Umsa

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Gu´ıa de Ejercicios ´ lculo I - Curso de Verano 2019 Ca ´ctica 1 - Nu ´meros Reales y Funciones Pra 1. Halla el conjunto soluci´on de las siguientes inecuaciones 1 x−1 a) 7x + 1 ≥ x − b) 2(x − 4) + 3x < 5x − 7 c) − 2 ≤ 3x − 5 < 8 2 3 4 2 1 4 (1 − x)(x + x2 ) d) −3> e) ≥ f) ≥0 x x 3x − 7 3 − 2x x2 + x − 2 2. Para que valores de x, si existieran, vale la siguiente igualdad: 2|3 − x| + 1 = |x| − |1 − x| 3. Halla el conjunto soluci´on de cada inecuaci´on. a)

x−2 x+2 < x−4 x

b)

|x − 4| − x ≤0 x2 + 16

d) 1 − 2x − 3x2 ≤ 0

e) x3 + 4x2 + x − 6 > 0

g) − 1 ≤ x3 − 2x2 < x

h)

x2 − 2x + 3 +2>0 x2 − 4x + 3

4. Resuelve (x − 2)(x + 5)(x + 10) a) >0 (2x − 3)x √ √ x − 2x + 3 < 1 c)

2x + 6 ≥3 5−x x−2 x+2 f) > x−4 x 5x i) ≥5 x+4

c)

b) x3 − 2x2 − 31x + 20 < 0 x2 + x + 1 d) ≥0 |2x − 3| − |4 − 3x|

5. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto a) |4x + 3| = 7 d) |2x − 6| = |4 − 5x| g) |2x + 3| + 4 − 5x = 0

b) |4x + 5| = 2x + 3 e) |x + 1| − 2x = 3 x + 2 h) =5 x−2

c) |x2 − 4| = −2x + 4 f ) |x|2 − 2|x| − 3 = 0 i) 3(5 − |x − 2|) = 3x − 2

6. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto a) x2 − 2|x| − 3 ≥ 0 d) 2x − |x − 1| < x − 5

b) |x − 5| > 2x + 3 e) |2x + 1| ≥ 2 + x

g) |3x − 7| ≤ 5

h) |x2 − 4| < −2x + 4 1

c) |x2 − 3x − 6x| ≤ 6 + x f ) |3x + 8| ≥ 8x − 3 15 i) 3 + |x2 + x| < 4 Lic.Miriam Cusi Rodr´ıguez

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7. Resolver las desigualdades fraccionarias con valor absoluto x+2 x+3 6 − 5x 1 3 a) b) c) <4 > ≤ 2x − 3 x + 16 x−4 3+x 2 5 1 x 1 x−1 1 d) 2 ≥ e) ≥ f) ≥ x − 4x + 2 x−1 2x − 1 x−2 1 + x x √ 2 √ √ |x − 4| + 2x − 4 g) ≥ 0 h) log(2x − 6) ≤ 1 i) x − 2 − 3x − 6 ≤ 6 x2 + 4x + 12 Funciones 1. Determina el dominio de las siguientes funciones: x a) f (x) = √ x2 − 4 √ x−1 d) f (x) = √ 4 − x2 10 g) f (x) = 2 x −4

ln(x − x3 ) √ b) g(x) = 2 √x − 4x − 12 |x − 1| − 1 e) g(x) = √ 4 9 − (x − 1)2 √ h) g(x) = 9 − |x|

c) h(x) =

√

1 − |3 − x| (

) 2−x f ) h(x) = log 2 x − 4x − 21 i) h(x) = 6 − 2x − x2

2. Si f (3x − 5) = 6x + 1, calcula f (x), f (0) 3. Si f (3x + 1) = 36x2 − 6x + 2, calcula f (2x + 5), f (2) 4. Si f (3x + 1) = 6x − 4, calcula f −1 (2x + 1), f (1) 5. Si f (2x + 1) = 4x2 − 6x + 5, calcula f (x2 − 1), f (3) 6. Sea f una funci´on tal que 3f (2 − x) + 2f (x) = x2 , donde x ∈ R. Calcula f (0), f (1) y f (2). 7. Sea f una funci´on tal que f (1) = 7 y f (x + y) = f (x) + f (y) + 3 para todo x, y ∈ R. Determina f (0), f (2) y f (3). 8. Sea f (x) = x2 . Demostrar que (a + b) a) 2f ≤ f (a) + f (b) 2 (a + b + c) b) 3f ≤ f (a) + f (b) + f (c) 3 √ 9. Sea f (x) = x. Demostrar que (a + b) a) f (a) + f (b) ≤ 2f 2 (a + b + c) b) f (a) + f (b) + f (c) ≤ 3f 3 2

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10. Encuentra los valores de a y b tal que el dominio de la funci´on √ f (x) = a2 − (x − b)2 sea el intervalo [2, 6]. { (x − 2) x+2 si x < 1 11. Si f (x) = ln y g(x) = √ x+3 x − 1 si x ≥ 1 Halla la funci´on h(x) = f (x) · g(x + 1) 12. Si f (2x − 1) = 5x2 − 3x + 1. Halla f (x) 13. Halla el dominio de la siguiente funci´on. (√ x − 2 ) (x − 3) a) f (x) = 5 + ln − ex x+1 x ( x2 + x + 1 ) ex b) f (x) = ln + + 10 |x − 4| − |x − 7| x−7 1 14. Si f (x) = 2x − 3 y g(x) = . Halla el valor de a (si es posible) de modo que 2x − 1 (g ◦ f )(2) = (f ◦ g)−1 (a − 1) 15. Si f (x − 2) = x2 − 4x + 6 y g(x) = x + a, determina el valor de a de modo que (f ◦ g)(x) = (g ◦ g)(a − 1). 16. Grafica la funci´on f (x) = |2x| + |2x − 4|. 17. Elabora la gr´afica de las siguientes funciones: a) f (x) = |x| + |x − 1| d) g(x) = x2 − 2|x| − 3

b) f (x) = x · cos x e) g(x) = |x| + x

c) f (x) = x + (x − 1)(x + 1) f ) g(x) = −|4x − x2 |

18. Encuentra a y b tal que f (x) = ax + b pasa por los puntos (−1, 1) y (4, 2). 19. Encuentra a y b tal que f (x) = x2 + 2ax + b pasa por el punto (−1, 1) y tiene como m´ınimo −7. 20. Si f (x) = ax2 + bx + c, f (−1) = 0, f (1) = 8, f (−1) + f ( 12 ) =

15 4,

calcula f (5).

x+2 y g(x + 1) = f (3x − 2), halla g( x3 ). x−3 x−2 x+2 22. Si f (x − 2) = y g −1 (x−1 ) = , determina (f ◦ g ◦ f −1 )(x). x−1 x−1 23. Un campo petrolero con 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios. Por cada nuevo pozo que se perfore, la producci´on diaria de cada pozo decrece en cinco barriles. Expresa la producci´on diaria total del campo petrolero como una funci´on del n´ umero x de nuevos pozos perforados. 21. Si f (2x − 3) =

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24. Para proteger un terreno rectangular se precisan 120 m de alambrada. Expresa el ´area en funci´on de uno de sus lados. Determina dominio y rango. 25. Con una barra de acero se construye un rect´angulo de ´area 12 cm2 . Expresa su per´ımetro en funci´on de un lado. Determina dominio y rango. 26. Expresa la longitud de una cuerda de una circunferencia de 4 cm de radio en funci´on de la distancia x del centro de la circunferencia a la cuerda. Determina dominio y rango. 27. En cada uno de los vertices de una lamina de carton de 12 cm de lado, se cortan peque˜ nos cuadrados de x cm de lado, dobl´andose a continuaci´on los bordes hacia arriba para formar una caja sin tapa de altura x. Expresar el volumen V en funci´on de x. Determina dominio y rango. 28. Se va a construir un tanque de caras laterales rectangulares, con base y tapa cuadradas con capacidad de 8 m3 para almacenar aceite. El material para construir la base y la tapa tiene un costo de $ 1000 por m2 y el material para construir las caras laterales tiene un costo de $ 500 por m2 . Obtener el costo de la construcci´on del tanque en funci´on de la longitud x del lado de la base cuadrada. 29. Encuentra f + g, f − g f g y f /g, donde { { −x + 1, si; −1 ≤ x ≤ 1 x, si; x ≤ 0 g(x) = f (x) = 1, si; x > 1 −x + 1, si; x ≥ 2 30. Si f (x) = 5x2 − 7x + 3, g(x) = x2 + 2, calcula f + g, f − g, f · g, f /g, f ◦ g, g ◦ f, (f + g) ◦ f, (g ◦ g)(1), (g ◦ f )(0) 31. Encuentra f (x), de manera que ( x + 1 ) x2 + 1 1 √ 2 a) f (x − 1) = x + x b) f = + x x2 x

(

1) 1 c) f x + = x2 + 2 x x

32. Determinar si los n´ umeros 5 y −5 est´an en el rango de la funci´on f (x) = x2 − 4x. √ 33. Sea g(x) = x − 1 − 2. Halla una funci´on f tal que (f ◦ g)(x) = |2x − 3| 1 . Determina (f ◦ f ◦ f )(x) 34. Dada la funci´on f (x) = 1−x ax + b 35. Sea f (x) = . Verificar que f (f (x)) = x. cx − a

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Cap´ıtulo 3. L´ımites y Continuidad 1. Aplicando la definici´on, verificar los siguientes l´ımites a)

l´ım 5 − x − x2 = −1

b) l´ım x2 + 2x − 1 = 7

x→−3

c) l´ım1

x→2

x→ 2

2. Aplicando la definici´on, verificar los siguientes l´ımites x 1 1 =2 b) l´ım √ = a) l´ım x→1 x→6 x − 3 5−x 2

3 + 2x 8 = 5−x 9 √

c) l´ım

x→4

x−2 x−4

3. Dar un ejemplo en el que exista l´ımx→0 f (x2 ), pero no l´ımx→0 f (x) 4. Dada la funci´on f (x) = x + 3, calcule a) l´ımh→0 f (3 + h) b) l´ımx→0 [f (x) − f (x + 2)] c) l´ımx→3 f (x) 5. Calcular los siguientes l´ımites algebraicos √ √ 2+ 3x−2 (3 + x)3 − 33 a) l´ım b) l´ım x→0 x→8 x x− √8 √ n x −1 x+ x−1−1 √ d) l´ım m e) l´ım x→1 x − 1 x→1 x2 − 1

x3 − 3x + 2 x→0 x4 − 4x + 3 √ x−8 f ) l´ım √ x→64 3 x − 4 c) l´ım

6. Calcular los siguientes l´ımites algebraicos √ 3 x100 − 2x + 1 9x − 3 g) l´ım 50 h) l´ım √ x→1 x − 2x + 1 x→3 3x − 3

√ 3 i) l´ım

x→1

√ x+ x−2 x−1

7. Determinar los l´ımites siguientes √ x2 − 2x + 5 4x3 + 2x2 − 5 a) l´ım b) l´ ım c) l´ ım x2 + x − x x→+∞ 7x3 + x + 1 x→−∞ 8x3 + x + 2 x→∞ 8. Determinar los l´ımites siguientes ( x3 √ x2 ) (2x − 3)20 (3x + 2)30 − c) l´ım a) l´ım ( (x + a)(x + b) − x) b) l´ım x→∞ x→∞ x→∞ 2x2 − 1 2x + 1 (2x + 1)50 9. Calcular los siguientes l´ımites trigonom´etricos. √ sin a − sin x xπ b) l´ım sin x a) l´ım (1 − x) tan( ) x→0 x→1 2 sin a + sin x √ 1 − cos x √ d) l´ım x→0 1 − cos x

tan x − sin x x→0 x3

e) l´ım

5

√ c) l´ım

x→0

1 + sin x − x

√

1 − sin x

cos x − cos 2x x→0 1 − cos x

f ) l´ım

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10. Calcular los siguientes l´ımites trigonom´etricos. √ ( 1 1 ) 3 − 2 cos x − h) l´ımπ g) l´ım x→0 sin x x→ 6 tan x 6x − π

cos x − cos a x→a x−a

i) l´ım

11. Calcular los l´ımites exponenciales y logar´ıtmicos. a) l´ım (1 − sin 3x)

1 2x

x→0

xn − an d) l´ım x→a ln xn − ln an

b) l´ım x[ln(x + 1) − ln x] x→∞

1 e) l´ım ln x→0 x

√

1+x 1−x

12. Calcular los l´ımites exponenciales y logar´ıtmicos. ( x3 + 2x + 3 )x2 +2 ( ax + bx + cx ) x1 g) l´ım h) l´ım x→∞ x→0 x3 + 4 3

eax − ebx c) l´ım x→0 sin ax − sin bx f ) l´ım (ln(2x + 1) − ln(x + 2)) x→∞

ax+h + ax−h − 2ax h→0 h2

i) l´ım

13. Trazar la gr´afica de la funci´on, y determinar los valores de la variable independiente en los cuales la funci´on no es continua.    1 + x, x ≤ 2  2x + 3, x ≤ 1 a) h(x) 2 − x, −2 < x ≤ 2 b) g(x) = 8 − 3x, 1 < x < 2   2x − 1, 2 < x x + 3, x ≥ 2 14. Trazar la gr´afica de la funci´on, y determinar los valores de la variable independiente en los cuales la funci´on no es continua.  {  x − 3 , x ̸= 3 |2x + 5|, x ̸= − 52 a) f (x) = b) g(x) = |x − 3| 3, x = − 52  0, x=3 f (x) g(x) f (x) = 4 y l´ ım = −6. Calcular l´ ım x→1 x→1 1 − x3 1 − x2 g(x) √ x2 − 16 16. Determine los intervalos donde la funci´on f (x) = sea continua. x−6 √ √ 17. Determine el intervalo donde la funci´on f (x) = 4 − x − 3 sea continua. { 2x − 3 si x ≤ 2 18. Si f (x) = . Halla el valor de L de tal forma que exista el l´ımx→2 f (x) 2L si x > 2

15. Si se sabe que l´ımx→1

19. Calcule el siguiente l´ımite, (x2 + 3)3 (x2 + 2x) l´ım x→∞ (2x3 + 1)2 x3 6

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20. Calcule el siguiente l´ımite, (5x + 2)10 (x − 1)15 l´ım x→∞ (x + 3)25 21. Encuentre a tal que

√ x2 + 3 ax − 4a √ l´ım = a + a2 √ 4 2 2 x→ a 2x + ax − 3a

22. Sean f y g funciones reales tales que l´ımx→1 tre l´ımx→1

f (x) g(x)

f (x) g(x) = 10, l´ımx→1 3 = 4, encuen2 x −1 x −1

f (x) f (x − 2) g(x + 2) 23. Si l´ımx→2 √ = 5, encuentre l´ımx→0 = 3 y l´ımx→−2 2 x −4 g(x) 2x − 2 24. Dada la funci´on { ax2 − 10, si x < a f (x) = −ax + x, si x ≥ a encuentre a tal que l´ımx→a− f (x) = l´ımx→a+ f (x) 25. Determinar a para que la funci´on sea continua y realiza su gr´afica. { −ax2 , si x<4 f (x) = −6x + 16, si x ≥ 4 26. Determinar a y b para que la funci´on sea continua y realiza su gr´afica.   x + 2a, si x < −2 f (x) = 3ax + b, si −2 ≤ x ≤ 1   6x − 2b, si x > 1 27. Determinar a y b para que la funci´on sea continua y realiza su gr´afica.   x + 2a, si x < −2 f (x) = 3ax + b, si 2 ≤ x ≤ 1   3x − 2b, si 1 < x 28. Determinar a y b para que la funci´on sea continua y grafica.  2  x + 1, si x < 1 f (x) = ax + b, si 1 ≤ x ≤ 2   x − 5, si x > 2 7

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29. Si x2 − a2 ≤ f (x) ≤ x3 − a3 , para todo x ̸= a. Determine el l´ımx→a Aplique el teorema del Sandwich)

f (x) . x−a

30. Si x2 − 1 ≤ f (x) ≤ x4 − x3 + x − 1, para todo x ̸= 1. Determine el l´ımx→1 (Sug. Aplique el teorema del Sandwich)

(Sug. f (x) . x−1

Cap´ıtulo 4. Derivadas 1. En cada caso determinar f ′ (x) aplicando la definici´on de derivada. √ √ 2x + 3 a) f (x) = 3x + 5 b) f (x) = 3 2x + 3 c) f (x) = 3x √ −2 d) f (x) = cos(x) e) f (x) = 3x f) f (x) = x 2. En cada caso determinar f ′ (x) aplicando la definici´on de derivada. a) y = 3x−4 b) y = √1+2x 1+x2 x+1 3. Muestre con un ejemplo que toda funci´on continua no es necesariamente diferenciable. 4. Aplicando las reglas de derivaci´on, encuentra la derivada de las siguientes funciones. a) f (x) = (2x4 − 1)(5x3 + 6x) x3 + 1 2 c) f (x) = 2 (x − 2x−1 + 1) x +3

b) g(x) = (x2 − 3x + 2)(2x3 + 1) d) g(x) = (3x3 + x−3 )(x + 3)(x2 − 5)

5. Aplicando las reglas de derivaci´on, encuentra la derivada de las siguientes funciones. √ √ 3 2 1/3 3 1/2 2 a) f (x) = (x + 3) (x − 1) b) g(x) = x − 5 x2 + 3 √ √ √ 3 2 2 d) g(x) = 9 + 9 − x c) f (x) = (3x + 5x − 1) √ 3 4 y + 1 e) f (y) = f ) g(x) = (x4 + 3x−2 + 1)−2/3 3 y −1 6. Calcula la derivada de cada funci´on en el punto indicado. √ x+3 ,a = 2 a) f (x) = 1 + 9x, a = 7 b) g(x) = 2x − 5 √ √ c) f (x) = 3 (3x2 + 5x − 1)2 , a = 0 d) g(x) = 9 − x, a = 5 √ 1 f ) g(x) = + x + x2 , a = −3 e) f (x) = 3 − 5 + x, a = −4 x 7. Trazar la gr´afica de la funci´on dada y determinar la ecuaci´on de la recta tangente y normal a la curva dada en el punto indicado. a) y = 2x − x3 ; (−2, 4) b) y = x2 + 2x + 1; (1, 4) 8

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8. Trazar la gr´afica de la funci´on dada y determinar la ecuaci´on de la recta tangente y normal √ a la curva dada en el punto indicado. √ a) y = 9 − 4x; (−4, 5) b) y = 4x − 3; (3, 3) 9. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = 2x2 + 3 que es paralela a la recta 8x − y + 3 = 0. √ 10. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = 4x − 3−1 que es perpendicular a la recta x + 2y − 11 = 0. 11. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (3, −2) y son tangentes a la curva y = x2 − 7. 12. Encuentra la ecuaci´on de la recta normal a la curva y = x2 que pase por el punto P (18, 0). ( x )n ( y )n 13. Demuestra que la tangente a la curva + = 2 en el punto M (a, b) est´a dada a b x y por + = 2. a b 14. Calcula la derivada de las siguientes funciones y expresa el resultado en su forma mas simple. √ x√ 2 x2 a) y = x + 4 − 2 ln(x + x2 + 4) y′ = √ 2 x2 + 4 [1 (1 ( 1 ))] b) y = ln + ln + ln y ′ =??? x √x) √x ( 1 a+x b 1 √ c) y = √ ln √ y′ = a − bx2 2 ab a−x b √ √ ( √1 + x − √1 − x ) 1−x 1 − x2 √ + 2 arctan d) y = ln √ y′ = 1+x x 1+x+x 1−x sin x − x cos x x2 ′ e) y = y = cos x + x sin x (cos x + x sin x)2 ) ( −1 sen x + cos x y ′ = −1 f ) y = cot sen x − cos x √ √ 4 4 ( 1 1 + x4 + x ) 1 1 + x4 1 ′ √ g) y = ln √ − arctan( ) y = 4 4 4 2 x 1 + x4 − x 1 + x4

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√ arc cos x 1 ( 1 − 1 − x2 ) arc cos x √ y′ = − h) y = + ln x 2 x2 1 + 1 + x2 1 1 1 1 j) y = ln(1 + x) − ln(1 + x2 ) − y′ = 2 4 2(1 + x) (1 + x)2 (1 + x2 ) √ √ (1 + x) (1 + x k ) 1 k 1 √ k) y = ln + ln y′ = 1−k 1−x 1−k (1 − x2 )(1 − kx2 ) 1−x k √ √ √ √ 2 2 ′ 2 2 2 l) y = x ln (x + 1 + x ) − 2 1 + x ln(x + 1 + x ) + 2x y = ln (x + 1 + x2 ) 1 ( x2 − 1 ) x ′ m) y = ln y = 4−1 4 x+ 1 x√ √ ( b + a cos x + b2 − a2 sin x ) b2 − a2 ′ y = n) y = ln a + b cos x a + b cos x 15. Calcula la derivada de las siguientes funciones y expresa el resultado en su forma mas simple. ( a )x ( b )a ( x )b ( (a) a − b) ′ y = y ln − a) y = b x ak b x 2 ′ b) y = ln(sin x) y = 2 cot x 1 dr c) r = tan θ − tan θ + θ = tan4 θ 3 √ dθ 1 + sin x d) y = ln y ′ = sec x √ 1 − sin x 1+x 1 y′ = e) y = ln 1−x 1 − x2 √ ( x2 + 1 − x ) 2 f ) y = ln √ y′ = − √ x2 + 1 + x x2 + 1 √ 1 g) y = ln(x + 1 + x2 ) y′ = √ 1 + x2 √ √ ( a2 + x2 + a ) √ a2 + x2 ′ 2 2 y = h) y = a + x − a ln x √ x √ √ 2 2 x +a x2 + a2 ′ 2 2 i) y = ln(x + x + a ) − y = x x2 ( x2 ) 2ax j) y = arctan y′ = 4 a x + a2 (x) √ x√ 2 a2 ′ 2 y = a2 − x2 k) y = a − x + arcsin 2 2 a ) ( 1 x √ y′ = √ l) y = arctan 1 + 1 − x2 2 1 − x2 10

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( x2 + √2x + 1 ) ( x√2 ) 1 1 √ m) y = √ ln − √ arctan 2 x −1 4 2 x2 − √2x + 1 2 2 n) y = x arcsin2 x + 2 1 − x2 arcsin x − 2x √ x o) y = ln(e + 1 + e2x )

y′ =

1 x4 + 1

y ′ = arcsin2 x ex ′ y =√ 1 + e2x

16. Determina y ′ por derivaci´on impl´ıcita. 2

2

2

a) x + y = a

b) y 2 − 2xy + b2 = 0 c) b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2

x y =− y y y′ = y−x b2 x ′ y =− 2 ay ′

d) x + y − 3axy = 0 3

3

e) cos(xy) = x f ) y = cos(x + y)

ay − x2 y = 2 y − ax 1 + y sin(xy) y′ = − x sin(xy) sin(x + y) y′ = − 1 + sin(x + y) ′

17. Determina y ′ por derivaci´on impl´ıcita. x−y x y 1 − x2 − y 2 ′ ′ a) y = y =?? c) xy = arctan( ) y = · x+y y x 1 + x2 + y 2 √ y x+y √ √ √ b) tan−1 ( ) = ln x2 + y 2 y ′ = d) y + 3 y + 4 y = x y ′ =?? x x−y √ 18. Empleando la definici´on, hallar la derivada de la funci´on. f (x) = 3 x + 10 3

19. Encontrar los valores de x para los que la tangente a f (x) = 2x3 −x2 sea perpendicular a la recta x + 4y = 10 20. Calcular l´ımx→0+ (1 − ex ) ln(sin x). (Puede aplicar Regla de H’opital) 21. Demuestre que la derivada de f (x) = |x + 5| no existe en a = −5. 22. Halla y ′ √ para √ a) y = x sin2 x 1 − ex √ b) y = y x 23. Probar que la funci´on y = f (x) satisface la ecuaci´on diferencial dada. a) y = 21 x2 ex ; b) y = C1 e−x + C2 e−2x ;

y ′′ − 2y ′ + y = ex y ′′ + 3y ′ + 2y = 0

24. Probar que la funci´on y = f (x) satisface la ecuaci´on diferencial dada. a) y = e2x sin 5x;

y ′′ − 4y ′ + 29y = 0

b) y = e−x cos x;

y 4 + 4y = 0 11

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25. Por derivaci´on logar´ıtmica determina y ′ . 2

a) y = (sin x)cos x

b) y = x3 ex sin 2x

26. Por derivaci´on logar´ıtmica determina y ′ . a) y = x

√

√ x sin x 1 − ex √ (x + 1)3 4 x − 2 d) y = √ 5 (x − 3)2

xx

b) y =

c) y = (x2 + 1)sin x

27. Una capa circular de aceite es provocada por un derrame de 1 m3 de aceite. El espesor de la capa de aceite decrece a raz´on de 0,1 cm/h. ¿Con que raz´on aumenta el radio de la capa cuando el radio es 8m? 28. Suponga que un avestruz de 5 pies de altura camina a 4 pies/seg hacia una l´ampara de 10 pies de altura. ¿Con que rapidez se mueve la sombra del avestruz a lo largo del piso?¿Con que raz´on decrece la longitud de la sombra? 29. ¿Con que raz´on aumenta el ´area de un tri´angulo equil´atero si su base mide 10 cm y aumenta a 0.5 cm/seg? 30. Un globo de gas se infla a raz´on de 100π cm3 de gas por segundo. ¿Con que raz´on aumenta el radio del globo cuando el radio mide 10 cm? 31. Un globo meteorol´ogico que se eleva verticalmente es observado desde un punto en el piso a 300 pies del punto directamente debajo del globo. ¿Con que raz´on sube el globo cuando el ´angulo entre el piso y la linea de vision del observador es 45o y aumenta a 1o por segundo ? 32. Una escalera de 41 pies de largo descansa sobre una pared vertical, cuando comienza a resbalar. Su parte superior se desliza hacia abajo sobre la pared, mientras que su parte inferior se mueve sobre el piso a una velocidad constante de 10 pies/seg. ¿Qu´e tan r´apido se mueve la parte superior de la escalera cuando est´a a 9 pies del suelo? Cap´ıtulo 5. Aplicaciones de la Derivada 1. Encuentra los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones 1 x b) f (x) = 2 a) f (x) = x7/3 − x4/3 + 3x1/3 7 x −9 2. Determina los valores m´aximos y m´ınimos de cada una de las siguientes funciones en los intervalos indicados. 12

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a) f (x) = x3 + 5x − 4 en [−3, −1] x b) f (x) = en [−1, 2] x+2 c) f (x) = 1 − (x − 3)2/3 en [−5, 4] 3. Determina los valores m´aximos y m´ınimos de cada una de las siguientes funciones en los intervalos indicados. { 4 − (x + 5)2 , x ≤ −4 a) f (x) = en [6, 0] 12 − (x + 1)2 , x ≥ −4 b) f (x) = sin x − cos x en [0, π] c) f (x) = 4x2 − 4x + 1 en [0, 1] 3x d ) f (x) = √ en [−1, 1] 4x2 + 2 4. Verificar el Teorema del Valor Medio, si f est´a definida por f (x) = x3 − 3x2 en [−1, 3] 5. Determinar en los siguientes ejercicios si se cumplen las hip´otesis del teorema de Rolle y encontrar todos los valores c que el teorema indica, en caso contrario establecer cual es la hip´otesis que falla. √ x+1 a) f (x) = 4 − x2 ; [−2, 2] c) f (x) = ; [2, 3] x−1 b) f (x) = 2x6 − 9x4 + 12x2 − 32; [−2, 2] 6. Demostrar que sin x ≤ x, para todo x ≥ 0. (Sug. Utiliza el Teorema del Valor Medio) x2 7. Demostrar que: 1 − ≤ cos x, ∀x ∈ [0, 2π] 2 8. Demostrar que La funci´on f (x) = tan x es creciente en el intervalo abierto (− π2 , π2 ). Es decir, si x1 < x2 entonces tan x1 < tan x2 . 9. Emplear el Teorema del Valor Medio para demostrar que: | sin x − sin y| ≤ |x − y| 10. Traza la gr´afica de las siguientes funciones realizando un an´alisis completo. 2x 2 a) f (x) = (x2 − 3)2 b) f (x) = c) f (x) = x2 − 1+x x 11. Traza la gr´afica de las siguientes funciones realizando un an´alisis completo. a) f (x) = (1 + x)2/3 (3 − x)1/3 x d) f (x) = √ 3 x2 − 1

b) f (x) = x4 − x3 − 3x2 x2 − 2x + 2 e) f (x) = x−1 13

c) f (x) = 3x5 + 4x3 + 4 1 f ) f (x) = x2 + x Lic.Miriam Cusi Rodr´ıguez

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12. Calcula los siguientes limites empleando la Regla de L’Hb opital tan x − x =2 x→0 x − sen x 3 tan 4x − 12 tan x c) l´ım = −2 x→0 3 sen 4x − 12 sen x

x cos x − sen x 1 = − x→0 x3 3 √ 3 tan x − 1 1 d) l´ımπ = x→ 4 2 sen2 x − 1 3

a) l´ım

b) l´ım

13. Calcula los siguientes limites empleando la Regla de L’Hb opital 2

ex − cos x 3 b) l´ım = x→0 x2 2 ( arc sen x ) 12 x d) l´ım = e1/6 x→0 x

1 1 1 a) l´ım − = x→1 ln x x−1 2 x sen x a −a ln a c) l´ım = x→0 x3 6

14. Determine los valores de a, b y c de modo que f (x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 − c se intersecan en (1, 2) y tienen la misma tangente en dicho punto. 15. Traza la gr´afica de la funci´on f (x) = x3 − 3x + 2, especificando los valores m´aximos y m´ınimos, intervalos de monoton´ıa, los puntos de inflexi´on y los intervalos de concavidad de f . 16. Traza la gr´afica de f (x) = (x2 − 1)2 . 17. Determina los valores de a, b y c de modo que f (x) = ax4 + bx2 + c, tenga un extremo relativo en x = 71 y que la ecuaci´on de la tangente en el punto de abscisa x = −1 sea T : 2x − y + 11 = 0. 18. Determina los intervalos de crecimiento, los extremos, los intervalos de concavidad y 4|x| los puntos de inflexi´on de f (x) = . 1 + x2 19. Construir un rect´angulo de per´ımetro 20 cm cuya ´area sea la mayor posible. 20. Halla dos numeros cuya suma sea 120, de modo que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea m´aximo. R. 80 y 40 21. Halla la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (3, 4) y forma en el primer cuadrante un tri´angulo de ´area m´ınima. R. 4x + 3y = 24 √ 22. Calcula la minima distancia del punto (4, 2) a la par´abola y 2 = 8x. R. 2 2 23. Demostrar que entre todos los rect´angulos, con per´ımetro dado, el cuadrado es el de mayor ´area. 24. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un c´ırculo y la otra para un cuadrado. ¿Donde debe hacerse el corte para 14

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maximizar la suma de las ´areas del cuadrado y del c´ırculo?¿Para minimizar dicha suma? Cap´ıtulo 6. Integrales 1. Enuncie el teorema del valor medio para integrales y explique gr´aficamente su significado. 2. Para cada funci´on realiza la gr´afica en el intervalo [a, b] luego, divida [a, b] en n subintervalos y calcula el ´area del correspondiente pol´ıgono circunscrito. a) f (x) = x + 1; a = −1, b = 2, n = 3 b) f (x) = 3x − 1; a = 1, b = 3, n = 4 3. Para cada funci´on realiza la gr´afica en el intervalo [a, b] luego, divida [a, b] en n subintervalos y calcula el ´area del correspondiente pol´ıgono circunscrito. a) f (x) = x2 − 1; a = 2, b = 3, n = 6 b) f (x) = 3x2 + x + 1; a = −1, b = 1, n = 10 4. Ilustre el primer teorema fundamental del c´alculo con un ejemplo. 5. Encuentra el ´area de la regi´on bajo la curva y = f (x) en el intervalo [a, b], dividiendo el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, calcule el ´area del pol´ıgono circunscrito en t´erminos de n y luego calcule el l´ımite cuando n → ∞ a) y = x + 2; a = 0, b = 3 b) y = 21 x2 + 1; a = 0, b = 2 c) y = 2x + 2; a = 0, b = 3 6. Halla f ′ (x), donde: ∫ x3 2 et dt + ln(sin x) a) f (x) = ex

∫

x3

sin3 tdt

b) f (x) =

1

a

7. Halla f ′ (x), donde: ∫ b 1 a) f (x) = 2 dt 2 x 1 + t + sin t

(∫ b) f (x) = tan

cos x

) e dt + 125 t2

0

8. Halla la medida del ´area de la regi´on bordeada por el eje de las X y la curva dada por f (x) = 2x3 + x mediante el c´alculo del l´ımite de la suma de Riemann desde x = 0 hasta x = 1.

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9. Eval´ ua las integrales definidas, aplicando el teorema Fundamental del C´alculo ∫ 4 ∫ π ∫ 3 4 dx √ a) b) cos xdx c) 2x(1 − x)dx x 0 0 −1 ∫ π ∫ 3 ∫ 2 2 1 |x|dx d) sin xdx e) x(1 + x2 )dx f) π 2 −2 −2 −1 10. Integraci´on por sustituci´on. ∫ dx a) = ln(ln x) + c x ln x ∫ √ dx 4 √ √√ b) = ( x + 1)3/2 − 4( x + 1)1/2 + c x+1 3 ∫ dx c) = arctan(ex ) + c x −x e −e √ ∫ √x e√x e x e 3 2(3 ) √ d) dx = +c ln 3 x √ √ ∫ √ ln(x + x2 + 1) 2 e) dx = [ln(x + x2 + 1)]3/2 + c 2 1+x 3 ∫ dx f) = tan x − sec x + c 1 + sen x 11. Integraci´on por sustituci´on. ∫ arctan x e + x ln(x2 + 1) + 1 1 2 2 arctan x g) dx = e + ln (x + 1) + arctan x + c 1 + x2 4 ∫ ( sen2 x ) sen x cos x 1 √ h) dx = arcsin √ +c 4x 2 2 2 − sen √ ∫ √ √ 2 + x2 − 2 − x2 x √ i) dx = arcsin( √ ) − ln(x + 2 + x2 ) + c 4 2 4−x ∫ ( ) ( 1 2 1 + x) 1+x 1 ln dx = ln +c j) 1 − x2 1−x 4 1−x

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12. Integraci´on por partes. ∫ a) (7 + x − 3x2 )e−x dx = (3x2 + 5x − 2)e−x + c ∫ b) x sec2 xdx = x tan x + ln(cos x) + c ∫ x c) cos(ln x)dx = (sen(ln x) + cos(ln x)) + c 2 ∫ √ √ √ d) ln(x + 1 + x2 )dx = x ln(x + 1 + x2 ) − 1 + x2 + c ∫ ln(ln x) e) dx = ln x[ln(ln x) − 1] + c x 13. Integraci´on ∫ a) ∫ b) ∫ c) ∫ d) ∫ e)

por partes. 1 x arctan2 xdx = [(x2 + 1) arctan2 x − 2x arctan x + ln(x2 + 1)] + c 2 √ arcsin2 xdx = x arcsin2 x + 2 1 − x2 arcsin x − 2x + c a cos(bx) + b sen(bx) ax ·e +c a2 + b2 1 1 x ln xdx = x2 (ln x − ) + c 2 2 √ x arcsin x √ dx = x − 1 − x2 arcsin x + c 2 1−x

eax cos(bx)dx =

14. Integrales trigonom´etricas. ∫ 1 2 1 a) sen5 x cos2 xdx = − cos3 x + cos5 x − cos7 x + c 3 5 7 ∫ 7 1 1 (sen2 x + cos x)2 dx = x + b) sen(4x) + sen3 x + c 8 32 3 ∫ 1 c) tan3 xdx = tan2 x + ln(cos x) + c 2 ∫ √ 2 2 d) cos x sen3 xdx = cos7/2 x − cos3/2 x + c 7 3

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15. Integrales trigonom´etricas. ∫ √ √ a) tan x sec xdx = 2 sec x + c ∫ 1 1 b) sen(3x) sen(5x)dx = sen(2x) − sen(8x) + c 4 16 ∫ sen(2x) sen(6x) c) cos(4x) cos(2x)dx = + +c 4 12 ∫ 1 1 d) sen(4x) cos(7x)dx = cos(3x) − cos(11x) + c 6 22 16. Integraci´on de expresiones cuadr´aticas. ∫ ( 2x + 1 ) x+1 1 1 2 a) dx = ln(x + x + 1) + √ arctan √ +c x2 + x + 1 2 3 3 ∫ (x + 2) dx 1 b) = √ arctan √ +c x2 + 4x + 8 8 8 ∫ ( 2x2 − 1 ) x3 1 1 4 2 √ √ c) arctan +c dx = ln(x − x + 2) + x4 − x2 + 2 4 2 7 7 17. Integraci´on de expresiones cuadr´aticas. ∫ x+1 dx √ = arc sen( √ ) + c d) 2 1 − 2x − x2 ∫ 3x − 5 3 14 x+3 + e) dx = ln(x 6x + 18) − arctan( )+c 2 + 6x + 18 x 2 3 3 ∫ √ 2−x x+5 √ )+c f) dx = −x2 − 10x − 21 + 7 arc sen( 2 − 10x − 21 2 −x ∫ √ √ 4 − 7x √ g) dx = −7 x2 + 2x − 8 + 11 ln(x + 1 + x2 + 2x − 8) + c x2 + 2x − 8 18. Sustituci´on trigonom´etrica. ∫ x√ 1 x2 √ a) dx = arcsin x − 1 − x2 + c 2 2 2 1−x √ ∫ 25 − x2 dx √ +c b) =− 25x x2 25 − x2 √ ∫ √ [ 9 x x 9 − x2 ] 2 c) 9 − x dx = arcsin( ) + +c 2 3 9 √ ∫ √ x 4 − x2 3 d) x2 4 − x2 dx = 2 arcsin( ) − (x − 2x) + c 2 4 18

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19. Sustituci´on trigonom´etrica. ∫ dx 1[ x 2x ] e) = arctan( ) + +c (x2 + 4)2 16 2 4 + x2 ∫ ( 2x2 − 5x − 5 ) √ √ x3 2 √ f) dx = x + 2x + 5 + 5 ln(x + 1 + x2 + 2x + 5) 6 x2 + 2x + 5 √ ∫ dx x2 + 3 (x2 + 3)3/2 √ g) = − +c 9x 27x3 x4 x2 + 3 √ ∫ dx 1 x2 + 2x √ h) = arcsin(x + 1) + +c 2(x + 1)2 (x + 1)3 x2 + 2x 2 20. Integraci´on por fracciones parciales. ∫ 2x2 + 41x − 91 a) dx = 4 ln(x − 1) + 5 ln(x − 4) − 7 ln(x + 3) + c (x − 1)(x + 3)(x − 4) ∫ ] 2x + 1 1 [ (x − 2)2 b) dx = ln +c x3 − 7x + 6 4 (x − 1)3 (x + 3) ∫ ] x3 − 1 x 1 [ x1/6 c) dx = + ln +c 4x3 − x 4 16 (2x + 1)9 (2x − 1)7 √ ∫ x2 − 2 x dx = ln +c d) x4 − 3x2 + 2 x2 − 1 21. Integraci´on por fracciones parciales. ∫ x2 − 3x − 7 3 1 a) dx = + ln(x + 1) − ln(2x + 3) + c (2x + 3)(x + 1)2 x+1 2 ∫ dx 1 1 (x − 1) = + ln +c b) x4 − x2 x 2 x+1 ∫ ( x2 + √2x + 1 ) √2 ( √2x ) dx 1 √ c) = √ ln + arctan +c x4 + 1 2 2 4 1 − x2 x2 − 2x + 1 ∫ 1 9 28 x3 + 1 dx = x + ln x − ln(x − 2) + ln(x − 3) + c d) x3 − 5x2 + 6x 6 2 3 22. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas. √ ∫ dx 1 ( 5 + tan( x2 ) ) a) +c = √ ln √ 2 + 3 cos x 5 5 − tan( x2 ) ∫ ( 3 tan( x ) + 1 ) dx 1 √2 b) = √ arctan +c 2 sen x − cos x + 5 5 5 19

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23. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas. ∫ [ sen2 x 1 4 x arctan2 x ] a) dx = − (2 sen x + cos x) + √ ln tan( + ) +c sen x + 2 cos x 5 2 2 5 5 ∫ (1 ) dx b) = arctan tan(2x) + c sen6 x + cos6 x 2 24. Resolver las siguientes integrales por cualquier m´etodo. √ ∫ 1 + 1 − x2 2 + x2 2 √ √ a) − 1 − x2 − 2 arcsin x + c =− 2 x x ∫ 1− 1−x ln(3x) 3 b) dx = ln( ) ln(ln(5x)) + ln x + c x ln(5x) 5 ∫ √ √ x arctan x 2 √ c) dx = 1 + x arctan x − ln(x + 1 + x2 ) + c 2 1+x ∫ √ √ √ √ d) sen xdx = 2(sen x − x cos x) + c ∫ √ 1 arcsin x arcsin x e) e dx = e (x + 1 − x2 ) + c 2 ∫ 2x − 1 f) dx (x2 + 2)2 25. Resolver las siguientes integrales por cualquier m´etodo. ∫ ∫ sec2 x dx b) sec3 xdx a) 3 2 tan x − 3 tan x + 2 tan x ∫ 3 ∫ √ x + x2 + x − 1 arc tan x c) dx d) dx x2 + 2x + 2 1 + x2 ∫ ∫ cos x ln(ln x) e) dx f) dx sin 2x − 9 x

Cap´ıtulo 7. Aplicaciones de la Integral 1. Calcula el ´area limitada por la curvas dadas. Realiza un dibujo de la region. a) y = x2 − 2x, eje x, x = 1; x = 3 b) y =

1 x2

− x; eje x; x = 2; x = 3

c) y = 2x3 − 3x2 − 9x; y = x3 − 2x2 − 3x 2. Calcula el ´area limitada por la curvas dadas. Realiza un dibujo de la region. 20

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a) y = x3 + 3x2 + 2x; y = 2x2 + 4x b) y = |x − 1| + 3; y = 0; x = −2; x = 4 c) y = x2 ; y = 8 − x2 ; 4x − y + 12 = 0 3. Determine m de modo que la regi´on por arriba de la recta y = mx y debajo de la par´abola y = 2x − x2 tenga un ´area de 36 unidades cuadradas. 4. Determine el ´area de la regi´on limitada por: x2 = y + 1 y x2 = 1 − y 5. Determine el ´area de la regi´on R acotada por la recta y = 12 x y por la par´abola y2 = 8 − x 6. Halla el ´area de las dos regiones en las cuales el c´ırculo x2 + y 2 = 8 es dividida por la par´abola y 2 = 2x. 7. Halla el ´area de la regi´on plana R limitada por la curva y = 10 − x − x2 , el eje de las x y las rectas x = −3 y x = 2. 8. Halla la longitud de arco de la curva y 2 = 4x − x2 , comprendido entre los dos puntos en que corta al eje X. √ √ 9. Halla la longitud del arco de la curva y = ln x desde x = 3 hasta x = 8. ∫x√ 10. Si f (x) = 0 cos tdt, encuentre la longitud del arco de la gr´afica de f desde el punto donde x = 0 hasta x = π. √ 11. Encuentre la longitud del arco de la curva 9y 2 = 4x3 del origen al punto (3, 2 3). 12. Halla la longitud del arco de la curva x =

y2 2

− 21 ln y desde y = 1 hasta y = e.

Nota.- Los Estudiantes deben resolver y entregar los ejercicios impares.

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