. eol sen ~t. 923. 924.
eSI cos 31 cos 41. e' r.-a, sen (1- a) r¡ (t - a).
925. e'il sen (1 926.
927.
+ f).
eal cos (1 + ~J, ~ > O.
se;1 t
928 . e
-~t
. sen t t'
929. sen 51 sen 21. 930. sen" 21. 931. lehl. 932. I sen t. 933.
tOS
21 cos 4.t.
934. ros' 41. 217
En los siguenles
y hay que hallar 935.
936. (p' _
1 944. ,,'-1
+St>
.'l' (a
es una constante).
.
Pl-'!P
945. p'+4
• ('
-7
kl
•
F"
946.
938.
2 (p-I)(,,-31'
947. p'+9p'+'np+25
939.
31'+ 19 ?p+Sp+ 19 •
940. (p' + 941. (p -
2.
ejercidos están dadas las imágenes Iunciones-objeto correspondientes:
~fJ+3
11'+ 41"
p'+a2
937.
las
,,'+9
.
(p+
948.
I p + 1» • 1 1)1 (p +
949.
I)'(p
+ 2)'
~p+5 1"-6/1+
12 •
+
3.
p'
21"-
3
=i »
2) .
942.
2p' - 2112p 1" -3p·+ 2 •
943.
1 1'1+1'+1
950.
• -/,-,-
•
ECUACIONES LINEALES DE COEFICI_ENTES CONSTANTES
Sea dada una ecuación diferencial orden de coeficientes constantes
lineal
de segundo
+
x" (/) alx' (/) + a1x (/) =f (1), Y las condiciones iniciales x(O) = .tQ, X'IO) = XI. Se supondrá que la (unción ((I) y la solución junto con sus derivadas hasta el segundo clones-objeto. Hagamos las notaciones: x (1) =? X (p),
1(1)
*
orden
+
iniciales
+ +
(p' alP+ aJ X (p)=F(P)+ Xo(p al) XI' Resolviendo la ecuación (3), hallamos la solución racional X (p) = F (p) x, (p +4,) +%, .
+
218
x(f)
son [un-
F(p).
Para la ecuación (1) Y las condiciones In ecuación operacional Ieridrá la Iorrna
p'
(1)
+ a,p + a,
(2). (3)
ope(4)
Hallando la función-objelo para X (p), obtenernos la solución de la ecuación (1) que cumple las condiciones iniciales (2). Análogamente se puede resolver cualquier ecuación de n-ésimo orden de coeficienles constantes con las condiciones iniciales para I = O. Ejemplo
J. Resolver
la ecuación
x"-5.~'+4x=4,
.\'(0)=0,
s o I u ció n. Como 4
'*~y p
-"o = .t(0) = O x, = x'(O) = 2, tendrá la forma
por la condición.
ecuación
operacional
la solución operacional X(p)
Descomponemos ples:
como, la
+ 4) X (p) = ~ + 2. p
(¡? - 5p De aquí. hallamos
x'(0)=2,
2p+ 4 1'(1"'-51'+4)'
=
el segundo X(p)=-'-
miembro,
Pasando cada:
a la Iuncióu-objeto,
Ejemplo
2. Resolver
sim-
2_+_I_.
__ f1
en fracciones
p-l
1'-4
obtenemos la solución
x (/) = I _ 2e'
bus-
+ e".
la ecuación
x' +4x' +4x=8e-2t,
x(O)= 1,
x'(O)= 1.
Solución, Como 8e-2'* P~2 y según la condición Xo Xl = 1, la ecuación operacional tendrá la forma
=
(p2
+ 4p + 4) X (p) =
y, por consiguiente,
p! 2 + p + 4 + 1,
la solución X(
)_ P -
operacional
será:
,,'+ip+ 18 (p+2)' . 21~
el
Descomponiendo ples tendremos:
X (p) =
segundo
(I'!
+ (/>!
2)3
Pasando problema
a la Iunclón-objeto, planteado:
Resolver
las siguientes
miembro
en fracciones
+ l' -~2 .
2)'
+ 31e- + e21
2t•
ecuaciones:
951. x'+3 .. =e-~I,
x(O)=O,
952. x' - 3x= 313 + 312+ 21 + l. 953. x' - x = cos I - sen 1,
+ x =2sen i, + 6.'1 = te:".
.'1(0)= -l.
(O) = O.
Ji
x (O) = O.
t.
x (O) = -
955. 2.'1'
956.. v" + 4x' +3 .. = l.
x(O)=3,
957. x"-2x'+Z.~=I>
x(O)=t.
958. x"-5x'+6x=12,
x(0)=2,
959. x"
+ 3x'
960. s" - 2.1"
+ l = O.
x (O)
.'1'(0)=0.
=
x'(O)
= x'
-2.
x'(O)=O.
961. x"+3x'+2.1'=
10) = ~.
+ t. x(0)=4, x'(0)=-3. + 71 + 3/'. ,~(O)=x'(O)= -1,
963. x"-7x'=-(141+5),
+ 2x' =6/z,
x(O)=Z, x (O)= 0,
x'(0)=8.
x' (O) =
%. I
965. x"+6x'=I,
x(O)=O,
x'(O)=-'36'
966.x" +x=2e'.
x(6)=
x'(0)=2.
961. 7x"+
968. x"-
+..
2t2
962. \"" - 2.\" - 3.r =3
964.. v"
x'(O)=
t = O, x (O)=0.
-
la solución del
obtenemos
x (1) = 4f-e-21
954. x'
1,
14.t'=(t-f)e-?/, 4x'+4x=(I-
x(0)=2,
xl(O)=-k
1)e2/• .1'(0)=0,
x '(0)= t.
t
969. 4x" - 4.~'
sim-
+.\'= eY,
x (O) = -2,
.~' (O) = Q.
970. x"
+ 3x' + 2x =e-' + e-21,
x (O) =2, x' (O) = -3.
=f.
971. x" - x' - 6x= 6eS' + 2e-'''. ;.;(0)=0,
+
.~'(O)
+
972. x" 4x' 4:0:= I'e-", .1' (O) = x' (O) =O. 973. x"-x'=2sené, .«0)=2, .~'(O)=O. 974. x"
+ 9x = 18 cos 3i.
975. x" +4x=4
cos2/-
x (O) =O. 1 "fscII21,
976. x"+2x'+3x=/cosl,
x(O)=-T'
977. x"-2x'+10.~=cos3f, 978. x" -
,t'
(O)
= 9.
I O, .1:'(0)="8'
,1'(0)= I
x(O)=1.
;.;/(0)=0. X'(O)=~~.
+ 5x = 2e" (sen r + cos 1), x (O)= 1,
4,t'
x'(0)=2. 979. x'" - x" 980,
.,IN -
= O,
x (O) = 1, x' (O) =3, x" (O) =2,
ü' = 1, x(O) =0,
981. x'''+x''-2x=5e',
x'(O) = -
x(O)=O,
x'(O)
+,=
x"(O) = O. 1,
.t"(0)=2. 982.
x"
98:1.
.1'''
984. x"
+ x = l! V2 sen ('1 + T)'
.~(O)= O, x'(O) = -4.
+ 4x =2 CO~2 l. 1: (O) = O, x' (O) = O. +.\" = 1, .\'(0) = O. x'(O) = l.
a. SISTeMAS DE 6.CU¡\CIONES DIFEREO\'CIALI'S LI;>;t,¡\LES Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones' dilerenciales lineales de coeficientes constan les
d; =a,x + b,U + t. (1) tly
+ /).¡U + t, (t),
(1)
Tt = a~.t que cumple
las condiciones
x (O)= xu.
iniciales U (0)=
Yo.
(2) 221
Consideremos lag imágenes de las Iunctiones incógnitas. de sus derivadas y de las funciones " (1). (1):
'2
x(I),*X(p).
y (i),* y (p):
x' (/) '* pX (p) - xo, ;1 (/) '* F, (p), )' formemos
el sistema
pX (p)~aIX (p) pY (p)=uzX (p)
y' (I) '* pY (p) - Yo; f2 (t).;e F2 (p)
operacional
+ blY (p) + F, (p) + Xo
}
+ b2Y (p) + F2 (p) + Yo'
(3)
Este es un sistema algebraico lineal de dos ecuaciones con dos incógnilas X(p) e Y(p). Resolviéndolo, se halla X (I}) e y (p), y pasando luego a las Iunciones-objeto se obtiene la solución x(l}, y(l) del sistema (1) que cumple las condiciones iniciales (2). Análogamente se resuelven los sistemas lineales de la forma:
z.... Ejemplo.
}
ti; =-Zx-5y-37t d
que cumple
la condición
·pX(p)=
inicial x(O) = O, grO) = O.
-7X(p)+
pY(p)= - 2X(p)Resolviéndolo,
•
'*~, - 37/9
S o I u ció n. Como 5 el sistema operacional tendrá
222
Il).
Hallar la solución del sistema Tt=-7x+y+5 !Ix
X(p)=
0
-
!; y
Xo
= YrO,
la forma Y(p)
+~
5Y(p)-pi
} 37
•
resulta
+
Sp' 25p - 37 p'(p'+1,2p+37)
,
Y(p)=
- 47 P - 269 pi(p'+12p+37)'
Descomponemos simples
los
y
segundos
t
(p)
=-¡; -
J
J
1
7
miembros
7
en
fracciones
p+5
-¡;t- p'+ 12p+37
o bien X{p)=-¡;--¡;tY(p)=-¡;-prPasando buscada:
p+6
(P+6)'+ p+6
(p+6J'+1
En los siguientes temas de ecuaciones
~;+ y=O
985, d
,!t +x=O
}
.
x(0)=2,
~~+x- 2Y=0} *+X+4Y=0
=: = -
y d~ =2(x+y)
~~+ 2y=
988. d
989.
+ e-6/ sen t
la solución }
.
ejercicios hay que resolver por el método operacional:
986. d
d~
I + (p+6J'+-"
a las funciones-objeto se obtiene
x (i) = I - f - e-G1 cos I Y (1) = J - 7f - e-G1 cos f
987.
J'
}.
'
los siso
y(O)=O.
x(O)=y(O)=
l.
x (O) = Y (O) = 1.
31 } .
x(0)=2,
y(0)=3.
-2x=4
~~+x=y +e' } dy _ ,,x Tt+y-x+e
(O) = Y (O) = 1. 223
e dx dy -;¡¡-+Tt=U+ 990.
d
2
'}
d
d~
•
x(O)= y (O)
+%+2U=cost
= O.
a«
-;¡¡-=y-z tly 991. dT=x+U
.. ~(O) =1, y(0)=2,
z(0)=3.
dz
Tt=x+z dx
Tt=4y+z dy
992.Tt=z
• .1'(0)=5,
y(O)=O,
2(0)=4.
dz
Tt=4y
993.
~;+ 2 ~ + x + U + 2 = O dx dlJ Tt + liT + x + z = O ti.
•
x(O)=y(O)= 2(0)= -2,
dlJ
l.
Tt-2T1-V=0 ~~ 994. d'x
~~ - 2x dy
+ 2y
= 1 - 21
J ,
drf+2Tt+x-0
x (O) = y (O) = =x' (O) = O.
(:;~=y}
995•
.!!:J!...._ dI')
.x(O)=U(O)=I.
x(0)=2.
~:. =X-4V} 996. d'!I
•
di'=-.t+y
di'
221
V'(O)=O.
d"
+ -¡¡¡-=
I
y (O)=0, -
x'(O)=-
d'x dy -;¡¡;+ TI = e, - x
997. ti'!!
x' (O)=2.
-x
J
V3,
Va
y'(O)=T'
x (O) = 1. y (O) = O, •
x'(0)=2,
y' (O) "" _1.
.!!2. + x + ti ... dI"
998. ~-4.~
5
x (O) .". Y (O) =x' (0:':=0 =y'(O)- .
}
_ 3y= - 3
•
dI'
999.
ss: dI + 4y + 2x = 41 + l} .!JL+x-y=-;¡ dI
u: +y dt +x _ ,ft
1000. dy
a ('
•
X (O)
= !J (O) =O.
2x - O 2y = _ 5e' sen
}, x(O)= 2. y (0)=3 . I
RESPUESTAS
33. Si. 34. No. 35. SI. 36. No. 37. Si. 38. Si. 311. Nl>. 40. Véase la Ilg. 15. 45. V•• se la fíg 5L. 41. Véase l. ng. 46. 47. Véase l. Hg. 52. 48. Vense J. llg. 53. 42. Véase la rlg. 47. 43. Véase Ja lig. 48.
49.
H. Véase la lig. 49.
ón.
45. Véase l. fig. 50.
51. Véase la ligo 56.
r.·-I
K-O
fjg. 45 226
11:1
Véase la IIg. 54. Vénse la ligo 55.
{Y I
IS'
Fig.oI7
227
FIII. 48
FIg. 49
228
Fig.50
fig.51
229
Flg.52
Fig.53
230
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231
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84. U=lgIOCx.
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94. X+C=
x. 92.
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109.
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g=l.
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!/=2nk(k~O,
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_ 102.
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1
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y,(x)=2x-lnx;
81. x+!I=C(I-xy).
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y,(x)=2+x-Tx':
80. U,(x)=2;
83. (.>:+II)(X-II-2)+2101'
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79. y,(.<)=2;
2 -2+x+x2-'3X'-T.....
85. 87.
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77.
y,(x)=
;(2
~.
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x'
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69.2.337.70.20.77.76.
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g=-
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I=-~S.
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1/'=2Cx 176.
163.
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178. y=Clnx
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174. y=~ (2x.2+
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177. y=C
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y=Ce-2.
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168. x = Ce -<en 7. x=0.171.
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2.<+0
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145.
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212. /1_ se;".
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x =0:
239. 5.rclgx+2xy=C:
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s = eP fp 258.
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247.
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i + C. 252. g=T
x~
x'l
+ 1) + C
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256.
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255.
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4g'=27a .... 274.
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X=2CP-lnp (/= Cp' _ P
x=2(I-p)+Ce-P .. g_[2(I-p)+Ce-P](I+p)+p'
269.
X=pt-¡;;---p-
-2}
267 ••
217. y=Cx+
2
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x - Cg + C';
278.
2
2
4x = - !J'.
2
+
+
279. x!J- ± ·a'. 280. x T g3 _aTo 281. s xy' = O. 282. x' + y'-2xyy =0. 283. x!J' = y In y'. 284. y' + y' -xy' + y-O. 285. 11"- 2y + y ~O. 286. vil' 2xy' -!J = O. 287.!I" =0.
+
288. l/"+!V--O. x
289.
v-
291. + g = O. Z94.. 2x+ay'=C. 298.
(/=
ax.
yU'_(I+II")3.
290.
!lu-U-o.
+
- Zbx = b'. (b >0). 293. x, ng' = C. 295. sony_be-x. 296. ¡¡'_2hx. 297. xy=C.
292.!J'
si k-2;
xL •.-
L.,
'¡~2 = b
k;42. 299. x'+V'-2bx. x
300. xu'=b. 308·0'=4.<+4. solucione.
304. y=O.
sIngulares.
809. 4xg'- -1.310.
res. 236
312.
302. y=C.-T.
.SOI. p=C(I-coscp).
V=-4'
305. y=O,
807.• II=Xx'
~. 313.
4 g=Wx·.
= O. !I =0.
306. No hoy 308. 4!J
Sil. No hay soluciono. y=O.
y~4x.
314.
+ x·
= O.
s'ngula·
11= :1:1,
~
T
e:.
315. q=:l:2 318. %=úy'+
316. y-¡c.
V--J".X
317.
319. ¡¡-X-
Cyl'l-y'.
xt y' Ii'+¡;;-I.
¡c~ C. 320. II=Cse;¡c+
+ ees e. 321.gl-n_2Scn.<+_2_ +C.1n-I) ••nx.322.x'-6x'V'+ 1 11V' = C. 323. 15r.l' - 24.
+
+
+ 2.<'= C. 32S. 2 + XII'" _ C.-<' + (sen. cos xl e-x'. ~ 1 2' 1 328. x = c. •+ "2/J +"2 + -:¡-. -9r.¡¡'
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327.
326. IJ =
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332.
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337. y'=Cx'+x'.
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352.
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677. VCO .!..(C, + C,x'
x
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In (2.1' 1)] In x).
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675. F=
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x). 678. y-C,x
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C
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x)
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x. 679. y.,.~+C,x+7·
+(.'+2x)ln
x
y=C,coslnx+
681. [6x' - 4-
+ C,x' + 1 + e C
680. Y=7+xf+
y=c,x+c¡X'+C""
I;:: ].
3 (x' - x) 11,
y=C,.-2.r+C,(4x'+I). 684. !I=~+C,(2x-3~ x 665. y-C,x'+C,(.I'+ 1)-.1'. 666.y=C,lnx+C,x. 687.//= -C, sen x+C, sin' x. 666. y=C, cos (sen x)+e, sen (sen xl, 669. y-I+ 668.
+C,X+C, VI+x'. 690. v=C,x,+'s+x<. 691.y-C,(2x-1)+'~+x" x x 692.y=x+C, el+C, sen eX. 693. v=C',+C, sen x+s.n x-In [sen x ]. 694. y = C,+C,ln (.1'.;:1:+In' (.1'+ 1). 695. y-x'+e,x'+c, (2.1'-1), d'x 698. -¡¡¡r=
-;;k
x (x
es la longilud del trozo de la cadena que cuelga),
~/6 ,1= V "i In(G+V35)s,k=g,m-6. d~s
698.
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7.01.'!I=C,cosx+c,senx+sen.r.,nllg(f+i)I-2.
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A nuestros leclor.,.: ·Mi ... edila Ubroa soviéticos traducidos al oopañol, ioglés, francés., bobe y oLtoS idiolDu exlrAnjoros. Eotre ellos figurAD l•• mejores obras do l •• dIstintas raIDas do la clenola -y la técnIca: manuales para los ceDLtoS de enJ8ñaou superIor y eseuol8.!l teenoló¡¡ius; literatura sobro cion.ln naturales y ot'dlcas. TaIDbl6n lI8 Incluyen monografías, libros do dívulgAci6n elentWca 'f cIencia neclón. DlrijaD au8 oplruonesa l. EditOrial "!dir"~ t Rlzh9ki per .• 2. j2,982O.
Moocú, 1-110, GSP, URS::;.
T.A EDTTORli\L Mm PURtI~AlÚ': CÁLCULO
de M. Krasnov,
DE VARIACIONES
G. Makarenko,
A. Kiseliov
Los autores de este libro son MIJnil Krasnov, Grigori Makarenko, cnndidntos • doctores en ciencias lísloo-matem&tiC
en tela con sobreenbicrla.
Gordón V. Y otros
Problemas de geometría descriptiva Este libro ha. sido elaborado de acuerdo con 01 malerial expuesto en el manual de V. O. Gord6n tCuno de geometría descripUvII>, siendo su complemento. Sin embargo, esto no excluye la posIbilidad de u~ili~.r otros manual .. , pueato que para comprender los problemas do dicho libro solamente se requiere conocer las tesis Iundamemeles que debe poseer todo manual. E.ta recopilación muestra el proceéo utilizado para resolver proMomas tipo, .que aclaran lesi. lundamenta!es del curso de geome~ría descrip~iva, dando soluciones detalladas de una serie de problemas. Al fian! del libro se encuentran las re.puestas a los problema" propuestos. Estas respuestas", dan 00 forma taxtúal o gráfica, en ¡unción del carácter de lo. probleui as, La selección de problemas, hecba considerando $U cantidad y contenido, garantl,a el aprendi!Bje del mataríal teérico del curso general de geometría descriptiva. Los problema. de georoetria han sído elegido. según programas que sirven para los estudian les de I.... spscíalidades de construcción de maquinarias, de aparatos y mecánlcó-tecaolégíces de Ioseentrcs de enseñS,Dta técn ka superior.
3A,llA4
no 05blKHOBEHHblM ,[lHEPEHUI1A)lbHbIM 1tPABHEHHSlM HSJl.ATllJIbCfOO
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MOCI(BA
UIKOJlA.
A. Kiseliov M. Krasnov O. Makarenko
PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
CuatUl edición
traducido del ruso por EMILlANO APARICIO BERNARDO candidato A doctor en clencias ílslcc-matemáiicas
EDITORIAL MOSCÚ
MIR
HA HCflAliCKO,"
fl3WKIi
Primera edición 1968 edición 1973 Tercera edictón 1979 (7"orlo edición 1984 Segunda
Imprf/SO
©
tI'
la URSS
TraduCCIón al español. Editoriol Mlr, 1979
TNDICE
§ § § § §
J. 2. 3. 4. 5.
Conceptos Mélodo d. W!lodo de Método de Ecuaciones
§ § § §
6. 7. 8 9.
Eeuaclones h,)mogéri cas y r~duclblu a ella. . . 41 Ecuaciones lineales de primer orden, Ecunciones de llerouu"l 48 Ecuaciones dif4?r~nci.le$ exactas. Factor integran1e 54 Ecuaclones diferenciales d. primer o,den no resueltas Con respecto u la derivada • . . 60 I Ecuación de primer orden y de grado 11 con respecto 8 y' 60 2. Ecuacíones de l. forma /(/1.1/') - O Y /(x. y') = O. 61 3. Ecuaciones de Lagrunge y Clalrau(. 6S Composición de las ecuacrcnes diferenciales d. las ramilias de Curvas. Problemas de trayectorias 68 Soluciones singulares . 74 Diversos problemas 82 Ecuaciones diferenciales de orden superior. Reduccrén del orden de l. ecuactén. . 84 Ecuaciones diferenciales lineales de orden ti 97 1. Independencia hneal d. las tuncrones Determinante de Wronsky (wronskiono) 97 2. Ecuaciones lineales homoC'en.as de cceücientes constantes 107 3. Ecuaciones line.le~ no homogéneas lo cornptclas] de eoeIiclentes constantes . 112 4_ Ecuaciones de Euler . . . . . 124 5. Ecuaciones dllerenciales ltncetes de coeñclenles variables 127 6. Composlcton de la ecuación diferencial dado el sistema Iundarnental de soluciones . . . . 134 M~!odo de lsocllnas poro las ecuaciones diferenciales de segundo orden 137 Problemas d. contorno . 140 lnlegración de la. ecuaciones diferenciales median le series 145
.~
fundamentales 9 isocllnas . 17 Euler 25 aproximaciones sucesivas 28 COn variables separables )' ecuacloues reducibles
~
t
§ 10. § 11. § 12, § 13. 14.
§ 15. § 16. § 17.
•
••
§ '8. Slslemas de ecuaciones
diferencio'es de coeüclentes constanles . • . . . . . . . . . 168 1. Reducción d. UI1 ststems a una ecuacién de a-ésfmo orden 169 2. Método de Euler de inlegracJ6n de un sistema de ecuacíones diferenciales
lineales
homogénea.
de coellcienles
cons-
tantes diante
• 170
.
3. Resolución de sistemas de ecuaciones diferencia combinaciones
les me-
integnlbles
175
In
4. Mélodo de variación de las constantes § 19. Teoría de 13 cslabllldad . . . • 1. Eslabllidad según Liapunov 2. Tipos elementales d. puntos de reposo 3. Eslabilidad según l. primer. aproximación
'~4 • '84 187
'92
4. Eslabilidad de las soluciones de las ecuaciones les con respecto a ,. variación de los segundos de las ecuaciones . . 5. Crlterlo de Roulh·Hurwii~ 6. Criterio
geométrico con un
§ 20. Ecuaciones § 21. Mélodo operactonal ecuaciones
. .
• .
.
.
. t94 . 197 200
.
.
•
derivada.
203
resotucíén
•
.
y sus propiedades
de Laplace
mentales
d. .
• 208
lunda. 208
2. Ecuaeiones lineales de coeficientes constantes 3. Sisfemas de ecuaciones dtlerenciales lineales Respuestas
. •
de Mijáilov)
.
de eslabilidad (crilerlo parámetro pequeño en l. y su aplicación para ,.
dUerencla'es
l. L. transformación
•
diferencia· miembros
.
.
.
•
.
•
.
.
.
. 218 . 22' .
. 226
INTRODUCCION A LA EDICION ESPAÑOLA
El presente libro de problemas es la traducción de la segunda edición de nuestro libro "Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias". Está destinado fundamentalmente para los estudiantes de tos centros superiores de enseñanea técnica y abarca casi todas las secciones del curso de ecuaciones diferenciales para los centros superlores Indicados. El libro contiene 1000 problemas que se deben resolver individualmente. Al comienzo de cada apartado se da una exposición breve de las nociones fundamentales y se resuelven unos ejemplos típicos. Se presta atención fundamenlal a aquellas cuestiones que no están aclaradas con suficiente detalle en los cursos existentes y que, como muestra la experiencia, son difíciles para los estudiantes. Por ejemplo, se expone muy detalladamente el método de las isoclinas para las ecuaciones de primero y segundo órdenes, la aplicación de las sertes a la resolución de las ecuaciones diferenciales, las soluciones singulares, algunos problemas de estabilidad, etc. A Jos autores nos causa gran satisfacclón el hecho de que nuestro libro se traduzca al castellano y quedaríamos muy contentos si encontrase una buena acogida. A. Kiselio» M.
Krasnou
G. Makarenko
§ l. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Se llama ecuación diferencial una ecuación que (Iga 1a variable Independiente x, la función incógnita !Í Y(x) y sus derivadas y'. y" ..... 11.1• es decir. una ecuación de la forma rt». U. U'. y" ..... y('¡)=0.
=
En otras palabras, se llama cCllació/1 diferencial una ecuación en la que figura la derivada o diferencial de la función incógnita. Si la función incógnita y = (I(.e) depende de una sola variable independiente x. lo ecuación dllerenclut se llama ordinaria. Por ejemplo:
1) *+X!I=O. 3) (x'
2)
f/"+y'+x=cosx.
+ !I)dx + (x + yl dy =0.
diferencial l'S el de la derívada de mayor orden que ligura en la ecuación. Por ejemplo: la ccuaclón dllerenctal !I' xy e' es de primer orden; la ecuación diferencial U" I'(.~)fl = O, donde p(x) es una íunclén dada. c< de 2· orden: la ecuación diíerencial.ylX - xy" x'. es de 9' orden. Se llama SOlllCiólI de la eCllació'l diferencial una función y = cp(x). dctcrmlnada en el intervalo (a. 11) junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden 11 inclusive, tal que 111 hacer In sustitución !I = cp(x) en la ecunclén diferencial. -:518. se convierte en una identidad con respecto a x en ~1 intervalo (a. (1). Por ejemplo, ta función !I = sen x cos x es solución de lA ecuación !1ft !I = O. r::n efecto. derivando dos veces esta lunción, se llene: El orde»
de ulla ecnactot:
+ = +
=
+
+
!J' ~ cos x - sen x.
f!"
=-
S~II
X -
cos x,
Sustituyendo en [a ecuación diferencial s" e Y por sus expresiones. resulta la identidad: - sen x - cosx + sen x +cosx ... 0. La gr álica de una solución de la ecuación diFerencial se denomina curva integral de la ecuación. . La forma general de una ecuación de primer orden es. F{x, Si
en.
la ecuación
y, y')=O.
(I)
(J) es posible despejar IJ'
=i (x.
que representa fina ecuación respecto a la derivada.
y', resulta.
y),
(2)
de primer
orden,
resuella.
con
Teorema de existencia y unicidad. Sea dada una ecuación diferencial y' = /(x. y). donde la función J(x, y) está definida en un recinto O del plano XOY que contiene el punto (xo, Yo). Si la lunción f (x, y) satislace a las condiciones: a) í (x, y) es una lunción continua de dos variables x e y. en el recinto D: b) f (x, y) admite derivada parcial continua con res,,1--,.,.---'----"';( pedo de x e y en el recinto D. Q x. entonces, existe una, y sólo una, solución y = cp(x) de la ecuaf'ig. I ción dada que satisface a la cond ición !I J._." = Yo' La condición Y lx-x. = Yo se llama condicién inicial. El problema de la búsqueda de la solución de la ecuación y' = f(x, y) que satisface a la condición inicial U Ix=<. = Yo' lleva el nombre de Cauchy. Gecrnétrlcamente 'esto signilica que se busca la curva int.ég(ár que pasa por el punto dado Mo(xo, Yo) del plano XOY (lig. 1). El teorema expresa las condiciones suficientes para la existencia de solucíén única del problema de Cauchy para la ecuación y' = it», y), pero estas condiciones no son necesarias. Precisamente, puede existir una solución única
%.
10
de la ecuación y' = f (x, U) que satisface a la condición y lx_x. = Yo' a pesar de que en el punto (xo. Yo) no se cumpla la condición a) o la condición b}. o estas dos condiciones simulláneamentc. Ejemplo
1. I
r
r=v
:;=-:,.
AqUi,¡(X.Y)=~,'
En los puntos (xo. O) del eje OX no se cumplen las condiciones a) y b) (la [unción [i«, y) y su derivada par-
Fig.
cial
~~ son discontinuas
en el eje OX),
punIo del eje O~ pasa una = ¡!3 (x - xo)' (lIg. 2). Ejemplo
2. y'=xy
El segundo
miembro
su derivada
parcial
sola curva
mas,
por cada y =
inlegral
+ e-Y.
de la ecuación
f (x, y)
= xU + e-V
:~ = x - e-U son continuas
y
con res-
pecto a x e Y en todos los puntos del plano XO Y. En virtud del teorema de existencia y unicidad, el recinto en el que la ecuación dada tiene solución única es todo el plano XOY. Ejemplo
3.
El segundo es una [unción
U'=T3V"~ y'.
f V"ü2
miembro de la ecuación [t«, y) = definida y continua en lodos los puntos
del 11
plano XO Y. La derivada
f-'u = ..!_
parcial
se hace infi·
l' U
nitn para y = O. o sea, en el eje OX. de modo que para !I = O se infringe la coudlclon b) del teorema de existenda )' unicidad. Por consiguiente, es posíhle que no huya unicidad en los puntos del eje OX. Fécilmente ~e com(x+ <)3 I'ru~b~ quo la íuncién y - --ijes soluclén de la ecuar1 .t
A
y-
cíon
considerada.
A,I~más,
c_
la ccuaddn. tiene la solución evidente y ~ O. Así, pues, por cada punto del ejc OX no palian al menos dos curvas IJ'__ integrales y, por conslguiente. en los puntos de este eje, verdaderamente. queda in". A, fringida la unicidad (Hg. 3). Son tarnhién lineas InFill· 3 legra les las formadas por trozos de las parábolas cúbicas l.•~ el' y los segmentos del eje O,\'; por ejemplo, las
líneas ABOCI• ABD"C., A,/3,x. ele. De este modo. por coda punto del eje OX pasan infinitas lineas Inll!gral<.>s. Aplicando el teorema d~ existencla y unicidad señalar en los problemas que siguen los recintos en los que las ecuaciones dadas admiten ~()llIción única.
¡.
1. y'=x'+
3. !I'=!I+3~ 5, U'=V.~-U
2. y'=.!.... y
y.
4. /1'=
-)(..
6. !J'=I/I-Jl.
7.1/,=y+I, , %-9
8. y' = sen '1 - cos x, 10.
9. !J' = l - ctg 11. Se llama
solución
(2) una íunclén
general !I='Il(X.
que 'depende
de una constante
y,=.rax-y-1.
de la ecuación
dllerencial (3)
C). arbitraria
las. condíciones: .1) &;Ia sáÍisrace a la ecuaclón valores de la constante C; 12
VX=V.
C y que cumple
(2) para
cualesquiera
2) cualquiera que sea la condiciór inicial YI_x. =s; (y(xo) = Yo) (4) siempre se puede asignar un valor Co a la constante. C tal, que la función y = q>(.t, Col satisfaga a la condición inicial (4) dada Se supone que el punto (xo, Yo). pertenece al recinto en el que se cumplen las condictones de existencia y unicidad de la solución. Se llama solución particular de la ecuación dllerencial (2) a la que se obtiene de la solución general (3), asignado cualquier valor determinado a la constante arbitraria C. . Ejemplo 1. Comprobar que la función y = x + C es la solución general de la ecuación diferencial y' = l Y hallar la solución particular que satisface a la condición inicial y 1.-0 = O. Interpretar geométricamente el resultado. S o l u ció n. La función y = x C satisface a la ecuación dada para cualesquiera valores de la constante arbitraria C. En efecto, y'=(x +C)'= 1. Consideremos una condición inicial arbitraria y 1.=•• = = Yo' Poniendo x = Xo. y = !lo en la igualdad y = x + e, hallamos que e = !lo - xo. Poniendo este valor de e en la función dada, se tiene: y = = x + Yo- Xo· Esta función satisface a la condición ini~ > cial dada; en efecto, poniendo / _0 ~-?:\"K X=Xo resulta Y=Xo + Yo w -Xo = Yo. Así, pues, hemos demostrado que la función y = x + C es la solución general de la ecuación dada. En particular, poniendo Xo = O, Yo = O, obtenemos la Flg. 4 solución particular y = x. La solución general de la ecuación considerada, o sea, la función y = x + C. determina en el plano XOY una familia de rectas paralelas de coeficiente angular k = 1. Por cada punto Mo(xo, Yo) del plano XOI' pasa la única curva integral: y = x + Yo - xo. La solución particular !J = x determina una de las curvas integrales, a saber, la recta que pasa por el origen de coordenadas (fig. 4).
+
-JJ '(' 13
Ejemplo 2. Comprobar que la (unción y = Ce' es la solución general de la ecuación y' - y = O Y hallar la solución particular Que satisface a la condición inicial yl,., =-1. S o l u ció n. Se tiene y = Ce«, y' = Ce'. Poniendo en la ecuación dada las expresiones de y e y'. resulta. Ce> - Ce' _ O, o sea, la función y = .Ce' satisface a la ecuación considerada para cualesquiera valores de la cuno
slantc C. Asignemos una condición inicial arbilraria y 1... " =Yo. Sustituyendo en la función Y = Ce'. x e !/ por xo, Yo, se llene Yo = Ce-", de donde e =Yr/i-x,. La función y = = !Ioe'- r. satisface a la condición inicial. En efecto. poniendo X=Xo, resulta Y=Yol!"-"= = yo. La función Y = Ce' es la solución general de la ecuación dada. Para Xo = 1, Yo = -l. obtenemos Ia solución particular y:;a - C','(-I. -q lO
-~
I ,
Geométrlcarnente, la solución general determina una familia de curvas integrales que representan las gráficas de funciones exponen~ ciales; la solución particular es la curva integral que pasa por el Fi!r. 5 punto Mo(l. -1) (Hg. 5). Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:
I
11. y= $e~x, 12. y
xy'+y=cosx.
= Ce-2• + 1- e~,
!I-t~y+e~. 13. y::.2+C¡!I+xL
(1- x2)!/
+ xy=2x.
vr::-xr. yy' = x _ 2~3.
14. II"'PX
14
15. 11= e", eeenc<.
xU' == U tg In y.
<
J ePdt+Ce<.
16. y=e<
.
v'-g=e<+"'.
11
xv' ,.,.U+ X sen x.
sen /
J -¡-di,
17.y=x
O
18.
II=X(J ~
x=cost} 19. y=sent
x=/e'
20. y=e-'
dx+C).
}
+ yy'=O.
x
.
'
(1
x=earelJtt
+ xy) y' + y2
c=
O,
}
21. y=e-.,«Io'
.
x =1 In t 22. y=/2(2Inl+
y-
+
x=t+arcsent l'
y=Z-
xy'=O. rl Y In4=4x
}, 1) ,
.t=lnt+senf 23 . y =t (1 sen 1) 24.
xy'-U,=xe"
V-I
-
}
+ cos t 1 /2'
• X
.
x= In U'
= y'
+ seny'.
+ arcsen
11'.
1
x=/'+e' 25. y={-13+(t-l)e'
• y"+ev'=x.
Verificar que las Iunctiones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas: 26. y
e , = o;;;x
27. Y = - 3x
y' -
1
+ c'
28. !I=lo(C+ex).
29. Y-=Vx2-Cx. 30. y = x (e -
tg x . Y = O. 1/' = 31f.
y'=e·-v. (X2+y2)dx-3xgdy=0.
lo I x 1),
(x - v) dx
+ x dy = O. 15
31. x = !JCC!I+I,
!JI
32. .r ={/In Cy, La relacíón
=
(In./'
X
In y) •
11'(x + !/) "'" {l· y. C) = O. que de forma Implícita
de-
termina 1a solución general, se llama íntegral general de la ecuación diferencial de primer orden. La relación que S~ obtiene en la integr-al general al atribuir a la constante C un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. El problema de resolución o de integración de una ecuación dilerencial consiste en hallar la solución general o la integral general de la ecuación difererrcial considerada. Si. además, se ha dado alguna condición inicial. se pide íurnbien hallar la solución' partlcular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipolentes. siderar
además también
á
Comprobar
~~ =j(x.
de la ecuación la ecuación
ddx
!I
=_,(
1
X.!i
!I) se
)
si las relaciones dadas son integrales de diferenciales indicadas o no lo SOI1 (e =
las ecuaciones = consl.}:
l.
33. e-Y-Cx= 3 4. !l' ,le = '7
+ I =C',
xy'
+ 7' . xy dy + i/• dx = xds . 35. ,,3 - 4x~y + 2xy2 - y3 = O. (3x' - 8xy + 2!f2)dx - (4.1" - 4.101/+ 31/') d!l 36. y2 + 2Cx = c~, Y!I,1 + 2.rg' = y + I 2
.J
37. ardgf-1n(CIIX2+y2)=O, (x
+ y)dx
- (x-
y) dg=O.
.e
38. x=!/
39. x
J senI d/.
y = XIJ'
2
o
s0111 f -I-dt=y o
xy' IG
.
con-
Iny.
+ x In y = x sen x + y In!l.
+ yO sen x'.
=0.
§ 2. METODO
DE rSOCLINAS
La ecuación y'=[(x,
y)
(1)
determina en cada punto (x, y) donde existe la Iuncién i t«, y). el valor de y', o sea. el coeíicienle angular de la' tangente a la curva integral en este punto. Si en cada punto del recinto O se ha dado el valor de alguna magnitud, se dice que en el recinto O está definido el campo de esta magnitud Por lo tanto, 111 ecuación diferencial (1) determina un campo de di reccioncs. La terna de números (x, !I, 11') determina la dirección de una recta que pasa por el punto (x, !I). El conjunto de los segmentos de estas recias es la representación geométrica det campo de direcciones. El problema de integración de la ecuación dilerenciul (t) se puede Interpretar asl: hay que hallar una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma dirección que el campo en este punto, Frecuentemente. el problema de la construcción de las curvas integrales se resuelve introduciendo las lsocllnas, Se Ilama tsoctina el lugar geométrico de puntos en los que las tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una misma dirección. La lamilia de las isoclinas de la ecuación diferencial (JJ se determina por la ecuación
f (x,
y) = k,
(2)
donde k es un parámetro. Dando al parámetro k valores nurnér icos próximos dibujarnos una red bastante compacta de isoc1inas. sirviéndose de las cuales se pueden trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuación diferencial (1). . . O b s e r v a ció n 1. La isociina nula f (x, y) = O proporciona las lineas en las que pueden estar situados los puntos de máximo y de mínimo de las curvas integrales. Al trazar las curvas integrales, para mayor exactitud, hallan también el lugar geométrico de los puntos de in1-442
17
flexión,
Para esto se halla V" de la ecuacion
¡/' ~ =~ax -1- ~V' (1tl Y se iguala
= 2L ()~
+ f(r.
I
a cero. La linea determinada ,JI <1/ (iX+f(x, V) uu =0
es, precisamente.
el lugar geométrico
(1):
y)!!L (]!I
(3)
por la ecuación
(4)
de los puntos
de in-
flexión. si éstos existen Ejemplo 1. Sirviéndose de las isoclinas, trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuación dilerencial yf = 2x _ !/. S o I u ció n. Para obtener las ecuaciones de las tsoctinas, ponemos y' = k (k = const). Se tiene: 2x-y=k.
o bien,
y=2,t-k.
Las isocJinas son rectas paralelas. Para k = O se obtiene ta lsoclina !I 2x. Esta recia divide el plano xa y en dos partes, en cada una de las cuales la derivada ,¡ !iene un mismo signo (Hg. 6), Las curvas integrales. cortándose con la recta y = = 2x. pasan de la región de decrecimiento de la función y a la región de crecimiento de
=
-f"'ff.~'ffH--"'~
::n~i.S~~
Yc;t~ce~:~~:. ~ore~~
cuentran los puntos extremales de las curvas integrales, los plintos de mínimo, Consideremos otras dos isoclinas: k=-l,
y-2x+1
y k= l. 1I=2x-1.
Las tangentes, trazadas a
Fij¡, 6
las curvas
puntos d'e' intersección forman
con el eje
ax
18
en los
ángulos de 135° y 45°, respectivala segunda derivada: 11" =.
}iallelnos .. ahora = 2-g' = 2-2x + y.
mente.
integrales
con las isoclinas k = - I Y k 7 1,
La recta y = 2x - 2. en la que .!lN = 0, es la isoclina que se obtiene pata k = 2, 'f a la vez es una curva íntegral, de lo que puede 'uno convencerse sustituyendo en la ecuación. Como el segundo miembro de la ecuación considerada f (x. y) = 2.~- Y. satisface a las condiciones del teorema de existencia y unicidad en. todo el plano XOI', las demás curvas integrales no se cortan con esta isocllna, La ísoclina y = 2x, en la que se encuentran los puntos mínimos de las curvas integrales, está situada .sobre la isocllna y =2x - 2, por lo cual. las curvas integrales que pasan por debajo de la iscclína y = 2x - 2 no tienen puntos extrema les. La recia y = 2x - 2 divide el plano XOY en dos parles. en una de las cuales (la que está situada sobre la recia) !I' > 0, y por lo tanto, las curvas integrales tienen dirigidas hacia arriba sus concavidades, y en la otra, u" < 0, y por consiguiente. las curvas integrales tienen sus concavidades dirigidas hacia abajo. Como las curvas integrales no se cortan con la recta y 2x - 2. ésta no es el lugar geométrico de los puntos de inflexión. Las curvas integrales de la ecuación dada no tienen puntos de inflexión. La investigación realizada nos permite trazar aproximadamente la familia de las CUf\'3S integrales de In ecuación (lig. 6).
=
Ejemplo 2. Trazar, aproximadamente. las curvas integrales de la ecuación dtíerenclal y' = sen (x + Y). empicando el método de isoclinas. S o I u ció n. Poniendo y' = 11, donde k = const, se oh tiene la ecuación de las isoctinas sen (x !I) = k. siendo -1 :o;:; k :o;:; 1. Para k = 0, se tiene sen (x Yl = O. de donde
+
y=-x+nn
(n=O, ±I,
:!:2, ...
+
1.
(1)
La5 tangentes a las curvas integrales en sus puntos de Intersección con estas isoclinas. son horizontales. Determinemos si las curvas integrales tienen extremos relativos en las isoclinas y = -x JlI1, Y cuáles son: máximos o rninímos. Para esto, hallamos la derivada segunda
+
y"=(l l'
+ y')cos(.r + y)=[1 + Sen (x + y)Jcos(x + y). 19
Para y
= -); + n/l, o sea, + sen nn) cos
y" = (1
si x lIfl
+ g = nn, se
tiene:
=cos "n = (- 1)"
Si 11 es par, resulta, y" > O. y por consiguiente, las curvas integrales tienen mínimos relativos en los puntos de Intersección con las isociinas y = -); nn, donde n = O. ±2, ±¡~, ... ; si TI es impar, resulta, y" < O, Y las curvas integrales tienen máximos relativos en los puntos de intersección con las isoclinas y = -x nTl, donde n = =±1,±3 ..... Hallemos ahora las isoclinas:
+
+
k=-l,
sen(x+!I)=-I;
y=-x-~+21tn
(2)
k=I,
sen(x+y)= 1;
y=-x+~+2n/l
(3)
(n=O. ±I, :!:2, .' .). Las isocllnas son rectas paralelas con el coeficiente angular igual a -1, o sea, que se cortan con el eje OX formando con éste un ángulo de 135°. Fácilmente se com-
i+
prueba que las isoclinas y =- x 2nn (n = O ±, ± 1, ... ) son curvas integrales de la ecuación diferencial considerada (para esto, es suficiente poner la [unción
1/=-x-i+2nn. El segundo función f(x, y) del teorema de del plano XOY, tan y por ende,
-i + 2nrt.
en la ecuación (1)). miembro de la ecuación dada, o sea, la = sen(x y), satisface a las condiciones existencia y unicidad en todos los puntos por esto, las curvas integrales no se coro no se cortan con las isoclinas U = - x-
Por otra
+
parte,
la derivada
y" se anula
si
+ sen (x + y) = O, o sea, cos(x + y) = 0, o sea, en las
en las isoclinas (2), y si isoclinas (2) y (3) Al pasar (de izquierda a derecha) por las isoclínas (3), !J" cambia el sigrio de más a menos. Por ejemplo, si se considera la "franja" cdmprendída entre .Ias isocllnas y = -x e y = I
= -~ +=
+T
n', resulta que en la ísoclina y =- x se tiene y" O; bájo la isoclina, y" > '0, o sea, la concavídad de las curvas integrales está dirigida hacia arriba, y sobre la· íscclina. y" < ·0, o sea, la concavidad de las 20'
curvas integrales está dirigida hacfjl abajo. Por lo danto, las isoclinas (3) representan el lugar geométrico de IQs puntos de inflexión de las curvas integrales. Los datos obtenidos permiten trazar aproximadamente la larnilia de
Pig. 7
las curvas integrales de la ecuación dada. Para mayor exactitud. se deben trazar también unas cuantas isoclínas (lig. 7). Ejemplo 3. Aplicando el método de las isoclinas, Iralas curvas integra les de la ecuación y' = y - X2 2x - 2. S o I u ció n. Pongamos yi = k (k = consl). La ecuación de las isoc1inas es:
+
zar
+
!J -
x,
+ 2x -
2"", k.
o bien,
U = x2 -
2x
+ 3 + k.
Las ísoclmas son parábolas con el eje vertical de simetría x = 1. Entre las isoc!inas no hay curvas íntegrales. En electo, poniendo en la ecuación dada y = = x' - 2x 2 k. !I 2x - 2, se tiene, 2x - 2 = x, - 2x 2 k - x' 2x - 2, o bien, 2x - 2 = k. Pero. cualquiera que sea el valor de k, esta igualdad no puede verificarse idénticamente con respecto a x. Sea k = O. En este caso, las curvas integrales tienén tangentes horizontales en los puntos de intersección con la isoclina y = x, - 2x 2. La isoclina k = 0, o sea, la parábola y = X2 - 2x 2, divide el plano XOY en dos
+ + + +
= +
=
+ +
21
partes: en una de ellas y' < O (las soluciones decrecen). mientras que en la otra !J' > O (las soluciones crecen). Como esta isoclina no es una curva integral, en ella están situados los puntos de extremo relativo de las curvas inlegr
+
+
= A-2 -
2x
+ 3.
Y k = - l.
g=x' - 2x + l. son iguales II 1 Y -l. respectivamente. Para averiguar las dlrecclones de las concavidades de las curvas integrales. hallemos la derivada segunda. Se tiene. y" - y' - 2..: + 2 = g +2.t - 2- 2x 2=y-
+
x'+ x'.
Esta se anula solamente en los puntos situados en la parábola y ... Xl. Las curvas integrales tienen sus concavldades dirigidas hacia abajo (gil < O) en los puntos del plano XOY cuyas coordenadas satlsíacen a la condición U<xt, 'J sus concavidades dirigidas hacia arriba (y">O), en los puntos, donde U > xt. Los puntos de interseccién de las curvas integrales con la parábola !J = x2, son los puntos de inílexién de éstas. Asi, pues. la parábola !I = x2 éS' el lugar .geométrlco de los punlos de inflexión de las CUFva~.integrales. . El sefúlldo míembro de la ecuación inicial f(x. y) = .. ~ !/ _. j;. +.2x - 2" satistace' 3 las condiciones del teoreina .dj!' exístencía y unlcldad en todos -10'5 puntos ·del plano .XOy., por 19 cual, por cada punto del plano pasa, una 501'acurva-Integral de la ecuación, I'i¡. 8
22
Aplicando los resultados oblenldos, trazamos aproximadamenle la familia de las curvas integrales de la ecuación dada (lig. 8). O b s e r v a ció n 2. Los puntos de intersección de dos o más isoclinas pueden ser puntos singulares de la ecuación diferencial (1) (o sea. puntos en los que el se· gundo miembro de la ecuación (1) no está delínido). Examinemos la ecuación Uf La famill'a de las 0=
f.
f
Isoclinas SI' determina por la ecuación =k. Esta' representa una familia de rectas que pasan por el origen de coordenadas. de modo que en este punlo se corlan las isocllnas que corresponden a diversas pendientes de las tangentes 3 las curvas integrales. Fácilmente se observa que la solución general de la ccuaclón dada es de la forma U= y que el punto (O. O) es un punto singular de la ecuación diferencial. En este caso. las isoclinas son curvas integrales de la ecuación (lig. 9). Ejemplo 4. Aplicando el método de las isocllnas, trazar las curvas integrales de la ecuación
ex
2L_.!..=..!.. ds
-
S o l u e ¡ó n. Poniendo!(
II+S'
= k(k = const},
la ecuación de la familia de las Isoclinas
obtenemos
J!...=..!.- •.
II+X-""
Por lo lanlo, las isoclínas son rectas que pasan por el origen de coordenadas O (O, O). Para '1 = -1, obtenemos la lsoclina IJ = O (el eje OX): para k = O, la isoclina !I = x: para k = l. la isocllna x = O (el eje OY). Examinando la ecuación "Invertida" a« y+. dg
== Ñ -
x •
hallamos la Isoellna U = - x, en todos los puntos de la cual, las curvas integrales tienen tangentes verticales. Todos las Isoclinas de la ecuación considerada se cortan en el punto (0,0) (punto singular de la ecuacién). 23
Sirviéndose de las isoclinas curvas inlegrales (lig. 10).
obtenidas
trazamos
las
Flg. 10
FIII·9
Aplicando el método de las isoclinas. trazar las curvas integrales de las ecuaciones diferenciales siguientes: 55. y'=2xy 56. y'={1 - y)(lxl 57. !J' =sen (!J - 2.x)
40. y'=X+ 1 41. y'= x+!I 42. y'=y- x 1
43. !J' = '2 (x - 2y
+ 3)
44. y'=(y-l)' 1)...
46. !J' = x, -
y'
48. y'=y49. y' = x,
60. y' = !-=-!. y
61. y'=_~
(x - y) ...'
+ 2x -
62. y' y
=
I
y+
..-1
64. y'=y
'51. g'=
"+!I x-y
65. y'=!p
52.
l' -
5S. g'=254. y'=
1
1
63. yl .... X
50. y'=
y'=
y
59. !J' = !I - x'
45. y'={y47. y' =cos
58. !J'=x~+
=y1
xy
66. y'
y
67. y'= I +y'
1- ¡r.
!lB.
u'= x
+ 2x
§ 3. METODO
DE EULER
Con este método se puede hallar en el segmento [xo, b] la solución aproximada de la ecuacién V.' = l(x, V) que satisface a la condición inicial vl%= =Yo. El método de Euler consiste en sustituir por una quebrada de segmentos rectos la curva it;l.tegral buscada de la ecuación dllerenclal que pasa por el punto Mo(xo, Yo). Dividamos el segmento [xOo b] en n partes (no necesariamente iguales) por los puntos Xo < .tl < X2 < ... < < Xn = b. Tracemos. por el punto inicial Mo(xo, Yo) de la curva integral, una recta MoM de coeficiente angular {(xo, Yo), hasta ~I punto MI (XI, Yd de intersección con la recta x = XI. La ordenada del punto MI se determina por la Iórmula YI = Yo + f (xo, Yo) (XI -
xo)·
Tracemos por el punto MI (XI,' yl) una recta MIMz de coeficiente angular f (XI, yl) hasta el punto M2{X2, Y2) de intersección con la recta x = X2. La ordenada del punto M, se determina por la fórmula
y,= y,
+ ({XI'
YI)(X2
-
x,).
De modo análogo se determina el punto Ms(x" y,), etc. La ordenada del punto M" (.~", y,,) se determina por la lérrnula Los valores aproximados de la solución de la ecuación dada en los puntos XI, '<2, ••• , x. SOI1; !II, Y2, •.. , !In. Haciendo la construcción correspondiente se obtiene una quebrada, denominada quebrada de Euler, que representa aproximadamente la curva integral que pasa por el plinto MO(XD. !lo) (lig. 1I j. Generalmente, para facilitar los cálculos y las acotaciónes se divide el segmento [.100, bJ en partes iguales y se hace la notación /¡ = x~ - X,._I' La magnitud J¡ se llama intervalo de variación del argumento.
Se puede demostrar que, cumpliéndose ciertas condiciones respecto de la lunción lts, 1/), para It - O la solución aproximada proporciona la solución exacta de la ecuación dada que satisface a la condíción inicial !J 1,_•• ~ Yo' Ejemplo. Apl icando el método de las quebradas de Euler, hallar en el segmento [O, 1] [a solución aproximada de la ecuación 1/ = 2x - 1/ que satisface a la condición 111.=0 = X,} = - 1. Dividir el segrnen1./ lo [O, 1) en 10 parles iguales y comparar los valores Fig. 11 de la solución aproximada en los puntos de división con tos valores respectivos de la solución exacta y = 2x - 2 e-x. S o I u ció n. Los valores de las ordenadas l/k en los puntos M. (x., I/~) se calculan por la íórmula
+
+
f (Xk-" YIo-,) (Xt (k= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10).
YA = Y.-I
-
X._I)
En este caso, !(Xh_', IIk-') = 2x._, - !JA-I Y las diferencias. x,- Xo = X2 - XI = ... = x,o - Xo = h = 0.1, puesto que se ha dividido el segmento lO, 1] en 10 parles iguales y, por consiguiente. !JA=Y',-' (2Xh_lI/k-I) ·0,1, k 1.2 •... 10.
+
=
kl··I~kl ". O 1 2 3 4 5 6
o 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0;6
O 0,2 0,4 0.6 0.8'
-1
-0,9000
-9.7000
-.0,6710 -0,5439. -0:4!l95 1,2 -0,2686 p;7; 1,4 -0 ..1217 -0.03047 O,~ 9 -0.187~ 10 -0.34~.
~
26
1.0
.~;g':'~ ~:o
".
-Yk
1 1,1 1,19 1;271. 1.3439 1¡4095 1.468fi 1.5217 1.6695 1.61'26
I
F'.-u•• o.r 0.1 0,1100 0.1190 0.127'1 0,13439 0.14095 0.14666 _ 0.15217 0;16695 0.16126
b'1t+1
-0.900 -().7900 -0,6710 -0.5139 -0.4095 . ~0.2686 0,1217 0.03047 0,1874 0,:1~86
l·k-
2x.-H
.x.
-1 -0.8052 -0.7813 -0.6592 -0,5297 -0,393); -0,.2512 -O,IQ34 0,0493 0.2066 0.3679'
Los resultados de los cólculos se escriben ·en una tabla, en' cuya última columna se señalan los valores
0,4095
+ 0,39351=0,0160;
el valor del error relativo es: • -
O,Olrlo ._ - • o'•. 1-0,40951 -, O 039 _.,
u-
Aplicando el método de Euler y empleando In regla de cálculo, resolver los problemas siguientes: 69. Hallar para x = I el valor de la solución de la ecuación y' = xly 2 correspondiente a la condiclón ínlcial !11_o -= O (h = O, 2). 70. Trazar. aproximadamente, eu el segmento (1, 31. la curva integral de la ecuación y' = x +!1 que pasa por el punto M (1,2) y calcular y (3) (11= 0.2). Para las ecuaciones que siguen, formar una tabla de los valores de la solución que satisface a la condición inicial dada en el segmento indicado:
+
71. y'=f,
y(I)-I,
72. y' = ~xy,
u (O)=
73. y' = .~2 +
!l,
74. r¡'= 1+
Xl/2,
75. y'=
1-
%~
y',
(1,4)
("=0,5).
[O, Ij
(h=O,I).
y{O)=O,
(O,IJ
(h=O.I).
{¡(O)-O,
to,
y(O)=
{O, 11,
1,
1,
l)
(/¡=O,I). {II=O,I). 21
§ 4. METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS
Supongamos que se pide hallar la solución 11 = y(x) de la ecuación diferencial y'=f(x.
que satisface ~ la
condición
!I}.
(1)
inicial (2)
Y 1..... , = Yo·
Supondremos que en cierto rectángulo D {I x - x.1 < Q, 1 y - Yo 1 < b} con centro en el punto (x •• Yo), para la ecuación (1). se cumplen las condiciones al y b) del teorema de existencia y unicidad de la solución del problema (1)-(2) (véase la nág, lO). La solución del problema (1)-(2) se puede hallar por el método de aproximaciones sucesivas que consiste en lo siguiente:
Se forma una sucesión de funciones minadas por las relaciones reiteradas
{!In (xll. deter-
x
Yn (x) =Yo
+ J ¡(1, Y._I ({)( dI,
(/t
=
1. 2 •...
).
(3)
"
Por aproximación nula yo(x) se puede lomar cualquier Iunción que sea continua en un entorno de! punto x = Xo; en particular, y.(x) "'" Yo, donde Yo es el valor inicial de Cauchy (2). En virtud de las hipótesis que se hacen con respecto a la ecuación (1). las aproximaciones sucesivas {y" ('i)} convergen hacia la solüéíón exacta de la ecuación (1) que satisface a la condición (2) en cierto intervalo Xo - h < x < x. + h, donde h=min(a.
~}.
M = rnax D 1 f (x. !lH
(x., ..
28
(4)
La cota del error cometido al sustituir la solución y(x) por la aproximación n·ésima y,,(x) es: M·N,I-1
ti
I y(x) -Yn(x)I<;--",-h donde N
= ,s,max ylsO
exacta (5)
,
I ul' [. iJlf"
Por el método de las aproximaciones sucesivas hay que detenerse en una n de modo que IlIn+1 - y'o I no supere al error permitido. Ejemplo, Empleando el método de las aproximaciones sucesivas, hallar la solución aproximada de la e~u~ción g' = x'
+ y2,
que satisface a la condición inicial 111=0 = O en el rectángulo -1 <; x <; 1,-1 <; g';;;; 1. S o 1 u ció n, Se tiene If (x, y) 1= x + Y. ~ 2, o sea, M = 2, Tomamos por h el menor de los números a = I b I 1 Según (4), las aproximaciones M=2' o sea," =2" sucesivas
convergen
en el intervalo
I
- 2'
< x < 2"1
Estas
son: I/o(X)=O: y,(x)-=
r(t2+Y~dl= o
El error absoluto 8 la magnitud
I y, (X)
x;;
de la tercera -!J (x)
1';;
aproximación
*(+y
no supera
27 =~; 29
En este caso, N=
mgxj
~t1='mgxI2!J
1=2.
En los siguientes ejercicios hay que hallar tres aproo xlruaciones sucesivas: 76. y' - x:' - 11; Y 1,,__ • - o. 77. IJ'=x+.r/; IJ Ix=-, ... 0. 7S.
fI'=x+y;
79.
y' = 2y - 2x' - 3;
y 1..." =1. l/l •..., =2.
SG, xy'=2x-y;
y 1.....
=2.
§ 5. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS
La ecuación diferencial de
{(I
forma
~(y)dIJ=f(x)dx
(1)
se /lama eCllación con uarlables separadas
Las ecuaciones de: la lorma i¡)r(X) ",,(y)dx='I',(x)"'dy)d//,
(2)
en las que los coeficientes de: las dilerenclales se descomo ponen en lactores qué dependen solamente de x o solamente de Yr se llaman ecuaciones con variables separabIes. _DJ-vi.dicndopor el producto '1>. (Y)ql2(x) éstas se reducen a ecuacloñes con variables separadas: 'l'. (.<) dx- <= ~. (y) dy '1',(.<) '4>, (v) •
(2')
La integral
general
J
de esta ecuación
J
dx-
Cf,(X) Cf, (xl
tien~ la Iorma
"';($) dy=C..
(3)
,¡" (v)
.pI (y)
O b s e r v a ció n. La división por dar lugar a que se pierdan las soluciones anulan al producto .p, (Y)
particulares
puede que
~
:~=f
(ax
+ bU +' e),
donde a, b y e son constantes, se reduce ,a una ecuación con variables separables haciendo la sustitución z=ax+by Ejemplo
1. Resolver 3e' Ig ydx
+c.
la ecuación
+ (2 -
~)sec"
S o I u ció n. Dividimos ambos ción por el producto tg !l' (2 - ex) 341' d.t 2- e<
+
Ha resultado una ecuación tegrándola hallamos:
ydy =0. miembros
=O
seo' y dy tl1l1
de la ecua-
.
con variables
separadas.
in-
- 311112- eX 1+ ln l tg !l1=C,. Efectuando
la potenciación,
_lIlli_ .r12-0'1' =t:"',
obtenemos: o bilen
I
~
IR U
I
=e e '.
De aquí, Igy
(2-.''>' Designando
=+.J'.
_e-o
± eCo = C, se liene:
(2:::1' =C,
o bien,
t¡¡-y-C(2-exj3=O.
Hemos obtenido la integral general de la ecuación dada. Al dividir por el producto tg y. (2 - ex) se suponía que ninguno de los [actores se convertía en cero. lgualaudo cada factor a cero, obtenemos, respectivamente: y=kIt
(k=O.
±I, ±2, ... ), x=ln2. 31
Sustituyendo en la ecuación inicial comprobamos que y = kn y x = In 2 son soluciones de esta ecuación. Estas pueden obtenerse formalmente de la integral general haciendo e = o y e = oo. Esto significa que la constante C se sustituye por ~" después de lo cual, la Integral general loma la forma
¿ (2-e")3=Q,
tgy-
o bien,
Cztgy-(2-e7"=O;
haciendo en la última igualdad C. = O, lo que corresponde a C = 00, tendremos (2 - e··)3 = O: de aquí obtenemos la solución x = In 2 de la ecuación inicial. En consecuencia, las funcliones y = kn (k = O, ±l, ±2, ... ) y » = In 2 son soluciones particulares de la ecuación dada, Por consiguiente, el resultado final es Ig y - C (2 - e )3 = O. X
Ejemplo 2. Hallar la solución particular
de la ecua-
ción
que satisface a la condición inicial y I~=o = 1. S o I IJ ció n. Se tiene: (1 +eX)y
~~ =e'.
Separando las variables, resulta: e" dx I +.x'
ydy=
Integrando, hallamos la integral general y; = In (1 -
+ eX) + C,
.
I
Poniendo en (1) x.=O, tendremos 2=ln2+C, -
I
( 1) de donde
C=2-ln2. Poniendo este valor de C en (1). obtenemos ·Ia integral particular hallarnos:
• y-=In
+ c')~+ l.
(-2I
de
donde
la
solución
particular
buscada
es':
y =
=Yln(I'/t+l. Ejemplo 3, Hallar ción
de la ecua-
partlcular
la solución
y'senx=ylny, 'que satisface
'iniciales siguientes:
a las condiciones a) y I
"= e,
..(-7
s o I u ció
b)
YI
=rn ~
1.
n, Se tiene ~~ sen x = gln y,
Separamos
las variables ,Iy
¡¡Ing
Integrando,
dx
=SiñX'
hallamos la integral Inllny
1=ln!tg
general fl+,nC.
Después de potenciar, obtenemos: Iny=C·lg'I' que es la solución a) Pongamos
.
x
o bien,
general
ahora x
.
y=e
C·tll.!. 2
de la ecuación considerada. c·lg~ y = e; entonces, e = e".
n = '2'
~~
De aqui que C= 1. ASI, pues, y=e '. b) Hallemos ahora la solución partlcul ar de la ecuación que satisface a la condición inicial =-f = 1.
Y!
=
C·lg.!
Poniendo C = O en la solución general y e', obtenemos la solución particular buscada. Obsérvese que cuando se obtenía la solución general. In constante C liguraba bajo el signo del logaritmo. por lo cual, e = o se puede considerar como valor límite. La solución particular y = I está comprendida entre los ceros del producto y.ln y·sen x, por el cual dividimos ambos miembros de la ecuación dada. 3-442
33
Integrar
las ecuaciones:
+ X2)tiy =0.
81. (1 +y~dx+(1
82. (1 +!J~)d.t+.tydy=O. 83. (y2
+ xy2) y' + x2 -
yx2 = O.
84. (1 +y2)dx=xdy.
+ y2 + yy'VI + x2 =0.
85. xVI
86. xVI-y2dx+yVI-x·dy=O. 87. e-~(l +y')=
YI,_~=1.
1 yl_,=1.
88. ylnydx+xdy=O, 89. y'=a<+Y (a>O,a*
1).
90. c'(1 +x2)dy-2x(1
+eg)d.t=O.
+ eX) yy' = eV. y 1.t=O= o. + y2)(é.t d x - .egdy) - (1 + y) dy = O. 93. (xy' - y' + x- 1) dx + (x'y2xy + X2+ 2y- 2x + 2) dy =0. 94. y' =sen (~- y). 95. y' = a.t + by + e (a, b, e - const). 96. (x + y)' y' = a 91. (l
92. (1
2•
97. (l-y)e"y,+__L_=O.
x In x
98. (1
+ y')
99. X!¡2(xy'
V 1 + y'
dx ={y -
+ y) = a2•
3
)(1
+ X')2
ti!!.
100. (xV + l)dx+2x'dy=0. (la sustitución xy = t). 101. (1 +X2y2)¡¡+(xy_ 1)2xy'=O. (la sustitución xy = t).
+
+ .e] dy = O + 4xly)dx + (xy2-4x3)dy=
y+ :1: -.·2) 'dx +. (xV (la sustitucíón xy "'" t)
1Q2. (X2y3
10.3. (x'G_ 2x5
+ 2x~-¡f
(la susfltución
y c. lx). (x
104. y'
+ y)m
+ I = (x + y)n + (x;'
v)P •
O
105. (Inx + ya) dx - Sxll d¡¡... (J. 106. (x.y + 2xyIn1.u+ ylny) dx + (2x2lny + x)dy=O (la sustitución xlng=I). 107. y-xy'=a(1 1'18. (a2
+X2y').
+ yi) dx + 2x V ax.-
.é dy=O.
ulx_=O. 109. Uf
+ sen
.. ~ y = sen .. -; y •
Ejemplo 4. Hallar una curva que pase pcr el punto. de medo que la pendiente de la tangente. en cual. quiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en 3 unidades. S o 1 u ció n. Basándose en el significado geométtíco de. la primera derivada. obtenemos Ia ecuación. diferencial de la familia de curvas que cumplen la condición pedida, (O,-2),
:~=u+3.
(1)
Separando las variables e integrando. obtenemos la solución general (2) Inl!/+3r-x+C. Como la curva buscada tiene que pasar por el punto (O,-2). o sea. (3) /11....0=-2. de (2) determinamos el valor de C correspondiente a esta curva; 111.1-2 31 = O + C. o sea, C = O, de modo que x = Inlu + 31. de donde
+
y=-8±e'.
En virtud de la condición (S), se debe tomar el signo más; U=e" - S.
Ejemplo 5. Un depósito cilíndrico de volumen Vo está lleno de aire atmosférico. que se comprime de un modo adiabático (sin intercambio de calor con el medio que le rodea) hasta que su volumen se hace igual a V tCalcular el trabajo invertido durante la compresión.
~
~
s o I u ció n. Es sabido que el proceso caracteriza por la ecuación de Poisson .L
_(..!::.!t). V
Po -.
adiabático
se (1)
'
donde Vo es el volumen inicial del gas, Po es la presión inicial del mismo y k es una magnitud constante para el gas dado. Designemos con V y P. respectivamente, el volumen y la presión del gas en el momento en que el embolo estaba situado a la altura h; )' con S, el área de la superficie del émbolo. Entonces, a I descender el émbolo en la magnitud dh, el volumen del gas disminuirá en la magnitud dV = S dIJ. En este caso, se realizará el trabajo dW = - pSdh o bien. dM = - pdV (2) Hallando p en la ecuación de Poisson (1) Y sustituyendo en (2), obtenemos la ecuación diferencial del proceso: P
dW=Integrando
(3). se tiene:
W--
En virtud tenemos
Y.
Po o
f
v. -
W'
=
1)1'.-'
W
+c .
lv_v. = O.
(4) de (4) ob-
PoV. k-I
adiabática
[(~°r-'-I).
(desde (5)
'Povo [('Vo)k-' _ 1] . V,
. '. , ,¡jo....Hall a t, unacurva .que pase • I
(3)
pov~
de compresión
W= :~~
V =. V.. resulta:
av,
(k-
inicial
c=-
Para
v·
dI' _
de la condición
Por lo tanto, el trabajo v, hasta V) es:
~.o
k-I,
por el punto (O. -2). de.medo qU'~:'el,"~oe[iciente angular de la tangente en cualquietá de, -sus puntos- sea igual a la ordenada del mismo punto. .aumentada tres veces. 36
t 11. Hallar una curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas X = O, X = x, sea una función dada de y:
Q "'" a'ln ~. 1 J 2. Un punto material de masa Igual 8 1 g se mueve en linea recta debido a la acción de una fuerza que es dlrectamente proporcional al tiempo, calculado desde el Instante I O, e inversamente proporcional a la velocidad del punto. En el instante t = 10 s la velocidad era igual a 50 cmls, y la fuerza, igual a " dinas. ¿Qué velocidad lendrá el punto al cabo de un minuto del comíenzo del movimiento? 113. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante, es una circunferencia .. 114. Una bala se Introduce en una tabla de Ir = 10 cm de espesor con la velocidad Vo = 200 mIs traspasándola con la velocidad VI = 80 mIs. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad. hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. 115. Un barco retrasa su movimiento por la acción de la reststencia del agua, que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es 10 mls, después de 5 5 su velocidad seré 8 mis. ¿Después de cuánto tiempo 1~ velocidad se hará 1 mIs? 116. Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola. 117. Según la ley de Newton, la velocidad de enírlamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura To del aire. Si la temperatura del aire es de 20' e y el cuerpo se en fria en 20 min desde lOO" hasta 60", ¿dentro de cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta 30'? 118. Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente ele la recta que. une este punto con el origen de coordenadas.
=
37
119. Determinar el camino S recorrido por un cuerpo duranle el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 s el cuerpo r-ecorre 100 m y en 15 s. 200 m. 120. El londo de un depósito de 300 litros de capacidad. está cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la dilerencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg de sal para 3 litros de agua') y que la cantidad de agua pura dada disuelve 1/3 de kg de sal por min, hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora. 121. Cierta cantidad '!le una 'substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg de sal. Actuando con 90 litros de agua se observó que durante I hora se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional, a' la cantidad de sal no dlsuelta y a la diferencia, entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg para 3 lilros). 122. Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes de coordenadas se divide por la mitad en el punto de contacto. 123. Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg de humedad. se colocó en una habitación de 100 mS de volumen. donde el aire tenia al prlncíplo el 25% de humedad. El aire saturado. a esta temperatura, contiene 0.12 kg de humedad por 1 roa, Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedará al Hnalizar el segundo día? N 6 t a, La humedad contenida en una substancia porosa se evapora 8'1 espacie quela rodea con una velocidad que es proporcional a la cantidad de humedad que hay eh I,a substancia y \!S tarnblen proporcional a la dilerencia eñtre ,la. humedad del-alee que la 'rodea y la humedad del
aire eatutado- - ,
,
, i24. Gieríª canttdad de una substancia indisoluble que - conlJe'rié en'sus'peros. ~A,g de sal' se somete a la acción de ,~OIltros: de .agua- D.es'pués "de',5-min 'se dtsuél.ye ·l kg de S¡¡1. ¿Uentro"'~e"i:uárito,: tiempo se disolveré el 99'% dé la c'!nlitlad'inipíal de sal> 38,
125. Una pared de ladrillos tiene 30 cm de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura d~ la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared: si la tem· peratura en la superficie interior de la misma es igual 'a 20° y en la exterior. a O°. Hallar también la' cantidad de calor expedida por la pared (por I mI) al exterior duran te un dia. N o t a. Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagación del calor a través de una superlicie A, perpendicular
.
,
dT
al eje ·OX, es: Q = - kS dí'
.donde
k es el
coeficiente de conductibilidad térmica: T. la temperatura; 1, el tiempo y S. el área de la superficie A; (11 = 0,0015).
=f
126. Demostrar que la ecuación :~ con la condi· ción inicial yl,,-o = O tiene infinitas soluciones de la foro ma y ex. Esta misma ecuación con la condición inicial YI_o = Yo .¡. O no tiene solución alguna. Trazar las curo vas integrales. t 27. Demostrar que el problema
=
~ =s", tiene al menos dos soluciones IX
U 1... -0=0 para O
= 1. Trazar las curvas integrales para 128. Hallar la solución de la ecuación ~~ =Ulln!tr
(11
Y una para
a =~. 1.
rel="nofollow"> O),
que satislace a la condición Inicial y 1... _0 = O. ¿Para qué valores de a tiene solución única? 129. Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y'
+ U Ig x = x Ig x + 1
en los puntos de sus intersecciones con el eje OY son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY. Integrar las siguientes ecuaciones diíerenclales: 130. cos y' = O. 131. e~'= l. 132. seny'=x. 39
133.lny'=x. 134. tgy'=O. 135. e'·=x. 136. (g y' = x, He aquí algunos problemas en los que se necesita hallar la solución particular conociendo el comportamiento de la solución para x - eo, Ejemplo. Hallar la solución de la ecuación rseny·y'=2.
(1)
que cumple la condición !I~Tcuando
x ....
(2)
OO.
s o I u e í ó n. Separando las variables hallamos la integral genera I de la ecuación
e integrando, (1):
I
cos Y-
xr+C.
La condición (2) nos da: cos
1- = e, sea.
e = O. De
este
= :'
modo la integral particular tiene la forma: tOS y A ésta le corresponden infinitas soluciones particulares la forma I !I=±arccosxr+2nrt,
n=O, ±I,
±2,
'"
de (3)
estas soluciones hay solamente una que cumple la condición (2). Esta se halla pasando al límite en la Igualdad (3) para x - oo. Resulta: Entre
-r = ± arccosO
+ 2nn,
o bien,
i = ± T + 21t11.
De aquí que (4)
Fácilmente Yn =
se observa. que (4) tiene dos raíces:
t; la
raíz
11
=
t
que corresponde
IL=
O
al signo menos
ante
are cos?-
no vale (n tiene que ser entero o igual a
cero). Por lo tanto, ecuación (1). es:
la solución .
particular
de la
buscada
1
Y = arc cos 7' En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuacion-es que cumplen las condiciones' indicadas para x - ± oo. 16
x_,.+
137. x'y' cos y + 1=0, Y-a n, 10
1, Y-'all,
138. x'y' +cos2y= 139.
.!.4
y'-seny=l, l.
eY=e{J/!I+
1,
7
!I
= 2x (tc
+ y),
144. x2f/+sen2u=l,
y es acotada
para x-++oo.
I1 es acotada U es acotada I!
Y-TTt,
Una Iuncion {(.t, g) es homogénea argumentos si se cumple la 'identidad
para x-+oo.
para
x -+
00_
x->+oo.
§ 6. ECUACIONES HOMOGENEAS y REDUCIBLES
f (I.t,
oo.
y-2tc,x-+-
142. (x+ I)y'=y-l, 143.
+ ee ,
x-.oo.
y_5Tt,
140. (l+x2)Y'-2cos'2y=0, 141.
x ....
00"
A ELLAS
de grado
11
en sus
(y) a In, (.t, y).
+
Por ejemplo, f (x, y) = X2 !J~ - xy es una función homogénea de segundo grado, puesto que f (Ix, fy) = = (t.t)' (IV) 2 -(tx)(tg) t'(x? 92 - xy) = t2/{x, y).
+
=
+
41
Para
ti
= O. se ücne , ,una [unción de grado cero. Por
y,
ejemplo. f (x. 11)= :.~ grado cero. puesto Que
I (tx.ly)=
es una función homogénea
(I~)'- (ly)'
t (~t -l/t)
x' -
('x)'+(ly)'
"(xi+.!I'l
..'+y'
Una ecuación diferencial
de la forma
de
y'
=f(x.
:~ =f(x.
y). y) se
llama homogénea si f(x. y) es una función homogénea de grado cero en sus argumentos. la ecuación homogénea siempre se puede representar en la forma
~=~(f)· Introduciendo ecuación rabies:
(1)
una nueva función incógnita
u=
(1) se reduce a la ecuación con variables
f.
la
sepa-
du X7X=~(II)-U.
Si 1I = 110 es una raiz de la ecuación cp(u)- 11 -= O. la solución de la ecuación homogénea es. 1/ = l/o. o bien. y = Uo'" (recta que pasa por el origen de coordenadas). O b s e r v a e j. ó n. Al resolver las ecuaciones homogé· neas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución 11 IIX. Las ecuaciones de la forma
=
(2) se reducen a homogéneas trasladando el origen de coordenadas al punto (Xo, Yo) de intersección de las rectas
alx +b,1I +e, =0 Esto se consigue haciendo
y
atx+~1I +e.=O.
la sustitución de las variables:
x = f, + xo.
11= 11
+ Yo'
El método indicado no es aplicable cuando las rectas alX blU el = O Y a,x b2u e2 = O son paralelas. Pero. en este caso.
+
42
+
+
+
y la ecuación (2) se puede escribir err la forma dI!
-¡¡;- =
~.(O,X + b,y) +el]e,
f [ a,x + b,g +
=
F (
a,x
+ b ,y ) ,
(3)
estudiada en el §5. Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma P (x, y) dx +Q (x, y) dll='O. será homogénea si !,(x, y) y. Q(x, y.) son .runcíones hornogéneas de un mismo grado. A veces, la ecuaclén se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = za. Esto ocurre cuando todos los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y, y el grado a - 1 a la derivada !!1!...dd• •f Ejemplo t. Resolver la ecuación xy' = V x. _ y2
+ y.
S o I u ció n. Escribamos la ecuación en In forma
!f=yl
-(ff +~. f
Como la ecuación es homogénea, hacemos ti = o bien, y = tlx. Entonces, y' = xu' + 11. Sustituyendo en la ecuación las expresiones para y e y', obtenemos x ~: =VI-u'l, Separamos las variables du
VI-u'
dx
=-;-
De aqul, integrando hallamos: arcsen s ee ln] x 1+lnC,(C, > O), o bien, arcsenll=lnC'¡.t1. Como C,I x 1= ± C,x, haciendo la notación ± C, - C, obtenemos arcsen u = In Cx,
donde l ln Cx 1";;;%. o bien, e2
" ";;;Cx,.;;;e"f. " Sustituendo
por ~
general
tendremos
la integral arcsen
,.
~ =In ex.
Por consiguiente, la solución general es: y = x sen In Cx. Al sepa rar las variables dividíamos ambos miembros de la ecuación por el producto x VI - u2, por lo cual. se podrían perder las soluciones que convierten en cero sus factores. Pongamos ahora x y V I - u' = O. Pero x = no es solución de la ecuación, debido a lo cual re-
=
°
sulta,
I - ~x: = 0, de donde
°
y = ± x. Con
una
prueba
directa nos convencemos de que las funciones y = - x e y = x son soluciones de la ecuación. Estas .son soluciones. singulares de la ecuación dada. Ejemplo
2. Resolver
la ecuación
(x+y-2)dx+(x-y+4)dy=O. S o I u e j ó n. Examinemos gebraicas lineales:
(1)
el sistema
de ecuaciones
al-
X+Y-2=0} x-y+4=0 El determinante
.
de este sistema
¿\=I: -: 1=-2*0. El sistema tiene solución única: Xo = -1, Yo = 3. Hacemos la sustitución x = i - 1, Y = " 3. Entonces, la ecuación (1) loma la forma
+
(~+~)~~+(G Esla es una ecuación
homogénea.
Tj) d" =O. Haciendo
nemos. ,,(;f. Eu) ds +(6 - ~u) (~du -de-donde :
+ uds)
11 =
= O,
Us,
obte-
Separamos las variables
!!i+
s
Integrando. Inl t
1
d
I-u
+2u
u' u=
O
.
hallamos
1 1+ 2"lnll + 2u- wl=
Volviendo a la variables
JI.
(.~+I) 2[ 1+
2~
~~(.I + 2)1.- u2)=Q.
InC;
11.
obtenemos: (11-3)']_
_
%+1
(%+1)'
-Ch
o bien. X2
+2xy - y~- 4x
+ 8y=C.
(C=C,
+ 14).
Ejemplo 3. Resolver la ecuación
(.~+ U + l)dx+(2x
+2y-
I)dy =0
S o 1 u ció n. El sistema de ecuaciones algebraicas neales
li-
X+Y+I=O} 2.~+2y-
1
es incompatible. El determinante
=0 del sistema
ó=1 ~ ~ 1=0. En este caso no es aplicable el método empleado en el párrafo anterior. Para integrar la ecuación hacemos 111 sustitución x
+ y=z.
dy=dz-
d x,
La ecuación toma la iorma (2 - z}d.t +(2z
-
1) dz =0.
Separando las variables obtenemos 2z-1
dx - "'i"=2 dz - O.
De aqui que x-2z-3Inlz-2J=C.
Volviendo a las variables x, y, obtenemos la inte~ral geueral de la ecuación dada: x + 2y + 31nlx + y - 21 = =C. Ejemplo 4. Resolver la ecuación l)dy+2xy3dx=0.
(X'y2_
S o [ u ció n. Hacemos la sustitución y = z", dy = = o.z"" dz, donde por ahora o. es un número arbitrario que se elegirá a continuación. Sustituyendo y y dy en la ecuación por sus expresiones, obtenemos: (*~-I)az"-ldz+2xz3·dx=0.
o bien (X'z3u-1 -
Z·-I)
dz
(l
+ 2xz'·
d x = O.
=
Obsérvese que el grado de x2z3'x-' es 2 + 3et - 1 30. + 1, el grado de z"-l es a - 1 Y el grado de xz"" es I + Jet. La ecuación obtenida será homogénea si los grados de lodos los términos resultan iguales, es decir, si se cumplo! la condIción 30. + 1 = a - l. De aquí que et = -l. Por consiguiente, tenemos y = 1. la ecuación inicial z toma 13 forma --(IX')
x dz+2-dx=0 :ll
21:zf
o bien,
{z'_ x')dz
+ 2zxdx
,
=0.
=
Pongamos ahora z IIX, dz = udx + x duo Entonces, esta ecuación loma la forma (1I'-I)(lIdx+xdll)+ +2udx =0. De donde u (u' I)dx x(u'_ t)du=O.
+
Separando
Inlegrando,
las variables
+
en esta ecuación, obtenemos:
ss:x _ uU;-I du=O. +u
hallarnos: In] x 1+ In (11' + I)-lnl u 1=lnC,
o bien,
46
Sustituyendo
u por _!_. obtenemos
la integral
general
+
de la ecuación considerada: I x2y' = <;y La ecuación tiene además la solución trivial y O. que se obtiene de la integral general escribiéndola en la forma y =. 1-+:'11' y pasando después a límites para
=
e-
ee, Por consiguiente. la Iuncíén ción particular dé la ecuación dada. Integrar las ecuaciones:
y
= O es
una solu-
14S.4x-Sy+y'(2y-3x)==0.
+ V y' - x· . + 1/' + y' (x' - xy + 4y") =0. 148. 4x' + xy - 3y! + y' (- 5x' + 2xy + y') = O. 149' 2xy . y = 3.t'-y'· 148. xy' =y 147. 4x' - xy
150. 2.~y' (x'
+ y')",
U (y'
+ 2x').
151. xy'=Vy2_X2•
+
+
+
152. ax' 2bxy cy' U' (bx' ISS. (y'-3x')dU=-xydx. 154. y'df +2(x'x¡/)dy=O.
+ 2cxy + fu') = O.
+
155. (y - xy')? = x' U2• 156. 3x y-2+ y'(x-I)=O.
+
157.2x+2y-l+y'(x+y-2)=0. + 7)dx - (3x -7y-
158.(3y -7x 159. (Y+II
Vx2y4+
3)dy=0.
l)dx+2xdy=0.
+
160. 4xy2dx (3x'y- l)dy=O. 161. (x+y')dx+(3yS-3!lx)dy=0.
+
+
162. 2 (x'y VT+"?7)dx x'dy=O. 16S. (2x - 4y) d x (x y - 3)dy=0. 164: (x-
+ +
2y-l)d.t
+(3x - 6y +2)dy=0.
165. (x-y+3)dx+(3x+y+
l)dy=O.
166. (x+y)dx+(x+y-l)dy=O. 167. ycosxdx+(2y-senx)d!I=0. 47
(x-
169. y3 dy
ycos';Jdx '3y2x dx
170. Y dx
+ (2 x¡¡ -
168.
+
v
+ XCOSfd!l.=O. + 2x3d.( =0. x)dy =0.
171. Hallar
una curva que posea la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. . 172. Hallar la curva para la cual la razón del segrnento interceptado por la tangente' en el eje O y al radío-veotor es una cantidad constante. J 73. Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado. al reilejarse. son paralelos a una dirección dada. 174. Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal a cualqulera de ¡;US puntos. es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. 175. Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje O Y por la normal. es Igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas.
§ 7. ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DE BERNOULLI
Se llama ecúdción. diferencial lineal de primer orden. a Ia 'que' es line.á!· con respecto a la función lncégnita y su derivada, Esta ,tie!1!!'I~ forma
~ + p(x)y=q(x), 48
(1)
donde p(x) y q(x) son funciones continuas de x en la región en que se pida inlegrar la ecuación (1)_ Si q (x) ~ O. la ecuación (1) se llama lineal no homogénea. Si q(x) "'" O. se dice que la ecuación (1) es lineal homogénea. Esta última es una ecuación con variables separables y posee la solución general (2) La solución general de la ecuación lineal no homogénea se puede hallar por el mélodo de variación de la constanteo según el cual se busca una solución de la ecuación (1) de la forma
donde
es una función incógnita nueva de x. ecuación (1) se puede integrar también del modo siguiente. Hacemos y =11 (x) u (x), (:l) c(x)
La
Poniendo
(3)
en (1).
obtenemos:
u'v
después
de
las
transformaciones
+ 11 (pu + CJ') =q (x).
(4)
Determinando v(x) de la condición ti' + pu = O. haliamos después la función 11 (x) resolviendo la ecuación (4). obteniendo, por consigulente, la solución y = 110 de la ecuación (1). En este caso. ti (x) es una solución particular cualquiera de la ecuación u' + pu = O (distirua de la solución Irivial !J "'" O). O b s e r v a ció n. Puede ocurrir que la ecuación diferencial SCH lineal respecto a X. considerada esta varlablc como función de y. La forma normal de tal ecuación es: ~;+ r(y) x=q: (y). Ejemplo
1.
Resolver la ecuación y' + 2xy = 2xe-<'.
S o I u ció n. Apliquemos el método de variaclén constante. Consideremos la ecuación homogénea
(5)
de la
y' +2xy=O, 49
correspondiente a la ecuación no homogénea dada. Esta es una ecuación con variables separables. Su solución ge· neral tiene la lorma y=ce-<'.
Buscamos In solución general de la ecuación no homogénea en la forma y =c(x) e-x' (6) donde c(x) es una función incógnita de x, Poniendo (6) en f5), obtenemos e' (x) = 2x. De donde c(x) = X2 + c. Resumiendo, la solución general de la ecuación no homogénea es y =(X2
+ e) e=",
donde e es la constante de integración. Ejempto 2. Resolver la ecuación J
dy
dx =
JC CO.
U
+ sen 2y
•
S o 1 u ció 11. La ecuación dada es lineal, considerando x como funclión de y: dx
Tg - x cos y = sen 2y.
(7)
Buscamos la solución general de la ecuación en la, forma x = /ley) .v(y). Se tiene . dx
du
do
Tg=v Tg+uTg' dx en ecuacion .• S US t·tluyen d o x y Tg ti :~
(r) , obtenemos
+u(~; -vcosu)=sen2y.
Hallamos v (U) de la condición .!!!!..-vcosy=O.
'~!J
'Tomarnos ~lllquier
solución particular (no trivial) de esta ecuación, por ejemplo ti (U) = e'" v, Entonces, e'tnv~=sen d!l 50
2y •
De donde Il-
fe-sen
Q
sen 2y d!l
Por consiguiente,
+ sen y) + c.
2e-se." (1
=o -
la solución general es
x = ce"· v - 2 sen !I - Z. de Bernoulli.
Ecuación forma
Esla
es una
ecuación
.de la (8)
~~ +p(x)y=q(X)yA,
'*
donde n O; 1, puesto que para n = O y n = I esta ecuación es lineal. La ecuación (8) se reduce a una ecuación lineal haciendo la sustitución conveniente sustitución
Ejemplo. Resolver
=
y
la ecuación xy'
s o I u ció
+
n. Hagamos xou'
Hallamos
2
Pero resulta más
.~I'
resolver la ecuación de Bernoulli haciendo la (sin reducirla a lineal) y = u (x) u (x).
y
=
u(xlv (xl. Tendremos
+ u (xv' + vl =
la {unción
la ecuación xv'
de Bernoulli:
y=y2Inx.
+v
ti
U2V2
(x) como solución
= O. Resulta,
u' = u~ In x . Separando x tenemos
-..!.=f
particular
=~.
v (x)
las variables
.!!!.;_dx=x:f
u
In x.
e integrando.
~_.!..-c x X
de
Entonces, cb-
I
o sea, u
=
I + ex
x
+ In x
.
La solución general de la ecuación es: I
!I = I
,.
+ ex + Inx
. 51
Integrar las ecuaciones: 176. y'+2y=x2+2x. 177. (x'+2x-
I)U=.~-1.
I)y'-(x+
178.xlnx·u'-u=x3(3Inx-I). 179. (a' - X2) yf + xu = a~. 180. 2XII' - U =3x', 181. (.<+ l)dy-[2y+(.~+ 182 .'_ • Y
1)']d.r=O.
1
x sen 11 + 2 sen 211
-
183. !I' - 2xu=2xex'. 184. x(x3+
1)11' +(2x3-
I)y = X>:-2. Y 1'_0= 1.
185. y'+Ucosx=senxcosx, 1
186. xlnx.y'-(I+lnx)U+2 187. 3xu'-211=~.
y
188.8xl/-y=-
.
189. (xU
V-x(2+lux)=O.
~.
11'1.1'+1
+ x'y3) y' = 1.
190. U' -11 = 2xex+x'. 191. xV' 192. xV
= U + x'
sen x .
+ 2x3y = y2(1 + 2x2).
193'. y = .~¿
2xy
y1
194. 2 sen x . U'
(11'
+ Y cos x = U (x cos l
X -
3x ' 195. y'= <'+!J+I' 1
196.
,
'<+'2 y +U "'+x+1
=
+ Y x ..'(.t'+ .a'a') (1 + X2)y'=xy+
= Ij'
197. 3y' 198.
199. ¡/+ 52
X~I
(l-x')U'
("+.1'+1)'''' 1
x2yt.
=-f(x+lj3y2.
x
(3.1"
x'
-
a'.')
sen x).
+ y' + lId!! + xydx=O.
200. (x' 201. y'=
2ylny~y
J(
202. x(x-I)y;+y=
x2(2x-I). u 1'_0=0,
203. y'-ytgx"""secx,
+ sen y =x + l. y' + sen y + x COS iI + x = O.
204. y' cos y 205.
206. y' -
,
207. 208,
/+1 =e" (1 + x)".
f cp (ux)
da = n
• y'+xscn2y=xe-"~osty
(la suslifuciÓnl=lgy).
En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisfacen H las condlctcnes Indicadas: 209. y' - 2x!/ = cos x - 2x sen x, y es una lunclón acotada cuando 210,2
¡IX y' - y= - sen y es acotada
211. y'-ylnZ=Z y es acotada
VX' -
cuando x -> ..n'(cosx-I)ln2, cuando x -+
cos
+ ee,
x
->
+ oo,
212. 2x2y' - xU = 2x cos x - 3 sen x, y-.O cuando x_ + oo. sen' x 213. y'senx-lIC-osX=---;'I' y_ O cuando x - oe , 214. (1 X2) In (1 x') y'-2xy = In (l+x')-2x
+
+
U- 215. U' y_2
%
cuando
e'lI =';'sen+
cuando
.T_ -
oo.
VX',
eo,
- c' cos
arctg x,
+.
x ..... - oo.
216. u'-ylnx=-(J +2Inx)r', y -+ O cuando x_,. + oo. G3
§ 8. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS FACTOR INTEGRANTE
La ecuación diíerencial de la forma M (:t. yldx+N(x.
y)dy=O
(1)
se llama ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una íunclón u(x. y): W dx+NdYE3d"""'Txdx+-¡¡¡dy, él"
¡
e«
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición c),If dll
...-
,)N tix
(2)
(en un recinto simplemente conexo D de variación de x, y). La integral general de la ecuación (1) tiene la forma II(X, !/) = C. o bien. x
f
y
M(x.
f
U)dx+
N (xo.
y)dy=C.
(3)
v.
Ejemplo. Resolver (sen xy
ecuación diferencial
la
+ xy cos xvI dx + x· tos xU dy = O.
S o 1 u ció n. Comprobemos que la ecuación dada es una ecuación diferencial exacta. Se tiene 8M Ty=iJy
c) (
=:t cos:tu
senxy
+ xycosxy )=
+ x cos :tU-X2!!
sen xy = 2x cos xy-.t2y
sen xV,
.~~ = ;: (x2 cos xy) = 2x ros xy - x'y sen xt), o sea. {1M
(lN
Tg-7jX.
Como vemos, se cumple la condición , U
(x, y) =
.S .+
+ xy cos.xy)
(sen xy
= x sen xy I~
dx
(2). Por consíguiente, v
+f
~
x~ cos xoy dy = xb sen
xoYoi
x sen xy
= e"
Xo sen xaY ~, = x sen. xy -
de modo que
= e + xosen
x sen·xy
XoYo, o bien,
Al resolver agunas ecuaciones
diferenciales se pueden agrupar los términos de tal modo que resulten combinaciones fáciles de integrar. Ejemplo.
Resolver la ecuación diferencial (x3 xy2) dx (x2y ya) dy = O.
+
+
+
(2')
.. E n es t e caso, Tu .tM = 2 .~y, Tx iJN = 2 xy, y S o I u C Ion. se cumple la condición (2); por consiguiente, tenemos una ecuación diferencial exacta: Esta se reduce a la forma du = O mediante una agrupación directa de sus términos. En efecto, escríbámosla en la Iorrna x.ldx
+ xy
(y dx
+ x dy) + y.1 dy = O.
Aqui x3 dx=d
XY(!ldx
(~').
+ xdy)=
y3dY=d( Por lo tanto,
la ecuación d ( ~. )
o bien, asi d
=d(
(x~)'),
~').
(2') se puede escribir
así
+ d ( (X~): ) + d ( ~. ) = O,
[~+ 4
(XII)'
Por consiguiente, la integral y de la ecuación (2'), es:
x'
xyd (xy)
2
+ y'4 ] -,general
O
de la ecuación
(2") (2/1),
+ 2(xy)~ + y·=C.
En algunos casos. por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diierencial exacta, se con55
sigue. hallar' una. Iuncién ~1(X, y) tal que al multiplicar el primer miérnhro !le- (1) por ella, resulta una diferencial (ola";
+ ",N dy.
dx
dU=J.LM
(4)
Tal función fL(x, y) se llama factor integrante, la definición de [actor integrante se llene i)
Según
t)
= ilx
dy (fLM)
(",N)
o hien N~-Mi!J.!..=(~iJx i)y
(IN) i)x
al}
J.L,
de donde N
iJ In
l' _ M
iJx
a In l' = aM _ 2!!... iJl}
dy
(5)
iJx -
Para hallar el factor integrante, hemos obtenido una ecuación en derivadas parciales. Indiquemos unos casos particulares en que fácilmente se- puede hallar la solución de la ecuación (5), o sea, el factor integrante. 1. JI = J.I (x). En este caso, ~~ = O Y [a ecuación (5) toma la forma iJM
dlnl'
--¡¡;-
aN
Tu-a:<
=
(6)
N
Para que exista un Iactor integrante no dependiente de y es necesario y suficiente que el segundo miembro de (6) dependa solamente de x. En este caso, In fl se halla por cuadraturas. Ejemplo 1. Examinemos la ecuación
º
(x
+ y2) dx
-
2y.~dy=
O.
S o I u c i n. Aquí
M=x+ y2, Se Ilerre
56
N= -2xy.
Por consiguiente. In =sr=r :2 d
11
In
jJ ~
2 In I x l.
-
I 11 =-¡;.
La ecuación
• +x'l y'
dy = O
2~
dx -
%~
es una ecuación diferencial exacta. Su primer miembro se
puede representar en la Iorma
i!.._
2.
0-
d(lnl x 1-
f)=o
x
•
De donde y la integral
general de la ecuación dada es:
,,'
x=C·c7.
~~:)+,
2. Análogamente, si (~~ depende solamente de y. la ecuación (1) tiene un lacíor integrante J.l = ¡.¡(y) Que depende solamente de !l. Ejemplo 2. 2xyln ydx + (.t' +!/ ¡ryr,:T)dy=O. Solución. Aquí M=2xylny, N=x·+u:VY~+1. iJN
Se tiene
aM
Tx-Ty _ Al
-
2.<-2.(.(I"¡I+l) 2.<1/ in y =-
I
íi .
Por ccnslguíente, d
In)1
----;¡y La ecuación 2xy In 1/ d,t 11
=-
1
Ii
1 '1=-. Y
+ x' + fI !IJlY'+T dy=O
es tina ecuación diierencial exacta y puede escribirse de 1,1 forma d (x2ln y) + U V y";- I dU = 0, de donde t
x2InY+'3{y2+
1.
1)2 =C. 67
Ejemplo 3. Resolver la ecuación (3x
+ 2y + !I)dx + (x + 4xy + 5!1)dy=O. + y2)
si su factor integrante es de la forma)! = q:(x S o I u ció n. Hagamos Z = x y2. Entonces y, por consiguiente,
+
i) In l' ijX ¡j
d
In l'
In " _ ~ illj dz
La ecuación furma
d In l' = --¡¡;-
02
= --¡¡;- . -;r.:.
.!!!. _
d
ilv -
¡.¡=q>(z)
,
In l' . 2 42 y.
(5) para hallar el factor integral
(N-2My)~=~-
4.
tiene la
ilN ilx
iJ!J
o bien (1M
ti
In ,.
-¡¡;- = Como M
=
3x
+
21/
dM
+ IJ',
dN
Tu-7jX N·
2My
N = ,r + 4xy
+ 5y',
resulta
JN
di-di"
1
1
= .'+!J' =z· d In Il 1 por lo cual --¡¡z- = z' de donde J.I = z, o sea. J.I = x + + y2. l\1ullipl icando I~ ecuación dada por ji = s + y' obN
tenernos (3x2 + 2x!1
VIIJ
+ 4.ty'
+ 2y3 + yl) dx + + (x' + 4x'!1 + 6XIJ" + 4xy3 + 5y') dy = O.
Esta es una ecuación integral general es x
f (3x2 + 2xy + 4xy'
r
y según
(3). su
+ 6xoY' + 4xoy + 5y')
dy = e,
dHerencial
+ 2/1 + !JI)
dx
exacta
+
11
+
y,
o bien, 58
(xg + 4x~y
3
c-=
e + X~!lo + 2xM + 2xoY~+ xolfo + !ti + 4 Después de hacer unas transformaciones sencillas resulta
donde
(x
Integrar
+ y)(x + yi)2=
C.
las ecuaciones:
+ y2) +!J (x2 + 2!/) y' =0_ + 6X!J2 dx + (6X2!J + 4y3),dy = O.
217. X (2x.2 218. (3X2 219.
(V~ +.!..+.!..)dX+ .. (-+y' x y
220. (3x2tg y 221. 222. 223. 224.
X' (
2x+~
+ ( ,f ..,+y y' + .!..!J - ~)y' 2~~)dx + !X3SCC21/ + 4y +~) 3
+ y'
)
,,:
d.t=
+ y' !!I'
(SO:2)(. +X)dX+(yse~:x)ifY=O. 2 (3x - 2)(. - y) dx + (2y - x + 3i¡2) dy ( xy + 2xy - JL)" ds + Jf) +x' Xi
x dx
+ y dy
+ x dy -
V"'+!l
228 • 229.
230.
dy ==0.
= O.
In x) dy = O.
Y d" =O.
x'
+)
+ y sen x + dx + + (xcosy - cos x +~) dy= O. y + sen x co.,' xy d + ( x + sen!J )d y = O . xy cos' xy ~ + (y'-3x·)dy O I 1 fJ~ !/ ' Y:x:::ol= . {n cos (nx + my) - m sen (mx + ny» dx + + (m cos (,IX + my) - 1I sen (1IIX + ny)} dy = O. f xdx+ydy () t ) Jf(x' + y') (l-x'-y') -1- y VII'-x' + 7 X
226. (sen y
227.
= O.
dy.
+ ev, + + x· -
225_
dy
000'
X
X
(ydx-
xdy)=O.
59
-4 ros
231. (~sen ~y !f
+ 232. 233. 234. 235. 236.
237. 238.
239. 240.
JLX
.t'.
+ +
+ 1) dx +
I !J ) XI) ( -cos---sen-+ x x!l yy~
+
-
dy=O.
+
Y (X2 y' a2) dy x (x" y. - a2) dx = O. (x1 yZ I)dx - 2xydy= O, (l ~
+ + +
+
+
+ +
+
+
241. (x+senx+seny)dx+cosydy=O, 242. (2xy2 -
30 dx
243. (3y2 - x) dx
+ (7 -
+ (2y
3 -
1l=
3x!lJ dy ~ 0,
I" =
6.
+ y2).
§ 9. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN RESUELTAS CON RESPECTO A LA DERIVADA
NO
1. ECUAC10N DE PRIMER ORDEN y DE GRADO n CON RESPECTO A y'.
(y')"
+ p, (x,
y)
«r: + '" ...
Resolvemos y'=ft(x,
+p"-o(x,yJy'+p"(.~,y)=O.
esta ecuación
y). y'=f2(X.
y) •....
con respecto y'=fdx.
las soluciones reales de la ecuación
eo
(1).
(1)
a y". Sean g)(k:S;;n)
(2)
El conjunto
de las integrales
Cll,(,~,y.C)=O.
Cll2(X.y.C)~0
....•
Cll.(x.y:C)=O,
(3)
donde Cll,(x. Y. C) = O es la integral de la ecuación y' = f,(x, y) (i = J, ...• k), representa la integral general de la ecuación (1). Por lo tanto. por cada punto del dominio en que !I toma valores reales, pasan «k» curvas integrales. Ejemplo.
Resolver la 'ecuación
yy"
+ (x -
'
y) y' - x = O.
S o I u ció n. Despe] ando g'. tenemos 9- x +
Y (x
-
g)'
+ 4ry
2/1
o bien,
IJ'=J.
y' = - ~ de donde
y'+x'=C2.
y=x+C, Integrar
las siguientes
244. g" - (2x
ecuaciones:
+ y) U' + (x2 + .ty) =O.
245. xy" + 2xy' - U =O. 246. 4U" - 9-t = O. 247. y,t _ 2yy' = U2 (e' - 1). 248. ¡,:.y,2
+ 3xyy' + 2y' = O.
249. xy" - 2yy'
!/ -
+ x = O.
2xy' - 8x' =O. 251. y"+(x+2)ev=O. 252. y" - UU" - x2y' x2y 250.
+
= O.
2. F.CUACIO;liES DE I.A FOll,\\A f (v·y')
-o
y
f (r.
y') -o.
Si en estas ecuaciones se puede despejar y', resultan ecuaciones con variables separables. Por consiguiente, son de interés los demás casos. a) En I~ ecuación í (y. y') = O se puede despejar y: y=cp(!I').
Hacemos!!,
= p. Entonces. y
=
'I'(p). 61
Diferenciando esta ecuación obtenemos
y
sustituyendo dy por pdx,
Pdx.., cp'(p) dp,
de donde dx=
Obtenemos paramétrlca
dp
c¡f~l
Y
x=
f
c¡f!P)
la solución general de la ecuación en forma x=
f 1:> dp+C
U =cp(p)
Ejemplo. y = a (~~ S o l u ció n.
cosa,r
dp+C.
r+ t b ( :~
1
t·
(1)
(a. b. son constantes).
Hacemos :: = p Y. por lo tanto, y =
+bp3. o bien, pdx=2apdp+3bf)2dp.
dl/=2apdp+3fJp'dp,
De aqui que dx=2a dp La solución general es
+ 3bpdp.
y. x=2up
3 + "2b,r+C.
l.
x=2ap++b,r+C u=a,r+bp3
b) En la ecuación f(y. !I') = O no puede despejarse ni y ni U' (o se despejan con dHicultad), pero estas últimas pueden expresarse en íorma paramélrica mediante algún parámelro 1: y=cp(t),
b=1jl(/)
(P=
~~).
dU = p d x = $ (/)dx, Por otra parte, dy=cp'(f)dl. de modo que ..¡,(/)dx=
Entonees,
= cp'(I} dt De donde
1/ dx=
~l:l
di.
x=
f Tfiídl. c¡f(ll
Por consiguiente, obtenemos la soluclén-gener el de la ecuación dilerencial dada en Iorrna paramétrlca
x=
f
'f/(I) i> (1)
di
+C
!
.
(2)
g=cp(l)
+
Ejemplo. y'/, (y')'" = l. S o I u ció n. Hacemos y d _
= cos' l.
y'=p=sen3/,
-Seos'I ••nldl
dl/ _
x---¡;--
sen"
De donde
f (3 -
x~ La solución
general
s.~'I)(1t.-3{+3clg'+C, es
x=3t +3c1gl
+C
y=cosl{
} .
e) Ecuación de la f (x, g') = O. Supongamos que en esta ecuación se puede despejar .r: x = Ql(Y'). Hacleudo y'." p. obtenemos dx = q>' (p) dp. Pero dx=
tf:
y. por consiguiente.
modo que dy=p'f"(p)dp.
u=
y.
;
=qo'(p}rfp.
de
I p
Por lo tanto. tenernos la solución general de la ecuación en forma paramétrica (p es un parámetro): x=cP(p)
y=
f 1p'(p)pdp+C
1 .
(3)
Observación. En las ecuaciones (1) y (3) no se puede conslderar p como la derivada, sino como un parámetro. d
Ejemplo.
a ,/:
r
+ b t ti.; = x, • d
'
G3
Solución. x~ap+bp'.
~=I'.
d.Y:=adp+2bpdp.
dy = pdx=apdp + 2b,r dp, y=f,r +{ bp3+C. Así, pues, x-ap+b¡i' a
y = '2';
} 2
+ "3 bp + e
es la solución general.
3
Por analogla con el C850 b). se puede probar resolver la ecuación f(x, y'} = O introduciendo un parámetro l. Integrar tas siguientes ecuaciones: 253. y = y"
e«. L
=e'.
254. y'
+ sen y'.
255. x = In U'
256. x= y" - 2y'
+ 2.
257. Y =!I' ln y'.
258. y=arcseny'+ln(l+y'j. 259. y=(y'-I)e.'. I
260. y'·x=e7.
+ y") = l.
261. x(1
3
262. ,t( 1+ y')2 = a. I
2
2
+ ylT == aS.
263. y.
264,
y4_y'"_Y!l"~O.
265. x - y'
+ sen y'.
266. Y = y' (1 64
+ ,,'
tOS
y/.
:1. ECUACIONES
DE LAG~ANC::U; y CI,AIRA"UT
a) La ecuación de Lagrange tiene la forma: y
= xq>
(g')
-1-
$ (y').
Haciendo g' = p, dlíerenciando y sustltuyendo .dy por p d x, reducimos esta ecuación. ,a otra que considerada en x como función de p es lineal. Resolviendo esta última x = r ip, e), obtenemos la solución genera] de la ecuación inicial en íórma paramétrica: ' x=r(p, e) g=r (p, e) q> ()P
} (p p + 'e,,()
es un parámetro).
Además. la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares (véase § 11) de la forma y = .p(c)x $(c), donde e es una ra iz de la ecuación e =
+
+
Ejemplo. Integrar la ecuación y=2xy'+lny'. S o I u ció n. Hacemos
+ Inp.
y' = p.
Entonces.
hallamos
Diferenciando,
pdx=2pdx+
y = 2xp
+
tf:.
2xáp+
de donde dx P-¡¡¡;=-
2
x-p'
I
o
b'
dx 2 Tp=-pX-
len,
I p"
Hemos obtenido una ecuación de lO' orden, que respecto de x es lineal. Resolviéndola hallamos C
x=7--;;'
I
Poniendo el valor hallado de x en la expresión de !J, resulta
1
x=..f.._..!.. p' P
+p-2C
y=lnp
2
•
65
b) La ecuación de Clairout es de la forma y=xy'+1ll(Y')· El método de resolución es el mismo que para la ecuación de Lagrange. La solución general de la ecuación de Clairaul liene la forma
+ ",(e).
y=Cx
La ecuación de Clairaut puede tener también una solución singular, que se obtiene eliminando p entre las ecuaciones y= xp 1jJ (p), x W'(p}= O.
+
Ejemplo. Integrar y
+
la ecuación
= xy' + 2~
S o I u e í ó n. Haciendo
(a
= const).
y' = p, obtenemos
y
Diferenciando esta última ecuación y sustituyendo dy por p dx, hallarnos pdx = pdx+ -;:;__:~----_,'";x
+ x dp dp
2~' dp, de donde
(x -
2~')
= O.
Examinemos los dos lactores del primer miembro de la última ecuación. Igualando a cero el primer factor, tenemos Fig. 12
dp=O,
d.e ·:aonde.p = C, y
la solución general
de la ecuación ini-
cial: es y=Cx+ Es!!!.es un haz monoparamétrlco 66
2~'
de rectas.
Igualando a cero el segundo factor tendremos:
Eliminando p entre esta ecuación y la ecuación y = "'" xp resulta y' = 2ax. Esta también es una solución de la ecuación considerada (solución singular). Desde el punto de vista geométrico la curva y' '" 2a.l: es la envolvente del ha? de rectas deferrninado por la solución general (Hg. 12). Integrar las siguientes ecuaclones:
+;p.
= xy' + U' In y'. = 2xU' + In y'. y=.I:(1 + y') + y". U = 2.1:Y' + sen y'.
267. 2U 268. y 269. 270.
"
271. y=xy 3
I -7'
+ ell. +....;. !J' + y".
272. Y ='2 .l:y' 273. y=.l:y' '274. y=.ty'
yy'- y' + I =0.
275. xy"-
VI
276. y=xy'+a 277. Y = .l:y' 278.
IJ
+ v'
a¡/
+y".
1+11'
.'
I
x=7+7'
279. Hallar la curva cuya langente íorma con los ejes coordenados un triángulo de área constante S = 2a2• 280. Hallar la curva para la cual el segmenlo de la tangente comprendido entre los ejes coordenados llene una longitud constante a. S'
t7
§ 10. CO.MPOSICION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAS FAMILIAS DE CURVAS. PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
l. Composición de las ecuaciones diferenciales de las familias de curvas. Sea dada la ecuación de una familia monoparamétrica de curvas planas y=q>(x. Derivando
a)
(a es un parámetro).
(1)
(1) respecto de x, hallamos y' = q>~ (x, a).
Eliminando el parámetro la ecuación diferencial
"a" entre
(2) (1) Y (2). obtenemos
F(x. y. Y')'PO.
(3)
que expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia (1). La ecuación (3) es la ecuación diferencial buscada de la familia (1). Si una familia monoparamétrica de curvas se determina por la ecuación
eliminando
el parámetro
~ +.~ y'=O ex ey
.
(5)
Supongamos. ahora que se tia la relación (x, !j. al' a2, ... , a.)=O, 68
(6)
donde al, a2, ' , '. a; S9n parámetros. Derivando (6) respecto de x, n veces. y eliminando los parámetros ,al> ,a2 ••• , , , " an entre (6) y' 'las ecuaciones obtenidas, obtenemos una relación de la forma F(x, Y. y'. y" •.. ,. y(~):=O, (7) Esta es la ecuación diferencial de ja familia, n·para· métrica de curvas (6) dada, en el sentido de que (6\ 'es la integral general de la ecuácíón (7). '2. Pró'blemas de trayectcrtas. Sea dada una familia de curvas planas:
al = O,
(1)
dependiente de un parámetro a, La curva que en cada uno de sus puntos íorma un ángulo constante ct. con la curva de la familia (1) que pasa por el mismo punto. se llama trayectoria isogonal de la familia. En particular, si a = ~,se tiene una trayectoria ortogonal. Suponiendo dada la lamilia (1) buscaremos sus trayectorias isogonales. a) Trturectoría« ortogonales. Se forma la ecuación diferencial de la lamilia de curo vas dada (véase ('1 p. 1): rt», y. y')=O. (2) La ecuación dilerencial de las trayectorias ortogonales tiene la forma: (3) F(x. y, -..!,)=O, y, La integral general de esta ecuación lIl¡(x, y,
C)=O
proporciona la familia de trayectorias ortogonales. Supongamos que la familia de curvas planas se da por una ecuación en coordenadas polares
(5)
donde a, es un parámetro, Eliminando el parámetro a entre (5) y ~~ = O, obtenemos la ecuación diferencial de la 69
fami~ia (5): F(p, <¡l, p')= O. Suslituyendo en estap'por- ~ obtenemos la ecuación dilerencial de la familia de P • las trayectorias ortogonales:
F(p, b)
Traqectorios
-7)=0.
lsogonales,
Supongamos que las trayectorias se cortan con las curvas de la familia dada balo un ángulo 11., donde tg «=k. Se puede demostrar que la ecuación diferencial de las trayectorias lsogcnales tiene la forma F
(x,
y,
t+-;,;) = O.
Ejemplo 1. Hallar la ecuación diferencial de la familia de hipérbolas x, JI..' ¡ji"- T= 1. S o I u ció n. Derivando esta ecuación respecto de x, obtenemos ' a'- 2 sr=
2.t
O,o bi.en'7=gy· x ,
Multipliquemos ambos miembros por x; entonces x, -;;;;=xyy'. Sustituyendo en la ecuación. hallamos xyy' _ y2= l. Esta es la ecuación dilerencial de la iamilia de hipérbolas. Ejemplo 2. Hallar la ecuación diferencial de la íarnilia de curvas (a es un parámetro) y=a(t
_e-f).
S o I u ció 11. Derivando respecto de x ambos miembros de la. ecuación. se tiene
70
De aqul que a=- 1:11' Poniendo la expresión obtenida de a en la ecuación de la familia de las curvas. obtenemos. y=-1ñ7(I-
x
y'),
o bien. ylng' Esta es la ecuación curvas dada.
+x(1
- y')=O.
diferencial
buscada
de la familia
de
Ejemplo a. Hallar las trayectorias orfogonales de la familia de recias y = kx. S O I u ció n, Esta consta de rectas que pasan por el origen de coordenadas. Para hallar la ecuación diferencial de la familia dada, deriva rnos respecto de x ambos miembros de la ecuación y = kx. Resulta, y' k. Eliminando el parámetro k en el y sistema de ecuaciones
=
y= kx
l
y'=k
J'
obtenemos la ecuación diíerencial de la familia: xy' = y, Sustl tuyendo en ella !I por
- 7"1 ferencial
resulta la ecuación dide las trayectorias
ortogonales yg'
+x
-7 = y,
o
bien,
Fig. 13
= O. Esta es una ecua-
ción con variables separables; inlegrándola obtenemos la ecuación' de las trayeclones ortogonales x, tf = C (C;;;;. O). Las Irayeclorias orlo'gonales son círcuníerencias con el centro en el origen de coordenadas (lig. 13).
+
Ejemplo 4. Hallar la ecuación de la familia de las curvas que son ortogonales a la familia X2 y2 = 2ax.
+
71
s o 1 u ció n. La familia dada de curvas representa una familia de circunferencias cuyos centros están siluados en el eje OX y son tangentes al eje O Y. Derivando respecto de x ambos miembros de la ecuación de la Iamília dada, hallamos: .~ +yy'=a. Eliminando el parárnetro a entre las ecuaciones x"+ !Í'=2ax ,t+Y!l'~(l
,
obtenemos la ecuación diferencia! de la Iamilia dada: X2 y~ 2.tyy' - O. de las trayectorias ortogonales es:
Fig. 14
+
La ecuación diferencial X2 - y2
}
+ 2xy (-7) =0,
o bien, y' = x,2:.!y' .
Esta
ecuación es homogénea. Integrándola obtenemos: = Cy. Las curvas integrales son circunferencias cuyos centros están situados en el 'eje O Y y son tangentes al eje OX (Ilg. 14).
X2
+ y2
Ejemplo 5. Hallar familia de parábolas
las trayectorias
ortogonales
de la
s o Iu ció n. Formarnos la ecuación diferencial de la familia de parábolas. Para esto, derivamos respecto de x ambos miembros de la ecuación dada: y' 2ax Eliml-
=
f = ¿. bien, y' = ~, que representa la ecuación .de· la. íamllla considerada Sustituyendo en esta ecuación y' por -7' obtenemos
nando el par ámetro a, hallamos
)<1 ecuación.
- ..!,. = 2ft. , !I" ,,2
'y2.= - T 72'
diferencial
_o
de las trayectorias
ortogonales
o bien, ddY = - 2" . Integrándola,
+ e,
"y
o bíen, 2" + y' = C, donde-C x:f
halla~os
> O.
La
familia
ortogonal
buscada
es una familia
de elipses
(fig. 15).
Ejemplo 6. Hall'ar las trayectorias ortogonales familia de lemniscatas p2 = a cos 2(1). S o I u ció n. Tenemos _ p~= a cos 2(1) pp' = - a_ sen 2(1).
de la
Eliminando el parámetro a obtenemos la ecuación diferencfal de' la familia de curvas dada: p'= - p Ig2(1).
y
Fig. 15
fíg.16
Sustituyendo p' por - ~: hallamos la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales p'
-7=-ptg2q¡.
4
De donde = ctg 2'1' dq¡. Inlegrando, obtenemos la ecuación de las trayectorias ortogonales p2 = e sen 2q¡. Las trayectorias ortogonales de la Iamilia de lemniscatas son lemniscatas cuyos ejes de simetría íorrnan con el eje polar un ángulo de ±4So (lig. 16). 73
Formar las ecuaciones dHercnciales de las siguientes familias de curvas: 281.
1/=7'
286. y' = 2Cx
282. x, - y' = ax.
288. y=Clx
x
283.I/=aeñ. 284. y=Cx-C-C'. 285. !I
+ C:.
287. y=ax'+bx+C.
289. (x-a)·
= eX (ax + b).
290. Y
+
C;
+ (y-
+C
l .
b)2 = ).
= Cle' + Cze-x.
291. y=asen(x+a):
Hallar las trayectorias ortogonales para las siguientes familias de curas: 292. y'+2ax=a'. a>O. 297. r- 1/'= a'. 293. y =0:1'. 298. J' + JI = a·. a es un par metro 299. r+y'=2ay. 294. y = ae=, (1 = const. 300. A:1 - ~ y1 = a'. 295. cos y = ae-·. 301. P'"" a (1 +COS'l'). 296. Je' +~ y'= a'. 302. y' =4 (x - a). á
§ 11. SOLUCIONES SINGULARES
Una solución !I = !p(x) de 111ecuación dlferencial F(x, y. 1/') -= O
(1)
se llama singular. si en cada uno de sus puntos se infringe la propiedad de unicidad. es decir, si por cada uno de sus puntos (xo. Yo). además de esta solución. pasa también otra. solución que tiene en el punto (xo •. !lo) la misma tangente que la solucíon Y = 'P(x). pero que no coincide con esla última en ningún entorno del punlo (xo, Yo) arbitrariamente pequeño. La grálica de una solución singular se 74
llamará
curva integral singular de fa ecuación
función F (x. Y. y') y sus derivadas
parciales
(1 l. Si la ~
y
g~
son continuas con respecto a todos los argumentos x. y. Y. cualquier solución singular de In ecuación fI 1 sallsface timbién a la ecuación: iJP(iC. iJy
v· ¡() =.O
(2)
Por consiguiente. para hallar las soluciones singulares de la ecuación (1) hay que eliminar Y entre las ecuaciones (1) Y (2). La ecuación que resulta al eliminar y: (3)
1j>(x. y)-O.
se denomina p-discrimlnante de la ecuación (1). y la curva determinada por la ecuación (3). curva p-discrimtnante [abrevlado, escribiremos: CPO). Frecuentemente ocurre que la CPO se descompone en unas cuantas ramas. En este CHSO se debe averiguar 51 cada una de éstas por separado es solución de la ecuación (1). y en caso afirmativo se debe comprobar si es solución singular es decir. si se infringe la unicidad en cada uno de sus puntos. Se llama envolvente de una familia de curvas (4)
(x, y. C)=O a la curva
que en cada uno de sus puntos
es tangente a una de las curvas de la familia (4). siendo cada segmento de la misma tangente a una Infinidad de curvas de la familia (4) .• ) SI (4) es la inlegral general de la ecuación (1), la envolvente de la lamiiia de curvas (4). en caso de que exista. será una curva integral singular de esta ecuación. En efecto. en los puntos de la envolvente los valores x, y. y' coinciden con los valores correspondientes de la curva integral que es tangente a la envolvente en el punto (x, y); por consiguiente, en cada punto de la envolvente los valores x, y. y' satisfacen 3 la ecuación F (.~. y. y') O. es decir. la envolvente es una curva integral.
=
y",
.) S. dic. que las curv as r, son tangcntu fult •• tienen en este punto una tang~nte común.
en un punto M•. si 75
Por otra parte, en cada punto de la envolvente se inla unicidad, puesto que flor cada punto de la misma al menos dos curvas integrales en una misma dirección: la envolvente y la curva integral de la familia (4) que es tangente a ésta en el punto considerado. En consecuencia. la envolvente es una curva integral singular. Por el curso de análisis matemático se sabe C¡U~ la envolventc íorma parle de la curva e·dlscriminante (abrevlndarneute CCO) determinada por el sistema de ecuaciones lriugc
pasan
tJ)(X'U'C)=O} ~(.t.!I.CI
-=
iJC
(5)
O
Una rama de la CCO es envolvente cuando en ella se cumplen las condiciones siguientes: 1) Las derivadas parciales OiJ y ~' existen y sus x uy módulos están acotados:
I~~I~M,I:I~N,
(6)
donde M Y N son constantes: 2)
:.p
O, o sino :
.p
o.
(7)
o b s e r v a ció n 1. Las condiciones 1) Y 2) solamente son suficientes. por lo cual. pueden ser envolventes también las ramas de la CCD en las que no se cumple alguun de estas condiciones. O b s e r v a ció n 2. En el caso general. el p-discrlminante contiene: 1. A la envolvente (E). 2. Al lugar geométrico de los puntos de contacto al cuadrado (e2¡. 3. Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) (~): óp=E·
e2•
R..
El C-di~~rlmlnante contiene: L A la envolvente (E). 2. Al lugar geométrico de los puntos cuadrado (/12). 76
(8)
anocdales
al
3. Al lugar geométrico de los puntos cuspidales (o de retroceso) al cubo (R3): Ac =E·
A2 .jf.
(9)
Entre todos los lugares geométricos solamente la envolvente es solución (singular) de la ecuación dilerenciál, Esta fig,ura tanto en la curva p-.discriminante, como en la curva e-discriminante a la primera potencia, circunstancia que facilita la averiguación de la solución singular. Ejemplo 1. Hallar las soluciones singulares de' la ecua' ción diferencial 2g (y' + 2) - xy" = O. (1) S o I u ció n. La solución singular, si ésta existe, se determina por el sistema: 2y(g'+2)-XY'·=O}. (2) 2y- 2xg'=O donde la segunda ecuación (2) se ha obtenido de la (1) derivando con respecto a s'. Eliminando g' se obtiene la curva p·discriminanle g~+4xy=O, (3) que se descompone en dos ramas: g=O (3a) y (3b) y=-4x. Reemplazando n6S convencemos de que estas functiones son soluciones de la ecuación (1). Para determinar si las soluciones (3a) y (3b) son singulares o no, bailamos la envolvente de la familia Cy-(C-il)=O, (4) que representa la Integral general de la ecuación (1). He aquí el sistema para la determinación de la curva C·discriminante Cy_(C-X)2=O }. (5) g-2(C-x)=O Eliminando C entre estas 'ecuaciones, obtenemos: Il+4xy=O 77
o bien, y = O e y (3h). Como en las diciones (6) y (7), y = O e y = - 4x (3b) son soluciones
= - 4x, lo cual coincide con (3a) y líneas (3a) y (3b) se cumplen las conhacemos la conclusión de que las lineas son envolventes y. por lo tanto, (3a) y singulares de la ecuación dada. le - x)' Las curvas integrales (4) son parábolas y = --c-'
mientras que las líneas y = O, y = - 4x son las envolventes de esta familia (lig. 17). Ejemplo
2. (1)
Derivando Eliminando
(1) con respecto a
u'.
resulla:
2y'=O. y' entre (I) y (2), obtenemos: r=O.
(2)
(3) El eje de ordenadas es la curva discriminante. Esla no es una curva integral de la ecuación (1). pero según el es-
Plg. 17
Flg. 18
querría. (8)., puede representar el lugar geométrico de los puntos de. contacto de las curvas integrales. Las ..soluclones de la ecuación (1) son las parábolas
y=r+C, y las curvas dtíerenctebles partes (lig. 18.) 78
y=-x'+C
(4)
que se pueden formar con sus
En la lig. 1.8 se observa que la recta x = O verdaderamente es el lugar geométrico de los puntos de contacto de las curvas integrales de la ecuación (1). Ejemplo 3. y" (2·- 3y}'=4(1-
y).
(1)
Hallemos la ePD eliminando !I entre el sistema de ecuaclones: y"(2 - 3y)2 - 4 (1 - Y)=O}. 2y'(23y)2=0
(2)
Resulta: (2-
Translormamos
- y)=O.
3yf(1
(3)
(1) a la forma dz
-;¡;=±
2..=2L 2V~'
y hallamos la inlegral general y~(I-U)=(x
-CIt.
(4)
Eliminando C entre las ecuaciones del sistema y2(I- y)-(X-C)'=O} 2 (x - C)=O
hallamos la
ceo: yf{1 _
As],
pues. de
(3) y (6)
vI-O.
(5) (6)
obtenemos:
Áp= (1 -
y) (2 - 3y,..
Á,=(I- y)l.
El laclor I - Y está elevado en el p-discriminante y en el C·discriminante a la primera potencia y representa la envolvenle. Por Jo tanto. la función y = I es una solución singular de la-ecuación diferencial (1). Sustituyendo dtrectamente nos convencemos de que y = I satisface a la ecuación. La ecuación 2 - 3y = O. que eslá elevada a la segunda potencia en el p·discriminantc y que no ligura en el C·dis· críminante, representa el lugar geométrico de los puntos de contacte (C2). 79
Finalmente. la ecuación y = O. que está elevada a la segunda potencia en el C-discriminante y que, no figura 'en el p-discriminante. representa el lugar geométrico de los puntos anoedales (A2) (lig. 19). Ejemplo 4. Dada la familia de curvas integrales y2_(X+C)3=O
(1)
de una ecuación diferencial de primer orden, hallar una solución singular de la misma.
Fill. 19
s o I u ció
n. Hallamos
la curva C-discriminante:
y2_(X+C)3+0} _ 3 (x C)2= O
+
.
(2)
Eliminando aquí C, resulta, y.=O. (3) Como en la recta y = O no se cumple la condicíón (7), pues, en virtud de la ecuación (2),
,)m
7íi'=- 3(x+C,
\2
=0,
.Y en virtud de la ecuación ·Fig.2ó
~
(3),
a¡¡=2y=O,
la recta iI = O'es el lugar geométrico de los puntos múltiples de la familia (1) o con más precisión; de los puntos de-retroceso (véase la lig. :?P). , Pero. a la. vez, este. lugar geométrico de puntos y = O es tarribién ta envolvente de la Iarnilia (1), pues, en cualquier punto (- C, O), tanto para la recia IJ = O como 80
3
para I~ parábola semicúbica y = (~+ C):I, se cumple la igualdad de sus coeficientes angulares 9'1",= -c = O,. Por consiguiente, la función 9 = O es una solución singuiar de la ecuación diíerencial y = y"; para la cual, la familia (1) es la integral general. Ejemplo 5. Hallar la solución singular, partiendo de la ecuación diferencial
!
XV"~ -2Y9'
+4x=0
-(1)
y de su integral general _,-2= 2C(y - 2C).
s o I u e j 6 n.
(2)
Eliminemos C entre las ecuaciones 2C(y-2C)-x2=O }. 2 (y - 2C) - 4C = O
Obtenemos:
(3)
y2 _ 4x2=0,
o bien, y=±2x.
(4)
Ambas rectas (4) SOI1 lineas integrales de la ecuación (1), por lo cual las funciones 1/ = 2x e y = - 2x son soluclones singulares de la ecuación (1). En los siguientes ejercicios hay que hallar las solucíones singulares, si éstas existen: 303. (1 + y")y2 - 4yy' - 4x = O. 4y = O.
304. 9,1 -
305. !/-4xlJlJ'+8y2=0.
!l = O.
306. !J" -
V'f7l + a
,Para qué valores del par ámetro a tiene esta ecuación solucion singular? 307. y' =
+ + 3x5
308. (X9' y)2 309. y (y - 2x!J'f 310. 81/311. ~ .. 442
12¡/
(x!J' - 2y) =O. ~ 2y'.
= 27 (y
-
x).
(y'_Ij2~yt. 81
Mediante el C-discriminante, hallar gulares de las ecuaciones diferenciales sabiendo sus integrales generales. 312. y=xy'+y";
y=CX+C2.
313. (xy'+y)1=y2y'; 314. y~y"
+ y'=
y(C-X)=Cl.
1;
(x -C)'+
y'=
x' +C(x-3yl+t2=O.
316. 3xy"-6yy'+x+2y=0:
Va2y"+bz;
§ 12. DIVERSOS
Integrar
y=CxVa't2+b'.
P'R,OBLEMAS
las siguientes
318. (y- ya) dx
1.
y=Cex+7r'
315. y"_yy'+ex=O;
317. y=.ry'+
las soluciones sinde primer orden,
ecuaciones:
+ (2xy'
319. y'=(x-y)2+
J.
320 .. ~ sen x . y'
-1- (sen
- x - ay') dy ~ O.
x - x cos x) y = sen x cos x - x
~ 321. Tx+ycosx=ynsen
2x
n =1= 1.
+
322. (xa - 3xy') dx (!l- 3X2.y)dy =O. 323. (5xy- 4y' - 6.<2) dx -1- (y2 - 8xy + 2,5x') dy = O. 324. (3.
+ (3x'Y-
6y2 -
'326. (2..~!le%'- x sen x) dx 327.
2y'
+ y' + ~,=0.
328. y' = 2. ~ y' . 329. x'
+ xy' =3x + !J.'.
1) dy = O• ¡L=IJl(·~·Y)·
-,325. (y-xy'lnx)dx+xdy=O,
+ e-"
dy =O.
3S0. 4x3y2 dx
+ (x'
331. X!lY'-
y2=x'.
dx
332. x'
xy
- 2x
_
+ y'
-
1) dy'= O.
d.y
2y' - xy .
1) y' - 2y = -%,-
.
1-4%
333. (2x -
+ 3)d.~ + (3x + y + l)d!J= + C05-2+-=cosY . Y 2-·
334. (x - y 335 . Y
I
X
O.
% -
+1 (9x x
336. y' (3x' - 2x) - y (6x - 2)
4) = O.
337. xy2g'-!l=+x" 338. y'=
tg2(ax+
by
+ e),
b"l'a,
aÓ>O.
yl.~,=1.
339. (1 +ef)d.(+ef(I-~)dY=O,
+ y2) dx - xy dy = O. (x - y + 2) dx + (x - y + 3) dy = O. (xy' + y) d x - x dy =0. (x2 + y2 + 2x)dx + 2ydy= O. (x - I)(y' - y + 1) dX=(y + l)(x2+ x + I)dy. (x - 2xg - g2) y' + y2 -O.
340. (x' 341. 842. 343. 344. 345.
346. yeos x dx
+ (2y -
sen x) dy = O.
347. y'- 1 =ex+2¡t. 348. 2(r +2x!y
- y'x) d x
349. x2y"y' ~ 2xy' - y,
+ (y2 + 2x2y -
n.p
x')dy =0.
- 2
350. (VI+x'+ny)dx+(VI
+y2+nx)dy=O,
U Ix-(l=n.
+
+ +
351. (3 (x +y) a2]!J' =4 (x y) b2• 352. ax yy" (x' - ay' - b) y' - x!J = O, (la sustitución x· = s, y' = t).
+
353. (x - {/) d x
+ 2xy
dy = O. 83
{¡ 13. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. REDUCCION DEL ORDEN DE LA ECUACION
Las ecuaciones diferenciales de lI·éstimo orden tienen la forma F(x,
o, despejando
y, !J', !J", •.. , y1n)=o.
(1)
ylnl,
yl') = f (x, y, yf, y", ...•
y(n-J).
(2)
Subsiste el siguiente teorema de existencia y unicidad de la solución de la ecuación diferencial (2). Teorema. Si en la ecuación (2) la función f (x, !J, y', y" .... , yl"-I», cumple las siguientes condiciones: a) es continua respecto de sus argumentos x, y, y', y" •..•• yln-I), en un recinto D de variación de los mismos, b) tiene derivadas parciales continuas .HL, .HL ay
ag' ,
con respec t o a I os argumen t os y, y , y , ... . . . , y(u-t) en el recinto D, entonces, existe y es única la solución y = ¡p(x) de la ecuación (2) que verifique las condiciones y 1...... = Yo' !J = y~, . . .• yln-I) 1 , = YÓ'-II, (3) 111
iJl
I
!Jy. ' ... , !JgIO-II
,f
1:-..
donde los valores x=xo' y = Yo' yf = y~, y(n-I)= lIb,-t) están comprendidos en el recinto D, La:S có~dici'ohes (3) se llaman condiciones iniciales. )::1 problema qué tiene por objeto hallar la solución y = W(x) .9C la écuación (2) que cumple las condiciones iniciales (3) se denomina problema de Cauchy. Para las ecuaciones de segundo orden y" = f (x, y, y'), las condiciones iniciales son de la forma y I.<;"X. = Yo' y' I.=x. = !J~, 84
, donde xo. Yo. Y~ son unos números dados, En este caso; el .teorerna de existencia y unicldad tiene el sigulente si'gnifi· qdo geométrico: Por el punto dado Mo,(x~ •. Yo) del ¡ilano XOY pasa una sola curva integral que tiene una pendtenie dada y~, Se llama solución general de una ecuación dileréncial ,(2) .de orden n., el conjunto .de todas sus', soluciones- determinadas por la íérrnula Y = cp(x. C'I, C2• ,,'. C'tI). ,que contiene n constantes arbitrarlas eh 'G2, ... '. '. eJi, talesque, dadas las condiciones 'lnidales (3). existen unos ',v¡¡lo:reS C2• " , • t. de modo que y = cp(x. C,. t2• ' , " Cn) sea la solución de la ecuación (2) que cumple las condiciones iniciales, Cualquier solución, obtenida de la solución general para valores asignados de las constantes arbitrarias e" e2• ' , ' , en. se llama solución particular de la ecuación diferencial. Una relación de la forma (1) (x, Y. e" 2• "'. Cn)=O, que determina en forma implicita la solución general de la ecuación diJerencial se llama integral general de la
e,.
e
misma,
e,.
en
Asignando a las constan les C2. ' , , • unos numéricos admisibles concretos, obtenemos una particular de la ecuación diierencia1. La gráfica de una solución particular o de una particular se llama Cllrva integral de la ecuación cial considerada,
valores integral integral diíeren-
+
Ejemplo, Demostrar que,!I = C,.t e2 es la solución general de la ecuación diferencial y" = O, S o I u ció n, Demostremos que y = e,x Cz satisface a la ecuación dada, En electo, tenemos y' = e" y" = O, Supongamos ahora que se dan unas condiciones iniciales arbitrarias y 1.=.<. - Yo' y' 1-.,,- = y~, Demostremos que las constantes C, y C2 se pueden elegir de modo que Y = C,x C2 cumpla estas condiciones, Se tiene
+
+
y=e,x+cz,
Poniendo x = xo. obtenemos
y'=C
el sistema:
yo=e,xo+ez y~=e,
l.
"
ss
e,= +
del que unívocamente se determinan e, =!Io y ... Yo- xoYó' Por lo tanto, la solución Y <= y~ (x - xo) Yo cumple las condlctones iniciales asignadas. Geométricamente. esto significa que por cada punto Mo(xo, Yo) del plano xa y pasa una sola recta que tiene una pendiente dada. . Evidentemente, una sola condición inicial, por ejemplo. y 1..-.,= Yo' delermina un haz de rectas con centro en el punto Mo(xo, !Jo), es decir, una sola condición inicial no es suficiente para garantizar la existencia de solución úníca. Demostrar en los siguientes ejercicios que las [unciones dadas son soluciones de las ecuaciones indicadas: y" + 2y' + 2y = O. +e2 sen 2x), y" - 4y' + 8y .... O. x (sen x - cos x), y" + Y = 2 (cos x + sen x). (e, + C~X)e-3., !J" +6y' + 9/1....0.
354. y=e-'(3cos
x - 2sen x),
355. y ... e" (e, cos 2x 356. y ~
357. y= 358. /I=- x, In x, xy'" ~ 2. 359. X=y2+y, U'y'''=3y'''. 360. x + e = e=«, y" = y". 361. x=y+lny, y!/'+¡/'-U"=O. 362. y=C, +C~
,f
383. U=e,x +c.x
x'y" - (xl
' ,..dt, e' f
xy" +
e;
. f
+ x) !J' +(x +
x~ In2.~ . U" - x In x . !J' '. x=/(2In.t-I)+C, 36". U .... (llnf+C. x=(/+ I)e' +e, 366. Y = I~e' C.
1) y=O .
I~'(
x
86
x)y'=O.
(x> O).
di
364. u=C,lnx+Czlnx
+
(1-
2
+ (In x + }
' } '
(x>
1),
1) y ~ O.
!/'(I +2Iny/= u"eV',(y'
+ 2) ...
l. 1.
367.'
X
_..!..
=G., +C,(I
2
sen
21) } ,
2(1 - y)!I' = 1 + y".
yo: 1- C, sen2t
1
x~~lnt+~ 3.68.
I
3
y"t _ 2y'y~' + 3 =O.
'
y=-;¡-/+Tt' Verificar que las funciones dadas son .Ias. soluclonés generales de las ecuaciones correspondlentes:
369. y=C,senx+C2cosx, 370. y=..!..(C,e' +C:¡e-·). JC
y"+y=O. xy" 2y' - xy =0.
+
371. y=C,x+C21nol". 372. y373. x
x2(1 -
lI(x + C,)Z + C.. + C. = y3 + C,II.
yy" y"
374. :c+C.=lnsen(y+C,),
+ .~y' -
+!/
y=O.
= 1.
+ 6yy'> = O. y"=y'(I+y")
.
• senl
f -,-di.
375. y=C,x+C.x
o .t sen
In x) y"
x . y" - x COS x . y'
+ cos x . y = O.
Verificar que las relaciones dadas son integrales nerales o particulares) de las ecuaciones indicadas:
(ge-
3
C.)2= l.
y"=(1 yV'=1.
376. (x- C,)2+(y_ 377. tr=I+(I-xJ2,
378. sen (y - CJ =c'-c"
y" = y' (1
379. C,x+C.=ln(C,y-I), 380. Y In y ~ x
•
+ J el' di.
+ y")"'i.
+ y'.).
yy"=y"+y' y (1
.
+ In y) y" + yr = 2xye".
o R.EDUCCION DEI. OR.DEN DI! LA ECLJACION Señalemos otros tipos de ecuaciones permiten reducir el orden. ). ¡¡
diferenciales
que
Después de integrar n veces obtenemos la solución general y=
---
f ... f f(x)d.t A
.
'" dX+C.,
..,.-1
(II-I)!
t"-~
+C,
(n-2)í
+ ...
... +C._1x+C •.
La ecuación no contiene la función derivadas hasta el orden k - t inclusive: 11.
F (x, yl.', y'HII,
íncognlta
y sus
... , ytA') = O.
Se puede disminuir el orden de la ecuación haciendo la sustitución yl')(x) = p(x), después de lo cual la ecuación toma la forma F(x, p, p', ... , p.n-')=0.
De esta ecuación determinamos p=f(x, C" C2, •••• Cn-A). siempre que esto sea posible. y hallamos después y de la ecuación yth) = [t«, C .. C,. "', Cn..../,) integrándola k veces. JI t. La ecuación no contiene la variable independiente F(y, y', y" .... , y
.!!JL dx
" =p,
1I,=.!!E..=.!!..E..!!JL= ax d/l dx y'" _ :,.
(p ::)
= :/1
(p
*):~ p =
P 2
dp dg , :~
+ p (~y . etc.
Poniendo estas expresiones en la ecuación en lugar de y', y", ..,' , 00), resulta una ecuación diferenclal de orden
11-1.
J V: ,La ecuación. F(x, y, y", ... , y(J'j)=Q
88
es homogénea respecto . . • , g<0', o sea.
de los argumentos
g. g!. g" •
F (x, Iy, I!I, ... , Iy(o,) = '·F (.t, y, y', ... , y<")
JII
Se puede disminuir sustitución
el orden de esta ecuación haciendo
u=e J
~d~
,
donde z es una nueva (unción incógnita de x: z = z(x). V. La ecuación es tal. que al escrlbírla mediante dllerenciales F (x, U, dx, dy, d2g, ... , d"y-) =O, resulta que F es homogénea respecto de sus argumentos x, U dx, dU, d2g, •.. , doy, donde se supone que x y dx son de primer grado e y, dg, d2y, etc., de grado 111. En estas du
•
,Py
condiciones, -;¡¡ sera de grado 1/1- 1, dx' de grado m-2, etc. Para reducir el orden de la ecuación se hace la sustitución x = e'. y = 1Ie'"', Como resultado obtenemos una ecuación diferencial entre 11 y t que no contiene a t explicita mente, la cual permite reducir su orden en una unidad (caso 111). Al resolver el problema de Cauchy para las ecuaciones de orden superior es conveniente determinar los valores de las constantes e, durante el mismo proceso de resolución y no después de haber hallado la integral general de la ecuación. De este modo, resulta más rápida la resolución del problema, pudiendo ocurrir también que se slrnpllfique considerablemente la integración. puesto que las constantes e, tienen ya valores numéricos concretos. Cuando las constantes son arbitrarias, la integración resulta más difícil y a veces suele ser imposible expresar la Integral por luncíones elementales. Como ejemplo, veamos el siguiente problema de Cauchy U" = 2y3, gl.-o = 1, y' 1_ = 1.
e,
Poniendo y' = P. obtenemos p
1;= 2y3,
de donde p' = y'
+ e"
o bien ~ =
V y'+e,. 89
Separando
las variables.
hallamos
, .~+ e1 = S (y' + C,l-'" dy.
En el segundo miembro de la última iguidad resulta una integral de una diferencial binornla. En este caso, m = O. n
= 4.
P = - {. o sea. es un caso no integrable.
Por consiguiente. esta integral no se expresa en forma de combinación finita de [unciones elementales. No obstante. empleando las condiciones iniciales. resulta CI = O. Por lo tanto, _~/; = y2. de donde, teniendo en cuenta las condiciones
1_ • y = _1_-x
iniciales. hallamos finalmente
de casos distintos de diferencial.
He aquí unos cuantos ejemplos reducción del orden de la ecuación Ejemplo 1. Hallar yf"
la solución
S o I u ció n. Integrando dada. resulta
general
sucesivamente
+
+
y" =-cos x sen x el' yf __ sen x - cosx +C,x
y=cosx-
sen
Ejemplo 2. Hallar
de la ecuación
+ cos x,
=sen x
x+e,
la ecuación
+ C2•
~' +C2X+C3•
la solución
general
de la ecuación.
yll'=~
"
y señalar la solución que cumple las condiciones iniciales y 1_, = O. yf 1._1 = l. y" 1,_, = 2. S o I u ció n. Inlegrando
esta ecuación
sucesivamente
tres veces. hallamos y 11 = !J'
90
=
J -;r d x=--x-In .. I
-2'11I2x-lnx
In "
. XI
+C
+Clx+C..
J'
(1)
Busquemos la solución que cum~le las condlélones lnlciales dadas. Poniendo en (1) los 'datos iniciales, obtenemos
1
~ +C~+Ca=O CI+C,=I -1 +CI=2 De donde CI = 3, CI = - 2, Cs
3. Resolver
La sohlción buscall'a es-
+ !2 x2 -
2 !I = - .! 2 In x
Ejemplo
=+
2x.
+ 1.. 2
la ecuación
V 1+(11")'.
g"'=
S o I u ció n. La ecuación
no conliene la funcl6n Incognlla !I y su derivada, por lo cual, hacemos y" "'"p. La ecuación toma ahora la forma
~~ = VI Separando
e Integrando, obtenemos • .x+c. _ .-(.+C~. p= 2
p por !IN resulta
Sustituyendo
... +c. _ ,~(K+C.1 2
y'l~ Integrando ex+Ct
11'=
+p2.
las variables
sucesivamente.
+
se tiene r+C'
,-(X+CI)
2
+C20
o bien
g=
+ C,) + CtX
II-sh(.c EJelflplo 4. Resolver
6-tx+C ••
-2
+C2.c+C.
+C3•
la ecuación
.cgV
_
gIV=O.
S o I u ció n, La ecuación no contiene la funcl6n In' cógnlta y sus derivadas hasta el tercer orden Inclusive. Por esto, haciendo l/IV- P. resulta
x
dp
dx
-p=O • 01
De donde
!lIV=e1x.
p=eIX.
Integrando sucesivamente. C 12" x'+C
rrr !I"=
!I" =C1 !I' =
~
hallamos
2•
• + C,X + C
3•
el 24 +e, 2" + CsX + c•. Xi
Xl
.tI
.1"
x!
i2ij+e'T+e32"
!I =el
+C,X +C$
o bien y
donde
=C
IX5
el =
+ C2x3+ C3X2 + C,x
I;~'CI
= ~'.
+ C$'
e3 = ~a.,
Ejemplo 6. "Resolver la ecuación !I"
+ 1/"
=2e-u.
S o I u ció n. La ecuación no contiene la variable independiente x, Haciendo 11' = p, y" = P ddP, obtenemos !) la ecuación de Bernoulli p ~:
Con la sustitución lineal
+ pt=2e-
p•
pI = z, ésta se reduce a la ecuación
~+2z=4e-Y dy cuya solución general es z = 4e-V
•
+ C,e-2y•
Sustituyendo z por p' = y", obtenemos
*=±
Separando las variables x +C.=
¡!4e-'+C1e-2¡¡. e Integrando, resulta ±
+
V4e>-C1•
De aqui que donde
C,
-
C¡=-¡-. Esta es la integral
de la ecuación
Ejemplo 6. Resolver
dada.
la ecuación
xZyy" = (y -
xy')Z.
S o 1 u ció n. La ecuación es homogénea respecto de Y. y', !f". Con la sustitución y =eJ .dX, donde z es una nueva función incógnita de x, el orden de la ecuación se disminuye en u.na unidad. Se tiene,
y' = zeS Poniendo sulta
x2 (2'
+ z2) / por e'
Simplificamos X2
(z'
1/" = (z'
ZdX,
en la ecuación
+
Z2)
S .,Ix J
= (1 -
+ Z2)
eJ za •. de y. y'. gil. re-
las expresiones = (eS .dx _
.tuI
=. xz)Z,
o bien,
x2z'
ZdX)'.
+ 2xz
= l.
Esta ecuación es lineal. Su primer miembro se puede escribir en la forma (x202)'= 1; De donde X2Z=.~+Ch o bien, I
02=-:'+7'
e
Hallamos la Integral
f
o2dx=
f(++
La solución general
:!)dX=lnlxlde la ecuación
:' +lnCz· dada es
In I x I+.f! In e,. x
y=e Además. la ecuación
o bien, y=C2xe tiene la solución trivial
_f.L
•
y
= O.
Ejemplo 7. Resolver la ecuación x3y" =(y _ xy')2. 93
S o 1 u ció n. Demostremos que esta ecuación es hornogeneralizada. Suponiendo que x, y, y'. y" son de grado 1°. m·ésimo, (m-I)·ésimo y (m-2)·é.simo. respectlvarnente, e igualando los grados de todos los términos. obtenemos (0) 3 (m - 2) = 2m.
génea
+
=
de donde m l. La resoíubllldad de la ecuación (.) es la condición de la homogeneidad generalizada de la ecuación. Hagamos la sustitución X =:
e'.
JI:;;;tI
IiC'.
Como dy
(~7+ u).'
dt
dg
.!!i _
d
"':"':"--;--'-= ....!!.. + Il,
(fi"=-¡¡;di
.1
dI
,1 (dI!)
dI
dI
dx' -
dz
TI después de simplificar loma la forma
por el factor e" la ecuación
!!:.!!._+~=('~)2 dI' dI di' Poniendo
du
TI
= p,
d'u
dp
-¡¡¡; = p Tu' obtenemos p
~Z+p=p~, +
. dp 1 =- p. De donde p = O. o bien. Tu Integrando ta segunda ecuación, resulta p= t
du
+C,e". o bien. TI
= 1 +C,eu•
La solución general de esta ecuación es u=ln 94
.'
c,"+c,'
dada
Volviendo a las variables x e y. obtenemos general de la ecuación dada
la solución
x
c,x+C,'
U=xln
=
=
N o t a. El caso p O nos da u = e, o bien, y ex, solución particular que resulta de la solución general 'para = e-c, 2"",0.
e,
e
Integrar las ecuaciones: 381. 382. 38S. 384.
=
=
U'" xe«, U (O) = U' (O) U" (O) = O. y'V= x, u"'=xlnx. U{I)=U'(I)~u"(Il=O. U'" = x cos x.
+
=
385. ylll
(x ~
Y (1) = y'{I)=
2)"
y" (1)=
O.
+ 6 = O. + + y,1 + 1 = O. r:- 2U"y' + 3 = O. xy" = y' In Ji..... x
386. U"' - 5y' 387. (1 )(2) y" 388. 389.
390. U"I 391.
s"
+ y,t = s".
+ y,,,, = 1.
392. y"(1+21ny')=1. 893. x= V"' 394. 4V'
+ l.
+ y'"
= 4xu"
,
r.
395. y,,1 - U'y'" = (~
S97. U"=
+ 2) ell = 1. ~ + ;:. y(2)=0'.u'(2)=4.
398. y" =
VI +Ur.
396. U" (y'
399. y"=y'lny';
y'I..,..<}=1.
yl_=O.
400.
2y" In Uf = Uf; Y
401.
y"
+ y' JI' y,1 -
1_1 ... -
1
= O;
6e-2,
U'
',<==1= e-t.
IJ '__ n = O. IJ' ,-"
= - 1. 95
1 + y"; y I_.,= In 2 -
402. 2!l'yl/= 403. xy'"
+ y"
-
1, y'
l\'=()= -
1 =O.
X -
404. y'y'" - 3y'" = O. 405. xy"yll=!;"
+fx<. l.
406. x'y'" +2x'l!J"=
407. VI-x"Jy,,+VJ-y"=O.
+ 2y"
408. (x - 1) y'" 409. gily3 = l.
= "/:: .
410. yg"-g"-I=O. 411. 3y'g"=2y;
y(O)=g'(O)=l.
412. y"=aeu• 413.4y •
"=+-. 4
r y
•
414.3y"=gJ. 415.
1
+ y,2 = 2yg".
416. ¡/'g"=-
l. g(I)=
417. y"'=3gy'; 418.
vs" -
l. y'tl)=O.
U(O)=U'
(0)= 1, y"(O)=t,
g,2 = tly'.
419. UU"=Y".
420. y" = e2y, y (O) = O, U' (O) = 1. 421. 2UY" - 3y,2 = 4y2.
+
422. gil = 1 g". 423. xy'(Uy" _ gr) _ l/y,2 =."'U3• 424. ,t'!/ = (U - XU')3, '425. y,,+y,2+2y'=0; 426. gil = U'(I
1/ (1) = y"(I) = 1.
Y1....o=ln2, g'I..-<>=-I.
+ g"), 3
427. 3g"=(¡ 428. g"(1 96
+y")2.
+ 21ng') =
1; 9 1.=0 =0,
1/' 1.-0= l.
l.
429. y"(y'+2),,"=
1; YI_o=e-I,
+
+
y'I_=-1.
u: .
3yy'y" 2y'· 1!..(yy" - y") = x " 431. Hallar el tiempo que necesita un cuerpo pata caer a la Tierra desde la altura de 400 000 krn (aproxünadamente, ésta es la distancia desde la Luna hasta el centro 430. y?y"'-
de la Tierra), si la altura se mide desdé el centro de la Tierra y el radio de la misma es 6400 km, aproximadamente. 432. Hallar la ley del movimiento de un 'punto' mateo. rial de masa ni que se mueve por una recta OA debido a la acción de una fuerza repulsiva que es inversamiente proporcional al cubo de la distancia del punto x = OM hasta el centro inmóvil O. 433. Un cuerpo de masa m cae desde una altura con la velocidad [l. Durante la caída, el cuerpo experimenta una resistencia que es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar la ley del movimiento del cuerpo. 434. Hallar una curva que pase por el origen de coordenadas. de modo que el área del triángulo formado por la tangente a la curva en uno de sus puntos, la ordenada del mismo punto y el eje OX, sea proporcional al área del trapecio mixtilinco formado por la curva, el eje OX y la ordenada de este punto. 435. Hallar la curva cuyo radio de curvatura es constanteo
§ 14. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n:
INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS FUNCIONES. DETEQMINANTE OE WRONSKY (WllONSKIANO)
1.
Sea dado un sistema finito de r¡ funciones yl(x) , ... , y,.,(x), definidas en el intervalo (a, b). Se dice que estas son linealmente dependientes en d intervalo (a, b), si existen unas constantes Gtlo (X2, .•• , a", no sirnulY2(X),
7-442
w
táneamente iguales a cero, tales que para lodos los valores de x de esle intervalo se cumple la identidad; , a,!!, (x)
+ a,y.lx) + ... + a.yo
(x) e!! O.
Si esta identidad se cumple solamente para al = a2 = . ...= an = O, se dice que las lunciones !JI (x), gz(x), . .. . • !In (x) son linealmente independientes en el intervalo fa, b),
Ejemplo 1. El sistema de Iunclones t. x, xZ. x3 es linealmente independiente en el intervalo (- eo, + 00). En electo, la igualdad a,·1 a2X + a3,\'2 + (L~x3 = O puede cumplirse para todos los valores de x E (-00, +00) solamente cuando al = "2 = 0.3 = '" = O. Si al menos uno de estos números es diferente de cero, en el primer miembro de esta igualdad tendremos un polinomio de grao do no superior al tercero; éste puede convertirse en cero no más que 'para tres valores de x del intervalo considerado r
+
Ejemplo 2. El sistema de funciones ck,., et,., ek"" donde k,. k~. k3 SOl) distintos dos a dos, es linealmente independiente en el intervalo - 00 < x < + oo. Supongamos. por el contrario, que el sistema dado de funciones es linealmente dependiente en este intervalo. Entonces, (A)
en el intervalo (- eo, + (0). siendo distinto de cero al menos uno de los números al, CX2,0.3; sea 0.3 =1= O. Dividiendo ambos miembros de la identidad (A) por ek •• , resulta (1)
Derivando (1), obtenemos a2{~ - k,)e(k,-k,¡.
+ aa(k3 -
k,)e(k.-k,J.
=0.
(2)
J;>ividi~ndo ambos miembros de la identidad (2) por tiene
e~~""~>l',se
Derivando
(:3). obtenemos
a, (k3 -
k,) (k, -
kt) e(t.-t,I. "" O,
lo cual es imposible, ya que o:~ =F O, por la hipótesis, k, .¡. k k~ =F. kJ y e('.-lJ. =F O. La "hipótesis sobre la dependencia lineal del sistema dado de funciones nos conduce a una contradicción, Por consiguiente, 'este sistema de funciones es linealmente índependiente en el intervalo (- 00, + 00). El sea. la identidad (A) se cumple solamente cuando ct, a2 0:) O
=
=
=
Ejelnplo 3. El sistema de funciones ea.< sen ~x. e'U cos px. donde p =F O. es linealmente independiente en el intervalo - 00 < x < + oo. Determinemos unos valores a, y 'a2 de modo que se cumpla la identidad
o.
a,e'" sen ~x + a.¡e"" cos !Ix""
Dividiendo ambos miembros de esta identidad resulta a, sen fU' + a, ces ~x _ o.
11) por e"-''¡''O. (2)
=
Poniendo en (2) el valor x O. obtenemos «2 = O y. por consiguiente, a, sen IIx - O: pero la función sen IIx no es idénticamente igual :\ cero. por lo cual, a, = O. La ídentldad (2) y. por lo tanto. la identidad (1). subsisten solamente cuando a, = a2 = O, o sea, las funciones conslderadas son linealmente Independientes en el intervalo -
00
< x < + oo.
.
N o t a. En particular. queda demostrado que las íunclones trigonométricas. sen IIx. cos IIx. son linealmente lndependientes .. Ejemplo 4. Las sen(x-'¡)son (-
00,
funciones
linealmente
sen ,e,
dependientes
sen
(x+i).
en el intervalo
+ 00).
Demostremos que existen tales números a. .. u •. as. no todos iguales a cero. que en el Intervalo - 00 < x < + 00 tiene lúgar la identidad
a, senx+
+
i) +a3sen (x -'¡)iiilO.
(A)
~
Suponiendo
que la identidad
(A) eslá cumplida.
=.:¡..
mos. por ejemplo. x = O. x tendremos el sistema homogéneo tres incógnitas a¡, a2. CL3:
i-
a.¡ sen I
a, 1"2 a, El determinante
x =~. Entonces. de tres ecuaciones
+ a.¡ sen '8 +
+ CL¡ sen T + as sen
ob-
con
i =O
Cl, sen
3:1
5"
haga-
(1)
3n
T =O
de este sistema
o
sen
i -seni
1
6=
3.-.
11
5,,-
3"
I/'2 sen- 8 sen- 8
senTsellT
es igual a cero. Por consiguiente. las soluciones del sistema homogéneo (1) no son nulas, o sea. existen tales números Cl2. a. uno por lo menos. de los cuales difiere de cero. Para hallar estos ternos de números CL,. az. a, tornemos. por ejemplo. Ias dos primeras ecuaciones' del sistema (1):
a,.
(1.,
"1
7l"'F' r2
sen
-1- a.l sen -3
i1t
8·
+
sen
(1..
sen - = O
De la primera ecuación tenemos al
Haciendo Il:!= l de este sistema (1) (1,
100
= - 2 cos
n· 8
112=a3;
.¡.
obtendremos
= - 2 cos'¡.
.¡ = O
Il,
I
de la segunda.
al'
la solución
a.¡ = l. Il:!= 1.
no nula'
la
E
Demostremos ahora que para estos valores de 01' ~, 0l identidad (A) se cumple para todos los x e (-00, +00) ·1. Tenemos, cualquiera que sea x, 0,
sen el
x + ~sen(x +'¡) + al sen (x - ¡.)El -
2 cos
i sen x + 2 sen x cos .¡
55
O.
Por consiguiente, el sistema dado de funciones es linealmente dependiente en el Intervalo - 00 < x < + oo. N o t a. Se puede enunciar otro criterio de. índependencia lineal para el caso de dos íuncíones. Las funciones 'PI (x) Y 'P'(x) son linealmente independientes en el íntervalo (a, b) si la razón : no es Idénticamente cons-
:~!
tante: ~ ~;~ .. const en este Intervalo; si :: :~: - const, las funciones serán linealmente dependientes .•• ) Ejemplo 5. Las funciones tg x y cig x son linealmente independientes en el intervalo O < x < puesto que la
-r'
razón
ttl!" = tg2 cgx
X
;;ji
const
en este intervalo.
Ejemplo 6. Las funciones sen 2x y sen x cos x son linealmente dependientes en el intervalo - 00 < x < + 00, puesto que la razón la 2:e~n:c~:s: ..., 2 (en los
s.~·;e:"
puntos de discontinuidad de la función se~':::' x' esta razón se completa asignándole su "verdadero valor", de modo que resulle una función continua) . • ) Se puede establecer
l. dependencia
(x+'¡), sen (z-i) + $On(x - .¡-)- 2<0$ T sen .. 6 sen e, •• n
- 2cos
lineal de las lunclones
admitiendo
stn
que s.n(x+'¡')+
(x+ i) + .en(x -i)-
¡. sen x-O .
• ) También se puede s.nallr otro criterio de dependencl. IIne.1 d. n funcionu (ti;;;' 1): Las lunelenes !/I (x), U.x •.•• , y. (x) son lin •• lrnente dependientes en el Intervalo (a, b), si .1 menos uno de ellas puede expresarse en este íntervalc como combinación lineal d. Ins eestsntes. En caso contrario, el sistema d. funcione. es linealmente independiente. (Nota del r.) 101
Averiguar si las (unciones dadas son linealmente índeen su campo de definición.
pendlentcs
436. 4. x, 437. 1. 2,
X, x2.
438 . x, 2x, 439.
X2.
xes,
(t'( I
xZex.
440. sen .r, tos x, tOS 2x. 441. 1, sen x, tOS 2x.
442. 5, coso x, sen" x. 443. cos x, cos (x
+ 1).
cos(x - 2).
444. 1. sen 2x, {sen x - cos x? 445. x, aJcn'
(x
< O).
446. Igo x, Ig. x'
(x> O).
447. 1, arcscu ,
cu1
450. e -.,
e-. I
451. x, xl
1 eT di . al'
•
~;dt
(xo > O).
x,
"'.
Supongamos que las 11 (unciones 111(x), 11'(.1') •• ,. IIn(x) admiten derivadas hasta el orden (,t - 1). El
delerminante W [YJ' y, •...•
Un! =
II,(X) (x)
y;
111.-11 (x)
Y. (x)
11; (x)
.. .
Y. (x) Y~ (x)
!J~n-l)(x) .. , y!:,-ll{X)
determinante de \'í!rolLslly (o wronskiano) de estas Iunclones. Obsérvese que, por lo general, .el wronskiano es una función de x- definida en cierto intervalo. se tlama
102
Para el caso de tres funciones, el wronskiano tiene la forma yJ(x) ydx) Ua(x) W Iy" u?, YJI = y: (x) y; (x) V; (x) •
I
U:' (x) U~(x) Unx) Ejemplo 7. Hallar el wronskian~ de las funciones !/I (x) -= e'<', Y2(X) =e',.<, Va (x) = e-t,x. S o l u e í 6 n. Se tiene
I k:~'k:;: I
W Iyo. Y1, Y31= k~;:'
kie."
a=
=»
k~ek,x k~l!k""
ctt,+,,+k,). (k2 -
11,) (ka ~ k,) (k) - k~).
Ejemplo 8. Hallar el wronskiano de las lunciones y,(x)=senx.
U¡(x)=sen(x+i),
Y3(x)=sen(x-i).
S o ! u e í ó n. Se tiene W
lu,. y" Y31=
(x +.¡)
sen x
sen
cos x
cos (x+~)
- sen .t
-
sen
(x + i) -
sen
(x - i) n'
cos (x-a) sen
=0,
(x - -i)
puesto que la primera y úluma filas del determinante son proporcionales. En los siguientes ejercicios se pide hallar el wrenskia-
no de los sistemas de funciones lndicados: 452. 1, x. I
453. v, -;. 454. 1, 2, x'. 455. e-x, xc-x. 456. cX, 2e'. e=», 457. 2, cos x, cos 2x. 103
458. sen x,
sen(x+f).
459. are,cos';',
arcsen';'.
460. n, arcsen x, arccos x, 461. 4, sen2 x, cos 2x. 462. x, Inx. 463. 464. e' sen x, eC cos x.
e-"
465. e-3' sen 2x,
cos 2x.
466. cos x, sen x. 467. sen(~-x),
cos(~-x).
Subsiste el 'siguiente teorema. Teorema. Si el sistema de funciones y,(x), y,(x), ., ., Un (x) es linealmente dependiente en el sej!mento [a, b), su wronskiano es idénticamente nulo en [a, b~ As!. pues, el sistema de funciones sen sen +
(x .¡),
x,
sen
(x - ¡.)
es ltnealrnente dependiente en et intervalo + (0) y, como fácilmente se com prueba, su wronskiano es igual a cero (véanse los ejemplos 4 y 8). Este teorema solamente indica la condición necesaria para la dependencia lineal de un sistema de funclones. El reciproco no se cumple, puesto que, el wronskiano puede ser nulo también cuando las funciones consideradas foro man en el intervalo un sistema linealmente independiente. Ejemplo 9. Examinemos las funciones (-
00,
Ut (x) =
Y2(X) = 11)4
I
O,
(x - ~
¡
(x-fY, O
t'
si 0~x~2 I
si 2<x~l,
si si
I
Sus grálicils tienen la forma que se muestra en la fig.21. . Este sistema de funciones es linealmente Independiente, puesto que solamente para a, = a1 = O se cumple la identidad a,!J, (x) + a2!I2(x) - O. En efecto, considerándola en el segmento [O, ;],obtenemos a2!l1(x) e _ O, de donde Q.1 = O, puesto que Y2(X) ~ O; no obstante, en el segmento [{, 1) se tiene a,y, (x) Fig. 21 _ O. de donde a, = O. puesto que !b (x) O en este segmento. Consideremos el wronsklano del sistema W IYI' Y2). En el segmento
=
=
*'
ro, +]
W{y"
en el segmento
[{,
Y21=1:
(x (
-{YI1)
2x-- 2
=0,
1]
Por lo tanto, W (gl, YlI "'" O en el segmento 10. Ij. En los siguientes problemas se pide demostrar que las funciones dadas son Iinealrnente independientes y su wronskiano es idénticamente nulo. Construir las gráücas de estas íunclones. si -1~x~O si O <x~ 1, si -1 ~x~O si O<x~1. 105
O. si VI (.xl ={ (x _ 2)'. si 469.
O"';x~2 2 < x"'; 4,
v, (xl =
{(X-2F. O.
si si
1/o{X}=
r, { O,
si -2"';x~O si O<x~I,
{O
si -2"';x~0 si 0< x< l.
470. v~'(x)= 471. YI(X}=x',
X;,
0~x<2 2 < x ~ 4,
-1 <x...;
v,(x}-xlxt,
1.
Veamos un criterio mas de dependencia lineal de un sistema de funciones. Supongamos que se considera un sistema de funciones v, (x), v,(x} •... , v. (x) dadas en el segmento la, b). b
Hagamos
(V" V,)=
El determ inante
f
y,•...•
II.)
• (/1" YI) (!lI'
r (UI'
(1 l= t, 2.....
V,(x}V¡(x)dx
Y.) = (V,. gl)
yJ
(V2. y,)
(y •• YI) (Y•• !l.) '"
(!I,. !l.) (V,. y.) IU., Y.)
se denomina determinante de Gram del sistema de lunetones (y~(x){. Teorema. Para que el sistema de funciones !/I (x). U2(X) •••.• u.(x) sea linealmente dependiente as necesario y suficiente que <su determinante de Gram sea igual a cero. Ejemplo 10. Demostrar Que las Iuncíones UI = X. y, = 2x son linealmente dependientes en el segmento (O, 1] -) . • ) La de~endencl. linea de estas Iuncíones en cualquier aegm,ento es censecuencra inmediata del ctUerlo expuesto eri l. nola de I.'pig. 101 (Vbse también la noto del T. en In pole. 101. En este caso. ", - 2YI. (Nota del r.)
106
s o I u ció • (y,y,)=
n Se tiene
•
f x'dx=+; o
(y, lit) = (YfY,) =
,
(Y2' 112)=
r(Y"II,}=
f 2.rd.JI:=f; •
f 4.t'dx=-r. o
ti
,1+f T =0.
por consiguiente, las funciones y, {x} y y,(x} son linealmente dependientes. 472. Empleando el criterio expuesto, comprobar que las funciones en los ejemplos 438, 442, 444 son linealmente dependientes en el segmento (- n. n], 2. ECUACIONES LINEALP.S HO~\OGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
Sea dada la ecuación diferencial
Iloy'·l+a,y"'-'l+ '.' +a.y=O,
el)
donde ao. a, •...• a son constantes reales. Consideremos la ecuación caracterlstica ft
a""."+a,,,,IO-'+ ... + a,. =0.
(2)
Supongamos que Al. At •. , .• A. son las raíces de la ecuacíén (2). entre las cuales puede haber múltiples. Se pueden presentar los casos siguientes: 11) A,. A.! ....• J..o son reales y distintas. En este caso, el sistema lundamental de solucIones de la ecuación (I) tiene la lorma:
y la solucIón general de la ecuación homogénea es Y~.... c,i"
+ C#~" + ... + C./·.";
b) las ralees de la ecuación caracterlsttca pero algunas de ellas son múltiples.
son reales. 107
Sea. por ejemplo, ¡., = ),.= ... = i:~o=~, de modo que i es una raíz k - múlUple de la ecuación (2), mientras que todas las demás n-k raíces son distintas. En este caso, el sistema fundamental de soluciones tiene la forma e1...A, xel.x,
.'('J
e1.K,
.0.,
x"-'i'x,
e"'k+r", .. "
eA.""
y la solución general es
9,=C/"+c2xi'+c3x'i'+
... +Ctxk-'i'+
+ Ck+le~HI'+ ... + C.e'o·; e) algunas de las raíces de la ecuación característica son imaginarias. Para fijar ideas, supongamos que '" = a + ijl; }.. = = a - l~, As = V + iO, ,., = V - iO, ji =1= O. 6 =1= Ó, y que las demás ralees son reales tomo, por la hipótesis, los coeficientes a¡ (i = O, 1,2, ... , n) de la ecuación (1) son reales. las raices imaginarías de la ecuación (2) son conjugadas dos a dos. En este caso, el sistema fundamental de soluciones tiene la íorma e"'cosjlx, e""'senjlx. eV'cosOx, e" sen 6x, ls'. eA.', .... in%,
y la solución general es y¡¡=C,elUcos jIx + C~ ... sen lIx + C3ev, cosOx + + C,ev• sen Ox C6C~" + .., + c.i.'; d) si ,., = Ct ¡ji es una raíz k - múltiple de la ecuación (2) (k':;;; -I)' entonces, A. = ct - ¡ji también será una raiz k - múltiple y el sislema iundamenlal de soluciones tendrá la íorma: e'" cos jIx, e"'" sen jIx, xe'" cos lIx, xe"" sen jIx., ••• . ,., x)-'il.lcostix, xt-1eCUsenpx, eA:A+lx ••.• , i·,,&.
+
+
Por consiguiente, la solución general es: u¡¡=C,elU cos fix C.e·· sen lIx C3xea, cos ~x + +C,xe""sen~.I: + ... + Cu_,xk-1e"" cos jIx + + C2kx'-'e"' sen'jIx + c2*+,i'HI' + .,. + c.i.'.
+
108
+
Ejemplo
1. Hallar
la soluclén
general
de la ecuaclén
ylll - 2y" - Sy''''' O S o I u ció n. Formamos
la ecuación
"a_ 2,,2-
característica
3'-=0.
Hallamos sus ralees: ).1 = O, ]..2 = - l. ?-3 = 3. Como éstas son reales y distintas, la solucién general tiene la forma
Yg= el Ejemplo
2. Hallar
la solución
y'" S o 1 u ció
+ C,e-' +e~3.,.
+ 2y"+
n. La ecuación
general
característica
+ ).=0. = - 1, A3
1.3+2]..2
de la ecuación
y'=O' tiene la lorma
De aqul hallamos: Al = A2 = O. Las raíces son reales. Una de ellas (precisamente A 1) es múltiple, de segundo orden. por lo cual, la solución general es: Ya = Cle-x Cyce-x C3•
+
Ejémplo
3. Hallar
+
la solución
+ 4y" +
y'"
S O 1 u e i 6 n. La ecuación },,'+4.A.1
=-
general
de la ecuación
13g' =O.
característica
+ 13)..=0
tiene las siguientes
ralees: "1=0, "2=-2-31,
La solución
general
Y. = el Ejemplo
+ C,e-t.
4. Hallar
!Iv - '2yll'
"3=-2+31.
es: tOS 3x
+e,e-'Zx sen 3x.
la solución
+ 211'" -
4y"
general
+ y' -
de la ecuación
2y = O.
S o I u ció n. La ecuación caracler ística ¡,b _ 2},'
+ 2}} -
o bien, (l. - 2){/!
4)..2
+}" -
2 =O
+ t)' = O. 109
tiene las siguientes raíces: A = 2 es una ra¡~ simple y A = ± j es un par de ralees imaginarias de segundo orden. La solución general es
y. =
Cié'
-1- (C.
+ Csx) cos x
(e, + CsX)sen
x.
Ejemplo 5. Resolver la ecuación ylV
+ 4y'"
+ 8y"
S o I u ció n. Formamos A·+4A3+8~.2+8A+4=0,
+ 8y' + 4y = O. la ecuación
característica
o bien, W+2A+2)'=0.
Esta tiene las raíces imaginarias
de segundo
orden:
Al=}., = - 1 - 1, 1.3= A, = - 1 + 1, y, por consiguiente, la solución general liene la forma
Y. = ele-x cosx + C,c-x senx+esxe-x cosx + C,xe-' sen x, o bien. U, =e-X(C,
+C~)cosx
+ e-"(Cs + C,x) sen x.
Formar las ecuaciones díierenc.lales lineales neas conociendo sus ecuaciones características. 473. }..
homogé-
+ 31.+ 2=0.
474. 2.l}- 31.-5=0. 475. A(A+ 1)(A+2}=0. 476. (}.'+ 1)'=0. 477. }.s=O. Formar las ecuaciones diferencIales llneales homogéneas si se conocen las raíces de sus ecuaciones caracteristicas y escribir sus soluciones generales. 478. }.I.= 1,1.,=2. 479.
"t = 1, A, = l.
.482.
e-x, ex.
'ISO. h,;= 3 - 2i, A, = 3 + 21. .4S.1. A, = 1, "->.= 1. As~ 1. Formar las ecuaciones dilerencíales lineales hornogeneas si se dan .sus sistemas íundamentátes de soluciones . 483. 1, eX.
¡ro
484. e-2'x, xer>. 4S5. sen 3x, cos 3x. 486. 1, x, 487. e', e'/:C, e3"" 488, e=, xe~, .~2eX. 489. e", xer, e'lx-. 490. 1, x, e'. 491. 1, sen x, cosx. 492. eZx, sen .t. cos x, 493. l. e-X sen x, e-x cos.e,
Integrar las siguientes ecuaciones: 494. 1/" - y =O. 495. 3y" - 2y' - Sy = Q. 498. y'" - 3y" 3!1' - Y = O, y(O) = 1, y'(0)=2, y"(0)=3.
+
497. yft
+ 2y' + Y = O.
498. u" _ 4y' y(0)=6, 499. yt/f
500. 501. 502. 503. 504. 505.
+ ay = o. y'(O)=
10.
+ 6!J" + II!J' + 6y =0.
y" - '2y' - 2y =0. i/\'1+2yv+yIV=O. 4y" - Sy' -1- 5!J=0. y'" - Sy =O. ylV + 41/" + 10y" + 12y' + 5y = O. y"-2y'+2y=O, y(O)=O. y'(O)=I.
+ 3y =0, + 2y't1 -1- 4y" yV -1- 4y'V + 5y'" -
y(O) = l.
506. yft - 2y' 507. ylV 50S.
509. y'"
+ 2y"
510. y'" - 2y"
2y' -
y'(O) =3.
5y = O.
61/' - 4y =0.
- y' - 21/ = O.
+ 2!J' = O.
511. l/IV - Y = O. 512. yX=O. 513. y'''-3y'-2y=0. 514. 2y'" - 3y"
+ y' =0. 111
3. ECUACIONES LINEALES NO IiOMOGENEAS COMPLETASI DE COEFICIENTES CONSTANTES
(9
Sea dada la ecuación diferencial lloy,n,
+ allfn-o + ..' + a.y
=·f
(x)
(1)
de coeficientes constantes reales ao. al •.. '. ano La solución general de la ecuación no homogénea (1) (llamada también completa) es igual a la suma de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y de cualquier solución particular de la ecuación no hornogénea. La solución general de la ecuación homogénea correspondiente se halla según las reglas expuestas anteriormente en el apartado 2. Por lo tanlo, el problema de la inlegración de la ecuación (t) se reduce al problema de la búsqueda de una solución particular yp de la ecuación no homogénea. En el caso general. la inlegración de la ecuación (1) puede realizarse por el método de variación de las constantes arbitrarias. No obstante, cuando los segundos miembros tienen una forma especial la solución particular puede hallarse con mayor facilidad por el método de selección. Para que sea posible emplear el mélodo de selección. el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) tiene que tener, en el caso general, la forma:
f (x)'"
eQt[P. (x) cos ~x
+ Q", (x) sen ~xJ,
(2)
donde p. (x) y Q ... (.t) son polinomios de gradó ro y m. respectivamente. En este caso, se busca una solución partíeular yp de la ecuación (1) de la forma Yo =x'e'"
(P. (xl cos~x
+ Q. (x) sen flxl.
(3)
donde k - max (m. /1). Ti. (x) y l;'i. (x) son poltnomles en x de grado k. de coeficienles indeterminados, y s es el orden de muttiplicídad
; (x) = !,a¡f¡{x), 1-1
112
(4)
donde f¡ (x) son de la forma (31. en virtud del principio de superposiclón se busca una solución particular Y'i> de la ecuación (1) de la forma
,
!/p= I~ a'Ylp He aqul un cuadro sinóptico 'de {as formas de soluclones particulares para distintas formas de segundos rniernbros.
~. "1
Se¡:tllldQ l,*¡(:mbM de J.::. o(lI:telón
orden
dHerenc(~r
PormD,. de la '(IhJcllSn p.JIrtlculM. donde .e-u~:c VIt.
R3¡e~ de ra eeuOle(¡\u (.,r~cle_rts1ic.:l
1
l. El número O
a.
esl
"0
rniz de lo ecuación carcctertsttca
P,.(x)
I
2. El nú,ntro O es r.lz dv·la ecuselén carnel.rislicR de orden s
II
P", (.tI aflJl es real)
(11
1. (;1 número (t. uc es raíz de 1.1 ecuectén caratlcristica
2. El nl1mero u es rol.
de la ecuaelen ceraclerlslic. de orden $
l. Los números -:ip son
111
Po (xl tOS tlx+ +Q,. (x) se', p..
raices
ecuación lic. 2.
110
de
In
ceracterts
:l:i/ll
Los números son !~Ices de l. ecuacron caracter lstlca de orden s
1. IAsnúmerosu±ljlno son raíces de •• ecuaeíén caracterisIV
•a'IPo
(x) COs px+ +Q •• (x) sen jlxl
»; (x)
I I
I I
x'P .. lx}
P,,,
(x) ....
x'P,.
(x)'"
'P. (x) ces px+ + Q. (Xl sen px x, (P" (x) cosllx+ +Q. (x) sen p.t)
(p. (x) ces jlx+
+12. (.x)
sen flxl eox
He ...
números O:l:í~ x' (P. (x) cosllx+ son ralees de la +Q. (x) sen jlx) e"" ccueclée c;nacler is· tica de orden s
2. los
113
Ejemplo 1. Hallar
la solución general' de la ecuación
y'" - y"
+ Y"-
U=,x'
+' x'. +
n. La ecuación caracterisüca 1.$ _ 1,2 J. - I O tiene raíces dlstlntast A.; 1, "2 = - l. -'.3 = i, por lo cual, la solución general Ug de la ecuación homogénea correspondiente es:
+
S o I u ció
=
=
!I¡¡ = C,cx +C, cos x
+ C3sen
x;
Corno el número O no es raíz de la ecuación caracterlstica. se debe buscar la solución particular YI> de la ecuación dada de la forma Up=A,x2+A.x+Aa. donde A l. A2, As son, por ahora, dos, Para hallarlos. se sustituye ecuación dada, resultando - AI.~2
+ (2AI -
A2).t
+ (A2
de donde
coeficientes indeterminala expresión de !lp en In -
2AI -
A,=-I}
2A,-A.=
l
Aa) = .. 2
+ -",
.
A. - 2A, - As=O Resolviendo
este sistema
Por consiguienle,
hallamos:
A.=-3,
AI=-I,
la solución Yp=-
y la solución
general
y=Cle' Ejemplo
A3=-J. es
particular xl -3x-
I
de la ecuación dada
+ C2 cosx +Casen
7. Hallar la solución
y'" -y" = l2x2
x
_,e2
general
tiene la forma -
3x - J.
de la ecuación
+ 6x.
$.0 ,1u c] 6 n. La ecuación característica )..S ')..2 = O lí~li,e las ralees ~I ')..2 0, )..3 = 1" por lo cual, la solución general 'de la ecuación homogénea correspondiente es::
= =
11-1
Como el número O es raíz múltiple de segundo 'orden de la ecuación característica. se debe buscar una solución particular de la forma UP=X~(AIX2 + Azx + A3)= A·,x" + A2x3 + Al;!:2. la expresión de Y1'
Sustituyendo
-en
-I"aecuación dada,
sé
tiene: - i2A,.r
+ (24A
I -
6A:) x
+ (6A
2A3) =
2 -
iilx2 + 6x,
de donde - 12A,=12 24A¡-6A2=6
} •
6A2-2AJ=O La solución de este sistema es: Al = -l. As = - 15. Por lo tanto, Up=
-~.
-
5x3 -
A2"'!'
-S,
15",,2.
La solución general de la ecuación dada es: y=CI
+C2X+C3~
- x~ -
SX3 -
15x2.
Ejemplo 3. Hallar la solución general de la ecuación U" - 6y' + 9y = 25e' sen x. S o I u ció n. La ecuación característica ,.' - 6,. + -\- 9 = O tiene las raíces ;_1 = '-2 = 3; la solución gene· ral !/N de I~ ecuación homogénea es U, = (el + C2x)e'-<. Se busca una solución particular yp de la forma !Jp = e'<.(a cos x + b sen x). Poniendo la expresión de !/p en la ecuación y simplificando ambos miembros de ésta por ex, obtenemos (30 - 4b) cos x + (4a + 3b) sen x = 25 sen x. De aquí resulta 3a - 4b .... Q } 4a+3b~25
.
La solución de este sistema es: a = 4. b guiente, !J" = e' (4 cosx + 3sen x}.
= 3. 'Por
eonsi-
115
La solución general de la ecuación dada es: !I=(C, +C2x) e3• e% (4cos x 3 sen x).
+
+
el ~egulldl) miembro [(x) contiene las hondones trígonométric,.s sen ~x y cos ~x, resulta conveniente pasar' a las funciones exponenclales, como se muestra en el siguiente ejemplo, Supongamos que se necesita resolver la ecuación diferencial:
CU311dl)
(1)
y"+y=xcosx,
En este caso, ;,2 + I = O, l••= - i, h2 = /, )' la solución general de la ecuación hornogenea tiene la forma y~ = e, cosx
+ Czsen
x,
Se debe buscar una solución particular Yv de la ecuación no homogénea de la forma Yp= xl(A ..~ A.) cos x + (B,x + Bz) sen x].
+
Procederemos del modo siguiente. Consideremos la ecuación (2)
Fácilmente se observa que el segundo miembro de la ecuación inicial es la parte real del segundo miembro de la ecuación (2): x cos x = Re (xé'), Partiremos del principio de que, si la ecuación diferencial de coeficientes reales L [y)=f,
(x)
+ íf2 (x)'
tiene una solución y = u(x)+ iv(x), entonces. I/(x) es solución de la ecuación L[y] = [.(x), mientras que D(X) es solución de la ecuación L (y] = [2("), Hallemos 21, para la ecuación (2): zp= (Ax
= + B.~)e' .. + 2 (2Ax + B) ie'x - (Ax + Bx) e's.
+ B) xe"
z;' = 2Ae'~
(~X2
Z
·Sus!ituyendo. en la ecuación miembros por e=, tendremos: 2/1
ue
(2) y simplificando
+ 4Axl + 2Bi = .t,
ambos
de donde A=--;¡-,
8i=O,
8=-7=-;¡-'
A+ Por lo tanto, .z¡,=( - '¡'x2 +
(
4Ai= 1.
*
x)elX
I
A
*
=( -.¡. x2 + x) (cosx+lsenx)= x
+ ..'senr
+ 1 %senx -
~
Re z,
X(:()$Z
+4 .I"senx
x' co. x
4'
= y,
de la ecuación (1).
A veces este método facilita y simplifica los cálculos relacionados con la búsqueda de las soluciones particulares. Ejemplo 4. (1)
y" +4y=sen2x.
Consideremos la ecuación ZIl+42==tfllx,
(2)
sen 2x = 1m e11",
zp= Axe"", ~;= - 4 Axe'lx Sustituyendo
en la ecuación
(2).
+ 4iAelix.
obtenemos
4iA= 1, A=-f. z.= - '¡'xe?IX= -
-f x (cos2x + ¡sen 2x) = r
I
=-¡- x sen 2x -l-;¡-cos de la ecuación
Imzp=-fcos2x=!I. Determinar
le,
forma
2x.
(1).
de la solución particular de la 110 homogénea. si se ccnoccn
ecuación diíerenclal lineal las ralees de su ecuación mlernbro f (x):
característica
y el segundo 117
515. "',=1,
1.,=2:
f(x)=llx'+b-t+c.
516. "',=0,
'",!=I;
f(x)=a.l·+bx+c.
+ + +
517. A, =0, A.!=O: f (xl = ax2 ñx c. !:i18. A, = l. A,,=2: f(.t) =e-'(ax 11). 519. A, = - 1, "2= 1; f(x) = c-'«I~' f, 1.2=-1;
620. A,=521.
.),,=0, '-2= 1;
522.
",=-/,
523.1.,=-21. 524.
+ [¡l.
f(xl=e-X(ax+b).
f(.t)-=senx+cosx.
f(xl=scnx+cos-t.
I_,=l; '.. =2/;
f(x)=Asen2x+Bcos2x.
+
f (x) = 11sen kx 8 cos lu .. f(x)=-c-«Asenx+Ucosx).
A, = - ki, "-,= ki;
525. A,=1.1.t=l; 526. ),,=-1-1 {(x)=e-«A
. .),2=-1 +1; senx+ 8cos r}, 527. "'=.)".I=I.3~ 1, f(x)=ax1+bx+c. 528.1.,=0, '.,=1, ;,,-2; f(x)=ax'+bx+c. 529.1.,=""=0.
;'3=1;
530.
Á,
531.
'.,=/. '...,=-l,
532.
al
f(x)=ax·+bx+c.
f
=]..z= ;.,=0;
(.l)=ax·
"3=1:
+ bx +c.
f(x)=sen.t+cos.t.
A,= - l. "-2= l. A3=2
b) A,=O,
)'2=2.
el l., =A~=
-
d) ).,~A2="-3=
A3=3
1, 1.3= 1 - 1
{(xl = ae-< + be'.
e) '., = - 1, 1.2 = '.,= 1 fl A,=h2=~= 1 533.
al '., ='0. 1.,... bl A,=k, '-2=
1 1
el ),,=A,,=k d) ).,=A.=O,
el h,="'z=k.
fl ", 118
Aa= 1
"3... 1
= A" ="3=11
f (x)
= (ox2 1,*O,k*l.
+ os + e) ctx,
"'J =
534. al A,= '-2 = l. 2 b) ).,=-;. ;.,=1, ~=O
}
535. al A,-3-2I, ,.• =3+21, ).J=).~=O. bl). ,-3 - 21 I = -1 -, '-3 = 3'+ 21
f{xl=ascnx+bcosx. ) f(.d=e3·(st.n~x+
+ 1:0& 2x).
= ).,
. la Iorrna de la soluclórr partícular 'para ecuaciones dlierenciales línéales no homo-
Determinar las siguientes géneas:
+ 3y' =3.
536. !l'
537. !!"-7!/=(x-l)'. 538. !I" 3y' = eX.
+
539.y"+7!/=e-1,. 540. !I" - 8¡/ 541. y" -
lO!!'
+ 16y =(1 - x) e". + 25y -= e". 3
542. 4yl.l
3y'
-
= .ro7".
543. !/' - !I' - 2y = e' 544. !I" - 4!t' =xeh. 545. 11" 546. 1/'
+ e-b.
+ 251/ =cos 5x, + Y =sen x - cos x,
547. 1/" + 16y=sen(4x +al. 648. y" + 4y' + 8.'1 = e1• (sen 2x + 549.
v" -
550. y" 551. !I" 552.
!f"
4y'
+ 8y = el. (sen 2x -
(OS 2x).
cos 2x).
+ 6y' + 13y =e-·lx cos 2x. + k2y = k sen (kx +«). + k2!f
= k.
+
553. y" 4!f = sen x sen 2x. 554. y" - 4y' = 2 cos' 4x. 555. y'"
+
y = x. 556. y"'+6y"+ Ily'+6U=I. 557.
l" + y' =2.
119
+
658. U'" U" =3. 559. yrv _ y ~ 1. 560. UIY - !/ =2. 561. ylV - y" =3. 562 .
!f'" = 4.
.'IIV -
+ 4v'" + 4y""" l. + 2y'" + V" = o"'. V'V + 2y'" + y" = er«. !I'V + 2y''' + V" = xc-t. UIV + 4U" + 4y =sen 2.t. UIV + ,IU" + 4U -= cos x, y'V + 4!f" + 4U = X sen 2.1'. ylV + 2n2y" + n'u = a sen (n.l· + «).
563. !lIV 564. ylV 565. 566. 567. 568. 569. 570.
571. l/'V - 2n2v"
574.
+ 1l~!I-
cos (n-x
+ a).
+ 4y'" + 6y" -1- 4y' + y = sen x, 4[1'" + 6y" - 4!J' + Y = e'. UIV -4!JIII + 5y"4!J' + y-xe'.
572. U'V 573. ylY
-
Resolver
las siguientes
675. !I" 576. !J"
+ 2!1' + y= + 2y' + 2 = O.
ecuaciones: 2.
577. y"+9y-9=0.
+
578. U'" y" = 1. 579.5ylll-7!J"-3=0.
+ 5 =0. + s'" = 2.
580. ylV - 6y'" 581. 3ylY
+ 2V" - 2V' + y = 1. + 4g = .1'2.
582.
!lIV -
2y"'
583.
_!f" -
4y'
+
= 8.1'.
584. y" 8y' 585. y" - 2liy' 586. y" 120
+ k2y =e'. + 4y' + 4y = 8e-2<.
(k.p
1).
687. /1"
+ 4/1' + 3y
= ge-l ••
588. 7y" - y' = 14x. 589. 1(' ay' _ 3xe-3x•
+
590. U"
+ Sy' + 6U = 10(1 -
x) e-·x•
691. g"
+ 2y' + 2y = 1 + x.
592. g" 593. y"
+ y' + u = (x + x2)"'. + 4y' - 2!J = 8 sen 2x.
+
594. y" !I = 4x cos x, 595. 11"- 2my' m2y = sen nx. 596. y"
+
+ 2y' + Sy = e-
X
+
597. y" n1y = 2.cos IIIX 598. y" - U' .... cX sen x.
sen2x.
+ 3 sen IIIX
(m #: e).
+ 2y' = 4cr' (sen x + ces x), + 4y' + 5y = 10e- cos x, y" + 21/' + 5y=e-x (2x + sen2x).
599. y"
2x
600. !f" 601.
602. 4y"
+ 8f/
= x sen x.
+
603. y" - 3y' 2g == se", 604. gil y' - 21/= x.e~'.
+
+ 2y = (x' + xl el'. + y' - !I ~ x, + x. 2y'" + 2y" - 2g' + g =e" ..
605. 11"- 3y' 606. 1/'" - g" 607. y'V -
608. 1/" - 2y' + !/ = x3• 609. 5y" - 6y' 5g = 13e< eh x. 6tO. !/'V y"=x1 x.
+
+
+
611. !/v -y,v=xcr'-1. 612. y" +y=xtsel1x. 613. y"
+ 2y' +!I = x2e-x
614. 1/'" - 4y' = xe?x
ros x.
+ sen x + x2.
615. 1/'" - 1/ = sen x, 616. gil + 2y' 2y == e-X cos x
+
617. y'V - 21/"
+y
=s
+ xe:»,
ccs x, 121
618. 619.
y"+y=2senxsen2x. y" +4u=.~sen2x.
620. UIV
+ 2UI/' + 2y" + 2y' + y = xe" +{
621. y"
+ U' =C.05·.t + eX +
cos x.
.t2.
+ 4U'" = e'" + 3 sen 2x + l. + 3/1' - U = e" cos 2x. U 2y' + 4y = e' cos x + + sen U" + y'= x' -e-'+ e'. y" - 2y' - 3U=2x + e-X - 2el·. U" + 4y =e' + 4 sen 2x + 2 cos' x -
622. UV
623. y'" - 3y" 624. 625. 626. 627.
III
.(1
-
2x.
1.
628. y"+3U'+2y=6xe-x(l-e-·J. 629. 11"
+ Y = ces? 2x + sen21-
630. y" - 4y' 6S 1. y" - 4y'
+ 5y = el"
(sen x
. + 2 cos xl.
+ 5y = I + cos" x + e2'. 632. s" - 2y' + 2y= e' sen' f. 633. y" - 3y' = I + e' + cos x + sen x, 634. y" - 2y' + 5y =e'«( - 2 sen· x) + 10.< + l. 635. y" - 4y' + 4y'" 4.< + sen x + sen 2.<. 638. y" + 2y' + y 1+ 2cosx + cos2x - sen 2x. 637. y" + U' + U + ( = sen x + x + x·. 6S8. y" + 6U' + 9y = 9.te-3, + (+ 9.sen x. 639. y" + 2U' + I = 3 sen 2x + cos x. <=
En los siguientes problemas se necesita hallar las soluciones particulares de las ecuaciones que cumplen las condiciones iniciales dadas: 640. y"- SU' + 6y=(12x -7)e-x; 641. 1'1/+9y=6e3'; 642. 1'" - 4y(
643. U" 122
y (O) "" u/(Ol=O.
y (O) =y'(O) ='0.
+ Su = 2x20':
+ 6y' + 9y = 10 sen x;
y (O) =2, U' (O) -= 3. y (O)=y' (O)= O.
+ y=2cos
~44. y"
x;
y (O)= l. y'(O) =0.
+ 4y =sen x;
U(O) ==; U' (O) = 1.
645. UN
646. y"-6y'+9y=x'-x+3;
y{O)=t.
647. y"-4u'+4y=e2.<;
y(0)=2.
U'(Ó)=·~. y'(0)=8 .
+ = 4 (sen 2x +cos
2x); y (n) =s' (n) = 2". 5rX(sen x+cosx); Y (0)=-4,. y'(0)=5.
.648. g'l 4y 649. y"-y'=-
+ 2y = 4e
cos x;. y (n) =~, y' (11.) ='!ln.. y(O)=O. y'(O) = l. U"(0}=2.
x
~50. y" - 2y' 651. y"'-y'=-2x;
652. UIV -y=86"';
y(O)=-I.
y'(O}=O.
U"(O)=I,
y'''(O)=O. 653. U'" - y =2x;
y(O)= y' (O)=0.
654. y'V - y=8ex; y"'(O) =6.
y (O) = O. y'.(O) = 2. y" (O) = 4,
y"(0}=2.
En los siguientes problemas se necesita hallar las sodones partículares de las ecuaciones que cumplen en el finito las condiciones dadas: 655. yN - 4y' + 5y = sen x. y es acotada para x _ +00. 656. y"
+
2y'
+
5y = 4 cos 2x
+ sen 2x,
y es acotada
para x- - oo. 657. y"-y=I,
Y es acotada
658. y"-y=-2cosx, 659. y"-2y'+y=4e-x•
y-O
660. y"+4y'+3u=8e"'+9, 661. y" - U' - 5U = 1, y662. y"+
para x_oo.
U es acotada
4U'+4y=2e"'(senx
para x_oo.
para x_+oo. y-3
para x_-oo.
1
- '5 para x- oo. + 7cosx).
y_O
para
X~-<X).
663. U" - SU'
+ 6U = 2e-2.t(9sen2x + 4cos
+
para xoo. 664. y" - 4U' + 4U=(9x2 + 5x - 12) e-x,
2x).
y_O
U.... O para
+ cc ,
x .....
123
4. ECUACIONES
DE EULER
Las ecuaciones de la fOrtlw aox"!I"I+a,.t,,-ly,n-IJ+ , .. +an-1xy'+any=O. (12) dOltde todas las <1r son constantes. se [laman ecuaciones de Euler
Mcdiallte
de la variable independiente .,,=et, estas ecuacíoucs se reducen a ecuaciones lineales hornogéneas de coeficientes constantes:
I>OY'í'1
In sustitución
+ b1y¡n-lI+
.00
+ bn_1y;.+
bny(l)
=0.
(t3)
N o l a 1. Las ecuaciones
de la forma ao (ax + b)" y('l¡ + ar (ax b)"-I y1n-ll+ ... ... +an_1(ax+l»y'+a"y=O (14) también se llaman ecuaciones de Euler y se reducen a ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes haciendo la susti!ución de la variable ax + 1>=11'. N o l a 2, Para la ecuación (12) se pueden buscar directamente soluciones particulares de la forma
+
y
=a:
xk,
obtenieudo para k una ecuación que coincide con la ecuación característica de la ecuación (13). Ejemplo. Hallar la solución general de la ecuación de Euler
x2y" + 2xy' - Sy = O. P r i m e r m él o d o. Haciendo en la ecuación la sustltución x = et, se tiene: dy
,=.!!J!.. d.
Y
(
= di
d.
:¡¡:
d'y
=e-I.!!J!..di
'
dY)_1
""di' - di' e'
"=
e
-21 (
d'y di'
_.!!..I!..) di
y la ecuación toma I~ forma d'U
(iíí
6
d!¡ + dJ~
O Y'= .
Las 'alces de I~ ecuación característica son: )., = - 3, ]"= 2, y la sotucíón general de Ja última ecuación es;
y
==
+ C,e Pero, + C2X2, o bien,
C,e-3'
= C,x-3
2,.
corno
x =.et,
resulta
y
=
s= ~ +C2X2, S e g un d o m é t o do. <ecuación dada de la forma desconocido Se tiene
Se busca
y'=kXk-', Sustituyendo
y"=k(k-l)xl-2.
en la ecuación,
x2k (k -
una solución de 'I~ es un número
y = .~', donde k
resulta
+ 2xkxk-'
1) X~-2
-
6.tk = O,
o bien x~[k(k-l)+2k-6J=0.
+
Pero. como x· 'íé O, se tiene k{k - 1) 2k - 6 = O, o bien, k2 k - 6 = O. Las raíces de esta ecuación son: k, = - 3, ~ 2. El sistema fundamental de soluciones correspondiente es:
+
=
Y'l==x2,
y,=x-3, y la solución
general
tiene la forma
y=C,x-l lntegrnr
las siguentes
+C2x'.
ecuaciones
de Euler;
665. X2!/"+xy'-y·=0. 666.
X2[/"
667. xV' 668. xy" 669. (x
+ 3xy' + y = O. + 2.~y' + 6y =O.
+ [/'= O. + 2)2 g" + 3 (x+
+
670. (2x 1)2 v" - 2 (2 x 671. x'y"'-3xY"+3y'=O.
2)y' - 3y=0.
+ 1) y' + 4y = O.
672. X'9'" =2y'. 673. (x
+ f)2 y'"
674. (2x
- 12g' =O.
+ 1)2 y'" + 2 (2x + 1) y" + g~= O. 125
Las ecuaciones
no homogéneas ~ a.xkY!'l=
de Euler
de la lorma
,\,uPm(In x).
11,_0
donde P",(u) es un polinomio de grado m. se pueden resolver también por el método de elección del mismo modo que se resolvían las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de coellcientes constantes cuyos segundos miembros son de la r()rm~ t!'ZP m (x). Ejemplo.
Resolver
la ecuación
X21/" -
XI/'
de Euler
+ 2/1 = x In x.
So l u ció n. La ecuación caracteristica k (k-I )-k+ bien k2 - 2k 2 O. tiene las ralees k, = = I - i, k. = 1 i. Por consiguiente, la solución general de la ecuación homogénea correspondiente es:
+ 2 = O. o
+ =
+
Yr= x(CI cos ln x
+ Ctsen
Buscamos una solución particular x(A In x 8). S~ tiene.
de la
+
=
In x). forma
Yo =
Y"=~. • It Sustituyendo
en la ecuación
!Ix - x(Alnx+
dada, resulta
A + 8) +2x(A
In x + 8)=xlnx,
o bien. Ax In x
+ 8x
= x In x, de donde A = l. B
= O. Asi, pues.
yp=xlnx. La solucíón general
es
y =.x(CI cosln x Resolver
las siguientes
+ C. sen In x) + xln ecuaciones
Euler: 675. x2y"
+ xy' + y=x(6-ln
676. x2y" - xy' 126
+ !J = 2x.
x).
x,
no homogéneas
de
677. x
2
u">:
678. x~Y"- 2xy' 679. x2y" 680. x2y"
161n x
xy'-8y=--x-'
+ 2y =
X2 -
2x
+ 2.
+ xy' - y=x"', 1m 1* 1. + 4xy' + 2y <= 2 In2 x + 12x.
5. ECUACIONES DIFERENCIAL·ES tiNÉALES DE COEFICIENTES
VARIABLES
Si se conoce una solución particular YI (x) de la ecuación !In) + p, (x) y,n-II + ... + o; (x)!J =O, (1) se puede rebajar
el orden de esta última en una unidad deje de ser lineal) haciendo y = !l,Z. donde z es una nueva [unción incógnita. y poniendo después z' = tI [se puede hacer directamente la sustitución u = (:.)']. Conociendo k soluciones particulares de la ecuación (I), linealmente independientes, se puede rebajar el orden de la ecuación en k unidades. La solución general de la ecuación (sín que
yln)
+ p, (x)
yln-',
+ ... + P. (x)
Y = ¡(.() (2)
se expresa como una suma de una .de sus soluciones particulares y de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (1). Si se conoce un sistema rundamental de ia ecuación homogénea correspondiente (1), la solución general de la
ecuación no homogénea. (2) se puede hallar mediante cuadraturas pOI el método de variación de las constantes. La solución general de la ecuación (1) tiene la forma donde C"
y=e,y, + e2Y2 + ... e2, ••• , en son constantes
Buscaremos
una
solución
de la
+Cr.Y~,
(3)
arbitrarias. ecuación
(2)
de la
forma y=C,(x)y,+C.(X)Y1+ donde
el (x),
C.{x)
ciones incógnitas
•... de x.
,
en (x)
'"
+Cn{x)Yn,
(4)
son, por ahora, unas fun121
Para determinarlas,
obtenernos
el siguiente
sistema:
1
y,e; + y.e; + ... +y.e~=o
~;~~¿~: ..:..~!I:e~~~ !ir-Ole;
+ 14 1(;; +
+ yj,n-lJe:, = f (x)
n-I
Resolviendo este 2, ... n), resulta de, "'(i;"
sistema
con
= epi (x )
respecto
a
.
e; (x)
(6)
(l "'" 1,
(i= 1,2, .. "' n).
De aqul hallamos
= f
e¡(x)
11).
Sustituyendo en (4) e;(x) por la expresión obtenida, lamos la solución general de la ecuación (2). Para la ecuación de segundo orden Un el sistema
+ p¡(x)y' + p~(x)u=
(5) lendrá
U;C;
J
} (5')
•
obtenemos
11,,(.<)
W
ID,.
de donde hallamos
e I (x) = -
f(x),
+ .U;C; = ¡(x)
en (5') C:yC2,
Cl=-
hal-
la forma
YIe;+U2C~=O, Despejando
(6)
!/,I (xj d« W IYh y,]
y,¡ ,
+ é e2 ()x = f lo
YI' (x)
W [y,.
"tI dx
+ c:2,
e,
donde y C2 son las constantes de integración. Observación Para la ecuaci6n 00 (x) donde
a.(x)
ijÉ
y"
+ a, (x) y' + a., (x) U = f (x),
1, 00 (.t) .p O, el sistema
+ !I~C;=O 'e' + '~ f (x) YI I U~ ~= u.tx) Yle;
128
(5'} tiene la forma } •
Ejemplo l. Hallar la solución general, de la-ecuación xu" + 2U' + xy =O, sabiendo que y, = se: x es una solución particular. Solución. Hacemos y= s~;'X ·z. donde i es una llueva función
de x. Se tiene
incógnita
y'= U;z + u,z'. u"=Y7z+2y;z'
+ y,z".
en la ecuación dada. resullá (.~y;' + 2!1; + Xii,) z + xy,z" + 2 (xy; + y,)z'
Sustituyendo
= O.
Pero. como y, = se;.t es una solución particular de la ecuación dada. se tiene xu;' + 2u; + .tU, =0. por lo cual. xy,z" +2 (xY;+U,)z'=O. (1) Mas.
se;, x • y por consiguiente.
ti, =c(>~.• _
La ecuación
z" sen x Escribamos
XU;
+ Y, =cos
x.
(1) toma la forma
la ecuación ~
+ 2z' cos x = O. en la forma
I
z'1
2~-O
s~nx-'
De aquí. se tiene
(In 1z' 1+ 21111sen x 1)' = O, de donde Il1lz' 1+21nl Integrando
o bien. z/sen2x=C,.
$~nxl=lnC,.
esta ecuación.
hallamos
z=-C,ctgx+C¡, y. por consiguiente.
la solución
general
de la ecuación
dada es: o bien.
9-'.'
129
EjemplO'
20 Hallar
u"
la sclución
general
+ .! .. !J' + !J = .!_.~
de la ecuación
(q= O}o
S o I u ció n La solución general de la ecuacíén horno- o g/mea correspondiente llene la forma (véase el ejemplo 1):
6C; + Cz co; x
!JR = e,
of
o
Po, consiguiente, el sistema fundamental de soluciones es: Yf
Busquemos
sen
(O$X
J(
y,.:::. - .. -o
-x-'
c;,
la solución gencr31 de la ecuación dada por de las constantes arbitrarias:
el método de variación
sen .. y=C,(x)-.t-+
donde e, (x)o e2(x) de x a determinar.
CO¡(x ) -
por ahora o funciones
son,
Con este fino formamos
Incógnítus
el siguIente
sistema:
e; (x) e,I (X ) ..'M.r .("-
""" x
se; o,
+ e'? (X ) -
+ C~(or) f
$en
rG; x = 00 ti ca.
X -
X:
oC
-1. X
o
Oc aqui hallamos:
C; (x)
=s
cos x, C2(x) = -
SCIl.\Oo
Integrando, obtenemos:
e,
(x) - sen
oY
+ e,. e2 (o~)= COS.f + é2,
y pcniendolos
en la expresión de general de la ecuación dada: _ i< .en Y-l..I-X-
JC
resulta la solución
y,
+ e-~-xces JC
_¡_ t
I
-¡.
ta!.. '
EJemplO' 30 Resolver la ecuación gil + Y = S o I u c j ó no La ecuación homogénea correspondlente es: ,/' + y = 00 0$1,1 'ecuación caracteristlca A' + 1 = O tienelas raíces imaginarlas A, = - i, A.~ = ¡y la solución genera'l de la ecuación homogénea tiene la forma: !la = e, cos x + e2 sen x, 130
Buscamos forma:
la solución general y =
donde
e, (x) y
e, (x)
inicial en la
de la ecuación
cos x
+ez (xl sen x,
'(1)
son funciones Incógnitas
Cz(x)
hallarlas. formamos el sistema: cos x . Cí (x) + sen - sen x . eí(x}+cosx
de x. Para
x . C1 = O ·C~(x)
}
=-'.' cos x
Resolvemos este sistema con respecto a C;(x) y Cí (x): eí (x) = - tg x; = l.
Cz (.~)
Integrando.
hallamos:
C, (x)= ln] cos x
1+ e"
Cz(x) = x
+ ez'
Poniendo en (I) las expresiones de C¡(x) y C2(X). obtenemos la solución general de la ecuación dada:
y=
e, cos x + Cz sen x + cos x . In 1cos x ,+ x sen x.
Aquí, cos x-ln lcos xj-j-x sen x es una solución par tlcular de la ecuación no homogénea inicial. Integrar las siguientes ecuaciones (y, e Y. son soluciones particulares de la ecuación homogénea): 681. x"y'" - 3x'y" 682. (x' -
-1- 6xy'
1) y" = 6y;
- 6y =O;
683. (2x+J)y"+(4x-2)y'-8y-0; 684. (x' - x)!f"
+ (2x -
y, = X •
.tI2
= x2,
y, es un polinomio. y,=e'''-'. 3)y' -
2y=O: y, es una lrac-
ción racional en cuyo denominador figuran factores lineaes (los d tvisores del coeficiente de y"). 685. (3x+2x2)y"-6(1 polinomio.
+x)y'+6y=6.
+ + + y" + Igx'!J' + coso x- y =0;
!/J
es
un
686. x, (In x - 1) gil - XU' !I = O. U, = x. 687. yn (Ig x - 2ctg x) U' 2ctg~ x- 9 = O; !/i =-sen x. 688.
689. (1 +x2}y"+xy'-y+ 690. 9'
x2y"
1=0;
- xy' - 3y = 5:.-', y,
.//,= cos(sen r), !JI=X,
=..!.... :c 131
691. (4x1-x)
y" +2(2x-1)
11' + ye~X= + 11' tg x = ,os' x sen x
692. y" 693. y"
694. (x+ 695. x (x -
y'-4y
xc'lx -
1)3y"+3(x+
1, Yo
= !2xZ-6x.
= sen
=¿.
y,
1/.
•
lJ2y'+(x+
1) y" - (2x-l) y'
+ 2!1=
I)y=(iln(x+ X2
(2x-3),
1).
sv=s'.
696. Una cadena de 6 m de longitud se desliza desde una mesa sin rozamiento, Si el movimiento ccmienzn desde el momento en que cuelga l m de 1<1cadena ¿cuánto tiempo tardará en deslizarse {oda la cadena? 697. Hallar la ecuación del movimiento de un punto sabiendo que la dependencia de la aceleración del tiempo se expresa por la fórmula a = 1.2/, si para / = O la distancia s = O Y para f = 5 la distancia s = 20. 698. Un cuerpo de masa m se desliza sobre un plano horizonlal a causa de la acción de un golpe que ha ortgínado una velocidad inicial 1.10' Sobre el cuerpo actúa la luerza del rozamiento igual a - km. Hallar la distancia que es capaz de recorrer el cuerpo. 699. Un punto material de masa m = I se mueve por una recta acercándose a un centro por el cual es repelido con una fuerza igual a k2x (x es la distancia del punto al dx centro}. Para (=0, x=a, Tt=ka. Hallar la ley del movimiento. Empleando el método de variación ntegrar las siguientes ecuaciones: 700. U"
+ 411 = CO$I2Jc + Y = tg' x.
•
701.
U"
702.
U" -
70°<J •.
ti" - ' y'~-7+1' I
704.
U"
705. U'/
U=
;;e_:_ I •
+ Y = -v sen' +U-
I
x
-...;.,...,,--
(co>2x)'/·
.
de las constantes.
707. y"
2x'+x'~4x-6 x'
+ 211
706. 1/'" - 211"- y'
+ y = -,---'--. V sen" x cosa ~ x
+ Y = x,·+ I . y" + 2y' + 2U = eX s~ox .
708. y" - 211' 709.
g' = el,. cos eX.
710. g 711. y"
+ y' = -
..!. . x
712. y"+311+2y=
(X;I)"
+ y = ;, '
713.
U"
714.
xy" - (1
+ 2X2)
y' = 4.I..3e".
715. g" - 2 tg x . g' = 1. 716. x In x' y" _!J'
= In' x.
717. xl/"+(2x-l)y'=-4.~2. 718. (x 719.
+ U= (x -
1) g" - xy'
y=e-
y"+y'+e-1X
y, =ex,
l)2e";
YI=cose-
3x;
720. (x.-x-l)y"+(2x3-2x.-
x )Yf_g
x•
= (X-I)2; y, =_!_. JC
JC
(En los problemas que siguen se indica el sistema íundamental de soluciones y,. y? de la ecuación homogénea correspondiente), 72.1. (cos.e- sen x) y"
+ z scn x·
Uf - (sen X+C05X),y=
=eX (cosx - sen x),; YI = éy, =sen x, 722. xy" - yf - 4x3y= 16x'ex'; !JI =e<', !J. =e-x'. 7~3. x(1 - x ln x) y" =(I-xlox)2eX; 724. 4 (x2 y
+ (1 + x, In x) y'
+ x) y" + 2 (2x +
2Y2 1.<=1=-3-'
-(x
+ I)y
=
y,=lox.
YI=e",
1) y' - Y =2 Ir x· 1
y'IX=1 = ¡!2';
1/1
+ x,
«r:
= y x,
Y2=Yx+l. 133
725.
y" - sen XCOSX· y' - y= sen x, y 1-0 =
COS2.t.
=y'I._,=I; 726. sen x . y"
y,=sec.t,
!I,=tgx.
+ 2 cos x . y'
.
U I'-
T = 1,
x
1=4 = o; sv=
U'
= 2 COS 2.t,
- sene . y
1
Señ7' Y. =señX'
lim y=l;
727.4xU"+2U'+y=1.
X~+OO
U, = sen
V'X,
Y. = tOS
728. 4xy"+2Y'+y=6-t;x,
11m y=O.
x
729. (l+x2)y"+2xy'= y'
VX. x4+~
1+1 :' x
Jim y= "8~'
x-++oo
1._0=0.
730. (l-x)U"+.ty'-U=(x-I)'eX,
lim
731.
lim y= O; y, = In x, Y2= %~+(II)
2
732. y"+-y'-y=4e', x
y=O,
X-+-e»
1""0= 1: y,=x, Yl=e". ~ 2 (2-lnx)y"+x(4-lnx)!¡'-y=~.
y
~-~~ Vi
lim y=O,y'~=_,=--;
x~-oo
ti'
a-X
Y'=7'
Yz=-.-.
73S. x3(lnx-l)y"-x'y'+xU=2Inx,
r: e
Iim y=O x~+co
y,=x, Y2=lnx. 734. (y2-2x)y"+(2-x2)y'-2(1-x)y=2(x_I), 11m U= I YI=x2, Y2=e'. x ..
+(0
6. COMPOSICION DE LA ECUACION DIFERENCIAL El SISTEMA fUNDAMENTAL DE SOLUCIONES
Examínernos
un sistema
de funciones
!J, (x), Y2 (x), ...•
Y.. (xl.
independiente en el segmento derivadas hasta el orden n inclusive, linealmente 1801
DADO
(1)
[a, (¡l, que tienen
Enlonces. la ecuaci6n YI(X) y; (X)
y.(x)
!l. (x)
y~(x)
y~(x)
Y (X) y/(X)
=0, YI"l(x)
ykn) (x) ."
y~.l (x)
yln)
(2)
(x)
donde y(x) es una función Incógnita; es una eéuacl6n di, ferencial lineal, para la cual las íunclones U, {x), U2(X), .•. .. . , u. (x) Iorrnan un sistema fundamental de soluciones. El coeílctente de y
el determlnanle
(3)
del primer miembro de
(3) por los elementos de la tercera columna, se tiene: U"-y=O.
Esla es la ecuacíón diíerendal Ejemplo 2. Formar cual, las funci:>nes
buscada.
la ecuación
Iorrnan el sistema fundamental
diferencial,
de soluciones.
para la
S
o
01 u
ció
n, 'Formemos
la ecuación,
(2):
bien,
2'x
I+ 2
- '2X ~,
1=0,
4x' 4x2 - 2 y"
Desarrollando este último determinante de la 3" columna, tendremos:
por los elementos
xy" - s'>: 4x'y=0.
(4)
En este ejemplo, el wronsklano W [¡¡,. yi] = - 4x se anula para x = O Sin embargo, esto no contradice a la teorla general, según la cual, el wronskiano del sistema Iundamental de soluciones de la ecuación dHerencial lineal homogénea
!f"
+ p, (x) ¡f'-') + '" + P. (x) y = O,
(5)
cuyos coeficientes son funciones continuas en el segmento (o. b), no se anula, en ningún punto x del segmento lo, b), Escribiendo la ecuación (4) en la forma
=:I s'>:
g"
4ry=
O,
(6)
observamos que el coeficiente de y' es una función dlscont1nua en el punto x = O, de modo que en este punto ya no se cumple la condición de que los coeficientes de la ecuación (6) sean funciones continuas, FOI mar las ecuaciones. dHercnciales, para las cuales los sistemas dados de funciones forman los sistemas íundamentales de soluciones:
785. yr(x} = 1, y,(x}=x,
!/3(x)=r,
736. y, (x) = sh x, Yo(x)..:
eh x,
737. g,(x)=x, 788, !J, (x)
!J.(x)=e',
= sen x
2,
Y'I
739. y¡(x) ='x •. y.(x) 186
(x) .... cos x2, x'
= e'.
§ 15. METODO ,DE
ISOCLlNAS PARA LAS ECUACION'ES D'IFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
El método de ísocllnas (véase el § 2) se emplea también para la resolución de algunas ecuaciones de segundo orden. Tales son las ecuaciones que se pueden reducir a las de PI imer orden. por ejemplo. las ecuaciones de la forma d'x ( di( ) (1) -¡¡;;- + f lIT' x = o. Introduzcamos ~
os:
(1
~~
una nueva variable
v = ~;. Entonces,
y la ecuación (1) toma la [arma do
I (o, xl
Tx=--u-
(2)
Esta es "na ecuación de primer orden en la que x es la variable índependlente. Para su solución se puede aplicar el rnélodo de isoclinas. lnterpretaremos la variable x como el desplazamiento de un punto del sistema y ':;; = 11 como su velocidad. El plano de las variables x, ti se llama plano [ásieo. Por consiguiente, la ecuación (2) determina la velocidad como lnnción del desplazamiento. Construyendo el campo de las isoclinas para la ecuación (2) se puede trazar la curva integral una vez dado.el punto inicial (xo. 110). Esta representación gráfica de la velocidad (J como [unción del desplaaamiento x: u = v(x), se llama cuadro [ásico. Las curvas del plano s. ti que representan esta dependencia funcional se denominan trayectorias [ásicas, Los valores instantáneos de x y IJ son coordenadas del punto de la trayectoria íásica. Este último se denomina punto representatiuo. Con el tiempo. el punto representativo se desplaza por la trayectorla Iásica. Obsérvese que la velocidad posttiva suscita COI1 el tiempo un !37
aumento
del desplazamienlo.
En efecto,
en virtud
de la
suslltución 11 = ~~ • para 11 > O. se tiene ~; > O. lo cual significa que al aumentar I también aumenla x. Por lo tanto. en la mitad superior del plano íásico, en donde 11 > O. el punto representativo tiene que moverse de izquierda a derecha. mientras Que en la mitad Interior del plano, en donde 11 < O. de derecha a izquierda. Por consiguiente, el movimiento por la Irayectoria fásica se eíectúa en dirección de las agujas del relo]. Ejemplo 1. Construir para la ecuación
la trayectoria d'x -¡j¡f"
s o I u ció
n. Hacemos
en el plano
lásico
+ X = O.
(3)
~; = v. La ecuación
(3) toma
la forma 11
do di
Lus ecuaciones
+ x =O,
do = _.... x o bi en. di
de las isoclinas
para
(41
(4). son:
_!"=It. o
Trazando las lsoclinas, correspondientes a distintos valeres de It, hallamos que las trayectorias Iásicas son clrcunIerencias con centro en el punto (O. O) (lig. 22). Obsérvese, que las trayectorias fásicas cerradas corresponden a les movimientos periódicos. Fácilmente se observa que. en ei caso de la ecuación (3), verdaderamente resulta un movimiento periódico. Resolviendo (3) por los métodos expuestos anteriormente. hallamos: x (1) = el cos t E J e m p lo 2. Trazar
ecuucién
eI'x
dx
-¡¡¡;--Tt S'o I u e i Ó.n Ha~ell1os (5) toma la forma do
11
t. Iásícas para
+ x =0.
= :; . Entonces. u-x
Tt=-u138
+ C, sen
las trayectorias
la (5)
la ecuación
(6)
=~.
La ecuaclón de las Isoclinas es: o ~ x Las 1rayectorlas Iáslcas tienen la forma de espirales que se desenrollan (lig. 23). En el cuadro fásico se puede observar que el movimiento es aperiódico. con una amplitud que crece indeIInidamente con el tiempo.
y
Pig.22
PIIl·23
Traz ar las trayectorias ecuaciones diferenciales: d'"
740. -¡¡¡r
Iásicas
para
las
siguientes
dx + di + x =O.
d'x.
dx
741. "(j¡'i'+2Tt+6x=0. d'"
742. "'Ji' d2x
743. "(j¡'i'
dx + ')- di + x = O. dx )2 + ( di + x=O.
dO,
744. -¡¡¡r-2
( di dX)2
( Ti dx ) = O ( expu-e.
d'x 745. -¡¡¡r-x·exp
746. ~+exp( 747.
d', -¡¡¡r
+x
d.x +Ti-2x~0.
-
(dX)2 'iiT
~;)-
.)
x=O.
~ O. 139
§ 16. PROBLEMAS DE C.ONTORNO
Para mayor simplicidad segundo orden
estudiaremos la ecuación de
Y"+PI(x)y'+".(x)y~O.
(1)
Se supondrá que los coeficientes PI (x) Y P2(X) son íuncíones continuas en cierto intervalo (/J. b). En este caso, toda solución g(x) de la ecuación (1) quedara determinada en lodo este intervalo. A continuación, en lugar de la ecuación (1) consideraremos la ecuación Ip(x)y')'
- q(x)y = O,
p(x)
> O.
(2)
Las ecuaciones (1) Y (2) pueden transformarse una en la otra LA solución de la ecuación diferencial (2) se determina completamente por las condiciones iniciales y (xQ) -. Yo,
y'
(xo) = yó.
Sin embargo. en muchos problemas de Ilsica se suelen buscar soluciones dadas de otro modo Por ejemplo, se puede plantear el problema: hallar una solución de la ecuación (2) que tome en los puntos a y 11 unos valores dados ·y.(al e y(b). Generalmente, en tales casos, interesan solamente los valores de la solución para los valores de x de (a, /1) C-omo los valores y(a) e y(b) se dan en los extremos del intervalo, 105 problemas de este género se denominan problemas de contorno. A continuación se to·mará como básico el Intervalo (O, n) (Intervalo fundamental). con lo cual no quedará restringida la generalidad de tos I azonemientos. 140
Una rorma bastante general de condiciones de contorno para la ecuación de segundo orden es la siguiente: huY (O)+ h,y' (O)= A, ko!J (It)
+ k,y'
(3)
(n) = B,
donde ho. lu, ko. k~, A., B son unas constantes dadas y !ro. 'h,. ko. 11, no son simultáneamente iguales aceró, SI A = 8 = O. las condlcíones de contorno se llaman, homogéneas
Por ejemplo.
t) y(O)=y(n)=O.
2) hoY (O) - y' (O), y'
(It) = - h,IJ (n);
ho'
tu ;»
3) y' (O)= y' (It) ='0,
O.]
. (3')
4) Y (O) 0= Y (a), y' (O) = y' (n).
Por lo general. los problemas de contorno no siempre tienen solución. es decir. 110 siempre existe una solución tat que en tos extremos del Intervalo tome los valores indicados. Por ejemplo, el problema de contorno y"=O, y (O) - y(n) = J, y' (O) + 1I/(It) = O no tiene solución alguna. El problema y" }.!J = O, y (O) = y (n) = O
+
(4)
tiene solución no nula solamente para valores enteros de VA. En efecto. de la solución general de la ecuación diferencial (4) y =CJe"::;:'
+ C2'!-v=i:·
se deduce que pueden cumplirse las condiciones de contorno cuando. y sólo cuando, A = 112 es el cuadrado de un número entero n. Las soluciones correspondientes son las (unciones y. = sen /IX. Como se observa en este ejemplo. si en la ecuación (2),
q es función del parámetro >'. en ciertas condiciones, existen tales valores del parámetro para los que el problema de contorno homogéneo para la ecuación (2) tiene solución no nula, Estos valores de>. se llaman valores propios (o autovalorcs) y las soluclones correspondientes del problema de contorno, íuncíones propias (o aulofunciones). 141
Estas últimas se determinan salvo un factor constante arbitrario. Asi, pues, para el problema de contorno U" + +),y=O, y(O)= y(n)= O. los números )2,22,33, ... y las funciones sen x, sen 2x, ... son los valores propios y las funciones propias, respectivamente, del problema. Junio con los valores propios simples, cuando a un valor propio corresponde una sola función propia (salvo un factor constante), pueden existir valores propios mültiples, cuando a un valor propio 1.0 le corresponden dos íuncienes propias linealmente independientes. Para resolver los problemas de contorno (en el caso de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas) se procede del síguienle modo: se halla la solución general de la ecuación diferencial dada: 9 = CIYI(x) Ct!h (x) CnY" (x).
+
+ ... +
donde y,(x), y.(x), ... , y,.(x) son soluciones linealmente independientes. Después se exige que esta solución y(x) satisfaga a las condiciones de contorno dadas. Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones para la determinación de Ch C2 •••• , Cn. Resolviendo este sistema, en caso de que esto sea posible, se halla la solución del problema de contorno planteado. En este caso, si surge el problema de la determinación de los valores propios, la condición de existencia de solución no nula del sistema, por el que se determinan CI, C2•.. " Cn, es la condición que determina los valores propios. Generalmente. esta ecuación en ,_ es trascendente. 750. ¿Para qué valores de A la ecuación y" + I,y = O tiene solución 110 nula que satisfaga a las condiciones:
=
a) y' (0)= y' (n) O, b) y (O) y (tt). y' (O) = y' (n)?
=
751. ¿Para qué valores de i, el problema de contorno Y"+"y=O y(O)=y(I)=O
•.
poseela solución (rivial y """ O? 752. ¿Cu41 de Jos problemas que siguen tiene solución? a] y" -
y
= 0,
b) y"+j¡=O,.
y (O) = 0,
y (2n) = 1,
y(O)=O.
y(2n)=
1.
753. Resolver el problema de contorno y(O)=u(I).
U"+(A.-(o)t¡y~O.
1.('(0)=u' (1).
Considerar los casos .. - (O' > O, A. - tu' = O, i. - (0)' < O. 754. Hallar la solución de lA ecuación y!/' ([1')2 1 = O que pasa por los puntos ,(O, 1) Y (1,2). Resolver- los siguientes problemas de contorno:
+
+
755. ¡j" (x) = k2U (x),
donde 'k'""! a2s2,
U (xo) = 111' 756. y"(x)=a2·s·u(x), 767. U" (x) - a2sy (x) 8) U (0)=..
1
y(O)=II,
758. y"(x) = a s 759. y" (x) = ¡,,2y (x)
.y. (O)= 111'
U'(:Xo)=O:
= O. y'(xo} =0,
b) y'(O)=-+, 2 2y(x)
y (xo)=O.
+ a'gl,
y(O) = y (xo)·
(A."¡' O)
a) U (0)=0,
Y (1)
=1"I
b) U'(O)=O,
y(1)
=1"I
e) y(O)=O,
y'(t)=1"
d) y'(O)=O,
u'(I)=+.
I
760. UIV - )..'y =0. y(O)= y"(O) =0, y(n)= 761.
!lIV -
+
>"'y=O, y(O)=y'
y"(n)=O.
(0)=0, u(n)=y"(n)=O.
762. ylV - ¡,'U = O, y (O)= U' (O) = O. y (n) = y' (n) =O. 763. y'"
+ ay"
- a2y' - a'g= O,
g (O)=-Ü.
1
+~, [1(1)=0. 2U'" + 2y" - 2y' + U = cos2x,
g'(O) = J
764. UIV y(O)-
u(n)=~,
y'(O)
=~,
U'(n)=fs..
N o t 8. Los valores propios de los problemas estudiados anteriormente forman una sucesión numérica ere143
dente. Si los coelicientes de la ecuación diferencial lienen un punlo singular en la Frontera del dominio Iundarnental o si el dominio Iundarnenlal es inlinllo, 'por ejemplo. Iodo el eje numérico. el espectro. o sea. el conjunto de los valores propios puede tener otrn estructura En particular. puede haber espectros Que contengan todos los números de algún intervalo de vnlores h. denominados espectros continuos. Por ejemplo, supongamos que se necesita resolver la ecuación r/' + J,y = O para el intervalo - 00 < < Jo: < + 00 con las "condiciones de contorno": y(x) tiene que estar acotada en el infinito. Está claro que, en este caso, cualquier número J. no negativo es un valor propio al cual le corresponden las funciones propias sen x y tOS Vig. Al resolver los problemas de la física matemáttca que dan lugar a problemas de determinación de los valores propios, frecuentemente resultan ecuaciones diferenciales de la íorma
vr
(p (x) y'l' - q (xly
+ J.p~x) IJ =0
(4)
tales que en puntos finitos del dominio fundamental puede haber singularidades de la ecuación diferencial: por ejemplo: se anula el coeficiente p(x). Para estos puntos stngulares. las condiciones a satisfacer aparecen del carácter mismo del problema; por ejemplo: que la solución sea continua o acotada, o bien que sea infinita pero de oro den no superior a un orden prefijado. Estas condíclones desempeñan el papel de condiciones de contorno. Un ejemplo tipico es la ecuación de Besset (xy')'
+:» "' + J..xy =0,
(51
que aparece en los problemas de la física matemátlca. En este caso, p(x) "'" x y ya no se cumple la suposición hecha anteriormente de que sea p(x) > O en todo el dominio fundamental O."; x.s; 1, puesto que p(O) = O. Para, la ecuación de Bessel, x = O es un punto singular. La. exigencia
Resolver los problemas de contorno: 765. xy"+y'=O, y(I)=<1y'(I), y(x) está para x -. O. 766. x2yIV+4xy'''+2y"=O, y(I)=y'(I)=O, eslá acotada para x ~ O, 761. x3ylV
+ 6x2y'" + 6xy" = O,
está acotada para x. -;
Y (~) =y'(I)
acotada y(x~
= O, y(x)
(f,
§ 17. INTEGRACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES
1. Este mélodo resulta muy usual al aplicarlo 3 las ecuaciones dllerenciales lineales. Aquí lo aplicaremos para el caso de ecuaciones- dI' segundo orden. Sea dada una ecuación diferencial de segundo orden:
y"
+ p (x) y' + q(x)
y -O.
(1)
Supongamos que los coeficientes p(x) y q(x) se expresan en fOI rna de series, dispuestas según las potencias en leras positivas de x, de modo que la ecuación (1) se puede escribir de la forma
+
y"+{au+a,x+azx2
...
)y'+ +(bo+b,x+¡"'x2+
... )y=O.
(2)
Busquemos la solución de esta ecuación en forma de una serie de potencias (3) 10-442
145
Poniendo en (2) la expresión de nemos: ..
w
~ k (k -
l) c!.tó-2
y sus derivadas. obte-
..
+ 1: akxk 1: kC.xk-1 + k:::aO
J¡~~
Ij
t:t;;IIIl
N
..
+ k=:oO 1: b.x· _=ti 1: CkX'
=O.
(4)
Multiplicando las series de potencias. reuniendo los términos semejantes e igualando a cero los coeficientes en distlntas potencias de x del primer miembro de (4). resultan las ecuaciones·: x" 2·
l Cz
+ ~CI + boCil = O
x' 3·2 C3+2aoc2+alcl Tboc, Tb,co=O x' 4·3 c. 3a"c3 + 2a,cz+ aacI b~c2+blel
+
+
+ bzCo= O
(5)
Cada una de las ecuaciones (5) contiene un coeliciente indeter minado más que la anterior. Los coeficientes Co y el se mantienen arbitrarios y desempeñan el papel de constantes arbitrarias. La primera de las ecuaciones (5) proporciona '2: la segunda. es: la tercera, e,: etc. En general. de la (k + + 1) -éslrna ecuación se puede determinar e'H' una vez conocidos eo. el ••••• CHI. En la práctica es conveniente proceder del modo siguiente: Por el esquema señalado se buscan dos soluciones: Ijl (x) e IJ2(X). Para IJI (x) se loma eo = I Y el = O, y para IJ,(x) se loma Co = O y el = l. lo cual es equlvalente a las siguientes
condiciones iniciales:
111(0)= l.
y;(O)=O.
y,(O)=O;
IJ~(O)= l'
} (6)
Toda solucíén de. la ecuación (1) será combinación lineal de las soluciones 1/1 (x) e I/,(x). Si las condiciones iniciales son de la forma y(O) = A, y' (O) = B. entonces. es evidente que 1/ = Ay, (~) 14G
+ By, (x).
Finalmente, enunciaremos (sin exponer la demostración) el teorema de existencia de solución de la ecuación (1) en forma de serie (3). Teorema. Si las series
~
p(x)=
~
y
DAX·
q(x)=
keoj
..
~ bAx· k~(J
son convergentes para I~1< R. la serie de potencias (3,) consh ulda del modo indicado anteriormente también es convergente para estos mismos valores de x y es solucién de la ecua don (I). En particular, si p(x) y q(x) son polinomios en x, la serie (3) será convergente para cualquier valor de x. Ejemplo. Hallar la solución de la ecuación y" - xy' - 2y=O
(1)
en forma de serie de potencias. S o I u el ¡ Ó n. Buscamos !tI (x) en la forma
.. .. .. .z
!J, (x) = ~ c.x·,
(2)
k_D
Entonces.
y' (x) = ~ kc I
y" (x) =
,t .... I.
t
(k -
k.~
J
(3)
X·-I
1) he X·-l. •
(4)
Poniendo (2), (3) Y (4) en (1). hallamos:
i: (k -
l)kc.x'-2
l_f
-
i kC1X· -
.-1
2 ~ c.x' ~
= O.
(5)
los términos semejantes e igualando a cero los coellclentes en distintas potencias de x, resultan unas relaciones de las cuales se hallan los coeíicientes c:, (',. c., ... Para precisar. hagamos Reduciendo
y,(O)~
1,
1/;(0)=0.
(6)
Entonces, de (2) y (6) (7) 147
y de (3) y (6) (8) Asi, pues, se tiene Xo 2c, - 2co=O.
de donde, en virtu d de (7), c, = 1, x' 3· 2c, - l· el - 2e, ~ O de donde. en virtud de (8), Cs"'" O, I
x? 4·3c,-2c,
-2c,
=0, de donde c'=3'
x3 5·4'5-3c,
-2c,¡ =0, de donde c.=O,
x. 6·5c,-4c, -2c, =0, de donde c,= ~. =~ y, por consiguiente, VI (x)~ 1
1 I +.. + 3X<+15x'+ ..0
...
(9)
Oc modo análogo, tomando (10) y las condiciones iniciales Y2(0) =0,
V~(O)=1,
(11)
AI=I,
(12)
resulta
.40=0,
y poniendo (10) en (1), hallamos:
..
~ 1] k (k - J) .-0
A:tXk-?
-
~ t-I
;éJ 2A2~O,
+ 2) A~Xk = O
A2=0
3 . 2Al - 3AI = O,
A3=~.
x' 4 ·.3A, - 4A.= O,
A,=O,
x3 5· 4.As - 5A3=O,
As="2'74'
x· 6 ' 5Ao,-
Ao=O,
Xl
6A • .." O,
x' 1 "6A, - 7 A6 =O, 148
(k
I
1
A7=z:-;¡-:¡¡,
Es evidente que A:!,t = O,
A"....
2 ·4· 6' •.. (2k)
(k = 1, 2, 3, ...
l.
Asi, pues, xl
ot'
s'
1/2(X)=.x+T+-r.4+m+
'"
.. (.~'r
.!. ... =x ~ -k-,.-=-xe·.
(13)
.1-9
La solución general
de la ecuación (1) tendrá la forma
y (x)= Ay, (x)
+ 8y.(x),
donde U, (x) e Y2(X) se determinan y (13), respectivamente.
por las fórmulas (9)
2. Desarrollo de la solución en lino serie de potencias
generalizada. Definición.
Una serie de la forma
-
(14)
donde p es un número dado y la serie de potencias ~ c_xA .1-0 es convergente en cierto recinto Ixl < R. se llama serie de potencias generalizada. Si p es un número entero no negativo, la serie de potencias generalizada (14) se convierte en una serie de potencias ordinaria. Subsiste el siguiente teorema. Teorema. Si x = O es un ounto singular de la ecuación (1). cuyos coelicienies p(x) y q(x) admiten los desarrollos
(15) donde los series que figu.ran ell los numeradores son COII' Ixl < R, y los coeitctentes CID, bo JI bl no son simutláneamente ig(lales a cero. elllonces la ecuación (1) posee al menos una solución en forma de
vergent~.~ en cierto recinto
14~
serie de notencias generolizado
~
Y=K·~CkXk k-a
que es convergente
(CO~
O),
al merlOs en el mismo recinto
(16)
Ixl < R.
Para hallar el exponente P '1 los coeficientes c" es necesario poner la serie (16) en la ecuación (1 l. sirnpliñcar' por xP e igualar a cero los coeíiclentes en distintas potencias de x (método de los coeficientes indeterminados}. En este (350. el número p se halla de la ecuación llamada delermittatiua (17)
donde a,) =
11m
b.,,= ,->0 lim x?q(x).
xp (xl.
),'... 0
(18)
Supongamos que PI y fJ2 son las raíces ele la ecuación dcrer rnlnativa (17)_ Distinguiremos tres casos: 1. Si I~ diferencia PI - P? no es un número entero o cero. se pueden construir dos soluciones de la forma (16): y, =);1"
.. ..
~ tkX' k=O
!h = :&1 ~
h=l)
AkXk
(co ~ O).
(Ao
* O).
2 Si la dHerencia PI - [>2 es un número entero positivo. por lo general. solamente se puede construir una Serie (solución de la ecuación (1»: (19) 3. Si In ecuación (17) posee una raíz múltiple PI = P2. también se puede construir solamente una serie (la solución (19». Está claro que en el primer caso las soluciones y, (x) e Y2.(X) construidas son linealmente independientes (o sea, la razón de las mismas no es constante). En el segundo y tercer casos. se ha construido solamente una solución (19) Señalemos, sin exponer la demostración, que si la dilerenvia PI - P2 es un número en-
100
tero positivo o cero, además solución de la forma
~
Y. = Ay, (xl In x Vemos.
pues,
complementarlo
(19l habrá. una
de la solución
+ x'" .1>00 ~ Akxt. Y2(X)
que ahora de la forma
contiene
(20) un sumando
Ay, (xl In x, donde 11' (xl se expresa en la O b s e r v. a ció n. Puede en (20l sea igual a cero. y expresión en íorma de una zada. ·Ejemplo
1. Resolver 2x2y"
S o 1 u ció
la ecuación
+ (3.. -
2x2, u'>: (x
n Escribamos
Y"
íorrna (19). ocurrir que la .constante A entonces, para Y2 resulta liná serie de potencias generali-
+ ~.,2x' - _2x'
+ 1) Y =O.
(1)
(1) en la ícrma y' -
.:..±..!. 2x'
y
=
°
(2)
o bien (3) Busquemos
la solución
11 (x) en la íorma ec
tI (xl = x· ka{) ~ c,«
•
Para
hallar
p escribimos
(4)
(C.oFO).
la ecuación
determinativa (5)
donde aú c=
r~I~O 3- 2.' -2= "23 '
K
b = 11m ( --, ... 0
+ ¡) =--,I 2
2
o sea, 3 I p(p-I)+'2p-'2=O'
o bien,
151
De aquí.
De acuerdo a la regla expuesta tomamos (x> O).
.. y,(x) = ~~ A •. t..o
(6)
rt.
Para Hallar los cceíicientes CO. C, •.... Cn. ... sustituimos Y, (x) Y sus derivadas (x) e Y~(x) en la ecuación (1). Se tiene
g;
(7)
-
.. (
1) (
1)
t(x) = ~ k+ '2 k - '2 C.x .2"
Después de las trnnstormacícnes,
-
~k(2k+3)C.x
-
(8) loma la forma
..+! ·-~2(k+I)C.x
•...;
'=0.
(9)
Como se busca una solución para x> O. se puede si mpll ficar por x~'" y obtenemos:
152
De aqui, hallamos los coeficientes:
Haciendo
las relaciones
x' x~
1·5C,-2·ICo=O 2· 7C2 - 2 . 2C,
x3
3 • 9C9
x"
ti
(2n
para la determinación
=O
2 • 3C~ = O
-
+ 3) C. -
en la primera
de
(II)
2IlC._1
ecuación
=O
de las
relaciones
(11)
2
Co = l. obtenernos, C, = 7;' De la segunda De la tercera Fácilmente
ecuación
De este
que
2"
(II=I, 2, 3, ... ).
... (2,.+3)
-n
t7 .
Cj = 5 .~. 9'. etc.
ecuación. se observa
e = 5.7.9
C2 =
se tiene
modo. Y,
(X)=.J[I
+~
5.7.9
k_O
De modo análogo se hallan Resulta que para Ao = l.
.~~);2k+3)]'
también
los coeficientes
(12) AA.
A,=I, de modo que (13) La solución
general
de la ecuación (1) es:
y (x) = Ay, (x) donde YI(")
+ By, (x),
A y B son constantes arbitrarias y las funciones e !/2(X) están dadas por las iórmulas (12) y (13). 153
2. La ecuación de Bessel
Ejemplo
+
x2y"
+ (.~2 -
xy'
p") y = O.
(1)
>
donde p es una constante dada. p O. S o i u ció n. Escribamos (1) en la forma gil
=!..
P (x)
Aquí,
x' - p' +""71 y' + -;t-'-
q (x) = x' -;/'
"
(véanse
(2)
las fórmulas
(15»,
x
de modo Que
ao= lim xp(x)= ...0 b _l' ., ( )_ o-Imxqx--p
y = o.
I
}
(véanse las fórmulas
2
(18».
...0
La
deterrnmauva
ecuación
para pes:
p(p-I)+I·p-p2=O,
bien,
Las raíces de la ecunción
p, =J) P.=-p Buscamos
Bessel zada:
la primera
solución de! una
(1) en forma
(3)
()'_/)2=0
(3) son: ).
(4)
particular de la ecuación de serie de potencias generalí-
~
y =xP
l: Ckx',
(5)
k=U
Reemplazando
~
X2 ~ .~
Ck (k
y, y'
e
y"
+ p) + p-l)
o: bien, después
Iicación por xP:
(ll
en la ecuación Xk+p-2
(1),
resulta
~ + x k~1: el (k+p) xk+p-I + ~ + (x2 - p~ k_O 1. C.~HP=O,
detranslormaciones
elementales
.
y sirnpli-
De aquí. igualando a cero los coelicieníes tencias de x, se tiene. {p' - ¡r)Co=O. [(1 p}2 - pZl
J!'
+ + pJ~+ p)" + p)2._
p~j 42 pZjC3
I(k
+ p)2 -
pi]
X2
x'
+ Co =.0, + e, =0.' + C2=0,
rjC.
e. + C.-z
(7)
., ,
~
.
o,
La primera de las relaciones (7) se cumple para quier valor del coeficiente Co. De la segunda relación (7) obtenemos: e, = O. De la tercera: C C. c. 2=-(2+p]1
De la cuarta: De la quinta: C _ 4-
-
Es evidente par son iguales
cual-
p'=-Z'(I+P)'
C3 = O. C, (4 ... p)'
Ce
= 2'
p'
que todos a cero: C2k+l =O
e
(-1)' Ca
Para simplificar
...
+ p) (2 + p) . 1 • 2
.
de subíndice im-
(k = O, 1, 2, ... )
de subíndice
= 2;;; (p + I)(p + 2)
(1
los coeficientes
Los coeficientes 2~
po·
e, =·0.
[(2 x3 ((3 x· 1(4
x'
en distintas
(8)
par son de la forma:
(p + k) • kl
los cálculos
(k = 1, 2, ... )
ulteriores,
e0-_' z/lr{v){p+I)' 1
(9)
hagamos (10)
donde T'(v) es la función Gamma de Euler. La función Gamma dé Euler 1'(\'1 se define para lodos los valores positivos (y también para todos los' valores 155
complejos cuyas partes reales sean positivas) siguiente:
r (v¡ ===
.. f e-'
X·-I
del modo (11)
dx.
o
La función Gamma posee las siguientes
propiedades
importantes: 1. I'(-y+ 1) = vf'{v). 2. 1'(1) ... 1. Si k es un número entero positivo, se tiene: 3.
r(v+k+
4.
r(k+t}=k!
I)=(v+
1)(,,+2) ... (v+k)r'(v+
1)
Aplicando (lO) y las propiedades de la función r ocupémonos de la transformación del coeficiente C?~: C
(-1)' ... (1,+ k). kl.i"r
?A0= 2'. (p + 1)(,,+2)
=
(p+ 1) (-1» (p+ k
~+·-.,r
+ 1)
pues, en virtud de la prorledad 3, (p + I)(p + 2) ... ... (p+k)r(p+ 1) es igua a r(p+k+ 1). Ahora, la solución particular de la ecuación de Bessel, que a continuación indicaremos con /~, toma la forma (12)
Esta función se llama
función
de Bessel de primera
especie
de orden p.
La segunda solución particular de la ecuación de Bessel (1) la buscaremos de la forma
..
!I
=x-' ~ C.xo,
(13)
0-0,
donde - p es la segunda ralz de la ecuación determinativa (3). Está claro que esta solución puede obtenerse de la solución (12) sustituyendo p por - p, puesto que en la 166
(1) P está elevado a una potencia par y no varía al sustituir p por - p. Asi, pues, ecuación
Lp(X)
~
(_I)k
= 1.J 'klr(k+
I
p)
*-0
("')2'-_ T '
(14)
Esta función se llama Iuncíén de Bessel de primera especíe de orden - p. Si P no es un número entero, las soluciones J,~(x) y Lp(x) son linealmente independientes, puesto que 'sus de: sarrollos en series eomíenzan con potencias distintas d'e x y, por consiguiente, la combinación lineal a,/p(x)+ + a2J_p(x) puede ser igual a cero idénticamente sólo para a, = <Xil = O. Si p es un número entero, las funciones l,,(x) y'-p(x) son linealmente dependientes, pues L.(x)=(-I)"
¡.(x)
(n es entero).
(15)
Así, pues, cuando p es entero, en lugar de '-p(x) hay que buscar otra solución que sea linealmente independiente con l,,(x). Para esto, introducimos una nueva función J p (x)
cOS
pn. -
'_p(x)
sen pn
(16)
suponiendo primero que p no es entero, Es evidente que la función Y.(x), determinada de este modo, es solución de la ecuación (1) (puesto que representa una combinación lineal de.las soluciones particulares I,,(x) y L,,(x». Pasando a limites en (16), cuando p tiende a un número entero, se obtiene la solución particular Yv(x) linealmente independiente con J p(x) y determinada ya para valores enteros de p. La íunción Y. (x) definida aquí se llama funci6n de Bessei de segunda especie de orden p, o también Iuncíén de Weber O). De este modo, para todo p, entero o fraccionario, hemos construido el sistema [undamerüal de soluciones de la ecuación de Bessel (1). De aqui se deduce
"¡
Alguno. autores N. (x , (Nota del T.)
la 1I0nton tunetcn
de
Neumano
y la indIcan 157
que la solución general de la ecuación (I) puede representarse en la forma 11=Al.
(x)
+ BY. (x),
(17)
donde A y B son constantes arbitrarias. No obstante. cuando p 110 es entero" la solución general de la ecuación de Besset se puede tomar. de la íorma !I = a,I.(x)
donde a, y N o tal.
<12
+ a,1 _p(x),
son constantes arbitrarias. La ecuación Que Irecuentemente x'y"
+ xy' + (k'x!
donde k es cierta constante ción de Bessel
- p') y=O,
(lB)
aparece (19)
(k =1= O). se reduce a la ecua-
t' ~~+ t ~~+ (t' sustitución t.., kx.
p') !/. = O
(20)
mediante la La solución general de la ecuación (20). (cuando p no es entero) es:
+ (J,¡I_p(~),
y=a,/.(t)
y entonces, la solución general de la ecuación (19) toma la forma: !I = (1.,1. (kx)
Cuando
p
+ a,1
_p
(kx),
es entero, y = a,1 p (kx)
+
N o t a 2. Una clase muy amplia de ecuaciones de la forma (21)
donde a"b. e, m son constantes (a > O, m =lo O). lntrcduclendo una nueva variable t y una nueva íuncién " según las fórmulas
u=(v) -t I
158
11,
se reducen a la ecuación de Bessel t2~+1
.,2) u =0,
~+(12_ di
dI'
donde a -
i>.
,
«=-2-'
2
m
"'=T'
Cuando e = O y cuando ecuación de Euler. Inlegrar mediante diferenciales:
770. (1
(a -
7
1)' -
P =
= O,
111
series
768. s'>: 2xg=O, 769. 4xy"
Vc
Y=-'-II-'
m'
4b.
.
(2~)
la ecuación
(21) es la
siguientes
ecuacíones
las
y(O)= 1.
+ 2y' + g =O.
+ xl y'
- ny = O.
771. 9x(I-.()y"-12!1'+4y=0.
+
gil XV' + y=O. 773. y"-xy'+y-l =0,
772.
g(O)=y/(Ol=O.
En los ejercicios 774-778 hay que hallar seis términos del desarrollo de JI (x). 774. y"-(I+x2)y=O, y(0)=-2, y/(0)=2. 775. JI"=x2J1-
y',
y(O)=
1,
y' (O)=0.
776. gil - ge'" = O. 777.
s' = X2 + g2.
778. !J' = a" Hallar
+ xg.
las soluciones
1/(0)=0. g(O)=O generales
de las ecuaciones
de
Bessel: 779. 780. 78 J. 782.
X2J1"
+ xy' + (4r - -b-)g
xV' + xg' + (x~ - *) 9 , 1 gil + -;¡ !J' + 9' y = O. y" + L y' + 4y "'" O. x
783. X·y" - 2xg'
+ 4 (x'
- 1) y
=0, O.
= O. IS9
· I
I
784. xY"+2'Y'+-;¡-y=O.
+ ¿ y' + !J = O. V',.+ fv' +4v=O.
785. V" 786.
Demostrar
la justeza
de las siguientes
relaciones:
787. J~(x)=Jp-t(x)-7Jp(x}. 788. l~(x}=-
lp+I(x)+';Jp(x). 2p
789. 1P+I(x) =71
(x) - 1p-J (x) ..
p
+
790. l~ (.~)= Jo (.~) 791. J2(x) -
+
J~ (x).
Jo(x)=2J({(x).
+
792. 13(x) 3J~ (.r) 4J~" (x) = O. 793. x2J~ (~.) = (¡Y - p - x') J o (x) XJI1+1 (x). 794. Comprobar que soluciones de la ecuación
+
VX
J, (2
VX)
y
V:;: Y,
Vx)
son
VX /"i (VX)
son
(2
xV"+y=O. 795. Comprobar soluciones
Vx 1-~ (Vx)
que
I
y
I
de la ecuación 1
xy" +2'y'+-;¡ 796. Comprobar
1
y~O.
que x
C,/p(x) es solución N.o t: a ecuaeíones sencillo al
r IIr(l)
+C.Jp(x)
de la ecuación de Bessel. 3 -. He aqui otro método de. integración de las diferenciales mediante series que resulta más emplearlo a las ecuaciones dlíerencíales no Ji.
ncales. Sea dada la ecuación diferencial y,r.J=f(x, y, y', ... , ylr.-Il) 160
(1)
v las condiciones iniciales
y I,_x. = Yo' y' 1,=,. = !I~. "" yl
xol,<:
p dél punto
x
..
<=
~o, sr eh este enlomo'
ésta es expresable por una sede de potencias
XO)k,
'=0 en el recinto Ix - xol < p. Análogamente. la función (jl(x¡, X2 ••••• x,,) se llama holomorla con respecto de todos sus ·~rgumelllos en el entorno IXk-XJi'II
convergente
del punto ("'iO).x~I, serie de potencias ",(XI'
Xz •••••
. , ..
X~I) si
xn)=
= -Yo ckr"! - .. .t (x I n
convergente Subsiste
por una
es expresable
.('0))" (x,.. - x!0l)": ... (x - x
en el recinto ! s, - I < Pt
xr'
el siguiente
(k = l. 2 .....
n).
teorema.
Teorema. Si el segundo miembro de la ecuación (1) es /lna [uncion holomoria con respecto de todos SI/S argumenios x, Y. y', . , .• y(n-'I en entorno Q:
Ix-xol
!y-yo!
.. !y'-y¿l<
< R"
... , Iyln-Il-
Ybn-I'I < R,
,
del purüo (xo' Yo' y~ •.. '. yhn- ,). la ecuación (1) tiene Ulla Y sólo una solución y = y(x) que cumple las condiciones inicia/es (2) y es ha/amorfa ell /tn entorno del ounso x = x.: y(.t)=!lo+y~(x-x.)+~~
(x-.ro?+"· (4) 161
La sede donde
(4) es convergente
Ix -xol < p,
en el eecinto
(5) aquí, a. y b. son unas constantes que satislacen dícíones: O < a < R·, O < b < R, y
M=máxl!(x,
a las con(6)
y, y', ... , y(',-I)I.
Il
60S primeros n + I coeílclenles de la serie (4) se determinan por las condiciones iniciales (2) y la ecuación diferencial (l). Los demás coeficientes se determinan por la ecuación diferencial, derivándola sucesivamente. Por ejemplo: a
tI+
1= yl'+1I
= 3l. (l••
I
(lL lL + 'ii2.L I I . '+
Ip..t. =
+ (7yiJf
-1-
by
g,
__ 1
n-I
Yo
~II
X-'Cl
o b s e r v a e ¡ 6 n. yln1
iJx
+ P, (,r)
iJl i)!¡
~
k-I
(jJJf,}t)
y<.+ll)
I~-.c.
. y(Hll (xo).
(7)
x-s.
Si la ecuación (1) es lineal, P. (.ro) Y = 'l> (x).
ylO_I, -1- ."
.
+
(8)
=
1,2 •.... n) y ,p(x) son funciones hotomorlas en lodo el eje O«, la serie (4) es convergente tarnblén en todo el cj e. donde
Ph(X)
(k
efemplo. Hallar los cuatro primeros términos del desarrollo en serie de Taylor de la solución Y = y(x) de la ecuación y"=C,:rV,
que cumple las condiciones Iniciales: U
'_0
= 1,
S o I u:c i ó n. Fácilmente
y' Ix.. o = O.
se observa que el segundo miembro de la ecuación, o sea, la función e"ll, es desarro llable en serle de potencias de x e y en un entorno de punto (O, O): esta serie es convergente en la región -00 -c « « +;00. -00 < Y < +00 (es decir, el segundo miembro es una [unción holomorta). lG2
Buscaremos una solución particular en [orma de serie (4): y' lO) J/' (O) 2 r: (O) y(x)=y(0)+-II-x+-2-'-X +~x3+ .... Empleando =
=
exvlx_o
la
misma
ecuación,
hallamos:
1.
y" (Q) "'" .
Derivando sucesivamente ambos miembros de la ecua, ción y haciendo x = O en las igualdades obtenidas, tendré11)0s:
+ XI/') e"v I.~ = 1, 'V (O) = (2y' + xy" + (y + xy,)'1e-"V f.o=) =- 1.
y'" (O) '"" (1/ U
Poniendo en la serIe (t) 10$ valores obtenidos y"(O), y'''(O), I/tV (O), obtenemos el desarrollo buscado de la solución:
En los ejercicios siguientes hay que hallar los tres primeros términos del desarrollo en serie de potencias de la solución de la ecuación di[erencial para las condiciones iniciales dadas. 797. y' = 1 - ,ty, '798.
Y
'
u- x =y+x'
799. U' = sen xu, 800. U"
+ xy = 0,
111'.0= l. U 1.,....,= 1. y
!.ooIJ ~
801. U" -senxy'=O. 802. xy"+Usenx=x, 803. U"lnx-senxy=O, 804. s'" U"
+ x sen y = O,
O,
y'I • .-o'= 1.
y'
uf_=e-', y 1• ..0
=-%:
1...."=0. u'I_.=O.
y' 1....0=0.
1.-0=0.
3. Búsqueda de las sotuctones ctones diferencia/es lineales. 11'
y' I.da = 1.
1...0=0. ul_n=t, y
periódicas
de las ecua·
lG3
Sea dada una ecuación diferencia 1 lineal no homogénea de 2" orden, de coeficientes constantes !JI'
+ PIY' + P2Y = f (xl,
(1)
donde {(x) es una íuncién periódica, de período 2n, desarrollable en serie de Fourier
f (x) =
..
a;
+ ~ (an tOS IIX + b. sen ru).
(2)
-1
Busquemos la Iorma
una solución periódica
de la ecuación
..
A =7+ ~,/.j (A. eosnx + B. sen 11.1').
I/(x)
(1) en (3)
-1
Reemplazando la serie (3) en la ecuación (1). elegimos sus coeficientes de modo que (ormalmente se cumpla la igualdad (1). Igualando los términos independientes y los coeficientes de cos nx y sen nx en los primeros y segundos miembros de la igualdad obtenida, hallamos: P'l
.=
8
¡
A _ (p,-~·)Q.-p,nb.
Ao=~' (p, -
,,-
n') b.
(p2-n~'l+prIl1
+ p,lla.
(p~-n')'+pl,,2
(
•
I 2
I~=,
)
(4)
....
La primera de las igualdades (4) nos da la condición necesaria para la existencia de una solución de la forma (3): si ao q. O. E'S necesario que sea p. "Í' O. Poniendo (4) en (3) resulta: y'(x) ..
161
~+
Cuando PI = O y P2 = ,z', donde Il = 1, 2•... , existjr'á solución periódica solamente si se cumple lá condición
*J
:In
!In
an =
f(.>;) cosn.~ dx = O,
bn ...
J (x)' sen nx di' ='0,
I ¡:¡ f
o
o (6)
, Los coeficientes AA y B" para ,f¡.-=p ..1l .se hallan por- las. fórmulas (4), mientras 'que 'los coeliclentes A. y Bn 5011' constantes arbitrarios, puesto que la expresión A. cos iii+ + B" sen IIX es la solución general de la ecuación horno, génea correspondiente. Cuando no se cumplen las condiciones (6), 'la ecua, ción (4) carece de soluciones periódicas (aparece el fenómeno de la resonancia). Cuando P2 = O y 00 = O, el coeficiente Ao queda Indeterminado y la ecuación (4) tiene una infinidad de soluciones periódicas. que se diferenéian entre si en un sumando constante. Si el segundo miembro f(x) de la ecuación (1) llene periodo 2/ 2n, hay que buscar la solución de la ecuación (1) en la íorrna
*
Ao
y = "2
..
+ ~~ ( Aa
cos
1Wx
-1-
+ Br. sen
11nx )
-1-
.
tI=-!
En este caso, las fórmulas (4) varian correspondientemente. Ejemplo 1. Hallar las soluciones periódicas de la ecuación _X'~ y "+4 y-_¿.¡
n'
•
n-3
S o I u ció n. Se tlene PI=O. P2=4=22,
ao=O, a.=O. b.=
I
11'
(1L=3,4•... ), 165
La Iuncién f (xl = ~ st:tr
no contiéne
el término
.-3
+
resonante 02 cos 2x bt sen 2x. y, por consiguiente, ecuación tiene una Infinidad de soluciones periódicas. Los coeficientes se hallan por las lérmutas (4): Ao=O,
An=O.
Todas fórmula
8,=0,
las soluciones
y(x)=
I
8.=
+ 8, sen
Ateos 2x
(11=3,4, ... ).
.'(4-n")'
periódicas
la
quedan ~
2x - ¿,¡
dadas
por la
sennx
lit (n' _ 4) ,
=3
donde A2 y 82 son constantes Ejemplo
2. Hallar
arbitrarias.
las soluciones
ción y"
periódicas
de la ecua-
+ y =eosx.
s o I u ció
n. En este caso, PI = O, P2 = l. Cornprobemos el cumplimiento de las condiciones (6). Se tiene:
~
~
~
f cosxcosxd.tc: J cos .td.t.=n oF O; Icosxsen.tdx=O. 1
o
o
o
(aquí. n = 1). Las rendiciones (6) de existencia de solución no se cumplen. Por consiguiente. la ecuación tiene soluciones periódicas. Ejemplo clón
3. Hallar
las soluciones
de la ecua-
gil _ g = Isen x l.
S o 1 u e í 6 n. La runción de período n. La desarroltamos Intervalo (-n, n): 2
Isenxl=--. n
4 ~..
n _1
166
periódicas
periódica dada no
I (x)
= Isen x I es periódica, en serie de Fourler en el
eo,2nx
~ 4,,'1'-1
I
(- n, 11).
Buscamos y (x)
.. = -t- + ~ la solución
de la ecuación dada de la forma
+ 8. sen nx).
(A. tos nx
''1IiA.t
Se tiene a!n_' =0, a., =-..:!._J_ n 4n'1' _
:!r).
De las fórmulas
4 GO=ñ'
p,= - J,
p, =0,
} (n= J, 2, .. .).
ti =0
l'
n
(4) hallamos: A!n-' =0; 8.=0
Por consiguiente. de la forma
(/1= 1,2, , .. ),
la ecuación tiene una solución periódica
2 Y (X)=---11.
4 :It
l:., cos--o 211x l6n'-l
-,
=1
Hallar las soluciones ciones diferencia les, 805. y"
periódicas
de las siguientes
ecua-
.,
+ 3y = 1 + l:
.. :x . ..
.
... 1
806. y"
+ y = ~~
11_1
807 . y
"+ y
I
sen IlX =~-¡¡;-, ~
~I=I
808. y"-4y'+4y=nZ-x2,
-1t<x
809. y" - 4y = Icos nx ,.
+
B10. y" - 4y' 4y = arcsen (sen .e). 811. y"+9y=sen3x. 167
§ 18. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES CONSTANTES
Se llama sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeücicntes constantes a I de la lorma dX1
~
dt = -'"ai,X,
+ 1,(1)
(i = 1, 2, ....
n),
(1)
/-1
donde ail son unos números dados y [;(1), unas funciones dadas. El sistema lineal se llama homogéneo, si todas f,(I).. O. El conjunto de funciones XI = '1'1 (/),
X1
= CIlt (t),
, .. ,
X.
= q>. (1),
(2)
determinadas y diierenciables, con derivadas continuas, en el intervalo (a, b), se llama solución del sistema (1) en este intervalo, si las funciones (2) convierten a las ecuaciones del sistema (1) en identidades, que se cumplen para todos los valores de t de (a, b). El problema de la búsqueda de la solución x)
=x¡(t),
x. =
x, (t~,
... ,
Xn
= Xn
(/)
(3)
que salislace a las condiciones iniciales
se denomina problema de Cauchy. Examinaremos cuatro rnetodos muy difundidos de solución de sistemas de ecuaciones diferencIales lineales de coeficientes constantes de la forma (1). 168
1. REDUCCION
01; UN SISTE,\1A
A ,UNA ECUACI,ON
DE n·ESI¡\\O ORDEN El modo mas sencillo de integrar el sistema (I) consiste en reducirlo a una ecuación diferencial de orden n. Resulta que se obtiene una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, Ilustremos este método en ,el ejemplo de un sistema de dos ecuaciones:
~; =ax+by+;(t) dg
Ti = ex + dy
}
(1,1) (1)
.
+ g (/)
(1;2)
Aquí, a, b, e. a son coeficientes constantes, f(I), g(l) son unas funciones dadas, mientras que x(t), y(l) son las funciones incógnítas. De la ecuación (1, 1) hallamos:
y=H~; -ax-f(l)), Reemplazando
y en la segunda
(2)
ecuación
del sistema
por
el segundo miembro de (2). y ~~ por la derivada del segundo miembro de (2). obtenemos una ecuación dijerencial de segundo orden en x(l):
d'" d" A(ii1+BTt+ex+Pl1
) =0.
donde A. B, e son constantes. De aquí hallamos. x = x(t, el. C1) y poniendo el valor hallado Ejemplo.
de x, asi como ~~ . hallamos
Integrar
el sistema
en (2)
y,
de ecuaciones (3,1) (3)
(3,2) De (3,1) hallamos: (4) 169
Poniendo (4) en (3,2), resulta una ccuacion diferencial !ineal de segundo orden con coeficientes constantes: d'x
íJiT' -
x = O.
I -
(5)
La solución genera! de I~ ecuación
+ C~-'
x=C,e' Poniendo en nemos:
(4)
(5) es:
- l.
(6)
la derivada respecto a. t
de (6) obte-
y=C,e' - c-e:' - 1. La
solución general del
sistema
(3)
es:
.t:':C,e' +C~-' - 1 } y=C,e'-C~e-' - 1 • 2. METODO DE EULEI¡ DE INTEGRACION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
Examinemos este método en el caso de un sistema de tres ecuaciones diierenciates lineales: dx
di =ax+ dy
di=a,x
by
+cz (1)
+ó,y +c,z
dz
+ C2Z
di =~+b2Y
Buscamos la solución del sistema en la forma· x='}..e",
g=lJe",
z="IJ",
donde 1.,. J.l, v Y r son constantes.
(2)
Poniendo (2) en (1) Y simpliiicando por el', resurta un sistema de ecuaciones para determinar )... J.l Y v: {a-rP..+óJ.l+C-y=O,
a,)..+ (b, -r) alA 1.10
JL
+c,v=O,
+ 11:11 + (e; -
r) v = O..
1
El sistema (3) posee solución no nula cuando su deter-
minante .:\ es íguat a cero:
I C.-'
b
6=1 ':
=0.
j; C,
~
(4)
La ecuación (4) en , denominada caeaclerlstlca,
es
cúbica. a) Supongamos que las ralees 'l. (2 Y '3 de la ecuación característica son reales y distintas. Sustituyendo en (3) r por el número y resolviendo el sistema (3) se obtienen los números ¡.h '" Y "1_ Haciendo después en (3) r = '2. se obtienen los números ;'2, 112, '12. Finalmente. para r = '3. resulta ),3. 11a- "3. Para las tres colecciones de los números í., 11 Y v, obtenemos tres sistemas de soluciones particulares:
'1
XI~}.,lerlt,
Yr=~IC'!',
y,
.t2=;'¡e',t, .\'3
== A3e"I,
==
)J!lCr,(
Z, Z2
I
Y3=I13er",
='II,er,1 = '1/"
}
.
(5)
'3= V'jé"
La solución general del sistema (1) tiene la Iorma x = C,x, + Ctx-. + C3x" y=C,Y, +C2Y,+ Z = C,z, C2Z2
+
C.Y3'
(6)
+ C3z a-
Ejemplo l. Resolver el sistema dx 3 x-y+z. 71=
dy
71=-x+5y-z,
(7)
3z.
dz Tt=x-y+
S .:>1u ció n. Escribimos la ecuación característica
3~/ 5-=-1, ~I 1=0 1 () bien, ,3_11,2+
I
-1
36, -36
3-r
= O. 171
los
A las raíces ;1 = 2.
= 3.
'1
'3 = 6 les corresponden
números
",=1.
...,=0,
"'1=-1;
"2=
1l2= 1, IlJ = - 2,
"2=
1,
1.3 = J,
"3 =
1; lo
Escribirnos las soluciones particulares xJ=e'U
z,=-e'1'
u.=».
1
xt=eu,
YóJ
Xa=IP,
us= -2&',
Respuesta:
z,";' e~' zJ=Ifl'
e3t,
r:;:.
+
+
.~ = C ,¿J' C2eu Cle61 U = C,é" - 2C3C6' Z = - CI¿JI C.¡?' C¡,c6/
+
(9)
} •
(lO)
+
b) Examinemos ahora el caso cuando las ra ices de la ecuación característica son complejas. Ejempto 2. Resolver el sistema
~~=x- Su } d d~
(ll)
•
=2x- y
S o I u ció n. Escribimos el sistema para la deterrninación de í. y 11: (l-r)1.-5",=0} (12) 2~.-(1+r) ",=0 . La ecuación caracteristlca
I
J-r 2
-5
1=0
-I-r
tiene las raíces r =. 3i, r2 = - 3i. Poniendo en (J~) '1 = 3i, obtenemos dos ecuaciones para la detcrtninaclón de Al y. "'1: (1- 3i))., -511-,=0 2)",- (1+3/)fL,=0 1'12
}',
una de las cuales es consecuencia
y,=(1-31)~I.
(13)
De modo análogo, ..sustltuyendo en (12) Ji!: (aiz '2 = = -3i, se halla la segunda soiución 'particular: (14)
Pasemos a un nuevo sistema fundamental de solucíones: _ XI + x, x':=:--2-'
YI + '12 11- "---2-'
a. _ x, '-x, }
...,-
•
2'
111 ~V2
(IS)
Y'=-2-¡ -
Aplicando la conocida fórmula de Euler e",ulI = cos al :l: i sen at,
(16)
donde « es un número real, de (14) y (15) obtenemos: x,=5cos3t. li, = cos3i
x,=5sen3i; Y2= sen 31 - 3cos3i.
+ 3 sen 31.
La solución general del sistema (11) es: x =C,x,
y=Clfí,
+ C,jh=
+ C¡x~ = SC, COS 31 + 5C
1 sen 31, C,(cos3t + 3sen 3/)+C2(scn3t-3cos3l).
O b s e r va ció n. Una vez. hallada la primera solución particular (13) se podría haber escrito inmediatamente la solución general del sistema (11), aplicando las fórmulas X=CIRex,+C2tmx" }. (17) y=C, Re y, C, 1m y,
+
donde Re z y 1m z indican las partes real e imaginaria del número complejo z, respectivamente, es decir, que si 2 = = a + [Ji, entonces, Re z = D, 1m z = b. e) Caso de raíces múltiples. 113
Ejemplo
el
3. Resolver
sistema
~~ =2X+Y}
(18,1)
~ =4y-x
«(8,2)
l.a ecuación
en raeteristiea
(18)
s o I u e i ó n.
2-r
l I ":""0 4- r -
1 -1
+
o bien, r' - ()r 9=0 tiene una raíz múlfiple La solución se debe buscar de la forma
r,=r,=3.
+ f,,/)e3/ t = (A., + ~z{) él' J'
x=p., y Poniendo
(19)
(19) en «(8,1). obtenemos:
+ ~,t.) +
3 (J.., Identificando en el primero
"', =2 (~,
+ ""t)
+ (1... + ",,().
los coeficientes de iguales potencias y segundo miembro de (20), resulta: 3;',
+ J.L, = 2/., +"'2 } 3,.,=2J.L,+f.'2
(20)
de /
(21)
•
de donde
1..,="',+J.l, }. J.l.=""
(22)
Las cantidades ,., y l.t, se mantienen arbitrarias. Jndicéndolas mediante e, y C2, respectivamente. obtenemos la 56, lución general del sistema (18) en la forma: x=(C,
y·=(C, obser
v a ció
+C,t)e51 +C2 +C~)e1'
Fácilmente niendo (Hl) en (18.2) se obtiene En electo, de la igualdad f.'2+3 (~2 IN
11.
+ ~2f)
= 4 (A.,
}
.
se comprueba que poel mismo resultado' (22)
+ 1-12t) -
("', + I-I,t)
obtenemos dos relaciones para' la determinación mediante ,,) y J.t): J.L2
+ 3i", = 4"2
-
Jo)
3JÁl = 4V2 -
de donde
+
J-:¡ =,,) JÁ:,
de 'llT y J.I.~
},
J.L') f.L2 = '1).
3, RESOLUCIOfll DE SISTE~MS DE ECUACJONES DIFERENCIALES MEDIANTE COMB)NACIONES INtEGRABLES'
Este método de integración de sistemas de ecuaciones diferenciales (no necesariamente lineales) consiste en lo siguiente: mediante operaciones aritméticas convenientes (por ejemplo, sumando. restando. etc.) de las ecuaciones del sistema dado se forman las llamadas combinaciones integrables. o sea, unas ecuaciones fáciles de integrar de la forma
p(t, donde
u es
~(I),
...
u,
~~)=O,
(1)
una función de las funciones buscadas
x) (t),
xn(I).
Ejemplo 1. Resolver el sistema
~=L} dI dy
x x'
o
.
Tt=y-
,So t u ció n. Escribamos el sistema XdX=!l'dl} ydy=x2dl
(2)
(2)
en la [arma (3)
.
Sumando término a término, obtenemos: x dx
+ y dg = + y2)di .• '(X2
o bien. á(xl+y')
x~+ ,,'
de donde
I.n(i1
=?dt
-
J
+ !/)=21 + InC). li5
Potenciando, se tiene
x, + y'-C,t?'.
(4)
Restando término a término la segunda ecuación (3) de la primera, obtenemos x dx>- ydl/=(y2_X2)di,
o bien,
d(x'-V') x' _ v'
de donde
= - 2 di,
xt_y'=C,e-'lJ.
(5)
Despejando x e y en (4) y (5). hallamos la solucíén gen~ral del sistema (2): x
= VC,e?1+ e,e-t/,
y=
Vb,t?'_C,e-?',
donde para simplificar se ha hecho -
1
C, ='2C"
-
I
C.='2 C,.
Ejemplo 2. Hallar la solución particular ~~=3x+ 5y, ~ 2x-Sy, Tt=-
}
del sistema
(6.1)
(6,2)
~
que satisface a las condiciones iniciales ,;1_=2, y
y 1/-0=5.
(7)
s o I u ció n. Mulliplicando por 2 la primera ecuación sumándola con la segunda. resulta d'(~t u). =2(2x
+ y),
'de donde 2x+ y~Cle?l, !I =C,e'U - 2x. 176
(8)
Poniendo (8) en (6,1), obtenemos una ecuación llneal para determinar x: Jx = Ti
-
7x
+ se,e-"',
(9)
Dc aqul, (10)
Por consiguiente, y =-
-4- C,e?' -
(11)
2C~-lI,
Las expresiones (lO) y (11) representan la solución general del sistema (6), Para hallar la solución particular que satisface a la condición (7) hay que sustituir en (10) y (11) lAS va' riables t, x e !I por los números O, 2 Y 5. respectivamente. Para la determinación de el y C2, resulta el sistema de ecuaciones
2=C.+'9C 5" 5= -
}
(12)
1..c,2C. 9 "
de donde
C,=9, La respuesta
C:""'-3.
es;
x = 5e'u - 3e-lI !J= - e21
}
+ 6e-U
•
4. METODO DE VARIACION DE LAS CONSTANTES Aqul
ilustraremos
este método
en
el
caso
de tres ecua'
cion es no homogéneas.
Sea
dado el sistema
+ a,x + b,y + e,z = t, (t), + X + b,y + e2,z "'" 1, (t), 2' + aJx + bJ!J + e~z = fa (1).
x,'
!J'
(Li
(1,1) (1,2)
(1)
(1,3)
In
Suponemos que ya se ha hallado la solución general del sistema homogéneo correspondiente y que tiene la forma
+ C + C3.~a,
x = C,.~,
ZX2
}
y=C,!J,+C'!J2+C3Ya' z =G,z, C2ZZ C"Z3'
+
Vamos a buscar neo (1) de In lorma
.
+
una solución
del sistema
.I'=C,(I)x, +C,(I)x2 +C,(I)'~J' y=CI (1) !JI +C2(1) 11,+C3(/)Y3' z
(2)
= el (1) z, + ez (/) z, + C (1) l
no hornogé-
} ,
(3)
Z,.
donde el (1). ez(l), e,(t) son unas nuevas funciones incógnitas Pongamos (3) en (1); la ecuación (1, 1) toma la forma
C;xl
+ C;x + Ch + C (x; + Q.,x + + e,z,) + + e2(X~ + a,.~~+ 1>,!J2 + e,z,,) -1+ C,(.~~ + a"~J + b'YJ + e,z3)=f, (1). 2
I
b,!J1
l
(4)
Todas las sumas que figuran entre paréntesis se convertirán en cero (puesto que (:1) es solución de la ecuación homogénea correspondiente), de modo que tendremos:
C;Xi+C~Z+C~X3=f,(t). Análogamente, tenemos:
(5)
de (1,2) y (1,3), después de poner (3),ob·
e;y, + C;yz + C;'Y C;<" + qzz + C3Z
'2 ({), }
j
=
j
=13 (/).
(6)
El sistema de ecuaciones (5) y (6), lineales con respecto a el. C~, CJ, tiene solución, puesto que 51' determinante ll. =
1;: : :: I '* ZI
2'2
es distinto de cero, en virtud de las soluciones particulares rrespondiente.
liS
O
Z3
de la independencia lineal del sistema homogéneo co-
Una vez conocidas el ((), et(tl, CH!}, integrando hala solución
IIHmo~ e, (tI, e,u). e.(t) y, por consiguiente, (3) del sistema no homogéneo (1).
Ejemplo. Empleando el método de variación constantes, resolver el sistema
~;+ 2x + 4y = I + 41, dy + . TI x-Y=2" 3 l' s o I u ció n, Resolvemos géneo
primero el sistema
~;+ 2.t + 4y = O,
de las
(7)
horno-
}
tly
(8)
dT+x-y=O. Derivando la primera ecuación respecto de 1, resulta
~;:+ 2
~;
+4
~~ = O.
!~
Pero de la segunda ecuación = y - x, por esto obtenemos ti' .. +? dx + dí' - di 4!1- 4x =.O O e l•a primera
ti'"
{ii'l
.. 4 !I = - rlt dx - 2x , d e mo d o que eCUaClO11
ti.. ti" + 2 TI-1Tí -
2.t- 4x=O,
o bien, d'x
dx
"ifi' + di - 6... = O. La solución general de esta ecuación es: .x=C¡e2' +C~-31.
Pero, como enemos u-
179
Sustituyendo C2 por 4C2, tendremos: x=C,e?'+4C.e-3, y = - C,e?' C"e-at.
}
(9)
+
Esta es la solución general del sistema homogéneo (8). Busquemos ahora una solución del sistema no homogéneo (7) de la forma x=C,
(l)e·1
+ 4C2(1) e-3'
}
y=-C,(/)e'U+C.(I)e-J1•
(10)
Después de poner (10) en (7), obtenemos
= I + 4t 1 + C~(I) e-JI ={t2
Cl (t) e21 + 4CZ(i) e-31 -Cl
(1)
él'
De aquí, 1+ 41-61'
Cl(/)=
5
C2(I) =
_21
e,
1+41+.!!.1' 2 5
e3'.
Por consiguiente, C,(I)=
1~3(2
t+}t' C. (/) = -5-
e-u+C,
e3' + C.
1 '
(11)
donde el, c. son las constantes de integración. Poniendo en (10) las expresiones halladas de Cl (1) y C.(t), obtenemos la solución general del sistema (7):
+ 4C.e-St + t + t2 t u=-C,e·'+cze-31-}t2I' x
=>
C,élt
(12)
Obsérvese que las funciones <¡J, (/) = 1+12 Y
Resolver renciales:
812.
':!t
los siguientes
=3-211
de ecuaciones
dile-
}
d
•
_Jf_=2x-
2/
di
~; =x-2y 813.
sistemas
}
d
.
-%=x+3y 814.
~; +3x+
y=O }
Ú
•
,¡~-x+ y=O
x (O) =ti (O) = 1.
d:r I y - 31' . - '2 I / + '2 3 di = 3.t - '2
815.
d
d~
•
=2y- 21-1
~; =-7x+U 816.
}
d
•
f¡ = -
':!t
}
5y
=2:c-
-2x 9y }
817. d ::=x+8y
.
d.
Tt=Y+
Z
dy
818. Tt=Z+x d.
(j(=X+U dx Tt=Y
+Z
dy
819. di =3x dz
Tt=3x+
+Z ti 181
dx
o
7í=<>Y 820.
!!j¡-= di
Tt
2z
= 2.t + 8y
~~ = 2x
- 2z
+y -
2z - /
+2
82J.~~=I-x
f+
ti r
,,; =x+y-z-
dx
Tt=-x+y+2+e 822.
tly
I 1
+ z + e"•
Tt =x - y ,/~
lít=x+!I+z+4 -¡¡¡=xcost dx 823.
~!: J
2
= (e'
}
5}x
tlx, Tt=e-!l-
824.
cly =01' dI
+X _
d d~
3y -.~
=_
X
211
x (O)=900 • !/ (01= 900 .
•
}
x(0)=6,
•
=-
-=!/ a« 826. :~
119
31} .
Tt=3x + Sy dx 825.
•
+ 0- ) Y 1
y(O)=
-2.
} •
x (O) = y (O) = 1.
di
Tt=dx 827.
tlx
4 ( x+!/)
-¡¡¡+4 -¡¡¡=182
}
dy
•
4y
x(O)= 1,
!/(O)=o_
SU}
~;. ='¡.1'-
828.
,1"
.
(jj"=,t
~·;=.I'+!!+I 829.
!I(O) = 1.
~(O)=O.
}
1
'7 • ,~(O) = -
1i' y
(O) =
5
- 9"'
*=.~-2y+21 Ti d x =,t+5y
830.
}
dy
.1'(0)= -2,
,
y (O) =).
-¡¡¡=-3y-l' dI; dy -¡¡¡+2-¡¡¡=17x+8y
831.
}
l/x
.1'(0)=2,
'
y(O)=-1.
13T1 = 53x+ 2y '~~=y 832. ,Ix liT-Ti-x
}
.JJ,_ + y .
833.
x(n)=-I,
~+i!!..=e-I_y di di .1.1'
}
d!J
+ TI = sen 1 -
2 TI
y(ltl-O.
•
x(O)=-2,y(0)=I.
211
2 :1,.; =6S-y-611-1+3} 834.
,x(O)=2.
111
11(0)=3.
%=2y-21-1 lIx -;¡¡=-¡¡
835 .
I}
.!!.t.=i . <
di
836. _d_I_=_É_=_!!L_. ",y - n.' lit - (g 1.'( dx
dy
Jp
1137. -Y=-7=-¡-=-p' 838.
NO' -
1
dI
2XjI
dx
-
~1 =:.~
;:-¡:; =:
mi
lip d. X ~
!J
IlIJ
839. I dx =(1- 2x'l dI I dy=
840
_ •
di
(l_X'l_y'l
=
}.
+ 2.r -
(Ix +Jr¡
,Ix
2/x
=
t)dl rly 2Jy'
841. !!!_=.!!!..=l!!!._. t " Ig 842 .
.!!!... =.!!:._ =!!JL. X!I I!I JX
§ 19. TEORIA
DE LA ESTABILIDAD
l. ESTAB¡LlD.~D SEGUN LlAPUNO\'
Sea dado
un sistema
dx,
di=!¡(x"
x~, ....
de ecuaciones x,p t)
(i=l,
diferenciales n).
2, ....
(I)
(i = l. 2 .... ,n) del sistema (1), que satisface a las condiciones iniciales ",¡(lo) = epiO (i = 1, 2, ... , n) se llama estable segúll Liapunou, si para cualquier f\ > O existe un número oS(€) > O. tal que, para cada solución .1', (1) (i = 1, 2, . , . , 11) del sistema {l ) cuyos valores iniciales cumplan las condiciones Un¡J solución
1 xiC/u} 50
verifica
(jl/(I)
- epi. I la desigualdad
Ixdl)
<ó
-
(i = 1, 2 ..... (i = 1, 2, ....
n). n)
(2) (3)
para todos los valores I ¡;¡, lo. Si para valores de Il > O arbitrariamente pequeños no se cumple la desigualdad (3), al menos para una solución xi(I} (i 1. 2, ... , n), la solución Ij>i(t) se llama ines-
=
table.
Si, en las condiciones (2), además del cumplimiento de la desigualdad (3). se cu.mple también la condición lim Ix¡{I)-<¡J,(l}!=O, (i=l, 2 .... , n), (4) I .. ~
1M
la solución
!p,
(1)
(i = 1, 2, ... , 11) se lI~m~ ostntottcc-
mente estuble. El estudio de la estabilidad de una solución CPi(l) (i 1, 2, ... , 11) del sistema (1) se puede reducir al estudio de la estabilidad de la solución nula (trivial) Xi '"" O (i = t, 2, ... , It) de un sistema análogo al sistema (1):
=
'~r =F¡{x"
X2' •• "
x.,
t)
(i= 1,2,
... , n)
(1/)
=
donde F,(O, O, ... , O, 1) "'" O (i 1, 2, , .. , n). Se dice que O (i 1, 2, ... , 11) es un punto de reposo del sistema (1'). Para el caso del punto de reposo, las definiciones de estabilidad e inestabilidad se pueden formular así: el punto de reposo x, ... (1 (i l. 2, ... ,11) es estable según Liaoüno», si para cualquier O es posible hallar un Ó O talque cualquier solución x,(1) (i = 1,2, ... , nI, cuyos datos iniciales XIO x, (lo) (i = 1, 2, ... , n) satisfacen a la condición
..:,=
=
=
>
1'
<6
se verilica
I x¡(l) I < e
8>
=
(i= 1,2,
... , n)
(2')
la desigualdad (i = 1, 2, ... , Ir), (3')
para
L_-==:E.==~
todos los valores I;;¡' lo. La significación geornótrica para.n = 2 es la siguiente: Por muy estrecho que sea el X. cilindro de radio e con el eje 01, existe en el plano 1 = lo un entorno del punto (O, O, lo), de amplitud las curvas integrales
f'jg. 24
2~, tal que todas
x,=xJ(I) } X2= x.(l) , que salen de este entorno se mantienen dentro cilindro para todos los valores I;;¡' to (véase la Sí, además de la desigualdad (3), se cumple la condición limlx,(I) 1= O (i = 1, 2, , .. , n) la I~
..
dad se llama asintotíca.
de este lig. 24). también establli-
Si para valores de 6> O arbitrariamente pequeños no se cumple la condición (3') al menos para una solución .1',(1) (i = l. 2•.... nI. el punto de reposo del sistema X, _
0(1 = 1.2 .....
n) es tnestubte.
EJemJ>lo. Partiendo de la definición de estabilidad según Liapunov. aclarar si es estable o no lo es, la solución del slslcrna (1) que satislace a las condiciones iniciales .1'(0\ =0. y(O) =0. S o I u ció n. La solución del sistema (1) que satisface a las condiciones inictales dadas es: x(/) == O. !J (1) _ O. Cualquier solución de este sistema que satisfaga a las condiciones iniciales .1'(0) = '\'0. y(O) = Yo tendrá 13 íorma X(I)=
Xocos 1- !losen l.
y (1)= x, sen I
+ yocosl.
Tomemos & > O arbitrariamente y mostremos existe un número 6(e» O lal que. siendo
(1)
que
1.1'0- O 1< 6, Iyo- 01< ó,
se veriíican (as desigualdades 1 x (t) - O 1=1 .1'0 cos I - Yo sen 1 1< e. (5) 1 y (1) - O 1= 1 .1'0 sen I + y~ cos 1 I < e para todos 10$ valores 1 ;;¡." O. En virtud de la definición, esto significará que In solución nula x(l) "'" O. {/(I) _ O del sistema (1) es estable según Liapunov, Se tiene, evidentemente,
1x"cost - Yosen 11.;;;lxocosll + 1Yosen tl.;;;!x" 1 +I Yo1 I.1'0sen t + yocos tl';;;!.rosen t 1+1 Yocos tI.;;;!xo 1+1 Yo! para todos los valores t. Por lo tanto, si Ixol+IUol< e. también será I .1'0 cos I - Yo sen / I < e 1 Xo sen I + Yo cos 11 < 8 para todos los valores l. 186
(6)
(7j
=i,
Por consiguiente, si por ejemplo se loma <'I(e)
entonces, siendo I·tol <6 y 1!lo 1 < 6, en virtud de (6) se cumplirán las desigualdades (7) para todos los valores t:;.. O, ~s decir, que en efecto, la solución nula del sistema (1) es estable según Liapunov. No obstante, la estabil.idad 110 es asintótica. Basándose en la definición de estabilidad según LiapUIIOV, estudiar la estabilidad de las soluciones de las si· guientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones: d.r
843. -¡¡¡=x+l,
x(O)= 1.
844. 71=2/(..:+ 845.
x(O)=O.
~{¡ =-x+e,
dx ') 846. -¡¡¡=_
847.
1),
x(I)=I,
+ 1,
E. di =x
-
~=.!.. tll
t-'>y-
X
(O)= 1. I
13'1 .
l·
,; .
x(O)=!I (0)= O.
I
nJ: . Tt=- x- 3y I 848.
!!JL di =x
~
I
- y
x (O)=!I (0)=0.
2 TIPOS ELE¡\o\I!NTALI!S DE PUNTOS DE REPOSO
Sea dado UI1 sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes
d'; = °IlX + a'2!1 d
+. =
021X
1
+ ai'JY
'
(1)
donde se supone A=
a22 l0"a21 a"1
*0.
El punto x = 0, y = 0, en el que se anulan los segundos miembros de las ecuaciones del sistema (11, se llama punto de reposo del sistema (1) o punto singular. 187
Para estudiar los puntos de reposo del sistema que lormar la ecuación caracteristica
I
au (l,¡1
A.
al2 aZ2 -
A
1=0
(1) hay
(2)
y hallar sus raíces ).,1 y ),.2. Son posibles los casos siguientes: 1. Las raíces y 1.2 de la ecuación característica (2) son reales y distintas: a) "1 < O, )0;2 < O. Punto de reposo de estabilidad asintótica (nodo estable, Hg. 25).
"1
Fig 25
Fig.26
b) )'1> O. ¡'2> O. Punto de reposo inestable (nodo inestable Hg. 26). e) "1 > O, ¡'2 < O. Punto de reposo inestable (punto de ensilladura .. lig. 27).
Fig.27
11. Las raíces imaginarias:
Flg.28
de la ecuación
característica (2) son
'a) p < O, q =P O. Punto de reposo de estabilidad tótica (loco estable, lig. 28). 188
asín-
b) p inestable.
> O.
q =1= O. Punto de reposo inestable fig. 29).
Fig.29
(foco
Fig.30
e) p = O. q =1= O. Punto de reposo estable (centro. fig.3O).
ng.
I'ig. 32
31
=
JlI. L3ii.raices son múltiples. A, í.~: u) Al 1-2 < O. Punto de reposo de estabilidad tlca (nodo estable, fig. 31. 32).
=
FIII·33
1)) l.,
=
eslntó-
fiE. 34
A~ > O. Punto de reposo Inestable
(nodo ines-
table. ¡¡~ 33. 3~). 1811
Ejemplo. Determinar
el carácter
del punto de reposo
(O, O) del sistema d.c =5x Ti
g
Ti= 'fy 2 x+Y
s o I u ció
n. Formamos
I
-1
2
I
6'-
J.: -
"
la ecuación característica
S-A
o bien,
1
-J.
1=
O,
+ 7 =O.
Sus ralces z, =3 + ¡/2' > O,J-2=3- ¡/:r > O, son reales, dlstlntas y positivas. POr consiguiente. el punto de reposo (O, O) es un nodo tnestable. Determinar el carácter de los puntos de reposo para los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: d"
849.
di= ti d~
3 + x y
=-2%+
I
J. 1
Ji"=-x+3y ti
855.
•
7t-=-x+y 2
ds
852.
-¡¡¡=-
X-Yt
1
!J!...=3x- y 7T= dx 3x+7y d d~ dx
'iii' 854. 190
=2x
+ 5g
856.
.
1
857.
•
= -2x + l'5 y
d" -¡¡=7.t -3g
U
d
ti: =x-3g :: =3x d
_J!_=3y dI
l·
•
1
Ti=-x-y ¡Ix d.
I I
,/: =x+y
di
853.
•
dx =3xdi
J
¡
2y
d
j',=x+y
y
dx
851.
Ji"=-x+ dx 850.
¡ •
•
858. ¿Par:] reposo
\0. O)
tfll~ valores de ~ es estable que sigue?
del sistema
2
di=
de
¡
I
dx
di=-3x+o.y l/y
el punto
x+y
J
.
N o t a. Sea dado un sistema les lineales dx,
de ecuaciones diferenciade coeficientes constantes
homogéneas
..
~
-¡¡f-=-'.JD¡¡X¡ i=t
(i=l.
2•...•
(11;;;;'2).
tt)
(3)
Para este sistema subsisten tipos análogos de dlsposición de I~,; curvas integrales alrededor del origen de coordenadas (punto de ensilladura generalizado. nodo generalizado. ele). En este caso, sí las parles reales de todas las raíces de la ecuación característica del sistema (3) son negativas. el punto de reposo de este sistema X, ES O (i = 1, 2..... lt) es asintótlcamente estable. Si. al menos para una raíz de la ecuación caracteristlca, la parte real es positiva. el plinto de reposo es inestable. Ejemplo. ¿Es estable sistema que sigue?
el punto
de reposo
(O. O. O) del
~; =_X+2j úY=_2y_z Úl
de
dí=!f-Z S o l u ció
n, Formamos -1-'0 O· 1
°
la ecuación
O 1 -2-).-1 I
caraclerlstica
I
=0,
-I-J.
o bien, (1 +t..)(_.2+3'A+3)=0.
Las parles reales de las raíces de la ecuación caracte3. ± 1 -2'Va son nega tiivas. p or ns. uica "'1= - l'• "2.3= - '2 consiguiente. el punto de reposo del sistema dado es asíníóticarnente estable. J91
3. EST.~BILlOAO
SEGUN LA PRI.MEr~A ¡\PROXIMACION
Sea dado un sistema
de ecuaciones
ds¡
(jf=f¡(xl•
x.)
X2 •••••
y sea XI ES O (i = l. 2, ...• mismo, o sea.
tilO, O•...
,0)=0
diferenciales
(í=I,
2, ...•
,¡) un punto
(1)
11)
de reposo
del
(i= 1,2, ... , ,¡).
que las funciones f¡(xl. X2, .•. , x ..) son dilerenciables en el origen de coordenadas una cantidad suficiente de veces. Desarrollando las funciones Ji por la fórmula de Taylor, según las Xt, en un entorno del origen de coordenadas, resulta Se supondrá
dXt
"
,..,
Tt= ~ at/x,
+ Rt (x¡,
/=1
donde a.¡ = dftfO.
xz, ... , x.)
g'x, " ..
O)
•
(1 = 1,2 •...•
Y R, son los termines
n), (2) ínüní-
lésimos de segundo orden con respecto a XI, X2, ••• , En lugar de! sistema (1) consideraremos el sistema dX1
~
di ="" a.¡»¡
(i= l. 2, .. " n)
·(au=collst).
x•.
(3)
1=1
denominado sistema de ecuaciones de t,'ra aproximación para el sistema (1). Subsiste lo siguiente: 1. Si las partes reales de todas las raíces de la ecuación caracteristica
a'I-').. Q.¡ll
an,
a'2
ato
aZ2 - ,.
. '.
a,,?
.a~•. a.n -;.
1=0
(4)
son negativas. las soluciones nulas x,,,,,,O (i= 1,2, "', n) de los sistemas (3) y (2) son asintótica mente estables. 2. Si la parte real de al menos una raiz de la ecuación característica (4) es positiva, la solución nula del sistema (2) es inestable. 192
3. Si las parles reales de todas las raíces de la ecuación característica (4) 110 SOI1 positivas, siendo igual a cero la parte real de al menos una rai~, el estudio de la estabilidad según la primera aproximación es. por lo ge· neral, imposible (comienzan a influir los términos no lineales de RI)' Ejemplo. Estudiar
según la primera ap= O del sistema
la estabilidad,
roxtrnaclón, del punto de reposo x = O. !J x,.,.2x+y-5y;. } g=3x +0+ ~ . = ~;,
(i
S o 1 u ció
11.
El sistema
de primera
J=2x+U,
ü=
~n·
aproximación
(5) es
}
g=k+O;
~
los términos no lineales satisfacen a las condiciones neo cesartas, pues su orden es ;;:: 2. Formamos la ecuación característica para el sistema (6): 2-'.
3
1
1 I t _", = O.
i" -
o bien.
Las raíces de la ecuación caracteristica l•• -
3- 1((3 --2--
son
reales
(i)
> O.
y l.,
3", -
Por
I = O.
i.,= 3
(7)
+ ,'-
2 la •
consiguiente,
la solución nula x = O. !I = O del sistema (5) es inestable. Estudiar la estabilidad. según la primera aproximación. de la solución nula x = O. !J O de los siguientes sistemas:
=
.~ =x 859.
+ 2!1-
sen y'
!i=-.~-3!1+x
i =- x + 30 860. . y=-x-4y+
}
l I:
(" T e - I
+ .(.sen g t -cosy
i:=-2x+8senZy} 86 t. !i = x _ 3!1 + 4x3
,
}
.
.
+
.(= 3x - 22sen '/ X2 862. Y. = sen x - •:>y +' e'-'1
-
y3 } . 19.1
+
1
·i =-1 Ox 4eY - ·1COS!/ 863.. 11= 2'e - 2 -y+'" .... t =e 7 x
864..
865.
U=c'
,
+ 2 sen U ~ -
3
3 x x. = - ~
f¡ = - y i =
í xe'
866.
fJ = 2x
!I-
I
~'
}
+I"..x'
+ li'I sen MU 2x + )..'" - ¡/ - 3y + sen ,r2 <)
+ ye
ti = i= 868.
tx-
+
~.
,
I ¡. +.\-' 1,
.!..
~.
3y cos y -
(e' - 1) - 9y
fJ= sx-seny+
I
I II/~
+.r Uf'
X = Sx + JI cos y -
~
.'-
1i~3x+2y+
1
U' cos x ,
1-
I
869.
x J!/
_~
~ i=-:'senx-7y(I-!I)·' 867.
l'
';2 -U~eV
I l'
I ,
4. ESTABILIDAD DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON RESPECTO A LA VARIAC10N DE LOS SEGUNDOS MIEMBROS DE LAS ECUACIONES
Sean dadas las ecuaciones diferenciales y'=f(.\'.
y).
y'=f(.t,
y)+9(x.
(1) g),
(2)
donde las íunclones f («, y) y a (x, g) son continuas en un dominio G del plano XO y y la Iunción {(x, y) admite en este domInio derivada parcial continua Supongamos que en el dominio G
:! '
19(x, U) I';;;e. 194
(3)
Si y = cp(x) e 11= 11' (x) son soluciones de las ecuaciones (1) y (2), respectivamente, que .cumplen una misma condición inicial
entonces,
I
M
=
1"" ~ (e"",-".I- 1),
-Ij>(x)
(4)
l·
max_1 ::
!x.y)<Ea U la acotación (4) se deduce que, si la perturbación de la íunción 6 (x, 11) que figura en el segundo miembro de la ecuación (1) es suficientemente peqeña en el dominlo G la diferencia entre las soluciones de las ecuaciones
Pe
(1) Y (2) será pequeña en valor absoluto en un intervalo Iinito de variación de x, Esto permite resolver aproximadamente ecuaciones diíerenciales complicadas sustituyeudolas por ecuaciones elegidas racionalmente que se resuelvan con mayor íacilidad. Esta última circunstancia puede utllizarse esencialmente para la resolución de ecuaciones diferenciales liga· das con problemas de la ílsica o de la técnica. Ejemplo.
- ~ :;;;; y:;;;;
Hallar
t}
Q{ - ~:;;;; x "" ~;
en el cuadrado
la solución
aproximada
de la ecuación
!J' = sen (xy), que cumple
la condición
(1)
inicial
(2)
111.<"",,=0,1, y acotar el error. S o I u ció n. Sustituyamos la
ecuación
(1)
por
la
ecuación
La ecuación ción
y'=xy
(3)
111_0=0,1.
(4)
(3) con la condición
inicial
.'
(4) tiene la solu-
II=O,I.e', 1)'
195
que para todos los valores de ,~e [- ~; ~], no sale luera del cuadrado fundamental Q, En virtud del teorema de existencia l' unicidad de la solución, la ecuación (1) con la condicién inicial (2) admite una sola solución y = 'Hx) y por solución aprox!, t:
madi, del problema
y = 0.1 . e' .
(1) -- (2) se puede IOI11M
que representa la solución Acotemos la diferencia
(3)-(4).
del problema •
1
, )
(-2~x~2
~=lcp(x)-tj)(,\')I.
... q>(x) =O,I . eT es la solución del problema (3)(4). En el C3S0 considerado ¡(x, y) = xY. por lo cual.
donde
1:~ 1=1 x I~~. Según 111 formula
de Taylor, IzI' I sen z - z I'¡;; -¡¡.
Por consiguiente.
en el cuadrudo .
lsenx!l-xyl~-¡; Utilicemos
Q se tiene:
I xIII'
1
1
<-;¡¡7¡f=384'
la cota (4) tomando e=
.,!.. M = max 1 iJ2l.I=-2' . V
• M)'t
'x.VISQ
Resulta:
~=1 q¡(x) - 1j>(.~)I'¡;; 1~2(e+ "1-
1) <
ok,
xe]-+,{-]. Fácilmente
se observa que (1) - (2) 110 sale íuera del ¿Cuanto se diferenciaran nes dadas a continuación, ción Inicial Y=x, =!Jo en (xo = O)? 870. !J' = _Jf__ 1+.>:
!J'= 19G
la solución ",(x) det problema cuadradu fundamental Q. las soluciones de las ecuaciosi cumplen una misma condilos intervalos considerados
+ x, '
I!.< +x'+O,OI
sen x en
lO, H·
871. y' !I
=e
~ IH',
.""" +
, -= --¡-=:¡¡
c'
cos xv lOH + s ')
[O 2]
en
.
.
I
872. y' =;¡ arctg xy, I
y' =:J arctg xy
+ O,OOIe-"
en 10, 1).
3. CRITERIO DE RO UTli·HUR\VITZ
Sea dada una ecuación diferencial lineal de coeíicientes reales constantes au!f'I+al!ln-I,+ ... +a..y=O (1) (ao, al' ... , a. = const, Clo > O La .sotuctén nula !I El O de la ecuación (1) es astntóticamente estable, cuando las partes reales de todas las ra ices de la ecuación caracteristlca f (1.) !la a~i-.·+ aIJ."-1 + ... Q .. =O (2)
+
son negativas.
Criterio de Routh -
les de todas
es necesario
Hunait«, Para que las partes rea-
las raíces
de la ecuación (2) sean negativas y suliciente que sean positlvos lodos los me-
nores prlnclpales
diagonales
de la matriz de Hurwltz O
O ...
O
a, a,
a~ O
O ...
O
~
a3
al
al
u•...
O
O
O
O
O
O .••
un
(1,
a"
o)
11.
O
O
O
,
l· í
(3)
La matriz de Hurwitz se compone del modo siguiente: En la diagonal principal se escriben los coeficientes del polinomio (2), comenzando por al Y terminando por a •. Las columnas. una tras otra, constan de los coeficientes de subíndices solamente impares o de subindíces solamente pares. Entre estos últimos VII incluido el coeíicíente oo. Todos los demás elementos de la matriz, corres1(17
pendientes a subíndices mayores que cero, se suponen igua les a tero. Los menores diagonales principales Hurwilz son de la forma
6,=a,.
~I,
=1 ~
62
6,.=
o menores
rI
que
de la matriz de
~,I,...
110
¿h= r a, aJ
a.
as a, a,
a,
u. O
aJ
il,!
a,
O
aA
a, aJ
O
O
O
O
O
...
tln
Por lo tanto, la condición de Hurwitz dice: para que la solución y "'" O de la ecuación (1) sea estable, es neo cesario y suficiente que se cumplan las relaciones: 6,>0,
62>0,
... ,6.>0.
Como ó" = a".;\,,_1o la condición por a" > O. Ejemplo. Estudiar de I a ecua ción
ó.
la estabilidad
>O
(4) puede sustituirse
de la solución
!I'v +5y'" + 13y" + 19y' + IO!l=O. S o I u ció n. Formamos la ecuación característica f{A) ""'Al
+
5}.J
+ 13,,} + 191.+ 10=
nula (S)
O.
Aquí, ao = l. al = 5, a2 = 13, a3 = 19, (1, = 10. Escribimos los menores diagonales de Hurwitz
6,=
=11: o
ti.3
I~ 10
5 19
O
O
5
O
13 10
19
1 13 =4240>
O
O
O
lO
~1=424>O, 19 61=5>
/).2=1 195 O.
O.
11=46>
13
O,
Ha resultado que Ó, > O, Ó~ > O, ó~> O, /:;..> O. Por consiguiente, la solución trivial y I!I!I O de la ecuación (5) es aslntéticarnente estable. Los cálculos se pueden efectuar del modo siguiente. Formamos primero el menor superior de Hurwltz Ó •• después de lo cual fácilmenle se escriben todos los menores inieriores Ó._I, .... /:;'" Ahora se pueden calcular sucesivamente/:;." Ó~, etc. Si aparece un menor negativo, la solución es inestable y el cálculo ulterior es superfluo. . Estudiar la estabilidad- de la solución nula de las siguientes ecuaciones:
+ 2y =O_ + 4'" + 7y" t 6y' + 2y = O. !J"' + 5y" + 9y' + 5y =O.
873. y'" - 3y' 874. ylV
875. 876. ylV -
+
2y"'
877. l/'V 7!j'" 878. y'" - 3y"
+ 1/" + 2y' - 21/=O. + 17y" + 17y' + 6y=0.
+ 12-1/'-
10y = O.
879. y'V + 5y'" + IBy" + 34y' + 'lOg = O. 880. l/'V + 7!J'" + 19!1" + 23y' + 10y = O. 881. y'V + lIy'" + 41y" + 611/' + 30y =O. 882. yV+3y'V-51/"'-15y"+4y'+ 883. yV + 7!J'V + 33y'"
+ 88!/'
12y=0. + 122y' + 60y = O-
¿Para qué valores de a será estable la solución nula de las siguientes ecuaciones? 884. !J"' + 2y" + ay' + 3y =O.
!/ + 3y =O. y'" + 2y'" + ay" + 11'+ Y = O.
885. y'V + Qy'" + 21/" + 886.
¿Para qué valores de a, 11 sera estable la solución nula de las siguientes ccuaclones? 887. y'JI 888. y"'
+ o.y" +py' + y =0.
+ 3y'" + ay" + 2y' + ~y = O.
6. CRITERIO GEOMETRICO DE EST,\BILlDAD (CRITERIO DE MIJAILOV)
Sea dada. una ecuación dílerencial orden de coeficientes reales constantes
+
lineal de n-ésimo
+ ... + a.y = O.
(1)
-'+ ... +a,,=O.
(2)
1Zo!!!n) a,y(n-', Su ecuación característica es:
fO,)==OoI:+
alAn
El criterio de Mijáilov permite resolver el problema de la disposición de las raíces de la ecuación característica (2) en el plana complejo y, por consiguiente, el problema de la estabilidad de la solución nula de la' ecuación (1). Haciendo ), = iw, resulta f (/6» = u (6)) Lo (ur). (3) donde 4 1/ (e) "'" an - 0n_26>2 + 0._,00 -
+
v{oo)=an_J6>-
+ ...
an_3w3
...
}.
(4)
La magnitud f{i6», estando fijado el valor del parámetro 00, se puede representar en el plano complejo 1/, v en íorma" de un vector con el ori'11 gen en el origen de coordenadas. Al variar 6> en el intervalo (- 00, + 00), el extremo de este vector describirá una curva que lleva el nombre de Mijállov (lig.35). Como la íuncién I/{ro) es par, la curva de Mijáilo\' es Fig. 3S simétrica con respecto del eje Ou, por lo cual. es suficiente trazar la parte de la curva que corresponde a la variación del parámetro 00 desde O hasta + oo. Si el polinomio [P..), de grado n, tiene m rafees con la parte real posítíva y n - ni raíces con la parte real negativa, el ángulo de rotación q¡ del vector f (i6», al variar (¡) desde O hasta + no, es igual a q>= (n - 2m)T' Esta claro que para la estabilidad de la solución de la ecuación el) es necesario y suficiente que sea m = O. 2{)()
Criterto de Mijáiíov. Para que la solución nula y"" O de la ecuación (I) sea estable, es necesario y suficiente que, al variar ~l desde O hasta 00: 1) el vector l(ioo) efectúe una rotación en un ángulo
+
cp = It
i,
o sea, que M ~ vueltas
en dirección
contra-
ria a la de las llguJas de un reloj, 2) el hodogralo de J(ilJ)) no pase por el origen (O, O). De aquí se deduce que, para que la solución de la ecuación (1) sea estable, es necesario que todas las raíces de las ecuaciones '1(00)=0, v(IJ)=O sean reales y se alternen entre si, es decir, que entre cualquier par de raíces de una ecuación haya una raíl de la otra. !J s
la estabilidad de la solución
Ejemplo. estudiar O de );1 ecuación
+ y'" +4y" + y' + y=o.
ylV
s o Iu e í Ó
ll.
nula
Formamos
1" ecuación
caracleristica
f(í.)=}"+i.3+4},'+~+
l.
Se tiene, [(;(1))=(1)'
-1Cú"-4ro'+
iro+ 1,
4(1)'+ 1, v(w)=-(I)3+(I)=ro(I-(I))(1 II(W)=<~4
Trazamos
-
la curva u=u(oo) } Q = v (00)'
O)
+(1)).
O
u
¡i2 - )fa O
+
O';;;; ro <
+
00
I I
-2
lim (:t+-+~
~=o u
I o I
(Véase la fig. 36). 201
El ángulo de rotación del radio vector
1-.
'1'=
4 '1-=(I~-
2m = 4 Y como n = 4, se tiene m = 0, o sea, todas las raíces de la ecución característica están situadas en el semiplano de la izquierda, .] por lo cual, la solución trtvial y""O es asintóticamenle estable. Pig 3ú Aplicando el criterio de . tvlijá ílov, estudiar la estabilidad de la solución nula de las siguientes ecuaciones:
- 2m}
De aquí que
11 -
y
+ 7y" + 7[1' + 2y = O. + 2y" + 2y' + y = O. 2ylV + t3y'll + 28y" + 23y' + 6i1 = O. 3y'V + 13ylll + 19y" + t Iy' + 2y = O.
889. 2y'" 890. gil' 891. 892.
893. 2ylV
+ 6U'" + 9y"
-1- 6y'
+ 2y = Q.
+ 4y'" + 16," + 24¡1' + 20y = O. 895. U + 13ylV -H3y"' +5ty" -I-40y' + t:1y=O. 896. y"' + Y = O. 897. ylV + u" + U' + U = O. 898. yV + 3[11v + 2U'" + y" + 3y' + 2y =O. 899. [Iv + ylV + y'" + U" + y' + y = O. 900. 2¡¡'V + 1 ty"' + 2JU" + 16[1' + 4y =0. 901. y" + yV + U'l' + y" + y' +U=O. 902. 2ylV + 9y'" + 32y" + 54y' + 20y = O. 9.03. 6ylV + 29y'" + 45U" + 24¡t' + 4y = O. 894. ylV V
904. yV
+ UIV + 2y"t + 2y" + 2y'
905. UVI 906. yV 202
-1- 2!1= O.
+ U,v.+ 3¡p + 2U'" + 1!1" + 2!1' + 2y
+ 2ylV + y'll + Zy" + y' + 2!J=O.
= U.
§ 20. ECUACIONES
CON UN PARAJ\'\ETRO PEQUEÑO EN LA DERIVADA
Sea dada la ecuación
diferencial
,Ix _ f(1 Tt-
e es
donde
Sí.
'(')
}
'¡'iS,
ti}
parámetro,
un
recinto
I!II 1/11
cerraao
de variación
t.
de
x,
e,
la
función F(I, x, e} es eonlinuo COII respecto al coniunto de sus argumentos !I sotisince a las rondiclones de Lipscñd :
respecto a x; I f(t, x" e) -
COII
F(t,
XI'
e} I~NI
xII,
,t2 -
donde N no depende de f. x, e la solnción
de la ecuacion
(1) es una [uncion continua de e. En muchos problemas de la Hsíca aparecen de la forma dx 1 (1, 8Tt=
(2)
x),
don M e cs un parámetro pequeño, Dividiendo por e ambos miembros ésta S~ reduce a la forma ax l f Tt=. (1, de dende se ve que el segundo
tinuo
e = 0, por lo cual
para
teorema
sobre
la dependencia
del parámetro
para
que
de la ecuación
(2).
.e),
(3)
miembro
de (3) es discon-
no se puede aplicar continua
ya el
de 13$ soluciones
8,
El problema nes
ecuaciones
se plantea
así: ¿Cuáles son las ccndtcio-
se pueda despreciar
el
término
8 ':::
en
la
ecuación (2), para valores pequeños de IEI, y como aproo xirnación a la solución de la ecuación diferencial (2) se pueda considerar la denominada "ecuación degenerada" ¡(/,
x)=o?
(4) 203
Para precisar. supongamos que 8> O y que la ecuación degenerada (4) tiene solamente tilla sulución x= q¡(t).
En dependencia del comportamiento de f (t, x) en las proximidades de la solución x = cp(t) de la ecuación (4). la solución x(I, e) de la ecuación diíerenclal (2) para ¡;- O, o bien tiende a la solución x = '1'(1) de I~ ecuación degenerada. o bien se aleja rápidamente de ella. En el primer caso. la solución x =
Fig.37
Fi¡¡, 38
+.
Si la [unción [(l. x) cambia el signo de - a' la solución x = Cf(L) de la ecuación degenerada (4) es inestable y sustituir la solución x(t, E) de la ecuación diferencial (2) por la solución de la ecuación degenerada (4) es imposible (Hg, 38), Condiciones suficientes:
1. Si (JI ~~
x)
ción degenerada
en la solución x = ",(t) de la ecua-
(4). ésta es estable,
JI. Si iJf~/,) > O en la solución x = cp(l) de la ecuacién degenerada (4), ésta es inestable. Si la ecuación degenerada (4) tiene unas cuantas soluciones x = Cf,(I) (i = 1, 2, .. _, m). se debe estudiar la 204
estabilidad de cada una de ellas mediante los criterios' y 11 expuestos. En este caso, el comportamiento de las curvas integrales de la ecuación diferencia I (2) cuando e - O puede ser distinto y depende de la elección de .las condiciones iniciales (del punto inicial (lo, Xo». Es posible también el caso semlestable, cuando al pasar por la curva x =
(to, .to) , perteneciente
al campo de atracción de la raíz próximas a la curva x = cp(t) para (o 11 < (< 110 ó > O; en un entorno del punto 1 =:; 1) éstas se cortan con la curva x =
x;= cp(t). se mantienen
+
Fig. 40
=
Si, en un enlomo de la solución semieslable x cp(t}; la [unción f (l, x)"';; O, para que sean válidas las afirmaciones expuestas hay que sustituir los signos de la deri'lada ",' (1) por los contrarios. Ejemplo ecuación
J. Averiguar
si la solución
x = x(I, e) de la (5)
e> O, que cumple la condición inicial x a la solución de la ecuación degenerada
t
> lo Y e_'
11=1. = Xo,
tiende
x = t2 cuando
O.
S o I u ció n. Se tiene, ol(1,x) ox
_o(/'-Y)-_I
ilx
-
,
de modo que la solución de la ecuación degenerada x = (2 es estable y, por consiguiente, la solución de la ecuación dada x = x(t. 8), que parte de cualquier punto inicial (to, 1'0), tiende a la solución de la ecuación degenerada cuando s-.Oy t > (o (lig. 40). Puede uno convencerse de esto haciendo una prueba directa. Resolviendo I~ ecuación diferencial (5) corno ecuación lineal no homogénea con la condición inicial dada x·I/.t, = xo. hallamos: I-t.
x(/, e)=(xo206
t~+2elo-
2e~e --.-
+ 12 -
2el
+ 2e2,
de donde directamente
se observa
que, siendo I
> lo, o
sea,
l-fo>Q,
Ejemplo
2.
x (t, e) ~ f2 cuando 8 -- O. Lo mismo para la ecuación e ~~
x (e' ~ 2}.
=;o
Aqul, la ecuación degenerada x(eo' - 2) = O liene dos soluciones: 1) x~O. 2) x=ln2. Se tiene iJIU.x) iJx
I
,r.=ij
=(e"-2+
te')
~
I.\'-0'=-1
de modo que la solución x = O es estable; al~; xl
L"I'"
= (e' - 2
de modo que la solución x rada es inestable Hig. 41).
I
(le ro
+ xe-') '.,>=1,,,, = 21n2 > O, = In 2 dé la ecuación degene-
I
),.~, F.g 42
Fi~.41
Ejemplo
3.
e ~~ =(x-t)2.
=
=
La ecuacién degenerada [x - fJo O tiene la ralz x t de segundo orden. Como en un entorno de esta raíz se liene 1(/, x)l!!!(x-fl'>O.
x = x(l. e) que parte del punto (lo. Xo) se mantendrá para t :» 'o en un entorno de la linea x = f (lig. 42). Estudiar ta estabilidad de las soluciones de las ecua-
ciones degeneradas
para tas siguientes ecuaciones dileren-
ciales: 907
. =sr=»> '. dx
,"
908. e ~~ =.~(l' 909. e
I~; =
(x -
+ I-
x).
i) (x -
el).
910. e ~~ =x!-(l. dx
911. &/i/=xf, 912. e
I~~
_P_I).
=(x-tl(ln,~
11,< _(91 3. E/i/
I
+ .\,.)2
tí x
914. eTt=x-t+
1.
§ 21. METODO OPERACIONAL y SU APLlCACION LA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
PARA
l. LA TRANSFORMACION DE lAPlACE FUNDAMENTALES EL
OOJE1'O
y
SU
y PROPIEDADES
IMAGEN
Se llama fttncl6n.-objelo una función compleja de variable real f (/) que cumple las slgulentes condiclones: 1) !(I)=Opar,,«O:
2) {(/) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en todo el eje l. a excepción de algunos puntos en los que f (1) Y sus derivadas tienen discontinuidades de primera especie, siendo [irrito el número de tales puntos en cada intervalo ¡¡nito del eje t. :J} al aumentar l. el crecimiento del módulo de la función f (t) 110 es superior 111 de al¡::una función exponencial, es decir existen unos números M > O Y so;;;;' O, tales que
I[(/) I < Me'"
(1)
para todos los valores de l. El número So se llama exponente de crecimiento de la función {(I). Se llama imagen de la lunctén-objeto (según Laplace), la función F(p) de variable compleja p = s jo determinada por la lórrnula
+
..
F(p)=
f
di.
{(I)q-P'
(2)
"
siendo Re p > So, donde So es el exponente ele crecimiento de /(t). La condición (1) garantiza la existencia de la inlegral (2). La transformación (2), que hace corresponder a cada Iuncíón-objeto [(tI su función-imagen F(p), se llama translormacior; de Laplace, lo cual se anota escribiendo:
f (1)
* F(p).
Subsiste el siguiente teorema: Si f (1) f (p), en cualquiera de sus puntos de continuidad la función f(1) se determina así:
*
0+1_
¡(1) = ~¡
f
eP'F (p) dp,
(3)
a_l.
donde a+feo
f
0 ..../00
d+ll)
e"'F(p}dp=
11m b ..
f
ePtF(p)dp
+00 o-lb
(la fórmula (3) se denomina fórmula de inversión par a la transformación de Laplace]:
llROPII:J.l1AOES DE LA TRANSFORM.\CION
OE LA.PLACC
1. Propiedad lineal. Para cualesquiera constantes plejas ct. y ~. se tiene al (1) + M (1) =1= aF (p) + po (p) (aquí y a continuación
se supondrá
=1=O(p). 11. Teorema de semeian za. Para r.x>0
como (4)
que 1(1) =1=.F(p).
g(l)
cualquier
constante (5)
Si í'(f) es una
111. Derivació/l de la [unción·obie/o. íunclón-objeto, se tiene
I' Ge
f (O) .• ¡
(t) =1= pF (p) -
(6)
e r al iza ció n. Si l{l) tiene derivadas contínuas hasta el orden n en (O. + (0) siendo f(nl(/) funciónobjeto. se tiene ¡tnl(/)=1=
11
P"F(p) - pr.-lf (O) - p'-Y (O) -
IV. La derivación
de la imagen
multiplicación de la función-objeto mado con el signo menos. es decir,
...
-
r» (O).
(7)
es equivalente a la por el argumento to-
f'{p)"=-If(t)·
(8)
Gen e r a Iiza e í ó n, (p),,= (-1)"
f{r.¡
V. La integración
I"f
(t).
de la función-objeto
división de la imagen por
(9)
se reduce a la
p:
t
J !(I) di="•
o
F(p) p
(10)
') Aqui y 3 continuación, la notación f(O) tiene el significado siguiente: f (O) = 1(+0) = lim f (~~ 0.1 mismo modo. ('(O) .... . x~o+o ... , /(" - )) (01 son abreviaciones de los límltes a la derecha correspondientes. (Nota del r.)
210
VI. La integración de la imagen división de la [unción-objeto por t:
..
f F(p)dp,,= Teorema
posítivo
'1'.
de la tarlallza.
(11)
/~I)
J F(p)dp
(se supone qne la integral VII_
es equivalente a la
es convergente],
Para cualquier número
se tiene: f{i-'t)Fe-PtF(p).
(12)
VIII. Teorema del despíazamienlo (multiplicación de la íunclón-objeto por una función exponencial). Para cualquier número complejo A. se tiene (13) éll (i) F F (p - 1..). IX. Teorema del producto (E. Borel). El producto de dos imágenes F (p) Y G(p) es también una función-imagen, siendo I
J f(-r)g(i-'r)df.
F(p)G(p),,=
(14)
o
La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de convolución de las funciones (factores] 1(1) y g(l) Y se denota por
,
(f·g)=
f f('r)g(t-'t)d't. o
El teorema IX afirma que la multiplicación genes es equivalente objeto:
a la convoluci611
F(p) G (p)".. ({-g).
X.
de las imáde las [unciones-
(15)
Para que la imagen es necesario y suficiente que la función-objeto 'ti) sea una combinación lineal de funciones de la forma ¡mél (m es un número entero no negativo. A. es complejo) . Teorema de la imagen
racional.
F(p) sea una función racional
...
211
XI.
Cálculo
de la [unción-objeto
cuando
la imagen
es
una ¡raCclÓtl racional. Supongamos que F (p) es una íracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simples es: (16)
donde Mk,. y P. son unos números
complejos.
Entonces, (17)
será una íunción-objeto cuya imagen es la función I'(p). En particular, si lodos los polos de I'(p) son simples, se tiene: (ti) = 1:. M"e"k', (18) donde
•
M. = Res P (p). Pk
¡:~
Si F(p) = ~ es una fracción racional, siendo el grado del polinomio A (p) menor que el del polinomio 8 (p) la Iunción-objeto correspondiente a F (p) es: n
f(I)=
~ I d .-' ~ (ti _ 1)1 lim ~ k k .-)p.dp
(
F(p)(p-
P.)'.
ePI),
(19)
donde IJh son los polos de F(p), n" son sus órdenes de multiplicidad y la suma se extiende a todos los polos. En particular, si todos los polos de F (PI son simples, la fórmula (l~) se simplifica y toma la forma "\.-., A (Pk) Pk' f) (t = J.¡¡¡--"( ).e . ~
p.
Ejemplos: 1. Hallar la imagen de la función unidad (función salto unidad) TJ(1) (Iig. 43): TJ({)= 212
O para { l para
t
{20)
de Heavislde
(21)
s o I u ció
n. Según
(2) y (21). si tiene:
w
'](1)*
,.
J• e-p/'l(I)dl=
J
u
o
1 e-P/dL=-¡;(Rep
>0).
Asi, pues,
r¡(i),,=.!.. .
(22)
p
2. Hallar (Hg. 44).
de la función
la imagen
"escalera
regular"
. .0
r-! I
I .....----1 I I
s« 11
I
2a
7 } __
I I
I I I I I
I I I I
fa
~---i
1
1
zr
3r
~f
t
Fig.44
Fig. 43
S o I u e ¡ ó n. Se tiene f (1) Z~) + ...}. Por el teorema
+ '1(1 -
f (1)
I
¡---1
* a (..!. + .!..ep
La expresión entre trica con la razón ésta es convergente
paréntesis
q = e-
de la tardanza,
+
r) resulta
+ .Lp e-2p' + ...).
P'
p
= a ir¡ (1) + '1 (t -
es una progresión
p'.
Como y obtenemos
geomé-
!q! = !e- ,! = e-" < 1,. p
f(l):i=!!..·--I- . • P I -e-P' 3. Hallar la imagen de la [unción es un número complejo arbitrario. S o l u ció n. w
é'
*J u
f(l) = eA', donde
)"
w
e-P/(/.'
di =
I
e-(P-kl'
di = __ 1p-).
u
213
si Re (p - }.)
> O, o
sea. si Re p
iI"*
> Re}"
Así, pues. (23)
P~A'
si 1.= 1. se tiene
En particular.
1
l.
e""'p_l' y si
~=-I. e
4. Hallar
-t
1 ""'p+l' .»
la imagen de la función
,+
Se tiene ch/=.!__,f-.
Solución.
lineal y 1,,, resultados
Aplicando 1<1 prupiedad rrafo anterior, resulta
. 1 (1 chl""'"2 p_1 5. Hallar
la imagen
Solución.
f(I)=ch/, -1
p + p+11) = 11'_1
de la función
del pá(24)
.
f (I) = sen "'/
COS
~I.
Como sen a./'COsIII=i-rsen(<<+p)l+
+ sen
(<<-II) 11,el problema se reduce a hallar la imagen de la [unción sen 001. Se tiene, sen
(t)/
=
d, (e""l -
e-..t,)
*
I (1p-ci>[
*21 por lo cual, sen«lcoslll=:r
.
1
-
1)
p+.,¡
[a+~ pt+(CH'W +
y después
de unas transformaciones delínitivarnente: "
sen al coslll 6, Hallar
'"F
(25)
a-~ W J '
p'+(a
elementales,
resulta
a (pI + (X' _.p') fa' + p' + "')' 4a'll"
la función-objeto
sabiendo I
F(P}= (p'+ 1)" 214
'"
= p'+,.."
que la imagen
es
5 o I u ció
1" método. Aplicando el, teorema del pro-
11.
dudo y la fórmula
p' ~ 1
'* sen 1, se
tiene
t
(p' ~ 1j'
= e' ~
1 • p' ~ 1
'* f sen
T sen (i - 't) d« =
o
I
J
= ~ [cos (2'f - t) - cos tI d't =~(sen I o 2" método, Se sabe que sen t
de derivación
*'
p' ~ 1 •
t cos 1).
Por la' Iérmula
de la imagen (8), tenem~s:
. ( p' +1)'1
-1 sen I =;=
= - (p'
2p
+ 1)' .
De aquí, aplicando la fórmula (10) de in legración funcion-objeto, resulta definitivamente
J I sen t
de la
I
(e'
1 + 1),
•
1 '2
=¡=
dt
= '21 (sen I -
1 cos tj.
o 3« método.
Según la fórmula ,,+1(10
I
J
f(I)=2'11
a-lC13
(19),
eP! dp
,
flkt
(P'+I),=lResCl+I)' Pie
k
donde la suma se extiende a todos los polos de la función
lp'
~t
1)"
teniendo
en cuenta
sus órdenes
de multiplicl-
dad. En el caso considerado, los polos son: PI '" i, p. = - i, ambos de segundo orden, es decir, n, 2 Y n2 = 2, de modo que:
=
=tim...!L,(eP-:-We:']=lirn .!!....[~J= dp (p' + 1)' ....., dp (p + p -tim (p,+IFt .. '-e 2(p+/) -tim (p+/)t-2 e
Res
e",1
(pi + 1)1
p-+l
i)2
pI
p...,.
PI-
(p+i)'
-
P""
(p+W
l-íI
-. 11
=-;¡¡- e . ePIt
Res -('IJ,
+ J )"•
=-
1+(/
--0-", ,11 215
Por consiguiente, ,p,1
2
¡(I)=Res-(
PI+I
7. Hallar
)2
eP,t +Res-(.
I
)~ =-(senl-Icost).
Pl+1
la función-objeto
2
sabiendo que la imagen es
1 (p_I»(P"+
F(p}=
1) •
s
o I u ció n. Descomponemos simples: 3
1
3
F(p)=ap=r-T
1
1
+2'
(p-IJ>
F (p)
en
1 (p-I)'
fracciones
I
-21
1
p+1
1
-3' Hallando f(l) =
-
p-2
p'-p+l'
la función-objeto para cada sumando, obtenemos:
3,3,1, se - T1e +T
12e
I
1+
2fc-l_
-
'3 e"
Va-1
C052
n....!.. +-3-ezsen-r"
+ ,fa-
8. Hallar la Iuncion-objeto, si la imagen es: 2p+3
F(p)= p'+4p'+3p' S o I u ció n. 1" fracciones simples:
Descomponemos
método.
F(p)
en
F(p)='!"_"!"._I __ '!"._IP
Hallando nemos:
2
la Iunción-objeto f(t)=
p+1
para
2
p+3'
cada
l-fe-'-fe-3t-
2" método. Apliquemos la fórmula (20). Como los polos de la función F (p) p,=O, 216
p.=-I,
pa=-3,
sumando,
oble ..
son simples y A (p)= 2p
se tiene
f (1) =
+ 3.
8(p)=pl+
8'(p)=3p2+8p
e"ot
A (pJ B' (PI)
+ B'A (p,) (p,)
ep,1
4p2 +3p.
+ 3.
+ B'A (P.) eP" = (p,) = I - Te-f
- Te-3I.
En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función-objeto
dada:
915.P-2/+2. 916.
+ .41 + 41. 2
/3
917. (1-2)",)(1-2).
918. te:", 919. (1
+ 2) I~t.
920. eh' [11. 1)2el-t 1](1- 1)
921. (t -
922. eol sen ~t. 923. 924.
eSI cos 31 cos 41. e' r.-a, sen (1- a) r¡ (t - a).
925. e'il sen (1 926.
927.
+ f).
eal cos (1 + ~J, ~ > O.
se;1 t
928 . e
-~t
. sen t t'
929. sen 51 sen 21. 930. sen" 21. 931. lehl. 932. I sen t. 933.
tOS
21 cos 4.t.
934. ros' 41. 217
En los siguenles
y hay que hallar 935.
936. (p' _
1 944. ,,'-1
+St>
.'l' (a
es una constante).
.
Pl-'!P
945. p'+4
• ('
-7
kl
•
F"
946.
938.
2 (p-I)(,,-31'
947. p'+9p'+'np+25
939.
31'+ 19 ?p+Sp+ 19 •
940. (p' + 941. (p -
2.
ejercidos están dadas las imágenes Iunciones-objeto correspondientes:
~fJ+3
11'+ 41"
p'+a2
937.
las
,,'+9
.
(p+
948.
I p + 1» • 1 1)1 (p +
949.
I)'(p
+ 2)'
~p+5 1"-6/1+
12 •
+
3.
p'
21"-
3
=i »
2) .
942.
2p' - 2112p 1" -3p·+ 2 •
943.
1 1'1+1'+1
950.
• -/,-,-
•
ECUACIONES LINEALES DE COEFICI_ENTES CONSTANTES
Sea dada una ecuación diferencial orden de coeficientes constantes
lineal
de segundo
+
x" (/) alx' (/) + a1x (/) =f (1), Y las condiciones iniciales x(O) = .tQ, X'IO) = XI. Se supondrá que la (unción ((I) y la solución junto con sus derivadas hasta el segundo clones-objeto. Hagamos las notaciones: x (1) =? X (p),
1(1)
*
orden
+
iniciales
+ +
(p' alP+ aJ X (p)=F(P)+ Xo(p al) XI' Resolviendo la ecuación (3), hallamos la solución racional X (p) = F (p) x, (p +4,) +%, .
+
218
x(f)
son [un-
F(p).
Para la ecuación (1) Y las condiciones In ecuación operacional Ieridrá la Iorrna
p'
(1)
+ a,p + a,
(2). (3)
ope(4)
Hallando la función-objelo para X (p), obtenernos la solución de la ecuación (1) que cumple las condiciones iniciales (2). Análogamente se puede resolver cualquier ecuación de n-ésimo orden de coeficienles constantes con las condiciones iniciales para I = O. Ejemplo
J. Resolver
la ecuación
x"-5.~'+4x=4,
.\'(0)=0,
s o I u ció n. Como 4
'*~y p
-"o = .t(0) = O x, = x'(O) = 2, tendrá la forma
por la condición.
ecuación
operacional
la solución operacional X(p)
Descomponemos ples:
como, la
+ 4) X (p) = ~ + 2. p
(¡? - 5p De aquí. hallamos
x'(0)=2,
2p+ 4 1'(1"'-51'+4)'
=
el segundo X(p)=-'-
miembro,
Pasando cada:
a la Iuncióu-objeto,
Ejemplo
2. Resolver
sim-
2_+_I_.
__ f1
en fracciones
p-l
1'-4
obtenemos la solución
x (/) = I _ 2e'
bus-
+ e".
la ecuación
x' +4x' +4x=8e-2t,
x(O)= 1,
x'(O)= 1.
Solución, Como 8e-2'* P~2 y según la condición Xo Xl = 1, la ecuación operacional tendrá la forma
=
(p2
+ 4p + 4) X (p) =
y, por consiguiente,
p! 2 + p + 4 + 1,
la solución X(
)_ P -
operacional
será:
,,'+ip+ 18 (p+2)' . 21~
el
Descomponiendo ples tendremos:
X (p) =
segundo
(I'!
+ (/>!
2)3
Pasando problema
a la Iunclón-objeto, planteado:
Resolver
las siguientes
miembro
en fracciones
+ l' -~2 .
2)'
+ 31e- + e21
2t•
ecuaciones:
951. x'+3 .. =e-~I,
x(O)=O,
952. x' - 3x= 313 + 312+ 21 + l. 953. x' - x = cos I - sen 1,
+ x =2sen i, + 6.'1 = te:".
.'1(0)= -l.
(O) = O.
Ji
x (O) = O.
t.
x (O) = -
955. 2.'1'
956.. v" + 4x' +3 .. = l.
x(O)=3,
957. x"-2x'+Z.~=I>
x(O)=t.
958. x"-5x'+6x=12,
x(0)=2,
959. x"
+ 3x'
960. s" - 2.1"
+ l = O.
x (O)
.'1'(0)=0.
=
x'(O)
= x'
-2.
x'(O)=O.
961. x"+3x'+2.1'=
10) = ~.
+ t. x(0)=4, x'(0)=-3. + 71 + 3/'. ,~(O)=x'(O)= -1,
963. x"-7x'=-(141+5),
+ 2x' =6/z,
x(O)=Z, x (O)= 0,
x'(0)=8.
x' (O) =
%. I
965. x"+6x'=I,
x(O)=O,
x'(O)=-'36'
966.x" +x=2e'.
x(6)=
x'(0)=2.
961. 7x"+
968. x"-
+..
2t2
962. \"" - 2.\" - 3.r =3
964.. v"
x'(O)=
t = O, x (O)=0.
-
la solución del
obtenemos
x (1) = 4f-e-21
954. x'
1,
14.t'=(t-f)e-?/, 4x'+4x=(I-
x(0)=2,
xl(O)=-k
1)e2/• .1'(0)=0,
x '(0)= t.
t
969. 4x" - 4.~'
sim-
+.\'= eY,
x (O) = -2,
.~' (O) = Q.
970. x"
+ 3x' + 2x =e-' + e-21,
x (O) =2, x' (O) = -3.
=f.
971. x" - x' - 6x= 6eS' + 2e-'''. ;.;(0)=0,
+
.~'(O)
+
972. x" 4x' 4:0:= I'e-", .1' (O) = x' (O) =O. 973. x"-x'=2sené, .«0)=2, .~'(O)=O. 974. x"
+ 9x = 18 cos 3i.
975. x" +4x=4
cos2/-
x (O) =O. 1 "fscII21,
976. x"+2x'+3x=/cosl,
x(O)=-T'
977. x"-2x'+10.~=cos3f, 978. x" -
,t'
(O)
= 9.
I O, .1:'(0)="8'
,1'(0)= I
x(O)=1.
;.;/(0)=0. X'(O)=~~.
+ 5x = 2e" (sen r + cos 1), x (O)= 1,
4,t'
x'(0)=2. 979. x'" - x" 980,
.,IN -
= O,
x (O) = 1, x' (O) =3, x" (O) =2,
ü' = 1, x(O) =0,
981. x'''+x''-2x=5e',
x'(O) = -
x(O)=O,
x'(O)
+,=
x"(O) = O. 1,
.t"(0)=2. 982.
x"
98:1.
.1'''
984. x"
+ x = l! V2 sen ('1 + T)'
.~(O)= O, x'(O) = -4.
+ 4x =2 CO~2 l. 1: (O) = O, x' (O) = O. +.\" = 1, .\'(0) = O. x'(O) = l.
a. SISTeMAS DE 6.CU¡\CIONES DIFEREO\'CIALI'S LI;>;t,¡\LES Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones' dilerenciales lineales de coeficientes constan les
d; =a,x + b,U + t. (1) tly
+ /).¡U + t, (t),
(1)
Tt = a~.t que cumple
las condiciones
x (O)= xu.
iniciales U (0)=
Yo.
(2) 221
Consideremos lag imágenes de las Iunctiones incógnitas. de sus derivadas y de las funciones " (1). (1):
'2
x(I),*X(p).
y (i),* y (p):
x' (/) '* pX (p) - xo, ;1 (/) '* F, (p), )' formemos
el sistema
pX (p)~aIX (p) pY (p)=uzX (p)
y' (I) '* pY (p) - Yo; f2 (t).;e F2 (p)
operacional
+ blY (p) + F, (p) + Xo
}
+ b2Y (p) + F2 (p) + Yo'
(3)
Este es un sistema algebraico lineal de dos ecuaciones con dos incógnilas X(p) e Y(p). Resolviéndolo, se halla X (I}) e y (p), y pasando luego a las Iunciones-objeto se obtiene la solución x(l}, y(l) del sistema (1) que cumple las condiciones iniciales (2). Análogamente se resuelven los sistemas lineales de la forma:
z.... Ejemplo.
}
ti; =-Zx-5y-37t d
que cumple
la condición
·pX(p)=
inicial x(O) = O, grO) = O.
-7X(p)+
pY(p)= - 2X(p)Resolviéndolo,
•
'*~, - 37/9
S o I u ció n. Como 5 el sistema operacional tendrá
222
Il).
Hallar la solución del sistema Tt=-7x+y+5 !Ix
X(p)=
0
-
!; y
Xo
= YrO,
la forma Y(p)
+~
5Y(p)-pi
} 37
•
resulta
+
Sp' 25p - 37 p'(p'+1,2p+37)
,
Y(p)=
- 47 P - 269 pi(p'+12p+37)'
Descomponemos simples
los
y
segundos
t
(p)
=-¡; -
J
J
1
7
miembros
7
en
fracciones
p+5
-¡;t- p'+ 12p+37
o bien X{p)=-¡;--¡;tY(p)=-¡;-prPasando buscada:
p+6
(P+6)'+ p+6
(p+6J'+1
En los siguientes temas de ecuaciones
~;+ y=O
985, d
,!t +x=O
}
.
x(0)=2,
~~+x- 2Y=0} *+X+4Y=0
=: = -
y d~ =2(x+y)
~~+ 2y=
988. d
989.
+ e-6/ sen t
la solución }
.
ejercicios hay que resolver por el método operacional:
986. d
d~
I + (p+6J'+-"
a las funciones-objeto se obtiene
x (i) = I - f - e-G1 cos I Y (1) = J - 7f - e-G1 cos f
987.
J'
}.
'
los siso
y(O)=O.
x(O)=y(O)=
l.
x (O) = Y (O) = 1.
31 } .
x(0)=2,
y(0)=3.
-2x=4
~~+x=y +e' } dy _ ,,x Tt+y-x+e
(O) = Y (O) = 1. 223
e dx dy -;¡¡-+Tt=U+ 990.
d
2
'}
d
d~
•
x(O)= y (O)
+%+2U=cost
= O.
a«
-;¡¡-=y-z tly 991. dT=x+U
.. ~(O) =1, y(0)=2,
z(0)=3.
dz
Tt=x+z dx
Tt=4y+z dy
992.Tt=z
• .1'(0)=5,
y(O)=O,
2(0)=4.
dz
Tt=4y
993.
~;+ 2 ~ + x + U + 2 = O dx dlJ Tt + liT + x + z = O ti.
•
x(O)=y(O)= 2(0)= -2,
dlJ
l.
Tt-2T1-V=0 ~~ 994. d'x
~~ - 2x dy
+ 2y
= 1 - 21
J ,
drf+2Tt+x-0
x (O) = y (O) = =x' (O) = O.
(:;~=y}
995•
.!!:J!...._ dI')
.x(O)=U(O)=I.
x(0)=2.
~:. =X-4V} 996. d'!I
•
di'=-.t+y
di'
221
V'(O)=O.
d"
+ -¡¡¡-=
I
y (O)=0, -
x'(O)=-
d'x dy -;¡¡;+ TI = e, - x
997. ti'!!
x' (O)=2.
-x
J
V3,
Va
y'(O)=T'
x (O) = 1. y (O) = O, •
x'(0)=2,
y' (O) "" _1.
.!!2. + x + ti ... dI"
998. ~-4.~
5
x (O) .". Y (O) =x' (0:':=0 =y'(O)- .
}
_ 3y= - 3
•
dI'
999.
ss: dI + 4y + 2x = 41 + l} .!JL+x-y=-;¡ dI
u: +y dt +x _ ,ft
1000. dy
a ('
•
X (O)
= !J (O) =O.
2x - O 2y = _ 5e' sen
}, x(O)= 2. y (0)=3 . I
RESPUESTAS
33. Si. 34. No. 35. SI. 36. No. 37. Si. 38. Si. 311. Nl>. 40. Véase la Ilg. 15. 45. V•• se la fíg 5L. 41. Véase l. ng. 46. 47. Véase l. Hg. 52. 48. Vense J. llg. 53. 42. Véase la rlg. 47. 43. Véase Ja lig. 48.
49.
H. Véase la lig. 49.
ón.
45. Véase l. fig. 50.
51. Véase la ligo 56.
r.·-I
K-O
fjg. 45 226
11:1
Véase la IIg. 54. Vénse la ligo 55.
{Y I
IS'
Fig.oI7
227
FIII. 48
FIg. 49
228
Fig.50
fig.51
229
Flg.52
Fig.53
230
y
•
\ Fi.t. 54
y~
231
1
- "i26
(33 - 14x x" X~ y,(X)=T+20'
+ 42x' -
7x' - 2.<').
78. Uo(x)-I;
1
!/,(x)=2+lo'x.
=C ( 1 +x -
- e-V).
=C(I
O"
lo VI
2'
l. 91.
+ y2 -
(1
82. x'(I+!I')=C.
+X)=C. I-y
84. U=lgIOCx.
86.' 1-.<'+l!l-g'-I; 86. !I = 1. S9.... a-Y= C. 90. 1
+
+ !I)e-~=
+.... + 1 10- 2 1
93.(¿ - 2x
.rclgy~C.
+";;-).
94. X+C=
x. 92.
+ 2)(l+
fg(C+JL). 97. C+ ~=Io IInxl. a y xII = y+C. 99. 2x'y·~311'x'+C. 100.
,
98. In __
I-xy
3x'-12x+2x'y·+6x!/=C.
+C(n-m+-I,p-m*-I_).
108.
x=O.
y=a.lgV'¡-1.
109.
:t l. :!: 2, ... ).
x
111.
f
g dI
= a'
lo
V~
I y+~
!I
u'
g
_.v_
I+y'
2
= ii'=X
t3-
T-
+
1"llgtl~C-2se"1. 110.
a'
I
+_lox=C. 103.
(x+g),,-m+' n-",+I
loa. 2x'+(2xloy+IF=C:
g=l.
+." =
(x +y)"-"'+ I p-m+1 + 105. y'-Cx-Iox-I Cx 107. u=a+ ax+l'
4!1
-x'+2x+3",-x=C.104.x~
!/=2nk(k~O,
2''''
_ 102.
Xg.
u'
?
1)e2·"'""=C.
xy-_
101. C!J'=e
1
95. b(ax+b!l+C)+a=Ceb".
96. x+!I=a
I+x,
y,(x)-
y,(x)=2x-lnx;
81. x+!I=C(I-xy).
VI+x'+Jrl+y'=C.
2
y,(x)=2+x-Tx':
80. U,(x)=2;
83. (.>:+II)(X-II-2)+2101'
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79. y,(.<)=2;
2 -2+x+x2-'3X'-T.....
85. 87.
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Vo(x) =0.
77.
y,(x)=
;(2
~.
=1+x+x'+6'
x'
1 yo(xl=O:y,(x)-T+Ti
69.2.337.70.20.77.76.
{=Sy:
g=-
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1= h(u,-
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I=-~S.
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151.
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1/'=2Cx 176.
163.
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+ C'.
178. y=Clnx
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174. y=~ (2x.2+
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+ 2x'.
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168. x = Ce -<en 7. x=0.171.
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160. Y (x'V - 1)' - C. 162.
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269.
X=pt-¡;;---p-
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2
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278.
2
2
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2
+
+
279. x!J- ± ·a'. 280. x T g3 _aTo 281. s xy' = O. 282. x' + y'-2xyy =0. 283. x!J' = y In y'. 284. y' + y' -xy' + y-O. 285. 11"- 2y + y ~O. 286. vil' 2xy' -!J = O. 287.!I" =0.
+
288. l/"+!V--O. x
289.
v-
291. + g = O. Z94.. 2x+ay'=C. 298.
(/=
ax.
yU'_(I+II")3.
290.
!lu-U-o.
+
- Zbx = b'. (b >0). 293. x, ng' = C. 295. sony_be-x. 296. ¡¡'_2hx. 297. xy=C.
292.!J'
si k-2;
xL •.-
L.,
'¡~2 = b
k;42. 299. x'+V'-2bx. x
300. xu'=b. 308·0'=4.<+4. solucione.
304. y=O.
sIngulares.
809. 4xg'- -1.310.
res. 236
312.
302. y=C.-T.
.SOI. p=C(I-coscp).
V=-4'
305. y=O,
807.• II=Xx'
~. 313.
4 g=Wx·.
= O. !I =0.
306. No hoy 308. 4!J
Sil. No hay soluciono. y=O.
y~4x.
314.
+ x·
= O.
s'ngula·
11= :1:1,
~
T
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315. q=:l:2 318. %=úy'+
316. y-¡c.
V--J".X
317.
319. ¡¡-X-
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¡c~ C. 320. II=Cse;¡c+
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+
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352.
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498. y _ 4,' 500.
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+
498. y=ex(I+.). 499. Y - C,e-'
U_C,.(I-I'3)'+C",I,+Y·3').
+
501. -
eA
y=
e, +
C,x + C.x' + C.x' + e-A
(c, T + C, sen f).
X (C,cO$
V3 x + C, Sen 1").
504.
+ (C.
507.
XIC,co.2x+C,sen2x). 510. 11= C, + e,.< cos x e, COS x C, sen x,
+
+
S02.
+ C,e' 512.
y - (e,
+ C, x) e-x + 508. 11- e" X
y=C,.'+C"e-x+.-·X
y_c, ....+e ..-2.+ y = C,.< + e,c-" + C.e-b• sen x. SII.!J = C,.-· + C",,' + U- e, + C,:t + C,x' + ... + C,,x' . 509.
+ e,xe- + e,.'I.<. x
+ A,x + A,. + A,x' + A",'.
+
+ e,.
+
.
514. 11= C, C,e' T. 518. Yp = A,x' + A,.' + A,x. 518. !/. - (A,x 519. !/.=
!/.-
+
+ ,1,).-'.
_(A,x' A,x).-'. 62D. (A,x' lI,x).-.t. 521. _ A sen x + 8 (o. x. 522. .!Ip - x (A sen x + n ccs r), 523. -.r(A, sen 2x+ D,
+
11-
= C,.~x + t-X X
JI
508.
+ (C, + e, cos x + C, sen x) e-x.
513. Y = C,e-' 615. 11"- A,x' 517 • .!l. - A,.,'
+ CoX).
50s. V =e' sen x.
X(co.¡(2x+lf'2senlr2x).
+
(e.
503.
+ +
+
+
!J. ~ yP-
+ A,x. + A",'. A,,').
b) .!lo- 11,,-' .4,.' e) 11.- 11,..'.-' lI,x.' d)!lp'_ A,..-3.-x A .... e) 11. = A,x'-' + 11,..%,<. 1) JI, = + A,x3,'. 6113. a) IIp=(A,x'+ b) V.=(A,.r'+ A.x' A,x) c·'. e) v.- (A, x ' + A,x' + A,x') ••.•.• d)!lp =(.4,.' + A,,\' + A,) •••. e) Yp"'" (A,x' A,x' A .. ') Il IIp = (A,-<' A,x' + A,t') 534. a) !lp=Asenx+8t,<>,x. b) !lp=x(Asen .. +8cou). 535. G)IIp-x(A .on2x+Bc:o. 2x)r,<. la) !fp-x' (Ascn 2.c+ 8 COi2x).3.<. G3S. 1111 - Ax. 637. 11.= A,x' + A,x' '4,.<. SSS. YP = A,z. 539. V._Ax,-7,. 540. Yp=(A,x3 + A,i) .". Sql. YP= ,1.... 5'. 1542. IIp=
+
,1,.-' +
A,. + A".·~.
+
+
+
c·~.
c·~.
+
3
-(A,x'+A,..:).' ' .• 43. !lp_ A,.<+A,.-2'. 544. y,.-(A,X1+A.x) .... 1546.11- x(Acos6x + B $<0 Sx). 1546. IIp =..(A
+
647. 9p-x(Acos4.c+8sen4x).
+
1548. !I,=(Acl>.'2.+
6049. Vp -.r (A ros 2.. B sen 2x) ,2X. 550. +8 SOIl2x).-3<. 551. !lp-x(A se nkx+Bcoskx).
8.en2 ..)".
+
!/. - x (A
(A = const). 553. IIp ~ A, COl x + D, sen x + A, ces 3. + 8, sen 3x, 664. I/p-A,.<+A,<0.8x+8, se08.. 555. !/p-A,x+A,. 656. IIp-A (A=con51). 5~7. IIp,,,,Ar. 558. IIp=Ax'. 559. IIp-A 210
(A-
const). 660. Yp = Ax. 561. 11, - Ax'. 562. Yp = Ax'. U.~ Ax'. 664. yp ~ A.4'. 565. U.= Ax2.-x. 566. Y. = (A,.3+ + A.x2)e:.... 567. Yp - A seo 2.<"+ B cos 2.1'. 568. 11•.... A.en..t+Bco ....
668.
+
-+
+
569. YP = (A, ... A,) sen 2x (8,A' 8,) cos·2x., 570•. y. = ~ x' (A sen nx + B cosnx), 571. Up =.A sen nx + B eos nx. 572. YP r;a = A sen x B tOS A', 673. Yp = Ax'tr'-. 574. U•. = .(A'" +·8x') ~'. 57,5. y=(C,+C.x},-x-2. 576. !/=C,+C ••-2X_x. 577 .. y= • ¡r l· _C,sen3A'+C,tos3x+l. 578. y-C,+C,x+C,e+'2"".
+
7
679. Y-
-x
3
C, + C'x+ C,.·
6
-14"'"
680. y=
--
+C'.'+6'x·. sst. (j-C,+c,x+e,x'+c,. 682. !J=e,tOsx+e,Sel1,<+(C,+C,x).r+1. y= (e, + e.x)eu
+4.'.-",
637.
+
y_C,.-3< +C,.-x
x
+C,.' 590.
Y = C,e-3.< + C,.-2< + (20.< -
5...')
x =e-X(C, sen x-l- C,
va) x + (Xl"3 + C,cos -2-
592.
XI) + '3 '3
+
2.1') _
2
.
cos 2.1'
2
597.
1 x (6 sen e + e,t -....+ '5'
(e, + C,x) 11".,. + = .-x (e,
695. V = 596.
2cosmx+ 3senm.:c a' _ mi (m;éa) 598.!/=
599. y = ,
591. y = c,sen- -Y3 x +
2.
+ ,,'j'
4'I xe -x
+
y=e,
+-f).-3X.
-~(
,1.'(
(m'
588.
.-2'. y=e
x
'<.
(1'6-2). 12 sen 2...+ 16tOS U + C,e + e, sen x + ,.'sen x + x cos x. (m' - ,,2) sen + 2mn cos nx
+ + e, sen
_{.e-ax,
SS9, lI_e,+c,.-3x_(~'
-7,.'-98.1'.
u=
+ C,x)e-2x +
586. y= (C,
1)"
x' +'3'
633,
x (k ~
3
-8... +'2-8' x'
x'1 X 3 =(C,+c,x). '" +7+'2+8· 6S4•y=c,+e;e 585,
.
C, + C'x + C,..' +
1
11 =
y
e, ces os + e, sen ax + ,
1
c,+e;,,' - 2"
(~enx+cou).
• x - 2 eo. x),
= e-2.t (el ces x + c.: sen x) + 5xe-2x + e, sen 2x) - Txe-' cos2x +fe-X,
600.
y
=
sen x. 601. y __ e-x (C1ccs2x+ 602.
y_
e,
+ e,.-l,_ 241
- (:o - :0) sen x +(C.-.605. y = C,•x
+
( I~
5~) cos x.
603.
;)é. 604. y=C,tr'+C,e- + eS. + e,e/x +""2 (x' - 2x + 2).
610. y=c,+e,x+c,cosx+C.senx+12+l¡--x'.
x'
~')Cosx+(c~+
+ C,xe-x + .-x
(_ x' tOS X
I + C,.2X.+ C,.-2. +'f,to.
611.
~')sel)x.
613.
12-
Va va) -c,....+.-+( c,cos-2-x+C,senTx
+'21
g=C,e-"+ 614. y = e,
e2J& 'irx + T2 (2.<'_
Xl
I
+ 8 ces 3..- +
(C,+c,x)eX
(cos x -
sen x).
617. y=
+ (C,+C.x),-x.
C, cos x + C, sen x,
+
3.<). 615. y-
y=i'e-Xsenx+xe-X+e-Jt(C,cosx+C,senx).
=+cosx+
v=
612. y=
+ 4.< sen x + 6 ces x].
x -
+
) +2+1.3.é'
4
t'
+Clx'+c,x.+e,x+c.+(-f-4X+C.)....
=(C,+f-
+
+
608. y= (e, + e,x) eX +..,' + 6x'
4."( C,cos'f,x.+c,sen'f,x 4
618.
y = C,e"
606.
+
I~)'
607. y= C,e-'+ C,xex
3.<- l.
+ 18x + 24. 609. y-c'
= :~
2Jt
= r; ,e
~; (X'-X+
2x
+ C,cou + C,sen. - x' x' + C, .o$.<+ C. sen x + Te'.
g
618. U=-fxsenx+
619. 11= C, C05 2..- +c, sen2x+
1 x, Sen 2x. XI)- T e; + + 81 .< - 321 x cos2x - 16 620. y = ( '8 + (C, + C,x) e-x +(c,-i)co.x+c.senx. 621. y=C,+ + C,e-x + (~ - x' + 2.) + .x+ ;0 sen2x 2x. 622. y= 1 1 3 = C,.+C,,, + C.x'+C .<0.2x + C.sen2x + '6 + 24 x'+ :§2xsen2x. 623.I! = (e, + C,x + e,x'l.... - tr' sen 2.<. 624. y = C1.-b +
+
--roCO'
eX
¡.
+ (e,cosx+
+~
'1
+ C,e-x + -f ..+ ~ -
.te'- .(3 senv x - ces x). 625. {I = e,
+;.-. + t x, 626.y=C,.-'<.fe,e3x 242
1
C,sen x).x + 8 (2x'+2x+I}+1O(sen2x+3cos2x)
+
T-" - x' + 2x+ t x.-X_~ ".3',
y ~e,
621.
628.
C,e-x
e. cos x + es sen +
y"""
629.
6S0.
y=(e,
= (e, cos x
+ C, sen 2X+-}.X + x (+ .en~ ... -00.2":) .. + C.e-2.< + 8 (x2 - 2x) e-x + 3 (x2 +.2x) .-2.<.
cos 2x
IJ =
X-
+ C,
sen x
3' + 1) e2x + jQ+
1 -3'-'2eX
+
C:O$X
-
2 sen x 5 .
635.
2x
+257 seo 2x .
(Va
C,cos2 ...+C,scn2x+ x +I+
+
,+C,x) e-x
--=- + + C.x) .-3' + ~ + {.é.-3r +
+ x' - x 2 - cos r. 638. y =(C, +~ (36senK-27cosx). 639. y=C,+C,.-2'-i-fcosx+ + sen x - (sen2x + ces 2x). 840. y=." -
f
t
MI. y- - ].-(cOS3x
+
+ sen Sr
+ 1)2 eX.
(x
644.
y
846.
y=
643. 11
3..)
(1 -
f)
(x+
.-3.
f
,ax
e
2
+ xc-x.
(co.x - 25en xl +
- e"}. 642. V =.2.
+ ~ (4 sen .<-3
645. !J =eos 2x +
=cos x + x sen x.
I+.en x+
Va )
637. y- C,cos-yx+C,sen-y.{
r-
+ e,ir_
633. y=C,
(
g=(C,+e,x)e'+
+ .!. (4 cos x + 3 sen x) + ~ ces 2.t. 636. y-(C 25 . C05
x sen x.
631. y=
eX.
634. y=
+fsen2..-)er+2x+1.
+
+
4x ~
1 .~ .' 13000.2 ...-.65 •.en 2x.·632. 11=
=( e, cos x + C, sen x + ~ -f.>:senx) x
reos
1-
eosx+c.senx-+cosx+,·serix)e"-'.
3'1
ces xl.
(sen 2.< + sen x).
.3' + + 21 +].-. 647. s= (4,+2) ,2.< + ~y2e2X. + 2'1 sen 2... + x (sen 2x :- ces 2x). 649. U _ - 4 +
618. y- 3n ces 2.{ +2.x
+ e-x
(sen x-2
C05
x). 650. y = -e'Ineos
r+(n+ 1-2 x).se n x)l.
651. y = ~(e' _e-·')+x2• 652.y=
4 --} va'
656. y_,on2... 660. y =3
+ eX.
653. .y= .•-2xcos2x.
ya
.on-2-x+2x.654.y=2
... s 65S.
657. y= -1. 1 658. y-COH. 661 •• V
=-
5'
664. !/=( x'
662.
+ x) e-x.
y=-¡1 cos x,
659. y=.-x.
!I=eX (sen x + cos r), 665. y=C,x+.f1.. x ~43
666. y=';(C,+C,ln.l').
[C,COS(V:
V'~
667. y~
In.l') +
J.
+ C. sen (~ In.l') 668. V = C, + C, In x, 669. y = (.1'~12)' + + C,(x-2). 670. y=C, (2.1'+ 1) + C'¡2x+ 1) In(2.1'+ 11. 671. y=C, + C,x'+ C,x·. 672. y=C, +C,lnx+C.xI. C, C,(.1'+1)'. 673. y=C,+ (.1'+1)1+ 674. y-C,+(2x+I)X In (2.1'+ 1) X C,C05~+C.sen---¡rr' [ 1 C, Sen In .1'+'2 x f7 -
+
677. VCO .!..(C, + C,x'
x
+
In (2.1' 1)] In x).
676. y
675. F=
+ln'x-3In..-+2.1'
x). 678. y-C,x
x"
C
+7.
'662. y =C, (.1"-
+ C,
x)
(C, + C, ln x + In' x).
+ In x + 21n'
x. 679. y.,.~+C,x+7·
+(.'+2x)ln
x
y=C,coslnx+
681. [6x' - 4-
+ C,x' + 1 + e C
680. Y=7+xf+
y=c,x+c¡X'+C""
I;:: ].
3 (x' - x) 11,
y=C,.-2.r+C,(4x'+I). 684. !I=~+C,(2x-3~ x 665. y-C,x'+C,(.I'+ 1)-.1'. 666.y=C,lnx+C,x. 687.//= -C, sen x+C, sin' x. 666. y=C, cos (sen x)+e, sen (sen xl, 669. y-I+ 668.
+C,X+C, VI+x'. 690. v=C,x,+'s+x<. 691.y-C,(2x-1)+'~+x" x x 692.y=x+C,
-;;k
x (x
es la longilud del trozo de la cadena que cuelga),
~/6 ,1= V "i In(G+V35)s,k=g,m-6. d~s
698.
7(lO.
m -;¡¡r =- km, 11 -
d's
697'¡¡¡r-1,2t,s-0,21'-t.
a2x
.2 s ~
2: '
699.
fii2
1
+ k'x,
.1'= ""kl. X
e, ces 2.1'+ C. Sen 2.1'+ '4 COS 2.1' In I eos 2.1' I+ T sen 2.1'.
7.01.'!I=C,cosx+c,senx+sen.r.,nllg(f+i)I-2.
=.C,.x.+'C,.,-'_I_xe-x
702. y=
+ (e-."_.-X)
In (I_e-X),
703. y= C,~x+
+e,+("x+l) In (I+.-X). 704. y=C, eos x+C, sen .r + feosx.vctg 70.6. !I"'" el COH
+ e,sen.<- JI cos 2.1'.
+ C"e-",f+ c,.~-, 244
+ C,sen
707. y=C, CO$X
x.
+
706. !I~ 2..+ C,e'" x 9 \~-x +'400$% r ct¡¡x+
+ ro sen
+ ·C,x - In JfX!'Ti + x .rclg'x)
x .,;rle' x . 708. Y = eX (C,
.-0<
709. y = (C,-x)
+e,-cose'.
71J.
f :+~. f sen x 2x d
y=e'e- ...+e .. - + .•-....
f
+ e, sen x -
cos x
-,,-
J .-;
I/_c,+e,.-Xt·
2X
712.
,
dx - sen x
-,,-
715. 1/=
713'.
d".
y=C,cosx+ y - e,e' +
e, + e,tg x+-}
(1
y=e,\ln,,-I)r+C,+x(ln',,-2Inx-2'j. =CI(x+-}Je-2"'+c,-x'. 718. y=elx+e,.K+(~'
e,'" + c",-·' + (2x' - 1) .. '. 728. 2,r-+....(x-xlnx+lnx). 724. "=3'rx'+x. 722.. y =
726. y=sen 730.Y- (
727. y-l.
x,
",)
l+x-2"'"
+ c, -; + x+1
725.1/-"COS'X.
1 729. y="2arctg'r.
1/=-;.
731. 1/=
ex. 1
x + ....(ces x + sen x). 1/- e,ex + e, In x +
I
728.
x).
1/=
-x)
720. 1/= Cte' sen
+ xlg
717.
.!.
+ e, sen e-X + e-X. 721. y = C,e" + e,
+ 1 _..!!!l!l.. _.
J
'.1;
714:
716.
719. Y = e, ces e-x
..
In sen xl e-O< sen x, 710. y _ C,e<+ é-x dx·~·J"I ..:I.
Y¡In x .
1-
732.1/-(x-I)".
733.1/-2..734.11-1. 760. a) A-k'. k=O, 1,2, ... b) A=4k'. x k = O, l. 2, ... 761. Para cualesqulera x, 752. a) Tiene solución sh r y= ~h2,,; bl No tiene solucíén, 7ií3. 11'" - m' >0, y = e, 000 21m X+
+ e, sen
2nnx;
2) l. - ",'.=0,
754. y -
+y s-
(x -
+
s-CJ.3 (x.)-x) _ e-U$ Cxt+.l) I-
e
-2..
Xc
.,.
='
.8 11=; gIl
e-o..s,'t
-7
-,-0.$ (x,+X)+e-a.
l.h
i.x
b)
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y ..
o.
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756. y (xl
2)2 .
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Moocú, 1-110, GSP, URS::;.
T.A EDTTORli\L Mm PURtI~AlÚ': CÁLCULO
de M. Krasnov,
DE VARIACIONES
G. Makarenko,
A. Kiseliov
Los autores de este libro son MIJnil Krasnov, Grigori Makarenko, cnndidntos • doctores en ciencias lísloo-matem&tiC
en tela con sobreenbicrla.
Gordón V. Y otros
Problemas de geometría descriptiva Este libro ha. sido elaborado de acuerdo con 01 malerial expuesto en el manual de V. O. Gord6n tCuno de geometría descripUvII>, siendo su complemento. Sin embargo, esto no excluye la posIbilidad de u~ili~.r otros manual .. , pueato que para comprender los problemas do dicho libro solamente se requiere conocer las tesis Iundamemeles que debe poseer todo manual. E.ta recopilación muestra el proceéo utilizado para resolver proMomas tipo, .que aclaran lesi. lundamenta!es del curso de geome~ría descrip~iva, dando soluciones detalladas de una serie de problemas. Al fian! del libro se encuentran las re.puestas a los problema" propuestos. Estas respuestas", dan 00 forma taxtúal o gráfica, en ¡unción del carácter de lo. probleui as, La selección de problemas, hecba considerando $U cantidad y contenido, garantl,a el aprendi!Bje del mataríal teérico del curso general de geometría descriptiva. Los problema. de georoetria han sído elegido. según programas que sirven para los estudian les de I.... spscíalidades de construcción de maquinarias, de aparatos y mecánlcó-tecaolégíces de Ioseentrcs de enseñS,Dta técn ka superior.
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