Universidad Nacional De San Agustin

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN CURSO: ALGEBRA LINEAL INFORME DE INVESTIGACION FORMATIVA DE: ‘‘APLICACIÓN DEL MÉTODO CRAMER EN BALANCE DE MATERIA’’

ELABORADO POR:  DIAZ VERA, DIEGO FABIAN  GONZALES RAMOS, MARIA ISABEL DE LOS ANGELES  HANCO GRANDE, JHON ALEXANDER  HUAYNA RAMIREZ, VICTOR VIDAL  MESTAS GAMIO, GABRIELA NICOLE  VALENZUELA NINA, MARIA FERNANDA

23 de Julio del 2020

ÍNDICE PORTADA INDICE RESUMEN EJECUTIVO I. II.

INTRODUCCIÓN

1

OBJETIVOS

1

1. OBJETIVO GENERAL 2. OBJETIVOS ESPECIFICOS III.

MARCO TEORICO

2

IV.

METODOLOGÍA

5

RESULTADOS

7

CONCLUSIONES

10

RECOMENDACIÓN

10

REFERENCIAS

10

V. VI. VII. VIII.

RESUMEN EJECUTIVO

En este trabajo de investigación informativa, se reúne todos los conocimientos previos para estudiar los procesos químicos industriales y sus variables, dentro del contexto de la ingeniería. Se comenzará por los aspectos básicos de los balances de materia y energía, y función de una columna de destilación fraccionada considerando tanto los casos de procesos estacionarios no reactivos, agua y como reactivos, metanol y etanol en diferentes proporciones. Representados en un diagrama de flujo y variables de operación. El problema se encuentra resuelto mediante la aplicación de técnicas numéricas tales como matrices por el método de Cramer. se realizó cálculos de salida de la masa de cada corriente y la cantidad en gramos de cada sustancia. El problema resuelto es meramente académico, pero se denota el grado de importancia que presenta el curso de algebra lineal en las diferentes aplicaciones a la ingeniería química.

INTRODUCCIÓN El álgebra lineal nos brinda instrumentos matemáticos para ponerlos en práctica, tomando decisiones, conociendo y empleando técnicas de cálculo importantes y de gran ayuda en problemas es así que podemos afirmar que, es una herramienta muy útil para la resolución de problemas en cualquier campo de estudio, economía, administración, programación, y sobre todo en la ingeniería. En

específico, en el balanceo de ecuaciones químicas con el uso del

método para la solución de sistemas lineales de ecuaciones en forma matricial. Tema de suma importancia que se presenta de forma muy común en cualquier procedimiento, ya que es indispensable conocer los coeficientes estequiométricos, es decir, la cantidad de materia de cada uno de los reactantes y productos que intervienen en la reacción. Puesto que cualquier proceso químico requiere de una reacción y por lo tanto es necesario el conocimiento exacto de esta. Mediante este método se facilita esta tarea ya que cuando se nos presentan muchas incógnitas en un sistema suele ser complicado encontrar los valores buscados. Además, buscamos en este proyecto presentar un ejemplo de aplicación en situaciones comunes nuestro

próximo

campo

laboral, así

como

aterrizar

los

en

conocimientos adquiridos

durante el presente curso de Algebra Lineal.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL: 

Determinar la relación entre los temas más importantes en el álgebra lineal y lo prácticos que se pueden convertir al aplicarlos en problemas de Ingeniería Química.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: 

Demostrar y encontrar la importancia de la aplicación de fundamentos de algebra lineal al balanceo de ecuaciones químicas en el balance de materia y energía en el campo laboral de la Ingeniería Química.



Hallar las cantidades en gramos de las sustancias empleadas en el ejercicio propuesto para cada una de las corrientes mostradas. Además de calcular sus masas correspondientes.

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MARCO TEORICO: 

SISTEMA LINEAL

Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1 en una o varias incógnitas. Es decir, es una expresión de la forma a1x1 + ... + anxn = b Donde los términos a1, ..., son números reales conocidos que se llaman coeficientes; el término b es también un número real conocido que se llama termino independiente, y por ´ultimo los símbolos x1, ..., xn se conocen como incógnitas y son a priori desconocidas. Para un número pequeño de incógnitas, es usual denotarlas por las letras x, y, z, t. Una solución de una ecuación es una asignación de valores a las incógnitas de forma que se verifique la igualdad. Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m ecuaciones lineales en las mismas n incógnitas. 

MATRICES

Una matriz es un arreglo de números reales distribuidos en filas y columna, el cual están encerrados en paréntesis o corchete. Las matrices generalmente se denotan con letras mayúsculas. 

REACCIONES QUÍMICAS

Una reacción química es un proceso por el cual una o más sustancias, llamadas reactivos, se transforman en otra u otras sustancias con propiedades diferentes, llamadas productos. En una reacción química, los enlaces entre los átomos que forman los 2|Página

reactivos se rompen. Entonces, los átomos se reorganizan de otro modo, formando nuevos enlaces y dando lugar a una o más sustancias diferentes a las iniciales. En la química nos encontramos con diferentes tipos de reacciones. Respecto a los estados de oxidación de los elementos involucrados en una reacción podemos encontrar cambios en el comportamiento de los reactivos a productos Reacciones de sustitución: Son aquellas en las cuales los elementos que intervienen como reactantes no cambian de estado de oxidación al pasar a productos. Reacciones redox: o también conocidas como reducción- oxidación son aquellas en las cuales algunos o todos los elementos que intervienen como reactantes cambian de estado de oxidación al pasar a productos. 

APLICACIÓN INGENIERÍA QUÍMICA

La destilación es, es su forma más simple, la separación por vaporización de los componentes de una solución que resulta de una diferencia de volatilidad de los componentes. La destilación de múltiples etapas, puede ser llevada a cabo en una simple columna de pared mojada, la cual es un cilindro vertical sobre cuyas superficies internas fluyen en contracorriente líquido y vapor. A causa de su limitada superficie interfacial, la transferencia de masa es muy limitada. Una de las formas de obtener una interfase grande consiste en llevar a cabo esta operación en una torre llena de cuerpos geométricos pequeños (empaque) que permite el contacto continuo e íntimo entre el líquido y su vapor, al desplazarse a través de la misma contracorriente. En la práctica se utilizan gran variedad de materiales para empacar torres, dentro de estos se encuentran: pedacearía de vidrio, piedras porosas, carbón, empaque estructurado, o empaque cerámico, entre los principales. Dentro de los empaques más conocidos se tienen: anillos rashing, anilloslessing, anillos de partición empaque tipo silla o silla intalox y el empaque estructurado. 

COLUMNA DE DESTILACIÓN

Una columna de destilación es una estructura cerrada en la cual se realiza la separación física de un fluido en dos o más fracciones. Esta separación se logra sometiendo el fluido a condiciones de presión y temperatura apropiadas a lo largo de la columna, de modo de lograr que las fracciones que se buscan separar se encuentren en dos estados 3|Página

diferentes. La fracción más pesada (en estado líquido) baja por gravedad, mientras que la más liviana (en estado gaseoso) sube y se condensa en las partes superiores. De esta manera se logra un buen intercambio entre ambas fases permitiendo la efectiva transferencia de la parte gaseosa del líquido que baja la fase gaseosa que sube e, igualmente, de la parte líquida que pueda arrastrar la fracción gaseosa que sube al líquido que baja como se aprecia en la figura. Este mecanismo de transferencia se optimiza al maximizar la superficie de contacto entre ambas fases. En las columnas de destilación esto se realiza mediante dos tipos de estructuras mecánicas básicas: las estructuras de platos o bandejas y las estructuras de empaques. Ambas estructuras pueden encontrarse en una misma columna dependiendo de su diseño y utilización.

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MÉTODOLOGÍA 

BALANCE DE MATERIA

El balance de materia es un método matemático utilizado principalmente en ingeniería química. Se basa en la ley de conservación de la materia (la materia ni se crea ni se destruye, solo se transforma), que establece que la masa de un sistema cerrado permanece siempre constante. La masa que entra en un sistema debe salir del sistema o acumularse dentro de él, así: entradas=salidas +acumulación Los balances de materia se desarrollan comúnmente para la masa total que cruza los límites de un sistema. También pueden enfocarse a un elemento o compuesto químico. Cuando se escriben balances de materia para compuestos específicos en lugar de para la masa total del sistema, se introduce un término de producción (que equivale a lo que se genera en la reacción química menos lo que desaparece):

entradas+ producción=salidas +acumulación



MÉTODO DE CRAMER

El método Cramer es una manera de resolver un sistema lineal, pero sólo se puede utilizar en sistemas de resolución que el número de ecuaciones y el número de incógnitas son iguales. Dicha regla sólo puede utilizarse si el sistema de ecuaciones que se pretende resolver cumple dos condiciones: 1.

El sistema tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.

2.

El determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de cero.

Ejemplo:

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Véase a continuación el procedimiento que debe seguirse para utilizar la regla de Cramer. Sea un sistema que cumple las dos condiciones necesarias: x + y + z=1 x−2 y +3 z=2 x−z=5 Lo primero será reescribir el sistema mediante la matriz de los coeficientes y calcular su determinante para asegurarnos que es distinto de cero. 1 1 1 1 −2 3 1 0 1

|

|

Y el determinante es: 1 1 1 Δ= 1 −2 3 =2 … ANEXO 1 1 0 1

|

|

Definimos ahora los determinantes Δi que resultan de cambiar la columna i de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes. Calculemos dichos determinantes:

1 1 1 Δ 1= 2 −2 3 =21 5 0 1

|

|

1 1 1 Δ 2= 1 2 3 =8 1 5 1

| |

1 1 1 Δ 3= 1 −2 2 =−11 1 0 5

|

|

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La regla de Cramer dice que la soluciones del sistema de ecuaciones son x i= En este caso, pues,  x 1=

Δi Δ

21 −8 −11 , x 2= , x 3= 2 2 2

RESULTADOS En una empresa licorera se tiene una columna de destilación fraccionada en donde la corriente inicial de 100 kg está compuesta por: etanol, metanol y agua en proporciones de 10 %, 30 % y 60 % respectivamente con el objetivo de obtener los productos destilados 1,2 y la corriente de fondo, en proporciones diferentes de salida. En base a lo anterior tome la información de la figura anexa.

BALANCEAMOS  C1.

Balance de etanol:

1 1 1 2 =C 2 . + C3 . +C 4 . 10 20 5 25

10=

C 2 C3 2 C 4 + + 20 5 25



Balance de metanol:

C1. 30=

3 3 3 21 =C 2 . + C3 . +C 4 . 10 20 10 50

3 C 2 3C 3 21 C 4 + + 20 10 50

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

Balance de agua:

3 4 1 1 C 1 . =C 2 . +C 3 . +C 4 . 5 5 2 2 60=

4 C2 C3 C4 + + 5 2 2

ESTABLECEMOS NUESTRO SISTEMA DE ECUACIÓN

1 1 2 C 2+ C 3 + C 4=10 20 5 25 3 3 21 C 2+ C 3 + C 4=30 20 10 50 4 1 1 C + C + C =60 5 2 2 3 2 4 RESOLVEMOS POR EL MÉTODO DE CRAMMER

1 20 3 Δ= 20 4 5

1 5 3 10 1 2 10

ΔC 2=30 60 1 20 3 ΔC 3= 20 4 5

2 25 21 50 1 2

1 5 3 10 1 2 10 30 60

1 20 3 20 4 5

1 5 3 3 42 3 12 21 3 9 = + + − + + = 10 400 625 500 625 2000 200 250 1 2

2 10 25 21 30 50 1 60 2 2 25 21 50 1 2

1 20 3 20 4 5

(

)(

)

1 5 3 3 126 6 36 21 6 = + + − + +3 = 10 2 25 5 25 10 5 1 2

(

)(

)

10 30 =

( 34 + 8425 + 1825 )−( 4825 + 6350 + 34 )= 109

60

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1 20 3 ΔC 4 = 20 4 5

1 5 3 10 1 2

1 20 3 30 20 4 60 5 10

1 5 3 9 24 3 12 3 9 3 = + + − + + = 10 10 5 4 5 4 5 2 1 2

(

)(

)

RESPUESTA PARA EL INCISO A:

6 ΔC2 5 100 C 2= = = =33,333 Kg. Δ 9 3 250 9 ΔC3 10 C 3= = =25=25 Kg. Δ 9 250 3 ΔC 4 2 125 C 4= = = =41,333 Kg . Δ 9 3 250 RESPUESTA PARA EL INCISO B: C2

C3

C4

33,333 Kg−100 % x−5%

25 Kg−100 % x−20%

41,667 Kg−100 % x−8%

x=1,667 Kg de etanol

x=5 Kg de etanol

x=3,333 Kg de etanol

C3

C4

33,333 Kg−100 % x−15%

25 Kg−100 % x−30%

41,667 Kg−100 % x−42%

x=4,999 Kg de metanol

x=7,5 Kg de metanol

x=17,500 Kg de metanol

C2

C3

C4

C2

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33,333 Kg−100 % x−80%

25 Kg−100 % x−50%

41,667 Kg−100 % x−50%

x=26,66 Kg de agua

x=12,5 Kg de agua

x=20,834 Kg de agua

CONCLUSIONES En conclusión, después de haber analizado y aplicado matrices y el método de Crammer en una destilación fraccionada podemos denotar el grado de relevancia que presenta algebra lineal en Ingeniería Química específicamente en el campo de aplicación de procesos para balanceo de ecuaciones y determinación cuantitativa de las sustancias químicas En cuanto a los resultados de la aplicación del problema presente, es posible concluir que existe una diferencia lejana entre las masas de la corriente dado que sus proporciones no son valores semejantes. Por otro lado, al comparar la cantidad de sustancias correspondientes a cada corriente, notamos que en el caso de metanol y agua hay un incremento progresivo de estos en su masa. Específicamente en el etanol el incremento progresivo se da para la primera y segunda corriente, más en la tercera corriente su masa disminuye.

RECOMENDACION 

Para lograr desarrollar de una manera más factible y comprensible debemos realizar el diagrama de flujo.

REFERENCIAS 10 | P á g i n a



González. A, (2012), fundamento de procesos químicos, primera edición, Colombia, Dirección de Investigación y Extensión de la Facultad de Ingeniería y Arquitectura.



Kauwela .M, (2018), aplicación de las matrices en la ingeniería química.



Asturias, (2016), Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Cramer, España, Asturias: red de universidades iberoamericanas.



Bressan J.C., Ferrazzi A.E. (2008), interpretación geométrica de la regla de Cramer, primera edición, Reviste Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias, Redalyc.

11 | P á g i n a