Elementos De Máquinas De Bernard Hamrock.pdf

En la ecuacion ( 2.21 ) no esta presente un segundo submdice y no es necesario porque x repre^ se senta un esfuerzo cortante que actiia sobre cualquier piano oblicuo en un angulo (j) como ninestra en la figura 2.16.

CAPlTUL®

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARIA

«

2

2.14 CIRCULO BE MOHR El circulo de Mohr para un estado triaxial de esfuerzos en un punto fue construido primero por el ingeniero aleman Otto Mohr [Mohr ( 1914)], quien se dio cuenta que las ecuaciones ( 2.13) y (2.14) definen un circulo en un piano o- x . Este circulo se usa extensivamente como un metodo conveniente para visualizar gnificamente el estado de esfuerzos que actuan en pianos diferentes, pasando a traves de un punto dado. El enfoque que se usa en este libro consiste en aplicar primero el circulo de Mohr a un estado de esfuerzo bidimensional y, despues, aplicarlo a un estado de esfuerzo tridimensional ; esto ultimo se realizara en la section 2.15. Por supuesto que el circulo de Mohr es mucho mas util para visualizar situaciones de esfuerzos pianos. El valor principal del circulo de Mohr es que hace visuales las realidades del estado de esfuerzos para una situation especifica. En la figura 2.17 se muestra el diagrama de un circulo de Mohr connin. Note que el circulo es simetrico respecto al eje de esfuerzo normal (la abscisa). Se deben hacer algunos comentarios respecto al diagrama del circulo de Mohr:

1.

Los esfuerzos normales se grafican a ]o largo de la abscisa (eje x), y los esfuerzos cortantes se grafican como la ordenada (eje y ) .

2.

El circulo define todos los estados de esfuerzos que son equivalentes;

x c „

ox +
a/ T

<*y > 7vy /T V

a2 0

r\ 2i i

°

y

°

x

<* \ ' vy

Ox’ T.V , V

t2

Figure 2.1 T Diagrama del circulo de Mohr de las ecuaciones ( 2.13) y ( 2.14) .

a

55

$&

PARTE 1

FUNDAMENTOS

3. El estado de esfuerzo biaxial para cualquier direccion se puede escalar directamente del cfrcuio. 4.

Los esfuerzos normales principales (es decir, los valores extremos del esfuerzo normal) se encuentran en las localizaciones donde el cfrcuio intercepta al eje x .

5.

El esfuerzo cortante maximo es igual al radio del circulo,

6.

Una rotacion de un estado de esfuerzo de referenda en el piano real de <|) corresponde a una rotacion de 2< j> de.sde los puntos de referenda en el piano del circulo de Mohr *

Los pasos para construir y usar el circulo de Mohr en dos dimension.es son estos:

L

Catcule el estado de esfuerzos pianos para cualquier sis tenia de coordenadas x- y de manera que av y xxy sean conocidos.

2.

El centre del cfrcuio de Mohr se puede colocar en

ox + a 2

,0

( 2.22 )

3. Dos puntos opuestos diametralmente uno de otro sobre el circulo corresponden a los puntos (crv, -Xxy ) y ( Gy > TVV). Usar el centra y cualquier punto permite que se dibuje el cfrcuio. 4.

El radio del cfrcuio se puede calcular por medio de las ecuaciones de la transformation de esfuerzo o a traves de la trigonometrfa, usando el centra y un punto sobre el cfrcuio. Por ejemplo, el radio es la distancia entre los puntos (Gv, TAT) y el centra , lo cual conduce

directamente a

r=

at - a 2

2

,

+ %2xy.

« 2.23)

5. Los esfuerzos principales tienen los valores aL2 = centra ± radio. 6.

El esfuerzo cortante maximo es igual al radio.

7. Los ejes principales se pueden encontrar calculando el angulo entre el eje x en el piano del cfrcuio de Mohr y el punto (aT, -xvv). Los ejes principales en el piano real han girado la mitad del valor de este angulo, en la misma direccion relativa al eje x en el piano real. 8.

( ) del eje x en el piano real se pueden leer Irazando Los esfuerzos en una orientacion girada | un arco de 2(b en la misma direccion sobre el circulo de Mohr, desde los puntos de referen da (ov, -Try) y ( GV, UT ) - OS nuevos puntos sobre el cfrcuio de Mohr corresponden a los nuevos esfuerzos (aT., ~ xxV ) y (ov trV), respectivamente.

^

2« 13

-

T

—

Los esfuerzos pianos av - 9 ksi, av = 19 ksi y Tiy 8 ksi . HAfiiLAR Dibuje el cfrcuio de Mohr y tambien los esfuerzos normal principal y cortante sobre el eje xy . itCual es el estado de esfuerzo cuando los ejes se giran 15° en el sentido de las manecillas del rdoj?

IMITOS

Se demostrara el enfoque de los ocho pasos de arriba, con el primer paso ya realizado en el enunciado del problema. El paso 2 indica que se calcule el centra del circulo y que se coloque en ( <JC, 0) , donde . •

Gr + av 2

(9 + 19) 103

2

psi = 14 ksi

•

:

CAPlWlO

2

©

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARIA

57

El paso 3 indica que se puede usar tanto el punto ( GV, -xvv ) como ( ov, xTV) para dibujar el cfrculo. Empleando el panto ( GV, - .) = (9 ksi , -8 ksi) para dibujar el cfrculo como se muestra. A partir del paso 4 y del triangulo definido por el eje x y el punto (Gr, - ), se calcula el radio como

xvv

xrv

r = / (9 - 14) 2 + (-8) 2 = 9.43 ksi Eti el paso 5 se determinan los esfuerzos principales a 1, 2 = 1.4 ± 9.43 o G , = 23.43 ksi yc2 = 4.57 ksi. Continuando con el paso 6 se tiene que el esfuerzo cortante maximo es igual al radio o xmiiN = 9.43 ksi. Si se desea se puede calcular la orientacion del esfuerzo principal , por medio de trigonometrfa. En el piano del cfrculo de Mohr [ Fig . 2.18 a )] el punto (av, -xvv.) forma un angulo de 2c[) tan 1 (8/5) = 58° con el eje x . Para alcanzar el punto sobrc el eje x , se necesita trazar un arco de este angulo, en la direction de las manecillas del reloj, sobre el cfrculo de Mohr. De esta forma, el piano principal esta a ([) = 29° en el sentido de las manecillas del reloj del eje A. Finalmente, los esfuerzos en un angulo de 15° se obtienen girando 30° sobre el cfrculo de Mohr, de lo que resulta

-

"

*

GV. = 14 ksi - (9.43 ksi ) cos 28° = 5.67 ksi

.

Gv = 14 ksi + (9.43 ksi ) cos 28° = 22.32 ksi xvV - (9.43 ksi ) sen 28° = 4.43 ksi

r::r

9

1

x (cw)

>

<* l

c

0

G

e f5

2<[> a

A

2 cb :

:

a) ~T

(ccw)

y f

\ a2

*

a

/

/ /

b)

Figwres 3L 1 B Resultados del ejemplo 2.1 3.

circulo de Mohr; b ) elemento de esfuerzo para los esfuerzos normales principales, mostrado en las coordenadas x- y; c) elemento de esfuerzo para los esfuerzos cortantes principales, mostrado en las coordenadas x - y. a) Diagrama del

P

• .!

FUNDAMENTOS

En la figura 2.186) se muestra un elemento de . los esfuerzos normales principales, asi como el valor apropiado de | < >a. En la figura 2.18c) se muestra un elemento de los esfuerzos cortantes principales, ademas del valor apropiado de (|) t. El csfuerzo en el centro del diagrama del circulo de Mohr tambien se representa en la figura 2.18c) junto con los esfuerzos cortantes principales. Tambien, el elemento de esfuerzo siempre se orienta desde el eje x hasta el esfuerzo cortante principal sobre el diagrama del circulo de Mohr.

m m

M

ESFUERZOS TRIDIMENSIONALES

Considerando la situacion general que se muestra en la figura 2.13, el elemento de esfuerzo tiene seis caras, lo que implica que existan tres direcciones principales y tres esfuerzos princiy xv,) para pales al CL y a3. Se requieren seis componentes de los esfuerzos (Gv, Gv, CL, x ,v, especificar un estado general de esfuerzo en tres dimensiones, a diferencia de los tres componentes de esfuerzo (ov, ay y xvv) que se usaron para el esfuerzo bidimensional (piano o biaxial). La determination de los esfuerzos principales para una situacion tridimensional es mucho mas dificii. El proceso implica encontrar las tres raices de la ecuacion citbica 9

a3 - (a, + a, + a)a2 + (a, av + a, a + a, a - x2 .

.

-(o,ova: + 2x „xKxiV -

- x2 ) c t

arx2 - a„x v - ax2,.) = 0 2

Vi

En la may on a de las situaciones de diseno muchos de los componentes del esfuerzo son igua les a cero, lo que hace innecesaria una evaluacion completa de esta ecuacion . Si se conocen la orientation principal de un elemento asociado con un estado de esfuerzo tridimensional, asi como los esfuerzos principales, a esta condition se le llama esfuerzo triaxial. Se puede generar un circulo de Mohr para los estados de esfuerzo triaxial; pero a menudo esto es innecesario. En la mayoria de las circunstancias no es necesario conocer la orientation de los esfuerzos principales; es suficiente conocer sus valores. De esta forma, la ecuacion ( 2.24) usualmente es todo lo que se necesita. En la figura 2.19 se muestra el circulo de Mohr para un campo de esfuerzo triaxial. Este consiste en tres cfrculos, dos de ellos son tangentes externa mente y estan inscritos dentro del tercer circulo. Los esfuerzos cortantes principales que aparecen en la figura 2.19 se determinan a partir de A

L /2

—

G 3 - G2

2

x2/3

—

G2

2

L /3

2

Los esfuerzos normales principales se deben ordenar como se menciono con anterioridad. De la ecuacion ( 2.25 ) el esfuerzo cortante principal maximo es xl /3.

| # pli # 2,14 I ^

PMTOS Suponga que los esfuerzos normales principales que se obtuvierori en el ejemplo 2.13 son los mismos para una consideration triaxial con o3 ~ 0.

.. ot = 23.43 ksi '

cr 2 = 4.57 ksi

,=0

cj.

mmim. a) Determine los esfuerzos cortantes principales para un estado de esfuerzo triaxial y dibuje el diagra. ma del circulo de Mohr adecuado. b ) Si el esfuerzo cortante x ,v se cambia de 8 a 16 ksi, dcmuestre como cambian los cfrculos de Mohr para los estados de esfuerzos biaxial y triaxial.

.

CAPITIUB ® 2

©

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARIA

r*2 b)

Figure 2* 19 Circulo de Mohr para un estado de esfuerzo triaxial. a) Representacion del circulo de Mohr; ib) esfuerzos

principales en dos pianos.

a ) De la ecuacion ( 2.25) los esfuerzos cortantes principales en un estado de esfuerzo triaxial son

-

o, - q 2

*2/3 = x 1 /3

_ (23.43 - 4.57) IQ

—

3

2

9

o2 c3 “

2

psi = 9.43 ksi

__ (4.57 )103 psi = 2.285 ksi 2

( 23.43 - 0) 1Q 3

2

2

psi ~ 11.765 ksi

En ia figura 2.20a ) se muestra el diagrama del circulo de Mohr apropiado para el estado de esfuerzo triaxial.

b) Si ei esfuerzo cortante en el ejemplo 2.13 se incrementa al doble (xYy = 16 ksi en vez de 8 ksi ), la ecuacion ( 2.23) da 2

O, - G:

x ,i . x »

= ± 103

/ 162 4-

9- 19 2

V psi ±16.76 ksi =

Los esfuerzos normales principales del estado de esfuerzo biaxial son

= gt + x , = 30.76 ksi o2 -
.

En la figura 2,20 b) se muestra ei diagrama del circulo de Mohr resultante para el estado de esfuerzo biaxial. En un estado de esfuerzo triaxial ordenado a , = 30.76 ksi, g2 = 0 y o3 = -2.76 ksi, de la ecuacion ( 2.25) los esfuerzos cortantes principales se pueden escribir como

, -o

g

*1/2

"

2

2

_

(30.76 - 0)103

2

psi = 15.38 ksi

59

FUNDAMENTOS

t 2/ 3

^

— 0

1 /3 “

g2 ~ g3

2

„

(0 + 2,76) 103

2

psi = 1.38 ksi

, - 03

(30.76 + 2.76) 103

2

2

psi = 16.76 ksi

En la figura 2.20c) se muestra el cliagrama del circulo de Mohr para el estado de esfuerzo triaxial. De la figura 2.20b ) y c) x, , el esfuerzo cortante maximo en el estado de esfuerzo biaxial equivalen a T 1 /3, qne es el esfuerzo cortante maximo en el estado de esfuerzo triaxial. Sin embargo , al comparer las figuras 2.18n ) y 220 ci ) se aprecia que el esfuerzo cortante maximo en el estado de esfuerzo piano

Esfuerzo cortante, T

Esfuerzo cortante, T 1i

x1/ 3

X 2/ 3

FfJ '

I TI / 2

2

J

I

L

1

°3

X l/2 T 2/ 3

1

20 10 Esfuerzo normal, a

.

—

1 H

+

+

30

+

20

10

Esfuerzo

normal ,

a)

c)

Esfuerzo cortante, T

:v ( y-

°

+


•

0

>

I

<

i VEsfuerzo ° /1normal, 20a

i

Tvv)

30

2
2<J> t T.vy) .

*2

A:

/-> )

Diagramas del circulo de Mohr para el ejemplo 2.14. a) Estado de esfuerzo triaxial cuando a, - 23.43 ksi, a2 = 4.57 ksi y a3 = 0; lb) estado de esfuerzo biaxial cuando a, = 30.76 ksi ya2 = -2.76 ksi; c) estado de esfuerzo triaxial cuando a , = 30.76 ksi, a2 = 0 y a3 = -2.76 ksi .

iUgjum

a

30

+

C& PiTUL® 2

®

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION

UNITARIA

(o biaxial ) no es igual al del estado de esfuerzo triaxial. Ademas, el esfuerzo triaxial maximo es mayor que el esfuerzo biaxial maximo. De esta forma, si o } y o2 tienen el mismo signo en el estado se debe emplear para consideraciones de diseno. de esfuerzo biaxial , el esfuerzo maximo triaxial Sin embargo, si a [ y < j2 tienen signos opuestos en el estado de esfuerzo biaxial, los esfuerzos cortan tes maximos biaxial y triaxial seran iguales y cualquiera de ellos se puede usar en el analisis.

xm

.

2 16 ESFUERZOS OCTAEDRICOS En algunas ocasiones es ventajoso represen tar los esfuerzos en un elemento de esfuerzo octaedrico, en vez de en un elemento ciibico convencional de esfuerzos principales. En la figura 2.21 aparece la orientacion de uno de los ocho pianos octaedricos que estan asociados con un estado de esfuerzo dado. Cada piano octaedrico corta a traves de una esquina de un elemento principal, de manera que los ocho pianos en conjunto formari un octaedro (figura 2.21). Se debe tomar nota de las caracteristicas siguientes de los esfuerzos en un piano octaedrico. 1.

Los esfuerzos normales identicos actuan sobre los ocho pianos. De esta forma, los esfuerzos normales tienden a comprimir o alargar al octaedro pero no lo distorsionan.

2.

Los esfuerzos cortantes identicos actuan sobre los ocho pianos. De esta forma, los esfuerzos cortantes tienden a distorsionar al octaedro sin cambiar su volumen.

El hecho de que los esfuerzos normales y cortantes sean iguales para los ocho pianos constituye una herramienta poderosa en el analisis de fallas.

l° 2

m

A. : '

m

WSm a)

4

m 4* +

b)

C)

IFigutra 2.21 Los esfuerzos que actuan en pianos octaedricos. a) Estado general de esfuerzo; bj esfuerzo normal; c) esfuerzo cortanfe octaedrico.

61

62

PA&Ti! 1

FUNDAMENTOS

El esfuerzo octaedrico normal se expresa en terminos cle los esfuerzos normales principals o de Los esfuerzos en las coordenadas x, y, z , como < j j + CJ2 + O3 3

!

V=

i .

— I

__

,

( 2 26 )

3

[(a , - CT2)2 + ( CT, - O3 )2 + (a, - a , )2] 1 /2 + - Wa + 43 + ?m] | '

i

-

-

0v + 0V -f 0

in

{ 2.27}

1 2 2 2 Vn T- [ av - a,) + (a, - a,) + (a - a,) + 6( 3

<

^

,

] i /2

.+

( 2.28 )

Las ecuaciones ( 2.26)-(2.28 ) se obtuvieron de un trabajo de Durelli y colaboradores (1958) . Note que el esfuerzo cortante octaedrico se puede expresar en terminos del esfuerzo de Von Mises como /9

12.29 )


3 donde

ae = esfuerzo de Von Mises, Pa Para un estado de esfuerzo uniaxial (a2 = a3 = 0) ( 2.30 )

Para un estado de esfuerzo biaxial (o3 = 0) CT,

= (CTT + CTi

—

0

, 02)

( 2.31 )

5

Para un estado de esfuerzo triaxial

_

<*c =

iempio I I S

(q : - g2 )2 4- ( q , - g3)2 + (o2 - a3) 2 ;2

1

Ambas partes del ejemplo 2.14 . HALLAK ! Determine los esfuerzos octaedricos

a ) El esfuerzo octaedrico normal se escribe como :: v

•

^ =

vv

oct

g,

+ q2 + q3

( 23.43 4- 4.57 + 0 ) 103

3

3

psi = 9.33 ksi

El esfuerzo octaedrico cortante de la ecuacion (2.27 ) se expresa como

3

5L [9.432 + 2.292 + 11.772],

-i 3

(2)

•

/2

psi = 10.17 ksi

( 2.32 )

CAPITOL© 2

CARGA, ESFUERZO Y DEE0RM A CION UNITARIA

©

Comparando estos resultados coil los de los ejemplos 2.13 y 2.14, se tiene

^ 1 > *Lc

”

,/

y

(

L b Let ^ L ./ ,

“

do ode subindice b

= esfuerzo biaxial

subindice t ~ esfuerzo triaxial

/;) Unicamente los esfuerzos cortantes cambian en esta parte del ejemplo.

Toct

”

— [x5n + T!, + trj /2 1

3

__ (2

3

—

•

[15.38

*

- 1.38- + I 6.763] '

12

4

3

psi = 15.19 ksi

Comparando este resultado con los de los ejemplos 2.10 y 2.11, se tiene Lei < L J>

L ,r

.

De esta forma, al comparar los esfuerzos triaxiales principales con los esfuerzos octaedricos

Ou > oocl

y

L ,/

"

^t /3 > Let .

Los esfuerzos normal principal maximo triaxial y cortante son mayores que sus contrapartes octaedricos.

2 . 1 7 DEFORMACION UNITARIA La deformacion unitaria se define como el desplazamiento por unidad de longitud , producido en un solido como resultado de un esfuerzo. En el diseno de un elemento de maquina, no solo los ingenieros requieren asegurar que el diseno es adeeuado cuando se considera el esfueizo relativo a la resistencia, sino que tambien necesitan asegurar que los despiazamientos o deformaciones no sean excesivos y que se encuentren dentro de los If mites , desde el punto de vista de fracturas o de la fluencia. Dependiendo de la aplicacion, estas deformaciones pueden ser altamente visibles o practicamente imperceptibles. Para un mismo esfuerzo, son claramen te visibles grandes deformaciones en componentes hechos de caucho natural ; pero mucho menos visibles en los mismos componentes fabricados de acero. Al igual que la direction e intensidad del esfuerzo en un punto dado son importantes respecto a un piano especffico que pas a a traves de ese punto, lo mismo ocurre para la deforma cion unitaria. De esta manera, al igual que para el esfuerzo, el estado de deformacion unitaria es un tensor. Asi como existen esfuerzos normales y de cortante, tambien bay deformaciones unitarias normales y de cortante. La deformacion unitaria normal , designada por el sjfmbolo £, se us a para describir una medida de la elongation o contraction de un segmento lineal de un elemento, sobre el cuai se aplica un esfuerzo. La deformacion unitaria normal promedio es

e prom

clprom l

Elongacion promedio Longitud original

( 2.33}

Note que la deformacion unitaria es adimensional. Ademas, la deformacion unitaria en un punto es

63

FUNDAMENTOS

©

-

-S> f

!

-8,

X

n

y

piiii 0

Figwa 2.22 Deformacion unitaria norma! de un elemento cubico sujeto a una tension uniforme en la direccion x. a ) Vista tridimensional; Jbj vista bidimensional ( o plana ) . '

e - Ifm Al ~ 0 )

A 5prom A/

c/5prom dl

En la figura 2.22 se muestra la deformacion unitaria sobre un elemento cubico sujeto a una tension uniforme en la direccion x . El elemento se alarga en la direccion x, mientras que simultaneamente se contrae en las direcciones y y z , fenomeno conociclo como el efecto de Poisson . De la ecuacion ( 2.34) los componentes de la deformacion unitaria normal se expresan como £v

ifempics

)

1 Ǥ

= lim wO

8,

£..

X

= lim y-K

5

)

):

y

y

8

,

"

Sz = lim ->0 2

z

WTOS Una barra de aiuminio de 12 pulg de longitud y de 2.25 pulg de diametro esta sujeta a una carga axial de 32 000 Ibf. El alargamiento axial es 0.00938 pulg y el diametro disminuye 0.000585 pulg . Las deformaciones unitarias transversal y axial en la ban’s.

La deformacion unitaria axial es

5 = 0.00938 / 12

= (0.7817)(10- ) 3

La deformacion unitaria transversal es

5,

-(0.585)( 10-3)

d

2.25

= (0.2600)(10-3)

El signo de la deformacion unitaria transversal es negativo porque el diametro disminuyo despues de que la barra fue cargada. La deformacion unitaria axial es posiliva porque la longitud axial disminuyo despues de la carga.

CAPiTULO 2

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARIA

©

h

-

0 yT

.

s

-

iBSBiBIll

~

h-S, i /

i i

0 y.v

0

b)

^-^

3 Deformacion unitaria por cortante de un elemenfo cubico sujefo a un esfuerzo cortante. a) Vista tridimensional; b) vista bidimensionai ( o plana ).

Figures

En la figura 2.23 se presenta tanto en vista tridimensional como bidimensionai ( o plana), la deformacion unitaria por cortante de un elemenlo cubico debida at esfuerzo cortante. La deformacion unitaria por cortante, designada por y, sirve para medir la distorsion angular (el cambio en el angulo entre dos lineas que son ortogonales en el estado sin deformar). La deformacion unitaria por cortante como se muestra en la figura 2.23 se define como yYV

"

.

5, Urn >0

y

—

y

= tan 03, = 0 , (

V

donde

0 - angulo que representa la desviacion del angulo recto original VV

Los subindices empleados para definir las deformaciones unitafias por cortante son como aquellos que se usaron para definir los esfuerzos cortantes en la section 2.11. El primer submdice designa la direction coordenada perpendicular al piano en el cual actua la deformacion unitaria; y el segundo, la direccion coordenada en la cual actua la deformacion unitaria. Por ejemplo, yyx es la deformacion unitaria que resulta de tomar pianos adyacentes perpendiculares al eje y y desplazarlos mutuamente en la direccion de x. La convention de signos para la deformacion unitaria se toma directaraente de aquella derivada para el esfuerzo. Un esfuerzo positive produce una deformacion unitaria positiva; y un esfuerzo negativo, una deformacion unitaria negativa. La deformacion unitaria por cortante que se muestra en la figura 2.23 y se describe en la ecuacion (2.36) es positiva. De esta forma, la deformacion unitaria del elemento cubico contiene tres deformaciones normales y seis deformaciones por cortante, al igual que para los esfuerzos. La simetrfa reduce los elementos de la deformacion unitaria por cortante de seis a ties, al igual que para el esfuerzo. i: :•

. ;

L

2.18 TENSOR DE DEFORMACION UNITARIA Para las deformaciones unitarias dentro del rango eiastico, las ecuaciones que relacionan las deformaciones unitarias normales y por cortante con la orientation del piano cortante son analogas a las ecuaciones correspondientes para el esfuerzo dadas en la ecuacion (2.10). De esta forma, el estado de deformacion unitaria se puede escribir como un tensor, de esta forma

FUNDAMENTOS

PARTS 1

y’Yvz

£r

T=

TXVV

TYVZ

£y

i 'V

T

:

li 'V

y Jvz

A1 comparar la ecuacion ( 2.37 ) con la ( 2.10) observe que mientras que e „ zy y £, son analogas a <3xy Gy y a.., respectivamente, la mitad de la deformacion unitaria por cortante yVJ/ 2, yv72, yi /2 es analoga a xY>„ x y x.v, respectivamente. ^ Las leyes generates de la transformation de la deformacion unitaria que se indican en el apendice B permiten la determination de las deformaciones unitarias que actuan en un sistema de coordenadas ortogonales .

DEFORMACION UNITARIA PLANA En vez de seis deformaciones unitarias para el tensor de deformacion unitaria complete, aqiu los efectos de los componentes £ v, yv: y yv se ignoran , y de esta forma solo se consideran dos componentes de la deformacion unitaria normal, £. y £r y un componente de la deformacion unitaria por cortante, yxy. En la figura 2.24 se presenta la deformacion de un elemento causada por cada una de las tres deformaciones unitarias consideradas en la deformacion unitaria plana. Los componentes de la deformacion unitaria normal EV y Ey , que se muestran en la figura 2.24a) y /?), son producidos por cambios en la longitud del elemento en las direcciones x y y\ respectivamente. En la figura 2.24c)se muestra la deformacion unitaria por cortante yvy; esta se produce por la rotation relativa de dos lados adyacentes del elemento. Tambien , la figura 2.24c) ayuda a expiicar la importancia fisica del hecho que x es analoga a y/2 en vez de a y. Cada lado de un elemento carnbia su pendiente en un angulo de y/ 2 cuando se sujeta a cortante ,

puro. Para las deformaciones unitarias se usa la convention de signos siguiente:

1.

Deformaciones unitarias normales £ r y er son positivas si causan un alargamiento a lo largo de los ejesx y y respectivamente En la figura 2.24a ) y &), Ex y £y son positivas. ,

9

2.

Deformacion unitaria por cortante y es positiva cuando el angulo interior AOB en la ^ figura 2.24c) se vuelve menor de 90 °.:

—

'

Las deformaciones unitarias principales, planas y las direcciones son directamerite analogas alas que se detemiinaron anteriormente para los esfuerzos principales Las deformaciones

y

-

<

M

'

-

•

y ~-

:

i

!

clx

a)

7xy 2

exdx

ill

y

ill iA : ;

:

fltiftafli gfmm b)

E yd )'

mm

i T~ /

.

MMMMAI ,i /

dy

.

mmgMk

fy ‘V 2

! x M d# -

x

0

!

B

c)

-

Representacion grafica de un elemento de deformacion unitaria plana , aj Deformacion unitaria normal £ x; b) deformacion unitaria normal ey y c) deformacion unitaria por cortante yxy .

Figures

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARIA

CANTULO 2

unitarias normales principales en el piano x- y > la deformacion unitaria maxima por cortante en el piano x- y y la orientacion de los ejes principales relativa a los ejes x y y son Ei , £2 -

E v 4- ey

2

1 2

2

2

1

Tmflx = ± 2

7 «3

2()> - tan-1

+

+

£y 2

£v

2

£ v - £V

2

y.v £v

Ey

De aquf que existan dos clases importantes de problemas. Si las deformaciones unitarias principales se conocen , y si se desea encontrar las deformaciones unitarias que actuan en un piano orientado en un angulo (j) a partir del piano principal ( numerado 1) , las ecuaciones son £! + £2

^2

2

Y* = (£ i

“

£2 )

cos 2([) { 2.42 )

sen 2<(>

En ia ecuacion ( 2.42), y representa una deformacion unitaria por cortante que actua sobre el ^ piano ( j) y dirigida a 90° desde el eje (j). A1 igual que para el esfuerzo, el segundo submdice se omite por conveniencia y no resulta ninguna ambigiiedad . El diagraraa del circulo de Mohr tambien se puede usar para representar el estado de defomiaciones unitarias. El segundo problema de interes es el caso donde un componente de la deformacion unita ria normal se ha medido en tres direcciones diferentes pero especificadas, y se desea obtener las deformaciones unitarias £t, ev y y . de estas mediciones. En este caso la ecuacion

^

E0

= eT cos20 + £ . sen 20 4- yXT sen 0 cos 0 ;

es de gran ayuda. Aquf Ee representa la deformacion unitaria medida en la direccion girada 0 en el sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje x, y £ , ev y y„, son las deformaciones unitarias deseadas. De esta forma, la medicion de una deformacion unitaria en tres direcciones diferentes proporciona tres ecuaciones para las tres defomiaciones unitarias desconocidas, y es suficiente para su cuantificacion. Las rosetas o instrumentos de medicion de la deformacion unitaria a menudo se proporcionan en grupos de tres. t

SMT0S Una roseta a 0 D , 45° y 90° como se muestra en la figura 2.25 se coloca en una estmclura con el instrumento de medicion a 0° colocado a lo largo de un eje de referenda (x). Una vez realizada la carga en la estmctura, la deformacion unitaria en la direccion 0° es de +50 pm / m , en la direccion a 45° es de -27 A O 6 y en la de 90° es de 0. HIAMLAR Las deformaciones unitarias ev, ev y ytv. '

La ecuacion (2.43) se aplica tres veces para obtener tres ecuaciones:

Ex = £(, - 50 X 10 2 2 E. = 0 et)0, = et cos (90°) + EV sen (90°) + yrv sen (90°) cos (90°) 2 2 ) ° ° ) ( 45 ( 45 cos ) ( ° yvr sen ) 45 ° + e45o = er cos (45 + ev sen

. = EV cos (0°) + ev sen (0°) + yrv sen 0° cos 0°

E0

2

2

y,v == -54 x 10 6 - 50 x 10-6 - 0 = -104 x 10“ 6 "

“6

':

BiennpHi- 2;17

68

1

FUNOA MENTOS

90o j.

x

Figwyea 2.25 Rosefa de medicion de las deformaciones usada en e! ejemplo 2.17.

CSIS ©

de

esfpsil ®

2.1

APLICADOR DE PEGAMENTO

in la figura 2.26 se muestra el proceso de expansion que se emplea en la elaboration de materiales con una estructura en forma de panal. El proceso va de izqnierda a derecha. Las hojas se cortan del rollo, y se aplica un adhesivo en franjas paralelas a lo largo del ancho de la hoja. Estas hojas se apilan para formal- un bloque y se curan en un horno, lo que pennile el desarrollo de fuertes uniones en las juntas adhesivas. Despues, el bloque se corta en partes con las dimensiones deseadas y se alargan para formar una estructura en forma de panal. Estos materiales de construction rfgidos y ligeros se emplean con frecuencia en proyectos aeroespaciales. Este caso de estudio se enfoca particularmente en la aplicacion del adhesivo sobre la hoja o el aplicador de pegamento. Esta maquina [Fig. 2.27a ) ] aplica pegamento sobre una hoja , exponiendo cuatro rodillos polfmeros a un baho de polimero, poniendolos luego en contacto con la hoja. Espaciando los rodillos adecuadamente se puede obtener el patron de pegamento deseado. En los extremos del eje se encuentran cojinetes de bolas, como se muestra en la llgura 2.27a ) . En la figura 2.21b ) aparece un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actuan sobre el eje junto con el espaciamiento entre los rodillos. Aquf , el rodillo se representa por una fuerza concentrada en vez de por un paso unitario. Del equilibrio de momentos y fuerzas se tiene RA - Rti = 800 N . HALLM a) Usando las fund ones de singularidad determine las expreslones de cortan te y de mornento. y tambien proporcione los diagramas correspondientes y el mornento maximo. b ) Si la distancia entre el cojinete y el primer rodillo es a , como es tambien la distancia entre el ultimo rodillo y el cojinete, y la distancia entre los rodillos es b , encuentre

Adhesivo

Franjas

A B loqiie Rollo

Panel

expandido

Fifgwrsa 2.26 Proceso de expansion usado en los materiales con estructura en forma de panal. [Adapfado de Kalpakjian 11991 ).]

una expresion general para el cortante y el mornento para n rodillos.

a ) De la tabla 2.2 para una fuerza concentrada, la funcion de intensidad de carga para la aplicadora de pegamento que se muestra en la figura 2.21b ) (cuando x se expresa en metros) es

-q{ x ) = -800(A)-' + 400(A - 0.075)-' + 400(A - 0.145)~ ' + 400(A - 0.215)- I + 400(.v - 0.285)-' - 800(x - 0.360)-I ( contimia )

C& g»i?UL0 2

®

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARLA

( CONCLUSION)

Cas© die estasii © 58.1

Mix ) = -800[(.v ' + ( x - 0.360)1]

>

<

+ 400[ *- 0.075)' + { x - 0.145)'

+ {x

- 0.215)' + { x - 0.285)']

En la tlgura 2.27c) y d ) se muestran los diagramas del cortante y del momento flexionante. El mo men to flexionante maxinio MmA i es 88 N-m. b) Las expresiones generales de la intensidad de carga , fuerza cortante y momento son

«A

]

—

y

)

75

)k

k

70

— —— /

70

»

-- — 70

>

"

75

;LP

400 N 400 N 400 N 400 N

2

b)

800 E 400 | 0 g -400 O „„„: O -800 :

<

_

<—

[ x) 1 + x 2c

— /

V{ x ) =

]

-

2

[(A)0 + {x - 2a

=i

- n b) ] {)

c)

+ PjJ ( x - a b( i i~ 1

X

s £

=-

2

[(A)1 + (x - 2c - n b ) x ] .

£

/f

G

2

1))°

;•

M{x )

o i -40 -

—

+ P j j ( x - a - b( i - \ ))'

-80

J

d)

donde

Figwrea 2.27 Caso de estudio de unci aplicadora de pegamento. a ) Maquina; b) diagrama de cuerpo libre; c) diagrama de cortante; d ] diagrama de momento .

n = mimero de rodillos

a = distancia desde el cojinete al rodillo b = distancia entre rodillos

Las expresiones de la fuerza cortante y del momento son

Vix ) = -800[ tx)° + ( x - 0.360)°] + 400[(.\- - 0.075)° + (pc - 0.145)° +

< - 0.215)° +{ - 0.285)"] A

A

; •:

• •• ••

.v

.‘ *

.

=* l

\s

:

V •• *

: •. V

•

7©

FUNDAMENTOS

PARTS 1

Cess ® de esfaisli ® 2.2

DEFORMA CIONES UNITARIAS EN LA PROTECCION DE UN VEHICULO PARA NIEVE

La bancla cle trails mision de un vehiculo para nieve transmite potencia clescle el motor hasta el eje que acciona las bandas de rodamiento. Debido a limitaciones de espacio la bancla de transmi si on se encuentra cerca del conductor, un poco atras del tablero de instrumentos. Cuando la bancla de transmision esta excesivamente gastada, puede romperse; y si golpea el tablero de instrumentos con fuerza suficiente, lo piiede fracturar. Tales incidentes son capaces de fracturar el tablero, y los proyectiles son un serio peiigro para el conductor o el pasajero del vehiculo para nieve. Ha sklo propuesta una solution de diseno y se presenta un boceto en la figure 2.28, en donde se fabricara una proteccion para contener la bancla de transmisidn . La carga en este caso se descon oce y es cliffcil de de terminal e inclusive de calcular analfticamente porque la banda se puede romper en cualquier parte relacionada con una polea y puede go!pear contra la proteccion con muchos angulos de incidencia diferentes. Sin embargo, fue conducido un programa experimen tal en donde se cortaron unas muescas en una mieva banda de transmisidn , de manera que tallara en un vehiculo para nieve de iaboratorio cuando el motor estaba acelerandose. Un prototipo de la proteccion se coloco en el area de la banda. Con instrumentos de medicidn de las deformaciones, colocados sobre la proteccion , se midi 6 la deformacidn unitaria durante la ruptura de la bancla. Se podrfa obtener una distribucidn de las deformaciones realizando muchas pruebas y con instrumentacidn lo suficientemente precisa, laenergia absorbidapor la proteccion tambien se podra medir directamente. Esta informacion perniitio despues la aplicacion de un criterio de falla (analizado en los capi'tulos 6 y 7) para determinar un factor de seguridad namimo para la proteccion . '

Se conclujeron 25 pruebas a la ruptura y se miclieron las deformaciones unitarias. Se iiso una roseta equiangular como se muestra en la figura 2.28. Dos cle los casos mas extremos fueron: Caso 1: £0, ~ 104

pm / m

Euoc

“

-112 pm / m

el 2oo = “ 140 pm /m

Caso 2:

. = 256 pm/m

£60*

£0=

e , 20o ~ 43 pm / m

= 57 pm / m

HALULR Calcule las deformaciones unitarias principales para cada caso y determine la deformacion unitaria principal mas grande y la deformacion unitaria por cor tan te mas grande experi men laclas por la proteccion del pro totipo. Au nque es una suposicion cuestionable para este caso. considere una condition de carga de deformacion unitaria plana para la pro teccion (es decir, su espesor permanece constante). '

La ecuacion (2.43) se puede aplicar tres veces para cada caso . Para el caso 1 esto produce las ecuaciones £( )o

= 104 pm/ m = £ v cos (0°) -f ev sen2(0°) 2

+ yTy sen (0°) cos (0°)

£( () J )

=

“

112 pm / m = ev cos (60° ) + £v sen 2 (60°) + jxy sen (60° ) cos (60°) 2

EJ 2O» = -140 pm / m = £ r cos 2(120°)

+ £v sen 2 (120°) + y,v sen ( 120° ) cos (120°)

Detalle de proteccion

Tablero de instrumentos

Banda de transmision

Fagorsa

i

63 Rosetas de medicion de las deformaciones unitarias

Vehiculo para nieve empleado en el caso de estudio 2.2.

(continuei )

CAPITULO 2

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMA CION UNITARIA

(CONCLUSION) las cuales prodncen £, = 104 pm / m , = - 133 pm/ m y Jxy = jim /m . Para el caso 2 las deformaciones unitarias rcsultantes son = 256 (im/m, ev = 16 pm /m y yxy -44 pm /m. Se puede construLr un cfrculo de Mohr de las deformaciones para estas combinaciones de la deformacion unitaria. Para el caso 1 el cfrculo tendril su centre en

er

-88

-

ev

£ r 4 £ v.

2

_

_ 104 - 133 (10 fi ) = -14.5 pm / m 2

Un punto en el cfrculo, por ejemplo, esta dado por -yn/2 como se senala en la figura 2.24c). A partir de este punto y del cen tro, el radio del cfrculo encontrado es de 126.5 pm / m . De esta forma, las deformaciones unitarias normales extremas en el piano del instrument de medicion de la deformacion estan determinadas por £

, = -14.5 pm/m 4- 126.5 pm / m = 1 1 2 pm /m

,=

8

”

14.5 pm /m - 126.5 prn / m = -141 pm/ m

La deformacion unitaria por cortante maxima en el piano esta expresada por

Ym4x 2

=r

ymiix

= 2(126.5)(10-6) = 253 pm /m

Para el caso 2 se determina un circulo con su centro en 136 pm / m y un radio de 122 pm/m . Las deformaciones unitarias normales extremas en este caso son 258 pm /m y 0 pm/ m . La deformacion unitaria normal menor es cero porque se supuso una circunstancia de deformacion unitaria plana. Por lo tanto, la deformacion unitaria normal maxima no ocurrio en el piano del instrument de medicion y el experiment resulta cuestionable. Sin embargo, puesto que el esfuerzo menor en el piano es aproximadamente 14 pm / m ( ~5% de error de la deformacion unitaria cero), el esfuerzo cortante maximo es aproximadamente el radio del circulo o 122 pm/m .

RESUMEN En este capftulo se analizo como la carga, el esfuerzo y la deformacion unitaria afectan el diseno de un elemento de maquina. Si el tipo adecuado de un element de maquina ha sido seleccionado, despues de considerar su funcion . la causa principal de falla es el esfuerzo de diseno que excede la resistencia del elemento de maquina. Por lo tanto, resulta importante evaluar el esfuerzo, la deformacion unitaria y la resistencia del elemento de maquina en la section crftica. Para hacer esto primero se requiere una determinacion de la carga en todas sus formas. La carga aplicada sobre un elemento de maquina se describio respect al tiempo, al area sobre la cual se aplica la carga y a la ubicacion y metodo de aplicacion . Ademas, se senalo la imporlancia de las reacciones de los apoyos, de la aplicacion de la. fuerza estatica y del moment de equilibrio, y del uso adecuado de los diagramas de cuerpo libre. Despues este capftulo se enfoed en los diagramas de cortante y de moment aplicados a las vigas. Se introdujeron las funciones de singularidad por medio del moment concentrado, de la fuerza concerttrada, del paso unitario, de la rampa, de la rampa inversa y la forma parabdlica . Varias combinacibnes de estas funciones de singularidad pueden existir dentro de una viga. Se establece la fuerza cortante integrando la funcion de intensidad de carga para las varias funciones de singularidad de una viga sobre la longitud de la viga. El moment se determina integrando la fuerza cortante sobre la longitud de la viga. Por medio de estas expresiones analfticas, se construyen facilmente los diagramas de cortante y momento. El esfuerzo define la intensidad y la direction de las fuerzas internas en un punto en particular que actuan sobre un piano determinado. Los esfuerzos que actuan sobre un elemento tienen componcntes normales y de cortante. A traves de cada superficie mutuamente perpendicular existen dos esfuerzos cortantes y un esfuerzo normal , lo que produce un total de nueve esfuerzos ( ties normales y seis cortan tes). Se presen td la convention de signos tanto para los esfuerzos normales como para los cortantes ; Los componentes de los nueve esfuerzos se pueden considerar como los compopentes. de un tensor cartesiano de segundo orden . Se determino que el tensor de esfuerzos es simetrico, lo que implica que el tensor se escribe con un esfuerzo cortante cero y con los esfuerzos normales principals. En muchas aplicaciones de ingenierfa ei analisis de esfuerzos supone que la superficie esta libre de esfuerzos o que el esfuerzo en un piano es pequeiio en relation con los esfuerzos en los otros dos pianos. ;

-

FUNDAMENTOS

La situation de esfuerzos bidimenstonal se denoraina estado de esfuerzos biaxial (o piano) y se express en terminos de dos esfuerzos normaies y un esfuerzo cortante ( av av y x ). Que los esfuerzos se ^ del ctrculo de Mohr puedan expresar en cualquier piano oblicuo es importance al describir el diagrams para un esfuerzo biaxial. Resulto imposible expresar analiticamente un estado de esfuerzos general tridimensional. Si los esfuerzos normaies principals se conocen. el estado de esfuerzos triaxiai se representa por un diagrams del ctrculo de Mohr cuando los esfuerzos cortantes se expresan en terminos de los esfuerzos normaies principales. Se determine) ventajoso represen tar los esfuerzos por un eiemento de esfuerzo octaedrico, donde los esfuerzos normaies y de cortante que aettian sobre los ocho pianos son iguales. Los esfuerzos triaxiales maximos principales normaies y cortante son may ores que sus equivalentes octaedricos. ?

PALABRAS CLAVE carga ciclica carga que varfa a traves del tick).

carga combinada combination de dos o mas cargas previamente definidas.

carga concentrada carga aplicada a un area pequena no concordante. carga cortante carga colineal con fuerza cortante transversal .

carga de impacto carga aplicada rapidamente. carga de torsion carga sujeta a un movimiento de giro . carga distribuida carga distribuida sobre toda el area.

carga estatica carga aplicada gradualmente y el equilibrio se alcanza en un riempo corto.

carga flexionante carga aplicada transversalmente al eje longitudinal de un miembro. carga normal carga que pasa a traves del centroide de una section resistente.

carga sostenicla carga cpnstante sobre un largo tiempo.

cargas fuerza, momento o par de torsion aplicados a un mecanismo o estructura. '

circulo de Mohr metodo empleado para visitalizar graficamente el estado de esfuerzo que actiia en diferentes pianos que pasan a traves de un punto dado . convention de signos para el esfuerzo cortante positivo si Canto la normal de la superficie como el cortante estan en la direction positiva o negativa; negativo para cualquier otra combination. -

convencion de signos para el esfuerzo normal positivo para la tension y negativo para la compre>

• •

st on

•

convention de signos para la deformation unitaria normal positiva si la elongation esta en direction de los ejes positivos.

convencion de signos para la deformation unitaria por cortante positiva si en angulo interior disminuye despues de que se aplique el esfuerzo cortante. deformacion unitaria desplazamiento que se produce en un soiido como resultado de un esfuerzo.

deformation unitaria normal alargamiento o contraction de un segmerito lineal en el cual se aplica un esfuerzo. deformacion unitaria por cortante medida de la distorsion angular en la cual se aplica un esfuerzo cortante.

CAPlTULO

2

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARIA

diagrama de cuerpo libre esquema de una parte de todas las fuerzas que actuan .

esfuerzo intensidad y direccion de una fuerza interna que actua en un panto dado sobre un piano particular. esfuerzo biaxial o piano condicion don de una superficie esta comparativamente libre de esfuerzos. esfuerzo triaxial esfuerzo en el que se consideran todas las superficies. esfuerzo uniaxial condicion donde dos superficies perpendiculares estan comparativamente libres de esfuerzos.

esfuerzos cortantes principals combinacion de esfuerzos aplicados y cortantes que produce un esfuerzo cortante principal mini mo o un esfuerzo cortante principal mmimo. esfuerzos normales principales combination de esfuerzos normales aplicados y cortantes que produce un esfuerzo normal principal mmimo o un esfuerzo normal principal maximo, con un tercer esfuerzo principal entre o equivalente a los extremos. funciones de singularidad funciones que se usan para evaluar los diagramas de cortante y momenta , especialmente cuando existen discontinuidades, como cargas concentradas o momentos. piano octaedrico piano que corta a Craves de una esquina de un elemento principal de manera que ocho pianos formen un octaedro.

seccion critica seccion donde ocurre el esfuerzo interno mayor. tensor simetrico condicion donde los esfuerzos normales principales existen mientras que todos los otros elementos de un tensor son cero.

viga elemento estructurai disenado para soportai cargas perpendiculares a su eje longitudinal '

,

viga en voladizo apoyo donde un extremo esta fijo y el otro esta fibre. viga simplemente apoyada apoyo donde un extremo esta articulado y el otro esta apoyado en un rodillo.

viga suspendida apoyo donde uno o ambos extremos se extienden libremente mas alia del apoyo.

LECTURAS RECOMENDADAS Beer, F.P. y Johnson , E.R . (1981) Mechanics of Materials , McGraw -Hill , Nueva York. Craig, R .R. (1996) Mechanics of Materials, Wiley, Nueva York. Crandall, S.H. y Dahl , H . C. (1954) An Introduction to the Mechanics of Solids , McGraw-Hill, Nueva York. Juvimill, R. C. ( 1967) Stress, Strain and Strength, McGraw-Hill, Nueva York. Lardner, TJ. y Archer, R.R . ( 1994) Mechanics of Solids: An Introduction , McGraw -Hill, Nueva York. Popov, E . P. ( 1968 ) Introduction to Mechanics of Solids , Prentice-Hall , Englewood Cliffs, NJ .

REFERENCIAS Durelli , A.J., Phillips, E.A. y Tsao, C.H. (1958) Introduction to the Theoretical and Experimental Analysis of Stress and Strain , McGraw-Hill, Nueva York. Kalpakjian , S. ( 1991) Manufacturing Processes for Engineering Materials, Addison-Wes ley, Nueva .. .. . York. Mohr, O. ( 1914) Abhandlungen aus deni Gebiete der technischen Mechanik , 2a . ed ., pp. 192- 203, Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin.

73

74

PA &TE 1

FUNDAMENTOS

©

FROBLEMAS Seccion 2.2 2.1

El eje escalonado A-B-C que se muestra en el boceto a esta cargado con las fuerzas Pl y P2. Note que P ( proporciona un esfuerzo de tension a en B -C y a/4 en A- B , y que P2 produce un esfuerzo flexionante a en B y 1.5 a en A . Cual es la seccion cntica...

^

a ) si solo se aplica P , ? b ) si solo se aplica P2 ?

c ) si se aplican tanto P , como P2 ? M

Pl

i

•

Pi

iA

/

5/

B

C

Boceto a, de los problemas 2.1 y 2.2

Seccion 2*3 2.2

El eje escalonado en el problema 2.1 ( boceto a) tiene cargas Pt y P2 . Encuentre la clarification de carga si la variacion de P , es sinuosa y P2 es la carga de un peso . ..

a ) si solo se aplica Ps. b) si solo se aplica P2. c ) si se aplican tanto P , como P2.

Seccion 2.4 2.3

La convention de signos para los momentos flexionantes se puede obtener de la ecuacion diferencial para la iinea elastica

EIy" = -M donde E

~

modulo de elasticidad, Pa

/ ~ momento de inertia del area , m4

M

== momento flexionante, N-m

yu = cPyldx2 = segunda derivada de y con respecto a A, nr y = deflexion, m Esto da un esfuerzo positivo ( tension ) en las fibras de la viga en la direccion positiva (y). Encuentre como carnbia la pendiente de la viga con un incremento de la coordenada x para una flexion positiva y negativa.

Section 2 * 5 2.4

Una barra cuelga libremente de una charnela sin friction. Una fuerza horizontal P se aplica en ei fondo de la barra hasta que se inclina 30° a partir de la direccion vertical. Calcule las comp one ntes horizontal y vertical de la fuerza sobre la charnela si la aceleracion debida a la gravedad es g , la barra tiene una seccion transversal constants a lo largo de su longitud y la masa total es mir

CAPITIILO 2

2.5

&

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION

UNITARIA

En el boceto b se muestran las fuerzas que actuan sobre un rectangulo. < Esta en equilibria el rectangulo?

18 N 30 N

>

7 cm

r1

*

20 N 20 N

>'

A

B

C

D

5 cm

20 N

ION

.*

18 N

Boceto b, del problema 2.6

2.6

En el boceto c se muestran las fuerzas que actuan sobre un triangulo. Esta en equilibrio el

^

trianguio? r - 17.81 N

o

65.37 N

*

-

.

i

39.76 N

Boceto c, del problema 2.6 2.7

En el boceto d aparece un cubo con longitudes a de sus lados y ocho fuerzas que actuan en las esquinas. Esta en equilibrio el cubo ?

^

a

/

P

P P.

/

/

!Z

*

/ /

/ x

Boceto cl, del problema 2.7

y

P

y ••

.

75

PARTE 1

2.8

FUNDAMENTOS

Un esquiador se encuentra parado sobre una pendiente con 5° de inclinacion. Ei coeficiente de friccion entre los esquies y la nieve es 0.10 cuando los esqufes estan fijos, y 0.07 cuando empiezan a deslizarse. /,Se encuentra el esquiador en equilibrio estatico cuando el esta inmovil y cuando se desliza pendiente abajo?

Seccion 2.6 2.9

Dados los components que se muestran en los bocetos e y f dibuje el diagrama de cuerpo libre de cada componente y calcule las fuerzas .

1.2 kN

0.9 in

>’ Radio 0.15 m

60° \

1

Boceto f, de! problema 2.9

Boceto e, del problema 2.9

P = 3.2 kN

P = lOkN

2m

-

2m

1m

x 5m y

Boceto g, del problema 2.10

Seccion 2.8 :

2.10 Una barra de 5 m de longitud esta cargada corno se muestra en el boceto g. La seccion transversal de la barra es constante en toda su longitud. Dibuje los diagramas de cortante y momenta y localice la seccion crftica.

2.11 Una viga esta sostenida por un cable en un extremo y por una articulacion en el otro. La viga esta cargada por una fuerza paralela con el cable . Cual es la direccion de hi fuerza de reaccion en la articulacion?

^

CAPITUL© 2

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UN1TARIA

©

Boceto h, del problema 2.12

2.12 Eli el boceto h se ilustra un puente simple. El punto medio del pnente esta sostenido desde arriba por un cable, cjue parte desde la charnela superior de dos vigas iguales. Cuando un camion pasa sobre el puente, se determino que la fuerza en el cable es de 500 000 N . Determine las fuerzas en las vigas y la componente de ia fuerza horizontal en el centro del puente.

1 kN

A

B "

0.2 m

"

0.3 m

:

0.14 m

0.5 kN

Boceto i, usado en el problema 2.13

2.13 En el boceto i se muestra un eje de acero de 0.05 m de diametro soportado por cojinetes autoalineables ( los cuales pueden proporcioriar carga radial pero no carga flexionante sobre el eje ). Un engrane causa que cada fuerza se aplique como se muestra. Todas las dimensiones estan en metros. El eje se puede considerar sin peso. Calcule las fuerzas en A y B y el esfuerzo flexionante maximo. Dtbuje los diagramas de cortante y de momento.

—

;

!

2.14 En el boceto / se muestra una barra simplemente apoyada, cargada con una fuerza P en una posicion a un tercio de la longitud desde un extremo de uno de los puntos de apoyo. Determine la fuerza cortante y el momento flexionante en la viga. Tambien, dibuje los diagramas de cortante y de momento. r> . ,

•

'Vi .

p :

/ /3

Boceto j, del problema 2.14

77

PASTS 1

©

FUNDAMENTOS

P

P

'<

>' A'

// 4

//4

1/ 2

y

Boceto k, del problema 2.15

2.15 En ei boceto k aparece una barra simplemente apoyada cargada por dos fuerzas grandes iguales P localizadas a 1/ 4 desde sus extremos. Calcule la fuerza cortante y el momenta flexionante en la barra y encuentre la seccion crftica con el momenta flexionante mayor. Tambien , dibuje los diagramas de cortante y de momenta.

•

-

p

\ \

f

«1

n i

Boceto I, del problema 2.16 ' 2.16 La barra que se muestra en el boceto k esta cargada con una fuerza P . Determine la fuerza cortante y el momento flexionante en ia barra. Tambien , dibuje los diagramas de cortante y de T. momento.

> Jo

'

T

? I

X

f

jjgga

nm

X

W'Z!&L£':

\

i

i

:

•

Boceto m, del problema 2.17

* 2.17 En el boceto m se muestra una barra simplemente apoyada con una carga constante por unidad de longitud w0 impuesta sobre toda su longitud. Determine la fuerza cortante y el momento flexionante como funciones de x . Dibuje una grafica de estas funciones. Tambien , encuentre la seccion crftica con el mayor momento flexionante.

CAPiTUi© 2

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UN1TARIA

&

2P l

*

.

I Ssi&SKS sim. M

.. .

n

( )

$?

Boceto n, del problema 2.1 8

2.18 En e] boceto n se ilustra una viga simplemente apoyada cargada con una funcion de rampa sobre toda su longitud, siendo ei valor mas grande 2 PH . Calcule la fuerza cortante y el momento flexionante y la seccion crftica con el momento flexionante mayor. Ademas, dibuje los diagramas de cortante y de momento.

wo !

;

o'

i

t

i

t

M

\ /

T

~

/

/

3

3

Bocefo o, de los problemas 2.1 9 y 2.20

2.19 Dibuje los diagramas de cortante y de momento y determine la seccion crftica para las condiciones de carga que se muestran en el boceto o. Desprecie el peso de la barra. Sea wQ = 100 N / m, P - 5 kN, M = 2 x 104 N- mm y / = 300 mm. 2.20 Resuelva de nuevo el problema 2.19, considerando el peso de la barra por unidad de longitud igual a wQ.

Bocelo p, del problema 2.21 2.21 Determine las expresiones de fnerza cortante. momento flexionante y carga axial P para el miembro curvo del boceto p . Desprecie el peso de la barra. Sea P = 1 0 N y r l m ,

=

2.22 En el boceto q se muestra una fuerza distribuida en forma sinusoide aplicada a una viga. Determine la fuerza cortante y el momento flexionante para cada seccion de la viga.

sen (ice// ) V

\

itmxtixxmsr:>;

x

Boceto q , del problema 2.22

u

mmmm

79

BO

1

FUNJDAMENTOS

2.23 Encuentre la longitud x que proporcione el momento flexionante maximo mas pequeno para la distribution de cai ga en el boceto r . '

wo T

o

w

I

x

X

Boceto r, del problema 2.23

2.24 Dibuje los diagramas de cortante y de momento para la distribucidn de carga que se muestra en el boceto s y para una intensidad de carga de q{ x ) ~ (x)" cuando n = 2 y 3. Tambien, calcule las fuerzas de reaction.

XI

!

kxn

\

T

7

sSSfa

b

/

!

Boceto s, del problema 2.24

2.25 Dibuje los diagramas de cortante y de momento y determine las fuerzas de reaccion para la distribution de carga que se muestra en el boceto t.

w0

;

”o for

©

a

a

a

a

Boceto \, del problema 2.25 ;

2.26 La carga que actiia sobre una viga consiste de una carga distribuida de 2 500 N/m a Jo largo de loda la viga y ires cargas concentradas, cada una de 5 000 N, localizadas a 1/ 4 , //2 y 3 //4. La longitud de la viga es de 8 m. Calcule el tipo de apoyo de la viga y $u posicion . Tambien, dibuje los diagramas de cortante y de momento. 2.27 La carga maxima para un puente que cruza un rfo ocurre cuando un camion completamente cargado pas a sobre el. La carga maxima es de 550 000 N distribuida sobre 22 ra ( la distancia mayor entre las ruedas de un vehfculo). El peso del puente de 100 m de longitud es de 210 ton . Determine la posicion de los pilares del puente y el tipo de apoyo.

fr»L@

Ag>

%

®

CARGA, ESFUKRZO V DEFORMA CION UN1TAR1A

Section 2.9

/ /4

/ /4 WQ T

—

;

»

X

f

-

tf &S KSsv

p,

P2

J

Boceto u, del problema 2.28

2.28 La barra simplemente apoyada que se muestra en ei boceto a soporta las cargas siguientes : P 3 = 5 kN. P2 = 8 kN, vv0 = 4 kN/m y / = 1 2 m. Use las funciones de singuiaridad para determinar la fuerza cortante y el momento flexionante como limciones de x. Tambien. dibuje sus resultados.

2.29 Uililice las funciones de singuiaridad para el sistema de fuerzas que se muestra en el boceto v para determinar la intensidad de carga, la fuerza cortante y el momento flexionante. Por medio de un analisis de fuerzas calcule las fuerzas de las reacciones Rx y R2. Ademas, dibuje los diagramas de cortante y de momento. 60 lbf

140 lbf i

5

°A

4 pulg

i

T

6 pulg

4 pulg

YD

4 pulg

Ac

A

X

IR l

\ 30 lbf

R2

Boceto v, del problema 2.29

2.30 Use las funciones de singuiaridad para el sistema de fuerzas que se muestra en el boceto vr para determinar la intensidad de carga, la fuerza cortante y el momento flexionante. Dibuje los diagramas dc cortante y de momento. Tambien , por medio de un analisis de fuerzas determine las fuerzas de las reacciones Rx y R2. 35 lbf !

°

A

40 lbf |

f

—

60 lbf 1 pulg

3 pulgf 4 pulg B C A

10 pulg

D

t

\ R} y

Boceto w, del problema 2.30

/6

—

X

•

81

82

PARTE 1

$

FUNDA MENTOS

//3

/ /3

//3

*v0

lvo

f

t T

1

T

Mi

? A‘

o

V

Boceto x, de los problemas 2.31 y 2.35 ©

2.31 Dibuje an diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actuan sobre la barra simplemente apoyada que se muestra en el boceto x , con w0 = 4 kN/m. Use las funciones de singularidad para dibujar los diagramas de la fuerza cortante y del momento flexionante.

2.32 En el boceto y aparece una barra simplemente apoyada con w0 ~ 5 kN/ m y / = 12 m. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actuan a lo largo de la barra, asf como las coordenadas empleadas. Use las funciones de singularidad para determinar la fuerza cortante y el momento fl exion ante.

t-

1/ 2

1/ 2

M'o

i

I

m

X

L2

.-

£ v*AoW y?:

Boceto y, de los problemas 2.32 y 2.36

2.33 Resuelva de nuevo el problema del caso de estudio 2.1 si la fuerza de 400 N se distribuye uniformemente a lo ancho del rodillo y si se emplea un paso unitario para representar la carga. El ancho del rodillo es de 30 mm. Resuelva los incisos a ) y /;) del caso de estudio considerando la representation del paso unitario.

2.34 Una viga simplemente apoyada tiene una distribution de carga parabolica que se inicia en x = 0 . Util ice las funciones de singularidad para dibujar los diagramas de cortante y de momento. 2.35 Dibuje un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actuan sobre la viga simplemente apoyada que se muestra en el boceto x y que se uso en el problema 2.31: En la seccion central ( 1/ 3 x 21/ 3 ) la carga actiia hacia arriba (en la direction y negativa ) en vez de como se muestra. Use las funciones de singularidad para determinar la fuerza cortante y el momento flexionante; dibuje los diagramas correspondieiites. :

2.36 Una fuerza concentrada adicional con una intensidad de 60 JkN se aplica hacia abajo en el centro de la barra simplemente apoyada que se muestra en el boceto y. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actuan sobre la barra. Suponga / = 1.2 m y w0 = 5 kN/m. Utilice las funciones de singularidad para determinar la fuerza cortante y el momento flexionante; dibuje los diagramas .

2.37 Use las funciones de singularidad para determinar el momento cortante y el flexionante para la situation de cargas que se muestran en el boceto z.

CAPiTULO

IP

2

CARGA , ESFUERZO Y DEFORMACION UN1TARIA

©

P

2lfo

ifo ><

O

1

/

l

l

!

I

Bocefo z, del problema 2.37

2.38 Obtenga las expresiones de la fuerza cortante y del momenta empleando las funciones de singularidad para una viga articulada en ambos extremes, con las condiciones de carga que se describen en el boceto aa . Dibuje un diagrams de cuerpo libre de las fuerzas que actuan sobre la barra. Dibuje la fuerza cortante y el momento a lo largo de la longitud de la barra y proporcione los resultados en forma tabular. Suponga w0 ~ 4 kN/m, P = 3 kN y l = 12 m.

1/ 3

1/ 3

w0

1/ 3 Vi o

'

m

I

P y

t

Q

,

X

Boceto aa , del problema 2.38

Seccion 2 ] 1 <>

—

2.39 Una barra de acero se somete a una fuerza de tension P 25 kN . La seccion transversal de la barra es circular con un radio de 7 mm. Cual es el esfuerzo de tension normal en la barra?

^

2.40 Una barra de acero inoxidable de seccion transversal cuadrada esta sujeta a una fuerza de tension P = 15 kN. Calcule la longitud del lado l del area de la seccion transversal para proporcionar a la barra un esfuerzo de tension de 120 MPa:

2.41

Cual es la maxima longitud lm que un alambre de cobre puede tener si su peso no ^proporcionar un esfuerzo mayor de 75 MPa cuando se cuelga vertiealmente? La densidad del debe

&K

cobre es de 8 900 kg/ m3 y la del aire es tan pequena con relacion a la del cobre que se puede despreciar. La aceleracion de la gravedad es de 9.81 m /s2. 2.42 Una maquina con un peso de 5 ton sera ievantada por una varilla de acero con una rcsistencia a la rotura por tension de 860 MPa. Considere un factor de seguridad de 5. Determine el diametro que se necesita para la varilla de acero.

2.43 La mayor profundidad del oceano que se ha medido (cerca de las Islas Filipinas en el Oceano Pacffico) es de II km.
^

2.44 En el problema 2.43 se usd un cable de acero para medir la profundidad del oceano. Encuentre una forma para realizar la medicion sin arriesgarse a romper eJ cable debido al esfuerzo de tension tan alto. 2,45 Una cuerda de una guitarra esta hecha de nylon y tiene una seccion transversal con un diametro de 0.6 mm. La cuerda se aprieta con una fuerza P = 15 N. Cual es el esfuerzo en la cuerda?

^

S3

FUNDAMENTOS

A

y

2m

z

/

x

/

/

/

Im

B /B

V

/

10 kN

x Boceto bb, del problema 2.46

2.46 Determine los esfuerzos normales y corlantes en las secciones Ay B del boceto bb . El areade la seccion transversal de la varilla es de 0.025 m2. Ignore los efectos flexionantes y de torsion.

P - 10 kN i

t

1m

BI B

Boceto cc, del problema 2.47

2.47 Determine los esfuerzos normal y cortante debidos a las fuerzas axial y de cortante en las secciones A y B en el boceto cc.

2.48 Determine la raagnitud del esfuerzo cortante para el elemento de esfuerzos de ia figura 2.13, si los ires esfuerzos normales se incremental!al doble. 2.49 Los esfuerzos normales en las direcciones A, y y z son iguales a 100 MPa y los esfuerzos corlantes. iguales a ce.ro. Encuentre los esfuerzos que actuan sobre un piano que dene el esfuerzo I

normal en la direccion de la diagonal espacial

\/ j ’

yr

1

'

vr

2.50 Si los esfuerzos son tales que a ,= ~ av y a. = xxy = xKZ = x,. = 0, encuentre el esfuerzo cortante que actua sobre el piano diagonal entre los ejes x y y y paralelo a la direccion z.

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNITARIA

CAPITULO 2

Section 2.12 2.51 Un elemento en tension con un esfuerzo cortante xvv que actiia sobre la superficie hacia ia direccion x tiene el esfuerzo normal en la direccion y. Determine el esfuerzo cortante que actua en la direccion y sobre la superficie que tiene ei esfuerzo normal en la direccion x.

Section 2.13

/>

Boceto dd , del probiema 2.52 2.52 En el boceto del se muestra una carga distribuida sobre un piano semiinfinito. El esfuerzo en coordenadas polares con base en una suposicion de esfuerzo piano es

2w0 cos 0 jzr

CJ 0

Determine las expresiones aA., oy y

—

—x —0 0/ ,

xtv en terminos de r y 0.

2.53 En el boceto ee aparece la carga sobre un piano extremadamente delgado e infinitamente largo. Determine el angulo 0 necesario para que el elemento de esfuerzo no tenga esfuerzo cortante. Para un espesor de la placa tw , con un modulo de elasticidad E y una razon de Poisson v. encuentre la reduction en el espesor de la placa.

y

<*x x

av Boceto ee, del probiema 2.53

85

PA&Tg 1

FUNDAMENTOS

•

2.54 El eslado de esfuerzo en un elemento de maquina esta dado por

S=

167

40

-30

40

25

12

— 30

12

-25

donde todos los valores estan dados en megapascales. Determine el tensor de esfuerzos si las coordenadas se giran de tal forma que x > y x'\ y x = y’ y z — > z = z'.

—

]

"

-

-

2.55 Un tensor de esfuerzo esta dado por

178

S-

-83 0

;

-83

0

12 : 0

0

0

!

donde todos los valores estan dados en megapascales. El estado de esfuerzo se aplica a un elemento de maquina hecho de acero AISI 1020. Calcule los esfuerzos normales principales y los esfuerzos cortantes principales. Ademas, encuentre el tensor de esfuerzo si el sistema de coordenadas se gira de tal forma que x > z x' ; y > y = y ' y z > -x = z'.

I

—

:

— —

—

Section 2.14

i

2.56 Una placa de acero cuadrada y delgada tiene esfuerzos normales a los lados en las direcciooes x y y. Un esfuerzo de tension G actua en la direccion A, y un esfuerzo de compresion -a actua en la direccion y. Determine el esfuerzo normal y los esfuerzos cortantes sobre la diagonal del cuadrado. 2.57 Una placa de bronce rectangular y delgada, tiene esfuerzos normales a los lados en las direcciones x y y. Un esfuerzo de tension a actua sobre los cuatro lados. Encuentre la normal principal y los esfuerzos cortantes.

i :

: :

2.58 Dada la placa rectangular de bronce delgada del problema 2.57, pero con el esfuerzo en la direccion y de ay = -a en vez de +o, determine el esfuerzo normal principal y los esfuerzos cortantes y sus direcciones. 2.59 . Para los estados de esfuerzos siguientes dibuje el circulo de Mohr apropiado, determine los esfuerzos principales y sus direcciones, y muestre los elementos de esfuerzo:

a ) a , = 30, av = -20 y xxy ~ 10 /;) av = 30 , cy = -30 y xxy = 10

:

=

c ) ) CTV 50 , cl) Gx = Gy

J

oy = -50 y %xy = 0

= - 10

Todos los esfuerzos se expresan en megapascales.

2.60 Repita el problema 2.59 para

a ) Gs = 55, Gy = -15 y xtv = 40

-

-

^

b ) GS 0, Gy 30 y T,v = 20 c ) ov = -20, Gy - 40 y xvv = -40

a

d)

GX

= 30, Gy = 0 y T.,v = -20

Todos los esfuerzos se expresan en megapascales .

CA

^tfUI.® %

Q

CARGA, ESFUERZO Y DEFORMACION UNXTARIA

t

60

m.

30

•

Cl )

b)

Boceto ff, del problema 2.61

2.61 Dado el estado de esfuerzos que se ninestra en el boceto determine los esfuerzos principales y sus direcciones usando el circulo de Mohr y las ecuaciones de los esfuerzos. Muestre el elemento de esfuerzos. Todos los esfuerzos en el boceto.//' se dan en megapascales.

^

x 2.62

=

=

Dados los esfuerzos normales y cortante oT 12 ksi , ov. 6 ksi y xry = -4 ksi , dibuje el diagrama del circulo de Mohr y los esfuerzos normales principales y cortante sobre el eje x-y . Determine los esfuerzos triaxiales y proporcione el diagrama del circulo de Mohr correspondiente. Tambien , determine los esfuerzos octaedricos.

2.63 Dados los esfuerzos normales y cortante ax = 16 ksi , ov = 9 ksi y Tvv = 5 ksi , dibuje el diagrama del circulo de Mohr y los esfuerzos normales principales y cortante sobre el eje x-y . Determine los esfuerzos triaxiales y proporcione el diagrama del circulo de Mohr correspondiente. Ademas, determine los esfuerzos octaedricos.

—

2.64 Dados los esfuerzos normales y de cortante a , = 10 ksi, av 24 ksi y xxv ~ -6 ksi, dibuje el diagrama del circulo de Mohr y los esfuerzos normales principales y cortante sobre el eje x-y. Determine los esfuerzos triaxiales y proporcione el diagrama del circulo de Mohr correspondiente. Tambien , determine los esfuerzos octaedricos .

Seccion 2.15 2.65 En un campo de esfuerzos tridimensional usado para describir los esfuerzos bajo la superficie de una boia en un cojinete de bolas, los esfuerzos principales se dan como CJt = 300 MPa, o2 200 MPa y a3 = -2 800 MPa. Calcule y dibuje el diagrama del circulo de Mohr.

—

Seccion 2.16 2.66 Dados los esfuerzos normales y cortante ax = 10 ksi , av = 15 ksi y xxv = 5 ksi , determine o dibuje lo siguiente: “

El diagrama del circulo de Mohr bidimensional . ; El elemento de esfuerzo normal principal sobre los ejesx-y. El esfuerzo cortante principal sobre los ejes x-y . El diagrama del circulo de Mohr tridimensional y los esfuerzos normales principales y cortantes correspondientes. e ) Los esfuerzos normales octaedricos y cortantes.

a) b) c) d)

2.67 Una placa delgada esta sujeta a los esfuerzos ax = o, ar = -a, a. = 0 (perpendicular a la placa), ~ x vz = x:v = 0. Calcule los esfuerzos normales octaedricos y t ,v = X„= o/ V 2 y Tt: = cortantes.

87

PARTE i

FUNDAMENTOS

Seccion 2,18 2.68 El tensor de deformacion unitaria en un elemento de maquina es

T

/ 0.0012

-0.0001

0.0007

0.0001

0.0003

0.0002

\ 0.0007

0.0002

-0.0008

—

Encuentre la deformacion unitaria en las direcciones x% y y z en la direccion del espacio 9

1

diagonal

1 ’

1

’

VT VT vT

y en la direccion ex, £ y y

2.69 El tensor de deformacion unitaria es

T=

0.0023

0.0006

0

0.0006

0.005

0

0

0

0

Calcule la deformacion cortante maxima y las deformaciones unitarias principales.

Section 2.19 2.70 Para los esfuerzos en un elemento de esfuerzo es posible encontrar direcciones coordenadas, donde los esfuerzos cortantes son cero y los esfuerzos normales son paralelos a las nuevas direcciones coordenadas. Es posible determinar el estado de esfuerzo en un elemento de maquina empleando solo dos instmmentos de medicion de las deformaciones unitarias?

^

CAPfTULO

MATERIALES SQLIDOS

El acero Fundido se vada de un homo para Formar una paianquilla. (Cortesta de Weirton Steel Corporation}

El acero se toma de la tierra, y el cobre se extrae del mineral El hornbre pone fin a la oscuridad; el busca en los escondrijos mcls lejanos el mineral en la oscuridad. La Bibiia [ Job 28: 2 - 3 }

9©

PARTE 1

FUNDAMENTQS

©

SfMBOLOS A Cl

C

CR d E % AL G K

KA K, k l !

4r 4 h

4 P Pi Q ri

r„ S

peso, N rapidez de desgaste , m 2 volumen de la fibra de carbono en un plastico angulo rotational , grados deformacidn unitaria por cortante deformation ; deflexion, in deformation unitaria razon de Poisson densidad , kg/m3 esfuerzo normal, Pa esfuerzo cortante, Pa resistencia de la adherencia fibra-matriz , Pa

X

a T

5 £

v

P a X/

Subindices

m

axial v permisible promedio . . . compliesto; section transversal crftico fibra XX al momento de la fractura transition del vidrio interior . . matriz ; magnesio

max

maxirrio

t

transversal X : sin carga ejes principales

ci

perm prom c cr f fr

'

8

' •

l

acero

'

Sir

.

S S, T AT h

Ur v

W W,

'

•

(l

:

Ifnea de referenda calor especffico de un material , J/(kg-°C ) cos to relative diametro de la fibra , m modulo de elasticidad. Pa porcentaje de alargamiento modulo de cortante, Pa modulo voiumetricov Pa Vf constante de desgaste de Arc hard , ( Pa )- i conductividad termica, W/(m-°C) razon del resorte, (• longitud, m longitud critica, m longitud del especimen at mofnento de la fractura, m dis Lancia de deslizaiuiento, m longitud del especimeh sin carga, m - ti MV - V : masa del cuerpo, kg - v fuerza. N X;y- X presion normal, Pa-XXv presidn limitativa, Pa X cantidad de calor, J radio i ntenor, m radio medio, m tamano de atomo, m resistencia, Pa XX resistencia a la fractura , Pa resistencia a la rotura , Pa resistencia a la fluencia, Pa: temperatura, °C Yti cambio de temperatura, °C '

m P

:

area, m 2 coeficiente de dilatation termica lineal , (°C)- i

H 2v 3

\

’

espesor. m modulo de resiliencia fraccidn de volumen

®9

y

•£

•

Superindices A V •

m

i

-

c

XX compresion

t

tension

INTRODUCCION

Un paso important © en el diseho de elementos de maquinas lo constituye la election del material solido. La capacidad de explotar el potential y las caractensticas de un material es esencial para asegurar que se utilice el mejor material para un elemento de maquina particular. Por lo tanto, conocer las propiedades de los materiales solidos resulta de sunia importancia. En este capitulo se clasifican, se selection an y se tratan las propiedades de los materiales solidos en general. No se anaiiza su manufactura o su disponibilidad, aunque tal information adquiere gran importancia en el criterio de los ingenieros de diseho. En los capftulos 9- 19, en los que se estudian los diferentes elementos de maquinas, se presenta informacion mas especffica respecto a la selection de los materiales para casos particulares. El conocimiento general que se obtenga de este capitulo sera de gran utilidad posteriormente.

WPfVUILO

3

©

*1

MATERIALES SbLlDOS

MATERIALES DUCTILES Y Fk

,

3*3•1 MATERIALES DUCTILES La ductilidad es la meclida del grado de la deformation plastica sostenida al momento de la fractura. Un material diictil puede sufrir grandes deformaciones unitarias antes de su ruptura. Con frecuencia los disenadores emplean materiales ductiles porque estos absorben choques (o energia) y, si se sobrecargan , presentaran grandes deformaciones antes de su fall a. Asimismo, la concentration de esfuerzos ( analizada en ei capftulo 7 ) se disipa parcialmente con las deformaciones que se logran mediante el empleo de materiales ductiles. Una forma de especificar si un material es diictil es de acuerdo con su porcentaje de alargamiento (% AL) o - iT . . % AL ~

/ ft.

l0

x!00%

J 3. l l

donde

4 = longitud del especimen al momento de la fractura, m l0 - longitud del especimen sin carga, m Un material ductil presenta un % AL alto antes de la falla, y arbitrariamente se define como 5 % o mas alto para los propositos de este libro. En la tabla A . l (apendice A ) se observa que los valores del % AL para aceros al bajo, medio y alto carbono son 37 , 30 y 25 % , respect!vamente. (Note que algunos materiales que se presentan en las tablas en el apendice A tambien aparecen en el interior de ia tiibierta del libro. ) De esta forma, el acero results diictil porque excede por mucho el 5 % de alargamiento como se describio en la ecuacion (3.1). Considere tambien que en la ecuacion (3.1) la longitud original del especimen /0 es un valor importante, porque una portion significativa de la deformation plastica al momento de la fractura esta confinada a la region estrecha. ASL la magnitud del %AL dependera de la longitud del especimen . Cuanto menor sea /0, mayor sera la fraction del alargamiento total a partir de la parte mas estrecha y, por consecuencia, mayor el valor del % AL. Por lo tanto, l0 se debera especificar cuando los valores del alargamiento se citen . La longitud de un especimen sin carga comunmente se define como de 50 mm ( tabla A . l ). En la figura 3.1a ) se muestra un especimen de prueba de un material diictil , el cual se estrecha (disminuye la section transversal ). El mismo especimen se ilustra en la figura 3 . lb) al momento en que ocurre la fractura. Observe la cantidad considerable de deformacion plastica al momento de la fractura.

&ATOS Una placa plana forma un cilindro cuyo radio interior es de 100 mm , y su espesor de pared de 60 mm, 8MI UUI Determine con cual de los tres aceros inoxidables de la tabla A . l el cilindro no se puede format en fno. Suponga que el piano central de la placa no experimejita esfuerzos de tension ni de compresion y de esta forma no experimentara ningiin alargamiento. Tambien , calcule el % AL para los tres aceros inoxidables.

.

'

La longitud sin carga esta en el piano central de la placa. o

^

|

k = 2TT /; + y = 2TT 100 + y- 1 )

"

) m - 816.8 mm

!|

3* 1

PASTS 1

m Ha ra ia

&

FUNDAMENTOS

ss? fT*

*,

$&

I\ * m

i

i ;i

11

II

tam 11

| |u* .

n

il fa

El

£?‘"lS3g<

a)

b)

un material ductil par medio de un aparato de prueba de tension estandar. a) Adelgazamiento; b) faila.

La longitud at momento de la fractura en el diametro exterior del cilindro es

lit 2nr ”

0

= 2 n( n + */, ) = 2TC(100 + 60)(l 0 3 ) m = 1 005 mm "

Asf , de la ecuacion (3.1) el porcentaje de alargamiento es

% AL

=

lit ~ lo (100 %) 1 005 - 816.8 100 % 23.1% = = /o

816.8

De la tabla A. l el tipo ferritico del acero AISI 446 puede experimental solo 20% AL. Por lo tanto , este material se agrietaria si se formara en Mo con ana deformacion de 23.1%. *

3.2*2 MATERIALES FRAGILES Un material fragil presenta poca (% AL < 5 %) o ninguna fluencia antes de la faila. El hierro fundi do gris es un ejemplo de un material fragil cuyo % AL es tan pequeno que no se incluye en la lista de la tabla A .1. En la figura 3.2 se muestra una prueba de la fragilidad de un especimen al momento de la falla. Muy poco o ningiin adelgazamiento ocurrio momentos antes de la falla, en contraste con el material que se presenta en la figura 3.1.

MkTOS Una placa de acero fundido maleable se ha curvado debido a una rapidez de enfriamiento desigual en el espesor de la placa durante el fundido. La placa tiene un espesor de 20 mm y su curva tiene un radio medio de 750 mm. Se desprecia la deformacion residual .

CAPITULO 3

MATERIALS SOLIDOS

©

s

Ilii m

II

f 1

m

II_ M:

,

ifjv $*

lft a m

Mm

S3

^

£2

vtsrZcieait

IFSgMFsa 3.2 Falla de un material fragil por

medio de un aparato de prueba de tension estandar.

^Es posible aplanar la placa sin agrietarla? S§> lp® i © £t

% AL -

tu / 'l 0

«“

th ! 2

100 % =

10 100 % = 133% 750 -10

De la tabla A. l el % AL = 10% para el acero fimdicio rnaleable. Como 1.33% < 10%, la placa se puede aplanar sin riesgo de agrietarla.

©

CLASIFICACION DE LOS MATERIALES SOLIDOS

Los materiales de ingenieria se pueden clasificar en cuatro categorias: metales, ceramicas y vidrios, polfmeros y elastomeros, y compuestos. Generaimente los miembros de cada clase tienen las caractensticas comunes siguientes:

1.

Propiedades similares, como composicion quimica y estructura atomica .

2.

Rutas de proceso similares.

3.

Aplicaciones similares.

©

METALES

Los metales constituyen combinaciones de elementos metalicos, con grandes cantidades de electrones no localizados (es decir, electrones no ligados a atomos particulares). Los metales

FUNDAMENTOS

son extremadamente buenos conductores de la electricidad y del cal or, y no son transparentes a la luz visible; una superficie metalica pulida tiene una apariencia lustrosa. Ademas, los metales son resistentes y usualmente deformables, lo cual los vuelve materiales de suma importan cia en el diseno de maquinas. Los metales se hacen mas resistentes por medio de aleaciones y tratamientos mecanicos y termicos; ademas de que generalmente son ductiles. Las aleaciones de alta resistencia, como un resorfe de acero, pueden tener ductilidades tan bajas como 2% o un pobre porcentaje de alargamiento de 2 % ; pero esto resulta suficiente para asegurar que el material se deformara antes de fallar. Sin embargo, algunas partes fundidas pueden presentar una ductilidad muy baja. Ya que los metales son ductiles, con frecuencia se usan en circunstancias donde se aplica una carga ciclica ( para mas information acerca de esto , vease el capltulo 7 ), de manera que a menudo failan por fatiga y son resistentes a la corrosion. Los materiales ductiles, como el acero, pueden acomodar las concentraciones de los esfuerzos , deformandose en tal forma que redistribuyen la carga mas uniformemente; por lo tanto, se usan bajo cargas estaticas dentro de un peon 00 -viargen de su resistencia a la fluencia. '

CERAMICAS Y VIDRIOS Las ceramicas son compuestos de elementos metalicos y no metalicos, frecuentemente de oxidos, nitruros y carburos. Por ejemplo, el oxido de aluminio (tambien conocido como alumi na, carborando, o en su forma de un solo cristal, zafiro) es A1203. Los vidrios se componen, al igual que las ceramicas, de elementos metalicos y no metalicos ; pero los vidrios no tienen una estmctura cristalina clara. Un vidrio de sosa y cal comun se conforma aproximadamente de 70% en peso de bioxido de silicio (Si02) , el balance esta basado principalmente en sosa ( Na20) y cal (CaO). Tanto las ceramicas como los vidrios suelen ser mejores aislantes contra el paso de la electricidad y de la transmision del calor, y mas resistentes a altas temperaturas y medios ambientes hostiles que los metales y polimeros. Las ceramicas y los vidrios, al igual que los metales, tienen una alta densidad . Sin embargo, en vez de ser ductiles como estos (a temperatura ambiente) resultan fragiles. Ademas, son 15 veces mas resistentes a la compresion que a la tension . Las ceramicas y los vidrios no se pueden deformar y, por tanto, no son tan Versailles para disenar elementos de maquinas como los metales. A pesar de esto, presentan caracterfsticas atractivas. Son rfgidos, duros y resisten tes a la abrasion (de aqui que se empleen en cojinetes y para herramientas de corte ). Por esto deben considerarse como una clase importante de materiales de ingenieria para su empleo en los elementos de maquinas. i

i

Una pieza de ceramica se va a implantar en un anillo de acero inoxidable. La ceramica es circona estabilizada (Zr02) y el ajuste entre el acero inoxidable y esta es del tipo de prensado . medio a temperatura ambiente. Cuando la temperatura fluctua de temperatura ambiente a 500°C, la circona no se debeaflojar. HALUMl El tipo correcto de acero inoxidable que se debe usar de los que se proporcionan en el apen . . n dice A ( seccion A. l ). •

i

La labia A .3 (apendice A ) apunta que la circona tiene un coeliciente de expansion termica de 1 x 10 5/°C. Como la circona no se debe aflojar del acero cuando se incremente la temperatura un coeliciente de dilatacion termica ligeramente menor pero muy cercano al de la zirconia, es e ) deseado para el acero inoxidable . De la tabla A. l el acero inoxidable del tipo martensftico (A1SI 410) tiene un coeliciente de dilatacion termica de 0.99 x 10~7°C y, por lo tanto, sena el acero inoxidable el que se preferina. “

.

CAPITULO

3

MATERIALES SOUDOS

.

3.3 3 POLIMEROS Y ELASTOMEROS Los polimeros y ios elastomeros incluyen materiales plasticos y cauchos. Muchos polimeros son compuestos organicos basados quimicamente en carbono, hidrogeno y otros elementos no metaiicos. Ademas, tienen grandes estructuras moleculares. Los polimeros se dividen en dos tipos basicos: termoplasticos y termofraguados. En general los primeros son mas ductiles que los segundos y a temperaturas elevadas se suavizan significantemente y se funden. Los termofraguados son mas fragiles, no se suavizan tanto como aquellos y usualmente se descomponen quimicamente antes de fundirse. Los termoplasticos son moleculas de cadena larga, cuya resistencia se origina en la interferencia elitre cadenas, similar a la de una bbla de pelo (encontrada en el estomago de algunos animales). Los termofraguados se encuentran en una estructura de red, como la de una esponja. Los elastomeros tienen una estructura de red, pero no tan elaborada como la de los termofraguados, de manera que sufreri grandes deformaciones con cargas relativamente ligeras. Un elastomero comun es una liga de caucho, la cual presents las caractensticas tipicas de una gran deformacion elastics, pero fractura fragil . Ademas, las propiedades elasticas de las ligas de caucho son altamente no lineales. Los polimeros y los elastomeros son extremadamente flexibles con grandes deformaciones elasticas. Los polimeros son aproximadamente cinco veces menos den sos que los metales ; pero tienen una razon de res istend a/peso casi equivalente. Como los polimeros tienen una variacion muy lenta de una dimension o de una caractenstica por la accion del dempo o del uso (la deformacion permanente que depende del tiempo y ocurre por la accion de un esfuerzo) incluso a temperatura ambiente, un elemento de maquina de polfmero bajoTa accion de una carga, con el tiempo, adquiere un fraguado permanente. Las propiedades de los polimeros y de los elastomeros cambian enormemente con las variaciones de la temperatura: Por ejemplo, un polfmero que es resistente y flexible a 20°C puede ser fragil a la temperatura de 4°C de un refiigerador casero y, sin embargo, deformarse rapidamente a la temperatura del agua hirviendoa 100°C. Las propiedades mecanicas de los polimeros se especifican con muchos de los mismos parametros que se emplean para los metales (es decir, modulos de elasticidad y resistencias a la tension, de impacto y a la fadga). No obstante, los polimeros varfan mucho mas en resistencia, rigidez, etc., que los metales. Las razones principales de esta variacion son que, aun con los mismos constituyentes quimicos, dos polimeros pueden tenet diferentes longitudes de cadena y diferentes numeros de atomos pueclen estar en un estado cristaiino respecto de uno en estado amorfo. Ademas , las caractensticas mecanicas de los polimeros. en su mayorfa, son su alta sensibilidad a la velocidad de la deformacion, la temperatura y a la naturaleza qufmica del medio ambiente (la presencia de agua, oxfgeno, solventes organicos, etc.). Por lo tanto, los valores particulares para las propiedades mecanicas de los polimeros se deberan usar con precaucion. Para la mayorfa de los materiales poiimericos la prueba simple de esfuerzo-deformacion unitaria sirve para caracterizar algunos de estos parametros. Los polimeros son tan resistentes por unidad de peso como los metales. Se forman facil mente: partes complicadas que reaiizan varias funciones se moldean a partir de un polfmero en una sola operacion. Sin embargo, las operaciones del moldeo por inyeccion son costosas y solo se justifican para un gran volumen de produccion. Las grandes deformaciones elasticas permiten el diseho de componentes basados en polimeros ajustables a presion, volviendo el ensamble rapido y barato. Los polimeros resisten la corrosion y tienen bajos coeficientes de friccion. '

'

.

3.3 4 COMPUESTOS En la figura 3.3 se compara una variedad de materiales desde la perspectiva del diseno de peso minimo (es decir, una mayor relacion resistencia/densidacl conduce a un diseho mas ligero).

95

FUNDAMENTOS

Plomo

Epoxi

Aluminio puro 13 Ut

Madera

Acero

Nailon Grali to i

0

i

i

300 400 500 100 200 Razon de la resislencia a la densidad. N - m /kg

600 x

104

IFigwrea 3.3 Razon resislencia / densidad para varios materiales.

Los materiales fibrosos son mucho mas ligeros que las ban as convencionales extruidas, los plasticos moldeados y las ceramicas sinterizaclas. Sin embargo, los materiales fibrosos resultan notoriamente susceptibles a la corrosion, incluso del aire. Por ejemplo, las fibras de grafito se oxidan facilmente con el aire y no pueden proporcionar su excepcional resistencia por mucho tiempo en un ambiente de oxigeno. Muchas tecnologias modernas requieren elementos de maquinas de combinaciones inusuales con propiedades que no se pueden cumplir con las aleaciones metalicas convencionales, con las ceramicas ni con los materiales polimericos. Las tecnologias actuales requieren materiales solidos que tengan bajas densidades, que sean fuertes, rigidos y resistentes a la abrasion y al impacto, y que no se corroan facilmente. Esta combinacion de caracteristicas es bastante formidable, considerando que los materiales resistentes usualmente son relativamente densos y que el incremento de la rigidez por lo comiin disminuye la resistencia al impacto. Ademas, aunque las fibras presentan algunas de estas caracteristicas , se corroen '

facilmente . Los materiales compuestos combinan las atractivas propiedades de dos o mas clases de materiales al tiempo que evitan las desventajas. Un material compuesto se disena para presen tar una combinacion de las mejores caracteristicas de cada material components . Por ejemplo, un epoxi reforzado con grafito adquiere la resistencia de las fibras del grafito, mientras protege al grafito de la oxidacion. Tambien el epoxi ayuda a soportar los esfuerzos cortantes y proporciona dureza. Los tres tipos principales de materiales compuestos son :

1. Part feu las reforzaclas: tienen aproximadamente las mis mas dimensiones en todas las direcciones en una matriz, como el concreto. 2.

Fibra discontinue reforzada: son fibras de razon longitud-diametro limitada en una matriz , como la fibra de vidrio.

3.

Fibra continue reforzada: son fibras continuas construidas en una parte en capas, como en las raquetas de tennis de grafito.

En la figura 3.4 aparece una seccion transversal de un material compuesto reforzado con fibra, donde se supone que las fibras son relativamente largas en relacion con su diametro. La

CAPITQJIL0

3

MATERIALES SOLIDOS

##g

00

Fibra

FSejur ® 3.4 Seccion transversal de material compuesto reforzado con

un

fibra.

mayoaa de tales compuestos contienen fibras de vidrio o de carbono y una matriz polimera. Estos compuestos no se pueden usar con temperaturas de mas de 250°C porque el poKmero se suaviza; pero a temperatura ambiente su rendimiento es extraordinaoo. Otras desventajas de utilizar compuestos en los elementos de maquinas son que elevan considerabiemente el precio del componente y que son relativamente diftciles de formal y unir. Los materiales compuestos tienen muchas caracteiisticas diferentes de las otras tres clases de materiales . Los metales, los polimeros y las ceramicas son materiales homogeneos (sus propiedades no son una funcion de posicion en el solido), isotropicos (sus propiedades son iguales en todas las direcciones en un punto dado en el solido) o anisotropicos (sus propiedades son diferentes en todas las direcciones en un punto en el solido) , mientras que los materiales compuestos son ortotropicos y no homogeneos. Un material ortotropico tiene propiedades diferentes en tres direcciones mutuamente perpendiculares en un punto en el solido , pero presenta tres pianos mutuamente perpendiculares de simetrfa del material. Este libro se limita al tenia de materiales compuestos simples, unidireccionales y compuestos ortotropicos reforzados con fibra, como el de la figura 3.4. La longitud de la fibra es un parametro importante en los materiales compuestos reforzados con fibra. Para lograr un refuerzo y una rigidez efectivas del material compuesto se necesita una longitud critics de la fibra. La longitud crftica lzt de la fibra depende del diametro de la fibra cl de su resistencia a la rotura S„ y de la resistencia de adherencia fibra-matriz y, de acuerdo con *

S„d

L = 2z

C 3.2|

f

El numero 2 se incluye en la ecuaciftn (3.2) porque la fibra esta embebida en la matriz y se divide en dos partes en el momento de la falla. Para una cierta variedad de compuestos reforzados con fibras de vidrio y carbono, esta longitud critica tiene cerca de 1 mm , 20 a 150 veces el diametro de la fibra.

Un plastico reforzado con fibra contiene fibras de carbono con una resistencia a la rotura de 1 GPa y un modulo de elasticidad de 150 GPa. Las fibras tienen 3 mm de longitud y un diametro de 30 mm . HMUkSI Que tan fnerte debe ser la adherencia fibra-matriz para garantizar seguridad de la resisten cia a la rotura.

^

Ife«pfo 3^4

FUNDAMENTOS

s

..

De la ecuacion (3.2 ) la resislencia de la adberencia fibra-matriz se puede expresar como

_ Sud _ 109 "

2/cr

(30)( l 0

2(3)( J 0

3

"

_

fi

)

5 000 000 Pa = 5 MPa ) =

La resistericia de la adherencia fibra - matriz requiere ser mayor de 5 MPa.

-

3.4 :DSAGSAMAS ESFUERZO ' DEFOEMACION UNITARIA El diagrama esfuerzo-d eformacidn unitaria es importante en el diseno de elementos de maquinas pues proporciona information acerca de la resistencia del material sin considerar su tamano ffsico ni su forma. Cada material se estudiara por separado debido a que los diagramas de esfuerzo-deformacion unitaria difieren considerablemente para las diferentes clases, las cuales se anaiizaron en secciones previas. La exception es que un diagrama esfuerzo-deformacion unitaria para materiales compuestos no se presentara debido a las naturalezas diversas de dichos materiales.

3.4*1

.- :

METALES

En la figura 3.5 se presenta el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria para un material ductil. Aunque el esfuerzo que se muestra en la figura es de tension , los diagramas esfuerzodeformacion unitaria para los metales son esencialmente iguales a la compresion y a la tension. Esta caractenstica no resulta v &lida cuando se trata con polfmeros y ceramicas . La figura 3.6 aclara lo que sucede cerca del esfuerzo de fluencia. Varios de los puntos que aparecen en las figuras 3.5 y 3.6 necesitan describirse:

Limite proporcional ( punto P): esfuerzo en el cual la curva esfuerzo-deformacion unita-

1.

ria se desvia de una imea recta (o el limite de la teona lineal -elastica, conocida de otra forma como ley de Hooke).

2.

Limite elastico ( punto E): esfuerzo maximo al que se somete el material y aun regresa exactamente a su longitud original cuando se descarga.

u

.

5

\

RJx II

<3

5- y o N -.

L

eo

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p

I, }

Li

r

^

Pencil elite. E - v

0 I 0' 1 ~ i r 0.002

Deformacion unitaria ,

=

Diagrama esfuerzo- deformacion

Pigwra unitaria de un metal ductil. 3 5 «

£

~

/

S&PSTSJL© 3

©

MATERIALES SOLIDOS

Elastico I Plastico

Sv

ID O N >-

5 C tyi X

0

ell Ie ar re y ll er: •

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Ll ! lo

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=

5•

*

-

;

/

Figyrsa 3.6 Comportamiento

-

3.

Resistencia de fluencia ( punto Y ): esfuerzo en el cual se presents primero una deforma cion significativa. Si la carga se remueve despues de la fluencia hasta el punto Y, el espe cimen presents un alargamiento permanente de 0.2%.

4.

Resistencia de rotura ( punto U ): esfuerzo maximo alcanzado en el diagrams de esfuer zo-deformacion unitaria.

5.

Esfuerzo de fractura (punto R ): esfuerzo al tiempo de fractura o ruptura. Para algunos materiales el esfuerzo de rotura es mayor que el esfuerzo de fractura.

ar

ar

Deformation unitaria, 0.002

esfuerzo-deformacion unitaria caracteristico de un material ductil que muestra las deformaciones elastica y plastica y la resistencia a la fluencia Sr

lit

!e st<

!

-

Note que el lunite elastico (punto E) no se muestra en lafigura 3.5, pero si en la 3.6 y define lo que sucede cerca del punto de demarcation elastico-plastico. El verdadero esfuerzo de fluencia es dificil de determinar experimentalmente. Una solution consiste en usar una deformation unitaria pequena, por lo comun 0.2%, y dibujar una linea recta con su pendiente igual al modu lo de Young initial del experimento . El punto doncle esta linea intersec a a la curva esfuerzodeformacion unitaria se conoce como el punto de fluencia de desviacion del 0.2 %. En ambas figuras la resistencia a la fluencia Sv se determina por una deformation unitaria de 0.002. Es decir, en la figura 3.6, la distancia entre 0 y 0 ' es 0.002 con lo que se obtiene la deformation t permanente. La carga ocurre a lo largo de 0PEY; y la clescarga, a lo largo de Y0 La portion de la deformation unitaria de las figuras 3.5 y 3.6 se puede dividir eri comportamiento elastico y plastico. El punto de demarcation es el punto E, el Kmite elastico. Tres fenomenos diferentes ocurren en el comportamiento plastico: *.

1.

•

Fluencia: Un ligero incremento del esfuerzo sobre el Ifmite elastico ( punto E) rompera al material y causara que se deforme permanente me nte (deformation plastica ). Para un es fuerzo iigeramente mayor que el esfuerzo de fluencia el especimen continiia alargandose

-

99

FUNDAMENTOS

Magnesio

Accra

Wi . V

.

3 $ Resistencia a la flexion de la barra

del ejemplo 3.6 .

HAULJI& La barra es mas resistente cuando el acero se encuentra en la base (como aparece en la figura 3.9 ) o en la parte de arriba ?

^

De la tabla A. l para el acero AISI 1080

-

Ex 207 GPa

Syx = 380 MPa

y Sm = 6 ) 5 MPa

De la tabla A.3 para el magnesio

Em = 207 GPa

y S ,im ~ 105 MPa

Una caracterfstica importante de las ceramicas es que son 15 veces mas resistentes a la compresion que a la tension , mientras que los aceros tienen el mismo esfuerzo de fluencia a la compresion y a la tension . En la figura 3.9 el miembro superior esta sujeto a un esfuerzo de compresion mientras que el inferior esta sujeto a un esfuerzo de tension. De esta forma, para el acero en la parte inferior y el magnesio en la parte superior, como se observa en la figura 3.9, el magnesio esta en compresion con una resistencia a la compresion de (15)(105)(106) = 1 575 MPa , y es mncho mas resistente que el acero, el cuai se encuentra en tension con una resistencia de 380 MPa. Si el magnesio estuViera en ia parte de abajo en vez de arriba, se encontraria en tension con una resistencia de 105 MPa y de esta forma serf a mas clebil que el acero, el cual estarfa en compresion con una resistencia de 380 MPa. Si se consideran los numeros menores de las dos combinaciones de la barra ( puesto que es donde esta fallara), se tiene que la barra presenta cerca de 380 / 105 = 3.642 veces mas resistencia cuando el acero esta en la base, segifn se observe en la figura 3.9.

't&S' a

4.3 POLIMEROS

Las tecnicas de prueba y las configuraciones de los especimenes que . se usan para desarrollar los diagramas de esfuerzo-deformacion unitaria para los metales se deben modificar para los polfmeros, especialmente respecto a materiales altamente elasticos, como los cauchos. Adenitis. ayuda distinguir entre los materiales termoplasticos y los termofraguados. Estos por lo comu n tienen poca deformation plastica, de manera que sus diagramas de esfuerzo-deform a cion unitaria en tension son en esencia igtiales al que se muestra en la figura 3.8. Los termoplasticos se eomportan de manera muy diferente. En la figura 3.10 se presenta un diagrama esfuerzo-deformacion unitaria de un polimero termoplastico por debajo, en y por arriba de la temperatura de transition del vidrio. Tal temperatura, Ts , es aquella a la cual , despues del enfriamiento, un polimero se transforma de un lfquido superenfriado a un soiido. Para T«T el diagrama esfuerzo-deformacion unitaria muestra que el polimero se fractura

^

CAPifUL®

3

MATEKIALES SOLIDOS

j Pragil ( 7 « Tg ) ’

Plasticidad iimitada

\

(T ~

0.8 Tg )

b

a <2

2

[

Estiramiento extensive en frfo

5,

( T « Tg )

/

FI it jo viscose ( T » Tg ) 0.0 [ Deformacion unitaria , e

= —I

Segypsa 3,10 Diagrama esfuerzo- deformacion unitaria de un polimero por debajo, en y por arriba de su temperatura de transicion del vidrio Fg.

^

despues de sufrir deformaciones relativamente pequenas. Para T « Tq el plastico experimenta deformaciones unitarias enormes. Los elastomeros, al igual que Ios polimeros termofraguados, son fragiles pero soportan grandes deformaciones antes de la fractura (como se puede observar con una banda de caucho). Los elastomeros son elasticos, pero altamente no lineales . En la resistencia a la fiuencia Sy el diagrama esfuerzo-deformacion unitaria se vuelve de manera notable no lineal cuando dene normalmente una deformacion de 0.01, segun se indica en la figura 3.10. Esta no linealidad puede causarse por fiuencia cortdnte o deslizamieoto irreversible de cadenas moleculares, o por agrietamiento o form acid n de voliimeneSde baja densidad, como las grietas que dispersan la luz y provocan que el polimero parezea bianco. Los polimeros son ligeramente mas resistentes (-20 %) en compresion que en tension. Por ultimo, la deformacion presentada para T«Tg es totalmente elastica. Estos diagramas esfuerzo-deformacion unitaria para metales, polimeros y ceramicas revelan las caracterfsticas siguientes de la resistencia a la rotura Stl y la resistencia a la fiuencia Sy de los niateriales:

!

1.

Para solidos fragiles (ceramicas, vidrios y polimeros fragiles), la resistencia a la rotura es igual a la resistencia a la fiuencia ( S„ - S } ).

2.

Pam metales, polimeros ductiles y la mayoria de los materiales edmpuestos, la resistencia a la rotura es mayor que la resistencia a la fiuencia por un factor de l.1 a 4. La razon de esto consiste principalmente en el trabajo de endurecimiento o, en el caso de los materiales compuestos, en la transferencia de carga al refuerzo .

Estas representan observaciones importantes que se deben tener en cuenta cuando se seleccionan materiales solidos. i

MTOS Una taza de plastico esta hecha de polimetilmetacrilato. El alargamiento a temperatura am bienle en el pun to de rompimiento es 5 % y la temperatura de transicion del vidrio es 90°C. La taza se esteriliza al lavarse con vapor supercalentado a 100°C a alta presion , eslorzando el plastico a 30 MPa. HAULAH Se puede esperar que la taza mantenga su forma durante el iavado?

^

Como la temperatura de iavado es 10°C arriba de la temperatura de transicion del vidrio, ei plastico se deformara mas de 5% ( vease la figura 3.10). El esfuerzo es aproximadamenle la mi tad de la resistencia. a la rotura a temperatura ambiente. Por lo Canto , se puede concluir que la taza se deformara durante el Iavado.

103

FUNDAMENTOS

1

PA

3 5 PROPIEDADES BE LOS MATERIALES SOLIDOS ®

En esta seccion se definen las diversas propiedades de ingeniena de los materiales solidos necesarias en la seleccion de los materiales adecuados para los elementos de maquinas. Quiza estas propiedades no resulten importantes para cada eiemento de maquina de los incluidos en los capitulos 9 19; pero si para la amplia gama de aplicaciones de los diferentes elementos de maquinas. Para cada propiedad, se presentan los comportamientos reiativos de las clases de materiales, ademas de los comportamientos reiativos de los diversos materiales dentro de una clase especffica. “

iiSSi

»KS

W

i

DENSIDAD

La densidad se puede ver como la masa por unidad de volumen. El kilogramo por metro cubico es la unidad del SI para la densidad. En el sistema ingles, la densidad se da en librasmasa por pulgada ciibica. Las densidades c-omunes de los materiales solidos se situan entre 103 y 104 kg/m3. En la figura 3.11 se ilustra la variacion de las densidades de varios metales, polimeros y ceramicas. Los metales, como el plomo , el cobre y el acero, tienen la densidad de

!

104

;

Metales

Ceramicas

Polfmeros

AceiQvS

Hierro fundido Aleactones',L Hierfo

1

A

I :sintetizado !

:

Alumina

so

i 1

CL

Aidtriinibiesland

Ni tmro ,y -

AlitmiriiC;

Oafburo - l S. de.silicio

^

OJ

C

^

Ma iSio;

^^^^g

Cauclid

^

silicdnicb

Acetal

^% ’

:

jde® | pteri | Nailon A;,, '/., : '

Gaucho iiatural :i?dtfeuleho '

I 03

8 x 102 (

Figure 3.11 Densidad de varios metales, poiimeros y ceramicas a femperaiura ambiente ( 20DC; 68°F ). [ Tornado del arKculo de informacion ESDU num. 84041 (1984). ]

CAPITULO 3

©

MATERIALES SOLIDOS

T«tfol «s 3 « 1 Densidad de varios metales, polimeros y ceramicas a temperatura ambienie ( 20°C; 68°F). [ Tomada del articulo de informadon ESDU num. 84041 ( 1984) .] Densidad, p lbni/Pulg* kg/m 3

Material

Metales Aceros* Aleactones de magnesio Aleaciones de zinc Aluminio estano Aluminio y sus aleaciones1’

Babbitt, metal bianco con base de estano Babbitt, metal bianco con base de plomo Bronee aluminio Bronce con plomo Bronce fosforo ( fundido)c Bronce poroso Cobre Cobre plomo

Hierro forjado

Hierro fundido Hierro poroso

La tones

7.8 x 103

. 28

.065

1.8 x 103 6.7 x 103 3.1 x 10s 2.7 x 103 7.4 x 103 10.1 x 10’ 7.5 x 103 8.9 . x 10s 8.7 x 103 6.4 x 103 8.9 x JO3 9.5 x 103 7.8 x 103 7.4 x JO3 6.1 x 103 8.6 x 103

. 24

. 11 0.097 . 27 .36 . 27

.32 .31 .23 .32 .34 .28 .27 .22 .31

Polimeros Acetal (poliformaldehfdo)

Caucbo natural Caucho silicona Fenol fomialdehido Nation (poliamidas ) Polietileno, alta densidad

1.4 x HP 1.0 x 10s

.051

1.8 x l 03

.065 .047

.036

1.3 x lO3 1.14 x 10s .95 x 103

.041 .034

Ceramicas

Alumina ( ALO? ) Carburo de silicio (SiC) Grail to de alta resistencia Nitruro de silicio (Si N4)

^

u

3.9 x 10s 2.9 x J O3 1.7 x 103 3.2 x 10s .

.14

.10 .

.06! ,12

Exciuyendo aceros "refractarios".

*’ Aleaciones estructuraies. Barra esfandar, comunmente 8.8 x IQ3 kg / m3 (0.03 Ibm/pulg3 ) . Caucho "mecanico".

L'

l!

masa mas alta. Los polimeros, como el nation , el caucbo natural y el polietileno, presentan las densidades de masa mas bajas. En la tabla 3.1 se proporcionan ios valores cuantitativos de la densidad a temperatura ambiente (20°C). Los metales son densos porque estan formados por atomos pesados con un empaque eficiente. Las ceramicas, en su mayoria, tienen densidades mas bajas que los metales debido a

105

FUNDAMENTOS

que contienen oxigeno, nitrogeno y atomos de carbono, los cuales son ligeros; pero tambien estan empacados eficientemente. Los polimeros tienen densidades bajas porque estan hechos principalmente de carbono (peso atomico, 12) e hidrogeno y nunca son totalmente cristalinos. Por ello existe una gran cantidad de “ espacio desperdiciado” en un poiimero. Las aieaciones cambian la densidad de los metales solo ligeramente. Para obtener una primera aproximacion de la densidad mayor de una aleacion (solido metalico que resulta de la disolucion de dos o mas metales fundiclos para formal otro de diferentes caracteristicas) se determina por ia regia de las mezclas (es decir, por una interpolation lineal entre las densidades de las concentraciones de las aieaciones). La regia de las mezclas tambien se aplica a los material es compuestos. '

.

3.5 2

MODULOS DE ELASTICIDAD, RAZON DE POISSON Y MODULO DE CORTANTE

El modulo de elasticidad (algunas veces llamado la constante elastica o modulo de Young) se define como la pendiente de la parte lineal-elastica de la curva esfuerzo-deformacion unitaria. En la figura 3.6 la portion lineal de la curva esfuerzo-deformacion unitaria se encuentra entre el origen y el punto P o esfuerzo menor que el esfuerzo en el lfmite proporcional. Recuerde la description del esfuerzo normal promedio en un estado uniaxial de esfuerzos en la ecuacion ( 2.6) y la deformation unitaria normal promedio en la ecuacion ( 2.33). El modulo de elasticidad se puede expresar como E=

CTprom

e prom

Recuerde que e ) esfuerzo actua axial o normalmente. La unidad del SI del modulo de elasticidad es la del esfuerzo, especfficamente, pascales o newtons por metro cuadrado. En la figura 3.12 se proporcionan los valores del modulo de elasticidad para metales, polimeros y ceramicas a temperatura ambiente ( 20°C). Los modulos de elasticidad para los metales y las ceramicas son altos y muy similares; pero aquellos para los polimeros resultan bastante menores. En la tabla 3.2 se proporcionan los valores cuantitativos de los modulos de elasticidad , respectivamente, para metales, polimeros y ceramicas a temperatura ambiente. Note que en la tabla 3.2 el modulo de elasticidad se da en gigapascales y millones de libras por pulgada cua drada.

Los modulos de elasticidad de la may on a de los material es dependent de dos facto res: la rigidez de la adherencia y la densidad de la adherencia por unidad de area. La adherencia es como un resorte: tiene una razon de resorte k (en newtons por metro). El modulo de elasticidad E es, de forma aproximada,

£ = k/ r

(f

donde r

0

- tamano de atomo (este se obtiene del volumen atomico medio 47ir?/3, el cual generalmente se conoce)

El aniplio rango de modulos de elasticidad que se presenta en la figura 3.12 y en la tabla 3.2 se debe en gran parte a la variacion de k en los materiales. La adherencia covalente es rfgkla ( k 20 a 200 N/m); en tanto que las adherencias metalicas e ionicas de alguna manera son menos ngidas ( k = 15 a 100 N/ m ). El diamante, aunque no se muestra err ia figura 3.12 ni en la tabla 3.2, presenta un modulo de elasticidad muy alto pues ei atomo de carbono es pequeho (lo que resulta en una densidad de adherencia alta) y sus atomos estan eniazados por vinculos bastante

©

1012

Ceram icas

Polimeros

Metales

MATERIALES SOLIDOS

Carburos Alumina 10

“

.

Aceros Hierro Tundido Laton, bronce. .

:

Aiuramio Aleaciones

*

•

;v •

-

,**

:

"

*

L L/i-L Gniri (oV ;.: :. v

de zinc Aleaciones demagncstd Babbitts

10

.

>,V.

'° -J.

Penol

P*

*XJ4 S

%

'

Acetal

_o

3 «3

vWfa JO 9

O

-

-8 O

a

'O

10 s

;

;

WKm

Os

’

U

.

M

lill ^ : 107

mBx 106 Sgwrss 3.1% Modulo de elasticidad de varios metales, polimeros y ceramicas a ^temperature ambienfe ( 20°C; 68°F ) . [Tornado del articulo de informacion ESDU num. 84041 ( 1984 ) . ]

fuertes (200 N /m). Los metales tienen un modulo de elasticidad alto a consecuencia de $ u empaque cercano, ya que proporciona una densidad de adherencia alia y los vfnculos resultan fuertes, aunque no tanto como los del diamante. Los polimeros condenen vfnculos covalentes fuertes como los de los diamantes y vfnculos debiles de hidrogeno (o de Van der Waals) ( k ~ 0.5 a 2 N/m); estos ultimos se alargan cuando un polfmero se deforma y dan como resultado un modulo de elasticidad menor. Los elastomeros tienen un modulo de elasticidad bajo porque los vfnculos secundarios debiles se han fundido, dejando solo la muy debil fuerza de restauracion entrotopica, la cual se asocia con las maranas de moleculas de cadena larga cuando el material se carga . Aunque ningun esfuerzo actiia transversalmente en la direccion axial, existen sin embargo cambios dimensionales en la direccion transversal pues, como una barra, experimenta una

1 07

108

PARTE i

©

FUNDAMENTOS

fsaiblea 3» 5§ Modulo de elasticidad de varios meiales, polimeros y ceramiccis a temperatura ambiente ( 20°C; 68 ° F ) . [ Tomada del articulo de informcicion ESDU num. 84041 ( 1984 ) .] Modulo de elasticidad, E GPa Mpsi

Material Metales

Accra, aleaciones bajas

Acero, aleaciones medias y altas Acero de corte rapido Acero inoxidablea Aleaciones de aluminio11 Aleaciones de magnesio Aleaciones de zinc Aluminio Aluminio estaiio Babbitt , metal bianco con base de estaiio Babbitt, metal bianco con base de plomo Bronee aluminio Bronce con plomo Bronce fosforo Bronce poroso Cobre Hierro forjado Hierro fundido gris Hierro fundido maleable Hierro graft to esferoide ' Hierro poroso Latones 1'

1

28.4 " 29.0 30.7 . . 28.0 10.2 5.9 7.3

196 200 212 193 70

41 50 62 63 52 29

'

9.0 9.1 7.5 4.2 17.0 14.1 16.0

117

97 110

60 124

8.7 18.0 24.7

170 109 170 159 80 100

15.8 24.7 23.1 11.6 14.5

Polimeros Acetal (poliformaldehido ) Caucho natural6 Fenol formaldehfdor Nailon (poliamidas) Polietileno, alta densidad

2.7 .004 7.0 1.9 .9

.39

.0006 1.02 . 28 . 13

Cera micas Alumina ( AB03) Carburo de silicio (SiC) Carburets cementados Graf i to Nilruro de silicio (Si3N4)

56.6 65.3 65.3 3.9 45.5

390 450

450 27 314

Aleaciones endurecidas por precipifacion hasta 211 GPa ( 30 Mpsi ). Aleaciones estrudurales. c Algunas aleaciones hasia 96 GPa ( 14 Mpsi ). d Para cojinetes. e Caucho "mecanico" 25% negro de carbon . f Salurado. 11

11

carga axial y se extiende axialmente, y se contrae transversalmente. La deformacion unitaria promedio transversal 8, prom esta relacionada con la deformacion unitaria promedio axial 8 por la razon de Poisson v de tal forma que Bf.prcnn

V8 rt.prom

«3.4|

c&piim©

3

©

MATERIALES SOUOOS

¥eafeie§ 3o 3 Razon de Poisson de varios metaies, poiimeros y ceramicas a femperatura ambiente ( 20°C; 68° F ) . [Tornado de! articulo de informacion ESDU num . 84041 ( 1984 ) .]

Razon de Poisson, v

Materia!

Metaies

Aceros Aleaciones cle magnesio Aleaciones de zinc Aluminio estano Aluminio y sus aleacionesa Babbitt , metal bianco con base de estano Babbitt , metal bianco con base de plomo Bronce Bronce poroso Cobre Cobre plomo Hierro forjado Hierro fundido Hierro poroso Latones

.30

.33 .27 0.33

. 33 .22

.33

.30 .26 .20 .33

Poiimeros Acetal (poliformaldehfdo ) Caucho Fenol formaldehfdo Nailon (poliamidas) Polietiieno, alta densidad

.50

.40 .35

Ceramicas

Alumina ( A1203) Carburo de silicio (SiC ) Carburos cementados Grafito, alta resistencia Nitruro de silicio (Si:iN 4)

.28 .19 . 19

.26

I u Aleaciones esirucfurales. El signo negadvo significa solo que la deformacion transversal se presentara en el sentido opuesto a la deformacion axial. La razon de Poisson es adimensional. En la tabla 3.3 se proportional!valores cuantitativos de la razon de Poisson para metaies, poiimeros y ceramicas a tem peratura ambiente . La razon de Poisson mas alta es de 0.5 para el caucho, y la mas baja es de 0.19 para el. carburo de silicio y carburos cementados. De hecho, la razon de Poisson no puede ser menor que cero (de otra manera se violaria la segunda ley de la termodinamica), ni puede exceder 0.5 (si no el volumen de un material se incrernentana cuando se comprimiera). El esfuerzo cortante y la deformacion unitaria son proporcionales uno respecto del otro, por medio de la expresion “

X prom

*

« 3.5 »

donde G = modulo de cortante 6 modulo de rigidez, N/m2 Esta relacion results valida solo para la region lineal-elastica de la curva esfuerzo cortantedeformacion unitaria (de 0 a P en la figura 3.6). La unidad de G es la misma que para el modulo de elasticidad E debido a que y se mide en radianes. una canddad adimensional.

109

FlfNDA MENTOS

Las tres propiedades cle los materiales E , G y v estan relacionadas por la ecuacion siguiente: G=

E 2(1 + v )

De esta forma, cuando se conocen dos parametros, eltercero se puede determinar facilmente por medio de la ecuacion (3.6). Es deck; si para un material en particular el modulo de elasticidad se obtiene de la tabla 3.1 y la razon de Poisson de la tabla 3.3, el modulo de cortante se obtiene de la ecuacion (3.6). El analisis que se ha presentado hasta este punto de la seccion (3.5.2) resulta valiclo para metales, polimeros y ceramicas. Si se desea establecer el modulo de elasticidad de un material compuesto reforzado con fibra unidireccionalmente en direction de las fibras , se supone que la adherencia interfacial libra- matriz es adecuada, de manera que la deformacion tanto de la matriz como de las fibras es la misma. En estas condiciones la carga total sostenida por el material compuesto Pc es igual a las cargas que soportan la matriz Pm y la fibra /L/ como ’

Pc = Pm + Pf donde los subfndices c, m y /se refieren al material compuesto, la matriz y la fibra, respect!vamente. Sustituyendo la ecuacion (3.7 ) en la ecuacion ( 2.7 ) (definition de esfuerzo), se obtiene

O’ c , prom ~ a w. prom

4„ + 0 ,prora—Af / 4

Si el material compuesto, la matriz y las longitudes de la fibra son iguales, la ecuacion ( 3.8) se transforma en

.

Oc prom

O /H.prom

^m H

"

CT/‘,prom Ey

donde

v r - fraccion del volumen de la matriz vrs - fraccion del volumen de la fibra //

Como se supuso la misma deformacion de la matriz y de las fibras. y el material compuesto consiste en solo la matriz y las fibras (es deciivv,,, + vf - 1), la ecuacion (3.9) se puede volver a expresar en terminos del modulo de elasticidad, en vez del esfuerzo, como

4 = Emv,„ + E f V f o

Ec = E,„{ 1 - vf ) + Ef vf De esta forma, la ecuacion (3.11) permite determinar el modulo de elasticidad del material compuesto, cuando se conoce los modulos de elasticidad de la matriz y de la fibra y las fracciones del volumen de cada uno. Tambien se puede demostrar que la razon de la carga que las .. * fibras soportan respecto a la que la matriz soporta es •

«

P/ p * m

„

Efvf E v

•

i

•

CAPWJIO 3

MATERIALES SOLIDOS

Recuerde que las ecuaciones (3.7) a la (3.12) son aplicables solo para materiales compuestos reforzados con fibra unidireccionalmente.

E5ATOS Un plastico reforzado con fibra contiene 10 % vol . de fibras de vidrio ( E = 70 GPa , S „= 0.7 GPa ). W &lUkVi Calcule como este porcentaje de fibras dene que cambiar para dar las mismas propiedades elasticas si las fibras de vidrio se cambian por fibras de carbono ( E 150 GPa, Su = 1 GPa). Para el material matrix Em = 2 GPa.

=

De acuerdo con la ecuacion (3.10) el modulo de elasticidad para un material compuesto con fibras es

Ec = E,„vnt + E f V f donde

Em - modulo de elasticidad del material de la matrix, el cual tiene una fraccion de volumeri vm Ef ~ modulo de elasticidad del material de la fibra, el cual tiene una fraccion de volumen v/

Ec = 2 x 109 x 0.9 + 70 x 109 x 0.1 = 8.8 x 109 Pa = 8.8 GPa Este modulo de elasticidad del material compuesto tambicn se debe mahtener para el plastico reforzado con carbono.

8.8 x lO9 = 2 xl 09 XA + 150 x 109 (l ~ x) *

148.x = 141.2

x = 0.954 o

1- x

= 0.046

De esta forma, el plastico debe contener 4.6% vol . de fibras de carbono y 95.4% vol . de material matrix para obtener las mismas propiedades elasticas que el plastico reforzado con fibra de vidrio .

3* 5.3 RESISTENCIA La resistencia de un elemento de maquinas depende de la clase, tratamiento y geometna del especimen, y tambien del tipo de carga que el elemento de maquinas experimente. Eh esta seccion se analiza la resistencia cle las diversas clases de materiales y despues se estudia el tipo de carga. Los diferentes tipos de carga que un material experimenta son importantes. El diseno se relaciona con los esfuerzos permisibles, o con el valor reducido de la resistencia . El esfuerzo normal permisible aporm y el esfuerzo cortante permisible Tpcrm para metales fen osos y no ferrosos con varios tipos de carga se puedenrepresentar como *

Tension:

QA5 Sy

a pom < 0.60 Sy

Cortante:

T' jjenn

Flexion :

0.605v < CJjjcnn

Soporte:

“

O' perm —

0.405

^

0.755y

0.9 Sy

{ 3 . 1 3) {3 . 1 4 )

{3 . 1 5)

( 3 . 1 6)

111

FUNDAMENTOS

PARTE 1

Estas relaciones tambien se aplican a los polfmeros y a las ceramicas si la resistencia a la rotura en la resistencia al rompimiento y a la fractura, respectivamente, se sustituyen por la resistencia a la fluencia en las ecuaciones (3.13) a ( 3.16) . De la seccion 1.5.1.1 se debe recordar que otros factores ademas de la carga se incorporan en el factor de seguridad. 3.5. 3.1 Mi¥ALE$ LOS metales se clividen en aleaciones ferrosas y no ferrosas. Las pri-

meras son aquellas donde el hierro es el componente primario; pero el carbono asi como otros elementos de aleacion estan presentes. Las segundas son las que no est&n basadas en el hierro.

La resistencia de los metales esta directamente relacionada con la resistencia a la fluencia del material. La resistencia a la fluencia Svse determina por 0.002 de la deformacion unitaria despues de la descarga ( vease la figura 3.6). La resistencia de los metales es esencialmente igual a la compresion que a la tension . En las tablas A . 1 y A . 2 se muestran las resistencias a la fluencia de metales ferrosos y no ferrosos, respectivamente. 3.B.3.2 PO&IMEROS La resistencia de los polfmeros se determina por una deformacion unitaria total de 0.010, en oposicion a la deformacion unitaria plastica no recuperable de 0.002 de los metales. Tambien, cuando se trata con polfmeros la resistencia de interes es la resistencia a la rotura en el rompimiento, en vez de la resistencia a la fluencia para los metales . Las resistencias a la tension en el rompimiento para ciertos polfmeros termoplasticos y termofraguados se proporcionan en la tabla A.4. La otra caracteristica unica de los polfmeros es que son mas resistentes ( 20% ) a la compresion que a la tension .

-

3.5 o 3 <. 3 CSRAMICAS La resistencia interesante de las ceramicas es a la fractura. Las ceramicas, como son materiales fragiles, resultan muclio mas resistentes a la compresion (generalmente 15 veces) que a la tension . En la tabla A.3 se proporciona la resistencia a la fractura por tension para materiales ceramicos seleccionados.

PJfcTOi Para la distribucion de la presion de contacto entre una esfera y una superficie plana , H. Hertz calculo, en 1881 , que la presion de contacto maxima en medio del area de contacto era aproximadamente 10 veces mayor que el esfuerzo de tension maximo en la orilla del area de contacto. Cuando una bola de acero se deja caer sobre una placa gruesa de vidrio, se forma una grieta circular, cuyo tamafio es aproximadamente igual al tamano de contacto hertziano maximo. HALUR Cuanto resiste el vidrio mas en compresion que en tension ?

^

Como el vidrio no es aplastado por la alta presion de contacto sino por el esfuerzo de tension , se coricluye que la resistencia a la compresion del vidrio es al menos 10 veces mayor que su resistencia a la tension .

RESILIENCIA Y TENACIDAD RESHUERCBA La resiliencia es la capacidad de un material para absorber energfa cuando se deforma elasticainente y, luego, despues de la .descarga, para liberar esta energfa. El modulo de resiliencia LJr es la energfa de deformacion unitaria por unidad de volumen que se requiere para esforzar un material de un estado sin carga al punto de fluencia. Matematicainen te, esto se expresa como

Ur = f0’ od£ donde

Bv - deformacion unitaria correspondiente a la resistencia a la fluencia Sv

CAPlTULO

3

MATERIALES SOLIDOS

Para la region lineal-elastica el area bajo el diagrams cle esfuerzo-deformacion uiiitaria es el modulo de resiliencia o

Ur = S,e,/ 2

( 3.18)

La unidad del SI del modulo de resiliencia se da en pascales ( Pa). Utilizando la ecuacion (3.3) y excluyendo el submdice “ promedio” se obtiene la ecuacion ( 3.18) como

Ur = S ; / 2 E

*3.1*|

De esta forma, los materiales resilientes tienen altas resistencias a la fluencia y bajos modulos de elasdcidad . Un ejemplo de material con un modulo de resiliencia alto es el acero al alto carbono. En la tabla A. l se muestra que la resistencia a la fluencia para el acero al alto carbono resulta mayor cuando el modulo de elasticidad es alto; pero la diferencia entre los valores mayor y menor es pequena. Asi, los aceros al alto carbono tienen un modulo de resiliencia alto. Esta propiedad es muy util en la selection de un material para resortes ( vease capftulo 16) , pues hace de las aleaciones de acero al alto carbono materiales adecuados para la fabrication de resortes.

..

3 S 4.2 . TENACBBAD La tenacidad es la habilidad de un material para absorber energia hasta el punto de fractura. La geometria del especimen y la manera de la aplicacion de la carga son importantes en la determination de la tenacidad de un material. La tenacidad a la fractura indica la resistencia de un material a la fractura cuando se presenta una grieta. Para la situation estatica ( razon de deformation unitaria baja), la tenacidad se obtiene de la curva esfuerzo-deformacion unitaria (por ejemplo, vease la figura 3.5 ) hasta el punto de fractura o ruptura. La resiliencia es la energia de deformacion por unidad de volumen hasta la resistencia a la fluencia del material ( punto Y en la figura 3.5 ) ; mientras que la tenacidad es la energia por unidad volumen hasta la ruptura (punto R en la figura 3.5). La unidad de la tenacidad es la misma que la de la resiliencia ( pascales). Para que un material sea duro debe presentar tanto resistencia como ductilidad, y con frecuencia los materiales due tiles son mas tenaces que los materiales fragiles , como se demuestra en la figura 3.7. Aunque el material fragil tiene resistencias a la fluencia y a la rotura mas altas, debido a la falta de ductilidad, tiene una tenacidad menor que el material ductil. Es decir, el area de un material ductil (proporcionada como OB 'C ') es considerablemente mayor que el area de un material fragil ( proporcionada como OBC).

DMGS En una operation minera el mineral de hierro se vaefa en una tolva para su transportation future por tren . El interior de la tolva se desgasta rapido debido a que el impacto del mineral causa deformaciones plasticas en la superficie de la tolva. Se considers un cambio del material de superficie. i Ciuil es la election mas eficiente del material cle superheie de la tolva, acero duro o caucho?

La resiliencia de los dos materiales es un pardmetro clave que debe usarse en esta evaluacion. Para el acero al alto carbono (AISI 1080) de la tabla A. l se obtiene Sy

= 380 MPa

y

E = 207 GPa

De la ecuacion ( 3.19) el modulo de resiliencia para el acero es

( Ur )

iiccro

Sy 2E

2

~

(380) (1012 ) 2( 207) (109 )

= 348 800 Pa = 0.3488 MPa

113

03 PARTE 1

FUNDAMENTOS

Para el caucho natural de la tabla A.5 y de la ccuacion (3.4) , se obtiene

Su = 30 MPa

y

£ = 0.004 GPa

_ (30) ( l 012 ) 2

caucho

2( 4)(l

6

112.5(106 ) Pa = 112.5 MPa ) =

El caucho es mas resHiente que el acero pot mas de dos ordenes de magnitud. El caucho se deforma elasticamente por impaclo, mientras que el acero se deforma pldsticamente y de esta forma dene una rapidez de desgaste mayor. El interior de la tolva debe tener un recubrimiento de caucho. *

.

3 S•5 CONDUCTIYIDAD TERMICA La razon a la cual el calor se transmite a traves de un solido en un estado uniforme (lo que significa que la temperatura no varia con el tiempo), es una medida de la concluctividad termica Kr Cuando dos cuerpos a diferentes temperaturas entran en contacto, las moleculas con movimiento mas rapido del cuerpo mas caliente chocan contra las moleculas con movimiento mas lento del cuerpo mas frfo, y les transfieren algo de su movimiento. El cuerpo mas caliente pierde energfa ( baja su temperatura), mientras que el mas frio gana energfa (eleva su temperatura). El proceso de transferencia termina cuando los dos cuerpos alcanzan la misma temperatura. Esta transferencia de movimiento molecular a traves de un material se llama conduction de calor. Los materiales difieren en la rapidez con la que esta transferencia contL nua . La unidad del SI de la conductividad termica Kt es W /m-°C, y la unidad ingiesa es Btu / pie-hr-°F. En la figura 3.13 se ilustra la magnitud de la conductividad termica para varios metales , polfmeros y ceramicas. En general, los metales y las ceramicas son buenos conductores (alta Kf ) y los polfmeros son buenos aisiantes ( baja AT,). En la tabla 3.4 se cnantifican los resultados de la conductividad termica que se proporcionan en la figura 3.13. En la figura 3.13 y en la tabla 3.4, a raenos que se indique de otra manera, se asume la temperatura ambiente (20°C ; 68°F).

..

3 S 6 COEFICIENTE DE DILATACION TERMICA LINEAL Materiales diferentes se expanden a razones diferentes cuando se calientan. Un objeto solido se alarga una fraccion por cada grado de incremento en la temperatura. Esta razon es constante en un gran rango de temperaturas y, una vez medida, sirve para determinar cuanto se expandira un objeto por un cambio en la temperatura. Esta razon esta determinada para cada material por un mimero llamado expansividad lineal o coeficiente de dilatacion termica li neal CL La unidad del SI de a es (°C) i ; la unidad ingiesa es (°F) i . Si el material es isotropico, la expansion del volumen por grado es 3 a . En la figura 3.14 se ilustran las magnitudes del coeficiente de dilatacion termica lineal para varios metales, polfmeros y ceramicas, apiicadas sobre el rango de temperatura de 20 a 200°C (68 a 400°F) . Los polfmeros tienen la mas alta a , seguiclos por los metales y despues por las ceramicas . En la tabla 3.5 se proporcionan los vaiores cuantitativos de a para varios metales, polfmeros y ceramicas de 20 a 200°C (68 a

_

392°F).

_

e &pi?ui©

3

MATERIALES SOL1DOS

<9

Ceramicas

Polfmeros

Melaies

3 x 102 2

Aluminio : Cobre

;

baton

102

Alcaciones tie roagnesio

..

Hierro fiindido Bronce Aceros

vv

'' •

A

••

'

f LV /O :.

’

’

A

Alumina Aeero inoxiclable L:

U

o

.'.o J

.

I

^

10

o

_

p u

' "O

ra

>

3

'

o

-o

3 C

O



Gaucho natural

1

Poiietileno

Acetal, nation ;

nr 1 IFi«|&3r«s 3.13 Concluctividacl termica de varios metales, polimeros y ceramicas a temperatura ambienle ( 20°C; 68°F). [Tornado del articulo de informacion ESDU num. 84041 ( 1984) .]

.

3 . 5 7 C APACIDAD CALORIFIC A ESPECiFIC A La naturaleza de un materia) determina la cantidad de calor transferida a un cuerpo o de este, cuando su temperatura cambia por una cantidad deterniinada. Imagine un experimento en el cual una bola de hierro fundido y una bola de babbitt ( metal bianco basado en plomo) del mismo taniano se calientan a la temperatura de ebullicion del agua y, despues , se colocan sobre un bloque de cera. La bola de hierro fundido derretira una cantidad considerable de cera, pero la bola de babbitt, a pesar - de su masa mayor, diftcilmente derretira un poco. Por lo tan to, parecerfa que diferentes materiales, al enfriarse a Craves del mismo rango de temperaturas, transfieren diferentes cantidades de calor.

1i s

116

PASTE 1

©

FUNDAMENTOS

f«abl«a 3.4 Conductividad termica para varios metales, polimeros y ceramicas a temperature ambiente ( 20°C; o8°F). [Tomada del articuio de informacion ESDU num. 84041 ( 1984) . ] Conduct!vidad termica, Kt W/m -°C Btu/ft hr °F

- -

Material Metales

Acero, aleaciones bajas* Acero, aleaciones medias Acero inoxidable1' Aleaciones de magnesio Aleaciones de zinc Aleaciones de alum in io forjadoc Aleaciones de aluminio fundido*1 Aleaciones de aluminio silicioL Aluminio Aluminio estaiio Babbitt, metal bianco con base de estano Babbitt , metal bianco con base de metal Bronce aluminio'1 Bronce con plomo Bronce fosforo (fundido) r Bronce poroso ‘

Cobred Cob re plomo Hierro foijado Hierro fundido gris Hierro grafito esferoide

Hierro poroso Latonesd

35 30 15 110

20 17 8.7 64 64 87 84 98 120

no

151 146 170 209 180 56 24 50 47 50 30 170 30 70 50 30 2S 120

too 32 14 29 27 29 17 98 17

40 29 17 16 69

Polimeros Acetal ( po liformaldehfdo ) Caucho natural

Fenol formaldehfdo Nailon (poliamidas ) Polietileno, alta densidad

.24 1.6

. 14

.25

. 14

. 92

.5

. 29

Ceramicas

Alumina ( A1203)8 Carburo de siiicio (SiC ) Grafito alta resistencia Nitruro de siiicio (Si3N4 )

14 8.6 72

25 15 125

'

a

20 a 200°C . Tipicamenfe 22 W / m -^ C a 200JC . v 20 a 100 nC. 4 A 100aC. A 100°C ( 150 W/ m °C a 25"C ) . 69 W /m-°C . ‘ Barra normal, comunmente ’ Tipicamenle 1 2 W / m -°C a 400°C . 11

-

-

-

La cantidad de energia calonfica que proporciona o que recibe un cuerpo cuando cambia su temperatura es proporciona] a la masa del objeto , la cantidad que cambia su temperatura y un niimero caracterfstico liamado capacidad calorifica especitica del material del cuerpo: Q = Crm ( AT ) ((

{ 3.2 ®}

CJMim® 3

Me tales

2 x 1 CT 4

10

“

©

MATERIALS SOLIDOS

Ceramicas

Polimeros

-

Pm,et lr.ro

4

,

11

“ “ a“ "

s

o o la

,

s c,

K3

o

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cd

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'13

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2' r ,vro,

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13 CJ

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i« diiios

1)

o

igmmm

U

AW

,

“„„Sw „ 10

“

6

Figura 3,1 4 Coeficiente de dilatacion termica lineal de varios metales, polimeros y ceramicas aplicado sobre un rango de temperature de 20 a 200°C (68 a 392°F ) . [ Tornado del articulo de informacion ESDU num. 84041 ( 1984 ) . ]

.

.

donde A

Q - cantidad de calor, J

Cp ~ calor especrfico del material, J /( kg-°C) m

(i

= masa del cuerpo, kg

AT - cambio de temperatura, °C

En la figura 3.15 se ilustra la magnitud de la capacidad calorffica especifica para varios metales, polimeros y ceramicas a temperatura ambiente ( 20°C; 68°F). Los polimeros tienen un calor especifico considerabiemente mas alto que los metales o las ceramicas. En la tab!a 3.6 se cuantifica la informacion que se presenta en la figura 3.15.

117

FUNDAMENTOS

PARTS 1

TssibSsa 3.5 Coeficiente cle dilalacion termica lineal para varios metales, poltmeros y ceramicas a temperalura ambiente ( 20°C; 68°F). [Tomada del arliculo de informacion ESDU num. 84041 ( 1984).]

Coeficiente de dilatation termica lineal , a (° Fr! (°C)- i '

Material Metales

Acero, aleaciones' Acero aita velocidad Acero inoxidable Aleaciones de aluminio* Aleaci ones de magnesio Aleaciones de zinc 1

Aluminlo

6.1 x 10-6 6.1 x 10 6 9.6 x I 0-* 13.3 x 10-° 15 x IO 6 15 x 10-* 12.8 x 10 6 13.3 x 10 * 13 x 10* 11 x IQr6 10.0 x IQr6 10.0 x 10~6 10.0 x 10 "6 6.7 x IO 6 6.1 x 10-6 6.7 x 10 *

11 x J 0 i 11 x IQ-* (

'

17 x 10 6 24 x 10-f’ 27 x i 0-fl 27 x 10 6 23 x IO 6 24 x IO-6 23 x IO-6 20 x 10 * "

"

-

"

Alu min io estano Babbitt , metal bianco con base de estano Babbitt, metal bianco con base de plomo Bronces Cobre Cobre plomo Hierro forjado Hierro fundido Hierro poroso

Latones

“

18 x 10 6 IS x 10 6 18 x IQr6 12 x 10* ' “

"

_

1 i x 10 * 12 x IO 6 19 x IO 6 "

”

10.6 x 10-6

Pol micros Aceta L ( polif or maldehido) Caucho natural0 Caucho nitrilod Caucho silicona Fenol formaldehfdo* Nailon ( poliamidas) Polietileno alia densidad Termofraguados r Termoplasticos-

50 x IO-6

90 x 10 * -

(80-120 ) x 10 * 34 x 10-* 57 x IO 6 (25-40) x IO-6 too x io-6 -

’

126 x 10-6 ( 10-80) x I O'* (60-100) x IO-6

-

(44 67) x 10*

62 x 10-{ , 103 x 10-f ( 14-22 ) x !0 6 56 x IO 6 70 x IO 6 (6 44) x 10-* (33-56) x 10'* 1

"

"

"

—

Ceramica Alumina ( AJ 203) h Carburo de silicio (SiC ) Graft to, aka resistencia Nitmro de silicio (Si3N 4) -i

5.0 x 10* 4.3 x IQr6 1.4-4.0 x IO-6 3.2 x 10*

2.8 x 10* 2.4 x 10-* 0.8-2.2 x 10 6 1.8 x IO-6

,

Las aleaciones fundidas pueden ser hasta 15 x 10 6( c Cb 1 . Aleaciones esfrucfurales. Los reilenos pueden reducir los coefitientes. lt Varia con la composition. '

11

b L

L

Relleno de mineral.

_ 25 x 10*{ °C ) l hasta 80 x jO-6(°C) 1 cuando estan reforzados. " Materials tipicos para cojinetes. , 0 a 200°C. (

“

l

Del simple experimento dado al inieio de esta section y con ios valores en la tabla 3.6, la capaciclad calonfica especffica Cp del hierro fundido es 2.8 veces la del plomo babbitt. Bn la tabla 3.1 se muestra que el plomo babbitt tiene 1.4 veces la densidad del hierro fundido. Como la razon del calor especifico del hierro fundido es considerablemente mayor en relation con su

CAPhmo 3

Metales

©

MATERIALES SO LIDOS

1 19

Ceramicas

Pol micros

2.0

Caucho natural V

'

A

V:

1.8 :

r-

U

-

V

\

•

W&wm®.

( .6

t

bo

.

V

:•

it

Termoplasticos

1.4

d' CJ

o)

1.2

t

to

0J

a

o

§ o

1.0

o

M&griesio

AlwniifiiS

3 a

& u

Grafito

0.8

9;

Garburos , alumina 0.6

Acero

0.4

-

BieTf 6;ltfiidtdo Cobro sX -' Vv!

^

0.2

IFSsjursa 3.1 S Capacidad calonfica espedfica de varios metaies, polsmeros y ceramicas a lemperalura ambiente ( 20°C; 68°F). [Tornado del arhculo de informadon ESDU num. 84041 ( 1984).]

aiasa que la del babbitt , resulta claro el porque la bola de hierro fundido derrite una cantidad considerable de cera y la bola de babbitt dificilmente derrite un poco.

Un termo de acero en el que la bote!I a interior pesa 200 g se lien a con 500 g de agua hirvien do. La temperatura inicial del termo es de 20°C. La capacidad calonfica especiTica del agua Cp = 4 180 J/ kg-°C. HALLAR a)

La temperatura maxima del agua en el termo cuando el cal or se ha propagado a sus paredes.

h)

La temperatura maxima si se vacfa el agua del termo y se reemplaza con 500 g de nueva agua hirviendo.

I|© @^|^S© 3ol 1

FUNDAMENTOS

:

a)

El cal or no se clisipa al area contigua.

(« , c„) !

nccio

(r - 20°c ) = (m„cp

( ioo°c - r )

0

7=

7=

maClt )accro fylaCp)acero

100 (»? „CP)

+ 20 (

HSZllil

(W«

fig u a

100( 0.5)( 4.180 ) -i- 20( 0.2)(0.45) 96.7 C = ° (0.5)(4.180) + ( 0.2 )(0.45)

.

Tabia 3 & Capaddad calorifica espedfica para varios metales, poltmeros y ceramicas a temperatura ambiente ( 20°C; 68 DF) . [Tomada del articulo de informacion ESDU num. 84041 ( 1984) . ] <

Material

Capaddad calorifica especifica, Cp Btu/lbm °F kJ/kg °C

-

-

Metales Acerosif Aleaciones de zinc Aleaciones de magnesio Aluminio estano Aluminio y sus aleaciones Babbitt, metal bianco con base de estano Babbitt, metal bianco con base de plomo

.45

A 1.0 .96

0.9

.11

.096 .24

.23 0.22

.21

.05

.15

.036

B ranees Cobreb

.38

.091

.38

Cobre plomo Hierro Ibijado Hierro fun dido Hierro poroso

.32

.091 .076

.46

. 11

Latones

.42

.10

.46

.11

.39

.093

Poli'meros Caucho natural Terniofraguados Termoplasticos

2.0

.48

1.4

.33

.7

. 17

.8

.2

Ceramicas

!

Alumina ( Ai 20-, ) Carburo de silicio (SiC) Carburos cementados

Graft to Nitruro de silicio (Si , NJ 11

Eievandose hasta 0.55 kj/ kg-°C (0.13 Btu /lbm-°F) a 200DC ( 392°F).

" Aluminio bronce hasta 0.48 kJ/kg-nC (0.1 2 Bfu/ibm - ^F ) .

CAPITUI,® 3

b)

MATERIALES SOLIDOS

El ilnico cambio en la ecuacion de arriba es que 20°C se reemplaza con 96.7 °C ,

_ 1 oo (0.5)( 4.180 ) + (96.7 ) ( 0.2 )(Q.45) = 99.9°C (0.5)( 4.180) + (0.2 )(0.45)

No hay necesidad de vaciar ia botella y llenarla de nuevo con agua hirviendo .

.

3.5 8 CONSTANTS DE DESGASTE DE ARCHARD El desgaste es mas dificil de cuantificar que las otras siete propieclades de los materiales solidos , en parte porque es un fenomeno de superficie y no de volumen ; ademas involucra interacciones entre dos materiales, no solo la propiedad de un material. Cuando los solidos se deslizan, el volumen de material perdido de una superficie, por unidad de distancia de cleslizamiento, se llama razon de desgaste Wr La resistencia al desgaste de la superficie se caracteriza por 1a constante de desgaste de Archard KA (unidad del SI de metros cuadrados por newton , o el in verso de pascales, y la unidad inglesa de pulgadas cuadradas por libra-fuerza ); se define por la siguiente ecuacion: .

Wr A

-

KAp

{3 . 2 1 )

donde

A - area de la superficie, m 2 p = presion normal sobre las superficies juntas. Pa Las ecuaciones del desgaste se analizan detailadamente en el capftulo 8.

-

3.6 RELACIONES ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA Como se analizo anteriormente en este capitulo, los diagramas esfuerzo-deformacion unitaria para la mayoria de los materiales de ingeniena presentan una relacion lineal entre el esfuerzo y la deformacion unitaria dentro del Ifmite elastico: Por lo tanto, un incremento en el esfuerzo causa un incremento proporcional en la deformacion unitaria. Descubierta por Robert Hooke en 1678, esta relacion lineal entre el esfuerzo y la deformacion unitaria en el rango elastico se conoce como la ley de Hooke. Thomas Young, en 1807, sugirio que la razon del esfuerzo a la deformacion unitaria es una medida de la rigiclez del material. Esta razon , llamada modulo de Young o modulo de elasticidad, es la pendiente de la pore ion recta del diagram a esfuerzodeformacion unitaria y se presents en la ecuacion (3.3). De esta formal para un estado de esfuerzos uniaxial la ley de Hooke se puede expresar como

a = EE Esta ecuacion establece la proporci on alidad entre el esfuerzo y la deformacion unitaria en tension simple o compresion, la cual se analizo en la section 3.5.2. En el capftulo 2 se anaiizaron el esfuerzo y la deformacion unitaria por separado; en este capitulo se analizan las propieclades de los materiales. como el modulo de elasticidad . En el apenclice B se exploran las relaciones esfuerzo-deformacion unitaria para estados biaxiales y

121

FUNDAMENTOS

©

!

triaxiales. Aqui, el analisis se liniita a los solidos cargados en el rango elastico . Ademas solo se consideran materiales isotropicos (es decir, materiales que tienen propiedades fisicas identicas, en particular las propiedades elasticas en cualquier direction). La inayona de los materiales de ingenieria son isotropicos , con la notable exception de la madera y el concreto reforzado.

:

I|ample 3 . 1 2

En la figura 3.16 se muestra una viga rigida de 1 m de longitud ardculada en su extremo izquierdo, que soporta una carga vertical de 3 kN en su extreme derecho y se mantiene en position horizontal per un pilar vertical localizado a 0.3 m del extremo izquierdo. El pilar es un tubo de acero de 0.5 m de longitud con un diametro exterior de 0.1 m y un espesor de pared de 5 mm. El modulo de elasticidad del acero que se usa en todos los componentes es de 205 GPa. Cuanto se desplaza el extremo derecho de la viga debido a la liierza?

^

El equilibrio de momentos respecto al pasador de bisagra da

Plll - P2 l2 ^ 0 ( 3000 ) (1 )

Pi

0.2

h

= 15 000 N

Como la viga puede girar solo respecto al pasador de bisagra , la deflexidn 5 en P ] se puede describir por el angulo de rotation a y este angulo es el mismo cuando se describe la deflexion 52 en P2. j

5j

- /ia

y

52 = hoL

Esto implica que

8i =

h

La compresion en el pilar vertical 52 se puede obtener usando la ley de Hooke o

62 -

EA.

-\

.... ^

~

l2

=Y

m

v;

"

cl ~ 0.1

.. .

1

- 0.3 tn

AT-

i

j

"

ni

—

*

—

/3 = 0.5 m

.. .

. ......

A1

-

3 kN

.

FSgwr«a 3.16 Conjunto de ensamble de viga

rigida del ejemplo 3.12.

r

/3 h itE( rj ~ h.2 )

£& §» ilTO© 3

MATERIALES SOLIDOS

Sustituyendo la ecuacion ( b) en la (a), se obtiene

51

kkPi Kl2 E(

rt - ? ) i

^

1 (0.5)(15 0Q0 ) ( l 09 )(0.052 - 0.0452 )

8.17 X 10

5

"

7C( 0.3)( 205)

m = 81.7

jLLm

.

3 / GRAFICAS BE MATERIALES BE BOS PARAMETROS Las propieciades de los raateriales limitari el rendimiento y la vida util de los elementos de maquinas. El rendimiento y la vida util rara vez dependen de solo una propiedad de los materiales solidos. De esta forma, la informacion que se presenta eh la section 3.5 sobre las propiedades individuales de los raateriales solidos no es adecuada para la seleccion de un material para una aplicacion en particular. En lugar de esto se requieren una o varias combinaciones de las propiedades. Algunas combinaciones importantes de las propiedades son: 1.

Rigidez contra densidad ( E versus p ).

2. Resistencia contra densidad (5 versus p ), 3.

Rigidez contra resistencia ( E versus S ).

4.

Razon de desgaste contra presion limitante ( KA versus p ) .

,

Una variedad de otras combinaciones puede servir en la seleccion de los materiales; pero estas son las consideraciones principales al disenar elementos de maquinas. La informacion que se presenta proviene de Ashby ( 1992).

X 7* 1

RIGIDEZ VERS US DENSIDAD

El modulo de elasticidad y la densidad (en correspondence con la rigidez y el peso) son propiedades familiares en la seleccion de un material solido. El pidmo es pesado; el acero es rigido ; el caucho es docil: estos son los efectos del modulo de elasticidad. En la figura 3.17 se muestra el rango complete de modulos de elasticidad E y de densidades p para materiales de ingenierfa. La informacion de los miembros de una clase particular de material se agrupa y se limitapor una linea gruesa. La misma agrupacion por clase aparece eh todos los diagramas. En la tabla 3.7 se presentan las varias clases y sus miembros con el nombre abreviado para cada miembro. En la figura 3.17 se muestra que los modulos de elasticidad para los raateriales de ingeniena abarcan cinco multiplos de diez, desde 0.01 hasta 1 000 GPa ( 1.47 hasta 147 x 103 ksi) ; la densidad abarca un factor de 200, desde menos de 100 hasta 20 000 kg/m 3. Se presenta el modulo de cortante G « 3E/8 y el modulo volumetrico K = E para todos los materiales. excepto los elastomeros, para los cuales se puede aproximar como G = El3 y K»E : La grafica ayuda en los problemas comunes de seleccion de materiales para aplicaciones en las que el peso se debe minimizar. Por ejemplo, considere un simple miembro a tension donde el peso se debe minimizar, con la restriccion de que la deformacion unitaria no exceda un valor dado . Si el material se carga hasta su punto de fluencia, el esfuerzo se obtiene por medio de la formula a - PI A. Tambien, de la ley de Hooke se tiene que

ecr

a = Eecr

123

Densidad, p, kg / m 3

Fig&srsa 3,1 7 Modulo de elasticidad graficado contra densidad. Las envolventes circuiadas con iineas gruesas confienen informacion de una cierta close de material. Las Imeas diagonales muestran la velocidad de onda longitudinal. Las directrices de las constantes E / p , E / 2 / p y E / 3 / p FacMitan la seleccion de materiales para el cliseno de peso minimo y deflexion limitada. [M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design , Pergamon Press, 1992.]

Tealfeisa

Closes de materiales y miembros y nombres cortos de ccida miembro. [M. F. Ashby, Material Selection in Mechanical Design, Pergamon Press, 1 992. ]

Clase

Miembros

Nombre corto

Aleaciones eii la ingenieria ( los metales y las aleaciones de la ingenieria )

Aleaciones de aluminio Aleaciones de cobre Aleaciones de plomo Aleaciones de magnesio Aleaciones de molibdeno Aleaciones de mquel Aceros Aleaciones de estano Aleaciones de titanio Aleaciones de tungsteno Aleaciones de zinc Epoxies Melaminas Policarbonato Poliester Polietileno, alta densidad Polietileno, baja densidad PoiiformaldeMdo Polimetilmetacrilato Polipropileno Pol i te trailluoroetiieno Cloniro de polivinilo Alumina Diamante

Aleaciones AI Aleaciones Cu Aleaciones de plomo Aleaciones Mg Aleaciones Mo Aleaciones Ni Aceros Aleaciones de estafio Aleaciones Ti Aleaciones W Aleaciones Zn

Polinieros en la ingenieria ( los termoplasticos y los termot’raguados de la ingenieria )

Ceramicas en la ingenieria (ceramicas finas capaces de soportar la aplicacion de la carga)

Compnestos en la ingenieria ( los compnestos en la practica de la ingenieria). Se hace una distincion entre las propiedades de una capa y de un laminado ( laminados). Ceramicas porosas (ceramicas tradicionales , cementos, rocas y minerales )

Vidrios (vidrios ordinarios de silicato ) Madera.? Los agrupamientos separados describen las propiedades paralelas a la veta y normales a ella y los productos de madera.

Elastbmeros (cauchos naturales y

arlificiales )

Espumas de polinieros ( polinieros de espuma de la ingenieria)

BP MEL PC PEST H DPE .

LDPE PF PMMA PP PTFE PVC A1203

Sialones

C Sialones

Carburo de silicio Nitruro de silicio

SiC Si 3N4

Zirconia

Zr02

Polimero reforzado con fibra de carbono Polimero reforzado con fibra de vidrio Polimero reforzado con fibra de kevlar

CFRP

Ladrillo Cemento Rocas comunes

Ladrillo Cemento

Concreto Porcelana

Alfareria Borosilicato vidrio Vidrio sodico S flice

Fresno Balsa A be to Roble Pino Productos de madera (madera contrachapada, etc.) Caucho natural Caucho butflieo suave Poliuretanos Caucho silicdnico Caucho butflico suave Corcho Poliester Poliestireno Poliuretano

GFRP KFRP

Rocas Concreto Pc In Pot B -glass Na-glass Si02 Fresno Balsa Abeto Roble Pino Productos de

madera Caucho Butilo suave PU Silicona Butilo suave Corcho

PEST PS

PU

EPARTE 1

FUNDA MENTOS

Igualando los esfuerzos se obtiene A

P / Ee cr

“

El peso del miembro es W = Alp Sustituyendo la ecuacion (3.23) en la ecuacion anterior se obtiene

W

=

PI V 1

e

V ^ cr y v

E/ p

Observe que laprimera fracdon contiene restricciones de diseno ; y la segunda, propiedades de los materiales. De esta forma, el material optimo para minimizar la ecuacion (3.24) es el que maximiza la cantidad Efp . En la figura 3.17 se dibujarfan lineas paralelas a la linea de referenda E / p = C. Estos materiales con el valor mayor en la direction normal a estas lineas son los materiales optimos (es decir, los mas alejados hacia arriba y a la izquierda de las graficas ). En la figura 3.17 las lfneas de referenda indican el diseno de peso mfnimo sujeto a los requisites de deformation unitaria con las condiciones siguientes: £/ p = C

Diseno de peso mfnimo de miembros ngidos en tension

E 112 / p = C

Diseno de peso mfnimo de vigas y coiumnas rigidas

Emlp

-C

(£7p) 1'-

3o 1 3

=

C

Diseno de peso mfnimo de placas ngidas Velocidad de onda en el material

Una cana de pescar se construira con un material que proporcione peso bajo y rigidez alta. HALLAR De la figura 3.17 determine cual es mejor, una cana de plastico (sin reforzamiento de fibras) o una caila dividida (fibras de bambii pegadas).

i>A¥OS

En la figura 3.17 se indica que solo los polimeros niuy especiales tienen modulos de elasticidad tan altos como las mejores fibras de inadera. Tambien , los polimeros son dos o tres veces mas densos que la madera. Por 16 tanto, una cana dividida proporcionaifi menor peso para la rigidez que cualquier plastico .

3.7V2 RESISTENCIA VERSUS DENSIDAD El peso se representa por la densidacl. Por otro lado, la resistencia tiene distintos sigtiificados de acuerdo con diferentes clases de materiales solidos. Para los metales y los polimeros es la resistencia a lafluencia, la cual es la misma a la tension que a la compresion. Para ceramicas fragiles es la resistencia al aplastamiento en compresion , no la de tension, y es cerca de 15 veces menor. Para los elastomeros la resistencia significa la resistencia al desgarre . Para ma teriales compuestos es la resistencia a la falia por tension (la resistencia a la compresion puede ser menor debido al alabeo de las fibras). En la figura 3.18 se muestran estas resistencias, representadas por el sfmbolo S (a pesar del mecanismo de falla involucrado), graficadas contra la densidad p . Los agrupamientos de

-

Densidad, p, kg / nr

IFigjWff’Ss 3.18 Resistencia graficada contra densidad ( resistenda a la fluencia para metales / polimeros, resistencia a la compresion para las ceramicas, resistencia al desgarramiento para los elastomeros y resistencia a la tension para compuestos). Las directrices de las constantes 5/ p, S2 / 3 /p y S! / 2 /p facilitan la selection de materiales para disenos de mmimo peso y fluencia limitada. [M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Pergamon Press, 1992.]

FUNDA MENTOS

clases para materiales fragiles se encuentran limitados por lfneas discontinuas como recordatorio cie su fragilidad , La considerable extension vertical de la burbuja de resistencia para un material individual refieja su amplio rango, causado por el grado de aleacion , el endurecimiento de trabajo de fraguado, el tamano del grano, la porosidad, etcetera. La figura 3.18 sirve para determinar los materiales optimos basados en la resistencia y en los que la deformacion por carga no constituye un punto importante. A1 igual que antes, se elige una lfnea de referenda y los materiales localizados a la mayor distancia de esta linea (arriba y a la izquierda) son mejores. Las circunstancias siguientes corresponden a las lfneas de referenda en la figura 3.18: a/ p - C /p = C

of aw/p = C

Miembros en tension Vi gas y ejes

Placas

El rango de resistencia para los materiales de ingenieria abarca cinco multiplos de diez, desde 0.1 MPa (espumas lisadas como materiales de empaque y sistemas de absorcion de energfa) hasta I 04 MPa (diamante). El rango de densidades es el mismo, segun se muestra en la figura 3.17.

Sjemplo 3*14

La cana de pescar que se analizo en el ejemplo 3.13 se fabrica coil la forma de un tube de diametro variable , con un espesor de pared distribuido a lo largo de su longitud. UMM El material que vuelva la cana tan fuerte como sea posible para un peso determinado.

En la figura 3.18 se indica que los materiales mas fuertes para una densidad dada son el diamante, el carburo de silicio y otras ceramicas. Resu1ta diffoil y muy caro usar estos materiales en una cana de pescar. La mejor eleccion es el plastico reforzado con fibra de carbono o el plastico reforzado con fibra de vidrio con una resistencia de 800 a 1 000 MPa, cuya densidad es de 1 500 kg/m3.

RIGIDEZ VERSUS RESISTENCIA En la figura 3.19 se presenta la grafica de rigidez, o modulo de elasticidad , versus resistencia. Las caractensticas sobre la resistencia son las mis mas cjue las de la figura 3.18. Los rangos de las variables tambien son los mismos. Los contornos de la resistencia normalizada S / E apareceil como una familia de lfneas rectas paralelas. Los polfmeros de ingenieria presentan resistencias normalizadas entre 10-2 y 0.1 y tienen una elasticidad extraordinariamente alta en relaeion con los metales, para los cuales los valores son menores por al menos un factor de 10. Aun las ceramicas en compresion no resultan tan deformables, y en tension son mucho mas debiles ( por un factor de 15 o de ese orden ) . Los materiales compliestos y la madera se sitiian en la linea de contorno de 10 2, es decir, tan buenos como los mejores metales. Los elastomeros, debido a sus moduios excepcionalmente bajos, tienen valores de 0.1 a 10 may ores de S / E que cualquier otra clase de materiales. Las lfneas de referenda en la figura 3.19 ayudan en las circunstancias siguientes: '

;

•

'

“

S/ E = C

Diseno de empaques y bisagras

Sm/ E = C

Componentes elasticos como hojas de cuchillos y diafragmas

S 2/ E = C

Almacenamiento de energfa elastica por volumen (para adsorcion de energfa compacta)

CAPSTUL© 3

©

1 2©

MATERIALES SOLIDOS

1 000

100

«

PM

10

O

4

—

S3 “ (J

—-

1

3 L> 'O 'O

o 2

'O

s

1.0

0.1

0.01 0.1

1

:

100

10

I 000

Resistencia. Sr MPa

IFfgwm 3,1 © Modulo de elaslicidad graficado contra resistencia. Las directrices de diseno facilitan la seleccion de materiales para elementos de mdquinas como resortes, hojas de cuchillo, diafragmas y bisagras. [M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Pergamon Press, 1 992. j

10 000

©

l & m' pl®

3*1 S

FUNDAMENTOS

& A1T®S Los resortes en la suspension de un automovil pueden fabricarse de caucho, acero o plastico reforzado con fibra de earbono. Las geometnas de I os diferentes resortes de la suspension son may diferentes, dependiendo de las deformaciones elasticas permisibles. HALUM Las deformaciones unitarias elasticas maximas en los tres tipos de resortes si el caucho es poliuretano ( PU ), el acero tiene una resistencia de 1 GPa y el plastico reforzado con fibra de earbono es de una capa.

De la figura 3.19 el caucho PU tiene una resistencia de 30 MPa y un modulo de elasticidad de 0.05 GPa.

La deformacion elastica maxima es S F

i

/

caucho

30 = 0.60 50

De la misma forma, para el acerb y el plastico reforzado con fibra de earbono se tiene

E / accro

s F ^

!.

/

/

plastico

1 = 0.005 205

1 200

= 0.005

El caucho tiene una cleformacion unitaria elastica maxima de 60% ; mientras que los resortes de acero y de plastico reforzado con fibra de earbono tienen una deformacion unitaria elastica maxima de 0.5 %. Ademas, en la figura 3.18 el resorte de acero es cinco veces mas pesado que el resorte de plastico reforzado con fibra de earbono.

3*7*4 RAZON DE DESGASTE VERSUS

FRESION LIMITANTE

El desgaste presenta un nuevo conjunto de problemas al tratar de elegir un material solido. Si los materiales no estan lubricados, se tiene un movimiento de deslizamiento; si una de las superficies es de acero, la razon de desgaste se define como

Wr

-

Volumen de material removido Distancia de deslizamientos

Asi, las unidades del SI para la razon de desgaste Wr son los metros cuadraclos. Una presion limitante baja pt (la fuerza que presiona a las dos superficies juntas dividida entre el area de contacto)

Wr = KAApi donde

KA = constante de desgaste de Archard, (Pa-1 ) A

= area de contacto, m2

Pi - presion limitante, Pa

En la figura 3.20 se indica la constante KA graficada contra la presion limitante pt. En cada agrupacion de clase se muestra el valor de la constante KA a baja p } y el incremento abrupto cuando se aproxima a p . Los materiales no se pueden usar arriba del valor de p/ •

,

CAPITULO 3

©

MATE RIALES SOLIDOS

131

l O -i o

10

'

1

10

'

2

“

“

z r

£ IQ . S

- 13

-

TJ

«a

si

U

<

110

-14

t/ j PJ

o;j t/ j

-aCD 13

a

•

_CD c

|HT13 G

CJ

10"16

IQ-17

io- ts

10

100 Presion limitante, Pi . MPa

l 000

Constante de desgaste de Archard graficada contra presion limitante. [M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Figure * Design, Pergamon Press, 1992 .]

132

IfjeMipfe S o l ©

FUNDAMENTOS

PARTE 1

MOTS Una giua de deslizamiento de poli tetrad uoroetileno (PTFE o teflon) esta en contacto con acero de alto carbono. La distancia de deslizamiento es de 300 m y el espesor de la capa de teflon de desgaste permisible es de 3 mm. MMMJMi Que tail grande debe ser la superficic de la gufa de deslizamiento de PTFE de manera que no sufra un desgaste excesivo y que la presion limitante no se exceda si la carga transportada es de 10 MN.

^

De la figura 3.20 la presion limitante para PTFE sobre acero es p( = 8 MPa y la constante de desgaste de Archard es KA = 2 x 10 13 m 2/N . De la ecuacion ( 3.26) se obtiene ~

% A

,

= KAp = 2(l 0-13 )(8)(l 06 ) = 1.6 x KT*

El volumen desgastado del material es

Ath = Wrl , donde

4 = distancia de deslizamiento, ni Wr

h

A-

L

0.003 = 10“ 5 300

La presion se puede escribir como P

10 ~5 2 x 10 ~13

- WrA

0.5 x 10 s Pa = 50 MPa

Como p»pf , la presion limitante se necesita para determinar el tamano de la giua deslizante. pi A

A=

= (10 )(l 06 ) N = 107 107

107

Pi

8(1 0 6 )

N

= 1.25 m 2

El area de la superficie debe ser de 1.25 m 2 con el proposito de evitar un esfuerzo de compresion demasiado alto. Para estas condiciones la profundidad del desgaste sera de solo 0.48 mm.

3J,S M6DULO- DE. YOUNG VERSUS .

COSTO RELATTVO

En la pracdca, los ingenieros de diseno consideran el costo mucho mas de lo que se ha considerado hasta este punto en el libro. En la figura 3.21 se indica la rigidez de un material versus el costo relativo (es decir, el costo por peso del material dividido entre el costo por peso de acero dulce) . Las lfneas de referenda sirven para:

,

E/ C < p = C Eia/ Cg p = C EmfCRp C

-

Diseno de costo mfnirao de miembros rigidos en tension Diseno de costo mini mo de vigas rigidas y columnas Diseno de costo mfnimo de placas rigidas

CAPITULO 3

©

133

MATERIALES SOUOOS

1 000

100

£ 10

o

d C3

'

"O

o

•jr

40

03

O

§

•

O 3 T3 'O

s

1.0

0.1

0.01 0.1

1

100 10 Cos to relativo por densidad, Mg/m3

i 000

10 000

3 * 2£ 1 Modulo de eiasticidad graficado confra coslo por densidad. Las ilneas de referenda facililan la selecdon de materiales de elementos de maquinas. [M. F. Ashby, Materials Selection in Mechanical Design, Pergamon Press, 1992.]

FUNDAMENTOS

La figura 3.21 es muy util para explicar por que el acero y el concreto son tan valiosos como materiales de construccion en proyectos de obras publicas, en los que el costo tiene que ser mmimo . Antique un puente fabricado con PTFE ciertamente es posible, serfa mucho mas costoso que un puente de acero y concreto.

] • •:

w©

ESUMEN

En este capftulo se analizaron ocho propiedades mecanicas muy importantes de los materiales solidos. Se presentaron las diferencias entre materiales ductiles y fragiles. Se determine) que en ia falla por fractura los materiales ductiles presentan una considerable deformacion piastica ; mien tras que los materiales fragiles presentan muy poca o ningtma fiuencia antes de la falla. Se describieron cuatro clases pnncipales de materiales solidos: metales, ceramicas y vidrios, polfmeros y eJ &stomeros. y metales compuestos. Los miembros de cada elase tienen caracteristicas cornunes, como composition qufmica, estructura atomica, rutas de proceso y aplicaciones similares. Se presento un diagrams esl uerzo-deformacion unitaria para cada elase de materiales solidos, porque difieren significativamente. Los diagramas esfuerzo-defor niaici 6 n unitaria para los metales resultan esencialmente iguales a la compresion y a la tension Esta caracteristica no se presenta en los polfmeros ni en las ceramicas. Se detennino que los resultados de las pruebas de flexion transversal para las ceramicas son similares a los resultados de las pruebas a la tension para los metales. La resistencia de las ceramicas significa su resistencia a la fractura SfY en tension y su resistencia al aplastamiento S% en compresion ; por lo comiiii S% + 155Jr. Tambien se determirio que el .diagrams esfuerzo -deformacion unitari a de un polfmero se vuelve notablemen te no lineal para una deformacion de 0.01; mien tras que para los metales este punto ocurre en una deformacion de 0.002. Se presentaron varias propiedades de los materiales solidos que se corisideran en la eleccion del material adecuado para una aplicacion particular: densidad de masa, modulo de elasticidad , razon de Poisson, modulo de cortante, resistencia. resiliencia, tenacidad, conductividad termica, coeficiente de dilatacion termica lineal , capacidad calonfica especlfica y constante de desgaste de Archard. Estos parametros se presentaron para las tres clases mas importantes de materiales solidos: metales. polfmeros y ceramicas. Los resultados se presentaron en forma unidimensional. Tambien se ofrecieron graficas de materiales de dos parametros. Para obtener una mejor idea del material mas adecuado para un elemento de maquina especffico, se considera rigidez versus peso , resistencia versus peso, rigidez versus resistencia y constante de desgaste versus presion limitante de las diferentes clases de materiales. '

,

PALABRAS CLAVE adelgazamiento disminucion del area de la section transversal que ocurre despues de que la tension de rotura se alcanza y antes de ia fractura .

anisotropico solido.

material que tiene diferentes propiedades en todas las direcciones de un punto en un

capacidad calonfica especlfica razon de cal or almacenado por masa al cambio en la temperatura del material . ceramiea

compuestos de eiementos metalicos y no metalicos.

coeficiente de dilatacion termica conductividad termica

habilidad de un material para transmitir calor.

constante de desgaste de Archard densidad

razon del alargamiento en un material al incremento de temperatura.

propiedad de desgaste de un material ,

masa por unidad de volumen.

CAPBTUILO 3

MATERIALES SOLIDOS

ductilidad grado de deformacion piastica presentada a la fractura. dastomeros polfmeros con una cantidad intermedia de enlaces cruzados.

endurecimiento por deformacion unitaria incremento en la dureza y la resistencia de un material ductil cuando se de forma plasticamente .

esfuerzo de fractura esfuerzo al tiempo de fractura o rotura. principio de deformacion plastica.

ttuencia

homogeneo

isotropico

material que dene propiedades sin funcion de posicion en un solido.

material que dene las mismas propiedades en todas las direcciones en un pun to de un solido.

Iimite de proporcionalidad la deformacion unitaria .

esfuerzo arriba del cual el esfuerzo ya no es linealmente proporcional a

Iimite elastico esfuerzo arriba del cual e! material adquiere una deformacion permanente. material ductil material que puede soportar un alargamiento mayor de 5 % antes de fracturarse. material fragil

material que se fractura con una deformacion menor del 5% .

materiales compuestos combination de dos o mas materiales, usualmente consiste en fibra y polimero termofraguado.

combinaciones de elementos metalicos.

metales

modulo de elasticidad

constante de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformacion unitaria.

modulo de ruptura esfuerzo a la ruptura de una prueba a la flexion , se utiliza para determinar la resistencia de ia ceramica. (vease modulo de elasticidad ).

modulo de Young

ortotropico material con propiedades diferentes en tres direcciones mutuamente perpendiculares en un punto de un solido y con tres pianos mutuamente perpendiculares de simetrfa del material. polfmeros compuestos de carbono y otros elementos que forman moleculas de cadena larga.

razon de Poisson valor absoluto de la razon de la deformacion unitaria transversal a la axial . regia de las mezclas

interpolacion lineal entre las densidades de las concentraeiones de las aleaciones.

resiliencia capacidacl de un material de liberar energia absorbida. resistencia a la fiuencia nive.1 de esfuerzo que se define por la interseccion de la Ifnea de referenda (con pendiente igual al modulo elastico initial del material y la interseccion x del 0.2 %) y la curva esfuerzo-deformacion unitaria del material . ‘

resistencia a la rotura

tenacidad

habilidad para absorber energia hasta la fractura.

termofraguados termoplasticos vidrios

esfuerzo maxi mo alcanzado en el diagrama de esfuerzo-deformacion unitaria.

polfmeros con una estructura altamente entrecruzada.

polfmeros sin enlaces cruzados.

compuestos de elementos metalicos y no metalicos sin estructura cristalina.

LECTURAS RECOMENDADAS Ashby, M . J. (1992) Materials Selection in Mechanical Design , Pergamon Press, Oxford. ASM Metals Handbook , Sa. ed . ( 1973) American Society for Metals, Metals Park , OH.

1 35

136

MKTS 1

FUNDAMENTOS

Budinski, K. ( 1979) Engineering Materials , Properties and Selection, Prentice-Hall , Englewood Cliffs, NJ. Cotrell , A .H. (1964) Mechanical Properties of Matter > Wiley, Nueva York. Crane , F.A .A . y Charles, J . A . ( 1984) Selection and Use of Engineering Materials, Butterworths, Lon d res . Dieter, G.E. ( 1976) Mechanical Metallurgy, McGraw -Hill, Nueva York. Farag , M.M. ( 1990) Selection of Materials and Manufacturing Processes for Engineering Materials, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. Flinn , R. A. y Trojan, P K. ( 1986) Engineering Materials and Their Applications , Houghton Mifflin , Boston. Lewis, G. ( 1990) Selection of Engineering Materials , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ .

REFEREMCIAS Ashby, M.F. ( 1992) Materials Selection in Mechanical Design, Pergamon Press, Oxford . Properties of common engineering materials. Artfculo de informacion 8404 L ESDU International , Londres, 1984.

PROBLEMAS Section 3.2 3.1

Una varilla de policarbonato de 2 m de iongitud tiene una seccion transversal con un diametro de 13 mm. La varilla se usa para levantar un tanque con un peso de 65 toneladas desde una zanja con una profundidad de i .8 m hasta la calzada de un camino. El movimiento vertical del arco de la grtia esta limitado a 4.2 m . Sera posible levantar el tanque hasta el camino?

^

Seccion 3.3 3.2

Los materiales normaimente se clasifican de acuerdo con sus propiedades, rotas de proceso y aplicaciones. Proporcione ejemplos de aleaciones metalicas comunes que no presen ten algunas de las caracteristicas tipicas de los metales en sus aplicaciones.

3.3

La ecuacion ( B.56) proporciona la relacion entre esfuerzos y deformaciones unitarias en materiales isotropicos. Para un caucho de poliuretano el modulo elastico a 100 % de elongation (alargamiento) es 7 MPa . Cuando el caucho se soraete a una presion hidrostatica de 10 MPa, el volumen se encoge 0.5 %. Calcule la razon de Poisson del caucho.

3.4

Un plastico reforzado con fibra tiene una resistencia de la adherencia de la fibra- matriz xf 10 MPa y una resistencia a la rotura de la fibra S„ ~ l GPa. La Iongitud de la fibra es constants para todas las libras en / = 3 mm . El diametro de la fibra es d = 30 mm . Encuentre si la resistencia de la fibra o la adherencia de la fibra-matriz determinat d la resistencia del compuesto.

-

'

3.5

Con el mismo material del problema 3.4, pern con la Iongitud de ia fibra / = 1 mm, calcule si es posible incremental la resistencia de la fibra a Su - 1 GPa haciendo la fibra rectangular en vez de circular, y manteniendo la misma area de la seccion transversal para cada fibra . ’

Seccion 3.4 3.6

Una barra de cobre se esfuerza hasta su resistencia a la rotura S„= 250 MPa. El area de la seccion transversal de la barra antes de la aplicacion del esfuerzo es de 100 mm 2 y el area de la seccion transversal dcformada donde la barra empieza a romperse a la resistencia a la rotura es de 60 mar. Cual sera la magnitud de la fuerza neeesaria para aicanzar la resistencia a la rotura ?

^

CAPiTULO

3.7

3

©

137

MATERIALES SOUDOS

El acero inoxidable AISI 440C dene una resistencia a la rotura S„ = 807 MPa y una resistencia a Ja fractura SfT ~ 750 MPa . A la resistencia a la rotura el area minima tie la section transversal de una barra en tension hecha de acero AISI 440C es 80 % de su valor sin deformar. En el punto de fractura el area de la section transversal se ha encogido a 70 %. Calcuie los esfuerzos reales en el punto de la resistencia a la rotura y en el punto de fractura.

P Varilla

Varilla

p'

| en tension |

|compresiva B

—

A

c .

'iSAS/SSlSiifUa '

ma&

r-

Boceto a, de! problema 3.8.

3.8

De acuerdo con el boceto a , una viga esta apoyada en el punto A y en B o en C. En el punto C la varilla de nitruro de silicio en tension ley ante el extremo de la viga con una fuerza P = 5Jr, donde Ac es el area de la section transversal de la varilla. Encuentre lg distand a A-B de manera que la varilla de nitruro de silicio sea aplastada si tomara una fuerza compresiva en el punto B, en vez de una fuerza de tension en el punto C. Note que S% - 15 S!h para el nitruro de silicio. Tambien encuentre las fuerzas de reaction en el punto A para los dos casos de carga.

3.9

Los poluneros tienen diferentes propiedades, dependiendo de la relation entre la temperatura local y la temperatura de transition del vidrio TH del polfmero. El caucho en una llanta de biciclcta tiene T „ = -12°C. <,Se podrfa emplear este caucho en llantas para una expedicidn a la Antartida en donde se tienen temperaturas hasta de -70°C?

Section 3.5 3.10 Un bronce de aluminio tiene 20% de aluminio en peso y 80% de cobre en peso. Encuentre la densidad del bronce de aluminio. 3.11 El plastico reforzado con fibra de vidrio del ejemplo 3.8 ( section 3.5. 2) se utiliza en una aplicacion donde las deformaciones flexionantes, causadas por la carga estatica aplicada, agrietaran el plastico sobreesforzando las fibras. <\ Se agrietara tambien un plastico reforzado con fibra de carbono si tiene las mismas propiedades elasticas que el plastico reforzado coil fibra de vidrio? 3.12 En ei problema 3.11 se usaron fibras de carbono para reforzar una matriz de un polfmero . La concentration de fibras se disminuyo en el ejemplo 3.8 (section 3.5.2) para proportional- las mismas propiedades elasticas del polfmero reforzado con fibra de carbono y para ei polfmero reforzado con fibra de vidrio. Si en lugar de esto se mantuviera constante a 10% la concentration de fibra cuando las fibras de vidrio se cambiaran a fibras de carbono, que tan menor serfa la deformation para la misma carga ? Se sobreesforzarfan las fibras o no? Las propiedades del material son las mismas que en el ejemplo 3.8.

^

it :

ra

;

pm

aSsmm

HHKRIP

^

i

u

aeaMMi

mm

3.13 Una viga doblada, como se muestra en ei boceto /?, se carga con una fuerza P - 128 000 N. La viga tiene una section transversal cuadrada a2 . La longitud de un lado a ~ 30 mm. La Iongitud / , - 50 mm y l 2 = 100 mm. La resistencia a la fluencia Sy = 350 MPa (acero de medio carbono). Determine si los esfuerzos por tension y cortante se encuentran por debajo de los esfuerzos permisibles. 3.14 Un material duro, como el acero inoxidable suave ( AISI 316), tiene un tfmite elastico Sv = 207 MPa, una resistencia a la rotura Su = 552 MPa y un alargamiento de 60 % . Encuentre la razon de la tenacidad del material a la resiliencia, suponiendo que la curva esfuerzo-deformacidn unitaria consiste de dos Ifneas rectas de acuerdo con el boceto c.

—

J

mm p

Boceto

3.13.

b , del problema

FUNDAMENTOS

—

£ Slf = 552 MPa tJ

s

o

£ a N

iS\

,

= 207 MPa

ti

CTj

U4

f

/

0.60

/

r-0.002 Boceto c, del problema 3.14

Seccion 3.6

=

3.15 Un cubo de acero dene una longitud por lado l = 0.1 m, on modulo de elasticidad E 206 GPa y una razon de Poisson v = 0.3. Determine los esfuerzos compresivos necesarios en cuatro de las cams del cubo para obtener el mismo alargamiento perpendicular a ese lugar como un esfuerzo a en esa direction perpendicular.

3.16 Para el cubo de acero sometido a esfuerzos en el problema 3.15, calcule la razdn del volumen tens io comp resion ) cuando a = 500 MPa. 3.17 La ley de Hooke describe la relation entre el esfuerzo uniaxial y la deformation unitaria uniaxial. Cual es la magnitud de la razon de la deformacion para una earga dada dentro del grupo de materiales que se considero en el capftulo 3?

^

Seccion 3.7 3.18 De acuerdo con la ecuacion del desgaste de Archard la profundidad de desgaste es proporcional a la distancia de deslizamiento y a la presion de contacto. <, Como se distributor radiaimente la presion de contacto para un freno de disco si la rapidez de desgaste es la misma para todos ios radios ? 3.19 Dado un frotador de freno de un freno de disco en un automovil y usando la constante de desgaste de Archard , determine como el desgaste se distribuye sobre el frotador de freno si la presion del freno es constante sobre el frotador.

CAPfTHL@

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSYERSALES, NORMALES, BE TORSION Y BE FLEXION

El derrumbe del pasillo del hotel Hyatt Regency {Kansas City, 1981 ) se afribuyo directamente a cambios en diseno que sobreesforzaron sus miembros esfructurales. (AP/ Wide World Photos)

Yo no estoy contento hasta que he construido un modelo mecdnico del objeto que estoy estudiando. Si lo hago bien, lo entiendo; de otrci forma, no. William Thomson [Lord Kelvin]

1 3@

1 4©

FUNDAMENTOS

PARTE 1

SlMEOLOS A A!

a b

c

,,

d d

E e

G h

K I

J J k

K l M ma

Na P Q R r

r

rc

area de la seccion transversal, nr portion del area de la seccion transversal, m2 ancho del area de la seccion transversal , m altura del area de la seccion transversal , m distancia del eje neutro a ia fibra exterior del solido, in distancia entre dos ejes paralelos, uno de los cuales contiene el centroide del area, m modulo de elasticidad , Pa excentricidad , distancia que separa los radios centroidal y neutral de un miembro curvo, m modulo de elasticidad por cortante, Pa altura de un area de seccion transversal triangular, m potencia , W momento de inercia del area , m4 momento de inercia de la masa, kg- tn2 momento polar de inercia del area, kg- m4 momento polar de inercia del area respecto a coorde nadas centroidales, m4 razon de resorte, N/m razon angular del resorte, N-m longitud , m momento de flexion, N-m

masa , kg velocidad rotacional , rpm .y . fuerza , F primer momento respecto al eje neutral, m3 fuerza de reaction, N y yyV.; y. ii • • • radio, m radio centroidal , m radio de la seccion transversal, m

^

'

'

'

'

• •

rn T u uf

V

-v, y , 2 i y> z

radio de giro, m radio del eje neutro, m par de rotation, N-m velocidad, m /s velocidad pies/ min fuerza cortante transversal , N ancho, m sistema de coordenadas cartesianas, m sistema de coordenadas centroidales, m coordenadas paralelas a los ejes A- y v, respectivamen te, m modulo de seccion

2,

a y

Ifc,

m3

angulo del sector, rad

deformacion unitaria por cortante deformacion iinitaria normal

8

0

angulo de torsion , rad esfuerzo normal , Pa esfuerzo cortante, Pa velocidad rotacional, rad /s

(5

X

CO

Subindices prom i

max o y, z Xy

y»

x\ y'

z

promedio interior maximo

exterior coordenadas cartesianas coordenadas centroidales coordenadas paralelas a los ejes x y y

:

!

INTRODUCTION

;

! !

:

En el capitulo 2 (seccion 2.3) de este libro se describieron los diferentes tipos de cargas: normal, de torsion, flexionante y de cortante transversal. En este capitulo se analizan los esfuerzos y las deformaciones unitarias resultantes de estos tipos de carga, usando la relacion de la ley general de Hooke desarroliada en el capitulo 3. La teorfa general que se desarrolla en este capitulo se aplica a cualquier elemento de maquina. Para los propositos de este capitulo, sin embargo, se asume que el miembro es recto, que tiene una seccion transversal simetrica y que esta hecho de un material homogeneo linealmente elastico. Mas adelante tambien se considera en este capitulo un miembro curvo a la flexion. En el capitulo 6 se analizaran las geometnas mas complicadas. Primero, es necesario definir seis conceptos importantes para este capitulo, asf como para el texto general.

CAPBTUiO 4

®

ESFUERZOS CORTANTES Y DEEORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

i

X

0

m

.

\

is y y

x x

4« 1 Centroide de un area.

4•% DEFLNICIONES El centroide y el momento de inercia de un area, el teorema de ios ejes paralelos, el radio de giro, el modulo de section y el momento de inercia de la masa son conceptos importantes que es necesario definir antes de analizar los temas principales de este capitulo. Tales conceptos se usaran durante todo el libro.

4" % *1

CENTROIDE DE UN AREA

El centroide de un area (figura 4.1), o centro de gravedad de un area, se refiere al punto que define el centro geometrico de un area. Matematicamente, es el punto donde la suma de los primeros momentos de un area respecto al eje que lo atraviesa es cero, o

j( y ~ y )^A = 0

| 4.1|

A

j ( x - x )clA

~

0

A

Resolviendo para x y y , se obtiene

y-

\AydA _ JA ydA

« 4.3}

A

x~

\xdA JAY/A

« 4.41

A

Un area complicada, usualmente se divide en subareas simples; las ecuaciones (4.3) y ( 4.4) se aplican haciendo el numerador igual a la suma de las integrates del primer momento de los pares separados. El denominador es el area total.

• •• y

=

Axyi + A2 y 2 + A[ + A2 + ...

<

--

14.5}

141

FUNDAMENTOS

©

=

x

A ] xl + A.2 X 2 H- ... Al + A 2 •+• ...

Estas ecuaciones describen el centroide clel area compuesta. La unidad de la distancia del centroide comimmente se da en milimetros 0 pulgadas.

4*1

En la figura 4.2 se indica 1111a seccion transversal rectangular a x b con un agujero rectangular con las dimensioned c x d . Tambien se muestran las coordenadas y la localizacion de este agujero dentro de la seccion transversal rectangular. Las dimensiones son <7 = 10 cm, b - 5 cm, c = 3 cm , d = 1 cm , e = 9 cm y / = 3 cm. El centroide de la seccion S©l^el©3a Con fas ecuaciones (4.5) y (4.6) se obtiene

y=

ab( b 2 ) - cd { f + d / 2 )

/

(10 ) (5)( 5/ 2) - (3)(1 )(3 + 1/ 2 ) = 2.436 cm (10)(5) (3)(1)

—

ab - cd

/ -

ab( a 2 ) cd ( e - c/ 2 ) ab cd

(10 )(5)(10/ 2 ) - (3)(1 ) (9 - 3/ 2) (10)(5)-(3)(1)

—

= 4.840 cm

MOMENTO DE INERCIA DEL AREA Los terminos “ momento de inercia del area” y “ segundo momento de un area” se usan indistintamente. En la seccion anterior el primer momento de un area AydA se asocio con el centroide de un area, y en esta seccion el segundo momento de un area y1 dA se asocia con el momento de inercia de un area. En la figura 4.3 se muestran las coordenadas que describen los momentos de inercia del area, los cuales se designan por el sfmbolo L Asf , los momentos de inercia con respecto a los ejes x y y, respectivamente, se pueden expresar como

J

I , = y - dA

J

\

J

ly = x 2 dA

y

1

A

/

Cuando el eje de referenda es normal al piano del area , y atraviesa 0 en la figura 4.3, la integral se llama el momento polar de inercia de / y se escribe como

>

f

a

mm

d [_

b

C:

Jk

i j •••

£

r

s'

A

f

y

j;

e

%

X

\

m.

m

T

i

TA

m

!

it. 7

V

IFagurga 4.2 Agujero rectangular dentro de una seccion rectangular usada en el ejemplo 4.1 .

9^ coordenadas que describe e! momento de inercia de! area .

CAPlTULO

4

J

\r dA =\(x 2

-

143

ESFUEltZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

Si

A

2

+ y 2 )dA -

Jx dA + J y dA 2

A

A

2

A

.*»

|4

Observe que los ejes x y y son cios ejes cualesquiera , mutuamente perpendiculares, que se interseean en cero. La unidad del momento de inercia y del momento polar de inercia es la longitud (por lo comun en metros o en pulgadas) elevada a la cuarta potencia.

PJ&TOS En la figura 4.4 se muestra una seccion transversal circular con radio r y coordenadas x- y. ISMUMII El momento de inercia del area circular respecto a los ejes x y y, y el momento polar de inercia respecto al centraide.

SoBn3 §6ia De la ecuacion (4.7) el momento de inercia del area circular respecto al ejex es /v

~

jy2dA - Jy22 rcos l> dy (

Pero como y = r sen <[> y dy = r cos <|) d( j), K

.4 KL ~ 1- cos 4<|) nr4 d4 = 2 - TT 2

/l

—

Ix = 2 r4 j sen 2 c() cos2 ()) c/ < j> = * -71/ 2

j

/

Como la simetna del momento de inercia con respecto al eje y es /v

=

nr 4

Asf , los momentos de inercia del area respecto a los ejes x y y son identicos y equivalents a 7tr 4/4. De la ecuacion (4.9) el momento polar de inercia respecto al centroide es

Jz = /, + 1y = 2 /,

-

ro- 4 / 2

rfy A'

Figwrss 4« 4 Seccion transversal circular, utilizada en el ejemplo 4.2.

iferr^ pl® 4« 2 )

FUNDAMENTOS

y

clA

m

/

A

%

)

\

m

W

v

*

7

dy

-

'Og Si.

0'

.

y ^ 5 Coordenadas distancia usadas para describir el feorema de los ejes paralelos.

IFtgjus' ® 1

4.2*3 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Cuando un momento de inercia de un area se ha determinado con respecto a un eje dado, el momento de inercia con respecto a un eje paraielo se puede obtener por medio del teorema de los ejes paralelos, con la con did on de que lino de los ejes pase a traves del centroide del area. En la figura 4.5 se indican las coordenadas y las distancias que se usan al derivar el teorema de los ejes paralelos. El momento de inercia del area A respecto al eje x' es

J .

/.v' = ( y + dv ) 2 dA 4

*

“

J y dA + 2 dy J yc/A + d ; J dA 2

A

= Ix + 2dyjydA +

A

A

Ad 2

.4

Pero la integral

Jyr/A

es el primer momento del area con respecto al eje x , o el centroide . Ast ,

A

si el eje A pasa a traves del centroide del area, el primer momento es cero y la ecuacion (4.10) se reduce a *

4' = 4 + Ad ] :

-!

donde

•

4

momento de inercia del area con respecto al eje paraielo. al eje x’ y que atraviesa el centroide, nr dy = distancia entre dos ejes x y x\ de los cuales x contiene el centroide del area, m A ~ area de la seccion transversal , m2 “

De la misma manera, para un eje y' paraielo al eje y que atraviesa el centroide y esta separado por una distancia dv

If = 4 + Ad ] De esta forma, el teorema de los ejes paralelos estipula que un momento de inercia de un area con respecto a cualquier eje es igual al segundo momento de area con respecto a un eje paraielo que atraviesa el centroide del area, sumado al producto del area y al cuadrado de la distancia entre los dos ejes.

Ci&PtTUL® 4

ESFUERZOS CORTANTES Y

©

145

DEFORM ACIONES UNITARIAS TRANS VERS ALES

ll cm T

-

I

6 cm

|

Hgvrea 4.6 Seccion transversal triangular con agujero circular dentro de ella, empleada en el ejemplo 4.3.

En la figura 4.6 se indica una seccion transversal triangular con un agujero dentro de ella. El momento de inercia del area y el centroide. $Qlvd 6tt

Suponga que el eje y inicia en la mitad del ancho de la base y es positivo en la direction hacia arriba. La altura del trianguio es h

— -2 tan 60 ° = 5.196 cm

El trianguio se define como a y el circulo como b . Los centroides y las areas del trianguio y del circulo se pueden expresar por separado como

_

h 5.196 - 1.732 cm ya = T “ 3 3

—

1 A, = bh = y (6)(5.196) = 15.59 cm 2 2 yh = 2 cm KC/2

7T( 2)2

4

7t

= 3.142 cm 2

El centroide de la figura compuesta es

y=

( L 732) (15.59) - ( 2) (3.142)

v,A

15.59 - 3.142

At A> ”

- 1.664 cm

Los momentos de inercia de las areas del trianguio y del circulo son T

__

h=

bh 3 „6( 5.196 )3 = 23.38 cm4 36 36 nd 4 _ 7i( 2) 4 ~ = 0.7854 cm 4 64 64

Del teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia del area compuesta respecto al eje centroidal es

4 = 4 + ( y - y„ )2 Aa - 4 - ( v -% f Ah

Ifersspi^ 4.3

©

FUNDAMENTOS

—

/

\y /

>' «: = 4r

/

I-

K

4

\

cly.= r

X

X

r/ v = 3r

; = 3r

A-

Area de seccion transversal circular relativa a las coordenadas x '- y' , usada en el ejemplo 4.4.

—

h = 23.38 + (1.664 1.732 ) - (15.59) - 0.7854 - (1.664 - 2 )2 (3.142 ) 4 = 22.31 cm4 = 2.231 x10 -7 m4

BUHCOS En la figura 4 , 7 se muestra una seccion transversal circular de radio r respecto a las coordenadas x’- y *. Los momentos de inercia del area Ix., Iy. y el momento polar de inercia J ., respecto a los ejes x\ y' y z\

-

Usando las ecuaciones ( 4. II ) y (4.12 ) y los resultados del ejemplo 4.2 se obtiene

If = I y

Iy'

+ Arf ?

rrr4 “

- Iy + Ad }

o

— - + nr 2Ur )~ = 16.257T / 4 4

—

jrr4

=—

+

nrz ( 3 r )~ = 9.25w4 o

. = /,- + // = 25.5ro-

J'

.

4.2 4

.

4

RADIO DE GIRO

El radio de giro de un area con respecto a un eje especffico es la longitud que, elevada al cuadrado y mukipUcada por el area, dara el momento de inercia del area con respecto al eje especffico:

*= i A

CAPiTUio

4

147

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORIYIACIONES UNITAR1AS TRANSVERSAL ES

Por tanto, esta es otra forma de expresar el momento de inercia del area. El radio de giro se puede escribir como

r = *

I A

| 4.14}

El radio de giro no es la distancia desde el eje de referenda basta un punto fijo en el area ( tal como el centroide), sino una propiedad util del area y del eje especificado . El radio de giro tiene ia unidad coimin de mih'metros o pulgadas.

Ij© sng»le # J

&AT®§ La m ism a situation que en el ejemplo 4.4. El radio de giro con respecto a los ejes x\ y' y d

MALUyt

Con laecuacion (4.14) y los resultados del ejemplo 4.4 se obtiene I 6.25TT/ 4 '

V

'

izr 2

9.25mA

'i/ =

2525 mA 7tr7

= 4.03r ~

3.04 r

— 5.02r

Cuando el ctrculo es pequeno respecto a las distancias dx y dv , los radios de giro son apenas un poco mas grandes que las distancias centroidales 3/ \ 4ry 5 r.

.

4.2 5 MODULO DE SECCION El modulo de seccion es simplemente equivalente al momento de inercia de un area dividido entre la distancia mas alejada del eje centroidal liasta la fibra exterior del solido c , o

Z-' ll!

— c1

|4 . 1 5 J

La unidad comiin del modulo de seccion es milimetros cubicos o pulgadas ciibicas. El momento de inercia del area I en las ecuaciones (4.13 ) a la (4.15 ) se puede aplicar a 7 e /,. con los cambios apropiados en i\, y Zm. De esta forma, y ZlHX corresponderian ai uso de / v, y rfrr y Zmv corresponderian al uso de /y . En la tabla 4.1 se proporcionan el centroide, el area, y el momento de inercia para siete diferentes secciones transversales. El uso de los subindices x y y para el momento de inercia del area signifies que el momento de inercia del area se tomo con respecto a los ejes centroidales designados de esa forma. Tambien , J implica que el momento polar de inercia del area se obtuvo con las coordenadas centroidales; la J no testada indica que el momento polar de inercia del area se tomo con respecto a las coordenadas x y y. Las formulas que se expresan en esta tabla dependen de la localizacibn coordenada relacionada con la seccion transversal especifica . V

FUNDAMENTOS

f abl«a 4 1 Centroides, momentos de inercia del area y areas para siete secciones transverseles. o

/

Momento de inercia del area

Centroide

Seccion transversal Area circular

7t 4 /

4= 4= x =0

4

/.v. = fc .V =

y=o

x

Jr ~

—2 K

Area

A = nr 2

4

d

r

i

Area circular hueca

x=Q

x

,

ly =

y=o

y

r./ 4 )

A - K (/.2 - r.

r)

f( - ) r4

=

i

—,

~

4

I

4

Area triangular

x = a +b

v

—

b*

H

I

~

-

T

WJ 5

“

_

bh{ b2 + ab 4 a2 )

=

12 bh( b2 - ab + a2 ) 36

*

y

3 A "

/)

5

«

X

12

bh 2

4=

b

x-“

/l /?3

2 A

4

C

A

—

bh~ 2

.v

Area rectangular

t

A

y- T 2

i

r- 7

V

?

j

-b Area de un sector circular

^ .*

4

Ix x

- —32

A =M

, ,)

(

2

+

2

I

(a -

sen 2a) 2 .4 i (a + 1 sen 2a ) 2 4 4

r sen a

a

~

bh 3 12 /l63 12

y

A - r 2a

J = 4- r4a 2

Area de un cuarto de cu e ul o

~l

x=y=

r

/

C®

X

4/ 3—K

4-4-

=

,

14,

J

y

Area de un cuadrante elfptico I

6

C

®

a

>, E:

,

4a 3K 46

- /„ y-

_

—

7

.4

4

16

8

3

Kd /;

7t

16

16

Kd J

Kl

.2

A = *'

K

3

A

16 ’ Iy

,6

Kd /?

K

\ 16

)

4 ab3 9K 4 « 3A 9K

A

= nab 4

CAPiTULO

4

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

9

MOMENTO DE INERCIA BE LA MASA El momento de inercia de la masa de un elemento de masa es el proclucto de la masa del elemento y el cuadrado de la distancia del elemento desde el eje. En la figura 4.8 se muestra un elemento de masa en coordenadas tridimensionales y la distancia desde los tres ejes. A partir de esta figura los momentos de inercia de la masa se expresan con respecto a los ejes x, y y z como

Inx Ly

J (y

“

2

+ r )dm

(!

=|( x 2 + r )dma

= J (x

2

A

14.17)

y )dma 2

j 4 » 13 )

La unidad del SI del momento de inercia de la masa es el kilogramo-metro cuadrado, y la unidad inglesa es la libra masa- pulgada cuadrada. Si en vez de las coordenadas tridimensionales qne se proporcionaron en la figura 4.8 se tiene una placa delgada (vease figura 4.9), de manera que solo el piano x- y se considere, los momentos de inercia de la masa se transforman en /««

= j y 2 dmit

( 4.19)

Ly

= \ x2 dma

(4.20)

J

\

Jo = r 2 dma = ( x2 + y 2 )dma

,

~ I nx

+ Imy

{ 4.21}

El momento polar de inercia de la masa se da en la ecuacion (4.21) como JQ . En la tabla 4.2 se proporcionan la masa y el momento de inercia de la masa de seis formas comunmente usadas. Note en esta tabla que el origen y las coordenadas son importantes para las ecuaciones relacionadas con una forma especifica.

\

2 2 A- lx + z V V

; / /

/

/

jg &C V \

V

V

V \

/: :/

/

/

V Y \ M

/ /

\: \

/

X

/

A

Z

lFf| § Wirsa 4.S Elemento de masa en coordenadas tridimensionales y distancia desde los tres ejes.

FasfUPfis 4*® Elemento de masa en coordenadas bidimensionales y distancia desde ios dos ejes.

14®

FUNDAMENTOS

PARTE 1

Ttfablca 4.2 Masa y momenta de inercia de ia rnasa de seis solidos. Ecuadones

Forma

Variila

'" =

nd 2 l p

<7

4

I . lHul 12

/i« V = /«i = "

Disco 4 /IfLY -

8

//HV = /

Pitsma rectangular

"V16*

=

2

ma - «bcp , (a2 + b2 ) l - na MX

/HIV

1

“

12 fflqC^2 + c2) 12

2 wfl(62 + c ) 12

Cilindro

,a m

2 /p 4 »y/ 2 8

Ttr/

—

1 1

/m.f

+ 4/ 2)

IHIV = /111Z =

Cilindro hueco i

=

ill

!

lmx

:

48

2

^4- If

7t / p (

ni 0 { d(f

(

)

- df )

8

/11IV = /WIZ

ma( 3d f - + 3rff 2 + 4/ 2) (

'

48

I

Bsfera :

=

3 K (! D

6

! m x = lm y

hnz

>»J jQ

2

CAPiTULO

4

ESFUBKZOS CORTANTES V DEFORMACIONES UNITAUIAS TRANSVERSALES

P

i P * i.

Carga interna

Hi wm m i t i

m

'

Sigs9

J P

P

4,1 ©

Carga externa

Barra

circular con cargo de tension

aplicada.

4e3 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACION UNITARIA La barra que se muestra en la figura 4.10 esta sujeta a una fuerza de tension P . Esta fuerza incrementa la longitud de la barra. Para una seccion alejada de los extremos, una intensidad promedio de la fuerza normal, la cual tambien se conoce como el esfuerzo normal promeclio apr0M en la seccion transversal, se puede escribir como O prom

—

P A

< 4.241

donde

A - area de la seccion transversal m 2

.

Una peculiaridad esta asociada con la aplicacion real de las cargas. Si la seccion se hubiera cortado cere a de los extremos, donde la forma ya no es un prisma, la situation sena mas complicada y el sistema de esfuerzos ya no seria de tension simple uniformemente distribuida sobre la seccion transversal For fortuna, los esfuerzos mas alejados del punto de aplicacion de la carga son bastante uniformes [es decir, las concentraciones de esfuerzo (las cuales se estu clian en detalle en el capftulo 6) disminuyen a medida que se incrementa la distancia descle ellas]. Esta tendencia fue notada primero por Saint Venant, por lo que se conoce . como el principio de Saint Venant. Su importancia no debe subestimarse, ya que hace posible la aplicacion de las ecuaciones de este capftulo. Aquf se trata con circunstancias mas alia de las concen traciones de esfuerzos donde los esfuerzos son uniformes. 1 La concentracion de esfuerzo por si misma se analizara en el capftulo 6. De acuerdo con la convencion de signos que se presento en el capftulo 2, un signo positivo se usa para designar un esfuerzo normal de tension; y un signo negativo , para designar un esfuerzo normal de compresion. Un esfuerzo de compresion disminuye la longitud de la barra en la direccion de esta. 1 Lo distancia exacta que uno debe recorrer desde una concentracion de esfuerzos antes de que los esfuerzos se puedan considerar uniformes varla con el material y fluctua desde una longitud caractenstica {diametro, longitud de agarre, etc.) hasta mas de diez longitudes caractensticas para aigunos materiales compuestos.

151

FUNOAMENTOS

PARTE 1

A1 cambio total de la longitud en una barra uniforme causado por una carga axial se le llama deformacion elastica 5. La deformacion normal unitaria es

e=

5~

Deformacion elastica Longitud sin carga

/

Aunque la deformacion unitaria es adimensional , esta dada en terminos de pulgada por pulgada o milimetro por milimetro. De la ley de Hooke para una carga normal uniaxial,

a = EE

o

£

=

a “

E

donde : E - modulo de elasticidad, Pa

El modulo de elasticidad es una constante para un material dado. Sustituyendo las ecuaciones (4.22) y ( 4.24) en la ecuacion (4.23) se obtiene

PI

6 = 8/ = - / =

AE

E

Las ecuaciones (4.24) y (4.25) son validas ya sea en tension o en compresion. Los esfuerzos de tension , que corresponden a un incremento de la longitud, se consider an positivos; los esfuerzos de compresion, que corresponden a una disminucion de la longitud, se consideran negativos. La razon de resorte es la carga normal dividida entre la deflexion elastica, o para una carga normal axial

* -?

-,

AE

La unidad de la razon de resorte para carga axial es newtons por metro o libras por pulgada. Las ecuaciones ( 4.22) a (4.26) son validas para cualquier area de una seccion transversal siempre y cuando el area permanezca constante sobre la longitud 1. ijjesasg&l © 4 «, # ...!

Un eje hueco de acero al carbono, de 50 mm de longitud debe soportar una fuerza normal de 5 000 N en un esfuerzo normal de 100 MPa. El diametro interior es 0.65 del diametro exterior. EEl diametro exterior, la deformacion axial y la razon de resorte.

El area de la seccion transversal se puede expresar como

A~

^

-[cl~ ~ d f 4

Tld ) = -a 4

dj

dO

\

2

= 0.4536 ? /

De la ecuacion (4.22) 4

!

-

P

a

5 000

108

5 x 10 ~5 m 2

.

Par lo tan to

dl = 1.102 x 10^ m 2

^

ESFUERZOS CORTANTES Y

CAPITULO 4

153

DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

da = 1.05 x 10 2 m = 0.0105 m = 10.5 mm

,

Para el acero al carbono el modulo de elastic!dad es de 2.07 x 10 ] Pa. De la ecuacion ( 4.25) la deforma cion elastica es

S=

PI AE

~

(5 000)(0.05 ) _ = 24.15 x lO^ m (5)(10 5)( 2.07)( 1033 )

= 24.15 um = 0.02415 mm

De la ecuacion (4.26) la razon de resorte es

5 000 2.07 x 105 N / mm = 2.07 xl 08 N / m 0.02415 =

Un pescador atrapa un salmon con una carnada sujeta a su cordon de nation de 0.45 mm de diametro . Cuando el pez muerde la carnada, el cordon tiene una longitud de 46 m desde el pez hasta el carrete de la cana de pescar. El modulo de elasticidad del cordon es de 4 GPa , y su resistencia a la rotura es de 70 N. El salmon jala con una fuerza de 50 N. HALLAR El alargamiento elastico del cordon , la ra zon de resorte y el esfuerzo de tension del cordon. '

El area de la seccion transversal del cordon es A

— nd4

2

( 0.45 ) 2

71

4

= 0.1590 mm2

El esfuerzo que ejerce el salmon sobre el cordon es C>

=

( 50)(l 06 )

P “

T

0.159

A

= 0.3144 GPa

El alargamiento del cordon es

5 = e/ =

—

al E

0.3144( 46) ” 4

3.615 m

La razon de resorte del cordon es P

50

3.615 =

13.83 N/m

4* 4 TORSION Un eje es un elemento esbelto que esta principalmente cargado por un momento axial o de torsion ( par de torsion ), el cual provoca una deformation por torsion y esfuerzos cortantes. De esta forma, la torsion es la carga resultante de la torcedura del eje . Los ejes en general se analizaran en el capitulo 11; el enfoque en este capftulo es sobre la torcedura, o torsion , a que estan sujetos los ejes y a los esfuerzos resultantes. El uso principal de un eje es transferir, o transmitir, potencia mecanica de un punto a otro. Los ingenieros estan interesados principalmente en el momento de torsion que se puede transmitir por el eje sin danar al material o sin exceder deformaciones maximas. De aqui que deseen conocer los esfuerzos en el eje y el angulo de torsion . Los miembros circulares solidos son la mayor preocupacion porque la mayorfa de los ejes transmisores de un par de torsion tienen esta forma. El lector interesado en las secciones transversales no circulares, o huecas, puede tomar como referenda el texto clasico de Timoshenko y Goodier (1970) . ’

Eiemplo 4 oJ

FUNDAMENTOS

©

z

!±

A

.

r :s-

tm p:itr | ail m

-

HIMK m MM

SMI. Silffe \ ip®

f

|M

§$

piia

m mm wi m

pi

i/

WM .

§

»1 IH

^11 ^l ©

Figyrss 4 * 1 1 Torsion de un miembro por la

aplicacion de un par de torsion.

0

©

ESFUERZO ¥ DEFORMACION UNITARIA

El par de torsion es un momento que tiende a torcer un miembro con respecto a su eje longitudinal. En la figura 4.11 se muestra la torsion de un miembro sujeto a un par de torsion. El eje circular se deforma de manera que cacla section transversal plana , originalmente normal al eje , permanece plana y normal y no se distorsiona dentro de su propio piano. El eje esta fijo en la parte superior y se le aplica un par de torsion en el extremo inferior. El angulo de torsion se define como 0 . La deformation unitaria residual se asume igual a cero. De esta forma, las cinco deformaciones unitarias son cero (e,. = e0 - e: = yr0 = yrz = 0), y la unica deformacion unitaria diferente de cero es

.=

To

r

r/0

dz

r0

~

l

La ecuacion (4.27 ) tambien se puede determinar de la figura 4.11, observando la superficie comiin , ya que relaciona lyQz y / 0. De la ley de Hooke el esfuerzo esta relacionado a la deformacion unitaria por '

—

.Q

d ** = y*z = Gr dz

°

-

Grd

l

donde

.

G = modulo de elasticidad por cortante Pa

!

En la ecuacion (4.28) la deformacion unitaria por cortante y0, y el esfuerzo cortante T6_ varian linealimente con respecto a ia razon de torsion dQldz « 0//. Asimismo, el esfuerzo cortante no cambia en la direction 0 (debido a la simetna) ni en la direction z (porque la deformacion y el patron de esfuerzos son uniformes a lo largo de la longitud del eje). La razon de torsion dQ / dz , o 0/ / en la ecuacion (4.28 ), es aun una incognita Para resolverla, los esfuerzos deben cumplir con las condiciones de equilibrio, El momento de torsion apli cado, o par de torsion , es ,

T=

l >WdA ) =

G6 /

f

r 2 dA

CAPITULO

4

ESFUERZOS CORTANTES Y

©

155

DEFORMACIONES UNITARlAS TRANSVERSALES

Pero el momento polar de inercia del area es J

= JAf r 2 dA

Sustituyendo la ecuacion (4.30) en la ecuacion (4.29) proporciona el par de torsion , o el angulo de torsion, como

T=

GQJ

/

77 GJ

0=

o

De la tabla 4.1 para un eje circular solido de radio exterior

ra y diametro d ,

ltd 4

2

32

Tambien, sustituyendo las ecuaciones (4.29) y (4.30) en la ecuacion (4.28) se obtiene rT J

|4.33J

El esfuerzo raaximo es

^ max ~~

cT J

{ 4.34}

donde c

= distancia desde el eje neutral hasta la fibra externa, m

La razon de resorte angular se puede expresar como *

T

K=e

-

_ JG

{ 4 . 3 5}

i

Mf§S Un eje circular hueco de 50 mm, hecho de acero al carbono, debe sopor tar un par de torsion de 5 000 N-m en un esfuerzo cortante maximo de 70 MPa. El diametro interior es 0.5 del diametro exterior. MAtmyt El diametro exterior, el angulo de torsion y la razon de resorte angular.

De la tabla 4.1, para un cilindro hueco,

n

nr 4

7 = -{X r 4 — ri. 2

r

De la ecuacion (4.15) el modulo de seccion es

Z,„ =

T

J c

“

“

5 000 70(106 )

= 71.43 x 10-6 m 3

CM

Note que

n r

—ra =

0.5

y

c

—

r

d„

- —2

Por lo tanto, usando las ecuaciones (a) y (c ) , la ecuacion ( b) se transforma en 1 - ( 0.5)

4

] = 71.43 x 10

-6 3 m

M

£l @s3i[pl& 4* ®

1

TOBITg

a

FUNJDAMENTOS

n? = 48.5 l x l O

"

6m3

r„ = 0.03647 m = 36.47 mm

, = 72.94 mm

t/ f

El modulo de rigidez por cortante para el acero al carbono es 80 GPa. Con la ecuacion (4.31) se obtiene la torsion angular debida a la torsion como : •

Tl

*

"

“

GJ

( 5000)( 2 )(0.050) 0.0012 rad 8(1010 )(71.43)(10 ^ )(0.07294) =

Recuerde que 1° = ft/180 racl y 1 rad - 57.296°.

. 0 = 0.0687°

/

De la ecuacion ( 4.35) la razon de resorte angular es T

ka ~ 0

4*4.2

5 000 0.0012

4.167 x 106 N-m / rad

TRANSFERENCIA DE FOTENCIA

Es conveniente presentar la transferencia de potencia directamente despues de considerar los esfuerzos de torsion y deformation. Uno de los usos mas comunes de un eje circular es la transferencia de potencia; por lo tanto, ningun analisis de la torsion serfa adecuado sin incluir este tema. La potencia es la rapidez con la que se reaiiza un trabajo o

hp

— Fuerza x Velocidad = Pit

| 4.36|

4.4.2.1 ysilDADIS lB4GLgS&$ La unidad inglesa de potencia es el caballo de fuerza. el cual se define como 33 000 lbf -pie/ min. Pu f

33 000 donde

P = fuerza, lbf u.j - velocidad, pies/ min La ecuacion (4.37) es apiicable solo para la unidad que se especifica. Para sistemas de rotation la fuerza se puede reemplazar por ei par de torsion si

P~

—Tr

Tambien, la velocidad lineal uf en un radio r se puede cxpresar como 2nrNa

donde

N l - velocidad rotational, rpm r radio, pulg (

—

pies / min

t 4.3*|

CAPhm©

4

1 57

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

©

Sustituyendo las ecuaciones ( 4.38) y (4.39) en la ecuacion ( 4.37 ) se obtiene

2 nrNa 12 V£ 33 000

T

hp

—

TN „ 63 025

T=

o

63 025 hf

caballos de fuerza (o hp)

f4

a

4 ©}

lbf-pulg

)

4*4 « ;2.2 10 NIDAMS ®S6, SI La uniclad del SI de trabajo es el joule, o el newton -metro. La unidad del SI de potencia es eJ watt, o el joule por segundo.

hp

- Pit = 7 co ’

donde P = fuerza, N u - velocidad, m /s T = par de torsion , N-m to - velocidad rotacional , rad /s o

T

=

—

14.42}

0}

El par de torsion que se obtuvo de la ecuacion ( 4.40) depende de las unidades de potencia y de la velocidad rotacional ; pero el par de torsion que se proporciona en la ecuacion (4.42) esta en newtons- metros, unidad del SI del par de torsion .

ifjempl® 4 ,o ^

DATOS Un eje suministra un par de torsion de 10 000 lbf-pulg y gira a 900 rpm. HALLAEt La potencia transmitida tanto en caballos de fuerza como en kilowatts.

5

De la ecuacion (4.40)

hP

”

TNa _ (10 000 X 900 ) = 142.8 hp

63 025

63 025

M

El par de torsion se puede expresar en newtons-metros si 0.0254 m pulg

7 = 10

= 1 130 N-m

De la ecuacion (4.42)

900(27t) 60 s W x V = 1.065 10 = 106.5 kW 7ft) = 1 130

Una conversion de unidades inglesas a unidades del SI se hace mediante la ecuacion

Caballos de fuerza

=

Kilowatts 0.7457

M

FUNDAMENTOS

Por ejemplo, 10 hp equivalen a 7.457 kW. De esta forma , una comprobacion de la solucion que se proporciono en las ecuaciones ( a ) y ( b) es como sigue

142.8 hp =

106.5 kW

0.7457

= 142.8 hp

Por lo tan to, la comprobacion es correcta. ..!

4LS ESFUERZO FLEXIONANTE Y DEFORMACION UNITARL4 La flexion de un miembro largo y delgado, coiminmente llamado viga, a menudo es una preocupacion para los ingenieros. La flexion se presenta en los miembros horizontales de las construcciones (vigas o viguetas) expuestos a una carga vertical debida a las losas de los entrepisos. en los muelles de un camion , y en las alas de un aeroplano que soportan el peso del fuselaje. En cada una de estas aplicaciones el esfuerzo y la deformacion son consideraciones de diseno importantes. A traves de esta seccion se hacen las suposiciones siguientes: 1.

La seccion transversal es simetrica en el piano de carga (respecto al eje y ).

2.

El material solido de que esta hecha la viga es homogeneo y elastico lineal.

Inicialmente se considera un miembro recto y, despues, uno curvo.

"1.1

MIEMBRO RECTO

En la figura 4.12 se indica la flexion que ocurre en un material altamente deformable, como el caucho, el cual conviene a los propositos de demostracion . En la figura 4.12a ) se muestra una baiTa sin deformar con secciones cuadradas, marcadas por Imeas de red longitudinales y transversales . En la figura 4 A l b ) se aplica un momento. Las Imeas longitudinales se transforman en curvas; mientras que las imeas transversales permanecen rectas y, sin embargo, sufren una

M f

\\

^^

1

Las Imeas longitudinales se transforman en curvas /

Las Imeas transversales permanecen reclas, aunque giran b)

Figisr ® 4 1 21 Barra hecha de material elasfomerico que ilustra e! efeclo de la flexion, a ) Barra sin deformar; b) barra deformada. »

CAPIVULO 4

©

ESFUERZOS CORTANTES Y

DEFORMACIONES U N1TARIAS TRANSVERSALES •

Eje de simetria

-A

Eje A*

neutro

- A.v = A v

Eje neufro

de ilexion

4» 1 3

a)

Flexion en una viga en voladizo, que muestra la

b)

Ififgug'® 4 * 1 4 Elementos sin deformar y

deformados a la flexion.

superficie neutra.

rotation . Las Imeas longitudinales tienen un radio cuando la barra se deforma, aunque initialmente estuvieran rectas . En la figura 4.13 se demuestra con mas detalle el efecto de la flexion . El momento flexionante causa que se alargue el material en la parte inferior del miembro, o que este expuesto a un esfuerzo de tension, y que en la parte superior este expuesto a un esfuerzo de compresion. Por ello, entre estas dos regiones debe haber una superficie, llamada superficie neutra, en la cual las fibras longitudinales del material no sufriran un cambio en su longitud. En esta superficie neutra no ocurre ningun esfuerzo de flexion, y no esta expuesta a un esfuerzo de tension ni de compresion. En la figura 4.14 se presentan los elementos sin deformar y deformados cuando ocurre la flexion . La deformation unitaria normal a lo largo del segmento de Lfnea AY es £

=

Km

— As

As'

|4 c 4 3|

As

De la figura 4.11, donde r es el radio de curvatura del eje longitudinal del elemento, Ax. = As = rA0

= ( r -F y )A0

As'

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuacion (4.43) se obtiene

—

(? -I- y )A 0 rA0 '

£

—

= AKm .v >0

;A 0

y r

( 4*44)

La deformation unitaria normal longitudinal variara linealmente con y desde el eje neutral. La distancia mas alejada del eje neutro a la fibra exterior se define como c . La deformation unita ria maxima ocurre en la fibra mas externa, iocalizada en c desde el eje neutro. £

y/ r

^ max

c/r

e

FUNDAMENTOS

° m ix ;

x

y

S

o-

i

,

i

y

Igyrea 4 *1 3 Vista de perfil de la variacion del esfuerzo flexionante.

^

O

£

y

—

C

£ miix

En forma similar, una variacion lineal del esfuerzo normal sobre el area de la section transversal tiene iugar, o •

a

—

C.

CJmax

En la figura 4.15 se ilustra una vista en perfil del esfuerzo normal. Para y positiva el esfuerzo normal es de tension, y para y negativa el esfuerzo normal es de compresion. El esfuerzo normal es cero en el eje neutro. Del equilibrio de fuerzas

0= |dP = odA -

J A

A

J -a ,„axclA - ^ J ydA A

C

C

A

.

Como omJc no es igual a cero

j yclA = 0 A

Esta ecuacion implica que el primer momento del area de la section transversal del miembro respecto al eje neutro debe ser igual a cero. El momento se puede expresar comp

\

M ~ ydP = JyadA = /1

A

^c f

A

Pero el momento de inertia del area es

\

y lA I= \ A

•*

tJniiix

Me I

El esfuerzo en cualquier distancia intermedia y es 0

"

—/

y 2 dA

ESTUERZOS CORTANTES Y DEFOKMACIONES UN1TARIAS TRANSVERSALES

C& PSTUMSi 4

Usando las ecuaciones (3.22), (4.44) y ( 4.49) se obtiene 1

M

r

El

De la ecuacion (4.50) cuando el momento flexionante es positivo, la curvatura es positiva [es decir, convexa en la direction y (Fig . 2.2)]. Si la distribution del esfuerzo normal en una seccion transversal dada no se afecta por la deformation causada por los esfuerzos cortantes, el momento se puede escribir como Vxy. Asf , la ecuacion (4.49) se transforma en

a=

Vxy 1

( 4.51 J

donde V - fuerza cortante transversal , N

El esfuerzo normal es de esta forma proporcional a la distancia x desde la carga a la seccion que se considera. Asf , el esfuerzo de compresion maximo en la barra ocurre tnx = / en la parte inferior de la barra y en la fibra externa. En x - i la barra esta montada en una pared, de modo que forma una configuration en voladizo. Una viga de aleacion de aluminio, con la seccion transversal que se muestra en la figura 4.16, experimenta un esfuerzo flexionante positivo por medio de la aplicacion de un momento M . El esfuerzo permisible es de 150 MPa. HAULMl

a) b)

El momento maximo que se puede aplicai a la viga. Los esfuerzos en los puntos A, ByC cuando se aplica el momento maximo. '

$oi«r «i6si

a)

El area de la seccion transversal, si el subfndtce 1 se refiere a una barra horizontal y el subfndice 2 se reflere a una barra vertical, es

A = Ai + 2 A2

= 8(80 - 16 + 240 ) = 2 432 ram 2

Los ccntroides de las secciones transversales son '

A + 2y2A2 >’ = A }\

4(64 )(8) + 2(6b)(8)(120 ) = 48.21 mm 2 432

x =0

—

-I

8 min '

Eje neutro

8 mm

4.1 6 Seccion transversal con forma de U que experimenta un momento flexionante, utilizada en el ejemplo 4.10. (Figure!

161

FUNDAMENTOS

PAKYE 1

Las distancias descle el eje neutro hasta los centroides cle las barras horizontal y vertical son

dMl = 48.21- 4 = 44.21 mm d„2 = 60 - 48.21 = 11.79 mm El momento cle inercia del area de la estructura compuesta es /

_

/ j + Aid?t ] + 2( /2 + A2 d. ~2 )

12

2 + ( 64)(8)(44.2) + 1

8(120)3 12

f

8(120 )(11.79)2

= 3 574 335 mm = 357.4 cm 4 4

Las distancias desde el eje neutro hasta los puntos donde el esfuerzo se va a evaluar son

dH B = 48.21 - 8 - 40.21 mm

dnA - 48.21 mm

d„c

= 120 - 48.21 = 71.79 mm

El punto C es el mas alejaclo del eje neutro y, de esta forma , se localiza donde es mayor el esfuerzo. Adevnas, del capitulo 2 (seccion 2.3) una flexion positiva implica que la porcion de la estructura compuesta arriba del eje neutro este en tension; raientras que la porcion debajo de este eje este en compresion . De la ecuacion (4.48) el momento maximo es

M,naX b)

=

Opcrm /

(150 ) (106 )( 357 , 4)( l 0~ B )

d/ ,c

( 71.79 )(l 0-3 )

= 7 468 N- m

Los esfuefzos en los diferentes puntos de interes son M = ^I cU OB

=

_

(7 468)(48.21) ( l 0~ 3)

(357.4 ) (i 0“ 8 )

MutodnB

(7 468)(40.21)(lQ -5 )

I

(357.4) (l 0 -8 )

= 100.7 MPa “

= 84.0 MPa “

Gc - G perm = 150 MPa

MlEMBRO CIJRVO En un mierabro curvo el esfuerzo normal y la deformacion unitaria varian linealmente desde el eje neutro, como se ilustra en las ecuaciones (4.45) y (4.46), respectivamente. En un miembro curvo el esfuerzo y la deformacion unitaria no estan linealmente relacionados . Algunos ejemplos de miembros curvos son los ganchos y los eslabones de cadenas, los cuales no son esbeL tos pero tienen un alto grado de curvatiira geometrica. En la figura 4.17 se muestra un miembro curvo a la flexion . La flexion positiva causa que la superficie dc gire a traves de d
c

.. ..

( r ~ rK )d$ rO

CAPhmo

4

©

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES

~b

163

UN1TARIAS TRANSVERSALES

—

d$ J

\

Superficie j y'A ^ centroidal / Superficie j ] '

Eje centroidal

:

c/ < r>

/gg

Eje neutro c

Centro de la curvatura uncial I

Figures 4.1 y Miembro curvo en flexion , a) Vista drcunferencid; b) vista de la seccion transversal.

a)

La deformacion unitaria es cero cuando r es equivalente al radio neutral fibra externa, o r = ra . El esfuerzo normal se escribe simplemente como C

= EE =

E( r - r„)d§ nj)

9

A

r

A

rn y es mayor en la

.

|4 S3)

CIA = 0

{4.54}

Esta ecuacion se reduce a

—

, r dA A ~ r„ I A r

0

=0

'

A clA

1H

( 4.55 )

1r A

En la ecuacion (4.55) se indica claramente que el eje neutro es una fnncion del area de la seccion.

..

En lafigura 4.18 se muestra una seccion transversal rectangular de un miembro curvo, con sus ejes centroidal y neutro. De la ecuacion (4.55 ) el radio neutral para una seccion transversal rectangular es

4.5 2 f

:

YMNSVSMMSS

.- ) = K%' rbdrn ><

r

- V; In

*

\n j

-

b)

Para r men or que rn el esfuerzo es de compresion, y para r mayor que rn el esfuerzo es de tension. La solution para el esfuerzo y la deformacion unitaria en las ecuaciones (4.52) y (4.53) requiere la localizacion del eje neutro. Esta localization se obtiene de la suma de los esfuerzos normales que actuan sobre la seccion y volviendola igual a cero. De esta forma, usando la ecuacion ( 4.53) se obtiene

- In

:

®

{ 4.56}

164

PA&TE 1

©

FUNDAMBNTOS

—— b

Eje centroidal

dr

Eie neutro

r r

f i g y r i 4 . 1 8 Seccion transversal rectangular de un miembro curvo.

El radio centroidal es

r

—

n + >o 2

La excentricidad es

=n

e= -

'

*

^-

+ 2

/

In

7 (‘ \

|4.5 B

*

»

.

4.5 2.2 SECCiONES TRANSVESSAUS cmcmARSS El radio neutral para una seccion transversal circular es

['- V(' ) - 'I ]

r„ = 2 JI

“

'

2

2

donde

rc - radio de la seccion transversal, m

7

= centroide de la seccion transversal o centro de la seccion transversal circular, m

Una vez establecida la localizacion del radio neutral para dos secciones transversales diferentes de un miembro curvo, estamos listos para regresar a la ecuacion del esfuerzo proporcionada en la ecuacion ( 4.53). El momento flexionante es la integral del brazo de momento ( r - rj multiplicada por la fuerza odA, e integrando sobre el area de la seccion transversal, o M=

j ( r - r„)( odA )

Con la ecuacion (4.53) se obtiene

MM=

f dA

Ed
r

Edty f ( r 2

-2 rrn + J )dA r

<1>

, rdA'i b r Edibf I rdA - r„ A - r» A + n? I “

J

/

J—

CAPIYULO

4

©

ESFUERZOS CORTANTES Y

1 65

DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

De la ecuacion (4.55 ) esta ecuacion se reduce a

M

=

Eckj)

( J rdA - ;A)

r

—\

/

( 4*60)

De la definition de un centroide ~

1 rclA A

La ecuacion (4.60) se transforma entonces en M=E

—

Ae

14.611

donde

e= r

- rn

( 4.62J

De las ecuaciones (4.53), la ecuacion (4.61) se transforma en

M

roAe

= r - r„

o My » + y)

Mr

ACT

-

( 4 63)

donde 3; = r - r„

J 4.641

La distribution de esfuerzos tiene forma hiperbolica. El esfuerzo maximo ocurre ya sea en la supeilicie interior o en la exterior : MC:

O:

-

Go

=A

Aer, Mc0 ^;,

J 4.6SJ ( 4.66 )

Una section transversal rectangular de un miembro eurvo, como aparece en la figura 4.18, tiene las dimensiones b = 1 pulg y h = r0 rt = 3 pulg y esta sujeta a un momenta llexionante puro de 20 000 Ibf - pulg. Ningun otro tipo de carga esta actuando sobre el miembro. La flexion positiva ocurre (compresidn en la fibra interna). fHMIJ&ll El esfuerzo maximo para las geometrias siguientes : a ) Un miembro recto. b ) Un miembro cuyo eje centroidal tiene un radio de 15 pulg. c ) Un miembro cuyo eje centroidal tiene un radio de 3 pulg.

—

4* 1 1

FUNDAMENTOS

a)

Para un miembro recto /

bh 3 12

=

Me /

a~

( 20 000 )6 ( 1)( 3) 2

“

/

. a, = Go

b)

I c

h 2

C”

“

“

bhr

6

= 13 333 psi

13 333 psi

13 333 psi

Los radios interno y externo reladvos al radio centroidal de 15 pulg son r0

3

h

= v + - = 15 + - = 16.5 pulg

—

n =? - = 15 2

—

= 13.5 pulg

De la ecuacion (4.56) el radio neutral es r»

n

-n

= In

3

^

16.5 13.5

In

Vn

= 14.95 pulg

e ~ r - r„ = 15 - 14.95 = 0.05 pulg

Las distancias desde el eje neutro hasta las fibras interna y externa son

— 2+ “

d

—

=2 “


= 1 5 + 0.05 = 1.55 pulg


= 1.5- 0.05 = 1.45 pulg

,

Los esfuerzos normales correspondientes son 0.

=

_

,

( 20 000)0 - 45 ) 3(1)(0.05)(13.5)

Me Aei ) Mc0

( 20 000 )(1.55 ) 3(1) (0.05)(16.5)

Aera

=

“

14 321 psi

12 525 psi

Como el radio de curvatura es tan grande , hay muy poca diferencia con los esfuerzos que se encontraron para una viga recta en el inciso a ). c) Los radios interno y externo relativos al radio centroidal de 3 pulg son

Vo

n rn ~

3

h

= y + 2 = 3 + = 4.5 pulg ~

;

”

to

In

r.

*

”

k 2

“

=3

- = 1.5 pulg

4.5 -1.5 2.73 pulg 4.5 = In! 1.5

n

rf

e=r -

3

“

=3

”

2.73 = 0.27 pulg

mmmm 4

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITAR IAS TRANSVERSALES

—h

c0 = + e = 1.5 + 0.27 = 1.77 pulg Ci = ~ e = 1.5

Afc /

( 20 000)(1.23)

/16? r,-

CO(3)( 0.27)(1.5)

a .-

=

Go

= Aer

/

- 0.27 = 1.23 pulg

0

( 20 000 )(1.77 ) ( 1)(3) ( 0.27 X 4.5 )

= -20 247 psi

= 9 712 psi

Asf , entre mas curvada sea la superficie. mas diferentes seran los esfuerzos cle los resultados para una viga recta .

y

4* #

TRANSVERSAL ESFUERZO CORTANTE . I

Y

*

.

.

"

i\

DEFORMAClbN UNITARIA ,

Aderaas de los esfuerzos flexionantes que se consideraron en la seccion 4.5, las cargas sobre un miembro tambien pueden causar esfuerzos cortantes dentro del mismo. En la figura 4.19 se intenta ilustrar como se desarrolla el esfuerzo cortante transversal. En la figura 4.19a ) se muestran tres tablas que no estan pegadas . La aplicacion de una fuerza P provocara que las tablas se deslicen una respecto a otra, y la viga se flexionara como se muestra, con Jos extremos no alineados como estaban cuando no se habfa aplicado la carga. Por otro lado, si las tablas estuvieran pegadas, el esfuerzo cortante longitudinal entre las tablas evitarfa que se deslizaran y, en consecuencia, la viga acluarfa como una unidad, como se ilustra en la figura 4.19/?). En una viga solida los elementos no se deslizan uno sobre el otro, pero el esfuerzo cortante que tiende hacer esto esta presente. Como resultado de la distribution de esfuerzos cortantes internds, las deformaciones unitarias por cortante se desarrollaran y estas tenderan a distorsionar la seccion transversal en una manera bastante compleja. Una barra sin defor-

p \

’

•ty.

?

P

'

v

t

;

-

.

_

•

b)

Figures 4.19 Como se desarrolla el cortante transversal, a) Tablas sin pegar; b) tablas pegadas.

167

.

PAms i

FUNDAMENTOS

V

Figaarea 4 ol2 ® Barra en voladizo hecha de un material altamente deformable y marcada con lineas de red horizontales y verticales, para mosfrar la deformacion debida al cortante transversal, a) Sin deformar; b ) deformada.

mar, como se muestra en la figura 4.20a ) , hecha de un material altamente deformable y marcada con una red de lineas horizontales y verticales, tiende a deformarse cuando se le aplica un esfuerzo cortante, y cambia estas lineas en el patron que se indica en la figura 4, 20/;). Los cuadrados cerca de las partes superior e inferior de la barra retienen sus formas sin deformar. La deformacion unitaria en el cuadrado central de la barra causara que esta sufra la mayor deformacion. El esfuerzo coitante transversal provoca que la seccion transversal se combe, o que no permanezca plana. En la figura 4.206) se ilustra como la deformacion causada por un esfuerzo cortante transversal es mucho mas compleja que la causada por otro tipo de carga (axial, de torsion o flexionante). Las formulas del esfuerzo cortante transversal tambien se aplican a la figura 4.21. El segmento superior sombreado del elemento se ha seccionado en y' desde el eje neutro. Esta seccion tiene un ancho wt en la seccion , y tiene lados de seccion transversal, cada uno tiene un area A '. Como los momentos resultantes en cada iado del elemento difieren por dM ,

l^ =°

a

A~- cf

M M + c!M

(*

/

X

M + cIM \

3 i

i

b)

Vistas tridimensional y de perfil de los mementos y esfuerzos asociados con el segmento IFSgjwpsa de la parte superior del elemento que ha sido seccionado en / respecto al eje neutro. a) Vista tridimensional; b ) vista de perfil.

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

CAPITOL© 4

solo se satisfacen de acuerdo con la figura 4.21 si un esfuerzo cortante longitudinal x actua sobre la cara inferior del segmento. Este esfuerzo cortante longitudinal tambien es responsable de los resultados que se muestran en la figura 4. 1 9 ct ) . La expresion para el esfuerzo cortante en el miembro en el punto localizado a una clistancia y' del eje neutro es

14.671

Iw

donde V - fuerza cortante transversal, N I momento de inercia de toda la seccion transversal tornado respecto al eje neutro, m4 w, - ancho en el punto donde x se determina, m Q = primer momento respecto al eje neutro de la region sombreada de la figura 4.21 = jydA = y' A\ m3

—

A'

.

..

A' - area de la seccion transversal de la portion superior que se muestra en la figura 4.21, m2 y ~ distancia al centroide de A m e d i d a desde el eje neutro, m t

Apiicando la formula del esfuerzo cortante dada en la ecuacion ( 4.67), para una seccion transversal rectangular se obtiene X

6V f hr ~

bh 3

|4.«8 )

v4

donde b - base de la seccion rectangular, m h - altura de la seccion rectangular, m De la ecuacion (4.68) la intensidad del esfuerzo cortante para una seccion transversal rectangular varia desde cero en la parte superior e inferior ( y = ± hf 2) hasta un maximo en el eje neutro (y - 0) . Para otros valores intermedios dene una forma parabolica. Para A = bh y y = 0, la ecuacion (4.68) se reduce a V

X mdx

— L5 A ,

El esfuerzo cortante maximo depende de la forma de la seccion transversal. En la tabla 4.3 se resumen los valores maximos para algunas formas de secciones transversales comunes. En todos los casos , el esfuerzo cortante es cero en las fibras extremas, es maximo en el eje neutro, y tiene una distribucion parabolica a traves del espesor.

Una viga en voladizo tiene una seccion transversal cuadrada y esta expuesta a la carga debida a un esfuerzo cortante perpendicular a la Imea central de la viga en el extremo libre. Los lados de la seccion transversal cuadrada son de 50 mm, y el esfuerzo cortante es de 1.0 000 N. HALLAR Calcule el esfuerzo cortante flexionante en la lfnea central de la viga, a ) si el esfuerzo cortante es paralelo a dos lados de la seccion transversal cuadrada. b ) si el esfuerzo cortante es paralelo a una de las diagonales de la seccion transversal cuadrada.

El momento de inercia del area es l7 =

bh 3 12

=

(50 )(50) 12

3

= 520 833 mm 4

1 6®

17©

PARTS i

FUNDAMENTOS

©

T«alb!«i 4 3 Esfuerzo cortante maximo para o

diferentes secciones transversaies de una viga . Esfuerzo cortante maximo

Section transversal

3V

^ max Rectangular

4V

Tmax Circular

2V

Tm
A

Tubo tedondo

.V

An ax ]

Viga I

Este momento es valido en todas las direcciones debido a la simetria . Asf , el esfuerzo cortante y el momento de inercia del area son iguales para los incisos a ) y b ). a ) Ei ancho del punto donde se aplica x es de 50 mm. La evaluacion de O es 25

O

= jycIA = jySOdy = 50(25) 2 /2 = 15 625 mm 3 .V

0

De la ecuacion (4.67) el esfuerzo cortante flexion ante es

_ VQ _ (10 000)( 15 625) 6.0 N mm 2 6 MPa = / ( 520 833)(50) Iw !

b)

El ancho en el punto donde se aplica x es W/

25 /2 <2 = |2 v 25V2

(

0

—

2

2

= 50

^= 2

70.71 mm

^ -

yjdy = L25

2 y*

- =25 ^ 2 ty

/3

J.v=o

= 14 731 mm3

De la ecuacion (4.67) el esfuerzo cortante flexionante es (10 000X 14731 )

^ =4 Iw , (520 833)(70.71 )

Q

= 4 MPa

CAPlTULO

4

Cns© die esiudii

^

ESFUEKZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

©

171

BlSENO BE UN EJE PARA UNA GORTADORA DE ROLLO

Las hojas de laminacion planus se producer! en molinos de rodillos amplios ; pero muchos productos se fabrican a partir de material en liras. En la figura 4.22a ) se representa una linea cortadora de rollo, donde se cor tan. Luninas grandes en franjas o liras. En la figura 4.22b ) se nuiestva un eje que soporta las hojas de corte. Los rodillos de caucho aseguran que las laminas no se airuguen . En estas Eneas cortadoras, los

ejes que soportan las cuchillas de corte estan altamente esforzados y son componentes importantes. En la figura 4.22c ) se indica el diagrama de cuerpo libre de un eje para una Imea breve de corte, donde se coloca una sola hoja en el centra del eje, y un motor acciona el eje a traves de una polea en el extremo derecho.

Emrolladora

Base de dos rodillos de tension h

Carrele desenrollador ( desenrollad ora )

Consola del operador giua

1 Carro de carga del rollo

a)

Rod illo de caucho

Hoja cortadora Tornillo de ajuste Col I arm

•V

:

N, ( ,

Ni

J

:

Espadadores de acero

/

wmmmw U

M

- 500 Ibf

Eje impulsor

Eje impulsor inferior

K/

Rodillos de caucho >

jfpiiprs

'

1

jHgSsffla IS:

gfljp??

)

l

i

10 pulg

&\

— -L —

10 pulg

RA Co11arm

/ Hoja cortadora inferior Espadadores de acero (atras de la cuchill a cortadora) b)

c)

— '

180 Ibf

540 Ibf i

mm

.

a

.

A

4

mi 5 pulg m B

PSgjwrsa Diseno de un eje para una linea cortadora de rollo. a) lluslracion de la linea cortadora de rollo; b) delalle de la cuchilla y del eje; cj diagrama de cuerpo libre del eje simplificado para el caso de estudio. Las ilustraciones a) y b) son adaptadas del Tool and Manufacturing Engineers Handbook , cuarta Edicidn, volumen 2, Forming ( 1 984) . Reimpreso con autorizacion de la Society of Manufacturing Engineers, © 1984. ( continiia )

172

PARTE 1

FUNDAMENTOS

a

( CONTINUACION)

Csis® die esfudi®

HALLABI Si ei esfuerzo cortante maximo es de 6 000 psi y el calibre mas grande de la lamina causa una fuerza de la cu chilla de 500 Ibf , cual es el diametro del eje que se necesita ? SUGERENCIA : Use on cfrculo de Mohr para determinar el esfuerzo cortante maximo como una funcion del diametro e iguale esta al esfuerzo cortante If mite.

^

Se puede construir un cfrculo de Mohr de acuerdo con el analisis que se reaiizo en el capftulo 2. El cfrculo de Mohr para este caso se ilustra en la figura 4.24 y tiene un radio de 24 500 pulg-lbf/cP. Haciendo esto igual ai esfuerzo cortante maximo permisible de 6 000 psi. se produce 24 500

cP En la figure 4.23 se presen tan los diagramas de cortante y de momento flexionante. Las reacciones se determinan por medio de la estatica y son RA 430 lbf y Rg 650 Ibf . Las liierzas de las reacciones se indican en la figure 4.22c). El cortante maximo ocurre justo a la izquierda de la polea y es igual a 720 lbf. El momento flexionante maximo es de 4 300 lbf-pulg. Aderaas, hay un par de torsion de 2 160 lbf- pulg entre la polea y la hoja de la cuchilla. Se deben analizar dos locaUzaciones:; donde el momento es el mas grande en el eje, y donde el cortante es el mas grande.

=

=

d = 1.60 pulg

b)

Cortante. El esfuerzo cortante maximo en la localizacion del cortante maximo es, de acuerdo con la tabla 4.1,

^ max

4V 3A

.

a)

Momento. El esfuerzo normal en la direccionxen la localizacion de momento maximo esta dado por la ecuacion (4.48) como '

G .v

=

Me I

L

(4 300 )

nd 4

UoL

Tc J

cP

”

1 200 d2

11 000

cP

= 6 000 psi

Resolviendo numericamente se obtiene cl = 1.28 pulg.

El esfuerzo cortante debido al par de torsion ejercido sobre la polea es, de la ecuacion (4.34),

T xy

1 200

,

3

64

4( 720) nd 2\ V 3 4

En un extremo del eje el esfuerzo cortante inducido por la torsion se sustrae de este esfuerzo cortante; en el otro extremo los efectos son acumulativos. De esta forma el esfuerzo cortante total es

43 800

d

= 6 000

c)

11 000 d3

1/ l

Analisis. Como en la mayoria de las aplicaciones de ejes los esfuerzos normales debidos a la flexion determinan el diametro del eje, de manera que se debera usar un eje con un diametro no menor de 1.60 pulg. Se deben considerar varios puntos para este analisis:

M

I

290 lbf

mmm

w

~^

x

mmsi

Figure 4.23 Diagrama de cortante a) y diagrama de momento b ) para un eje de una cortadora de rollo idealizada. ( continua )

WtaL©

4

CM© <de e&todli ©

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

( CONCLUSION)

Cuando se calculo el esfuerzo normal debido a la flexion , se desprecio el esfuerzo cortante debido al cortante , aimque habfa cortante en el eje en esa localizacion . Sin embargo, la distribution del esfuerzo normal es tai que es extrema en la parte superior y en la inferior, donde el esfuerzo cortante es cero. Cuando se calculo el esfuerzo cortante maximo debido al cortante vertical, se ignoraron ios efectos de la flexion . El esfuerzo flexionante es cero en el eje neutro, la localizacion del esfuerzo cortante maxi mo.

Centro en (21 900/r/3, 0)

f

Radio =

Hay dos aplicaciones generales de ejes. A1 gunos ejes son extremadamente largos, como en este problem a; mientras que otros son mucho mas cortos para obtener disenos compactos. Una cortadora de rollo puede tener un eje de mas de 20 pies de longitud, pero serian necesarios mas cojinetes de soporte para tener una mayor rigidez. Este eje se usd solo como un ejem plo ilustrativo; en la realidad los cojinetes de soporte se colocanan mucho mas cerca de la aplicaci.on de la carga, y probablemente senan apropiados mas de dos cojinetes de empaque.

173

21 900 V + d3

—

-11 000

1

m

(43 800Id 3 , 11 000/z/ 3)

FIgjasrca 4 * 24 Circulo de Mohr para la localizacion del esfuerzo flexionanle maximo. >

*

>

El espacio libre de 10 pulgadas entre el cojinete situado mas hacia la izquierda y las cuchillas de corte es totalmente innecesario y conduciria a mayores deflexiones del eje , como se analizara en el capitulo 5.

4*7 RES OMEN En los primeros cuatro capftuios se ban proporcionado las bases necesarias para describir el esfuerzo y la deformation unitaria para los cuatro tipos de cargas ( normal, de torsion, flexionanle y de cortante transversal ) que pueden ocurrir en un elernento de maquina. Estos esfuerzos y deformaciones unitarias se empiearan mas adelante en este libro en el diseno de elementos de maquina. En cada capitulo se trato de udlizar el conocimiento aprendido en capftuios anteriores. Se supuso a traves de los primeros cuatro capftuios que el miembro que experiraentaba uno de los cuatro tipos de cargas tenia una section transversal simetrica y que estaba hecho de un material homogeneo elastico lineal . El capitulo 4 se inicio defi niendo el centroide, el momento de inercia, el teorema de los ejes parateiosyel radio de giro y el modulo de seccion. Era necesario entender estos conceptos antes de explorar los esfuerzos y las deformaciones unitarias resultantes de la aplicacion de cargas normales, de torsion, flexionanle y de cortante transversal. Estas defmiciones, las cuales se usaran a traves de todo el libro, fueron seguidas por los esfuerzos y las deformaciones unitarias que se encontraron en los cuatro tipos de cargas. Mientras se evaluaban el esfuerzo y la deformation unitaria debidos a una carga normal, se determino conveniente incluir el desplazamiento axial y la razon de resorte. Para una carga de torsion se presentaron ios esfuerzos y las deformaciones unitarias , asi como tanibien la torsion angular y la razon de resorte angular. Tambien, al analizar la torsion las ecuaciones relevantes asociadas con la transference de la potencia se proporcionaron tan to en unidades del SI como inglesas. Se explicaron los esfuerzos y las deformaciones unitarias asociadas con la flexion , ast como la importancia del eje neutro. Se analizo tanto un miembro recto como uno curvo. Las deformaciones asociadas con la flexion y la carga transversal combinada no se analizaron en este capitulo; pero se consideraran en detalle en el capitulo 5 . En la ultima seccion del capitulo se definio el esfuerzo asociado con el cortante transversal .

FUNDAMENTOS

PALABRAS CLAVE centroide de un area

centra geometrico de un area, m

deformacion unitaria normal deformacion eiastica dividida entre la longitud sin carga esfuerzo normal promedio carga normal promedio dividida entre el area de la seccion transversal, Pa modulo de seccion momento de inercia de area dividido entre la distancia mas alejada desde el eje centroidal hasta la ftbra exterior de un solido, m3

momento de inercia de la niasa eiemento desde el eje, kg-m2

producto de la masa del elemento y el cuadrado de la distancia del

J

momento de inercia del area representada por la integral EdA , rrd rapidez con la que se hace un trabajo, o fuerza por velocidad , N-m/s

potencia

radio de giro radio que cuando se eleva al cuadrado y se niultiplica por un area proporciona el momento de inercia del area , m

razon de resorte carga normal dividida entre la deformacion eiastica, N/m

teorema de los ejes paralelos teorema que estipula que el momento de inercia del area, con respecto a cualquier eje, es igual a un segundo momento del area coil respecto a un eje paralelo a traves del centroide mas el producto del area y al cuadrado de la distancia entre dos ejes torsion

carga resultante al torcer un eje

LECTURAS RECOMENDADAS Beer, F.P. , y Johnson , E. R. (1981) Mechanics of Materials . McGraw-Hill, Nueva York. Craig, R.R. (1996) Mechanics of Materials , Wiley, Nueva York. Juvinall, R . C. (1967) Stress, Strain and Strength , McGraw-Hill, Nueva York. Lardner, T.J., y Archer, R . R . (1994) Mechanics of Solids: An Introduction, McGraw -Hill , Nueva York . . . . .. .. .. . .. . . . s . . . Popov, E . (1968 ) Introduction to Mechanics of Solids , Prentice-Hall. Englewood Cliffs, NJ. Timoshenko y Goodier (1970) Theory of Elasticity , 3a. ed., McGraw-Hill, Nueva York. Ugural , A.C., y Fenster, S. K. (1995) Advanced Strength and Applied Elasticity , 3a. ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. .

...

,

REFERENCIAS Marshall , R.D, , y otros (1982) Investigation of the Kansas City Hyatt Regency Walkways Collapse, U.S. Departament of Commerce, National Bureau of Standars, Report NBSIR 82-2465, Timoshenko y Goodier (1970) Theory of Elasticity , 3a. ed., McGraw -Hill, Nueva York . Tool and Manufacturing Engineers Handbook (1984), Society of Manufacturing Engineers, Dearborn , MI.

ZAmmm 4

©

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

PROBLEMAS Section 4 «2 y

5r 3

r

r

K

r

r Boceto a , de los

3r

2

2

problemas 4.1 y 4.2

4.1

Un area en sistema de coordenadas x- y , como se indica en el boceto a> consiste en un circulo grande, el cual tiene un radio r y del cual se cortan ires circulos mas pequenos con radios ri3. Encuentre las coordenadas x y 3; del centroide del circulo. El radio r es igual a 10 cm.

4.2

La superficie circular en el boceto a tiene recortes circulares pegados a ella diagonalmente abajo del recorte superior, de manera que los centroides de los ties recortes estan en x = r y y = rf 3. Determine las coordenadas x y y del centroide ( r = 10 cm ).

4.3

El area rectangular que se muestra en el boceto b esta situada simetricamente en el sistema de coordenadas x~ y. Las longitudes de los lados del rectangulo son a en la direccion x y b en la direccion y . Calcule los momentos de inercia 7V e Jy y el momento polar de inercia J de la

superficie del rectangulo .

-

Hums b

l a Boceto

b, del problema 4.3

4.4

Derive el momento de inercia del area circular hueca que aparece en la tabla 4.1.

4.5

Encuentre el momento de inercia del area del cuadrante eUptico que se ilustra en ia tabia 4.1.

ITS

FUNDAMENTOS

4.6

Determine el momento de inercia del area de la seccion triangular que aparece en la tabla 4.1 .

80 mm

:

100 mm

60 mm

$ i

x i

I

40 mm

Boceto c, del problema 4.7

4.7

Calcule el momento de inercia del area de una seccion rectangular con un recorte corao se muestra en el boceto c.

4.8

Halle el momento de inercia del area y el momento polar de inercia de las dos relaciones que se indican en el boceto cl.

y

0.9 m

x 3m

Boceto d , del problema 4.8

!

!

:

!

Seccion 4 »3 4.9

Un elevador pende de un cable de acero. El cable tiene un area de seccion transversal de 200 mm 2 y un modulo de elasticidad de 70 GPa. La aceleracion hacia arriba cuando el elevador comienza el ascenso es de 3 m/s2. El cable tiene una iongitud de 100 m y el elevador pesa 1 000 kg. Determine el esfuerzo en el cable, el alargamiento del cable debido al peso del elevador, y el extra alargamiento debido a la aceleracion .

CAPITUIO

ESFUERZOS CORTANT ES Y DEFORMACIONES UNITARIAS TRANSVERSALES

4

.

4.10 Los cables cle 700 m de iongitud de un puente en suspension estan sometidos a un esfucrzo de tension de 200 MPa. La fuerza total en cada cable es de 10 MN. Calcule el area de la seccion transversal , el alargamiento total de cada cable, y la razon de resorte cuando el modulo de elasticidad es de 70 GPa. 4.11 Un piston de acero de 1.28 m de Iongitud en un cilindro hidraulico ejerce una fuerza de 4 000 kgf. El piston esta hecho de acero AISI 1080 y tiene un diametro de 50 mm. Determine el esfuerzo en el piston, el alargamiento y la razon de resorte.

4.12 Un pilar de acero que soporta el puente de una carretera tiene una altura de 14 m y esta hecho con un tubo de acero AISI 1040 con un diametro exterior de 1.5 m y un espesor de pared de 30 ram. El peso que soporte el pilar es de 12 MN . Calcule la deformacion del pilar, ia razon de resorte y el esfuerzo en el pilar. 4.13 La cimentacion de una estatua de bronce consiste de un tubo conico de 3 m de altura, con espesor de pared constante (8 mm). El diametro exterior del tubo es de 200 mm en la parte superior (apenas debajo de la estatua) y de 400 mm en el suelo. El material del tubo es acero inoxidable AISI 316. La estatua pesa 1 630 kg. Determine la deformacion del tubo, la razon de resorte y los esfuerzos de compresion maximo y rmnimo en el tubo. 4.14 Calcule la deflexion en un punto A del cono colgante que se muestra en el boceto e . El cono tiene una densidad de 2 000 kg/m3.

- 0.1 m -

1

Boceto e, del probiema 4.14

4.15 Un liucleo de aluminio con un diametro clt de 30 mm se coloca dentro de un eje de acero tubular, el cual tiene un diametro da de 50 ram. Vease boceto / En el extremo del eje una placa se suelda y se le aplica ja fuerza de una polea de 100 kN . El eje tiene una Iongitud de 100 mm. Encuentre la deflexion en el extremo del eje y los esfuerzos inducidos en las secciones de aluminio y de acero del eje. Suponga que los modulos de elasticidad son de 2 x 10 n Pa para el acero, y de 0.7 x 10" Pa para el aluminio.

-

rJt

Jl

; {o

I

100 mm

Boceto f, del probiema 4.15

s 100 kNi

I 1»

Wmm

W

>

177

ITS

FUNDAMENTOS

EPA&TEE 1

4.16 Una barra de peso W esta soportada horizontalraente por ties varillas sin peso, como se muestra en el boceto g . Suponga que las areas de las secciones transversales, los modules de elasticidad y los esfuerzos de fluencia son iguales para las tres varillas. Cual es el peso maximo que se puede soportar?

^

21

/

l

b

b

Boceto g , de! problema 4.16

Section 4 A 4.17 Un motor electrico transmite 100 kW a una caja de velocidades a traves de on eje solido de ace.ro de 50 mm de diametro que gira a 1 000 rpm. Encuentre el par de torsion que se transmite a traves del eje y la torsion angular del eje de 1 m de longitud . 4.18 El eje transraisor del par de torsion en el problema 4.17 es demasiado pesado para la aplicacion deseada, asi que se cambia por un tubo circular con un diametro exterior de 50 mm y diametro interior de 40 mm. Encuentre la torsion angular del eje formado con el tubo, el cual tiene una longitud de 1 m, cuando se transmiten 100 kW a 1 000 rpm. El modulo de cortante es de 80 000 N/mm2. Halle tambien el esfuerzo cortante maximo en el tubo y el porcentaje de la disminucion del peso respecto al eje solido. : 4.19 Un eje transmisor de par de torsion , de acero, hueco, con una seccion transversal circular tiene un diametro exterior de 50 mm y un diametro interior de 40 nun. Encuentre la longitud maxima posible del eje si la torsion debe ser menor de 10° en un par de torsion de 2 000 N-m.

4.20 La estatua de bronce que se describio en el problema 4.13 es asimetrica, de manera que cuando la fuerza de una rafaga de viento actua contra ella se aplica al tubo un par de torsion con una fuerza de torsion de 1 000 N-m. Calcule cuanto gira la estatua . El espesor de pared del tubo, 6 mm en la parte superior y 12 mm en el suelo , se supone que es proportional a su diametro. 4.21 Determine el diametro minimo de un eje solido utilizado para transmitir 500 kW de potencia de un motor de 2 000 rpm , de manera que el esfuerzo cortante no exceda 50 MPa. 4.22 Un acoplamiento de acero se usa para transmitir un par de torsion de 30 000 N- m. El acoplamiento se conecta al eje por un numero de perrios de 0.05 m de diametro colocados equidistantes sobre un circulo de paso de 0.3 m de diametro. El diametro interior del acoplamiento es de 0.1 m. El esfuerzo cortante permisible sobre los pernos es de 500 MPa. Encuentre el numero minimo de perrios que se necesitan .

4.23 Un eje y un acoplamiento van a transmitir 50 kW de potencia en una velocidad angular de 1 000 rpm. El acoplamiento se conecta al eje por medio de 10 pernos con diametro de 20 mm colocados sobre un circulo de paso de 200 mm . Para un esfuerzo permisible sobre los pernos de 1.00 MPa, son capaces los pernos de transmitir esta potencia ?

.

^

Seccion 4,5 4.24 Una viga que transmite un momento flexionante M de 5 000 N- m tiene una seccion transversal cuadrada de 100 por 100 mm. El peso se disminuye haciendo uno o dos agujeros axiales circulares a lo largo de la viga. Determine si uno o dos agujeros proporcionan el peso mas bajo de la viga para un esfuerzo flexionante dado. Ignore el esfuerzo cortante transversal .

CAPiTUm 4

©

ESFUERZOS CORTANTES Y DEFORMACIONES UNITAR1AS TRANSVERSALES

4.25 Una viga recta esta cargacla en los extremos pot momentos M : El momento de inercia del area de la viga es / = ayb!\ 2. Encuentre la distribucion del esfuerzo flexion ante en la viga cuando M - 1 000 N-m, c/ = 3 cm, y b = 6 cm . Determine tambien el radio de curvatura con el cnal la viga se curva . El modulo de clasticidad de la viga es de 2.05 x 10 JI Pa. *

4.26 La viga del problema 4.25 se curva en una direccion perpendicular de manera que / = ab2 fl 2. Encuentre la distribucion del esfuerzo flexionante y el radio de curvatura con el cual se curva la viga. } 4.27 Una barra curva tiene una seccion transversal rectangular con una altura h = ra \ = 50 mm y un ancho b = 100 mm. Su radio interior es de 100 mm. Encuentre la distancia entre el eje neutro

y el centroide.

4.28 La baira curva del problema 4.27 se carga con un momento flexionante de 3 000 N- m. Determine el esfuerzo mas interior y mas exterior en los radios .

4.29 Dos vigas con secciones tensvefsales rectangulares a x b se colocan una endma de la otra para formar una viga con una altura 2a y con un ancho b . Encuentre los momentos de inercia del area I , e Iv de las dos vigas a ) Cuando las dos se sueldan a lo largo de su longitud. b ) Cuando no estan soldadas.

y

%

4

I

i

i

:

5a

1

l

$

I 1

b bl20

m 1a

\ I1

I

x

I

1

hi 20

1

Boceto h , del problema 4.30

4.30 Dos placas delgadas de acero con un ancho Z?/ 20 y una altura 5 a se colocan una en cada extremo de las dos vigas del problema 4.29. Vease boceto h . Determine los momentos de inercia respecto a los ejes A y y *

a) b) c)

Cuando las placas no estan soldadas. Cuando las placas se sueldan como en el boceto h. Cuando se sueldan para formal un tubo cerrado 5 a x 1.1 Z?. *

Seccion 4 6 «

4.31 Una viga en voladizo. con una seccion transversal rectangular, se carga por medio de una fuerza perpendicular a la Knea central de la viga en el extremo libre. La seccion transversal es de 75 mm de altura y de 25 mm de ancho. La carga vertical en el extremo libre de la viga es de 20 000 N . Calcule que longitud debera tener la viga para soportar esfuerzos de tension y de compresion 10 veces mayores que el esfuerzo cortante maximo. Tambien. calcule estos

esfuerzos. 4.32 Una viga en voladizo con una seccion transversal de tubo circular tiene un diametro exterior de 100 mm y un espesor de pared de 10 mm . La carga perpendicular a la viga es de 15 000 N, y la viga tiene una longitud de l . 2 m desde el punto de la fuerza a la pared donde la viga esta empotrada . Calcule ia flexion maxima y los esfuerzos cortantes .

4.33 Una cans de pescar hecha de plastico reforzado con fibra de vidrio en forma de tubo, tiene un diametro exterior de 10 mm y un espesor de pared de 1.5 mm. Las fibras de vidrio son paraielas al eje del tubo, de manera que el plastico soporta el esfuerzo cortante flexionante, y las fibras

1 7©

FUNDAMENTOS

soportan los esfuerzos flexionantes. La cana de pescar tiene una Iongitud de 2 m. Determine si la cana falla por esfuerzos de tension en las Libras o por cortante sobresforzando el plastico. La resistencia a la flexion del plastico reforzado con fibra es de 800 MPa, y su resistencia al cortante es de 3.2 MPa.

4.34 Dos vigas de aluminio, como la que se muestra en la figura 4.16 , se sueldan para formal una section transversal cerrada con dimensiones de 240 por 80 mm . La soldadura se realizo muy mal , de manera que la pared solo tiene un espesor de 2 mm en vez de 8 mm. El esfuerzo cortante permisible en la soldadura es de 50 MPa, mientras que el esfuerzo flexionante maximo permisible es de 150 MPa. Encuentre si la viga de 2 m de Iongitud failara primero en las fibras mas extemas o en la soldadura. '

4.35 Para disminuir tanto como sea posible el peso de las vigas sujetas a flexion , el centro de gravedad de la seccion transversal se col oca tan alejado del centro de gravedad de la viga como sea posible . Una viga que soporta un piso tiene una seccion transversal como se muestra en el boceto /. El momento flexionante que actua sobre la viga es de 3 000 NLm y la fuerza cortante es de 1 000 N . Caicule el esfuerzo flexionante maximo y el esfuerzo cortante maximo .

50 mm

;

r

10 mm &

:

160 mm 4 mm

io mm mmMmmmmmmmm 100 mill

Boceto \, del problema 4.35

CAPS?UL O

DEFORMACION

Fotografias a alia veiocidad de urtd pelofa de golf antes y despues del impacto. (Cortesia de Cordin Camera Company}

Dejeme decide el secreta que me hci conducido a mi meta. Mi resistencia se basa en mi tenacidad. Louis Pasteur

181

182

PAKTE i

©

FUNDAMISNTOS

SfMBOLOS A Cl

b Cj , C2 c ! v:

area, vrr dimension de la longitud , m dimension de la longitud , m

»

constantes distancia desde el eje neutro hasta la fibra externa de un soiido, m / modulo de elasticidad, Pa modulo de elasticidad por cortante, Pa •

E G h I

J l

M p Q Q

R T U V v

altura. m momento de inertia del area, m4 mo men to polar de inercia del area, m4 longitud , m momento, N - m fuerza, N carga aplicada en el punto de deformation, N intensidad de carga, N /m fuerza de reaction , N par de torsion, N-m energia de deformacion unitaria , N - m fuerza cortante, N volumen, m3

S o1

paso unitario de la distribution de carga, N /m coordenadas cartesianas, m razon de la deformacion unitaria por cortante deformation (deflexion ), m deformacion maxima (deflexion ), m deflexion en la localization de la carga aplicada, m razon de deformacion unitaria pendiente razon de Poisson esfuerzo normal , Pa esfuerzo cortante, Pa

Wo

x* y> z Y

5

Smi„

S, 8

0

v G X

:

.

Subuidices

:w.

A, B , C puntos en los cuales ocuiTen las reacciones y los momentos a, b solidos a y b horizontal H maximo(a ) max V vertical coordenadas

INTRODUCCION

El enfoque de los capitulos 2 a 4 ha sido describir la carga, el esfuerzo y ia deformacion unitaria para varias condiciones que pueden ocurrir en los elementos de maquinas . Para un diserio seguro es importante conocer el esfuerzo del diseno y asegurarse de que sea menor que el esfuerzo de fluencia para materiales ductiles y menor que el esfuerzo a la rotura para mate riales fragiles. Sin embargo, tainbien se debe power atencion a 1a limitation de la deformation unitaria y al desplazamiento, puesto que un elemento de maquina falla si una parte se deforma elasticamente de manera excesiva. Por ejemplo, en maquinaria de alta velocidad con toleran cias pequehas, las deflexiones excesivas causan interferencia entre las partes moviles. En este capitulo se intenta cuantificar la deformacion que ocurre en una gran variedad de elementos de maquinas . Se debe notar que en este parrafo el desplazamiento, la deflexion y la deformation se usan para dar a en tender esencialmente lo mtsmo. En el capitulo 4 se analizo la deformation debida a esfuerzos normales [ecuacion (4.25)], y se definio el angulo de torsion para un esfuerzo de torsion [ecuacion ( 4.31) ], asi como la razon de resorte y la razon angular de resorte para esfuerzos normales y de torsion [ecuaciones ( 4.26) y (4.35), respectivamente]. Estas derivaciones se describieron en el capitulo 4 porque son simples y facilmente se podian incluir con el desarrollo de los esfuerzos. En este capitulo no se repiten estas derivaciones. El capitulo 5 se centra en describir la deformacion para cargas distribuidas, como las que ocurren en una viga . Algunos enfoques que se analizan son el metodo de la integral, la funcion de singularidad, el metodo de superposition y el teorema de Casti gl iano.

-

.

.

t &Pimio s

DEFORM ACION

-

EELACION MOMENTO CURVATURA En la figura AAAb ) se presenta un elemento deformado de una viga recta en flexion pura. El radio de curvatura r se puede expresar en coordenadas cartesianas como d2y dx 2

1 r

„-, 23

dy\1+ dx

{ BA )

Pero d. yldx es mucho menor que 1. d2 y dx 2

1 r

15.2)

Susdtuyendo la ecuacion (5.2) en la (4.50) se obtiene d2y dx 2

M El

| { S ,3

Esta ecuacion relaciona el desplazamiento transversal con un momento flexionante. Aunque una aproximacion a la curvatura se uso al reducir la ecuacion (5.1) a la ecuacion (5.2), que es valida solo para angulos flexionantes pequenos, esta es una aproximacion razonable para la mayorfa de las vigas en las aplicaciones de elementos de maquinaria. La ecuacion (5.3) es la relacion momento-curvatura y en algunas ocasiones se hace referenda a la misma como “ la ecuacion de la lrnea elastica” . Es conveniente presentar la intensidad de carga, la fuerza cortante, el momento, la pendiente, y la deformacion en el grupo siguiente de derivadas ordenadas : d4 y dx 4

q El

(5.4 )

dly

V El

dx 3

M _ d2y El dx 2 } “

6=

y

dy dx

-m

fs.^5

15.7?

Si se usan unidades del SI en estas ecuaciones, las unidades apropiadas son newtons por metro para la intensidad de carga, newtons para la fuerza cortante, newtons-metro para el momento, y metros para la deformacion . La pendiente es adimensional , lo cual quiere decir que esta dada en radianes.

1 S3

184

PM TE 1

FUNDAMENTOS

©

Al integral la ecuacion (5.3) se obtiene la pendiente adimensional en cualquier punto x como *

dy

EI -+- = EIQ = - Mx + Cl, Si la ecuacion (5.8) se integra, de nuevo, se obtiene la deflexion en cualquier punto x como

Efy( x )

-

x2 + CjX + C2 2

-M

Note que si se integra la funcion de intensidad de carga se producira el negativo de la distribution de la fuerza cortante, 0

^

V( x ) =

q( x )dx

(5 . 1 0)

Ademas, al integral' la fuerza cortante se obtiene el momento

J

M (x ) - V ( x )dx

1)

0

Las ecuaciones (5.3) a (5.11) se usaran en la obtencion directa de ia deflexion debida a cualquier tipo de carga.

Eiempl © 3 ! ®

Una fuerza perpendicular P actiia en el extremo de una viga en voladizo con una longitud /, como se mnestra en la figura 5.1. Suponga que la section transversal de la viga es constante a lo largo de la viga, y que el material de que esta hecha es el mismo en toda su longitud , lo que implica que el momento de inertia del area / y el modulo de elasticidad E son cons tan tes. HALLAH La deformation para cualquier x, la pendiente de la deformation , y la localization y el valor de la pendiente maxima.

P'

f

I

"

1

y

j

P'

f

1 M

Figura 5,1 Viga en voladizo con una fuerza concentrada aplicada en el extremo fibre, usada en ei ejemplo 5.1 .

CAPBTOL© 5

I

3@!ssfd @ er§ El momento es M - Px. De la ecuacion (5.3 )

d2y dx 2

M El

_

~

Px El

Integrando una vez se obtiene dy dx

__

PA 2 2 ET

Integrando una vez mas se obtiene

y=

“

Px 3 f CjX + C2 6£7

Las condiciones de frontera son 1.

x=/

)>

2.

x=l

dy/dx ~ 0

=0

De la condicion de frontera 2

P/ 2 , 2 P/ Px 3

P/ 2 x + Ci 2P7

6£7

Utilizando la condicion de frontera 1 se obtiene

C2

=

__ P/ 3

P/ 3

„

__

PP

^

P ( x 3 + 3 / 2 x - 2P ) 6 P7 y

,f y _ P(P - x 2 ) 2 El

dx

La pendiente maxima ocurre en x = 0 y es

4

'

dx

v=0

,

PZ 2 2 El

©

DEEORMACION

1 S5

PA&TS 1

sst

FUNDAMENTOS

FUNCIONES DE SINGULARIDAD

Por medio de una funcion de singularidad se expresan en una ecuacion lo que normalmente se expresaria en varias ecuaciones separadas con condiciones de frontera. La deflexion se obtiene mientras se utiiizan las funciones de singularidad con el procedimiento siguiente: 1.

Dibuje un diagrama de cuerpo libre donde se muestren las fuerzas que actiian en el sistern a.

2. Use el equilibrio de fuerzas y momentos para establecer las fuerzas de reaction que actiian en el sistema. 3.

Escriba una expresion para la funcion de intensidad de carga para todas las cargas que actiian en el sistema, usando la tabla 2.2.

4. Integre la funcion negativa de la intensidad de carga para obtener la fuerza cortante y, luego, integre la fuerza cortante para obtener el momento.

5. Use la ecuacion (5.9 ) para describir la deflexion en cuaiquier valor

,

6. Grafique lo siguiente como una funcion de x:

a ) Cortante b ) Momento c ) Pendiente d ) Deflexion

En los tres ejemplos siguientes se indica como determinar la deflexion usando las funciones de singularidad . Estos tres ejemplos son situaciones generates que se usaran en todo el libro.

M& fiW

Una barra tiene un peso unitario entre ios extremos simplemente apoyados . La deflexion para cuaiquier valor de x usando las funciones de singularidad.

En la figura 5.2 se muestra un diagrama de cuerpo libre de los extremos simplemente apoyados de la barra completa y de una porcion de la barra. Con base en la tabla 2.2 para fuerzas conceotradas , la ecuacion de la intensidad de carga para las fuerzas que se muestran en la figura 5.2b ) se puede eschbir como

q( x ) =

Pb (A ) /

— P( x — a )-l

*

Integrando dos veces se obtiene el momento como

~M{ x)

1 = ^l ( A ) — P( x — a )

j

*

A1 usar la ecuacion (5.3) se obtiene

^

E/ -

dx

2

= -MW =

Pb 1 ( A ) - P( x a ) 1 l

—

CAPlTULO

5

DEFORMACION

b

a \ <

RA =

Pb

P

l

D = RB

Ra /

a)

J V

m A

- a— H

rt

*A =

A

/7; /T

M

P

“

*) ifjwrsa 5.2 Diagrama de cuerpo libre de una fuerza en cualquier Sugar enlre ios extremos simplemente apoyados. a) Barra completa; bj porcion de la barra .

^

Debido a que El es constante a lo largo de la barra , con 3a integracion de la ecuacion (c ) se tiene

E± irf - Pjix - af + Ci EIE = dx 21

m

Integrando una vez mas se obtiene

Ely ~

^

~(

6/

x) W

3

6

{A - a ) 3 4- CJA -FCO

'

I ©}

'

Las condiciones de frontera son

1.

y = 0 en x = 0

2.

y

= 0 en x —

C?

=0

l resulta

(b cr= - Pb6[ + Pb61 __ Pb 61

^

y( x ) = -

—6 EI

~

(x

2

-l 2

Pb

-

- - fe 2 ) + (A

~ / 2 ~ ;v 2

l

)=

'

I ®} a)

3

Is )

Observe en la ecuacion ( g) que cuando x < a el ultimo termino a la derecha del signo igual es cero, y cuando x > a los parentesis angulares se transforman en parentesis redondos. Para mas information acerca de los parentesis angulares , vease el capitulo 2 (section 2.9). Tambien note en la figura 5.2 que la y positiva va hacia arriba; pero en la ecuacion ( g) la y es ncgativa, lo cual quiere decir que va hacia aba jo.

187

108

FUNDA MENTOS

MISTS 1

IjjMapfe 5*3

DATOS Una barm en voladizo tiene una distribucion de paso unitario sobre una parte de la barra, como se muestra en la figura 5.3. La barra esta fija o empotrada en la estructura en el punto A; y libre, en el extremo C. La distribucion de paso unitario comienza en ei extremo libre. HA&lAit Derive una expresion general para la deflexion en cualquier punto A y en el extremo libre, *

usando las funciones de singularidad. Tambien describa la deflexion para dos casos especiales:

a) b)

cuando no se aplica una carga de paso unitario. cuando la carga de paso unitario se aplica sobre toda la longitud .

La ecuacion de la inlensidad de carga de las fuerzas y momentos que se muestran en la figura 5.3c) se expresa utilizando la tabla 2.2 como

q{ x ) - w0b( x )

' - w0

Integrando dos veces

^

j

a + -~ (.v)

2

-M ( x ) = w0b( x ) - w0&fa + j{x)°

^

]

Cuando se usa la ecuacion (5.3) se obtiene

EI

&

M ( x ) = WQb{ x )

dx 2

1

~

w0 b a + V

- H'o (.i - o )0

—

( «0

( x ~ ci )2

— ]( )°

—WO2 {'x - a‘}

\2

/

A

Integrando una vez resulta

EI & = %Lb ( x ) dx 2

2

~

C7

+

—2b )*> ^6 lx x - a'f + C i

1

td

A1 integral de nuevo se obtiene '

Ely( x ) =

° b ( x )3 6 W

W

W

wo ( A

°b

24

2

—

ci

) + C\ x + C2

Ml

Las condiclones de frontera son dy

1.

—dx = 0 en

2.

y = 0 en x = 0 > C2 = 0

A

= 0 > C, = 0

—

y '

=

w0 bx 3 El _ 6

bx 2 ( b\ 1 , a+ (X A - aX) 4 2 l 2 ) 24

—

'

I ©}

CAPITIILO s

DEFORMACION

1

-b-

a

;

”o

:

.

- V -•K?*O V

IA

%

_

B

'

4.

>v

as

lllteE

BW

-

PI?

C a)

b vl’

o

3 777

^

b)

x-a

a

;

”o a4

—b2

V

w $b

c) Barra en voiadizo con distribucion de paso unitario sobre ^isgwaa 5.3 de la barra. a) Cargos y deflexion que actuan sobre la barra en

una parte

voiadizo; bj diagrama de cuerpo libre de las fuerzas y momentos que actuan sobre toda la barra; c) diagrama de cuerpo libre de las fuerzas y momentos que actuan en una porcion de la barra .

La deflexion en el extremo libre, o donde x = a 4- b, es

yi

=

w0 b 4 El 24

b( a + b ) 2

2 Cl H

-

b\ b ( a \- b ) 6 2

3

m

—wElb 0

a)

a3 3 2 ab 2 ci b 4 i 3 4 2

—

b3 8

Para el case especial de b ~ 0, ),Iluix = 0 ( no existe deflexion ).

18 ®

FUNDAMENTOS

Para el caso especial de a = 0

b)

Vi

wQb 4

= - SL7

En esta situation el paso unitario se extiende completamentc a traves de la longitud L

SIATOS Una barra en voladizo tiene su otro extremo simplemente apoyado, y una fuerza concentrada actiia en eualquier punto a lo largo de la barra como se muestra en la figura 5.4. ISAi ld&& Determine una expresion general de la deflexion de la barra usando las funciones de singularidad.

.

Observe en la figura 5 Ab ) que se tienen tres incognitas, RA> Rc y Mc. Las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos producen dos ecuaciones. Una solution a este dilema consiste en tomar una de las fuerzas de las reacciones como una incognita y expresar las otras dos en terminos de esa incognita.

:. RC = P ~ RA

Mc = Pb - RAl La ecuacion de la intensidad de carga para las fuerzas que se muestran en ia figura 5 Ad) se express como

q( x ) = RA ( X )

1

—

P{ x — a )

-l

Integrando dos veces se obtiene el momento como ~

ME ( x ) = RA ( x )

l

- P( x - ay

Usando la ecuacion (5.3) resulta

Elddx y = — M (x) ~ RAx — P{ 2

~

X

—

1

a}

Integrando da

EI

^ dx

R

x2

AT

"

—

P 2

+ C\

A1 integral una vez mas se obtiene la deflexion como '

Ely

-

RA

V3

~~ { x

- a )3 + C\ X + C2

Las condiciones de frontera son

1. 2.

—

y = 0 enx = 0 > C2 = 0

—=

dx

0 en x = / da

C i =-n

r

~

P

,

}

p

CAPiTULO

5

©

DEFORMACION

b

a

p

A

c

-—

-

a)

b

t.

m

'

j ,wc

liasMSB

f

; l

*c />)

i

x-a V > «

MQ

*

A

C)

FSgwm 5 * 4 Una barra empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro tiene fuerza concentrada que actua en cualquier parte a lo largo de la barra . a) Boceto de conjunfo; b) diagrama de cuerpo libre de toda la barra; c) diagrama de cuerpo libre de una parte de la barra .

t P

Ely = RA ~

3.

y = 0 en x

—

\3

/

"

RA1

X

2

(3 )

l

Pb2

RA

2P

(3l - b )

III

La expresion general para la deformacion es

y

P xb2 (~3 / 3 + 3lx 2 + 3bf 2 - bx 2 ) - ( x - a } 3 6 EI 2P

Cuando se sustituye la ecuacion (j ) en

ecuacion (d ) se obtiene

ME { x )

~

m

Pxb 2

2P

(3l - b )- P( x - a )1

m

*

1 1

192

PARTE 1

FUNDAMENTOS

M Q (X = 0} = 0

Observe que

"

Im )

Pbhi MB (X = a ) = 213 ( 31 - b )

(3l - b ) - Pb -M 0 ( x = l ) = PbH 2r-

=

00

Pab

212

( 21 - b )

(O)

El momento es negativo en x = a y positivo en x / , en las ecuaciones ( n) y (o). No resulta claro si la magnitud maxima existe en x - a o en x = / . Cuando a = ( - 1 ) / - 0.414 / , la magnitud del momento flexionante en B es igual en C . Cnando n < 0.414 / , el momento mayor ocurre en B ; y cuando a > 0.414 / , el momento mayor ocurre en C.

72

5.4 METODO BE SUPERPOSICION En el metodo de superposition se usa el principio de que la deflexion en cualquierpanto en una barra es igual a la suma de las deflexiones causadas por cada carga que actua de forma separada. Asi, si una baiTa se curva por n fuerzas separadas, la deflexion en un punto particular es la suma de las n deflexiones, una para cada fuerza. Este metodo depende de la linealidad de las relaciones gobernantes entre la carga y la deflexion, e incluye la reduction de las condiciones complejas de carga y el apoyo en una combination de condiciones simples de carga, para las cuales las soluciones estan disponibles. Entonces la solution del problema original toma la forma de una superposicion de estas soluciones. En la solucion se supone que la deflexion de la barra es linealmente proportional a la carga aplicada. De esta forma, para n cargas diferentes laecuacion (5.3) se puede escribir como

-

El

cl 2 y dx 2

2

=

— El dxcl

2

(3;i + J; 2

4- M 2 H

M„

| |S» 1 2

En la tabla 5.1 se ofrecen soluciones para algunas situaciones de deflexiones de barras simples que se combinan y producen la deflexion de una situation mas compleja.

En la figura 5.5 se muestra una barra en voiadizo, es dectr, fija en un extremo y iibre en el otro. Un momento se aplica en el extremo libre, y una fuerza concentrada se aplica a cualquier distancia del extremo fijo. HAULA& Utilice el metodo de superposicion para deterrainar la deflexion en el extremo libre.

En la figura 5.5 b ) se representa la deflexion con un extremo fijo y el otro libre para una fuerza concentrada en cualquier punto dentro de la longitud de la barra. E11 ia figura 5.5c) se indica un momento aplicado al extremo libre y la deformation . De acuerdo con la tabla 5.1 se obtienen directamente las deflexiones individuates como

ytA

Pa 2

6 EI

( 31 - a )

CAPIIULO s

DEFORMACION

Tcsfelaa 5 * 1 Deflexion para fres situaciones dtferentes cuando un extremo esta fijo y el ofro libre, y

dos situaciones diferentes de extremos simplemente apoyados. Dellexion para cualquicr x

Tipo tie carga r-. -

Carga concentrada en cuaiquier A y P

*

V

eii

a

8 j|!

! i

Jt

y ~-

—

« - ) -r'+3 A

fl

'

rj

3

2

\ a)

yi

Distribution del paso unitario sobre una parte o en toda la viga

y

-—

3?

a

fa2 , , /7 \; 2 ^ 2

fa 3 6

w0

El

•

- 424r (A- - «>4

I :

f >7

lr.

Momenta aplicado ai extremo libre

.1

2 y - - Mx

M

2El

l-

©r

fa

—

P

-b

~a

V

k

3

f]

^

1

p( ) j

y

P( f )

b

wo a ! X )

J k

^

fa

) (c +|

k

[

+ J b3 + 6be2

A‘ -]- 4c3 - 4/ 2 ( c

H* 4/

+~ )

'

193

FUNDAMENTOS

&

y

——

a

P

A .

By -

iZ'JliiMfZ?

X >’l i -m

c

0

w

i

i a)

a

P

1

1

f

^

>’/, 1

**

b)

Ma

'N

y

si il Hi !i !

>'u

IS

c)

Figpyrea 5.5 Barra fija en un extremo y libre en e! ofro, con un momenta aplicado en el extremo libre y una

fuerza concentrada en cualquier distancia desde el Conjunto completo; b) diagrama de cuerpo libre que indica el efecto de la carga concentrada; c) diagrama de cuerpo libre que presenta el efecto del momenta. extremo libre. a)

y

>7,2

“

Ml 2 2 El

La deflexion resultante de la aplicacion del metodo de superposicion es

yi

~

>’/.i + >7.2

-Pa2 ( 3l - a ) + 3Ml 2 6 EI

CAPITULO s

DEFORMACION

La deflexion en cualqnier punto de la barra es

y

Mx 2

- 6 EAX[{A - a'}3 - xs + 3 x 2 a + 2EJ *

W)

SeS ENERGIA PE DEFORMACION UNITARIA Las vigas estaticamente indeterminadas y ias vigas con propiedades del material o secciones trails versales variantes no se pueden analizar de forma adecuada con los metodos estudiados hasta este punto. Cuando la carga esta relacionada con la energia, como en el caso de un objeto que golpea a una viga con una velocidacl inicial dada, las fuerzas exactas de las cargas no se conocen . Por esta razon los metodos de energia con frecuencia resultan bastante utiles. Cuando las cargas se aplican a un elemento de maquina, el material del elemento se deforma. Durante el proceso. el trabajo externo realizado por las cargas se converting por la action del esfuerzo normal o por el esfuerzo cortante, en trabajo interno llamado energia de defor macion unitaria , con la condition de que no se pierda energia en forma de calor. Esta energia de deformacion unitaria se almacena en el cuerpo. La unidad de la energia de deformacion unitaria es newtons-metros en el SI, y libras fuerza pulgadas en unidades inglesas. La energia de deformation unitaria siempre es positiva aun si el esfuerzo es de compresion, porque el esfuerzo y la deformacion unitaria siempre estan en la misma direction. El simbolo V se usa para designar la energia de deformacion unitaria. '

-

-

©

S" 1

ESFUERZO NORMAL

Cuando un especimen de prueba a la tension se expone a una carga axial , un elemento volumetrico del material (como se muestra en la figura 5.6) se expone a un esfuerzo axial, y el

esfuerzo desarrolla una fuerza dP = a dA = <3 zdxdy

15.13)

,

sobre las cams superior e inferior del elemento, despues de que el elemento experimenta un alargamiento vertical e/fe.

dx

clz.

Figures 5,6 Elemento sujeto esfuerzo normal.

a un

195

FONDAMENTOS

El trabajo se determina por el producto de la fuerza y el desplazamiento en la direction de la fuerza. Como la fuerza AP se incrementa uniformemente desde cero basta su magnitud final dP, cuando se obtiene el desplazamiento e/fe, la energia de deformation unitaria es la magni tud de la fuerza promedio dPI 2 por el desplazamiento Ezdz o dU =

1

~ dP

\2

Cuando se usa la ecuacion (5.13) y dv = dxdydz se obtiene dU

1

= —2 Grt "- dV "

Entonces, en general, si el miembro se expone solo a un esfuerzo normal uniaxial, la de deformation unitaria es

energia

as 2

dv

Tambien , si el material se comporta de una manera elastica lineal, se aplica la ley de Hooke y la ecuacion (3.3) se sustituye en la ecuacion (5.15) para obtener

f/ =

J[ —2 E dv

Para una cargo axial de una barra de longitud l , utilizando la ecuacion ( 2.7), resulta ,

pi

\[ 2 EA dv

U=

2

Pero dv ~ dAdx

,u =\ PAE dx — 2PHAE !

"

2

J

02

Para un momento flexionante expuesto a una carga dada, al usar la ecuacion (4.49 ) se obtiene

l 2E

J 2 EI 2 dv

Pero dv = dAdx, donde dA representa un elemento del area de la section transversal . Tambien recuercle que AP / 2EP es una funcion en sf misma de x; entonces /

CAPfTULO

5

DEFORMA ciON

Con la ecuacion (5.7) se obtiene t

U=

M2 clx o 2 EI

|5.19 |

5* Se 2 ESFUERZO CORTANTE Considere el elemento volumetrico que se indica en la figura 5.7. El esfuerzo cortante provoca que el elemento se deforme de tal manera que solo la fuerza cortante dV = xdxdy, que actiia sobre la parte superior del elemento, se desplaza ydz en relation con la superficie del fondo. Solo las superficies verticales giran y, por lo tanto, las fuerzas cortantes sobre estas superficies no contribuyen a la energia de deformacion unitaria. De esta manera, la energia de deformacion unitaria almacenada en el elemento debida a un esfuerzo cortante es dU =

—( 1

xdxdy ) ydz

o dU

1

= iZ xydv ~

A1 integral todo el volumen se obtiene la energia de deformacion unitaria almacenada en el miembro debida al esfuerzo cortante como . . *

2

civ

{5 . 2 1 J

Si la ley de Hooke expresada en la ecuacion (4.28) se aplica para el esfuerzo cortante, resulta

£/ =

dv {J —2G t2

Para la energia de deformacion unitaria en torsion de ejes circulares, cuando se usan las ecuaciones (4.27 ) a ( 4.33) se obtiene

TV

J

2GJ 2

dv

Figa# ? ® B + T

Elemento sujeto

a un esfuerzo cortante.

1 97

ffl

FUNDAMENTOS

Pero dv = dAdx , y T1/ 2GJ 2 es una funcion en si misma de x:

,u = l 2GJT i

~

J 0

2

Utilizanclo la ecuacion (4.30) se tiene i 0

T2 dx 2GJ

Si el eje tiene una seccion transversal uniforme,

U

T 2l

= 2GJ

Recuerde que la tabla 4.1 contiene los valores de J para un numero de secciones transversales diferentes; pero la ecuacion (5.24) se puede usar solo para secciones transversales con una simetria circular.

HIATOS Un eje solido de 1 m de longitud con una seccion transversal circular tiene un diametro de 40 mm sobre una longitud de 0.5 m y de 30 mm sobre el resto de la longitud. El eje se carga con un par de torsion de ] 100 N m. El material del eje es acero al alto carbono AISI 1080. 3MI LA5I Calcule la energia de deformacion unitaria en el eje. Determine tambien el radio de las energfas de deformacion unitaria almacenadas en ia parte mas delgada y en la mas gruesa del eje.

.

-

De acuerdo con la ecuacion (5.23)

i

°

—

1 f 1.0 T2 T 2 1 r 0.5 dx dx + dx ~ J 2 Jo.5 2GJ 2G { J 1 Jo

—

Segiin la tabla A. l para el acero al alto carbono AISI 3080 se tiene E

= 207 GPa

v

y

= 0.3

De la ecuacion (3.6) el modulo de cortante es

G=

E 2( 1 -bv )

__ 207(109 ) Pa 2(1 H- 0.3)

79.6 GPa

~

Para una seccion transversal circular solida se tiene .4

Ji

^ = -(0.02) = 25.13{ J2 =

“

4

lO

8

'

) m4

( 0.015) 4 = 7.952(l 0 8 ) m 4 '

CAPlTULO S

©

DEFORMACION

La energia de deformacion se vuelve '

“

108 1 1002 108 Vi + 2(79.6 ) (109 ) L 25.13 7.952

_U

= 62.91 N - m

La razon de la energia almacenada en las dos partes se expresa en relation con los dos terminos conteni dos en los parentesis rectangulares como

Ut

7.952(10-® ) = 0.3164 25.13(10-® )

J2 7

,

U2

.

5.5 3 ESFUERZO CORTANTE TRANSVERSAL La energia de deformacion unitaria generada por el esfuerzo cortante se obtiene por medio de la ecuacion (4.68) . Para una seccion transversal rectangular con ancho b y altura /?,

T

N

—

y2 \

3V

= 2A

C

3L y1 1- 2 c 2bh

2

|5.25)

Cuando esta ecuacion se sustituye en la ecuacion (5.22) y se Integra, se obtiene

U=

A2

3V V 2G\2bh 1

dv

A1 establecer que dv = bdxdy results

u=

I

8Gbh 2 .{ {

c4

c2

J

J 0

A1 integral se produce *

9VH 2 y3 y U= 8Gbh2 3c 2

,

y5 5c 4

vv= c /

y-~ c

Ai sustituir los limites se tiene C/ =

6 V 2 lc 5Gbh 2

Recuerde que c = hf 2.

.

; U=

3V2 / 5Gbh

C 5.26 )

Por medio de la ecuacion (5.26) se obtiene la energia de deformacion unitaria debida a un esfuerzo cortante transversal para una seccion transversal rectangular.

199

MUTE 1

FUNDAMENTOS

©

f«sfei«a 5.2 Energia de deformacion unitaria para cuatro tipos de cargos.

Tipo de carga

Energia de deformation unitaria para el caso especial en el que los tres factores son constantes con x

Factores implicados

Axial

P* EtA

U=

Flexionante

M , E, /

t/ =

Torsion

T, G , J

U=

t/ =

KG, A

Cortante transversal (seccion rectangular)

Expresion general para la energia de deformacion unitaria !

PH

P2

dx

o 2 EA

2EA

MH

»

2 El

ri

-i

‘

M2

dx

o 2 El t

uA TLdx

-

o 2GJ

2GJ 3 V 4/

'

5 GA

o 5 GA

3 V2

rf*

En la tabla 5.2 se resume la energia de deformacion unitaria para los cuatro tipos de carga. Recuerde que el cortante transversal es valido solo para una seccion transversal rectangular . Respecto a la torsion la tabla 4.1 se debera usar para 7, el momento polar de inercia del area de una seccion transversal circular. Respecto a la flexion, la 7 corresponde a *

5.5.4 ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS La energia de deformacion unitaria total asociada con un estado general de esfuerzo se expresa como xyzlyz

2

2

2

2

T ,7

.

:

2

civ

15.271

Utilizando la ecuacion ( B .44) se obtiene

U=

\ A (02 + a

2

+ a2 )

_ x (a

V

^ v + a ,.a, + <

?;a,

) + 2(x% +

dv

C5

*

Si solo los esfuerzos principales o l a2 y reduce a 9

( \.. A 27s

U=

G2

28 )

actuan sobre los elementos, la ecuacion (5.28) se

+ a2 + a 2 )

_ X (0 a 7s

|

2

+ a 2 ( j3 + 03(Jl ) d v

J 5.291

TEOREMA DE CASTIGLIANO Con frecuencia es necesario calcular la deformacion elastica de cargas distribuidas que no resulta tan simples como las presentadas, Por medio del teorema de Castigliano se maneja un amplio rango de problemas de deflexion. Aquf se hace un uso extensivo del material de energia de deformacion unitaria que se presento en la seccion 5.5 .

CAPHTUM 5

DEFORMACION

201

En el teorema de CastigSiano se establece que cuando un cueipo se deforma elasticamente por un sistema de cargas, la deflexion en cualquier punto p de cualquier direction a equivale a la derivada parcial de la energia de deformation unitaxia (con el sistema de cargas que actiia) respecto a una carga en p en la direccion a, o

du

’ = dOj

}i

|So3@|

La carga Qi se aplica a un punto particular de la deformacion y, por lo tanto, no constituye una funcion de x. De esta forma se permite tomar la derivada respecto a Qt- antes de integral las expresiones generates de la energia de deformacion unitaria. Tambien la carga puede ser cuaiquiera de las cargas que se presentan primero en el capftulo 2 (section 2.3) y a lo largo del libro: normal, cortante, flexionante y de coitante transversal. En la tabla 5.2 se muestra la energia de deformacion unitaria para los diversos tipos de carga. El procedimiento si guiente se us a en el teorema de Castigliano: '

1. Obtenga una expresion para la energia de deformacion unitaria total incluyendo

a ) Cargas (P, M, Tt V ) que actiian sobre el dispositivo ( use la tabla 5.2). ti) Una fuerza ficticia Q que actiia en el punto y en la direccion de la deflexion deseada. 2. 3.

Encuentre la deflexion por medio de y - dU / dQ. Si Q es ficticia, haga Q = 0 y resuelva la ecuacion resultante.

La mejor forma de entender como aplicar el teorema de Castigliano consiste en observar la manera en que se usa en varios ejemplos. En los cuatro ejemplos siguientes se demuestran varias caracteristicas del enfoque de Castigliano.

OOT0S La barra simplemente apoyada de la figura 5.2, con una fuerza P aplicada eo x - 112. iWiXM Determine la deflexion en la localizacion de la fuerza aplicada 5/ usando el teorema de Castigliano. Considere tanto la flexion como el coitante transversal . }

Debido a la simetna, la deflexion en el punto de ia aplicacion de la fuerza se obtiene al duplicar la solucion de cero a 111. Los dos tipos de cargas que se aplican a ia barra son

a)

Flexion con

b)

Px

= —2

y

P V=2

y

M

_x

dM dP

“

2

Cortante transversal con

dV dP

_l

~

2

Utilizando la tabla 5.2, la energia de deformacion unitaria total se expresa como

,, 2J 1? M 2 dx , 2J r~ 3V 2 dx, + = J

U

0

2 El

'l 5GA

iN

Ifempl ©

PAR?E S

FUNDAMENTOS

A1 usar las ecuaciones (a) y ( b), la ecuacion anterior se transforms en 1/ 2

Jo

1/ 2 3 P2 P2 X 2 dx dx + 4 El ' 10 GA

\

Del teorema de Castigliano se dene

-SP = dU a/ — 5

y Px - r/x +

4J

0

2 EI

<

,

l

3p 5 GA

Como P, P, /, G y A no son funciones de A, esta ecuacion se convierte en

5/* =

P/ 3 48P/

3P/ 10GA

MI

El primer termino del lado derecho se debe a la flexion; y el segundo, al cortante transversal. Para comprender mejor las contribuciones de la flexion y del cortante transversal a la deflexion total de la fuerza apiicada, se supone que la barra tiene una section transversal rectangular. De la tabla 4.1 para una forma rectangular / - bli' lll y A ~ bh. Al sustituir estas expresiones en la ecuacion (d ) resulta

5P =

3 PI P/ 3 ~ AEbh? 10Gbh

la cual se puede reescribir en la forma siguiente

bP

~

3PI lOGbh

5Y G V / V +i /

eJLA J

m

Recuerde que el primer termino dentro de los corchetes se debe a la flexion; y el segundo, al cortante transversal. Para el acero al carbono G/ E - 0.383. La razon longitud a aitura llh de una barra por lo comun es de al menos 10. Suponga el valor mas pequeno, lih = 10. Despues de poner los valores de G / E y l / h en la ecuacion (f ) , el primer termino dentro de los corchetes es 32 veces mayor que el segundo. De esta forma, eu la mayoria de las aplicaciones el termino del cortante transversal sera considerablemente menor que el del momento flexionante (casi siempre, menos del 3% ).

Una barra en voladizo con una fuerza concentrada que actiia en una distancia b desde el extremo libre, como se indica en la figura 5.8. Determine la deflexion en el extreme libre usando el teorema de Castigliano . Se puede ignorar el cortante transversal .

Observe que en la figura 5.8 se genero una fuerza ficticia , pues ninguna fuerza actua en el extremo libre. El momento para cualquier valor de x se express como

M = Qx + P( x - b ) La unica fuerza que contribuye a la razon de la deformacion unitaria total es el momento flexionante, y de la tabla 5.2 se tiene dx u = ! Mr 2 EI j)

1 / |02 x 2 + 2 QxP( x - b ) 4- ( P{ x - b ) ) ~ dx 2 EI Q .

>

CAPfrULO 5

5

r

B> iii

A

—

P

b

1'

:ci mi

Q I I

P

6

t

>

'

> r -v / / - , •

303

DEFORM A CION

a

1

I Ci

S *

|

I

! §

•

“

II

-I

0°

its

or

b)

Figura 5.8 Barra en voladtzo con una fuerza concentrada que actua a una distancia Jb desde el extremo libre . a) Sistema coordenado y puntos importantes; b) fuerza ficticia mostrada junto con la fuerza concentrada .

er dc

Del teorema de Castigliano se obtiene

o

5A

~ =~ dQ = 2 El

^

i

i\

- + 2 P x{ x - b )dx 3

Haciendo Q = 0 e integrando resulta )

n<

SA

P 2 [ l { 2l - 3b ) + b 3 ] 6 El

(b)

c £

DTOI

§l La configuracion del cable que se muestra en la figura 5.9« ) se puede eiaborar con diferentes ! M materiales y tener diferentes areas de seccion transversal en sus dos partes, las cuaJes son iguales y se denotan con los submdices 1 y 2. HA& EUU8 Calcule el desplazamiento horizontal en el punto de la aplicacion de la fuerza vertical usando el teorema de Castigliano.
v*

UdUgiUtt

Observe que en el diagrama de cuerpo libre de la figura 5.9Z?) se tiene que crear una fuerza ficti cia Q puesto que no actua ninguna fuerza horizontal. Del equilibrio de fuerzas verticales y horizontales se

tiene

r« iz«

Ic

XPv - 0 -A ~ P+ Pi sen 0 + P2 sen 0 = 0 J PH = 0 -A Q - Pi COS 0 4- P COS 0 = 0

^

2

i |es«pi@ S»#

PARTE i

FUNIMMENTOS

Si se establece Q = 0, se obliene

5A.V

=

PA / 2 2 El

m

De esta forma, por medio de los cuatro ejemplos presentados se demuestra el amplio rango de los problemas de deflexion, para los cuaies se aplica el teorema de Castigliano.

Ctas® die ©sfudli®

DlSENO DE UNA ESTRUCTURA DE PROTECCION CONTRA CAIDA DE OBJETOS PARA UN MONTACARGAS

in la figura 5.11 se ilustra un montacargas industrial comiin, usado para el manejo de materiales en fabricas y bodegas. Una caracteristica de diseno necesaria para un montacargas es que el mastil consista en cilindros telescopicos, de manera que por medio del montacargas se puedan depositar y to mar objetos puestos sobre bases muy por encima del nivel del suelo, maximizando el uso del espacio del suelo en las instalaciones de almacenamiento. Sin embargo, existe un serio problema de seguridad cuando el montacargas se usa en grandes extensiones del mastil. Si el operador desalinea ligeramente la horqui11a con los soportes o con los recipientes de deposito, estos pueden golpear el soporte, desequilibrando la carga sobre la horquilla. Las cajas o los objetos sobre la horquilla se tambalean entonces por el desbalanceo y caen sobre el operador, causandole heridas graves. Para prevenir tales incidentes, se usa una estructura de proteccion contra catda de objetos (FOPS por sus siglas en ingles) para mantener al operador seguro dentro de la cabina del montacargas. En este caso de estudio se investiga parte del proceso de diseno de selection de las dimensiones de la FOPS . &&TOS La FOPS en consideracion consistira de dos soportes a la derecha y a la izquierda del operador con un refuerzo cruzado entre ellos . El objetivo del diseno es lograr una deflexion maxima menor de 3 pulg slim objeto cae desde una altura de 20 pies. HMLAR Si se usa un tubo cuadrado de acero extruido con dimension exterior de 2 pulg por lado para el refuerzo cruza do, elija el espesor del tubo que protegera al operador. Ignore la falla de la soldadura y el alabeo de los soportes laterales para hacer que el problema sea superado, aunque estos normalmente se considerarian en un diseno industrial. En la figu ra 5.11, a = 36 pulg, b = 50 pulg y c = 84 pulg .

Un enfoque importante que los ingenieros us an consiste en considerar el escenario en el peor de los casos . Un disenador tendra en cuenta todos los casos razonables de carga , resistencias de los materiales, abusos del producto, etc., y escogera todas estas variables para minlmizar la seguridad del sistema. Si el diseno soporta aim las peores condiciones, el disenador estara razonablemente seguro de que soportara aplicaciones que son improbables de aproximarse a este nivel de rudeza. En este caso no se ha especificado ninguna fuerza, asi que el disenador debera elegir una . Observe que aunque un montacargas puede levantar un gran peso de una plataforma, generalmente las c tugas pesadas no se almacenan mas arriba del respaldo de la horquilla. Asi que las cargas pesadas no seran candidatas para caer sobre el operador. Por lo tan to , parece razonable elegir una carga de 200 Ibf (porque es una carga pesada que un operador aiin puede mover y colocar sobre la horquilla ). De esta forma, la energfa de entrada es 200 Ibf por la distancia que la fuerza recorrera antes de golpear la FOPS, o (200 Ibf )(25 pies - 7 pies )(12 puig /1 pie) = 43 200 lbf-pulg. Una caja cornun golpeara con mas de un refuerzo cruzado y mas cerca de un soporte lateral o del otro . Sin embargo, el escenario en el peor de los casos ocurre cuando la caja gol pea el centro de un refuerzo cruzado. Los soportes verticales resultan mucho mas rigidos que los refuerzos cruzados, los cuaies estan cargados en tension y, por lo tanto, se suponen rigidos. Aunque esto puede parecer contrario al escenario en el peor de los casos, en la practica el dailo a la FOPS de un montacargas se presenta en las soldadu ras que conectan al refuerzo cruzado con ios soportes laterales o en ia deformacion por flexion de los refuerzos cruzados . El ultimo caso es el que se considera aqui. ( continua )

c &piim® 5

eras© de estadi ©

207

DEFORMACION

©

(CONTINUACION )

El operaclor calcula mal la altura; el choque causa que la carga se caiga; la FOPS protege al operaclor

# 1 pie

m

0

FOPS

i

A

1/

I S

7 pies fcgj

*

Mastii

m ”

-

lHt ? ; i

llllfeiil

:„

Horquilla /

fejj niya .

.

t

j

«) Refuerzos cruzados

0

§§#s

C)

Figures 5« 1! Figuras usadas en ei caso de estudio. a) Montacargas; Jb) detalle de la FOPS ( no a escala ); c) FOPS idealizada para su analisis.

Una energfa de deformacion unitaria U se aplica en el centra de un solo refuerzo cruzado, conduciendo a una fuerza dinamica maxima P (desconocida) de acuerdo con el escenario en el peor de los casos que se describio arriba. Para hacer las deformaciones mayores de lo que en realidad serian en ia practica, se supone que la viga esta simple men te apoyada. En realidad , las soldaduras en ia interface refuerzo cruzado/apoyo lateral se sumaran a la energfa de deformacion unitaria ; pero al ignorar esta cantidad las deformaciones que se predijeron estaran un tanto altas. En la figura 5.12 se muestra un diagrama de cuerpo libre y diagramas de cortante y momento flexionante del refuerzo cruzado central , La energfa de deformacion unitaria por la flexion se calcula median te la ecuacion (5.19) como a/ 2 M2 clx U= 2| i 2 EI

—Ell —^ 1

ai

? P 2 x 2 dx

=

P 2 a3 96 EI

Es diffcil obtener la energfa de deformacion unitaria por cortante para un tubo hueco. En un analisis del escenario en el peor de los casos, el tubo se tomara como un cuadrado solido con la misma area de seccion transversal que el tubo hueco cuadrado. Entonces, de acuerdo con la ecuacion (5.26), la energia de deformacion unitaria para el cortante transversal en el refuerzo cruzado es

? 3 U2 dx J

0

5GA

3P 2 a

= 20GA

Para los soportes laterales la energfa de deformacion unitaria debida a Ia flexion es bf

U=4

2

M2 clx o 2 EI

J

o b/ 2 p 2

— —

P 2 b3

= El ;f 16 x2 dx = 384 El ( continuei )

308

PARTS 1

FUNDAMENTOS

<2>

(CONCLUSION)

C®i$@ d ® estadi ^

v

p

y

M

\'

j

»

/

.

*

a P/ 2

X

iii

M = Pa/4 L

P/2 fl )

*)

c)

Figures 5.13 a} Diagrama de cuerpo libre; diagramas de b) cortante; y c) de momenta flexionante del refuerzo cruzado de la FOPS. *r

y la debida al cortante es U = 2'j

3V 2 , rfx J 5GA f

—

3P 2 b 40GA

Entonces la energia de deformacion unitaria total es

U101

-

P 2a 3 96 EI

P2

P 2 b3 384 El

1 a3 El 1 96

i

3 P2a 20 GA

b3 384

3P 2b 40GA

3 20 GA

b

-

2

De acuerdo con el teorema de Castigliano, ecuacion (5.30),

y=

dU dp

dp

—

1

a3

= P < El l 48

P2

—

a3 b3 { EI 96 384

3 ( b aH 20GA 2)

1

b3 3 b a+ +192 10GA 2

—

S J7

!

Si se sustituyen los valores para /7, a y b y se usan £ - 30 x 106 psi, G = II .5 x I 06 psi y y - 3 pulg resulta la fuerza maxima P = 28.8 x 105 psi y el momento de inercia que se requiere / = 0.537 pulg4 . Para la geometrfa que se clefinio de la barra extruida esto requerirfa un espesor de pared rmnimo de 0.121 pulgadas, asi que $e elige un espesor de pared de 1/8 de pulgada. La altura de la FOPS, c en la figura 5.11 , no tuvo una funcion importante en el analisis , Su solo efecto consiste en cambiar la distancia de la cual un objeto cae antes de golpear la FOPS. Las dimensiones a y b fueron importantes, sin embargo, como lo fue el espesor de la pared del tubo. En este ejemplo ilustrarivo del uso del teorema de Castigliano se em plearon una geometna y un enfoque muy simplificados. En realidad, la FOPS experimentarfa una deformacion unitaria plastica significativa y requerina un analisis desde una perspectiva de plasticidad estructural.

RESUMEN

Las tres principales formas en que un elemento de maquina falla son: por un sobresfuerzo, por la falla de una pelicula tribologica y por deformaciones elasticas excesivas. En este capitulo se describieron las deformaciones que los elementos de maquina experimentan. Se consideraron las deformaciones debidas a cargas distribuidas y concentradas. Para una carga distribuida se presentaron cuatro enfoques importantes que describieron las deformaciones: la relation momento-curvatura, las funciones de singularidad, el metodo de superposition y el teorema de Castigliano. Cada uno tiene sus ventajas particulares . El tipo de carga aplicada ( normal, flexionante, cortante o cortante transversal ) determina el enfoque. El teorema de Castigliano resulta el mas versat .il de los cuatro enfoques que se consideraron. puesto que se puede aplicar a una gran variedad de problemas de deflexion.

CAPiTlILO 5

DEFORMACION

PALABRAS CLAVE energia

de deformacion uniiaria

trabajo externo convqrtido en trabajo interno realizado mediante

la aplicacion de una carga

funcion de singuiarklad funcion que expresa en una ecuacion lo que normalmente se expresana en varias ecuaciones separadas con condiciones de frontera metodo de superposicion principio que estipula que la deflexion en cualquier punto en una barra es igual a la suma de las deflexiones causadas por cada carga que actua separadamente

radio de curvatura

1 r

represen La do geometricamente en coordenadas cartesianas como

d2v dx 2

dy 1+ dx

x2

*

]?

relacion moniento-curvaiura

dada por

d 2y

M

dx2

El

relacion entre la curvatura de una viga y el momento flexionante,

(para angulos de flexion pequenos )

teorema de Castigliano teorema que establece que cuando un cuerpo se defonna elasticamente por un sistema de cargas, la deflexion en cualquier punto p en cualquier direccion a equivale a la derivada; parcial de la energfa de deformacion unitaria (con el sistema de fuerzas que actua ) respecto a una carga en p en la direccion a

LSCTURAS RECOMENDADAS Beer, F.P. y Johnson. E.R. ( 1981) Mechanics of Materials , McGraw-Hill, Nueva York. Craig, R.R . (1996) Mechanics of Materials , Wiley, Nueva York. Crandall, S.H. y Dahl, H .C. ( 1954) An Introduction to the Mechanics of Solids , McGraw -Hill , Nueva York. Fung, Y.C. ( 1965 ) Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. JuvinalL R.C. ( 1967 ) Stress, Strain, and Strengths, McGraw-Hill, Nueva York. Lardner, T.J . y Archer, R.R. (1994) Mechanics of Solids: An Introduction, McGraw Hill, Nueva York. Norton, R.L. ( 1996) Machine Design An Integrated Approach, Prentice Hall, Englewood Cliffs , New Jersey. Popov, E.P. (1968) Introduction to Mechanics of Solids , Prentice-Hall, Englewood Cliffs , New Jersey. Shigley, J. y Mischke , C. (1989) Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill, Nueva York. Timoshenko, S. y Goodier, J. (1951) Theory of Elasticity, McGraw - Hill, Nueva York.

—

-

-

FROBLEMAS Seccidn 5* 2 5.1

Una viga esta cargada por un momento flexionante concentrado M en el extremo libre. La magnitud del momento es igual al momento maximo , o PL Encuentre las deformaciones vertical y angular a lo largo de la viga, usando la ecuacion de la lfnea elastica: ecuacion (5.3 ).

5.2

Una viga simplemente apoyada de longitud / soporta una fuerza P . Determine la razon entre el esfuerzo flexionante en la viga cuando P esta concentrada en la mitad de la viga y distribuida

20©

31 ®

P&RTE 1

©

FUNDAMENTOS

uniformemente a lo largo de la misma. Use la relacion momento-curvatura dada en la ecuacion (5.3). Calcule tambien la razon de las deformaciones a la mitad de la viga. 5.3

Una viga simplemente apoyada con longitud / esta cargada en el centro con una fuerza P . Cual es la magnitud del momento que se necesita aplicar en ios extremos de la viga. ..

^

a) b)

para mantener el angulo de la pendiente de cero en los apoyos? para mantener el punto medio de la viga sin deformacion cuando se aplica la carga ?

Use la ecuacion de la tinea elastica, ecuacion (5.3). P

vyo

w0 >

f

2t

XL,

l 2

f.

l 2

T

2

2

Boceto a, del problema 5.4

5.4

Encuentre la relacion entre P y wQ de manera que la pendiente de la viga flexionada sea cero en los apoyos para las condiciones de carga que se muestran en el boceto a . Suponga que By A son constantes .

Seccion 5.3 5.5

Dada una viga simplemente apoyada con dos fuerzas concentradas que actuan sobre ella , como se muestra en el boceto b, determine la expresion para la deformacion elastica de la viga para cualquier valor de x, usando las funciones de singularidad. Suponga que E e I son constantes. Determine tambien la localization de la deflexion maxima y derive una expresion para la misma. P

P

a

>\1 1

I

a

-

-

-

-

-

n

o

l

Boceto b, del problema 5.5

fcj 5.6

Para las condiciones de carga que se describen en el boceto c , obtenga la fuerza cortante intenia V ( x ) y el momento interno M ( x ) usando las funciones de singularidad . Dibuje!%*), M ( x\ 9(x) y y ( x ) como una funcion de x. Suponga que wQ ~ 9 kN/m y / - 3 in. 3’

wo !

1/ 3 U3 Boceto c, del problema 5.6

5.7

V-

}

x

1/ 3

Una barra simplemente apoyada, como se muestra en el boceto d, con w0 ~ 4 kN/ m y / = 12 m. a)

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la batTa.

CAPlTULO 5

b)

©

DEFORMACION

Use las funciones de singularidad para determinar la fuerza cortante, el momento flexionante , la pendiente y la deflexion.

Obtenga tan to resultados tabulates como on diagrama de fuerza cortante, momento flexionante, pendiente y deflexion .

//4

•

n.wU r

x

'i

3'

Boceto d, del problema 5.7

5.8

La viga simplemente apoyada del problema 5.5 se altera de manera que en vez de una fuerza concentrada P se aplica un momento concentrado M en la misma localizacion. Los momentos son positivos y actuan paralelos uno respecto al otro. Determine la deformacion de la viga para cualquier position de x a lo largo de ia misma, usando las funciones de singularidad . Suponga que E e / son constantes. Determine tambien la localizacion de la deflexion maxima.

5.9

La viga simplemente apoyada que se considero en el problema 5.8 tiene momentos aplicados en direcciones opuestas, de manera que el momento en x = a es M0 y que x = / - a es M0. Encuentre la deformacion elastica de la viga usando las funciones de singularidad. Tambien determine la localizacion y magnitud de la deflexion maxima .

5.10 Dadas las condiciones de carga que se muestran en el boceto e , encuentre la deflexion en el centro y en los extremos de la viga. Suponga que El = 750 kNm2.

5 kN

5 kN

1 kN/m '

2m

2m

3m

Boceto e , del problema 5.10

5.11 Con las condiciones de carga que se muestran en el boceto /, obtenga una expresion para la is. deflexion en cualquier localizacion sobre la viga. Suponga que El es constants.

P ~ wQa

1 1

s

I -— a w

1

T)

a

la

Boceto fr para el problema 5.11

tk f

1

FUNDAMENTOS

5.12 Dadas las condiciones de cargo y la ubicacion del resorte que se muestran en el boceto g, determine la rigidez del resorte de manera que el momenta flexionante en el punto B sea cero. Suponga que El es constante.

P

P

B 1i&zatititSt

’

l . • • «#533331i

Bocelo g , del problema 5.1 2

5.13 Cuando no existe una carga que actiie sobre la viga en voladizo que se ilustra en el boceto h, el resorte tiene una deflexion igual a cero. Cuando no se cuenta con el resorte y se apiica una fuerza de 20 kN en el punto C, se tiene una deflexion de 50 mm Cuando se cuenta con el resorte, si se apiica una carga de 50 kN en la localization que se muestra en el boceto h , cual sera la dellexion en la barra ? Suponga que la rigidez del resorte es de 450 kN /m. ,

^

50 kN

I

C

—

Si

m M

2m

1m k = 450 kN/m

lm-

:

\

Boceto h , del problema 5.13

5.14 Determine la deflexion en el punto A y el momento maximo para la carga que se muestra en el boceto Considere solo los efectos flexionantes y suponga que El es constante.

t

.

it

m

I

p

Boceto /; para el problema 5.14

L

•

•

5.15 Determine la deflexion maxima de la viga que se presenta en el boceto j .

o

H’

T

B

: Cl

$

Boceto j , del

problema 5 15 ,

CAPlTULO

5

a

DEFOKMACI6N

5.16 Determine la deflexion eii cualquier punto en la viga que se muestra en el boceto k . Use las fund ones de singularidad .

P

21/ 3 A

- ;I

1/ 3

A•:

f j v.V

;

;

^

.

. r V v.

^

r:

.

^

;

-

; \ .• '

>r

^

|

B

/c

Boceto k, del problema 5.16

Seccion 5 A 5.17 Determine la deformacion de una viga en voladizo con la carga que se muestra en el boceto l como una funcion de x , Tambien, determine el esfuerzo fiexionante maximo en la viga y la deflexion maxima . Suponga E = 207 GPa , I ~ 250 cm4, P = l 000 N, \vQ - 3 000 N/m. a = 0.5 m , b - 0.15 m, c - 0.45 m. La distancia desde el eje neutro a la fibra mas externa de la viga es 0.040 m .

P m

I

I

1I I

w0

EJ \'

a

b

Boceto I, del problema 5.17

5.18 Dada la condicion de carga que se muestra en el boceto m sea a = 0.6 m, b = 0.7 m, M = 6 500 N - m y w0 20 000 N/m. La viga tiene una scccion rectangular cuadrada con lados de 75 mm, y el material de la viga tiene un modulo de elasticidad de 207 GPa. Determine la deformacion de la viga usando el metodo de superposicion. Calcule tambien el esfuerzo fiexionante maximo y la deformacion maxima de la viga.

-

1 I I

wo

V'

I

T

a

T

b

Boceto m, del problema 5.18

-

5.19 La viga en voladizo que se muestra en el boceto n tiene una fuerza concentrada y un momento que actiia sobre ella. Sea a ~ 1 m, b - 0.7 m, P = 8 700 N y M = 4 000 N- m . La seed on transversal de la viga es rectangular con una altura de 80 mm y un anebo de 35 mm . Ademas E = 207 GPa. Calcule la deformacion de la viga usando el metodo de superposicion. Encuentre la magnitud que debera tener M para proporcionar una deformacion de cero en x a.

—

213

PASTE 1

FUNDAMENTOS

I

J—

b

Cl

*

Boceto n, del problema 5.1 9

5.20 Una viga simplemente apoyada dene cargas como se muestran en el boceto o . Determine la deformacion de la viga usando el metodo de superposition. Caicuie tambicn el esfuerzo flexionante maximo y la deformacion maxima de la viga . Suponga que E = 207 GPa y que la viga tiene una seccion transversal rectangular con una altura de 30 mm y un ancbo de 100 mm. Ademas P = 1 200 N, w0 - 10 000 N/m. a = 0.2 m, b 0.1 m, c = 0.4 m, y d - 0.2 m.

-

y

P

o

M'

!

-—

a

x i

b

— c—-

L

c

{

^

Boceto o, del problema 5.20

=

00

-1

•

5.21 La viga que aparece en el boceto p esta fija en ambos extremes y cargada en el centro con una fuerza de 2 300 N. La viga tiene una longitud de 3.2 m y una seccion transversal cuadrada tubular, con un ancho exterior de 130 mm y un espesor de pared de 10 mm. El material del tubo es acero al alto carbon o AISI 1080. Calcule la deformacion en cualquier pun to a lo largo de la viga usando el metodo de superposition. p

I

>

I

/

Is

f

I

= 3.2 m

Boceto p, del problema 5.21

: ;

I

;

5.22 La barra A que se muestra en el boceto q , es una barra de aluminio de 13 mm de diametro; la barra B es de acero de 8 mm de diametro. El miembro inferior es de seccion transversal constante y se supone rfgido. Encuentre la distancia x si el miembro inferior tiene que permanecer horizontal. Suponga que el modulo de elasticidad para el acero es tres veces mayor que el del aluminio.

;

!

V

-

HlEi

:

I

! i

150 mm

B

A

- 450

450 mm

vw Boceto q, del problema 5.22

mm -

CAPIIUL©

&

O

DEFORMACION

5.23 Una varilla de aluminio de 3/ 4 pulg de diametro y de 48 pulg de longitud y una varilla de acero niquel de 3 /2 pulg de diametro y 32 pulg de longitud estan separadas 60 pulg de una viga horizontal y sujetadas a la misma, la cual soporta una carga de 2 000 Ibf , como se indica en el boceto r. La viga debe permanecer horizontal despues de la aplicacion de la carga. Suponga que ia viga no tiene peso y que es absolutamente ngida. Encuentre la localizacion x de la carga y determine los esfuerzos en cada varilla.

T

\ &j

Varilla de aluminio de 3/4 pulg de diametro

48 pulg

K

Varilla de acero de 1/2 pulg de diametro

32 pulg 60 pulg

m

i

•t

2 000 lbf

Boceto r, para el problema 5.23

5.24 Encuentre la fuerza en cada una de las barras verticales que se presentan en el boceto s. El peso se supone ngido y horizontal, lo cual implica que las tres barras verticales estan conectadas al peso en una linea recta. Suponga tambien, que el soporte en la parte superior de las barras es ngido. Los materiales de las baiTas y su area circular en la section transversal se proporcionan en el boceto.

f

¥ Bro nee

Acero 35 (0.2 pulg2 ) pulg

A

( 0.3 pulg2)

Acero

( 0.2 pulg2)

A

mo& m 1

sp

3 j) Ulg

10 pulg

10 pulg

Boceto s, del problema 5.24

5.25 Dos esferas solidas, una de aleacion de aluminio 2014 y la -otra de acero al medio carbono AISI 1040, se bajan al fondo del mar a una profuhdidad de 8 000 m. Ambas esferas tienen un diametro de 0.3 m. Calcule la energia elastica almacenada en las dos esferas cuando se encuentran en el fondo del mar, si la densidad del agua es de 1 000 kg/m3 y la aceleracion de la gravedad es de 9.807 m/s 2. Tambien calcule el tamano de la esfera de acero para tener la misma energia elastica que la esfera de aluminio de 0.3 m de diametro.

21 S

216

PARTE 1

©

FUNDAMENTOS

Section 5.6 5.26 Use el enfoque de Castigliano en vez de las funciones de singularidad para resolver el problema 5.5. Suponga que ei cortante transversal es despreciable.

P

i

in

111 y

3

--

!

KV J V

WipllBiBlp

BapBSI

/

Boceto tf del problema 5.27

5.27 Usando el teorema de Castigliano, encuentre la deflexion maxima de la barra en voladizo de dos diametros que se muestra en el boceto t . Desprecie el cortante transversal .

5.28 La mensula en voladizo con un anguio recto que se presenta en ei boceto u , se carga con una fuerza P en la direccion z. Derive una expresion para la deflexion del extremo libre en la direction z usando el teorema de Castigliano. Desprecie los efectos del cortante transversal.

k 1

l Varilla solida / redonda

H m

X

'

'SfiJP "

W

IIi i

z X

a P

Boceto u, de! problema 5.28

5.29 Una placa triangular en voladizo se muestra en el boceto v. Use el teorema de Castigliano para derivar una expresion de la deflexion; en el extremo libre, supomendb que el cortante transversal se desprecia.

r

'' L Boceto v, del problema 5.29

GAPhrmo s

©

DEFORMACION

5.30 Una mensula en voladizo con un anguio recto, con una carga concentrada y una carga de torsion en eJ extremo libre se ilustra en el boceto w. Usando el teorema de Castigliano, encuentre la deflexion en el extremo libre en la direccion 2. Ignore los efectos del cortante transversal.

v

a L

Varilla solida redonda de propiedades E, G, /1. Ay J

%

- -

i XV

I1

-

•

K

i

x i

p

z

-

Boceto w, de! problema 5.30

5.31 Una viga de I en voladizo tiene una carga concentrada aplicada en su extremo libre. como se V muestra en el boceto x . Cual es la fuerza hacia arriba en el pun to S necesaria para reducir la deflexion en S a cero? Use el teorema de Castigliano. Se puede ignorar el cortante transversal. :

^

I2

s

S

« «

a5

;

5 k.N

500 mm '

•

<

-

'

r

1

300 mm

Boceto x, del problema 5.31

5.32 Usando el teorema de Castigliano, calcule las deflexiones horizontal y vertical en el punto A que se indican en el boceto y. Suponga que E y A son constantes.

Boceto y, del problema 5.32

5.33 Calcule la deflexion en el punto de la aplicacion de la carga y en la direccion de la carga , para una carga que se aplica como se muestra en el boceto 1. Suponga que E 11 son constantes.

217

FUNDAMENTOS

p

'

'

1/ 4

Boceto z, para

el problema 5.33

5.34 Coil el teorema de Castigliano determine las deflexiones horizontal y vertical en el punto A del boceto aa. Suponga que E e / son constantes.

Boceto aa, del problema 5.34

5.35 Para la estructura que se ilustra eti el boceto bb , encuentre la fuerza en cada miembro y determine la deflexion en el punto A. Suponga que E y A son iguales en cada miembro.

Boceto bb, del problema 5.35

PREDICCION DE FALLA FOR CARGA ESTATICA

La campana do la libertad, un ejemplo clasico de frcidura { AP/ VVide World Photos)

fragil.

El concepto clef alia es fundamental para el proce so de diseiiOy y es pensando en tenninos de evi. tcir la falia que se log ran los clisehos exitosos. Henry Pefroskt, Design Paradigms

PARTE 1

220

FUNDAMENTOS

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Kc Kci K

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area, m 2 mi tad de la longitud de una grieta, m ancho de la placa, m distancia desde el eje neutro a la fibra externa, m diametro mayor, m diametro, m altura mayor, m altura men or. m momento de inercia del area , m4 momento polar de inercia del area, nr factor de concentracion de esfuerzo tenacidad a la fractura, MPa N/ m factor de intensidad de esfuerzo , MPa /m longitud, m momento flexionante, N- m factor de seguridad fuerza, N flujo volumetrico, m3/s radio, m esfuerzo de rotura en compresion, Pa esfuerzo de rotura en tension, Pa 'y.y ; esfuerzo de fluencia. Pa

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a*

esfuerzo de fluencia en tension , Pa par de torsion , N - m fuerza cortantc, N velocidad , m /s factor de correccion adimensional que toma en cuenta la geometna de la parte que contiene una grieta esfuerzo cortante, Pa esfuerzo normal , Pa esfuerzo de Von Mises, Pa esfuerzos normales principales, Pa , donde a , > a 2 > o3

. Subindices perm permisiblc pro medio .. prom disc no cl max maxi mo nom . : nominal octaeddco Vr.v oct: x , y , % , coordenadas cartesianas 1 ,2,3 ejes principales *

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6.1 INTRODUCCION !

:

Un elemento de maquina puede fallar en sitios de concentracion de esfuerzos locales provocados por discontinuidades geometricas o microestructural.es. En este capitulo se analizan la concentracion de esfuerzos, los concentradores de esfuerzos y los factores de concentracion de esfuerzos . La presencia de grietas dentro de una microestructura tambien es una caracteristica importante en la comprension de la falla de elementos de maquinas. La mecanica de fractura es una tecnica del analisis de fracturas que sirve para determinar ei nivel de esfuerzos en el cua) se propagaran las grietas preexistentes de lamano conocido, conduciendo a la fractura. Los materiales, el nivel de esfuerzos, los defectos productores de grietas y los mecanismos de propagacion de grietas se consideran cuando se estudian la tenacidad a la fractura y la longitud erf tica de las grietas . Ei capitulo termina con las teorias de la prediccion de fallas para estados de esfuerzos uniaxial y multiaxial. Se presentan varias teorias para las cuales existen datos experimentales. Cada teorfa tiene sus ventajas y desventajas , y es adecuada para una clase particu lar de material. Durante todo el capitulo se asume que las cargas son estaticas , de esta forma se implica que la carga se apiica gradualraente y que el equilibrio se alcanza en 1111 tiempo reiativamente corto De esta manera, la carga no es una funcion de tiempo.

.

CAPflTULO 6

PREDICCION DE FALLA FOR

CARGA ESTATICA

CONCENTRACION DE ESFUERZOS Los esfuerzos en o cerca de una discontinuidad, como en el agujero en una placa, son mas altos que si la discontinuidad no existiera. En la figura 6.1 se muestra una barra rectangular bajo carga axial con un agujero. El esfuerzo es mayor cerca del agujero, por lo tanto, la falla ocu rrira primero en la parte donde se encuentra el agujero. Se puede deducir lo mismo para cualquier otra discontinuidad, como un filete ( tin estrechamiento en el ancho de una placa), una mnesca ( una estna aguda o un corte con la intention especffica de iniciar una falla ), una inclusion (como una fibra discontinua en una matriz de un polnnero) o un area de aplicacion de carga. Un concentrador de esfuerzos es una discontinuidad en una parte que altera la distribution del esfuerzo cerca de la discontinuidad , de manera que la ecuacion elemental del esfuerzo , ya no describe el estado de esfuerzo en esa parte. La concentration de esfuerzo es la region en la cual estan presentes los concentradores de esfuerzos. El factor de concent radon de esfuerzos K : es el factor que se usa para relational el esfuerzo maximo real en la disconti nuidad con el esfuerzo promedio sin la discontinuidad: 1

(

Esfuerzo maximo actual

.n

Kc = Esfuerzo promedio

i6

Para el factor de concentration de esfuerzos se supone que la distribucion del esfuerzo, como se indica en la figura 6.1, se puede representar por medio de un esfuerzo promedio y que el cambio a la ecuacion esfuerzo-deformacion unitaria se obtiene usando el factor de concentracion de esfuerzos. Se suponen condiciones de carga estatica. El esfuerzo maximo ocurre en el area mas pequena de section transversal. El valor de Kc es dificil de calcular y usualmente se determina por medio de alguna tecnica experimental, como la del analisis fotoelastico de un modelo plastico de una parte o por una simulation numerica del campo de esfuerzo.

6*2« 1

GRAFICAS

El factor de concentracion de esfuerzos es una funcion del tipo de discontinuidad ( agujero, filete o acanaiadura), de la geometrfa de la discontinuidad y del tipo de carga que se experi -

*

P

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MwKr

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a)

P

b) a

1 Placa rectangular con un agujero expuesta carga axial , a) Placa con seccion transversal del piano

lb) Miiad de la placa con distribucion de esfuerzos.

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221

FUNDAMENTOS

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Figures 2 Faclores de concentracion de esfuerzos para una piaca ^ rectangular con agujero central a) Carga axial; b ) flexion. [Graficas tomadas de Failure of Materials in Mechanical Design por J . A. Collins, derechos reservados © 1981 por J . A . Collins. Reimpresas con la autorizacion de John Wiley & Sons, Inc. ] ,

ifi

menta. Aqm se limita la consideration a solo dos geometnas, una piaca plana y una barra redonda. En las figuras 6.2 a 6.4; se determina el factor de concentration de esfuerzos debido a la flexion para una piaca plana con un agujero, un filete o una acanaladura, respectivamente, cada uno cargado axialmeiite. En las figuras 6.5 y 6.6, respectivamente, se determina el factor de la concentracion de esfuerzos por flexion y torsion para una barra redonda con un filete y una acanaladura cargada axialmente. Estas no son todas las geometrias posibles; pero son las que se utilizan con mayor frecuencia en la practica. Para otras geometrias ref i erase a Peterson (1974) o Young (1989).

©

PREDICCI6N DE FALLA POR CARGA ESTATICA

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0.10 0.15 0.20 Razon radio a altura, r/ h

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b) Factores de concentracion de esfuerzos para una placa rectangular filete. a) Carga axial; £>) flexion. [Graficas tornados de Failure of Materials in Mechanical Design por J. A. Collins, derechos reservados © 1 981 por J. A. Collins. Reimpresas con la auforizacion de John Wiley & Sons, Inc.] con

Por medio de estas graficas es posible hacer varias observaciones acerca del factor de concentracion de esfuerzos : 1. El factor de concentracion de esfuerzos Ki: es inclependiente de las propiedades del material de la parte. 2.

Esta significativainente afectado por la geometria. Note en la figura 6.5 que a medida que disminuye el radio r de la discontinuidad , se incrementa la concentracion de esfuerzos.

223

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Razon radio a altura. r/ h

b)

^ * 4 Factores de concentration de esfuerzos para una placa rectangular acanaladura. a) Cargo axial; lb) flexion. [Graficas tornados de Failure of Materials in Mechanical Design por J. A. Collins, derechos reservados © 1981 por J. A. Collins. Reimpresas con la autorizacion de John Wile/ & Sons, Inc. ] Figisma

con una

3.

Tambien se afecta por el tipo de discontinuidad; el factor de concentracion de esfuerzos es considerablemente menor para un filete (figura 6.3) que para un agujero (figura 6.2).

Estas observations reiacionan la reduction de los esfuerzos en una parte. Los factores de concentracion de esfuerzos proporcionados en las figuras 6.2 a 6.6 se determinaron con base en una carga estatica, con la suposicion adicional de que el esfuerzo en el material no excede el limite de proporcionalidad. Si el material es fragil el limite de proporcionalidad es el esfuerzo de ruptura, asi que la falla para este material comenzara en el punto de

3.0 2.8

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Figvra 6.5 Factores de concentracion de esfuerzos para una barra redonda con Rlete. o) Cargo axial; b) flexion; c) torsion. [Graficas tomadas de Failure of Materials in Mechanical Design por J. A. Collins, derechos reservados © 1 981 por J. A. Collins. Reimpresas con la autorizacion de John Wiley & Sons, Inc.]

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2

PREDICTION m: FALL.A POR

e

227

CARGA ESTATICA

la concentracion cle esfuerzo cuando se alcanza el limite de proporcionalidad. De esta manera es importance aplicar ios factores de concentracion de esfuerzos cuando se utiiicen njateriales fragiles. Por otro lado, si el material es ductil y esta expuesto a ana carga estatica, con frecuencia los disenadores ignoran los factores de concentracion de esfuerzos , puesto que un esfuerzo que excede el limite proporcional no dam corao resultado una grieta. En vez de esto , ei material ductil tendra una resistencia de reserva debida a la fluencia y a) endurecimiento por deformation unitaria . Adicionalmente, cuando un material fluye cerca de una concentracion de esfuerzos, la deformation resulta en muescas obtusas, de manera que se libera la concentracion de esfuerzos. En aplicaciones donde son esenciales disenos ngidos y tolerancias reducidas, la concentracion de esfuerzos se considerara sin importar la ductilidad del material.

Una placa plana hecha de un material fragil con una altura mayor H de 4.5 pulg, una altura menor h de 2.5 pulg, y un radio del filete r de 0.5 pulgadas. E! factor de concentracion de esfuerzos y el esfuerzo maximo para las condiciones si guientes:

a ) Carga axial b ) Flexion pura c ) Carga axial pero con el radio del filete cambiado a 0.25 pulg

a) Carga axial

H h

r h

4.5 = 1.80 2.5

0.5 2.5

—

0.2

De la figura 6.3 a ) , Kc = 1.8. De la ecuacion (6.1) el esfuerzo maximo es

( P\ A

ESP bh

(

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O max '

donde

b = ancbo de la placa plana

b ) Flexion pura. De la figura 6.3b ) ,

= 1.5. El esfuerzo maximo es CTmax

“

15

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9M

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*

c ) Carga axial pero con el radio del filete cambiado a 0.25 pulg

r

0.25

h

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= 0.1

De la figura 6.3a ) , Kc ~ 2.2. El esfuerzo maximo es Onitfx

— 2.2bhP

De esta forma, reduciendo el radio del filete a la mitacl se incrementa el esfuerzo maximo en un 22%.

Una placa rectangular de 50 mm de ancho y 5 mm de altura, tiene un agujero central de 5 mm de diametro. El esfuerzo permisible debido a la aplicacion de un esfuerzo de tension es de 700 MPa.

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FUNDAMENTOS

HALLAS

*

a ) La fuerza de tension maxima que se puede aplicar. b ) E! momento flexionante maximo que se puede aplicar para alcanzar el esfuerzo maximo . c) La fuerza de tension maxima y el momento flexionante maximo si no se hace ningtin agujero en la placa. Exprese los resiiltados como una razon cuando compare las partes a ) y /;).

a ) La razon diametro a ancho es clJb = 5/50 = 0.1 . El area de la seccion transversal con el agujero es A = ( b - d )h - (50 - 5)5 = 225 mm 2 = 0.225( l 0

3

'

) m2

De la figura 6.2a ) para cllb = 0.1 el factor de concentracion de esfuerzos Kc = 2.70 para carga axial . La fuerza de tension maxima es

/ max ”

700 (l 0 6 ) (0.225)(10 2.70

a perm A

3

"

Kc

)

= 58 330 N = 58.33 kN

b ) De la figura 6.2b ) para la flexion cuando cllb = 0.1 y d/ h = 5/5 = 1 el factor de concentracion de esfuerzos es Kc = 2.04. El momento flexionante maximo es

Ahoperm 6 /6,

_

0.225( l O-3 )5( l 0 3 )700 (l 0 e ) 6 ( 2.04)

= 6434 N-m

c ) El area de la seccion transversal sin el agujero es A = bh = (50)5 = 250 mm 2 = 0.250( l 0

;

“

3

) m2

:

La razon de la fuerza es / max

175

( 4ax ) agujero 58.33 =

3.00

Para la flexion

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(

700 (10 6 )0.25(10 -3 )5( 10- 3 ) = 145.8 N - m 6

La razon del momento flexionante es

145.8 Mnax 2.266 ( MTKtx )agujero 64.34 =

.^.2

‘6

ANALOGIA DEL FLUID

Una buena practica de diseno hace que el ingeniero mecanico reduzca las concentraciones de esfuerzos tanto como sea posible. Las formas recomendadas para reducir la concentracion de esfuerzos requieren un mejor entendimiento de lo que ocurre en la discontinuidad que in crementa el esfuerzo. Una forma de alcanzar este entendimiento es observando la similitud entre la velocidad del fiujo de un fluido en un canal y la distribution de esfuerzo de una placa cargada axialmente, cuando las dimensiones del canal son comparables al tamano de la placa . La analogfa es ex acta, puesto que las ecuaciones del potencial de fiujo en la mecanica de fluidos y el potencial de esfuerzo en la mecanica de solidos son de la misma forma. Si el canal tiene dimensiones constantes de principio a fin , las velocidades son uniformes y las Imeas de fiujo estan igualmente espaciadas. Para una barra de dimensiones constantes

C&POW® &

PREDICCION DE FALLA FOR CAKGA ESTATICA

bajo carga axial los esfuerzos son uniformes y estan espaciados igualmente . En cualquier pun to dentro del canal el flujo debe ser constante, donde el volumen del flujo es *

J

}

q ~ uclA

De la mecanica de soliclos, la fuerza debe ser constante en cualquier localization en ia placa ,

« 6.3|

J

P = odA

Si la seccion del canal cambia abruptamente, la velocidad del flujo se incrementa cerca de donde cambio la forma y, para mantener un flujo igual, las Imeas de flujo se deben bacer mas angostas y agraparse. En un miembro esforzado de la misma seccion transversal el incremento del esfuerzo es analogo al incremento de la velocidad , o inversamente al cambio en el espacio entre las imeas de flujo. En la figura 6.7a ) se indica la distribucidn de esfuerzo alrededor de las esquinas agudas de una placa plana cargada axialmente. La situation que se muestra en la figura 6.1o ) produce un factor de concentration de esfuerzos mayor que 3. Recuerde que de acuerdo con la ecuacion (6.1) esto implica que el esfuerzo maximo es mas de tres veces mayor que el esfuerzo promedio. Sin embargo , este factor de concentracion de esfuerzos se puede reducir, tipicamente, de 3 a 1.5, redondeando las esquinas , como se indica en la figura 6.1b ) . Se puede lograr una mayor reduction en el factor de la concentracion de esfuerzos, introdu cienclo pequenos surcos o agujeros, como se muestra en la figura 6.7c) y d), respectivamente.

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m

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Barra con filete axialmente cargada, que muestra ios contornos del esfuerzo a traves de una placa plana para a ) esquinas cuadradas, b ) esquinas redondeadas, c) acanaladuras pequenas y d ) pequenos agujeros.

FisfWFsa

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23©

PMTS 1

FUNDA MENTOS

En las figuras 6.1b ) a la d ) ei diseno ayucla a reducir la rigidez del material en las esquinas, de manera que el esfuerzo y la deformation unitaria se difunden mas uniformemente por toda la placa plana. Las mejoras en estos diseiios se pueden investigar por medio de la analogia del flujo.

1*3 MECANICA BE FRACTURA Los estudios estructurales que consideran la extension de grietas como una funcion de uiia carga aplicada se realizan en la mecanica de grietas. Una grieta es un defecto microscopico que siempre existe bajo condiciones normales sobre la supeificie y dentro del cuerpo de un material. Estas grietas (o dislocaciones) sobre o dentro de la supeificie son como una puntada perdida en un tejido. Bajo la aplicacion de un esfuerzo la grieta se mueve facilmente a traves del material , causando un pequeno deslizamiento en el piano en el cual se mueve. Los materiales pueden fallar mas facil en estas locaiizaciones. Ningiln material o procesos de manufactura producen estructuras cfistalinas libres de defectos, asi que estas impeifecciones microscopicas siempre estan presen tes. Se requiere de un menor esfuerzo para propagar una grieta que para iniciarla. Propagar lina grieta es como rasgar una tela. Una vez que se inicia el rompimiento, se propagara muy facilmente a traves de la tela. Sin embargo, el rompimiento se detiene en una costum o en otra interruption del tejido de la tela. Asi que tambien la propagacion de grietas se puede prevenir introduciendo discontinuidades, para que estas actiien como una costura. Las falias por fractura ocurren en niveles de esfuerzos muy por debajo del esfuerzo de fluencia de un material solido. En la mecanica de fracturas se tiene interes en la longitud critica de la grieta, la cual hard que falle la parte. El control de fracturas consiste en mantener la combination del esfuerzo nominal y el tamano existente de la grieta debajo de un nivel critico para el material que se use en un elemento de maquina .

4.4 MODOS BEL DESPLAZAMIENTO BE GRIETAS Como se muestra en la figura 6.8, existen tres modos de propagacion de grietas fundamentales , y cada uno ilevara a cabo un desplazamiento diferente de la supeificie de las grietas:

1. Modo I: aberturcti El modo de abertura (o de tension) [Fig. 6.8r/ ) ] es el modo de propagacion de grietas que se encuentra con mas frecuencia. Las caras de la grieta estan separadas simetricamente con respecto al piano de la grieta.

!

2.

Modo 11: deslizamiento. El modo de deslizamiento (o cortante en el piano) ocurre cuando las caras de la grieta se deslizan una en relacion con otra, simetricamente con respecto a la normal del piano de la grieta, pero asimetricamente con respecto al piano de la grieta [Fig. 6 .Sb ) ]:-

3.

Modo Ill: desgcuramienio. El modo por desgarramiento (o antipiano) se presenta cuando las caras de la grieta se deslizan asimetricamente con respecto tanto al piano de la grieta como a su normal [Fig. 6.8c) ].

Los modos de propagacion de grietas se conocen por su designacion con numeros ronranos

como se consigno anteriormente (por ejemplo, modo I) . Aunque el modo I es el mas facil de visualizar como un mecanismo de propagacion de grietas, aplicando ei analisis de concentradores de esfuerzos que se realize en el capftulo 5, a geometrfas como las que se miiestran en la figura 6.8, sugiere que la propagacion de grietas ocurrira cuando los esfuerzos sean mas altos en el extremo de la grieta que en cualquier otra parte en el solido.

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FREDICCION DE FALLA POE CARGA ESTATICA

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sggaisfi'cs 41» 8 Tres modelos del desplazamienio de una grieta. a) Modo 1, abertura; ib^) modo II, deslizamiento; c) modo III, desgarramiento.

s.s

TENACIDAD A LA FRACTURA

Aqui, las consideraciones de la tenacidad a la fractura estan restringidas al modo I de desplazamiento de grietas. Pero primero se necesita determinar que es lo que se entiende por factor de Intensidad de esfuerzo. El factor de intensidad de esfuerzo Kf especifica la intensidad de esfuerzo en el extremo de la grieta [ vease pun to A en la figura 6.8a )], La unidad del SI de KLes megapascales por metro 1'2 ( MPa N/ m ). La tenacidad a la fractura, por otro laclo, es el valor cntico de la intensidad de esfuerzo para ei cual ocurre la extension de la grieta. La tenacidad a la fractura se usa como un criterio de diseno en la prevencion de fracturas para materiales fragiles, al igual que la resistencia a la fluencia sirve como criterio de diseno en la prevencion de la fluencia para materiales ductiles bajo carga estatica. Como los esfuerzos cerca de un extremo de una grieta [punto A en la figura 6.8«) ] se pueden definir en terminos del factor de intensidad de esfuerzos, existe un valor critico de la tenacidad a la fractura Kd que se puede usar para determinar la condition de una fractura fragii. En general, la ecuacion para la tenacidad a la fractura es Kfj

—

C «.4 J

donde

Y = factor de correction adimensional que toma en cuenta la geometria de la parte que contiene la grieta nominal a la fractura, MPa esfuerzo anom = a = mitad de la longitud de la grieta, m Algunas de las suposiciones impuestas en la derivation de la ecuacion (6.4) son que la carga se aplica lejos de la grieta y que la longitud de la grieta 2ci es pequefia con relation al ancho de la placa. Se necesitan aclarar las diferencias entre el factor de intensidad de esfuerzos K ,- y la tenacidad a la fractura Kci. El factor de intensidad de esfuerzos Kf representa el nivel de esfuerzo en el extremo de la grieta [ punto A en la figura 6.8« )] en una parte que contiene una grieta. La tenacidad a la fractura Kci es la intensidad de esfuerzo mas alta que puede soportar la parte sin fracturarse. De esta forma, la intensidad de esfuerzo K, tiene ranchos valores, mientras que la tenacidad a la fractura Kd es un valor particular. El hecho de que las unidades del factor de intensidad de esfuerzos y la tenacidad a la fractura sean iguales puede parecer un tanto extrano; pero se deben ver como una combination de unidades de esfuerzo y la raiz cuadrada de la longitud de la grieta. En ia tabla 6.1 se muestra information del esfuerzo de fluencia a temperatura ambiente y la tenacidad a la fractura ( modo I ), para algunos materiales en ingetiieria. Note que la tenaci -

23!

FUNDA MENTOS

©

Informacion del esfuerzo de fluencia y de ia tenaciclad a ia fractura para algunos materiaies seleccionaclos en la ingenieria, a temperatura ambiente [ Adaptada de ASM international

fsafelss 6 » H

( 1989) ].

Esfuerzo de fluencia , S » ksi MPa .

Material

ksi

Tenacidad a la fractura, Kei / pulg . MPa jm

Metales Aleacion de aluminio 2024-T35 i

47

325

33

36

Aleacion de aluminio 7075-T651

73

505

26

29

Aleacion de acero 4340 templada a 260°C

238

1 640

45.8

50.0

Aleacion de acero 4340 tempiada a 425°C

206

I 420

80.0

87.4

Aleacion de titanio Ti-6A 1-4V

130

910

40-60

44-66

2.7-4- 8 0.64-0.73 0.18- 1.27

3.0-5.3

0.9

1.0 0.8-1.I

Cera micas Oxido de aluminio Vidrio de sosa y cat

Concreto

0.7-0.8 0.2 1.4

-

Potfmeros Polimetil metracrilato Poliestireno

0.73-1.0

dad a la fractura Kci depende de muchos factores, siendo los mas importantes la - temperatura, la razon de deformacion unitaria y la microestructura. La magnitud de Kci disminuye con el incremento de la razon de deformacion unitaria y disminuye con la temperatura . Ademas , incrementando la resistencia a la fluencia por medio de un proceso del material, como la deformacion por endurecimiento, produce una disminucion correspondiente en Kcr Recuerde que se supone el modo I, el modo de abertura. :

•

Ijfe^pfe 6 * 3

PAWOS Los dos materiaies siguientes : a ) Acero A1SI 4340 templado a 26G°C (500°F). b ) Aleacion de aluminio 7075-T651.

Use las siiposiciones impuestas en la derivadon de la ecuacion (6.4). Tambien , suponga que el esfuerzo de fractura es 0.8 veces el valor del esfuerzo de fluencia y que el factor de correccion adimensional es igual a la unidad . if ALLAH La longitud crftica de la grieta a temperatura ambiente.

a ) De la tabla 6.1 para AISI 4340,

Sy

= 238 ksi

-» o „om

= 0.85v = 190.4 ksi

y

Kci = 45.8 ksi V/ pulg

233

PREDICCION DE FALLA FOR CARGA ESTATICA

CAPITOL© 6

De la ecuacion (6.4)

a

1 TT

V

Kd

l 7a

(45.8) ( l 03 )

1 ~

nom

TCL ( IX190 4 ) (103 )

f = 0.01842 pulg

b ) De la tabla 6.1 para la aleacion de aluminio 7075-T65 L

5y

a noin = 0.85 v - 58.4 ksi

= 73 ksi

y

Kcj

”

26 ksi / pulg

De la ecuacion (6.4 ) 1

a-~ 71

—

Kd

V

7c? nom y

[

I ~"

n

2

26( l 03 )

OXSMp5) = 0.06309 pulg

El material mas resistente (el acero) fallara primero, pues tiene la longitud de la grieta critica mas pequefia. De esta forma , el material mas debit (el aluminio) es el mas resistente en lo que se refiere a la propagacion de grietas.

Un recipiente usado para el almacenamiento de aire comprimido esta hecho de una aleacion de aluminio 2024-T351 . El factor de seguridad que se requiere contra la fluencia es 1.6 , y la grieta mas larga que se permite a traves del espesor del material es de 6 mm. La forma de la grieta proporciona el factor de correction adimensional 7= 1.

a ) El factor de intensidad de esfuerzos y el factor de seguridad que protegen contra la falla fragil . b ) Si se lograra un factor de seguridad mas alto al cambiar el material por una aleacion de aluminio 7075-T65 I mas resistente. Suponga la misma grieta.

a ) De la tabla 6.1 para la aleacion de aluminio 2024-T351 Sy

= 325 MPa

Kc } = 36 MPa J m

y

El esfuerzo nominal es

__

Sy

^ nom ns

325

1.6

= 203.1 MPa

La longitud de la mitad de la grieta es de 3 mm. El factor de intensidad de esfuerzos de la ecuacion (6.4 )

es

Ki = 7cnom Viw = 1(203.1)( l 06 ) El factor de seguridad para fractura fragil es

ns

^

36 19.72

K :i K; (

(l0 3 ) = 19.72 MPa Vm

7c3

'

= 1.83

29 MPa J

b ) De la tabla 6.1 para la aleacion de aluminio mas resistente 7075 T651

Sy = 505 MPa

y

Kd

-

El factor de seguridad que protege contra la fluencia es

1.6

505 325

= 2.49

in

Ifestspte 6 « 4

P&

1

FUNDAMENTOS

De esta forma , el incremento de la resistencia a una aleacion 7075-T65 I resulta en un factor de seguridad mayor que protege contra la fluencia. El factor de seguridad que protege contra la propagacion de la grieta es Ka

29 19.72

Ki

= 1.47

De esta forma, el material mas resistente fallara mas facilmente por medio de la propagacion de la grieta.

6.6 PREDICCION DE FALLA PARA UN ESTADO DE ESFUEEZO UNIAXIAL Existe information experimental normal para la carga axial en un estado de esfuerzo uniaxial. La falla se predice si el esfuerzo de diseno ad es mayor que el esfuerzo permisible cpcrm. De esta forma, a,, > aJJcrni. Recuerde del capitulo 3 [ecuaciones (3.13) a (3.16)1 que el esfuerzo permisi ble depende del tipo de carga que se impone, asf como de si el material es diicdl o fragil. Por ende, cuando se conoce ya sea la resistencia a la fluencia o la resistencia a la rotura, ei esfuerzo permisible se puede determinar para el estado de esfuerzo uniaxial. . .. . . De la ecuacion (1.1) el factor de seguridad en un estado uniaxial de esfuerzo, se expresa

como

ns =

aperm Qd

Es necesario que el tipo de carga y el del material se incorporen en la ecuacion (6.5 ). Por lo tanto, para un estado de esfuerzo uniaxial se divide el esfuerzo permisible eritre el esfuerzo de diseno; si es mayor que 1, el diseno es adecuado. Por supuesto, elitre mas grande sea nvi mas seguro sera el diseno, y los valores ns < 1 significan que se necesita hacer un nuevo diseno. Para un nuevo diseno, dependiendo del elemento de maquina, es importante reconocer que es lo que reducina el esfuerzo de diseno.

ilesnpl® i

1IATOS Los muelles de las ruedas traseras de un camion estan cargados a flexion pura. La carga de 8 toneladas sobre el eje es soportada por los dos muelles, dando un momento flexionante de 9 800 N-m en cada muelle en el punto de la aplicacion de la carga. El acero usado en los muelles es AISI 4340 templado a 260°C . Las dimensiones del muelle son tales que el audio es 10 veces mayor que el espesor; suponga un factor de seguridad 5. La seccion transversal del muelle. ’

"

De la tabla 6.1 para el acero AISI 4340 templado a 260°C, se obtiene SY = 1 640 MPa. Usando el Ifmite inferior de la ecuacion (3.5) ( para ser conservador) se produce "

cjpenn

= 0.65v

El esfuerzo de diseno de la ecuacion ( 1.1 ) es

<5 d

=

-

Opemi

0.6( 1 640) = 984 MPa

_ 984 = 196.8 MPa

—

De la tabla 4.1 para una seccion rectangular

^

bfi

12

y c = fill