Sesion 4.01

RESISTENCIA DE MATERIALES 2

CUARTA UNIDAD ESTABILIDAD DE COLUMNAS

DESARROLLO DE LOS TÓPICOS DE: a) Introducción, pandeo, estabilidad elástica, columnas articuladas. Teoría de Euler. b) Columnas sometidas a carga centrada, columnas sometidas a carga excéntrica.

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ESTABILIDAD DE COLUMNAS OBJETIVO: Se analizará

el comportamiento de las columnas y se indicarán algunos de los métodos que se emplean para diseñarlas. El capítulo comienza con un estudio general del pandeo, seguido de una determinación de Ia carga axial necesaria para pandear una columna que se denomina ideal. Después se aborda un análisis mas realista, que toma en cuenta cualquier flexión de Ia columna.

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CARGA CRÍTICA Cada vez que se diseña un elemento, es necesario que cumpla con requisitos específicos de resistencia, deflexión y estabilidad. En los capítulos anteriores se han analizado algunos de los métodos que se usan para determinar Ia resistencia y Ia deflexión de un elemento, en los que siempre se supone que el elemento se encuentra en equilibrio estable. Sin embargo, algunos elementos pueden estar sometidos a cargas de compresión y si dichos elementos son largos y delgados, la carga puede ser lo suficientemente grande para hacer que el elemento experimente deflexión lateral o se ladee. GHM

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En especifico, los elementos largos y delgados que se someten a una fuerza de compresión axial se denominan columnas, y la deflexión lateral que se produce se llama pandeo. Con mucha frecuencia, el pandeo de una columna puede llevar a una falla repentina y dramática de una estructura o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atención especial al diseño de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse.

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La carga axial máxima que puede soportar una columna cuando esta al borde del pandeo se llama carga crítica, Pcr . Cualquier carga adicional hará que la columna se pandee y, por lo tanto, sufra una deflexión lateral como se muestra en la figura. Con el fin de comprender mejor Ia naturaleza de estabilidad, consideremos un mecanismo de dos barras consistente en barras rígidas sin peso que se conectan mediante un pasador, como se muestra en Ia figura b. Cuando las barras están en posición vertical, el resorte, con una rigidez k, se encuentra sin estirar y se aplica una pequeña fuerza vertical P en Ia parte superior de una de las barras. Esta posición de equilibrio puede alterarse al desplazar el GHM pasador en A una pequeña distancia D, figura b.

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Entonces el mecanismo se encuentra en equilibrio inestable. En otras palabras, si se aplica esta carga P y ocurre un ligero desplazamiento en A, el mecanismo tiende a moverse fuera del equilibrio y no se restaurará a su posición original.

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El valor intermedio de P, que requiere kLQ/2 = 2PQ, es Ia carga crítica.

Esta carga representa un caso del mecanismo en equilibrio neutro. Como Pcr es independiente del (pequeño) desplazamiento Q de las barras, cualquier alteración ligera del mecanismo no causará que se aleje del equilibrio, ni se restaurará a su posición original. En cambio, las barras se mantendrán en Ia posición con deflexión. GHM

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El punto de transición donde Ia carga es igual al valor critico P = Pcr se llama punto de bifurcación. En este punto, el mecanismo se encuentra en equilibrio para cualquier valor pequeño de Q, medido ya sea a Ia derecha o a la izquierda de Ia vertical. Físicamente, Pcr representa Ia carga con Ia que el mecanismo esta a punto de pandearse.

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Si se coloca una carga mayor en las barras, entonces el mecanismo puede tener que experimentar mas deflexión antes de que el resorte se comprima o alargue lo suficiente para mantener al mecanismo en equilibrio. Al igual que en el mecanismo de dos barras que se acaba de analizar, es posible obtener las cargas críticas de pandeo sobre columnas soportadas en diversas formas. Aunque en el diseño de ingeniería puede considerarse que la carga crítica es mayor a Ia carga que puede soportar Ia columna, debe observarse que, al igual que el mecanismo de dos barras en su posición pandeada o con deflexión, una columna en realidad puede soportar una GHM

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carga aún mayor que Pcr (Desafortunadamente, esta carga suele requerir que Ia columna se someta a una gran deflexión, que en general no se tolera en las estructuras de ingeniería o maquinas. Por ejemplo, es posible que una regla para medir requiera sólo de unos newtons de fuerza para pandearse, pero Ia carga adicional que puede soportar sólo puede aplicarse después de que Ia regla se somete a una deflexión lateral relativamente grande.

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COLUMNA IDEAL CON SOPORTE DE PASADOR La columna que se va a considerar es una columna ideal, lo que significa que es perfectamente recta antes de la carga, está fabricada de un material homogéneo y Ia carga se le aplica a través del centroide de su sección transversal. Además, se supone que el material se comporta de forma elástico lineal y que Ia columna se pandea o se dobla en un sólo plano. En Ia realidad, las condiciones de rectitud de la columna y aplicación de Ia carga no se cumplen; sin embargo, el análisis realizado sobre una “columna ideal" es similar al usado para estudiar columnas inicialmente torcidas o aquellas en las que Ia carga se aplica en forma excéntrica. GHM

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Como una columna ideal es recta, en teoría la carga axial P podría aumentarse hasta que se produjera una falla ya sea por fractura o por cedencia del material. Sin embargo, cuando se alcanza Ia carga crítica Pcr ,Ia columna estará a punto de volverse inestable, de modo que una pequeña fuerza lateral F, hará que Ia columna permanezca en la posición con deflexión, cuando se retira F. Cualquier reducción ligera de la carga axial P a partir de Pcr permitirá que Ia columna se enderece y cualquier aumento ligero en P, por encima de Pcr ocasionará un aumento adicional de Ia deflexión lateral. El hecho de que una columna se mantenga estable o se vuelva inestable cuando se somete a una carga axial dependerá de su capacidad de restaurarse, GHM

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a cual se basa en su resistencia a Ia flexión. Por consiguiente, si se desea determinar Ia carga crítica y Ia forma pandeada de Ia columna, es necesario aplicar la ecuación de “la curva elástica”, que relaciona al momento interno de Ia columna con su forma GHM flexionada, es decir:

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Recuerde que esta ecuación supone que la pendiente de Ia curva elástica es pequeña y que las deflexiones ocurren sólo por flexión. Cuando Ia columna está en una posición flexionada, el momento interno de flexión puede determinarse mediante el método de las secciones. Tanto Ia deflexión v como el momento interno M se muestran en la dirección positiva de acuerdo con la convención de signos El momento de equilibrio requiere que M =-Pv. GHM

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… (A) Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes. Mediante el uso de los métodos de ecuaciones diferenciales, o por sustitución directa, puede demostrarse que Ia solución general es:

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Las dos constantes de integración se determinan a partir de las condiciones de frontera en los extremos de Ia columna. Como v = 0 en x = 0, entonces C2 = 0. Y puesto que v = 0 en x = L, entonces

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El menor valor de P se obtiene cuando n = 1, por lo que Ia carga crítica para Ia columna es:

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Esta carga se conoce como Ia carga de Euler, en honor del matemático suizo Leonhard Euler, quien fue el primero en resolver este problema en 1757. La forma pandeada correspondiente se define mediante Ia ecuación:

Aqui Ia constante C1 representa la deflexión máxima, vmax , que se produce en el punto medio de Ia columna. No es posible obtener valores específicos para C1 puesto que Ia forma exacta de Ia columna con deflexión no se conoce después de que esta se pandea. Sin embargo, se supone que Ia deflexión es pequeña. GHM

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Se debe tener en cuenta que Ia carga crítica es independiente de Ia resistencia del material, ya que sólo depende de las dimensiones de Ia columna (I y L) y de Ia rigidez del material o modulo de elasticidad E. Por esta razón, en relación con el pandeo elástico, las columnas fabricadas, por ejemplo, con acero de alta resistencia no ofrecen ninguna ventaja sobre las de acero con menor resistencia, puesto que el módulo de elasticidad para ambos es aproximadamente igual. También considere que Ia capacidad de carga de una columna aumenta a medida que se incrementa el momento de inercia de Ia sección transversal. GHM

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Por lo tanto, las columnas eficientes se diseñan para que Ia mayor parte de área transversal de la columna se ubique lo más lejos posible de los ejes principales centroidales de Ia sección. Esta es Ia razón por Ia que los perfiles huecos, como los tubos, son mas económicos que las secciones salidas. Por otra parte, las secciones en I de ala ancha y las columnas que se "construyen" con canales, ángulos, placas, etcétera, son mejores que las secciones sólidas rectangulares. También es importante darse cuenta de que una columna se pandeará alrededor del eje principal de Ia sección transversal que tiene el menor momento de inercia (el eje mas débil). GHM

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Por ejemplo, una columna que tiene una sección transversal rectangular, como Ia regla mostrada en Ia figura, se pandeara alrededor del eje a-a no del eje b-b. En consecuencia, casi siempre los ingenieros tratan de Iograr un equilibrio manteniendo los momentos de inercia iguales en todas direcciones. Por lo tanto, geométricamente hablando los tubos circulares harían columnas excelentes. Asimismo se han seleccionado tubos cuadrados o formas que tienen Ix ~ Iy para formar columnas.

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Resumiendo la discusión anterior, puede reescribirse la ecuación de pandeo para una columna delgada y Iarga sostenida mediante pasadores, y los términos se pueden definir de Ia siguiente manera: … (B)

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La relación geométrica L/r en Ia ecuación anterior se conoce como Ia relación de esbeltez y es una medida de Ia flexibilidad de Ia columna; y sirve para clasificar las columnas como largas, intermedias o cortas.

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EJERCICIO N. 01 El elemento W8X31 de acero A-36 que se muestra en Ia figura debe usarse como una columna conectada por pasadores. Determine Ia mayor carga axial que puede soportar antes de que comience a pandearse o antes de que el acero ceda.

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COLUMNAS QUE TIENEN VARIOS TIPOS DE SOPORTES La carga de Euler se obtuvo para una columna que esta conectada mediante un pasador o que puede girar libremente en sus extremos. Sin embargo, es común que las columnas estén soportadas de alguna otra manera. Por ejemplo, considere el caso de una columna fija en su base y libre en Ia parte superior. A medida que Ia columna se pandea Ia carga se desplaza d y en x el desplazamiento es v, A partir del diagrama de cuerpo libre, el momento interno en Ia sección arbitraria es M = P(d - v). En consecuencia, la ecuación diferencial de Ia curva de deflexión es: GHM

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… (C) A diferencia de Ia ecuación (A), esta ecuación es no homogénea debido al término distinto de cero en el lado derecho. La solución consta de una solución complementaria y una solución particular, a saber,

Las constantes se determinan a partir de las condiciones de frontera. En X= 0, v = 0, de modo que C2 = -d, Por otra parte, GHM

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En comparación con Ia ecuación (B) se ve que una columna apoyada fijamente en su base y libre en su parte superior soportará sólo un cuarto de Ia carga crítica que puede aplicarse a una columna soportada por pasadores en ambos extremos. Las columnas con otros tipos de soporte se analizan de manera similar, por lo que no se estudiarán a detalle aquí.

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LONGITUD EFECTIVA Como se mencionó antes, Ia fórmula de Euler, se desarrolló para el caso de una columna que tiene extremos articulados o que giran libremente. En otras palabras, L en Ia ecuación representa Ia distancia sin soporte entre los puntos de momento cero. Esta fórmula puede usarse para determinar Ia carga crítica en las columnas que tienen otros tipos de soporte siempre que "L" represente la distancia entre los puntos de momento cero. Esta distancia se denomina longitud efectiva de Ia columna, Le. Como es obvio, para una columna con extremos articulados Le = L, Ver figura siguiente: GHM

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Para Ia columna con un extremo fijo y otro libre se encontró que Ia curva de deflexión, es un medio de la curva para Ia columna conectada mediante pasadores y tiene una longitud de 2L,. Por lo tanto, la longitud efectiva entre los puntos de momento cero es Le = 2L. También se muestran ejemplos de otras dos columnas con diferentes soportes en los extremos. La columna con extremos fijos, tiene puntos de inflexión o puntos de momento cero a L/4 de cada soporte. Entonces, Ia longitud efectiva está representada por un medio de su longitud, es decir, L, =0.5L. GHM

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Por último, la columna con un extremo articulado y otro fijo, tiene un punto de inflexión aproximadamente a 0.7L de su extremo articulado, por lo que Le = 0.7 L. En vez de especificar Ia longitud efectiva de Ia columna, muchos códigos de diseño proporcionan fórmulas que emplean un coeficiente sin unidades K llamado factor de longitud efectiva. Este factor se define así:

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Por lo tanto, con base en esta generalización puede escribirse Ia fórmula de Euler como:

Aquí ( KL/r) es Ia relación de esbeltez efectiva de la columna. Por ejemplo, si Ia columna esta fija en su base y libre en su extremo, se tiene K = 2.

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EJERCICIO N. 02 Una columna de acero W6X15 tiene 24 pies de largo está fija en sus extremos como se muestra en Ia figura. Su capacidad de carga se incrementa arriostrándola con un refuerzo alrededor del eje y-y (débil), mediante puntales que se supone están conectados por pasadores en su altura media. Determine Ia carga que puede soportar de modo que Ia columna no se pandee ni el material exceda el esfuerzo de cedencia. Considere Eac = 29(103) ksi y sy = 60 ksi.

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FÓRMULA DE LA SECANTE La fórmula de Euler se obtuvo al suponer que Ia carga P se aplica siempre a través del centroide del área transversal de la columna y que Ia columna es perfectamente recta. En realidad esto es muy poco realista, ya que las columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni Ia aplicación de la carga se conoce con gran exactitud. Entonces, en realidad las columnas nunca se pandean súbitamente, sino que empiezan a doblarse en forma ligera inmediatamente después de la aplicación de Ia carga. En consecuencia, el criterio real para la aplicación de cargas debería estar limitado a una deflexión de la columna especificada o a no admitir que el esfuerzo máximo en Ia columna exceda el esfuerzo permisible. GHM

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Para estudiar este efecto, se aplicará Ia carga P a Ia columna en una distancia excéntrica corta “e” desde su centroide. Esta carga sobre la columna es estáticamente equivalente a Ia carga axial P y al momento flexionante M'=Pe. Como se muestra en ambos casos, los extremos A y B están soportados de modo que pueden girar con libertad (soporte de pasador). AI igual que antes, sólo se considerarán pendientes y deflexiones pequeñas, y un comportamiento elástico lineal del material. Además el plano x-v es un plano de simetría para el área de la sección transversal. A partir del diagrama de cuerpo libre de la sección arbitraria, el momento interno en Ia columna es M =-P(e+v). Por lo tanto, Ia ecuación diferencial de Ia curva de deflexión GHM

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Esta ecuación es similar a Ia ecuación (c) y tiene una solución general que consiste en las soluciones complementarias y particulares, a saber,

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Deflexión máxima. Debido a Ia simetria de carga, tanto Ia deflexión máxima como el esfuerzo máximo se producen en el punto medio de Ia columna. Por lo tanto, cuando x= L/2, v =vmax, por lo que:

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La fórmula de Ia secante. El esfuerzo máximo en Ia columna puede determinarse al observar que es causado tanto por Ia carga axial como por el momento. El momento máximo se produce en el punto medio de Ia columna, y tendrá una magnitud de:

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El esfuerzo máximo en Ia columna es de compresión, y tiene un valor de:

Como el radio de giro se define como r2 =I/A, Ia ecuación anterior puede escribirse en una forma llamada Ia fórmula de Ia secante:

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EJERCICIO N. 03 La columna W8X40 de acero A-36 que se muestra en Ia figura esta fija en su base y arriostrada en la parte superior de modo que se encuentre fija respecto al desplazamiento, pero libre de girar alrededor del eje y-y. También puede ladearse en el plano y-z. Determine Ia carga excéntrica máxima que puede soportar la columna antes de que comience a pandearse o de que el acero ceda.

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EJERCICIOS PARA EL T2 (Segunda Parte) Resolver los ejercicios: 1) 13.1, 13.10, 13.8, 13.18, 13.21, 13.32, de las páginas 671 a 676. 2) 13.104, 13.102, 13.99, de la página 702. 3) 13.107, 13.120, de la pagina 708. Del libro Mecánica de materiales, octava edición, Russell C. Hibbeler.

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