Series De Tiempo Y Numeros Indice

CONTROL ESTADISTICO DE Docente:

VARELA ROJAS Walter

PROCESOS Alumno(a): TOLENTINO MOLINA Yobana

TRABAJO PRACTICO

UNASAM Escuela de Ing. Industrial

2

CAPITULO 13 SERIES DE TIEMPO Y NUMEROS INDICE EJERCICIO 1. Si los datos en una serie temporal tienen una varianza grande, ¿Podría utilizarse un promedio móvil con un número mayor de periodos, o uno con un número menor de periodos? ¿Por qué? SOLUCIÓN: Los promedios móviles tienen el efecto de suavizante en las variaciones grandes de datos, por lo que entre más grande sea el número de periodos en un promedio móvil, más pronunciado será el efecto suavizante, lo cual sería de mayor beneficio. EJERCICIO 2. ¿Por qué se debe utilizar un promedio móvil solo cuando los datos no presentan tendencia ni ascendente ni descendente? SOLUCIÓN: Se utilizan solo cuando los datos no presentan tendencia ni ascendente ni descendente debido a que los promedios móviles tienen el efecto de suavizamiento en las variaciones grandes de los datos. Este efecto de suavizamiento ocurre porque las observaciones inusualmente pequeñas se promedian con otros valores, y por tanto impacto se mitiga. Entre mas grande se el numero de periodos en un promedio móvil, más pronunciado será el efecto de suavizamiento. Es por ello que esta técnica se ajusta para proyectar envíos futuros.

EJERCICIO 3. Acontinuación se presenta el número de llamadas telefónicas diarias que ingresan a un comutador de una oficina muy ocupada Calcule el promedio móvil para 3 periodos. DIA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

LLAMADA S

40

37

45

32

42

47

39

47

41

3 6

3 8

3

SOLUCION:

Día

N° Llamadas

PM de tres periodos

1

40

2

37

40.6

3

45

38

4

32

39.6

5

42

40.3

6

47

42.6

7

39

44.3

8

47

42.3

9 41 41.3 EJERCICIO 4. A continuación se 10 36 38.3 presenta el número de empleados que se 11 38 ausentan diariamente de su trabajo en una fábrica grande. Calcule el promedio móvil de cuatro periodos relacionados con estos datos. Centre los promedios. DIA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

EMPLEADOS

4 5

5 4

6 3

3 9

42

31

48

5 4

6 4

3 6

3 8

5 2

Dí a

N° Empleados

1

45

2

54

50.25

3

63

49.5

4

39

43.75

5

42

40

6

31

43.75

7

48

49.25

8

54

50.5

9 64 EJERCICIO 5. Las 10 36 excedentes para Inc, durante 10 11 41 101, 122, 109, 111, 12 52 112 y 117. Utilice el exponencial con existencias para la semana número once.

48.75

SOLUCION:

SOLUCIÓN: Como: F t+1 =α At +(1−α ) F t

PM de cuatro periodos

48.25

existencias Mommis Apples Pies. semanas han sido 120, 117, 115, 118, suavizamiento α =0.20 y proyecte las

4 Con:

F t+1 = Valor existencia proyectada para el periodo siguiente At = Valor existencia actual F t=Valor proyectado para el periodo actual F 11° semana =( 0.20)117+(0.80)(112) F 11° semana =113

EJERCICIO 6. Los créditos mensuales en miles de dólares en el banco local son 211, 234, 209, 217, 215, 232, 221, 211 y 203. Utilice el suavizamiento exponencial para proyectar los créditos al siguiente periodo utilizando un valor alfa de 0.10. Calcule el cuadrado medio del error y compártelo con el cuadrado medio del error y compárelo con el cuadrado medio del error si alfa es 0.80. ¿cuál valor alfa proporciona el mejor pronostico? SOLUCIÓN: REAL 211 234 209 217 215 232 221 211 203





PROYECCION (0.1) 0 211 213.3 212.87 213.283 213.4547 215.30923 215.878307 215.3904763 214.1514287

ERROR -23 4.3 -4.13 -1.717 -18.5453 -5.69077 4.878307 12.3904763

PROYECCION (0.8) 0 211 229.4 209.86 216.174 214.6566 228.29094 219.861846 211.9756614 205.4780953

ERROR -23 20.4 -7.14 1.174 -17.3434 7.29094 8.861846 8.9756614

PARA α = 0.1 CME =

(−23)2 +( 4.3)2+(−4.13)2 +(−1.72)2 +(−18.55)2 +(−5.69)2 +(4.88)2+(12.39)2 9−1

CME =

1121.12979 = 140.141223 8

PARA α = 0.8 CME =

(−23)2 +(20.4 )2+(−7.14)2 +(1.17)2 +(−17.34)2+(7.29)2+(8.86)2 +(8.98)2 9−1

CME =

1510.56402 = 188.820502 8

EJERCICIO 7 A continuación aparecen los puntajes de las pruebas nacionales anuales, de los estudiantes de último año de bachillerato que están solicitando ingreso a las universidades. Desarrolle una recta de tendencia y proyecte el puntaje del examen para 1998. AÑO 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 PUNTAJE 412 423 453 432 541 539 587 591 602

5 SOLUCIÓN: f(x)=27.316666667x - 53933.377777 R2 = 0.9090600734 PUNTAJE PARA EXAMEN DE 1998: 650 aprox.

PUNTAJE DE PRUEBAS NACIONALES 700 600 500 PUNTAJE

400 300 200 100 0 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

EJERCICIO 8. El departamento de investigaciones de National Industries ha registrado el nivel de producción en miles de unidades, producidadas durante los últimos meses. Utilizando los daros de aquí se muestran, desarrolle una recta de tendencia y una proyección para la producción de noviembre y diciembre. PERIODO PRODUCCIÓN (Y) Enero 89 Febrero 78 Marzo 71 Abril 75 Mayo 68 Junio 61 Julio 65 Agosto 54 SOLUCIÓN: PERIODO

T(X)

PRODUCCIÓN (Y)

XY

X2

Enero

1

89

89

1

Febrero

2

78

156

4

Marzo

3

71

213

9

Abril

4

75

300

16

Mayo

5

68

340

25

Junio

6

61

366

36

Julio

7

65

455

49

Agosto

8

54

432

64

TOTAL

36

561

2351

204

6 362 SC X =204− =42 8 SC XY =2351−

36∗561 =−173.5 8

b 1=

SC XY SC X

b 1=

−173.5 =−4.1738 42

´ b 0=Y´ −b1 X b 0=70.125−(−4.1738 ) ( 4.5 )=88.9071 La ecuación para la recta tendencia es:

Y´ =88.9071−4.1738 t Proyección para la producción de noviembre y diciembre: 

Noviembre

Y´ nov =88.9071−4.1738 ( 11 ) Y´ nov =42.9953 ≅ 43 unidades producidas 

Diciembre

Y´ dic =88.9071−4.1738 ( 12 ) Y´ dic =38.8215 ≅ 39 unidades producidas INTERPRETACIÓN: El coeficiente negativo para t de -4.1738 indica que la producción está descendiendo a una tasa de 4.1738 unidades por cada periodo(mes). EJERCICIO 9. City Utilities ha experimentado una rápida expansión durante los últimos años. Este crecimiento ha requerido cada año adiciones a la fuerza laboral. Utilice el análisis de tendencia para predecir el tamaño de la fuerza laboral (en cientos) para el año 2001. AÑOS

199 0

199 1

199 2

199 3

199 4

199 5

199 6

199 7

199 8

EMPLEADO S

3.5

4.8

5.2

4.9

5.6

5.2

6.5

7.8

8.5

SOLUCIÓN: AÑO

T(X)

EMPLEADOS (Y)

XY

X2

1990

1

3.5

3.5

1

1991

2

4.8

9.6

4

1992

3

5.2

15.6

9

1993

4

4.9

19.6

16

1994

5

5.6

28

25

7

1995

6

5.2

31.2

36

1996

7

6.5

45.5

49

1997

8

7.8

62.4

64

1998

9

8.5

76.5

81

TOTA L

45

52

291. 9

285

Suma De Cuadrados de X 2

2

S C x =∑ x −

(∑ x ) n

(45)2 ¿ 60 S C x =285− 9 Suma de cuadrados de productos cruzados

S C xy =∑ xy − S C xy=291.9−

( ∑ x )( ∑ y ) n

( 45 ) ( 52 ) ¿ 31.9 9

Pendiente de la recta de tendencia

b 1=

S C xy S Cx

b 1=

31.9 ¿ 0.532 60

Intercepto de la recta pendiente

b 0=Y´ −b1 x´ b 0=5− ( 0.532 )( 5.78 ) ¿ 1.925 Y^ =1.925+ 0.532 ( 10 ) ¿ 7.125 9 8 7 Empleados

6 5 4 3 2 1 0 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

El tamaño de fuerza laboral para el año 1999 será de 7.125.

8 EJERCICIO 10. Las exportaciones trimestales en miles de dólares de accesorios para tubería hacia los países de la costa del pacifico por parte de international Metals, inc. Se presentan a continuación. Calcule e interpreta los índices estacionales para cada trimestre. 1995

1996

1997

1998

I

12

I

10

I

15

I

12

II

15

II

15

II

18

II

14

II

18

III

14

III

21

III

15

IV

26

IV

25

IV

36

IV

25

SOLUCIÓN: Trimestre del año

Ingreso

PM centrado

Razón por PM Y/CMA=S.I

1995-I

12

II

15

17.75

III

18

18.50

18.125

0.993

IV

26

19.25

18.875

1.377

1996-I

15

20.00

19.625

0.764

II

18

22.50

21.25

0.847

III

21

21.25

21.875

0.960

IV

36

20.50

20.875

1.724

1997-I

10

18.75

19.625

0.509

II

15

16.00

17.375

0.863

III

14

16.50

16.25

0.861

IV

25

16.25

16.375

1.526

1998-I

12

16.50

16.375

0.732

II

14

16.50

16.5

0.848

III

15

IV

25

PM

La suma de la razón promedio con los promedios móviles es 4.001 como se observa en la siguiente tabla. La razón de normalización es

4 =0.9998 . 4.001

Razones por promedio móvil 1996

1997

1998

Razón promedio por PM

I

0.764

0.509

0.732

0.668

0.667

II

0.847

0.863

0.848

0.853

0.852

1995

Índice estacional

II I

0.993

0.960

0.861

0.938

0.937

I V

1.377

1.724

1.526

1.542

1.541

9 TOTAL

3.997 ≈ 4

4.001

Cada índice estacional se calcula multiplicando la razón promedio por la razón de normalización Para el trimestre I es 0.668∗0.9998=0.667 . EJERCICIO 11. Los datos trimestrales para el numero de clientes de Eastern Electronics se presentan a continuación. Compare la recta de tendencia y los índices para cada trimestre. 1995

1996

1997

1998

I

215

I

366

I

587

I

621

II

253

II

471

II

571

II

655

III

351

III

451

III

569

III

687

IV

398

IV

652

IV

588

IV

699

SOLUCIÓN: Tenemos los índices estacionales AÑO

I

II

1995

-

-

1996

1.12

0.96

1997

0.99

1.028

1.003

0.99

1.003

0.99

1998 TOTAL

III 0.97

IV 0.92

1.14

0.85

1.025

1.02 -

1.025

0.92

400 > (100) x (1.003+0.99+1.025+0.92) 400 > 393.8 EJERCICIO 12. Los costos en cientos de dólares de las llamadas telefónicas internacionales realizadas por los fondos de inversión de estados unidos (USA investment funds) aparecen a continuación. Calcule e interprete los índices trimestrales. 1995

1996

1997

1998

TRIMESTR E

COST O

TRIMESTR E

COST O

TRIMESTR E

COST O

TRIMESTR E

COST O

I

14

I

21

I

21

I

26

II

18

II

24

II

23

II

28

III

26

III

29

III

38

III

48

IV

15

IV

18

IV

21

IV

31

AÑO

TRIMESTRE

COSTO

1 9

I II

14 18

SOLUCIÓN: PROMEDIO MOVIL 18.25

PROMEDIO MOVIL CENTRADO -

%DE VALORES REALES -

10 III IV I II III IV I II III IV I II III IV

9 5 1 9 9 6 1 9 9 7 1 9 9 8

26 15 21 24 29 18 21 23 38 21 26 28 48 31

20 21.5 22.25 23 23 22.75 25 25.75 27 28.25 30.75 33.25 -

19.125 20.75 21.875 22.625 23 22.875 23.875 25.375 26.375 27.625 29.5 32 -

1.36 0.72 0.96 1.06 1.26 0.79 0.88 0.91 1.44 0.76 0.88 0.87 -

PORCENTAJE DE NUMEROS REALES AÑO 1995 1996 1997 1998

I 0.96 0.88 0.88 0.88

II 1.06 0.91 0.87 0.91

III 1.36 1.26 1.44 1.36

IV 0.72 0.79 0.76 0.76

INDICES ESTACIONALES 400 > (100) 0.88+0.91+1.36+0.76 400 > 391 EJERCICIO 13. Desestacionalice los datos para los fondos de Inversión de Estados Unidos en el ejercicio anterior. SOLUCIÓN: AÑ O 1 9 9 5

1 9 9 6

1 9 9 7 1 9

TRIMESTR E I

COST O 14

II

PM

PM CENTRADO

% VALOR REAL

-

-

-

18

18.2 5

-

-

III

26

20

19.125

1.36

IV

15

21.5

20.75

0.72

I

21

22.2 5

21.875

0.96

II

24

23

22.625

1.06

III

29

23

23

1.26

IV

18

22.7 5

22.875

0.79

I

21

25

23.875

0.88

II

23

25.7 5

25.375

0.91

III

38

27

26.375

1.44

IV

21

28.2 5

27.625

0.76

26

30.7 5

29.5

0.88

I

11

9 8

II

28

33.2 5

32

0.87

III

48

-

-

-

IV

31

-

-

-

PORCENTAJE DE NUMEROS REALES AÑO I 1995 1996

II -

III 1.36

1.06

1.26 1.44 -

0.76 -

1.36

0.76

1997

0.96 0.88

1998

0.88

0.91 0.87

0.88

0.91

IV 0.72 0.79

Desestacionalizando: AÑO

T

Cost o

Índ. Estacional

Costos Desest.

1995

1

14

0

0

2

18

0

0

3

26

1.36

19.1176471

4

15

0.72

20.8333333

5

21

0.96

21.875

6

24

1.06

22.6415094

7

29

1.26

23.015873

8

18

0.79

22.7848101

9

21

0.88

23.8636364

10

23

0.91

25.2747253

11

38

1.44

26.3888889

12

21

0.76

27.6315789

13

26

0.88

29.5454545

14

28

0.87

32.183908

15

48

0

0

16

31

0

0

1996

1997

1998

12 Costo 12 10 8 6 4 2 0

0

2

4

6

8

10

12

Costos Desestacionalizados 12 10 8 6 4 2 0

0

2

4

6

Costo

8

10

12

Costos Desestacionalice

Serie desestacionalizada

EJERCICIO 14 Los costos de los ingredientes utilizados por Hobson Industries para fabricar dulces se presentan aquí para los meses seleccionados. Desarrolle y explique un índice de precios simple para cada ingrediente, utilizando el mes de mayo como periodo base.

SOLUCIÓN:

PRODUCTOS

MARZ O

ABRIL

MAYO

JUNIO

JULIO

AZÚCAR

5.12

5.89

6.12

6.03

6.29

BASE DE GOMA

1.15

1.20

2.03

1.96

1.84

ACEITE DE MAÍZ

0.97

1.04

1.09

1.15

1.25

13 -

AZUCAR: Mes

Precio de azúcar US$

IPC (%)

Tasa de inflación (%)

MARZ O

5.12

83.660130 7

ABRIL

5.89

96.241830 1

15.0390625

MAYO

6.12

100

3.9049236

JUNIO

6.03

98.529411 8

-1.47058824

JULIO

6.29

102.77777 8

4.31177446

El IPC el cual representa una medida de precios para Marzo va respecto al periodo base Mayo, donde el IPC es de 83.66 % siendo la medida menor de los periodos y el periodo de Julio representa el mayor IPC que es 102.77% respecto al periodo base. -

BASE DE GOMA: Mes Precio de base de goma MARZO 1.15 ABRIL 1.2 MAYO 2.03 JUNIO 1.96 JULIO 1.84

IPC (%) 56.6502463 59.1133005 100 96.5517241 90.6403941

Tasa de inflación (%) 4.34782609 69.1666667 -3.44827586 -6.12244898

El IPC el cual representa una medida de precios para Marzo va respecto al periodo base Mayo, donde el IPC es de 56.65 % siendo la medida menor de los periodos y el periodo de Junio representa el mayor IPC que es 96.55% respecto al periodo base.

-

ACEITE DE MAIZ: Mes Precio de aceite de maiz IPC (%) MARZO 0.97 88.9908257 ABRIL 1.04 95.412844 MAYO 1.09 100 JUNIO 1.15 105.504587 JULIO 1.25 114.678899

Tasa de inflación (%) 7.21649485 4.80769231 5.50458716 8.69565217

El IPC el cual representa una medida de precios para Marzo va respecto al periodo base Mayo, donde el IPC es de 88.99 % siendo la medida menor de los periodos y el periodo de Julio representa el mayor IPC que es 114.67% respecto al periodo base . EJERCICIO 15. Los precios minoristas para la sopa y las nueces se dan a continuación. Calcule el índice de precios agregativo para ambos productos, utilizando 1995 como período base. Interprete los resultados. 1993 1994 1995 1996 1997

SOLUCION

SOPA

2.03

2.12

2.35

2.45

2.50

NUECE S

0.79

0.83

0.94

1.02

1.15

14 INDICE DE PRECIOS AGREGATIVO: IPR= PR x 100 PB IP1993 =

2.03+0.79 (100) = 85.714 2.35+0.94

IP1994 =

2.12+0.83 (100) = 89.666 2.35+0.94

IP1995 =

2.35+0.94 (100) = 100 2.35+0.94

IP1996 =

2.45+1.02 (100) = 105.471 2.35+0.94

IP1997 =

2.50+1.15 (100) = 110.942 2.35+0.94

EJERCICIO 16 Durante los últimos 3 años en State University, la dieta de Sammy no ha sufrido cambios. Los precios y cantidades para los 3 productos que constituyen las principales harinas de Sammy se expresan más adelante. Calcule y compare el índice de Laspeyres y el índice de Paasche con 1997 como año base. Precios Cantidades AÑO

1996

1997

1998

1996

1997

1998

Pizza

3.00

4.50

5.00

500

700

850

Bebida

4.00

4.50

4.50

300

350

400

Galletas Pretzel

1.50

2.50

3.00

100

100

90

SOLUCIÓN: Hallando el índice de Laspeyres: Precios





P R × Q97

Cantidad

AÑO

1996

1997

1998

1997

1996

1997

1998

Pizza

3.00

4.50

5.00

700

2100

3150

3500

Bebida

4.00

4.50

4.50

350

1400

1575

1575

Galletas Pretzel

1.50

2.50

3.00

100

150

250

300

TOTAL

3650

4975

5375

L96=

∑ (P 96 ×Q 97) × 100 ∑ (P 97 ×Q 97)

L96=

3650 ×100 ¿ 73.36 4975

L97=

∑ (P 97 ×Q 97) × 100 ∑ (P 97 ×Q 97)

L97=

4975 ×100 ¿ 100 4975

15 

L98=

∑ (P 98 ×Q 97) ×100 ∑ (P 97 ×Q 97)

L98=

5375 ×100 = 108.04 4975

Hallando el índice de Paasche: 1996

1997

1998

PRECIO POR CANTIDAD

P96 Q96 P97 Q97 P98 Q 98

P97 Q96

P97 Q98

850

1500

3150

4250

2250

382 5

4.5 0

400

1200

1575

1800

1350

180 0

3.0 0

90

150

250

270

250

225

2850

4975

6320

3850

585 0

P

Q

P

Q

P

Q

Pizza

3.0 0

500

4.5 0

700

5.0 0

Bebida

4.0 0

300

4.5 0

350

Galleta s Pretzel

1.5 0

100

2.5 0

100

TOTAL



P96=

∑ ( P96 ×Q96 ) ×100 ∑ ( P97 ×Q96 )

2850 × 100 ¿ P 96=74.03 3850 ∑ ( P97 ×Q97 ) ×100 P97= ∑ ( P97 ×Q97 ) 4975 P97= ×100 ¿ P97 = 100 4975 ∑ (P 98 ×Q 98) ×100 P98= ∑ (P 97 ×Q 98) 6320 P98= × 100=P98=108.03 5850 P96=





EJERCICIO 17. Cars ha reportado ventas (en US$ 1,000S) durante los últimos 3 años aquí: MES

1996

1997

1998

MES

1996

1997

1998

ENERO

17.2

18.1

16.3

JULIO

24.2

23.9

22.7

FEBRER O

18.6

19.2

17.3

AGOSTO

25.7

26.2

25.0

MARZO

19.7

20.3

18.5

SETIEMBR E

21.2

22.0

21.9

ABRIL

20.2

21.5

20.3

OCTUBRE

19.3

18.0

17.3

MAYO

21.7

22.0

21.2

NOVIEMBR E

22.7

19.7

21.2

JUNIO

23.1

24.7

25.0

DICIEMBRE

19.3

17.3

16.2

A) Grafica los datos ¿Parece que hay alguna tendencia en los datos? ¿Hay alguna variación cíclica o estacional?

16 B) Calcule un promedio móvil de 12. ¿Cuál componente o componentes reflejan estos valores?

SOLUCION: A) Para poder obtener este grafico primero procedemos a hacer un cuadro de organización de datos: MES

AÑO

1996 ENERO 17.2 FEBRERO 18.7 MARZO 19.7 ABRIL 20.2 MAYO 21.7 JUNIO 23.1 JULIO 24.2 AGOSTO 25.7 SETIEMBRE 21.2 OCTUBRE 19.3 NOVIEMBRE 22.7 DICIEMBRE 19.3 TOTALES 253 PROMEDIO 21.08333333

1997 18.1 19.2 20.3 21.5 22 24.7 23.9 26.2 22 18 19.7 17.3 252.9 21.075

1998 16.3 17.3 18.5 20.3 21 25 22.7 25 21.9 17.3 21.2 16.2 242.7 20.225

Con los datos optenidos del primer cuadro realizamos un segundo cuadro para poder evaluar en indice de estacionalidad: INIDICE DE ESTACIONALIDAD INDICE DE ESTACIONALIDAD DEFINITIVO

ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SETIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE TOTALES

1996 81.58102767 88.69565217 93.43873518 95.81027668 102.9249012 109.5652174 114.7826087 121.8972332 100.5533597 91.54150198 107.6679842 91.54150198 1200

1997 85.8837485 91.1032028 96.3226572 102.016607 104.389087 117.200474 113.404508 124.317912 104.389087 85.4092527 93.4756821 82.0877817 1200

1998 80.5933251 85.5377009 91.4709518 100.370828 103.831891 123.609394 112.23733 123.609394 108.281829 85.5377009 104.820766 80.0988875 1200

82.68603376 88.44551863 93.74411472 99.39923741 103.715293 116.7916954 113.4748155 123.2748466 104.4080919 87.49615184 101.9881442 84.57605707 1200

La formula utilizada es: el dato historico / el promedio del año multiplicado por 100 Ejemplo: Enero= 17.2/21.0833333x100 = 81.51022767 Es en este punto donde podemos obtener la grafica del indice de estacionalidad:

17

Ahora procedemos a armar un tercer cuadro para poder visualizar la tendencia a lo largo de los 3 años y así comprobar si hay alguna variación clica o estacional en los datos: AÑO - MES Ene-96 Feb-96 Mar-96 Abr-96 May-96 Jun-96 Jul-96 Ago-96 Set-96 Oct-96 Nov-96 Dic-96 Ene-97 Feb-97 Mar-97 Abr-97 May-97 Jun-97 Jul-97 Ago-97 Set-97 Oct-97 Nov-97 Dic-97 Ene-98 Feb-98 Mar-98 Abr-98 May-98 Jun-98 Jul-98 Ago-98 Set-98 Oct-98 Nov-98 Dic-98

Y observada X obesarbada 17.2 1 18.7 2 19.7 3 20.2 4 21.7 5 23.1 6 24.2 7 25.7 8 21.2 9 19.3 10 22.7 11 19.3 12 18.1 13 19.2 14 20.3 15 21.5 16 22 17 24.7 18 23.9 19 26.2 20 22 21 18 22 19.7 23 17.3 24 16.3 25 17.3 26 18.5 27 20.3 28 21 29 25 30 22.7 31 25 32 21.9 33 17.3 34 21.2 35 16.2 36

a. Calcule un promedio móvil de 12 meses ¿cuál componente o componentes reflejan estos valores?

18

EJERCICIO 18. calcule los índices estacionales para cada mes utilizando los datos de Cars-Us del ejercicio anterior. ventas

MES

199 17,2 6

199 7

199 8

MES

Enero

17.2 19,7

18.1

16.3

Febrer o

20,2 21,7 18.7 23,1 24,2 25,7 19.7 21,2 19,3 20.2 22,7 19,3 21.7 18,1 19,2 20,3 23.1 21,5 22 24,7 23,9

19.2

17.3

Marzo Abril Mayo Junio SOLUCION:

promedio movil promedio movil de 12 centrado

18,7

26,2 22 18 19,7 17,3 16,3 17,3 18,5 20,3 21 25 22,7 25 21,9 17,3 21,2 16,2

21,08333333 21,15833333 20.3 21,218.5 21,25 21,35833333 21.5 20.3 21,38333333 21,51666667 22.0 21.0 21,49166667 21,53333333 21,6 24.7 25.0 21,49166667 21,24166667 21,075 20,925 20,76666667 20,61666667 20,51666667 20,43333333 20,45833333 20,35833333 20,25833333 20,25 20,19166667 20,31666667 20,225

Indice estacional específico 199

6

199 7

199 8

Julio

24.2

23.9

22.7

Agosto

25.7

26.2

25.0

22.0

21.9

18.0

17.3

19.7

21.2

17.3

16.2

21,12083333 Setiembr 21,17916667 e 21,225 21,30416667 Octubre 21,37083333 21,45 Noviembr 21,50416667 e 21,5125 21,56666667 Diciembr 21,54583333 e 21,36666667 21,15833333 21

1,145788124 1,21345662 21.2 0,998822144 0,905926071 19.3 1,06219536 0,8997669 22.7 0,841697345 0,892504358 0,941267388 19.3 0,997872752 1,029641186 1,167388736 1,138095238

20,84583333 20,69166667 20,56666667 20,475 20,44583333 20,40833333 20,30833333 20,25416667 20,22083333 20,25416667 20,27083333

1,256845892 1,063229964 0,875202593 0,962148962 0,84613817 0,798693344 0,85186705 0,913392306 1,003915104 1,036823699 1,233299075

19

FC

12 0,996844225 12,03798919

EJERCICIO 19. En el ejercicio 17, ¿Cuáles son las cifras de ventas estacionales corregidas para los últimos 6 meses de 1998? EJERCICIO 20 En el ejercicio 17,¿Cuáles son las cifras de ventas estacionales corregidas para los últimos seis meses de 1998?¿Cómo interpretaría?

20 EJERCICIO 21. Business Monthly reporto recientemente el valor en Mares de los "beneficios extra" recibidos por los ejecutivos durante los últimos años. Estos datos no incluyen dicha porci6n de asistencia médica de los ejecutivos pagada por el patrono, y están corregidos según la inflación. Utilice el análisis de tendencia lineal para predecir el valor para el año 2000. ¿Qué tan bien explica el modelo la tendencia en los niveles de beneficio? SOLUCIÓN

SCa =1496−

AÑO

T(A)

BENEFICIO (B)

AB

A2

1980

1

3,200

3200

1

1981

2

3,640

7280

4

1982

3

3,850

11550

9

1983

4

3,700

14800

16

1984

5

3,920

19600

25

1985

6

3,880

23280

36

1986

7

3,950

27650

49

1987

8

4,100

32800

64

1988

9

4,150

37350

81

1989

10

4,280

42800

100

1990

11

4,450

48950

121

1991

12

4,500

54000

144

1992

13

4,490

58370

169

1993

14

4,560

63840

196

1994

15

4,680

70200

225

1995

16

4,790

76640

256

TOTA L

68

66,140

59231 0

1496

682 ¿ 1207 16

SCab=592310−

68∗66140 ¿ 311.215 16

SC ab SC b 311.215 b 1= =0.26 1207 b 1=

´ b 0=Y´ −b1 X b 0=14−( 0.26 ) ( 11.5 ) ¿ 11.01 Modelo la tendencia en los niveles de beneficio tendencia es:

21 Modelo de tendencia 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

EJERCICIO 22. Los inventarios de Bake-o-Donuts durante los últimos dos años fueron: Mes

1995

1996

Mes

1995

1996

Enero

US$87

US$95

Julio

US$80

US$83

Febrero

93

102

Agosto

73

79

Marzo

102

112

Septiembr e

93

84

Abril

112

115

Octubre

102

89

Mayo

93

99

Noviembr e

115

92

Junio

82

90

Diciembre

112

91

A) Utilice un promedio móvil de 12 períodos para eliminar las variaciones estacionales. B) Calcule los índices estacionales. C) ¿Cuáles son los niveles de existencias corregidos estacionalmente? EJERCICIO 23. Mopeds Inc. Está preocupado por la caída en ventas. Si las ventas mensuales caen por debajo de US$9, 000 la oficina regional del noreste debe cerrarse. Según las cifras que aparecen a continuación, ¿Es probable que esto ocurra durante los 5 meses? Las cifras están en miles. 1996 E

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

18. 0

17. 3

16. 9

18. 1

16. 8

16. 3

15. 1

14. 5

14. 0

14. 5

14. 0

13. 1

11. 5

11. 1

11. 2

11. 2

11. 1

1997 13. 9

SOLUCIÓN:

13. 1

12. 8

12. 4

11. 8

11. 9

11. 7

22 AÑO 1996 (MILES)

AÑO 1997 (MILES)

PM (PROMEDIO)

Enero

18

13.9

15.95

Febrero

17.3

13.1

15.2

Marzo

16.9

12.8

14.85

Abril

18.1

12.4

15.25

Mayo

16.8

11.8

14.3

Junio

16.3

11.9

14.1

Julio

15.1

11.7

13.4

Agosto

14.5

11.5

13

Septiembre

14

11.1

12.55

Octubre

14.5

11.2

12.85

Noviembre

14

11.2

12.6

Diciembre

13.1

11.1

12.1 150.2

Durante los próximos 5 meses, serás pérdidas para la empresa y debe de cerrar la oficina regional noreste, porque a cada finalizar de año solo se generan pérdidas, mas no ganancias y el promedio de cada año por mes lo indica. EJERCICIO 24. Utilice los datos del ejercicio anterior, calcule los índices estacionales. EJERCICIO 25. utilizando los datos de Mopeds. Inc,¿cuál es la fuerza de la relación entre las ventas y el tiempo. Represente la recta de tendencias para los datos reales. SOLUCIÓN: AÑO

1996

1997

MES Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre

T (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

VENTAS (Y) 18 17.3 16.9 18.1 16.8 16.3 15.1 14.5 14 14.5 14 13.1 13.9 13.1 12.8 12.4 11.8 11.9 11.7 11.5 11.1 11.2 11.2

XY 18 34.6 50.7 72.4 84 97.8 105.7 116 126 145 154 157.2 180.7 183.4 192 198.4 200.6 214.2 222.3 230 233.1 246.4 257.6

X2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529

23 Diciembre TOTAL

24 300

11.1 332.3

266.4 3786.5

576 4900

3002 ¿ 1150 24 300∗332.3 SC XY =3786.5− ¿−367.25 24 SC X =4900−

SC XY SC X −367.25 b 1= =−0.32 1150 b 1=

´ b 0=Y´ −b1 X b 0=13.85−(−0.32 )( 12.5 ) ¿ 17.85 La ecuación para la recta tendencia es:

Y´ =17.85−0.32 t La recta de tendencias para los datos reales es:

Ventas 20 15 10 5 0

0

5

10

15

20

25

30

Interpretación: El coeficiente negativo para t de -0.32 indica que las ventas está descendiendo a una tasa de 0.32 miles por cada periodo(mes). EJERCICIO 26. Del modelo de regresión que calculó en el ejercicio sobre Mopeds, Inc. ¿Cuál es el cambio mensual promedio en las ventas? EJERCICIO 27. John Wolf considera que el suavizamiento exponencial con un valor de α de 0.8 puede proyectar mejor las existencias del mes de setiembre para su empresa de suministros médicos. Su hermano y socio considera que un valor α de 0.4 debería utilizarse. ¿Cuál es el pronostico en cada caso? ¿Quién esta en lo cierto, con base a los valores que aparecen a continuación de existencias por mes? SOLUCION: ME S E F M A

REA PROYECCIÓN (0.8) L 41 0 48 41 37 46.6 32 38.92

ERROR

PROYECCIÓN (0.4)

ERROR

-7 9.6 6.92

0 41 43.8 41.08

-7 6.8 9.08

24 M J J

45 43 49

33.384 42.6768 42.93536

-11.616 -0.3232 -6.06464

37.448 40.4688 41.48128

A

38

47.787072

9.787072

44.488768

S

39.9574144

-7.552 -2.5312 -7.51872 6.48876 8

41.8932608

PARA α = 0.8

(−7)2+(9.6)2 +( 6.92)2 +(−11.61)2 +(−0.32)2+(−6.06)2 +(9.78)2 8−1 456.648951 CME = 7

CME=

CME = 65.2355644 PARA α = 0.4

(−7)2+(6.8)2 +( 9.08)2 +(−7.55)2 +(−2.53)2+(−7.51)2+(6.48)2 CME= 8−1 339.761338 CME = 7 CME = 48.537334 EJERCICIO 28. El único carnicero del pueblo Three Finger Louis (Luis tres dedos), está preocupado sobre el volumen de clientes morosos que debe pasar cada mes a sus clientes incobrables. A continuación, aparecen las cantidades en dólares para tres años. 1995 14.1

13.7

12.1

13.1

13.5

9.1

7.2

6.1

8.7

10.1

11.8

12.2

6.5

9.1

11.5

12.2

13.4

6.0

8.2

9.8

10.9

11.8

1996 15.2

14.1

13.2

13.9

14.0

9.5

7.2

1997 13.7

12.5

11.8

12.0

13.0

8.7

6.3

a) Represente gráficamente los datos. ¿El factor estacional parece existir? (considere una “estación” como un mes).

25 CANTIDAD DE DÓLARES 12 10 8 6 4 2 0

0

2

4

6

8

10

b) Utilice un promedio móvil de 12 meses para suavizar la variación estacional. MES

Vol. Clientes

PM Centrado

Razón Promedio

Enero

14.1

Febrero

13.7

Marzo

12.1

Abril

13.1

Mayo

13.5

Junio

9.1

10.975

Julio

7.2

11.067

11.021

0.653

Agosto

6.1

11.100

11.083

0.550

Setiembre

8.7

11.192

11.146

0.781

Octubre

10.1

11.258

11.225

0.900

Noviembre

11.8

11.300

11.279

1.046

Diciembre

12.2

11.333

11.317

1.078

Enero

15.2

11.333

11.333

1.341

Febrero

14.1

11.367

11.350

1.242

Marzo

13.2

11.400

11.383

1.160

Abril

13.9

11.517

11.458

1.213

Mayo

14.0

11.550

11.533

1.214

PM 12 meses

12

26 Junio

9.5

11.650

11.600

0.819

Julio

7.2

11.525

11.588

0.621

Agosto

6.5

11.392

11.458

0.567

Setiembre

9.1

11.275

11.333

0.803

Octubre

11.5

11.117

11.196

1.027

Noviembre

12.2

11.033

11.075

1.102

Diciembre

13.4

10.967

11.000

1.218

Enero

13.7

10.892

10.929

1.254

Febrero

12.5

10.850

10.871

1.150

Marzo

11.8

10.775

10.813

1.091

Abril

12.0

10.633

10.704

1.121

Mayo

13.0

10.525

10.579

1.229

Junio

8.7

10.392

10.458

0.832

Julio

6.3

Agosto

6.0

Setiembre

8.2

Octubre

9.8

Noviembre

10.9

Diciembre

11.8

El PM de 12meses es=11.65 c) Calcule los índices estacionales. 1996

1997

Razón Promedio

Índice Estacional

Enero

1.341

1.254

1.298

1.2969

Febrero

1.242

1.150

1.196

1.1954

Marzo

1.160

1.091

1.126

1.1249

Abril

1.213

1.121

1.167

1.1664

Mayo

1.214

1.229

1.222

1.2209

Junio

0.819

0.832

0.826

0.8251

Mes

1995

Julio

0.653

0.621

0.637

0.6367

Agosto

0.550

0.567

0.559

0.5582

Setiembre

0.781

0.803

0.792

0.7916

Octubre

0.900

1.027

0.964

0.9630

Noviembre

1.046

1.102

1.074

1.0735

Diciembre

1.078

1.218

1.148

1.1474

12.006

12.000

Por tanto, se debe normalizar estas razones promedio para obtener un índice estacional. Así:

12 =0.9995 12.006

27 d) Desestacionalice los datos.

Desestación=

Valor real Indice Estacioanl Mes

Vol. Clientes

Índice Est.

Desestación

Enero

14.1

1.2969

18.286

Febrero

13.7

1.1954

16.377

Marzo

12.1

1.1249

13.611

Abril

13.1

1.1664

15.280

Mayo

13.5

1.2209

16.482

Junio

9.1

0.8251

7.508

Julio

7.2

0.6367

4.584

Agosto

6.1

0.5582

3.405

Setiembre

8.7

0.7916

6.887

Octubre

10.1

0.9630

9.726

Noviembre

11.8

1.0735

12.667

Diciembre

12.2

1.1474

13.998

Enero

15.2

1.2969

19.713

Febrero

14.1

1.1954

16.855

Marzo

13.2

1.1249

14.849

Abril

13.9

1.1664

16.213

Mayo

14.0

1.2209

17.093

Junio

9.5

0.8251

7.838

Julio

7.2

0.6367

4.584

Agosto

6.5

0.5582

3.628

Setiembre

9.1

0.7916

7.204

Octubre

11.5

0.9630

11.075

Noviembre

12.2

1.0735

13.097

Diciembre

13.4

1.1474

15.375

Enero

13.7

1.2969

17.768

Febrero

12.5

1.1954

14.943

Marzo

11.8

1.1249

13.274

Abril

12.0

1.1664

13.997

Mayo

13.0

1.2209

15.872

Junio

8.7

0.8251

7.178

Julio

6.3

0.6367

4.011

Agosto

6.0

0.5582

3.349

Setiembre

8.2

0.7916

6.491

Octubre

9.8

0.9630

9.437

Noviembre

10.9

1.0735

11.701

28

Diciembre

11.8

1.1474

13.539

e) Represente gráficamente los datos originales y los datos desestacionalizados.

Dato Original vs Dato Desestacionalizado 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0.000

4

6

8

10

12

14

16

EJERCICIO 29. Packer Industries está preocupado porque las ventas pueden caer debajo de US$100,000 en diciembre. Utilizando los datos que aparecen a continuación en miles de dólares, ¿Cuál es su proyección? Primero represente gráficamente. Enero

Febrer o

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

42.7

57.3

68.3

76.8

84

88.1

90

90.1

MES

T(X)

EMPLEADOS (Y)

XY

x2

Enero

1

42.7

42.7

1

Febrero

2

57.3

114.6

4

Marzo

3

68.3

204.9

9

Abril

4

76.8

307.2

16

Mayo

5

84

420

25

Junio

6

88.1

528.6

36

Julio

7

90

630

49

Agosto

8

90.1

720.8

64

36

597.3

2968.

204

SOLUCIÓN

29 8 Suma De Cuadrados de X 2

2

S C x =∑ x −

(∑ x )

n (36)2 ¿ 42 S C x =204− 8 Suma de cuadrados de productos cruzados

S C xy =∑ xy −

( ∑ x )( ∑ y )

n (36 )( 597.3 ) S C xy=2968.8− ¿ 280.95 8 Pendiente de la recta de tendencia

S C xy S Cx 280.95 b 1= ¿ 6.689 42 b 1=

Intercepto de la recta pendiente

b 0=Y´ −b1 x´ b 0=74.66− ( 6.689 )( 4.5 ) ¿ 44.5595 Y^ =44.5595+6.689 ( 9 ) Y^ =104.7605 ≈ 105 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Para el mes de Setiembre se tendrá US$105,000. EJERCICIO 30. U.S. News & Word report afirmo que las proyecciones realizadas por el ministerio de comercio de estados unidos para los ingresos mediados de los trabajadores de tiempo completo eran los siguientes: INGRESO AÑO INGRESOS AÑO S 1990

24.28

2020

90.94

30 1995

30.26

2025

113.33

2000

37.71

2030

171.23

2005

47

2035

176

2010

58.56

2040

219.33

a) Represente gráficamente los datos b) Calcule el modelo de tendencia c) ¿Cuál es la proyección para el año 2050? SOLUCION:

Ingresos (y) Ingresos(Miles de dolares) (y) 250 200 150 100 50 0 1980

1990

2000

AÑO

T( X)

INGRESOS (Y)

XY

X2

1990

1

24.28

24.28

1

1995

2

30.26

60.52

4

2000

3

37.71

113.13

9

2005

4

47

188

16

2010

5

58.56

292.8

25

2015

6

73

438

36

2020

7

90.94

636.58

49

2025

8

113.33

906.64

64

2030

9

171.23

1541.07

81

2035

10

176

1760

100

2040

11

219.33

2412.63

121

66

1041.64

8373.65

506

66 2 ¿ 110 11 66∗1041.64 SC Xy =8373.65− ¿ 2123.81 11 SC X =506−

2010

2020

2030

2040

2050

31 b 1=

SC Xy =19.31 SC X

b 0= ´y −b 1 ´x b 0=94.69−( 6 ) ( 19.31 ) ¿−21.17 La ecuación para la recta tendencia es:

´y =−21.17+19.31t ¿Cuál es la proyección para el año 2050? 2050 ->t = 13

´y =−21.17+19.31(13) Para el año 2050 la proyección es de 229.86 miles de dólares. EJERCICIO 31. Milles products registró las utilidades que aparecen en la tabla. A)Utilice el suavizamiento exponencial para pronosticar las unidades futuras. Primero fije

α =0.2 , luegoen 0.9 . B) ¿Qué valor α produce una estimación más cconfiable? C) ¿Cómo hubiera podido conocer esto de antemano? SEMANA

1

2

3

4

5

6

7

UTILIDADES (US$ 1,000)

10

25

3

15

2

27

5

EJERCICIO 32. Los datos sobre el consumidor suministrados por el ministerio de comercio de Estados Unidos para el verano de 1998 revelaron lo siguiente. PRECIOS UNIDAD

1996

1997

1998

CARNE DE RES

1 Libra

USS 3.12

US$3.89

US$3.92

LECHE

1 Galón

2.10

2.42

2.51

POLLO

1 Libra

1.95

2.10

2.12

PAN

1 Molde

0.99

0.89

1.12

Calcule e interprete el índice simple para cada producto utilizando 1996 como periodo base SOLUCIÓN: Teniendo como periodo base, 1996 y el periodo de referencia, el verano de 1998, tenemos lo siguiente:

IP R=

PR x 100 PB

Carne de res:  IP1997 =

3.89 x 100 =124.68 3.12

El precio de la carne de res con respecto a 1996, aumento un 24.38%

32 3.92 x 100 =125.64 3.12 IP 1998 −IP 1997 x 100=0.77  IP1997  IP1998 =

El precio de la carne de res con respecto a 1997, aumento un 0.77% y con respecto a 1966, aumento 25.64% Leche: 

IP1997 =

2.42 x 100 =115.24 2.10

El precio de la leche con respecto a 1996, aumento un 15.24%  

2.51 x 100 =119.52 2.10 IP 1998 −IP 1997 x 100=3.7 IP1997

IP1998 =

El precio de la leche con respecto a 1997, aumento un 3.71% y con respecto a 1966, aumento 19.52% Pollo:  IP1997 =

2.10 x 100 =107.7 1.95

El precio del pollo con respecto a 1996, aumento un 7.7%

2.12 x 100 =108.72 1.95 IP 1998 −IP 1997 x 100=0.95  IP1997  IP1998 =

El precio del pollo con respecto a 1997, aumento un 0.95% y con respecto a 1966, aumento 8.72% Pan:  IP1997 =

0.89 x 100 =89.9 0.99

El precio del pan con respecto a 1996, disminuyó un 10.1%  

1.12 x 100 =113.13 0.99 IP 1998 −IP 1997 x 100=25.8 IP1997

IP1997 =

El precio del pan con respecto a 1997, aumento un 25.8% y con respecto a 1966, aumento 13.13%

EJERCICIO 33. Dados los datos del problema anterior, calcule: a) El incremento porcentual en el precio de cada producto para:

33 1996 a 1997 1996 a 1998 1997 a 1998 b) El incremento puntual porcentual para cada producto para: 1996 a 1997 1996 a 1998 1997 a 1998 EJERCICIO 34. A continuación se presentan los costos de la estadía de un solo día en el hospital. Utilice 1993 como año base y calcule el índice simple. Interprete el índice obtenido para 1990. 1990

1991

1992

1993

1994

1995

356

408

512

589

656

689

SOLUCIÓN

x3 ×100 x0 356 I 30= ×100 589 I 30=0.6044 → 60.44 % 3

I 0=

EJERCICIO 35. Sammy Studd desea comprar todo un guardarropa completo de ropa de atletismo para el verano. Él ha recolectado los datos que aparecen a continuación y se sorprende de como han cambiado los precios durante los últimos 3 años. Calcule e interprete el índice de precios agregativo para los cuatro productos, utilizando 1996 como año base. AÑO

1996

1997

1998

Zapatos

89.90

115.12

125.00

Sudaderas

52.50

65.50

75.50

Pantaloneta s

25.75

35.95

45.90

Medias

12.10

10.00

9.50

SOLUCION: Índice de precios agregativo:

IP R=

∑ P R ∗100 ∑ PB

IP1996 =

89.90+52.50+25.75+12.10 ∗100=100 89.90+52.50+25.75+12.10

Índice para 1997 es:

IP1997 =

115.12+65.50+ 35.95+ 10 ∗100=125.69 89.90+52.50+25.75+12.10

Índice para 1998 es:

IP1998 =

125+75.50+ 45.90+9.50 ∗100=141.96 89.90+52.50+25.75+12.10

INTERPRETACIÓN:

34 Esto significa que en 1998 el precio de las ropas de atletismo es de 141.96 (dólares) en comparación de 100 en 1996. EJERCICIO 36. . Los precios de una nueva línea de muñecas de juguete producidas por The Krazy Kid Kollection aparecen a continuación. Utilizando 1994-1995 como período base, calcule un índice de precios simple para los tres juguetes: EMPRESAS

1994

1995

1996

Killer Joe

17.90

21.50

25.00

Pyro Phil

15.00

25.00

29.95

Maniac Mark

10.00

11.00

12.00

INDICE DE PRECIOS SIMPLE: IPR = PR x 100 PB IP PARA (KILLER JOE)

17.90 (100) = 90.863 19.70 21.50 IP1995 = (100) = 109.137 19.70 25.00 IP1996 = (100) = 126.904 19.70 IP1994 =

IP PARA (PYRO PHIL)

15.00 (100) = 75 20.00 25.00 IP1995 = (100) = 125 20.00 29.95 IP1996 = (100) = 149.75 20.00 IP1994 =

IP PARA (MANIAC MARK)

10.00 (100) = 95.238 10.50 11.00 IP1995 = (100) = 104.76 10.50 12.00 IP1996 = (100) = 114.286 10.50 IP1994 =

EJERCICIO 37. Bell Electronic desea analizar los cambios en los precios para tres de sus productos durante los últimos años. Aquí se proporcionan los datos necesarios: PRECIOS

CANTIDADES

PRODUCT O

1996

1997

1998

1996

1997

1998

A

10.00

15.50

20.00

150

170

160

B

3.00

5.00

7.50

55

68

120

C

69.00

75.00

75.00

100

90

85

SOLUCIÓN: Para el producto A:

35 (%) cambio de precio



Año

Precio de A

1996 1997 1998

10 15.5 20

(

P2−P1 )∗100 P1 0.55% 0.29%

El producto A con respecto al año 1996 incremento su precio en 0.55% para el periodo del año de 1997, y aumento 0.29% de su valor para el año 1998

Para el producto B:



Año

Precio de B

1996 1997 1998

3 5 7.5

(%) cambio de precio(

P2−P1 )∗100 P1

0.67% 0.50%

El producto B, con respecto al año 1996 incremento su precio en 0.67% para el periodo del año de 1997, y aumento 0.50% de su valor para el año 1998 Para el producto C: (%) cambio de precio



Año

Precio de B

1996 1997 1998

69 75 75

(

P2−P1 )∗100 P1 0.09% 0.00%

El producto C, con respecto al año 1996 incremento su precio en 0.09% para el periodo del año de 1997, y no vario su valor para el año 1998

EJERCICIO 38. calcule e interprete los índices de Laspeyres y de Paasche utilizando 1996 como periodo de base. Usando los datos del ejercicio anterior calcule el índice de Fisher.

PRODUCTO A B C

SUMA

1996 10 3 69

PRECIOS (P) 1997 1998 15,5 20 5 7,5 75 75

Pio * Qto 1500 165 6900 8565

Pit * Qio 3000 412,5 7500 10912,5

CANTIDADES (Q) 1996 1997 1998 150 170 160 55 68 120 100 90 85 Pit * Qit 3200 900 6375 10475

Pio * Qit 1600 360 5865 7825

36 L=

10912.5 x 100=127.408 % 8565

P=

10475 x 100=133.866 % 7825

Índice de Fisher: P F= √ L x P

→

P F= √ L x P

→ P F= √ 127.408∗133.866

P F=130.59

EJERCICIO 39. Pam McGuire, director de operaciones de Columbia Records, compiló los siguientes datos sobre los costos de grabación y el número de veces que se utilizó cada articulo durante los últimos tres años para tres artículos que se utilizan comúnmente en el negocio de grabación: COSTO POR USO FRECUENCIA DE USO 1996

1997

1998

1996

1997

1998

Costos de estudio

US$12 0

US$14 5

US$16 5

30

35

37

Equipo de grabación

420

530

620

40

43

46

Acompañamiento

300

250

250

50

63

72

Sam O’ Donnell, director de procedimientos estadísticos, debe calcular un índice de Laspeyes y un índice de Passche, utilizando 1996 como base, y luego debe determinar la tasa en la cual se han incrementado los costos cada año bajo ambos índices, así como la tasa de inflación durante los 3 años. SOLUCIÓN: Costo por uso

Frecuenci a en1996

P R x QB P96 x Q96

P97 x Q96

P98 x Q96

30

3600

4350

4950

620

40

16800

21200

24800

250

50

15000

12500

12500

1996

1997

1998

Costos de estudio

US$12 0

US$14 5

US$16 5

Equipo de grabación

420

530

Acompañamient o

300

250

∑ ¿35400 ∑ ¿38050 ∑ ¿ 42250 Hallamos el índice de Laspeyes, utilizando como base el año 1996.

L96=

∑ (¿ P 96 x Q 96) ( 100 ) ¿ ∑ ( P96 x Q96 )

37 L96 =

35400 (100)=100 35400

L97=

∑ (¿ P 97 x Q 96) ( 100 ) ¿ ∑ ( P96 x Q96 )

L97 =

L98=

38050 (100)=107.48 35400

∑ (¿ P 98 x Q96 ) ( 100 ) ¿ ∑ ( P96 x Q96 )

L98 =

42250 (100)=119.35 35400

La interpretación del índice de Laspeyres es como la de los índices anteriores. De1996 a 1998, el costo para estos 3 rubros se incrementa en 19.35% y para el años 1997, se incrementó en 7.48%. Hallamos el índice de Paasche, utilizando como base el año 1996. COSTO X FRECUENCIA

P96 X Q96 P97 X Q97 P98 X Q98 P96 X Q97P96 X Q98 P97 X Q98 P E X Q A

P96=

Costos de estudio

3600

5075

6105

4200

4440

Equipo de grabación

16800

22790

28520

18060

19320

Acompañamiento

15000

15750

18000

18900

21600

35400

43615

52625

41160

45360

∑ (¿ P 96 x Q 96) ( 100 ) ¿ ∑ ( P96 x Q96 )

=

P97=

35400 (100)=100 35400

∑ (¿ P 97 x Q 97) ( 100 ) ¿ ∑ ( P96 x Q97 )

=

∑ (¿ P 98 x Q98 ) ( 100 ) ¿ 43615 (100)=105.96 P98= 41160 ∑ ( P96 x Q98 )

=

52625 (100)=116.02 45360

INTERPRETACIÓN: Los 2 índices generan resultados diferentes. Se basan en resultados de ponderación distintas. Sin embargo, no sería adecuado aumentar los precios por la estimación de estos cálculos. Han incrementado un 19.35% con el I. de Laspeyres y un 16.02% con el de Paasche.

T I c .de estudios =

165−120 ∗100=27.3 % 165

38 T I . E . grabación =

620−420 ∗100=32.26 % 620

T I . acompañamiento=

250−300 ∗100=−16.6 % 300

EJERCICIO 40. Del ejercicio 39, ¿Cuál índice es el que probablemente mide mejor el incremento en los costos de Columbia? ¿Por qué? SOLUCION: El índice que probablemente mide mejor el incremento de los costos de Columbia es el índice de PAASCHE, ya que con este índice gastaría $116.016 en 1998 para comprar lo que con $100 compraba en 1996; y es menos que con el índice de LASPEYRES lo que gastaria $117.36 en 1998 para comprar lo que con $100 compraba en 1996. O de manera alterna, se necesitaria $1.17 en 1998 para comprar lo que compraba con $1.00 en 1996. EJERCICIO 41. Just Pizza compró las cantidades de ingredientes a los precios que aparecen en la siguiente tabla. Janet Jackson, gerente de Just Pizza, está preocupada por el incremento en los precios. Desarrolle los índices de Laspeyres y de Paasche para Janet, utilizando enero como base Precio/Libra

Libras utilizadas(100’s)

Enero

Febrer o

Marz o

Abril

Enero

Febrero

Marzo

Abril

QUESO

2.10

2.15

2.20

2.25

10

12

15

12

PEPERONI

1.18

1.20

1.25

1.31

8

10

8

10

SALCHICH AS

1.25

1.31

1.35

1.42

7

6

7

7

SOLUCIÓN: Desarrollando índices de Laspeyres, tenemos: Multiplicamos el precio de Mes de referencia por la cantidad del mes base, que en este caso en enero.

CANT. ENERO

Precio/Libra

Libras utilizadas(100’s)

Ener o

Febrer o

Marz o

Abri l

QUESO

2.10

2.15

2.20

2.2 5

10

21

21.5

22

22.5

PEPERONI

1.18

1.20

1.25

1.3 1

8

9.5

9.6

10

10.48

SALCHICHA S

1.25

1.31

1.35

1.4 2

7

8.75

9.17

9.45

9.94

39.25

40.27

41.45

42.92

Seguidamente hallamos el índice de Laspeyres:

P E X Q E P F X QE P M X Q E P A X Q E

39 L=

∑ ( P R X QB ) X 100 ∑ ( PB X QB)

Entonces tenemos: ÍNDICE DE LASPEYRES:

L= ENERO

L=

∑ ( P R X QB ) X 100 ∑ ( PB X QB)

FEBRERO

MARZO

ABRIL

∑ ( P F X QE ) X 100 L= ∑ ( P F X QE ) X 100 L= ∑ ( P M X Q E ) X 100 ∑ ( P E X QE ) ∑ ( P E X QE ) ∑ ( PE X QE)

L=

39.25 X 100 =10 39.25

L=

40.27 X 100=10 39.25

0

L=

41.45 X 100=10 39.25

2.6

L= L=

5.6

ENERO

FEBRERO

∑ ( P A X Q E ) X 100 ∑ ( PE X Q E)

42.92 X 100=109.35 39.25

MARZO

ABRIL

ARTICULO

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

QUESO

2.10

10

2.15

12

2.20

15

2.25

12

PEPERONI

1.18

8

1.20

10

1.25

8

1.31

10

SALCHICHA S

1.25

7

1.31

6

1.35

7

1.42

7

Desarrollando índices de Paasche: El producto a reflejar por cantidad: PRECIO POR CANTIDAD

P E X Q E P F X QF P M X Q M P A X Q A P E X Q F

PE X QM

PE X QA

QUESO

21

25.8

33

27

25.2

31.5

25.2

PEPERONI

9.44

12

10

13.1

11.8

9.44

11.8

SALCHICHAS

8.75

7.86

9.45

9.94

7.5

8.75

8.75

39.19

45.66

52.45

50.04

44.5

49.69

45.75

ÍNDICE DE PAASCHE:

P R= ENERO

P R= L=

∑ ( P R X Q B ) X 100 ∑ ( PB X Q B)

FEBRERO

MARZO

ABRIL

∑ ( P E X Q E ) X 100L= ∑ ( P F X QF ) X 100L= ∑ ( PM XM ) X 100L= ∑ ( P A X Q A ) X 100 ∑ ( PE X QE) ∑ ( P E X QF ) ∑ ( P E X QM ) ∑ ( PE X QA)

39.19 X 100 =10 39.19 0

L=

45.66 X 100=10 44.5 2.6

L=

52.45 X 100=10 49.69 5.6

L=

50.04 X 100=109. 45.75 37

40 Interpretación: Los índices nos arrojan resultados diferentes en el mes de abril. Indicándonos que el aumento de sus precios es poco confiable solo en dicho mes. Los precios han subido un 9.35% de acuerdo al índice de Laspeyres y un 9.37% de acuerdo al índice de Paasche

EJERCICIO 42. Utilizando los datos de Janet del ejercicio anterior, ¿El índice de Passche muestra la tasa a la cual los precios aumentan o disminuyen? SOLUCION: EL índice de Passche, muestra una variación con respecto a la tasa de precios, indicando en este ejemplo, que aumenta, debido a la sobre ponderación de los precios que se encuentran a la baja pero estos a su vez no solo utilizan los datos para un único año, por ello se usa con menos frecuencia.

41

CAPITULO 14 PRUEBA CHI CUADRADO Y OTRAS NO PARAMETRICAS EJERCICIO 1. El vicepresidente de operaciones del First Nacional Bank argumenta que los tres tipos de crédito – créditos para autos, créditos a estudiantes y créditos para propósitos generalesse conceden a los clientes en las mismas proporciones. Para probar su hipótesis, usted recolecta datos sobre 200 créditos recientes y se encuentra que 55 fueron créditos para autos, 47 para estudiantes y el resto para propósitos generales. Al nivel del 5%. ¿Qué le diría usted al vicepresidente? Solución: Primero se definen las hipótesis: Ho = Se concede de manera uniforme los 3 tipos de créditos H1 = No se concede de manera uniforme los 3 tipos de créditos Segundo se define el tamaño de la muestra: N=200 Tercero se procede a organizar un cuadro de análisis: CREDITO

CREDITOS OBSERVADOS

CREDITOS ESPERADOS

AUTOS

55

66

ESTUDIANTES

47

66

PROPOSITOS GENERALES

98

66

TOTAL

200

198

Cuarto se aplica la fórmula de distribución JI-CUADRADO

x 2=

( 55−66 )2 ( 47−66 )2 + ( 98−66 )2 + 66 66 66

= 1.83 + 5.46 + 15.51 = 22.8 En un nivel de comprobación del 5%, con grados de libertad (g.l) m-3-1= 2 , resulta que la tabla de distribución x 2, un valor de 7.815. Como 22.8 es mayor a 7.815 queda dentro de la zona de rechazo por lo tanto la hipótesis Ho sobre el reparto uniforme de los créditos se rechaza.

EJERCICIO 2. Dados los resultados del ejercicio anterior, usted acredita que los prestamos otorgados a los clientes se ajustan a un patrón tal que la mitad son para propósitos generales y el resto se dividen de manera equitativa entre los dos tipos de créditos restantes. Utilizando la muestra del problema anterior, ¿Qué concluye al nivel del 5%? SOLUCION: Primero se definen las hipótesis: Ho = La mitad del crédito es para distribución general H1 = La mitad del crédito no es para distribución general

42 Segundo se define el tamaño de la muestra: N=200/2, asumiendo que la distribución es equitativa, con k = 2.

Tercero se aplica la fórmula de distribución JI-CUADRADO

( 102−100 )2 ( 98−100 )2 x= + 100 100 2

x 2 = 0.08 Este valor se compara con el valor critico de X 2 tomado de la tabla H, apéndice III, debido a que no existen parámetros que tengan que estimarse, m = 0, y hay K – 1 = 1 grados de libertad, si se desea comprobar esta hipótesis con el 5%, entonces X20.05, 1 = 3.841 Regla de decisión: “No rechazar si X2 ≤ 3.841. Rechazar si X2 > 3.841” Por lo que se asume que la mitad del crédito si es para una distribución general.

EJERCICIO 3. A los compradores del centro local se les pide calificar un nuevo producto en una escala continua que comienza con el cero. Con base en los siguientes datos agrupados. ¿Puede usted concluir a nivel del 5% que los datos están distribuidos normalmente, con una media de 100 y una desviación estándar de 25? SOLUCIÓN: K=8 m=0 K–m–1=7 Se encuentra que el valor critico X2 es X20.05 = 14.067

Usando la fórmula del chi-cuadrado.

( 1−11.4 )2 ( 51−47.75 )2 ( 112−113.75 )2 ( 151−155.4 )2 ( 119−114.75 )2 ( 43−45.65 )2 x= + + + + + 11.4 47.75 113.75 155.4 114.75 45.65 2 2 +(21−10) (2−1.3) + 10 1.3 2

x 2=

108.16 10.5625 3.0625 19.36 18.0625 7.0225 121 0.49 + + + + + + + 11.4 47.75 113.75 155.4 114.75 45.65 10 1.3

43 x 2=22.651 La hipótesis nula se rechaza ya que 22.651 > 14.067

EJERCICIO 4. Los analistas de Federated Stores plantean la hipótesis de que los ingresos de sus clientes están distribuidos normalmente. Con base a los datos suministrados aquí ¿Qué conclusión saca al nivel del 1%? INGRESO (US$1 000) FRECUENCIA Menos que 35

1

35-40

4

40-45

26

45-50

97

50-55

96

55-60

65

60-65

8

65-70

2

Por encima de 70

1

TOTAL

300

Definimos las hipótesis:

H 0=Los ingresos de los clientes están distribuidos normalmente H A =Los ingresos de losclientes no estándistribuidos normalmente Solución: Como se desconoce la desviación estándar y la media de la muestra, realizamos la estimación de estas: Ingreso (US$1 000) Menos que 35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 Por encima de 70 Total

f

xf

( X − X´ )

35 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 70

1 4 26 97 96 65 8 2 1 300

35.00 150.00 1105.00 4607.50 5040.00 3737.50 500.00 135.00 70.00 15380

264.60 189.52 76.85 14.19 1.52 38.85 126.19 263.52 350.94

X´ =51.27 ≅ 51 σ 2=29.85 σ =5.46 ≅ 5 Determinando el área sombreada bajo la curva:

X−μ σ 35−51 Z= 5 Z=

2

X

2

( X − X´ ) × f 264.60 758.08 1998.22 1376.21 146.03 2525.54 1009.50 527.04 350.94 8956.17

44 Z=−3.2 o un área de 0.4993 Entonces: P ( 0< x <35 )=0.5000−0.4993=0.0007 Para el segundo intervalo, la probabilidad de que los ingresos de los clientes estén entre 35 000 y 40 000 es P(35<x<40) y se representa:

Z1 =

35−51 ¿−3.2 o un áreade 0.4993 5

40−51 ¿−2.2 o un áreade 0.4861 5 Entonces: P ( 35< x< 40 ) =0.4993−0.4861=0.0132 Z2 =

Del mismo modo realizamos los demás cálculos y lo agregamos a la siguiente tabla: Para el tercer intervalo, la probabilidad de que los ingresos de los clientes estén entre 40 000 y 45 000 es P(40<x<45) y se representa:

40−51 ¿−2.2 o un áreade 0.4861 5 45−51 Z2 = ¿−1.2 oun áreade 0.3849 5 Z1 =

Entonces: P ( 35< x< 40 ) =0.4861−0.3849=0.1012 Para el cuarto intervalo, la probabilidad de que los ingresos de los clientes estén entre 45 000 y 50 000 es P(45<x<50) y se representa:

45−51 ¿−1.2 oun áreade 0.3849 5 50−51 Z2 = ¿−0.2 o un áreade 0.0793 5 Z1 =

Entonces: P ( 45< x <50 ) =0.3849−0.0793=0.3056 Ingreso (US$1 000)

Frecuencia real(Oi) Probabilidades( pi ) Frecuencia esperada ( Ei )

< 35

1

0.0007

0.21

35-40

4

0.0132

3.96

40-45

26

0.1012

30.36

45-50

97

0.3056

91.68

50-55

96

0.1586

47.58

55-60

65

0.3056

91.68

60-65

8

0.1012

30.36

65-70

2

0.0132

3.96

> 70

1

0.0007

0.21

Total

300

1.0000

300

Se desea probar la hipótesis al nivel de 1%. Debido a que el valor de la media y la desviación estándar no son brindadas, se estimaron, entonces m = 2. Existen K = 9 clases en la tabla de frecuencias, de manera que los grados de libertad son K – 2 – 1 = 3. Se encuentra el valor crítico x 2 es x 20.01,6=¿ 11.348

45 Regla de decisión: “No rechazar la hipótesis nula si x 2 es menor que 11.348. Rechazar la hipótesis nula si x 2 es mayor que 11.348” Utilizando la fórmula: k 2

x =∑

( Oi−Ei )

i=1

2

Ei

( 1−0.21 )2 ( 4−3.96 )2 ( 26−30.36 )2 ( 97−91.68 )2 ( 96−47.58 )2 (65−91.68 )2 ( 8−30.36 )2 ( 2−3.96 )2 + + + + + + + + 0.21 3.96 30.36 91.68 47.58 91.68 30.36 3.96 x 2=5.98 x 2=

Por lo tanto, como 5.98 es menos a 11.348 no se rechaza la hipótesis.

EJERCICIO 5. TransWorld Airways desea determinar si existe alguna relación entre el número de vuelos que las personas toman y su ingreso. ¿A qué conclusión llega al nivel del 1%con base en los datos para 100 viajeros en la tabla de contingencia? FRECUENCIA DE VUELOS INGRESO

NUNC A

RARA VEZ

CON FRECUENCIA

MENOS DE US 30,000

20

15

2

100

89.19

81.08

8

5

1

264.29

235.71

214.29

7

8

12

137.04

122.22

111.11

2

5

15

168.18

150

136.36

US 30,000 - 50,000 US 50,000 - 70,000 MAS DE US 70,000

SOLUCIÓN: FRECUENCIA DE VUELOS NUNC RARA VEZ CON FRECUENCIA A 20 15 2 MENOS DE US 30,000 100 89.19 81.08 8 5 1 US 30,000 - 50,000 264.29 235.71 214.29 7 8 12 US 50,000 - 70,000 137.04 122.22 111.11 2 5 15 MAS DE US 70,000 168.18 150 136.36 TOTAL 37 33 30

TOTAL

INGRESO

37 14 27 22 100

CHI CUADRADO ES:

x 2=

( 20−100 )2 ( 15−89.19 )2 ( 2−81.08 )2 ( 8−264.29 )2 (5−235.71 )2 ( 1−214.29 )2 ( 7−137.04 )2 ( 8−122.2 + + + + + + + 100 89.19 81.08 264.29 235.71 214.29 137.04 122.22

1620.22

46 EJERCICIO 6. Dos propagandas de publicidad para computadoras las califican 15 clientes potenciales para determinar si existe alguna preferencia. Los resultados se presentan aquí. Al nivel del 10%. ¿Cuáles son los resultados? CLIENTE

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

PUBLICIDAD 1

8

9

5

7

9

4

3

8

9

5

7

8

8

7

9

PUBLICIDAD 2

7

3

2

8

5

5

7

2

1

3

7

2

2

3

8

SOLUCIÓN: RESULTADOS CLIENT E

PUBLICIDAD 1

PUBLICIDAD 2

SIGN O

1

8

7

+

2

9

3

+

3

5

2

+

4

7

8

-

5

9

5

+

6

4

5

-

7

3

7

-

8

8

2

+

9

9

1

+

10

5

3

+

11

7

7

0

12

8

2

+

13

8

2

+

14

7

3

+

15

9

8

+

La observación 11 se ignora porque la diferencia es cero. Existen once signos más y tres signos menos. Se puede calcular la probabilidad de que once o menos signos más puedan ocurrir o la

47 probabilidad de que tres o más signos menos puedan ocurrir .Concentrándose en el número de signos más, se tiene de la tabla C (Apéndice III del libro), que:

P ( p ≤ 1|n=9 , π =0.5 ¿=0 .9935 0 Entonces, debido a que

α 0.10 = =0.05< 0.9935, se acepta la hipótesis nula 2 2

EJERCICIO 7. El fabricante de 10 tipos de alimentos en paquete plantea la hipótesis de que las ventas de cada producto con alto contenido de grasa serán menores que las del mismo producto con reducción de grasa. Las ventas en miles de unidades aparecen en la siguiente tabla. Al nivel del 10%, ¿Cuál es su conclusión? ALIMENT O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

Con grasa

1 0

1 2

1 4

1 8

1 7

1 8

5

2 1

6

8

Sin grasa

1 5

1 3

1 2

9

1 7

1 9

3

2 7

1 2

1 4

X2= (15-10)2 + (13-12)2 +(12-14)2 +(9-18)2 +(17-17)2 +(19-18)2 +(3-5)2 +(27-21)2 +(12-6)2 +(14-8)2 10 12 14 18 17 18 5 21 6 8 X= 4.521 K= 10 K-1= 9 grados de libertad Al nivel del 10% , x20.10,9= 14.684 Regla de decisión= No se rechaza ya que x2 < 14.684

=

4.521< 14.684

EJERCICIO 8. Búsquedas relacionadas con El brillo de la cristalería se mide en una escala de 1 a 100. Se prueban 20 vasos antes y después de ser tratados con un nuevo proceso. Si se resta el factor de brillo después del tratamiento, del de antes del tratamiento y da 5 signos positivos y 3 signos negativos, ¿existe alguna diferencia al nivel del 5%? ¿Cómo interpreta los resultados de la prueba? SOLUCIÓN Datos: m=3, n=3+5=8, p=5  Hipótesis H0: m=p Hn: m ≠ p  Cálculo de probabilidades Probabilidad de que tres o menos signos puedan ocurrir P (P ≥ 5, n=8, π= 0.5) = 0.3673 Probabilidades que cinco más signos puedan ocurrir P (P ≥ 5, n=8, π=0.5) = 1 - P (P≤4) = 1-0.6367

48 = 0.3633 ¿Exista alguna diferencia al nivel del 5 %? α= 5% =0.05 Como α/2= 0.025<0.3633, no se rechaza la hipótesis nula, por lo que no existe alguna diferencia al nivel de 5% ¿Cómo interprete los resultados de la prueba? Después de ser tratados los 20 vasos con un nuevo proceso resulta que el brillo de la cristalería no cambia, existe menos de α/2= 0.025 de probabilidad de que la hipótesis sea cierta.

EJERCICIO 9. cincuenta empleados que han recibido capacitación especial forman parejas con otros cincuenta que son parecidos en cada aspecto pero que no recibieron capacitación la productividad de quienes recibieron capacitación se resta de la de quienes no la recibieron, dando 15 signos positivos y 17 signos negativos. ¿al nivel del 5% el entrenamiento hace la diferencia? SOLUCIÓN: Posttes + -

15

+ 17

z= z=

( X ± 0.5 )−1/2 N 1/2 √ N ( 15+0.5 ) −1/2( 50) =−2.7 1 (7.07) 2

Según la tabla 0.0034<α 0.0034<0.05 Por lo que se rechaza la hipótesis

EJERCICIO 10. Al propietario de una popular taberna local para estudiantes de una universidad cercana se le escuchó por casualidad decir que los clientes mujeres tendían a gastar menos que los hombres. Retado por el profesor de estadística quien ocupaba su espacio habitual al extremo del bar, el tabernero registró los gastos de 10 mujeres y 10 varones. Los resultados en dólares aparecen en la siguiente tabla. ¿Esta afirmación se confirma al nivel de 10%? MUJERE S

5.12

3.15

8.17

3.42

3.02

4.42

3.72

2.12

5.72

4.8 7

HOMBRE S

5.83

6.49

4.45

5.12

9.02

9.73

5.42

6.43

8.79

8.8 9

SOLUCIÓN: MUJERE S

RANGO

HOMBRE S

RANGO

49 5.12

9.5

5.83

13

3.15

3

6.49

15

8.17

16

4.45

7

3.42

4

5.12

9.5

3.02

2

9.02

19

4.42

6

9.73

20

3.72

5

5.42

11

2.12

1

6.43

14

5.72

12

8.79

17

4.87

8

8.89

18

n1 =10

∑ R 1=66.5

n1 =10

∑ R 2=¿ 143.5 ¿

Se calcula el estadístico U de Mann-Whitney para cada muestra de la ecuación, asi:

Estadistico U De Mann−Whitney Para La Primera Muestra : n1 (n 1+1) U 1=n1∗n2 + − ∑ R1 2 10 ( 11 ) U 1= (10 )( 10 ) + −66.5=88.5 2 Estadistico U De Mann−Whitney Para La Segunda Muestra : n2 (n 2+1) U 2=n1∗n 2+ − ∑ R2 2 10 ( 11 ) U 2= (10 )( 10 ) + −143.5=11.5 2 Ahora:

Media De La Distribucion Muestral Para La Prueba U De Mann−Whitney : n1∗n 2 μM= 2 (10)(10) μM= =50 2 Desviacion Estandar De La Distribucion Muestral Para La Prueba U De M .W : σ M=

√

n1∗n2 (n1 +n2 +1) ¿ 13.23 12

Valor Z Para Normalizar La Prueba U De Mann−Whitnney : U −μ Z= i M σM 11.5−50 Z= =−2.91 13.23 Si α =10 % , la regla d decisión es: H 0 :μ F ≥ μ M : Z=−2.91←1.96 ; RECHAZAR . EJERCICIO 11. Rapid Roy probó dos tipos de combustible en su clásico deportivo, y noto la velocidad máxima que permitía cada combustible. Con base en los resultados presentados aquí

50 en millas por hora, ¿Existe alguna diferencia en la velocidad promedio que proporciona cada combustible al nivel del 1%? Combustible 1

45

67

5 4

4 1

3 8

5 9

4 8

3 1

5 9

3 1

Combustible 2

79

82

6 9

8 4

7 6

7 7

8 1

6 5

7 3

7 0

SOLUCIÓN: COMBUSTIBLE 1

RANGO

31

1.5

31

1.5

41

3

45

4

54

5

59

6.5

59

6.5

67

RANGO

38

2

65

7

69

9.5

69

9.5

70

10

73

11

76

12

77

13

79

14

81

15

82

16

84

17

8

∑ R 1=36 Calculando el estadístico U, sabiendo que:

n 1(n 1+ 1) - ∑ R1 2 n 2(n 2+1) U2 = n1n2 + - ∑ R2 2 U1 = n1n2 +

Donde: n1 = 10 n2 = 11 U1 = (10)(11) +

COMBUSTIBLE 2

10(10+1) – 36 = 129 2

∑ R 2=136

6 9

51 U2 = (10)(11) +

11(11+1) – 136 = 40 2

Hallando media de la distribución:

n 1n 2 2 10(11) µµ = = 55 2 µµ =

Hallando desviación estándar: σµ = σµ =

√ √

n1 n 2(n 1+n 2+1) 12 10 (11)(10+11+1) = 14.201 12

Hallando el valor de Z Z=

U i−U μ σμ

Teniendo en cuenta las siguientes hipótesis: Ho = U1 = U2 Ha = U1 ≠ U2 Z=

40−55 = -1.056 14.201

Si α = 1%, la regla de decisión seria la siguiente: Regla de decisión: “No rechazar si -2.58 ≤ Z ≤ 2.58. Rechazar si Z < -2.58 o Z > 2.58”.

Región de rechazo -2.58

-1.056

0

α/2 = 0.005 2.58

Por lo tanto, Z está en la zona de rechazo, por lo que hay diferencia en la velocidad promedio.

EJERCICIO 12. Los costos de vivienda de 42 residentes en Topeka, Kansas, se compararon con los 35 residentes en Erie, Pennsylvania. Se clasificaron las observaciones, produciendo ΣRt = 1833.5 y ΣRE =1169.5. Al nivel del 5%. ¿Parece haber alguna diferencia en los costos promedios de vivienda en las dos ciudades? SOLUCIÓN: Hipótesis Estadísticos Ho = No existe diferencia significativa en los costos promedios de viviendas en las dos ciudades H1 = Existe diferencia significativa en los costos promedios de viviendas en las dos ciudades Nivel de confianza: 95% α: 0.05

52 ΣRt = 1833.5 ΣRE =1169.5

n1 .n 2 2 Z= … (1) n1 .n 2(n1 +n2 +1) 12 n (n +1) U =n1 . n 2+ 1 1 −R1 …(2) 2 n2 (n 2+1) U =n1 . n 2+ −R2 …(3) 2 U−

√

Reemplazando:

35(35+1) −1169.5 ¿ 930.5 2 42(42+1) U 2=35.42+ −1833.5 ¿ 539.5 2 U 1=35.42+

Tomamos el U menor

U =539.5 Remplazamos en Z

35.42 2 Z= 35.42(35+42+1) 12 Z=−2.000006541 539.5−

√

Por lo tanto, se rechaza H0 Y Existe diferencia significativa en los costos promedios de viviendas en las dos ciudades.

EJERCICIO 13. Petroleum Transport envía petróleo crudo vía dos líneas de embarque, FreightWays y OverSeas. Últimamente, se ha vuelto evidente que algunos de los envíos llegan con menos petróleo del que aparece en la lista del manifiesto. Los recortes medidos en mies de barriles se descubrieron en 50 envíos de FreightWays y 45 envíos de OverSeas. Los resultados se calificaron produciendo ∑ R F=1,434.5 y ∑ R0 =1,258.5. ¿Existe evidencia que sugiera que FreightWays tiene una reducción más grande? SOLUCIÓN Calculamos el estadístico U

n1 ( n1 +1 ) −∑ R 1 2 50 ( 50+1 ) U 1=50∗45+ −1,434.5=2090.5 2 U 1=n1 n 2+

n2 ( n2 +1 ) −∑ R 2 2 45 ( 45+1 ) U 2=50∗45+ −1,258.5=2026.5 2 U 2=n1 n 2+

53 Sí, existe la evidencia de que FreightWays que tiene una reducción más grande.

50∗45 =1125 2

µµ= σ µ=

√

50∗45∗(50+ 45+1) =134.1640 12

EJERCICIO 14. Ochenta y cinco hombres y 85 mujeres califican un producto produciendo ∑ d 2i =10010.25 . Al nivel de significancia del 1%, ¿existe alguna correlación entre las clasificaciones con base en el género? SOLUCIÓN  Coeficientes de correlación de rangos de Spearman:

6 ∑ d 2i r s=1− 3 n −n 6∗10010.25 r s=1− 853−85 r s=0.902 Como 0.902 está muy próximo a 1, la correlación entre las clasificaciones con base en el género es fuerte y positiva. 

Vamos realizar la prueba de correlación entre las poblaciones para α =1 %=0.01 - Hipótesis estadísticas: H 0 : ρs=0 ; No existe correlación entre las clasificaciones con base en el género

H a : ρs ≠ 0 ; Existe correlación entre las clasificaciones con base en el género -

Desviación normal para la prueba de rangos de Spearman:

r s−0 =r √ n−1 1 / √n−1 s Z=0.902 √ 85−1 Z=8.267 Z=

-

Valor critico de Z:

Z1−α /2=Z 1−0.01/ 2=Z 0.995=2.58 Luego el valor crítico de Z es: ± 2.58 Interpretación: Como 8.267> 2.58, debería rechazarse la hipótesis nula en favor de la hipótesis alterna, la cual afirma: Existe correlación entre las clasificaciones con base en el género. -

EJERCICIO 15. Al nivel del 10%. ¿Existe una relación entre el tiempo de estudio en horas y las notas en el examen, de acuerdo con estos datos? TIEMP O

21

18

15

17

18

25

18

4

6

5

NOTA

67

58

59

54

58

80

14

15

19

21

SOLUCIÓN: NOTA

TIEMPO

10%

X-Y=D

(X - Y)

54 (X) 67

21

6,7

14,3

204,49

58

18

5,8

12,2

148,84

59

15

5,9

9,1

82,81

54

17

5,4

11,6

69,6

58

18

5,8

12,2

148,84

80

25

8

17

289

14

18

1,4

16,6

275,56

15

4

1,5

2,5

6,25

19

6

1,9

4,1

16,81

21

5

2,1

2,9

8,41

TOTAL

1250,61

1250.61 x 10% = 125.061 Coeficiente de correlación de Spearman.

r s=1−

6 ∑ d2i 2

n(n −1) 6(125.061) r s=1− 10(102−1) 750.366 r s=1− ¿ 0.242 990

EJERCICIO 16. Las clasificaciones de las tasas de rendimiento de 50 acciones se comparan con las clasificaciones de su razón precio-ganancia produciendo ∑ d 2i =19 , 412.5. Al nivel del 5%. ¿Qué puede concluir sobre una relación entre las dos variables de las acciones? SOLUCIÓN:

r s=1−6 ¿ ¿ ¿ 0.067 El valor r s=0.067 está en la zona de rechazo. Se concluye al nivel de significancia, que existe una relación entre los puntajes de precio y ganancia del desempeño productivo.

EJERCICIO 17. Ochenta y cinco hombres y 85 mujeres califican un producto produciendo ∑ d 2i =10010 .25 . Al nivel de significancia del 1%, ¿existe alguna correlación entre las clasificaciones con base en el género? SOLUCIÓN:  Coeficientes de correlación de rangos de Spearman:

6 ∑ d 2i n3−n 6∗10010.25 r s=1− ¿ 0.902 853−85 r s=1−

55 Como 0.902 está muy próximo a 1, la correlación entre las clasificaciones con base en el género es fuerte y positiva. 

Vamos realizar la prueba de correlación entre las poblaciones para α =1 %=0.01 - Hipótesis estadísticas: H 0 : ρs=0 ; No existe correlación entre las clasificaciones con base en el género

H a : ρs ≠ 0 ; Existe correlación entre las clasificaciones con base en el género -

Desviación normal para la prueba de rangos de Spearman:

r s−0 =r √ n−1 1 / √n−1 s Z=0.902 √ 85−1 ¿ 8.267

Z=

-

Valor critico de Z: Z1−α /2=Z 1−0.01/ 2=Z 0.995=2.58 Luego el valor crítico de Z es: ± 2.58

-

Interpretación: Como 8.267> 2.58, debería rechazarse la hipótesis nula en favor de la hipótesis alterna, la cual afirma: Existe correlación entre las clasificaciones con base en el género.

EJERCICIO 18. Recientemente bytec.fnc,ha tenido un problema con el ausentismo de los empleados en sus 3 plantas de producción con base en los siguientes datos, tomados durante un periodo de 6 días, sobre el número de empleados que estaban ausentes. ¿al nivel de significancia del 5% parece que hay una diferencia en el número de empleados que no llegan a trabajar? Si usted rechaza la hipótesis nula, realice una comparación por pares completa con su subrayado común. N° EMPLEADOS AUSENTES PLANTA 1

25, 36, 38, 31, 29, 33

PLANTA 2

31, 28, 39, 41, 21, 20

PLANTA 3

29, 28, 22, 26, 24, 20

SOLUCIÓN: NÚMERO DE EMPLEADOS AUSENTES N°1

RANG O

N°2

RANG O

N°3

22 25

RANG O

N°4

RANG O

26 8.5

RANG O

21

3

24

5

4

6 28

N°5

7

N°6

RANG O

20

1.5

20

1.5

56 28 29

10.5

31

12.5

8.5 29 31

10.5

12.5 33

36

15 38

16

39

17 41

∑ R 1=¿29

14

∑ R 2=¿32

∑ R 3=¿37

18

∑ R 4=¿37.5 ∑ R 5=¿18.5

∑ R 5=¿17

Con n=18, para  Prueba de Kruskal – Wallis

12 H= n ( n+1 ) 1−

R 2i −3 ( n+1 ) ni

[∑ ]

∑T N 2−N

H=

6 +6 12 ¿ = 1− 2 18(19) 18 −18 2 T =t −t

H = 0.035 [ 280.33+341.33+456.33+ 468.75+114.08+ 96.33 ]-57 = 0.96 H=4.50 H=4.69 GL=K-1 K=6 GRUPOS GL=5 SEGÚN LA TABLA K>H 11.070 > 4.69 Ahora, debemos comparar este valor con uno crítico. La distribución K es aproximada por una distribución Chi-cuadrado con K-1 grados de libertad. Si K excede el valor critico de Chi-cuadrado, se rechaza la hipótesis nula, entonces. Con α =5 % y el valor critico de Chi-Cuadrado, dado 6-1=5 grados de libertad se vuelve Entonces. Se rechaza la hipótesis dado EJERCICIO 19. Para probar un nuevo alimento para mascotas, Puppy Love alimenta a cuatro grupos de cachorros de 10 semanas de edad con diferentes combinaciones de comida. Despues de 3 semanas se registra el incremento de peso. ¿Existe una diferencia significativa en los

57 incrementos de peso al nivel del 5%. Si usted rechaza la hipótesis nula, realice una comparación completa por pares con subrayado común. Incremento en el peso (Libras) MEZCLA 1

3, 6, 9, 5, 6

MEZCLA 2

3, 4, 8, 9, 7

MEZCLA 3

10, 8, 9, 8, 7

MEZCLA 4

8, 10,11, 8, 8

SOLUCIÓN: MEZCLA 1

RANGO

MEZCLA 2

RANGO

MEZCLA 3

RANGO

MEZCLA 4

RANGO

3

1.5

3

1.5

10

18.5

8

11.5

6

5.5

4

3

8

11.5

10

18.5

9

16

8

11.5

9

16

11

20

5

4

9

16

8

11.5

8

11.5

6

5.5

7

7.5

7

7.5

8

11.5

n1 =6

∑ R 1=32.5

n2 =6

∑ R 2=39.5

n3 =6

∑ R 3=65

n 4=6

∑ R 4=73

Ahora:

Prueba De Kruskal −Wallis : 12 K= ¿ n ( n+1 ) K=

12 32.52+ 39.52+ 652+ 732 −3(25) ¿−34.43 24 ( 25 ) 6

[

]

EJERCICIO 20. Security investments utiliza 3 métodos para seleccionar las acciones para sus portafolios, Al nivel de 5% ¿Existe una diferencia en las tasas de rendimiento para cada método con base a estos datos? TASAS DE RENDIMIENTO (%) PORTAFOLIO 1

14, 12, 10, 15, 13

PORTAFOLIO 2

9, 6, 8, 5, 5

PORTAFOLIO 3

6, 8, 5.9, 7

SOLUCION: Si usted rechaza la hipótesis nula. Realice una comparación por pares completa con el subrayado común.

58

TASAS DE RENDIMIENTO (PORCENTAJES) RANG O

%N°1

6

RANG O

%N°2

4.5

6

RANG O

%N°4

RANG O

%N°5

RANGO

5

1

5

1

5

1

7

6

13

13

4.5

8 9

%N°3

7.5

8

7.5

9

9 10 12

14

9

11

12

14 15

∑ R 1=¿27.5

∑ R 2=¿24

∑ R 3=¿19.5

15

∑ R 4=¿25

∑ R 5=¿20

Con n=15, para  Prueba de Kruskal – Wallis

12 K= n (n+1) K=

K=

R2i −3(n+ 1) ni

[∑ ]

12 15(15+ 1)

[

∑

27.52 24 2 19.52 252 20 2 + + + + −3(15+1) 3 3 3 3 3

]

12 [ 252.083+192+126.75+208.333+133.333 ] -48 = -2.375 240

Ahora, debemos comparar este valor con uno crítico. La distribución K es aproximada por una distribución Chi-cuadrado con K-1 grados de libertad. Si K excede el valor critico de Chi-cuadrado, se rechaza la hipótesis nula, entonces. Con α =5 % y el valor critico de Chi-Cuadrado, dado 5-1=4 grados de libertad se vuelve

X 20.05,4=9.488 , entonces no se rechaza la hipótesis dado de K≤ 9.488 . EJERCICIO 21. Su supervisor le a pedido determinar si existe una relación entre el tipo de técnica de presupuesto de capital que utiliza una empresa y su ingreso neto después de impuestos. Los datos que usted recolecta relacionan tres técnicas: el valor actual, la tasa interna de retorno y el índice de rentabilidad, con cuatro niveles de ingreso: US$0 a US$ 3’000,000, US$ 3’000,000 a US$ 6’000,000, US$ 6’000,000 a US$ 9’000,000, y por encima de US$ 9’000,000. Se

59 ha tabulado el numero de empresas que caen en las categorías conjuntas. ¿Qué herramienta estadística utilizaría para detectar alguna relación? RESPUESTA: Se utilizaría la prueba de Chi-cuadrado de Pearson ya que es una prueba muy utilizada cuando el investigador quiere analizar la relación entre dos variables que son cuantitativas, en este caso la relación entre el tipo de técnica de presupuesto de capital que utiliza una empresa y su ingreso neto después de impuestos.

EJERCICIO 22. usted debe comparar los niveles de gastos promedio de tres grupos de consumidores, pero no pude asumir que las poblaciones están distribuidas normalmente o que sus varianzas son iguales ¿Qué herramientas estadísticas debería utilizar?

SOLUCION: Consideremos ahora el problema de encontrar una estimación por intervalos de  1- 2 cuando no es probable que las varianzas poblacionales desconocidas sean iguales. La estadística que se usa con más frecuencia en este caso es:

que tiene aproximadamente una distribución t con 

 grados de libertad, donde:

Al despejar la diferencia de medias poblacionales de la fórmula de t nos queda:

EJERCICIO 23. Como gerente regional de una empresa minorista, usted desea determinar los niveles de ingreso de las personas y sus patrones de consumo están relacionados. ¿Qué herramienta estadística deberán utilizar? SOLUCION: Distribución chi-cuadrado

EJERCICIO 24. Un economista de una compañía internacional de valores recolecto datos sobre los niveles de consumo de 25 personas, antes y después de que el gobierno federal anunciara un gran incremento en los impuestos ¿Qué herramienta estadística permitirá al economista determinar si el impuesto afecto el consumo promedio? SOLUCION: Teniendo en cuenta que se va comparar dos distribuciones poblacionales, se va implicar el uso de pares correspondientes. Puesto que se tendrán datos de antes y después del incremento de los impuestos, se debe utilizar la prueba del signo para tomar decisiones comerciales dado que la hipotesis nula establece que no existe diferencia en los conjuntos de datos. La probabilidad de que ocurra cualquiera es de 0.50.

60 EJERCICIO 25. Usted debe seleccionar una muestra de los clientes de su empresa con base en el género. ¿cómo puede determinar si un procedimiento muestral es aleatorio? SOLUCION: Todos los individuos que componen la población dentro de la empresa tienen la misma oportunidad de ser incluidos en la muestra. Esta significa que la probabilidad de selección de un sujeto a estudio "x" es independiente de la probabilidad que tienen el resto de los sujetos que integran forman parte de la población de la empresa Ejemplo: ante la siguiente pregunta de investigación ¿cómo puede determinar si un procedimiento muestral es aleatorio? Un muestreo aleatorio aplicaría de la siguiente forma: seleccionar entre todos los sujetos, seleccionar al azar un subgrupo que los represente.

EJERCICIO 26. Su asistente estadístico ha obtenido datos sobre dos muestras independientes tomadas para comparar las edades de las personas. Si no puede asumirse que las poblaciones son normales, ¿Cuál prueba debería utilizarse? SOLUCION Se debe de realizar la prueba de bondad de ajuste, siempre se usa en una población multinominal, que se entiende como una extensión de la distribución Binomial en que caso que hay 3 o más categorías de restados.

EJERCICIO 27. ¿Por qué se utilizan las pruebas no paramétricas? ¿por qué no se confía siempre en las pruebas paramétricas ya que se estas son más fuertes? SOLUCIÓN Estas técnicas no paramétricas se utilizan con frecuencia, puesto que existen muchas variables que no siguen las condiciones de parametricidad. Estas son: el uso de variables cuantitativas continuas, distribución normal de las muestras, varianzas similares y muestras balanceadas.

EJERCICIO 28. EJERCICIO 29. EJERCICIO 30. Cite su propio ejemplo en el cual se necesite la prueba de Spearman y describa exactamente que es lo que usted está midiendo con su ejemplo. Ejemplo: Los resultados de 9 estudiantes en Historia y Geografía se mencionan en la siguiente tabla. HISTORI A

RANG O

GEOGRAFÍ A

RANG O

DIFERENCIA DE RANGOS

D CUADRADA

35

3

30

5

2

4

23

5

33

3

2

4

47

1

45

2

1

1

17

6

23

6

0

0

10

7

8

8

1

1

43

2

49

1

1

1

9

8

12

7

1

1

6

9

4

9

0

0

28

4

31

4

0

0

61 TOTAL:

12

SOLUCION: Aplicamos la fórmula:

6 ∑ d2i r s=1− n(n2−1) Entonces:

r s=1− 

6∗12 =0.9 9 ( 81−1 ) El coeficiente de correlación de Spearman se utiliza para averiguar la relación entre las dos variables, los resultados en Historia y Geografía que tienen los alumnos. Una idea general es que la nota debe aumentar con el estudio, lo que significa que debe haber una asociación positiva entre las dos variables, lo que se demuestra por el valor de rs que es de 0,9.

EJERCICIO 31. Un banco en Des Moines desea determinar la distribución de los clientes es uniforme a lo largo de la semana. Una encuesta descubre que el numero de clientes de lunes a viernes son 150, 179, 209, 79 y 252. Al nivel del 5%. ¿parece que existe una distribución uniforme? a) Plantee la hipótesis. b) Plantee la regla de decisión. c) Realice la prueba y tome sus determinaciones. SOLUCIÓN a) H0: la distribución de los clientes es uniforme a lo largo de la semana HA: la distribución de los clientes no es uniforme a lo largo de la semana b) Para el grado de libertad

g .l=k −m−1 g .l=5−0−1 g .l =4 Si se deseara probar el nivel del 5% se encontraría que:

X 20.05=9.488 Regla de Decisión: “No rechazar si X 2 ≤ 9.488, rechazar si X 2 > 9.488” c) Días lunes martes miércoles jueves viernes

Fo 150 179 209 79 252

Fe 173 173 175 173 175

62 total

869

869

( 150−173 )2 ( 179−173 )2 ( 209−175 )2 ( 79−173 )2 ( 252−175 )2 X = + + + + 173 173 175 173 175 2 X =94.8267547 2

Debido a que 94.8267547> 9.488, la hipótesis nula se rechaza, por lo tanto, la distribución de los clientes no es uniforme a lo largo de la semana.

EJERCICIO 32. El profesor Showers argumenta que la distribución de notas por parte de sus alumnos es de 5% en calificación A, 20% en B, 30% en C, 40% en D y el resto en F. Si este es el caso, su decano le ha prometido un aumento del 15% de su salario. Al nivel del 1% ¿El profesor obtiene su aumento si las 100 notas seleccionadas aleatoriamente son: 7 de A, 20 de B, 27 de C, 36 de D y 10 de F? SOLUCIÓN: NOTAS

DISTRIBUCIÓN

PROYECCIÓN

A

5%

7

B

20%

20

C

30%

27

D

40%

36

F

5%

10

TOTAL

100%

100

Existe un margen de error del 1%. DISTRIBUCIÓ NOTAS N

PROYECCIÓN

VALOR REAL

A

5%

7

5

B

20%

20

20

C

30%

27

30

D

40%

36

40

F

5%

10

5

TOTAL

100%

100

100

63 El profesor sí recibiría el aumento del 15% porque está y pertenece al margen de error relacionado.

EJERCICIO 33. Creative flooring ha decidido ordenar sus suministros en volumen si el tamaño de taperes que se colocan en las casas está distribuido normalmente. Ayude a los gerentes de la compañía a tomar su decisión con base en los siguientes datos muéstrales. Sea un 1% YARDAS CUADRADAS (100`S)

N° CASAS DE ESTE TAMAÑO

hasta 5

97

5 a 10

137

10 a 15

245

15 a 20

256

20 a 25

154

25 a más

111

SOLUCION: H0: los atributos son independientes uno del otro H1: los atributos no son independientes uno del otro

x −u o 5−15 Z= ¿−0.5 5 Z=

Entonces: p(0< x<5) Existe un poco más del 1% de probabilidad de suministros en volumen si el tamaño de taperes que se colocan en las casas.

x−u ¿−0.5 Oun area de 0.1232 o x−u Z2 = ¿−1 o un areade 0,1359 o Z1 =

Entonces: p ( 5< x< 10 )=0,1359−0.1232=0.0127

EJERCICIO 34. la tabla de frecuencias que aparece a continuación registra ventas diarias para 200 días. ¿en α = 0.05 las ventas parecen estar distribuidas normalmente? VENTAS 40 hasta 60 60 hasta 80 80 hasta 100 100 hasta 120 120 hasta 140 140 hasta 160 160 hasta 180 180 hasta 200 SOLUCION:

FRECUENCIA 7 22 46 42 42 18 11 12

64 H0: los atributos son independientes uno del otro H1: los atributos no son independientes uno del otro

x −u o 40−120 Z= 120 Z=−0.67 Z=

Entonces: p(0< x< 40) Existe un poco más del 5% de probabilidad de ventas.

x−u o Z1 =−0.5 Oun area de 0.1232 x−u Z2 = o Z2 =−1 o un areade 0,1359 Z1 =

Entonces: p ( 60< x< 80 )=0,1359−0.1232=0.0127

EJERCICIO 35. ‘’Ciudadanos para un medio no violento’’ Proporcionó datos que luego se publicaron en una emisión reciente de U.S. News & World Report sobre el número de actos de violencia que se ve en ciertos tipos de programas de televisión. La organización reclamaba que tales actos ocurrían con igual frecuencia en todos los tipos de programas. Pruebe este reclamo al nivel del 10% ACTOS DE TIPO DE PROGRAMA VIOLENCIA Drama

42

Películas Viejas

57

Dibujos Animados

83

Policías/Detectives

92

Comedias

38

Noticias

81

SOLUCIÓN: H o:Los actos ocurren con igual frecuencia en todos los tipos de programas

H A : Los actos no ocurren con igual frecuencia en todos los tipos de programas Suponiendo uniformidad en la frecuencia de actos de violencia por cada programa, se tiene n=393 casos en total. Si la demanda es uniforme, deberían haber 393/6=65.5, esperándose esa cantidad de actos de violencia en cada tipo de programa. Entonces con K=6, se debe determinar si el valor está lo suficientemente cerca a lo que se esperaría si la demanda fuese cierta. k 2

X =∑ i=1

2

( Oi−Ei ) Ei

( 42−65.5 )2 ( 57−65.5 )2 ( 83−65.5 )2 ( 92−65.5 )2 ( 38−65.5 )2 ( 81−65.5 )2 + + + + + 65.5 65.5 65.5 65.5 65.5 65.5 2 X =8.4313+1.1030+4.6756+ 10.7214+11.5458+ 3.6679 ¿ 40.145 X2=

65 El valor, 40.145, se compara con un valor critico de X 2 tomado de la tabla H en el apéndice III. Con X 20.05,6=10.645 Regla de decisión: ‘’No rechazar si X 2 ≤10.645 . Rechazar si X 2 >10.645 Entonces, se rechaza dicho reclamo.

EJERCICIO 36. Greenpeace (paz verde), el grupo de conservación mundial, exigió una sanción de las Naciones Unidas por la matanza de bebés foca en lo que se denominó los “meses de alta mortalidad”. Finlandia, que todavía permite tales “masacres”, afirmó que la actividad era consistente durante todo el año y no variaba de mes a mes. Dados los datos de 1997, suministrados por Greenpeace, ¿a qué conclusión llega usted? Sea α 1% MES

N° MUERTES

Enero

112

Febrero

89

Marzo

156

Abril

104

Mayo

165

K=5 Grado de Libertad= k-1= 4 X= 35.677 x20.01,4= 13.277 H0= La distribución es uniforme; x2 = 35.677 > 13.277; rechazar

EJERCICIO 37. El gerente de producción de AAA, Inc., debe garantizar que si mezcla de productos se ajuste a un sistema particular de cuotas. Se le indica ajustarse a un patrón que produce 30% de productos de seda, 20% de lana, 10% de algodón, y 40% de cuero. De las ultimas 200 unidades producidas, 65 eran de seda, 45 de lana, 25 de algodón, y 65 de cuero. Al nivel del 5%, ¿debería ajustarse al patrón de producción actual? Plantee la hipótesis. SOLUCION: Ho: La mezcla se quedará con el patrón inicial. H1: La mezcla se ajustará con el patrón de las 65 últimas mezclas.

EJERCICIO 38. Una cadena minorista tiene seis puntos de venta. Ha venido esforzándose mucho para alcanzar niveles de ventas similares en todas las seis tiendas. La empresa de publicidad que maneja la gestión promocional afirma que, en este momento, cada tienda debería reportar ventas iguales. Si las ventas no son iguales, la cadena minorista ha decidido acabar su asociación con la agencia publicitaria. ¿Qué decisión se debería tomar con base en los datos que aparecen a continuación? Plantee su hipotesis. Sea α=0.01. Tienda

Ventas (US$100)

66 1

42

2

37

3

53

4

51

5

45

6

47

H 0 : Las ventas son uniformes en las 6 tiendasH A : Las ventasno son uniformes en las6 tiendas SOLUCIÓN: Tienda

Ventas (US$100)

Ventas observadas

1

42

45.833

2

37

45.833

3

53

45.833

4

51

45.833

5

45

45.833

6

47

45.833

275

275

K=6 2 X 2 =¿ ¿ X =

172.833 =3.7709 Segúnla tabla H :X 20.010=¿ 15.086 45.833

Gracias a que 3.7709 <15.086, la hipotesis nula de que la venta es uniforme no se rechaza. Las diferencias que existen entre las ventas de cada tienda no son lo suficientemente grandes para refutar la hipotesis nula. Las diferencias no son significativas y pueden atribuirse simplemente a un error de muestro.

EJERCICIO 39. La tienda por departamentos Macy’s de Nueva York, recientemente hizo un estudio para determinar si había alguna relación entre el estado civil del cliente y su volumen de compras en dólares. Los resultados aparecen en la siguiente tabla ¿Cuál es su conclusión al nivel de significancia del 5%? Volumen en dólares <10

10-19

20-29

30-39

40-49

CASADO

32

23

15

12

14

DIVORCIA DO

51

17

10

15

13

SOLTERO

21

19

29

35

39

VIUDO

18

15

19

10

9

SOLUCIÓN: H o: Estado civil y volumen de compra son independientes

H A : Estado civil y volumen de compra son dependientes Sacamos el porcentaje de Casado del total, teniendo 96/416 =23.08%

67 Entonces, si el estado civil y volumen de compra, son independientes, se esperará que 23.08% de ellos en cada clasificación de estado civil responda que si son los casados, en este caso, los que mas compren de acuerdo a ello. Por lo tanto Ei para el intervalo correspondiente a  Casado: (122)(0.2308)=28.16, (74)(0.2308)=17.08, (73)(0.2308)=16.85, (72)(0.2308)=16.62, (75)(0.2308)=17.31  Divorciado Sacamos el porcentaje de Divorciados del total, teniendo 106/416 =25.48% (122)(0.2548)=31.08, (74)(0.2548)=18.85, (73)(0.2548)=18.60, (72)(0.2548)=18.35, (75)(0.2548)=19.11  Soltero Sacamos el porcentaje de solteros del total, teniendo 143/416 =34.37% (122)(0.3437)=41.93, (74)(0.3437)=25.43, (73)(0.3437)=25.09, (72)(0.3437)=24.75, (75)(0.3437)=25.77  Viudo Sacamos el porcentaje de viudos del total, teniendo 71/416 =17.07% (122)(0.1707)=20.82, (74)(0.1707)=12.63, (73)(0.1707)=12.46, (72)(0.1707)=12.29, (75)(0.1707)=12.80 VOLUMEN EN DÓLARES CANT. CASADO DIVORCIADO SOLTERO VIUDO Total Chi-cuadrado es :

<10

10-19

20-29

30-39

40-49

32

23

15

12

14

28.16

17.08

16.85

16.62

17.31

51

17

10

15

13

31.08

18.85

18.60

18.35

19.11

21

19

29

35

39

41.93

25.43

25.09

24.75

25.77

18

15

19

10

9

20.82

12.63

12.46

12.29

12.80

122

74

73

72

75

Total 96 106 143 71 416

68 k 2

X =∑ i=1

X2=

2

( Oi−Ei ) Ei

( 32−28.16 )2 + 28.16

( 23−17.08 )2 ( 15−16.85 )2 ( 12−16.62 )2 ( 14−17.31 )2 ( 51−31.08 )2 ( 9−12.80 )2 = 53.69 + + + + + …+ 17.08 16.85 16.62 17.31 31.08 12.80 Si se determina el 5% y con (f-1)(c-1)=(4-1)(5-1)=12 grados de libertad. X 20.05, 12=21.026 REGLA DE DECISION: ‘’No rechazar la hipótesis nula si X 2 ≤ 21.026. Rechazar si X 2 >21.026 Por tanto, se rechaza dicha hipótesis nula, dando a entender que, si depende del estado civil, el volumen de gasto en dólares.

EJERCICIO 40. El ministerio de Hacienda de Estados Unidos ha estimado que el ¨Incremento en los honorarios típicos del contribuyente necesarios para balancear el presupuesto está distribuido uniformemente en todos los estados¨. La emisión del 28 de febrero de 1994 de U.S & World Report publico las siguientes estadísticas: Estado

Incremento del contribuyente promedio (10 primeros estados)

Honorarios típicos del contribuyente

Connecticut

US$1,100

872

New Jersey

952

872

New York

877

872

Massachusetts

852

872

DC

851

872

Maryland

840

872

Nevada

828

872

Illinois

822

872

Washington

809

872

California

789

872

A nivel del 5%, ¿El ministerio de Hacienda puede ser apoyado? K=9

69168 =79.321 872 Ya que 79.321>¿16.919 la hipotesis nula se rechaza. 2 X 2 =¿ ¿ X =

EJERCICIO 41. The General Store determinará las fechas de ventas con base en la distribución de los rendimientos. Dados los siguientes datos, al nivel del 5% ¿Parece que los rendimientos son normales? Se sabe que la media es 25.6 y σ es 10.1 INGRESO/MES (US$100´S)

NÚMERO DE MESES

Hasta 10

10

10 a 20

101

69 20 a 30

223

30 a 40

146

40 y más

12

SOLUCION: Estas observaciones reales debemos compararlas con las que esperaríamos encontrar si la distribución fuera normal. Para determinar las frecuencias esperadas debemos calcular las probabilidades de que los datos tomados de la muestra aleatoriamente están contenidos dentro de los intervalos estimados. Es decir, la probabilidad de que un dato caiga en el primer intervalo es P(0<X<10):

Z=

X−µ 10−40 = =−2.97 σ 10.1

ENTONCES: P(0<X<10) Existe un poco más del 5% de probabilidad del pago de impuestos.

10−20 10.1 Z1 =−0.999 un areade 0.1322 Z1 =

10−30 10.1 Z2 =−1.98 o un area de 0.1459 Z2 =

Entonces: p ( 10< x< 20 )=0.1459−0.1322=0.0137

EJERCICIO 42. Se consideran los siguientes datos sobre los tiempos de finalización de trabajos, los cuales se tomaron de una población con una media de 18 y una desviación estándar de 4. TIEMPOS (HORAS)

N° TRABAJOS

Hasta 10

10

10 a 15

101

15 a 20

223

20 a 25

146

25 y mas

20

a) Al nivel del 5%, ¿puede concluirse que los tiempos están distribuidos normalmente? b) ¿En qué difieren los resultados si el primer intervaloesn”5 a 10” y el último es “25 a 30”? SOLUCIÓN: a) TIEMPO (HORAS)

N° DE TRABAJOS

P(X)

Hasta 10

10

0.02

10 a 15

101

0.202

15 a 20

223

0.446

20 a 25

146

0.292

70 25 y más

20

0.04

TOTAL

500

1

Al nivel del 5%, aplicando: Si α =0.05

100 xα =x 100 x 0.05=x x=5 Rango distribuido normalmente b) Difieren en la cantidad de obreros y cantidad de días para realizar dichos trabajos. Donde se ve un margen considerable de 10 a 20 (“5 a 10” y “25 a 30” respectivamente), donde es prácticamente el doble e influye la cantidad de trabajadores.

EJERCICIO 43. El economista jefe de la Oficina de Ingreso Estatal debate con supervisor quien argumenta que los pagos de impuestos están distribuidos normalmente. Los datos de 2,000 contribuyentes proporcionan los siguientes resultados. A nivel 1%, ¿el supervisor está en lo cierto? PAGO DE IMPUESTOS (US$10'S)

CONTRIBUYENT ES

Hasta 15

248

15 a 30

232

30 a 45

489

45 a 60

512

60 a 75

263

75 y más

256

H0: los atributos son independientes uno del otro H1: los atributos no son independientes uno del otro

x −u o 15−45 Z= ¿−0.67 45 Z=

Entonces: p(0< x<15) Existe un poco más del 1% de probabilidad del pago de impuestos.

x−u o Z1 =−0.5 Oun area de 0.1232 Z1 =

x−u o Z2 =−1 o un areade 0,1359 Z2 =

Entonces: p ( 15< x< 30 )=0,1359−0.1232=0.0127

71 EJERCICIO 44. runner’s world informo que una encuesta realizada por converse, sobre personas que para hacer ejercicio hacían trote de forma regular, produjo los siguientes resultados. La intención del estudio era de determinar si las distancias eran independientes de la preferencia de los deportistas en cuanto a un producto similar al gel utilizado en los talones de sus zapatillas para trotar. Al nivel del 1%, ¿parece existir alguna relación? Plantee la hipótesis. DISTANCIA/SEMANA (MILLAS) PREFIEREN GEL <3 14 3-6 18 7-10 12 10-13 17 >13 19

NO PREFIEREN GEL 5 5 8 12 8

NO OPINAN 27 17 8 5 2

SOLUCIÓN: H0: los atributos son independientes el uno del otro HA: los atributos no son independientes el uno del otro DISTANCIA/SEMANA (MILLAS) <3 3_6 7_10 10_13 >13 total

PREFIEREN GEL 14 18 12 17 19 80

NO PREFIEREN NO OPINAN TOTAL GEL 5 27 46 5 17 40 8 8 28 12 5 34 8 2 29 38 59 177

Calculando E1 se obtiene la siguiente tabla. DISTANCIA/SEMANA (MILLAS) <3 3_6 7_10 10_13 >13 TOTAL

PREFIEREN NO PREFIEREN NO OPINAN GEL GEL O1:14 O1: 5 O1: 27 E1: 20.79 E1:9.876 E1:15.33 O1: 18 E1:18.079 O1: 12 E1:12.655 O1: 17 E1:15.367 O1: 19 E1:13.107 80

O1: 5 E1:8.588 O1: 8 E1:6.011 O1: 12 E1:7.299 O1: 8 E1:6.226 38

O1: 17 E1:13.33 O1: 8 E1:9.33 O1: 5 E1:11.33 O1: 2 E1:9.667 59

TOTAL 46 40 28 34 29 177

Chi-cuadrado es:

( 14−20.79 )2 ( 18−18.079 )2 ( 8−6.226 )2 ( 2−9.667 )2 X = + +…+ + 20.79 18.079 6.226 9.667 2 X =¿32.867 2

Si se determina α=1% y con (f-1)(c-1)=(5-1)(3-1)= 8 grados de libertad X 20.01=20.0902 La regla de decisión es: “No rechazar si X 2 ≤ 20.0902, rechazar si X 2 >20.0902” Entonces la hipótesis nula se rechaza debido a que 32.867>20.0902

72 EJERCICIO 45. Los datos sobre años de experiencia y calificaciones de la eficiencia, para 431 empleados XYZ, Inc., aparece la siguiente tabla. ¿Se puede concluir que estos atributos son independientes el uno del otro? Sea α=5% EFICIENCIA

EXPERIENCI A EN AÑOS

POBRE

BUENO

EXCELENT E

SUPERIOR

<5

14

18

12

17

5 – 10

18

13

27

42

11 – 16

16

32

24

37

17 – 22

24

28

21

32

> 22

17

15

14

10

SOLUCIÓN: H0: los atributos son independientes el uno del otro HA: los atributos no son independientes el uno del otro

EFICIENCIA EXCELENT SUPERIO BUENO E R 18 12 17 13 27 42 32 24 37 28 21 32

EXPERIENCI A EN AÑOS

POBRE

<5 5 – 10 11 – 16 17 – 22

14 18 16 24

> 22

17

15

14

10

56

totales

89

106

98

138

431

Calculando E1 se obtiene la siguiente tabla. EFICIENCIA EXPERIENCIA EN AÑOS POBRE BUENO EXCELENTE O1:14 O1:18 O1:12 <5 E1: 12.596 E1: 15.002 E1: 13.870 O1:18 O1:13 O1:27 5 – 10 E1: 20.650 E1: 24.594 E1: 22.738 O1:16 O1:32 O1:24 11 – 16 E1: 22.508 E1: 26.807 E1: 24.784 O1:24 O1:28 O1:21 17 – 22 E1: 21.682 E1: 25.824 E1: 23.875 O1:17 O1:15 O1:14 > 22 E1: 11.564 E1: 13.773 E1: 12.733 totales 89 106 98

TOTAL

SUPERIOR O1:17 E1: 19.531 O1:42 E1: 32.019 O1:37 E1: 34.900 O1:32 E1: 33.619 O1:10 E1: 17.930 138

61 100 109 105

TOTAL

Chi-cuadrado es:

( 14−12.596 )2 ( 18−12.596 )2 (14−12.733 )2 ( 10−17.930 )2 X = + + …+ + 12.596 12.596 12.733 17.930 2 X =21.244 2

Si se determina α=5% y con (f-1)(c-1)=(5-1)(4-1)= 12 grados de libertad X 20.05=11.34

61 100 109 105 56 431

73 La regla de decisión es: “No rechazar si X 2 ≤11.34 , rechazar si X 2 >11.34 ” Entonces la hipótesis nula se rechaza debido a que 21.244> 11.34

EJERCICIO 46. Los resultados de un estudio realizado por las Asociaciones Norteamericanas de mercadeo para determinar la relación entre la importancia que dan a la publicidad los propietarios de tiendas y el tamaño de la tienda que poseen, aparecen en la siguiente tabla. ¿Parece que los propietarios de tiendas ponen el mismo énfasis a la publicidad? sea α 1%. Plantee la hipótesis. PUBLICIDAD TAMAÑO

IMPORTANTE

NO IMPORTANTE

NO OPINAN

Pequeña

20

52

32

Mediana

53

47

28

Grande

67

32

25

SOLUCION: H0: la clasificación y la ubicación son independientes H1: la clasificación y la ubicación no son independientes

PUBLICIDAD TAMAÑO

IMPORTANT E

NO IMPORTANTE

NO OPINAN

TOTAL

pequeña

20

52

32

104

mediana

53

47

28

128

grande

67

32

25

124

140

131

85

356

0.292

40.899

38.270

24.831

0.360

50.337

47.101

30.562

0.348

48.764

45.629

29.607

CHI-CUADRADO

x 2=

(20−40.90)2 (52−38.37)2 (32−24.83)2 (53−50.34)2 (47−47.1)2 (28−30.56)2 (67−48.76)2 (32− + + + + + + + 40.90 38.27 24.83 50.34 47.1 30.56 48.76

Si se determina α 1%. (f-1)(c-1)= (3-1)(3-1)=4 grado de libertad, x 20.01=13.277 La hipótesis nula se rechaza, existe solo el 1% de relación de que si no existe la relación.

EJERCICIO 47.

74 EJERCICIO 48. A ocho sujetos de prueba se les pide calificar un producto antes de después de ver un comercial sobre el mismo. Las calificaciones se presentan en la siguiente tabla, en una calificación de 10 es la mejor. Sea α: 0.10 y utilice una prueba de signo para la hipótesis de que el comercial mejoro la calificación del producto. Plantee la hipótesis. CALIFICACIONES

SUJETO DE PRUEBA

ANTES DEL COMERCIAL

DESPUES DEL COMERCIAL

1

8

9

2

7

6

3

5

6

4

5

5

5

5

4

6

7

8

7

6

7

8

6

8

SOLUCION: Prueba del signo: Sujeto de prueba

Antes del comercial

Después del comercial

Signo (antes – después)

1

8

9

-

2

7

6

+

3

5

6

-

4

5

5

0

5

5

4

+

6

7

8

-

7

6

7

-

8

6

8

-

Las hipótesis son:

H 0=m=p H a=m≠ p Se tiene la calificación 4 se ignora porque la diferencia es cero. Existe dos signos más y cinco signos menos. Para calcular la probabilidad de que dos o menos signos más puedan ocurrir o la probabilidad de que cinco o más signos menos puedan ocurrir. Concentrándonos en el número de signo más, se tiene:

P ( p ≤ 2 , n=7 , π=0.5 )=0.2266 Debido a que

α 0.10 = =0.05< 0.2266 , no se rechazala hipotes nula . 2 2

EJERCICIO 49. un compuesto químico se agrega a una solución a base de aceite, esperando incrementar sus calidades de lubricación. 20 soluciones, 10 con el compuesto y 10 sin este, se

75 comparan respecto a su capacidad para lubricar la maquinaria. Cada uno es calificado en una escala de 0 a 10, siendo 10 la mejor. Con base a los datos en la tabla, ¿parece que el compuesto incrementa la lubricación? Sea α=0.10 plantee la hipótesis

SOLUCION 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

GRADO DE LUBRICACION SIN COMPUESTO CON COMPUESTO 8 4 7 8 5 2 6 9 9 5 4 4 9 2 8 6 7 6 6 7

SOLUCIÓN: Con n=20, para  Prueba de Kruskal – Wallis GRADO DE LUBRICACION SOLUCION SIN COMPUESTO RANGO CON COMPUESTO 1 8 16 4 2 7 13 8 3 5 6.5 2 4 6 9.5 9 5 9 19 5 6 4 4 4 7 9 19 2 8 8 16 6 9 7 13 6 10 6 9.5 7 ∑ R 1=¿125 .5

H=

12 ¿ 20 ( 21 ) 1−

H=

1−

∑T 202−20

12 [ 1575.025+7140.25 ] −63 420 ∑

6+6 +6+6+ 6+6 380

T =t 2−t 90 H=0.028 [ 8715.275 ] -63 H=181.0277 H=201.14

RANGO 4 16 1.5 19 6.5 4 1.5 9.5 9.5 13

∑ R 2=84.5

76 GL=K-1 K=2 GRUPOS GL=1 SEGÚN LA TABLA K
EJERCICIO 50. Shytel, Inc., ofrece servicios de comunicación en todo el mundo con dos satélites, el Falcón y el Eagle. El director ejecutivo de Shytel considera que Eagle presenta demoras mayores en la transmisión. Los tiempos de transmisión aparecen en minutos en la siguiente tabla. Al nivel del 5%, ¿Parece que el director ejecutivo está en lo cierto? Plantee su hipótesis. FALCÓN 5.2 8.6 9 4.3 6.2 7.9

EAGLE 4.7 7.9 9.7 8.4 3.7 7.3

SIGNOS + + + +

SOLUCIÓN:  Hipótesis Estadística: H 0=¿No existen diferencias estadísticamente significativas en los hábitos de transmisión.

H a=¿Existen diferencias estadísticamente significativas en los hábitos de transmisión. 

Consideremos un nivel de significancia de 5%. Vamos realizar la prueba de correlación entre las poblaciones para α =5 %=0.05 - Hipótesis estadísticas: H 0 : ρs=0 ; No existe correlación entre las calificaciones por parte de las dos compañías. H a : ρs ≠ 0 ; Existe correlación entre las calificaciones por parte de las dos compañías. -

Desviación normal para la prueba de rangos de Spearman:

r s−0 =r √ n−1 1 / √n−1 s Z=0.8154 √ 6−1 Z=1.823 Z=

-

Valor crítico de Z: Z1−α /2=Z 1−0.05/ 2=Z0.975=2.34 Luego el valor crítico de Z es: ± 2.58

77 -

Interpretación: Como 1.823<2.34 , aceptamos la hipótesis nula, la cual afirma: No existe correlación entre las calificaciones. Por lo tanto, las calificaciones son independientes.

EJERCICIO 51. Clyde Bloomquist ha propuesto un cambio en la política corporativa respecto a la recolección de cuentas por cobrar. Considera que reducirá el tiempo necesario para obtener el pago de deudas pendientes de los acreedores. Los registros de la compañía demuestran que ocho de los acreedores tomaron el número de días que aparecen en la tabla, antes y después del cambio de política para remitir los fondos vencidos. ¿Está Clyde en lo cierto? ¿Debería mantenerse el cambio de política? Sea α=0.10. Plantee la hipótesis ACREEDO R

ANTES

DESPUES

1

18

12

2

27

22

3

32

31

4

23

24

5

31

28

6

36

24

7

18

16

8

35

25

SOLUCION: X2= (18-12)2 + (27-22)2 +(32-31)2 +(23-24)2 +(31-28)2 +(36-24)2 +(18-16)2 +(35-25)2 12 22 31 24 28 24 5 25 X= 3.9156 K= 8 K-1= 7 grados de libertad Al nivel del 0.10, x20.10,7= 12.017 Regla de decisión= No se rechaza ya que x2 < 12.017

=

3.9156 < 12.017

EJERCICIO 52. A los compradores de un gran centro comercial en Dayton, se les pregunto cuál de las marcas de yogur preferían. Cuarenta y dos respondieron que el Swedish Heaven, 31 escogieron Merry melody , y 12 no expresaron ninguna preferencia. Si la tienda local de yogur ofreciera una sola marca, ¿Cuál sería la mejor? Sea ∝=0.10 Plantee la hipótesis. SOLUCIÓN: H 0=¿la muestra es aleatoria

H a=¿La muestra no es aleatoria SWEDISH HEAVEN

MERRY MELODY

NINGUNO

42

31

12

49.41%

36.47

14.12

compradores

Debido a que

∝ 0.10 = =0.05 < 0.49 , se a 2 2

Podemos decir que al 10% el yogurt que resulte más comprado seria el Swedish Heaven .

78 EJERCICIO 53. Un fabricante utiliza piezas o del proveedor A o del proveedor B para hacer sus productos. Un chequeo de la producción de ayer revela que el orden en el que se utilizaron las partes de estos proveedores era:

¿Parece que las partes se están utilizando aleatoriamente? Sea α=0.05. Plantee su hipótesis y su conclusión. SOLUCIÓN Existen n1: 8 letras A n2 : 8 letras B y r: 8 rachas Debido a que r=8 la hipótesis nula debería rechazarse al nivel del 5%.

EJERCICIO 54. Smile Bright vende crema de dientes en tubos de 17 onzas. La gerencia espera que los excedentes y faltantes en el contenido sea aleatorio. Si no lo son, la gerencia asume que algo está mal en el sistema de llenado y cerrará la línea de producción. ¿Debería cerrarse la línea si los recipientes miden 16?8, 18.2, 17.3, 17.5, 16.3, 17.4, 16.1, 16.9, 17, 18.1, 17.3, 16.2, 17.3, 16.8 onzas? Sea a = 0.05 SOLUCION: Consideramos a cada valor menor que 17 como falta y cada valor mayor a 17 como exceso, generando lo siguiente: F EEE F E FF EE F E F

r =9 n1=6 n 2=7 H o =Hay aleatoriedad H A =Nohay aleatoriedad Considerando los valores de n1 y n2 buscamos los valores M 1 y M 2 obteniendo: M 1=4 y M 2=14 La regla de decisión nos dice que no rechacemos la hipótesis si M 1 ≤ r ≤ M 2. Sustituyendo valores tenemos: 4 ≤ 9≤ 14 El número de rachas se encuentra en el intervalo dado, por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula. La empresa no tiene por qué preocuparse por cerrar la línea de producción.

EJERCICIO 55. Se registraron los ingresos de ventas de los últimos 37 días. Usted vera que tales valores están por debajo de la mediana con una B y los que están por encima con una A. al contar los resultados, usted encuentra 18 de A, 19 de B con 10 rachas. Su política es incrementar la publicidad si los ingresos no están distribuidos aleatoriamente. ¿Debería incrementarse la publicidad? Plantee la hipótesis. Sea α=0.05. SOLUCION: Con n1=19 para B Y n2=18 para A, la tabla M1 y M2 revelan números mínimo y máximo críticos de racha, respectivamente como 13 y 26. Las hipótesis son:

H0: la aleatoriedad prevalece. HA: la aleatoriedad no prevalece. Regla de decisión: rechazar la H0 si 5 ≥ r o 14 ≤ r, no rechazar si 14 > r > 5. Debido a que r = 10, no se debería de rechazar la hipótesis nula al nivel del 5%.

79 Concluimos que no se debería incrementar la publicidad. EJERCICIO 56. Acme Plumbing licita en trabajos de construcción para edificaciones en la ciudad. Si los contratos los otorga la ciudad sin consideración política, Acme no debería presentar ningún patrón bien sea que se acepte o rechace su propuesta .Para las ultimas 63 licitaciones, Acme ha tenido 32 aceptadas y el resto rechazadas, con 27 rachas. Al nivel del 5%, ¿Parece que las propuestas se asignan con base en la política? Plantee la hipótesis, la regla de decisión y su conclusión SOLUCIÓN: H 0=¿la muestra es aleatoria.

H a=¿La muestra no es aleatoria n 1=32 signosmas n 2=31 signos menos -Al nivel del 5% , el valor critico de Z para la prueba de dos colas es: Hallamos la media de la distribución muestra del número de rachas

2n 1 n2 +1 n1 +n2 2(32∗31) ur = +1=32,49 32+ 31 ur =

Su desviación estándar seria:

σ r= σ r=

√ √

2n 1 n2 (2 n1 n2−n1−n2 ) 2 ( n 1+ n2 ) (n1 +n2−1)

2∗32∗31(2∗32∗31−32−31) =3.9354 ( 32+31 )2 (32+ 31−1)

La desviación normal es:

R−ur σr 27−32.49 Z= =−1.395 3.9354 Z=

Existe evidencia insuficiente para rechazar la hipótesis nula. Pareciera que la muestra es aleatoria. Existe un 95% de probabilidad de que un proceso de muestreo aleatorio con 32 y 31 observaciones en 2 categorías y 27 de racha diera un Z entre ± 3.9

EJERCICIO 57. Gladys Glucose ofrece a los visitantes del parque helado con sabor a vainilla y chocolate. Las últimas73 ventas fueron 40 helados de vainilla y 33 de chocolate, con 16 rachas. Si las ventas no son aleatorias, Gladys pasará su camión de helados al zoológico local. ¿En dónde debería poner su negocio? Sea α = 0.05. SOLUCION: Definimos las variables: n1: 40 n2: 33 r= 16 Se define las hipótesis: - Hipotesis nula: hay aleatoriedad - Hipotesis alternativa: no hay aleatoriedad

80

Primero hallamos la media:

2 ( 40 )( 33 ) =36,16 40+33

ur =

Después hallamos la desviación estándar:

σ=

√

2 ( 40 )( 33 ) ( 2,40 ) ( 33 )−40 −37=4,20 2 ( 40+33 ) ( 40+33−1 )

Ahora hallamos el Z:

z r= z r=

r −ur σr 16−36,16 4.20

=−4,8

Proseguimos hallando el intervalo de confianza de Z: α = 0,05

z

1−

=z 0 ,975 =± 1,96

α 2

Por lo tanto, el intervalo de confianza es: -1,96 ≤ Z ≥ 196 Dado que el valor -4,8 está fuera del intervalo de confianza, debemos rechazar la hipótesis nula. Esto quiere decir que Gladys debería poner su negocio en el zoológico local.

EJERCICIO 58. Una gran compañía contrato 52 hombres y 41 mujeres, resultando 32 rachas. Si la ausencia de aleatoriedad en el proceso de contratación indica discriminación ¿Puede alegarse que la compañía discrimina por sexo en sus prácticas de contratación? Sea a = 0.10

r =32n 1=52 n2=41 H o =Hay aleatoriedad H A =Nohay aleatoriedad 2(52∗41) + 1 ¿ 45.85 (52+ 41)

ur = σ r=

√

Z r=

2(52∗41)(2∗52∗41−52−41) ¿ 4.73 ( 52+ 41 )2∗(52+41−1)

32−45.85 ¿−2.93 4.73

Teniendo un intervalo de confianza: 1- a = 90% en la distribución normal, se tiene que

−1.65 ≤ Z ≤ 1.65 Dado que el valor -2.93 esta fuera del intervalo de confianza, debemos rechazar la hipótesis nula. Como no hay aleatoriedad en la contratación de empleados, podemos decir que la compañía discrimina por sexo.

EJERCICIO 59. Durante un periodo de 12 dias, Gladys Glucosa vendió 4, 11, 5, 7, 10, 13, 12, 5, 9,6, 2 y 1 galones de vainilla y 19, 4, 6, 8, 18, 17, 17, 15, 3, 16, 14 y 0 galones de chocolate. Utilizando la prueba de U de Mann – Whitney, ¿Ella puede concluir que vende en promedio la misma cantidad de ambos sabores? Sea α = 0.01

81 SOLUCION: Aplicando la prueba de U de Mann-Whitney VENTA 1

RANGO

VENTA 2

RANGO

4

5.5

19

24

11

15

4

5.5

5

7.5

6

9.5

7

11

8

12

10

14

18

23

13

17

17

21.5

12

16

17

21.5

5

7.5

15

19

9

13

3

4

6

9.5

16

20

2

3

14

18

1

2

0

1

n1 =12

121

n2 =12

179

n1 (¿ n +1) −∑ R1 ¿ 2 12 ( 13 ) U 1=12∗12+ −121=101 2 U 1=n1∗n2 +

1

n2 (¿ n +1) −∑ R2 ¿ 2 12 ( 13 ) U 2=12∗12+ −179=43 2 U 2=n1∗n 2+

2

La empresa Gladys glucosa vende más galones de vainilla (101) en comparación a las de chocolate (43). Por ende, no vende las mismas cantidades.

EJERCICIO 60. el director de mercadeo se Software, inc., trato 15 discos de computador con una solución especial para reducir el desgaste. Se utilizó una segunda solución para tratar otros 15 discos, y todos fueron evaluados con base en el desgaste. Los que fueron tratados con la primera solución mostraron un desgaste mejorado, medido en horas de uso de 65, 73, 82, 52, 47, 51, 85, 92, 69, 77, 84, 68, 75,74 y 89 horas. Los sometidos a la segunda solución reportaron tiempos de desgaste aumentados de 73, 84, 91, 87, 90, 71, 72, 93, 99, 98, 89, 88, 79, 88 y 98. Al nivel del 10%. ¿el director puede concluir que existe alguna diferencia de los factores de desgaste mejorados? SOLUCION: N° DISCO 1 SOLUCIÓN (X) 2 SOLUCIÓN (Y) RANGO 1 RANGO 2 1 65 73 4 3 2 73 84 7 5 3 82 91 11 11 4 52 87 3 6 5 47 90 1 10 6 51 71 2 1

D 1 2 0 -3 -9 1

D 1 4 0 9 81 1

82 7 8 9 10 11 12 13 14 15

85 92 69 77 84 68 75 74 89

72 93 99 98 89 88 79 88 98

13 15 6 10 12 5 9 8 14

2 12 15 13,5 9 7,5 4 7,5 13,5

11 3 -9 -3,5 3 -2,5 5 0,5 0,5

121 9 81 12,25 9 6,25 25 0,25 0,25 360

Coeficiente de correlación de Spearman.

r s=1−

6 ∑ d2i 2

n(n −1) 6(360) r s=1− 15(152−1) 2160 r s=1− =1−0.643 ¿ 0.357 3360 Por lo tanto, la correlación es fuerte y positiva. H0 = No existe diferencia de los factores de desgaste. H1 = Si existe diferencia de los factores de desgaste.

t=

rs

√

1−r 2 n−2

t prueba=

0.357

√

1−0.357 2 15−2

=1.378

Como el valor crítico del estadístico de prueba es t = ±3.012 con 13 grados de libertad y α = 0.01 Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula y concluimos que no existe diferencia de los factores de desgaste mejorados.

EJERCICIO 61. el gerente de control de calidad de una gran planta en Denver, da dos manuales de operaciones a dos grupos de empleados. Luego, a cada grupo se le prueba sobre los procedimientos de operaciones los puntajes aparecen en la siguiente tabla. El gerente siempre ha considerado que el manual 1 proporciona una mejor base de conocimientos para los nuevos empleados. Compare los puntajes promedio de la prueba de los empleados que aquí se presentan y reporte su conclusión. Plantee las hipótesis. Sea α =0.05 PUNTAJE DE LA PRUEBA DE LOS EMPLEADOS MANUAL 1 MANUAL 2 87 92 97 79 82 80 97 73 92 84 90 93 81 86

83 89 90 88 87 89 93 -

88 91 82 81 84 72 74

SOLUCIÓN: PUNTAJE DE LA PRUEBA DE LOS EMPLEADOS MANUAL 1 RANGO MANUAL 2 RANGO 87 13.5 92 22.5 97 26.5 79 4 82 8.5 80 5 97 26.5 73 2 92 22.5 84 10.5 90 19.5 93 24.5 81 6.5 86 12 89 17.5 88 15.5 90 19.5 91 21 88 15.5 82 8.5 87 13.5 81 6.5 89 17.5 84 10.5 93 24.5 72 1 74 3

∑ R 1=231.5 Con n=27, para  Prueba de Kruskal – Wallis

H=

1−

∑T 283−28

H=

1−

12 ¿ 27 ( 28 )

12 [ 1645.52 ]−84 756 ∑

6+6 +6+6+ 6 756

T =t 2−t H=0.016 [ 1645.52 ]-84 0.96 H=−57.67 H=-60.07

∑ R 2=146.5

84 GL=K-1 K=2 GRUPOS GL=1 SEGÚN LA TABLA K>H 3.841>-60.07 Ahora, debemos comparar este valor con uno crítico. La distribución K es aproximada por una distribución Chi-cuadrado con K-1 grados de libertad. Si K excede el valor critico de Chi-cuadrado, se rechaza la hipótesis nula, entonces. Con α =5 % y el valor critico de Chi-Cuadrado, dado 2-1=1 grados de libertad se vuelve Entonces. Se rechaza la hipótesis dado

EJERCICIO 62. EJERCICIO 63. Un economista agrícola trata 50 acres de tierra con el químico Docide, para incrementar el rendimiento del cultivo. Otros 50 acres se tratan de Mildolmine, y se miden los rendimientos ∑ R D =2,1225 y ∑ R M =2,925.El economista le dice a los agricultores que el Docide, que es el químico más económico, producirá un rendimiento mayor que el Mildomine. Al nivel del 10%, ¿El economista está en lo cierto? Plantee hipótesis. SOLUCIÓN: TERRENO DOCIDE MILDOMINE

∑ R D =2,1225 ∑ R M =2,925.

50 ACRES

Si: α =0.1

∑ R D =2,1225 ∑ R M =2,925. Hallando E1

E D=np E D=50 x 2,1225 E D=106.25 Hallando E2

E M =np E M =50 x 2,925 E M =146.25 Por lo tanto, el planteamiento de hipótesis: - El economista no mide el rendimiento, sino busca lo más económico, el rendimiento es eficaz del Mildomine, y es menor del Docide, por ende se tiene que buscar optimizar costos, pero con mayor rendimiento a los 50 acres.

EJERCICIO 64. Personnel managemer público un artículo que describe los esfuerzos realizados por una empresa manufacturera en Toledo para evaluar a sus supervisores .A los empleados se le pidió calificar a sus supervisores en una escala de 0 a 100. A continuación se presenta un

85 subconjunto de los resultados de los resultados obtenidos para tres de las áreas de trabajo. Determine si existe una diferencia en las clasificaciones recibidas por los supervisores. Plantee las hipótesis, la regla de decisión y su conclusión. Sea a 5% TALLER

OFICINA

PUERTO DE CARGA

40

63

50

52

59

52

63

55

63

81

61

55

72

48

71

72

53

45

49 SOLUCION:  Hipótesis Estadística: H 0=¿No existen diferencias en las clasificaciones recibidas por los supervisores.

H a=¿Existen diferencias en las clasificaciones recibidas por los supervisores. Consideremos un nivel de significancia de 5%. 

De la tabla dada, debemos ordenar los valores de menor a mayor para luego calcular los rangos: TALLER OFICINA PUERTO DE CARGA 1 14 5 6.5 11 6.5 14 9.5 14 19 12 9.5 17.5 3 16 17.5 8 2 4 75.5 61.5 53

Debemos ahora utilizar la siguiente fórmula: k R 2j 12 ∑ −3 ( N +1) N (N +1) j =1 n j H= ∑T 1− 3 N −N

Donde T =t 3−t , y t es el número de veces que se repite un cierto valor en la tabla, así como por ejemplo tenemos: ( 23 ) :t=2→ T =23−2=6 Luego, reemplazamos los valores correspondientes en la fórmula dada: k R 2j 12 −3 (19+1) ∑ 19(19+1) j =1 n j H= ∑T 1− 3 19 −19

86 (75.5)2 (61.5)2 (53)2 12 + + −3(19+ 1) 19(19+1) 6 7 6 H= =1,859 6 +6+24 +6 1− 19 3−19

[



]

Ahora hallamos los grados de libertad:

v=k −1 Donde k es el número de grupos que tenemos, esto es: k =4 Luego, reemplazando, se tiene que:

v=4−1=3 

Calculamos el valor crítico a comparar con el valor observado. De acuerdo a la Tabla de Distribución Chi Cuadrado χ 2 , se tiene que para un nivel de significancia de 5%. Con 3 grados de libertad es = 7,815

Como 1,8599<7,815 , aceptamos la hipótesis nula H 0. estadísticamente significativas.

Por lo tanto, no existen diferencias

EJERCICIO 65. el contratista local en plomería tomo como muestra un total de 48 llamadas cuál de los cuatro tipos de accesorios de plomería producen más problemas. A continuación se presentan los resultados.

SOLUCION: MODELO DE ACCESORIO

MODELO DE ACCESORIO

NUMERO DE FALLAS

1

15

2

11

3

10

4 NUMERO DE FALLAS

E

1

15

12

2

11

3 4

12 (OE)=X

X2

X2/E

3

9

0.75

12

-1

1

0.083

10

12

-2

4

0.333

12

12

0

0

0

48

48

1.17

Con k-1 =3 grados de libertad, x 20.01=13.277

x 2=1.17 Debido a que 13.277>1.17 se acepta la hipótesis nula .

EJERCICIO 66. Se analizan cuatro métodos para tratar las varillas de acero y determinar si hay alguna diferencia en la presión que las varillas pueden soportar antes de romperse. Los resultados de las pruebas que miden la presión en libras antes que se doblen las varillas se muestran en la siguiente tabla. Practique la prueba, complete con las hipótesis, la regla de decisión y la conclusión. Sea α=1%.

87 METODO 1

METODO 2

METODO 3

METODO 4

50

10

72

54

62

12

63

59

73

10

73

64

48

14

82

82

63

10

79

79

SOLUCIÓN: METODO1 50 1101.12 62 983.48 73 892.05 48 1393.67 63 1085.33 296

METODO2 10 1041.6 12 961.33 10 1232 14 904 10 1293.6 56

METODO3 72 953.25 63 1206.57 73 1112.05 82 1017 79 1078.97 369

METODO4 54 1198.67 69 1038.96 64 1196.25 82 959.12 79 1017.57 348

186 206 220 226 231 1069

Hacemos chi-cuadrado:

x 2=

( 50−1101.12 )2 ( 10−1041.6 )2 ( 72−953.25 )2 ( 54−1198.67 )2 ( 62−983.48 )2 ( 12−961.33 )2 ( 63−1206. + + + + + + 1101.12 1041.6 953.25 1198.67 983.48 961.33 1206.57

15590.515 Tenemos α=0.01 (f-1)(c-1)=4x5=20

x 2 critico = x 220,0.01 x 220,0.01 = 45.315 EJERCICIO 67. La compañía productora del Segundo Mejor Yogurt del Mundo pregunta a 60 personas cual de los 4 nuevos sabores prefieren. 21 escogen el de coco, 13 escogieron ciruelas pasas con cubierta de salsa de tomate, 10 seleccionaron mostaza con mantequilla de maní y 16 manifestaron su inclinación por la esencia de atún. ¿Parece haber alguna preferencia de los sabores por parte de los clientes? Sea a = 10% Plantee las hipótesis y su conclusión. SOLUCION:

s=4.7 μ=4 ´x =15 n=60 gl=n – 1=59 1. Planteamos la hipótesis:

H o → μ ≥ 0.25 H A → μ< 0.25

88 2. Especificamos la significación. a = 10% = 0.01 3. a) Hallar los valores: crítico y de prueba

V c =1.282 V p=Z p=0 p− p0 Zp= p− p0 n 0.25−0.25 Zp= 0.25−0.25 60 Z p =0

√

√

b) Establecer zonas de aceptación o rechazo

4. Decisión y conclusión: Decisión: Se acepta la H o Conclusión: Existe una preferencia por casa sabor de Yogurt

EJERCICIO 68. Para obtener un crédito extra en su curso de estadística, Bárbara debe determinar si hay alguna diferencia en el número promedio de horas que los alumnos de primer año pasan estudiando, los estudiantes de segundo año, los estudiantes de penúltimo año y los de último año de su universidad. Su investigación reveló lo siguiente: PRIMER AÑO

SEGUNDO AÑO

PENULTIMO AÑO

ULTIMO AÑO

20

18

22

29

29

9

19

31

10

12

21

27

17

15

31

22

15

14

42

18

23

22

22

31

Ayude a Bárbara a ganar un crédito extra en estadística planteando sus hipótesis y la conclusión. Sea α 10% X= 0.25 K= 6

89 K-1= 5 grados de libertad Al nivel del 0.10, x20.10,5= 0.6786 H0= Ps= 0; rs= 0.25 < 0.6786; no rechazar

EJERCICIO 69. como gerente de producción de sport wear, inc., beverlee hills debe garantizar que las tallas de su nueva línea de ropa deportiva se produzcan de acuerdo a un patrón predeterminado. La investigación de mercado indica que los clientes prefieren 20% extra grande, 30% grande, 25% mediano y 25% pequeña. Una muestra aleatoria de 145 prendas revela 32 extra grande,40 grandes, 41 medianas y 32 pequeñas. Al nivel del 5%, ¿parece que se están manteniendo las proporciones deseadas? TALLAS EXTRA GRANDE GRANDE MEDIANO PEQUEÑA TOTAL

PREFERENCIAS COMPRAS 0.2 32 0.3 40 0.25 41 0.25 32 1 145

SOLUCION: Donde:

s=38.5 μ=4 ´x =36.5 n=145 gl=n – 1=144 H o → μ ≥ 0.25 H A → μ< 0.25 a = 5%

V c =1.282 V p=Z p=0 Zp=

Zp=

p− p0 p− p0 n 0.25−0.25

√

0.25−0.25 ¿ 0 145 Se rechaza H o eso quiere decir que no se están manteniendo las proporciones

√

EJERCICIO 70. La señora Hills del ejercicio anterior, debe determinar si los hábitos de gastos de varios grupos demográficos son los mismos. Ella analiza el tamaño de las compañías típicas, medidas en dólares, de cuatro grupos: hombres casados (HC), mujeres casadas (MC), hombres solteros (HS) y mujeres solteras (MS). Encuentra la siguiente información: HC US$50 17

MC US$20 23

HS US$19 32

MS US$87 20

90 23 48 63

82 46 13

66 72 41

95 34 11

Al nivel de significancia de 1%, ¿parece que existe una diferencia en los hábitos de gastos de estos cuatro grupos? Solución  Hipótesis Estadística: H 0=¿No existen diferencias estadísticamente significativas en los hábitos de gastos.

H a=¿Existen diferencias estadísticamente significativas en los hábitos de gastos. Consideremos un nivel de significancia de 1%. 

De la tabla dada, debemos ordenar los valores de menor a mayor para luego calcular los rangos: HC MC HS MS US$50 US$20 US$19 US$87 3 5.5 7 4 5.5 15 13 16 11 10 14 8 12 2 9 1 31.5 32.5 43 29

Los valores obtenidos en la última fila de la tabla son los rangos por grupo, que se obtienen al sumar los valores de las columnas respectivas.  Debemos ahora utilizar la siguiente fórmula: k R 2j 12 ∑ −3 ( N +1) N (N +1) j =1 n j H= ∑T 1− 3 N −N

Donde T =t 3−t , y t es el número de veces que se repite un cierto valor en la tabla, así como por ejemplo tenemos:

( 23 ) :t=2→ T =23−2=6

Luego, reemplazamos los valores correspondientes en la fórmula dada:

(31.5)2 ( 32.5)2 (43)2 (29)2 12 + + + −3 (16+1) 16(16+1) 4 4 4 4 H= 6 1− 3 16 −16 0.044∗[ 1184.625 ]−51 H= =1.1252 1−0.0015

[



]

Ahora hallamos los grados de libertad:

v=k −1 Donde k es el número de grupos que tenemos, esto es: k =4 Luego, reemplazando, se tiene que:

v=4−1=3

91 

Calculamos el valor crítico a comparar con el valor observado. De acuerdo a la Tabla de Distribución Chi Cuadrado χ 2 , se tiene que:

χ 2v; p = χ 23 ;0.01=11.3449 Como 11.3449>1.1252 , aceptamos la hipótesis nula H 0. Por lo tanto, no existen diferencias estadísticamente significativas en los hábitos de gastos.

EJERCICIO 71. Dos analistas financieros clasifican según su valor de inversión siete emisiones de bonos corporativos. Los resultados aparecen en la siguiente tabla. Utilizando las clasificaciones como muestra, calcule la prueba de correlación por rangos de Spearman para determinar si existe alguna correlación entre las prácticas de estos dos analistas al nivel del 10%. CORPORACIO N

RANGOS DE 1ER ANALI,

RANGOS DE 2DO ANALI.

1

4

3

2

3

4

3

1

2

4

2

5

5

7

6

6

6

1

7

5

7

X2= (4-3)2 + (3-4)2 +(1-2)2 +(2-5)2 +(7-6)2 +(6-1)2 +(5-7)2 3 4 2 5 6 1 7 2 X =28.621 X= 5.3499 K= 7 K-1= 6 grados de libertad Al nivel del 0.10, x20.10,6= 10.645 Regla de decisión= No se rechaza ya que x2 < 10.645

= 5.3499 < 10.645

EJERCICIO 72. Dos compañías que compran flotas de camiones para uso industrial, califican seis modelos de camión en una escala de 1 a 10. Calcule el coeficiente de rangos de Spearman para determinar al nivel del 1% si las calificaciones son independientes: Modelo 1 2 3 4

Calificación por parte de la primera compañía 8 7 5 7

Calificación por parte de la segunda compañía 9 6 8 5

92 5 6

3 2

7 8

Solución  De la tabla del dato, tenemos lo siguiente: Calificación por parte de Calificación por parte de la Modelo la primera compañía segunda compañía 1 8 9 2 7 6 3 5 8 4 7 5 5 3 7 6 2 8 

d

d^2

-1 1 -3 2 -4 -6

1 1 9 4 16 36 67

Coeficientes de correlación de rangos de Spearman:

6 ∑ d 2i r s=1− 3 n −n 6∗67 r s=1− 3 ¿ 0.914 6 −6 Como 0.914 está muy próximo a 1, la correlación de las calificaciones por parte de las dos compañías es fuerte y positiva. 

Vamos realizar la prueba de correlación entre las poblaciones para α =1 %=0.01 - Hipótesis estadísticas: H 0 : ρs=0 ; No existe correlación entre las calificaciones por parte de las dos compañías. H a : ρs ≠ 0 ; Existe correlación entre las calificaciones por parte de las dos compañías. -

Desviación normal para la prueba de rangos de Spearman:

r s−0 =r √ n−1 1 / √n−1 s Z=0.914 √ 6−1 ¿ 2.044 Z=

-

Valor crítico de Z: Z1−α /2=Z 1−0.01/ 2=Z 0.995=2.58 Luego el valor crítico de Z es: ± 2.58 Interpretación: Como 2.044< 2.58, aceptamos la hipótesis nula, la cual afirma: No existe correlación entre las calificaciones por parte de las dos compañías. Por lo tanto, las calificaciones son independientes.

EJERCICIO 73. Todos los 50 estados están clasificados por dos agencias de viajes según sus preferencias como destino vacacional. Los resultados revelan ∑ d 2=22,712. Pruebe la independencia en las clasificaciones del 10%. Datos:

∑ d 2=22,712 n= 50 a)

Ho: x e y son mutuamente independiente.

93 H1: existe una tendencia a formar parejas entre los valores de x e y b)

r s=1−

6 ∑ d 2i

n ( n2 −1 ) 6(22.712) r s=1− ¿ 0.99 50(502−1) c)

z=r s √n−1 z=0.99 √ 50−1 ¿ 6.93 d)

τ= τ= e)

r s √ n−2

√ 1−r

2 s

0.99 √ 50−2 ¿ 48.62 ≅ 49 √ 1−0.992 gl=n-1=50-1=49 τ experimental=48.62 ≅ 49

τ teorico=1.29 f)

Ho< H1, se rechaza H0

EJERCICIO 74. Las mejores 10 firmas de la lista de los 500 mejores de la revista Fortune fueron calificadas por la AFL-CIO y por un grupo gerencial con base en la calidad del sistema de cuidado de la salud que cada compañía proporciona a sus empleados. Utilizando los resultados que se proporcionan a continuación, determine el nivel del 5% si existe alguna correlación en las prácticas de calificación de los gremios y la gerencia.

SOLUCIÓN:

EMPRESA

CALIFICACIÓ N GREMIAL

CALIFICACIÓN SEGÚN LA GERENCIA

1

5

6

2

8

10

3

2

3

4

7

9

5

4

7

6

6

4

7

1

8

8

9

1

9

3

2

10

10

5

94 EMPRESA

CALIFICACION CALIFICACION SEGÚN GREMIAL LA GERENCIA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 8 2 7 4 6 1 9 3 10

6 10 3 9 7 4 8 1 2 5

D1

d 21

-1 -2 -1 -2 -3 2 -7 8 1 5 ∑

1 4 1 4 9 4 49 64 1 25 162

Calculando el coeficiente de correlación de Spearman:

r s=

6 ∑ d 21 2

n(n −1) 6∗162 r s= 10 ( 10 2−1 ) r s=¿0.98181818 Se tiene las siguientes hipótesis: H 0 : p s=0:No existe relación entre las dos variables

H A : ps ≠ 0 : Existe relación entre las dos variables Con los valores de la tabla N se obtiene que para una muestra n=10 tiene valores críticos de ±0.6364. Regla de decisión: “No rechazar la hipótesis nula si -0.6364 ≤r s≤ 0.6364, rechazar la hipótesis nula si r s<−0.6364o

r s> 0.6364.” El valor de r s=¿0.98181818 está en la zona de rechazo derecha por lo tanto se rechza la hipótesis nula de ps =0 y concluir al nivel de significancia del 5% que existe una relación en las prácticas de calificación de los gremios y la gerencia.

EJERCICIO 75. Setenta y tres empleados son calificados por dos gerentes con base en sus niveles de productividad. Calcule el coeficiente de rangos de Spearman para determinar si las calificaciones son independientes al nivel del 1% con

r s=1−

6∑ d2 2

n ( n −1 )

r s=1−

6 ( 78 , 815 ) 63 ( 632−1 )

El valor critico de Z es ± 2.58.

∑ d 2=78 , 815

r s=0.998 Entonces

Z=( 0.998 ) √ 63−1 Z=7.8583 Teniendo en cuenta que:

r s indica una relacion fuerte positivaentre la calificaciones y sus independencias .