Sin 2015 X 03

Preguntas propuestas

3

×

÷

Álgebra

β

∑

4Ω

+

–

α

A

y

Aritmética Álgebra − 1  

 a  2  

Sucesiones reales {bn} =

NIVEL BÁSICO

1.

Si la suma de los n términos de una sucesión está dada por 2n2+n ∀ n ∈N, determine el término enésimo de la sucesión.

{

{c n } =

}

7 91 ; 1; ; ... 5 125

42n − 32n 52n

indique las proposiciones verdaderas. A) 4n+3 D) 4(n+1)

2.

Si la sucesión

B) 4n+1

{

C) 4n+5 E) 4n – 1

I. {cn} ⊂ {an} 337 II. b4 = 625 16 n − 9 n III. an ⋅ bn = 25 n

}

na + 2 n − 3 n ∈ N converge a 3. nb − 2 n + 1

Calcule la relación correcta entre a y b. A) a – 3b=6 D) 3b – a=8

3.

B) a – 3b=8

A) todas D) solo II

C) 3a – b=6 E) a+3b=8

5.

Respecto a las siguientes sucesiones n ∈ N. I. II.

{ } { }

n n≥1 n +1

6.

La afirmación correcta.

{a n } =

{

27

4 ; 3

64

 5 ; ... 4 

B) e3

C) e2 E) 0

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.



n2



n

  converge a 1.  n! 

II.  n  converge a e.

 n! 

E) III solo tiene cota superior Dadas las sucesiones

3 ; 2

I.  2

A) I es acotada y creciente B) II es acotada y creciente C) III es acotada y creciente D) I solo tiene cota superior

4.

8

A) e D) 1

III. {n2} n ≥ 1

C) II y III E) solo III

Calcule el valor de convergencia de la siguiente sucesión.

 2; 

n n≥2 n −1

B) solo I

III. lím

n→∞

}

1 7 37 175 ; ; ; ; ... 5 25 125 625

sen( n!) =0 n

A) VVV D) FFV

B) FVV

C) VFF E) FVF

3 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 2

b   3

   CÉSAR VALLEJO Academia 7.

Álgebra

Sea {xn} una sucesión definida de la siguiente manera

 x1 = 1   1  x n = 5 ( 2 x n−1 + 5 )

B) VVV

9.

 bn  .  n · an 

n −1 , 3n

determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. lím an = n→∞

xn=(1 – n)x0+anb si a ≠ 1

UNI 2008 - I

C) 1/3 E) 0

Dada la sucesión {an} tal que an =

C) xn=nx0+bn si a=1

1 + a n  x n = ax 0 +   b si a ≠ 1  1+ a 

Analice la convergencia de la sucesión  B) 1/4

1 − a n  x n = a n x0 +   b si a ≠ 1  1− a 

E) xn=(1 – n)x0 – nb; si a=1 y  1 − an  x n = (1 − a) x0 +  b si a ≠ 1  1 + a 

Sean (an) ∧ (bn) sucesiones tal que an=an – 1+2n; a1=1 bn=(n2+n)n

A) 1/2 D) 1

1 − a n  x n = a n x0 +   b si a ≠ 1  1− a 

D) xn=xn0+nb si a=1

C) VFV E) VVF

NIVEL INTERMEDIO

8.

A) xn=n(x0+b) si a=1 y

B) xn=x0+nb si a=1 y

Determine la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. La sucesión es acotada. II. {xn} es creciente. III. {xn} converge a 5/3. A) FVF D) VFF

Material Didáctico N.o 3

1 3

11. Calcule el valor de convergencia de las siguientes sucesiones.

5n + 1

{an} = 

   9n + n + n + 5 

{bn} = {

2

2

n2 + 5 n − n2 + 3 n + 2

A) 5/4; 0 D) 5/4; – 1

B) 3; 1

}

C) 5/4; 1 E) – 5/4; 1

12. Dadas las sucesiones

II. {an} es creciente III. {an} es acotada

an =

n n −1 ; bn = 3n − 2 3n

indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

A) VVV B) VVF C) FVV D) VFV E) FFF

I. {bn} es decreciente II. an ≤ bn ∀n ∈ N III. {bn} es acotada

10. Según a y b números reales. Si se cumple que xn+1=axn+b, n=0; 1; 2; ... entonces

A) VFV

B) VFF

D) FVV

E) FVF

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C) VVV

4

Álgebra

Semestral Intensivo UNI

13. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.  2n  I. La sucesión   es convergente.

 2 n30   es divergente.  n! 

II. La sucesión 

3

A) FVF D) FVV

n2 + 5 es convergente. 3n + 1

B) VFV

C) FFF E) VVV

14. Si {an}n ∈ N es una sucesión definida por  3  2  11 10  31  30  69  68   ;   ;   ;   ....  2   10   30   68  

{an} n ∈N=

halle el valor de convergencia. B) 4e–3

A) 2/e D) e

C) 8e–1 E) 3/5e

15. Sea {an}una sucesión, tal que n +1 y lí m an = L si n1 es el menor número an= 2 n +1 n→∞ n1 + 1 natural en − L < 0, 01 ; halle n1 y dé la 2 n1 + 1 suma de sus cifras. A) 7 D) 5

B) 9

C) 11 E) 6

 2 n + 1

es monótona. I. La sucesión   3 n − 1

 n + 1

es decreciente. II. La sucesión   2 n 

2 + 5 + 8 + ... + ( 3 n − 1) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2 n + 1) 3 converge a . 2

III. Si

A) VFV D) FFF

an =

B) FVV

entonces

C) FFV E) VVV 5

guiente sucesión. 5

5

6

6

7

(3)4;   ;   ;   ; ... 2 3 4 A) 1 D) e – 1

B) 0

C) e E) e2

18. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-

ponda. I. Si (an) y (bn) son sucesiones divergentes y cn=an+bn, entonces (cn) es divergente. II. Si (an) diverge a+∞ y (bn) diverge a – ∞, entonces (an+bn) converge a cero. III. Si las sucesiones (an) y (bn) son divergentes entonces (an×bn) es divergente. A) VVV D) FVV

B) VFV

C) VFF E) FFF

19. Sea {xn} la sucesión definida por xn =

2 × 5 × 8 × ... × ( 3 n − 1) 3 × 6 × 9 × ... × 3 n

indique las proposiciones verdaderas. I. {xn} es monótona. II. {xn} es acotada. III. La sucesión es convergente. A) todas D) II y III

B) solo I

C) solo II E) ninguna

NIVEL AVANZADO

16. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

17. Determine el valor de convergencia de la si4

 n! 

III. La sucesión

Álgebra

20. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-

ponda. I. La sucesión {an} cumple que an < an+1 < 0 ∀n ∈ Z+, entonces es convergente. II. Sea la sucesión de términos positivos {an} tal que

a n+ 2 < 1; ∀n ∈ Z+, entonces es an

convergente. III. Sea la sucesión {an} tal que 0 < an+3 < an; ∀n ∈ Z+, entonces existe un subsucesión de {an} tal que se convergente. A) FVV D) VFV

B) FVF

C) VVV E) FFF

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

21. Se define la sucesión {x n} n∈N x1 = 0 y x n+1 = mx n +

( m2 −1) x 2 n + p2 ,

m; n; p ∈ Z, halle la afirmación correcta. A) xn+3=2mxn+2 – xn C) xn+2=2mxn+1 – xn D) xn+4=2mxn+3 – xn+2

{an} tal que

 21   22   2n    1    1     1     1   ... 1+ an = 1+   1+   1+   3    3     3     3   B) 4/3

B) FFF

1

22. Indique el valor de convergencia de la sucesión

D) 6/5

III. La sucesión (ak)/k=4n – 1 ∧ n ∈ Z  es convergente. C) FVV E) VVF

24. Sea la sucesión (an) tal que

E) xn+5=2mxn+4 – xn+3

A) 3/2

I. La sucesión es convergente a e. º II. La sucesión (ak)/k=4 +2 converge a – e.

A) VFV D) FFV

B) xn=2mxn+1 – xn+2

Material Didáctico N.o 3

C) 2/3 E) 1/3

23. Se defina la siguiente sucesión n

1

1

A) converge B) diverge a + ∞ C) converge a e D) diverge a – ∞ E) es acotada

25. Sea la sucesión {an} de números reales defi-

nida por a1=1; an+1=1+a1 · a2 · a3...an (n ≥ 1) determine ∞

π  1  an = 1 +  · sen ( n + 1)  2  n 

el valor de

indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

A) 1 D) 1/4

1

∑a

n=1 n

.

B) 2

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1

an = ( n + 1) n+1 ·( n + 2) n+2 ·( n + 3) n+3 ...( n + n) n+ n

6

C) 3 E) 5/2

Álgebra

Semestral Intensivo UNI

SEMANA

Álgebra

12

Series numéricas 5.

NIVEL BÁSICO

1.

n= 2

n términos

para que S sea igual a 2912. B) 11

4n − 2 n!

A) 2e D) e

S = 2× 4 + 4 × 6 + 6 ×8 – ..., halle el valor de n

2.

∞

∑

En la siguiente suma

A) 10 D) 13

Determine el valor de la serie

6. C) 12 E) 14

B) 3e

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ∞

I. La serie II. La serie

∞

n( n − 1) + 2n I. ∑ ( k + 2) = 2 k=1

III. La serie

II. Si ∑ ( k + 1) = 27 entonces n=9.

1  3100 − 1

III. ∑   =  100  2 3  k=1  3 

3.

B) VVV

C) FVF E) FFV

1 1 1 1 + + + + ... 3 15 35 63

4.

7.

C) VVV E) FVV

Halle el valor de convergencia de la suma ∞

A) 7/9 D) 10/7

9.

7

B) 7/8

C) 7/10 E) 1/10

Determine la siguiente suma.

S= C) 495 E) 325

C) 199/201 E) 300/301

7 k + ( )( 5 2 5 k − 3) k=1

Halle la traza de M , tal que

B) 503

B) 100/101

S=∑

C) 2/5 E) 6

10 k 2k − 1   M = ∑  k=1  2 k k × ( k + 1)

1 1 1 1 + + + ... + 3 15 35 399

A) 99/100 D) 10/21

8.

B) 1/2

Halle el valor de la siguiente suma.

S=

t

A) 295 D) 100

B) FFV

NIVEL INTERMEDIO

Halle el valor de convergencia de la serie infinita.

A) 1/3 D) 4

1

∑ log n es divergente.

A) VVF D) VFV

k=1

A) FFF D) VVF

n

n=2

n

k

∞

∑ 2 n −1 converge a 0. n=1

n

 1

n

∑ ( n + 1) converge a 1. n=1

Indique la secuencia correcta verdad (V) o falsedad (F) de las siguiente afirmaciones.

100

C) 4e E) e+2

5 13 35 + + + ... 4 16 64

A) 12/5 D) 5

B) 11/3

C) 6 E) 4

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

10. Si

1 es la suma de una serie geométrica 1− x

infinita, cuyo primer término es 1 y su razón es x con –1 < x < 1, halle la suma de la serie de sus cubos. A)

D)

1− x 1+ x

B)

2

x2 −1 x

1

C)

E)

1− x 3

1

D) 1/2

1

C) 3 E) 0

1 I. ∑ n n=1

k=0

18

D) ∑(2 k − k − 2)

18

C) ∑(2 k − k + 2) k=1

E)

k=1

18

∑(2 k + k− 2) k=1

15. En un cuadrado de lado 4 se inscribe otro cuadrado uniendo los puntos medios de las lados de dicho cuadrado. Repetimos este proceso indefinidamente. Entonces, la suma de los perímetros de todos los cuadrados así construidos será A) 64 ( 2 − 2 )

D) 16 ( 2 + 2 ) E) no se puede calcular

∞

UNI 2007 - II

1

∑ n2 + 2 n + 2 n=1

16. Halle el punto de convergencia de la serie. +∞

n III. ∑ 3 −1 n n=1

n= 3

A) 0

Indique cuáles convergen. A) solo I D) I y II

1

∑ n( n − 2)!

∞

B) solo II

B) 1

D) 1/3 C) solo III E) I y III

∞

13. Si an = ∑ an+ k, donde a1=1, calcule el valor

C) 1/2 E) 1/6

17. Determine el valor de n 1   2 S( n) = ∑  2 +  k=1  4 k − 1 2 n + 1

k=1

2

de ∑ ( 3 ak ) .

A)

n 2n + 1

D)

2n − 1 2n + 1

k=1

A) 3 D) 12

20

∑ (2 k − k)

C) 32 (1 + 2 )

∞

∞

B)

B) 48 ( 2 − 2 )

12. Dadas las series.

II.

18

∑(2 k − k) k=1

1− x 2

∞ n( n + 1)  a  , halle el valor de π  n  . 11. Si ∑ ak = n = 1 2  an+1  k=1

B) 2

A)

20

∑ ak si se sabe que

k=3

an=2n–2 – n.

1− x 4

n

A) 1

14. Indique el equivalente de

Material Didáctico N.o 3

B) 36/5

C) 16 E) 24

B)

C)

3n 2n + 1

E)

n +1 2n + 1

UNI 2005 - I

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2n 3n + 1

8

Álgebra

Semestral Intensivo UNI

18. Calcule el valor de convergencia. +∞

1   ∑ n  n=1  ( n + 2)i  ∑  i =1  A) 1

NIVEL AVANZADO

21. Determine el valor de convergencia de la serie.  k − k2 − 1 + k − k + 1   k2 + k k=3   ∞

B) 0

C) 1/2

D) 3/2

E) 1/4

19. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

Álgebra

∑ 

A)

+∞

∑ ( an + bn ) converge entonces

I. Si la serie

n=1

+∞

+∞

+∞

n=1

n=1

D)

∑ ( an + bn ) = ∑ an + ∑ bn. n=1

+∞

II. Si la serie ∑ ( an + bn ) diverge a +∞, entonn=1 +∞

+∞

n=1

n=1

ces la serie

∑ an y ∑ bn son divergentes.

+∞

n( n + 1)( n + 2) es converIII. La serie ∑ − 1)( n − 2)( n − 3) ( n n= 4 gente.

A) VVV

B) VFV

C) VFF

D) FVV

E) FFF

20. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. +∞

p

 z I. La serie ∑   es convergente si p > 1. n=1 n  ∞

II. La serie ∑

k=1

III. La serie

∞

3 es convergente. 2k e

∑ i 3 + 3i( i + 1) + 1 es convergente. i =0

A) VVV C) VFV

B) − 

2 +1 3

 2 + 1   3 

E) 1 − 

22. Indique el punto de convergencia de la sucesión {an} dada por n

an = ∑

k=1

 1   5

 1 1−   5

variación de x en la serie ∞

( n − 1)!

∑ 4 ·7 ·10 ·...·(3 n + 1)· x 2 n+1 n=1

para que sea convergente. A) 〈0; +∞〉 B) 〈– 1; 0〉 ∪ 〈0; 1〉

3 ; +∞ 3

E) −∞;

E) FFV 9

2k

23. Aplicando el criterio de la razón determine la

D) −∞; −

D) FVV

2 k−1

A) 2 B) 5 C) 1/2 D) 1/4 E) 1/5

C)

B) VFF

 3 + 1 1+ 3  C) 2  2 

3 2

3 ∪ 3

3 ; +∞ 3

3

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

24. Para la sucesión definida por

25. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

2k

 1  Sk = ∑  k  ; k ≥ 1 se puede afirmar que n=1  2 + n  A) 1 ≤ Sk B)

C)

1 1 ≤ Sk < 4 2

falsedad (F). I.

1! 2! 3! + + + ... es convergente. 3 3× 5 3× 5×7

II.

3n = e3 n=0 n!

∞

∑

 n

n

III. Si n! = 2πn   (aproximadamente cuando e

1 1 ≤ Sk ≤ 8 2

n es muy grande) entonces lí m n n! = 1 .

1 D) ≤ S k < 1 2 E)

Material Didáctico N.o 3

n→∞

1 < Sk < 1 2

UNI 2006-II

A) FVV D) FVF

B) FFV

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 9

10

n

C) VVV E) FFF

e

Álgebra

Semestral Intensivo UNI

SEMANA

13

Álgebra

Matrices 5.

NIVEL BÁSICO

1.

 2 1 (3 A + I )2 =    0 2

 1 2 Sea A una matriz definida por A =   si 0 3  n ∈ N y la suma de los elementos de la matriz

1 0  (3 A − I )2 =   0 −1

n

A es 486, halle el valor de n. A) 5 D) 7

2.

B) 4

halle la traza de la matriz A2.

C) 3 E) 9

A) 0 D) 11/72

Resuelva el siguiente sistema.

1 0  0  0 0

2 3 4 1 −2 −3 0 1 3 0 0 1 0 0 0

5   x   43  1  y   2  4   z  = 30      2   w  14  3   m 18 

6.

A) 38 D) 11

B) 53

 a5  α

0  α 5 

 0

0

B) 

α

5

− α5   C) 0 

α5   0 

D) 

 −α 5

α 5   0

0   −α 5 

0

α5   0 

E) 

α 5

UNI 2000 - I

NIVEL INTERMEDIO

Si A = 

7.

 m n 2 B=  es una matriz involutiva (B =I), el  1 2

A) 60 D) 24

B) 48

A) 221 D) 212

C) 36 E) 12

8. Si A y B son dos matrices definidas por

 1 −1 p 1  A=  ; B = 2 −1 que satisfacen la q − 1    

condición (A+B)(A – B)=A2 – B2, halle el valor de M=p+q. A) – 7 D) 1

B) – 5

C) – 3 E) 3 11

Determine la suma de los elementos de la matriz A10.

 3 1 AT =    1 3

valor de T=a · b · m · n.

4.

C) 5/72 E) 1

 0 −α  5  entonces N es α 0 

C) 7 E) 31

0   2a + 1 a una matriz escalar y a − b + 2 2 

B) 2/72

Sea N = 

A) 

indique el valor de x+y+z+w+m.

3.

Si la matriz A satisface las ecuaciones matriciales

B) 298

C) 2101 E) 230

Halle la suma de los elementos de la matriz B, tal que B=A+A2+A3+...+An; n ≥ 2 ∧ n ∈ N.

 1 − 2 A=  0 1  A)

n( n −1) 2

D) n(1 – n)

B) n(n+1)

C) – n(n+1) E)

n(1 − n) 2

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

9.

Sean A y B dos matrices definidas por

A = ( aij ) 2 ×3

0; i = j  aij = 1; i < j 2, i > j 

B = ( bij ) 3×2

0; i = j bij =  1; i ≠ j

Halle la suma de elementos de la matriz At+B. A) 6 D) 9

B) 7

C) 8 E) 10

10. Sea la matriz A=(aij)2×3 definida de la siguiente forma.

 i − j; i > j  aij =  ij; i = j  i + j, i < j 

B) 18

a  2 D)  a  b

a  ;ayb∈R∧b≠0 − b  b  ;ayb∈R∧b≠0 − a 

 a  2 E)  a −  b

b  ;ayb∈R∧b≠0 − a 

13. Dadas las matrices no nulas

Halle la traza de la matriz AAt. A) 15 D) 62

 b  C)  a 2 −  b

C) 48 E) 68

11. Si las dos siguientes matrices (de orden 2) son

1  −1 −1 2 1 2   y B= A= A 1  3 1 +  − 0   0  2  

 i + j si i ≥; i A=  i − j si i < j

0

A)  1

 6

 a 2 + 2 c + 3 c 2 + 2 b B=   b2 + 2a + 4 4 

 0

Determine el valor de a3+b3+c3 si {a; b; c} ⊂ R. B) 3

C) – 2 E) 4

12. Determine la forma de las matrices de orden 2×2, tal que sean nilpotente de grado dos.

 a  A)  a 2 −  b

b  ;ayb∈R∧b≠0 a 

 ab  B)  a 2 −  b

b   ;ayb∈R∧b≠0 − ab 

B)  1 

−  6

 1

− C)  6   0 0 

D)  1

 3

0 1  3  0 1  3  1 3  0  0 1  6 

1   0 6  E)   0 − 1   6 

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 0  1 3 

−1

 1 2 . 0 0 

la matriz x si se sabe que Ax B = 

iguales.

A) – 3 D) – 4

Material Didáctico N.o 3

12

halle

Semestral Intensivo UNI

Álgebra

14. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. AB2AA3B=A5B3 II. (A+B)(A+I)=A2+(B+I)A+B III. (A – I)3=A3 – 3A2+3A – I Considere A, B e I matrices cuadradas de igual orden, además, I es la matriz identidad. A) VVV D) FFF

B) VFF

C) FVV E) FFV

Álgebra

n( n + 1)  2   0  1 

 1 0  D) 0 1 0 0 

 1 n n( n + 2)   1 0  0 0 1 

E) 0

17. Indique verdadero (V) o falso (F) según corres-

15. Dada la matriz

ponda.

0 1 0  A = 0 0 1  1 0 0 

I. Si A es una matriz cuadrada, entonces A+At es simétrica. II. Toda matriz cuadrada es igual a la suma de una matriz simétrica y de una matriz antisi-

Halle A100.

métrica. C) A2 E) O3

B) A

A) I3 D) – A

III. Sea A una matriz cuadrada. Si A es involuti-

1 2

va, entonces ( I − A) es idempotente. A) VVF

16. Si

B) VFV

D) FVV

 1 1 1 A = 0 1 1 0 0 1

E) FFF

18. Si f( x ) = 1 +

Determine el equivalente de An.

 1 n  A) 0 1 0 0 

x x2 x3 x4 + + + + ... y 1! 2! 3 ! 4 !

1 1 0 0  −1 −1 0 0   entonces determine f(A). A=  0 0 −1 −1    0 0 1 1 

n( n + 1)  2   n  1 

A) I+A+A2 D) I

 1 n n( n + 1)  1 n  0 0 1 

B) 0

 1 1  C) 0 1 0 0 

C) VVV

B) I – A+A2

C) I+A E) A

19. Sean las matrices  cos θ − sen θ  A=  sen θ cos θ  B=A×At Calcule f(B) si f(x)=2x6+1.

n( n + 1)  2   n  1 

A) I D) 3I

13

B) 4I

C) 2I E) B

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

22. Sea A=(aij)3×3 tal que

NIVEL AVANZADO

 1 a b 0 1 c  A = 20. Si   y N=A – I3, señale cuáles son 0 0 1  las proposiciones verdaderas. I. N es una matriz nilpotente de grado de nilpotencia 3. II. A es invertible. III. La inversa de I+N es I – N+N2 – N3. A) solo I D) solo II

B) I y II

Material Didáctico N.o 3

C) II y III E) todas

21. Sean las matrices

0; i ≥ j , halle aij =  1; i < j A) 5A+1 D) I+A+A2

10

∑ A k. k=1

B) A+A2

C) A2+I E) I+9A

23. Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si A3=I, entonces A=I. II. (a AB+bA)t=a Atbt+bAt, además; a y b son números reales. III. traz(A×B)=traz A×traz B. A) VVV D) FVF

B) VFF

C) FFV E) FFF

24. Indique las proposiciones verdaderas. Conside-

 1 0 −1  1 2 1 U = 2 4 2; V =  0 0 0   −1 0 1   1 2 1 Q=aU+bV donde b ∈ R. Los valores de a, b para los cuales existen los números p, q tales que simultáneamente se cumple

re que A y B son matrices cuadradas del mismo orden. I. Si A2+B2=2AB entonces A=B. II. Si AB=BA entonces AB3=B3A. III. Si A y B son matrices triangulares inferiores, entonces AB es una matriz triangular inferior. A) solo I D) solo III

 1  1   Q × 2 = p × 2  1  1

B) I y II

C) II y III E) todas

25. Si tenemos que π π   cos 3 sen 6  B=   − sen π cos π   6 3 

1 1 Q ×  0  = q ×  0   −1  −1

Determine P(B) tal que P(x)=16x8 – 1.

son A) solamente a=b=0. B) solamente a=0; b arbitrario. C) solamente b=0; a arbitrario. D) no existe tales números. E) a y b son arbitrarios.

 1 1 A)   0 1

UNI 2002 - II

 1  2 B)  − 1  2

 1  3 C)  − 1  3

1 3  1 3 

0 0   0 0 

1 0   0 1

D) 

E) 

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1 2  1 2 

14

Álgebra

Semestral Intensivo UNI

SEMANA

Álgebra

14

Determinantes NIVEL BÁSICO

1.

Si A es una matriz definida por A=(aij)3×3 tal

2 i − j , i < j  que aij =  i + j , i = j halle el valor del det(A). 2 j − i , i > j  A) 40 D) 46

2.

B) 42

C) 44 E) 48

4.

Si se define que

P( x;

y)

y y = −y y −y −y

  2 D)  4 −  3

3 4  −1 

  0 E)  4 −  3

3 4  2 

Si a, b y c son constantes positivas, entonces el valor de x tal que

a+ x x x

y x x

x x b+ x x = 0 es x c+ x

Determine P(1; 1)+P(2; 1)++P(3; 1)+...+P(10; 1). A) 124 D) 90

3.

B) 140

A)

C) 130 E) 120

Resuelva la siguiente ecuación matricial

6 5   3 0  1 1  2 2 x  −2 2  = 1 1       

B) −

abc ab + bc + ac

C) −

abc a+ b+ c

T

Luego, indique (|x|x+x+1) – 1.

  2 A)  4 −  3

3 4  0 

  1 B)  4 −  3

3 4  −1 

  2 C)  4 −  3

3 4  1 

abc ab + bc + ac

D)

abc a+ b+ c

E) abc

5.

UNI 1997 - I

El valor del determinante

a2 F= b

2

c2

a 1 b 1 es c 1

A) (a – b)(b – c)(c – a) B) (a – b)(c – b)(a+c) C) (b – a)(b+c)(a – c) D) (b – a)(b – c)(a – c) E) (a – b)(b – c)(a – c) UNI 2004 - II

15

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Álgebra

Academia CÉSAR VALLEJO

6.

Si tenemos que

 n − m − n A =  0 1 2  ∧ {m; n} ⊂ Z+ y |A+I|=24  1 1 m 

Material Didáctico N.o 3

A) sen2q B) cos2q C) senqcosq D) 0 E) 1

Determine la suma de los posibles valores de n.

10. Si A=(aij)3×3 es una matriz, tal que |A|=2 y A) 12 D) 22

B) 36

C) 16 E) 32

NIVEL INTERMEDIO

7.

Sean a y b números enteros positivos pares, con estos números se forma la matriz.

2a  b 

.

B) 576

C) 1152 E) 2304

A) 211 D) 214

B) 212

C) 213 E) 215

para que la siguiente matriz sea singular.

B) – 10

C) 10 E) 16

Si E es una matriz definida por

6 5 8 7

A Bt

12. Determine el número de valores reales de x

A) – 12 D) 12

5 8 E= 7  6

A) 144 D) 1628

A3 2 B

|A|=2, halle el valor de E = A 2 t A3 .

(I: la matriz identidad), halle el determinante de la matriz.

8.

el valor de T =

11. Sea A una matriz cuadrada de orden 5. Si

a − b − a 2  si det(A+I)=12 A =  0 1  1 1 b 

a  2  b

B=(bij)2×2 es otra matriz, tal que |B|=3. Halle

7 6 5 8

8 7  6  5

1 2 3 7    x +1 1 e 3 7  A=   1 2 7  e x +1   2 3 e x +1 1 A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

13. Sean A, B y C tres matrices cuadradas del mismo

halle el det(E).

orden que cumplen las siguientes relaciones. I. ABC – 2=AC3

A) 0 D) – 416

9.

B) 216

C) – 216 E) – 532

Si M, N y Z son matrices definidas por

2cos 2 θ sen2θ   2cos 2 θ −sen 2θ M = ; N =    sen 2θ 2sen 2 θ −sen 2θ 2cos 2 θ  100

y Z=M · N, halle el valor del det(Z

).

II. det(AC) ≠ 0

55 54  54 53

III. c −1 = 

Calcule el valor del det(B6). A) 0 D) 2

B) 1/2

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16

C) 1 E) – 1

Álgebra

Semestral Intensivo UNI

14. Determine el equivalente de P(x). a0 a1 a2 a3 −1 x 0 0 P( x ) = 0 −1 x 0 0 0 −1 x A) P(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0 B) P(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3 C) P(x)=x3+a0x2+a1x+a2 D) P(x)=a0x3+a1x2+a3x+a2 E) P(x)=a0x3+a3x2+a1x+a2

Indique la suma de soluciones. B) 4

C) 3 E) 1

16. Se define la siguiente expresión.  2x  f( x ) = det −3 x  x −3

3x 2

x

−3 x

3x  3x  2 x 

entonces resuelva la ecuación f(x) ≥ 0. B) [1; +∞〉    C) R+ E) φ

A) [0; +∞〉 D) R

17. Halle el determinante de la matriz A.  a  ax  A=  2 ax  ax 3

−1 a ax ax 2

0 −1

0 0  a −1  ax a 

D) a3(x+a) E) a(x+a)4

18. Dada la matriz simétrica A=(aij)2×2 que satisface la condición A2+(2A)t+I=0. Halle la matriz A–1. A) – I D) 5I

15. Resuelva la siguiente ecuación. 1 1 1 1 1 (1− x ) 1 1 =0 1 1 1 (2 − x) 1 1 1 (3 − x)

A) 5 D) 2

Álgebra

B) I

2 0 −1   19. Si A es una matriz definida por A= 0 −2 0  1 4 0 

halle la suma de los elementos de la matriz A–1. A) 3 D) 7/2

B) 0

A) x(x+a) B) – a(x – a)3 C) a(x+a)3

20. Resuelva la siguiente ecuación 2010 −1 0 0 2010 x 2010 −1 0 2010 x 2

2010 x

2010 x 3

2010 x 2

2010

−1

=0

2010 x 2010

Determine la suma de raíces. A) 6030 D) 2010

B) – 6030

C) – 4020 E) 4020

21. Determine el número de valores reales de x para que la matriz.

−1   E − 2 −1 A =  −2 E − 3 −4   1 E + 2 1 sea no invertible, considere que

(

A) 0 D) 3 17

C) 12/5 E) 15/2

NIVEL AVANZADO

E = x2 +4 +

3

C) 3I E) 5/3 I

x2 +4 B) 1

)

−1

C) 2 E) 4

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Academia CÉSAR VALLEJO

22. Se define la matriz M=(mij)n×n, tal que  i j + 1 si i > j  mij 0 si i < j  ij si i = j 2

24. Si se tiene 1 1 1   1 7 49  A = 3 6 12  ; B =  2 −1 3  y O es la 9 0 16   2 6 18  matriz nula de orden 3×3, entonces halle el

Calcule el det(2n+1A6). n(n – 1)2

A) 4 D) 2

B) 2

n(n+1)2

C) 2

n(2n – 1)2

n(2n+1)2

E) 4n(n+1)

23. Si A es una matriz definida por  8 5 1 3  6 3 4 3  A=  3 2 0 2    −1 −2 6 2

B) 60

2

 A O . O B 

determinante de  A) 1440 D) 1210

B) 1240

C) –1440 E) 2880

25. Si A es una matriz cuadrada de orden 4 que sa-

tisface la ecuación matricial A3+3A2+3A+I=0, (O matriz nula de orden 4), halle la matriz (A2+A+I) – 1.

Halle el det(A).

A) 120 D) 24

Material Didáctico N.o 3

C) 48 E) 0

A) A+I B) A+2I C) A+3I D) 2A+I E) 2A+3I

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18

Semestral Intensivo Sucesiones reales 01 - E

06 - d

11 - c

16 - e

21 - c

02 - d

07 - b

12 - c

17 - e

22 - a

03 - a

08 - d

13 - e

18 - e

23 - c

04 - a

09 - a

14 - d

19 - a

24 - b

05 - d

10 - b

15 - a

20 - d

25 - b

Series numéricas 01 - c

06 - b

11 - a

16 - c

21 - e

02 - a

07 - d

12 - b

17 - c

22 - d

03 - b

08 - c

13 - d

18 - c

23 - d

04 - c

09 - e

14 - d

19 - e

24 - e

05 - a

10 - d

15 - d

20 - c

25 - c

Matrices 01 - a

06 - b

11 - a

16 - a

21 - e

02 - d

07 - a

12 - d

17 - c

22 - b

03 - c

08 - d

13 - b

18 - c

23 - e

04 - b

09 - d

14 - c

19 - d

24 - c

05 - a

10 - e

15 - b

20 - e

25 - e

Determinantes 01 - b

06 - c

11 - c

16 - d

21 - c

02 - c

07 - a

12 - c

17 - c

22 - e

03 - a

08 - d

13 - c

18 - a

23 - e

04 - b

09 - d

14 - b

19 - e

24 - c

05 - e

10 - b

15 - c

20 - b

25 - b