Problemas

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1

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

1) Se sospecha que la conductividad de los tubos de televisión es diferente para cuatro marcas de tubos de televisión. a) Si no se impone ningún tipo de restricción, ¿cuál es el tipo de diseño más adecuado? b) Si se recogen los datos MARCA I II III IV 56 64 45 42 55 61 46 39 62 50 45 45 59 55 39 43 60 56 43 41 obtenidos a partir de 20 tubos seleccionados al azar, ¿qué conclusiones se obtendrían?. 2) Se quiere estudiar el efecto de cuatro tipos de recubrimientos de grafito en las lecturas de la intensidad de las lámparas. Como dichas lecturas pueden diferir de un día a otro, se toman las observaciones para cada tipo de recubrimiento cada día durante tres días. El orden en el que se comprueban los cuatro tipos de recubrimiento cada día puede aleatorizarse. a) discutir el diseño a utilizar b) si se han observado los valores Día \ Recubrimiento 1 2 3

M 4 4.8 4

A 4.8 5 4.8

K 5 5.2 5.6

L 4.6 4.6 5

establecer las conclusiones oportunas. 3) Se desea estudiar el efecto de la adicción de diferentes azúcares sobre la longitud de las secciones de guisantes criados en un medio de cultivo en presencia de auxina, realizándose 10 repeticiones por grupo. Los azúcares son glucosa 2% (G2), fructosa 2% (F2), glucosa 1% + fructosa 1% (G1+F1) y sacarosa 2% (S2). a) discutir el diseño a utilizar b) establecer las conclusiones adecuadas a partir de los datos Repetición Control G2 F2 G1+F1 S2

1 95 57 58 58 62

2 67 58 61 59 66

3 70 60 56 58 65

4 75 59 58 61 63

5 65 62 57 57 64

6 71 60 56 56 62

7 67 60 61 58 65

8 67 57 60 57 65

9 76 59 57 57 62

10 68 61 58 59 67

4) Se desea maximizar la rapidez de filtración en el siguiente caso: a) Un producto químico se produce en un recipiente a presión. Se realiza un experimento en la planta piloto para estudiar los efectos que se cree influyen sobre la taza de filtración de ese producto. Los cuatro factores estudiados son temperatura (A), presión (B), concentración de los reactivos (C) y rapidez de mezclado (D). Cada factor está presente en dos niveles, pudiendo realizarse los ensayos en orden aleatorio a razón de 4 por día. ¿Qué camino debe seguirse para obtener la información deseada? b) Si en el proceso se utiliza actualmente el nivel alto de C, intentando el ingeniero reducir todo lo posible esta concentración, siendo incapaz de hacerlo en virtud de que siempre ha dado por resultado menores velocidades de filtración, ¿cambiaría la respuesta del apartado anterior? ¿Por qué? 5) Para conocer el porcentaje de metal extraído se estudian 5 tipos de electrodos (A, B, C, D y E). La extracción se realizó mediante una descarga eléctrica entre el electrodo y el material a cortar. Para el experimento se hicieron 5 cortes en cada una de 5 piezas de material disponible, siendo el orden en el que se dispusieron los electrodos para realizar la extracción tal que cada elemento se usó sólo una vez en cada posición en cada pieza. a) ¿Qué tipo de diseño se ha considerado? ¿Podría considerarse otro a la vista de las restricciones impuestas? ¿Cuál? ¿Por qué? b) Los datos sobre el tiempo en horas necesario para hacer el agujero fueron

2

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

1

Posición Pieza 1

2

3.5

2.1 A

2

2.6

3

2.9

4

2.5

5

2.1

3.5 2.5

A

C 2.7

E

B 3.3

D

C 2.3

E

A

3.7

3.2

C

D 2.9

A 3

2.3

E 2.7

B 3.5

2.9

B

2.4 D

2.1

2.6

C

5

C

3.3

D

4

2.5 B

E

i) ii)

3

B 3.5

D

E

A

analiza los datos obtenidos. ¿Qué electrodo se preferirá si se desea el de menor tiempo de corte?

6) La resistencia adhesiva a la tensión del mortero de cemento Portland es una característica importante del producto. Un ingeniero está interesado en comparar la resistencia de una fórmula modificada, a la que se han agregado emulsiones de polímeros de látex durante el mezclado, con la resistencia de la argamasa hecha con la fórmula no modificada. El experimentador ha recogido 10 observaciones de la resistencia modificada y otras 10 de la fórmula no modificada siguiendo, dentro de lo posible, un orden aleatorio. a) ¿Qué diseño se puede aplicar en este caso? ¿A qué modelo matemático da lugar? ¿Cuáles serían las hipótesis a contrastar? b) Los datos recogidos en el experimento anterior fueron Mortero Observación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Modificado 16.85 16.40 17.21 16.35 16.52 17.04 16.96 17.15 16.59 16.57

No Modificado 17.50 17.63 18.25 18.00 17.86 17.75 18.22 17.90 17.96 18.15

¿a qué conclusiones se puede llegar? 7) En un laboratorio de una fábrica textil se estudian los efectos de la temperatura y el tiempo sobre el brillo de una fibra sintética. Para ello se seleccionan 3 niveles de temperatura y dos tipos de proceso. Se recogen, de forma completamente aleatoria, los siguientes datos

40 ciclos 50 ciclos

30 40

350ºF 32 45

30 36

37 39

375ºF 35 42

40 46

36 39

400ºF 39 48

43 47

Analizar los datos anteriores, contrastando las hipótesis previas necesarias. 8) En un laboratorio se ha observado que en el peso de un reactivo aparecen diferencias que, en un principio, se sospecha no se deben al azar, sino a las diferentes balanzas o a la habilidad del personal encargado del trabajo, deseándose contrastar esta doble hipótesis con un nivel de significación del 10%. a) ¿Qué tipo de diseño sería aconsejable utilizar? Analizar el modelo y las hipótesis a contrastar en los siguientes casos: i) si el número de balanzas de que dispone el laboratorio es lo suficientemente elevado como para no poder incluirlo enteramente, por lo que se toma una muestra de tres balanzas y por la misma razón de cuatro personas

3

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

ii) el laboratorio sólo dispone de tres balanzas y elige al azar de la plantilla cuatro personas b) Para cualquiera de las dos condiciones anteriores, se desea contrastar las hipótesis de igualdad de balanzas y de habilidad del personal, junto con el resto de hipótesis que sea necesario comprobar para resolver completamente el problema, si los resultados obtenidos (medidos en mg.) son los que aparecen en la siguiente tabla Personal Balanzas 1 2 3 4 0.587 0.529 0.566 0.511 1 0.593 0.535 0.568 0.518 0.585 0.526 0.568 0.513 0.591 0.519 0.578 0.573 2 0.600 0.527 0.585 0.566 0.587 0.510 0.584 0.562 0.607 0.510 0.579 0.558 3 0.618 0.518 0.564 0.554 0.616 0.505 0.572 0.556 ¿A qué conclusiones se llegaría? Razonar la respuesta. 9) Un ingeniero diseña una batería para su uso en un dispositivo que será sometido a ciertas variaciones extremas de temperatura. El único parámetro del diseño que él puede seleccionar en este punto es el material de la cubierta de la batería, y tiene tres alternativas. Cuando el dispositivo se manufactura y se envía al campo, el ingeniero no tiene control sobre los extremos de temperatura a que será expuesto, y sabe por experiencia que es probable que ésta influya en la duración efectiva de la batería. Sin embargo, sí es posible controlar la temperatura en el laboratorio de productos con fines de ensayo. a) ¿Qué tipos de diseño podría utilizar para controlar de la mejor manera posible esas fuentes de variabilidad? b) El ingeniero decide probar los tres materiales de cubierta a tres niveles de temperatura (15. 70 y 125 ºF) consistentes en el entorno de uso final del producto. Se pueden probar hasta 4 baterías para cada tratamiento, siendo las 36 pruebas ejecutadas al azar. ¿Cambia esto la decisión tomada en el apartado anterior? c) Los datos recogidos en el caso b) son los que aparecen en la siguiente tabla:

Tipo de material 1

15 130 74 150 159 138 168

2 3

155 180 188 126 110 160

Temperatura 70 34 40 80 75 126 122 106 115 174 120 150 139

125 20 82 25 58 96 82

70 58 70 45 104 60

Si el ANOVA asociado es Fuente de variación Tipo de material Temperatura Interacción Error Total

Suma de cuadrados 10.683,72 39.118,72 9.613,4 18.230,75 77.646,97

Grados de libertad 2 2 4 27 35

Cuadrados medios 5.341,86 19.558,36 2.403,44 675,21

F 7,91 28,97 3,56

¿qué decisiones adoptaremos? 10) Un constructor de ruedas desea controlar el efecto del tipo de material, del diámetro y del contenido en cromo sobre la resistencia del producto realizado por un proceso automático. Para ello selecciona 2 materiales, 3 diámetros y 3 contenidos en cromo, y asigna aleatoriamente los tratamientos a 18 robots en cada una de las dos líneas de ensamblado disponibles. a) ¿Qué factores tiene en cuenta en este experimento? b) ¿Qué diseño se puede aplicar teniendo en cuenta las condiciones de trabajo antes expuestas? c) ¿Es susceptible de mejora el diseño anterior? Razona todas las respuestas.

4

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

11) La impureza que contiene un producto químico está condicionada por dos factores: presión y temperatura. Realizada una réplica de un experimento factorial completamente aleatorizado se obtuvieron los siguientes datos: Temperatura (ºF) 100 125 150

25 5 3 1

Presión 35 6 4 3

30 4 1 1

40 3 2 1

45 5 3 2

a) ¿Qué problemas plantea el diseño propuesto? ¿Se pueden realizar todos los contrastes de interés? b) Analizados los mismos mediante un ANOVA, se obtuvo la tabla Fuente de variación Temperatura Presión Interacción Error Total

Suma de cuadrados 23.33 11.6

Grados de libertad 2 4

36.93

14

Media de cuadrados 11.67 2.90

F 42.97 10.68

Completar dicha tabla y decir a qué conclusiones se puede llegar. 12) Un ingeniero mecánico se encuentra estudiando el RENDIMiento de un producto manufacturado en tres MAQUINAs. Cada máquina puede operarse en dos niveles de POTENCIA. Además, cada una tiene tres ESTACIONes en las que se manufactura el producto. Se lleva a cabo un experimento en el que cada máquina se prueba en los dos niveles de potencia y se obtienen tres observaciones de rendimiento en cada estación. Los ensayos se llevan a cabo en orden aleatorio. a) ¿Qué tipo de diseño se puede utilizar en este caso? Justifíquese la respuesta. b) Una vez elegido el diseño, se ha realizado el análisis de los datos dando lugar a la siguiente tabla: Tests of Significance for RENDIM using SEQUENTIAL Sums of Squares Source of Variation

SS

DF

MS

F

Sig of F

WITHIN+RESIDUAL POTENCIA MAQUINA MAQUINA * POTENCIA ESTACION ESTACION * POTENCIA (Model) (Total)

58,89 853,63 21,14 ,62 32,58 28,94 936,92 995,81

36 1 2 2 6 6 17 53

1,64 853,63 10,57 ,31 5,43 4,82 55,11 18,79

521,80 6,46 ,19 3,32 2,95 33,69

,000 ,004 ,829 ,011 ,019 ,000

R-Squared = ,941 Adjusted R-Squared = ,913 -------------------------------------

Escribir las hipótesis a contrastar. ¿Es este diseño el mismo que se había utilizado antes? Justifíquense las respuestas. 13) Para determinar el efecto del índice de vaciado (en segundos) y el voltaje del calentador de la bomba (en voltios) sobre la presión dentro de un tubo de vaciado (en microns de mercurio), se seleccionan tres índices y dos voltajes y se decide realizar dos experimentos en cada una de las seis condiciones de tratamientos. a) ¿Qué tipo de diseño se ha utilizado? ¿Podría mejorarse? b) El orden de realización de las 12 experiencias puede aleatorizarse completamente, obteniéndose los datos que aparecen en la siguiente tabla: I(60) V(120) 48 58

I(90) V(120) 28 33

I(150) V(120) 7 15

I(60) V(220) 62 54

I(90) V(220) 14 10

I(150) V(220) 6 9

Analizar los resultados construyendo la correspondiente tabla de ANOVA. ¿Qué hipótesis se pueden contrastar? ¿De qué tipo serán las conclusiones obtenidas?

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Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

14) Se utiliza una aleación de niquel y titanio en la fabricación de componentes para turbinas de aviones. La formación de grietas es un problema potencialmente grave en la parte final, ya que puede dar por resultado un fallo irreversible. Se realiza una prueba de las componentes en las instalaciones del fabricante a fin de determinar el efecto de cuatro factores sobre las grietas. Los cuatro factores son temperatura de VERTIDO, contenido de TITANIO, MÉTODO de tratamiento térmico cantidad empleada de refinador de TEXTURA. Se obtienen dos observaciones para cada tratamiento, midiendo la longitud de las GRIETAS inducidas en una probeta sometida a una prueba estandar. a) ¿Qué diseño se ha utilizado? b) Los resultados obtenidos en el experimento anterior aparecen recogidos en la tabla siguiente. ******Analysis of Variance – design 1 ****** Tests of Significance for GRIETAS using UNIQUE sums of squares Source of Variation

SS

DF

MS

F

Sig of F

WITHIN+RESIDUAL REPETICI METODO TEXTURA TITANIO VERTIDO METODO * TEXTURA METODO * TITANIO METODO * VERTIDO TEXTURA * TITANIO TEXTURA * VERTIDO TITANIO * VERTIDO METODO * TEXTURA * TITANIO METODO * TEXTURA * VERTIDO METODO * TITANIO * VERTIDO TEXTURA * TITANIO * VERTIDO METODO * TEXTURA * TITANIO * VERTIDO

,08 ,03 ,68 ,40 ,12 ,36 ,01 ,05 ,00 ,09 ,10 ,07 ,00 ,00 ,00 ,00 ,17

15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

,01 ,03 ,68 ,40 ,12 ,36 ,01 ,05 ,00 ,09 ,10 ,07 ,00 ,00 ,00 ,00 ,17

6,08 135,18 79,89 23,09 72,08 1,88 10,32 ,14 18,55 20,31 13,39 ,22 ,03 ,33 ,27 33,65

,026 ,000 ,000 ,000 ,000 ,191 ,006 ,714 ,001 ,000 ,002 ,643 ,864 ,575 ,609 ,000

(Model) (Total)

2,09 2,17

16 31

,13 ,07

25,96

,000

R-Squared = ,965 Adjusted R-Squared =

,928

------------------------------------

Analizar los resultados proporcionados por la tabla de ANOVA. 15) En un proceso productivo se efectúa el siguiente diseño experimental con 8 factores para medir la plasticidad de una mezcla. Datos A B C D E F G H

48 -

41 + + + + -

60 + + + +

52 + + + +

49 + + + +

41 + + + +

60 + + + + -

56 + + + + -

46 + + + +

41 + + + +

56 + + + + -

58 + + + + -

49 + + + + -

42 + + + + -

59 + + + +

52 + + + + + + + +

a) ¿Qué tipo de diseño se ha utilizado? b) ¿Con qué interacciones se han confundido los efectos principales de los factores E, F, G, H? c) ¿Cuál es la ecuación generatriz asociada? Indicar la resolución del diseño empleado. 16) En el moldeo de una pieza de caucho intervienen cuatro factores: presión (A), temperatura de moldeo (B), temperatura de enfriamiento (C) y tiempo de vulcanización (D). Solamente se pueden realizar 8 experiencias de una vez, siendo posible que de una a otra ejecución, cambien las condiciones generales. a) ¿Qué tipo de diseño se podrá hacer en ese caso? b) Supongamos que se han obtenido exactamente las 8 observaciones que aparecen en la tabla adjunta.

6

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

Nº experimento A B C D Observación

1 + + 60.4

2 + + 69.2

3 57.8

4 + + 67.1

5 + + 67.1

6 + + 63.0

7 + + + + 69.1

8 + + 65.6

¿Qué tipo de diseño se ha ejecutado? ¿Es el mejor de todos los posibles? ¿Qué efectos son significativos y por qué? Analiza los resultados. 17) Para estudiar cómo afectan 7 factores al tamaño de las tejas cocidas en un horno, Taguchi efectuó un diseño donde la variable respuesta es el número de tejas defectuosas por cada 100 unidades fabricadas. Los datos que se obtuvieron aparecen en la siguiente tabla: 1 + + + +

2 + + + +

Factores 4 + + + +

3 + + + + -

5 + + + + -

6 + + + + -

7 + + + +

y 16 17 12 6 6 68 42 26

a) ¿Qué tipo de diseño se ha utilizado? ¿Cuál es su resolución? b) Indicar qué factores tienen efectos significativos c) ¿Cuál sería la mejor disposición de los factores para minimizar el número esperado de defectos durante la fabricación? 18) En una producción de aluminio se produce este metal combinando alúmina con otras sustancias en una celda de reacción y suministrando calor por medio de la aplicación de una corriente eléctrica a la celda. Se añade continuamente alúmina a la celda para mantener la proporción adecuada entre esa sustancia y las demás. Un ingeniero quiere comprobar si cuatro diferentes algoritmos de control de la proporción influyen en el resultado final del experimento, y estudia como variable respuesta el voltaje de la celda. En concreto, un detector mide dicho voltaje varias veces cada segundo, de modo que los ingenieros de proceso deciden utilizar el voltaje promedio. Si el experimento se puede realizar en cualquier orden, ¿qué conclusiones se obtendrían? Hacer el análisis utilizando los siguientes datos: Algoritmo de control de la proporción 1 2 3 4

1 4.93 4.85 4.83 4.89

2 4.86 4.91 4.88 4.77

Observaciones 3 4 4.75 4.95 4.79 4.85 4.90 4.75 4.94 4.86

5 4.79 4.75 4.82 4.79

6 4.88 4.85 4.90 4.76

19) Para estudiar el efecto que la Temperatura (T), Presión (P), Velocidad de Agitación (V), Tipo de catalizador (C), Tiempo de Reacción (H) y Concentración de Reactivos (R) producen en el porcentaje de impureza (y) que aparece en la obtención de un determinado compuesto químico, se ha realizado el siguiente diseño experimental: y T P V C H R

5.1 -

7.3 + + -

2.1 + + +

3.4 + + +

6.2 + + +

7.3 + + +

2.5 + + -

4 + + + + -

7.5 + +

10 + + + +

2.3 + + + -

3.2 + + + -

8.2 + + + -

9.8 + + + -

3 + + + +

4.5 + + + + + +

7

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

a) Indicar qué tipo de diseño es, su resolución y la ecuación generatriz. b) Estimar los efectos principales e indicar cuáles son significativos, suponiendo que todas las interacciones de orden 2 y mayor son nulas. Si es necesario, se puede tener en cuenta que la tabla ANOVA que se obtiene al considerar solamente los cuatro primeros factores es la siguiente: * * * * * * A n a l y s i s o f V a r i a n c e -- design 1 * * * * * * Tests of Significance for Y using UNIQUE sums of squares Source of Variation

SS

DF

MS

F

Sig of F

WITHIN+RESIDUAL C P T V C BY P C BY T C BY V P BY T P BY V T BY V C BY P BY T C BY P BY V C BY T BY V P BY T BY V C BY P BY T BY V

,00 7,02 82,81 9,92 1,32 4,62 ,01 ,01 ,30 ,12 ,09 ,09 ,16 ,02 ,49 ,00

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

, 7,02 82,81 9,92 1,32 4,62 ,01 ,01 ,30 ,12 ,09 ,09 ,16 ,02 ,49 ,00

, , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , , ,

(Model) (Total)

107,00 107,00

15 15

7,13 7,13

,

,

R-Squared =

1,000

-------------------------------------

c)

Se decide eliminar los tres factores cuyos efectos principales son menos significativos. Analizar el diseño resultante, estimar los efectos y su interacciones y decir cuáles son significativos.

20) En una planta química, se usan cinco tratamientos experimentales para conseguir aumentar la productividad obtenida con materia prima básica. Como los lotes de materia prima básica pueden diferir en cuanto a sus condiciones de partida, se escogen al azar cinco lotes entre todos los disponibles. a) ¿Qué diseño se podría utilizar en este caso? ¿Cuáles serían las hipótesis a contrastar en este caso? b) Se considera la posibilidad de que el orden de los experimentos así como el operador que realiza el experimento pueden influir en esa productividad. Si se consideran el orden y los operadores como restricciones en la aleatorización, ¿cuál será el diseño más apropiado? ¿Qué hipótesis se podrían contrastar? 21) Se examinan cuatro velocidades de alimentación en un experimento con una máquina CNC que produce una pieza de una unidad de potencia auxiliar para aeronaves. El ingeniero de manufactura a cargo del experimento sabe que una dimensión crítica de la pieza puede verse afectada por dicha velocidad y decide ejecutar cinco repeticiones de producción a cada una de las velocidades seleccionadas. a) si todas las repeticiones se realizan al azar, ¿qué tipo de diseño se ha efectuado? ¿Qué contrastes se podrían realizar? ¿Estarían los resultados de alguno de ellos condicionado a lo que se decidiera con otros? ¿Cuál? b) Si sólo se pueden realizar cuatro experiencias en un día, ¿cambiaría el diseño anterior? Razonar la respuesta. c) Analiza lo que ocurriría, en cualquiera de los dos casos anteriores, si los datos recogidos en el experimento son los que aparecen en la siguiente tabla:

Velocidad de alimentación 10 12 14 16

1 0.09 0.06 0.11 0.19

Repetición del experimento (producción) 2 3 4 0.10 0.13 0.08 0.09 0.12 0.07 0.08 0.08 0.05 0.13 0.15 0.20

5 0.07 0.12 0.06 0.11

22) Se desea determinar si cuatro diferentes puntas producen una diferencia en la lectura de un equipo para medir la dureza. La máquina funciona presionando la punta sobre una probeta de metal y determinando la dureza de la

8

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

probeta a partir de la profundidad de la marca que produce. El experimentador ha decidido obtener cuatro observaciones para cada punta. a) si se pueden realizar las repeticiones completamente al azar, ¿qué diseño se habrá utilizado? ¿Cuáles son las hipótesis que se pueden contrastar? b) Si se sospecha que las unidades experimentales (probetas) utilizadas pueden contribuir a la variabilidad observada en las lecturas de las durezas, ¿cabría mantener el diseño planteado en el apartado anterior? c) Si hay cuatro puntas y están disponibles cuatro probetas de metal, ¿cuál es el sentido de las conclusiones que se obtendrían como resultado del análisis? d) Una vez ejecutado el experimento, los resultados obtenidos son los que aparecen en la siguiente tabla. ¿A qué conclusiones se llega? Estudiar por separado los distintos casos presentados en los tres apartados anteriores. Tipo de punta Probeta 1 2 3 4

1 9.3 9.4 9.2 9.7

2 9.4 9.3 9.4 9.6

3 9.6 9.8 9.5 10.0

4 10.0 9.9 9.7 10.2

23) Un experimentador está interesado en estudiar el efecto de cinco fórmulas diferentes de la mezcla de dinamita sobre la fuerza explosiva observada. Cada fórmula se prepara usando un lote de materia prima, lo suficientemente grande para que sólo se hagan cinco mezclas. Las mezclas son preparadas por varios operarios, pudiendo existir una diferencia sustancial en la habilidad y experiencia entre ellos. a) ¿cuál es el diseño más apropiado para utilizar en estas condiciones? b) ¿en qué cambiaría el diseño anterior si nos confirman que son sólo esas cinco mezclas las que queremos utilizar pero podemos considerar el número de operarios y los lotes de materia prima que queramos? c) ¿y si se añade que tenemos un máximo de cinco lotes y que no nos dejan trabajar más que los cinco días de la semana con un máximo de cinco operarios por día? d) Analícense los diseños anteriores si nos dan como salida del SPSS la siguiente tabla ANOVA: * * * * * * A n a l y s i s o f V a r i a n c e -- design 1 * * * * * * Tests of Significance for OBSERVAC using UNIQUE sums of squares Source of Variation

SS

DF

MS

F

Sig of F

WITHIN+RESIDUAL DIA LOTES MEZCLA OPERARIO DIA * LOTES DIA * MEZCLA DIA * OPERARIO LOTES * MEZCLA LOTES * OPERARIO MEZCLA * OPERARIO DIA * LOTES * MEZCLA DIA * LOTES * OPERARIO DIA * MEZCLA * OPERARIO LOTES * MEZCLA * OPERARIO

,00 62,00 68,00 85,35 37,82 66,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00 ,00

0 4 4 4 4 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0

, 15,50 17,00 21,34 9,45 8,25 , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , ,

(Model) (Total)

676,00 676,00

24 24

28,17 28,17

,

,

R-Squared =

1,000

-------------------------------------

24) Un fabricante de aleación de aluminio produce refinadores de textura en forma de lingotes. La compañía manufactura el producto en cuatro hornos. Se sabe que cada horno tiene sus propias características de operación. Los ingenieros de proceso sospechan que la velocidad de agitación influye en el tamaño de grano del producto. Cada horno puede operarse a cuatro velocidades de agitación distintas. a) ¿qué tipo de diseño se puede utilizar? b) Analizar el diseño anterior si los datos recogidos fueron

9

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

Horno Velocidad de agitación 5 10 15 20

1 8 14 14 17

2 4 5 6 9

3 5 6 9 3

4 6 9 2 6

25) En un experimento sobre productividad se pueden controlar cuatro factores, todos ellos a dos niveles. a) Si no nos indican ninguna restricción entre ellos, ni para la ejecución del experimento, ¿cuál sería el diseño más apropiado? b) Se nos da la posibilidad de analizar los resultados obtenidos. Para ello, se nos presenta la siguiente tabla ANOVA. ¿A qué conclusiones podemos llegar si se trabaja con un nivel de significación del 5%? ******Analysis of Variance****** ------------------------------------Univariate Homogeneity of Variance Tests Variable .. RESPUESTA Cochrans C(1;16) = Bartlett-Box F(15;136) =

,28731, 1,53481,

P = ,425 (approx.) P = ,101

------------------------------------Tests of Significance for RESPUESTA using UNIQUE sums of squares Source of Variation SS DF MS

F

Sig of F

WITHIN+RESIDUAL A B C D A BY B A BY C A BY D B BY C B BY D C BY D A BY B BY C A BY B BY D A BY C BY D B BY C BY D A BY B BY C BY D

431599,50 13736,53 6188,28 22,78 81103,78 22102,53 22525,03 145665,03 12051,28 9214,03 148,78 20757,03 126630,28 6757,03 294,03 19453,78

16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

26974,97 13736,53 6188,28 22,78 81103,78 22102,53 22525,03 145665,03 12051,28 9214,03 148,78 20757,03 126630,28 6757,03 294,03 19453,78

,51 ,23 ,00 3,01 ,82 ,84 5,40 ,45 ,34 ,01 ,77 4,69 ,25 ,01 ,72

,486 ,638 ,977 ,102 ,379 ,374 ,034 ,513 ,567 ,942 ,393 ,046 ,624 ,918 ,408

(Model) (Total)

486650,22 918249,72

15 31

32443,35 29620,96

1,20

,358

R-Squared = ,530 Adjusted R-Squared = ,089

26) Los ánodos de carbono utilizados en un proceso de fundición se cuecen en un horno anular. Se ejecuta un experimento en el horno para determinar qué factores influyen en el peso del material de empaque que queda adherido a los ánodos tras la cocción. Hay seis variables de interés: A=”razón adhesivo/finos”; B=”tipo de material de empaque”; C=“temperatura del material de empaque”; D=“localización del humero”; E=”temperatura del foso del horno”; F=”tiempo de demora antes del empaque”. a) ¿Qué diseño se puede realizar? Indica las ventajas e inconvenientes respecto a otros diseños posibles. b) Se decide realizar 8 observaciones, siendo los datos obtenidos los siguientes (y en el siguiente orden): abd=984; abcdef=1275; be=1217; af=1474; def=1320; cd=765; ace=1338; bcf=1325. ¿Qué diseño se ha realizado? ¿Qué conclusiones se podrían obtener en este caso? c) Analiza los resultados obtenidos. 27) Un investigador lleva a cabo un experimento para estudiar el tiempo que tarda el ojo en enfocarse. Ha construido un aparato en el que se pueden controlar varios factores durante la prueba. Los factores que inicialmente considera que son importantes son agudeza visual (A), distancia del objeto al ojo (B), forma del objeto (C), nivel de iluminación (D), tamaño del objeto (E), densidad del objeto (F) e individuo (G). Se consideran dos niveles para

10

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

cada factor. En principio, no hay ningún tipo de restricciones en el número de veces o en el orden en que pueden realizarse las repeticiones del experimento. a) ¿cuál sería el diseño elegido? ¿Qué tamaño de experimentación se necesitaría como mínimo? b) Sospecha que las interacciones son despreciables. Con base a esta suposición, decide llevar a cabo un experimento cribado con el propósito de identificar los factores más importantes para concentrar los estudios futuros sobre estos factores. ¿En qué cambiaría el diseño anterior? c) Analizar el experimento si se han recogido los siguientes datos: A + + + +

B + + + +

C + + + +

D + + + +

E + + + +

F + + + +

G + + + +

Tiempo de enfoque 85.5 75.1 93.2 145.4 83.7 77.6 95.0 141.8

28) Para estudiar el acabado de la superficie de láminas de acero se controlaron cinco factores, todos ellos a dos niveles. Se estudió en concreto el número de roturas longitudinales que presentaban las láminas. El problema es que sólo se tenía disponible material para hacer 16 láminas, por lo que se decidió ejecutar sólo una parte del experimento. Los resultados fueron: Anchura 0

1 Sulfato 1

0

2

3

1

1

0

5

0

0

1

6

0

6

3

1

0

7

0

1

1

1

2

0

0

Moldeado

Velocidad

Temperatura

1

0

0

0

0

0

0

1

0

a)

determinar el tipo de diseño utilizado. ¿Cuáles son las hipótesis a contrastar? Indicar, en su caso, cuál es la resolución del diseño encontrado. b) ¿Qué ocurriría si sólo pudieran realizarse 8 observaciones cada vez? Comentar cómo se modificarían las conclusiones en ese caso.

29) Un ingeniero industrial que trabaja en una embotelladora está interesado en el efecto de dos tipos de botellas de un litro sobre el tiempo de reparto de cajas de 12 botellas de este producto. Los dos tipos de botella son de plástico (1) y de vidrio (2), y se utilizan dos repartidores para realizar una tarea que consiste en mover 40 cajas del producto una distancia de 50 metros sobre un carrito repartidor y acomodarlas. Los datos que se recogen son los tiempos de realización de dicha tarea. a) ¿Qué tipo de diseño se puede utilizar?

11

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

b) c)

Para realizar el experimento se han recogido datos durante cuatro días escogidos al azar. ¿Cambiará esto el modelo anterior? ¿Por qué? ¿Cómo tiene que ejecutarse el experimento en este caso? Con la información recogida (que se presenta en la siguiente tabla), se realiza su análisis. Indica qué conclusiones se pueden obtener. Utilícense, si es necesario, los siguientes valores de la distribución F F1,9;0.05=5.12 F1,6;0.05=5.99 F1,3;0.05=10.1 F1,4;0.05=7.71 F4,3;0.05=9.12 F3,3;0.05=9.28 F3,6;0.05=4.76 F3,9;0.05=3.86 F9,1;0.05=241

F6,1;0.05=234

TIPO DE BOTELLA 1 1 2 2

F3,4;0.05=6.59 F7,4;0.05=6.09 F6,3;0.05=8.94 F9,3;0.05=8.81 F6,4;0.05=6.16 F3,10;0.05=3.71

OPERARIO

DIA 1 5.12 6.65 4.95 5.28

3 4 3 4

2 4.89 6.24 4.43 4.91

3 4.98 5.49 4.27 4.75

4 5 5.55 4.25 4.71

30) Un químico desea medir la potencia de tres compuestos químicos para retardar la expansión del fuego en paneles de corcho. Se obtuvieron 12 paneles y se rociaron cuatro con un compuesto, realizándose esta operación con los tres compuestos. De cada panel se cortaron 2 piezas pequeñas y se midió el tiempo necesario para que se consumieran completamente bajo una llama de fuego standard. a) ¿Qué tipo de diseño se ha utilizado? b) Hacer el análisis de los datos recogidos Panel 1

Muestra 1 2

2

1 2

3

1 2

4

1 2

Compuesto A 10.3 9.8 20.1 5.8 5.4 11.2 8.7 10 18.7 8.9 9.4 18.3 68.3

Compuesto B 4.4 4.7 9.1 2.7 1.6 4.3 4.6 4 8.6 5.6 3.4 9 31

Compuesto C 3.1 3.3 6.4 6.5 5.4 11.9 5.1 7.5 12.6 5.6 4.2 9.8 40.7

140

31) Un fabricante de municiones está estudiando la tasa de combustión de la pólvora producida bajo tres procesos de producción. Para ello selecciona aleatoriamente cuatro lotes de pólvora de la producción de cada proceso, y recopila tres observaciones de la razón de combustión en cada lote. a) ¿Cuál es el diseño que ha utilizado? Indica los factores involucrados en el experimento, sus niveles, los grados de libertad asociados a cada componente del modelo y los contrastes que se pueden realizar (con la construcción del estadístico adecuado). b) A partir de los datos recogidos (que se muestran en la tabla), analiza los resultados (utiliza, si es necesario, los valores de la distribución F: F9,24;0.05=2.30; F3,24;0.05=3.01; F6,24;0.05=2.51; F24,3;0.05=8.64; F24,6;0.05=3.84; F24,9;0.05=2.90). Proceso Lote Observaciones

1 1 25 30 26

2 19 28 20

2 3 15 17 14

4 15 16 13

1 19 17 14

2 23 24 21

3 3 18 21 17

4 35 27 25

1 14 15 20

2 35 21 24

3 38 54 50

4 25 29 33

32) Un nutricionista quiere medir el efecto de dos aditivos (A y B, cada uno a dos niveles) sobre la ganancia de peso en las ratas. Quiere eliminar la influencia de las camadas de las comparaciones de sus tratamientos, pero sólo consigue 3 camadas de 3 ratones cada una. ¿Qué diseño podrá aplicar?

12

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

33) Un agrónomo desea introducir una nueva legumbre en su área de trabajo. Le interesa saber qué fertilizante funcionará mejor y prueba la presencia o ausencia de nitrógeno, fósforo, potasio, magnesio, manganeso y azufre. Para realizar el experimento sólo dispone de dos bloques de 8 parcelas cada uno. Comentar cuál sería el diseño más adecuado. ¿Qué podría hacer si dispone de un bloque de 16 parcelas? 34) Para estudiar el efecto de cinco factores en condiciones normales de fabricación sobre la calidad del producto final se estudió Fase I (oxidación)

Temperatura: Calidad del material:

Baja (-) Baja (-)

Alta (+) Alta (+)

Fase II (reducción)

Presión:

Atmosférica (-)

Incrementada (+)

Fase III (secado)

Presión: Centrifugado:

Baja (-) Bajo (-)

Alta (+) Alto (+)

Por consideraciones técnicas no se cree que la fase I interaccione con las otras dos. ¿Cuál sería el diseño más adecuado? ¿Cuántas repeticiones del experimento debemos hacer? 35) Se desea determinar si la cantidad de carbón empleado en la fabricación de acero tiene algún efecto en la resistencia a la tensión de éste. Se investigaron cinco diferentes porcentajes de carbón. Para cada porcentaje se seleccionaron, de forma aleatoria del mismo lote, cinco muestras de acero y se midieron las resistencias. a) ¿Qué tipo de diseño se ha utilizado? b) Basándose en los datos que se adjuntan, determínese si el porcentaje de carbón tiene un efecto estadísticamente significativo sobre la resistencia a la tensión del acero a un nivel de significación del 1%. En caso afirmativo, propónganse los contrastes relevantes y pruébese su significancia estadística. 0.2 % 1240 1350 1390 1280 1320

0.3 % 1420 1510 1410 1530 1470

Contenido de carbón 0.4 % 1480 1470 1520 1540 1510

0.5 % 1610 1590 1580 1630 1560

0.6 % 1700 1790 1740 1810 1730

36) En una planta industrial se desea determinar si diferentes trabajadores con el mismo nivel de habilidad tienen algún efecto sobre el número de unidades que se espera que produzcan durante un periodo fijo. Se lleva a cabo un experimento en el que se seleccionan al azar cinco trabajadores y se observa el número de unidades que cada uno produce en seis periodos con la misma duración. a) escríbase el modelo para este problema y explíquese cada término. b) Establézcase las hipótesis nulas por probar. c) Determínese si pueden rechazarse dichas hipótesis nulas para un nivel de significación del 5 % a partir de los resultados que aparecen en la siguiente tabla 1 45 47 43 48 50 44

2 52 55 58 49 47 57

Trabajador 3 39 37 46 45 42 41

4 57 49 52 50 48 55

5 48 44 55 53 49 52

d) ¿Qué fracción de la varianza en el número de unidades producidas es atribuible a diferencias entre trabajadores?

13

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

37) El objetivo de un experimento de agricultura fue determinar si existían diferencias apreciables en la cantidad de trigo cosechado de entre cuatro variedades y tres tipos de fertilizantes. Para el experimento se encontró un área muy grande de siembra en la que las condiciones del suelo eran, prácticamente, homogéneas. El área fue dividida en 12 zonas de igual tamaño para las 12 combinaciones de variedad de trigo y tipo de fertilizante. Para medir el error experimental, cada zona se dividió a su vez en cuatro y cada una de éstas recibió el mismo tratamiento. Las tres clases de fertilizante se seleccionaron, en forma aleatoria, de entre un número relativamente grande de fertilizantes, pero el interés no se extendió más allá de las cuatro variedades de trigo seleccionadas para el experimento. En el momento de la cosecha se observaron los datos que aparecen en la tabla adjunta Variedad de trigo Fertilizante

A 35 26 38 20 55 44 68 64 97 89 92 99

1

2

3

B 45 39 39 43 64 57 62 61 93 91 82 98

C 24 23 36 29 58 74 49 69 89 98 85 87

D 55 48 39 49 68 61 60 75 82 78 89 92

a) escríbase el modelo apropiado para este problema b) establézcase la hipótesis nula por probar c) determínese la tabla de análisis de la varianza y obténganse las conclusiones apropiadas al 5 %. ¿Cómo puede cambiar la respuesta si. i) se supone que las variedades son de efectos aleatorios y los tipos de fertilizante son de efectos fijos? ii) se supone que ambos son de efectos aleatorios? iii) se supone que ambos son de efectos fijos? 38) En un estudio sobre la influencia de la edad y sexo en la cantidad de colesterol se obtuvieron los siguientes datos sobre el nivel de colesterol para pacientes elegidos al azar dentro de cada grupo. < 50 años > 50 años

271 227 192 232

Hombre 192 189 236 142 253 248 267 289

Mujer 209

221 185 262 161

278

213 197 193 178

202 162 224 265

183 201

a) ¿Se verifican las hipótesis básicas del ANOVA? b) En caso afirmativo, plantear el modelo y las hipótesis asociadas. ¿Qué conclusiones se obtienen? 39) Los datos siguientes fueron recogidos en un experimento en el que 3 tipos de ratas (A, B y C) son estudiadas en diferentes condiciones ambientales (Libre, Restringido). Para cada tipo de rata se consideran 4 ratas y se anota el número de errores realizados por cada rata en un laberinto. Analizar los datos a través de un método apropiado, contrastando las hipótesis previas necesarias. A Libre Restringido

26 14 51 35

B 41 16 96 36

41 82 39 114

C 26 86 104 92

36 87 42 133

39 99 92 124

40) Un representante tiene cuatro variedades de semillas (A, B, C y D). Necesita vender a distintas regiones con características climáticas diferentes. Para evaluar la capacidad de crecimiento de sus semillas en cada zona, pretende medir el efecto de la humedad y altitud en las diferentes variedades. Por ello, realiza la siguiente experiencia: planta cada variedad de semilla en diferentes condiciones y después mide la biomasa total obtenida.

14

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

a) ¿Qué tipo de diseño puede aplicar? ¿Cuál resultaría más ventajoso? b) ¿Qué diseño habría aplicado si el modelo fuera el de la tabla siguiente?

Terreno alto Terreno bajo

Humedad alta A B C D A B C D

Humedad baja A B C D A B C D

Humedad alta 6 4 1 10 12 6 6 7

Terreno alto Terreno bajo

Humedad baja 2 7 8 12 15 3 6 6

¿A qué conclusiones se habría llegado en ese caso? 41) Se pretende estudiar la alimentación de determinada especie de pez en tres ríos distintos (A, B y C). Para ello se han tomado muestras en dos tramos de cada río, y se ha determinado la longitud del pez. A efectos prácticos se consideran cinco tallas de cada muestra seleccionada al azar del total. ¿Cuál es el diseño utilizado? ¿Cuáles serían las conclusiones obtenidas a partir de los datos de la tabla adjunta sobre la posible diferencia de tamaño entre los distintos ríos y tramos? A

B

1 6 2 12 15 7

2 4 7 6 3 10

C

1 10 8 6 6 2

2 1 12 7 6 4

1 3 6 7 10 8

2 5 12 7 4 4

42) A 11 ratas tratadas crónicamente con alcohol, se les midió la presión sanguínea sistólica antes y después de 30 minutos de administrada a todas ellas una cantidad fija de etanol, obteniéndose los siguientes datos: Presión Antes Después

1 126 119

2 120 116

3 124 117

4 122 122

5 130 127

Ratas 6 129 122

7 114 110

8 116 120

9 119 112

10 112 110

11 118 111

¿Hay un descenso significativo de la presión sanguínea sistólica tras la ingestión de etanol? 43) Se pretende estudiar la incidencia de una hormona vegetal en el crecimiento. Se consideran dos especies de cereales y se mide la diferencia de longitud antes y después del tratamiento. Para realizar el experimento se tienen dos variedades de la primera especie y tres de la segunda. Se obtuvieron los siguientes resultados Especie 1 1 1150 1157 1148

2 1120 1119 1125

1 1060 1050 1056

Especie 2 2 1043 1048 1052

3 1020 1010 1030

Analizar los datos teniendo en cuenta que: a) se pretende extraer conclusiones de las especies y variedades anteriores; b) se supone que las variedades han sido seleccionadas al azar; c) se supone que las especies y las variedades han sido seleccionadas al azar. 44) Se desea determinar el efecto de la profundidad y la posición de un tanque en la concentración de una solución limpiadora (medida en onzas por galón). La concentración se mide en tres profundidades a partir de la superficie del tanque (0, 15, 30 pulgadas). A cada profundidad se toman cinco posiciones laterales del tanque (pueden considerarse cualitativas ya que puede existir cierta medida de orientación en ellas). Para cada profundidad y posición se toman dos observaciones. Se tiene un diseño factorial 5x3 con dos observaciones por celdas completamente aleatorizado. Los datos son:

15

Problemas de Diseño de Experimentos (Curso 2003-2004)

Profundidad Posición 1 2 3 4 5

0 5.90 5.90 5.94 5.93 5.90

15 5.91 5.91 5.90 5.91 5.87

5.90 5.89 5.91 5.94 5.94

30 5.89 5.89 5.91 5.90 5.90

5.94 5.75 .86 5.83 5.83

5.80 5.83 5.3 5.89 5.86

Analizar los datos. 45) Para estudiar el efecto de la dosis de droga (en miligramos) sobre el tiempo de reacción de una persona (en milisegundos), se seleccionan al azar 15 individuos a los que se les asigna aleatoriamente una de las cinco dosis (0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5 mg.) de manera que cada nivel de dosis se asigna a tres individuos. Los tiempos de reacción recogidos aparecen en la siguiente tabla

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