Trabajo Lgebra (5)

FES ACATLAN ACTUARIA

DISTRIBUCION DE LOS RECURSOS DE FORMA OPTIMA

Á LGEBRA L INEAL II PROFESOR

Á LVAREZ PATIÑO Ω AUTORES

G ONZÁLEZ BONILLA DANIEL M ONTER B ENITEZ K ARLA A LEJANDRA RUIZ BARRIOS H ERIBERTO VÁZQUEZ LUNA D IEGO JOSÉ

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Optimización de Recursos

Introducción En diversas ramas aplicadas de la ciencia, la distribución de recursos es un problema importante, tanto al hacer inventario de los recursos disponibles, debido a que estos son limitados, y posteriormente al decidir cómo distribuirlos de forma óptima. El problema puede ser reducir el costo de operación y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, mejorar un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos, en la resolución de dichos problemas, como en muchos mas, hacer uso del álgebra lineal facilita su dicha solución. El álgebra lineal es fundamental para diferentes ramas, ya que se puede aplicar en la ingeniería, la economía y en otras ciencias. Ella nos permite optimizar, mejorar y posibilitar procesos que de otra forma serían muy complicados o difíciles de construir, y aplicándola podríamos obtener una mejora al sistema o una solución al problema. La eficiencia y la efectividad de la mayoría de los algoritmos de optimización dependen de algoritmos numéricos del álgebra lineal (matrices, sistemas de ecuaciones lineales, valores y vectores impropios, etc). El álgebra lineal es crucial para su éxito, y debido a esto, las aplicaciones de optimización tienen avances fundamentales motivados en el álgebra lineal numérica. Con base a lo anterior, podemos empezar a escribir acerca de la optimización lineal, que es una de las grandes aplicaciones del álgebra lineal y fue creada a mediados del siglo pasado.

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Programación Lineal La Programación Lineal (PL) es un procedimiento matemático para determinar la asignación óptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL. El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son: FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Si en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos. VARIABLES DE DECISIÓN Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general, se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión, son en teoría, factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema. RESTRICCIONES Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión. Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones: 1. La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debe verificar que todas las variables estén elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas. 2. El objetivo debe ser ya sea la maximización o minimización de una función lineal. El objetivo debe representar la meta del decisor; y 3. Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo, la restricción debe adoptar alguna de las siguientes formas ( ≤, ≥ , =, es decir que las restricciones de PL siempre están cerradas).

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FORMULACIÓN En el proceso de formulación de un modelo de programación lineal hay que dar los siguientes pasos: 1. Determinación de las variables de decisión. Representan los elementos del sistema a modelar que son controlables por el decisor. En los modelos lineales continuos estas variables toman como valores números reales y se representan por letras con subíndices como se acostumbra a hacer con las variables matemáticas, o literales alusivos a su significado: peso, valor, etc. En el primer caso también se utiliza la representación como vector de un conjunto indexado de variable: 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , ..) 2. Determinación de las restricciones. Representan las limitaciones prácticas de determinados recursos o imposiciones físicas de la realidad. Se expresan como ecuaciones e inecuaciones lineales de las variables de decisión. Matemáticamente adoptan una de las siguientes formas: 𝑔𝑖 (𝑋) ≥ 𝑏𝑖 ; 𝑔𝑖 (𝑋) ≤ 𝑏𝑖 ; 𝑔𝑖 (𝑋) = 𝑏𝑖 i= 1,..,m con 𝑔𝑖 una función lineal en X 3. Formulación de la función objetivo. Se trata de la función que mide la calidad de la solución y que hay que optimizar (maximizar un beneficio o minimizar un coste). También es una función lineal de todas o parte de las variables de decisión. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑓 (𝑥) ; 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑓 (𝑥) EJEMPLO En una fábrica de cerveza se producen tres tipos distintos: rubia, negra y de baja graduación, y para ello se utilizan dos materias primas: malta y levadura. En la siguiente tabla se especifican: a) la cantidad de materias primas consumidas para producir una unidad de cada tipo de cerveza; b) las cantidades disponibles de cada materia prima; y c) el precio unitario de venta de cada tipo de cerveza. 𝑅𝐼𝑀𝐴 𝐶𝐿𝐴𝑅𝐴 𝑂𝐵𝑆𝐶𝑈 𝑅𝐴 𝐴𝑀𝐵𝐴𝑅 𝐷𝐼𝑆𝑃 𝑂𝑁𝐼𝐵𝐼𝐿𝐼𝐷𝐴𝐷 | | 𝑀𝐴𝑇 𝐸𝑅𝐼𝐴𝑃 𝑀𝐴𝐿𝑇 𝐴 1 2 2 30 | | | | 𝐿𝐸𝑉 𝐴𝐷𝑈 𝑅𝐴 2 1 2 45 | 𝑃 𝑅𝐸𝐶𝐼𝑂𝐷𝐸𝑉 𝐸𝑁𝑇 𝐴 7 | 4 3

Se trata de conocer la cantidad a fabricar de cada tipo de cerveza de manera que el beneficio sea máximo. Solución Los tres elementos que definen un problema de programación lineal son: variables 3

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Equipo 1 de decisión, restricciones y función objetivo.

Variables de decisión Del enunciado del problema se desprende que las variables de decisión son las producciones a fabricar de cada tipo de cerveza: 𝑥1 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑧𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑟𝑎 𝑥2 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑧𝑎 𝑜𝑏𝑠𝑐𝑢𝑟𝑎 𝑥3 = 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒𝑧𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟

Restricciones Las restricciones en este caso imponen que las materias primas utilizadas en la fabricación de los tres tipos de cerveza no deben sobrepasar las cantidades disponibles 𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 30 (𝑚𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑢𝑙𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎≤ 𝑚𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒) 2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 45 (𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑢𝑙𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎≤ 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒) 𝑥1 , 𝑥 2 𝑥3 ≥ 0 (𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑)

Función objetivo En este caso el objetivo es maximizar el beneficio, que viene dado por la suma de los precios de venta de la producción: 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 7𝑥1 + 4𝑥2 + 3𝑥3 Formulación matricial del problema de programación lineal Con frecuencia se utiliza la expresión matricial del problema de programación lineal: 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑐 𝑡 𝑥 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝐴𝑥 ≤𝑏 𝑥≥0

con

| 𝑎11 𝐴 = || 𝑎⋮ | 𝑚1

| 𝑏1 | | 𝑐1 | | 𝑥1 | ; 𝑥 = | ⋮ | ; 𝑏 = || ⋮ || ; 𝑐 = | ⋮ | | 𝑐𝑛 | | 𝑥𝑛 | | | 𝑏𝑚 |

... 𝑎1𝑛 | ⋱ ⋮ | ... 𝑎𝑚𝑛 |

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Optimización de Recursos Financieros El uso de matrices aparece, por ejemplo, en Macroeconomía (el análisis de insumoproducto) que se recogen toda la información referente al problema de que nivel de producción deben tener las n empresas de una Economía para satisfacer la demanda de forma óptima. Ya que la producción está sujeta a crecimientos constantes a escala (k veces insumo implica k veces producion) un propiedad de linealidad en las aplicaciones lineales en las matrices la interrelación entre las n empresas del mercado se ilustra con una matriz de consumo 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 ), donde 𝑐𝑖𝑗 recoge el valor de la cantidad de insumo i necesario para fabricar una unidad de la mercancía j. Dada un matriz, puede obtenerse a partir de ella otra más sencilla (en el sentido de tener mas coeficientes nulos), equivalente a la de ini io, gracias a la forma de la matriz, podremos por una parte, obtener de un modo simple su inversa (cuando esta exista) y, por otra parte, resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes sea la matriz dada. Las herramientas que se usarán en las matrices son las operaciones elementales sobre esa matriz que se podrá ver mejor con un ejemplo posterior. La optimización de la asignación de recursos ha de realizarse basándose en algún criterio de eficacia, por ejemplo en el estado debe, asignarse los recursos que pasan por sus manos de forma óptima, una vez que ya se ha elegido el criterio con base al cual han de optimizarse, puede ser economía privada o social (bienestar) entonces se puede aplicar las técnicas de optimización típicas de la programación lineal, puede ser problema primal o dual. Se puede precisar para la evaluación de los planes y programas de financiamiento de costes y de inversiones, cuando se rigen los criterios de la teoría del bienestar, ya que existen diferentes formas de bienestar social conversando utilidad la del óptimo de Pareto que dice: “la distribución de los bienes de consumo (incluyendo el ocio y otros factores primarios) entre los consumidores da lugar a la reducción de la satisfacción de al menos, uno de ellos”. “La producción es eficiente (óptima), si cada nueva posible redistribución de inputs entre las empresas disminuye el nivel de outputs de al menos una empresa”, en ausencia de economía o deseconomía externa, un equilibrio perfectamente competitivo ha de satisfacer las condiciones del óptimo de Pareto hay más definiciones que a continuación se darán para entender un poco más el trabajo. Se denomina coste de oportunidad de una empresa al número de unidades que hay que sacrificar j y de la sociedad es el número de unidades que la sociedad debe de renunciar de i para tener una unidad adicional de j. Se llama coste social al coste individual menos o más las economías y deseconomías externas el beneficio social es el beneficio individual mas o menos las economias y deseconomias externas, es decir el beneficio individual si lo vez de un punto de vista en la empresa se vuelve grupal que si todos lo hacen su trabajo individual se hace grande si todo lo realizar bien en tiempo y forma. Para que exista el óptimo de Pareto es necesario y suficiente que el precio (de los bienes ) iguale a su coste marginal social y que este sea creciente esto implica que la relación de sustitución entre bienes iguale a la relacion de transfor5

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macion de productos social (no individual). para alcanzar el óptimo de Pareto en una economía de competencia perfecta, pero con economía y deseconomía externa se maneja mediante impuestos y subsidios de tal pide que se iguale el precio al coste marginal social y no individual que es el proporciona el beneficio máximo en dado caso que sea una competencia perfecta. El problema primal es la asignación óptima de recursos consiste en obtener “la máxima rentabilidad posible de los recursos escasos”, pero que es máxima rentabilidad es especialmente difícil en el sector público que en la mayor parte de los casos porque no existen precios de mercado objetivos. Así esta máxima rentabilidad puede ser definida, de acuerdo con la Teoría del bienestar, de varias maneras, tales como maximo beneficio social ,mínimo coste social,mínimo coste de oportunidad,etc. Ejemplo Sibelco Minerales, S.A., obtiene zinc, cadmio y mercurio a partir de esfalerita, la cual puede comprar a Grupo Minero Las Bambas, Mina Santa Fe y Mina Río Tinto, a precios de 1000, 6000 y 3000 por tonelada, respectivamente. La composición típica del mineral que ofrece cada uno de los proveedores es la siguiente: 𝑀𝐼𝑁𝐴 | 𝐿𝐴𝑆𝐵𝐴𝑀𝐵𝐴𝑆 | | 𝑆𝐴𝑁𝑇 𝐴𝐹 𝐸 | 𝑅𝐼𝑂𝑇 𝐼𝑁𝑇 𝑂

𝑍𝐼𝑁𝐶 𝐶𝐴𝐷𝑀𝐼𝑂 𝑀𝐸𝑅𝐶𝑈 𝑅𝐼𝑂 | 2 1 1 | | 2 2 3 | 0 4 2

La empresa tiene contratos para suministrar el próximo mes al menos 20 kg de zinc, 80 kg de cadmio y 70 kg de mercurio. La empresa quiere minimizar los costos de compra de material. Solución Sea 𝑥𝑖 = Toneladas de mineral comprado a la mina 𝑖. Minimizar: 𝑍 = 1000 𝑥1 + 6000 𝑥2 + 3000 𝑥3 Sujeto a: 2𝑥∶1+2𝑥2 ≥20

x1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 ≥ 80 𝑥1 +3𝑥2 +2𝑥3 ≥70 𝑥1 , 𝑥 2 𝑥3 ≥ 0

𝑍𝑖𝑛𝑐 𝐶𝑎𝑑𝑚𝑖𝑜 𝑀𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 (𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑)

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Equipo 1 tabla inicial | |𝑍 |𝑠 | 1 | 𝑠2 |𝑠 | 3

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑠1 𝑠2 𝑠3 −1000 −6000 −3000 −2 −2 0 1 −1 −2 −4 1 −1 −3 −2 1

𝐿𝐷 |

|

−20 || −80 | | −70 |

tabla final (despues de algunas iteraciones) optimo

𝐿𝐴𝑆𝐵𝐴𝑀𝐵𝐴𝑆 | | 𝑍 0 | 𝑍𝐼𝑁𝐶 0 | 𝐶𝐴𝐷𝑀𝐼𝑂 0 | 1 | 𝑀𝐸𝑅𝐶𝑈 𝑅𝐼𝑂

𝑆𝐴𝑁𝑇 𝐴𝐹 𝐸 𝑅𝐼𝑂𝑇 𝐼𝑁𝑇 𝑂 𝑍𝐼𝑁𝐶 𝐶𝐴𝐷𝑀𝐼𝑂 𝑀𝐸𝑅𝐶𝑈 𝑅𝐼𝑂 𝐿𝐷 | −3500 0 0 −500 −500 75000 | 6 0 1 2 −4 100 || −0.5 1 0 −0.5 0.5 5 | 4 0 0 1 2 60 |

Resultado | 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 75,000 | | 𝐿𝑎𝑠𝐵𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠= 60𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 | | 𝑆𝑎𝑛𝑡𝑎𝐹 𝑒= 0𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 | | 𝑅∼𝑜𝑇 𝑖𝑛𝑡𝑜= 5𝑇 𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 | | | 120𝑘𝑔 | | 𝑍𝑖𝑛𝑐= | | 𝐶𝑎𝑑𝑚𝑖𝑜= 80𝑘𝑔 | | 𝑀𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜= 70𝑘𝑔 | |

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Conclusión Como pudimos apreciar en este trabajo el álgebra Lineal es imprescindible para la resolución de problemas reales, nos ayuda a realizar optimizaciones y a plantear un modelo matemático el cual representa nuestra problemática y gracias a la ayuda de matrices y en este caso el método simplex dual podemos llevar a cabo una solución óptima a nuestra problemática. Y es fundamental para nosotros ya que empresas nos contratarán para llevar a cabo optimizaciones de todo tipo, así como plantear buenos modelos matemáticos para la resolución de los problemas planteados por dicha empresa

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Bibliografía http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/spanishD.htm TeoriaLinealDeLaAsignacionOptimaDeLosRecursosFinan-2482751.pdf http://www.fdi.ucm.es/profesor/jjruz/MasterUned/Documentos

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