Tarea Cal 1 - Problemas Examen Final 30%

CÁLCULO I - Ingeniería Ejercicios propuestos Examen Final – Integración Integrantes: Docente: Fernando Cenas Instrucción: Este trabajo debe ser desarrollado por los grupos formados en el aula, debe ser presentado (en forma física y digital) y sustentado en forma grupal por sorteo en clases, durante las dos primeras horas de la semana 15. (Presentando claridad y orden)

Problemas Instrucción: Desarrolle los problemas usando la antiderivada

1. INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de cierto artículo es R '(q)  4q  1.2q 2 dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $ 30 000, ¿Cuál será el ingreso esperado por la producción de 40 unidades? 2. CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol crece de tal forma que su altura h(t ) después de t años cambia a una razón de

h '(t )  0.2t 2 3  t

pies / año si cuando se plantó un árbol este tenía una altura de 2

pies, ¿Cuál será su altura dentro de 27 años? 3. APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea M (t ) el número de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como:

M '(t )  0.4t  0.005t 2 a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos? b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos (del tiempo 𝑡 = 10 al 𝑡 = 20)? 4. La velocidad de un objeto está dada por v(t ) 

t2  t 2

m/ min . Encuentra su ecuación

de posición y considera que 𝑥 (1) = 4 𝑚.

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Sustitución Algebraica 5.

DERRAME DE PETRÓLEO En aguas tranquilas, el derrame de petróleo proveniente de la ruptura de un casco de un buque cisterna genera una mancha de aceite de forma circular. Si el radio 𝒓 del círculo es cada vez mayor a una tasa de 30 𝑟 ′ (𝑡) = √2𝑡 + 4 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑚𝑖𝑛, 𝒕 𝑚𝑖𝑛 después de que ocurrió la ruptura, determine una expresión para el radio en cualquier momento 𝒕. ¿Qué tan grande es el área contaminada después de 16 minutos de que ocurrió la ruptura? Sugerencia: 𝒓(0) = 0.

6.

ALUMNOS MATRICULADOS El secretario de un colegio muy prestigioso de Cajamarca estima que el número de estudiantes matriculados en educación básica regular crecerá a una tasa de 3

𝑁 ′ (𝑡) = 2000(1 + 0,2𝑡)− 2 estudiantes por año, 𝑡 años a partir de ahora. Si la matrícula estudiantil actual es 1 000, determine una expresión que dé el total de estudiantes matriculados 𝑡 años a partir de ahora. ¿Cuál será el número de estudiantes matriculados dentro de cinco años a partir de ahora? 7.

CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN La población de cierta ciudad se proyecta que crezca a una tasa de 2𝑡 𝑟′(𝑡) = 400 (1 + ), 0≤𝑡≤5 24 + 𝑡 2 personas por año, 𝑡 años a partir de ahora. La población actual es 60 000. ¿Cuál será la población dentro de 5 años a partir de ahora?

8.

COSTO DE PRODUCCIÓN DE PANELES PARA CELDAS SOLARES En 1990 el director de una oficina de investigación y desarrollo afirmó que el costo de producción de los paneles de celdas solares caería a una tasa de 𝑁 ′ (𝑡) = −

58 , (3𝑡 + 2)2

0 ≤ 𝑡 ≤ 10

dólares por watt pico para los próximos 𝑡 años, con 𝑡 = 0 correspondiente a 1990 (un watt pico es la energía producida al medio día de un día soleado). En 1990 los paneles, que se usan para el sistema de energía fotovoltaica, tienen un costo de $10 por watt pico. Determine una expresión que dé el costo por watt pico al fabricar paneles de energía solar a principios del año 𝑡. ¿Cuál fue el costo a principios de 2000? Ciclo Académico – 2019 - I

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9.

TV EN TELÉFONOS CELULARES El número de personas que ve televisión en los teléfonos celulares se espera que crezca a una tasa de 𝑁’(𝑡) =

5,4145 √1 + 0,91𝑡

,

0≤𝑡≤4

millones por año. A principios de 2007 dicho número (𝒕 = 0) era 11.9 millones. a) Determine una expresión que dé el número de personas que ve televisión en teléfonos celulares al año 𝒕. b) Con base en esta proyección, ¿cuántas personas verán la televisión en teléfonos celulares a principios de 2020?

Integración por partes 10. Un laboratorio de producción estima que la intensidad de amortiguación de los resortes de una moto lineal es: 𝐴′ (𝑥) = −15𝑒 −0,015𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡. Determina la ecuación que describe la amortiguación de los resortes.

11. El departamento de calidad de una empresa textil informa que tienen un costo marginal por unidad de su producto dado por

C ' ( x) 

5000 ln( x  20) ( x  20) 2

, en donde 𝑥 es el nivel de

producción. Si los costos fijos ascienden a $ 2000, determine la función de costo. 12. El ingreso marginal de una empresa por su producto es I ' ( x)  10(20  x)e  x / 20 , determine la función de ingreso. 13. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de I ' ( x)  4000 xe0,2 x juegos por semana, en donde x es el número por semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, s, como una función de x. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas?

14. Durante el desarrollo de una epidemia a la razón de llegada de casos nuevos a cierto hospital es igual a C ' (t )  5 t e 0,1t , donde t está medido en días, 𝑡 = 0 es el inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos ha tratado en total el hospital cuando 𝑡 = 5 y cuando 𝑡 = 10?

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