Teoria De Errores

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS CURSO: TOPOGRAFÍA

TEORIA DE ERRORES

INTRODUCCIÓN • El proceso de efectuar observaciones (mediciones), así como el de realizar los cálculos y análisis subsecuentes, son tareas fundamentales de los topógrafos. • Tomar buenas mediciones necesita una combinación de habilidad humana y equipo adecuado, aplicados ambos con buen juicio. • Sin embargo, no importa con cuanto cuidado se hagan, las mediciones nunca son exactas y siempre tendrán errores. • Los topógrafos deben conocer los distintos tipos de errores, sus causas, sus posibles magnitudes bajo diferentes condiciones de trabajo, así como su manera de propagarse. • Solo entonces podrán seleccionar los instrumentos y los procedimientos necesarios para reducir la magnitud de los errores a un nivel razonable.

• De igual importancia es que los topógrafos también deben ser capaces de evaluar las magnitudes de los errores en sus mediciones, de modo que puedan considerarlos en sus cálculos o bien, en caso de ser necesario, efectuar nuevas mediciones. • En la actualidad, las computadoras y el «sotfware» sofisticado son herramientas usadas comúnmente por los topógrafos para elaborar proyectos de medición y para investigar y distribuir los errores después de obtener las conclusiones.

MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS • Las mediciones pueden realizarse directa o indirectamente. • Como ejemplos de mediciones directas tenemos la aplicación de una cinta a una línea, medir un ángulo con transportador y determinar un ángulo con un instrumento de estación total. • Se emplea una medición indirecta cuando no es posible aplicar un instrumento directamente a la cantidad por medirse. La respuesta se determina entonces por su relación con otro valor o valores medidos. Por ejemplo, la distancia a través de un rio puede encontrarse midiendo la longitud de una línea sobre un lado, el ángulo en cada extremo de ésta línea con un punto del lado opuesto, y luego calcular la distancia empleando alguna fórmula trigonométrica.

•PERSONALES

Los errores se clasifican de acuerdo a la fuente (causas) que los produce en:

Los errores en las mediciones son de dos tipos:

•INSTRUMENTALES •NATURALES

•SISTEMÁTICOS •ALEATORIOS

•Error real, es la diferencia entre la medida de una cantidad y su valor verdadero. Si la medida es mayor que el valor verdadero, el error es por exceso o positivo; en caso contrario, se dice que es por defecto o negativo. El error real es la acumulación de errores diferentes debidos a varias causas, algunos que quizá tiendan a producir valores excesivos y, otros, a resultados menores que los verdaderos.

•Equivocación, es un error, generalmente grande, debido a una falla de criterio o a una confusión del observador. •Discrepancia, es la diferencia entre dos mediciones de la misma cantidad. •Error sistemático o acumulativo, es aquel que permanece igual en signo y magnitud si las condiciones son constantes. •Error accidental, compensado o aleatorio, es aquel cuya magnitud y dirección es sólo un accidente y está fuera de control del topógrafo.

EXACTITUD

PRECISIÓN Grado de refinamiento con el que se mide una determinada cantidad.

Grado de perfección que se obtiene en las mediciones.

Blanco 1:

Blanco 2:

Blanco 3:

Buena precisión

Baja precisión

Buena precisión

Baja exactitud

Buena exactitud

Buena exactitud

(el promedio está afuera del centro del blanco)

(el promedio está en la parte central del blanco)

(el promedio está en el centro del blanco)

El error verdadero: Es la diferencia entre la medida de una cantidad y su valor verdadero. Sin embargo, su valor exacto es imposible de determinar, puesto que para hacerlo se tendría que realizar infinitas mediciones a través de la siguiente ecuación:

E  X  li El valor más probable es un valor calculado, como el que tiene más probabilidades que ningún otro de representar el verdadero valor de la cantidad, el cual se obtiene a través de la siguiente expresión matemática:

l1  l2  l3 ... l n X n El error aparente (residual) es la diferencia entre el valor más probable (X) y la medición efectuada. Se calcula a través de la siguiente expresión:

Vi  li  X

• Error medio cuadrático de las observaciones:

V

mm 

2

n 1

• Error medio cuadrático del valor más probable:

m  m0  

• El error relativo:

Er 

V

2

n(n  1)

1 X

mX

•Tolerancia: es el error máximo permitido al efectuar mediciones.

Ejemplo: Se ha medido cuatro veces una distancia en terreno plano, y los datos obtenidos fueron:

310,25 m; 310,20 m; 310,30 m; 310,27 m Solución: 1) Se calcula el valor más probable:

l1  l2  l3 ... l n n 1241,02 X  310,255 m 4 X

2) Se calcula el error residual de cada medición:

Vi  li  X V1  l1  X  310,25  310,255  0,005 V2  l2  X  310,30  310,255  0,045 V3  l3  X  310,20  310,255  0,055 V4  l4  X  310,27  310,255  0,015

3) Se calcula el error medio cuadrático del valor mas probable: Nº

Lectura

X

Vi

Vi2

1

310.25

310.255

-0,005

0,000025

2

310.30

310.255

0,045

0,002025

3

310.20

310.255

-0,055

0,003025

4

310.27

310.255

0,015

0,000225

0,000

0,0053

∑

m  m0 

m0 

V

2

n(n  1)

(0,0053) 4(4  1)

m0 

0,0053 12

4) Se calcula el error probable:

X  m0

310,255  0,02102

m0  0,02102

5) Se calcula el error relativo:

Er 

1 X

Entonces

simplificando

m0 P

310,255 0,02102

Er 

1 14759,99

Er 

1 P

Siendo P = Precisión

P

P  14759,99049 Se compara con la tolerancia

TOLERANCIAS

Terreno plano 1/3000 Terreno accidentado 1/1000

T 

1 3000

X m0

Cuando una cantidad se mide varias veces o cuando se mide una serie de cantidades, los errores aleatorios tienden a acumularse proporcionalmente a la raíz cuadrada del número de mediciones, lo cual es conocido como ley de compensación. Cuando se realizan observaciones directas de diferente precisión, donde los errores probables pueden ser E1, E2, E3,…En respectivamente, el error probable total puede calcularse utilizando la siguiente expresión:

Etotal  

E1 2  E2 2  ...En 2

EJEMPLO: Se miden los cuatro lados aproximadamente iguales de una parcela de terreno. Estas mediciones incluyen errores probables siguientes: ±0.09 m, ±0.013 m, ±0.18 m ±0.40 m. Determine el error probable de la longitud total o perímetro de la parcela.

Etotal  

0.092  0.0132  0.182  0.402

Etotal  0.45 m

C

BC AC

Cos 

AB AC

Tan 

CATETO

Sen 

α

A

Ley de los Senos a b c   SenA SenB SenC

B

CATETO

Ley de los Cosenos a

C

b

a 2  b 2  c 2  2bc.CosA A

B c

b 2  a 2  c 2  2ac.CosB

c 2  a 2  b 2  2ab.CosC

BC AB

CASO 1 . Cuando el triangulo es rectángulo, su área se determina con la expresión:

h

Área = b x h 2

b CASO 2 . Cuando se conocen las longitudes de dos lados y el ángulo que forman entre ellos, correspondientes a cualquier triangulo, su área se determina con la expresión:

a α

c

Área = ½ x a x b x sen α

b CASO 3 . Cuando se conocen las longitudes de los tres lados de un triangulo, su área se determina con la ecuación:

a

b

Área = √ s(s-a) (s-b) (s-c) s = ½ x (a + b + c)

c CASO 4 . Cuando la figura es un trapecio, su área se determina con la ecuación:

h2

h1

Área =

b x (h1+h2) 2

b

1) Se calcula el valor más probable:

X

l1  l2  l3 ... l n n

2) Se calcula el error residual de cada medición:

Vi  li  X 3) Se calcula el error medio cuadrático del valor mas probable:

m  m0 

V

2

n(n  1)

4) Se calcula el error probable:

X  m0 5) Se calcula el error relativo:

Er 

1 X

m0

simplificando

Er 

1 P

Siendo P = Precisión

P

X m0

1. Se realizan varias mediciones a uno de los lados de un terreno y se obtienen los siguientes datos: D1= 86,16 m; D2= 80,94 m; D3= 80,92 m; D4= 80,14 m; D5= 80,34 m Calcular: a) El valor más probable, b) Error residual, c) El error medio cuadrático del valor mas probable, d) Error probable, e) Error relativo, f) Comparar los resultados con una tolerancia de T= 1/1000 2. En el siguiente terreno se presentan las siguientes mediciones angulares: AzAB = 104º 27’ 16” RCD (N 75º 0’ 0” O) AzDA

A

"

'16 27 4° 10

RBC (S 21º 37’ 43”O) = 54º 31’ 42”

B 21° 37' 43" 54° 3

Calcular: 1'4 2"

a) RAB (S E); RAD (S O) b) AzBC ; RBA (N O)

D '0" °0

c) AzCB ; AzCD

75

d) AzDC ; RDC (S E) C

3. Se realizaron unas mediciones a un tramo vial por dos grupos diferentes:

1er Grupo 1) 200.19 mts 2) 200.27 mts 3) 200.21 mts 4) 200.22 mts

2do Grupo 1) 200.30 mts 2) 200.24 mts 3) 200.18 mts 4) 200.26 mts

a) Determine cual de los grupos obtuvo una mayor precisión b) Cual de los grupos se encuentra dentro de una TOLERANCIA +/- 1/1000 4. De acuerdo a la fig. y a los datos suministrados. Calcule el RAB; RCB B

Conociendo: A C

AB = 120 m; BC = 160 m; AC = 175 m. RBA= 35º 14’ 27” SO

5. Se muestra el alineamiento de los linderos de un terreno: B

439.28 m

325 m

C A

RAB (N 48º 52’ 53”E) RDA (N 74º 25’ 09”O) RCB (N 40º 25’ 32”O)

D

Calcule la superficie de la fig. A, B, C, D

Se realizaron las mediciones del tramo AD y se obtuvieron los siguientes resultados: a) 450.30 b) 450.33 c) 450.41 d) 450.38 e) 450.36 Aplicar la teoría de errores y determinar: El valor más probable, Error residual, El error medio cuadrático del valor mas probable, Error probable, Error relativo. (Nota: utilice el valor obtenido para resolver el ejercicio)