Tarea 4 De Analisis Matematico 1

UNIVERSIDAD ABIERTA PARA ADULTOS (UAPA) Nombre: Eri Almonte Matricula: 17-5413 Asignatura: Análisis Matemático I Facilitador: José León Reyes Fecha: 1-12-2018

Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza el más adecuado.

Derivada de funciones polinómicas Derivada de función de grado n En una función polinómica de grado n

, donde n es un entero positivo, su derivada es .

Cabe hablar de la derivada de una función potencial de exponente real sin mencionar grado. Por más fácil considerando

ejemplo,

que es

Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras. Pasos para cada tipo de derivación 1.

Constantes- En este caso todas las derivadas de una constante son iguales a cero.

2.

Función identidad- f(x)=x entonces f'(x)=1

3.

Regla de las potencias- Si se tiene un término que esta elevado a una potencia en una función

4. 5

Regla del factor constante- Se deriva la x con la regla de las potencias. 2.Se multiplica el resultado por la constante (el número normal), . Regla de la suma- Se deriva con las reglas anteriores a cada término de la función. Si entonces

, fórmula:

fórmula:

6. 7.

Regla de la diferencia- Se realizan los mismos pasos que en la regla de la suma igual, pero restando. Regla del producto- Identificar las dos funciones, Multiplicar la primera (u) por la derivada de la segunda (v), y se suma el producto de la segunda por la derivada de la primera. Formula: f ‘(x)=uv’+vu’

8.

Regla de la derivada del cociente- Identificar las dos funciones u y v, Multiplicar la derivada de la primera (u) por la segunda (v), y seresta el producto de la primera por la derivada de la segunda, 3. Dividir todo entre la segunda al cuadrado. Formula: f ’(x)=(vu’-v’u)/v^2 Por ejemplo la función:

Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así: Quedando finalmente:

Considérese la función

Se

tiene:

Derivada del producto de una constante por una función Cuando una función esté representada por medio de Consideremos la siguiente función:

, su derivada equivale a

, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la

acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

de la siguiente manera:

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que

Derivada de una suma Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

suma de ambos será la derivada de la función:

Téngase presente que la derivada, teniendo en cuenta que

es una aplicación lineal en el conjunto de las

funciones reales derivables.

Derivada de un producto Artículo principal: Regla del producto (cálculo)

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma: "La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar." Y matemáticamente expresado por la relación

Identificamos a y que

. Consideremos la siguiente función como ejemplo:

y , utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

Por lo tanto Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir en donde (sin importar que dos funciones escogemos).

Derivada de un cociente Artículo principal: Regla del cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

Es decir: "La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado". Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es por la derivada del numerador que seria

y se multiplique

; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador ( ) sin derivar y , que seria , todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado,

lo multipliquemos por la derivada de

así:

Ahora todo es cuestión de simplificar:

Regla de la cadena Artículo principal: Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

o escrito en notación de Leibniz

Otras reglas Funciones inversas y diferenciación Artículo principal: Derivada de la función inversa

Si

,

entonces , y si y su inversa son

diferenciables,

entonces

para los casos en que

y cuando

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable Sea

y

.

entonces

Diferenciación implícita Si

es una función implícita,

se tiene que:

,

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

Derivada de funciones trigonométricas Artículo principal: Derivada de funciones trigonométricas

Derivada de funciones hiperbólicas

. Conceptos de derivada. En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Ejemplo

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc. 7.2. La recta tangente. Una recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, . Ecuación de la recta tangente La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Problemas Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x 3  − 3x 2  − 9x + 5 es paralela al eje OX. y '   = 3x 2  − 6x − 9;     x 2  − 2x − 3 = 0 (simplifi cando por 3) x 1  = 3 y 1  = −22 x 2  = −1y 2  = 10 A(3, −22) B(−1, 10)

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia. Sea el punto de tangencia (a, f(a)) f' (x)= 3x 2 f' (a)= 3a 2 3a 2 =3a = ±1 Las ecuaciones de las rectas tangentes son: a = 1 f(a) = 1 y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2 a = −1 f(a) = −1 y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2    El punto (0, −2) pertenece a la recta  y = 3x−2. Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) . 7.3. La derivada de una función. El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales. La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa porf'(x).

Ejemplos Determinar la función derivada de f(x) = x 2  − x + 1.

Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1) f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3 f'(0) = 2(0) − 1 = −1 f'(1) = 2(1) − 1 = 1

7.4. Reglas de derivación. Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro. a. Regla de la constante.

1 Derivada de una constante (c) = 0 Una función polifónica de grado 0 o función constante es aquella que no depende de ninguna variable y su derivada siempre será cero. Si f(x) = a, tendremos que f'(x) = 0 Donde a es una constante, como un ejemplo: f(x) = 7 f'(x) = 0

b. Regla de la potencia.

Reglas de la potencia (para n < 0 y n > 0)

[ xn ] = nxn-1     Una función de carácter exponencial, cuyo exponente es un entero se representa por f(x) = xn y se puede demostrar que su derivada es f'(x) = nxn − 1 por ejemplo tomemos la función: f(x) = x3 Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así: f'(x) = 3x3 − 1 Quedando finalmente: f'(x) = 3x2 En algunas funciones donde la variable ya esta siendo multiplicada, como: f(x) = 7x4 se aplica la siguiente regla.

c. Regla del múltiplo constante.

Reglas de Multiplo constante [ c f(x) ] = c f ´(x) Si F es una función derivable y C dx un número real.

d. Las reglas de la suma y la diferencia.

Regla de la derivada de una suma y una diferencia (para 2 o más términos)  [ f(x) ± g(x) ] = f ´(x) ± g ´(x) Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de una suma es la suma de la derivada de cada término por aparte. Es decir, (f + g)' = f' + g'. Como ejemplo consideremos la función f(x) = 3x5 + x3, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término por aparte y la expresión de estos será la derivada de la función suma: f'(x) = 15x4 + 3x2

C alcula las de r ivadas de las funcio ne s:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

C alcula me diante la fó r mula de la der ivada de una r aíz :

1.  

2.  

3.  

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

1.  

2.   Aplican do las  pr opieda des de lo s lo ga r it m o s  o bte ne mo s:

3.   Aplican do las  pr opieda des de lo s lo ga r it m o s  o bte ne mo s:

4.   Aplican do las  pr opieda des de lo s lo ga r it m o s  o bte ne mo s:

5.   Aplican do las  pr opieda des de lo s lo ga r it m o s  o bte ne mo s: