Punto De Equilibrio Y Matrices

Punto de equilibrio El punto de equilibrio es la solución de las ecuaciones de la oferta y la demanda aplicando el método de sustitución en un Sistema de ecuaciones. Como 1º paso se encuentran las ecuaciones utilizando los temas vistos con anterioridad. Ejemplo: Cuando el precio de cierto tipo de cámara fotográfica es de $50 se ofrece a la venta 50 de ellas. Si el precio es de $75 hay una disponibilidad de 100 cámaras ¿Cuál es la ecuación de la oferta? Y grafica tu resultado.

Venta = X

𝑚=

Precio = Y

𝑦2 − 𝑦1 𝑋2 − 𝑋1

1.(50,50) 2.(100,75) m=

75 − 50 25 5 1 = = = = 0.5 100 − 50 50 10 2 𝑦 − 𝑦′ = m(x − x ′ )

1 𝑦 − 50 = (𝑥 − 50) 2 2𝑦 − 100 = x − 50 𝑥 − 2𝑦 + 50 = 0 Ecuación de la oferta X=0

(0)-2y+50=0 -2y+50=0 y=25

y=0

x-2(0) + 50=0 x + 50=0 x = -50

Si ahora se venden 10 cámaras al precio de $80 y 20 al precio de $60. Encuentre su ecuación, gráfica y punto de equilibrios.

(10,80) (20,60) m=

60 − 80 20 =− = −2 20 − 10 10

𝑦 − 80 =

−2 (𝑥 − 10) 1

𝑦 − 80 = −2𝑥 + 20 −2𝑥 − 𝑦 + 20 + 80 = 0 −2𝑥 − 𝑦 + 100 = 0 2𝑥 + 𝑦 − 100 = 0

Si x=0 y-100=0 y=100

Si y=0 2x-100=0 2x=100 x=100/2 x=50

Ec.1 𝑥 − 2𝑦 + 50 = 0

Ec.2 2𝑥 + 𝑦 − 100 = 0 Despejando Ec.1 y sustituyendo. −2𝑦 = −50 − 𝑥

𝑦=

−50 − 𝑥 −2

−50−𝑥 )− −2

2𝑥 + (

100 = 0

−4𝑥 − 50 − 𝑥 + 200 = 0 −5𝑥 + 150 = 0 −5𝑥 = −150

𝑥=−

𝑦=

150 = 30 −5

−50 − (30) −2

𝑦=

−80 = 40 −2

Oferta 2x+y-10=0 Demanda -3x+2y-2=0 𝑦 = −2x + 10

𝑦 = −2(2.57) + 10

−3𝑥 + 2(−2𝑥 + 10) − 2 = 0

𝑦 = −5.14 + 10

−3𝑥 − 4𝑥 + 20 − 2 = 0

y = 4.86

−7𝑥 + 18 = 0 −7𝑥 = −18 𝑥=−

18 = 2.5 −7

Las siguientes coordenadas representan una ecuación de la oferta (3125,0) (0,1250). Las coordenadas siguientes representan una Ecuación de la demanda (100,0)(600, 1250). Encuentra de las siguientes ecuaciones el punto de equilibrio. 1.(3125,0) 1250−0

𝑦−0=

2 (𝑥 −5

1250

𝑚 = 0−3125 = −3125 = −0.4

2.(0,1250)

− 3125)

250

50

10

2

𝑚 = 625 = 125 = 25 = −5

−5𝑦 = 2𝑥 − 6250 2𝑥 + 5𝑦 − 6250 = 0

1.(100,0)

𝑚=

1250−0 600−100

=

1250 500

=

25 10

=

5 2

2.(600,1250)

5𝑦 = −2𝑥 + 6250 𝑦=− 𝑦=

2𝑥+6250 5

−2(517.24)+6250 5

𝑦=−

1034.48+6250 5

𝑦 = 1043.10

−2𝑥+6250 )− 5

5𝑥 − 2 (

500 = 0

25𝑥 + 4𝑥 − 12500 − 2500 = 0 29𝑥 − 15000 = 0 29x=15000 𝑥=

1500 29

= 517.24

Las siguientes coordenadas representan una función demanda (25, 50000) (35,42500). Las coordenadas de la función oferta son (5.5,45000) (7.5,75000). Encuentra el punto de equilibrio. 𝑚=

1.(5.5,45000)

75000−45000 7.5−5.5

=

30000 2

= 1500

2.(7.5,75000)

𝑦 − 4500 =

1500 (𝑥 − 55) 1

𝑦 − 45000 = 15000𝑥 − 𝑦 − 82500 + 4500 = 0

15000𝑥 − 𝑦 − 37500 = 0 Ec. Oferta

1.(25,50000) 2.(35,42500)

𝑚=

𝑦 − 50000 = −

42500−50000 35−25

=−

7500 10

=

750 1

= 750

750 (𝑥 − 25) 1

𝑦 − 50000 = −750𝑥 + 18750 −750𝑥 − 𝑦 + 18750 + 50000 = 0 −750𝑥 − 𝑦 + 58750 = 0

𝑦 = −750𝑥 + 58750

15000x-(-750x+58750)-37500=0

𝑦 = −750(6.75) + 58750

15000x+750x-68750-37500=0

𝑦 = −5059.52 + 58750

15750x-106250=0

𝑦 = 53690.48

15750x=106250 𝑥=

166250 15750

= 6.75

Determinar el punto de equilibrio con las ecuaciones oferta y demanda cuyas coordenadas son: 135000−0 11.5−2

𝑚=

1.(2,0)

=

135000 9.5

2.(11.5,135000) 𝑦−0=

135000 (𝑥 − 2) 9.5

9.5𝑦 = 135000 − 270000

135000x-9.5y-270000=0

1.(91.67,0)

68750−0 0−91.67

𝑚=

=

68750 −91.67

2.(0,68750) 𝑦−0=

68750 (𝑥 − 91.67) −91.67

−91.67 = 68750𝑥 − 6302312.5

68750𝑥 + 91.67𝑦 − 6302312.5 = 0

91.67𝑦 = −68750𝑥 + 6302312.5 𝑦=

−68750𝑥 + 6302312.5 91.67

135000𝑥 − 9.5 ( 135000𝑥 − 9.5 (

−68750𝑥 + 6302312.5 ) 91.67

−68750𝑥 + 6302312.5 ) − 270000 = 0 91.67

12375450𝑥 + 653125𝑥 − 59871968.75 − 24750900 = 0 13028575𝑥 − 84622868.75 = 0 13028575𝑥 = 84622868.75 𝑥= 𝑦=

84622868.75 = 6.50 13028575

−68750(6.50) + 6302312.5 91.67

𝑦=

−446875 + 6362312.5 5855437.5 = 91.67 91.67 𝑦 = 63875.18

METODO GAUSS JORDAN Resolución de sistemas de ecuaciones Este método consiste en trabajar con columnas y renglones utilizando solamente los valores de las literales el proceso consiste en buscar la unidad en el primer renglón el segundo renglón y el tercer renglón y los demás números se deben volver ceros 1 (0 0 Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 6

M=multiplicar

2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑧 = −9

R= renglón

3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2

1 4 −1 6 |2 5 −7| −9 3 2 1 2 M1R(1)+ (-2)(R) M1R(-3)+3R 1 4 −1 6 |0 −3 −5| −21 0 −14 4 −16

M2R(-4) + 1R M2R(-1/3) M2R(14)+3R 1 0 −23 −22 |0 1 5/3 | 7 0 0 82/3 82 M3R(23/3)+1R

0 0 1 0) 0 1

M3R(-5/3)+ 2R

X=1

M3R(3/82)

Y=2

1 0 0 1 |0 1 0| 2 0 0 1 3

Z= 3

Resuelve 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1 6𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = −19 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1

2 3 1 1 |6 −2 −1| −19 3 1 −1 1 M1R(1/2) M1R(-6)+2R M1R(-3)+3R 1 3/2 1/2 1/2 −4 | −17 |0 −11 0 −7/2 −5/2 −1/2 M2R(-3/2)+1R M2R(-1/11) M2R(7/2)+3R 1 0 −1/22 −20/4 4/11 | 17/11 |0 1 0 0 −27/22 54/11 M3R(1/22)+1R M3R(-4/11)+2R M3R(-22/27) 1 0 0 −2 |0 1 0| 3 0 0 1 −4

X=-2 Y=3 Z=-4

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 24 2𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = −14 𝑥 − 4𝑦 + 3𝑧 = 26 5 −2 1 24 |2 5 −2| −14 1 −4 3 26 -5L1 + L3 -2L1 + L2 1 −4 3 26 |0 13 −8 | −66 0 18 −14 −106 -18L2 + L3 L2/13 1 −4 −3 26 |0 1 −8/13| −66/13 0 0 38/13 −140/13 L3 (13/-138) 26 1 −4 3 |0 1 −8/13| −66/13 0 0 1 5 -3L3 + L1 (8/13)L3 + L2 1 −4 0 11 |0 11 0| −2 0 0 1 5 4L2 +L1 1 0 0 3 |0 1 0| −2 0 0 1 5

X=3 Y=-2 Z=5

Aplicar el método de gauss al siguiente sistema de ecuaciones. 4𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 8 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = −1

2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 3 4 2 3 8 |3 4 2| −1 2 −1 5 3 M1R(1/4) M1R(-3)+2R M1R(-2)+3R 1 1/2 3/4 2 |0 5/2 −1/4| −7 0 −2 7/2 −1 M2R(-1/2) + 1R M2R(2/5) M2R(2) + 3R 1 0 4/5 17/5 |0 1 −1/10| −14/5 0 0 33/10 −33/5 M3R(-4/5) + 1R M3R(1/10) +2R M3R(10/53) 1 0 0 5 |0 1 0| −3 0 0 1 −2

X=5 Y=-3 Z=-2

6𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 12 9𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 37 10𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 21 6 3 2 12 | 9 −1 4| 37 10 5 3 21 M1R(1/6) M1R(-9)+2R M1R(-10)+3R 1 1/2 1/3 2 1 | 19 |0 −1/2 0 0 −1/3 1 M2R(-1/2) + 1R M2R(-2/4) 1 0 14/33 41 |0 1 −2/11| −38/4 0 0 −1/3 1 M3R(-14/33)+1R M3R(2/11)+2R M3R(-3) 1 0 0 5 |0 1 0| −4 0 0 1 −3

X=5 Y=-4 Z=-3

UNIDAD 3 ALGEBRA MATRICIAL El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de algunos problemas muchos de los cuales son imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria Una matiz es una disposición o arreglo rectangular de número que aparecen de la siguiente forma.

𝑞1,1 𝐴 = [ 𝑎2,1 𝑎𝑚, 𝑛

𝑎1,2 𝑎𝑛 𝑎2,2 𝑎2, 𝑛] " "

Operación con Matrices Las matrices se pueden resolver utilizando las operaciones básicas de la aritmética Suma y Resta con matrices Para poder realizar las operaciones de suma y resta tenemos que las matrices sean iguales una vez verificadas se realiza la operación indicada.

Ejemplo 1 5 4 𝐴 = [−3 0 5 1 6 7

3 3 15 −2] 3A-5B [−9 0 5 3 18

12 9 0 25 −20 −10 15 −6] − [ 15 40 45 30 ] 21 15 −45 20 −10 −5

0 5 −4 −2 𝐵=[ 3 8 9 6] −9 4 −2 −1

3 −10 −32 19 [−24 −40 −30 −36] 48 −2 31 20

1 7 𝐶 = [4 9 3 6

A2-B2+C2

6 5 8 4] 1 2

1 25 16 9 0 25 [9 0 25 4 ] − [ 9 64 1 36 49 25 81 16

16 4 1 49 36 25 81 36] + [16 81 64 16] 4 1 9 36 1 4

0 0 0 5 1 49 36 25 [ 0 −64 −56 −32] + [16 81 64 16] −80 20 45 24 9 36 1 4 1 49 36 [ 16 17 8 −71 56 46

30 −16] 28

Con las siguientes matrices 𝐴=[

2 −4 0 ] 1 2 3

𝐵=[ 𝐶=[

0 −1 2 ] 2 2 3

1 1 1 ] 2 −3 0

1. 2A-3B+C 4 [ 2

−8 0 0 −36 6 1 1 1 ]−[ ]+[ ] 4 6 6 6 9 2 −3 0

1 1 1 4 −5 −6 [ ]+[ ] 2 −3 0 −4 −2 −3 5 −4 −5 [ ] −2 −5 −3 2. 3A + B – 2C 6 [ 3

−12 0 0 −1 2 2 2 2 ]+[ ]−[ ] 6 9 2 2 3 4 −6 0

4 [ 1

−15 0 ] 14 12

3. B-2ª-3C 0 [ 2

−1 2 4 −8 0 3 3 3 ]−[ ]−[ ] 2 3 2 4 6 6 −9 0

−7 4 [ −6 7

−1 ] −3

4. A2+B2+C2 4 [ 1

16 0 0 1 ]+[ 4 9 4 4

4 [ 5

17 4 1 1 ]+[ 8 18 4 9

5 [ 9

18 5 ] 17 18

4 1 1 ]+[ 9 4 9 1 ] 0

1 ] 0