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Capítulo 23. Fuerza eléctrica Ley de Coulomb 23-1. Dos esferas, cada una con una carga de 3 µC, están separadas por 20 mm. ¿Cuál es la fuerza de repulsión entre ellas?

F=

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(3 " 10!6 C)(3 " 10!6 C) ; (20 " 10!3 m) 2 F = 202 N

23-2. Dos cargas puntuales de −3 y +4 µC están separadas 12 mm en el vacío. ¿Cuál es la fuerza electrostática entre ellas?

F=

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(!3 " 10!6 C)(4 " 10!6 C) ; (12 " 10!3 m) 2 F = 750 N, atracción

23-3. Una partícula alfa consiste en dos protones (qe = 1.6 × 10−19 C) y dos neutrones (sin carga). ¿Cuál es la fuerza de repulsión entre dos partículas alfa separadas 2 mm entre sí? qα = 2(1.6 × 10−19 C) = 3.2 × 10−19 C

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(3.2 " 10!19 C)(3.2 " 10!19 C) F= ; (2.00 " 10!9 m) 2 F = 2.30 × 10− 10 N 23-4. Suponga que el radio de la órbita del electrón en torno del protón, en un átomo de hidrógeno, es de 5.2 × 10−11 m, aproximadamente. ¿Cuál es la fuerza electrostática de atracción?

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(1.6 " 10!19 C)(!1.6 " 10!19 C) F= ; (5.2 " 10!11m) 2 F = 8.52 × 10− 8 N

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23-5. ¿Cuál es la separación de dos cargas de −4 µC si la fuerza de repulsión es 200 N? kqq ' (9 x 109 N ! m 2 /C2 )("4 x 10-6 C) 2 = ; F 200 N

r=

r = 26.8 mm 23-6. Dos cargas idénticas separadas 30 mm son sujetas a una fuerza de repulsión de 980 N. ¿Cuál es la magnitud de cada carga? F=

kq 2 ; q= r2

Fr 2 (980 N)(0.030 m) 2 = ; k 9 x 109 N ! m 2 /C2

q = 9.90 µC *23-7. Una carga de 10 µC y otra de −6 µC están separadas 40 mm. ¿Qué fuerza existe entre ellas? Las esferas se ponen en contacto unos cuantos segundos y luego se separan de nuevo 40 mm. ¿Cuál es la nueva fuerza? ¿Es de atracción o de repulsión?

F=

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(!6 " 10!6 C)(10 " 10!6 C) ; (40 " 10!3 m) 2 F = 338 N, atracción

0.08 m

Cuando las esferas se tocan, se neutralizan 6 µC de carga, dejando 4 µC para ser compartidos por las dos esferas, o +2 µC en cada esfera. Ahora de nuevo se separan.

F=

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(2 " 10!6 C)(2 " 10!6 C) ; (0.080 m) 2

10 µC

−6 µC

2 µC

2 µC 2 µC

2 µC 0.08 m

F = 5.62 N, repulsión

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*23-8. Dos cargas puntuales se atraen inicialmente entre sí con una fuerza de 600 N. Si su separación se reduce a un tercio de su valor original, ¿cuál es la nueva fuerza de atracción?

1 F# 2; r

2

2 1 1

2 2 2

Fr = F r ;

! r12 " !r " F2 = F1 $ 2 % = F1 $ 1 % ; & r2 ' & r2 '

r1 = 3 r2

2

! 3r " F2 = F1 # 2 $ = 9 F1 ; % r2 & F2 = 5400 N

Fuerza electrostática resultante 23-9. Una carga de +60 µC se coloca 60 mm a la izquierda de una carga de +20 µC. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre una carga de −35 µC colocada en el punto medio entre las dos cargas?

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(60 " 10!6 C)(35 " 10!6 C) F13 = (30 " 10!3 m) 2 4

F13 = 2.10 × 10 N, dirigida a la izquierda 9

F23 =

2

2

!6

+60 µC

60 mm −35 µC

+20 µC

q1

q3

q2

F1

F2

!6

(9 " 10 N # m /C )(20 " 10 C)(35 " 10 C) ; (30 " 10!3 m) 2

F13 = 2.10 × 104 N, a la derecha. FR = F13 + F23 = (−2.10 × 104 N) + (0.700 × 104 N); FR = −1.40 × 104 N, izquierda

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23-10. Una carga puntual de +36 µC se coloca 80 mm a la izquierda de una segunda carga puntual de −22 µC. ¿Qué fuerza se ejerce sobre una tercera carga de +10 µC colocada en el punto medio?

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(36 " 10!6 C)(10 " 10!6 C) F13 = (40 " 10!3 m) 2

+36 µC

80 mm 10 µC

q1

q3

F13 = 2025 N, dirigida a la derecha

−22 µC F1

q2

F2

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(22 " 10!6 C)(10 " 10!6 C) F23 = ; (40 " 10!3 m) 2 F13 = 1238 N, dirigida a la derecha FR = F13 + F23 = 2025 N + 1238 N; FR = 3260 N, izquierda

23-11. En el problema 23-10, ¿cuál es la fuerza resultante sobre una tercera carga de +12 µC colocada entre las otras cargas y a 60 mm de la carga de +36 µC?

F13 = F23 =

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(36 " 10!6 C)(12 " 10!6 C (60 " 10!3 m) 2

80 mm

+36 µC

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(22 " 10!6 C)(12 " 10!6 C) ; (20 " 10!3 m) 2

q3 = 12 µC

60 mm F2 Ambas a la derecha, así que: FR = F13 + F23 = 1080 N + 5940 N; q1

−22 µC F1

q2

F = 7020 N, a la derecha 23-12. Una carga de +6 µC está 44 mm a la derecha de una carga de −8 µC. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre una carga de −2 µC que se encuentra 20 mm a la derecha de la carga de −8 µC?

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(8 " 10!6 C)(2 " 10!6 C) F13 = (20 " 10!3 m) 2 F23 =

-8 µC

44 mm q3 = −2 µC

q1 20 mm

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(2 " 10!6 C)(6 " 10!6 C) ; (24 " 10!3 m) 2

F2

24 mm

6 µC F1

q2

Ambas a la derecha, así que: FR = F13 + F23 = 360 N + 187.5 N; F = 548 N, a la derecha

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*23-13. Una carga de 64 µC está colocada 30 cm a la izquierda de una carga de 16 µC. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre una carga de −12 µC ubicada exactamente 50 mm debajo de la +64 µC 30 mm q2 16 µC carga 16 µC? q1 φ s = (30 mm) 2 + (50 mm) 2 = 58.3 mm tan ! =

F13 =

50 mm ; ! = 59.0º 30 mm

s

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(64 " 10!6 C)(12 " 10!6 C) (58.3 " 10!3 m) 2

50 mm F1

F2

φ

F13 = 2033 N, 59.00 N del O

F23 =

q3 = -12 µC

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(16 " 10!6 C)(12 " 10!6 C) = 691 N hacia arriba (50 " 10!3 m) 2

Fx = 0 – F13 cos 59.0º = – (2033 N) cos 59º ; Fx = –1047 N Fy = F23 + F13 sen 59.0º = 691 N + (2033 N) sen 59º; Fy = 2434 N F = ("1047 N) 2 + (2434 N) 2 = 2650 N;

tan! =

2434 N ; θ = 66.7º NO "1047 N

Fuerza resultante: FR = 2650 N, 66.7º NO (o 113.3º) *23-14. Una carga de +60 nC se halla 80 mm arriba de una carga de −40 nC. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre una carga de −50 nC colocada 45 mm a la +60 derecha µC de la carga de −40 nC q1

en dirección horizontal?

s = (45 mm) 2 + (80 mm) 2 = 91.8 mm tan ! =

F13 =

80 mm ; 45 mm

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(60 " 10!6 C)(50 " 10!6 C) (91.8 " 10!3 m) 2

F13 = 2564 N, 60.64º NO

F23 =

345

80 mm

! = 60.640

s F1

F2

F2 45 mm φq = -50 µC 3 −40 µC q2

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(40 " 10!6 C)(50 " 10!6 C) = 8889 N, a la derecha (45 " 10!3 m) 2

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*23-14. (Cont.) Fx = – F13 cos 60.64º + F23 = − (2564 N) cos 60.64º + 8889 N; Fx = 7632 N Fy = +F13 sen 60.64º + 0 = (2564 N) sen 60.64º; Fy = 2235 N F = (7632 N) 2 + (2235 N) 2 ; tan! =

2235 N ; 7632 N

FR = 7950 N, θ = 16.3º NE *23-15. Tres cargas puntuales, q1 = +8 µC, q2 = −4 µC y q3 = +2 µC, están en las esquinas de un triángulo equilátero, 80 mm sobre cada uno de los lados, como se muestra en la figura 23-15. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre la carga de +8 µC?

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(4 " 10!6 C)(8 " 10!6 C) F21 = (80 " 10!3 m) 2

q1= 8 µC

600 600

F21 = 45.0 N, 60º SE

F31 =

F2 φ

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(2 " 10!6 C)(8 " 10!6 C) (80 " 10!3 m) 2

F31 = 22.5 N, 60º NE;

80 mm q3 +2 µC

Fx = (22.5 N) cos 60º + (45 N) cos 60º = 33.8 N

F1

80 mm

φ 80 mm q2 = -4 µC

Fy = (22.5 N) sen 60º − (45 N) sen 60º = −19.5 N F = (33.8 N) 2 + ("19.5 N) 2 = 39.0 N; tan! =

"19.5 N ; ! = "30º 33.8 N

Fuerza eléctrica resultante: FR = 39.0 N, θ = 330.0º

Problemas adicionales 23-16. ¿Cuál debe ser la separación entre dos cargas de +5 µC para que la fuerza de repulsión sea de 4 N? r=

kqq ' (9 " 109 N # m 2 /C2 )(5 " 10!6 C) 2 = ; F 4.00 N

r = 23.7 cm

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23-17. La fuerza de repulsión entre dos esferas de médula de madera es de 60 µN. Si cada esfera de médula tiene una carga de 8 nC, ¿cuál es la separación entre ellas? kqq ' (9 " 109 N # m 2 /C2 )(8 " 10!9 C) 2 r= = ; F 60 " 10!6 N

r = 98.0 mm 23-18. Dos cargas desconocidas idénticas se encuentran sometidas a una fuerza de repulsión recíproca de 48 N cuando la distancia entre ellas es de 60 mm. ¿Cuál es la magnitud de cada carga? F=

kq 2 ; q= r2

Fr 2 (48 N)(0.060 m) 2 = ; k 9 ! 109 N " m 2 /C2

q = 4.38 µC 23-19. Un objeto contiene un exceso de 5 × 1014 electrones y otro tiene una deficiencia de 4 × 1014 electrones. ¿Cuál es la fuerza que cada uno ejerce sobre el otro si están a 30 mm de distancia uno del otro? ¿Se trata de atracción o de repulsión? [1e = 1.6 × 10-19 C, exceso = −, deficiencia = +.] q1 = (5 × 1014 e)(1.6 × 10−19 C/e) = −80 µC; q2 = (4 × 1014 e)(1.6 × 10−19 C/e) = +64 µC

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(80 " 10!6 C)(64 " 10!6 C) F= ; (30 " 10!3 m) 2 F = 5.12 × 104 N, atracción 23-20. Si fuera posible colocar 1 C de carga en cada una de dos esferas separadas por una distancia de 1 m, ¿cuál sería la fuerza de repulsión en newtons?

F=

(9 x 109 N ! m 2 /C2 )(1 C)(1 C) ; (1 m) 2 F = 9 × 109 N

El coulomb es una unidad demasiado grande para aplicaciones electrostáticas.

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23-21. ¿Cuántos electrones es necesario colocar en cada una de dos esferas, separadas entre sí 4 mm, para producir una fuerza de repulsión de 400 N entre ellas? F=

kq 2 ; q= r2

Fr 2 (400 N)(0.004 m) 2 = ; q = 843 nC k 9 ! 109 N " m 2 /C2

1e " # q = 843 $ 10!9 C % &; !19 ' 1.6 $ 10 C ( q = 5.27 × 1012 electrones 23-22. Una carga de −40 nC se coloca 40 mm a la izquierda de una carga de +6 nC. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre una carga de −12 nC colocada 8 mm a la derecha de la carga de +6 nC?

F1 =

q3 = −12 nC (9 " 109 N # m 2 /C2 )(40 " 10!9 C)(12 " 10!9 C) 6 nC 8 mm −40 nC 40 mm (48 " 10!3 m) 2

F2 =

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(6 " 10-9 C)(12 " 10!9 C) ; (8 " 10!3 m) 2

q2

q1

F1

F2

Ambas a la derecha, así que: FR = F1 + F2 = 1.88 mN – 10.1 mN; F = −8.25 mN, a la izquierda 23-23. Una carga de 5 µC se halla 6 cm a la derecha de una carga de 2 µC. ¿Cuál es la fuerza resultante sobre una carga de −9 nC colocada 2 cm a la izquierda de la carga de 2 µC?

F1 =

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(9 " 10!9 C)(2 " 10!6 C) (2 " 10!2 m) 2

F1 = +405 mN, a la derecha

−9 nC 2 cm

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(5 " 10-6 C)(9 " 10!9 C) F2 = ; (8 " 10!2 m) 2

2 µC q1

6 cm F1

5 µC q2

F2

F2 = +63.3 mN, a la derecha Fuerza resultante: FR = 405 mN + 63.3 mN; FR = 468 mN

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23-24. El mismo número de electrones se coloca en dos esferas de metal separadas 3.0 cm en el aire. ¿Cuántos electrones hay en cada esfera si la fuerza resultante es de 4500 N? kq 2 ; q= r2

F=

Fr 2 (4500 N)(0.03 m) 2 = ; q = 21.2 µC k 9 ! 109 N " m 2 /C2

1e " # q = 21.2 $ 10!6 C % &; !19 ' 1.6 $ 10 C ( q = 1.33 × 1014 electrones 23-25. Una carga de 4 nC se coloca sobre una esfera de 4 g que puede moverse libremente. Una carga puntual fija de 10 µC está a 4 cm de distancia. ¿Cuál es la aceleración inicial de la carga de 4 µC?

F2 =

a=

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(4 " 10-9 C)(10 " 10!6 C) ; F2 = 225 mN (4 " 10!2 m) 2

F 0.225 N = ; m 0.004 kg a = 56.2 m/s2

*23-26. Halle la fuerza resultante sobre una carga de +2 µC ubicada a 60 mm de distancia de cada una de dos cargas de −4 µC separadas entre sí 80 mm en el aire. tan ! =

40 mm ; ! = 48.2º 60 mm 9

F2 =

2

2

q1 = 2 µ C

φ !6

!6

(9 " 10 N # m /C )(4 " 10 C)(2 " 10 C) (60 " 10!3 m) 2

F2 = 20.0 N, 48.2º SE

F1 =

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(2 " 10!6 C)(4 " 10!6 C) ; (60 " 10!3 m) 2

F1 φ 60 mm

F2 φ 60 mm

q3

φ

−4 µC

q2 = −4 µC 40 mm

F1 = 20.0 N, 48.2º SO Fx = (20 N) cos 48.2º + (20 N) cos 48.2º = 13.33 N − 13.33 N; Fx = 0 Fy = (20 N) sen 48.2º + (20 N) sen 48.2º = 14.9 N + 14.9 N; Fy = −29.8 N Fuerza resultante: FR = 29.8 N, hacia abajo

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*23-27. Dos cargas de +25 y +16 µC están separadas por una distancia de 80 mm. Una tercera carga de +60 µC se coloca entre las otras cargas a 30 mm de la carga de +25 µC. Halle la fuerza resultante sobre la tercera carga.

F1 =

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(60 " 10!6 C)(25 " 10!6 C) (30 " 10!3 m) 2

F1 = 15 kN, dirigida a la derecha

F2 =

80 mm

25 µC

q1 30 mm

q2

50 mm

F1

F2

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(60 " 10!6 C)(16 " 10!6 C) ; (50 " 10!3 m) 2

16 µC

q3 = 60 µC

F13 = 3.46 kN, a la izquierda. FR = F1 + F2 = 15 kN + 3.46 kN); FR = 11.5 kN, derecha *23-28. Una esfera de médula de saúco de 0.02 g está suspendida libremente. Se le imparte una carga de +20 µC y se coloca a 0.6 m de una carga de +50 µC. ¿Cuál será la aceleración inicial de la esfera de médula?

F=

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(20 " 10!6 C)(50 " 10!6 C) ; F = 25.0 N (0.600 m) 2

a=

F 25.0 N = ; m 2 " 10!5 kg a = 1.25 × 106 m/s

*23-29. Una carga de 4 µC se halla a 6 cm de una carga de 8 µC. ¿En qué punto de la recta que une las dos cargas tendrá la fuerza resultante el valor de cero?

F1 = F2 ;

kq3 q1 kq3 q2 = 2 x (6 ! x) 2

F1 = F2 ;

q1 q2 = ; 2 x (6 # x) 2

F1 = F2

4 µC !q " x 2 = $ 1 % (6 # x) 2 & q2 '

q2

x

6 cm - x q3

8 µC q1

Obtenga la raíz cuadrada de ambos términos: x=

q1 (6 ! x) = q2

4 µC (6 ! x); x = 0.707(6 ! x) 8 µC

Resolviendo para x: x = 2.49 cm de una carga 4 µC

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*23-30. Una carga de +8 nC se coloca 40 mm a la izquierda de una carga de −14 nC. ¿Dónde se debe colocar una tercera carga para que ésta quede sometida a una fuerza resultante de cero? F1 = F2

Al considerar el signo de las cargas y sus magnitudes, la carga deberá estar a la izquierda de la carga 8 nC, como se muestra.

F1 = F2 ;

kq3 q1 kq3 q2 = ; F1 = F2 ; 2 x (40 + x) 2

x

q3

q1 q2 = ; 2 x (40 + x) 2

−14 nC

8 nC q1

40 mm

q2

!q " x 2 = # 1 $ (40 + x) 2 % q2 &

Obtenga la raíz cuadrada de ambos miembros: x=

q1 8 nC (40 + x) = (40 + x); x = 0.756(40 + x) q2 14 nC

Resolviendo para x: x = 124 mm a la izquierda de una carga de 8 nC *23-31. Una carga de +16 µC está 80 mm a la derecha de una carga de +9 µC. ¿Dónde se debe colocar una tercera carga para que la fuerza resultante sea cero?

F1 = F2 ;

kq3 q1 kq3 q2 = 2 x (80 ! x) 2

F1 = F2

9 µC

! q1 " q q2 2 2 F1 = F2 ; 12 = ; x = $ % (80 # x) 2 x (80 # x) & q2 '

q1

x

q3

+16 µC

80 mm - x

q2

Obtenga la raíz cuadrada de ambos miembros: x=

q1 9 µC (80 ! x) = (80 ! x); x = 0.750(80 ! x) q2 16 µ C

Resolviendo para x: x = 34.3 mm de una carga de 9-µC

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*23-32. Dos esferas de 3 g están suspendidas de un mismo punto mediante dos hilos delgados de seda de 80 mm con masa insignificante. ¿Qué carga habrá que colocar en cada esfera para que en sus posiciones finales estén separadas por una distancia de 50 mm? cos ! =

25 mm ; ! = 71.8º ; Ty = T sen φ = mg 80 mm "3

T=

T

80 mm

F

φ

2

mg (3 # 10 kg)(9.8 m/s ) ; T = 30.9 mN = sen! sen 71.8º

mg

25 mm

F mg

Tx = T cos 71.8º = (30.9 mN) cos 71.8º; Tx = 9.67 mN; ΣFx = 0; F = Tx F=

kq 2 = 9.67 mN; q = r2

Fr 2 (9.67 " 10!3 N)(50 " 10!3 m) 2 = ; k 9 " 109 N # m 2 /C2

q = 51.8 nC

Preguntas para la reflexión crítica *23-33. A una pequeña esfera de metal se le imparte una carga de +40 µC y a una segunda esfera colocada a 8 cm de distancia se le imparte una carga de −12 µC. ¿Cuál es la fuerza de atracción entre ambas? Si se permite que las dos esferas se toquen y luego se vuelven a separar 8 cm, ¿qué nueva fuerza eléctrica existe entre ellas? ¿Esta fuerza es de atracción o de repulsión?

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(12 " 10!6 C)(40 " 10!6 C) F= ; (0.080 m) 2 F = 675 N, atracción

-12 µC

40 µC 0.08 m

Cuando las esferas se tocan, 6 µC de carga se neutralizan, dejando 28 µC para compartirse entre dos esferas, o sea, +14 µC sobre cada esfera. Ahora de nuevo ellas se separan:

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(14 " 10!6 C)(14 " 10!6 C) F= ; (0.080 m) 2

14 µC

14 µC 0.08 m

F = 276 N, repulsión

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*23-34. La carga total sobre dos esferas de metal separadas 50 mm es de 80 µC. Si se repelen entre sí con una fuerza de 800 N, ¿cuál es la carga en cada esfera? q1 + q2 = 80 µC; q2 = 80 µC – q1

F=

50 mm q2

q1

kq1q2 kq1 (80 µ C ! q1 ) kq1 (80 µ C ) ! kq12 = ; F = ; r2 r2 r2

Fr 2 = (80 µ C)q1 ! q12 k (800 N)(50 " 10!3 m) 2 = (80 µ C)q1 ! q12 ; 9 2 2 (9 " 10 N # m /C ) q12 – (80 × 10− 6 C)q1+ 222 × 10− 12 C2 = 0 Resuelva la ecuación cuadrática con a = 1, b = − 80 × 10−6 y c = 222 x ×10−12 q1 = 77.1 µC y q1 = 2.89 µC Ahora q2 = 80 µC – q1 da lo siguiente: q2 = 2.89 µC y q2 = 77.1 µC Así, una carga es 77.1 µC y la otra es 2.89 µC *23-35. A cada una de cuatro pequeñas esferas se les proporciona cargas de q = +20 µC y se colocan en las esquinas de un cuadrado cuyos lados tienen 6 cm de longitud. Demuestre que la fuerza resultante en cada carga tiene una magnitud igual a 1914 N. ¿Cuál es la dirección de la fuerza? ¿Qué cambiaría si cada una de las cargas fuera de q = −20 µC? (Cargas iguales se repelen, por lo que el signo no importa.) F1

R = (6 cm) 2 + (6 cm) 2 = 8.485 cm (9 " 109 N # m 2 /C2 )(20 " 10!6 C)(20 " 10!6 C) F1 = (6 " 10!2 m) 2 F2 =

(9 " 109 N # m 2 /C2 )(20 " 10!6 C)(20 " 10!6 C) (8.485 " 10!2 m) 2

6 cm

q

6 cm

φ F2 F1

φ

R

6 cm

F1 = 1000 N; F2 = 500 N q

q 6 cm Fx = (1000 N) + (500 N) cos 45º + 0 = 1354 N; Fy = 1000 N + (500 N) sen 450 = 1354 N Para un cuadrado, el ángulo φ = 45º

F = (1354 N) 2 + (1354 N) 2 ; F = 1914 N, 45º lejos del centro

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*23-36. Dos cargas q1 y q2 están separadas por una distancia r. A esta distancia se ejerce sobre ellas una fuerza F. Si la separación inicial disminuye en sólo 40 mm, la fuerza entre las dos cargas se duplica. ¿Cuál era la separación inicial? 2 kq1q2 x2

=

kq1q2 ( x ! 40 mm) 2

2

;

2 1 = 2 x ( x ! 40 mm) 2

F

F

x

q1

q2

2

x = 2(x – 40 mm) . Obtenga la raíz cuadrada de ambos:

x – 40 mm

x = 1.414(x – 40 mm);

q1

x = 137 mm

2F

2F q2

*23-37. Dos esferas de médula de saúco de 8 g están suspendidas de hilos de seda de 60 cm de longitud, atados a un mismo punto. Cuando se imparte a las esferas cantidades iguales de carga negativa, se separan y quedan en reposo a 30 cm una de otra. Calcule la magnitud de la carga en cada esfera de médula. cos ! =

0.15 m ; ! = 75.5º ; Ty = T sen φ = mg 0.60 m

mg (8 # 10"3 kg)(9.8 m/s 2 ) ; T = 81.0 mN T= = sen ! sen 75.5º

T F

Tx = T cos 71.8º = (81.0 mN) cos 75.5º; Tx = 20.25 mN;

0.6 m φ

mg

0.15 m

F mg

ΣFx = 0: F = Tx kq 2 F = 2 = 20.25 mN; q = r

Fr 2 (2.025 " 10!4 N)(0.30 m) 2 = ; k 9 " 109 N # m 2 /C2

q = − 450 nC

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