Tema 2

Teoría del Campo I Ing. Adolfo Santana Rey

Tema 2: Ley de Coulomb e Intensidad de Campo Eléctrico

Ley de Coulumb k Q1 Q2 F R2 Donde: • K es la constante de proporcionalidad. • Q1 y Q2 son las cargas en coulombs (C) • R es la distancia de separación en metros.

1

m  9 10 k 4 o F

 o  8.854 10 12

9

F 10 9 F  m 36 m

Donde: • o se le conoce como permitividad del vacío en farads por metro.

Ley de Coulumb Si las cargas puntuales Q1 y Q2 se localizan con vectores de posición r1 y r2, entonces la fuerza F12 sobre Q2 debida a Q1 está dada por:

Donde:

   R12  r2  r1  R  R12  R12  aR12  R

 k Q1 Q2  F12  aR12 2 R

  F12  F21

   Q1 Q2 r2  r1  F12   3 4o r2  r1

Ley de Coulumb Figura 4.2. (a), (b) Cargas iguales se repelen; (c) cargas distintas se atraen.

Cuando hay múltiples cargas, es decir Q1, Q2, Q3, …, QN la fuerza sobre una carga localizada en rN se tiene:

       Q Q2 r  r1  Q Q2 r  r2  Q Q2 r  rN  F   3    3  3  4o r  r1 4o r  r2 4o r  rN   N  Qk r  rk  Q F  4o k 1 r  rk 3 Principio de Superposición.

Intensidad del Campo Eléctrico La intensidad del campo eléctrico E es la fuerza por unidad de carga en el campo eléctrico.

  F E  lim Q0 Q

o simplemente

  F E Q

Sustituyendo estas ecuaciones con las anteriores se tiene:

 Q r  r' E  3 4o r  r ' Para una carga.

  N  Qk r  rk ' 1 E  4o k 1 r  rk ' 3 Principio de Superposición.

Campo Eléctrico de una Carga

Campo Eléctrico de dos Cargas

Para n cargas:

Ejemplo 1 Halle E en P, usando, todas las cargas tienen una carga de 3 nC .

Primeramente halle los vectores:

Luego:

Ejemplo 1 (cont.)

Halle E en P, usando

donde

Luego: Ejecutando:

Ejemplo 4.1   2   Q r rk 1 mC y -2 mC se localizan en (3,2,-1) y (-1,-1,4), de Q k Cargas puntuales F   3   respectivamente. 4o k 1 r  rkCalcule la fuerza eléctrica sobre una carga de 10 nC localizada en (0,3,1) y la intensidad del campo eléctrico en ese punto.

10 109 109 4  36

103 0,3,1  3,2,1 2 103 0,3,1  1,1,4    3 3 0,3,1  1,1,4   0,3,1  3,2,1

 2,8,6  103 10 109   3,1,2 2  1,4,3  2   3,1,2    9 10   14 14 109  9  1  43/ 2 1  16  93/ 2  26 26  4  36     F  6.512ax  3.713ay  7.509az mN      F  6.512ax  3.713ay  7.509az 103 N  E  9 Q 1010 C     kV E  651.2 ax  371.3 ay  750.9 az m

Ejercicio 4.1 Cargas puntuales de 5 nC y -2 nC se localizan en (2,0,4) y (-3,0,5), respectivamente. a) Determine la fuerza sobre una carga puntual 1 nC localizada en (1,-3,7). b) Halle la intensidad del campo eléctrico E en (1,-3,7).

Ejemplo 4.2 Dos cargas puntuales de igual masa m y de carga Q están suspendidas en un punto común por dos hilos de masa despreciable y longitud .

l

Demuestre que, en equilibrio, el ángulo de inclinación  de cada hilo respecto de la vertical está dado por:

Q2  16  omgl 2sen2 tan

Si  es ínfimo, demuestre que:

Q2  3 16  omgl 2

Ejemplo 4.2 Sistema de fuerzas:

T sin   Fe T cos   mg Por lo tanto:

sin  Fe 1 Q2    cos mg mg 4o r 2 Pero:

r  2 l sin 

Así,

Q2 cos  16  omg l 2 sin3  o

Q  16  omg l sin  tan  2

2

2

Si  es ínfimo, es decir que:

tan     sin  Entonces:

Q2  3 16  omgl 2

Ejercicio 4.2 Tres pequeñas esferas idénticas de masa m están suspendidas de un punto común por hilos de masa despreciable e igual a l. Una carga Q se divide en partes iguales entre las esferas, las cuales alcanzan el equilibrio en los vértices de un triángulo equilátero horizontal cuyos lados son d. Demuestre que: 2 1/ 2

 d  Q2  12  omgd 3 l 2   3  Donde g= aceleración de la gravedad.

Ejemplo 4.3 Determine la separación entre partículas luego que las mismas caigan 80 cm. Tome E=500 kV/m y Q/m=9 C/kg para las cargas positivas y negativas. Eje y:

Eje x:

 d 2x  QE  m 2 ax dt d 2x Q  E 2 dt m

2

d y   mg  m 2 ay dt d2y  g 2 dt

Resolviendo con condiciones iniciales cero:

x

QE 2 1 t y   gt2 2m 2

Cuando y=-0.80m t2=0.1633 s la distancia de separación de es:

d  2  x  9 106  5 105  0.1633 73.47 cm

Ejercicio 4.3 Un electrodo en forma de cuña en un cohete de iones emite iones positivos de cesio en dirección a la región descrita por xy. En campo eléctrico es E=-400ax+200ay kV/m. Los iones possen cargas electrostáticas únicas de e=-1.6019x10-19 C masa m=2.22x10-25 Kg y viajan en el vacío con velocidad inicial cero. Si la emisión se confina a -40 cmy40 cm, halle el valor máximo de x que es posible alcanzar.

Distribuciones continuas de carga

dQ  L dl Q   L dl L

dQ  S dS Q   S dS S

dQ  v dv Q   v dv V

Línea de carga Superficie de carga Carga Volumétrica

Campo eléctrico con distribuciones continuas de carga

 L dl  E a 2 R 4o R

Línea de carga

 S dS  E a 2 R 4o R

Superficie de carga

 V dV  E a 2 R 4o R

Carga Volumétrica

Campo eléctrico de una línea de carga dQ  L dl  L dz ZB

Q   L dz ZA

dl  dz'     R  (x, y, z)  (0,0, z' )  x ax  y ay  (z  z' ) az    R   a  (z  z' ) az 2 2 2 R  R  x  y  ( z  z' ) 2   2  ( z  z' ) 2   a  ( z  z' )az aR R  3  2 2 2 3/ 2 R   ( z  z' ) R 2





Campo eléctrico de una línea de carga





R    ( z  z' )   sec z'  OT   tan   z   tan  2 1/ 2

2

dz'   sec2  d    L ZB  a  ( z  z' ) az E dz' 3/ 2  2 2 Z 4o A   ( z  z' )





    L 2  sec2  cos a  sin  az  E d  2 2    sec  4o 1   L  2       E cos a sin a  z d   4o  1  L    E  sin 2  sin 1  a  cos2  cos1  az  4o   L  E a  Para 1=/2 y 2=-/2 4o 

Campo eléctrico de una superficie de carga



dQ  S dS Q   S dS

  dS  E   S 2 aR 4o R





  S h 2  E 0 4o

Para caso general:

 S  E aN 2 o



  1/ 2   R   (a )  h az R  R   2  h2   R aR  dQ  S dS  S  d d R    1 S  d d   a  h az dE  3/ 2 4o  2  h2  S  d d   a  h az E 2 2 3/ 2 4o   h 0    2













1  d ( 2 ) az S h 2 2 1/ 2   S  2  h  az  az 2 2 3/ 2 0 2 o 2 o  h









Para un capacitor:

 S    S   S  E aN   (  a )  aN N  2 o o  2 o 

Campo eléctrico de una carga volumétrica dQ  V dV 4 a3 Q   V dV  V 3

 V dV  E a 2 R 4o R  S  dV  dE   2 aR 4o R    aR  cos az  sin  a

Por simetría Ex y Ey son iguales a cero:

  dV cos  E  E  az   dE cos  V  4o R2 dV  r'2 sin  ' dr' d d Aplicando la Ley de los Cosenos:

R  z  r' 2zr ' cos ' 2

2

2

r'2  R2  z 2  2zr ' cos

z 2  r '2 R2 cos '  2zr' z 2  R2  r '2 cos  2zR

Derivando cos ’:

sin  ' d ' 

R dR zr'

Campo eléctrico de una carga volumétrica  V dV cos   E  E  az   dE cos  2  R 4o 2 2 2 a z r '  V 2   z r r ' 1 R dR 2 Ez  d r dr'  ' '  2         ' 0 ' ' 0 r R z r R z r' 4o 2zR

 2V Ez  8o z 2

z r '

 z  r'  r'0 r' R  R  dr'  z r ' a

2

2

 V a 2 1 1 4 3   4r' dr'  Ez   a V   Er 2 0 2 4o z 4o z  3   Q  Er  a ¡Se comporta como una carga 2 r 4o z puntual!

Ejemplo 4.4 Un anillo circular de radio a tiene una distribucción de carga por unidad de longitud constante L C/m, está situado y centrado en el plano xy. Encuentre: a) El campo E en un punto h sobre el eje z. b) ¿Cuáles valores de h el campo E es máximo. c) Si la carga total del anillo es Q, encuentre E cuando a0.

 L dl  E a 2 R 4o R

   R  a (a )  h az

  R  2 2 1/ 2 R  R  a h aR   R      a a h a R   z aR   3  3/ 2 a2  h2 R









dl  a d   2  a a  h az

 L a d E 3/ 2  2 2  0  4o a h  L ah  E a z 2 o a2  h2 3/ 2









Ejemplo 4.4 a)

 L ah  E a z 2 o a2  h2 3/ 2





Para determinar el E máx de deriva con respecto a h.



 2 2 a h d E(h) a L    dh 2 o  



3/ 2



3 (1)  (h)2h a2  h2 2 2 2 3 a h





Se iguala a cero para tener el h para E máximo.

b)

a

 h2

 a 1/ 2



 h2  3h2  0 a 2 2 a  2h  0  h   2 2

2



1/ 2

    

Ejemplo 4.4 Gráfica de E(h):

a Hmáx   2 c)

Para finalmente obtener:

 E

Q 4or

 a 2 R

L 

Q 2o

 Q h  a E z 4o a2  h2 3/ 2





 Q   Q  h limE  lim a az  2 z 2 2 3/ 2 a0 a0 4 4oh  o a  h 





Ejercicio 4.4 Un disco circular de radio a está uniformente cargado con S C/m2. Si el disco se sitúa en el plano z=0 con su eje a lo largo del eje z, a) Demustre que en el punto (0,0,h) el campo eléctrico E es:

   L  h E 1 2 2 1/ 2 az 2 o  a  h 





b) Deduzca de ello el campo E debido a una lámina infinita de carga en el plano z=0. c) Problemas para discutir en clase. 1. Si ah, demuestre que el campo E resultante es similar al campo eléctrico de de una carga puntual. 2. A partir de la fórmula del campo eléctrico de una espira circular, deducir la ecuación del campo eléctrico de un disco circular mostrado arriba.

Ejercicio 4.4 (cont.)

Ejemplo 4.5 Una lámina de carga definida en 0x1 y 0y1 en el plano z=0, tiene una densidad de carga S=xy(x2+y2+25)3/2 nC/m2, encuentre: a) La carga total de la lámina. b) El campo eléctrico en el punto (0,0,5) c) La fuerza que experiementa una carga de -1mC localizada en el punto (0,0,5). a)

1

Q   S dS   xy(x  y  25) dxdy   2

2

3/ 2

1



x0 y0

S

xy(x2  y2  25) 3/ 2dx dy  1

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3/ 2 2 5/ 2 ( 25 ) ( ) ( 25 ) y x  y  d x dy  y x  y  dy     y x y 0 0 0    2 2 5 x0





1 1 1 2 5/ 2 2 5/ 2 2 ( y  26 )  ( y  25 ) d ( y )  y  0 5 2

Ejemplo 4.5



1 2 2  ( y  26)7 / 2  ( y2  25)7 / 2 10 7 Q  33.15nC







1  (27)7 / 2  (25)7 / 2  2(26)7 / 2  33.15nC y0 35

1

b)

  r  r '  (0,0,5)  (x, y,0)  (x, y,5)    9 2 2 3/ 2  S dS aR S dS (r  r' ) 10 xy(x  y  25) (xax  yay  5az )   E dx dy  3 2 2 3/ 2 2   4or 4o (x  y  25) 4o r  r ' x y 1   1 1 5      9 , ,  E  9 xy (xax  yay  5az )dx dy x y 0  6 6 4     V E  1.5 ax 1.5 ay 11.25az m      c) F  qE  1.5 ax 1.5 ay 11.25az mN

Ejercicio 4.5 Una placa cuadrada descrita por -2x2 y -2y2 en el plano z=0, porta una carga de 12y mC/m2. Halle la carga total sobre la placa y la intensidad de campo eléctrico en (0,0,10).

Ejemplo 4.6 Los planos x=2 y y=-3 portan cargas de 10nC/m2 y 15nC/m2, respectivamente. Si la línea x=0, z=2 porta una carga de 10C/m2, calcule E en (1,1,-1) debida a las tres distribuciones de carga.

    E  E1  E2  E3

Ejemplo 4.6 (cont.)     E  E1  E2  E3

 S1  10109   E1  (ax )   a   180  a x x 109 2 o 2 36 Negativo, por estar detrás el punto P

   E3  L a 2o  Se tiene que buscar la dirección del vector unitario perpendicular entre la línea y el punto P.

 S2  15109   (ay )  E2  a  270  a y y 109 2 o 2 36 Positivo, por estar detrás el punto P

Ejemplo 4.6 (cont.)    E3  L a 2o 

 R  (1,1,1)  (0,1,2)  (1,0,3)  ax  3 az     a a R 3   R  10 a    x  z R 10 10 ax 3 az  a 1  10 10   ax  3 az   10 10  10 109 1     18  a  3 a   E3   a  3 a x z x z 109 10 2 36

        E  E1  E2  E3  180 ax   270 ay   18 (ax  3az )      V E  162 ax  270 ay  54 az m

Ejercicio 4.6 En el ejemplo 4.6, si la línea x=0, z=2 rota 90°alrededor del punto (0,2,2) de manera que se convierta en x=0, y, halle la intensidad de campo eléctrico E en (1,1,-1).