Prueba Para Dos Medias O Dos Varianzas

EJEMPLO Ejemplo 10.4 extraído del libro “Métodos Estadísticos. Un enfoque interdisciplinario” de Gil y Zárate de Lara (1998), pág. 363.

En un experimento con plantas de soja se compararon dos tratamientos consistentes en proporcionar el riego de auxilio cuando se tenían diferentes niveles de humedad aprovechable en el suelo. Para el primer nivel (10%) se usaron 12 unidades experimentales, y para el segundo nivel (40%) se usaron 9 unidaes. Cada unidad experimental es una superficie rectangular de 7 x 4 metros, en los que se sembró la misma variedad de soja. En lo posible se trató que las unidades experimentales tuvieran constantes los demás factores (fertilización, prácticas de cultivo, densidad de siembra, etc.) que pueden afectar el rendimiento, que es la respuesta que se comparó. De cualquier manera, puesto que es imposible tener unidades completamente homogéneas, se decidió mediante un mecanismo aleatorio qué unidades experimentales llevarían cada tratamiento. La aleatorización fue irrestricta, por lo que se obtuvieron dos muestras aleatorias independientes. Las respuestas observadas son:

Rendimiento (Kg/ha) 10% de humedad aprovechable

1735 2002 1820 2082 1894 1816 2008 1758 1898 2223 2873 2313

40% de humedad aprovechable

3403 3294 2899 3350 3212 2964 3098 2984 2492

Estos datos puede están disponibles en el archivo ejemplo soja.xls. Para importarlos a R puede consultar Cómo crear conjuntos de datos en R.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA COMPARAR DOS MEDIAS En este ejemplo se desea realizar una prueba de hipótesis para comparar dos promedios poblaciones, a partir de muestras independientes y donde puede asumirse que la distribución para la variable respuesta (rendimiento) es normal. La hipótesis nula que se quiere probar es simplemente que las medias de rendimiento son iguales, contra la hipótesis alternativa de que son diferentes. Es decir, H0: µ1 = µ 2 (No hay diferencias entre los rendimientos medios poblacionales obtenidos para niveles de 10% y 40% de humedad aprovechable en el suelo) H1: µ1 ≠ µ 2 (Los rendimientos medios poblacionales, obtenidos para niveles de 10% y 40% de humedad aprovechable en el suelo, son diferentes) La elección del estadístico para probar estas hipótesis depende del conocimiento o no de las varianzas poblaciones (en general, son desconocidas) y de si las mismas son iguales o distintas. Si puede asumirse que las varianzas poblacionales de la variable respuesta son iguales, se puede usar una prueba t de Student, que utiliza el estadístico

t H0 =

x1 − x 2  1 1  S a2  +  n1 n 2 

~

H0

tn1+n2 −2

donde

x 1 y x 2 son las medias muestrales correspondientes a los dos grupos,

n1 y n2 son los tamaños de muestra correspondientes a los dos grupos, y S a2

es un promedio ponderado de las varianzas muestrales ( S12 y S 22 )

correspondientes a los dos grupos, es decir, S a2 =

(n1 − 1)S 12 + (n 2 − 1)S 22 . n1 + n 2 − 2

En el ejemplo, una comparación visual de los diagramas de puntos para los dos niveles de humedad aprovechable del suelo (obtenido siguiendo la ruta Graficas


Diagrama de puntos) puntos sugiere que podría asumirse que las varianzas poblacionales de los rendimientos, correspondientes a los dos niveles de humedad, son

2500 2000

rendimiento

3000

homogéneas.

1

2 humedad

Sin embargo, si deseamos verificarlo podemos realizar una prueba de hipótesis como la propuesta en la próxima sección. Para poner a prueba la hipótesis de igualdad de medias se selecciona: Estadísticos
Medias
Test t para muestras independientes y en la ventana de diálogo que se despliega se podrá seleccionar o indicar: 1. la variable categórica (factor) que identifica a los dos grupos, en este caso humedad (asegúrese de hacer click sobre la variable para que en el campo “diferencias” se muestre en que orden se hará la diferencia de medias y no diga “no hay grupos seleccionados”), 2. la variable sobre la cual queremos probar la igualdad de medias, en este caso rendimiento, rendimiento

3. la hipótesis alternativa adecuada según el problema y de acuerdo a como haya quedado planteada la diferencia de medias (en este caso, la hipótesis alternativa es bilateral), 4. el nivel de confianza para la construcción de un intervalo para la diferencia entre las medias poblacionales, 5. si puede asumirse o no que las varianzas son iguales (en este caso, asumiremos que son homogéneas).

Se debe tener en cuenta que, de acuerdo a las hipótesis que se hayan planteado y a si puede o no asumirse que las varianzas poblacionales son iguales, los ítems seleccionados en esta ventana variarán. Para el ejemplo planteado, la ventana de resultados mostrará lo siguiente:

Si trabajamos con un nivel de significación α = 0,05, el valor p<α, por lo que hay evidencias suficientes para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, podemos afirmar que los rendimientos medios con los dos niveles de humedad aprovechable son diferentes. Otra forma de justificar el rechazo de la hipótesis nula es observar que el intervalo del 95% de confianza para la diferencia de las medias, (-1323,0944; 761,2389) no contiene a cero.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PARA COMPARAR DOS VARIANZAS Si queremos evaluar si dos varianzas poblacionales son homogéneas, las hipótesis de interés a probar son: Ho: σ 12 = σ 22 H1: σ 12 ≠ σ 22 Para realizar esta prueba de hipótesis, a partir de muestras independientes y donde puede asumirse que la distribución para la variable respuesta es normal, se puede usar una prueba F, que utiliza el estadístico

F = donde

S 12 S 22

~

H0

Fn1−1,n2 −1

S12 y S 22 y n1 y n2 son las varianzas muestrales y los tamaños de muestra correspondientes a los dos grupos, En RCmdr, esta prueba puede realizarse siguiendo estos pasos: Estadísticos
Estadísticos
Varianzas
Test F para dos varianzas Esta secuencia abre una ventana de diálogo donde podemos seleccionar: 1. la variable categórica (factor) que identifica a los dos grupos, en este caso humedad (asegúrese de hacer click sobre la variable para que en el campo “diferencias” se muestre en que orden se hará la diferencia y no diga “no hay grupos seleccionados”), 2. la variable sobre la cual queremos probar la igualdad de varianzas, en este caso rendimiento, rendimiento 3. la hipótesis alternativa adecuada según el problema y como haya quedado planteada la diferencia (en este caso es bilateral) 4. el nivel de confianza para la construcción de un intervalo para el cociente entre las varianzas poblacionales (donde el cociente se realiza en el mismo orden que la diferencia).

En la ventana de resultados se mostrará lo siguiente:

donde encontramos el valor calculado del estadístico F, sus grados de libertad (df) y el valor p correspondiente. Además, se brinda el intervalo de confianza para el cociente entre las varianzas, y la estimación puntual de dicho cociente claramente coincide con el valor calculado del estadístico. En este caso particular, como el valor p > 0,05, no hay motivos para rechazar la igualdad de varianzas. Una forma alternativa para comparar las varianzas de dos poblaciones consiste en construir un intervalo de confianza para la relación entre las varianzas,

σ 12 . Como podemos ver, el intervalo de confianza para dicha relación tiene como σ 22 límite inferior a 0,299 y como límite superior a 4,643, es decir que el valor “1” pertenece al intervalo. Como el “1” resulta ser un valor probable para el cociente de varianzas, no podemos rechazar la hipótesis de igualdad de las varianzas.