Sistemas De Varios Grados De Libertad

Unidad V

SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

5.1 Vibración de modo normal para sistemas de dos grados de libertad Los sistemas que requieren dos coordenadas independientes para describir su movimiento son llamados sistemas de dos grados de libertad. Algunos ejemplos de sistemas que tienen dos grados de libertad fueron mostrados en la Figura 1.3. Consideremos el sistema motor-bomba mostrado en la figura 5.1(a). Suponiendo que el sistema vibra en un plano vertical, este puede ser idealizado como una barra de masa m y momento de inercia J 0 soportado sobre dos resortes de rigidez k1 y k 2 como se muestra en la figura5.1(b). El desplazamiento del sistema en cualquier tiempo puede ser especificado por una coordenada lineal x(t ) , indicando el desplazamiento vertical del centro de gravedad (C.G.) de la masa y una coordenada angular (t ) , denotando la rotación de la masa m alrededor de su centro de gravedad. En lugar de x(t ) y

(t ) , podemos también

usar x1 (t ) y x2 (t ) como coordenadas independientes para especificar el movimiento del sistema. De esta manera el sistema tiene dos grados de libertad. Es importante notar que en este caso la masa m no es tratada como un punto de masa pero como un cuerpo rígido tiene dos posibles tipos de movimiento. (Si es una partícula, no hay necesidad de especificar la rotación de la masa alrededor de su C.G.).

Enseguida, considere el sistema mostrado en la Figura 5.2(a), el cual ilustra el paquete de un instrumento de masa m . Suponiendo que el movimiento del instrumento esta

contenido en plano xy , el sistema puede ser modelado como una masa m soportada por resortes en las direcciones x y y , como es indicado en la Figura 5.2 (b). Así que el sistema tiene un punto de masa m y dos grados de libertad, porque la masa tiene dos posibles tipos de movimiento (traslación a lo largo de las direcciones x y y , la regla general para el cálculo del número de grados de libertad puede ser establecido como sigue: Número de grados de libertad del sistema = Número de masas del sistema x número de posibles tipos de moviendo de cada masa Hay dos ecuaciones de movimiento para un sistema con dos grados de libertad uno por cada masa (más específicamente, para cada grado de libertad). Un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y, la configuración correspondiente es un modo normal. Los dos grados de libertad del sistema tendrán entonces dos modos normales de vibración, correspondientes a las dos frecuencias naturales. La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos modos normales de vibración. Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurrirá a la frecuencia de excitación y la amplitud de las dos coordenadas tenderá a un máximo, a las dos frecuencias naturales. Ecuaciones de movimiento para vibración forzada Considere un sistema mecánico de dos grados de libertad como el mostrado en la figura 5.3a. El movimiento del sistema es completamente descrito por las coordenadas x1 (t ) y

x2 (t ) , las cuales definen las posiciones de las masas m1 y m2 en cualquier tiempo t desde las posiciones de equilibrio respectivos. Las fuerzas externas F1 (t ) y F2 (t ) actúan sobre las masas m1 y m2 respectivamente. Los diagramas de cuerpo libre de las masas son mostrados en la figura 5.3(b). La aplicación de la segunda ley de Newton a cada una de las masas nos da las ecuaciones diferenciales del movimiento.

m1x1 m2 x2

c1x1 k1x1 c2 ( x2 x1 ) k2 ( x2 x1 ) F1 (t ) c3 x2 k3 x2 c2 ( x2 x1 ) k2 ( x2 x1 ) F2 (t )

5.1

Estas ecuaciones se pueden escribir de la siguiente manera:

m1 x1 m2 x2

(c1 c2 ) c2 x2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 F1 (t ) c2 x1 (c2 c3 ) x2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 F2 (t )

5.2

y utilizando notación matricial:

m1

0

0

m2 x2

c1

x1

c2 c2

c2 c2

k1

x1

c3 x2

k2

k2

k2

k2

x1

F1 (t )

k3 x2

F2 (t )

5.3

La ec.(5.3) se puede escribir en forma compacta como:

m x (t )

c x (t )

k x (t )

F (t )

5.4

La ecuación (5.3) es un caso especial de la ecuación general del tipo:

m11

m12

x1

m21 m22 x2

c11

c12

x1

k11

c21 c22 x2

k12

x1

F1 (t )

k21 k22 x2

F2 (t )

5.5

donde m , c , y k son llamadas las matrices de masa o inercia, amortiguación y elasticidad, respectivamente y están dadas por:

m

m11

m12

m21 m22

, c

c11

c12

c21 c22

y

k11

k

k12

k21 k22

además x (t ) y F (t ) son llamados los vectores de desplazamiento y de fuerza respectivamente, y están dados por:

x (t )

x1 (t )

F1 (t )

y F (t )

x2 (t )

F2 (t )

Se puede ver que las matrices m , c , y k son matrices simétricas de 2 x 2 , así que

m

T

m,

c

T

c,

k

T

k

5.2 ACOPLAMIENTO DE COORDENADAS El propósito en esta ocasión es analizar cómo cambian las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico, cuando se escogen distintos sistemas de coordenadas que especifican su configuración. Con este fin se considera una barra rígida (ver figura 5.4) cuyo centro de masa es el punto G y apoyada sobre dos resortes con diferente rigidez.

Se tomará la posición de equilibrio estático como posición de referencia, y, como coordenadas, el desplazamiento lineal x de un punto arbitrario de la barra o y la rotación de la barra alrededor de dicho punto (ver figura 5.2).

Bajo la hipótesis de pequeños desplazamientos, se pueden escribir las ecuaciones de Newton, obteniéndose: k1 ( x l3 ) k2 ( x

l4 )

maG

(5.6)

como: xG

x

(l1

l3 )

se cumple:

aG x (l1 l3 ) sustituyendo este último resultado en (5.6) y, después de ordenar, se tiene: mx m(l1 l3 ) (k1 k2 ) x (l4 k2 l3k1 ) 0 (5.7)

En general, la ecuación que describe la rotación plana de un cuerpo rígido alrededor de un punto arbitrario O es: (5.8) M o k I o k mOG xao donde k se refiere a un vector unitario perpendicular al plano del movimiento, e I o es el momento de inercia del sistema respecto a . Aplicando (5.8) al problema en cuestión se obtiene, después de ordenar:

m(l1 l3 ) x

Io

(k2l4

(k1l32

k1l3 ) x

k2l42 )

0

(5.9)

o sea, en forma matricial, la ecuación del movimiento será:

m m(l1

m(l1 l3 )

l3 ) x

Io

k1 k2 l4

k2 k1l3

l4 k2

l3 k1

2 1 3

2 2 4

kl

x

0

kl

(5.10)

Como las ecuaciones que describen el movimiento (5.7) y (5.9) se expresan simultáneamente en función de x(t ) y (t ) , estas variables estarán relacionadas entre si. Entonces se dice que el movimiento de las masas está acoplado.

1.

Acoplamiento estático

El punto o coincide con el centro de masa G , o sea, l1

l3

y

l2

l4

En este caso, la ecuación del movimiento (5.10) se reduce a:

m 0

0 Io

x

k1 l2 k2

k2

l2 k2 2 11

l1k1 k l

l1k1 2 2 2

kl

x

0

(5.11)

Es evidente que las coordenadas x y están relacionadas entre si por el término l2 k2 l1k1 , llamado término de acoplamiento. Si l1k1 l2 k2 , el término de acoplamiento desaparece y así x y son independientes entre si, o sea, una fuerza aplicada en el centro de masa no produce rotación de la barra, mientras que la acción de un par alrededor del centro de masa, produce una rotación pura, por lo tanto, el centro de masa no se desplaza*. Si l1k1 l2 k2 , encontramos que una fuerza aplicada en G, produce simultáneamente un desplazamiento lineal x y una rotación. Consecuentemente un par aplicado alrededor del centro de masa, genera simultáneamente desplazamientos x y . Este tipo de acoplamiento es conocido con el nombre de acoplamiento estático (acoplamiento elástico) y se reconoce por que la matriz de inercia es diagonal y la de elasticidad no lo es. *

Obsérvese que en este caso la matriz de elasticidad es diagonal.

2.

Acoplamiento Dinámico

l3 k2 o sea, si aplicamos una fuerza en el punto l4 k1 o normal a la barra, el movimiento del sistema será de traslación pura. En este caso la ecuación del movimiento será: El punto o se selecciona de forma que

m m(l1

m(l1 l3 )

l3 ) x

Io

k1

k2

0 2 13

o

kl

x

0

2 2 4

kl

(5.12)

Es evidente que el acoplamiento es debido al término l1 l3 el cual aparece en los elementos de la matriz de inercia no pertenecientes a la diagonal principal. Este tipo de acoplamiento puede interpretarse físicamente de la siguiente forma: si aplicamos una fuerza en el punto o se generan simultáneamente un desplazamiento lineal x y un desplazamiento angular . Lo mismo sucederá cuando se aplique un par en el punto o . Este tipo de acoplamiento es llamado acoplamiento dinámico y se le reconoce porque la matriz de elasticidad es diagonal, mientras que la matriz de inercia no lo es.

3.

Caso general

Si el punto o no coincide con los estudiados previamente, la ecuación del movimiento tendrá la forma (5.10). Debe observarse que las matrices de inercia y elasticidad no son diagonales, lo que establece simultáneamente la existencia de acoplamiento estático y dinámico, o sea, un efecto combinado de los estudiados en las secciones 1 y 2. Es posible encontrar un sistema de coordenadas con ninguna forma de acoplamiento. Cada ecuación puede entonces ser resuelta independientemente. Tales coordenadas son las coordenadas principales (también llamadas coordenadas normales). Aunque es siempre posible desacoplar las ecuaciones de movimiento para el sistema no amortiguado, esto no es siempre posible en el sistema amortiguado. Las siguientes ecuaciones matriciales muestran un sistema que no tiene acoplamiento estático ni dinámico pero las coordenadas están acopladas por la matriz de amortiguamiento.

m11 0

0

x1

m22 x2

c11

c12

x1

k11

c21 c22 x2

0

0

x1

k22 x2

0

Si en la ecuación de arriba c12 c21 0 se dice que el amortiguamiento es proporcional (a la matriz de rigidez o de masa) y, las ecuaciones del sistema se desacoplan.

5.3

PROPIEDADES ORTOGONALES

Los modos normales, o los vectores propios del sistema, son ortogonales con respecto a las matrices de masa y de rigidez. Sea la ecuación para el modo i-ésimo (5.13) KX i i MX i Multiplicando por la transpuesta del modo j (5.14) X j KX i i ( X j MX i ) Ahora, para el modo j y multiplicando por X i para obtener

X i KX j

j

( X i MX j )

(5.15)

como K y M son matrices simétricas, se cumplen las siguientes relaciones

X j MX i

X i MX j

X j KX i

X i KX j

(5.16)

Así, restando la Ec. (5.15) de la Ec. (5.14), obtenemos

0 Si

i

j,

(

i

j

) X i MX j

(5.17)

la Ec. (5.17) requiere que

X i MX j

0

(5.18)

Es también evidente de la Ec. (5.14) o (5.15) como consecuencia de la Ec. (5.18) (5.19) X i KX j 0 Las Ecs. (5.18) y (5.19) definen el carácter ortogonal de los modos normales. j , la Ec. (5.17) se satisface para cualquier valor finito de los Finalmente, si i productos dados por las Ecs. (5.18) o (5.19). Entonces:

X i MX i

Mi

X i KX i

Ki

(5.20)

Estas son la masa generalizada y la rigidez generalizada respectivamente. MATRIZ MODAL Anteriormente vimos que el acoplamiento estático o dinámico resulta de la escogencia de coordenadas y que, para un sistema amortiguado, existe un conjunto de coordenadas principales que expresará las ecuaciones de movimiento, en la forma no acoplada. Tales coordenadas no acopladas son deseables puesto que cada ecuación puede resolverse independientemente. Para un sistema con muchos grados de libertad y masa concentradas, las coordenadas escogidas en cada punto-masa generarán una matriz de masa no diagonal pero, la matriz de rigidez contendrá términos no diagonales, indicando acoplamiento estático. Las coordenadas escogidas en otra forma pueden conducir a acoplamiento dinámico o mixto. Es posible desacoplar las ecuaciones de movimiento de un sistema con n- grados de libertad, siempre que conozcamos previamente los modos normales del sistema. Cuando se arreglan los n modos normales ( o vectores propios) en una matriz cuadrada, con cada

modo normal representado por una columna, la llamamos la matriz modal P. Así , la matriz modal para un sistema con tres grados de libertad puede aparecer como:

x1 x2

P

x3

x1 x2 1

x3

x1 x2 2

x3

X1

X2

X3

(5.21)

3

La matriz modal hace posible inducir todas las relaciones de ortogonalidad de la sec. 5.3 en una ecuación. Para esta operación necesitamos también la transpuesta de P , que es

P

( X1

X2

X 3 )1

( X1

X2

X 3 )2

( X1

X2

X 3 )3

X1

X2

X3

(5.22)

Cada fila representando un modo. Si formamos ahora el producto P MP o P KP, el resultado será una matriz diagonal puesto que, los términos fuera de la diagonal expresan simplemente las relaciones de ortogonalidad, que son nulas. Como ejemplo tenemos un sistema con dos grados de libertad. Realizando la operación indicada con la matriz modal, tenemos,

P MP

X1

X 2 M X1

X 1 MX 1

X 1 MX 2

X 2 MX 1

X 2 MX 2

M1 0

X2 (5.24)

0 M2

En la ecuación anterior, los términos por fuera de la diagonal son nulos por razones de ortogonalidad y, los términos diagonales son la masa generalizada M. Es evidente que una formulación similar se aplica también a la matriz de rigidez K que resulta en la siguiente ecuación,

P KP

K1

0

0

K2

(5.25)

Los términos diagonales son la rigidez generalizada K i . Si cada una de las columnas de la matriz modal P se divide por la raíz cuadrada de la masa generalizada M i , la nueva matriz es la matriz modal reducida y se la designa por P. Se ve fácilmente que la diagonalización de la matriz de masa por la matriz modal reducida resulta en la matriz unitaria. P MP I (5.26) 1 Como M i Ki i , la matriz de rigidez tratada similarmente por la matriz modal reducida se convierte en la matriz diagonal de los valores propios.

....

1

P KP

0

2

0

...

0

...

0

(5.27)

n

5.4 VIBRACIÓN LIBRE Para el análisis de vibración libre del sistema que se muestra en la figura 5.3, establecemos ( ) ( ) Además, si se omite el amortiguamiento, la ecuación de movimiento (5.1) se reduce a

m1 x1 (t )   k1  k2  x1 (t )  k2 x2 (t )  0 m2 x2 (t )  k2 x1 (t )   k2  k3  x2 (t )  0

(5.28)

Nos interesa saber si y pueden oscilar armónicamente con la misma frecuencia y ángulo de fase pero con diferentes amplitudes. Suponiendo que sea posible tener movimiento armónico de y a la misma frecuencia y al mismo ángulo de fase , consideremos las soluciones del sistema (5.28) como

x1 (t )  X 1 cos( t   )

(5.29)

x2 (t )  X 2 cos( t   )

Donde X 1 y X 2 son constantes que indican las amplitudes máximas de x1 (t ) y x2 (t ) y



es el ángulo de fase. Sustituyendo (5.29)

en las ecuaciones (5.28), obtenemos

m1 2   k1  k2  X 1  k2 X 2  cos  t     0  

 k2 X 1  m2 2   k2  k3  X 2  cos  t     0  

(5.30)

Dado que la ecuación (5.30) debe satisfacerse para todos los valores del tiempo t , los términos entre paréntesis rectangulares deben ser cero. Esto resulta en

m    k  k  X  k X  0 k X  m    k  k  X  0 2

1

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

3

(5.31)

2

Las cuales representan dos ecuaciones algebraicas homogéneas simultáneas en las incógnitas X 1 y X 2 . Se ve que la solución trivial X1  X 2  0 , satisface la ecuación (5.31), lo que implica que no hay vibración. Para una solución no trivial de X 1 y X 2 , el determinante de los coeficientes de X 1 y X 2 debe ser cero

m    k 2

1

1

 k2 

 k2 o

k2

m2 2   k2  k3 

0

 m1m2  4   k1  k2  m2   k2  k3  m1 2   k1  k2   k2  k3   k22   0

(5.32)

La ecuación (5.32) se conoce como ecuación de frecuencias o característica porque su solución produce las frecuencias o los valores característicos del sistema. Las raíces de la ecuación (5.32) están dadas por

1   k1  k2  m2   k2  k3  m1   2 m1m2 

12 , 22  

1/2

2   k1  k2   k2  k3   k22  1    k1  k2  m2   k2  k3  m1     4  2  m1m2 m m  1 2   

(5.33)

Esta es la solución armónica no trivial de la forma de la ecuación (5.29) cuando  es igual a 1 y 2 dadas por la ecuación (5.33). Llamamos 1 y 2 a las frecuencias naturales del sistema. Los valores de X 1 y X 2 aún no se han calculado. Estos valores dependen de las

1 y 2 . Indicaremos los valores de X 1 y X 2 correspondientes a (2) (2) 2 2 (1) y X 2 y los correspondientes a 2 como X 1 y X 2 . Para   1 y

frecuencias naturales

1 como X 1(1)  2  22 , la ecuación (5.31) indica

2 X 2(1) m11   k1  k2  k2 r1  (1)   X1 k2 m212   k2  k3 

r2 

X X

(2) 2 (2) 1

m122   k1  k2  k2   2 k2 m22   k2  k3 

(5.34)

Observe que las dos relaciones para cada ri (i  1,2) en la ecuación (5.34) son idénticas. Los modos normales de vibración correspondientes a respectivamente, como

12 y 22 se pueden expresar,

X

(1)

 X 1(1)   X 1(1)    (1)    (1)   X 2  r1 X 1 

X X (2)   X (1)

(2) 1 (2) 2

  X   r X

(2) 1 (2) 2 1

(5.35)

  

(2)

Los vectores X y X , los cuales indican los modos normales de vibración, se conocen como vectores modales del sistema. La solución de vibración libre o el movimiento en el tiempo se puede expresar, utilizando la ecuación (5.29), como

 x1(1) (t )   X 1(1) cos 1 (t )  1   x (t )   (1)    (1)   primer modo  x2 (t )  r1 X 1 cos 2 (t )  1   (1)

 x (t )   X cos 1 (t )  2   x (2) (t )      segundo modo r X cos  ( t )   x ( t )    2 2     (2) 1 (2) 1 1

(2) 1 (2) 2

(5.36)

Donde las condiciones iniciales determinan las constantes X1 , X1 ,1 y 2 . (1)

5.5

(2)

VIBRACION ARMONICA FORZADA Y ABSORCIÓN DE VIBRACIONES

Consideremos aquí un sistema excitado por una fuerza armónica F1 sen t . Suponiendo que la ecuación de movimiento es

m1

0

x1

0

m2 x2

k11

k12

x1

F1 sen t 0

k21 k22 x2

(5.37)

Consideremos que la solución es

x1

A1

x2

A2

sen t

Sustituyendo en la primera ecuación , se obtiene

(k11

m1

2

)

k21

k12 (k22

m2

2

A1 A2

F1 0

o en notación más simple

Z( ) Multiplicando por Z ( )

1

, obtenemos

A1 A2

F1 0

(5.38)

A1

Z( )

A2

F1

1

F1

adj Z ( )

0

0

(5.39)

Z( )

El determinante Z ( ) de la Ec. (6.5-2) puede expresarse como

en donde será

Z( ) y 1

A1 A2

m1m2 ( 2

2 1

2

2 2

)(

2

)

(5.30)

son las frecuencias naturales modales normales. Así la Ec. (5.39) 2

1 (k22 m2 Z( ) k21

F1

k12 (k11

m1

2

(5.40)

) 0

o

(k22 m1m2 ( 12

A1 A2

m1m2 (

2 1

m2 2

2

) F1

)(

2 2

2

k12 F1 2 )(

2 2

2

)

(5.41)

)

Ejemplo 1. Aplique las Ecs. (5.33) al sistema mostrado en Fig. (5.6) cuando se excita a m1 con

F1 sen t. Grafique su curva de respuesta de frecuencia.

Solución:

La ecuación de movimiento en forma de matricial es

m 0 x1 0 m x2 Si tenemos k11 conducen a

k22

2k ; k12 A1 A2

2k k

k21

k; (2k

m2 ( 2

m (

k x1 2k x2

2 1

2 1

2 1

F1 sen t 0

k m y

m 2 ) F1 2 )( 22 kF1 2 )(

2 2

2

2 2

3k m, las Ecs. (5.41)

)

2

)

Es conveniente aquí desarrollar las ecuaciones anteriores en fracciones parciales. Para A1 obtenemos

(2k 2

m (

2 1

m 2 ) F1 2 )( 22

Para obtener C1 , multiplicando por (

C1

C1 2

)

(

2 1

2

C2 2

)

2 2

(

) y hacemos 2 1

(2k m m2 ( 22

) F1 2 1) 2

2 2

(2k m m2 ( 12

F1 2m

) F1 2 2)

1 2 1

) y haciendo

F1 2m

F1 1 2k 1 (

1 2

2 2

2

1 1

)

2

3 (

1

)2

Tratando a C2 en la misma forma, obtenemos

A2

F1 1 2k 1 (

1 1

)2

)

1

Una forma alternativa de A1 es entonces

A1

2

F1 2m

2 2

Análogamente para C2 , multiplicando por (

C2

2 1

3 (

1

)2

La curva de respuesta de frecuencia se muestra en la Figura 5.7.

2

Absorbedor de vibración Cuando una máquina elásticamente unida a su base mediante resortes, opera a una frecuencia cercana a la frecuencia natural del sistema, la fuerza transmitida a la fundación es excesiva. Con el fin de minimizar este efecto, se emplea un amortiguador dinámico, el cual consiste de un sistema vibratorio acoplado a la máquina que tiende a cancelar la fuerza de excitación. La figura 5.8 ilustra un posible montaje del amortiguador y su sistema equivalente*

Las ecuaciones del movimiento serán:

m1 x1

(k1

k2 ) x1 m2 x2

k2 x2 k2 x1

Fe sen t k2 x2

(5.42)

0

o sea en forma matricial:

m1

0

x1

0

m2 x2

k1

k2 k2

k2 x1 k2

Fe sen t 0

x2

(5.43)

Para obtener la solución permanente emplearemos el método de los vectores complejos, reemplazando:

x1

por

X1, x2

por

X2

y Fe sen t

por

F

obteniéndose:

k1

k2

m1 k2

*

2

k2 k2

m2

2

X1 X2

F 0

(5.44)

Realmente si el sistema vibratorio consiste en una máquina recíprocante, la fuerza de excitación corresponde a una expresión más compleja, sin embargo, es usual admitir la expresión indicada como una buena aproximación del fenómeno en estudio.

Invirtiendo podemos establecer que:

X1 X2 donde

1 k2

2

m2

F

k2

k2

k1

k2

m1

2

0

(5.45)

representa el determinante característico:

k1

k2

m1

2

k2

k2

k2

m2

(5.46)

2

Entonces:

X1 X2

k2 k2

m2

2

F, (5.47)

F,

y considerando solamente las partes imaginarias podemos concluir:

x1 x2

Im X1 Im X 2

k2 k2

m2

2

Fe sen t , (5.48)

Fe sen t

Estas expresiones indican que cuando k2

m2 x1 (t ) 0

2

0 se cumple

k22 x2

Fe sen t k2

o sea, cuando el sistema amortiguador se diseña de forma que k2

m2

2

0 se verifica

que la masa m1 no se desplaza, siendo nula la fuerza transmitida a la fundación. Por otro lado la fuerza transmitida a través del resorte k 2 es :

Fk2

k2 x2

k2 (

Fe sen t ) k2

Fe sen t.

(5.49)

Físicamente esto significa que el movimiento del amortiguador m2 está 180o fuera de fase respecto a la fuerza de excitación, y la fuerza, debido a la deformación del resorte k 2 , es igual y opuesta a la fuerza de excitación.

Efecto del tamaño de la masa del amortiguador El propósito del amortiguador dinámico es reducir al mínimo las vibraciones del sistema

k1 o sea, cuando m1

original m1 , k1 cuando opera a una frecuencia cercana a

k1 m1

. Además se ha demostrado aquí que cuando se diseña el amortiguador de manera que

k2 m2

, la amplitud de la masa m1 es nula. Es obvio entonces que un amortiguador

dinámico no amortiguado se diseña de forma que

k1 k2

k2 . m2

Por otro lado, el determinante característico ( 6.6-5 ) puede expresarse como:

k1

k2

2

m1

k2

k2 donde

1

y

2

k2

m2

2

m1m2 (

2

2 1

)(

2

2 2

),

son las frecuencias fundamentales del sistema libre asociado.

Entonces, de las expresiones para las amplitudes de m1 y m2 (5.48), se observa que existen dos frecuencias de resonancia, designadas por

1

y

2

para las cuales, la amplitud de m1 ,

así como la de m2 se hace infinita (ver figura 5.9).

Como es sabido, estas frecuencias de resonancia se encuentran igualando a cero el determinante característico:

(k1

k2

m1

2

)(k2

m2

k2 m2 k1 k2

m1 m2

2

)

k22

2

1

0

ecuación ésta que puede reducirse a:

m1m2 k1k2

4

1

0

y, si suponemos

k1 m1

k2 se verifica que: m2 k1 m1

*

k2 m2

k1 k2

m2 2 r m1

1

m1 m2

pudiéndose concluir que:

r4

2

0

en donde:

r

*

Obsérvese que esta ecuación permite determinar las frecuencias de resonancia en función de la relación de masa. Si los resultados así obtenidos se representan gráficamente, se obtiene la siguiente curva (ver figura 5.10).

Para concluir es conveniente destacar que los amortiguadores de vibración pueden usarse solamente cuando la frecuencia de la excitación es constante, puesto que éstos son efectivos a la frecuencia natural del sistema amortiguador. Así, los amortiguadores de vibraciones son adecuados para máquinas sincrónicas y aparatos que operan con corriente alterna de frecuencia constante. En el caso de sistemas de velocidad variable, por ejemplo, motores de combustión interna, el empleo de amortiguadores de vibraciones descrito no es adecuado, puesto que en el lugar de una frecuencia de resonancia existen dos frecuencias de resonancia.