Razonamiento Matematico - Operadores Matematicos

OPERADORES MATEMÁTICOS

1

JOHN E. MAMANI M.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A mi madre, Gabriela Machaca Mamani por el cariño y apoyo de siempre

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo John E. Mamani M.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

OPERADORES MATEMÁTICOS

2

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – OPERADORES MATEMÁTICOS Autor: John E. Mamani Machaca

Derechos Reservados Prohibida la reproducción de esta obra por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del autor Diagramación y Composición John E. Mamani Machaca

PRIMERA EDICIÓN: febrero del 2010 (10 000 Ejemplares) Editorial: “Panamericana” Jr. Atahuallpa 348 - Ayaviri

PEDIDOS Celular: 950755869 e-mail: [email protected]

PUNO - PERÚ

Humanizando al hombre con la educación

JOHN E. MAMANI M.

Humanizando al hombre con la educación

OPERADORES MATEMÁTICOS

3

JOHN E. MAMANI M.

OPERADORES MATEMÁTICOS

4

JOHN E. MAMANI M.

♦ Presentación

El aprendizaje de las matemáticas es sencillo, siempre que usted quiera aprender. Ese querer aprender implica asumir una actitud positiva, eliminar pensamientos como "es muy difícil", "yo soy muy bruto (a)", "yo no soy capaz" etc.

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

El material que ahora tiene en sus manos es para leerlo, pero leerlo no significa unir palabras y luego darlo por terminado. Leer un texto, principalmente matemático, es degustar cada palabra, comprender su significado, apropiarse del concepto (no de la definición). Usted se preguntará: ¿Y cuál es la diferencia entre el significado y el concepto?. La respuesta es simple: usted puede saber de memoria el significado de la diferencia entre conjuntos y recitarlo perfectamente, pero, en el momento de realizar una diferencia entre dos conjuntos dados, no es capaz de plasmar lo que tan perfectamente recita. Cuando se tiene claro un concepto, se puede identificar un modelo fácilmente, es decir, se tiene ya ese concepto como herramienta matemática para comprender y resolver problemas. Nuestro principal propósito es entonces, facilitarle su aprendizaje, conscientes de que el responsable del mismo es el propio estudiante, pero que necesita medios adecuados para lograrlo. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – Operadores Matemáticos, es un material que nace debido a la necesidad de muchos estudiantes, de contar con un material adecuado y escrito en un lenguaje sencillo y ameno.

♦ Generalidades……………………………………………… Pág. 5

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

♦ Operadores Simples y Compuestos……………..…………Pág. 5 ♦ Tabla de Doble Entrada…………………………………….Pág. 8

♦ Problemas Resueltos………………………………...………Pág. 11

♦ Problemas Propuestos I……………………………………..Pág. 30

♦ Problemas Propuestos II…………………………………….Pág. 35

♦ Problemas Propuestos III……………………………………Pág. 37

♦ Problemas Propuestos XJOHNSX I..…………………...….Pág. 39 ♦ Problemas Propuestos XJOHNSX II……………………….Pág. 42

Finalmente mi agradecimiento a todos aquellos que me apoyaron en la realización de este trabajo. John E. Mamani Machaca [email protected]

Humanizando al hombre con la educación

Humanizando al hombre con la educación

5

OPERADORES MATEMÁTICOS

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

B. OPERADORES SIMPLES Y COMPUESTOS COMPUESTOS

A. GENERALIDADES El objetivo fundamental de los operadores matemáticos es desarrollar la capacidad de interpretación frente a relaciones nuevas a las que no está familiarizado.

De acuerdo a la estructura que se presentan en los ejercicios, hablaremos de operadores simples y compuestos.

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Operador Matemático

Operador matemático es un símbolo gráfico cuya elección no está restringida y que permite establecer una determinada operación o conjunto de operaciones de acuerdo a la regla de correspondencia dada. Algunos de los símbolos gráficos que usaremos para representar operadores será: Puede ser:

Ejemplo 01

Si " # " es un operador tal que: a # b = 2a − b Hallar: 3 # 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución

∑

;

; π ; lim ; .. .

Identificando los elementos a # b = 2a − b

3 # 4 = 2(3) − 4 = 2

; %; ∆ ; f ( x ); ...

Ejemplo de operación arbitraria

m ⊗ n = mn + 6m + 5n

operador matemático

Regla de definición

Calcular: 3 ⊗ 2 m ⊗ n = m n + 6m + 5n

3 ⊗ 2 = 3 2 + 6(3) + 5(2) = 37

Humanizando al hombre con la educación

Ejemplo 02

Si se cumple: ⊗ n = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2n y ⊗ (⊗ n) = 4 2 0 Hallar " n " . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución

Ejemplo 03

Si " ∆ " es un operador tal que: a∆b = a2 − a − 1 Calcular: S = 3 ∆ ( 3 ∆ ( 3 ∆ ( 3 ∆ ⋯ ) ) ) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Resolución

S = 3 ∆ (3 ∆ (3 ∆ (3 ∆ ⋯ ))) S = 3∆S

a b Luego: S = 3 ∆ S = 3 2 − 3 − 1 ∴ S = 5

C la v e : e

3 = 2 ( 3 ) = 6 ( 3 e s im p a r ) 2 = ( 2 − 1) 2 = 1 ( 2 e s p a r ) Remplazando en ( * )

L =

3i2 − 2

= (6 )(1) − (1)

L = 5 = 2(5) = 1 0 L = 5 = 2(5) = 1 0 C la v e : a

Operadores Compuestos

Las diversas formas de combinación de dos o más operadores simples se denominan operadores compuestos. Así por ejemplo:

Ejemplo 05

Definidas las operaciones: 2x − y x + y x# y = ; x% y = 2 2 ( 4 # 6 ) % (6 # 2 ) ] [ Calcular: R = [( 2 % 3 ) # (1 % 5 ) ] a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Resolución

R =

[( 4 # 6 ) % (6 # 2 ) ] .. ..... ..( * ) [( 2 % 3 ) # (1 % 5 ) ]

2(4 ) − 6 = 1 2 2 (6 ) − 2 6# 2 = = 5 2 2 + 3 5 2% 3 = = 2 2 1+ 5 6 1% 5 = = = 3 2 2 4#6 =

Ejemplo 04

Definido el operador "

"

mediante:

 ( n − 1) 2 ; " n " e s p a r n =  ; " n " e s im p a r  2 n Determinar: L = a) 10 d) 40

⊗ n = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 2n ⊗ n = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + n )

JOHN E. MAMANI M.

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

C la v e : c

• Arbitrarios

∗; #; ⊗ ;

⊗ (⊗ n) = ⊗ 2 0 (⊗ n ) = 2 0 n ( n + 1) = 2 0 4 ( 4 + 1) = 2 0 n = 4 C la v e : d

Cuando en una operación o conjunto de operaciones interviene un solo operador, se le denomina operador simple.

• Conocidos:

+ ; − ; ×; ÷; ();

 n ( n + 1)  ⊗n = 2   2   ⊗ n = n ( n + 1) Entonces hallemos " n " ⊗ (⊗ n) = 4 2 0 ⊗ ( ⊗ n ) = 4 2 0 = 2 0 (2 0 + 1) = ⊗ 2 0

Operadores Simples

Veamos los siguientes ejemplos:

6

OPERADORES MATEMÁTICOS

3 i 2 − 2

b) 20 e) 50

c) 30

Resolución L =

3 i 2 − 2 .... .... .( * )

Humanizando al hombre con la educación

Remplazando en ( * )

R =

[( 4 # 6 )% (6 # 2 ) ] [(2 % 3 ) # (1 % 5 ) ]

=

[1 % 5 ] 5   2 # 3 

7

OPERADORES MATEMÁTICOS

R =

[1 % 5 ]

3 = 3  5  − 3 2    2  2 C la v e : e

=

5   2 # 3 

JOHN E. MAMANI M. En el conjunto de los números enteros se definen:

x

Si se cumplen:

= 0

b

= n − 2

n

x + 2 c) -3

= 0

n

a) 1 y 2 d) 4 y 1

b) 2 y 3 e) 5 y 8

c) 3 y 1

Entonces los operadores simplifican, se tiene: b = −1

b 2 + 2b = −1

Resolución

Hallemos

b 2 + 2b + 1 = 0 ( b + 1)

; desarrollando primero el

n

n

C la v e : a

= n − 2 = (n − 2) − 1.......(*)

Ejemplo 08

Si se verifican:

x −1

= 0 .......(* * )

x + 2

Por lo tanto: ( * ) = ( * * )

(n − 2 ) 2 − 1 = 0

n − 2 = n = 3

Calcular: a) 11 d) 14

(n − 2 ) 2 = 1

n − 2 = 1

= 0

= n − 2

2

n

2

b + 1 = 0 ⇒ b = −1

operador circulo y luego triangulo; así:

n

círculos

= 9 x;

= 3x

3

b) 12 e) 15

∧ ∧

n − 2 = −1 n = 1

Resolución Primeramente cambiemos de variable
x −1 = n ⇒ x = n + 1

C la v e : c

x −1

Humanizando al hombre con la educación

= 9x

b

c

d

a

c

d

a

b

d

a

b

c

a

b

c

d

b

c

d

a

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo Ejemplo 09

m = 3( m − 2)

se

Cuerpo de la tabla (son los resultados)

Elementos que han participado en la operación.

Hallemos el operador rectangulo:

Dada:

= 3( n − 2 ).......(∗ ∗ ∗ )

n

Por lo tanto igualemos ( ∗ ) = ( ∗ ∗ ∗ )

9 ( n + 1) = 3( n − 2 ) n = 3n + 5

Como

ya

tenemos

los

operadores

*

1

2

3

4

1

2

4

1

3

2

4

1

3

2

3

1

3

2

4

4

3

2

4

1

Calcular: 3 * 2 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

c) 3

rectangulo y triángulo, entonces hallemos

Resolución

lo que nos pide:

3

2º elemento

⇒ 3 = 3(3 − 2) = 3

3

= 3

3 = 3( 3) + 5 = 1 4 3

* 1 2 1º elemento 3 4

1 2 4 1 3

2 4 1 3 2

3 1 3 2 4

4 3 2 4 1

Luego: ∴ 3 * 2 = 3

= 14

C la v e : c

C la v e : d

c) 13

1 = ±1

a

d

m = 3( m − 2 ).......(∗ ∗ )

= 0 = ( − 1) 3 + 1 = − 1

b

= 3x

Fila de entrada

* Columna b de entrada c

b + 5

Resolución

Hallar los valores de " n " (en los reales), sabiendo que:

= 9 (n + 1 ) . . . . . . . (∗ )

n


x + 2 = m ⇒ x = m − 2

x = x2 + 2x

= x 3 + 1;

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo n = n 2 − 1;

JOHN E. MAMANI M. OPERADOR

Ejemplo 07

Calcular el valor de: a) -1 b) -2 d) -4 e) -5

Ejemplo 06

8

OPERADORES MATEMÁTICOS

PROPIEDADES C. TABLA DE DOBLE ENTRADA En lugar de una fórmula para hallar resultados, la operación binaria puede presentar estos resultados en una tabla, que se consulta siguiendo pautas establecidas.

I. CLAUSURA O CERRADA ∀a∧b∈A
aΨb∈A En tablas: Veamos los ejemplos: En: A = {1, 2, 3, 4}

Humanizando al hombre con la educación

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M. ∴ La operación (ψ) es conmutativa.

Se define: Están todos los elementos de “A” Ψ

1

2

3

4

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

9

Si: Mantienen el mismo orden

# a b c

a c b c

b a c a

4

4

Calcular: a-1, b-1, c-1 a-1 = Elemento inverso de “a”

c b a b

No seda simetría por que los elementos son diferentes.

∴ La operación (#) no es conmutativa.

4

III. ELEMENTO NEUTRO ( e )

Aquí están todos los resultados y todos ellos pertenecen al conjunto A.

∴ La operación “ψ” es cerrada en A. En M = {a, b, c, d} Se define: Están todos los elementos de “M” * a b c d

a b a b c

b c b c d

c d c d e

∃ e ∈ A / ∀a ∈ A  a
e = e
a = a En tablas (Criterio de intersección) Veamos:

Mantén el mismo orden
a

d e d a a

b

c

d

∴La operación (*) no es cerrada en M.

∴

IV.

a

d

a

b

c

b

a

b

c

d

c

b

c

d

a

d

c

d

a

Filas iguales

b

e=b

-1

ELEMENTO INVERSO (a ( )

∀a∧b∈A
aψ b=b ψa

En caso de tablas: Dada:

 

a-1= Elemento inverso de a  a −1 ≠

1  a

En tablas:

Ejemplo 10 Mantén el mismo ψ m n orden

m n p q

p q m n

q n n p

p m n p q

q n p q m

Se observa una distribución Simétrica

Humanizando al hombre con la educación

8@ x = 1 x = 4 C la v e : c

1. Hallemos “e” Ψ a a b b c c a

b c a b

Ejemplo 12

c a b c

e=c

De acuerdo a la operación mostrada en la siguiente tabla definida en: A = {a, b, c} Ψ a b c a b c a b c a b c a b c

Si: p ∗ q =

p + q 1 + pq

¿Cuál es el elemento operación? a) p b) q d) 0 e) no tiene

neutro

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Por definición de inversos a Ψ a-1 = c b Ψ b-1 = c c Ψ c-1 = c De la tabla aΨb=c a-1 = b bΨa=c b-1 = a cΨc=c c-1 = c

Por teoría:

Calcule “x” según la tabla: @ 1 2

1 4 8

2 8 9

4 2 8

8 2 4

9 9 2

4 8

2 9

8 4

4 1

9 2

1 8

9

1

9

2

8

4

c) 1

a ∗e = a a + e = a 1 + ae a + e = a + a2e 2 e (1 − a ) = 0   n o s ie m p r e e s c e ro

e = 0 ∴ El elemento neutro es 0. C la v e : d

Resolución

De la tabla: (8 @ 9 ) @ (8 @ 8 ) = (8 @ x )( x @ 9 ) (9 @ 9 )

8@ 2 = (8 @ x )( x @ 9 ) 4 4 = (8 @ x )( x @ 9 ) 4 1 = ( 8 @ x ) ( x @ 9) 1

de

Resolución

(8 @ 9 ) @ (8 @ 8 ) = (8 @ x )( x @ 9 ) (9 @ 9 ) a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 9

∃e ∈ A, ∀a ∈ A, ∃ a-1 ∈ A a ψ a-1 = a-1 ψ a = e

e = Elemento neutro

II. CONMUTATIVIDAD

⇒

Ejemplo 11

Columnas iguales

Este resultado no pertenece al conjunto “M”

JOHN E. MAMANI M.

Resolución

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo 4

10

OPERADORES MATEMÁTICOS

1

Humanizando al hombre con la educación

la

11

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

12

OPERADORES MATEMÁTICOS

a) 30 d) 33

problema 05 Si: A = 2 A 2 − 5

problema 01 Si:

x

= 64 x + 105, calcular: 8

a) 35 d) 38

b) 36 e) 39

A=

a) 1210 d) 1021

La alternativa correcta es: a) 4225 b) 625 d) 400 e) 100

ñ

Resolución

= 64 x + 105

= Q EQ EQ ñ + R F + R F + R

Hallemos “A”

A=

∴ x = 4x + 5

⇒ 8 = 4(8) + 5 = 37

1)

CLAVE C

Si: x ∗ y = x − y + 2(y ∗ x ), hallar: 12 ∗ 3 a) 5 b) 3 c) 2 d) 8 e) 7

2)

A 2 = 422 5

Resolución

x ∗ y = x − y + 2(y ∗ x ).......(1) Hallamos (y ∗ x ), invirtiendo términos en el dato: y ∗ x = y − x + 2( x ∗ y).......(2) Remplazando la ecuación (2) en (1) x ∗ y = x − y + 2(y ∗ x ) x ∗ y = x − y + 2(y − x + 2( x ∗ y)) x ∗ y = x − y + 2 y − 2 x + 4( x ∗ y) 3( x ∗ y) = x − y x−y x∗y = 3 12 − 3 ∴ 12 ∗ 3 = =3 3

CLAVE B

problema 03 Si:

â = = Pâ − N=X

CLAVE A

problema 04

Si: a # b = 2a − b, hallar: E = a) 5 d) 8

b) 3 e) 7

Calcular A 2 de:

Humanizando al hombre con la educación

∴E =7

x 4 = 3x 3 −2 x2

x 4 = 3(9) − 2(5) = 17

problema 06 Si se sabe que:

5 2 a) 12/13 d) 2/13

Hallar:

x 5 = 3(17) − 2(9) = 33

3 x −1 =2 8 4 2 b) 13/12 e) 0

5 2

CLAVE D

problema 08

c) 13/2

x = x( x − 6)

= x 2 − 10, hallar

x

a) 14 d) 12

−1 2

3 x =2 8 4

Se define en ℝ +

Además:

b) 17 e) 10

(5)(8) − (3)(2) = 2 [( x)(2) − (−1)(4)]

5 2

c) 13

Resolución

34 = 4 x + 8 13 ∴x = 2

x = x( x − 6).......(1) = x 2 − 10.......(2)

x

CLAVE C Hallemos con la regla (1) lo siguiente

problema 07 Dado

x0 =2

y

x 1 = 3;

= x

x

donde:

x N + 1 = 3 x N − 2 x N − 1 , donde (n ≥ 0)

CLAVE E

4) Cuando N = 4 x 5 = 3x 4 −2 x 3

a b = ad − bc c d

Resolución

Resolución

m = 2m + 1

3) Cuando N = 3

CLAVE B

(4 # 3)#(2 #1) 1#(2 # 3) c) 2

⇒ 4 # 3 = 2(4) − 3 = 5 ⇒ 2 #1 = 2(2) − 1 = 3 ⇒ 2 # 3 = 2(2) − 3 = 1 Remplazando el dato inicial (4 # 3)#(2 #1) 5 # 3 2(5) − 3 E= = = =7 1#(2 # 3) 1#1 2(1) − 1

x 3 = 3(5) − 2(3) = 9

V = 13 + 3(2(13)2 − 5) = 1012

11

A = 32 = 2(32) + 1 = 65

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo 2) Cuando N = 2 x 3 = 3x 2 −2 x1

V = 3 + 3 13

5 = 2(5) + 1 = 11

11 = 3(11) − 1 = 32

x 2 = 3(3) − 2(2) = 5

2 = 2(2)2 − 5 = 3

V = 2 +3 3

5

A=

problema 02

1) Cuando N = 1 x 2 = 3x1 −2x0

3 = 2(3)2 − 5 = 13 Remplazando en el dato inicial 2)

x N +1 = 3 x N − 2 x N −1

c) 2101

Resolución

1)

c) 32

Resolución

b) 1012 e) 2011

c) 36

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo x

b) 31 e) 34

Hallar: V = 2 + 3 3

5

c) 37

Resolución

JOHN E. MAMANI M.

(

La ecuación (3) = (2)

hallar: x 5

Humanizando al hombre con la educación

x

(

)

− 6 ...........(3)

x

)

x − 6 = x 2 − 10

x

13

OPERADORES MATEMÁTICOS

x Remplacemos

5 2

2

2

JOHN E. MAMANI M.

− 6 x = x 2 − 10

(x = 5 2)

x = 5(5 x + 6) + 6

(

−6 5 2 2

5 2

= 5 2

−6 5 2

)

2

− 10

x = 5x + 6 Por lo tanto ahora hallemos lo que nos pide

− 40 = 0

Factorizando por el método del aspa simple

1 = 5(1) + 6 = 11

a)

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

2

−6 5 2

− 40 = 0

3 = 4(3) − 3 = 9 Remplazando en “E” E=

− 10 − 10 5 2

5 2 5 2

4

4

−

1

E = 11

5 2

−

2

(

− 10

5 2

5 2

)(

− 10 = 0 ⇒

5 2

5 2

)

+ 40 = 0 = 10

problema 09

Si: x = 16 x − 15 Además:

a) -14 d) -12

x∗y = 5

x = 25 x + 36

Hallar: E =

1

−

b) -17 e) -10

=

( ) 5

5

5

2 5

5

x ∗ y = x iy ...........(2) Igualando las ecuaciones (1) y (2) y

c) -13

5

x

5

5 i 5 = x iy Por comparación de términos se tiene x= 5 ⇒ y= 5

x = 16 x − 15 x = 4(4 x − 3) − 3 x = 4x − 3

Humanizando al hombre con la educación

∴

x 2 + y2 =

y

2

+

5

2

2

problema 14

Si: x = 3 x − 13; si, x ≥ 3

= 10

CLAVE D

El valor de: P = 2 − 3

a) 20 d) 15

b) 7/5 e) 3/4

c) 4/3

b) 19 e) 16

x + 1  5 

2( x + 1)  x − 1  =  −4 3  

x + 2 1 

c) -4

Resolución

Hallemos 2 como (2 < 3)

⇒ 2 = 13 − 3(2) = 7

Hallemos 3 como (3 ≥ 3)

⇒ 3 = 3(3) − 13 = −4 Los datos obtenidos remplacemos en:

Resolución

P = 2 − 3 = 7 − (−4) = 11

Hallemos 11 como (11 ≥ 3)

P = 11 = 3(11) − 3 = 20

( x + 1)5 − 2( x + 1)3 = ( x − 1)(−4) − 1( x + 2)

5 x + 5 − 6 x − 6 = −4 x + 4 − x − 2 x = 3/4

x

( ) ( ) 5

=k

x = 13 − 3 x ; si, x < 3

a b   = ac − bd, halle " x " en: c d   x + 1 2( x + 1)  x − 1 x + 2   5  =  −4 3 1    

a) 1/2 d) 5/7

x ∗ y = 5 i 5 .......(1) Por definición calculemos x ∗ y

3

Resolución 1)

c) 13

Resolución

5

2

problema 12 Si: 

5

Descompongamos lo siguiente: x ∗ y = 5

⇒

CLAVE A

Se define: a ∗ b = a b ib a

CLAVE E

log m k

S = 5 2 = 25

x=0

CLAVE E

Calcular ( x 2 + y 2 ), si: x ∗ y = 5 a) 14 b) 17 d) 10 e) 11

S = 3log 3 5

m

CLAVE D

x + 2 2x + 3 = x − 2 2x − 3

2x + 4 x − 3 x − 6 = 2x + 3 x − 4 x − 6

9

problema 10

∴⇒

5∆ 3 = log 3 5 2 Remplazamos en: S = 3(5 ∆ 3)

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

x # 2 = 2x # 3

3

5 2

Por definición hallemos 5∆ 3

Resolución

E = [ 4(11) − 3] − [ 5(9) + 6 ] = −10

6

Resolución

Sea la operación # definida en los números reales como: a+b a#b = a−b Halle el valor de " x "; si x # 2 = 2 x # 3 a) 0 b) 7 c) 14 d) 1 e) -1

b)

5 2

JOHN E. MAMANI M.

problema 11

x = 25 x + 36

2)

14

OPERADORES MATEMÁTICOS

CLAVE A

problema 15 Sea:

4

CLAVE E a

problema 13 Se define a∆b = log b a 2 , hallar: S = 3(5 ∆ 3) a) 20 b) 27 c) 14 d) 25 e) 41

b

c

a) 154 d) 160

Humanizando al hombre con la educación

4

1

3

1

2

= a 2 − bc, Calcular: 2 b) 190 e) 165

1

c) 145

3

15

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

Resolución

14

Hallemos los tres operadores triángulos pequeños que están dentro del operador triangulo grande.

4 1

= 42 − (1)(4) = 12

4 2

2

3

3

8

24 18 + = 9 + 6 = 15 4 2

Si:

= 22 − (2)(1) = 2

= 2a + 3b,

a b

a

= 1 − (3)(3) = −8

4

=

3

1

12

2

2

3

−8

−8

−

3 2

x

Se define:

a

b

x

=

c

27

3x

14

Entonces, hallar:

36

−

27

3x

2 x + 108

b) 19 e) 16

c) 14

14

10 8

=

14 + 10 10 + 8 + 14 − 10 10 − 8

Humanizando al hombre con la educación

3

4

= 32 − (2)(4) = 1

Ahora remplacemos en: c) -13

1

2

3

2

2

7

problema 19

c

= b 2 − ac,

P ( x + 1) = x 2 + 3 x + 2

x +1 = m ⇒ x = m−1

1

2

−(54 + 9 x) = 3

3

a) 44 d) 42

Entonces se tiene:

3

P (m) = (m − 1)2 + 3(m − 1) + 2

2

1

2

3

4

b) 47 e) 45

P (m) = m2 + m

c) 48

Hallemos " y "

Resolución Se tiene3 2

1 2

1

Cambiemos de variable

=3

CLAVE D

= 72 − (1)(1) = 48

Resolución

a

Calcular:

∴ x = 89

1

además Si: P ( x + 1) = x 2 + 3 x + 2; P ( P (y)) = 42, hallar el valor de " y " a) 4 b) 7 c) 8 d) 2 e) 5

Si se cumple:

3(2 x + 108) − 54 − 9 x = 3

4

problema 20

3

b

3

7

CLAVE C

CLAVE E

=3

1

=

1

 4 − 2(40) +  3 − 2(13) = −15     =3

3

1

2 3 − 2(1) = 6

3

6 x + 324 − 54 − 9 x = 3

Resolución

-1

= 32 − (1)(2) = 7

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

10

8

-3

∴ a
b = a 3 − 2b Luego: ( 4
40 ) + ( 3
13 )

a+b b+c + a−b b−c

x

a) 15 d) 10

−

12

1

2

13 − 2(1) = −1

CLAVE D

problema 16

6

Entrando la regla de formación

c) 90

9

1

4

2 − 2(2) = 4

Operando con las definiciones dadas

x

2

2

2

13 − 2(2) = −3

Resolución

= 122 − (2)(−8) = 160




3

Resolución

3

12

1

2

=3

x

9

Entonces el valor de " x " sería a) 100 b) 91 d) 89 e) 88

4

1

−

3 2

x

2

1

Calcule: ( 4
40 ) + ( 3
13 ) a) -14 b) -17 d) -12 e) -15

= 3a y

JOHN E. MAMANI M.

problema 18 Si:

CLAVE A

problema 17

Ahora remplacemos en:

2

=

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

1 1

10

16

OPERADORES MATEMÁTICOS

3

9

= 22 − (1)(3) = 1

Humanizando al hombre con la educación

P ( P (y)) = 42 = 6 2 + 6 = P (6) P (y) = 6 = 2 2 + 2 = P (2) ∴ y=2

CLAVE D

17

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

Ahora remplacemos en M 1 2 6 M =  ∆ ∆  3 3 5

problema 21 Si: x 3 + 1 = 14 x , Calcule " n " en:

a) 4 d) 2

b) 7 e) 5

Dado el operador en ℤ +

x = x2 + 2 ;

M =− c) 8

Resolución 3

m−1

m = 14 3 m − 1 Luego:

2n + 1 = 42 = 14 28 − 1 = 28 2n + 1 = 28 = 14 3 9 − 1 = 9 2n + 1 = 9 ∴ n=4

CLAVE A

problema 22

m m − 4n Si: ∆n = 4 mn 1 2 6 Calcule: M =  ∆  ∆  3 3 5 a) 4/3 b) 7/2 d) 3/2 e) 5/4

problema 23

En el conjunto ℝ, se define el operador @ por la regla: 2ab a@b = 3 Calcule: 4 −1 sabiendo que: a −1 es el elemento inverso de a. a) 9/13 b) 16/4 c) 4/16 d) 9/16 e) 16/9

Resolución

a@b =

c) 8/3

2ab .......(∗) 3

Sabemos:

Resolución

Cambiemos de variable. m m − 4n ∆n = 4 mn ⇒ m = 4k Remplazando en lo anterior. k−n k ∆n = kn 1 2 1 − − 1 2 3 3 3 ∆ = = 3 =− 2 3 3 1×2 2 3 3 9 1 2 3 ∆ =− 3 3 2

a@e = a

a @ a −1 = e

Remplacemos en (∗)

Humanizando al hombre con la educación

I)

2ae 3 =a⇒e= 3 2

II)

2aa −1 2aa −1 3 9 =e⇒ = ⇒ a −1 = 3 3 2 4a

4 −1 =

9 9 = 4 × 4 16

999 Operadores

a) 4 d) 3

c) 8

Resolución Primeramente cambiemos de variable m+3 5x − 3 = m ⇒ x = 5 Remplazando en el dato anterior

m+ 3  m+ 3   m+ 3  + 7 + 2  + 7 +2 5  5   5  Ahora hallemos lo que nos pide Primero hallemos f (7) f ( m) =

....

b) 7 e) 5

c) 8

Resolución

2 + 7 + 2(2) + 7(2) + 2

f (7) =

9 + 4 + 16 = 3

f ( f (7) + 4 ) = f (3 + 4) = f (7) = 3

= 4 x + 2.........(1)

x

f (7) =

Remplacemos en f ( f (7) + 4 )

= x 2 + 2........(∗)

Utilizando x

Supongamos que: en (∗)

x= x

= x

x

2

CLAVE D

y remplacemos

Si: x = x( x + 1) − x( x − 1)

+ 2.........(2)

(1) = (2)

4x + 2 = x

problema 26

2

Calcule: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 a) 10100 b) 20200 c) 11000 d) 22000 e) 0

+2

Resolución

Del dato inicial se tiene

x =2 x

x = x( x + 1) − x( x − 1)

Ahora calculemos lo que nos pide

x = x2 + x − x2 + x

4 =2 4 =4

Como nos pide de 999 operadores, viendo el resultado anterior que siempre la respuesta es 4

x = 2x Entonces desarrollemos “S”

∴ Rta = 4

Si. f (5 x − 3) =

Halle: f ( f (7) + 4 )

S = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100 S = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + ⋯ + 2(100)

CLAVE A

problema 25 CLAVE D

b) 7 e) 5

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo 4

CLAVE D

3

= 4x + 2

x

Calcule el valor de:

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Cambiemos de variable: x3 + 1 = m ⇒ x =

JOHN E. MAMANI M.

a) 4 d) 3

problema 24

3 6 ∆ 2 5 3 6 27 − − − 27 2 5 10 M = = = 3 6 18 18 − × − 2 5 10 3 M = 2

2n + 1 = 42

18

OPERADORES MATEMÁTICOS

x + 7 + 2x + 7 x + 2

Humanizando al hombre con la educación

S = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 100)  100(101)  S = 2  = 10100 2  

CLAVE A

19

OPERADORES MATEMÁTICOS

a) 1/2 d) 3

problema 27 Sabiendo que:

b) 7 e) 1

M = 1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯ + 9 10 b) 777777 e) 555555

c) 888888

−2

b ∗ a 2 = 2( a ∗ b 2 ) − ba........(2) Remplazando (2) en (1) a ∗ b 2 = 2(2( a ∗ b 2 ) − ba) − ab

2(−2) + 4

3

(

)

4

3∗2 6

M = 16 − 10 6 = 999999

4

CLAVE D

3∗2 6

=

=

( 3) ∗( 2)

2

6

6

6

=

6

CLAVE E

valor de " a " en: a − 9 = 380 b) 17 e) 15

c) 18

problema 30

Se define lo siguiente:

n = n n +1

m = x m −1

Resolución

Empecemos a resolver con el dado siguiente

a = 2a + 4

a − 9 = 380 = 20(20 − 1) = 20 a − 9 = 20

Calcule el valor de:

a − 9 = 20 = 5(5 − 1) = 5 a−9 = 5

⇒

a = 14

a) 2 d) 3

b) 1 e) 0

CLAVE A

problema 29

Resolución ⇒

Se define:

a ∗ b 2 = 2( b ∗ a 2 ) − ab Calculemos el valor de:

4

−2

m = x m −1 m = x(2m + 4) − 1

3∗2 6

Humanizando al hombre con la educación

⇒

n = n n +1

c) 4

= 0( x(2(0) + 4) − 1) + 1 = 1

CLAVE B

CLAVE B

problema 33

Si: a ∗ b = b a ia b

problema 31

Si: aθ b = a(bθ a)2 con aθ b ≠ 0, calcule: 1θ 8 a) 1/4 b) 1 c) 4 d) 3/4 e) 0

=1

problema 28

a) 1 4 d) 1 3

3 2

ax 2 − 8 + 4 ax 2 − 8 + 9ax 2 − 8 = 280 x 2 − 24 14 ax 2 − 24 = 280 x 2 − 24 14 a = 280 ∴ a = 20

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo 0

a ∗ b 2 = 3ab

a ∗ b 2 = ab Hallemos lo que nos pide

M = (16 − 26 ) + (26 − 36 ) + (36 − 46 ) +⋯+(96 −106)

x = x( x − 1); ∀x ∈ ℤ + , hallar el

f ( x) + f (2 x) + f (3 x) = 280 x 2 − 24 ax − 8 + a(2 x)2 − 8 + a(3x)2 − 8 = 280 x 2 − 24

Del dato a ∗ b 2 = 2( b ∗ a 2 ) − ab........(1)

M = 1 2 + 2 3 + 3 4 + ⋯ + 9 10

Se define:

Resolución 2

a ∗ b 2 = 4( a ∗ b 2 ) − 2ba − ab

M = (16 − 26 ) + (26 − 36 ) + (36 − 46 ) + ⋯+ (96 − 106 )

JOHN E. MAMANI M.

n = n( x(2n + 4) − 1) + 1

Resolución

Resolvamos “M”

∴

c) -1

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo Resolución

20

OPERADORES MATEMÁTICOS

Ahora hallemos lo que nos pide

m n = m6 − n6 , calcule el

valor de: a) 444444 d) 999999

JOHN E. MAMANI M.

Hallar ( x 4 + y 4 ), en: x ∗ y = 2 a) 14 b) 7 d) 1 e) -1

2

c) 8

Resolución

Resolución

Descompongamos lo siguiente: x ∗ y = 2

aθ b = a(bθ a)2 ...............(1)

x∗y = 2

bθ a = b(aθ b)2 ...............(2) Remplazamos (2) en (1) aθ b = a(b(aθ b)2 )2

2

=

( 2)

2

2

2 2

2

x ∗ y = 2 i 2 .......(1) Por definición calculemos x ∗ y

aθ b = ab 2 (aθ b)4 1 = (aθ b)3 ab 2

x ∗ y = x y iy x ...........(2) Igualando las ecuaciones (1) y (2) 2

2

2 i 2 = x y iy x Por comparación de términos se tiene x= 2 ⇒ y= 2

1 aθ b = 3 2 ab Ahora hallemos lo que pide 1 1 1 1θ 8 = 3 =3 = 64 4 1 × 82

∴

x 4 + y4 =

( 2) + ( 2) 4

4

=8

CLAVE C

CLAVE A

problema 32 Se define:

f ( x ) = ax 2 − 8

problema 34 Se define la operación
mediante la tabla Calcular: S = ( 5
1 ) + ( 6
2 )

Hallar " a " si: f ( x) + f (2 x) + f (3 x) = 280 x 2 − 24 a) 21 b) 20 c) 40 d) 41 e) 25

Humanizando al hombre con la educación




2

3

4

2

4

3

2

3

7

5

6

4

10

9

8

21

OPERADORES MATEMÁTICOS a) 30 d) 11

b) 29 e) 32

c) 28

JOHN E. MAMANI M.

Hallar: S = ( 7
2 ) + ( 2
1 ) a) 33 b) 29 d) 12 e) 11

c) 24

∫a

Resolución

2
2 = 3(2) – 2 = 4 3
2 = 3(3) – 2 = 7 4
4 = 3(4) – 4 = 8 ⇒ a
b = 3a – b S=(5
1)+(6
2) S = 3(5) – 1 + 3(6) – 2 = 30

problema 35

Si: (b ∗ a)2 = a(a ∗ b); a ∗ b > 0, hallar: 24 ∗ 3 a) 3 b) 9 c) 8 d) 1 e) 6




1

2

3

4

5

1

2

1

0

2

5

4

3

3

8

7

6

5

4

4

11

10

9

8

7

5

14

13

12

11

10

6

16

15

7

19

18

∫2 f (m) = 13 a) 4 d) 1

Resolución

CLAVE C

(b ∗ a)2 = a(a ∗ b).........(1) (a ∗ b) = b(b ∗ a)

problema 37

a ∗ b = b(b ∗ a)...........(2) Remplazando (2) en (1) (b ∗ a)2 = a( b(b ∗ a))

((b ∗ a) ) = ( a 2 2

b(b ∗ a)

)

Si: x =

a) 3 d) 1

b) 9 e) 2

c) 8

2

(b ∗ a) = a b 3

Resolución

2

b∗a = a b Ahora hallemos lo que pide el problema 24 ∗ 3 =

3

24 ∗ 3 =

3

2+1 = 3 (impar) 2 −1 3+1 2. 2 = = 2 (par) 3−1 2+1 3. 2 = = 3 (impar) 2 −1 3+1 4. 2 = = 2 (par) 3−1 1. 2 =

32 × 24

32 × 8 × 3 =

3

33 × 8 = 6

CLAVE E

problema 36 Se define:


3

4

5

3

6

5

4

4

9

8

7

5

12

11

10

3n + 2 Sea n = 2n 3n +2 ⇒ n = 2n

 3n + 2  3 +2 2n  n =  =n  3n + 2  2   2n  Entonces:  3n + 2  9n + 6 3 +2 +2 2n   ⇒ = n ⇒ 2n =n 3n + 2  3n + 2  2  n  2n  9n + 6 4 n 13n + 6 + 2 2 2n = n n n ⇒ =n⇒ 3n + 2 3n + 2 n n 13n + 6 ⇒ = n ⇒ 13n + 6 = 6n2 + 4n 6n + 4

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo 5

∫2 f (m) = 13

2m = 8

2m + 5 = 13 ⇒ 2m = 2 3 ⇒ m = 3

CLAVE C

problema 39

3

Sea x + 1 = x 2 − 1, calcular S = 3 a) 24 b) 29 c) 27 d) 21 e) 25

⇒ 6n2 − 9m − 6 = 0

⇒ 2n2 − 3m − 2 = 0

⇒ (2n + 1)(n − 2) = 0

Resolución

Hallemos 3

⇒n=−

Si x = 2, se tiene:

2 + 1 = 22 − 1

1 2

Valor entero

n=2

S= 3

3

CLAVE D

3

= 3 = 27

problema 41

Si:

x = 3x + 6

problema 40 Se la operación n =

CLAVE E

∨ n=2

3 =3 Ahora calculemos lo que nos pide

CLAVE C

Como tenemos que hallar 200 operadores y 200 es par por lo tanto la respuesta seria 2

Humanizando al hombre con la educación

c) 3

Resolviendo la integral

2 ⋯ 200 operadores

2

(b ∗ a)4 = a 2 b(b ∗ a) 3

x +1 , calcule el valor de: x −1

b) 9 e) -5

Resolución

S = ( 7
2 ) + ( 2
1 ) = 19 + 5 = 24

2

f ( x) = a x + b 5

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo CLAVE A

Resolución

Si se pide calcular " m ", si:

Completando la tabla

JOHN E. MAMANI M.

problema 38 Se define una operación del siguiente modo: b

Resolución

22

OPERADORES MATEMÁTICOS

3n + 2 , entonces el valor 2n

entero de " n " en n = n; es: a) 4 d) 2

b) 4 e) 5

x +1 Calcule:

c) 27

a) 42 d) 23

Humanizando al hombre con la educación

= 3x − 6

10 b) 31 e) 13

c) 32

23

OPERADORES MATEMÁTICOS

Resolución Cambiemos de variable

x +1

= 3 x − 6..........(1)

x +1 = m ⇒ x = m−1 Remplazando en (1)

JOHN E. MAMANI M.

ahora Supongamos que m = a∗b remplacemos en (1) a ∗ b = ((a ∗ b) − 1)2 + 4..........(3) Igualando (2) y (3) 4 a = ((a ∗ b) − 1)2 + 4

Piden. (3a2 ⊕ 2a2 )

(5 ⊗ 3)

a ∗ b = 4a − 4 + 1 10 ∗ 80 = 4(10) − 4 + 1 = 7

= 3(m − 1) − 6

m

CLAVE B

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo = 3m − 9...........(2)

m

problema 43

Del dato se tiene

x = 3 x + 6..........(3)

Supongamos que x = m ahora remplacemos en la ecuación (3)

m

= 3 m + 6...........(4)

Igualando las ecuaciones (2) y (4) 3m − 9 = 3 m + 6

m = m−5 Ahora hallemos lo que pide el problema

= 3(10) + 6 = 36 = 36 − 5 = 31

CLAVE B

3θ # xθ = 14 1 (3 + x + 5) = 14 2 3 + x + 5 = 28 ⇒ x = 20 Ahora hallemos lo que nos pide xθ # 5θ 1 20θ # 5θ = (20 + 5 + 5) = 15 2

problema 42

CLAVE E

Si: a ∗ b = 4 a ; a ∗ b > 0

problema 44

2

a+1 = a + 4

Calcular: 10 ∗ 80 a) 5 b) 7 d) 11 e) 3

Resolución Cambiemos la variable a + 1 = a2 + 4

a +1 = m ⇒ a = m−1 m = (m − 1)2 + 4........(1) a ∗ b = 4 a.............(2)

Si: a ⊗ b = a 2 − b 2 y a ⊕ b = log 2 (a − b)

c) 9

(3a 2 ⊕ 2a2 )

Hallar: (5 ⊗ 3)

a) a 2 d) a −2

b) a7 e) a

5 ⊗ 3 = 52 − 32 = 2 4 3a2 ⊕ 2a2 = log 2 (3a2 − 2a2 ) = log 2 a2 = 2log 2 a

Humanizando al hombre con la educación

2

⊕ 2a2 )

= 28 log2 a

(5 ⊗ 3)(3a

2

⊕ 2a2 )

= 28 log2 a

(5 ⊗ 3)(3a

2

⊕ 2a2 )

= 2log2 a

(5 ⊗ 3)(3a

2

8

=a

problema 45

f ( x + 1) = x 2 − 1, entonces f (1) − f (0) , es igual a: f (−1) a) -1/5 b) -1/7 d) -1/11 e) -1/3

Si:

m+n 8 m×n m # n = residuo de 8 Nos piden: A = (6 ⊗ 7)#(5 ⊗ 9) Evaluando: 6+7 =5 6 ⊗ 7 = residuo de 8 5+9 =6 5 ⊗ 9 = residuo de 8 Remplazando: 5×6 A = 5 # 6 = residuo de =6 8 m ⊗ n = residuo de

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo ⊕ 2a2 )

el

valor

CLAVE E

c) -1/ 9

problema 47

Si: a ∗ b = ab − a 2 − b 2 , a ∗ (b ∗ (b + 1)) es igual a:

Resolución

Primeramente cambiemos de variable f ( x + 1) = x 2 − 1

entonces

a) − (b 2 + b + 1)(a + b 2 + b + 1) + a 2    b) (b 2 + b + 1)(a + b 2 + b + 1) + a 2

x +1 = m ⇒ x = m−1

c) −(b 2 + b + 1)(a + b 2 + b + 1) + a 2

∴ f (m) = (m − 1)2 − 1

d) (b 2 + b + 1)(a + b 2 + b + 1) − a 2

e) − (b 2 + b + 1)(a + b 2 + b + 1) − a 2   

Ahora hallemos lo que nos pide

2 2 f (1) − f (0) (1 − 1) − 1 − (0 − 1) − 1 = f (−1) (−1 − 1)2 − 1  

f (1) − f (0) −1 − 0 1 = =− f (−1) 3 3

Resolución

Resolviendo: a ∗ (b ∗ (b + 1)) = E

E = a ∗ (b(b + 1) − b 2 − (b + 1)2 ) E = a ∗ (−b 2 − b − 1)

CLAVE E

c) a 8

Resolución

( )

= 2

(5 ⊗ 3)(3a

JOHN E. MAMANI M.

Resolución

4 2 log2 a

CLAVE E

θ

Resolución

3m − 15 = 3 m

10

1 Sabiendo que: a # b = (a + b + 5) 2 Además 3θ # x θ = 14 Halle: xθ # 5θ a) 10 b) 8 c) 20 d) 25 e) 15 θ

24

OPERADORES MATEMÁTICOS

problema 46 Si m ⊗ n = residuo de dividir m + n entre 8 y m # n = residuo de dividir m × n entre 8. Entonces (6 ⊗ 7)#(5 ⊗ 9) es igual a: a) 5 b) 4 c) 9 d) 11 e) 6

E = a(−b 2 − b − 1) − a 2 − (−b 2 − b − 1)2 E = (−b 2 − b − 1)  a − (−b 2 − b − 1) − a 2 E = (−b 2 − b − 1)  a + b 2 + b + 1) − a 2 E = − (b 2 + b + 1)(a + b 2 + b + 1) + a 2 

Humanizando al hombre con la educación

CLAVE A

25

OPERADORES MATEMÁTICOS

Entonces la suma de las raíces de la ecuación (4 ∗ 2) ∗ 12 = x 2 − x es: a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -1

problema 48 Sean las operaciones definidas por #

a

b

c

d

@

a

b

c

d

a

a

b

c

d

a

a

a

a

a

b

b

d

a

c

b

a

b

c

d

c

d

a

d

b

c

a

c

d

b

d

d

c

b

a

d

a

d

b

c

La ecuación es: (4 ∗ 2) ∗ 12 = x 2 − x

⇒ x 2 − x − (4 ∗ 2) ∗ 12 = 0 Por el teorema de CARDAMO

el

valor

de

Resolución

De la 1ra. tabla: b # c = a Del dato: x = b # c, entonces x = a Nos piden: (c # x )@(b # a) = (c # a)@(b)

(c # x )@(b # a) = (c @ b) = c

problema 49

Si f ( x ) = 1 + x , ¿Cuál es el valor de " y ", si sabemos que f ( f ( x ) ) = y + f (1 − x ) ? b) 2x e) 1

Por lo tanto la suma de las raíces de la ecuación dada es: −(−1) ⇒ =1 CLAVE A 1

Si: x − 2 = x( x − 2), determine x − 1

a) x − 1 d) x 4 − 1

b) x 2 − 1 e) x

c) x 3 − 1

Resolución

c) 3x

Primeramente cambiemos de variable x − 2 = x( x − 2)

Resolución

x−2 =m ⇒ x =m+2 m = (m + 2)(m) Ahora hallemos lo que pide

Del enunciado f ( f ( x ) ) = y + f (1 − x )

Se

f (1 + x ) = y + f (1 − x ) 1 + (1 + x ) = y + 1 + (1 − x ) x = y − x ⇒ ∴ y = 2x

CLAVE B

problema 50

E = x −1

ab + a, si a > b a∗b =  ab + b, si a ≤ b

Humanizando al hombre con la educación

el

m = 5m − 18;

Operador

b) 15 e) 115

c) 125

E = ( x − 1 + 2)( x − 1) = ( x + 1)( x − 1)

E = ( x 2 − 1 + 2)( x 2 − 1)

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo 3

2

J = (5 × 3 − 18) − 5 × 2 − 18 J = 117 − 2

a ∗ a −1 = e a + a −1 + 3 = − 3 a −1 = − 6 − a

J = 117 − 2 = 115

CLAVE E

problema 53

Si m = (m + 1)2 , m ∈ ℝ + Hallar " x " en: a)

2 −1

d) 1

x

= 100

b) −1 e)

c)

3

2 −1

2

⇒ 2 − 1 = − 6 − 2 = −8 ⇒ 3 − 1 = − 6 − 3 = −9 Remplacemos en: E = (3 ∗ 2 −1 ) ∗ 3−1 E = (3 ∗ −8) ∗ −9 E = [ 3 + (−8) + 3] ∗ −9 E = −2 ∗ −9 E = −2 + ( −9 ) + 3 = −8

Resolución

Del dato:

c) 3

Resolución

J= 3 + 2

CLAVE A

x x

= 100

problema 55

2

= 100 = (9 + 1) = 9

Se define en ℕ x 2 − 2 = x 2 − 1. Hallar:

Simplificando el operador se tiene

1 + 2 + 4 + 6 ⋯ (25 operadores)

x =9

a) 626 d) 625

x = 9 = (2 + 1) = 2

(

x=

b) 676 e) 577

c) 677

Resolución

)

x = 2 = ( 2 − 1) + 1 =

CLAVE D

Si a −1 es elemento inverso de " a " Halle: E = (3 ∗ 2 −1 ) ∗ 3−1 a) -8 b) -7 d) 8 e) -11

Hallemos el elemento neutro: a∗e = a a+e+3=a e = −3 Hallemos el elemento inverso de a :

x =2

E = x2 − 1

Si: a ∗ b = a + b + 3

Resolución

Evaluando

2

E = ( x 2 + 1)( x 2 − 1) = x 4 − 1

Se define

define

JOHN E. MAMANI M.

problema 54 m

determine el valor de: 3 − 2

ax + bx + c = 0 −b Suma de raíces = a

problema 51

CLAVE C

problema 52

2

c) c

26

OPERADORES MATEMÁTICOS

a) 116 d) 126

Resolución

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Si: x = b # c, determine (c # x )@(b # a) a) a b) b d) d e) -1

a) x d) 4x

JOHN E. MAMANI M.

Primeramente cambiemos de variable

2 −1

x2 − 2 = x2 − 1

x2 − 2 = m ⇒ x = m + 2

2 −1

CLAVE A

Humanizando al hombre con la educación

⇒ m =

(

m+2

)

2

−1

OPERADORES MATEMÁTICOS

27

⇒ m = m+1 Ahora hallemos lo que nos pide 1. 1 = 1 + 1 = 2 2.

1 +2 = 2+2 = 4 = 5

3.

1 + 2 + 4 = 5 + 4 = 9 = 10

JOHN E. MAMANI M.

Remplazando T25 = 1 × 25 2 + 0 × 25 + 1 = 626

CLAVE A

problema 56 Dado:

4.

1 + 2 + 4 + 6 = 10 + 6 = 16 = 17

x

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Así sucesivamente hasta el operador 25: Si lo hacemos en tipo de sucesión

+5

+2 + 2 Entonces tenemos una sucesión cuadrática.

Como:

x

= 8 x + 21

x

= 2(2(2 x + 3) + 3) + 3

T1 ; T2 ; T3 ; T4 ;........

T0 ; T1 ; T2 ; T3 ; T4 ;.......

Luego:

3 =

1 + 2 = 3(1)2 + 1 = 4.........(a)

•

4 =

4 + 2 = 3(4)2 + 1 = 49.......(b)

•

+r

+r

2 = 2(2) + 3

+r

3 = 2(3) + 3 ⋮ ⋮

2

⇒ Tn = an + bn + c

20 = 2(20) + 3

r ; b = P0 − a ; c = T0 2 Tn = Término enésimo

⇒a=

S = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + 20) + 3(20)

 20 × 21  S = 2  + 60 2  

Ahora hallemos el operador 25, en la sucesión seria el termino 25

1 ; 2 ; 5 +1

+3 +2

S = 480

; 10 ; 17 ;.......

+5 +2

⇒ T25 = a × 25 + b × 25 + c 2 =1 2 ⇒ b = 1−1 = 0 ⇒c =1

CLAVE B

+7 +2

2

+

Se define el siguiente operador:

a) 42 d) 121

Humanizando al hombre con la educación

3 + 4 + 5 3 b) 99 e) 11

x 2 + 1 = 2x + 1

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

5 =

9 + 2 = 3(9) + 1 = 244.......(c )

Calcule: E = 5 + 17 + (343∆16) a) 16 d) 65

3 + 4 + 5 3 4 + 49 + 244 E= = 99 3

E=

2x

17 = 4 2 + 1 = 2 4 + 1 = 17

Hallando: (343∆16)

= x + x −1

x −1 = 2 x + 5 − x + 3

Calcular: 12 a) 1

b) 2

d) -2

343∆16 = 7 3 ∆ 4 2 = 4 3 − 7 2 = 64 − 49 = 15

Remplazando en “E”

E = 5 + 17 + (343∆16)

c) 0

E = 5 + 17 + 15 = 37

e) -1

Resolución

E = 37 = 6 2 + 1 = 2 6 + 1 = 65

Nos piden: 12 = 2(6)

CLAVE D

Acomodando: por la definición 2x

problema 60

Si:

2(6) = 6 + 6 − 1

x

= x+4

;

x

x+3

= x −1

= x+8

x −1

6 = 7 −1 = 2 7 + 5 −7 + 3 c) 84

c) 60

Hallando: 17

problema 58 Si:

b) 62 e) 17

Resolución

CLAVE B

Luego: en la definición de

x + 2 = 3x 2 + 1 Calcule:

Si: a 3 ∆b 2 = b 3 − a 2

⇒ 12 = 6 + 5............(I )

problema 57

⇒a=

problema 59

2

Remplazando a, b y c en I

1 = 2(1) + 3

+ P0 + P1 + P2 + P3

CLAVE E

•

SUCESIÓN CUADRÁTICA

Se tiene: x = 2 x + 3

12 = −1

3 + 4 + 5 ⋯⋯⋯⋯⋯ ( I ) 3 Hallemos 3 , 4 y 5

Resolución

+7

12 = 2 12 − 4 + 5

Calculemos lo que nos pide:

2 ; 5 ; 10 ; 17 +3

JOHN E. MAMANI M.

Remplazando (II) en (I)

Resolución

= 8 x + 21

Determinar: S = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 20 a) 420 b) 480 c) 840 d) 400 e) 200

28

OPERADORES MATEMÁTICOS

⇒ 6 =2 12 − 4..............( II )

Halle el valor de: a) 1 d) 4

Humanizando al hombre con la educación

5 b) 2 e) 5

c) 3

29

OPERADORES MATEMÁTICOS

Resolución

Se define en:

= x − 1.............( I )

Cambiando variable

x+3=m x = m−3 = m− 3−1

m

= m−4

E=

5

E=

=9−4 = 5

9

CLAVE E

x

a) 1 d) 4

Hallar " x " en: a) 5.4 d) 7.0

e x + e−x 2

=

e −e 2

x

1

Calcule: x si:

(( x

x

−x

−

8

10

)

)

@5 @8 −1 @1 = 10−1 )

1

10 8 10 1

1 10 1 5

5 1 5 8

5

8

10

−

֏8

x

10

1 10

5

10

10

10

=1 =8

En la ecuación:

(( x

−1

֏ 10

−1

֏ 5 −1

)

= 10 =5

)

@5 @8 −1 @1 = 10−1

@5) @1 = 8 ( x @5 ) @1) @1 = 10 ⇒ (x (  

2

2

−1

֏ 1−1

c) 3

−1

x

 e x + e− x   e x − e−x  E=  −  2 2     E =1

8

5

2

Resolución 2

−1

De la tabla e = 10 @ 8 5 8 10 8 10 1

@ 8 10 1

b) 2 e) 5

E= x

5

Luego:

=

2

5

5

problema 61 x

JOHN E. MAMANI M.

−1

−1

x @5 = 5 ⇒ x

x − 2 = 13 b) 6.5 e) 8.5

−1

= 10 ⇒ x = 10

CLAVE A

Humanizando al hombre con la educación

c) 4.5

a) 100 d) 145

b) 130 e) 142

c) 140

problema 07

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

problema 02

Se define: m + 3 = (m + 1)2 + 6(m + 3) − 3

Si: n = 1 + 3n Hallar " x " en: a) 5 d) 7

Además:

x − 1 = 13 b) 6 e) 0

c) 2

Halle: a) 5 d) 7

problema 03

Hallar " x 2 " en:

x − 1 = 24

a) 5 d) 7

b) 6 e) 8

c) 6

Además:

c) 8

b) 10 e) 9

c) 7

a= n

b) 6 e) 9

c) 7

Si: a = a(a + 1)

a) 5 d) 12

n = 64, si: x ∈ Z +

3m − 8 = 42

b) 9 e) 14

c) 7

problema 10 c) 3

Si: n = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n Calcular " m " en:

problema 06 Si se cumple: x =

= 2;

Calcular m2 en:

Si: x = ( x − 1)2 , Hallar " n " en:

b) 2 e) 5

a

.. x.

problema 09

x − 8 = 210

problema 05

a) 1 d) 4

b) 6 e) 10

Calcule: n + 5 a) 5 d) 8

Se define Z + : n = n3 − n

a) 5 d) 8

x2 + 1

Se define: x 2 = x x

problema 04

Hallar " x " en:

x − 1 = 676

problema 08

Se define: n = n(n + 2) ; n ∈ ℝ +

10

CLAVE B

1 + 2n = 16

Calcular: M = n2 − 1

5

8

2

Además:

Se define: n = 2n + 1

La operación matemática mediante @ 8 10 1 5 8 5 8 10 1 10 8 10 1 5 1 10 1 5 8

Resolución

5+4

E=

Calcule:

A = {1,5,8,10}

donde: a −1 : elemento inverso de a . a) 9 b) 10 c) 7 d) 6 e) 5

Entonces hallemos lo que pide

Si:

problema 01

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo m

30

OPERADORES MATEMÁTICOS

problema 62

Problema totalmente fácil

x+3

JOHN E. MAMANI M.

x2 − 9 , x ≠ −3 x+3

a) 5 d) 7

Humanizando al hombre con la educación

m−1 = 231 2 b) 0 e) 8

c) 5

31

OPERADORES MATEMÁTICOS

problema 11

problema 16

Si: x + 1 = x 2 + 3 x + 2

Además:

Además: m = 42 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Calcular: x 3 − 5

n = 729

Además se tiene:

b) 1 e) 4

c) 2

Calcular " x " si: a) 5 d) 7

c) 4

b) 2 e) 5

x 2 − 6 = 66

Además:

3 x − 4 = 21

Calcular " x " en:

Calcule: 2x

c) 3

a) 15 d) 18

problema 14

b) 16 e) 19

2

Se define: x + 1 = x − 6 x + 9

Halle de " w " en:

Calcular " n " en 3n − 1 = 24 b) 2/7 e) 3

c) 1/4

a) 1 d) 7

2w + 1 = 441

b) 3 e) 10

problema 15 2

x − 16 , ∀ x ≠ −4 x+4

1 − 3n = −14; hallar: n + 1 b) -1 e) 2

Además se cumple que:

a) 2 d) 41

(b ∗ a)2 4

a) 137 d) 132

b) 4 e) 15

c) 3

problema 23

Humanizando al hombre con la educación

c) 135

Si:

b) 3 e) 0

c) 1

m ⊕ n > 0; calcule: 10 ⊕ 12 > 0 b) 3 e) 0

c) 1

problema 29

3 Calcule: E = (7 ∗ 5) + 4 b) 13 e) 19

m⊕ n = m⊕ n

Además: a) 2 d) 41

Si: a ∗ b = 3(b ∗ a) − 5b

c) 15

Si: a ∗ b =

(b ∗ a)−2 , calcular: 3 ∗ 1 (a − b)−1

a) 2 d) 7

b) 0 e) 8

c) 5

problema 24

(b • a)2 Si: a • b = , además a • b > 0 5 Halle: 2 • 3 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

problema 30

Si: a ⊕ b = 4(b ⊕ a) + a − b, calcule: 5 ⊕ 3 a) 5 b) 2/3 c) 2/5 d) 2/7 e) 8

problema 31

Si: (a @ b)(b @ a) =

problema 25 2

a) 2 d) 41

Si: (a • b) = b • a ; a • b > 0 b) 1 e) -2

b @ a , calcule: 3@2

b) 3 e) 0

c) 1

c) 2

problema 32 Se define el operador "⊗ " se cumple

problema 26 b) 325 e) 140

m ∗ (n + 1) = (1 + n) ∗ m

problema 28

2

c) 0

(1+n)∗m

Halle E si m ∗ (n + 1) > 0

2 x + 1 == 16

Calcule: x − 4

Se define:

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Calcule: 3 ∗ 5 a) 2 d) 5

a) 11 d) 17

c) 19

E = 2∗5

a ∗b =

Halle: 3 • 5 a) 0 d) -1

Se define: a = a − 3

c) 3

Se define, en ℝ, la operación:

c) 5

problema 20

b) 2 e) 5

b) 81 e) 80

problema 27

x = 63

problema 22

c) 17

problema 19

( x + 1)( x + 3) Si: x − 1 = 2

a) -2 d) 1

b) 6 e) 8

Si: N = 2 N + 6; N > 0

n(n + 1) n = 2

Se define: x =

x + 2 = 156

problema 18

∀ n Positivo se define:

a) 1 d) 4

Si: b 2 − 3b + 2 = b 2 + 7b + 12; b ∈ Z +

problema 13

Si:

c) 12

problema 17

Si: x = ( x + 1)3 , hallar el valor de " m "

a) 1/3 d) 4/9

b) 11 e) 14

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

problema 12

a) 1 d) 4

Calcular " x " , si:

JOHN E. MAMANI M.

a) 18 d) 91

Si: a = a 2 − 1

x + 2 = 156

a) 10 d) 13

32

OPERADORES MATEMÁTICOS

problema 21

Si: a = a(a + 1)

Hallar " m "

a) 0 d) 3

JOHN E. MAMANI M.

Se define:

m2 ⊙ n = (m2 + n) n ⊙ m2 ; m2 ⊙ n > 0 Calcule: 1 ⊙ 2 + 2 ⊙ 1

a 3 ⊗ 3 b = 3(b 3 ⊗ 3 a ) − 4a Calcule: 8 ⊗ 2 a) 15 d) 13

Humanizando al hombre con la educación

b) 14 e) 18

c) 16

33

OPERADORES MATEMÁTICOS

problema 33

JOHN E. MAMANI M.

Se define:

Se define en ℝ

a ⊕ b = a(b ⊕ a) Calcular: 16 ⊕ 2 a) 5 b) 6 d) 7 e) 8

a ∗ b = 5a ; a ∗ b > 0 c) 9

a +1 = a − 4 Calcule a) 1 d) 4

m∗n =

Halle: M =

n∗m 2m

c) 3

Definimos:

4

x =x

−1

8 ∗8 27 −1 ∗ 27

b) 1/3 e) 3

2 2

x ∗ y = x − 2x y + y

c) 2/3

4

2

b) 36 e) 85

c) 56

2 x + 3 +1 Se define en ℝ x = 2 Además 7 = 5 Calcule 67 a) -1 d) -4

problema 36

Si: a ⊕ b = 3(b ⊕ a) − ab

c) -3

Se define la operación en Z

Calcular: 6 ⊕ 4

c) 6

x = x+5 +2

Además 10 = 10 Calcule 70 a) -15 d) 24

problema 37 Si: x = 4 x − 5

a # b = a 2 ib2

Entonces el valor de

 (1Θ1)Θ( 3Θ1)  N= #4 4Θ 4   b) 6 e) 9

Sabiendo que:

m%n = m2 − 1; si m > n

m%n = n2 − m : si n > m

Simplificar:

b) 22 e) 25

c) 11

Se define:

−b −a (a ) × (− b ) ; Si: a < b a% b =  −a −b (a ) × ( − b ) ; Si: a ≥ b Halle: E = (2% − 2) − (−2%2)

a) -1 d) 2

b) -2 e) 1

c) 0

problema 49

1 a+ a c b≠0 b Si: ∆ = b d c+1 d≠0 d  n − 1   n − 1   n   Calcule: A =   ∆  ∆   n   n   n − 1  

a) 1 d) 4

5%( 4% 17 )

b) 2 e) 52

problema 48

c) 7

problema 45

b) 2 e) 5

c) 3

c) 23

problema 50

Se define:

problema 46

Calcular: E = 2 + −1 + 4 − −6

Humanizando al hombre con la educación

a) 8 d) 7

 a 2 b 3 si : a ≠ b aΘb =   2a + b si : a = b

Además: 3 = 1

Calcular el valor de 7

c) 18

 2m + n  3 ; m ≥ n m∗n =   m + 2n ; n > m  2 Calcular: A = (9 ∗ 9) ∗ (2 ∗ 5)

Defina los siguientes operadores:

Si 2 x − 1 = 2 x + 1 − x + 1

problema 42 c) 11

c) 25

c) 6/7

problema 44

a) 21 d) 24

b) 25 e) 19

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

 2 x + 3; x ≤ 2  Si: x =  x 2 − 2; 2 < x ≤ 3  3 x − 1; x > 3 

Además: a • b = 4(a + b) + 3 Calcular: P = (5 • 6) • 7 a) 55 b) 22 d) 77 e) 88

b) -14 e) 14

a) 55 d) 28

Se define:

2n + 5 n + 1 − 3 4

Es igual a: a) 5 d) 8

JOHN E. MAMANI M.

problema 47

Hallar: E = 5 x 2 + 1 a) 5/6 b) 6/5 d) 7/6 e) 1

problema 41

Además m + 2 = m − 2 b) 0 e) 8

b) -2 e) -5

c) 4

Además: x = 1.5

Calcular: (5m)m(5m) ∗ (4m)m(4m) a) 93829 b) 93892 c) 93289 d) 98329 e) 93820

problema 40

m ∗ n = (m + n) n ∗ m ; m ∗ n > 0 Calcular: M = (2 ∗ 4)

a) 5 d) 7

b) 2 e) 5

problema 39

problema 35

a) 55 d) 76

Si: n =

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Se define la operación ∗ en ℝ de la siguiente manera:

Se define:

12 ∗ 8

b) 6 e) 8

problema 43

2

problema 34

a) 2/7 d) 3/2

a) 5 d) 7

problema 38

34

OPERADORES MATEMÁTICOS

(a ∗ b ∗ c)2 − 4abc(a ∗ b ∗ c) + 4a 2b 2 c 2 = 0 Calcule: (m + n) ∗ (m − n) ∗ (m2 − n2 )−1 a) 6 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2

Humanizando al hombre con la educación

35

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

36

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

x ∗ ((…(((2 ∗ 2) ∗ 2)…) = 2 ∗ 2 + 2 ∗ (2 ∗ 2)

problema 12 Calcular: ψ = 32 ∗ 16

problema 01 Si: m ⊗ n = m2 + 3n + 1 Calcule: I = (2 ⊗ 1) + (2 ⊗ 3) a) 20 b) 21 d) 23 e) 24

a) 6 d) 8 c) 22

problema 07 Calcular el valor de " x " para que cumpla la igualdad:

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Si: a%b = a + ab + b

(2 x − 2)%(4 x + 2) = 9%( x − 10)

a∆b = a 2 + ab − b 2 Calcular: I = (2%4)%(3∆ 2) b) 168 e) 179

a) -1 d) -2

b) 1 e) 3

problema 08

a

c) 250

Si: a # b = a 2 + 2b

c) 0

problema 09

Si: a # b = 7a − 13b Calcular: E = (4 # 2)#(2 #1) a) 1 b) 3 d) 0 e) 4

problema 04

 6#3   #18  2# 5 

Hallar: P = 

b) 30 e) 61

a

Se define: a ∗ b = ab − 2b Calcular: k = (1 ∗ 2) + (2 ∗ 1) a) 3 b) 6 d) -6 e) -3

Sabiendo que: a ∆b = a 2 + 2b Además: (mΘn) = (m∆n) + 1 Calcular: M = 7Θ(5Θ(4 Θ 3)) a) 70 b) 194 d) 36 e) 195

c) 2

c) 153

problema 03

a) 25 d) 45

c) 3

Si: p%q = 2 p + 5q

problema 02

a) 124 d) 160

b) 9 e) 4

c) 2

problema 10

c) 36

2

Si: f ( x) = x − 3 x + 1

Hallar: ® = f (4) − f (3) − f (1) a) 5 b) 6 d) -1 e) 0

problema 05

c) 1

Si: xφ y = x 2 − y Hallar: ω =

(5φ 4) + (2φ 1) 3φ 1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

n+1

∗ mn =

c) 3

m+n m

Humanizando al hombre con la educación

2

a) 1 d) 11

b) 3 e) 8

Si: c) 6

c) 3

a ∗b = a − b m m∆n = + 1 n 5 6

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo Halle " x " en: (4 ∗ 5)∆x =

 a 2b + 35b  −1  b , a ≠ 0; 4a   Halle: M = 5# {5#(5#......)}

a) 1 d) 11

Si: a # b = 

a) 1 d) 6

b) 2 e) 1

problema 18

problema 13

b) 2 e) 12

c) 6

Sabiendo que

9 ⊗ 12 = 24

13 ⊗ 15 = 31

17 ⊗ 12 = 32

2

Si: f ( x + 3) = x − 1

f (a + 2) − f (2) Halle el valor de: A = ; a≠2 a−2 a) a b) a 2 c) a 3 + 1 d) a + 1 e) −a

3

problema 20

Calcular: 2 ∗ 3 a) 593 d) 512

Halle: E = P(1) + P(2) − P(3)

x ∗ y = x 3 + y2

b) 81 e) 18

c) 13

a) 11 d) 2

b) 4 e) 5

c) 7

problema 21

x 2 − xy − 1; x ≠ y ; xy ≠ 0 x−y Calcule: 8 ⊗ (8 ⊗ (8 ⊗ (8 ⊗ ....)))

problema 16

Si: x ⊗ y =

2

Si: m ∗ n = (2n) − 3m

4 ∗ 4 ∗ 4 ∗… ∞ b) 2 e) 1

c) 3

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

problema 22 b) 3 2

c) 2 2

problema 17

e) − 2 Definimos:

b+2 a ∗b = a

Hallar " x " en:

2

Halle " m " en: (5 ⊗ 2) ⊗ (12 ⊗ m) = m ⊗ m a) 12 b) 3 c) 8 d) 24 e) 5

Si: P( P( P( x ) )) = 125 x + 124;

problema 15 Si se sabe que:

b) 3 e) 8

problema 19

c) 3

problema 14

a) 4 d) 5

Hallar: f ( 2) a) 5 2

m +1 Si: a ∗ b = a − b y m∆n = n 5 Halle " x " en: (4 ∗ 5)∆x = 6

Hallar: E =

2

Se define: f ( x) = x + 5 x − 2

d)

problema 06 Si: m

problema 11

a) 4 d) 5

Se define: a∇b = a

b −1

; halle " x ", si:

x∇x = 2∇ 3 a) 1 d) 4

Humanizando al hombre con la educación

b) 2 e) 5

c) 3

37

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

38

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

problema 08 problema 01

1 1 Si: x + 2 = − , donde " x " es un x+2 x+3 entero, x ≠ −2, x ≠ 3; entonces el valor de:

4a 2 + a) 9 d) 15

1 + 2 + 3 + ⋯ + 200 , es: a) 200/201 d) 201/200

b) 2/7 e) 1

75 = 6555; a

Si:

b = 105

b) 11 e) 18

a) 1 d) -2

x

= x3 + 1

x

= x ( x( x − 3) + 3)

a) y

2

d) −y

b) − y e) y

2

c) y

3

2

problema 03

Definimos la operación ∗ como sigue:

1, x = y  x ∗ y = 0, x ≠ y ∧ (y = 0 ∨ y = 1)  y, x ≠ y ∧ y es vocal  Determine:

{[(a ∗ a) ∗ 0] ∗ e  ∗ o} ∗ {[(i ∗ u) ∗ 1] ∗ o}

a) a d) u

a) 51 d) -51

significa la operación

b) e e) 1

Se define para n ∈ ℤ

Sea:

Hallar: Si:

Si:

c) 7

n(n − 1) n = 2 Determinar el valor de a + b. (a ∈ ℕ), si:

R

a ∗ b = π ab

entonces:

1 2

x

a⊙b =

18π

a) 0 d) 15

b) 24π e) 4π

a b = 2b − a, determine el valor de m en:

c) 50

4 3 2 m=5

a) 0 d) 4

= ad − bc

c

2

x

3 − 2

y

Halle: M = (2 −1

c) 3

Se define los siguientes operadores.

a = 2a + 2 ∧ b = b − 1

1

=

3

Determine el valor de “x” en:

5+x

x+2

x x

1

0

4

b) -1 e) 2001

−1

b) 2 e) 5

problema 14

a) 3 d) 6

c) -2

d) -5

e) 8

b) 4 e) 8

c) 5

En el conjunto de los números reales, definimos el operador ⊕ de la siguiente manera:

Halle r1 ⊕ (r2 ⊕ r3 ), sabiendo que r1 < r2 < r3 son las raíces de la ecuación.

(2 x − 1)(2 x 2 − 3 x − 2)

es el elemento inverso de " a " y a, b ∈ ℝ. b) -1

28 19

 1 , si ab > 0  a ⊕ b = a + b  −(a + b), si ab ≤ 0

⊕ 5)−1 ⊕ (6 −1 ⊕ 8)−1 , donde

a) 47

=

problema 15

Se define: a ⊕ b = a + b − 4

a c) 64π

Se define las operaciones: a b = 2a + b y

problema 11

a+b + ab 2

para a = 4

b) 52 e) 14

halle

1

c) -2/3

[(a ⊙ b) ∗ (a ∗ b)] ,

b = 16, es: a) 8π d) 16π

Humanizando al hombre con la educación

y

f (1) = 2,

Halle el mayor numero x que satisfaga la ecuación

6

b) -3/2 e) -1

y

d

2a = a

R=

y

c) 4

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo b

problema 07

Si +

S=

b) 2 e) 1001

problema 13

a

S

a) -2/5 d) -5/2

c) o

problema 04

a = −a ;

   se aplica mil veces el operador ⋱ 

a) 1/2 d) 2000

problema 10

problema 06

Si x e y representan elementos arbitrarios del conjunto A = {0,1, a, e, i, o, u}

c) 0

2 f ( x) + 1 Si f ( x + 1) = 2 f (101).

Hallar 3 y como resultado determine la suma de sus cifras.

b) 6 e) 9

b) 2 e) -1

1 , a ≠ 0, determine: a

problema 09

problema 02

(Donde potenciación) a) 5 d) 8

2

Calcular: 12

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

 ab , si a ≥ 0 y b ≥ 0  a ∗b = a si a < b ó b < 0  , b Si 0 < x < 1, hallar (1 − x)2 ∗ y 2  ∗ ( x − 1)  

Si se cumple que: a =

x −1 = 2 x + 5 − x + 3

Se define las siguientes operaciones en ℕ

Dado los números reales a y b, se define:

= x + x −1

2x

c) 12

problema 05 c) 7/2

problema 12

c) -2

a) 1/10 d) 1/2

Humanizando al hombre con la educación

b) 1/5 e) 21

c) -1/10

39

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

4

OPERADORES MATEMÁTICOS

JOHN E. MAMANI M.

problema 10 a) 930 d) 780

problema 01

b) 900 e) 760

a) 55 d) 70

b) 60 e) 80

c) 65

Calcular: M =

b) x + 5 e) 2 x − 7

Calcular: A =

c) x + 8

c) 2

Si: x = x i x − 1

x −1i x −1i x −1

b) x 2 e) 1 / 2

a) 1 / x d) 1

c) x

c) 1000

Se define:

Calcular: E =

12

+

a) 668 d) 596

b) 682 e) 562

1

Si:

problema 05

Además:

Se define en ℕ : m + 2 = m − 2

..... 8 + 8 + 8 .....  30 operadores

x

Humanizando al hombre con la educación

problema 15

Se define en ℝ

n−2

c) 5

Calcule:

x − 2 = x −1

b) -1 e) -4

3 +

a) 7 d) 27

+

2

b) 24 e) 21

c) 3

Se define en ℝ m ∗ n = 5m ; m ∗ n > 0

x

m + 1 = 10m

Calcule.

6

b) 14 e) 16

c) 5

Calcule: a) 11 d) 14

12 ∗ 12

a) 12 d)

b) 1

7

c)

e) 7

problema 17

x + 3 = 3 3x + 2 − x 2 − 1

Se define: a ∗ b =

5 + 8 b) 12 e) 15

a + 3

x = 2x

x + 5 = 2 3x − 4 − 4 x + 2

c) -2

= n2 + 2n

= 2x + 5

= x

x

Se define:

− x

= n(n + 2)

problema 16

= 16 x − 15

Calcular: M = x a) 0 d) -3

x2 + 1 2

problema 13

= 4x + 5 x

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo x =

x+2

a) 15 d) 17

problema 09

c) 19

problema 12

a) 0 d) 2

Si:

Calcule: 1989 − 2010 − 21 b) 4 e) -4

n−2

Calcule:

c) 586

=8

a) -9 d) 4

Halle el valor de: m 2 − n2 a) 9 b) 4 d) 13 e) 36

40 exponentes

c) -1

c) -9

Además: m ∗ n = 127

Si: x = ( x − 135)( x +136) ∀x ∈ ℕ Calcular: 23   16    9   A = ......    2  ......              b) 1 e) -2

b) 4 e) -4

m ∗ n = (m + n)(m−n)

( )

= 6x + 2

−4 + 3

problema 11

problema 08

x + 5 = 3x − 1

Calcular: A =

= 21

x

..... 15 .....    100 operadores b) 1005 e) 915

x−2

b) 1 e) 5/2

Resolver E =

problema 04

Además:

3x − 4

a) 9 d) -3

problema 07

Si: x − 3 = x + 7

Si:

Calcular el valor de " x " en:

x −7

problema 03

a) 1015 d) 905

n(n + 1) 2

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Si: x + 2 = x + 7

a) x + 2 d) 2 x + 7

∀ n positivo se define: n =

a) 1/2 d) 4

problema 02

8 + 7

Calcule: 2 + 1

problema 06

40

Sea x una función constante tal que:

m − 3 = m − 15

Se cumple:

Si: x − 2 = x + 3 Calcular:

problema 14

c) 120

x = 2x Calcule: 2 ∗ 3 + 5 − 6

c) 13

a) 15 d) 17

Humanizando al hombre con la educación

b) 14 e) 16

c) 5

12

41

OPERADORES MATEMÁTICOS

Además: 2 = 3 y

problema 18 Se define: x 100 − x =

3 x 100 + 2 x + 14 5 x + 35

Calcule: 7 a) 1 d) 7

JOHN E. MAMANI M.

b) 100 e) 20000

PROBLEMA 01 b) 74 e) 76

c) 76

Se define: x + 5 = x + 2 + 2 Calcule: 300 a) 212 d) 216

Si se cumple:

problema 19

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo

Se define: 2 x + 1 − x − x = 0 Calcule: a) 11 d) 3/11

= x

15 − 1

=

x

7 − 3

b) 3 e) 33

4x − 9

c) 11/3

Calcular " y " en:

=

y

y

problema 20

Si se cumple que.

x

= 125 x + 31 ;

m =5

a) 1 d) 4

b) 3 e) 5

c) 2

problema 24

Halle: a) 11 d) 16

2 + 2

b) 12 e) 17

c) 14

2x + 1 = 2 x + 2 + x + 1 3x − 1 = 3

Hallar: 7 a) -12/67 d) -23/58

x3

+ x2 + 1

= 3 4x − 1 − x + 5

b) -7 e) -14

problema 22

c) -32/23

a) 31 d) 34

b) 36 e) 35

c) 32

problema 25

En ℕ se define matemática:

la

x = 2x + 5 ;

Halle " a " en a) 12 d) 1

Si se cumple:

mn = m n + n m

Humanizando al hombre con la educación

siguiente

x

operación

= x2 + 2

a = a ; a∈ℕ b) 11 e) -1

b) 215 e) 214

c) 224

PROBLEMA 03

Se define en Z + , la siguiente operación  x − 3 ; Si x ≥ 100 x =  x + 5 ; Si x < 100 Calcule: 97

b) 96 e) 99

c) 97

PROBLEMA 04

Se tiene una operación matemática mediante la tabla. # 1 2 3 123 213 123 312 Calcule: [(1#2)#3] # [(2# 2)#1] a) 1 d) 4

c) 3

a c a h ac M i n a am ( ) M . E n h Jo

Se define: U # N = A ⇔ A N = U 1 1 Calcule “n” en: # 4 = n # n−1 ; Si: n ≠ 4 4 a) -2 b) -1 c) 2 d) 1 e) 1/2

a) 95 d) 98

Se define x x = x + 2 Calcular: 3 × 5 × 7 a) 7 b) 2 d) 4 e) 5

PROBLEMA 07

PROBLEMA 02

17 − 1

Halle el valor:

Se define las siguientes operaciones:

3x + 2

Si: x − 2 = x + 2 − x

ab = ba − ab

problema 21

PROBLEMA 06

Además: 12 = 20

problema 23

x

JOHN E. MAMANI M.

5 =4

Calcule: 20 a) 75 d) 77

c) 35

42

OPERADORES MATEMÁTICOS

b) 2 e) 5

c) 3

Se define para números enteros mayores que 1, la siguiente operación. UNAb m = x ⇔ m x = b Calcular el valor de “n” que satisfaga la ecuación. UNA 2 16 + UNAn 4 = 3 n

a) 3 d) 10

b) 5 e) 12

c) 8

PROBLEMA 08

a+1 Si: a# = , Calcular a −1

  # #   ⋯   2#   ⋯            a) 2 b) 3 d) 2012 e) 1

#

2010 Operadores c) 2010

PROBLEMA 09

Se define:

P + ∆(P − 1), si: P > 0 ∆(P) =  0, si: P ≤ 0 Calcule: ∆(6,5)

a) 16 d) 24

b) 24,5 e) 25

c) 22,5

PROBLEMA 05 c) 14

PROBLEMA 10

Si: x = x 4 − x 2 − x Calcule: a) 1 d) 4

Si:

1 1 1 + + +⋯ 2 2 2 b) 2 e) 5

2

c) 3

Humanizando al hombre con la educación

= 2 x 2 + 3 x − 10

x x

=

x

;

x >0

43

OPERADORES MATEMÁTICOS

a) 13 d) 14

1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100

Calcule: a) 0 d) 9900

b) 2 e) 900

c) 100

c) -1/3

Se define:

b) 12 e) 18

c) 14

Si: m

m

M = 99 × 98 × 97 × 96 × ⋯ × 3 × 2

c)

2

operación “#” según la siguiente tabla # 5 7 3 1 7 7 1 5 3 3 3 5 1 7

Luego sea a

PROBLEMA 14

x + 2 = 2x + 5

x

= 2x + 1 = 2x

c) 3

En el conjunto Q = {1;3;5;7} se define la

x x ⋮

b) 1 e) 0

b) 4 e) 0

PROBLEMA 18

x

Calcule: 8

x +1

c) 9

= m − 1, calcule:

a) 2 d) 1

x =

7

x − 1 = x − 9 ; m ∗ n = 9n

PROBLEMA 17

PROBLEMA 13

Si:

2

Calcule: M = 225 ∗ 15 a) 11 b) 10 d) 20 e) 14

Si: 0 = 2 ∧ 1 = 3, calcular: 5 − 4

Calcule:

c) 3/2

PROBLEMA 16

n + 1 = 3 n − 2 n − 1 , ∀n ∈ ℕ

a) 2 d) 16

b) 1/2 e) 1/10

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo b) 1/3 e) 0

PROBLEMA 12

Se define:

2

a) 1 d) 10

3

Calcule “n” a) -1 d) -3

a) 8 d) 16

c) 12

PROBLEMA 15

Determine: 3

Si: x n + 1 = x − 1

Se define:

b) 11 e) 15

Si: 5 x − 1 = 1 + 5 x + 9 x 2 + 13 x 3 + ........

PROBLEMA 11

3 = −7

JOHN E. MAMANI M.

1

1

3

7

5

5

5

7

3

1

−1

: elemento inverso de a ∈ ℚ,

según la operación #, halle: E = a) 1/3 d) 5/3

b) 3/5 e) 3

3−1 + 5 −1 7 −1 + 1−1 c) 1

Si terminaste de resolver los problemas, accede a las claves de respuestas en el blog del autor. http://www.xjohnsx.blogspot.com

Humanizando al hombre con la educación

OPERADORES MATEMÁTICOS

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JOHN E. MAMANI M.

Tengo 17 años y debo decidir qué hacer por el resto de mi vida Parece una pregunta imposible de resolver, sobre todo si se entiende que tener 17 años significa estar en medio de una serie de cambios radicales tanto internos como externos. Las hormonas están totalmente descontroladas generando miles de cambios. El estado de ánimo gira 180° sin sentido ni explicación. Se siente alegría, rabia y tristeza. La vida siempre es “injusta”. Se acaba el colegio, el acné los vuelve locos, se acerca la fiesta de “promo”, no tienen pareja, su enamorada los deja, se “gilean” a la ex de su pata, su papá los vuelve a castigar. Y para colmo, DEBEN DECIDIR QUÉ HACER POR EL RESTO DE SU VIDA…. AUXILIO POR FAVOR. Esta es la realidad que afrontan muchos chicos, junto a la presión social que los lleva a “escoger” una carrera para agradar a papá, al “profe”, a sus patas, a su enamorada o lo que es peor, “porque el nombre de la carrera suena bonito”. En las siguientes líneas no pretendo dar la receta del éxito, pues no la hay, pero si escribiré que lo más terrible en la vida no es que escojas mal sino que no hagas nada. Varios estudios demuestran que una persona adulta cambia de carrera varias veces en la vida y eso no es malo. Sin ir muy lejos, cuando salí del colegio estudié una carrera técnica de mecánica y trabajé en logística, luego estudie ingeniería industrial y tuve un empresa de ahorro de energía, después trabajé en educación y estudié una licenciatura en el mismo rubro. Actualmente he comenzado a estudiar una maestría en factor humano y solo tengo 33 años. Seguramente cambiaré un poco más conforme siga creciendo como persona, pero eso no es malo, tan solo es parte de la vida. En resumen, no hay que temerle a los cambios, hay que temerle al hecho de no cambiar. Hay que esforzarse, informarse, preguntar, identificar los talentos y “mandarse”. Si en el camino se dan cuenta de que eso no es lo suyo, no teman, aunque no lo crean, si han sido responsables habrán ganado mucho más de lo que creen haber perdido. Mucha suerte y éxitos.

a c a h ac M i n a am M . E n h Jo Impresiones

PANAMERICANA Jr. Atahuallpa 348 - Ayaviri

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