Trabajo Capa Limite

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América)

Facultad de Ciencias Físicas

E.A.P. INGENIERÍA MECÁNICA DE FLUIDOS Curso:

Capa Límite

Semestre: 2016-II Profesor: William

Ing. CHAUCA NOLASCO,

Trabajo:

Solución Numérica de Blasius

Alumno:  DÁVILA BALBÍN, JUNIOR  BASUALDO PARDO, ANGELO  ALVARADO HUAMÁN, JULIO

13130086 13130161 13130034

2016 1. Solución analítica de Blasius para Capa Límite Solución analítica de Blasius para flujo laminar A partir de las ecuaciones de Prandtl de la capa limite Blasius obtuvo la solución analítica del perfil de velocidades para flujo laminar con la dificultad que es una solución por integración numérica obteniendo que u se aproxima en una asíntota vertical a

U

con la que el espesor de la capa limite no se

pueda obtener con la condición u=U . No obstante que la condición que u=0.99× U se alcanza aproximadamente con:

y=

√

5 U ρ. . x μ

Con lo que definiendo el espesor de la capa limite en esa posición vertical se tiene: δ 5.0 δ¿ 1.721 = = x √ Rex x √ Rex Cf=

0.664 1.328 CD= C D=2. C f √ Rex √ Rex

Solución analítica de Blasius para flujo bidimensional Para encontrar la solución exacta de la capa límite sumergida en un flujo bidimensional incompresible y permanente, es necesario recordar las Ecuaciones Fundamentales de la Capa Limite y condiciones de frontera:

u.

∂u ∂u 1 ∂ u ∂2 u +v. = . +v . 2 ...(1) ∂x ∂y ρ ∂x ∂y

∂p ∂u ∂ v =0 … ( 2 ) + =0 ...(3) ∂y ∂x ∂ y Condiciones de frontera: a)

y=0 u=v =0 …( 4)

b)

y=δ u=U 0 …(5)

c)

y=−0 u=U ∞ …(6)

Blasius define la variable n que es una variable que relaciona la distancia desde la superficie y acotada a través de la normal a la superficie y el espesor δ de la capa limite en la sección analizada caso general, el espesor de la capa limite se puede escribir

δ=C √ υt C :Cte . proporcionabilidad

Donde

υ :Viscosidad Cinematica

t :tiempo Para el caso de un flujo permanente

t

se reemplaza por

x , esto es el U∞

tiempo no necesario para que una particula fluida del flujo externo viaje a una distancia x para un caso general la nueva variación n es:

n=

V …(7) δ

Dentro de la capa limite existe un perfil de velocidades que es similar en cualquier sección de la capa límite, este perfil tendrá que ser una función de la forma: u y =F =F ( n ) …(8) j δ

()

Además en este punto el flujo que es incompresible también es flujo permanente, por lo tanto existe una función φ ( x , y ) cte que es la función de las líneas equipotenciales en el plano xy por lo que las velocidades se definen:

u=

∂φ ∂φ v= ∂x ∂y

También existe la función de corriente Ψ (x , y ) cte. que es la función de la línea de corriente la cual nos permite obtener las Ec. de C.R.

1

u=

∂φ ∂Ψ = Ψ =∫ u dy …(9) ∂x ∂ x 0

v=

∂ φ −∂Ψ = …(10) ∂y ∂x

Es atraves de esta función de corriente que se obtiene la Ec .de Continuidad : 2

2

∂u ∂v ∂ Ψ ∂Ψ + ≡ + =0 ∂ x ∂ y ∂ x .∂ y ∂ x . ∂ y

Luego transformandola ecuación(1) por medio de la función corriente se obtiene : u

∂u ∂ u 1 ∂ p ∂2 u +v = + ∂x ∂ y ρ ∂ x ∂ y2

u=

∂Ψ −∂Ψ v= ∂y ∂x

∂u ∂ ∂ Ψ ∂ v ∂ −∂Ψ = = ∂y ∂ y ∂ y ∂ y ∂y ∂x

( )

(

)

∂u ∂ ∂ Ψ ∂2 u ∂ ∂ ∂Ψ ∂3 u = = = ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y2 ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y3

( ( ))

( )

2

∂Ψ ∂ Ψ −∂ Ψ = + ∂ y ∂x∂y ∂x Si

(

2

)( )

3

∂ Ψ −1 ∂ p ∂ Ψ = +υ 2 3 ρ ∂x ∂y ∂y

∂ U0 ∂p =−ρ0 U 0 ∂x ∂x

∂Ψ ∂2 Ψ ∂Ψ . − ∂ y ∂x∂y ∂x

∂U 0 ∂3 Ψ ∂2 Ψ =U +υ …(11) 0 ∂x ∂ y2 ∂ y3

( )( )

Parauna distancia la suficientemente alejada de la superficie cuando y → 0

u=

∂Ψ → U ∞ p=F (U ) ∂y

∂p =0 por lo tanto este término tiende a cero tanto en ∂y función de posición como de velocidad, la nueva variable n tiene la forma: n= y /δ y se sabe que: Además

√

δ 1 υ ≈ = x √ℜx U0 x δ=

√

√

√

υ υ. x υ. x . √ x 2= → δ=C U0x U0 U0

Por simplicidad C=1 por lo que una primeraaproximación hacemos :

δ=

√

υ .x U0

Luego si n=

y δ

√ √ √ √ √

y υ. x y = = =n n U0 υ.x U0 U0 υ .x

n= y .

U0 υ .x dy → dy= dn … (12) υ. x U0

dn=

( 12 ) en ( 9 ) y

Ψ =∫ u 0

√

υ. x dn U0

Diviendo por U 0 .

√

υ .x se tiene : U0

Ψ

√

υ .x U 0. U0

√

=∫ 0

y

Ψ U 0.

u

y

υ .x U0

=∫ 0

√ √

υ.x U0

υ. x U0 . U0

dn

u dn U0

y

Ψ

√

υ .x U 0. U0

=∫ F ( n ) dn …(13) 0

y

Introduciendo el conceptode Friccion de Blasius(F )tal que : F=∫ F ( n ) dn 0

Ψ = √ U 0 . υ . x . F …(14 ) Una vez realizada la función ,Ψ se describen las derivadas de la Ec .(11) ∂Ψ ∂n ' = U . υ . x . F (n) ∂y √ 0 ∂y

√

U0 ∂Ψ = √ U 0 . υ . x . F' ( n ) ∂y υ. x ∂Ψ =U 0 . F ' ( n ) …(15) ∂y Recordand o la Ec . ( 9 ) y

u=

∂φ ∂Ψ = → Ψ =∫ u dy ∂x ∂ x 0

En(15) '

u=U 0 . F ( n ) →

u ' =F ( n ) …(16) U0

Esta Ec . indica que la velocidad

u queda definid a por la 1 ª derivada de la funcion U0

' de Blasius F ( n )

Parala expresion ( 15 ) U [¿ ¿ 0 . F ' ( n )] ∂ ∂Ψ ∂ = ¿ ∂x ∂ y ∂y

( )

2

∂Ψ ∂n =U 0 . F '' ( n ) …(17) ∂x ∂ y ∂x

Si tenemos en cuenta la Ec . 14 y la derivamos con respecto a x tenemos : Ψ = √ U 0 . υ . x . F …(18) ∂Ψ 1 = √U 0 . υ . x ∂x 2

−1 2

'

F ( n ) + √ U 0 .υ . x . F ( n )

∂n ∂x

√

∂Ψ 1 U 0 .υ ∂n = F ( n ) + √ U 0 . υ . x . F' ( n ) … (18) ∂x 2 x ∂x Dela Ec .15 derivamos con respecto a y tenemos :

√

U0 ' ∂2 Ψ ∂ n ∂2 Ψ '' =U 0 . F ( n ) → =U 0 . F ( n ) …(19) 2 2 ∂y x .υ ∂y ∂y Derivando la Ec . 19

( ) (

√

) √

2 U0 '' U0 ∂ ∂2 Ψ ∂ ∂ n U0 '' ' = U . F ( n ) =U 0 . F (n ) = . F' ' ' ( n ) …(20) ∂ y ∂ y2 ∂ y 0 x.υ x .υ ∂ y x .υ

La Ec .11

∂Ψ ∂2 Ψ ∂Ψ ∂2 Ψ −1 ∂ p ∂3 Ψ = = +v ∂ y ∂ x∂ y ∂ x ∂ y2 ρ0 ∂ x ∂ y3

(

)

( )

∂ U0 ∂Ψ ∂ Ψ ∂Ψ ∂ Ψ ∂Ψ = . =U 0 . +v …(11) 2 3 ∂ y ∂ x∂ y ∂x ∂ y ∂x ∂y

(

2

2

)

3

Luego de todas las Ec . anteriores , reduciendo y operando la Ec .11 sera :

U 02 . F ' . F ' '

2 2 ∂ n 1 U0 ∂n U = F . F' ' −U 02 . F ' . F ' ' ' − 0 . F' ' ' =0 ∂x 2 x ∂x x

2 F' ' ' −F (¿ ¿ ' . F' ' )=0 −1 2 U ¿ 2 0 Finalmente:

2 F ' ' ' + F F '' =0 …(21) La solución de Blasius nos facilita la transformación de una ecuación en derivadas parciales no lineal de 3ª orden. En esta Ec. diferencial ordinaria sus características son complejas pero de fácil solución.

2. Método de Euler En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos para resolver un problema de valor inicial, y el más simple de los Métodos

de

Runge-Kutta.

El

método

de

Euler

es

nombrado

por Leonhard Euler, quien lo trató en su libro Institutionum calculi integralis (publicado en 1768-1770). El método de Euler es un método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso. El método de Euler regularmente sirve como base para construir métodos más complejos.

Ilustración del método de Euler. La curva desconocida está en azul, y su aproximación poligonal en rojo.

Consiste en dividir los intervalos que va de x 0 a x f en n subintervalos de ancho h; o sea : h=

x f −x 0 n

De maneraque se obtiene un conjunto discreto de n+1 puntos:

x 0 , x 1 , x 2 , … , x n delintervalo de interes [ x 0 , x f ] . Para cualquiera de estos puntos se cumple : x i=x 0+ ih0 ≤i ≤n

La condicioninical y ( x0 ) = y 0 , representa el punto P0 =( x 0 , y 0 ) por donde pasa la curva solucion de la ecuaciondel planteamiento inicial , lacual se denotara como F ( x )= y .Ya teniendo el punto P 0 se puede evaluar la primera derivada de F ( x ) en ese punto ; por lo tanto :

Conesta informacion se trazauna recta , aquella que pasa por P 0 y de pendiente f ( x 0, y 0 ) . Esta recta aproxima F ( x ) en una vecindad de x 0 . Tomese larecta comoreemplazo de F ( x ) y localicese en ella ( la recta ) el valor de y correspondient e a x 1 . Entonces , podemos deducir segun laGrafica A :

y1 − y0 =f ( y 0 , y 0 ) x1 −x0 Se resuelve para y 1 : y 1= y 0 + ( x 1−x 0 ) f ( x 0 , y 0 ) = y 0 +hf (x 0 , y 0) Es evidente que la ordenada y1 calculada de estamanera no es igual a F ( x 1) , pues ' existe un pequeño error . sin embargo , el valor y 1 sirve para que se aproxime F ( x )

en el punto. P=( x 1 , y 1 ) y repetir el procedimientoanterior a fin de generar la sucecion de aproximaciones siguiente :

4. Método de solución de Euler Se hace una equivalencia para poder desarrollar el método: y1=f(x), y2=f'(x), y3=f''(x) Luego al despejar la ecuación diferencial de Blasius tenemos: y2=y1'; y3=y2'; y3'= (-1/2) y1y3 %% Método de Euler % y1=f; % y2=f'; % y3=f''; % y3'=f'''=-1/2*f*f''=-1/2*y1*y3 % Datos del problema y discretización % x es la variable eta del problema x0=0; xf=20; h=0.05; N=(xf-x0)/h;

%% Vectores de eta y aproximaciones x=x0:h:xf; k0=0.1; kf=1; k=0.1:0.01:1; K=length(k); for j=1:K f0=[0 0 k(j)]'; %% Inicialización f(:,1)=f0; ff=f0; % Valor de la aprox. en cada valor de eta %% Iteraciones f(x_n)-->f(x_n+1) for n=1:N %se comienza el proceso de iteacion para obtener la solucion de la EDO y=[ff(2) ff(3) -1/2*ff(1)*ff(3)]';%forma despejada de la %ecuacion de Blasius %con las nuevas %equivalencias %antes dadas: %y1=f; y2=f'; y3=f'' ff=ff+h*y; %solucion por el metodo %de Euler f(:,n+1)=ff; %retorno a la iteracion end laf2paraescogerk(j)=f(2,N); end %% dibujo la solucion f2=laf2paraescogerk; clf corte=1; %se traza una recta que pasa por y=1 figure (1) plot(k,laf2paraescogerk) hold on plot(k,corte,'red') legend('f´(20)') xlabel('k') ylabel('valores de f´(20)') title('Representación de f(20)´ para los posibles k') plot(k,corte,'red') for n=1:K l=n; p=abs(1-f2(n)); if min(abs(1-f2))==p break end end kfinal=k(l) figure(2) %ya con la k=0,33 x0=0; xf=20; k=0.32 f0=[0 0 k]'; %% Datos discretizacion h=0.05; N=(xf-x0)/h; %% Vectores de eta y aproximaciones

x=x0:h:xf; f=zeros(3,N+1); %% Inicialización f(:,1)=f0; ff=f0; % Valor de la aprox. en cada eta %% Iteraciones f(x_n)-->f(x_n+1) for n=1:N y=[ff(2) ff(3) -1/2*ff(1)*ff(3)]'; ff=ff+h*y; f(:,n+1)=ff; end plot(x,f) legend('f(x)','f´(x)','f´´(x)') xlabel('eta') ylabel('valores de f, f´, f´´') title('Representación de f, f´,f´´ en intervalo de eta, con Euler f´(20) a 1, ya con la k escogida')



Se obtiene:

Como se puede apreciar en el gráfico, según este método la k que mejor se ajusta a las condiciones iniciales es k=0.320

f, f´, f´´ con k=0,33 para intervalo de eta de 0 a 20  Conclusiones: De cara a obtener una mejor precisión con un paso "grande" es aconsejable el método de Runge-Kutta, pues con el método de Euler se comete un mayor error local frente al método de Runge-Kutta, aunque la ejecución de este último supone una mayor carga de trabajo para el ordenador. Para compensar este mayor error local en el método de Euler (diferencia entre la solución exacta para un punto y la estimada) se puede reducir el paso, aunque con ello el programa se ejecutará más lentamente. En nuestro caso, para el paso considerado en los códigos, será más fiable el método de Runge-Kutta de cara a la obtención del valor de k, por ello, se considera k=0.33