Teoria De La Capa Limite Para Flujo Laminar Y Turbulento.

Teoría de la capa limite. La teoría de la capa limite se utiliza para describir un flujo viscoso, obteniendo una solución aproximada para las componentes de velocidad en una capa limite muy delgada cerca de la pared, teniendo en cuenta la viscosidad. Luego se hace “corresponder” esta solución con la solución de flujo potencial que describe el flujo fuera de la capa limite. Este método es mas efectivo a medida que el numero de Reynolds aumenta. Las fórmulas aceptadas para el flujo de placa plana y sus rangos aproximados son:

{

5.0 1 2 x

laminar 103 < ℜx <106

δ ℜ = x 0.16 ℜ

1 7 x

turbulento 106 < ℜx

Ecuaciones de capa limite (dos dimensiones). Se considera un flujo bidimensional estacionario de un fluido con ρ y p constantes alrededor de un objeto sumergido (Fig. 1). Se establece que los cambios en la velocidad se llevan a cabo en una región delgada (capa limite) donde los efectos de la curvatura no son importantes. Con esto es posible establecer un sistema de coordenadas cartesianas con x apuntando corriente abajo, y con y perpendicular a la superficie sólida. Así, la ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes son:

∂u ∂ v + =01.1 ∂x ∂ y ρ u

(

∂u ∂ u −∂ p ∂2 u ∂2 u +v = +μ + 1.2 ∂x ∂y ∂x ∂ x2 ∂ y2

(

∂v ∂ v −∂ p ∂2 v ∂2 v +v = +μ + 1.3 ∂x ∂y ∂y ∂ x2 ∂ y2

ρ u

) )

( (

) )

Estas ecuaciones deben resolverse par u , v y p sujetos a condiciones típicas de límite de entrada, salida y no deslizamiento. En 1904 Prandtl dedujo que una capa de corte debe ser muy delgada si el número de Reynolds es grande, de modo que se aplican las siguientes aproximaciones: Velocidades Tasas de cambio Numero de Reynolds

v≪u ∂u ∂u ∂ v ∂v ≪ ; ≪ ∂x ∂ y ∂x ∂y Ux ℜx = ≫1 ν

1.4 1.5 1.6

Aplicando estas aproximaciones a la ecuación 1.3 obtenemos:

∂v ∂ v −∂ p ∂2 v ∂2 v +ρ v = +μ + μ 1.7 ∂x ∂y ∂y ∂ x2 ∂ y2

( ) ( )

ρ u

( ) ( )

En otras palabras, la ecuación de momento en y se puede despreciar, y la presión varia solo a lo largo de la capa limite, no a través de ella. El termino del gradiente de presión en la ecuación 1.2 se asume conocido de antemano a partir de la ecuación de Bernoulli aplicada al flujo no viscoso exterior:

∂ p dp dU = =−ρU 1.8 ∂ x dx dx Así mismo, un termino de la ecuación 1.2 es insignificante debido a las ecuaciones 1.41.6:

∂2 u ∂2 u ≪ ∂ x2 ∂ y2

Todo esto lleva a que las tres ecuaciones de movimiento se reducen a dos ecuaciones de capa limite de Prandtl para el flujo incompresible bidimensional:

∂u ∂ v + =0 ∂x ∂ y Movimiento ∂u ∂u dU 1 ∂ τ u +v ≈U + ∂x ∂y dx ρ ∂y Donde ∂v μ x para flujo laminar ∂x τ= ∂v μ x − ρ v x ´ v y ´ para flujo turbulento ∂y Estas ecuaciones se deben resolver para u ( x , y ) y v ( x , y ) , asumiendo que U ( x ) es una función conocida. Así mismo, existen dos condiciones de contorno en u y otra en v : Continuidad

{

u=v=0 en y=0 u=U ( x ) en y=δ Capa límite para flujos laminares. Para un flujo laminar, las ecuaciones de la capa limite se pueden resolver para u y v, asumiendo que la velocidad de flujo sobre U es constante

dU =0 . La solución la dio dx

Blasius, en su disertación en 1908. Con una transformación de coordenadas, Blasius demostró que el perfil de velocidad adimensional 1

U 2 variable adimensional compuesta ( y ) : ( vx )

[ ]

u es una función únicamente de la U

u U 12 =f ´ ( η ) , η= y 2.1 U vx

( )

Donde la comilla denota la diferenciación respecto a η . La sustitución de 2.1 en las ecuaciones de capa limite reduce el problema a una ecuación diferencial ordinaria no lineal de tercer orden para f [ 1−3 ].

1 f ´ ´ ´ + ff ´ ´ =0 2.2 2 Las condiciones fronteras se vuelven:

f ( 0 )=f ´ ( 0 )=0 2.2 f ´ ( ∞ ) →1.0 2.3 Esta es la ecuación de Blasius, para la cual ya existen soluciones precisas mediante integración numérica.

u se aproxima a 1.0 solo cuando y → ∞, se acostumbra a seleccionar el U u espesor de la capa limite como ese punto donde =0.99. Esto ocurre cuando η=5.0: U Dado que

δ 5.0 ≈ 1 2.4 x ℜx2 Con el perfil conocido, se puede calcular el espesor de corte y desplazamiento de la pared:

Cf =

0.664 δ ¿ 1.721 , = 1 2.5 1 x 2 ℜx ℜ2x

Cuando C f se convierte en su forma dimensional se tiene: 1

τ w ( x )=

1

0.332 ρ 2 μ 2 U 1.5 1

x2 x

Si sustituimos τ w ( x ) en la ecuación de espesor de momento D ( x ) =b∫ τ w ( x ) podemos 0

calcular la fuerza total de arrastre: x

1 2

1 2

D ( x ) =b∫ τ w ( x )=0.332 b ρ μ U

1.5

1 2

x 2.6

0

El arrastre aumenta solo como la raíz cuadrada de la longitud de la placa. El coeficiente de arrastre adimensional se define como:

CD=

2 D ( L ) 1.328 = =2C f ( L ) 2.7 1 ρU 2 bL 2 ℜL

Por lo tanto, para el flujo laminar C D es igual al doble del valor del coeficiente de fricción superficial en el borde de fuga. Este es el arrastre en un lado del plato. Kármán también señalo que la resistencia también se podría calcular a partir de la relación de momento. Que en su forma adimensional es:

CD=

2 θ ( L) L

Capa límite para flujos turbulentos. No hay una teoría exacta para un flujo turbulento de placa plana, aunque existen soluciones informáticas de las ecuaciones de la capa limite que utilizan varios modelos empíricos para la viscosidad turbulenta en remolinos. El resultado que mas se acepta es simplemente un análisis integral similar al del perfil laminar. Para analizar el flujo turbulento se puede utilizar la relación integral de cantidad de movimiento para el flujo de la capa límite de placa plana de Kármán: Comenzamos con la ecuación. (7.5), que es válido para flujo laminar o turbulento. Lo escribimos aquí para una referencia conveniente:

τ w ( x )=ρ U 2

dθ (1) dx

Combinándola con la ecuación de esfuerzo cortante a lo largo de la placa C f =

2 τw ρ U2

se

obtiene:

C f =2

dθ (2) dx

De acuerdo a la figura 1 observamos que los perfiles turbulentos no son parabólicos. Y observando la figura 2, vemos que el flujo de la placa plana es casi logarítmico, con una ligera estela externa y una fina subcapa viscosa. Por lo tanto, al igual que en el flujo de tubería turbulento, se puede asumir que la ley logarítmica se mantiene en toda la capa límite.

τw u 1 y u¿ ¿ ln + B ,u = ¿≈ v ρ u k

( )

1 2

Donde k =0.41 y B=5.0 . En el borde exterior de la capa límite, y=δ y u=U , entoces la ecuación 3 se convierte en:

U 1 δ u¿ ≈ ln + B( 4) v u¿ k

Pero la definición del esfuerzo cortante a lo largo de la placa Eq.2, es tal que se mantienen las siguientes identidades:

U 2 ¿≡ C u f

( )

1 2

,

C δ u¿ ≡ ℜδ f v 2

( )

1 2

Entonces la ecuación 4 se convierte:

2 Cf

( )

1 2

Cf 2

1 2

[ ( )]

≈2.44 ln ℜδ

+5.0(5)

La ecuación 5 es una ley complicada, pero se puede resolver para algunos valores.

ℜδ Cf

104 0.00493

105 0.00315

106 0.00217

107 0.00158

Ahora siguiendo una de las sugerencias de Prandtl, podemos dejar de lado esta ecuación y simplemente ajustar los valores de la tabla 1 a una aproximación de exponenciales. −1

C f ≈ 0.02 ℜδ6 (6) Esta ecuación será el lado izquierdo de la ecuación 2. Para encontrar el lado derecho seguimos otra sugerencia de Prandtl, quien señalo que los perfiles turbulentos pueden aproximarse mediante una ley de séptima potencia:

y 17 ≈ (7) δ turb

u U

( ) ()

δ

Con esta aproximación, el espesor del momento C D = δ

θ ≈∫ 0

y δ

1 7

(

1 7

( ) ( ( ) )dy = 727 δ( 8) 1−

y δ

2 u u 1− dy se puede evaluar: ∫ L0 U U

Este resultado se sustituye en la ecuación 2: −1

C f =0.02 ℜδ6 =2

d 7 δ dx 72

( )

0 −1

ℜδ6 =9.72

d ( ℜδ ) dδ =9.72 (9) dx d ( ℜ x)

Separando variable e integrando, asumiendo que δ =0 , y x=0 : 6

ℜδ ≈ 0.16 ℜδx7 o

δ 0.16 ≈ 1 (10) x ℜ7x

)

De las ecuaciones 10 podemos decir que el espesor de la capa límite con flujo turbulento aumenta x 6 /7 más rápido que el aumento en un flujo laminar. La ecuación 10 es la solución a muchos problemas, ya que ahora todos los demás parámetros están disponibles.