Reporte De Levas

Octubre de 2016La verdad os hará libres

REPORTE DE PROYECTO DE LEVAS Mendoza Flores Carlos Refugio

Septién Valtierra Gerardo Jesús

[email protected]

[email protected]

Garcia Téllez Omar Christian [email protected]

Análisis y Síntesis de Mecanismos Dr. J. Jesús Cervantes Sánchez I. INTRODUCTION

E

L

PROYECTO

TRATA

DE

RESOLVER

UN

PROBLEMA QUE CONTIENE EL MECANISMO DE UNA LEVA Y SU SEGUIDOR, EL CUAL A SU VEZ ESTÁ UNIDO A OTROS DISPOSITIVOS (RESORTE, 2 PISTONES, EL CUERPO DE LA BOMBA, UN ACUMULADOR Y UN TACÓN). EL CUAL SE RESOLVERÁ CON EL MÉTODO DEL DR. J. JESÚS CERVANTES SÁNCHEZ, APLICANDO CADA PASO Y DIBUJO O GRÁFICO NECESARIO, PARA VER EL PROBLEMA TANTO VISUAL, COMO ANALÍTICO, HACIENDO AL FINAL UNA REFLEXIÓN DE LO QUE SIGNIFICA EL RESULTADO FINAL DEL PROBLEMA.

II. ENUNCIADO DEL PROBLEMA Un fabricante de calzado atlético desea un dispositivo para probar los tacones de caucho en cuanto a su capacidad para soportar millones de ciclos de fuerza similares a los que un pie humano aplica al caminar. La figura c) muestra una función tiempo de fuerza típica aplicada por un maratonista al tacón similar al mostrado. Seleccione diámetros de pistón apropiados en cada extremo. Diseñe un sistema de leva-seguidor para crear en el pistón la función fuerza-tiempo sobre el tacón similar al mostrado.

Haciendo referencia a la figura c.1), en ella se muestra un diagrama esquemático del mecanismo de leva con rodillo

Figura c.1 Diagrama esquemático

1

Octubre de 2016La verdad os hará libres El punto Q es un punto fijo en la leva, mientras que P es el punto donde hace contacto la leva con el rodillo del seguidor y, junto con el punto T, representan una línea que es tangente a la leva en el punto P. Antes de resolver el problema por el método del Dr. J. Jesús Cervantes Sánchez, nos dedicamos a hacer algunas consideraciones respecto al problema, ya que este nos señala que debemos proponer las medidas según nuestro criterio. Radio Piston Leva 0.75

Radio Pistón Tacón Volumen desplazado 1 cilindro leva 0 0.668450761 Considerando que la 0.48343314 ecuación de la velocidad 0.65054583 angular es: 0 2π

ω=

0.5

=4 π rad /s

De acuerdo a la figura a) del problema, se obtiene la siguiente tabla: Tiemp o 0 0.078 0.172 0.274 0.358

Fuerza 0 112 81 109 0

Tomando en cuenta los siguientes ángulos se tiene: Angulo Radianes 0 0.980176908 2.161415746 3.443185548 4.49876068

Angulo Grados 0 56.16 123.84 197.28 257.76

Haciendo la relación de desplazamiento contra la fuerza se obtiene las siguientes tablas:

2

Desplazamiento 0 0.378265752 0.273567196 0.368133634 0

Fuerza Leva 0 35.4375 25.62890625 34.48828125 0

De acuerdo a la figura b del problema y a las consideraciones hechas, se Volumen desplazado obtiene lo siguiente: cilindro tacón 0 1.188356908 0.859436693 Angulo 0 1.15652592 29 0 87.944 121 152 197 224.186 257.76 Angulo 0 14 42 56 72 105 122 142 175 197 210 240.253 257.76

Velocidad 0 9.685 -2.334 0 1.892 0 -8.841 0 Aceleració n 0 391.227 -391.227 0 -77.599 77.599 0 56.747 -57.277 0 -332.624 330.92 0

Con ayuda de Excel obtenemos las siguientes gráficas, las cuales nos dicen cómo será el comportamiento de la leva con el seguidor:

Octubre de 2016La verdad os hará libres comprender con facilidad los detalles del problema:

Desplazamiento 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

50

100

150

200

250

300

250

300

velocidad 15 10 5 0

Figura 1. Diagrama cinemático auxiliar

0

50

100

150

200

-5 -10

En la figura 1, las variables β y ρ son las coordenadas polares que en el sistema giratorio

600 400 200

-200

0

50

100

150

200

definen el perfil de la leva. El

ángulo θ representa el ángulo que gira la leva, mientras que ф es el ángulo variable que existe entre la línea tangente y el radio de giro ρ. Finalmente, el parámetro constante e define la excentricidad del seguidor, mientras que el parámetro geométrico a representa el radio del rodillo acoplado al seguidor.

aceleracion

0

Ouv

250

300

-400 -600

Basándonos en la geometría mostrada en la figura x.2, pueden plantearse las siguientes expresiones:

e−ρ cos ( θ+ β )−a sin (θ + β+ ϕ )=0 …(1)

s− ρ sen ( θ+ β ) +a cos ( θ+ β + ϕ ) =0 …(2) Estas ecuaciones son válidas para cualquier instante de tiempo. 1) DCA Al observar la figura c.1) (Leva con el seguidor), trazamos nuestro diagrama cinemático auxiliar para

3

Octubre de 2016La verdad os hará libres 2) PVP Ahora con ello, procedemos a obtener el polígono de vector posición:

Ouv . Adicionalmente, también se

giratorio

supondrá conocido el ángulo β. Así, mediante el conocimiento de ρ(β) y β se tendrá completamente especificado el perfil de la leva. Primeramente, del análisis vectorial, puede demostrarse que el ángulo ф está dado por la siguiente ecuación: tan ϕ=

ρ( β) ' ρ (β)

Figura 2. Polígono de vectores posición

Del cual su ecuación característica es ⃗ r C /O +⃗ r P /C =⃗ r P /O . . .(3)

3) ERPs De acuerdo al polígono de vector posición y al DCA se obtienen las siguientes ecuaciones:

^ ρ cos ( θ+ β ) ^j ⃗ r P / O=e sen ( θ+ β ) i+ ⃗ r C /O =s ^j ^ ⃗ r P / C =−a cos ( θ+ β + ϕ−π ) i+¿

ρ '(β )≡

a cos ( θ+ β + ϕ−π )+ e sen ( θ+ β )=0 …(4) s +a sen ( θ+ β+ ϕ−π )− ρcos (θ + β )=0 …(5)

4) Síntesis del desplazamiento del seguidor. En este proceso de síntesis se supone conocido el perfil de la leva, esto es, se conoce la función ρ = ρ(β) que genera el perfil de la leva en el sistema

4

dρ( β) dβ

con esta ecuación se puede encontrar que el ángulo ф se calcula como: ρ(β ) ф=arctan ρ '( β )

(

)

… (7)

Por otro lado, expandiendo la ecuación (1) y utilizando las siguientes identidades trigonométricas: sen θ=

+a sen ( θ+ β+ ϕ−π ) ^j Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación característica y resolviendo obtenemos las ecuaciones

… (6)

2τ , 1+ τ 2 … (8)

1−τ 2 cos θ= , 1+ τ 2 τ ≡ tan(

Ɵ ) 2

se obtiene que:

ϕ +¿+a sen β sen ϕ ρ sen β−a cos β cos ¿ τ +e−ρ cos β−a sen β cos ϕ−a cos β s ( e+ ρ cos ⁡β+ a sen β cos ⁡ϕ+ a cos ⁡β sen ϕ)τ 2 +2¿ … (9)

de esta ecuación cuadrática solución viene dada por:

la

… (9)

Octubre de 2016La verdad os hará libres a2 cos2 ( θ+β +ϕ−π ) =s 2−¿

−B± √ B 2 – AC τ= A

−2 ρs sen ( θ+ β )+ ρ2 sen2 ( θ+ β ) …(14) donde: A ≡e + ρ cos β +a sen β cos ϕ+ a cos β sen ϕ

B ≡ ρ sen β−a cos β cos ϕ+ a sen β sen ϕ C ≡ e−ρ cos β−a sen β cos ϕ−a cos β sen ϕ

de donde, finalmente, el ángulo θ se calcula como: θ=2arctan (

−B ± √ B2 – AC ) A

a2 sen 2 ( θ+ β + ϕ−π )=ρ2 cos2 ( θ+ β ) …(15) Sumando las últimas dos ecuaciones: a2=s 2−2 ρs sen ( θ+ β ) + ρ2 …(16) Haciendo el despeje para la ecuación que se necesita: … (10)

ρ=s ( sen ( θ+ β ) )−¿

obteniéndose así dos posibles valores de θ. Para obtener un solo valor de θ, simplemente se selecciona uno de los signos, + o −, que afectan a la raíz cuadrada involucrada. Una vez conocidos los valores de θ, β y ф, se sustituyen en la ecuación, de la cual se obtiene que: s= ρ sen(θ+ β)−a cos(θ+ β + ϕ)

−√ 4 s 2 sen2 (θ + β )+ 4 a 2−4 s 2 …(17) 2

… (11)

quedando así resuelto el problema de síntesis del desplazamiento del seguidor.

Lo anterior quiere decir que existirán dos resultados posibles para ρ y además debemos

5) Síntesis del Perfil de la leva.

encontrar los valores de que harán que la raíz exista para esto lo igualamos a cero para poder determinar las raíces que hacen esto posible:

Conociendo la función que describe el desplazamiento del seguidor podemos partir de las ERP’s para obtener una función que nos del valor de ρ(β). Así de esta manera despejando a cos ( θ+ β + ϕ−π ) a sen (θ + β+ ϕ−π ) y y elevando al cuadrado las ecuaciones respectivas resultantes tendremos que: a cos ( θ+ β + ϕ−π )=s− ρ sen ( θ+ β ) … (12) a sen (θ + β+ ϕ−π )= ρcos (θ+ β ) …( 13)

Elevando al cuadrado:

5

4 s 2 sen2 (θ + β )+ 4 a 2−4 s 2=0 …(18) Desarrollando y proporcionadas: senβ = … (19)

usando

las

identidades

2σ 1−σ 2 β cosβ= σ =tan 2 2 2 1+ σ 1+ σ

()

A partir de este punto se usó el software MATLAB para realizar los siguientes pasos debido a la complejidad de la ecuación, dando que las raíces para σ son 4:

… (21)

Octubre de 2016La verdad os hará libres s2 cos2 ( θ ) +s 2 sen2 ( θ ) +a 2−s 2 +s cos(θ) √ σ=

2 2 2 2 2 2 a −s + s cos ( θ )+ s sen (θ )+ s cos ⁡( θ) √ k=

s2 cos2 ( θ ) +s 2 sen2 ( θ ) +a 2−s 2−s cos ( θ ) √ σ=

k3 = √

2

s sen ( θ ) + √ a+ s √ s−a

s sen (θ ) + √ a+ s √ s−a

σ=

−√ s 2 cos 2 ( θ )+ s 2 sen2 ( θ ) +a2−s 2+ s cos (θ ) s sen ( θ ) + √ a+ s √ s−a

σ=

−√ s cos ( θ )+ s sen ( θ ) +a −s −s cos(θ) s sen ( θ ) + √ a+ s √ s−a 2

2

2

2

2

k4

a2 −s 2+ s 2 cos 2 ( θ )+ s 2 sen2 (θ )+ s cos ⁡( θ) k4

k 4=s sen (θ )+ √ a+s √ s−a Estos valores se sustituyen en:

2

ρ=s ( sen ( θ+ β ) )−

√ 4 s 2 sen2 (θ+ β )+ 4 a 2−4 s 2

Así, siendo ya conocidos a, Teniendo las raíces posibles la sugerencia del texto es escoger un valor que haga β mas pequeño,

β , θ , s para cada

instante se procede a graficar en forma polar para poder obtener el perfil de la leva, en este caso se hizo uso de Dynacam Se especifica que a es el radio del seguidor y es igual a 0.5in, s y θ nos las da la grafica de

nuestra selección fue la silucion: σ =√

2

s2 cos2 ( θ ) +s 2 sen2 ( θ ) +a 2−s 2 +s cos(θ) s sen ( θ ) + √ a+ s √ s−a

desplazamiento mostrada y también conocemos de acuerdo a las gráficas que la velocidad angular ω es 12.56 rad/s.

… (21)

De esta solución se obtienen valores para

β

2 k1

β=sin −1

√ s+k 3 √ s−k 3 +s sen ( θ )

(√

k 12 s+k 2 √ s−k 2 s sen 2 ( θ )

+1

)

Donde los coeficientes son:

s 2 cos2 (θ )+ s 2 sen2 ( θ ) +¿ a2−s 2+ ¿ √¿ ¿ ¿ 2+s cos ⁡( θ) ¿ ¿ ¿ 2 2 ( ) s cos θ + s2 sen 2 ( θ ) +¿ k 1 =√ ¿

6

Como podemos ver el perfil cumple con la forma en que se mueve el seguidor en la gráfica de desplazamiento s respecto de θ .

Octubre de 2016La verdad os hará libres El software también nos permite ver las gráficas de desplazamiento, velocidad y aceleración generadas con los datos proporcionados y cómo podemos ver en la figura que sigue los diagramas coinciden y además se incluye uno extra que es el del tirón (jerk):

7

Podemos interpretar la gráfica y la leva como el comportamiento del pie humano al pisar, esta leva simula éste y permite así haciéndola girar a altas velocidades probar el ciclo de vida del calzado.