Sistemas De Ecuaciones Lineales

COLEGIO PREUNIVERSITARIO

“NUESTRA SEÑORA DE MONSERRAT”

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS LINEAL DE ECUACIONES DE DOS VARIABLES X= 2

ax  by  c Son ecuaciones del tipo:  dx  ey  f

Así obtenemos: y = 5

donde: x e y son las incógnitas; a, b, c, d, e y f son constantes.

2. Método de igualación Se despeja una misma variable en ambas ecuaciones, luego se igualan ambos resultados.

¿Qué significa “resolver un sistema de ecuaciones”? Significa hallar los valores de las incógnitas (generales “x” e “y”) de tal manera que al reemplazarlas en las ecuaciones se verifica la igualdad.



Ejemplo: Resolver el sistema

x  2 y 12. .Ecuación #1   4x  y  3. .Ecuación#2

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS Existen muchos métodos para resolver SISTEMAS DE ECUACIONES, algunos más sencillos que otros. El día de hoy estudiaremos tres de ellos: de Reducción o Eliminación, de Igualación y de Sustitución. 1. Método de Reducción o eliminación En este método, el objetivo es eliminar una de las incógnitas sumando ambas ecuaciones. 

Solución: Despejando “y” en #1: x +2y = 1 2

Ejemplo:

2y = 12 – x

Resolver el sistema

y

x  2 y  12,.. Ecuación #1   4x  y  3. .Ecuación #2  x  2 y  12  2[4 x  y]  2[3]

4x = 3 + y 4x –3 = y Luego

Este artificio es muy utilizado en la resolución de sistemas

4 Bimestre

igualando

ambos

12  x  4x  3 2

resultados:

12 – x = 2(4x – 3) 12 – x = 8x – 6 12 + 6 = 8x + x 18 = 9x

 x  2 y  12 Tenemos:  9x 18 8x  2 y  6 to

12  x 2

Despejando “y” en #2: 4x – y = 3

Solución: Si sumamos ambas ecuaciones no se elimina ninguna incógnita, así que multipliquemos por 2 la ecuación #2:

1° Secundaria

Este valor será sustituido en cualquier ecuación

x=2

Reemplazando el valor de “x” en #1 ó en #2 tenemos: 2 + 2y = 12

29

Álgebra

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2y = 12 – 2

y

Rpta: x = _________ y = ________

10 5 2

3. Método de sustitución Es similar al método anterior, con la diferencia de que únicamente se despeja una variable en una ecuación, y este resultado es reemplazado en la otra ecuación. 

3.

5x  3 y  7  x  y  3 Rpta: x = _________ y = ________

Ejemplo: Resolver el sistema

x  2 y  12. .Ecuación #1   4x  y  3. .Ecuación #2

4.

Solución: De # 1 despejamos a la incógnita “x”: x = 12 – 2y

5.

3x  2 y  4  2 x  y  5 Rpta: x = _________ y = ________

Este resultado lo reemplazamos en #2:

x  y  7  x  y  5 Rpta: x = _________ y = ________

4(12 – 2y) – y = 3 48 – 8y – y = 3 48 – 3 = 8y + y

6.

45 = 9y 5=y

x  3 y  9   x  2 y  1 Rpta: x = _________ y = ________

Este valor se reemplaza en # 1 o en #2 y obtenemos el valor de “x”: 7.

x + 2(5) = 12 x = 12 – 10 x=2

2 x  3 y  12   x  4 y  5 Rpta: x = _________ y = ________

PROBLEMAS PROPUESTOS Bloque I Resolver los siguientes sistemas:

1.

8.

7 x  2 y  16   x  3 y  1

Rpta: x = _________ y = ________ Rpta: x = _________ y = ________

2.

9.

3x  2 y  4  8x  2 y  7

1° Secundaria

3x  2 y  2  x  3 y  10 x  y  3  2 x  3 y  1 Rpta: x = _________ y = ________

4to Bimestre

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Álgebra

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2 x  y  12 10.  x  3 y  11

x  8  y  2 x  y  1 Rpta: x = _________ y = ________

11.

3x  4 y  11  x  3 y  5

Indicando “

y2 ” x

A) 1

B) – 1 C) 0

D) 2

E) –2

C) 20

D) 22

E) 24

C) 4

D) 5

E) 6

C) 5

D) –5

E) 0

D) 13

E) 15

D) 12

E) 13

5. Resolver:

 x  3 y  10   3x  y  2  1

Rpta: x = _________ y = ________

x  2 y  13 12.  x  3 y  18

luego, indicar x2 + y2 A) 16

B) 18

6. Luego de resolver:

Rpta: x = _________ y = ________

3x  y  13  3 y  x  11

Bloque II 1. Resolver:

3x  5 y  1  2 x  y  8

Indicar “x – y” A) 2 B) 3 7. Resolver.

Luego, indicar “x + y” A) 1 B) –1 C) 0

D) –2

4 x  3 y  14  4 y  3x  23

E) 4

e indicar “x” A) 1 B) –1

2. Resolver:

5x  3 y  21  x  2 y  1

8. Resolver:

3x  2 y  16  2 x  2 x  y  1

Luego, calcular “xy” A) 3 B) 4 C) 5

D) –6

luego, indicar “x2 + y2” A) –5 B) 3 C) 12

E) 6

9. Resolver:

x  y  2  2 x  3 y  11

3. Resolver:

5x  y  1,1  2 x  3 y  0,1

e indicar “3x + 4y”

Luego, indicar el valor de “x” A) 0,1 B) 0,2 D) 0,4 E) 0,5

A) 9

C) 0,3

B) 10

C) 11

10. Resolver:

4. Resolver:

1° Secundaria

4to Bimestre

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Álgebra

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x  2 y  3x  5 y  33 Indicando “x + y” A) 3 B) 6 Bloque III 1.

C) 9

D) 12

 x 1 y  2  2  3  x  y  y  2  4 3

E) 15

A) B) C) D) E)

Resolver:

( y  1)( x  5)  ( y  5)( x  1)   xy  y  x  ( y  2)( x  2) Indicar “x – y” A) 4 B) 3 2.

C) 2

D) 1

7.

E) 0

Calcular el valor de ”m” en el sistema:

Indicar: A) 0

Si: x = 12 es una de las soluciones del sistema. A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 8.

Luego de resolver el sistema:

3( x  y)  2( x  y)  17  5( x  y)  4( x  y)  29 Señale el valor de: 3x + 4y – xy A) 11 B) 9 C) 31 D) 7 4.

E) 41

9.

E) 9

D) 6

E) 4

x

b

-1

y

2

2a

B) 13

C) 1/3 D) 6

E) 9

Conociendo el siguiente cuadro de valores: x

3

7

y

5

11

10. Resolver:

 n  1 3m  5  10  2  n 1  n  m  10 8

 x  2 y  13   3x  y  11 C) 7

D) 3

que satisface la ecuación: y = 2ax + b, hallar “y”, cuando x = 1 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Resolver:

indicar “x + y” A) 9 B) 8

C) 2

Si la siguiente tabla de valores satisface a y = 5x + a + b, calcular “x”, cuando: y = 12

Resolver el sistema:

Indicar el valor de “x2 – y2” A) 0 B) 1 C) 2 D) 3

6.

x 1 y B) 1

A) 3

4(2x  y)  5(2x  y)  17   3(2 x  y)  (2 x  y)  8 5.

Resolver:

x y  2  5  4  x  y  3  7 15

 x  2y  m  2 x  3 y  6 3.

x = 5; y = 7 x = 7; y = 5 x = 2; y = 7 x = 5; y = 2 x = 0; y = 1

E) 5

Resolver:

hallar: A) 0

n m  16 B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

TAREA

1° Secundaria

to

4 Bimestre

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Álgebra

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1.

“NUESTRA SEÑORA DE MONSERRAT”

m  2 n  4 Si se tiene:  3n  m  16 entonces “n” vale: A) 2

2.

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

a  3b  2 Sabiendo que:  2a  b  3 indicar el valor de “a” A) 1

3.

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

D) 6

E) 8

x  3 y  8 Si:   2x  y  2 Entonces, hallar “x + y” A) 2

4.

B) 3

C) 4

3m  5n  7 Sabiendo que:  2 m  n  4 Calcular “5m + 4n” A) 11 B) 7 C) 19

5.

D) 81

E) 4

x  y  7 Dado el sistema:  x  y  13 Hallar el valor de “y” A) 10

B) –3

1° Secundaria

C) 3

D) 5

4to Bimestre

E) 7

33

Álgebra