Teorema De Bloch

Teorema de Bloch Univ. Ramirez Velez Dilan Ronaldo Ingeniería Electrónica ETN – 501 Física del Estado Solido

Introducción 

El teorema de Bloch describe el movimiento de los electrones en un sólido. Fue enunciado por el físico suizo Félix Bloch basándose en la idea de que un sólido posee una estructura microscópica periódica. A partir de esta hipótesis, el teorema establece de qué manera deben ser las funciones de onda de los electrones, y permite tratar el movimiento de todos los electrones analizando únicamente el movimiento de un solo electrón.

Félix Bloch 

Félix Bloch (Zúrich, Suiza, 23 de Octubre de 1905 - 10 de Septiembre de 1983) fue un físico suizo que trabajó fundamentalmente en los Estados Unidos y que obtuvo el Premio Nobel de Física en 1952.

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Nacido en Zúrich (Suiza), estudió allí, en la Escuela Politécnica Federal de Zúrich. Aunque estudió primero ingeniería, pronto cambió a los estudios de física. Después de 1927, prosiguió sus estudios de física en la Universidad de Leipzig, obteniendo el grado de doctor en 1928. Permaneció en Alemania, en donde estudió con Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli, Niels Bohr y Enrico Fermi. En 1933, dejó Alemania, y marchó a la Universidad de Stanford en 1934. Adoptó la nacionalidad estadounidense en 1939. Durante la Segunda Guerra Mundial, trabajó en temas de energía nuclear en el Laboratorio Nacional de Los Álamos, antes de dimitir para unirse al proyecto de radar en Harvard.



Fue premiado en 1952, junto con Edward Milles Purrcell con el Premio Nobel de física por "el desarrollo de nuevos métodos en la medición precisa de efectos magnéticos nucleares."

Hipótesis El teorema de Bloch describe el movimiento de los electrones en un sólido, basándose en las siguientes hipótesis:  Los átomos del cristal forman una estructura periódica y ocupan las posiciones de una red de Bravais denotadas por el vector r

 Debido

al ordenamiento de los átomos, el potencial del cristal es una función periódica que cumple: 𝑼 𝒓+𝑹 =𝑼 𝒓 para todo vector de traslación R de la red.

 Los

electrones son independientes, no interactúan entre sí y cada uno satisface la Schrödinger para un potencial periódico.

 Partiendo

de estas bases, el teorema de Bloch establece que los ψ de un electrón vienen dados por el producto de una onda plana y una función periódica en R llamada función de Bloch, es decir:

𝝍𝒌 𝒓 = 𝒆𝒊𝒌𝒓 ∗ 𝒖𝒌 𝒓 (Autoestado del electrón)=(onda plana)*(función periódica, llamada función de Bloch)



En la anterior ecuación la letra k representa el vector de onda, y la función de Bloch, 𝒖𝒌 (𝒓), puede ser una función periódica cualquiera, cuya periodicidad R es la misma que la de la red cristalina. La función de Bloch viene determinada por la resolución de la ecuación de Schrödinger, sin embargo, no es necesario saber la forma analítica de esta función para abordar el tratamiento de un sólido. Es más, haciendo uso de su periodicidad se tiene que 𝒖𝒌 𝒓 + 𝑹 = 𝒖𝒌 𝒓

De modo que la ecuación anterior se puede escribir como: 𝝍𝒌 𝒓 + 𝑹 = 𝒆𝒊𝒌𝑹 𝝍𝒌 (𝒓) Nótese que como la forma analítica de la función periódica que multiplica a la onda plana es desconocida y además irrelevante, bien podría ser ésta ψ𝑘 (𝑟) en lugar de 𝑢𝑘 (𝑟). Así pues, en la anterior ecuación sigue cumpliéndose que: 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 = 𝑜𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎 ∗ (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎, 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐵𝑙𝑜𝑐ℎ)

Demostración Consideramos los estados estacionarios 𝝓(𝒓) que satisfacen la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo ħ𝟐 𝟐 𝑯𝝓 𝒓 = − 𝜵 + 𝑽 𝒓 𝝓 𝒓 = 𝑬(𝒓) 𝟐𝒎 Mostramos aquí que si el potencial es periódico 𝑽 𝒓 = 𝑽(𝒓 + 𝑹), los estados estacionarios se pueden elegir como estados de Bloch

De modo que: 𝝓 𝒓 = 𝒆𝒊𝒌𝒓 ∗ 𝒖 𝒓

𝒄𝒐𝒏 𝒖 𝒓 = 𝒖 𝒓 + 𝑹

Comenzamos definiendo el operador de traslación. 𝑻𝑹 𝒇 𝒓 = 𝒇 𝒓 + 𝑹 Siendo este operador unitario, de modo que 𝑻𝒕𝑹 𝑻𝑹 = 𝟏 y por lo tanto 𝑻𝒕𝑹 = 𝑻−𝑹 debido a la periodicidad del potencial, es fácil ver que el operador de traslación conmuta el Hamiltoniano, 𝑯, 𝑻𝑹 = 𝟎. por otra parte, dos operadores de traslación conmutan entre si, 𝑻𝑹 , 𝑻𝑹` = 𝟎

Si se aplica una traslación compuesta se obtiene: 𝑻𝑹+𝑹` 𝝓 = 𝒄𝑹+𝑹` 𝝓 = 𝑻𝑹 𝑻𝑹` 𝝓 = 𝒄𝑹 𝒄𝑹` 𝝓 De modo que 𝒄𝑹+𝑹` = 𝒄𝑹 𝒄𝑹` y los autovalores son de la forma: 𝒄𝑹 = 𝒆𝒊𝒌𝑹 Entonces los estados de Bloch satisfacen: 𝑻𝑹 𝝓𝒌 𝒓 = 𝝓𝒌 𝒓 + 𝑹 = 𝒆𝒊𝒌𝑹 𝝓𝒌 (𝒓)

Esto se logra escribiéndolos como el producto de una fase y una función con la periodicidad del potencial. 𝝓𝒌 𝒓 = 𝒆𝒊𝒌𝒓 𝒖𝒌 (𝒓) Con: 𝒖𝒌 𝒓 + 𝑹 = 𝒖𝒌 (𝒓)

Significado físico  Para

entender el significado físico del teorema de Bloch es necesario comprender primero el del cuasimomento. Ya se ha introducido antes que la letra k representa el vector de ondas del electrón, también llamado cuasimomento. Para entender qué simboliza, es necesario recordar que un electrón libre viene representado por el siguiente autoestado:

𝝍𝒌,𝒍𝒊𝒃𝒓𝒆 𝒓 = 𝒆𝒊𝒌𝑹 que representa una onda plana que transporta una cantidad de movimiento igual a 𝒑 = ħ𝒌. De este modo, se puede apreciar que la función de onda de un electrón contenido en un solido es la de un electrón libre, pero en este caso modulada por una función periódica que esta relacionada con la estructura del solido (y es la llamada función de Bloch).

En el caso de un electrón contenido en el solido, no necesariamente se cumple que la relación 𝒑 = ħ𝒌, y aunque el cuasimomento k es siempre constante, la cantidad de movimiento p no siempre lo es. Por esto, no debe confundirse el cuasimomento con la cantidad de movimiento.

Sin embargo, en las expresiones del teorema de Bloch, el cuasimomento k no solo aparece en la exponencial, si no también como subíndice de las funciones. Esto se debe a que k es también un numero cuántico que proviene de considerar que el solido es finito, y de imponerle las condiciones de contorno de Born-von Karman. Estas condiciones de contorno establecen que si el solido tiene N átomos, el átomo N+1 será equivalente al átono numero 1, de este modo que se pasa de tratar un solido finito, a tratar un solido periódico e infinito. Al resolver las ecuaciones de contorno se tiene que este numero cuántico “etiqueta” al electrón, y por este motivo se usa como subíndice en los autoestados del electrón 𝝍𝒌 𝒓

Aplicación 

El teorema de Bloch es de gran utilidad porque permite simplificar enormemente el tratamiento de un sólido, ya que la tercera hipótesis implica que todos los electrones se comportan igual. De manera que, para tratar el movimiento de todos los electrones del sólido, basta con resolver la ecuación de Schrödinger para un único electrón que tenga una función de ondas de la forma indicada por Bloch.