Trabajo Final Mate Ii 2.1.docx

Aplicaciones de la Integral definida

DEDICATORIA

Dedicamos este trabajo en primera instancia : A NUESTROS PADRES: ejemplo de inspiración para nosotros por sus sacrificios, esfuerzos, amor incondicional y por su confianza en nosotros. A NUESTRO DOCENTE: por el tiempo incondicional que nos brinda transmitiendo sus conocimientos hacia nosotros y por su desempeño en la enseñanza. A NUESTROS COMPAÑEROS DE AULA: que son los más interesados en conocer este tema, que nos va a serv ir en el futuro. AL GRUPO: por el desempeño demostrado en la realización del trabajo y el esfuerzo por la culminación de éste. Para darle mejor entendimiento a cada uno de ustedes.

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Aplicaciones de la Integral definida

RESUMEN

El presente trabajo tiene como objetivo principal dar a conocer todo lo referido a una de las tantas aplicaciones de la integral definida, que en nuestro caso es el área bajo una curva y el volumen de un solido engendrado por la rotación de ésta entorno a un eje, con la particularidad que la curva estará dada en forma parametrica, tema que se tratará de explicar en primera in stancia mediante una breve idea.

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Aplicaciones de la Integral definida

OBJETIVOS 

Darse una idea rapida de laecuación de una curva expresada en forma paramétrica



Calcular el área bajo una curva dada su ecuación parametrica mediante la integral definida.



Conocer los diversos metodos que se pueden aplicar en el desarrollo del volumen engendrado por la rotación de una curva echa girar entorno a un eje.

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Aplicaciones de la Integral definida

INTRODUCCION

Dentro del estudio del cálculo integral, un tema que tiene bastante importancia y es necesario recalcar es la integral definida, debido a sus aplicaciones y su misma concepción, esencial para el entendimiento de diversos términos matemáticos. En esta oportunidad estudiaremos una de las aplicaciones de la integral definida, el calculo y desarrollo del área bajo una curva de una función expresada en forma parametrica, además del volumen que se genera por la rotación de ésta. Desde el punto de vista histórico, este siempre fue un gran problema para los matemáticos de la época, ya que el area comprendida entre dos curvas es una region plana irregular y complicada de calcular.

4 4

Aplicaciones de la Integral definida

ÍNDICE

OBJETIVOS…………………………………………………………………………….3 INTRODUCCION……………………………………………………………………...4 1. ........................................................................................ Error! Bookmark not defined. 2. ........................................................................................ Error! Bookmark not defined. 3. …………....................................................................... Error! Bookmark not defined. 4.

Error! Bookmark not defined.

5. ........................................................................................ Error! Bookmark not defined. 6. Error! Bookmark not defined. 7. Error! Bookmark not defined. 7.1 Cálculo de áreas...................................................... Error! Bookmark not defined.

7.2ÁREA DE UNA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS .. Error! Bookmark not defined. ........................................................................................ Error! Bookmark not defined. 7.4VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓNError! Bookmark not defined. 7.4.1Rotaciones alrededor de los ejes coordenados ... Error! Bookmark not defined. 7.5 ................................................................................... Error! Bookmark not defined. 7.6. .............................................................................................. Error! Bookmark not defined. 8. .................................................................................................... Error! Bookmark not defined. 8.1

Error! Bookmark not defined.

CONCLUSIONES..................................................................................................................... 28 BIBLIOGRAFIA....................................................................................................................... 29 WEBGRAFIA ........................................................................................................................... 30

5 5

Aplicaciones de la Integral definida

ECUACIONES PARAMÉTRICAS En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

Donde:

{

𝑥 = 𝑢(𝑡) 𝑦 = 𝑣(𝑡)

Ejemplo: Sea 𝑦 = 𝑥 2 la ecuación general de una parábola, expresar la curva paramétricamente : Solucion: 𝑥=𝑡 {𝑦 = 𝑡 2 , t ∈ R

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Aplicaciones de la Integral definida

Algunos ejemplos: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 → {𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡

1. Circunferencia: 2. Elipse: 3. Cicloide:

𝑥1 𝑎2

{

𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦2 + 𝑏2 = 1 → {𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑡

𝑥 = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡) 𝑦 = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)

7 7

Aplicaciones de la Integral definida

Funciones dadas de forma paramétrica Estudiaremos ahora el caso en que la curva y = f(x) en [a, b] viene dada por las ecuaciones paramétricas.

𝑥 = 𝜑(𝑡) { 𝑦 = 𝜔(𝑡) Si f es positiva (si f es negativa o cambia de signo se escribirá lo correspondiente), el área encerrada por f es: 𝑏

A(R) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Como x = ϕ(t) e y = 𝜔(t) tenemos que: y = f(x) = f(ϕ(t)) = 𝜔(t) y dx = ϕ’(t)dt, luego usando este cambio de variable en la integral, se tiene que: 𝑏

𝑡

𝑡

1

1

A(R) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑡 2 𝑓(𝜑(𝑡))𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = ∫𝑡 2 𝜔(𝑡)𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡 dondeϕ(𝑡1 ) = a y ϕ(𝑡2 ) = b. En consecuencia, puede calcularse el área encerrado por la curva dada en paramétricas usando estas ecuaciones, –naturalmente teniendo en cuenta el signo de y = 𝜔(t). Observación: Los extremos de integración 𝑡1 y 𝑡2 aparecen al efectuar el cambio de variable, y están asociados respectivamente a a y b, con a ≤ b, por lo que puede ser tanto 𝑡1 ≤ 𝑡2 como 𝑡1 ≥ 𝑡2 según el caso (de hecho y respectivamente, según que el signo de x’ = 𝜑’(t) sea positivo o negativo en el intervalo). Casos: Dadas dos funciones y=f(x) e y=g(x), expresadas en forma parametrica según:

{

𝑥 = 𝜑(𝑡) 𝑥 = 𝛿(𝑡) { 𝑦 = 𝜔(𝑡) 𝑦 = 𝜇(𝑡)

El area bajo estas curvas acotada en in intervalo [a,b] viene dada por: I)

8 8

Aplicaciones de la Integral definida

𝑏

𝑡2

A(R)=∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑡 𝜔(𝑡)𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡 1

II) 𝑏

𝑡

A(R)=-∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑡 2 𝜔(𝑡)𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡 1

III)

𝑏

𝑡2

𝐴(𝑅) = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝜔(𝑡)𝜑 𝑎

′ (𝑡)𝑑𝑡

𝑡1

𝑡4

− ∫ 𝜇(𝑡)𝛿 ′ (𝑡)𝑑𝑡 𝑡3

IV)

𝜇

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Aplicaciones de la Integral definida

𝑏

𝑡2

∫ [𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦 = ∫ 𝜑(𝑡)𝜔 𝑎

′ (𝑡)𝑑𝑡

𝑡4

− ∫ 𝛿(𝑡)𝜇′ (𝑡)𝑑𝑡

𝑡1

𝑡3

Ejemplo 1 𝑥 = cos 𝑡 Hallar el área encerrado por la curva { 𝑦 = sin 𝑡

con t  [0; 2]

Solución: El área pedida, es el área del círculo de radio 1. Cuando y ≥ 0 haciendo el cambio 𝑐𝑜𝑠𝑡, para el cuál: 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 con 1 = 𝑐𝑜𝑠0 y -1= 𝑐𝑜𝑠π, tenemos que: 1

0

𝜋 1−𝑐𝑜𝑠2𝑡

𝐴(𝑅 +)=∫−1 𝑦(𝑥)𝑑𝑥=∫𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝑡(−𝑠𝑖𝑛 𝑡)𝑑𝑡=∫0 (

2

𝑥=

𝜋

) 𝑑𝑡= 2

Cuando 𝑦 ≤ 0, con el mismo cambio se obtiene 1 = 𝑐𝑜𝑠2𝜋 y −1 = 𝑐𝑜𝑠𝜋 , de donde: 1

2𝜋

𝐴(𝑅 −) = − ∫ 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ −1

2𝜋

𝑠𝑖𝑛𝑡(−𝑠𝑖𝑛𝑡)𝑑𝑡 = ∫

𝜋

𝜋

𝑡 𝑠𝑖𝑛2𝑡 2𝜋 𝜋 sin2 𝑡𝑑𝑡 = [ − ] = 2 4 𝜋 2

Observación: 𝜋

∫0 𝑠𝑖𝑛𝑡(−𝑠𝑖𝑛𝑡)𝑑𝑡

Si, directamente, decimos que el valor de A(R+) es

estamos cometiendo un error, pues esta integral se obtiene de:

𝜋

−1

∫ 𝑠𝑖𝑛𝑡(−𝑠𝑖𝑛𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 0

1

y el valor calculado no es el del área, sino 𝜋

−1

1

∫ 𝑠𝑖𝑛𝑡(−𝑠𝑖𝑛𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑦(𝑥)𝑑𝑥 = −𝐴(𝑅+) 0

1

−1

Téngase presente, que si bien en este caso es claro que basta con cambiar el signo para obtener el valor buscado, en general, pueden aparecer varios términos en el cálculo del área de forma que el resultado final no haga sospechar el error cometido.

10 10

Aplicaciones de la Integral definida

Ejemplo 2: Calcular el área encerrada dentro de la curva {

𝑥(𝑡) = 3 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦(𝑡) = 2 + 5𝑠𝑖𝑛𝑡

Solución: Usamos la fórmula para el cálculo del área de una curva cerrada dada por unas ecuaciones paramétricas: 2𝜋

∫

⃒𝑦(𝑡)𝑥 ′ (𝑡)⃒𝑑𝑡

0

entonces: =

2𝜋

∫0 ⃒(2 + 5𝑠𝑖𝑛𝑡)(−2𝑠𝑖𝑛𝑡)⃒𝑑𝑡 2𝜋

=

∫0 (4𝑠𝑖𝑛𝑡 + 10 sin2 𝑡)𝑑𝑡

=

∫0 (4𝑠𝑖𝑛𝑡 + 10 (

=

[4𝑐𝑜𝑠𝑡 − 5𝑡 +

=

4 + 10𝜋 − 4

=

2𝜋

1−𝑐𝑜𝑠2𝑡 2

))𝑑𝑡

5𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 2𝜋 ]0 2

10𝜋𝑢2

Ejemplo 3: Calcular el área bajo la curva y el eje de abcisas

Solución:

𝑡

Área: A=∫𝑡 1 𝑦(𝑡)𝑥 ′ (𝑡)𝑑𝑡 0

11 11

{

𝑥(𝑡) = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)

Aplicaciones de la Integral definida

Un arco va de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 2𝜋

𝑥 ′ (𝑡) = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) { 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡

𝑥(𝑡) = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡) { = 𝑦(𝑡) = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)

2𝜋

∫ 𝑦(𝑡)𝑥 ′ (𝑡)𝑑𝑡 = (∗) 0 2𝜋

=

∫0 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡 = (∗)

=

𝑎2 ∫0 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)2 𝑑𝑡

=

𝑎2 ∫0 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 2 − 2𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑑𝑡=(**)

2𝜋

2𝜋

Calculando las integrales por separado 2𝜋

∫ 𝑑𝑡 = ⌊𝑡]2𝜋 = 2𝜋 0 0

2𝜋

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑑𝑡 = ⌊𝑠𝑖𝑛𝑡]2𝜋 0 =0 0 2𝜋

=

∫0 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡𝑑𝑡

=

∫0

= = =

2𝜋 1+𝑐𝑜𝑠2𝑡

1 2 1

2 2𝜋

𝑑𝑡

2𝜋

(∫0 𝑑𝑡+∫0 𝑐𝑜𝑠2𝑑𝑡) 𝑠𝑖𝑛2𝑡 2𝜋 ] 2 0

[𝑡 + 2 π

Sustituyendo en la igualdad (**) = 𝑎2 (2𝜋 − 0 + 𝜋) = 3ª2  u2

12 12

Aplicaciones de la Integral definida

Calculo del volumen de solidos de revolución en forma paramétrica Se denomina solido de revolución o volumen de revolución, al solido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución. Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor de un eje, ésta genera un solido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar. I. METODO DEL DISCO (PARA LA ROTACION DE UNA CURVA) 1. POR ROTACION ALREDEDOR DE LOS EJES CARTESIANOS El volumen de los solidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones: a. ROTACION ALREDEDOR DEL EJE “X” Si se gira una figura plana alrededor del eje x comprendida entre x=a y x=b, el volumen viene dado por: 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 𝑦 2 𝑑𝑥 Donde:

𝑥 = 𝑓(𝑡) { 𝑦 = 𝑔(𝑡) Entonces: 𝑡

V=𝜋 ∫𝑡 2[𝑔(𝑡)]2 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 1 Para: a=f(𝑡1 ) y b=f(𝑡2 )

Ejemplo: Dada la función expresada paramétricamente

{

𝑥 = 𝑡2 , para t> 0 𝑦 = 2𝑡 + 1

Calcular el volumen del solido generado al hacer rotar esta curva alrededor del eje “X” desde x=1 hasta x=4

13 13

Aplicaciones de la Integral definida

Solución: En primer lugar hallamos 𝑡1 𝑦 𝑡2

𝑡1 2 = 1 → 𝑡1 = 1 𝑡2 2 = 4 → 𝑡2 = 2 Luego: el volumen pedido viene expresado por 𝑡

V=𝜋 ∫𝑡 2[𝑔(𝑡)]2 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 1

Reemplazando se tiene: 2

V=𝜋 ∫1 (2𝑡 + 1)2 (2𝑡)𝑑𝑡 2

V=𝜋 ∫1 (4𝑡 2 + 4𝑡 + 1)(2𝑡)𝑑𝑡 2

V=𝜋 ∫1 (8𝑡 3 + 8𝑡 2 + 2𝑡)𝑑𝑡 V=𝜋(8 V=𝜋 (32 +

𝑡4

4 64 3

+8

𝑡3 3

𝑡2

+ 2 )12 2

8

+ 4) − 𝜋(2 + + 1)

V=

155𝜋 3

3

𝑢

3

b. ROTACION ALREDEDOR EL EJE “Y” Si se gira una figura plana alrededor del eje Y comprendida entre x=a y x=b, el volumen viene dado por: 𝑑

V=𝜋 ∫𝑐 𝑥 2 𝑑𝑦 Donde:

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Aplicaciones de la Integral definida

𝑥 = 𝑓(𝑡) { 𝑦 = 𝑔(𝑡) Entonces: 𝑡

V=𝜋 ∫𝑡 2[𝑓(𝑡)]2 𝑔′ (𝑡)𝑑𝑡 1 Para: c=y(𝑎) y d=y(𝑏) , obteniéndose c=g(𝑡1 ) y d=g(𝑡2 )

Ejemplo: Dada la función expresada paramétricamente

{

𝑥 = 𝑡2 , para t> 0 𝑦 = 2𝑡 + 1

Calcular el volumen del solido generado al hacer rotar esta curva alrededor del eje “Y” desde x=1 hasta x=4 Solución: En primer lugar hallamos 𝑡1 𝑦 𝑡2

𝑡1 2 = 1 → 𝑡1 = 1 𝑡2 2 = 4 → 𝑡2 = 2 Luego: el volumen pedido viene expresado por: 𝑡

V=𝜋 ∫𝑡 2[𝑓(𝑡)]2 𝑔′ (𝑡)𝑑𝑡 1

Reemplazando se tiene: 2

V=𝜋 ∫1 (𝑡 2 )2 (2)𝑑𝑡 2

V=2𝜋 ∫1 (𝑡)4 𝑑𝑡 𝑡5

V=2𝜋( )12 62

5

V= 𝜋𝑢3 5

15 15

Aplicaciones de la Integral definida

2. POR ROTACION ALREDEDOR DE EJES PARALELOS A LOS EJES CARTESIANOS a. ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE PARALELO AL EJE “X” Si se gira una figura plana alrededor de un eje y=K comprendida entre x=a y x=b, el volumen viene dado por: 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 (𝑦 − 𝑘)2 𝑑𝑥 Donde:

𝑥 = 𝑓(𝑡) { 𝑦 = 𝑔(𝑡) Entonces: 𝑡

V=𝜋 ∫𝑡 2[𝑔(𝑡) − 𝑘]2 𝑓 ′ (𝑡)𝑑𝑡 1 Para: a=f(𝑡1 ) y b=f(𝑡2 ) b. ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE PARALELO AL EJE “Y” Si se gira una figura plana alrededor de un eje x=k comprendida entre x=a y x=b, el volumen viene dado por: 𝑑

V=𝜋 ∫𝑐 (𝑥 − 𝑘)2 𝑑𝑦 Donde:

𝑥 = 𝑓(𝑡) { 𝑦 = 𝑔(𝑡) Entonces: 𝑡

V=𝜋 ∫𝑡 2[𝑓(𝑡) − 𝑘]2 𝑔′ (𝑡)𝑑𝑡 1 Para: c=y(𝑎) y d=y(𝑏) , obteniéndose c=g(𝑡1 ) y d=g(𝑡2 ) II.

METODO DE LA ARANDELA Consideremos ahora dos funciones f y g continuas en el intervalo cerrado [a, b], tales que f(x) ≥ g(x) para x ∈ [a, b]. Sea R la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones y = f(x), y = g(x) y las rectas con ecuaciones x = a, x = b.

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Aplicaciones de la Integral definida

1. POR ROTACION ALREDEDOR DE LOS EJES CARTESIANOS El volumen de los solidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones: a. ROTACION ALREDEDOR DEL EJE “X” Si se gira una figura plana alrededor del eje x comprendida entre x=a y x=b, el volumen viene dado por: 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 ([𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2 )𝑑𝑥 Donde:

{

𝑥 = 𝑚(𝑡) 𝑓(𝑥) = 𝑛(𝑡)

,

𝑥 = ℎ(𝑡) { 𝑔(𝑥) = 𝑙(𝑡)

Entonces: 𝑡 𝑡 V=𝜋(∫𝑡 2[𝑛(𝑡)]2 𝑚′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑡 4[𝑙(𝑡)]2 ℎ′ (𝑡)𝑑𝑡) 1 3 Para: a=m(𝑡1 ) y b=m(𝑡2 ) a=h(𝑡3 ) y b=h(𝑡4 )

b.

ROTACION ALREDEDOR DEL EJE “Y”

17 17

Aplicaciones de la Integral definida

Si se gira una figura plana alrededor del eje y comprendida entre x=a y x=b, el volumen viene dado por: 𝑑

V=𝜋 ∫𝑐 ([𝑓(𝑦)]2 − [𝑔(𝑦)]2 )𝑑𝑦 Donde:

{

𝑥 = 𝑚(𝑡) 𝑓(𝑥) = 𝑛(𝑡)

𝑥 = ℎ(𝑡) { 𝑔(𝑥) = 𝑙(𝑡)

,

Entonces: 𝑡

𝑡

1

3

V=𝜋(∫𝑡 2[𝑚(𝑡)]2 𝑛′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑡 4[ℎ(𝑡)]2 𝑙 ′ (𝑡)𝑑𝑡) Para: c=f(𝑎) y d=f(𝑏) , obteniéndose c=n(𝑡1 ) y d=n(𝑡2 ) Para: c=f(𝑎) y d=f(𝑏) , obteniéndose c=l(𝑡3 ) y d=l(𝑡4 ) 2. POR ROTACION ALREDEDOR DE EJES PARALELOS A LOS EJES CARTESIANOS a. ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE PARALELO AL EJE “X” Si se gira una figura plana alrededor de un eje y=K comprendida entre x=a y x=b, el volumen viene dado por: 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 ([𝑓(𝑥) − 𝑘]2 − [𝑔(𝑥) − 𝑘]2 )𝑑𝑥, para: k<x 𝑏

V=𝜋 ∫𝑎 ([𝑓(𝑥) − 𝑘]2 − [𝑔(𝑥) − 𝑘]2 )𝑑𝑥, para: k>x Donde:

{

𝑥 = 𝑚(𝑡) 𝑓(𝑥) = 𝑛(𝑡)

𝑥 = ℎ(𝑡) { 𝑔(𝑥) = 𝑙(𝑡)

,

Entonces: 𝑡

𝑡

V=𝜋(∫𝑡 2[𝑛(𝑡) − 𝑘]2 𝑚′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑡 4[𝑙(𝑡) − 𝑘 ]2 ℎ′ (𝑡)𝑑𝑡) 1 3 Para: a=m(𝑡1 ) y b=m(𝑡2 ) a=h(𝑡3 ) y b=h(𝑡4 ) b. ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE PARALELO AL EJE “Y” Si se gira una figura plana alrededor de un eje x=k comprendida entre x=a y x=b, el volumen viene dado por: 𝑑

V=𝜋 ∫𝑐 ([𝑓(𝑦) − 𝑘]2 − [𝑔(𝑦) − 𝑘]2 )𝑑𝑦, para k
V=𝜋 ∫𝑐 ([𝑓(𝑦) − 𝑘]2 − [𝑔(𝑦) − 𝑘]2 )𝑑𝑦, para k>y Donde:

18 18

Aplicaciones de la Integral definida

{

𝑥 = 𝑚(𝑡) 𝑓(𝑥) = 𝑛(𝑡)

𝑥 = ℎ(𝑡) { 𝑔(𝑥) = 𝑙(𝑡)

,

Entonces: 𝑡

𝑡

1

3

V=𝜋(∫𝑡 2[𝑚(𝑡)]2 𝑛′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑡 4[ℎ(𝑡)]2 𝑙 ′ (𝑡)𝑑𝑡) Para: c=f(𝑎) y d=f(𝑏) , obteniéndose c=n(𝑡1 ) y d=n(𝑡2 ) Para: c=f(𝑎) y d=f(𝑏) , obteniéndose c=l(𝑡3 ) y d=l(𝑡4 ) III.

METODO DE LOS CASQUILLOS CILINDRICOS O DE CAPAS

El volumen de este casquillo viene dado por:

d𝑉 = 2𝜋(𝑥)(ℎ)𝑑𝑥

Donde: x: radio del casquillo h: altura del casquillo dx: espesor o grosor del casquillo 1. ROTACION ALREDEDOR DE LOS EJES COORDENADOS A) POR LA ROTACION DE UNA CURVA Sea f una función continua en un I [a,b], el volumen del solido generado al rotar esta curva viene dado mediante los siguientes casos: a. ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE HORIZONTAL Sea y=f(x) una función continua en un I [a,b], expresada paramétricamente que gira entorno a un eje horizontal y=k

𝑥 = 𝑚(𝑡) { 𝑓(𝑥) = 𝑛(𝑡)

19 19

Aplicaciones de la Integral definida

Como: 𝑑

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑐 (𝑦 − 𝑘)𝑓(𝑦)𝑑𝑦, para k< 𝑦 𝑑

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑐 (𝑘 − 𝑦)𝑓(𝑦)𝑑𝑦, para k> 𝑦

Reemplazando se tiene: 𝑡

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑡 2(𝑛(𝑡) − 𝑘)𝑚(𝑡)𝑛′(t)dt 1

Donde: : c=f(𝑎) y d=f(𝑏) , obteniéndose c=n(𝑡1 ) y d=n(𝑡2 )

Nota: la expresión se reduce si la curva gira entorno al eje de las abscisas: 𝑡

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑡 2(𝑛(𝑡))𝑚(𝑡)𝑛′(t)dt 1

a. ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL Sea y=f(x) una función continua en un I [a,b], expresada paramétricamente que gira entorno a un eje vertical x=k

𝑥 = 𝑚(𝑡) { 𝑓(𝑥) = 𝑛(𝑡) Como: 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑎 (𝑥 − 𝑘)𝑓(𝑥)𝑑𝑥, para k< 𝑥 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑎 (𝑘 − 𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥, para k> 𝑥 Reemplazando se tiene: 𝑡2

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑚(𝑡) − 𝑘)𝑛(𝑡)𝑚′ (𝑡)𝑑𝑡 𝑡1

Donde: : a=m(𝑡1 ) y b=m(𝑡2 ) Nota: la expresión se reduce si la curva gira entorno al eje de las ordenadas: 𝑡

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑡 2(𝑚(𝑡))𝑛(𝑡). 𝑚′(t)dt 1

B) POR LA ROTACION DE DOS CURVAS

20 20

Aplicaciones de la Integral definida

Sean f(x) y g(x) dos funciones donde 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥), continuas en todo su dominio y acotadas en un I [a,b], el solido generado por la rotación de ambas curvas entorno a un eje viene dado por los siguientes métodos. a. ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL Sea f(x) y g(x) dos funciones continuas en un I [a,b], expresadas paramétricamente que giran entorno a un eje vertical x=k

𝑥 = 𝑚(𝑡) 𝑥 = ℎ(𝑡) { { 𝑓(𝑥) = 𝑛(𝑡) 𝑔(𝑥) = 𝑙(𝑡) Como: 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑎 (𝑥 − 𝑘)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥, para k< 𝑥 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑎 (𝑘 − 𝑥)[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥, para k> 𝑥 Reemplazando se tiene: 𝑡2

𝑡4

𝑉 = 2𝜋[∫ (𝑚(𝑡) − 𝑘)𝑛(𝑡)𝑚′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫ (ℎ(𝑡) − 𝑘)𝑙(𝑡)ℎ′ (𝑡)𝑑𝑡] 𝑡1

𝑡3

Donde: : a=m(𝑡1 ) y b=m(𝑡2 ) y a=h(𝑡3 ) y b=h(𝑡4 ) Nota: la expresión se reduce si la curva gira entorno al eje de las ordenadas: 𝑡2

𝑉 = 2𝜋[∫ (𝑚(𝑡))𝑛

(𝑡)𝑚′ (𝑡)𝑑𝑡

𝑡1

𝑡4

− ∫ (ℎ(𝑡))𝑙(𝑡)ℎ′ (𝑡)𝑑𝑡] 𝑡3

b. ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE HORIZONTAL Sea f(x) y g(x) dos funciones continuas en un I [a,b], expresadas paramétricamente que giran entorno a un eje horizontal y=k

𝑥 = 𝑚(𝑡) 𝑥 = ℎ(𝑡) { { 𝑓(𝑥) = 𝑛(𝑡) 𝑔(𝑥) = 𝑙(𝑡) Como: 𝑑

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑐 (𝑦 − 𝑘)[𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦, para k< 𝑦 𝑑

𝑉 = 2𝜋 ∫𝑐 (𝑘 − 𝑦)[𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦, para k> 𝑦 Reemplazando se tiene:

21 21

Aplicaciones de la Integral definida

𝑡2

𝑡4

𝑉 = 2𝜋[∫ (𝑛(𝑡) − 𝑘)𝑚(𝑡)𝑛′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫ (𝑙(𝑡) − 𝑘)ℎ(𝑡)𝑙′ (𝑡)𝑑𝑡] 𝑡1

𝑡3

Donde: : a=m(𝑡1 ) y b=m(𝑡2 ) y a=h(𝑡3 ) y b=h(𝑡4 ) Nota: la expresión se reduce si la curva gira entorno al eje de las abscisas: 𝑡2

𝑡4

𝑉 = 2𝜋[∫ (𝑛(𝑡))𝑚(𝑡)𝑛′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫ (𝑙(𝑡))ℎ(𝑡)𝑙′ (𝑡)𝑑𝑡] 𝑡1

𝑡3

Para: c=f(𝑎) y d=f(𝑏) , obteniéndose c=n(𝑡1 ) y d=n(𝑡2 ) Para: c=f(𝑎) y d=f(𝑏) , obteniéndose c=l(𝑡3 ) y d=l(𝑡4 ) Ejemplos A) METODO DEL DISCO (PARA LA ROTACION DE UNA CURVA) 1. Para la curva dada en forma paramétrica:

𝑥(𝑡) = ln 𝑡

;

1 1 𝑦(𝑡) = (𝑡 + ) 2 𝑡

Hallar su volumen en el intervalo de 1-10 si se gira alrededor del eje x

El volumen viene dado por:

(𝑡 2 + 1)2 𝑑𝑉 = 𝜋[𝑦(𝑡)] 𝑥´(𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑉 = 𝜋 𝑑𝑡 4𝑡 3 2

22 22

Aplicaciones de la Integral definida

10

Como ∫1 𝜋

(𝑡 2 +1)2 4𝑡 3

𝑑𝑡 = 𝜋 [

ln 𝑡 2

−

𝑡 4 −1

10

8𝑡

1

] 2

= 𝜋[

ln 10 2

+

9999 800

] ≈ 42.88𝑢3

2. Las siguientes ecuaciones describen la curva denominada Folium de Descartes, calcula el volumen engendrado al girar el lazo alrededor del eje de las abscisas; t desde 0 hasta el infinito: 4𝑡 4𝑡 2 𝑥= 𝑦= 1+𝑡 3 1+𝑡 3

23 23

Aplicaciones de la Integral definida

Luego tenemos 2 𝑏 0 4𝑡 2 8𝑡 3 −4 2 ∫𝑎 𝜋[𝑦(𝑡)] 𝑥´(𝑡)𝑑𝑡 ∫∞ 𝜋 (1+𝑡 3 ) (− 𝑡 6+2𝑡 3+1) 𝑑𝑡

=

256√3𝜋 2 243

≈ 18.0009185

B) METODO DE LA ARANDELA 1) Hallar el volumen que se genera al rotar alrededor del eje Y la figura acotada por las curvas:

𝑥 = 𝑡 − 5 ; 𝑦 = 𝑡 2 − 10𝑡 + 26

𝑝𝑎𝑟𝑎

𝑥 = 𝑡 − 8 ;𝑦 = 𝑡 − 5

para

24 24

5≤𝑡≤7 8 ≤ 𝑡 ≤ 10

Aplicaciones de la Integral definida

𝑡

𝑡

1

3

V=𝜋(∫𝑡 2[𝑚(𝑡)]2 𝑛′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑡 4[ℎ(𝑡)]2 𝑙′ (𝑡)𝑑𝑡) 7 2 [𝑡 5

Entonces: V=𝜋(∫

V=𝜋(

206 15

8

− ) 3

10

− 10𝑡 + 26]2 ∗ 1 𝑑𝑡 − ∫8 [𝑡 − 5]2 ∗ 1 𝑑𝑡) 166

V=

15

25 25

𝜋 ≈ 34.7670

Aplicaciones de la Integral definida

2) Hallar el volumen que se genera al rotar alrededor del eje X la figura acotada por las curvas

𝑥 = 𝑡 3 + 2 ; 𝑦 = 𝑡 6 + 4𝑡 3 + 5

√−4 ≤ 𝑡 ≤ √−1

5

𝑥 = 𝑡 5 − 5 ; 𝑦 = −𝑡 5 + 8𝑝𝑎𝑟𝑎

5

√3 ≤ 𝑡 ≤ √6

𝑡

𝑡

1

3

V=𝜋(∫𝑡 2[𝑚(𝑡)]2 𝑛′ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑡 4[ℎ(𝑡)]2 𝑙′ (𝑡)𝑑𝑡) 26 26

3

3

𝑝𝑎𝑟𝑎

Aplicaciones de la Integral definida

Entonces: 3

5

√−1

√6

V=𝜋(∫3√−4 [𝑡 6 + 4𝑡 3 + 5]2 (3𝑡 2 ) 𝑑𝑡 − ∫5√3 [−𝑡 5 + 8]2 (−5𝑡 4 ) 𝑑𝑡) V=54.6𝜋 ≈ 1715309𝑢3 .

V=𝜋(15.6 − (−39))

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Aplicaciones de la Integral definida

CONCLUSIONES: Las integrales definidas son indispensables para poder mejorar las cosas ya existentes e incluso crear nuevas, ya que son los principios fundamentales en los que se basa todo lo desarrollado en las distintas ingenierías. Es imprescindible conocer el cálculo integral para poder tener bases para resolver los futuros problemas que se presenten, un claro ejemplo de esto es agilizar diferentes procesos y a determinar datos importantes para la proyección de construcciones en las diferentes ramas de la ingeniería. El método de Arandelas es una variación del método de discos, desarrollando el calculo de dos discos a partir de f(x) y g(x) y restando el area del disco menor

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Aplicaciones de la Integral definida

BIBLIOGRAFIA

Calculus Vol. 2Apostol, Tom M.

Calculo Integral y sus aplicaciones Moisés Lázaro Carrión

Análisis Matemático II Eduardo Espinoza Ramos

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Aplicaciones de la Integral definida

WEBGRAFIA https://prezi.com/wkhpym6yunkr/calculo-de-trabajo-con-ayuda-de-la-integral-definida/ https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/cie_mat_calculo/aplicaciones_integral/Links/aplicaciones_ integral_lnk_4.html http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1321028679_774105472.pdf https://www.ck12.org/book/CK-12-Conceptos-de-C%C3%A1lculo-enEspa%C3%B1ol/section/10.6/ http://www3.fi.mdp.edu.ar/amb/descargas/clase%204%20amb%20daniel.pdf

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