Taller Teoria De Colas

1) Un coleccionista de arte viaja una vez al mes, en promedio, para asistir a subastas. En cada viaje se garantiza una compra. El tiempo entre los viajes tiene distribución exponencial. Determine lo siguiente: a) La probabilidad de que el coleccionista no compre obras de arte en un periodo de 3 meses. b) La probabilidad de que el coleccionista no compre más de 8 obras de arte por año. c) La probabilidad de que el tiempo entre viajes sucesivos sea mayor que 1 mes. SOLUCIÓN

a) Probabilidad de que el coleccionista no compre obras de arte en un periodo de 3 meses. 1 λ= =1 1 λ=1Compra /mes

P0 ( 3 )=

( 1 x 3 )0∗e−1 x 3 =0,049 ≈ 4,9 0!

b) Probabilidad de que el coleccionista no compre más de 8 obras de arte por año. P8 (12 ) =

( 1 x 12 )8∗e−1 x12 =0,06 55 ≈ 6,5 8!

c) Probabilidad de que el tiempo entre viajes sucesivos sea mayor que 1 mes. −1 x 2 P2=1 x e =0,135

2) El First Bank of Springdale tiene un cajero automático que despacha a automovilistas que forman una línea. Los vehículos llegan siguiendo una distribución de Poisson, con una frecuencia de 12 por hora. El tiempo necesario para hacer una transacción en el cajero es exponencial, con 6 minutos de promedio. En la línea cabe un total de 10 automóviles. Una vez llena, los automóviles que lleguen deben irse a otra parte. Calcule lo siguiente: a) La probabilidad de que un vehículo que llegue no pueda usar el cajero, porque la línea está llena. b) La probabilidad de que un vehículo no pueda usar el cajero inmediatamente al llegar. c) La cantidad promedio de vehículos en la línea. Solución λ=12 automóviles/hora n=0,1, 2, 3 …10

μ=

60 =10 Automóviles/ horas 6 n

Pn=

12 p0 , n=0,1, 2, 3 …10=0, 10

( )

P0 ( 1+1.2+1.22 +…+ 1.210 ) , P0=

→ P0 =0.0311

1−1.210 1−1.2

a) Probabilidad de que un vehículo que llegue no pueda usar el cajero, porque la línea está llena. 12 10 P10= p0=0.1925 10

( )

b) Probabilidad de que un vehículo no pueda usar el cajero inmediatamente al llegar. Pn ≥1=1−P0=1−0.0311=0.9689 c) Cantidad promedio de vehículos en la línea ¿ 0 P0+ 1 P1 +2 P2+ …+10 P10

12 p =0.0373 10 0

( ) 12 P =( ) p =0.0448 10 12 P =( ) p =0.0537 10 12 P =( ) p =0.0645 10 12 P =( ) p =0.0774 10 P1=

2

2

0

3

3

0

4

4

0

5

5

0

12 6 p 0=0.0929 10

( ) 12 P =( ) p =0.1114 10 12 P =( ) p =0.1337 10 12 P =( ) p =0.16050 10 P6=

7

7

0

8

8

0

9

9

0

12 10

10

( )

P10=

p0=0.1925

1∗0.03732+2∗0.04479+3∗0.05375+4∗0.0645+ 5∗0.0774+6∗0.09288+7∗0.11145+8∗0.13374+ 9∗0 .160