Problemas Sistemas De 1gdl

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Desarrolle la ecuación que controla el movimiento longitudinal del sistema de la figura 1 la barra está hecha de un material elástico con módulo de elasticidad E; el área de su sección transversal es -4 y su longitud es L. Desprecie la masa de la barra y mida u desde la posición de equilibrio estático.

Figura 1 2.

Un disco rígido de masa m está montado en el extremo de un eje flexible (figura 2). Desprecie el peso del e je y el amortiguamiento, y deduzca la ecuación de la vibración torsional libre del disco. El módulo cortante (de rigidez.) del eje es G.

Figura 2

3.

Deduzca la ecuación de movimiento para el marco que se muestra en la figura 3b. La rigidez, a la flexión de la viga y las columnas es como se indica. La masa concentrada en la viga es m; de manera alternativa, suponga que el marco no tiene masa y desprecie el amortiguamiento.

Figura 3

4.

Escriba la ecuación de movimiento para el marco de un nivel y una crujía que se muestra en la figura 4. La rigidez a la flexión de la viga y las columnas es como se indica. La masa concentrada en la viga es m ; de manera alternativa, suponga que el marco no tiene masa y desprecie el amortiguamiento.

Figura 4

5.

Escriba la ecuación de movimiento para el m arco de un nivel y una crujía que se muestra en las figuras 5a y 5b. La rigidez a la flexión de la viga y las columnas es como se indica. La masa concentrada en la viga es m; de manera alternativa, suponga que el marco no tiene masa y desprecie el amortiguamiento. Comente sobre el efecto del empotramiento de la b ase al comparar las dos ecuación es de movimiento.

Fig. 5a

Fig 5b

6. Una plataforma masiva infinitamente rígida con peso w se apoya en cuatro columnas, las cuales están articuladas en sus extremos superior e inferior y se encuentran contraventeadas lateralmente en cada panel lateral mediante dos alambres de acero diagonales, como se muestra en la figura 8. Cada alambre diagonal se pretensa hasta un esfuerzo alto; el área de la sección transversal es A y el módulo de elasticidad es E. Desprecie la masa de las columnas y de los alambres, y deduzca la ecuación de movimiento que controla la vibración libre en (a) la dirección x y (b) la dirección y. (Sugerencia: debido a la alta pretensión, todos los cables contribuyen a la rigidez estructural).

Fig. 6

7.

Un automóvil se idealiza de manera aproximada como una masa concentrada m apoyada en un sistema de resorte-amortiguador, como se muestra en la figura 6. El automóvil se desplaza a una velocidad constante i; sobre un camino, cuyas irregularidades se conocen como una función de la posición a lo largo de dicho camino. Deduzca la ecuación de movimiento.

Fig. 7 8.

Determine la ecuación de movimiento para el desplazamiento horizontal del marco de acero de la fig. 8 Suponga que la viga horizontal es infinitamente rígida y desprecie la masa de las columnas. W10x33: IX=171 in4 W8x24: IX=82.5 in4 E = 29 000 Kips7in2

Figura 8 9.

Determine la ecuación del movimiento de la viga de la fig. 9. que soporta un peso concentrado W en su centro. Desprecie la masa de la viga.

Figura 9

10. Una bala que pesa 0.2 lb se dispara a una velocidad de 100 pies/seg sobre un bloque de madera que pesa W=50 lb y la rigidez del resorte es de 300 lb/in (Fig.3). determine el desplazamiento u (t) y la velocidad v (t) el bloque t segundos después.

Fig. 10 11. Un sistema de un grado de libertad consiste de una masa de peso de 386 lb y una constante de rigidez k 3000lb / in . Al probar el sistema se encontró que una fuerza de 100lb produce una velocidad relativa de 12in / seg . Encontrar a) La razón de amortiguación,  b) La frecuencia natural de vibración, Wn c) Decremento logarítmico, d) La razón entre dos amplitudes consecutivas u1/u2

12. El depósito de agua mostrado en la Fig 12. está sometido al movimiento del terreno producido por un tren que pasa en la cercanía. El movimiento de la torre con una amplitud de 0,1 g a una frecuencia de 10 cps. Determine el movimiento de la torre con relación a su cimiento. Suponga que la amortiguación efectiva es del 10% dela amortiguación crítica del sistema.

Fig. 12

13. Determinar la frecuencia natural, amplitud de vibración y el máximo esfuerzo normal en la viga simplemente apoyada que lleva un motor de peso W=30KN. El motor gira a 400rpm e induce a una fuerza vertical F (t)=8senΩt (E=210*10^9N/m 2, I=8950*10^ -8m4, S=597*10^- 6m3).

Fig. 13 14. Un sistema es modelado por dos masas vibrantes m1 y m2 interconectadas por un resorte K y un elemento de amortiguación “c”. Para una fuerza armónica F=FosenΩt aplicada a la masa m2. Determine: a) La ecuación diferencia del movimiento, en función del movimiento relativo de las dos masas xt=x2-x1 b) La solución permanente del movimiento relativo

Fig. 14

15. Una mesa pesada se apoya sobre patas de acero planas (figura 15 ). Su periodo natural de vibración lateral es de 0 .5 segundos. Cuando se sujeta una placa de 50 libras a su superficie, el periodo natural de vibración lateral se alarga a 0.75 segundos. ¿Cuáles son el peso y la rigidez lateral del sistema?

Fig. 15

16. Un aparato de aire acondicionado que pesa 1200 Ib se atornilla en medio de dos vigas paralelas de acero simplemente apoyadas (figura 16). El claro libre de las vigas es de 8 pies. El segundo momento del área de la sección transversal de cada viga es de 10 pulg4. H motor de la unidad funciona a 300 rpm y, a esta velocidad, produce una fuerza vertical desbalanceada de 6 0 Ib. Desprecie el peso de las vigas y suponga 1 % de amortiguamiento viscoso en el sistema; para el acero E=30,000 ksi. Considere la fuerza desbalanceada y determine las amplitudes de la deflexión en estado estacionario y la aceleración de estado estacionario (en g ’s) para las vigas en sus pun tos medios.

Fig. 16 17. La masa m. la rigidez A: y la frecuencia natural wn de un sistema de 1GDL no amortiguado se desconocen. Estas propiedades deben determinarse mediante pruebas de excitación armónica. Con una frecuencia de excitación de 4 Hz. la respuesta tiende a aumentar sin límite (es decir, una condición resonante). Enseguida, un peso w = 5 Ib se conecta a la masa m y se repite la prueba de resonancia. Esta vez la resonancia se produce en / = 3 Hz. Determine la masa y la rigidez del sistema. 18. Una máquina se apoya sobre cuatro resortes de acero cuyos amortiguamientos pueden des preciarse. La frecuencia natural de la vibración vertical del sistema máquina-resorte es de 200 ciclos por minuto. La máquina genera una fuerza vertical p( t ) = p0 sen t. La amplitud del desplazamiento vertical de estado estacionario resultante para la máquina es u 0 = 0.2 pulg cuando la máquina está funcionando a 20 revoluciones por minuto (rpm), 1.042 pulg a 180 rpm y 0.0248 pulg a 600 rp m. Calcule la amplitud del movimiento vertical de la máquina si los resortes de acero se sustituyen por cuatro aisladores de caucho que proporcionan la misma rigidez, pero introducen un amortiguamiento equivalente a< = 25% para el sistema. Comente la eficacia de los aisladores a diferentes velocidades de la máquina. 19. Una viga de masa m distribuida está apoyada en A, y conectada al suelo mediante un resorte de rigidez k1 y a un amortiguador C, 2L y L medidas desde punto A, respectivamente, y en su extremo a un brazo de acero de masa depreciable, mediante un resorte de rigidez k2. Si la viga es ínfimamente rígida. Determine la ecuación del movimiento cuando es sometida a una carga p(t).

Fig. 19

20. Para la viga mostrada en la fig. 20, concertada a 2 masas “m”, en su parte centrel y extrema, y a dos resortes de rigidez k, determine la ecuación del movimiento cuando es sometida a una carga p(t). Considere que la viga es infinitamente rígida

Fig. 20