Relatividad General

Intervalo

Gemelos

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EP

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Métricas

Relatividad y Cosmología José Antonio Pastor González Universidad de Córdoba Jueves 29 de noviembre de 2012

Relatividad general: la geometría de un espacio-tiempo curvo

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

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Curvatura

Contenidos 1

Intervalo

2

Gemelos

3

Minkowski

4

EP

5

Curvatura

6

Métricas

7

Schwarzschild

Métricas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

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Contenidos 1

Intervalo

2

Gemelos

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Schwarzschild

Métricas

Schwarzschild

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Gemelos

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El intervalo como algo absoluto

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Intervalo

Gemelos

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EP

Curvatura

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¿Cómo calibrar los ejes?

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Intervalo

Gemelos

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Curvatura

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Calibración de los ejes

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Curvatura

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La contracción de longitudes

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Curvatura

El reloj láser...

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Relación causa-efecto

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Una primera solución

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El cono de luz

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Contenidos 1

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Gemelos

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7

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Métricas

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Intervalo

Gemelos

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Curvatura

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Schwarzschild

Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Diana es más viajera y quiere visitar la estrella α-centauro Planifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a 0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz. Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo) hayan pasado 5 años Diana estará en su destino Primera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana en ese viaje?

Intervalo

Gemelos

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Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Diana es más viajera y quiere visitar la estrella α-centauro Planifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a 0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz. Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo) hayan pasado 5 años Diana estará en su destino Primera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana en ese viaje?

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Gemelos

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Planteamiento inicial

Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Diana es más viajera y quiere visitar la estrella α-centauro Planifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a 0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz. Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo) hayan pasado 5 años Diana estará en su destino Primera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana en ese viaje?

Intervalo

Gemelos

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EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tres formas de responder: la primera Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el suceso Diana llega a la Estrella Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 años en su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuánto marca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste está en movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que hace Apolo de la separación temporal entre A y B está dilatada con respecto a la de Diana (<5) Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana dura menos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde t0 p

1 − β2

=5

Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

Intervalo

Gemelos

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Schwarzschild

Tres formas de responder: la primera Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el suceso Diana llega a la Estrella Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 años en su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuánto marca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste está en movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que hace Apolo de la separación temporal entre A y B está dilatada con respecto a la de Diana (<5) Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana dura menos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde t0 p

1 − β2

=5

Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

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Tres formas de responder: la primera Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el suceso Diana llega a la Estrella Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 años en su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuánto marca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste está en movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que hace Apolo de la separación temporal entre A y B está dilatada con respecto a la de Diana (<5) Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana dura menos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde t0 p

1 − β2

=5

Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

Intervalo

Gemelos

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Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tres formas de responder: la segunda La contracción de longitudes está dada por la fórmula p ` = `0 1 − β 2 En este caso, `0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vista de Diana ocurre que ` = 4 × 0, 6 = 2, 4

años/luz

Como la velocidad sigue siendo β = 0, 8, entonces el tiempo empleado por Diana es 2, 4/0, 8 = 3

años

Intervalo

Gemelos

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Tres formas de responder: la segunda La contracción de longitudes está dada por la fórmula p ` = `0 1 − β 2 En este caso, `0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vista de Diana ocurre que ` = 4 × 0, 6 = 2, 4

años/luz

Como la velocidad sigue siendo β = 0, 8, entonces el tiempo empleado por Diana es 2, 4/0, 8 = 3

años

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Gemelos

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Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tres formas de responder: la segunda La contracción de longitudes está dada por la fórmula p ` = `0 1 − β 2 En este caso, `0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vista de Diana ocurre que ` = 4 × 0, 6 = 2, 4

años/luz

Como la velocidad sigue siendo β = 0, 8, entonces el tiempo empleado por Diana es 2, 4/0, 8 = 3

años

Intervalo

Gemelos

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Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente: El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S 0 El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S 0 Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S 0 se cumple tB0 − tA0 = 3 Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal es invariante

Intervalo

Gemelos

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Schwarzschild

Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente: El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S 0 El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S 0 Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S 0 se cumple tB0 − tA0 = 3 Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal es invariante

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Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente: El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S 0 El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S 0 Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S 0 se cumple tB0 − tA0 = 3 Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal es invariante

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Schwarzschild

Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente: El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S 0 El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S 0 Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S 0 se cumple tB0 − tA0 = 3 Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal es invariante

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Schwarzschild

Tres formas de responder: la tercera

Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente: El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S 0 El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S 0 Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S 0 se cumple tB0 − tA0 = 3 Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal es invariante

Intervalo

Gemelos

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Schwarzschild

Otra perspectiva El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo observa que Diana tarda 5 años en llegar La pregunta es... Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido para Apolo? Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO EN EL RELOJ DE APOLO

Intervalo

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Otra perspectiva El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo observa que Diana tarda 5 años en llegar La pregunta es... Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido para Apolo? Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO EN EL RELOJ DE APOLO

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Schwarzschild

Otra perspectiva El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo observa que Diana tarda 5 años en llegar La pregunta es... Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido para Apolo? Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO EN EL RELOJ DE APOLO

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Schwarzschild

Otra perspectiva El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo observa que Diana tarda 5 años en llegar La pregunta es... Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido para Apolo? Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO EN EL RELOJ DE APOLO

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Cuánto más pequeño? Simplemente, es el valor t0 dado por t0 p

1 − β2

=3

por lo que t0 = 3 × 0, 6 = 1, 8 años Esto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVA QUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDO ÚNICAMENTE 1,8 años Es lo natural... debemos esperar simetría (si cuando1 Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando2 Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

1 2

Apolo–simultáneos Diana–simultáneos

Intervalo

Gemelos

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Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Cuánto más pequeño? Simplemente, es el valor t0 dado por t0 p

1 − β2

=3

por lo que t0 = 3 × 0, 6 = 1, 8 años Esto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVA QUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDO ÚNICAMENTE 1,8 años Es lo natural... debemos esperar simetría (si cuando1 Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando2 Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

1 2

Apolo–simultáneos Diana–simultáneos

Intervalo

Gemelos

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Schwarzschild

¿Cuánto más pequeño? Simplemente, es el valor t0 dado por t0 p

1 − β2

=3

por lo que t0 = 3 × 0, 6 = 1, 8 años Esto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVA QUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDO ÚNICAMENTE 1,8 años Es lo natural... debemos esperar simetría (si cuando1 Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando2 Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)

1 2

Apolo–simultáneos Diana–simultáneos

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Schwarzschild

En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al cuadrado nada debe variar... Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse (suceso C) tienen las siguientes versiones (como los políticos y los medios): Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6: ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo 1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

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En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al cuadrado nada debe variar... Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse (suceso C) tienen las siguientes versiones (como los políticos y los medios): Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6: ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo 1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

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Gemelos

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Curvatura

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Schwarzschild

En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al cuadrado nada debe variar... Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse (suceso C) tienen las siguientes versiones (como los políticos y los medios): Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6: ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo 1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

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Gemelos

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Schwarzschild

En el viaje de regreso...

Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al cuadrado nada debe variar... Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse (suceso C) tienen las siguientes versiones (como los políticos y los medios): Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6: ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo 1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

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Gemelos

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Curvatura

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Schwarzschild

Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos sistemas de referencia? ¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o viceversa? Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí habría SIMETRÍA Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...

Intervalo

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Schwarzschild

Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos sistemas de referencia? ¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o viceversa? Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí habría SIMETRÍA Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...

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Gemelos

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Schwarzschild

Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos sistemas de referencia? ¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o viceversa? Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí habría SIMETRÍA Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...

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Gemelos

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Schwarzschild

Situación simétrica... ¿sí o no?

En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos sistemas de referencia? ¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o viceversa? Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí habría SIMETRÍA Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...

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Gemelos

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Schwarzschild

Situación simétrica... ¿sí o no?

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la vuelta y regresa También es cierto que Diana observa que Apolo (en la Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa... Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que experimenta Apolo DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO SIEMPRE ES INERCIAL

Intervalo

Gemelos

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Schwarzschild

Situación simétrica... ¿sí o no?

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la vuelta y regresa También es cierto que Diana observa que Apolo (en la Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa... Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que experimenta Apolo DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO SIEMPRE ES INERCIAL

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Schwarzschild

Situación simétrica... ¿sí o no?

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la vuelta y regresa También es cierto que Diana observa que Apolo (en la Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa... Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que experimenta Apolo DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO SIEMPRE ES INERCIAL

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Schwarzschild

Situación simétrica... ¿sí o no?

Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la vuelta y regresa También es cierto que Diana observa que Apolo (en la Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa... Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que experimenta Apolo DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO SIEMPRE ES INERCIAL

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan regalarse unos pasteles a la vuelta... Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera el regreso de su hermana para regalárselos Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los está viendo todo el tiempo... Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba para Apolo están espachurrados

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

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Métricas

Schwarzschild

La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan regalarse unos pasteles a la vuelta... Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera el regreso de su hermana para regalárselos Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los está viendo todo el tiempo... Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba para Apolo están espachurrados

Intervalo

Gemelos

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La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan regalarse unos pasteles a la vuelta... Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera el regreso de su hermana para regalárselos Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los está viendo todo el tiempo... Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba para Apolo están espachurrados

Intervalo

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Schwarzschild

La bandeja de pasteles

Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan regalarse unos pasteles a la vuelta... Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera el regreso de su hermana para regalárselos Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los está viendo todo el tiempo... Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba para Apolo están espachurrados

de la paradoja Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

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Un esquema espacio-temporal

Schwarzschild

El n´umero de felicitaciones por a˜no nuevo Intervalo

Gemelos

Minkowski

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Curvatura

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Ilustración de un efecto Doppler

Schwarzschild

Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe s´ olo una antes de llegar a α Centauro, cuando hab´ıan pasado 3 a˜ nos, just de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a raz´ on de una cada 1/3 a˜ no (4 meses).

Intervalo

Gemelos

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Contenidos 1

Intervalo

2

Gemelos

3

Minkowski

4

EP

5

Curvatura

6

Métricas

7

Schwarzschild

Métricas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

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EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las matemáticas de la relatividad especial tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos con coordenadas (x, t) en este plano estamos modelando un espacio-tiempo 2-dimensional tal y como lo referencia un observador inercial arbitrario cualquier otro observador inercial – en configuración estándar – tiene otras coordenadas (x 0 , t 0 ) dentro del plano que vienen dadas por los ejes habituales así pues, un universo con una única dimensión espacial y sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las matemáticas de la relatividad especial tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos con coordenadas (x, t) en este plano estamos modelando un espacio-tiempo 2-dimensional tal y como lo referencia un observador inercial arbitrario cualquier otro observador inercial – en configuración estándar – tiene otras coordenadas (x 0 , t 0 ) dentro del plano que vienen dadas por los ejes habituales así pues, un universo con una única dimensión espacial y sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

Intervalo

Gemelos

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Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las matemáticas de la relatividad especial tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos con coordenadas (x, t) en este plano estamos modelando un espacio-tiempo 2-dimensional tal y como lo referencia un observador inercial arbitrario cualquier otro observador inercial – en configuración estándar – tiene otras coordenadas (x 0 , t 0 ) dentro del plano que vienen dadas por los ejes habituales así pues, un universo con una única dimensión espacial y sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

Intervalo

Gemelos

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Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las matemáticas de la relatividad especial tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos con coordenadas (x, t) en este plano estamos modelando un espacio-tiempo 2-dimensional tal y como lo referencia un observador inercial arbitrario cualquier otro observador inercial – en configuración estándar – tiene otras coordenadas (x 0 , t 0 ) dentro del plano que vienen dadas por los ejes habituales así pues, un universo con una única dimensión espacial y sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las matemáticas de la relatividad especial

si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un suceso, un evento un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el observador inercial que consideremos pero aunque A se lea de forma distinta según el observador, sabemos que hay cosas invariantes: el estudio de las propiedades que permanecen invariantes es muy importante porque tales propiedades no dependen del observador: serán leyes físicas válidas para cualquier sistema inercial

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las matemáticas de la relatividad especial

si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un suceso, un evento un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el observador inercial que consideremos pero aunque A se lea de forma distinta según el observador, sabemos que hay cosas invariantes: el estudio de las propiedades que permanecen invariantes es muy importante porque tales propiedades no dependen del observador: serán leyes físicas válidas para cualquier sistema inercial

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las matemáticas de la relatividad especial

si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un suceso, un evento un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el observador inercial que consideremos pero aunque A se lea de forma distinta según el observador, sabemos que hay cosas invariantes: el estudio de las propiedades que permanecen invariantes es muy importante porque tales propiedades no dependen del observador: serán leyes físicas válidas para cualquier sistema inercial

Intervalo

Gemelos

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Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Invariantes

si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB ) en cierto sistema inercial, entonces consideramos el ~ = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t) vector AB ~ como se define el módulo de AB q |AB| = ±(∆x)2 ∓ (∆t)2 es una buena definición ya que no depende de las coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del intervalo)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Invariantes

si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB ) en cierto sistema inercial, entonces consideramos el ~ = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t) vector AB ~ como se define el módulo de AB q |AB| = ±(∆x)2 ∓ (∆t)2 es una buena definición ya que no depende de las coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del intervalo)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Invariantes

si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB ) en cierto sistema inercial, entonces consideramos el ~ = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t) vector AB ~ como se define el módulo de AB q |AB| = ±(∆x)2 ∓ (∆t)2 es una buena definición ya que no depende de las coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del intervalo)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tipos de vectores

~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB espacial (A y B no están conectados causalmente, no modelan nada) ~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB temporal (A y B están conectados causalmente, modelan las trayectorias permitidas) ~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula luminosa)

Intervalo

Gemelos

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Métricas

Schwarzschild

Tipos de vectores

~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB espacial (A y B no están conectados causalmente, no modelan nada) ~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB temporal (A y B están conectados causalmente, modelan las trayectorias permitidas) ~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula luminosa)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tipos de vectores

~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB espacial (A y B no están conectados causalmente, no modelan nada) ~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB temporal (A y B están conectados causalmente, modelan las trayectorias permitidas) ~ es un vector si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula luminosa)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Cosas curiosas

podemos definir a partir del módulo un producto escalar en L2 así: si v , w son vectores entonces hv , wi = v1 w1 − v2 w2 siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un sistema inercial noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1) cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Cosas curiosas

podemos definir a partir del módulo un producto escalar en L2 así: si v , w son vectores entonces hv , wi = v1 w1 − v2 w2 siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un sistema inercial noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1) cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Cosas curiosas

podemos definir a partir del módulo un producto escalar en L2 así: si v , w son vectores entonces hv , wi = v1 w1 − v2 w2 siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un sistema inercial noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1) cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En definitiva... cambian las propiedades métricas la desigualdad triangular3 es falsa en este ambiente para vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces √ |v | = |w| = 3 y |v + w| = 4 por lo que |v | + |w| < |v + w| consecuencia: en este ambiente, y dentro de las trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos puntos esto no nos debería sorprender después de haber entendido la paradoja de los gemelos 3

Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En definitiva... cambian las propiedades métricas la desigualdad triangular3 es falsa en este ambiente para vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces √ |v | = |w| = 3 y |v + w| = 4 por lo que |v | + |w| < |v + w| consecuencia: en este ambiente, y dentro de las trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos puntos esto no nos debería sorprender después de haber entendido la paradoja de los gemelos 3

Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En definitiva... cambian las propiedades métricas la desigualdad triangular3 es falsa en este ambiente para vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces √ |v | = |w| = 3 y |v + w| = 4 por lo que |v | + |w| < |v + w| consecuencia: en este ambiente, y dentro de las trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos puntos esto no nos debería sorprender después de haber entendido la paradoja de los gemelos 3

Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés

de la paradoja Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Un esquema espacio-temporal

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Definición de tiempo propio

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Definición de tiempo propio

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Líneas rectas: las más largas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo...

el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y, entre todos las coordenadas para ese plano (que hay infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que representan un sistema inercial a partir de éstas tenemos todas las demás con las transformaciones de Lorentz en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual: (+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo...

el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y, entre todos las coordenadas para ese plano (que hay infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que representan un sistema inercial a partir de éstas tenemos todas las demás con las transformaciones de Lorentz en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual: (+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo...

el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y, entre todos las coordenadas para ese plano (que hay infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que representan un sistema inercial a partir de éstas tenemos todas las demás con las transformaciones de Lorentz en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual: (+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo...

la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos, distancias, áreas, ortogonalidad no obstante, hay algunas propiedades que se parecen bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo: Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, en el plano L2 la distancia más larga entre dos puntos (causalmente relacionados) es la línea recta interesante... ¿verdad?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo...

la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos, distancias, áreas, ortogonalidad no obstante, hay algunas propiedades que se parecen bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo: Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, en el plano L2 la distancia más larga entre dos puntos (causalmente relacionados) es la línea recta interesante... ¿verdad?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo...

la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos, distancias, áreas, ortogonalidad no obstante, hay algunas propiedades que se parecen bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo: Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, en el plano L2 la distancia más larga entre dos puntos (causalmente relacionados) es la línea recta interesante... ¿verdad?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo... en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad especial de Einstein a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos matemáticos... decía que oscurecía la visión física e intuitiva que él tenía de las cosas así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski... [...] henceforth space by itself and time by itself are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality [...]

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo... en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad especial de Einstein a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos matemáticos... decía que oscurecía la visión física e intuitiva que él tenía de las cosas así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski... [...] henceforth space by itself and time by itself are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality [...]

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Resumiendo... en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad especial de Einstein a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos matemáticos... decía que oscurecía la visión física e intuitiva que él tenía de las cosas así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski... [...] henceforth space by itself and time by itself are doomed to fade away into mere shadows, and only a kind of union of the two will preserve an independent reality [...]

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Terminamos otra vez con los gemelos...

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Contenidos 1

Intervalo

2

Gemelos

3

Minkowski

4

EP

5

Curvatura

6

Métricas

7

Schwarzschild

Métricas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial...

...queremos pasar de lo inercial al mundo real Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave de Homer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que los objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en el espacio-tiempo llano – al... ...ámbito gravitacional en el que los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus trayectorias están curvadas (nuestro mundo real de todos los días)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial...

...queremos pasar de lo inercial al mundo real Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave de Homer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que los objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en el espacio-tiempo llano – al... ...ámbito gravitacional en el que los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus trayectorias están curvadas (nuestro mundo real de todos los días)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial...

...queremos pasar de lo inercial al mundo real Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave de Homer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que los objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en el espacio-tiempo llano – al... ...ámbito gravitacional en el que los objetos están acelerados por la presencia de la masa y sus trayectorias están curvadas (nuestro mundo real de todos los días)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial... ...viene la general Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier sistema de referencia (covarianza) relatividad especial es la abolición del espacio absoluto como sistema inercial preferente (Maxwell, éter) relatividad general es la abolición de los sistemas inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)

Una idea genial (1907) Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio? Respuesta: la situación de caída libre.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial... ...viene la general Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier sistema de referencia (covarianza) relatividad especial es la abolición del espacio absoluto como sistema inercial preferente (Maxwell, éter) relatividad general es la abolición de los sistemas inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)

Una idea genial (1907) Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio? Respuesta: la situación de caída libre.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial... ...viene la general Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier sistema de referencia (covarianza) relatividad especial es la abolición del espacio absoluto como sistema inercial preferente (Maxwell, éter) relatividad general es la abolición de los sistemas inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)

Una idea genial (1907) Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio? Respuesta: la situación de caída libre.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial... ...viene la general Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier sistema de referencia (covarianza) relatividad especial es la abolición del espacio absoluto como sistema inercial preferente (Maxwell, éter) relatividad general es la abolición de los sistemas inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)

Una idea genial (1907) Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio? Respuesta: la situación de caída libre.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial... ...viene la general Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier sistema de referencia (covarianza) relatividad especial es la abolición del espacio absoluto como sistema inercial preferente (Maxwell, éter) relatividad general es la abolición de los sistemas inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)

Una idea genial (1907) Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio? Respuesta: la situación de caída libre.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Tras la relatividad especial... ...viene la general Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier sistema de referencia (covarianza) relatividad especial es la abolición del espacio absoluto como sistema inercial preferente (Maxwell, éter) relatividad general es la abolición de los sistemas inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)

Una idea genial (1907) Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio? Respuesta: la situación de caída libre.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En caída libre...

...si estamos dentro de un ascensor y éste se encuentra en caída libre, todos los experimentos que efectuemos dentro del ascensor son equivalentes a los que podríamos hacer en un laboratorio inercial...

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

¿Por qué?

En un ascensor en caída libre... ...si jugamos con una pelota de tenis, desde nuestra perspectiva ésta se moverá siempre siguiendo una línea recta, como si estuviéramos en el espacio exterior (en un sistema inercial)

Métricas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto

?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto

?

)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto

?

)

¾

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En caída libre... ...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto

?

6

)

¾

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El Principio de Equivalencia Enunciado del Principio de Equivalencia No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y en el ámbito de un sistema inercial.

Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de probar experimentalmente) la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema habitación-tierra).

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El Principio de Equivalencia Enunciado del Principio de Equivalencia No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y en el ámbito de un sistema inercial.

Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de probar experimentalmente) la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema habitación-tierra).

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El Principio de Equivalencia Enunciado del Principio de Equivalencia No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y en el ámbito de un sistema inercial.

Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de probar experimentalmente) la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema habitación-tierra).

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El Principio de Equivalencia Enunciado del Principio de Equivalencia No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y en el ámbito de un sistema inercial.

Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de probar experimentalmente) la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema habitación-tierra).

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

¿Cómo se curva la luz?

Otra lectura del principio de equivalencia No hay diferencia entre un pequeño sistema de referencia sujeto a la gravedad y un sistema de referencia acelerado en la misma magnitud.

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Cómo se curva la luz? La luz es atraída por la gravedad... Con este experimento – mental – se demuestra que la luz debe ser atraída por la gravedad de la tierra, si aceptamos como válido el principio de equivalencia

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

¿Por qué sistemas pequeños?

Respuesta: Porque cuando son grandes los dos sistemas no son EQUIVALENTES como se ve aquí... ya que aparecen LAS FUERZAS DE MAREA (observad que las bolas en la misma vertical se separan mientras que las que están a la misma altura se aproximan)

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

¿Qué son las fuerzas de marea? Si estamos cayendo hacia la tierra... ¿qué sentimos?

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

¿Qué son las fuerzas de marea?

Son las fuerzas que provocan las mareas...

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las fuerzas de marea... Dependen de la escala... Del tamaño del objeto que está en caída libre Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el radio de la tierra y su masa).

...y dieron paso a otra genialidad de Einstein... Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por la presencia de materia (y energía).

En resumen: La materia y la energía curvan el espacio-tiempo cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las fuerzas de marea... Dependen de la escala... Del tamaño del objeto que está en caída libre Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el radio de la tierra y su masa).

...y dieron paso a otra genialidad de Einstein... Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por la presencia de materia (y energía).

En resumen: La materia y la energía curvan el espacio-tiempo cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las fuerzas de marea... Dependen de la escala... Del tamaño del objeto que está en caída libre Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el radio de la tierra y su masa).

...y dieron paso a otra genialidad de Einstein... Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por la presencia de materia (y energía).

En resumen: La materia y la energía curvan el espacio-tiempo cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las fuerzas de marea... Dependen de la escala... Del tamaño del objeto que está en caída libre Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el radio de la tierra y su masa).

...y dieron paso a otra genialidad de Einstein... Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por la presencia de materia (y energía).

En resumen: La materia y la energía curvan el espacio-tiempo cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Las fuerzas de marea... Dependen de la escala... Del tamaño del objeto que está en caída libre Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el radio de la tierra y su masa).

...y dieron paso a otra genialidad de Einstein... Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por la presencia de materia (y energía).

En resumen: La materia y la energía curvan el espacio-tiempo cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Contenidos 1

Intervalo

2

Gemelos

3

Minkowski

4

EP

5

Curvatura

6

Métricas

7

Schwarzschild

Métricas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Qué es la curvatura?

Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese mundo... Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es una curva Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un plano – para simplificar nuestro trabajo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Qué es la curvatura?

Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese mundo... Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es una curva Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un plano – para simplificar nuestro trabajo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Qué es la curvatura?

Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese mundo... Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es una curva Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un plano – para simplificar nuestro trabajo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Primeras nociones intuitivas

La curva plana más elemental es, precisamente, una línea recta... todos convenimos en que si definimos la noción de curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no tiene curvatura Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta parece curvarse y además su manera de hacerlo es idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser constante y no nula ¿qué hacemos a continuación?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Primeras nociones intuitivas

La curva plana más elemental es, precisamente, una línea recta... todos convenimos en que si definimos la noción de curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no tiene curvatura Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta parece curvarse y además su manera de hacerlo es idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser constante y no nula ¿qué hacemos a continuación?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Primeras nociones intuitivas

La curva plana más elemental es, precisamente, una línea recta... todos convenimos en que si definimos la noción de curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no tiene curvatura Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta parece curvarse y además su manera de hacerlo es idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser constante y no nula ¿qué hacemos a continuación?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de una curva como aceleración Supongamos que viajamos a través de la curva con velocidad constante – en módulo – e igual a 1 (normalización) Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces α0 (t) = (x 0 , y 0 ) y la aceleración cumple (x 00 , y 00 ) = α00 = aα0 + bJ(α0 ) donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados. Al ser la velocidad constante, se tiene 0 = (hα0 , α0 i)0 = 2hα0 , α00 i por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada por el valor de b

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de una curva como aceleración Supongamos que viajamos a través de la curva con velocidad constante – en módulo – e igual a 1 (normalización) Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces α0 (t) = (x 0 , y 0 ) y la aceleración cumple (x 00 , y 00 ) = α00 = aα0 + bJ(α0 ) donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados. Al ser la velocidad constante, se tiene 0 = (hα0 , α0 i)0 = 2hα0 , α00 i por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada por el valor de b

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de una curva como aceleración Supongamos que viajamos a través de la curva con velocidad constante – en módulo – e igual a 1 (normalización) Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces α0 (t) = (x 0 , y 0 ) y la aceleración cumple (x 00 , y 00 ) = α00 = aα0 + bJ(α0 ) donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados. Al ser la velocidad constante, se tiene 0 = (hα0 , α0 i)0 = 2hα0 , α00 i por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada por el valor de b

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Para curvas concretas... ...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una recta se tiene que α00 = 0 por lo que 0 = bJ(α0 ) y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay aceleración Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos llevan a que b = ±1/r donde el signo depende del sentido en que recorramos la circunferencia Definimos la curvatura de una recta como cero y la curvatura de una circunferencia como el inverso de su radio

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Para curvas concretas... ...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una recta se tiene que α00 = 0 por lo que 0 = bJ(α0 ) y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay aceleración Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos llevan a que b = ±1/r donde el signo depende del sentido en que recorramos la circunferencia Definimos la curvatura de una recta como cero y la curvatura de una circunferencia como el inverso de su radio

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Para curvas concretas... ...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una recta se tiene que α00 = 0 por lo que 0 = bJ(α0 ) y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay aceleración Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos llevan a que b = ±1/r donde el signo depende del sentido en que recorramos la circunferencia Definimos la curvatura de una recta como cero y la curvatura de una circunferencia como el inverso de su radio

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Es una definición estupenda porque se comporta de la manera esperada y describe perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si la circunferencia es más pequeña – menos radio – entonces está más curvada... además nos permite ver una recta como una circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es cero es muy operativa ya que funciona para todo tipo de curvas... además responde a la intuición física pues es precisamente la aceleración centrífuga que experimenta una partícula que se mueve a velocidad constante uno – en módulo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Es una definición estupenda porque se comporta de la manera esperada y describe perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si la circunferencia es más pequeña – menos radio – entonces está más curvada... además nos permite ver una recta como una circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es cero es muy operativa ya que funciona para todo tipo de curvas... además responde a la intuición física pues es precisamente la aceleración centrífuga que experimenta una partícula que se mueve a velocidad constante uno – en módulo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Es una definición estupenda porque se comporta de la manera esperada y describe perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si la circunferencia es más pequeña – menos radio – entonces está más curvada... además nos permite ver una recta como una circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es cero es muy operativa ya que funciona para todo tipo de curvas... además responde a la intuición física pues es precisamente la aceleración centrífuga que experimenta una partícula que se mueve a velocidad constante uno – en módulo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Pero tiene un grave problema...

...porque no es una definición intrínseca ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor – el plano 2D – para que tenga sentido más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura de su mundo si la definimos en estos términos

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Pero tiene un grave problema...

...porque no es una definición intrínseca ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor – el plano 2D – para que tenga sentido más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura de su mundo si la definimos en estos términos

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Pero tiene un grave problema...

...porque no es una definición intrínseca ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor – el plano 2D – para que tenga sentido más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura de su mundo si la definimos en estos términos

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Lo que ocurre es más radical...

en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en lo que concierne a su geometría ¿qué significa esto? que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no puede distinguir si vive en una recta o en una curva – consideraciones topológicas aparte ¿y entonces? pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo topología – geométricamente indistinguibles

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Lo que ocurre es más radical...

en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en lo que concierne a su geometría ¿qué significa esto? que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no puede distinguir si vive en una recta o en una curva – consideraciones topológicas aparte ¿y entonces? pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo topología – geométricamente indistinguibles

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Lo que ocurre es más radical...

en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en lo que concierne a su geometría ¿qué significa esto? que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no puede distinguir si vive en una recta o en una curva – consideraciones topológicas aparte ¿y entonces? pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo topología – geométricamente indistinguibles

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Lo que ocurre es más radical...

en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en lo que concierne a su geometría ¿qué significa esto? que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no puede distinguir si vive en una recta o en una curva – consideraciones topológicas aparte ¿y entonces? pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo topología – geométricamente indistinguibles

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Lo que ocurre es más radical...

en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en lo que concierne a su geometría ¿qué significa esto? que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no puede distinguir si vive en una recta o en una curva – consideraciones topológicas aparte ¿y entonces? pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo topología – geométricamente indistinguibles

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Conclusiones

es posible definir la curvatura de una curva como una medida que coincide con la aceleración desde un punto de vista extrínseco es una medida excelente desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes del mundo 1D – es una medida imposible de obtener más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para ellos la geometría es monótona y aburrida

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Conclusiones

es posible definir la curvatura de una curva como una medida que coincide con la aceleración desde un punto de vista extrínseco es una medida excelente desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes del mundo 1D – es una medida imposible de obtener más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para ellos la geometría es monótona y aburrida

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Conclusiones

es posible definir la curvatura de una curva como una medida que coincide con la aceleración desde un punto de vista extrínseco es una medida excelente desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes del mundo 1D – es una medida imposible de obtener más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para ellos la geometría es monótona y aburrida

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Conclusiones

es posible definir la curvatura de una curva como una medida que coincide con la aceleración desde un punto de vista extrínseco es una medida excelente desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes del mundo 1D – es una medida imposible de obtener más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para ellos la geometría es monótona y aburrida

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Mundos 2D: superficies

Figura: La superficie de un melón: elipsoide

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Mundos 2D: superficies

Figura: La superficie de un donuts: toro

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Mundos 2D: superficies

Figura: La superficie de una torre de central térmica: hiperboloide de una hoja

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Curvatura de una superficie?

la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como poco, nos dice lo curvada que está una curva ¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas? utilizando las secciones normales

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Curvatura de una superficie?

la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como poco, nos dice lo curvada que está una curva ¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas? utilizando las secciones normales

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Curvatura de una superficie?

la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como poco, nos dice lo curvada que está una curva ¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas? utilizando las secciones normales

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: En cada punto de una superficie podemos considerar su plano tangente Tp S y su dirección normal N(p)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: La sección normal a una superficie en un punto consiste en tomar una dirección v en el plano tangente. A continuación, se considera el plano generado por v y N(p) y se interseca con la superficie: la curva – siempre plana – resultante es la sección normal en la dirección v

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: Esto mismo lo podemos hacer en todas las direcciones del plano tangente: tenemos así un haz de planos perpendiculares y las secciones normales correspondientes

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

una vez que tenemos todas las secciones normales, en cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura: la de la sección normal correspondiente tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo y el máximo llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a sus direcciones principales correspondientes... las curvaturas principales nos proporcionan información sobre cómo se curva la superficie en el punto correspondiente

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

una vez que tenemos todas las secciones normales, en cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura: la de la sección normal correspondiente tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo y el máximo llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a sus direcciones principales correspondientes... las curvaturas principales nos proporcionan información sobre cómo se curva la superficie en el punto correspondiente

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

una vez que tenemos todas las secciones normales, en cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura: la de la sección normal correspondiente tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo y el máximo llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a sus direcciones principales correspondientes... las curvaturas principales nos proporcionan información sobre cómo se curva la superficie en el punto correspondiente

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

una vez que tenemos todas las secciones normales, en cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura: la de la sección normal correspondiente tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo y el máximo llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a sus direcciones principales correspondientes... las curvaturas principales nos proporcionan información sobre cómo se curva la superficie en el punto correspondiente

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: Secciones normales en un punto del plano: todas las secciones son líneas rectas por lo que κ1 = κ2 = 0 (puntos planos)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: Secciones normales en un punto de la esfera: todas ellas son circunferencias con el mismo radio que la esfera, por lo que κ1 = κ2 = 1/r (puntos elípticos)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: Secciones normales en el cilindro: una elipse en este caso

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: Secciones normales en el cilindro: una recta por lo que κ1 = 0

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura de superficies (Euler)

Figura: Secciones normales en el cilindro: una circunferencia por lo que κ2 = 1/r (puntos parabólicos)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Candidatos a ser la curvatura

las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P) alguna de las dos una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura media: κ1 (P) + κ2 (P) H(p) = 2 o el producto de ambas, la curvatura de Gauss: K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Candidatos a ser la curvatura

las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P) alguna de las dos una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura media: κ1 (P) + κ2 (P) H(p) = 2 o el producto de ambas, la curvatura de Gauss: K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Candidatos a ser la curvatura

las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P) alguna de las dos una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura media: κ1 (P) + κ2 (P) H(p) = 2 o el producto de ambas, la curvatura de Gauss: K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Candidatos a ser la curvatura

las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P) alguna de las dos una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura media: κ1 (P) + κ2 (P) H(p) = 2 o el producto de ambas, la curvatura de Gauss: K (p) = κ1 (P)κ2 (P)

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Con cuál nos quedamos? las dos más importantes son la curvatura media y la curvatura de Gauss4 hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál de las dos era mejor... por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba la supremacía hasta que... el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuando Gauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es, sólo depende de medidas que efectuemos dentro de la superficie con independencia de cómo ésta se vea desde el espacio ambiente exterior

4

Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición está hecha en términos de objetos externos a la superficie

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Con cuál nos quedamos? las dos más importantes son la curvatura media y la curvatura de Gauss4 hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál de las dos era mejor... por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba la supremacía hasta que... el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuando Gauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es, sólo depende de medidas que efectuemos dentro de la superficie con independencia de cómo ésta se vea desde el espacio ambiente exterior

4

Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición está hecha en términos de objetos externos a la superficie

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Con cuál nos quedamos? las dos más importantes son la curvatura media y la curvatura de Gauss4 hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál de las dos era mejor... por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba la supremacía hasta que... el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuando Gauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es, sólo depende de medidas que efectuemos dentro de la superficie con independencia de cómo ésta se vea desde el espacio ambiente exterior

4

Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición está hecha en términos de objetos externos a la superficie

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Con cuál nos quedamos? las dos más importantes son la curvatura media y la curvatura de Gauss4 hubieron más de 100 años de controversia sobre cuál de las dos era mejor... por la fórmula de Laplace parecía que H se llevaba la supremacía hasta que... el dilema se resolvió en el primer tercio del s.XVIII cuando Gauss demuestra que su curvatura es intrínseca, esto es, sólo depende de medidas que efectuemos dentro de la superficie con independencia de cómo ésta se vea desde el espacio ambiente exterior

4

Notemos que ambas son, a priori, extrínsecas, ya que su definición está hecha en términos de objetos externos a la superficie

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Qué significa esto?

la curvatura de Gauss de una superficie – el producto de las principales – puede determinarse desde dentro sólo depende de las medidas que efectuemos en la superficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen la misma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0 en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro) ¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separación de trayectorias inicialmente paralelas, péndulos de Foucault, etc.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Qué significa esto?

la curvatura de Gauss de una superficie – el producto de las principales – puede determinarse desde dentro sólo depende de las medidas que efectuemos en la superficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen la misma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0 en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro) ¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separación de trayectorias inicialmente paralelas, péndulos de Foucault, etc.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Qué significa esto?

la curvatura de Gauss de una superficie – el producto de las principales – puede determinarse desde dentro sólo depende de las medidas que efectuemos en la superficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen la misma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0 en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro) ¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separación de trayectorias inicialmente paralelas, péndulos de Foucault, etc.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Qué significa esto?

la curvatura de Gauss de una superficie – el producto de las principales – puede determinarse desde dentro sólo depende de las medidas que efectuemos en la superficie, por ejemplo, el cilindro y el plano tienen la misma curvatura de Gauss K (K ≡ 0) y distinta H (H ≡ 0 en el plano y H ≡ 1/2r en el cilindro) ¿qué medidas? triángulos, áreas y perímetros, separación de trayectorias inicialmente paralelas, péndulos de Foucault, etc.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Y lo más importante:

la curvatura de Gauss de una superficie determina fuertemente la geometría de la misma a saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas, caminos de mínima distancia, etc. así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura del espacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la de Gauss)5 ... y esto es, entre otras razones, porque no tiene sentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas

5

De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Y lo más importante:

la curvatura de Gauss de una superficie determina fuertemente la geometría de la misma a saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas, caminos de mínima distancia, etc. así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura del espacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la de Gauss)5 ... y esto es, entre otras razones, porque no tiene sentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas

5

De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Y lo más importante:

la curvatura de Gauss de una superficie determina fuertemente la geometría de la misma a saber: si hay paralelas, si no las hay, cálculo de áreas, caminos de mínima distancia, etc. así, cuando Einstein necesite hablar de la curvatura del espacio-tiempo, deberá usar esta curvatura (la de Gauss)5 ... y esto es, entre otras razones, porque no tiene sentido salirse del espacio-tiempo para hacer medidas

5

De su análogo en 4-dimensiones... tela marinera

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Curvatura y geometría Una lámina deformada

Ejemplo La longitud de una circunferencia es L = 2πr pero esto es cierto solamente en un plano (donde K ≡ 0). Si K 6= 0 entonces L 6= 2πr .

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría Curvatura y teorema de Thales En el plano (K ≡ 0) la suma de los ángulos interiores es 180 grados: α + β + γ = π.

Pero si K 6= 0 el teorema es... α + β + γ = π ± áreaT

¿Por qué? Porque su demostración descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclides conocido como el V Postulado y éste no se cumple cuando K 6= 0

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría Curvatura y teorema de Thales En el plano (K ≡ 0) la suma de los ángulos interiores es 180 grados: α + β + γ = π.

Pero si K 6= 0 el teorema es... α + β + γ = π ± áreaT

¿Por qué? Porque su demostración descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclides conocido como el V Postulado y éste no se cumple cuando K 6= 0

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría Curvatura y teorema de Thales En el plano (K ≡ 0) la suma de los ángulos interiores es 180 grados: α + β + γ = π.

Pero si K 6= 0 el teorema es... α + β + γ = π ± áreaT

¿Por qué? Porque su demostración descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclides conocido como el V Postulado y éste no se cumple cuando K 6= 0

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría La demostración del teorema de Thales... descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclides conocido como el V Postulado: dada una recta r y un punto P exterior, existe una única recta paralela a r que pasa por P

Veámoslo más claro en un dibujo...

Consecuencia Si en una superficie con curvatura (K 6= 0) el teorema de Thales no se cumple es porque falla el V Postulado de Euclides... ¡La geometría de dicha superficie es no euclidiana!

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría La demostración del teorema de Thales... descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclides conocido como el V Postulado: dada una recta r y un punto P exterior, existe una única recta paralela a r que pasa por P

Veámoslo más claro en un dibujo...

Consecuencia Si en una superficie con curvatura (K 6= 0) el teorema de Thales no se cumple es porque falla el V Postulado de Euclides... ¡La geometría de dicha superficie es no euclidiana!

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría La demostración del teorema de Thales... descansa en uno de los axiomas de la geometría de Euclides conocido como el V Postulado: dada una recta r y un punto P exterior, existe una única recta paralela a r que pasa por P

Veámoslo más claro en un dibujo...

Consecuencia Si en una superficie con curvatura (K 6= 0) el teorema de Thales no se cumple es porque falla el V Postulado de Euclides... ¡La geometría de dicha superficie es no euclidiana!

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría Según K existen (o no) recta(s) paralela(s)... 1

2

3

en una superficie con K = 0 (plano) dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta paralela pasando por dicho punto (geometría euclídea) en una superficie con K < 0 (pseudoesfera) existen infinitas (geometría hiperbólica) en una superficie con K > 0 (esfera) no existen (geometría esférica)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría Según K existen (o no) recta(s) paralela(s)... 1

2

3

en una superficie con K = 0 (plano) dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta paralela pasando por dicho punto (geometría euclídea) en una superficie con K < 0 (pseudoesfera) existen infinitas (geometría hiperbólica) en una superficie con K > 0 (esfera) no existen (geometría esférica)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría Según K existen (o no) recta(s) paralela(s)... 1

2

3

en una superficie con K = 0 (plano) dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta paralela pasando por dicho punto (geometría euclídea) en una superficie con K < 0 (pseudoesfera) existen infinitas (geometría hiperbólica) en una superficie con K > 0 (esfera) no existen (geometría esférica)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Curvatura y geometría Según K existen (o no) recta(s) paralela(s)... 1

2

3

en una superficie con K = 0 (plano) dada una recta y un punto exterior a ella, existe una única recta paralela pasando por dicho punto (geometría euclídea) en una superficie con K < 0 (pseudoesfera) existen infinitas (geometría hiperbólica) en una superficie con K > 0 (esfera) no existen (geometría esférica)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Curvatura y geometría En la pseudoesfera hay infinitas paralelas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Aunque... ¿qué entendemos por recta?

Geodésica ≡ línea recta en una superficie curvada Las líneas rectas en una superficie con curvatura se llaman geodésicas y son los caminos más cortos para unir dos puntos dados.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El genio de Einstein Analogías 1

2

superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo

MATERIA ⇒

CURVATURA del E-T ⇒

GEOMETRÍA del E-T ⇒

GEODÉSICAS del E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El genio de Einstein Analogías 1

2

superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo

MATERIA ⇒

CURVATURA del E-T ⇒

GEOMETRÍA del E-T ⇒

GEODÉSICAS del E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El genio de Einstein Analogías 1

2

superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo

MATERIA ⇒

CURVATURA del E-T ⇒

GEOMETRÍA del E-T ⇒

GEODÉSICAS del E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El genio de Einstein Analogías 1

2

superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo

MATERIA ⇒

CURVATURA del E-T ⇒

GEOMETRÍA del E-T ⇒

GEODÉSICAS del E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El genio de Einstein Analogías 1

2

superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo

MATERIA ⇒

CURVATURA del E-T ⇒

GEOMETRÍA del E-T ⇒

GEODÉSICAS del E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El genio de Einstein Analogías 1

2

superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo

MATERIA ⇒

CURVATURA del E-T ⇒

GEOMETRÍA del E-T ⇒

GEODÉSICAS del E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El genio de Einstein Analogías 1

2

superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo

MATERIA ⇒

CURVATURA del E-T ⇒

GEOMETRÍA del E-T ⇒

GEODÉSICAS del E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

El genio de Einstein Analogías 1

2

superficies 2D con curvatura ≡ espacio-tiempo 4D con curvatura geodésicas en superficies ≡ geodésicas en el espacio-tiempo

MATERIA ⇒

CURVATURA del E-T ⇒

GEOMETRÍA del E-T ⇒

GEODÉSICAS del E-T

Por último, las geodésicas del E-T son las trayectorias de las partículas (incluyendo la luz) que se mueven sujetas únicamente a su inercia y la gravedad

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

El genio de Einstein

Métricas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Un ejemplo... Las trayectorias de dos bolas...son dos geodésicas que se cortan

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Una vista del espacio-tiempo curvo Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...

¿Qué significan estos dibujos? a la izquierda: las bolas que se encuentran en la misma vertical a distinta altura se van separando conforme pasa el tiempo a la derecha: las bolas que se encuentran en distinta vertical a la misma altura se van juntando conforme pasa el tiempo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Una vista del espacio-tiempo curvo Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...

¿Qué significan estos dibujos? a la izquierda: las bolas que se encuentran en la misma vertical a distinta altura se van separando conforme pasa el tiempo a la derecha: las bolas que se encuentran en distinta vertical a la misma altura se van juntando conforme pasa el tiempo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Una vista del espacio-tiempo curvo Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...

¿Qué significan estos dibujos? a la izquierda: las bolas que se encuentran en la misma vertical a distinta altura se van separando conforme pasa el tiempo a la derecha: las bolas que se encuentran en distinta vertical a la misma altura se van juntando conforme pasa el tiempo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Una vista del espacio-tiempo curvo Para ver 4 dimensiones utilizamos las 2-rebanadas...

¿Qué significan estos dibujos? a la izquierda: las bolas que se encuentran en la misma vertical a distinta altura se van separando conforme pasa el tiempo a la derecha: las bolas que se encuentran en distinta vertical a la misma altura se van juntando conforme pasa el tiempo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La curvatura del espacio-tiempo el espacio-tiempo es un mundo de 4 dimensiones... esto es un problema porque nosotros sólo sabemos trabajar en 2... pero se puede generalizar... es duro, pero se puede la forma de hacerlo es considerar las 2-rebanadas de espacio-tiempo... estas 2-rebanadas son superficies y teniendo información sobre la curvatura de Gauss de las 2-rebanadas, podemos saber cómo se curva el espacio completo – análogo a las secciones normales

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La curvatura del espacio-tiempo el espacio-tiempo es un mundo de 4 dimensiones... esto es un problema porque nosotros sólo sabemos trabajar en 2... pero se puede generalizar... es duro, pero se puede la forma de hacerlo es considerar las 2-rebanadas de espacio-tiempo... estas 2-rebanadas son superficies y teniendo información sobre la curvatura de Gauss de las 2-rebanadas, podemos saber cómo se curva el espacio completo – análogo a las secciones normales

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Por qué es importante la curvatura? no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamos nosotros la curvatura? pues porque la curvatura determina la geometría, las medidas, lo que son las líneas rectas y recordemos de dónde venimos – problema de sistemas pequeños en el principio de equivalencia – y a dónde queremos llegar – una formulación de las leyes físicas válidas para cualquier sistema LA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LA RESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a una formulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOS SISTEMAS, INERCIALES O NO

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Por qué es importante la curvatura? no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamos nosotros la curvatura? pues porque la curvatura determina la geometría, las medidas, lo que son las líneas rectas y recordemos de dónde venimos – problema de sistemas pequeños en el principio de equivalencia – y a dónde queremos llegar – una formulación de las leyes físicas válidas para cualquier sistema LA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LA RESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a una formulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOS SISTEMAS, INERCIALES O NO

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Por qué es importante la curvatura? no perdamos la perspectiva... ¿para qué necesitamos nosotros la curvatura? pues porque la curvatura determina la geometría, las medidas, lo que son las líneas rectas y recordemos de dónde venimos – problema de sistemas pequeños en el principio de equivalencia – y a dónde queremos llegar – una formulación de las leyes físicas válidas para cualquier sistema LA CURVATURA ES LA CLAVE PARA RESOLVER LA RESTRICCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS EN EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA y llegar así a una formulación de las leyes físicas válida PARA TODOS LOS SISTEMAS, INERCIALES O NO

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Ecuación de campo (I)

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Ecuación de campo (II)

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Ecuación de campo (III)

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Contenidos 1

Intervalo

2

Gemelos

3

Minkowski

4

EP

5

Curvatura

6

Métricas

7

Schwarzschild

Métricas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Recordemos que...

La presencia de materia y energía provoca que el espacio-tiempo tenga curvatura La curvatura determina la geometría – la forma de medir – en el espacio-tiempo Entre otras cosas, determina cuáles son los caminos más rectos en el espacio-tiempo Nos referimos a las geodésicas... que son los caminos extremales6 para la longitud en el espacio-tiempo

6

No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cada caso... recordamos también el principio de mínima acción

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Recordemos que...

La presencia de materia y energía provoca que el espacio-tiempo tenga curvatura La curvatura determina la geometría – la forma de medir – en el espacio-tiempo Entre otras cosas, determina cuáles son los caminos más rectos en el espacio-tiempo Nos referimos a las geodésicas... que son los caminos extremales6 para la longitud en el espacio-tiempo

6

No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cada caso... recordamos también el principio de mínima acción

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Recordemos que...

La presencia de materia y energía provoca que el espacio-tiempo tenga curvatura La curvatura determina la geometría – la forma de medir – en el espacio-tiempo Entre otras cosas, determina cuáles son los caminos más rectos en el espacio-tiempo Nos referimos a las geodésicas... que son los caminos extremales6 para la longitud en el espacio-tiempo

6

No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cada caso... recordamos también el principio de mínima acción

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Recordemos que...

La presencia de materia y energía provoca que el espacio-tiempo tenga curvatura La curvatura determina la geometría – la forma de medir – en el espacio-tiempo Entre otras cosas, determina cuáles son los caminos más rectos en el espacio-tiempo Nos referimos a las geodésicas... que son los caminos extremales6 para la longitud en el espacio-tiempo

6

No podemos hablar ni de máximos ni de mínimos... eso será según cada caso... recordamos también el principio de mínima acción

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Punto de partida: la ecuación de campo La traducción matemática de las ideas de Einstein está en su ecuación de campo (en el vacío): Ric = 0 donde Ric es curvatura la curvatura de Ricci, una media de las curvaturas de Gauss de las distintas 2-rebanadas del espacio-tiempo7 (16 ecuaciones, 10 libres) Así pues, dada una distribución de materia (condiciones de contorno) nuestro objetivo es encontrar una métrica g (10 funciones) satisfaciendo la ecuación

7

El tensor Ric está formado por derivadas primeras y segundas de g

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Punto de partida: la ecuación de campo La traducción matemática de las ideas de Einstein está en su ecuación de campo (en el vacío): Ric = 0 donde Ric es curvatura la curvatura de Ricci, una media de las curvaturas de Gauss de las distintas 2-rebanadas del espacio-tiempo7 (16 ecuaciones, 10 libres) Así pues, dada una distribución de materia (condiciones de contorno) nuestro objetivo es encontrar una métrica g (10 funciones) satisfaciendo la ecuación

7

El tensor Ric está formado por derivadas primeras y segundas de g

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Y qué es g?

Pues g es una métrica... Una descripción exacta y precisa para medir intervalos en el espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadas A partir de g se puede hacer toda la geometría Y por supuesto, también se puede calcular la curvatura del espacio-tiempo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Y qué es g?

Pues g es una métrica... Una descripción exacta y precisa para medir intervalos en el espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadas A partir de g se puede hacer toda la geometría Y por supuesto, también se puede calcular la curvatura del espacio-tiempo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Y qué es g?

Pues g es una métrica... Una descripción exacta y precisa para medir intervalos en el espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadas A partir de g se puede hacer toda la geometría Y por supuesto, también se puede calcular la curvatura del espacio-tiempo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Y qué es g?

Pues g es una métrica... Una descripción exacta y precisa para medir intervalos en el espacio-tiempo con arreglo a unas coordenadas A partir de g se puede hacer toda la geometría Y por supuesto, también se puede calcular la curvatura del espacio-tiempo

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplos de métricas: plano euclídeo Consideramos el plano euclídeo con coordenadas cartesianas (x, y ). Su métrica se escribe entonces así dx 2 + dy 2

Tiene coeficientes constantes 1, 0, 1 por lo que la forma de medir no depende del punto (x, y ) en el que estemos situados A partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sus segundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio: K ≡0

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplos de métricas: plano euclídeo Consideramos el plano euclídeo con coordenadas cartesianas (x, y ). Su métrica se escribe entonces así dx 2 + dy 2

Tiene coeficientes constantes 1, 0, 1 por lo que la forma de medir no depende del punto (x, y ) en el que estemos situados A partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sus segundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio: K ≡0

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplo: plano euclídeo en polares Consideramos el plano euclídeo ahora con coordenadas polares (r , φ). Su métrica se escribe entonces así dr 2 + r 2 dφ2

Figura: Expresión de la métrica euclídea usual del plano en coordenadas polares

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplos de métricas: plano euclídeo con polares Cosas que podemos decir de dr 2 + r 2 dφ2 Sus coeficientes son 1, 0, r 2 por lo que la forma de medir sólo depende de la distancia radial r pero no del ángulo φ A partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sus segundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio: K ≡0 Nos vuelve a salir lo mismo porque la curvatura, pese a que se expresa en términos de los coeficientes de la métrica referidos a un sistema de coordenadas, es independiente de las coordenadas: la curvatura del plano siempre es 0 (esto es lo que demostró Gauss)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplos de métricas: plano euclídeo con polares Cosas que podemos decir de dr 2 + r 2 dφ2 Sus coeficientes son 1, 0, r 2 por lo que la forma de medir sólo depende de la distancia radial r pero no del ángulo φ A partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sus segundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio: K ≡0 Nos vuelve a salir lo mismo porque la curvatura, pese a que se expresa en términos de los coeficientes de la métrica referidos a un sistema de coordenadas, es independiente de las coordenadas: la curvatura del plano siempre es 0 (esto es lo que demostró Gauss)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplos de métricas: plano euclídeo con polares Cosas que podemos decir de dr 2 + r 2 dφ2 Sus coeficientes son 1, 0, r 2 por lo que la forma de medir sólo depende de la distancia radial r pero no del ángulo φ A partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sus segundas derivadas se obtiene la curvatura del espacio: K ≡0 Nos vuelve a salir lo mismo porque la curvatura, pese a que se expresa en términos de los coeficientes de la métrica referidos a un sistema de coordenadas, es independiente de las coordenadas: la curvatura del plano siempre es 0 (esto es lo que demostró Gauss)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplos de métricas: cilindro Un cilindro de radio r responde a esta ecuación (u, v ) → (rcosu, rsenu, v ) donde u es la longitud y v es la altura la métrica del cilindro está dada por r 2 du 2 + dv 2 de nuevo, los coeficientes de la métrica son constantes e iguales a r , 0, 1 a partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sus segundas derivadas se obtiene la curvatura del cilindro: K ≡0 nos sale lo mismo que en el plano... y eso significa que la geometría del cilindro es la misma que la del plano – salvo consideraciones topológicas

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplos de métricas: cilindro Un cilindro de radio r responde a esta ecuación (u, v ) → (rcosu, rsenu, v ) donde u es la longitud y v es la altura la métrica del cilindro está dada por r 2 du 2 + dv 2 de nuevo, los coeficientes de la métrica son constantes e iguales a r , 0, 1 a partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sus segundas derivadas se obtiene la curvatura del cilindro: K ≡0 nos sale lo mismo que en el plano... y eso significa que la geometría del cilindro es la misma que la del plano – salvo consideraciones topológicas

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Ejemplos de métricas: cilindro Un cilindro de radio r responde a esta ecuación (u, v ) → (rcosu, rsenu, v ) donde u es la longitud y v es la altura la métrica del cilindro está dada por r 2 du 2 + dv 2 de nuevo, los coeficientes de la métrica son constantes e iguales a r , 0, 1 a partir de estos coeficientes, de sus primeras y de sus segundas derivadas se obtiene la curvatura del cilindro: K ≡0 nos sale lo mismo que en el plano... y eso significa que la geometría del cilindro es la misma que la del plano – salvo consideraciones topológicas

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Una métrica con curvatura Consideramos una esfera de radio r dada en este dibujo, su métrica es r 2 dφ2 + (r 2 sen2 φ)dθ2 ≡ r 2 dσ 2

Figura: Coordenadas esféricas: φ es colatitud y θ es longitud

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La métrica de la esfera Si tomamos en la esfera estas coordenadas hemos visto que su métrica es r 2 dφ2 + (r 2 sen2 φ)dθ2 los coeficientes son r 2 , 0, r 2 sen2 φ y no son constantes pues dependen de la colatitud φ a partir de estos coeficientes y de sus derivadas se obtiene la curvatura de la esfera: K ≡ 1/r 2 éste es nuestro primer ejemplo de métrica con curvatura... además podemos ver la esfera no cómo algo curvado en el espacio tridimensional, sino simplemente como puntos del plano (φ, θ) en los que medimos de forma distinta a la usual dφ2 + dθ2

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La métrica de la esfera Si tomamos en la esfera estas coordenadas hemos visto que su métrica es r 2 dφ2 + (r 2 sen2 φ)dθ2 los coeficientes son r 2 , 0, r 2 sen2 φ y no son constantes pues dependen de la colatitud φ a partir de estos coeficientes y de sus derivadas se obtiene la curvatura de la esfera: K ≡ 1/r 2 éste es nuestro primer ejemplo de métrica con curvatura... además podemos ver la esfera no cómo algo curvado en el espacio tridimensional, sino simplemente como puntos del plano (φ, θ) en los que medimos de forma distinta a la usual dφ2 + dθ2

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La métrica de la esfera Si tomamos en la esfera estas coordenadas hemos visto que su métrica es r 2 dφ2 + (r 2 sen2 φ)dθ2 los coeficientes son r 2 , 0, r 2 sen2 φ y no son constantes pues dependen de la colatitud φ a partir de estos coeficientes y de sus derivadas se obtiene la curvatura de la esfera: K ≡ 1/r 2 éste es nuestro primer ejemplo de métrica con curvatura... además podemos ver la esfera no cómo algo curvado en el espacio tridimensional, sino simplemente como puntos del plano (φ, θ) en los que medimos de forma distinta a la usual dφ2 + dθ2

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

Un abstracción importante En efecto, podemos representar una esfera como los puntos del plano (φ, θ) pero en lugar de medir con la métrica natural dφ2 + dθ2 medimos con esta otra: r 2 dφ2 + (r 2 sen2 φ)dθ2 Asi, se tiene que LA GEOMETRÍA DE ESTE PLANO ES LA MISMA QUE LA DE LA ESFERA (independencia con respecto al ambiente, aparición de modelos con curvatura negativa)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La métrica de Minkowski

Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x, y , z, t) de la siguiente forma dx 2 + dy 2 + dz 2 − dt 2 donde recordemos que (x, y , z) son cartesianas y t es el tiempo del observador.

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La métrica de Minkowski

Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x, y , z, t) de la siguiente forma dx 2 + dy 2 + dz 2 − dt 2 donde recordemos que (x, y , z) son cartesianas y t es el tiempo del observador. Cosas que cumple esta métrica: es una métrica indefinida su curvatura es cero sus geodésicas (caminos extremales) son líneas rectas

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La métrica de Minkowski

Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x, y , z, t) de la siguiente forma dx 2 + dy 2 + dz 2 − dt 2 donde recordemos que (x, y , z) son cartesianas y t es el tiempo del observador. Cosas que cumple esta métrica: es una métrica indefinida su curvatura es cero sus geodésicas (caminos extremales) son líneas rectas

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La métrica de Minkowski

Esta métrica está dada en coordenadas inerciales (x, y , z, t) de la siguiente forma dx 2 + dy 2 + dz 2 − dt 2 donde recordemos que (x, y , z) son cartesianas y t es el tiempo del observador. Cosas que cumple esta métrica: es una métrica indefinida su curvatura es cero sus geodésicas (caminos extremales) son líneas rectas

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La métrica de Minkowski Así pues, la métrica dx 2 + dy 2 + dz 2 − dt 2 representa un espacio-tiempo SIN CURVATURA – y por tanto, sin materia – donde las partículas se mueven a lo largo de líneas rectas permitidas8 . Una manera alternativa de escribir esta métrica es así dr 2 + r 2 dσ 2 − dt 2 que es la métrica de Minkowski en esféricas

8

Según su carácter causal

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Contenidos 1

Intervalo

2

Gemelos

3

Minkowski

4

EP

5

Curvatura

6

Métricas

7

Schwarzschild

Métricas

Schwarzschild

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La solución de Schwarzschild

Unos pocos meses después de la aparición de la ecuación de campo de Einstein aparece la primera solución:   2M 1
dr 2 + r 2 dσ 2 − 1− dt 2 + r 1 − 2M r que representa un espacio-tiempo CON CURVATURA y esta curvatura se debe a una masa esférica M, sin rotación, localizada en el origen de coordenadas

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La solución de Schwarzschild predice...

a partir de esta métrica uno puede calcular los caminos extremales que son los que siguen siempre la materia y la luz materia: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurio luz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa, curvatura de la luz corrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale de un campo gravitatorio está desplazada el ritmo de los relojes varía según su posición en un campo gravitatorio

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La solución de Schwarzschild predice...

a partir de esta métrica uno puede calcular los caminos extremales que son los que siguen siempre la materia y la luz materia: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurio luz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa, curvatura de la luz corrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale de un campo gravitatorio está desplazada el ritmo de los relojes varía según su posición en un campo gravitatorio

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La solución de Schwarzschild predice...

a partir de esta métrica uno puede calcular los caminos extremales que son los que siguen siempre la materia y la luz materia: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurio luz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa, curvatura de la luz corrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale de un campo gravitatorio está desplazada el ritmo de los relojes varía según su posición en un campo gravitatorio

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La solución de Schwarzschild predice...

a partir de esta métrica uno puede calcular los caminos extremales que son los que siguen siempre la materia y la luz materia: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurio luz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa, curvatura de la luz corrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale de un campo gravitatorio está desplazada el ritmo de los relojes varía según su posición en un campo gravitatorio

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La solución de Schwarzschild predice...

a partir de esta métrica uno puede calcular los caminos extremales que son los que siguen siempre la materia y la luz materia: órbitas de los planetas, perihelio de Mercurio luz: trayectorias de rayos que pasan cerca de una masa, curvatura de la luz corrimiento gravitacional hacia el rojo... la luz que sale de un campo gravitatorio está desplazada el ritmo de los relojes varía según su posición en un campo gravitatorio

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Cómo se obtiene?

se parte de una masa M esférica, estática... eso da independencia con respecto a t y simetría esférica... eliminamos muchas ecuaciones así imponemos que la métrica, conforme la distancia se hace grande, converja a la métrica de la relatividad especial al final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita en términos del radio r este radio r (que no es la distancia al origen) es la clave para entender lo que pasa

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Cómo se obtiene?

se parte de una masa M esférica, estática... eso da independencia con respecto a t y simetría esférica... eliminamos muchas ecuaciones así imponemos que la métrica, conforme la distancia se hace grande, converja a la métrica de la relatividad especial al final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita en términos del radio r este radio r (que no es la distancia al origen) es la clave para entender lo que pasa

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Cómo se obtiene?

se parte de una masa M esférica, estática... eso da independencia con respecto a t y simetría esférica... eliminamos muchas ecuaciones así imponemos que la métrica, conforme la distancia se hace grande, converja a la métrica de la relatividad especial al final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita en términos del radio r este radio r (que no es la distancia al origen) es la clave para entender lo que pasa

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Cómo se obtiene?

se parte de una masa M esférica, estática... eso da independencia con respecto a t y simetría esférica... eliminamos muchas ecuaciones así imponemos que la métrica, conforme la distancia se hace grande, converja a la métrica de la relatividad especial al final, las 10 ecuaciones dejan una única incógnita en términos del radio r este radio r (que no es la distancia al origen) es la clave para entender lo que pasa

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

¿Churras con merinas?

En

  2M 1
dr 2 + r 2 dσ 2 − 1− dt 2 + r 1 − 2M r

dividimos la masa M por el radio r ... ¿estamos mezclando las unidades?

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

La masa en kilos Basta multiplicar G Mkg c2 y las masas en kilos pasan a ser masas en metros. Algunos valores: M=

La masa de la Tierra es 0, 44cm La masa del Sol es 1, 47km El factor 1 − 2M/r ≡ 1 − 10−6 para una masa como el sol cuando r es cuatro veces su radio (radio del sol ≡ 7 × 108 m)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En este espacio-tiempo hay curvatura...

Los puntos que satisfacen r ≡ r0 están a la misma distancia del origen por lo que es sencillo construir circunferencias haciendo r constante. Además, ocurre que la longitud de estas circunferencias es L = 2πr0 . No obstante, si tomamos un punto cualquiera en esta circunferencia, resulta que su distancia al origen no es r0 . Ejemplo: entre r = 4 y r = 5 la distancia (radial) es 1, 723 Conclusión: r representa el radio pero sólo a distancias grandes (comparadas con 2M)

Intervalo

Gemelos

Minkowski

EP

Curvatura

Métricas

Schwarzschild

En este espacio-tiempo los relojes... ...andan según su posición en el espacio   2M 1
dr 2 + r 2 dσ 2 − 1− dt 2 + r 1 − 2M r un reloj situado en r1 = 4M y un reloj situado en r2 = 8M dan dt2 = 1, 22 dt1 Si A1 emite un pulso por segundo, A2 recibe los pulsos cada 1, 22 segundos... menor frecuencia... corrimiento al rojo gravitacional...

Intervalo

Gemelos

Minkowski

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Schwarzschild

También hay singularidades

  1 2M
dr 2 + r 2 dσ 2 dt 2 + − 1− r 1 − 2M r en r = 2M (evitable) hay un cambio de causalidad en las coordenadas (intercambio entre los roles de t y r ) r = 2M es una membrana 3D que sólo admite una forma de paso: hacia dentro en r = 0 hay otra singularidad (esencial) (la física no llega aquí)

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También hay singularidades

  1 2M
dr 2 + r 2 dσ 2 dt 2 + − 1− r 1 − 2M r en r = 2M (evitable) hay un cambio de causalidad en las coordenadas (intercambio entre los roles de t y r ) r = 2M es una membrana 3D que sólo admite una forma de paso: hacia dentro en r = 0 hay otra singularidad (esencial) (la física no llega aquí)

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También hay singularidades

  1 2M
dr 2 + r 2 dσ 2 dt 2 + − 1− r 1 − 2M r en r = 2M (evitable) hay un cambio de causalidad en las coordenadas (intercambio entre los roles de t y r ) r = 2M es una membrana 3D que sólo admite una forma de paso: hacia dentro en r = 0 hay otra singularidad (esencial) (la física no llega aquí)

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Espacio-tiempo de Schwarzschild

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La precesión del perihelio de Mercurio Explicamos el fenómeno...

Tras unas cuentas más o menos complicadas... las ecuaciones de Einstein predicen la precesión de la órbita de Mercurio y el valor predicho coincide con el observado (no así la de Newton). También se ha efectuado el mismo experimento para la Tierra, Venus y el satélite Ícaro con idénticos resultados.

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La precesión del perihelio de Mercurio Explicamos el fenómeno...

Tras unas cuentas más o menos complicadas... las ecuaciones de Einstein predicen la precesión de la órbita de Mercurio y el valor predicho coincide con el observado (no así la de Newton). También se ha efectuado el mismo experimento para la Tierra, Venus y el satélite Ícaro con idénticos resultados.

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Precesión del perihelio Una partícula material sigue una trayectoria con coordenadas u → (t(u), r (u), φ(u), θ(u)). Si exigimos que su trayectoria sea extremal en la métrica de Schwarzschild obtenemos la siguiente ecuación – en implícitas – para una órbita cerrada   1 M 3M 2 = 2 1 + ecosθ(1 − 2 ) r (θ) h h siendo e, h constantes de integración.

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Precesión del perihelio El perihelio de la órbita (r mínima) se obtiene en los máximos de   M 1 3M 2 = 2 1 + ecosθ(1 − 2 ) r (θ) h h por lo que el primer perihelio se produce en θ = 0 y el segundo en 3M 2 θ ≡ 2π(1 + 2 ) h Así, la precesión resulta ser 6πM 2 h2

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Predicción vs Observación

La precesión estimada por Einstein para Mercurio es 6πM 2 ≡ 43,03 h2

segundos de arco por siglo

mientras que la observada era 43,1100 por siglo. Para Venus también hay una estimación del orden de 8,600 por siglo y la observación da 8,4. La teoría de Newton no explica correctamente estas cantidades.

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La luz se curva en presencia de un campo gravitatorio El experimento de Eddington

Y los resultados también daban la razón a Einstein...

El ángulo observado era aproximadamente 10 7500 de arco, que coincidía con lo predicho por la teoría de Einstein.

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La luz se curva en presencia de un campo gravitatorio El experimento de Eddington

Y los resultados también daban la razón a Einstein...

El ángulo observado era aproximadamente 10 7500 de arco, que coincidía con lo predicho por la teoría de Einstein.

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Ejemplo: una trayectoria luminosa

Una partícula luminosa sigue una trayectoria con coordenadas genéricas u → (t(u), r (u), φ(u), θ(u)). Si exigimos que su trayectoria sea extremal en la métrica de Schwarzschild obtenemos la ecuación – en implícitas - dada por 1 M 1 = cosθ + 2 (2 − cos2 θ) r (θ) R R siendo R el perihelio de la órbita lumínica

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Ejemplo: una trayectoria luminosa Si r → ±∞ entonces θ = ±(π/2 + ∆θ/2). Sustituyendo en la expresión de la órbita nos queda 4M ∆θ ≡ ≡ 10 7500 R

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Una lente gravitatoria ¿Cómo funciona?

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Una lente gravitatoria vista por el telescopio Lente Gravitatoria. Imagen 1

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Una lente gravitatoria vista por el telescopio Lente Gravitatoria. Imagen 2

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Una lente gravitatoria vista por el telescopio Lente Gravitatoria. Imagen 3

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Una lente gravitatoria vista por el telescopio Lente Gravitatoria. Imagen 5

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Una lente gravitatoria vista por el telescopio Lente Gravitatoria. Imagen 6

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Una lente gravitatoria vista por el telescopio Lente Gravitatoria. Imagen 9

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Una lente gravitatoria vista por el telescopio Lente Gravitatoria. Imagen 10