Tensor Darcy3

ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES I TRABAJO DE INVESTIGACIÓN Ley de Darcy: Tensor permeabilidad

Grupo 6: Noel Bejarano Plaza, Lau Janer Pérez, Albert Flor De Lis Vidal.

Memoria Henry Darcy (1803-1858) de nacionalidad francesa, fue graduado en ingeniería de puentes y caminos. Es precursor de los sistemas modernos de abastecimiento de agua potable. Fue en 1850 cuando desarrollo en el laboratorio de hidráulica de París el experimento con la que dedujo la actual ley de Darcy, donde es aplicado el tensor de permeabilidad (K). El experimento consiste en el cálculo del tensor de permeabilidad del material a través de la medición del caudal y las diferencias de presiones entre ambos extremos de un cuerpo poroso. Conocemos la distancia entre los extremos del material, la altura piezométrica entre ambos extremos, y la sección perpendicular a la velocidad.

Ilustración 1: http://poliyacimientos.blogspot.com.es/2010/11/ley-de-darcy.html

Dónde:

= Caudal [m3/s] = Altura de presión eficaz [m] = Distancia entre los extremos A y B [m] = Sección perpendicular a la velocidad del flujo [m2] = Coeficiente de permeabilidad [m/s]

A partir del experimento, podemos deducir que para materiales isótropos el coeficiente de permeabilidad tiene el mismo valor para todas las direcciones. Teniendo en cuenta que la altura piezométrica y la distancia entre los extremos A y B corresponden a un gradiente de presión eficaz en el eje perpendicular a la velocidad del flujo, y que la circulación del fluido (en este caso agua) es contrario al gradiente hidráulico. Por lo tanto:

Finalmente la fórmula genérica queda expresada de la siguiente manera: ( (

))

Podemos comprobar que K tiene carácter vectorial, entonces podemos representarlo como un tensor, el cual sólo presentará las componentes principales siempre y cuando las caras del material estén orientadas perpendicular a la dirección de la velocidad.

, -

[

]

Además, las condiciones para que se cumpla el experimento son: 1. El medio poroso es continuo a nivel macroscópico. 2. La velocidad de circulación es suficientemente pequeña como para que se establezca un flujo laminar. 3. El medio está saturado. 4. El medio poroso es completamente rígido. 5. El medio poroso es homogéneo e isótropo.

Problema Fracking Se ha instalado una central de Fracking a 2.000 metros de una zona poblada. El fracking consiste en inyectar CO2 a alta presión (2.000 bar) a 4.000 metros de profundidad para generar un hidrocarburo de forma artificial. Se nos pide como operarios averiguar si la zona poblada será fuertemente afectada ya que habrá una emanación ascendente de flujo. Para eso se ha sondeado la zona y se comprueba que está compuesta totalmente por arena fina. Conocemos el tensor de permeabilidad del material: [

],

-

Debemos calcular la velocidad en que el flujo llegará a la zona poblada. La distancia entre el centro de inyección y el poblado es:

El gradiente de presiones se distribuye de forma esférica desde el centro hacia el exterior, siendo igual en todas direcciones.

Sabemos que la diferencia de presiones es 2·108 Pa que es equivalente a la siguiente altura piezométrica:

Y las distancias x e y son respectivamente 2000 m, y 4000 m, por tanto los incrementos de x e y son:

Combinándolo con el tensor de permeabilidad podemos obtener la velocidad del flujo (q): ( (

))

]*

[

*

+,

+ -

Por lo tanto el avance del fluido combinado con CO2 será de 5.19 ·10-13 m/s. Con estos datos se puede deducir que dicho fluido avanzará a 1.63·10-5 m cada año. A modo de conclusión y para tener datos orientativos suponemos que el área del pueblo tiene 20 km2 (20·106 m2). Por lo tanto el caudal de flujo “contaminado” por CO2 no natural será de: (

)

Referencia bibliográfica 1. T.W. Lambe y R.V. Whitman - Mecánica de suelos. México, 1997 2. http://ocw.usal.es/eduCommons/cienciasexperimentales/hidrologia/contenidos/08.Ley_Darcy.pdf 3. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvazquez/mex10chap.pdf 4. http://www6.uniovi.es/usr/ariznaf/SeminarioSimulacion/SimulacionFlujoAgua_archivo s/frame.htm 5. http://poliyacimientos.blogspot.com.es/2010/11/ley-de-darcy.html