Taller General Integral

U NIVERSIDAD DE L A S ABANA FACULTAD DE I NGENIER´I A ´ C ALCULO I NTEGRAL TALLER GENERAL 1. Determinar la siguiente suma para n = 10, 100, 1000, 10000 n

6i (i − 1) . n2 i =1

∑

´ 2. Muestre que la funcion f (x) =

1/x Z 0

1 dt + 2 t +1

Zx 0

1 dt 1 + t2

es constante para x > 0. Sugerencia: Recuerde que la derivada de una constante es cero. 3. Utilizar la suma de Riemann a propiada para calcular el l´ımite √ √ √ √ 1 + 2 + 3 + ... + n l´ım . n→∞ n3/2 ´ encerrada por las par´abolas y = x2 − c2 , 4. Encuentre el valor c tal que el a´ rea de la region y = c2 − x2 es 576. 5. Encontrar el a´ rea encerrada por las gr´aficas f ( x ) = 3x3 − x2 − 10x y g( x ) = − x2 + 2x. ´ acotada por 9x2 − 4y2 = 36 y la l´ınea x = 3. 6. Encuentre el a´ rea de la region ´ acotada 7. Usando casquetes cil´ındricos, encuentre el volumen generado al rotar la region − x por las curvas y = e , y = 0, x = −1, x = 0 alrededor de la recta x = 1. ´ encerrada por y = cos x, y = 0, x = 0, 8. Encuentre el volumen obtenido al rotar la region x = π/2 alrededor de y = −1. ´ ´ arriba del eje x y bajo la curva 9. Encuentre el volumen del solido resultante al rotar la region y = 1/( x2 + 3x + 2) desde x = 0 a x = 1 (a) alrededor del eje x y (b) alrededor del eje y. 10. La gr´afica y = f ( x ) pasa a trav´es del origen. La longitud de arco de la curva desde (0,0) a ( x, f ( x )) esta dada por Zx √ 1 + et dt. 0

´ f ( x ). Identificar la funcion ´ infinita y = 1/x para x ≥ 1. Muestre si se rota la region ´ al rededor del 11. Considere la region ˜ sin embargo el a´ rea superficial del solido ´ eje x el volumen es infinito, mA¡s es finita.

˜ al girar la gr´afica 12. Una bombilla ornamental se disena y=

1 1/2 1 x − x3/2 , cuando 0 ≤ x ≤ 3 3

alrededor del eje x, donde x y y son medidos en pies. Encontrar el a´ rea de la superficie de la bombilla. ´ acotada por las curvas y = − x2 + 4x + 2, y = x + 2. 13. Encontrar el centroide de la region 14. Calcule el exceso de demanda y el exceso de oferta para las siguientes curvas de demanda ´ de demanda: p1 (q) = 1000 − 0, 4q2 , funcion ´ de oferta: p2 (q) = 42q, y oferta. Funcion donde p representa el precio y q representa cantidad.

√ ´ { an } = { n n}. Si la sucesion ´ converge, 15. Calcule los primeros 6 t´erminos de la sucesion encuentre su l´ımite. 16. Una pelota se deja caer de una altura de 16 pies. Cada vez que cae desde h pies, rebota 0.81h pies. Encuentre la distancia total recorrida por la pelota. 17. Explique cu´ales de las siguientes series convergen y cu´ales divergen. Justifique su respuesta. Si una serie converge, calcule su suma.   ∞ k i) ∑ ln 2k + 1 k =1   ∞ 1 k ii) ∑ √ 2 k =0 ∞ √ k 2 iii) ∑ k =0

18. Explique cu´ales de las siguientes series convergen y cu´ales divergen. Justifique su respuesta. ∞

i)

∑ n2 e − n

3

k =1 ∞

ii)

k =0 ∞

iii)

2k k!

∑ ( k + 2) !

k =0 ∞

iv)

n

∑ (−1)n n2 + 25

n−3

∑ n3 − 2n + 4

k =1

19. Encontrar el polinomio de Taylor de grado 4, centrado en 8 para f ( x ) =

2

√ 3

x.

20. Hallar el intervalo de convergencia para la serie de potencias

−

x2 x4 x6 x8 x10 + − + − + ... 2 6 24 120 720

´ de series de potencias conocidas, representar las siguientes fun21. Usando la representacion ciones como una serie de Taylor, determinando su intervalo de convergencia x 1 + 4x2 ii) f ( x ) = ln(2 − 3x ) i) f ( x ) =

iii) f ( x ) = 3 sin(2x ) iv) f ( x ) = e−3x ´ 22. Imagine que se est´a apilando un numero infinito de esferas de radios decrecientes, una encima se muestra en la figura. Los radios de las esferas son de 1 metro, √ de otra, como √ 1/ 2 metros, 1/ 3, etc. Las esferas est´an hechas de un material que pesa 1 newton por ´ metro cubico. ¿Qu´e tal alta es esta pila de esferas?. ¿Cu´al es el a´ rea de la superficie total de todas las esferas?. Muestre que el peso de la pila es finito.

3