Sebaran Bernoulli

Sebaran Bernoulli • Terdiri dari dua kemungkinan, yaitu SUKSES atau GAGAL. Kejadian SUKSES merupakan kejadian yang diperhatikan oleh peneliti, serta tidak harus merupakan kejadian yang baik. • Bila peluang SUKSES = q, maka peluang GAGAL = 1-q. Sehingga dapat ditulis: 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑞 𝑥 (1 − 𝑞)1−𝑥 ,

𝑥 = 0,1

0≤𝑞≤1 • Nilai harapan dan ragamnya: 𝐸 𝑋 =𝜇=𝑞

𝜎 2 = 𝑞(1 − 𝑞)

Contoh Kasus 1. Sebuah dadu setimbang dilemparkan sebanyak satu kali. Misalkan, jika

diperoleh angka 4 atau 6, maka dikatakan “berhasil”, sedangkan sisanya dikatakan “gagal”. Tentukan fungsi massa peluang bagi peubah acak X, yaitu munculnya angka 4 atau 6. 2. Sebuah dadu diundi, jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sukses, tentukan fungsi peluang, rata-rata, dan variansnya.

Penyelesaian 1 1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 6 • 𝑋=ቊ 0 , 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 1

• Jika X adalah peubah acak Bernoulli dengan parameter q = , maka fungsi peluangnya 3 adalah; X=

2 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 3 1 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 3

𝑥=0 𝑥=1

0, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 • Nilai harapan dan ragam: 𝐸 𝑋 =𝑝=

1 3

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝 1 − 𝑝 =

1 3

1−

1 3

=

2 9

Penyelesaian 2 2 6

• 𝑞 = 𝑃 𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠 = 𝑃 𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 4 = =

a)

1 , 3 2 , 3

0,

𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 = 0

𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

b) 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎: 𝜇 = 𝑞 = 2

1 3

c) 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠: 𝜎 = 𝑞 1 − 𝑞 =

1 2 3 3

=

2 9

1 3

Sebaran Binomial • Sebaran binomial muncul ketika percobaan Bernoulli diulang sebanyak n kali. Setiap pengulangan, peluang SUKSES selalu sama yaitu q, begitu juga dengan peluang GAGAL yaitu 1−q. • Bila 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ~ 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(𝑞), maka 𝑋 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) merupakan peubah acak yang menyebar menurut sebaran peluang Binom atau dapat ditulis X ~ binom (n,q). Fungsi peluangnya: 𝑃 𝑋=𝑥 = 𝑛 𝐶𝑥 =

𝑛 𝐶𝑥 𝑞

𝑛! ;𝑞 (𝑛−𝑥)!𝑥!

𝑥 (1 −

𝑞)𝑛−𝑥 , 𝑥 = 0,1,2,3 … , 𝑛

= 𝑝𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠

Sebaran Binomial • Nilai harapan dan ragamnya: 𝐸 𝑋 =𝜇 =𝑞 1−𝑞 𝜎 2 = 𝑛𝑞(1 − 𝑞)

Contoh Kasus 1.

Suatu survei menemukan bahwa satu dari lima orang berkata bahwa dia telah mengunjungi

dokter dalam sembarang bulan yang ditanyakan. Jika 10 orang dipilih secara acak, berapakah peluang tiga diantaranya sudah mengunjungi dokter bulan lalu? 2.

Ujian matematika menggunakan pilihan berganda. Setiap soal ada empat pilihan dan hanya satu jawaban yang benar untuk setiap soal. Selanjutnya, antar nomor soal diasumsikan saling bebas. Amir mengikuti ujian matematika tersebut, dan terdapat 10 soal yang harus dijawab. a.

Berapa peluang dia menjawab benar 5 soal?

b.

Berapa peluang dia menjawab soal minimal 3 yang benar?

Penyelesaian 1 1 5

Dik: n=10; X=3; q = ; dan 1 − 𝑞 = • 𝑃 𝑋=3 =

4 5

10! 1 3 4 10−3 10−3 ! 3! 5 5

= 120 0.008 0.209 = 0.201

Penyelesaian 2 1 4

Dik: n=10; 𝑞 = (peluang sukses) 1 5 3 10−5 10 𝐶5 4 4

a.

𝑃 𝑋=5 =

b.

𝑃 𝑋 ≥ 3 = 1 − 𝑃 𝑥 < 𝑎 = 1 − 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃(𝑥 = 2) =1−

= 0.0584

1 0 3 10−0 10 𝐶0 4 4

+

1 1 3 10−1 10 𝐶1 4 4

= 1 − 0 + 0.18775 + 0.28125 = 0.531

+

1 2 3 10−2 10 𝐶2 4 4