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Compensadores- Guía N°3 Cóndor, César 15190105, Cruz, Harold 15190033 [email protected], [email protected] Facultad de Ingeniería Electrónica y Eléctrica – UNMSM

Resumen—En este informe se desarrolla el análisis de compensadores de adelanto y atraso-adelanto, haciendo uso de ellos para modificar los sistemas planta dados en la guía y obtener los parámetros especificados analizando las respuestas de los sistemas en lazo cerrado obtenidos ante las entradas de escalón y rampa. Se hará uso también de la herramienta Sisotool de Matlab el cual nos brindará una forma dinámica y eficiente de determinar el compensador necesario a implementar para obtener los parámetros deseados. Índice de Términos— Compensador de adelanto y atraso-adelanto, Diagrama de bode, Margen de Fase y Ganancia, Matlab, Sisotool, Lugar Geométrico de las Raíces, Sobrepico, Transitorio, Estacionario. Summary - In this report the analysis of advance and delay-advance compensators is developed, making use of them to modify the plant systems given in the guide and obtain the specified parameters by analyzing the responses of the closed-loop systems obtained before the step inputs and ramp. It will also make use of the tool Sisotool of Matlab which will give us a dynamic and efficient way to determine the compensator necessary to implement to obtain the desired parameters.

para obtener una conducta deseada. El problema de esta compensación es hacer una elección juiciosa de los polos y ceros del compensador Gc(s) para tener polos en lazo cerrado dominantes en la posición deseada. Este tipo de compensación básicamente aclara la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación por retardo-adelanto junta los dos comportamientos para poder mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estacionario. Este compensador posee dos polos y dos ceros, debido a esto el compensador aumenta en el 2 el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado. II. MATERIALES Y MÉTODOS A. Equipos, materiales y herramientas utilizados   

Laptop o PC compatible con Matlab Matlab 2016b Simulink

B. Esquemas

Index of Terms - Compensator of advance and delayadvancement, Bode diagram, Phase Margin and Profit, Matlab, Sisotool, Geometric Place of the Roots, Overshoot, Transitory, Stationary.

Fig. 1. Esquema compensador en adelanto

I. INTRODUCCIÓN Los sistemas de compensación es un dispositivo físico externo a la planta que se usa cuando en la práctica no se consigue el comportamiento deseado. La compensación de un sistema de control se reduce al diseño de un filtro cuyas características tienden a compensar las características no deseables e inalterables de la planta. En este caso en esta guía se realizó la compensación en adelanto y compensación en retardo-adelanto. La compensación por adelanto se usa un compensador en serie con la función de transferencia inalterable G(s) Informe Final de Práctica de Laboratorio N° 3 – Sistemas de Control II

Fig. 2. Esquema compensador en Adelanto-atraso

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C. Procedimiento

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4. Diseñe un compensador de retardo-adelanto (𝑠) tal que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 20 seg-1, el margen de fase sea de 60º y el margen de ganancia de al menos 8 dB. Presente el procedimiento detallado en la obtención del compensador. 5. Presente las respuestas un escalón unitario y a una rampa del sistema en lazo cerrado. (Verifíquese que se cumplan los requerimientos de diseño).

a. Parte I: Compensador en adelanto 1. Considerando el sistema en lazo abierto el siguiente: 1 𝐺(𝑠) = 𝑠(0.1𝑠 + 1)(𝑠 + 1) 2. Obtenga su respuesta temporal ante un escalón y una rampa unitaria. Comente los resultados obtenidos. 3. Obtenga los márgenes de Fase y de Ganancia. Comente los resultados obtenidos 4. Diseñe un compensador de adelanto (𝑠) tal que el margen de fase sea 45º, el margen de ganancia no sea menor de 8db y la constante de error estático de velocidad de velocidad Kv sea de 4.0 seg-1. Presente el procedimiento detallado en la obtención del compensador. 5. Presente las respuestas un escalón unitario y a una rampa del sistema en lazo cerrado. (Verifíquese que se cumplan los requerimientos de diseño).

Fig. 4. Sistema en lazo cerrado

6. Utilice el “toolbox” sisotool para diseñar el mismo controlador. 7. Después de validar el diseño del compensador, impleméntelo y muestre los resultados obtenidos con el osciloscopio. 8. Documente y describa detalladamente el diseño, simulación, implementa y resultados obtenidos. III. RESULTADOS a. Parte I: Compensador en adelanto

Fig. 3. Sistema en Lazo Cerrado

6. Utilice el “toolbox” sisotool para diseñar el mismo controlador. 7. Después de validar el diseño del compensador, impleméntelo y muestre los resultados obtenidos con el osciloscopio. 8. Documente y describa detalladamente el diseño, simulación, implementa y resultados obtenidos.

1. Usando Matlab Obtenemos la función G(s) de lazo abierto 2. Obtenemos la respuesta temporal ante un escalón y rampa unitaria.

b. Parte II: Compensador de retardo-adelanto 1. Considerando el sistema en lazo abierto el siguiente: 1 𝐺(𝑠) = 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 5) 2. Obtenga su respuesta temporal ante un escalón y una rampa unitaria. Comente los resultados obtenidos. 3. Obtenga los márgenes de Fase y de Ganancia. Comente los resultados obtenidos

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Fig. 5. Código en Matlab de G(s)

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El compensador en adelanto tiene la forma de: 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 𝛼

𝑇𝑠 + 1 𝑠 + 1⁄𝑇 = 𝐾𝑐 𝛼𝑇𝑠 + 1 𝑠 + 1⁄𝛼𝑇

El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto 𝐺𝑐 (𝑠)𝐺(𝑠). Haciendo 𝐾𝑐 𝛼 = 𝐾 𝐺1 (𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) = Fig. 6. Respuesta al escalón

2𝐾 𝑠(0.1𝑠 + 1)(𝑠 + 1)

Para hallar el valor de K al sistema compensado se le aplica el límite cuando tiende a 0. 𝐾𝑣 = lim 𝑠 𝑠→0

2𝐾 𝑠(0.1𝑠 + 1)(𝑠 + 1) 𝐾𝑣 = 2𝐾

Pero se desea que la constante de error estático de velocidad sea 𝐾𝑣 = 4 𝑠 −1 𝑲=𝟐 Fig. 7. Respuesta a la rampa

Obtenemos entonces a G1(s) y analizamos su Diagrama de Bode

3. Obtenemos los márgenes de Fase y de Ganancia. 𝑮𝟏 (𝒔) = 𝑲𝑮(𝒔) =

𝟒 𝒔(𝟎. 𝟏𝒔 + 𝟏)(𝒔 + 𝟏)

Fig. 8. Margenes de Ganancia y Fase de G(s)

4. Para el diseño del controlador con las características dadas se realizan los siguientes pasos.

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Fig. 9. Margenes de Ganancia y Fase de G1(s)

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Teniendo como margen de fase 17.7° y margen de ganancia 8.79 dB. Como se desea diseñar al sistema un margen de fase de 45°, se debe tener en cuenta que la adición del compensador de adelanto modifica la curva de magnitud en el diagrama de bode, esto es que la frecuencia de cruce de ganancia se desplazará hacia la derecha, por tanto se debe compensar el incremento en el retardo de fase de G1(s). Entonces se añade 12° para compensar dicho desplazamiento en la frecuencia de cruce de ganancia.

Obteniendo wc=2.81 rad/sec: 1 = √𝛼𝑤𝑐 = √0.21𝑥2.81 = 1.2877 𝑇 1 √𝛼𝑇

1−𝛼 1+𝛼

Resolviendo obtenemos 𝜶 = 𝟎. 𝟐𝟏

=

𝑤𝑐 √𝛼

=

2.81 √0.21

= 6.1319

Reemplazando en Gc(s): 𝑮𝒄 (𝒔) = 𝑲𝒄 𝑲𝒄 =

𝜙𝑚 = 45 − 17 + 12 = 40° 𝑠𝑒𝑛(𝜙𝑚 ) =

4

𝐺𝑐 (𝑠)𝐺(𝑠) = 𝐾𝑐

𝒔 + 𝟏. 𝟐𝟖𝟕𝟕 𝒔 + 𝟔. 𝟏𝟑𝟏𝟗

𝟐 = 𝟗. 𝟓𝟐𝟑𝟖 𝟎. 𝟐𝟏

𝑠 + 1.2877 2 𝑥 𝑠 + 6.1319 𝑠(0.1𝑠 + 1)(𝑠 + 1)

𝐺𝑐 (𝑠)𝐺(𝑠) =

3.1064𝑠 + 4 (0.16308𝑠 + 1)𝑠(0.1𝑠 + 1)(𝑠 + 1)

𝑮𝒄 (𝒔)𝑮(𝒔) =

𝟑. 𝟏𝟏𝟎𝟔𝟒𝟓𝒔 + 𝟒 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝟑𝒔𝟑 + 𝟎. 𝟐𝟕𝟗𝟒𝒔𝟐 + 𝟏. 𝟐𝟔𝟑𝟏𝒔 + 𝒔

Determinamos la frecuencia de esquina 1 + 𝑗𝑤𝑇 1 = 1 + 𝑗𝑤𝛼𝑇 √𝛼 1 √𝛼

=

1 √0.21

Obtenemos el diagrama de Bode de Gc(s)G(s):

= 2.1822 = 𝟔. 𝟕𝟕𝟕𝟖 𝒅𝑩

Hallamos este punto en el diagrama de bode:

Fig. 11. Sistema Compensado por adelanto

Fig. 10. Frecuencia para -6.75dB

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Se observa que se cumplió con las características pedidas para el diseño del compensador de adelanto. (Margen de ganancia no menor a 8dB y margan de fase aproximado a 45°)

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5. Obtenemos la respuesta al escalón unitario y rampa del sistema compensado en lazo cerrado.

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6. Haciendo uso de sisotool para el diseño del controlador. Determinamos los parámetros que deseamos obtener.

Agregamos el cero y polo real compensador) en el LGR del sistema.

(del

Fig. 12. Código Matlab de lazo cerrado

Fig. 15. LGR del Sistema en lazo cerrado

Con los parámetros fijados, realizamos los cambios necesarios en las posiciones del cero y polo del controlador hasta cumplir con los parámetros fijados. Nos ayudamos para ello del diagrama de bode que sisotool nos brinda de igual manera Fig. 13. Respuesta al escalón

Fig. 14. Respuesta a la rampa Fig. 16. Diagrama de bode Sisotool

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Verificamos que los parámetros han sido cumplidos. Observamos que sisotool nos da como resultado la función de transferencia del compensador adecuado para cumplir con los parámetros.

Esta función de transferencia del compensador dado por sisotool es de gran semejanza con el compensador hallado teóricamente anteriormente.

Fig. 18. Respuesta escalón

b. Parte II: Compensador de retardo-adelanto 1. Usando Matlab Obtenemos la función G(s) de lazo abierto 2. Obtenemos la respuesta temporal ante un escalón y rampa unitaria.

Fig. 19. Respuesta rampa

3. Obtenemos los márgenes de Fase y de Ganancia.

Fig. 17. Código Matlab de G(s)

Fig. 20. Margenes de Ganancia y Fase de G(s) Informe Final de Práctica de Laboratorio N° 3 – Sistemas de Control II

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4. Para el diseño del controlador con las características dadas se realizan los siguientes pasos.

Como el margen de ganancia de fase es de -23.7, se sugiere usar el valor de w=2.25 rad/sec al cual convenientemente le corresponde un 𝜙𝑚 = 60°. Para este caso usaremos esta ecuación para hallar el valor de 𝛽, agregándole 5° al valor de 𝜙𝑚

El comportamiento retardo-adelanto tiene la forma.

1 𝛽 𝛽−1 𝑠𝑒𝑛(𝜙𝑚 ) = = 1 𝛽+1 1+ 𝛽 1−

(𝑇1 𝑠 + 1)(𝑇2 𝑠 + 1) 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 𝑇 ( 1 𝑠 + 1)(𝛽𝑇2 𝑠 + 1) 𝛽 1 1 (𝑠 + 𝑇 )(𝑠 + 𝑇 ) 1 2 = 𝐾𝑐 𝛽 1 (𝑠 + 𝑇 )(𝑠 + ) 𝛽𝑇2 1

Se obtiene: 𝜷 = 𝟐𝟎 Con 𝛽 podemos determinar la frecuencia de esquina para la parte de retardo de fase de compensador es

El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto 𝐺𝑐 (𝑠)𝐺(𝑠). Para hallar el valor de K al sistema compensado se le aplica el límite cuando tiende S a 0. 𝐾𝑣 = lim 𝑠 𝐺𝑐 (𝑠) 𝑠→0

1 = 𝛽𝑇2

1 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 5)

𝐾𝑣 =

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1 = 0.01125 20 0.225

𝑠 + 0.225 4.4444𝑠 + 1 = 20 𝑠 + 0.01125 88.8889𝑠 + 1

𝐾𝑐

Con la gráfica podemos obtener que para

5 w=2.25 tendremos 10.35 dB.

Pero se desea que la constante de error estático de velocidad 𝐾𝑣 = 20 𝑠 −1 𝑲 = 𝟏𝟎𝟎 Obtenemos entonces a G1(s) y analizamos su Diagrama de Bode 𝐺1 (𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) =

Con la intersección de esta línea con la pendiente +20dB, la línea 0dB y la línea de -26.02 dB obtendremos frecuencias de esquina en la parte de adelanto w= 0.3704 y w=7.4077. La ecuación de transferencia es la siguiente:

100 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 5)

𝑠 + 0.3704 1 2.6998 + 1 = ( ) 𝑠 + 7.4077 20 0.1350𝑠 + 1 4.4444𝑠 + 1 2.6998 + 1 𝐺𝑐 (𝑠) = 100 ( )( ) 88.8889𝑠 + 1 0.1350𝑠 + 1 4.4444𝑠+1

2.6998+1

1

𝐺𝑐 (𝑠)𝐺(𝑠) = 100(88.8889𝑠+1)(0.1350𝑠+1) 𝑠(𝑠+1)(𝑠+5). 𝑮𝒄 (𝒔)𝑮(𝒔) =

𝟏𝟏𝟗𝟗. 𝟗𝒔𝟐 + 𝟕𝟏𝟒. 𝟒𝟐𝒔 + 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐𝒔𝟓 + 𝟏𝟔𝟏. 𝟎𝟐𝟑𝟗𝒔𝟒 + 𝟓𝟗𝟓. 𝟏𝟒𝟑𝟒𝒔𝟑 + 𝟒𝟓𝟏. 𝟏𝟏𝟗𝟓𝒔𝟐 + 𝟓𝒔

Fig. 21. Diagrama de bode de G1(s)

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Fig. 22. Sistema compensado por atraso-adelanto

Se observa que se cumplió con las características pedidas para el diseño del compensador de adelanto. 5. Obtenemos la respuesta al escalón unitario y rampa del sistema compensado en lazo cerrado.

Fig. 25. Respuesta a la rampa de lazo cerrado

6. Haciendo uso de sisotool para el diseño del controlador. Determinamos los parámetros que deseamos obtener.

Fig. 23. Código Matlab Lazo Cerrado

Agregamos los ceros y polos reales (del compensador) en el LGR del sistema.

Fig. 26. LGR Sistema lazo cerrado

Fig. 24. Respuesta al escalón de lazo cerrado

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Con los parámetros fijados, realizamos los cambios necesarios en las posiciones de los ceros y polos del controlador hasta cumplir con los parámetros fijados. Nos ayudamos para ello del diagrama de bode que sisotool nos brinda de igual manera.

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Fig. 27. Diagrama de Bode en sisotool

Verificamos que los parámetros han sido cumplidos. Observamos que sisotool nos da como resultado la función de transferencia del compensador adecuado para cumplir con los parámetros.

Esta función de transferencia del compensador dado por sisotool es de gran semejanza con el compensador hallado teóricamente anteriormente. IV. ANÁLISIS DE RESULTADOS Parte 1. Compensador de adelanto  De la respuesta temporal de Gp(s): Se observa que la respuesta al escalón y rampa aumenta en el tiempo, es decir no existe un límite acotado, esto debido a que 1) el sistema es en lazo abierto, por tanto no existe una realimentación para la constante comparación con la señal de referencia. 2) Gp(s) con tiene al factor 1/s que es el factor integrador de la planta, esto quiere decir que

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el valor obtenido de la entrada será constante añadido bajo la curva de la señal de error. El error presentado ante la rampa es muy alto, este valor crece exponencialmente.  Del diagrama de bode de Gp(s): Se observa que el sistema Gp(s) a lazo cerrado presenta márgenes de fase y ganancia de valor finito (8.79dB y 31.7°), por tanto se dirá que el sistema es estable. Sin embargo, se presenta un comportamiento deficiente en la respuesta transitoria del sistema. A su vez que para la respuesta a la rampa existe un error relativo alto de salida respecto a la entrada. Por ello es necesario la aplicación de un compensador de adelanto que satisfaga las características requeridas en la guía.  De la respuesta del Sist. LC ya compensado: Del diagrama de bode se observa que su cumplió con los márgenes pedidos en la guía. Los resultados fueron: MG = 13.6 dB y MF = 44.6 °. Vemos también que las respuestas del sistema al escalón y rampa también fueron afectadas. Para la respuesta al escalón observamos una mejor respuesta transitoria del sistema: disminuyo las oscilaciones presentadas anteriormente. Para la respuesta a la rampa se observa la disminución del error en estado estacionario. Esto es de mejor aprovechamiento para sistemas aplicados a procesos de respuesta rápido como lo son los robots.  De la herramienta sisotool: Se observa que la función de transferencia del compensador de adelanto obtenido mediante sisotool es de gran semejanza al compensador hallado teóricamente en el desarrollo del informe. Esto se comprueba comparando los diagramas de bodes obtenidos y en las respuestas temporales de ambos métodos. Parte 2. Compensador de atraso-adelanto  De la respuesta temporal de Gp(s): De igual manera que para la parte 1, la respuesta al escalón y rampa aumenta en el tiempo, es decir no existe un límite acotado, esto debido a que 1) el sistema es en lazo abierto, por tanto no existe una realimentación para la constante comparación con la señal de referencia. 2) Gp(s) con tiene al factor 1/s que es el factor integrador de la planta, esto quiere decir que el valor obtenido de la entrada será constante añadido bajo la curva de la señal de error. La respuesta ante la rampa tiende a ser la señal de entrada pero el error presentado es muy alto, por tanto este debe ser disminuido.

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 Del diagrama de bode de Gp(s): Se observa que el sistema Gp(s) a lazo cerrado presenta márgenes de fase y ganancia de valor finito (29.5dB y 76.7°), por tanto se dirá que el sistema es estable. Sin embargo, se presenta un comportamiento deficiente en la respuesta transitoria del sistema. El overshoot es muy alto y existen muchas oscilaciones hasta llegar tiempo de asentamiento, a su vez el error en estado estacionario se desea ser disminuido. Por ello es necesario la aplicación de un compensador de retraso-adelanto que satisfaga las características requeridas en la guía.  De la respuesta del Sist. LC ya compensado: Del diagrama de bode se observa que su cumplió con los márgenes pedidos en la guía. Los resultados fueron: MG = 14.5 dB y MF = 59.1 °. Vemos también que las respuestas del sistema al escalón y rampa también fueron afectadas. Para la respuesta al escalón observamos una mejor respuesta transitoria: se disminuyó el overshoot presentado anteriormente, las oscilaciones fueron también disminuidas en gran manera, quedando solo una. Sin embargo es de precisar que al compensar las oscilaciones, el overshoot aumentará y será así también al compensar el overshoot, las oscilaciones aumentarán, por tanto debe hacer un cálculo adecuado de tal manera que exista un balance entre ambos parámetros. Para la respuesta a la rampa se observa la disminución del error en estado estacionario. Esto es de mejor aprovechamiento para sistemas aplicados a procesos de respuesta rápido como lo son los robots.  De la herramienta sisotool: Se observa que la función de transferencia del compensador de retraso-adelanto obtenido mediante sisotool es de gran semejanza al compensador hallado teóricamente en el desarrollo del informe. Esto se comprueba comparando los diagramas de bodes obtenidos y en las respuestas temporales de ambos métodos. V. CONCLUSIONES En la construcción de un sistema de control, sabemos que una modificación adecuada de la dinámica de la planta puede ser una forma sencilla de cumplir las especificaciones de comportamiento. Esto sin embargo puede que no sea posible en muchas situaciones prácticas ya que la planta está fijada y no es modificable. En estos casos se deben ajustar otros parámetros distintos a los de la planta. El problema de

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diseño, se convierte en mejorar el comportamiento del sistema mediante la inserción de un compensador (esto es la adición de ceros y polos sobre el lugar de las raíces). La función principal del compensador de adelanto es modificar la curva de respuesta en frecuencia para proporcionar un ángulo de adelanto de fase suficiente para compensar el excesivo retardo de fase asociado con las componentes del sistema planta El diseño de un compensador de retardo-adelanto mediante el método de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño de la compensación de adelanto y la compensación de retardo. La parte de adelanto altera la curva en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto de fase e incrementando el margen de fase. La parte de retardo de fase permite un incremento de la ganancia en el rango de bajas frecuencias, esto mejora el comportamiento en estado estacionario. De lo obtenido durante el desarrollo de la guía se comprobó que la aplicación de compensadores a los sistemas planta modifican las respuestas y parámetros iniciales para así obtener los requerimientos dados, sin embargo, no todos los sistemas se pueden compensar con un compensador de adelanto, retardo o retardoadelanto, para ello se utilizan otros posibles métodos para su diseño. La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribución al adelanto de la fase, mientras que la compensación de retardo logra el resultado a través de su propiedad de atenuación a altas frecuencias. El uso de ambos métodos nos permitió obtener las especificaciones dadas en la guía. Si se desean respuestas rápidas y suficiente precisión estática, se puede emplear un compensador de retardo-adelanto. Este compensador incrementa la ganancia a bajas frecuencias (lo que significa una mejora en la precisión en estado estacionario) y al mismo tiempo se incrementan los márgenes de estabilidad del sistema. Para el desarrollo de esta guía se tuvo que averiguar y leer la base teórica sobre compensadores ya que en el programa teórico del curso no se tocó este tema. Por tanto se presentó dificultades al inicio del desarrollo de la guía. Aun así es de mucha importancia el entendimiento de compensadores como base para el estudio de controladores P, PI, PD y PID.

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Sisotool es una poderosa herramienta de MATLAB que facilita en gran medida el diseño de controles. En sisotool se trabaja de forma gráfica, usando el método del LGR (lugar geométrico de las raíces). Sisotool puede mostrar en tiempo real las variaciones de la respuesta del sistema generadas por los cambios que el usuario realice en el LGR, y es esto lo que lo hace tan práctico para el diseño de controles.

VI. REFERENCIAS Cavadia, J. N. (03 de Mayo de 2012). CyberElectrónica. Obtenido de Uso de SISOTOOL Para diseño de controles: http://cyberelectronica.blogspot.com/2012/05/uso-desisotool-para-diseno-de.html DACI-EPN. (s.f.). Diseño de Sistemas de Control mediante el Lugar. Obtenido de SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO : http://ciecfie.epn.edu.ec/wss/VirtualDirectories/80/C ControlC/materias/automatico/Descargas/Compensac ion/Lecturas/Lectura1.pdf Diseño de compensadores y. (s.f.). Obtenido de http://gecousb.com.ve/guias/GECO/Control%20de% 20Procesos%202%20(PS2320)/Ejercicios%20y%20Problemas%20(PS2322)/PS2320%20LGR%20Teor%C3%ADa%20Compensado res%20Y%20Controladores.pdf Ogata, K. (2010). Ingeniería de control moderan. Madrid (España): PEARSON. Reyes, L. J.-C. (s.f.). SISTEMAS DE CONTROL II. Obtenido de http://syscontrol2.blogspot.com/2007/12/compensado r-en-adelanto-y-atrazo.html

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