Solucionario

SOLUCIONARIO

Sistemas de medida y regulación UNIDAD DIDÁCTICA 1. Introducción a los sistemas secuenciales programables Actividades de comprobación 1.1. c) 1.2. d) 1.3. b) 1.4. d) 1.5. c) 1.6. c) 1.7. a) 1.8. b) 1.9. d) 1.10. b). La opción d) también podría ser considerada como válida. Actividades de aplicación 1.1.

Tres ejemplos posibles serían los siguientes: A modo de ejemplo, podrían considerarse sistemas como: a) Horno industrial: se actúa en el sistema a través de una resistencia (acción de control) que permite modificar la variable controlada, que es el sistema. El objetivo, obviamente, es seguir una determinada referencia en temperatura. b) Control del movimiento de las articulaciones en un brazo robótico. La señal de control en este caso es la señal eléctrica que se proporciona al actuador, que podría ser, por ejemplo, un motor. La variable controlada sería la posición de la articulación, por ejemplo, el ángulo de giro. El objetivo es que el brazo quede configurado en una determinada posición, lo que exige que cada articulación del mismo regule su posición hasta una determinada referencia. c) Intercambiador de calor. En muchos procesos industriales se debe controlar la temperatura de reactores en los que se llevan a cabo reacciones químicas. Una manera de lograrlo es utilizar un tubo en contacto con el tanque a través del cual circula un líquido cuyo flujo puede ser controlado. De este modo se efectúa un intercambio de calor entre el flujo y el tanque que puede ser aprovechado para lograr el objetivo considerado. En este caso, la acción de control es el flujo del líquido que circula por el tubo, y la variable controlada es la temperatura en el reactor.

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Sistemas de medida y regulación 1.2. En efecto, se puede considerar como un problema de control en el que se desea regular una cantidad, el stock, a un cierto nivel de referencia (por ejemplo, el nivel de stock de seguridad para evitar desabastecimientos entre pedidos). La demanda de los clientes puede verse como una perturbación desconocida. La acción de control consiste en el número de unidades que se adquieren (o devuelven) al proveedor. No obstante, cabe señalar que el tiempo de muestreo de este sistema sería relativamente elevado, lo que, en función del caso considerado, podría generar un cierto solape con los problemas propios de otras áreas de conocimiento más relacionadas con la gestión. 1.3.

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (1), se tiene:

A (sH(s)-h(0)) = Qi(s)-H(s)/R. Por simplicidad, asumiremos condiciones iniciales nulas, esto es, h(0)=0. Reordenando la ecuación, se tiene: H(s) (As+1/R) = Qi(s). Lo que lleva a la función de transferencia: G(s)=H(s)/Qi(s)=1/(As+1/R). Como puede verse, se trata de un sistema de primer orden, pues tiene un único polo, cuya posición viene determinada por el valor de s que verifica As+1/R = 0. Por tanto, el polo se encuentra en s = -1/(AR), lo que implica que la posición del mismo queda determinada únicamente por estos dos parámetros del sistema. 1.4. La señal de entrada referida es un impulso o delta de Dirac. Cuando se aplica a la entrada de un sistema, se obtiene una salida que viene dada por Y(s) = G(s), es decir, y(t) = g(t). Como trabajamos con sistemas lineales e invariantes en el tiempo, se puede aprovechar el conocimiento de g(t) para calcular la salida del sistema ante otras entradas. En concreto, se aprovecha para ello el hecho de que una señal de entrada puede expresarse como una suma de impulsos escalados y desplazados en el tiempo. Por tanto, la salida del sistema podrá expresarse como la suma correspondiente de funciones g(t) escaladas y desplazadas en el tiempo. 1.5. El método de Euler se utiliza para resolver una ecuación diferencial de forma numérica, aprovechando que una derivada puede aproximarse como un cociente entre dos cantidades infinitesimales. Por ejemplo, la ecuación (1) nos dice que para el tanque de la Figura 1.6. se tiene: A dh/dt = qi – h/R.

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Sistemas de medida y regulación La clave es comprender que dh/dt puede aproximarse como (h(t+inct) – h(t))/inct, donde inct es un intervalo de tiempo que se relaciona con la exactitud en la aplicación del método. En principio, y salvo que aparezcan problemas numéricos, cuanto más pequeño sea este valor mejor será la aproximación proporcionada para la solución. Aplicando esta aproximación, se tiene que: A (h(t+inct) – h(t))/inct = qi – h(t)/R. h(t+inct) = inct(qi – h(t)/R)/A + h(t). Por ejemplo, si inct = 1, a partir del conocimiento de h(0) y qi, podría calcularse h(1). Asimismo, conocido h(1), puede conocerse h(2). Por tanto, aplicando recursivamente la ecuación anterior puede calcularse la evolución de h(t) a través del tiempo. 1.6. Los sistemas son s y 1/s (un derivador y un integrador). El sistema G(s) = s se corresponde con un derivador ideal. Por tanto, la salida del sistema es la derivada de la señal de entrada. En cuanto a G(s) = 1/s, se trata de un integrador, de modo que la salida del sistema es la integral de la señal de entrada. 1.7. Este problema es un anticipo de lo que se estudia en el tema 4, por lo que su comprensión resulta fundamental para entender correctamente los contenidos del mencionado tema. a) Sea sistema en bucle abierto GBA(s) = C(s)G(s), es decir, el producto del controlador en serie con el sistema, se tiene que: Y(s)=R(s)GBA(s)/(1+GBA(s)). Puede consultarse la sección 4.1. del libro para ver la demostración. Ahora, teniendo en cuenta que E(s) = R(s) – Y(s), se tiene que: E(s)=R(s)/(1+GBA(s)). b) Tal y como se indicó en el apartado anterior, la función de transferencia en bucle abierto se define como GBA(s) = C(s)G(s). c) La función de transferencia en bucle cerrado, que denotaremos como GBC(s), se define como: GBC(s) = Y(s)/R(s) = GBA(s)/(1+GBA(s)). El cálculo es directo a partir del apartado a).

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Sistemas de medida y regulación d) Como puede verse, el hecho de cerrar el lazo cambia la dinámica con respecto a la referencia proporcionada al sistema. El objetivo de la realimentación negativa no es otro que el hacer 0 la entrada del controlador, una vez que la referencia y la salida se igualan. Es decir, la realimentación negativa permite alimentar al controlador con la diferencia entre lo que se pretende y lo que se tiene. e) A partir del problema 3, se tiene que G(s) = 1/(As+1/R) para el tanque. Por otro lado, el enunciado indica que C(s) = K. Ello lleva a que: GBA(s) = K/(As+1/R). La sustitución no se desarrolla por ser directa. Asimismo, GBC(s) = K/(As+1/R)/(1+ K/(As+1/R)). GBC(s) = K/(As+1/R+ K). Por tanto, Y(s) = GBC(s)R(s) y E(s) = R(s) – Y(s). f) Para resolver este problema, es necesario asumir algún valor para A y R. Por simplicidad, se tomará R = A = 1, lo que lleva a: GBC(s) = K/(s+1+K). Aquí puede verse claramente que la ubicación del polo se desplaza hacia valores más negativos de s a medida que K crece, ya que su ubicación es: s = -(1+K) Esta misma relación es el patrón que pide el apartado. Sustituyendo por los valores de K del enunciado se tienen las posiciones deseadas. 1.8.

En este caso, se tiene:

GBA(s) = K/(s2+s+1). Lo que lleva a que: GBC(s) = K/(s2+s+1+K). Por tanto, Y(s) = GBC(s)R(s) y E(s) = R(s) – Y(s).

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Sistemas de medida y regulación En cuanto a las posiciones de los polos, estos son complejos para cualquiera de los valores de K considerados. En concreto, se obtiene: K = 0,1 -> s = -0,5000 +/- 0,9220i. K = 1 -> s = -0,5000 +/- 1,3229i. K = 10 -> s = -0,5000 + 3,2787i. K = 100 -> s = -0,5000 +/-10,0374i. Como puede verse, los polos se hacen cada vez más complejos con el aumento de la ganancia en este sistema.

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Sistemas de medida y regulación UNIDAD DIDÁCTICA 2. Sensores y acondicionadores de señal Actividades de comprobación 2.1. b) 2.2. b) 2.3. c) 2.4. a) 2.5. d) 2.6. d) 2.7. c) 2.8. b), c) 2.9. b) 2.10. b), c) Actividades de aplicación 2.1. La resolución se define como la mínima variación de la señal de entrada necesaria para que varíe la señal de salida del instrumento. Con 10 bits pueden codificarse 1024 valores diferentes. Si la codificación distribuye homogéneamente todas estas combinaciones entre 0 y 100 grados, se tiene que cada valor binario se diferencia del contiguo en 100/1024 = 0.0977 grados. Por tanto, cualquier variación inferior a esta cantidad podría codificarse con el mismo dígito binario, lo que lleva a que puedan considerarse 0.0977 grados en valor absoluto o 0.1 % como porcentaje aproximado del fondo de escala del instrumento. 2.2. Un sistema de regulación en lazo abierto no requiere de medida alguna de las variables del proceso, por lo que no sería necesario. Un sencillo ejemplo de sistema que trabaja en bucle abierto es el microondas, que mantiene constante su potencia durante el tiempo indicado al programarlo con independencia de la temperatura o del grado de cocción del alimento. 2.3. En este caso, se trata de buscar las palabras clave “Process and Instrumentation Diagram”, que deberían llevar a resultados de interés. Alternativamente, puede buscarse normativa específica, como la de ANSI/ISA S5.1-1984 (R 1992), que trata sobre Instrumentation symbols and identification. En cuanto a las letras, generalmente se presentan en un formato XYZ, donde X se relaciona con la magnitud medida (por ejemplo, P es presión; L nivel; F flujo; y T temperatura) e Y y Z especifican la función del componente o bien modifican de alguna manera el significado de la primera letra (por ejemplo, I es indicador; R, registrador; C, controlador; y T es transmisor). Así, un símbolo con las letras TI será simplemente un indicador de temperatura.

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Sistemas de medida y regulación 2.4. Lo más sencillo en este caso es buscar la web de algún suministrador de instrumentación industrial y examinar los productos relacionados. Por ejemplo, la web de Omega ofrece numerosas alternativas basadas en diferentes fundamentos físicos para la medida: https://es.omega.com/section/caudalimetros-rotametros-area-variable.html Este ejercicio es bueno además para realizar conversiones entre diferentes unidades de medida, pues no es raro que las hojas de especificaciones presenten las características en unidades diferentes a las del enunciado. 2.5. Una búsqueda en Internet con las palabras “pt100 temperature sensor datasheet” conduce fácilmente a numerosos resultados que pueden ser analizados usando los conceptos presentados en el tema. 2.6.

El termopar tiene la siguiente la siguiente característica: 𝑉 = −3 · 102 + 8,2 · 𝑇 + 10−3 𝑇 2

La PT-100 tiene como ecuación: 𝑅(𝑇) = 100(1 + 0,00385 · 𝑇) Si este mide 107,7 , la temperatura de la unión fría será: 0,077 = 20 ℃ 0,00385 Luego, la tensión medida será: 𝑉𝑚 = 𝑉𝐴𝐵 (𝑇) − 𝑉𝐴𝐵 (𝑇0 ) 𝑉 = +8,2 · 𝑇 + 10−3 𝑇 2 − 8,2 · 𝑇0 − 10−3 𝑇02 = 4,64 𝑉 2.7.

El tacómetro digital tiene una resolución de: 3000 = 11,811 28 − 1

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Sistemas de medida y regulación Si la velocidad de 3000 r.p.m. se corresponde al valor 28 − 1 = 254, el valor medido de 1750 r.p.m. se correspondería con: 1750 · 254 = 148,16 3000 Como debe ser entero, el valor 1750 r.p.m. se corresponde con el estado 148. Como la resolución es 11,811, el valor medido será 148·11,811 = 1748,03  1748 r.p.m. Si V es la velocidad en r.p.m. y S, la salida de este en mA, el tacómetro tiene una característica igual a: 16 · 𝑉 +4=𝑆 3000 Si la velocidad medida es de 1748 r.p.m., tendremos que: 16 · 1748 + 4 = 13,32 (𝑚𝐴) 3000 Para acoplar al PLC, se tiene un convertidor 0-20 mA a 0-10 V, luego la salida de este dará: 13,32 = 6,66 (𝑉) 2 Como las entradas del PLC son de 12 bits y de 0-10 V, el valor de 10 V se corresponderá al número 212 = 4096; así pues, el valor de 6,66 V se corresponderá con: 4096 · 6,66 = 2703,36 10 Como el número debe ser entero, será el 2703, es decir, 101010001111 en binario o A8F en hexadecimal.

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Sistemas de medida y regulación UNIDAD DIDÁCTICA 3. Actuadores y preactuadores industriales Actividades de comprobación 3.1. a) 3.2. b) 3.3. a) 3.4. b) 3.5. a) 3.6. b), d) 3.7. b) 3.8. c) 3.9. a) 3.10. b) Actividades de aplicación 3.1. Lo primero que debe calcularse es la intensidad nominal del motor. Usamos para ello la siguiente fórmula: 𝐼=

𝑃 √3 · 𝑉 · 𝜂 · cos 𝜙

=

5 · 736 √3 · 400 · 0,82 · 0,86

= 7,53 𝐴

Con esa intensidad, que es a la que va a trabajar el motor, calculamos el voltaje que debemos superar a bajas frecuencias, al cual llamamos Vboost, que será igual al que cae en los devanados del estator: 𝑉𝑏𝑜𝑜𝑠𝑡 = 7,53 · 𝑅𝑆 = 2,08 𝑉 Esta será la tensión a frecuencia nula. Para tener el par nominal a 25 Hz, debe mantenerse la proporcionalidad del cuadrado de la tensión respecto al cuadrado de la frecuencia. Así pues: 𝑉 2 4002 2002 𝑇≈ 2= = = 64 𝑓 502 252 Si queremos que el par se duplique a 25 Hz, tendremos que: 𝑉2 𝑉2 2𝑇 ≈ 2 2 = 2 = 128 → 𝑉 = √128 · 252 = 282,8 𝑉 𝑓 25 Y esa será la tensión a frecuencia intermedia (25 Hz). A la frecuencia máxima (50 Hz) dejaremos el par nominal, así pues, fijamos la tensión a la frecuencia máxima a 400 V. El resultado quedaría:

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Sistemas de medida y regulación Tensión a frecuencia nula: 2,08 V. Tensión a frecuencia intermedia: 282,8 V. Tensión a máxima frecuencia: 400 V. Frecuencia intermedia: 25 Hz. Frecuencia máxima: 50 Hz. 3.2. Para bajar a la mitad del par a frecuencias inferiores a 25, la tensión a esa frecuencia debe ser: 0,5𝑇 ≈ 0,5

𝑉2 𝑉2 = = 32 → 𝑉 = √32 · 252 = 141,4 𝑉 𝑓 2 252

Así pues, el resultado queda ahora como: Tensión a frecuencia nula: 2,08 V. Tensión a frecuencia intermedia: 141,4 V. Tensión a máxima frecuencia: 400 V. Frecuencia intermedia: 25 Hz. Frecuencia máxima: 50 Hz. 3.3. Se usará la fórmula: 𝑃𝑣 Δ𝑃𝐶 = 𝐶𝑓2 (𝑃1 − 𝑃𝑣 (0,96 − 0,28√ )) 𝑃𝑐 Obteniendo de internet la presión de vapor del agua, Pv=0,312 bar y sustituyendo los valores, tenemos:

Δ𝑃𝐶 = 0,92 (3,5 − 0,312 (0,96 − 0,28√

0,312 )) = 2,59 221,2

Como la pérdida de carga es: Δ𝑃 = 3,5 − 1 = 2,5 < Δ𝑃𝐶 = 2,59 No se supera la caída de presión crítica, así pues la válvula se elige con: 𝐾𝑉𝑆 =

𝑊𝑚á𝑥 0,53 · √𝛿(𝑃1 − 𝑃2 )

=

1000 0,53 · √1000 · 2,5

= 37,73

3.4. La respuesta viene en el texto del capítulo.

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Sistemas de medida y regulación 3.5. Para el caudal másico tenemos:

𝐾𝑉𝑆 =

𝑊 𝑇 ·𝑍 √ 1 1,85 · 𝑃1 · 𝑌 𝑥 · 𝑀

Así pues, debemos calcular Y, mediante: 𝑌 = 1 − 0,33 𝑘

Donde 𝐹𝑘 = 1,4 y 𝑥 =

𝑃1− 𝑃2 𝑃1

𝑥 𝑥𝑇 · 𝐹𝑘

y xT=0,75 para válvulas de globo.

Sustituyendo valores: 𝐾𝑉𝑆 =

2000 66 · 0,98 √ = 967,94 1,85 · 3,01 · 0,75 0,5 · 64

3.6. En la unidad 1, vimos cómo la función de transferencia que ligaba el desplazamiento de un sistema mecánico con la fuerza aplicada tenía la forma: 𝑋(𝑠) =

𝑀𝑠 2

1 𝐹(𝑠) + 𝑏𝑠 + 𝐾

Si la fuerza aplicada es un escalón unitario: 𝑋(𝑠) =

𝑠(𝑀𝑠 2

1 + 𝑏𝑠 + 𝐾)

Y dándole la forma que tenemos para la válvula: 𝐾 1 𝑀 𝑋(𝑠) = 𝑏 𝐾 𝑠 (𝑠 2 + 𝑀 𝑠 + 𝑀) 𝐾 𝑏

Entonces, como 𝑀 = 17; 𝑏 = 17 · 10 = 170.

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Sistemas de medida y regulación UNIDAD DIDÁCTICA 4. Tratamiento de los datos: regulación automática Actividades de comprobación 4.1. d) (podría admitirse b), si se entiende que no hay controlador como tal) 4.2. b) 4.3. a), c) 4.4. c) 4.5. a) 4.6. a), d) 4.7. b), c), d) 4.8. a) 4.9. d) 4.10. b) Actividades de aplicación 4.1. La salida de un sistema de primer orden es: 𝑡

𝑦(𝑡) = 𝐾 (1 − 𝑒 −𝜏 ) donde  es la constante de tiempo del sistema. Para que la señal alcance el 50 % de su valor, debe verificarse que: 𝑡

(1 − 𝑒 −𝜏 ) = 0,5 es decir, 𝑡

𝑒 −𝜏 = 0,5 Tomando logaritmo en ambos lados de la igualdad, se tiene: 1 𝑡 = −𝜏 · ln(0,5) = −𝜏 · ln ( ) = 𝜏 · ln 2 2 Para llegar al 75 % de la respuesta, debe cumplirse que e(-t/) = 0,25, lo que lleva a 𝑡 = 𝜏 · ln 4, siguiendo un procedimiento análogo al ya expuesto. Ahora bien, como 4 es 2 al cuadrado, es posible expresar la cantidad de tiempo como 𝑡 = 2 · 𝜏 · ln 2. Es decir, el sistema tarda tanto tiempo en llegar del 50 % al 75 % como el empleado para ir del 0 % al 50 %, lo que es lógico dada la naturaleza de la función exponencial, cuya tasa de variación es proporcional a sí misma.

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Sistemas de medida y regulación 4.2. La transformada de una señal sen(t) es: 𝜔 𝑠2 + 𝜔2 Por tanto, la respuesta de un sistema G(s) será:

𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)

𝑠2

𝜔 + 𝜔2

Asumiendo que el sistema es de primer orden, esto es, G(s) = K/(s+p), por lo que: 𝑌(𝑠) =

𝐾 𝜔 (𝑠 + 𝑝) 𝑠 2 + 𝜔 2

Existen tablas de transformadas de Laplace que contienen la antitransformada de la señal anterior. En caso de no disponer de una así, puede simplificarse la expresión de Y(s) mediante la técnica conocida como descomposición en fracciones simples, que básicamente consiste en asumir que Y(s) puede ser descompuesta como: 𝑌(𝑠) =

𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶 + 𝑠2 + 𝜔2 𝑠 + 𝑝

Por tanto, debe cumplirse que: 𝐾𝜔 𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶 = + (𝑠 + 𝑝)(𝑠 2 + 𝜔 2 ) 𝑠 2 + 𝜔 2 𝑠 + 𝑝 Desarrollando un poco, se tiene: 𝐾𝜔 = (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠 + 𝑝) + 𝐶(𝑠 2 + 𝜔2 ) Dado que la igualdad debe cumplirse para todo valor de s, pueden tomarse algunos valores sencillos que simplifiquen el cálculo de A, B y C. Por ejemplo, si se usa s = -p puede cancelarse uno de los términos, lo que lleva a: 𝐾𝜔 = 𝐶(𝑝2 + 𝜔2 ) 𝐾𝜔

𝐶 = (𝑝2 +𝜔2 )

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Sistemas de medida y regulación Tomando ahora s = i*w, donde i denota que se trata de un número imaginario, se tiene: 𝐾𝜔 = (𝐴𝜔𝑖 + 𝐵)(𝜔𝑖 + 𝑝) = −𝐴𝜔2 + 𝐵𝜔 + 𝑖(𝐴𝜔𝑝 + 𝐵𝜔) Esta ecuación puede ser descompuesta en dos, una para la parte real y otra para la parte imaginaria. Comenzaremos por la parte imaginaria: 0 = 𝐴𝜔𝑝 + 𝐵𝜔 De modo que B = - A·p. Si nos centramos en la parte real y sustituimos B según lo anterior, se tiene: 𝐾𝜔 = −𝐴𝜔2 + 𝐵𝜔 = −𝐴𝜔2 − 𝐴𝑝𝜔 = −𝐴(𝜔2 + 𝑝𝜔) Por tanto, 𝐴=−

𝐾𝜔 𝜔 2 + 𝑝𝜔

Hallados A, B y C, se puede antitransformar, aplicando tres antitransformadas simples a: 𝑌(𝑠) =

𝐴𝑠 + 𝐵 𝐶 + 2 2 𝑠 +𝜔 𝑠+𝑝

En concreto, se tendrá un coseno relacionado con A, un seno con B y una exponencial decreciente con C, que no se muestran por ser inmediata su obtención a partir de las tablas. Naturalmente, este último término es el que desaparece al llegar al régimen permanente. 4.3. El problema pide especificaciones propias de la respuesta del sistema frente a una entrada en escalón, de modo que U(s) =1/s. Por otra parte, un sistema de segundo orden se suele representar como: 𝐺(𝑠) =

𝐾𝜔𝑛2 𝑠 2 + 2𝛿𝜔𝑛 + 𝜔 2

donde los parámetros n y  tienen gran importancia en la evolución temporal de la respuesta. En particular, n es la frecuencia natural no amortiguada del sistema y  es el coeficiente de amortiguamiento. K es la ganancia del sistema, que, por simplicidad, se asumirá igual a uno en lo que sigue. La respuesta temporal puede calcularse con una tabla de antitransformada, utilizando la función ilaplace de Matlab para un sistema dado, o bien analíticamente descomponiendo el sistema en fracciones simples. En este caso, usaremos por simplicidad una antitransformada tomada de una tabla, la cual nos dice que la antitransformada de:

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Sistemas de medida y regulación 𝑌(𝑠) = 𝑈(𝑠) · 𝐺(𝑠) =

𝜔𝑛2 𝑠(𝑠 2 + 2𝛿𝜔𝑛 + 𝜔 2 )

es 𝑦(𝑡) = 1 − 𝑒 −𝛿𝜔𝑛𝑡

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 √1 − 𝛿 2 + 𝜙) √1 − 𝛿 2

donde 𝜙 = arctan (

√1 − 𝛿 2 ) 𝛿

Analíticamente, el tiempo de establecimiento puede calcularse centrándonos en el término 𝑒 −𝛿𝜔𝑛𝑡 , que amortigua el término oscilante en el tiempo. Por ejemplo, la respuesta se ha asentado en torno al valor en régimen permanente con una variación máxima del 2 % cuando 𝑒 −𝛿𝜔𝑛𝑡 = 0,02, lo que sucede aproximadamente para t = 4 / n. En cuanto a la sobreoscilación, debe calcularse el tiempo de pico tp en primer lugar, que se define como el tiempo en el que la salida del sistema alcanza el primer máximo tras el escalón. En dicho instante se produce la máxima sobreoscilación y su valor puede calcularse calculando la derivada de y(t) y calculando para qué valor se hace 0, llegando a 𝜋 𝑡𝑝 = 𝜔𝑛 √1 − 𝛿 2 donde pi = 3,14159. Sustituyendo dicho instante en y(t), puede calcularse la desviación de la salida respecto al valor en régimen permanente, siendo esta, en tanto por uno, −𝛿𝜋

𝑒 1−𝛿2 Finalmente, cabe destacar que no todos los sistemas de segundo orden conducen a respuestas con transitorios en los que haya sobreoscilación. Por ejemplo, un sistema con dos polos reales no producirá este fenómeno. En general, diremos que un sistema es subamortiguado cuando haya sobreoscilación, lo que sucede cuando  < 1. En caso contrario, se dice que el sistema es sobreamortiguado ( > 1). 4.4. Las respuestas se encuentran en la Tabla 4.1. En general, siempre que el sistema no tenga el tipo suficiente para anular el error en bucle cerrado, este puede reducirse al aumentar la ganancia. Cabe destacar que el aumento no puede ser indefinido en un sistema real, pues las especificaciones del transitorio y la estabilidad misma del sistema peligran a medida que aumenta la ganancia, por no hablar de las saturaciones y otro tipo de consideraciones que son ignoradas en los modelos lineales.

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Sistemas de medida y regulación 4.5. La respuesta en rampa y en escalón están relacionadas. En concreto, la integral de la respuesta ante el escalón de un sistema es su respuesta a la rampa. Esto es fácil de ver cuando se tiene en cuenta que una señal en rampa es 1/s^2 y un escalón es 1/s. Así, cuando se aplica un integrador (1/s) a la salida del sistema tras la entrada en escalón se tiene exactamente la misma expresión que si se aplicara una rampa y no hubiera integrador a la salida. 4.6. La variación de la posición de los polos con la ganancia del controlador se conoce como el lugar de las raíces. Existen una serie de reglas que caracterizan la evolución de los polos del bucle cerrado, siendo las más importantes las siguientes: - A baja ganancia, los polos tienden a permanecer en la misma posición de los polos en bucle abierto. - A medida que la ganancia aumenta, los polos se dirigen hacia los ceros que haya en el sistema o se desplazan hacia el infinito siguiendo unas asíntotas que dependen del exceso de polos del sistema. En el caso de un sistema de primer orden en bucle cerrado en serie con un controlador proporcional, el polo se desplazará de su ubicación original hacia valores de s crecientemente negativos a medida que la ganancia aumente. Para un sistema de segundo orden con un controlador proporcional, los polos tenderán a ir alejándose del eje real siguiendo sendas asíntotas que discurren con una inclinación de +/- 90 grados a medida que aumenta la ganancia. En el tiempo, ello se traducirá en un incremento de las oscilaciones en el transitorio de la respuesta del sistema ante una entrada en escalón. 4.7. Este ejercicio propone que la salida del sistema está afectada por una perturbación P(s), es decir: Y(s) = E(s)*C(s)*G(s)+P(s), donde E(s) es el error, que como ya vimos se definía como E(s) = R(s)-Y(s). En este caso, puede considerarse que el sistema en bucle cerrado cuenta con dos entradas que afectan a la salida, la referencia y la citada perturbación, si bien esta última es desconocida e incontrolable. Dado que se trata de determinar el efecto de la perturbación, asumiremos por sencillez que R(s) = 0, es decir, que el objeto del controlador es regular al sistema en torno a su punto actual. Por tanto, E(s) = -Y(s), de modo que puede escribirse: Y(s) = -Y(s)*C(s)*G(s)+P(s). Y(s)*(1+C(s)*G(s)) = P(s). Gyp(s) = Y(s)/P(s) = 1/(1+C(s)*G(s)). donde Gyp(s) es la función de transferencia que relaciona la salida con la perturbación. Como puede verse, el efecto de la perturbación no es tan directo como sumar su valor a la salida, pues el bucle de realimentación modifica toda la dinámica. Ello permite que el controlador entre en juego y pueda diseñarse para que rechace la perturbación. Por

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Sistemas de medida y regulación ejemplo, para un sistema de primer orden G(s) = K/(s+p) y un controlador proporcional C(s) = Kc, se tiene: Gyp(s) = (s+p)/(s+p+Kc*K). Es evidente que la dinámica que relaciona la salida y la perturbación considerada depende del controlador, que determina la ubicación del polo y la ganancia. Así, si se desea, por ejemplo, que Gyp(s) tenga poca ganancia ante una entrada en escalón de la perturbación, puede aumentarse Kc. Naturalmente, pueden realizarse diseños más sofisticados del controlador para satisfacer especificaciones más ambiciosas, pero con este ejemplo es suficiente para demostrar lo que se pretende: el controlador puede diseñarse también para cumplir requerimientos relacionados con el rechazo de perturbaciones.

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Sistemas de medida y regulación UNIDAD DIDÁCTICA 5. Montaje y desarrollo de sistemas de medida y regulación Actividades de comprobación 5.1. a) 5.2. b) 5.3. c) 5.4. a) 5.5. c) 5.6. a) 5.7. b) 5.8. a) 5.9. a) 5.10. a) Actividades de aplicación 5.1. El lazo de arriba es un control de caudal de fuel, y el de abajo un control de caudal de aire. Cuando el fuel aumenta, aumenta la consigna del caudal de aire y viceversa. 5.2. En este esquema hay también dos lazos de control de caudal de fuel y de aire. En este caso hay unos componentes selectores de señal, con los símbolos > y <, que dejan pasar la señal mayor o menor respectivamente. Para el primer selector, si el caudal de fuel es mayor que la consigna, se comporta como el controlador de la actividad anterior; si el caudal de fuel está por debajo de la consigna, es esta la que gobierna el caudal de aire. Si esta consigna es menor que la correspondiente en aire, será la que gobierne el controlador de fuel; si es mayor, será el valor de caudal de aire el que maneje el de fuel. 5.3. El algoritmo incremental. La respuesta está en el texto. 5.4. La constante proporcional será: K = 100/2 = 50, y el controlador en Simulink®:

5.5. a) La PV es la temperatura del producto, la MV es la apertura de la válvula de vapor y la perturbación es la temperatura de entrada del producto y la temperatura del vapor. b) Debería haber un sensor de temperatura a la salida del producto y, para hacer un control más avanzado, uno a la entrada del producto y otro a la entrada del vapor de agua. c) Se ve claramente por los datos que la apertura de la válvula sufre un escalón de 0 a 10 % y que la temperatura del producto pasa de 0 ºC a unos 100 ºC aproximadamente. Por otro lado,

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Sistemas de medida y regulación el 63,2 % del incremento de 100 ºC, se alcanza en 5 s. También podríamos decir que el sistema tiene un retardo puro de 0,5 s, que es cuando comienza a reaccionar. Luego la función de transferencia aproximada para modelar este proceso sería: 10 𝑒 −0,5𝑠 5𝑠 + 1

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Sistemas de medida y regulación UNIDAD DIDÁCTICA 6. Puesta en servicio de los sistemas de medida y regulación Actividades de comprobación 6.1. b) 6.2. a) 6.3. c) 6.4. a) 6.5. b) 6.6. b) 6.7. b) 6.8. a) 6.9. b) 6.10. b) Actividades de aplicación 6.1. De acuerdo con la Tabla 6.2., se eligen los siguientes parámetros: 1,2𝜏 1,2 · 2 𝐾𝑃 = = = 0,96 𝐾𝑒𝑠𝑡 𝜃 5 · 0,5 𝑇𝑖 = 2𝜃 = 2 · 0,5 = 1 𝑇𝑑 = 0,5𝜃 = 0,5 · 0,5 = 0,25 6.2. Llevando el sistema a Simulink® y cerrando el lazo con una ganancia, vamos aumentando esta hasta que se presente una oscilación constante. Esto ocurre a una KC = 15, y las oscilaciones mantenidas tienen un periodo de 2,8 s. Sustituyendo los valores en la Tabla 6.3.: 𝐾𝑃 = 0,6 · 𝐾𝐶 = 0,6 · 15 = 9 𝑇𝑖 = 0,5 · 𝑃𝐶 = 0,5 · 2,8 = 1,4 𝑇𝑑 = 0,125 · 𝑃𝐶 = 0,125 · 2,8 = 0,35 6.3. Con una ganancia de 0,19 se obtiene una diferencia de 0,25 entre el pico inicial y el final y un periodo de oscilación de 15,6 s; así pues, según el método de las oscilaciones amortiguadas, tendremos: 𝑇𝑖 = 𝑃/6 = 2,6 𝑇𝑑 = 2𝑃/3 = 10,4 La ganancia se puede reajustar hasta tener el valor de respuesta querido. 6.4. El método adecuado es el método de Harriot, en este caso, la ganancia obtenida será de 0,105 y el periodo de oscilación: 20,7 s. Al igual que antes, obtenemos: 𝑇𝑖 = 𝑃/6 = 3,45 𝑇𝑑 = 2𝑃/3 = 13,8

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Sistemas de medida y regulación Y la ganancia queda libre para ajustar el mejor comportamiento. 6.5. Después de hacer la práctica guiada, que consiste en un PI, solo hay que aproximar el término derivativo, el cual puede calcularse como: 𝑒𝐾 − 𝑒𝐾−1 𝑇𝑆 Donde tenemos la diferencia entre el error actual y el error en el muestreo anterior, dividido entre el tiempo entre las muestras, que en el caso de la práctica guiada se ha establecido en 0,1 s. 6.6. Una manera de resolver este problema es adquirir un medidor de intensidad con una escala de al menos 0-5 y salida 4-20 mA o la de las entradas analógicas del PLC. Para poder instalarlo en carga, hay que tener en cuenta que, para abrir el circuito secundario del transformador de medida de la corriente de los motores, para instalar el dispositivo de medida, primero hay que cortocircuitarlo. Nunca se debe dejar un secundario de un transformador de intensidad, en carga, abierto. 6.7. Para obtener la KC y el PC a poner en la Tabla 6.3., tendremos: 4𝐷 4 · 2,6 = = 4,14 𝜋𝐴 𝜋 · 0,8 2𝜋 6,28 𝑃𝐶 = = = 81,56 𝜔𝑢 0,077 𝐾𝐶 =

Entonces, 𝐾𝑃 = 0,6 · 𝐾𝐶 = 0,6 · 4,14 = 2,48 𝑇𝑖 = 0,5 · 𝑃𝐶 = 0,5 · 81,56 = 40,78 𝑇𝑑 = 0,125 · 𝑃𝐶 = 0,125 · 81,56 = 10,19 6.8. Para un PI, según la Tabla 6.2., tenemos que: 0,9𝜏 = 363 𝐾𝑒𝑠𝑡 𝜃 𝑇𝑖 = 3,33𝜃 = 2

𝐾𝑃 =

Por lo tanto, 𝜃=

2 = 0,6 3,33

Entonces: 𝜏= = 242𝐾𝑒𝑠𝑡 0,9 363·0,6𝐾𝑒𝑠𝑡

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Sistemas de medida y regulación Por otro lado, la ganancia estática Kest será igual a: 𝐾𝑒𝑠𝑡 = Entonces:

3,5 − 2,5 = 0,033 50 − 20

𝜏 = 242𝐾𝑒𝑠𝑡 = 8 𝑠 Así pues, la función de transferencia del proceso será: 𝐺(𝑠) =

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0,033 −0,6𝑠 𝑒 8𝑠 + 1

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Sistemas de medida y regulación UNIDAD DIDÁCTICA 7. Diagnóstico de averías en los sistemas de medida y regulación Actividades de comprobación 7.1. a), b), c) 7.2. d) 7.3. a) 7.4. a) 7.5. a) 7.6. a) 7.7. c) 7.8. b) 7.9. b) 7.10. a) Actividades de aplicación 7.1. La función PID no está implementada en el simulador del M221, solo se puede ejecutar en el mismo PLC. Si queremos implementar las alarmas y seguridades, hay que realizarlas en el lenguaje del mismo. Las previstas en la función PID son muchas y la mayoría hacen referencia al ajuste de parámetros automático (funcionalidad proporcionada por el PLC). De una manera más simple, se pueden establecer las siguientes alarmas: Valor mínimo y valor máximo de la variable de control (PV). Y los siguientes límites: Valor mínimo y valor máximo de la salida (MV). Se pueden desarrollar, en lenguaje IL, de la siguiente manera: Para las alarmas: LD [%MW0 < %KW0] ST %Q0.0 LD [%MW0 > %KW1] ST %Q0.1 Para establecer los límites: LD [%MW1< %KW10] [%MW1 := %KW10] LD [%MW1> %KW11] [%MW1 := %KW11].

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Sistemas de medida y regulación Donde las variables serían: %MW0 %MW1 %KW0 %KW1 %KW10 %KW11 %Q0.0 %Q0.1

Variable de control (PV) Variable de salida (MV) Valor mínimo establecido de la variable de control Valor máximo establecido de la variable de control Valor mínimo de la salida Valor máximo de la salida Alarma de mínimo Alarma de máximo

7.2. Teniendo en cuenta que el bit 14 de la palabra del sistema SW118 se pone a 0 en caso de error en las comunicaciones de los módulos, si conectamos a la salida %Q0.0 la alarma, el programa en LD podría ser: LDN %SW118:X14 ST %Q0.0. 7.3. Se deberían inspeccionar los bits del sistema %Si. Por ejemplo, cuando hay un disparo del “Watchdog”, el programa se para y el bit %S11 se pone a 1. 7.4. En la ayuda del software SoMachine Basic® puede encontrarse la información sobre los bits del sistema %Si y las palabras del sistema %SWi. Hay multitud de ellos y se pueden usar muchos para dar pistas al mantenimiento. 7.5. Algunos ejemplos pueden encontrarse en: • • • • •

http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110279/mod_resource/content/0/Control ling Fired Heaters.pdf http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110152/mod_resource/content/1/1.Controlling Centrifugal Pumps.pdf http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110276/mod_resource/content/0/Control ling PD pump.pdf http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110277/mod_resource/content/0/Control ling Shell and Tub exchangers.pdf http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110278/mod_resource/content/0/Control ling%20steam%20heaters.pdf

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Sistemas de medida y regulación UNIDAD DIDÁCTICA 8. Prevención, seguridad y protección ambiental Actividades de comprobación 8.1. a) 8.2. c) 8.3. b) 8.4. a) 8.5. a) 8.6. c) 8.7. a) 8.8. b) 8.9. c) 8.10. d) Actividades de aplicación 8.1. Desde el punto de vista de la seguridad, se debe aplicar la directiva 2008/98/CE. Además, hay que cumplir la normativa específica de la comunidad autónoma donde vaya instalada la planta (se deberá solicitar autorización antes de la instalación). Por otro lado, la Ley de Prevención de Riesgos Laborales (LPRL), por el riesgo de incendio y de trabajo propio de una planta de proceso. 8.2. El reglamento de clasificación UE 1357/2014, de 18 de diciembre 2014, da una clasificación HP 14 al tipo de residuo. 8.3.

Hay abundante información en: • • •

8.4.

https://www.ecom-ex.com/es/seguridad-intrinseca/ https://www.schneider-electric.es/es/download/document/420134F10/ https://www.cl.endress.com/es/grupo-endress-hauser/capacidades-eficienciaseguridad-operaciones/seguridad-proceso-instrumentacion/seguridad-intrinseca

Pueden usarse los enlaces propuestos en la actividad de aplicación 7.5.: • • • •

http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110279/mod_resource/content/0/Control ling Fired Heaters.pdf http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110152/mod_resource/content/1/1.Controlling Centrifugal Pumps.pdf http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110276/mod_resource/content/0/Control ling PD pump.pdf http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110277/mod_resource/content/0/Control ling Shell and Tub exchangers.pdf

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Sistemas de medida y regulación •

http://campus.fi.uba.ar/pluginfile.php/110278/mod_resource/content/0/Control ling%20steam%20heaters.pdf

8.5.

La respuesta depende de la elección que haga el alumno.

8.6.

Se diseña el siguiente diagrama de bloques:

Donde la referencia se fija en pH neutro (7) y se añade un escalón negativo a la salida, para suministrar una perturbación de pH ácido. Se puede diseñar las constantes del PID mediante cualquier método. En este caso, eligiendo la herramienta de sintonizado de MATLAB®, se han obtenido: Kp = 8,6. Ti = 1,43 s. Td: 0 (se trata de un PI).

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