V E C T O R E S

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GUÍA 1 - CIENCIAS

C) OPUESTOS. Si sus líneas de acción son paralelas y sentidos contrarios

VECTORES

A

1. VECTOR. Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Todo vector puede ser representado mediante un segmento de recta orientado dentro de un sistema R2 ó R3 2. ELEMENTOS. A) MÓDULO. Es la medida o longitud del vector, llamada también norma, intensidad, representa básicamente el tamaño del vector. B) DIRECCIÓN. Es el ángulo “ ” que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas R2 (línea horizontal). C) SENTIDO. Representado por la flecha del vector. Nos indica hacia donde se dirige. Se encuentra implícito en la dirección. d) Línea de Acción ( L )

B L1

L2

D) IGUALES (EQUIPOLENTES) Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido.



A

Es aquella línea recta donde se encuentra contenido el vector. través de la cual puede deslizarse. Línea de acción



L2

E) COPLANARES Cuando están en un mismo plano.

A

P

B Sentido

A

C F) CONCURRENTES. Cuando tienen el mismo punto de aplicación.

L2

O 

A

Línea horizontal

C



A  OP : vector A

l A l  A  módulo

q

L1

L1

 Notación:

a

B

q

1

Módulo Magnitud Intensidad A Longitud

99

del

vector

B A

L1 L3

L2

3. TIPOS DE VECTORES A) COLINEALES. Si están en la misma línea de acción.

A

4. VECTOR UNITARIO (VERSOR) Representa la unidad vectorial de un vector cualquiera y se caracteriza porque su módulo es igual a la unidad.

A B m

C B) PARALELOS. Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí.

A B





mA

A



A A



vector módulo

Se puede hallar el vector unitario a partir de la dirección del vector, si su dirección es el ángulo , entonces tenemos que: 

m A  cos  , sen Pero en cada caso el vector unitario tiene modulo igual a la unidad.

C L1

L2



l m l  1  módulo A

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 1 - CIENCIAS

100

VECTORES UNITARIOS EN LOS EJES

C) POLÍGONO Es válido para hallar la resultante de “n” vectores

z

C B B

A k

R=A+B+C

y

j

i

A

C

x

D) POLÍGONO CERRADO

























C

B

i   i  j   j  k   k

D

A

l i l  l  i l  l j l  l  j l  l k l  l  k l  módulos E

5. OPERACIONES VECTORIALES

 M. del tri ángulo    M. Gráfi co M. del parale log ramo    M. del polí gono

R=0

R=A+B+C+D+E=0

B. MÉTODOS ANALÍTICOS A) MÉTODO DEL TRIANGULO LEY DE SENOS

 M. del Tri ángulo    M. Analí ti co M. del Parale log ramo    M. de la descomposi ci ónvector i al

A

b

C

A

g



seng



B senb



C sen

B También se cumple que:

A. MÉTODOS GRÁFICOS A

A) METODO DEL TRIANGULO Es válido para hallar la resultante de dos vectores.

2

B

2

C

2

 2BC.Cos g

C

A-B

2

A

2

B

B

2

2

2

 C

 2AC.Cosb

 2AB.Cos

B) LEY DE COSENOS PARALELOGRAMO VECTOR SUMA Es utilizado para hallar la resultante de dos vectores que forman un ángulo entre si

B Vemos que:

A R=

Es la resultante suma

A

+

B

Es la r4esultante diferencia

B) PARALELOGRAMO Es válido para hallar la resultante de dos vectores. Si los vectores son A y B:

B

El modulo de la resultante R 

B

2

A+B

A

  A  B  AB

 A

R=A+B

A

2

B

2

 2AB cos 

La dirección:

 A.sen    arcTg   B  A. cos   VECTOR DIFERENCIA

A



El vector diferencia es D

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GUÍA 1 - CIENCIAS

101

Resultante Máxima D

A

=

A

A

B

B



Rmax = A + B B

Resultante Mínima

El modulo del vector Diferencia: D

A



2

A  B

2

B

 2AB Cos 

Rmin = A - B APLICACIONES PRÁCTICAS 1. A  B  a



Toda resultante está entre:

  60º

R

mín

a 6

R

a

3

 R  R

máx

6. VECTORES EN EL PLANO Sea el vector A, tenemos:



y a

También ocurre que:

Ay R = 7a

3a 60



x

Ax

º

Componentes 5a

2. A  B  a

A

Ax  A..Cos

A

y

 A..Sen

Módulo

   90º

2

A  a R



a

2

2

Ax  A y

Dirección tg 

Ay Ax

a

3. A  B  a

   120º

REPRESENTACIÓN VECTORIAL 



a R

a

12

A  ( A.Cos , A.Sen )



7. VECTORES EN EL ESPACIO

z

4.

R

Az 2

A

2

R  n. a  b  2ab.Cos

 n.b

5. A  B  a

A  (Ax , Ay )



a

n.a





A  Ax i  A y j

Ax

b





Ay

y

 

x R

a

 R  2.a.Cos   2



COMPONENTES

Ax  A..Cosb

A

y

 A..Cos 

Az  A..Cos

a

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GUÍA 1 - CIENCIAS

102 MÓDULO

a) 2 2 2 2 A x  A y  Az

A

6. Los

b) 1

2

vectores

c)

d) 2

2

coplanares

e) 1,5 miden

A, B y C

1,

y

2

1

respectivamente, calcúlese el módulo de la suma de vectores. CÓSENOS DIRECTORES

Cos b 

Ax

Cos  

A

Ay

Cos  

A

a) 12 b) 8 3

Az

c) 2 5

A

105o B

A

d) 2 3

REPRESENTACIÓN VECTORIAL     

e)

A  A x i  A y j  A z k A  (Ax , A y , A z )

"El hombre nació en la barbarie, cuando matar a su semejante era una condición normal de la existencia. Se le otorgó una conciencia. Y ahora ha llegado el día en que la violencia hacia otro ser humano debe volverse tan aborrecible como comer la carne de otro" Martin Luther King (1929-1968) Religioso estadounidense.

15 o

5

C

A  2B

7. Hallar

si

A  90 y B  30

a) 10 7

y

b) 20 7 c) 30 7

40º

B

d) 40 7 e) 50 7

x 10º

A 8. Si

PROBLEMAS 1

NIVEL I 1. Establecer el criterio de verdad (V) o falsedad (F) para las siguientes expresiones: I.

3i

Los vectores

II. El vector

2 / 13

y3

i

j

son iguales.

- 3 / 13

b) FVF

c) FFF

d) VFF

e) VVF

2. En un partido, dos jugadores se disputan la pelota y cada uno le aplica una patada de 5N y 4N al mismo tiempo como se muestra en la figura. ¿Cuál será la dirección y la fuerza con la que saldrá despedida la pelota después de recibir los impactos? a) 30º y 5N b) 53º y 3N c) 60º y 4N d) arc tg ( 5 e) N.A.

a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 25

A  2B

3

4. Dados los vectores

5N

a = 5N73º

y

b = 3N20º .

Calcular

a b . b) 4N

c) 5N

5. El ángulo entre dos vectores

d) 6N

P

y

Q

X en función de los vectores

a)

X  (8 A  5B) / 8

b)

X  (3A  5B) / 8

c)

X  (5 A  3B) / 8

d)

X  (8 A  5B) / 3

e)

X  (5 A  8B) / 3

X

5

A 3

B

10. En la figura M y C son puntos medios, AD=20u y AB=28u. Si la

P y Q tiene un valor de 26u, Halle

el ángulo MAD. 60º

3 y ( 21) )

2 A  3B

53º

resultante de los vectores 4N

3. Se tiene dos vectores de módulos 14N y 30N que dan una resultante de 40N ¿Qué ángulo forman dichos vectores entre si? a) 45º b) 37º c) 53º d) 60º e) 30º

a) 3N

2 A  3B  7 ,Halle el módulo A  3B

A y B.

III. El método del polígono y el método del triángulo de la suma de dos vectores producen diferente resultados en el módulo del vector resultante. a) VFV

y

9. En el triángulo hallar el vector

es unitario.

j

A  2B  5

a) 60º b) 37º c) 53º d) 45 e) 74º

C

Q P

A

B

M

11. En el gráfico hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados si: B=2; C=3. a)

5 3

e) 9N

b)

2 19

es de 135º. Sabiendo que

c) 3 d) 5 e) 7

el módulo de la suma de dichos vectores es 2 y es perpendicular a uno de ellos, entonces el módulo del mayor de ellos es:

D

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21

C B

70º

10º

D

A

GUÍA 1 - CIENCIAS 12. Cada pequeño sistema de vectores, tiene como perímetro un cuadrado de lado 1cm. Calcular el módulo del vector resultante. a)

2

b)

3

c)

4

d)

5

e)

6

13. ¿Qué módulo tendrá el vector resultante del sistema mostrado sabiendo que cada vector es de módulo 1cm? a)

33

b)

32

c)

31

d)

35

e)

30

60º

B

(

)

AC  AB  AD

(

)

BD  AD  AB

(

)

AC  DB  2 AB

C

b) FVV

c) FVF

d) VVF

D

e) VVV

y BC respectivamente, hallar “x” en términos de

c) d) e)

A  B  / 3 2 A  B  / 3 A  B  / 4 A  B  / 2

3A  B / 4

y

A

B.

M

A

B

X

A

B D

e)

2 E  2G

G

B

D

18. En la figura determinar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. 4cm

a) b) c) d) e)

5 6 7 9 10

2cm

3cm

a) 25

2

b) 25 c) 25

3 5

d) 25

7

e) 30

3

F1

F2 7º F3

d) 5 e) 8

10 23º 8

3

6

21. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en la figura si A=E=6, C=B=3.

B

C

c) 3 7

C

D

A 60º

d) 6 3

E

e) 6 7

m y n. 22. Los vectores

b) 2 m  2n d)

e)

E

b) 3 5

X e Y , de igual módulo, forman 106º, si X  Y  80 , halle X  Y .

a) 3 m  n c)

d)

2E 4E  F

F

a) 3 3

N

16. En el paralelogramo determine el vector resultante en función de los vectores

c)

C

A

a) 50 b) 30 2 c) 10 3

15. Si ABCD es un paralelogramo y “M” y “N” son puntos medios AB

b)

2G

20. Dado el siguiente sistema de vectores encontrar el módulo del vector resultante. A

a)

E  F

b)

19. Si F1=40N, F2=30N y F3=25N, determinar el módulo de la fuerza resultante.

14. En la figura, los puntos A, B, C, y D determinan un paralelogramo. Respecto de las siguientes afirmaciones, marcar verdadero (V) o falso (F):

a) VFV

a)

103

m  3n m  4n 3m  3n

y

X m

a) 80

n

b) 70

c) 60

d) 50

e) 40

23. En el diagrama “G” es el baricentro del triángulo. Hallar la resultante de los vectores mostrados.

17. Determine la resultante de los vectores que se muestran en la figura.

a)

A/2

b) 3 A / 2 c) 5 A / 2 d) A / 3 e) 5 A / 3

C B

A

G

24. En la figura la circunferencia es de 2cm de radio, determinar el vector resultante.

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104

a) b) c) d) e)

31. En el sistema de vectores halle el módulo del vector

B

4 6 8 10 12

A

cumple que:

E

D,

si se

A  B  C  D  2E Y

a) 2 5

C

30º 30º

C=10 A=15

b)

10 c) 4 3 d) 2 10

o

D

53º

37º

X 16º

e) NA.

E=2 B=25

25. Dados los vectores coplanares, halle el módulo del vector resultante. a)

3 2

c)

127º

2

7

2 135º

d)

3

e)

2 3

26. Si el lado de cada cuadradito es 1cm, determinar el módulo del vector resultante. a) 10cm b) 9cm c) 8cm d) 7cm e) 6cm

27. En el sistema vectorial mostrado; determine el módulo del vector resultante. y 1

0 1u 2u 3u 4u

1

0

2

15N 5N

y

a) b) c) d) e)

16º 22º 37º 45º 53º

8 a 15°

x

75°



10

A   B  g C , donde “  ” y “ g ” son constantes 2  g .

numéricas. Hallar a) -9 b) -12 c) -15 d) -18 e) -21

C

A B

x

35. Si

-1

x

53º

5N

33. Dados los vectores en el plano halle el ángulo , de manera que la suma de estos sea cero

34. Si

a) b) c) d) e)

y

a) 5N b) 6N c) 7N d) 8N e) 9N

5

b) 2 2

32. En el sistema vectorial mostrado determinar el módulo del vector resultante, sabiendo que tiene dirección vertical.

P  3i  6 j ; Q  2i  6 j

y

R  i  5 j ; Hallar R en

función de P y Q . 28. Hallar la resultante de

A BC  D:

a) 3 P  2 Q

Y

a) b) c) d)

4i  10 j  4i  10 j 2i  5 j 2i  5 j

A

B

A  9i  12 j

Calcular el valor de

4

3

b)

4

y

B 12i  m j d) -16

A  2 i  4 j

e) N.A.

,

B  7 i 9j

3 , 37 º

y

. Halle el módulo y la dirección del un vector

D si se cumple que A  B  C  2D ?

d) 5

son codirigidos.

2

3

3P  2Q

b) 10, 143º e) 5

A

a) 1 u b)

c) 16

3

C  3 i  j

5 , 37º

c) 1 P  1 Q

36. Determine el menor módulo que podría tener la resultante de los dos vectores mostrados (A=4u).

m:

30. Dados los vectores

a)5

e)

2

NIVEL II

D

29. Los vectores

3

X

C

e) N.A.

a)

2 3 d) 1 P  1 Q 3 2

b) 2 P  3 Q

3u

c) 5u d) 2 u e) 2 3 u

150º

B

37. La figura muestra un hexágono regular de lado 1cm. Determinar el módulo del vector resultante.

c) 10, 37º

5 , 143 º

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a) 2cm b) 3cm c) 4cm d) 5cm e) 6cm

A

B

C

D

38. Un rectángulo ABCD se encuentra inscrito en una circunferencia de radio 1m, se pide determinar el módulo del vector resultante.

A

B

D

C

39. En el siguiente sistema de vectores X  m A  n B , Luego m  n es igual a: (G: baricentro). a) b) c) d) e)

0,5 0,4 1/6 4/3 1/3

40. Hallar

G

b) c) d)

X  f ( A, B) sabiendo que BM  MA , y que “G” es el 5

B

3A  2B/ 7 b) 2 A  6B  / 5

B

X A

d) (2 3  3) X e) ( 2  1) X 45. Hallar

X

B

en función de

AyB

en el siguiente cuadrado.

X A

d) ((2  3 )B A) / 2 e)

B

3 (B A) / 2

y

en función de

A , si m es punto medio. m

a) 2 5  A

G

X

A

44. En el cuadrado hay un cuarto de circunferencia inscrita, determinar el vector resultante.

X

A

en función de

(a  b) / 2

46. En el cuadrado hay un cuarto de circunferencia inscrito, expresar C

e) N.A.

X

e)

c) (B (2  3 ) A) / 2

X

2 A  B/ 6 2 A  B/ 3 3A  B/ 6 3B  A/ 6

41. Hallar

(a  b) / 2

b) (B 3 A) / 2

B

baricentro del triángulo ABC. a)

d)

a) (B 3 A) / 2

A

1

(2a  b) / 7

a) (2 2  3) X b) (2 2  3) X c) (2 3  2) X

P

a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) 5m

c)

105

b) 5  A A

M

c)

5  A/ 2 A

d) A / 5

X

e) 2 A / 5

B , si A  B

a)

5A  3B / 6 d) 3A  2B  / 8 c)

e)

47. En el tronco mostrado. Halle el módulo del vector resultante. a) 1 z

60º

B

A

3A  2B / 6

b) 2

1 2

c) 3 d) 2 e) 3

X 60º

C

A

y

1 B

x

3

42. hallar el módulo de la resultante, si el radio de la circunferencia es R  3 3 . Dar la respuesta en función de

R , además los

ángulos no indicados miden 15º cada uno.

48. Se tienen los vectores

A  4i  3 j  k , B  i  2 j  2k

C  2i  2 j  k . Halle el módulo de ( A  2 B)  C . a) 3 2

a) R b) 2R c) R2 d) 3R e) R3

b)

3

c) 3

3

d)

5

49. En los vectores mostrados en la figura hallar el producto

B

60º

y

A

x

b)

(3a  b) / 5

x en función de los vectores a N

B

y

b.

·

1

c) 7 ; 4 i + 3

j

d) 8 ; 2 i + 6

j

2 A

B

3

C

e) 9 ; 3

x

M

A

B

b) 7 : -6 i + 3 k 43. En el cuadrado ABCD mostrado “M” y “N” son puntos medios, a) (2a  b) / 6

e) 3 5

30º

a) 6 ; -4 i + 3 k

expresar el vector

y

b

j

+ 4k

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A

a

D

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106

50. Hallar la expresión vectorial de la fuerza resultante si F=25; T=30. Z

a) 10i  10 j  20k

3

4

F

b) 10i  10 j c) 40i  15 j

 25k d) 6i  15 j  25k e) 5i  40 j  20k

T

6 X

Y

10

ESTÁTICA OBJETIVOS 1. Interpretar el concepto de fuerza y apreciar su amplia influencia en el mundo material. 2. Reconocer a las fuerzas de la naturaleza, su representación vectorial y el modo de medirlas. 3. Conocer las condiciones para que los cuerpos se encuentren en equilibrio de traslación. Si vemos un cuerpo en reposo u otro desplazándose con movimiento rectilíneo uniforme, estamos frente a fenómenos aparentemente distintos, pero que en el fondo obedecen a las mismas leyes, pues ocurre que en Física ambas situaciones corresponden a un mismo estado, llamado equilibrio mecánico. El estudio de las leyes y condiciones que deben cumplir los cuerpos para encontrarse en dicho estado lo realiza aquella rama de la Mecánica llamada Estática, ciencia que data de la época de los egipcios y babilonios y que hoy ha dado lugar a la creación de varias ramas de la ingeniería: Civil, Mecánica, Minera, etc.

C) Tensión (T) Esta es la fuerza electromagnética resultante que se genera en el interior de una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas que actúan en los extremos de aquellos. En estas fuerzas predominan los efectos atractivos. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (DCL) Todo lo visto hasta aquí te permitirá plantear un problema de Estática. Sin embargo, dada la naturaleza vectorial de las fuerzas, es necesario que el cuerpo o sistema analizado quede graficado con el total de fuerzas que lo afectan. Hacer esto significa elaborar un diagrama de cuerpo libre. Un diagrama de cuerpo libre es el gráfico de un cuerpo o conjunto de cuerpos que se representa aislado de su medio original, y en donde se señalan las fuerzas externas a aquel, tales como las fuerzas aplicadas visibles: El peso, las reacciones en los apoyos, la fuerza de rozamiento en los contactos, y además la tensión y/o compresión si se efectúan cortes imaginarios. Ejemplos:

FUERZA Toda vez que dos cuerpos interactúan entre sí surge entre ellos una magnitud, que además de valor tiene dirección, sentido y punto de aplicación, llamada fuerza. Es esta magnitud que hace que los cuerpos estén en equilibrio, que cambien la dirección de su movimiento, o que se deformen. En general asociamos la fuerza con los efectos de: sostener, estirar, comprimir, jalar, empujar, tensar, atraer, repeler, etc. FUERZAS ESPECIALES A) Peso (W) Llamamos así a la fuerza con que la Tierra atrae a todo cuerpo que se encuentre en su cercanía. Es directamente proporcional con la masa de los cuerpos y con la gravedad local. Se le representa por un vector vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.

B) Normal (N) Se le llama también fuerza de contacto, y viene a ser la resultante de las infinitas fuerzas electromagnéticas que se generan entre las superficies de dos cuerpos cuando éstos se acercan a distancias relativamente pequeñas, predominando las fuerzas repulsivas. La línea de acción de la normal es siempre perpendicular a las superficies en contacto.

LEYES DE NEWTON Las leyes de Newton Constituyen verdaderos pilares de la mecánica, fueron enunciadas en la famosa obra de Newton “Principios Matemáticos De La Filosofía Natural” Ellas son conocidas como la 1ra, 2da y 3ra Ley de Newton, de acuerdo con el orden en que aparecen en la obra citada. PRIMERA LEY. (LEY DE INERCIA) “Un cuerpo de masa constante permanece en estado de reposo o de movimiento con velocidad constante en línea recta, a menos que sobre el actúe una fuerza”. Ejemplo 1. En este caso supondremos que los cubiertos y el mantel son perfectamente 75 lisos, esto para evitar el rozamiento.

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Ejemplo 2. Consideremos un móvil cuya base interior sea lisa, así como la suela de los zapatos de las personas. Inicialmente el microbús se mueve con velocidad v; como la persona se encuentra dentro del móvil, también estará moviéndose con la misma velocidad v. De pronto el móvil se detiene; pero la persona sigue moviéndose en línea recta y con velocidad v, hasta que algo lo detenga. ¿Porqué?. Porque el microbús se detuvo por acción de los frenos; pero ¿quién o que detuvo a la persona?- Nadie o nada, motivo por el cual la persona seguirá moviéndose

V

V=0

F1 senα



F2 senβ



107

F3 senθ

Diagrama de Cuerpo Libre (D)C) L.) Hacer el D)C) L. es representar gráficamente las fuerzas que actúan en el. Para esto se sigue los sgts. Pasos.

V

1.2.TERCERA LEY. (LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN). “Si un cuerpo le aplica una fuerza a otro (acción); entonces el otro le aplica una fuerza igual y en sentido contrario al primero (Reacción).” Tener en cuenta que la acción y Reacción no se anulan porque no actúan en el mismo cuerpo.

 F ”. La persona reacciona y atrae también a la tierra con una fuerza “ F ”., Ejemplo 1. La tierra atrae a la persona con una fuerza “ pero en sentido contrario.

3.4.5.-

Se aísla el cuerpo de todo el sistema. Se representa el peso del cuerpo mediante un vector dirigido siempre hacia el centro de la tierra. Si existiesen superficies en contacto, se representa la reacción mediante un vector perpendicular a dichas superficies y empujando siempre al cuerpo. Si hubieses cuerdas o cables, se representa a la tensión mediante un vector que esta siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario. Si existen barras comprimidas, se representa a la compresión, mediante un vector que esta siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario.

PLANO INCLINADO

T

F

Ejemplo 2. La tierra atrae a la luna con una fuerza



 F . La

 luna

atrae también a la tierra con una fuerza - F , pero en sentido contrario.

N

W



POLEAS.- Es un dispositivo mecánico que cambia la dirección de una fuerza y la multiplica.

Luna F

Tierra F

4F 2F 2F

Nota Importante: La acción y reacción no necesariamente

F

F

producen los mismos efectos.

TEOREMA DE LAMY.- Si un sólido se encontrase en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas coplanares y concurrentes, el valor de cada una de las tres fuerzas es directamente proporcional al seno del ángulo que se le opone

PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO Diremos que un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación cuando presenta una aceleración lineal nula (a = 0), y esto ocurre cuando la resultante de las fuerzas que lo afectan es cero.

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108

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Observación.- En la práctica un cuerpo en equilibrio de traslación puede encontrarse en reposo continuo (v=0), o moviéndose con velocidad constante. Al primer estado se le llama Equilibrio Estático, y al segundo Equilibrio Cinético. * NO OLVIDAR QUE: Llamamos equilibrio mecánico al estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme que presenta un cuerpo en un determinado marco de referencia. * DEBES SABER QUE: Un cuerpo rígido permanece en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas si y solo si estas fuerzas tienen igual módulo, y están dirigidas según la misma recta en sentidos contrarios.

ESTÁTICA II OBJETIVOS 1. Reconocer los efectos de rotación de la fuerza sobre los cuerpos rígidos. 2. Establecer la condición para que un cuerpo se encuentre en equilibrio de rotación. 3. Conocer y ubicar el concepto de centro de gravedad de los cuerpos. EFECTO DE ROTACIÓN DE LAS FUERZAS Resulta muy conocido el efecto de rotación de las fuerzas sobre los cuerpos rígidos, como el hecho de que una persona para mover un cuerpo pesado utilice una palanca y un punto de apoyo. Del mismo modo, cuando un albañil levanta una carretilla aplica una fuerza y produce un giro tal que logra desplazar su carga. Si sacamos un clavo notamos que es más fácil sacarlo con un martillo que con un alicate. Cuando abrimos la llave del agua o aplicamos los frenos, remamos en el agua, cortamos con una tijera o utilizamos una balanza, etc.., estamos siempre aplicando fuerzas y produciendo rotación en los cuerpos. Parece pues necesario agregar un nuevo concepto físico que pueda medir estos efectos, y se ha convenido en denominarlo: MOMENTO DE UNA FUERZA O TROQUÉ.

OBSERVACIÓN: Cuando hacemos uso de la relación, es común indicar el sentido del momento de la fuerza adicionando un signo, el mismo que deberá satisfacer la regla establecida en la figura. Las unidades S.I del momento de una fuerza son: (M)= newton. metro=N.m CÁLCULO DEL MOMENTO DE UNA FUERZA Y CONVENCIÓN DE SIGNOS Caso 1:

Caso 2:

MOMENTO DE UNA FUERZA (_M) También se le denomina Torque (t), y viene a ser aquella magnitud física de tipo vectorial que nos indica la capacidad de una fuerza para producir rotación sobre un cuerpo rígido. Como toda magnitud vectorial, el momento de una fuerza tiene: A) Dirección: Es la recta perpendicular al plano de rotación. En el ejemplo de la fig (A). Es la recta EE' a la que en adelante se le llamará "eje de rotación". B) Sentido: El vector que representa al momento de la fuerza tiene una orientación que viene dada por la regla de la mano derecha.

MOMENTO NULO Cuando una fuerza "F" o su prolongación pasa por el punto de giro, su momento es cero

C) Módulo: El efecto de rotación es más intenso cuanto mayores son la fuerza aplicada y el brazo de la palanca. Luego, el módulo está dado por:

SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

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GUÍA 1 - CIENCIAS Si un cuerpo está en equilibrio, entonces el momento resultante, es decir, la suma de los momentos causados por todas las fuerzas que le afectan debe ser cero.

109

II. Cuando se dice que un cuerpo está en equilibrio queremos decir: que el cuerpo no gira o que lo hace a velocidad constante. III. Si sobre un cuerpo actúa una fuerza resultante, éste se mueve a velocidad constante. IV. Si dos fuerzas de la misma magnitud y dirección actúan sobre un cuerpo, el cuerpo siempre se encontrará en equilibrio tanto de rotación como de traslación. a) VVFF b) FVVF c) VFVF d) VVVF e) VFFV 5. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:  Si la velocidad de un cuerpo es cero entonces este se encuentra en equilibrio.  Si un cuerpo está sometido a la acción de dos fuerzas paralelas colineales de sentido contrario e igual intensidad, entonces se halla en rotación.  Si sobre un cuerpo actúa tres fuerzas no colineales y está en equilibrio de traslación, dichas fuerzas son paralelas o concurrentes. a) VVV

NIVEL I (TIPO EXAMEN DE ADMISIÓN) 1. Indicar las proposiciones verdaderas: I. Si un cuerpo se desplaza con MRU se dice que se encuentran en equilibrio cinético. II. Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes. III. La oposición al cambio de estado de reposo o de movimiento se denomina inercia. b) Sólo II

c) Sólo III

d) II y III

e) Todas

2. Con respecto a los cuerpos en equilibrio podemos afirmar que son correctas: I. Todo cuerpo que tiene velocidad constante está en equilibrio. II. Todo cuerpo que está en equilibrio está en reposo. III. Si sobre un cuerpo en equilibrio actúan 2 fuerzas de igual módulo pero de sentidos contrarios el cuerpo estará en reposo. a) I

b) I y II

c) I y III

d) II y III

e) III

b) VFF

c) VVV

d) FVV

d) FFV

e) VVF

a) VVFF

b) FVFV

c) VVFV

d) FFVV

e) VFVF

7. Indique el enunciado verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Si la suma de momentos que actúa sobre un cuerpo es cero el cuerpo no se mueve. II. Las fuerzas de acción y reacción siempre actúan sobre cuerpos diferentes. III. Si un cuerpo rígido en equilibrio está sometido a la acción de 3 fuerzas no colineales ni paralelas, dichas fuerzas deben ser concurrentes. IV. Un sistema físico no puede variar su movimiento, bajo la acción de solo fuerzas internas al sistema. a) VVVV

b) FVVV

c) FVVF d) VVVF

e) N.A.

8. Calcular la tensión en la cuerda que sujeta la esfera homogénea de peso “W”. a) W

3. En las siguientes afirmaciones, marcar falso (F) ó verdadero (V):  Si tres fuerzas paralelas y coplanares actúan sobre un cuerpo en equilibrio, entonces el módulo de la suma de dos de ellas, es igual al módulo del tercero.  Si tres fuerzas no paralelas y coplanares actúan sobre un cuerpo en equilibrio, entonces estas deben ser necesariamente concurrentes.  Si una partícula es sometida a la acción de tres fuerzas coplanares de igual módulo, puede alcanzar el equilibrio a) VVF

c) FVV

6. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones:  Según la ley de inercia, los cuerpos se resisten a cambiar de velocidad.  Una consecuencia de la tercera ley de Newton es que las fuerzas aparecen de 1 en 1.  Cuándo la fuerza resultante sobre una partícula es cero, entonces la partícula no se mueve.  Una partícula se halla en equilibrio cuando se mueve a velocidad constante o está en reposo.

PROBLEMAS 2

a) I y II

b) FVF

e) FVF

4. Establecer la verdad o falsedad de los enunciados siguientes: I. Cuando se dice que un cuerpo está en equilibrio queremos decir: que el cuerpo puede estar en reposo o moviéndose a velocidad constante en línea recta.

b) 2W c) W d) W e)

30º

2 3

2 3W

3

9. Sobre un bloque de masa “m” actúa una fuerza horizontal “F” que permite que el bloque resbale a velocidad constante por el plano liso, entonces el valor de la Tg es: a) F

mg

b) F

m

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110 c) Fg

m

d) mg e) m

a) 90N b) 115N c) 130N d) 75N e) 65N

F

F



F

liso

B

10. Si existe equilibrio, determine la relación entre los pesos de A y B. No hay rozamiento. a) b) c) d) e)

1 1/2 1/4 2/3 3/4

A

16. El sistema se encuentra en equilibrio la polea móvil “P” es de 5N y las demás poleas son de peso despreciable. Calcular la masa

A B 30º

11. Calcular la tensión en la cuerda y la compresión en la barra de peso despreciable que mantiene al bloque de 25 N de peso en la posición mostrada (En Newton).

del bloque “A” si la masa de “B” es 8. a) 4kg b) 3kg c) 3,5kg d) 4,5kg e) 5kg

kg (g = 10m/s2)

P B 30º A

a) 50; 50 b) 50

3

B

3 ; 50

c) 25; 25 d) 30; 60 e) 50;60

3

17. En el sistema mostrado, determinar el peso del bloque “Q” sabiendo que existe equilibrio. Si P = 400N. a) 15 3 N

C

30

60

A

12. Estando el sistema en equilibrio determinado la tensión indicada (T). El bloque pesa 100N.

53º

30º

b) 150 3 N c) 20 3 N d) 150N

P

e) 200 3 N

Q

18. Si la esfera pequeña pesa “W” hallar la fuerza que ejerce las semiesferas sobre la esfera (R = 2r) a) 3 W 5 10

b) w/5 c) 3w/10 d) w 3 e) 7w 5 /5 13. En el sistema mostrado, determine el mínimo valor de “M” parta que el sistema se encuentre en equilibrio,

me

coeficiente de

rozamiento estático de la superficie. a)

m  ctg me

b)

m  tg me

c)

me  m  2tg

d)

me  m  2ctg

e)

m  sen me



M

m

m  0.5 200 300 400 500 600

N N N N N

R

R

19. Determinar la reacción que ejerce el plano inclinado sobre la esfera de peso de 20N. No hay fricción. a) 10N b) 5N c) 20N d) 25N e) 30N

 2

20. Si el peso del bloque A excede en 48N al peso de B y la polea móvil es de peso despreciable, hallar el valor de la fuerza de reacción entre los bloques.

14. Hallar el mínimo valor de la fuerza F para que el bloque de 120 N de peso suba con velocidad constante en la superficie rugosa

a) b) c) d) e)

r

37

a. 12N b. 18N c. 24N d. 30N e. 36N

A B

21. Si cada polea pesa 10N, hallar “F” para el equilibrio, si el bloque pesa 410N.

F 15. Hallar la reacción normal del piso. Existe equilibrio. Las poleas pesan 10N cada una (WA = 200N); (WB = 20N)

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111

a) 5 N b) 10 N c) 20 N d) 25 N e) 40 N

a) 20N b) 30N c) 50N d) 70N e) 90N F

22. Si cada esfera pesa 60N, hallar la fuerza de contacto entre ellas. (θ = 37º) a) 80N b) 100N c) 120N d) 140N e) 160N

29. Si la barra homogénea de 100N se encuentra en posición horizontal, calcular la tensión en el cable (1). La polea es de 20N. a) 1 00 N b) 120 N c) 0 N d) 140 N e) 160 N



23. Hallar la máxima fuerza “F” que se debe aplicar para que el sistema permanezca en equilibrio.

30. En la figura mostrada, calcular la fuerza “F”, para mantener el equilibrio (La varilla es de peso despreciable).

a) 5N b) 10N c) 20N d) 30N e) 50N 24. En el sistema mostrado se tiene una barra ingrávida apoyada sobre una superficie vertical liza y sujeta por una cuerda imponderable, halle “X” de tal manera que la barra esté en equilibrio. a) a / 2 b) a c) 2a d) 2 a

X

e) 2 2 a

a) 40N b) 50N c) 60N d) 80N e) 100N

5a

a

MOMENTO DE FUERZA 25. La barra AB mide 6m y pesa 30N. Si el apoyo “A” se corre 1,5m a la derecha. ¿En cuántos Newtons aumentará la reacción en B?

a) 5

31. La figura muestra una barra lisa de 50N de peso y 4m de longitud, de las poleas tienen peso despreciable. Calcular la reacción de la barra sobre la esfera.

b) 10

c) 15

d) 20

a) 500N b) 750N c) 1000N d) 1500N e) 3000N

e) Disminuirá en 5

26. La placa cuadrada de 10N es sostenida mediante un cable horizontal. Determinar la tensión en la cuerda. a) 10 N b) 52 N c) 8 N d) 5 N e) 20 N 27. Con respecto al punto “B”, ubicar la resultante del sistema. a) – 0,3 m b) + 0,3 m c) – 1,5 m d) + 1,5 m e) – 2 m

32. Calcular la tensión en la cuerda, si la viga tiene un peso de 200N.

33. La barra uniforme y homogénea pesa 600N, si se encuentra apoyada en superficies lizas, determine la tensión de la cuerda. a) b) c) d) e)

450N 400N 300N 225N 800N

4m 3m

34. Hallar la fuerza “F” necesaria para mantener el bloque “W” en equilibrio. Además la barra tiene peso despreciable.

28. Determinar la reacción en el apoyo A.

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112

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a)

a) 2W b) 4W c) 6W d) 8W e) 10W

b) 3 /2 c) 1/2 d) 6/7 e) 4/5

35. Suponiendo que la barra es ingrávida, determinar la tensión en la cuerda horizontal.

42. De la siguiente figura, calcular el valor de “W”, para que el sistema esté en equilibrio (Peso de la barra despreciable) a) 13,3N b) 14,7N c) 15,6N d) 17,8N e) 24,3N

a) 300N b) 600N c) 900N d) 1200N e) 1500N 36. Calcular las tensiones T1 y T2 de las cuerdas que soportan a la viga de 30N, en newton. a) 40 y 100 b) 50 y 90 c) 60 y 80 d) 70 y 70 e) 80 y 60 37. Determinar las reacciones en A y B, siendo el peso de la viga despreciable.

43. Una persona de 80Kg, se encuentra parada sobre una plataforma de 30kg. Si el sistema se encuentra en equilibrio y las poleas son de 10kg cada una, encontrar la reacción de la plataforma sobre la persona. (g=10m/s2) a) 150 N b) 250 N c) 350 N d) 450 N e) 550 N

44. Hallar la altura “h” de aplicación de F = 15N, tal que la barra AB de peso 20N permanezca en equilibrio. Todas las superficies son lisas.

a) 300N, 300N b) 600N, 600N c) 600N, 900N d) 600N, 1500N e) 900N, 1500N 38. Si el peso de la barra homogénea es 45 N, determinar la tensión de la cuerda que la sostiene (Q = 10 N) a) 10 N b) 20 N c) 30 N d) 90 N e) 50 N

3 /3

a

37

53

a

2a Q

39. Si la barra uniforme mostrada pesa 5N y mide 15m. Hallar la tensión en la cuerda horizontal, sabiendo que el bloque pesa 10N.

a) 7,0m b) 7,5m c) 8,0m d) 9,0m e) 9,5m

45. En el siguiente sistema, la barra de longitud “10a” está en equilibrio, la reacción del piso sobre la barra forma un ángulo “α” con el piso. Hallar “Tg α” a) 3 b)

3 /3

c)

3 /5

d) 2 3 /5 e) 3 3 /5 46. De la figura mostrada, ¿Cuál debe ser la posición “x” donde debe estar una persona de 600N para que el tablón AB de peso despreciable, se mantenga horizontal? 40. Determine el máximo valor de la masa del bloque de tal manera que la placa homogénea de 4kg no gire. (g = 10m/s2) a) 0,5kg b) 0,8kg c) 1,0kg d) 1,2kg e) 2,0kg

a) 0,5m b) 0,6m c) 0,7m d) 0,8m e) 0,9m 47. ¿Cuál sería el mínimo valor de F para volcar este cilindro de peso igual a 80N?

41. Si el anillo homogéneo de 3kg se encuentra a punto de deslizar determine el coeficiente de fricción estática. (g= 10m/s2)

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a) b) c) d) e)

C

37N 38,6N 36,5N 38,3N 37,5N

113

B 53º

4m D

A 3m

48. En la figura mostrada el diámetro de la esfera es de 2m y pesa 180N y sostiene un peso de 270N. Hallar el coeficiente de rozamiento para el equilibrio a) b) c) d) e)

0,40 0,52 0,75 1,33 F.D.

m



49. Halle la fuerza “F” mínima de tal manera que la barra doblada ABCD ingrávida y apoyada en C permanezca en reposo. a) P / 2 b) P c) 2P

A

d) P 2 e) P 2 / 2

a

B

F



a P

C

a

D

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