Problemas Resueltos

1- Una barra cilíndrica de un acero con límite elástico de 310 MPa, y módulo elástico 22·10 4 MPa va a ser sometida a una carga de 12500 N. Si la longitud inicial de la barra es de 350 mm, se pide: a) ¿Cuál debe ser el diámetro de la barra si no queremos que ésta se alargue más de 0,50 mm? b) Se somete al ensayo de tracción a la barra anterior, con el diámetro calculado, hasta que se produce su rotura, obteniéndose un alargamiento total de 16 mm y un diámetro en la sección de rotura de 6,3 mm. ¿Cuál es el alargamiento y la estricción del material, expresados en %?

a) Diámetro Suponemos que el esfuerzo no sobrepasa el límite elástico, para aplicar la Ley de Hooke: E l

So

F S0

;

F l0 ; E So

l l0

E

12500 350 10 3 22 10 4 10 6 S o

3

0 , 50 10

12500 350 10 3 22 10 4 10 6 0 , 50 10 D2 4

So

D

1, 25 3 , 5 10 1,1 10 11

3

4 So

2

6

4 3 , 977 10

4 , 375 10 1,1 10 11 5

D

6

50 , 64 10 50 , 64 10

3 , 977 10

6

5

m2

m2 6

7 ,116 10 7 ,116 mm

Y ahora hay que comprobar que la hipótesis era correcta: F S0

12500 N 50 , 64 10 6 m 2 ,

246 , 84 10

6

Pa

Que es menor que el límite elástico, y por lo tanto la hipótesis era correcta.

b) Alargamiento y estricción

%A

lf

·100

lo

lf

lo

l

%S

So

Sf

So Sf

lo

So

100

350 16

6,3 2 4

4,57 %

366 mm

39,77 31,17 100 39,77

100

3,977 10 5 m 2 D2 4

366 350 100 350

39,77 mm 2 31,17 mm 2

21,62 %

3

m

2- Una barra cilíndrica de un acero que tiene un límite elástico de 5.000 kp/cm 2, es sometida a una carga de tracción de 8.500 kp. Sabiendo que la longitud de la barra es de 400 mm, el diámetro de 50 mm y el módulo de elasticidad del material de 2,1·106 kp/cm2, determina: a) Si la barra recuperará la longitud inicial al cesar la fuerza aplicada. b) La deformación unitaria producida en la barra ( ) y el alargamiento en %. c) La mayor carga a que podrá ser sometida la barra para trabajar con un coeficiente de seguridad de 5. d) El valor del diámetro de la barra para que su alargamiento total no supere las 50 centésimas de milímetro.

D2 4

a) S 0 Como

b)

5 2 cm 2 4

LE (432,9 kp / cm 2

T

8.500 kp ;

F

l0

F l0 E S0

l

8.500 kp 40 cm 2,1 10 6 kp / cm 2 19,635 cm 2

;

S0

19,635 cm

cm

8,245 10

2

mm

S0

T

50 10

2

mm

1.000 kp / cm 2

1.000 kp / cm 2 19,635 cm 2 5 10

2

cm

D

4·S 0

19.635 kp

0,05 cm

8.500 kp 40 cm ; S0 2,1 10 6 kp / cm 2 S

3,24 cm 2

0,0206 %

5.000 kp / cm 2 5

LE n

T

FMAXIMA

0,05 cm

40 cm 2

3

kp cm 2

SÍ RECUPERA SU LONGITUD

400 mm

8,245 10

8,245 10 2 mm 100 400 mm

T

l

2,1 10 kp / cm ; S 0

E

100

LE

c) n

2

432,9

0,00206

l0 %A

6

8.500 kp 19,635 cm 2

F S

T

5.000 kp / cm 2 )

l

l

d)

19,635 cm 2 ;

8.500 kp 40 cm 2,1 10 6 kp / cm 2 0,05 cm 4 3,24

2,03 cm

3,24 cm 2

Dmínimo.

20,3 mm

3- ¿Cuál será el alargamiento soportado por una barra cuadrada de 1,20 cm de lado y de 12 cm de longitud, si está sometida a una carga de tracción de 9 kN, siendo su módulo de elasticidad (o índice de Young) de 2 MN/cm2 y su límite de proporcionalidad de 95 MPa? Si la carga fuera de 75 kN, ¿qué se podría decir del alargamiento?

a) S0

l2

(1,20 cm) 2

F S0

9 10 3 N 1,44 10 4 m 2

Como :

(62,5 MPa)

1,44 cm 2

1,44 10 4 m 2

6,25 10 7 N / m 2

PROPORCIONAL

62,5 MPa

(95 MPa )

Zona de proporcionalidad Ès aplicalbe la Ley de Hooke

F

9000 N ; l

l

F l E S0

l

9000 N 0,12 m 2 10 N / m 2 1,44 10

S0

1,44 10

4

10

4

12 cm 2

m ; E

m2

0,12 m 2 MN / cm 2

0,375 10

3

m

2 1010 N / m 2 ( Pa)

l

0,375 mm

b) Para : F Como :

75 kN (521 MPa)

F S0

75 10 3 N 1,44 10 4 m 2

PROPORCIONAL

(95 MPa )

5,21 10 8 N / m 2

521 MPa

Zona plástica

NO se cumple la Ley de Hooke y la deformación es PERMANENTE

4- Una barra cilíndrica de acero, con un límite elástico de 5000 kp/cm 2, se encuentra sometida a una carga de tracción de 8200 kp. Sabiendo que la longitud de la barra es de 380 mm y que su módulo de elasticidad (índice de Young) de 2,1· 10 6 kp/cm2, calcula el diámetro de la barra para que su alargamiento no supere las 42 centésimas de milímetro.

Suponemos que el material está en la zona elástica

l

F l E S0

l

4,2 10

S0

F E 2

cm

8200 kp ; l 6

380 mm 2

2,1 10 kp / cm ;

l

38 cm 0,42 mm

4,2 10

2

cm

8200 kp 38 cm 2,1 10 6 kp / cm 2 S

8200 kp 38 cm 2,1 10 6 kp / cm 2 4,2 10

2

cm

3,533 cm 2

Y ahora se comprueba si la hipótesis era correcta 8200 kp F 2321 kp / cm 2 2 S 0 3,533 cm Como : ( 2321 kp / cm 2 ) LE (5000 kp / cm 2 ) Zona de proporcion alidad Entonces SI era aplicable la Ley Hooke y los cálculos son correctos

S0

D2 4

D2

4 S0

4 3,533 cm 2

4,498 cm 2 ; D

4,498 cm 2

2,12 cm

5- Una barra cilíndrica de un acero con límite elástico ( E) de 310 MPa, va a ser sometido a una carga de 12500 N. Si la longitud inicial de la barra es de 350 mm, ¿cuál debe ser el diámetro de la barra si no queremos que ésta se alargue más de 0,50 mm? DATO: módulo elástico del acero, E = 22 · 104 MPa. Al realizar el ensayo de resiliencia con péndulo de Charpy, de dicho acero, el trabajo absorbido al romper una probeta tipo Mesnager (S = 10 mm x 8 mm) fue de 8,50 kpm. ¿Cuál es la resiliencia de dicho acero, expresada en unidades S.I.?

a) Diámetro

l

So

F l ; 0,50 10 E So

12500 350 10 3 22 10 4 10 6 S o

3

12500 350 10 3 22 10 4 10 6 0,50 10 D2 4

So

D D

2

3

1,25 3,5 10 6 1,1 1011

4 So

4 3,977 10

50,64 10

6

4,375 10 6 1,1 1011 5

3,977 10 5 m 2

50,64 10 6 m 2

7,116 10 3 m

7,116 mm 8

b) Resiliencia

W

S = 8· 10 = 80 mm2

10

8,5 kpm

2

W S

8 kpm 0,80 cm 2

10,625 kpm / cm 2

10,625 kpm / cm 2 10,625 kpm / cm 2

9,8 N 1kp

10000cm 2 1m 2

1J 1N m

10,41 10 5 J / m 2

6- Calcular la fuerza máxima que puede soportar una barra de acero de 12 mm de

diámetro y 6 m de longitud sin que se produzca deformación plástica. Calcular también el alargamiento producido en estas condiciones considerando que se pudiera aplicar la Ley de Hooke. Repetir el ejercicio suponiendo un coeficiente de seguridad de 3. DATOS:

E

= 2500 kgf/cm2

E = 2,1·106 kgf/cm2.

·D 2 = 1,1309 cm2 4 La fuerza máxima que podemos aplicar es la que da lugar a unas tensiones iguales al límite elástico: F= E·S = 2827,43 kgf

Sección de la barra: S

Calculamos el alargamiento aplicando la ley de Hooke (ley solamente aplicable hasta el límite proporcional pero que aplicaremos en este ejercicio al no disponer de más datos) Alargamiento unitario = l = ·l0 = 7,14 mm

E/E

= 1,19·10-3

Para un coeficiente de seguridad de 3 la tensión máxima de trabajo sería: 833,3 kgf/cm2.

t

=

E/3

=

Procediendo igual que en el caso anterior obtenemos una fuerza máxima de 942,41 kgf (fuerza máxima a partir de la cual se superaría la tensión de trabajo) y un alargamiento de 2,38 mm.

7- Una pieza de latón deja de tener comportamiento elástico para esfuerzos superiores a 345 MPa. El módulo de elasticidad del latón es de 10,3·104 MPa. Determinar: a) Tensión máxima que puede aplicarse a una probeta de 150 mm 2 de sección sin que se produzca deformación plástica. b) ¿Cuál es la longitud máxima a la que puede ser estirada sin que se produzca deformación plástica (considérese posible aplicar la ley de Hooke)? Dato: longitud de la pieza 70 mm. Del enunciado se deduce que el límite elástico del latón es de 345 MPa a) Tensión máxima = límite elástico = 345 MPa b) l0 = 70 mm. La longitud máxima es la correspondiente al límite elástico =

E/E

= 3,34·10-3

l = · l0 = 0,234 mm

Por tanto se puede estirar hasta 70,234 mm.

8- La pieza de la figura es de acero al carbono semisuave estirado en frío y tiene un límite elástico de 3900 kgf/cm 2. Se somete a una fuerza F de 6000 kgf y se desea calcular: a) Tensión de trabajo t. b) Coeficiente de seguridad n. c) Alargamiento de la barra. DATO: E = 2,1·106 kgf/cm2.

a) Sección de la pieza : S Tensión de trabajo:

t

·D 2 = 7 cm2 4

= F/S = 857,14 kgf/cm2

b) Coeficiente de seguridad n respecto el límite elástico: n= c)

= t/E = 4,034·10-4

E

/

t

= 3900/847,14 = 4,6

l = · l0 = 0,0202 mm

9- El diagrama de la figura anterior representa el resultado de un ensayo de tracción. Se pide. a) Identificar los puntos significativos del diagrama indicando la tensión y la deformación correspondiente a cada uno. b) Determinar el módulo de elasticidad del material expresando su valor en SI y en kp/cm2.

SOLUCIÓN a) Se indican en la siguiente tabla: PUNTO NOMBRE

P Límite de proporcionalidad TENSIÓN 87,5 MPa DEFORMACIÓN 5·10-4

E Límite elástico 125 MPa 8·10-4

R Resistencia tracción 262,5 MPa 50·10-4

S Rotura 250 MPa 60·10-4

a) Determinación del módulo de elasticidad o módulo de Young:

E

87,5 0 175.000 MPa 17,5·10 4 MPa 4 5·10 0

pendiente

N 10 Pa m 2 1kp 1m 2 kp 175.000 MPa 1,78·10 6 4 2 1 MPa 1 Pa 9,81 N 10 cm cm 2 6

1

10- a) Calcula la dureza Vickers de un material, sabiendo que una punta piramidal de diamante deja una huella de diagonal d = 0.45 mm, al aplicarle una fuerza de 50 kp durante 20 segundos. b) Calcula la altura en m, desde la que se dejó caer una maza de 40 kg de un péndulo de Charpy, si la resiliencia del material vale 46 J/cm² y la maza ascendió 38 cm después de romper una probeta de 2 cm2 de sección.

a) Dureza

HV

F d2

1,854 0,45 mm

d HV

1,8544

50 0,45

457,85 kp / mm 2

2

b) Resiliencia

m·g h0

EP S h0 hF h0

m·g ·hF S

·S m·g

0,61 m

0,38m

m·g (h0 hF ) S 46 J / m · 2·10 4 m 2 40 kg ·10m / s 2

11- En la determinación de la dureza en una rueda dentada cuya capa superficial ha sido cementada, se procede de la siguiente forma: 1º) En la zona central no cementada, se determina la dureza Brinell, aplicando una carga de 187,5 kp y utilizando como penetrador una bola de 2,5 mm de diámetro. La dureza resulta ser igual a 350 HB. 2º) En la zona exterior cementada, se determina la dureza Vickers, aplicando una carga de 30 kp y obteniéndose una huella cuyas diagonales son de 0,272 mm y 0,274 mm. Calcular: a) El diámetro de la huella obtenida en el ensayo Brinell. b) El índice de dureza Vickers obtenido.

a) Brinell A partir de la definición de dureza se puede calcular la superficie total de la huella:

F ; S

HB

187,5 350

S

0,5357 mm 2

Y aplicando la expresión de esta superficie se despeja el diámetro de la huella:

·D· f

S

D

D

2,5 2,5 2

0,5357

2,5 2

2,52 d 2

2,3636

2,3636

D2 2

2

2,5 2

d2

d2

d2 ; 2,3636

d2

0,5357 3,927

2,5

2,5 2

d2

2,5 2 d 2

6,25 5,5866 0,6634

d

0,6634

0,8145mm

b) Vickers: En este caso tenemos una expresión de la dureza a partir de la fuerza y la diagonal media de la huella:

HV d HV

1,854

F d2

0,272 0,274 0,273 mm 2 2 30 55,62 1,854 746,28 kp / mm 2 2 0,07453 0,273

d1

d2

HV

746

12- Una pieza de una excavadora está formada por dos placas de acero, una normal y otra templada. Determinar: a) la dureza Brinell de la placa normal si se emplea una bola de 10 mm de diámetro (constante de ensayo para el acero, K = 30), obteniéndose una huella de 4 mm de diámetro. b) la dureza Vickers en la placa templada si con carga de 10 kp se obtienen unos valores para las diagonales de la huella de 0,120 mm y 0,124 mm. ¿Cuál sería la carga a aplicar en la determinación de la dureza si utilizáramos una bola de 2,5 mm de diámetro para que el resultado fuera el mismo? Realizamos el ensayo de resiliencia con el péndulo de Charpy empleando una probeta tipo Mesnager (sección cuadrada de 10 x 10 mm. con entalla de 2 mm. de profundidad). Si la maza de 30 kp se deja caer desde 1 m. de altura y después de la rotura se eleva hasta 0,60 m. ¿Cuál es la resiliencia expresada en unidades S.I.?

a) Dureza Brinell

F HB

K D2

30 10 2

F S

3000 kp 2 F

F D

D

D 2

2

d

2 3000

HB

10 10

10

2

4

2

D D

228 ,77 kp / mm 2

2

D2

d2

HB

229

b) Dureza Vickers

HV

1,8544

HV

1,8544

F d2

; d 10

0,122

2

d1

d2 2

0,120 0,124 2

1247 kp / mm 2

HV

0,122 mm

1247

Para repetir el resultado se debe mantener el valor de K F

K D2

30 2,5 2

187,5 kp

c) Resiliencia

EP S

m g (h0 S

hF )

30 kg 9,8 m / s 2 (1 0,6) m 10 8 10 6 m 2

107,6 N m 80 10 6 m 2

1,345 10 6 J / m 2

13- Para determinar la dureza Brinell de un material se ha utilizado una bola de 5 mm de diámetro y se ha elegido una constante de ensayo K = 10, obteniéndose una huella de 2,6 mm de diámetro. Calcula: a)

Dureza Brinell del material.

b)

Profundidad de la huella producida.

c) Si el índice de dureza Brinell obtenido coincidiese con el índice de dureza Vickers, averigua el valor promedio de las diagonales de la huella que se obtendrían si el valor de la carga utilizada fuera de 30 kp. a) Dureza Brinell

K

kp F ; F K D2 10 (5 mm) 2 250kp 2 2 D mm 2 250kp F HB 5 mm (5 mm (5 mm) 2 (2,6 mm) 2 D D2 d 2 D 2

43,66

b) Profundidad de la huella Se puede aplicar la expresión del denominador de la cuestión anterior, o razonar el valor:

D 2

c

2

d 2

2

5 mm 2

2

2,6 mm 2

2

2,135mm

D 5 c mm 2,135mm 0,365mm 2 2

h

c) Valor promedio de las diagonales Aplicando la expresión de la dureza Vickers: F d2 1,854 F HV

HV 1,854 d2 d

1,854 30 kp 1,2739mm2 43,66 kp / mm2

1,2739mm2 1,128mm

kp mm2

14- En un ensayo de dureza Brinell se aplican 750 kp. con una bola de 5 mm de diámetro y la huella producida tiene un diámetro de 2 mm. a) ¿Cuál será la dureza? b) ¿Se obtendría la misma dureza si la bola fuese de 10 mm de

y la carga

aplicada de 3.000 kp? c) ¿Cuál sería la huella en este caso? d) Si al realizar el ensayo de resiliencia con el péndulo de Charpy al material anterior, una probeta cuadrada de 10 mm de lado con una entalla de 2 mm, hace que el péndulo de 30 kp situado a una altura de 1 m, ascienda sólo hasta los 34 cm después de la rotura de la misma, ¿cuál es el valor de su resiliencia expresado en unidades S.I.? a) Dureza Brinell

F ; S S

HB

D f

D

D2 2

(D

d2) 2 750 kp

2 F

HB

D (D

D

2

2

d )

5 mm (5 mm

(5 mm

2

2

2 mm )

228,76 kp / mm 2

b) Los ensayos de dureza ofrecen el mismo resultado si la constante de ensayo K coincide en ambos:

K1

F1 D12

750 Kp (5 mm) 2

K2

F2 D22

3.000 Kp (10 mm) 2

30 30

K1

K2

MISMO VALOR de HB

c) El diámetro de la huella se obtiene de despejar de la expresión de la dureza:

2 3.000 kp

228,76 kp / mm 2

10 mm (10 mm 228,76 kp / mm 2 1 10 1,198 100 d 2

100 d 2

100 d 2

;

100 mm 2

11,98 1,198

1 11,98

9,165 2 ; d

d2

6.000 kp

10 mm 10 mm

1,198

(10 mm) 2

10,98 ;

100 83,997

d2

100 d 2 100 d 2

1; 10,98 1,198

9,165

4 mm 8

d) Resiliencia

10

W S

F

h S

kp m 24,75 cm 2

30 kp (1 0,34) m 0,80 cm 2 kp m 24,75 cm 2

9,8 N 1 kp

24,75 kpm / cm 2 10 4 cm 2 1 m2

2,425 10 6 J / m 2

15- Realice un esquema representativo de un ensayo Brinell. Suponga que se ha utilizado una bola de 5 mm de diámetro y se ha elegido una constante K = 30, obteniéndose una huella cuyo diámetro es de 2,3 mm. Calcule la dureza Brinell del material.

F

HB

K D2

30

kp (5 mm) 2 mm 2

F S

2 F

F D

D

HB

750 kp

D 2

2 750 5 5

5

2

2,3

2

2

d

2

D D

170,45 kp / mm 2

D2

d2

HB 170

16- Para realizar el ensayo de dureza Brinell de un material se ha utilizado una carga de 250 kp y un penetrador de diámetro 5 mm, obteniéndose una huella de 3,35 mm 2. Se pide: a) Determinar el resultado del mismo. b) Comprobar si se acertó al elegir el tamaño del penetrador y la carga.

a) La dureza Brinell se obtiene al aplicar la fórmula:

250 74,62 kp / mm 2 3,35

F S

HB

b) El tamaño de la bola debe ser tal que el valor de la huella debe estar comprendido entre D/4 y D/2. Por tanto hay que calcular ese valor a partir de la expresión de la superficie de la huella:

S

D f 5

3,35

2

52

4,573 4,573

2

5

52

d2

D2 2

D

D 52

d2 ;

d2

3,35 7,854

52

5

d2

d2 d2

25 20,917

4,083

d

Y ahora hay que comprobar si se cumple: D/4 < d < D/2 1,25 < 2,021 < 2,5

Luego el ensayo fue CORRECTO

4,083

2,021 mm

17- En un ensayo Brinell, se obtuvo un valor de 40 HB. a) Determine la carga que se ha aplicado en el ensayo si se ha utilizado como penetrador una bola de 5 mm e diámetro y la huella producida fue de 1,2 mm de diámetro. b) Indique cuál fue la constante de ensayo del material.

a) La carga se obtiene despejando de la expresión de la dureza:

HB

F S

S

D

S

5

F HB·S

D2 2

D 5

d2

5 2 1,2 2 2

40 ·1,15 45,91 kp

b) Constante del ensayo K

K

F D2

45,91 kp 1,84 (5 mm) 2

1,15 mm 2

18- En un ensayo de dureza Brinell se ha aplicado una carga de 3000 kp. El diámetro de la bola del penetrador es de 10 mm. El diámetro de huella obtenido es de 4,5 mm. Se pide: a) El valor de la dureza Brinell b) Indicar la carga que habrá que aplicar a una probeta del mismo material si se quiere reducir la dimensión de la bola del penetrador a 5 mm. Predecir el tamaño de la huella.

a) La dureza se obtiene a partir de la fuerza y la superficie total de la huella:

F S

HB

S

D

S

·10 ·

D2 2

D

10 2 2

10

d2

4. 5 2

16,81 mm 2

3000 178,5 kp / mm 2 16,81

HB

b) Con diámetro D = 5 mm Para repetir el resultado se debe emplear la misma constante de ensayo K:

K

F D2

3000 kp (10 mm) 2

30

Para el ensayo con D = 5 mm hay que usar una fuerza:

F

K D2

30

kp (5 mm) 2 mm 2

750 kp

El valor de la dureza es el mismo, ya que se trata del mismo material y la misma K. De la expresión de HB se despeja el diámetro de la huella:

HB

F S

F D

D

Y despejando se obtiene:

d

2,25 mm

D2 2

d2

178,5

2 750 5 5

52

d2

19- En un ensayo de dureza 95 HB (Brinell) se observa que la profundidad de la huella f ha sido de 1,34 mm, cuando se aplica una carga de 4000 kp. Calcula el diámetro de la bola (D) y el diámetro de huella (d).

HB D

HB

F F ; S ·D· f 4000 10 mm ·95·1,34

·D· D d 6,81 mm

D

2F D

2

d

2

F ·HB· f

95

2·4000 ·10·10

10 2

d2

2

20- La dureza Brinell de un determinado metal es de 200 kp/mm . Determinar el

diámetro de la huella sabiendo que el ensayo se realizó con una bola de 10 mm de diámetro y una constante de ensayo de 20. Comentar la fiabilidad del ensayo (en función del diámetro de la huella y el diámetro de la bola). ¿Cuál sería el valor promedio de las diagonales de la huella si practicamos el ensayo Vickers sobre el mismo material con una carga de 10 kp?

Calculamos la fuerza aplicada: F = k D 2 = 20·102 = 2000 kgf De la expresión HB

d

D2

(D

F D D 2

D

2

d

2

despejamos d y sustituyendo se obtiene el valor:

F ) 2 = 3,5 mm. D HB 2

En cuanto a la fiabilidad del ensayo sabemos que el diámetro de la huella debe comprendido entre: D/4 < d < D/2, en nuestro caso:

2,5 < 3,5 < 5, se cumple por tanto podemos decir que el

ensayo es fiable. Para estos valores de dureza prácticamente coinciden las escalas Brinell y Vickers. Por tanto, si HB = HV, para calcular el valor de las diagonales despejamos d de la expresión que nos indica el valor de dureza Vickers: d

1,8543·F = 0,304 mm. HV

21- Para determinar la dureza Brinell de un material se ha utilizado una bola de 5 mm de diámetro y se ha elegido una constante K = 30, obteniéndose una huella de 1,80 mm de diámetro. Calcula: a) Dureza Brinell del material. b) Profundidad de la huella.

a) K

F ; F D2

K D2

30

Kp (5 mm) 2 2 mm

750 Kp 2 750 Kp

F

HB

D (D 2

D2

5 mm (5 mm

d2)

(5 mm) 2

b)

(1,8 mm) 2 ) 284,85

D 2

c h

D 2

2

c

d 2

2

5 mm 2

2

1,8 mm 2

5 mm 2,332 mm 0,168 mm 2

2

2,332 mm

Kp mm 2