Introducción A La Topología Algebraica - Massey1

X caminos en X. Se ve en seguida que si fo y f 1 son equivalentes, entonces también lo son los caminos Z es también una aplicación continua, entonces podemos comprobar fácilmente la siguiente propiedad: (d) (1/;10)* = 1/;*10*. Finalmente, si

Y induce un homomorfismo 10* : 1t(X, x) --> 1t(Y,
Advertencia: Si

Ejercicio 4.1 Sea q¡ : X -;o Y una aplicación continua, y y una clase de caminos en X de Probar que el siguiente diagrama es conmutativo:

Xo

a x •.


1T(X, xo) 1u

1T(X, Xi)

---t
---t

1T(Y, \O(Xo)) 1v

1T(Y, IO(X1))'

donde el isomorfismo u está definido por u(a) = y-'ay, y v análogamente, poniendo q¡*(y) en lugar de y. [NOTA: Un importante caso especial se presenta si q¡(x o) = q¡(x,J. Entonces q¡*(y) es un elemento del grupo -n: (Y" q¡(x o))']

64

El grupo fundamental

Para avanzar más en el estudio del homomorfismo inducido \0*, debemos introducir el concepto de de continuas.

Definición Dos aplicaciones continuas y sólo si existe una aplicación continua

<po' Y Y

son si tal que, para todo

XEX,

\O(X, O)

\00 (x) ,

\O (x, 1)

\Ol(X).

Si dos aplicaciones <po y
X

->

Y

es una aplícación continua. Si consideramos el parámetro t como representante del tiempo, entonces, en el instante t = 0, tenemos la aplicación
Definición Dos aplicaciones Y se dicen homotópicas relativamente al subconjunto A de X si y sólo si existe una aplicación continua !'jl : X X I -> Y tal que

'P(X, O)

'Po(X),

XEX,

\O(X, 1)

\Ol(X),

x E Xi

'PCa, t) = 'Po(a) = 'PI(a), Obsérvese que esta condición implica

1

<po

lA

a E A, t E l. =

!'jll

lA.

El estudiante familiarizado con la topología compacto-abierta para espacios de funciones, reconocerá que dos aplicaciones !'jl" !'jl, : X --> Y son homotópicas si y sólo si pueden unirse por un arco en el espacio de todas las funciones continuas de X -;. Y (supuesto que X e Y verifiquen ciertas hipótesis). De hecho, la aplicación t -->
Efecto de una aplicación continua sobre el grupo fwulcrrmmlal

Teorema Sean
---+

Y aplicaciones

relativamente

'Po(x»,

es decir, los homomorfismos inducidos son el mismo. DEMOSTRACIÓN:

La demostración es inmediata.

Desgraciadamente, la condición de que la homotopía deba ser relativamente al base x, es demasiado restrictiva en muchos casos. Esta condición puede omitirse, pero entonces se complica el enunciado del teorema. Sin embargo, trataremos esta cuestión en la sección 8. Vamos a aplicar ahora algunos de estos resultados. Definición Diremos que un subconjunto A de un espacio topológico X es un retracto de X si existe una aplicación continua r : X ---+ A (llamada una retracción) tal que r(a) = a para todo a E:: A. Como veremos en seguida, imponer a un subconjunto A ser un retracto de X es una condición bastante fuerte. Un ejemplo sencillo de un retracto de un espacio es el «círculo central» de una banda de Móbius. (¿ Cuál es la retracción en este caso?) Sea ahora r: X ---+ A una retracción como en la definición anterior, e i: A ---+ X la inclusión. Para todo punto a E:: A, consideremos los homomorfismos inducidos ~* : 7r(A, a) ->

7r(X, a),

r* : 7r(X, a) -> 7r(A, a). Puesto que ri es la identidad en A, r .. i * es el homomorfismo identidad del grupo TI (A, a), en virtud de las propiedades (d) y (e) dadas al principio de esta sección. De esto resulta que i* es un monomorfismo y r .. un epiformismo. Aún más, la condición r* i * = identidad, impone fuertes restricciones al subgrupo i* TI (A, a) de TI (X,' a). Usaremos este resultado más tarde para probar que ciertos subespacios no son retractos.

4.2 Demostrar que todo retracto de un espacio de Hausdorff es un subconjunto cerrado. 4.3 Probar que, si A es un retracto de X, r : X ~ A una retracción, i : A ~ X la in-. clusión e i*1t(A) es Un sub grupo normal de 1t(X), entonces 1t(X) es producto directo de los subgrupos. 1m i* y Ker r*. (Véase sección HI.2 para la definición de producto directo de grupos).

66

El grupo fundamental

Sea A un subespacio de X e Y un espacio topológico no vacío. Probar que A X Y es un retracto de X X Y si y sólo si A es un retracto de X. 4.5 Probar que la relación {(es un retracto de» es transitiva, es decir, si A es un retracto de B y B es un retracto de e, entonces A es un retracto de C. -

Introducimos ahora el concepto de retracto de deformación. Un subespacio A es un retracto de deformación de X si existe una retracción r : X ..... A homotópica a la identidad X ..... X. De manera más precisa: Definición Un subconjunto A de X es un retracto de deformación 2 de X, si existe una retracción r : X ..... A Y una homotopía f : X Xl ..... X tal que

f(x, O) = x f(x, 1) = r(x)

fea,

t)

a,

¡

x EX,

aE A

y

t E J.

Teorema 4.2 Si A es un retracto de deformación de X, entonces la inclusión i : A ..... X induce un isomorfismo de re(A, a) sobre re (X, a) para todo aE A. DEMOSTRACIÓN: Como antes hemos visto, r* i * es la identidad en re (A, a). Completamos la demostración, probando que i*r * es la identidad en re (X, a). Esto es consecuencia de que ir es homotópica a la aplicación de identidad X ~X (relativamente a {a}); por tanto, podemos aplicar el teorema 4.1. C.Q.D.

Usaremos este teorema en dos direcciones distintas. Por una parte, a lo largo de todo este libro, para probar que dos espacios tienen grupos fundamentales isomorfos. Por otra parte, podemos usarlo, para demostrar que un subespacio no es un retracto de deformación, probando que sus grupos fundamentales no son isomorfos. En particular nos capacitará para probar que ciertos retractos no son retractos de deformación.

Definición Un espacio topológico X es contráctil a un punto si existe un punto X o E X tal que {x o } es un retracto de deformación de X. Definición Un espacio topológico X es simplemente conexo si es arcoconexo y re(X, x) = {l} para algún (y por tanto para todo) x E X.

Corolario 4.3

2

Si X es contráctil a un punto, es simplemente conexo.

Algunos autores definen este concepto de manera ligeramente más débil.

Efecto de una apllCaCI!On continua sobre el grupo

4.1 Se dice que un subconjunto X del plano, o más generalmente, del n-espacio euclídeo R", es convexo si con cada dos puntos contiene el segmento de recta que los une. Afirmamos que todo subconjunto convexo de R" es contráctil a un punto. Para probarlo elegimos un punto arbitrario x, EX, y definimos una aplicación f : X X 1 -7 X por

f(x, t)

(1 - t)x

+ txo

para todo (x, t) E X X l. [O sea, f(x, t) es el punto del segmento de recta que une x y x, que lo divide en la razón (1 - t) : t]. Entonces f es continua, f(x, O) = x y f(x, !J, = x,. Generalizando, diremos que un subconjunto X de Rn es 8stre!!ado respecto al punto x, E X SI para todo x E X, el segmento de recta que une x y x, está contenido en X. En este caso, la misma demostración anterior prueba que si X es estrellado respecto al punto x" entonces es contráctil a x,. 4.2 Afirmamos que la (n -lJ-esfera unidad S"-' es un retracto de deformación de E" - {O), o sea del disco n-dimensional unidad cerrado, menos el origen. Para probar esto, si

x

En - ¡O)

definimos una aplicación f : X

X l -->

f(x, t)

¡x E

Rn : O <

Ixl

~ l},

X por

(1 - t)x

x + t . _.

Ixl

(El lector dibujará una figura en la que se ponga de manifiesto lo que resulta en los casos n

=2

x

ó

11

= 3). Entonces f es continua, f(x, O) = x, f(x,1) = -- E S"-', y, si x E S"-', Ixl = x para todo t E l. En particular, si n = 2, resulta que la circunferencia

entonces f(x, t) frontera es un retracto de deformación del disco horadado en su centro.

Ejercicios 4.6 Sea x, un punto arbitrario del plano R'. Encontrar un círculo C de R' que sea un retracto de deformación de R' - {x,). ¿Qué es lo análogo en el caso n-dimensional? 4.7 Encontrar un círculo C que sea un retracto de deformación de la banda de Mobius. 4.8 Sea T un toro y X el complementario de un punto en T. Encontrar un subconjunto de X que sea homeomorfo a una curVé! de forma de «8)) (unión de dos círculos con un solo punto en común), y que sea un retracto de deformación de X. 4.9 Generalizar el ejercicio 4.8 para supedicies compactas arbitrarias; es decir, sea S una superficie compacta y X el complementario de un punto en S. Encontrar un subconjunto A de X tal que: (a) A sea homeomorfo a la unión de un número finito de círculos, y (bJ A sea un retracto de deformación de X. (Considerar la representación de X como el espacio obtenido identificando los pares de aristas de un cierto polígono.) 4.10 Sean x e y dos puntos distintos de un espacio simplemento conexo. Probar que existe una única clase de caminos con origen en x y extremo en y. 4.11 Sea X un espacio topológico, y para cada entero n, sea X" un subespacio arco-

El grupo fundamental conexo que contenga el punto base x, E cada n,

x

x,

Supongamos que se verifica X"

U

e

X n + 1 para

X n,

n=l

:si

y que todo subconjunto compacto A de X está contenido en algún X n , (EJEMPLO, cada X nl es abierto), Sean in : 1t(Xn) .... 1t(X) y jm" : 1t(Xm ) -> 1t(X,,), m < n, los hbmbmorfísmos in-

ducidos por las inclusiones, Demostrar: (a) Para todo a E 7l:(X) existe un entero n y un elemento a' E n(Xn ) tal que inCa') = a. (b) Si (3 E 1t(Xm ) e i m «(3) = 1, entonces existe un entero n ~ m tal que jmn( (3) = 1. [OBSERVACIÓN: estos dos resultados implican que 1t(X) es el límite directo de la sucesión de grupos 1t(X n) y homomorfismos jmn. Más adelante veremos ejemplos e,n los que se cumplen las hipótesis de este ejercicio.] Si los homomorfismos j""n+I son monomorfismos para todo n, probar que cada in es también un monomorfismo, y que 1t(X) es la unión de los sub grupos i n 1t(X"),

5

El es

una "A'~U'''V

lnnIuto

Sea SI la circunferencia unidad del plano euclídico R2, SI = {(x, y) E R 2 : X2 + y2 = 1}, (o, de igual manera, en el plano complejo Sea f : 1 -> SI el camino cerrado definido por f(t)

= (cos 21tt,

sen 21tt),

o~ t

~

1,

que recorre el círculo exactamente una vez. Designemos por a la clase de equivalencia de f.

5.1 El grupo fundamental 1t(S" (1, O» es un grupo cíclico infinito generado por la cIase a. DEMOSTRACIÓN: Sea 9 : 1 -> SI, g(O) = g(l) = (1,0) un camino cerrado en SI. Probaremos primero que existe un entero m (positivo, negativo o cero) tal que g pertenece a la clase a m . Sean

> -f'o}, SI: y, < +f'o}.

VI = {(x, y) E SI : y

V 2 = {(x, y) E

Entonces VI y V 2 son subconjuntos abiertos conexos de S" cada uno de ellos ligeramente más largo que una semicircunferencia, y además VI V V 2 = SI Obviamente VI y V 2 son homeomorfos a un intervalo abierto de la recta real, y por tanto cada uno de ellos es contráctil. En el caso en que g(I) e VIO g(I) e V 2, es evidente que g es equivalente al camino constante, y por tanto pertenece a la clase de equivalencia (1..0.

El grupo fundamental de una circunferencia es cíclico

ahora que 9 Cl VI y Cl V 2 , Vamos a ver que entonces es posible dividir el intervalo unidad en sub intervalos [O, tI], [tI' 1] donde O = t o < tI < ", < t n _ 1 < t n = 1, tales que se verifiquen (a) g([ti, ti+1]) e VI o g([t¡, ti+ 1 ]) e V 2 para O ~ i (b) gUtL 1 , t¡J) y g([ti, t i +1J)

<

n,

no están ambos contenidos en el mismo abierto V j , j = 1

Ó

2,

En efecto, {g-1(V 1), g-1(V 2 ) } es un recubrimiento abierto de un espacio métrico compacto 1; sea E un número de Lebesgue 3 de este recubrimiento, Dividimos el intervalo unidad arbitrariamente en subintervalos de longitud < E, Con esta subdivisión se verifica ya la condición (a), pero puede aún fallar la condición (b), Si dos subintervalos consecutivos se aplican por 9 en el mismo conjunto V j , entonces formamos con ellos un solo sub intervalo suprimiendo el extremo común, Continuamos este proceso hasta que se verifique (b), Designemos por ~ la clase de equivalencia del camino g, y por ~i la clase de equivalencia de 9 I [tLI' t¡] para 1 ~ i ~ n, Entonces, obviamente se tiene

Si

es una clase de caminos de VI o V 2 , En virtud de (b), es evidente que V 2 , donde VI V 2 tiene dos componentes, una de las cuales contiene el punto (1, O) Y la otra el punto (-1, O), Para cada índice i, O < i < n, elegimos una clase de caminos j i en VI n V 2 con origen en g(ti) y extremo en (1, O) o (-1,0) según qué componente de VI n V 2 contenga g(ti), Pongamos Cada

g(t¡)E VI

n

n

01

=

fJl'Yl,

Oi

=

'YZ::l{3i'Yi

On

=

'Y;:!...¡f3 n,

para 1


Entonces, está claro que (2,5-1) donde cada Oi es una clase de caminos en VI o V 2 , que tienen sus orígenes y sus extremos én el conjunto {(1, O), (-1, O)}, Puesto que VI y V 2 son simplemente conexos, si l5i es una clase de caminos cerrados, entonces Oi = 1. Así pues, podemos suponer que un tal Oi ha sido ya eliminado en la fórmula (2,5-1), y

3

Decimos que E es un número de Lebesgue de un recubrimiento de un espacio métrico X, si todo subconjunto de X de diámetro < E está contenido en algún miembro del recubrimiento, Existe un teorema que nos asegura que para todo recubrimiento abierto de un espacio métrico compacto existe un número de Lebesgue, El lector puede probarlo como ejercicio o buscar la demostración en un texto de topología general.

70

El grupo fundamental

cambiando de notación, si es preciso, que ... , no son clases de caminos cerrados. Puesto que V, es simplemente conexo existe una única clase de caminos 1]1 de V] con origen en (1, O) y extremo en (-1, O). (Véase ejercicio 4.10) Por tanto, 1],-1 es la única clase de caminos de V, con origen en (-1, O) y extremo en (1, O). Análogamente designemos por 1]2 la única clase de caminos de V 2 con origen en (~1, O) Y extremo en (1, O). Obsérvese que 1],1]2 = IX·" Así, tenemos que, para todo índice i, ±1 7'/2 •

Según esto, puede suceder que en la fórmula (2.5-1) pueda realizarse alguna simplificación, por ejemplo si Oi = 1]1 Y Oi+, = 1], -'. Si esto ocurre se simplifica, y análogamente en otros casos. Después de todas las simplificaciones posibles sólo pueden presentarse tres posibilidades: {3

= 1,

{3

=

'1/1'1/27'/1'1/2 ... 7'/17'/2,

{3

=

'1/2

o bien -1 -1 -1 -1 7'/~

7'/2 7'/1

-1 -1

... 7'/2 7'/1 •

En el segundo caso existe un m > O tal que ~ = IX m , mientras que en el tercer caso ~ = (km para un cierto entero m < O. Así, en cualquier caso se tiene ~ = (km. De lo anterior se sigue, pues, que 1t(S') es un grupo cíclico. Sin embargo, este argumento no da ninguna información sobre el orden de 1t(S'). Para probar que 1t(S') no es un grupo finito, introducimos el concepto de grado de un camino cerrado en 1t(S'). El grado es un entero que, intuitivamente hablando, nos dice cuántas vueltas da el camino alrededor de la circunferencia. Para definir el grado de un camino, ser'á conveniente considerar S' como la circunferencia unidad en el plano complejo e,

SI

= {z E e: Izl = 1).

8 ' es un grupo con la operación multiplicación, puesto que el producto o cociente de dos números complejos de módulo 1 es un número complejo de módulo 1. Si z E S" designemos por a(z) el argumento de z, esto es, el ángulo en radianes desde el eje real positivo hasta el segmento de extremos O y z (véase figura 2.4). Así pues, para todo z E S" a(z) es un número real; sin embargo, no está unívocamente determinado. Si 8 es un valor de a(z), entonces 8 + 2krc es también un valor admisible, para todo entero k. Podemos establecer esto de la siguiente manera.

El grupo

de una circunferencia es cíclico infinito

71

y

----~----------~~--~------+_----~x

FIGURA 2.4 Definición de

a(z).

Si z = ei 8 = cos 8 + i sen 8, entonces 8 es una determinación de a(z). Obsérvese que si 81 y 82 son valores de a(zl) y a(z2)' entonces 81 + 82 es valor de a(z l z2)' y 81 - - 82 un valor de a(zJ Z2)' Sea h : 1 ..... SI un camino cerrado con h(Q) = h(l) = 1. Elegimos una subdivisión del intervalo unidad

o=

to < t l

< ... < tn =

1

que verifique: si t' y tu pertenecen ambos al mismo subintervalo [tLl' t;], entonces Ih(t') - h(t") I

<

1.

(2.5--2)

La existencia de una tal subdivisión podemos probarla haciendo uso de que h es uniformemente continua, o bien por la existencia de un número de Lebesgue de un cierto recubrimiento de l. Para cada índice i, 1 ~ i ~ n, sea 8i la única determinación del argumento de h(ti)fh(tL l ) que satisfaga la desigualdad 'Ir

- 2<

'Ir

Oí

< + 2'

72

El grupo

<

En virtud de la desigualdad de estos Definimos ahora

ei.

1 grado de h = 21T

rUI1~aa/neruat

1 nos permite la elección.

¿ Oi. n

i= 1

Está claro que el grado de h es un entero, ya que

es una determinación del ángulo del número complejo

Para justificar esta definición tenemos que probar que es independiente de la elección de la subdivisión del intervalo l. Puesto que dos subdivisiones arbitrarias de 1 en subintervalos tienen un refinamiento en común, basta investigar qué ocurre si refinamos la subdivisión dada. Cualquier refinamiento de una subdivisión dada puede obtenerse mediante una serie de sucesivos refinamientos, tales que en cada paso sólo se añada un nuevo punto de subdivisión. Así pues, basta investigar el caso en que subdividamos el subintervalo [tLl' ti] por un punto s, tal que tL, < s < ti. Entonces debemos reemplazar Oi pDr O: ,donde

+

, (hes) ) e·=a -, ,

e;'

h(ti-l)

= a

G~~~} e;

y le:1 < 1t/2,10;'1<1t/2. Es ahora evidente que tanto (Ji como + O;'son determinaciones del argumento del número complejo h(t¡)/h(tL,); por tanto, tienen que diferir en un múltiplo entero de 21t. Pero, puesto que en valor absoluto son todos menores que 1t/2, sólo cabe la posibilidad (Ji = O; O;~ Así pues, la definición de grado de h es independiente de la elección de la subdivisión. Vamos ahora a probar que, si h ,.., g, entonces grado de h = grado de g. Puesto que h _ g, existe una aplicación continua F : 1 X 1 --> S' tal que

+

F(t,~)

= h(t),

F(t, 1) = g(t),

F(O, s) = F(l, 8)

1.

(2.5-3)

73

El grupo fU/1Idal'1lelltal de

Podemos ahora subdivisiones tu = O < t, < '" < t n = 1 Y .. , < Sm= 1 del intervalo tales que F aplique cada X [Si_v Si] en un subconjunto de S' de diámetro menor s) y ,s') pertenecen a [t i - l , t¡J X [Si-l' Si], entonces

¡F(t, s) -

< 1.

s')j

I

So

= O

<

s,

<

(2.5-4)

Pongamos ahora

, a ( F(ti, Sj-1) ) , ,. F(ti - 1, Sj-1)

(J. =

11 (J.

,

=

a

(

F(ti, Sj) ) , F(ti-l, Sj)

Queremos probar que n

n

i= 1

í= 1

¿ e; = ¿ e, . ~'

Si aplicamos este razonamiento para j = 1, 2, ... , m sucesivamente, se seguirá entonces que grado de h = grado de g. A este fin, sea

para i = O, 1, ... , n. Podemos elegir (jli de manera que verifique la desigualdad j(jlil < 'IT,/2, en virtud de (2.5-4). (J~'- (J~ y (jli - (jlL, son amoos determinaciones del argumento del mismo núme~o co'mplejo

. F(ti, Sj)F(ti_l, Sj-1) , F(ti-11 Sj)F(ti, Sj-1) y por lo tanto difieren en un múltiplo entero de 2'IT,. Pero en vista de las restricciones sobre los valores absolutos de los números que figuran, se deduce que

f( -

e; = 'Pi -

'Pi-l'

Sumando ahora para i desde 1 hasta n:

~e:'

- ~e; = ~(I"i

-

'Pi-1)

=

'Pn -

'Po.

Pero, en virtud de (2.5-3), (jlo = (jln = O. Así pues, ~O~f = ~8; como queríamos demostrar. Así pues, a· cada elemento ~ E:: 'IT, (SI) le podemos asignar un entero, el grado de B, unívocamente determinado .. Dejamos al lector la verificación mediante

74

El grupo fundamental

cálculo directo, de que, para cada entero m, la aplicación h m por hm(t) = cos 2mrr;t

tiene grado m. Por tanto, el grupo grupo cíclico infinito.

+

11: (SI)

:

0-7

SI definida

i sen 2m11:t

es de orden infinito, es decir, es un C.Q.D.

Observación: La idea fundamental en la discusión anterior sobre el grado de un elemento de 11: (SI) será afinada y generalizada en el Capítulo V en la discusión del grupo fundamental de un espacio recubridor. Como corolario del teorema 5.1, resulta que el grupo fundamental de cualquier espacio con una circunferencia como retracto de deformación es cíclico infinito. Ejemplos de tales espacios son la banda de Mobius, un disco horadado en el centro, el plano horadado en un punto, una región del plano limitada por dos círculos concéntricos, etc. (Véanse los ejercicios de la sección precedente.)

Ejercicios 5.1 A partir de las definiciones probar que la aplicación n(S') -lo Z definida por ~-lo (grado de ~) es un homomorfismo de n(S') en el grupo aditivo de los enteros. 5.2 Siguiendo las líneas generales de la primera parte de" la demostración del teorema 5.1, dar una demostración directa de que si para un ~ E n(S') se verifica grado de ~ = 0, entonces ~ = 1 (NOTA: Esto constituye otro camino para la demostración del teorema 5.1). 5.3 Sea {Ui un recubrimiento abierto del espacio X que verifique las siguientes condiciones: (a) existe un punto X o tal que X o E Ui para todo i. (b) Cada Ui es simplemente conexo. (c) Si i 7'" j, Vi n Ui es arco-conexo. Probar que X es simplemente conexo. [INDICACIÓN: Para probar que todo lazo f : 1 -lo X con punto base X o es trivial, considerar primero el recubrimiento abierto {j-'(U¡)} del espacio métrico compacto l, y luego hacer uso del número de Lebesgue de este recubrimiento.] Nota: Los dos casos más importantes de este ejercicio son los siguientes: (1) Un recubrimiento con dos conjuntos abiertos, y (2) los conjuntos U i están ordenados por inclusión. El estudiante podría volver a formular el ejercicio para estos dos casos especiales. 5.4 Usando el ejercicio 5.3, nota (1), probar que la 2-esfera unidad S', o más generalmente la n-esfera S", n 2: 2, es simplemente conexa.

l

6

f\p,ucaCU)1J.: El teorema

punto fijo

Brouwer

en dimensión 2 El siguiente teorema del punto fijo de L. E. J. Brouwer es uno de los teoremas más conocidos de topología. Sea En la bola unidad cerrada en el n-espacio euclídeo Rn:

Teorema 6.1 Toda aplicación continua f de En en sí mismo tiene por lo menos un punto fijo, esto es, un punto x tal que f(x) = x.

Aplicación: El teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 2

75

Demostraremos este teorema sólo para n 3 2. Antes de dar la demostración, parece conveniente indicar por qué son interesantes teoremas del punto fijo, como éste. Supongamos que tenémos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas

91(Xl, ... , x n ) =0 g2(Xl, ... , x n ) =0 (2.6-1)

gn(Xl, ... , x n ) = O. donde suponemos que las g¡ son funciones reales continuas en las variables reales x" ... , x". Un problema a menudo importante consiste en saber cuándo un tal sistema de ecuaciones tiene solución. Podemos transformar este problema en un problema del punto fijo de la siguiente manera: Para cada i = 1, 2, ... , n, pongamos

hi(Xl, ... , x n)= gi(Xl, ... , Xn)

+ Xi

Entonces, para cada punto x = (x" ... , XI!) definimos

h(x)

=

(h 1(x), ... , hn(x)).

La función h es continua y aplica un cierto subconjunto del n-espacio euclídeo (que depende del dominio de definición de las funciones g" ... , gIl) en el n-espacio euclídeo. Si podemos encontrar un subconjunto X del n-espacio euclídeo homeomorfo a En, tal que h esté definida en X y h(X) e X, entonces, por el teorema del punto fijo de Brouwer podremos afirmar que h tiene un punto fijo en X; pero es fácil ver que un punto fijo de la función h es una solución del sistema de ecuaciones (2.6-1). El teorema del punto fijo de Brouwer se ha extendido a ciertos subconjuntos de espacios de funciones. Entonces este teorema puede usarse para demostrar teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Éste es uno de los métodos más potentes para demostrar teoremas de existe:t;lcia para ciertos tipos de ecuaciones no lineales. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 6.1: Para n 3 2. Probemos primero que, para todo entero n > 0, la existencia de una aplicación continua f: En --> En sin puntos fijos, implica que la (n-1)-esfera Sn-l = {x E:: Rn: Ixl = l} es un retracto de En. Para esto utilizamos la siguiente construcción geométrica elemental. Para cada punto x E:: En, designemos por r(x) el punto de interse.cción Sn-l y la semirrecta que con origen en f(x) pasa por el punto x. La figura 2.5 muestra la situación en el caso n = 2. Con notación vectorial podemos escribir fácilmente una fórmula que da r(x) conocido f(x). Se ve entonces que r es una aplicación continua de En en S"-l. Está claro que si x E:: Sn-" r(x) = X. En consecuencia, r es la retracción deseada. MASSEY-4

Si conseguimos demostrar que S,,-1 no es un retracto de E" habremos llegado a una contradicción. Para n = es evidente ya que E' es conexo y So no 10 es. Para n = 2 aplicamos lo que se ha probado acerca del grupo fundamental' de un retracto. Puesto que TI (S") es cíclico infinito. mientras que TI (E2) es un grupo trivial, se deduce fácilmente que S' no es un retracto de E2 (véase la . discusión sobre retractos en la sección 4). C.Q.D. X2

~--!_ _

r(x)

,

Xl

FIGURA 2.5 Demostración del teorema del punto fijo de Brouwer.

7

El grupo

de un espacio

En esta sección, demostraremos que el grupo fundamental de un producto de dos espadas es naturalmente isomorfo al producto directo de sus grupos fundamentales; en símbolos

7r(X X Y)

= 7r(X)

X 7r(Y).

(Para repasar la definición de producto directo de grupos, véase seCClOn III.2.) Sean X, Y y A espacios topológicos. Si f : A -> X X Y es una aplicación, designamos por (fl (a), f 2 (a» las coordenadas de Ha), a A. Entonces f, y f 2 son aplicaciones de A en X e Y respectivamente, y es bien sabido que f es continua si y sólo si f, y f 2 lo son. Ésta es una propiedad básica de la topología'

e

El grupo fundamental de un espacio producto

producto. Así pues, existe una natural entre el de ciones continuas f: A --+ X X Y Y el de pares de aplicaciones continuas f 1: A --+ X, f 2 : A --+ Y. Si designamos por p : X X Y --+ Y Y q : X X Y -) Y las proyecciones del espacio producto sobre sus dos factores, entonces f 1 = pf y fo = qt. Apliquemos las consideraciones anteriores al caso en que A = 1 es ef intervalo unidad. Existe, pues, una biyección natural entre el conjunto de caminos f : 1 --> X >< Y del espacio producto y el de los pares de caminos f 1 : 1 --> fo : 1 --> Y de los factores. Obsérvese que, al igual que antes, f 1 = pf, f 2 = qt. Esta correspondencia natural verifica las siguientes inmediatas e importantes propiedades: (a) Si f, 9 : 1 --> X X Y son caminos con un mismo origen y extremo, entonces f - 9 si y sólo si f 1 - g1 Y f 2 ~ g2 (donde g1 = pg y g2 = qg). (b) Sean f, 9 : 1 --> X X Y caminos tales que el extremo de f coincida con el origen de g, y sea h = f . g. Entonces h 1 =f 1 • g1 Y h 2 f 2 • g2' donde h 1 ph Y h 2 =qh.

=

=

Podemos resumir estas dos afirmaciones diciendo que la correspondencia natural f 1t(X, x) Y q* : 1t(X X Y, (x, y» --> 1t(Y, y) los homomorfismos inducidos por las proyecciones p y q. En virtud de (a), la correspondencia 11- -> (p.¡,a, q*a) establece una biyección entre los conjuntos 1t(X X Y, (x, y» y 1t(X, x) X 1t (Y, y). Además, la propiedad (b) implica que esta correspondencia conserva la multiplicación, es decir, es un isomorfismo de grupos. Resumiendo tenemos: Teorema 7.1 El grupo fundamental del espacio producto, 1t(X X Y, (x, y», isomorfo al producto directo de grupos fundamentales 1t (X, x) X 1t (Y, y). El isomorfismo está definido asignando a cada elemento ot E 1t(X X Y, (x, el par ordenado (p*a, G*fJ.,), donde p : X X Y --> X y q : X X Y --> Y denotan las proyecciones del espacio producto sobre sus factores.

es naturalmente

y»

Este teorema puede extenderse obviamente al producto de una familia finita de espacios.

7.1 Describir la estructura del grupo fundamental de un toro. 7.2 Probar que el subconjunto S' X {x,} es un retracto de S' X S', pero no es un retracto de deformación para ningún x, E S'. 7.3 Generalizar el teorema 7.1 para obtener una descripción del grupo fundamental del producto de una colección infinita de espacios topológicos.

78

El grupo fundamental

1.4 Sean i : X --l> X X Y, j : Y --> X X Y definidas por i(x) = (x, y,,), j(y) = (x,,, y), donde x" E X, y" E y son puntos base elegidos de una vez para siempre. Probar que la aplicación de 11: (X, xJ X 11:(Y, y,,) en 11:(X X Y, (x,,, y,) definida por (~, y) --l> (i ~) . (j*y) es un isomorfismo del primer grupo sobre el segundo. (INDICACIÓN: Probar que "es el inverso del isomorfismo descrito en el teorema 7.1). Deducir como corolario que los elementos i,._~ y j_~y conmut:m, es decir, (i*{3) (j*'Y) = (j,.'Y) (i*{3). , 7.5 Supongamos que G es un espacio topológico, [L : G X G -¡; G una aplicación continua y e E G tal que verifique la siguiente condición: Para todo x E G, f.1,(x, e)=[L(e, x) =x. [Un importante ejemplo es el de un grupo topológico G, en el qUe e es elemento identidad y [L el producto en G]. Sean i : G -) G X G y j : G -->.G X G definidas como en el ejercicio 7.4: i(x) = (x, e) y j(x) = (e, xl para todo x E G. Probar que para cualesquiera ~, y E 11:(G, e), [L,J(i .. ~)(j .. yl] = ~ . y. [INDICACIÓN: Tener presente el ejercicio 7.4 y considerar primero el caso en el que ~ o y son iguales al; nótese que (~, y) = (~,1) 0, y) en 11:(G, el X 11:(G, el.] Deducir como corolario que 11:(G, e) es un grupo abeliano. 7.6 Sean G, e y [L como en el ejercicio 7.5. Supongamos además que existe una aplicación continua e : G --l> G tal que [L(x, c (x» = [L(c(x), x) = e para todo x E G. [Un importante ejemplo es el de un grupo topológico G, en el que c(x) = x- 1 para todo x E G.] Probar que, para todo ~ E 11: (G, e), c*(~) =~_l.

el

8

Tipo de

y eqmlralenCla homotópica de espacios

Antes de demostrar el próximo teorema, se ha de desarrollar una teoría preliminar sobre la topología de ciertos subconjuntos del plano. Llamaremos disco cerrado a todo espacio topológico que sea homeomorfo al conjunto

E2

=

{(x, y) E R2 : X2

+ y2

~

1) i

y le llamamos disco abierto si es homeomorfo al conjunto

U2

= {(x, y) E R2 : X2

+ y2 <

1).

La frontera de un disco cerrado es el subconjunto que corresponde a la circunferencia SI en el homeomorfismo del disco sobre E2; Y se puede probar que este subconjunto es independiente de la elección del homeomorfismo. Consideraremos ahora algunas propiedades elementales de los discos. (a) Todo subconjunto E del plano, convexo, compacto y con interior no vacío es un disco cerrado. DEMOSTRACIÓN: Podemos definir un homeomorfismo entre E y E2 de la manera siguiente: Elegimos un punto X o interior a E. Cualquier semirrecta del plano que parta de X o debe cortar a E en un intervalo cerrado con uno de sus extremos en x O ' Aplicamos este intervalo mediante una aplicación lineal sobre el intervalo unidad de la semirrecta paralela por el origen. Obtenemos así una correspondencia biyectiva entre los puntos de E y los de E2, que es continua en ambas direcciones.

(b) Sean El y E 2 discos cerrados con fronteras Bl y B 2 respectivamente. Entonces, cualquier aplicación continua f: Bl -7 B 2 puede extenderse a

Tipo de homotopía y equivalencia homotópica de espacios

una continua F : -> Ez. Si f es un ces F puede elegirse que sea también un homeomorfismo.

enton-

DEMOSTRACIÓN: Según la definición de disco cerrado, basta probar la proposición en el caso en que El = E 2 =E2 y BI = B 2 = SI. Dejamos la demostración al lector.

(c) Sea El un disco cerrado. Designemos por E 2 el espacio cociente de El obtenido identificando un segmento cerrado de la frontera de El a un solo punto. Entonces Ez es de nuevo un disco cerrado. DEMOSTRACIÓN: En virtud de (b) basta probar la proposición para un disco cerrado en particular y un segmento particular de su frontera. Tenemos libertad para escoger el disco y el segmento de la manera que nos sea más conveniente. Elegimos E I como el trapecio ABDE en el plano xy, como indica la figura 2.6, y E 2 como el triángulo ABe. Definiremos una aplicación f : El -, E 2 tal que el segmento DE de la frontera de E I se aplique sobre el vértice e de Ez, y que sobre el complementario de DE, f sea biyectiva.

y

e

E,/if---+-~~-----"/) I

/

/

I

Ip

A I B ____~--------~~------~r-------------------~~~x -1 +1

o

FIGURA 2.6 Demostración de (e).

Entonces completaremos la demostración probando que Ez tiene la topología cociente determinada por f. Definimos f por la condición de que, para todo punto P E E l' los puntos P, P' = f(P) y e = (0,1) estén alineados, y la ordenada de P' sea el doble de

El grupo fundamental

la Po Si

son las coordenadas de P y

las de P', entonces resulta

=x

=

2y

o

= x' (;;, ~ Y

22)l

= iy'

o~

y'

<

L

)

El primer par de fórmulas demuestra que f es continua, mientras que el segundo demuestra que f es biyectiva salvo sobre el segmento DE; evidentemente el segmento DE se aplica sobre el punto C. Puesto que El es compacto y E 2 es de Hausdorff, f es cerrada, y' por tanto E 2 tiene la topología cociente. C.Q.D.

Estamos ahora en condiciones de enunciar y demostrar un lema fundamental. Designemos por D un disco cerrado y por B su frontera (que es una circunferencia); sea 9 : 1 --> B una aplicación continua que enrolle el intervalo 1 exactamente una vez alrededor de la circunferencia B; es decir, tal que g(O) = g(1) = do E B Y que aplique el intervalo abierto (O, 1) homeomórficamente sobre B - { do}' Sea X un espacio topológico.

Lema 8.1 Una aplicación continua f : B --> X puede extenderse a una aplicación continua D --> X si Y sólo si el lazo fg : 1 --> X es equivalente al lazo constante en el punto base f(d o )' DEMOSTRACIÓN: Supongamos primero que f : B --> X pueda extenderse a una aplicación continua F : D --> X. Consideremos el cuadrado unidad {(x, y) E R2: O ~ x ~ 1 y O ~ y.~ 1}. Definimos una aplicación continua de la frontera de este cuadrado en B mediante

h(x, O) = g(x),

h(x, 1)

= h(O,

o~

x ~ 1,

y)= h(1, y)

= do

(2.8-1)

para x E 1 o y El; por la propiedad (b), h puede extenderse a una aplicación continua H del cuadrado unfdad. Entonces la existencia de la aplicación compuesta FH prueba que el lazo fg es equivalente a un camino constante. Supongamos ahora que el lazo fg sea equivalente al camino constante. Por

Tipo de homotopía y e(nuvc!wn'CIU 110J1~o,tO/J¡ca de espacios

definición esto "".i~;UA.u'-a que existe una dad en X tal que

G(x, O)

=

81

continua G del

f(g(x»,

G(x, 1) = G(O, y) = G(l, y) = jedo). Puesto que G aplica la base super-ior y los dos lados de este cuadrado en un solo punto f(d o)' está claro que G induce una aplicación continua del espacio cociente del cuadrado (obtenido identificando la base superior y los dos lados a un solo punto) en X. Por la propiedad (c) este cociente es un disco cerrado que podemos tomarlo como y la aplicación natural de la frontera del cuadrado sobre el espacio cociente podemos tomarla como la aplicación h de (2.8-1). La aplicación inducida del disco D en X es claramente una extensión ~f

~A

Cuando se aplica este lema, es conveniente hacer uso del siguiente «abuso de lenguaje»: diremos que la aplicación f : B --> X «representa» la clase de equivalencia del lazo fg. Para establecer el próximo teorema, sean <po' Y aplicaciones continuas y

Y una homotopía entre <po y
7r(X, xo)

'Pl* : 7r(X,

-+

7r(Y, 'Po(xo»,

xo) -+ 7r(Y, 'Pl(XO»'

°

Designemos por '( la clase de homotopía del camino t -->
~ t ~

1, por la

Teorema 8.2 Con las hipótesis anteriores el siguiente diagrama es conmutativo:

Este teorema es la natural y completa generalización del teorema 4.1.

; I

I I

82

El grupo fundamental DEMOSTRACIÓN:

Sea a E

hemos de probar que

11:

Elegimos un camino cerrado f : '1 cación

->

X que represente a. Consideremos la apli-

g:IX1->Y definida por g(x, y)

Entonces, si x, y

=
E 1, tenemos g(x, O) g(x, 1) g(O, y)

=
= g(1,

y)

=
y).

En consecuencia, la aplicación 9 representa a <po*(a) sobre la base inferior del cuadrado,
La ecuación buscada se deduce entonces de ésta, multiplicando a la derecha por Y(
Definición Se dice que dos espacios X e Y son del mismo tipo de homotopía si existen aplicaciones continuas (llamadas equivalencias homotópicas) f : X - rel="nofollow"> Y, 9 : Y -> X tales que gf identidad: X -> X Y fg identidad: Y -7 Y.

=

=

Claramente dos espacios homeomorfos son del mismo tipo de homotopía, pero el recíproco no es cierto.

8.1 Probar que si A es un retracto de deformación de X, entonces la inclusión i : A --> X es una equivalencia homotópica. (De hecho, una de las condiciones de la definición de retracto de deformación dada en la sección 4 es superflua aquí; la supresión de esta condición lleva a la noción de «retracto de deformación débil». Para espacioS suficientemente «buenos» se puede probar que las dos nociones coinciden.>

f*

Teorema 8.3 Si f: X -> Y es una equivalencia homotópíca, x) -> 1I:(Y, f(x» es un isomorfismo, para todo x E X.

entonces

: 1I:(X,

DEMOSTRACIÓN:

Puesto que gf = identidad: X

->

X, tenemos el siguiente

Tipo de homotopía y

de espacios

diagrama (conmutativo según el teorema

x) ~

f(x»

~

19·

'!r(X, gf(x)

donde u es un isomorfismo inducido por un cierto camino de x a gf(x). Por lo tanto f * es monomorfismo y 9 * epimorfismo. Si aplicamos el mismo argumento a la homotopía fg = identidad Y -+ Y, obtenemos el siguiente diagrama conmutativo

'!r( Y, f(x» "" v

~.

u·l

'!r(X, gf(x»

-+

'!reY, fgf(x»

Por tanto, resulta que g* es un monomorfismo. Como g* es a la vez un epimorfismo y un monomorfismo, es un isomorfismo. Puesto que

y 9* y

u son ambos isomorfismós, se deduce que f", es también un isomor-

fismo.

C.Q.D.

Este teorema será usado en la determinación del grupo fundamental de ciertos espacios, y como método para probar que ciertos espacios no son del mismo tipo de homotopía (y por lo tanto no son homeomorfos).

Ejercicio 8.2 Supongamos que G, [L y e cumplen las hipótesis del ejerclclO 7.5. Con el lema 8.1 probar directamente que, para todo par (1., ~ E 1I:(G, e), (1.~(1.-'~-' = 1. (INDICACIÓN: Elegir D como un cuadrado, y una aplicación de B en G que represente a~(1.-'~-'. Usar la existencia de [L para definir la extensión requerida). Deducir que 1I:(G, e) es abeliano.

NOTAS El grupo fundamental fue introducido por el gran matemático francés Henri Poincaré en 1895 (<
84

El grupo

matical Surveys. No. 11, Fixed Points Providence: American Mathematical

Topologica! Degree 1964.

N oniinear A na!ysis.

BIBLIOGRAFíA 1. Crowell, R. H. Y R. H. Fax. Introduction to Knot Theory. Bastan: Ginn, 1963. Capítulos II y V. 2. Hilton, P., y S. Wylie. Homo!ogy Theory: An Introduction to Alyebraic Topo!ógy. Cam· bridge: The University Press, 1960. Capítulo VI. 3. Pontrjagin, L. Topo!ogical Groups. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1939. Sección 46. 4. Seifert, R., y W. ThreIfalL Lehrbuch der Topologie. New York: Chelsea, 1947. Capítulo 7.

En los capítulos precedentes hemos introducido el grupo fundamental de un espacio y hemos determinado su estructura en algunos de los casos más simples. Para casos más complicados, necesitamos un amplio vocabulario y un mejor conocimiento de teoría de grupos para describir su estructura y hacer uso efectivo de sus propiedades. El objeto de este capítulo es cubrir esta necesidad. Tratamos primero el caso de grupos abelianos, porque es más simple y está más estrechamente relacionado con las experiencias previas del estudiante. Después tratamos el caso general de grupos no necesariamente abelianos. Los resultados son entonces totalmente análogos a los del caso abeliano, pero se gana en variedad de posibilidades y se pierde en intuición. Los tres conceptos más importantes de teoría de grupcs introducidos en este capítulo son: grupo libre, producto libre de grupos, y determinación de un grupo por generadores y relaciones. Estos conceptos serán usados a lo largo de todo el libro. La definición de grupo libre o de producto libre de grupos implica un concepto matemático de gran uso, el llamado «problema de aplicaciones universales», que es también un concepto básico en el Capítulo IV.

2

grupos aOleUiWCIS

Probablemente el estudiante esté ya familiarizado con el concepto de producto, producto directo, producto cartesiano, de dos grupos; en todo caso, la definición es muy sencilla y vamos a repetirla. Sean G 1 y G 2 grupos. Su producto, que designaremos por G 1 X G 2 , es el conjunto de todos los pares ordenados (gl' g2)' gl E::: Gl' g2 E::: G 2 , con la multiplicación definida componente a componente según la siguiente regla:

°

La comprobación de que G 1 X G 2 es, ef¡;ctivamente, un grupo, es rutinaria.

85

J

Grupos libres y productos libres de grupos

De manera análoga podernos definir el para todo entero positivo n; se designa por

de n gruPQS, X _.. X

o

n i=1

Analógamente, se podría definir el producto de una sucesión infinita de grupos Gl' G 2 , G 3 , _ •• , que se designa por

n

;=1

En cada caso,- el conjunto subyacente es el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de los factores, y la multiplicación está definida componente a componente. En este punto, el lector recordará que, en teoría de conjuntos, el producto cartesiano de cualquier colección (no vacía) de conjuntos está bien definido; no necesitamos restringirnos al caso de una colección numerable de conjuntos. Así pues, análogamente, podemos definir el producto de cualquier colección (no vacía) de grupos {G¡ : i El}. donde l denota un conjunto de índices, numerable o no (ahora l no denota el intervalo unidad). Formamos primero el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, y entonces definimos una multiplicación componente a componente: para cualquier par de elementos

g, g'

En G iEl

i,

y cualquier índice i E l, la i-ésima componente del producto gg' viene dada_por

(gg') i = (gi) (g~). Es decir, la i-ésima componente del producto es el producto de las i-ésimas componentes de los factores. Sea {G¡ : i El} una colección arbitraria de grupos, y

G=

n

Gi

iEl

su producto.

Definición El producto débil ' de la colección {G¡ : i El} es el subgrupo de su producto G formado por todos los elementos g E G tales que g¡ es el elemento neutro de G¡ salvo para un número finito de índices i.

1

Si los grupos Gi son abelianos y la operación en los grupos es aditiva, al producto débil suele llamársele «suma directa». En esta definición, dos grupos de la colección {Gi} pueden ser Isomorfos. Puede ocurnr mcluso que todos los grupos de la colección sean isomorfos a uno dado.

_i I

87

P,roducto débil de grupos abelianos

Evidentemente, si { : i E:: I} es una colección finita de grupos, su producto y su producto débil coinciden. Si G designa indistintamente el producto o el producto débil de la colección {G i : i E:: I}, entonces, para cada índice i E:: 1, tenemos un monomorfismo natural
~,

si j

i.

~

En el caso en que cada Gi sea un grupo abeliano, el siguiente teorema da una importante caracterización de su producto débil y los monomorfismos
Teorema 2.1 Si {G i : i E:: I} es una colección de grupos abe lianas y G su producto débil, entonces, para cualquier grupo abeliano A y cualquier colección de homomorfismos

i E I,

Y;i : Gi --+ A,

existe un umco homomorfismo f : G ..... A tal, que para todo i E:: 1, es conmutativo el siguiente diagrama:

7[

G

Gi

f·

~A DEMOSTRACIÓN: Dados los ~i, definimos f por la siguiente regla: para cada x E:: G, f(x) será el producto de los elementos ~i(Xi) para todo i E:: 1. Puesto que Xi = 1 salvo para un número finito de índices i, este producto es finito; y puesto que todos los grupos son abelianos, el orden de multiplicación es indiferente. Así, f(x) está bien definido, y se verifica fácilmente que f es un homomorfismo, que hace conmutativo el diagrama dado. Es fácil ver que f es el único homomorfismo con esta propiedad. C.Q.D.

Nuestra próxima proposición establece que este teorema caracteriza efectivamente el producto débil de grupos abelianos.

Proposición 2.2 Sea {G i }, G Y G como en el teorema 2:1; sea G' un grupo abeliano arbitrario y G' una colección de homomorfismos tales que el teorema 2.1 sea válido al sustituir G y
Grupos libres y productos libres de grupos.

y
-7

G' tal que,

todo i E::: 1,

~Gj

Gi

h.

'P~GI DEMOSTRACIÓN: El teorema 2.1 nos asegura la existencia de un homomor~ fismo h : G -7 G' que hace conmutativo el diagrama requerido. Puesto que el teorema 2.1 támbién se puede aplicar a G' y
De esto, concluimos fácilmente que, para todo i E 1, son conmutativos los siguientes dos diagramas:

~Gj

Gi

kA

~G Sin embargo, estos dos diagramas siguen siendo conmutativos si sustituÍmos kh por la aplicación identidad G -7 G en el primero, y hk por la identidad G' -> G' en el segundo. Aplicando ahora la unicidad del homomorfismo f en el teorema 2.1, concluimos que kh y hk son ambos la identidad. Por tanto, h y k son isomorfismos cada uno inverso del otro. C.Q.D. El estudiante debe reflexionar sobre el significado de la caracterización del producto débil dada por el teorema 2.1. Consideremos un grupo arbitrario A, abeliano, con homomorfismos ~i : G i -> A como un posible candidato para algún tipo de «producto» de los grupos abelianos G¡; entonces este teorema nos dice que el producto débil G es el «más libre» entre todos estos candidatos, en el sentido de que existe un homomorfismo de G en A que conmuta con
Grupos abelianos

ciones se verifican para el grupo también deben verificarse para cualquier homomórfica de G; desde luego que en la imagen verificarse relaciones adicionales. Esta misma norma se sigue también cuando se consideran otras clases de objetos algebraicos, tales como anillos, etc. Como veremos, el razonamiento usado para demostrar la proposición 2.2 se apli.ca casi palabra por palabra en muchas otras ocasiones. Puesto que el producto débil G de una colección {G i }de grupos abelianos está completamente caracterizado por las propiedades de los monomorfismos epi : G i --? G establecidas en el teorema 2.1, podemos perfectamente ignorar el hecho de que G es un subgrupo del producto

II iEI

y, en cambio, fijar nuestra atención sobre el grupo G y los homomorfismos epi. Además, puesto que cada epi es un monomorfismo, podemos identificar G i con su imagen en G por epi, y considerar epi como una inclusión, si fuera conveniente. En este caso, decimos que G es el producto débil de los subgrupos G i , entendiéndose que cada epi es una inclusión.

3 Recordemos que si S es un subconjunto de un grupo G, se dice que S genera G si todo elemento de G puede escribirse como producto de potencias positivas y negativas de S. (La siguiente condición es equivalente: S no está contenido en ningún subgrupo propio de G). Por ejemplo, si G es un grupo cíclico de .orden n,

entonces el conjunto S = {x} genera G. Si el conjunto S genera el grupo G, ciertos productos de elementos de S pueden dar el elemento neutro de G. Por ejemplo, (a) Si x E:: S, entonces xx- ' = 1. (b) Si G es un grupo cíclico de orden n generado por {x}, entonces x" = 1. Un producto de elementos de S que sea igual al elemento neutro se llama a menudo una relación entre los elementos del conjunto generador S. Con lenguaje impreciso pero expresivo, podemos distinguir dos tipos de relaciones entre los generadores: relaciones triviales, como en el ejemplo (a), que son consecuencia directa de los axiomas de grupo y se verifican independientemente de la elección de G y S, y relaciones no triviales, tales como en el ejemplo (b), que no son consecuencia de los axiomas de grupo, y dependen de la particular elección de G y S.

90

Grupos libres y productos libres de grupos

Estas nociones nos llevan de manera natural a la siguiente definición: Sea S un conjunto de generadores de un grupo G. Decimos que G está libremente generado por S o que es un grupo libre sobre S, si no existen relaciones no triviales entre los elementos de S. Por ejemplo, si G es un grupo cíclico infinito formado por todas las potencias positivas y negativas de un elemento x, entonces G es un grupo libre sobre el conjunto S ;= {x}. Estas nociones nos llevan también a la idea de que podemos d~terminar completamente un grupo por los elementos de un conjunto generador S y las relaciones no triviales entre ellos. Las ideas descritas en los párrafos anteriores han sido corrientes entre los teóricos de grupos, durante mucho tiempo. Desgraciadamente, tal como las acabamos de establecer, son carentes de precisión matemática. Por ejemplo, ¿ qué se entiende con precisión por una relación no trivial? No puede ser un elemento de G, porque consideradas como elementos de G, todas las relaciones dan el elemento neutro. Igualmente, ¿ en qué condiciones dos relaciones pueden considerarse la misma? Por ejemplo, en un grupo cíclico de orden n, las relaciones

deben considerarse iguales o distintas? Debemos hacer notar que no ha sido fácil para los matemáticos encontrar la manera precisa y totalmente satisfactoria de tratar estas cuestiones. Esto ha ocurrido en los últimos años. Esta manera de tratar la cuestión tiene la ventaja de que se aplica no sólo a grupos, sino también a otras estructuras algebraicas como anillos, e incluso en muchas situaciones en otras ramas de la Matemática. Como ocurre a menudo en matemáticas el método de definición finalmente elegido, es aparentemente bastante indirecto y nada trivial." Este método de definición depende de las siguientes observaciones: (1) Sea S un conjunto de generadores de G, y f : G ....,. G' un epimorfismo; es decir, G' es una imagen homomórfica de G. Entonces, el conjunto feS) es un conjunto de generadores de G'. En general, cualquier relación que se verifica entre los elementos de S también se verifica entre los elementos de feS). Así, el grupo G' satisface por lo menos a tantas relaciones como G. (2) Sea S un conjunto de generadores de G, y f : G ....,. G' un homomorfismo arbitrario. Entonces, f está completamente determinado por su restricción al conjunto S. Sin embargo, esto no quiere decir que toda aplicación g : S ....,. G' pueda extenderse a un homomorfismo f : G ....,. G' (el estudiante buscará un contra-ejemplo). Intuitivamente está claro: dada una aplicación g : S ....,. G' pueden existir relaciones no triviales entre los elementos de S que no se verifiquen entre los elementos de g(S). Una situación análoga se presenta en el problema de definir con precisión el límite en cálculo. La técnica del E-O, que hoy en día está generalizada, parece bastante lejana de nuestra noción intuitiva de una cantidad variable que se aproxima a un límit~.

91

Grupos abe/ianos libres

Daremos ahora una definición precisa de grupo abeIiano libre sobre un conjunto dado S; en la sección 5 trataremos el caso de grupos en general decir, no necesariamente abelianos). Consideramos primero el caso de grupos abelianas porque es el más sencillo.

Definición Sea S un conjunto arbitrario. Un grupo abeIiano libre sobre el conjunto S es un grupo abeliano F junto con una función

A, existe un único homomorfismo f : F --+ A que hace conmutativo el siguiente diagrama

:/F S·

j,

~A

Primero demostramos que esta definición caracteriza efectivamente los grupos abelianos libres sobre un conjunto dado S.

Proposición 3.1 Sean F y F' grupos abelianos libres sobre el conjunto S, respecto a las funciones

F' respectivamente. Entonces, existe un único isomorfismo h : F -> F' que hace conmutativo el siguiente diagrama:

;/F s· 1, 'A,F

f

DEMOSTRACIÓN: La demostración es completamente análoga a la de la proposición 2.2, y puede dejarse al lector.

Debemos hacer notar que todo .lo que hemos hecho hasta ahora es dar simplemente una definición; dado un conjunto S, no está claro que exista un grupo abeliano libre sobre S. Más aún, incluso si F existe, puede pensarse que la aplicación

Ejercicio 3.1 Probar directamente a partir de la definición que q¡CS) genera F. poner que no es cierto; considerar el sub grupo F' generado por q¡CSl.l

CrNDICACIÓN:

Su-

92

Grupos libres y productos libres de grupos

Como paso consideremos la siguiente situación, {Si: i El} es una familia de subconjuntos no vacíos de S, dos a y tales que

s=

U iEI

Para cada índice i E 1, sea Fi un grupo abeliano libre sobre el Si respecto a una función Fio Designemos por F el producto débil de los grupos F i, y por 1]i : Fi --> F el monomorfismo natural. Puesto que los Si son dos a dos disjuntos, podemos definir una función

F mediante

I:"ríop·osiici,¡)n 3.2 Con las hipótesis anteriores, F es un grupo abe liana libresobre el conjunto S respecto a la función

F.

En forma intuitiva, esta proposición significa que el producto débil de .una colección arbitraria de grupos abelianos libres es un grupo abeliano libre. DEMOSTRACIÓN: Sea A un grupo abeliano y \]J : S --> A una función. Tenemos que probar la existencia de un único homomorfismo f : F --> A tal que \]J = f A la restricción de \]J al subconjunto Si' Puesto que Fi es un grupo abeliano libre sobre el conjunto Si, existe un único homomorfismo f i : Fi --> A que hace conmutativo el siguiente dia-

grama

(3.3-1)

Por la propiedad fundamental del producto débil de grupos expresada en el teorema 2.1, existe entonces un único homomorfismo f : F --> A que hace conmutativo el siguiente diagrama, para cada índice i,

(3.3-2)

Grupos abelianos libres

Con estos dos

conmutativos 'Pi

-->

,.N'"'-H.W.>

formar un solo

1ji

-->F (3.3-3)

Puesto que q:¡ I Si = Yjiq:¡i, el siguiente diagrama resulta conmutativo para cada, Índice i,

(3.3-4)

Finalmente, puesto que ljJi =~ I Si para cada i, y S = U Si, resulta ljJ = fq:¡. Para probar la unicidad, sea f : F -> A un homomorfismo arbitrario que verifique la propiedad requerida. Puesto que Yji : Fi -> F es un monomorfismo, existe un único homomorfismo fi: Fi -> A que hace conmutativo el diagra.ma (3.3-2). Por tanto, el diagrama (3.3-1) es conmutativo para todo i, pues fi'Pi = fr¡i'Pi = f( 'P I Si) = (if; ¡Bi ) =

fi.

Puesto que Fi es un grupo abeliano libre sobre Si (respecto a q:¡i), se sigue que fi es única.. La unicidad de f se deduce entonces de la conmutatividad del diagrama (3.3-2) para cada i, y del hecho de que F es el producto débil de los Fi. C.Q.D.

Vamos ahora a aplicar este teorema. Supongamos que

S = {Xi : i E 1 l. Para cada índice i, designemos por Si el subconjunto{xi}que tiene un solo elemento, y por Fi un grupo cíclico infinito formado por todas las potencias positivas y negativas del elemento Xi:

Fi = {X; ; n E Z}. Designemos por q:¡i : Si -+ Fi la inclusión, esto es, q:¡¡(Xi) = XiI. Está claro que Fi es un grupo abeliano libre sobre el conjunto Si. Así pues, se verifican todas las hipótesis de la proposición 3.2. Podemos, por tanto, afirmar que un grupo abeliano libre sobre un conjunto S es un producto débil de una colección de grupos cíclicos infinitos, con el cardinal de la colección igual al de S. Puesto que F es el producto débil de los F i, todo elemento 9 E F es de la forma siguiente: para cada índice i, la i-ésima componente gi' de g, es gi = X~i,

94

Grupos libres y productos libres de grupos

donde cada ni es un entero y ni = O salvo para un número finito de índices i. Más aún, la función cp está definida por la siguiente regla. para cada índice j El, si i = j sii;;éj. A partir de esta fórmula resulta evidente que cp es inyectiva. Puesto que cp es inyectiva, podemos identificar cada Xi E S con su imagen cp(Xi) E F. Entonces S puede considerarse como un subconjunto de F, y está claro que podemos expresar unívocamente cada elemento g "'" 1 de F de la forma (3.3-5) donde los índices il' i 2 , . . . , ik son todos distintos, y nI' n 2 , ••• , nk son enteros no nulos. Esta expresión para un elemento g es única salvo el orden de los factores. Más aún, cada producto de este tipo de los Xi representa un único elemento g "'" 1 de F. Resulta, pues, claramente, que F está generado por el subconjunto S = cp(S). Esta identificación de S y cp(S) suele hacerse a menudo en el estudio de grupos abelianos libres. Cuando esto se hace, cp : S -+ F resulta una inclusión, y a menudo ni tan siquiera se menciona. Otra manera de abordar el tema de los grupos abelianos libres sería decir que un grupo abeliano F es libre sobre el conjunto {Xi: i El} e F si todo elemento g "'" 1 de F admite una expresión de la forma (3.3-5), unívocamente determinada salvo el orden de sus factores. Este procedimiento sería algo más rápido y fácil que el que hemos elegido. Sin embargo, tiene la desventaja de que no puede generalizarse a grupos no abelianos y a otras situaciones que son, de hecho, los que no interesarán. La siguiente proposición da idea de la importancia de los grupos abelianos libres.

Proposición 3.3 Todo grupo abeliano es imagen homomórfica de un grupo abe liana libre; es decir, dado un grupo abe liana cualquiera A, existe siempre un grupo abeliano libre F y un epimorfismo f : F -+ A. DEMOSTRACIÓN: La demostración es muy sencilla. Sea S e A un conjunto de generadores de A (por ejemplo, podemos tomar S = A), y F un grupo abeliana libre sobre S respecto a una función cp: S -> F. Designemos por 1jJ: S -> A la inclusión. Por definición, existe un homomorfismo f : F -+ A tal que fcp = 1jJ. Puesto que S ha sido elegido como un conjunto de generadores de A, f es un epimorfismo. C.Q.D.

Grupos abelianos libres

Esta proposición nos permite dar un significado preciso a la noción de ({relación no trivial entre los generadores S», mencionada anteriormente. Supongamos que A, S, F Y f tienen el mismo significado que en la proposición anterior; definimos una relación no trivial entre el conjunto de generadores S, como un elemento cualquiera T ~ 1 del núcleo de 1. Si {Ti: i El} es una colección arbitraria de tales relaciones, y T es un elemento del subgrupo .de F generado por los Ti, entonces se dice que la relación T es una consecuencia de las relaciones ri. Esto implica que T pueda expresarse como producto de las ri Y sus inversos. Si la colección {Ti : i El} genera el núcleo de f, entonces el grupo A está completamente determinado, salvo un isomorfismo, por el conjunto de generadores S y el conjunto de relaciones {ri : i El}, pues A es isomorfo al grupo cociente de F, módulo el subgrupo generado por las ri. Está claro que, si S y S' son conjuntos con el mismo cardinal, y F Y F' grupos abelianos libres sobre S y S' respectivamente, entonces F y F' son isomorfos. Demostraremos ahora que el recíproco también es cierto, por lo menos para el caso de conjuntos finitos. Para ello necesitamos la siguiente definición: Si G es un grupo y 71 un entero positivo arbitrario, designamos por Gn el subgrupo de G generado por el conjunto {gn : g E G}.

Si el grupo G es abeliano, entonces el conjunto {gn grupo.

g E G} es ya un sub-

Lema 3.4 Sea F un grupo abe liana libre sobre un conjunto de k elementos. Entonces el grupo cociente F /Fn es un grupo finito de orden n k • DEMOSTRACIÓN: Dejamos la demostración al lector; no es difícil si se hace uso de la estructura de los grupos abelianos libres descrita anteriormente.

Corolario 3.5 SeQ?1 S y S' conjuntos finitos de distinto cardinal, y F Y F' grupos abeIianos libres sobre S y S' respectivamente. Entonces F y F' no son isomorfos. DEMOSTRACIÓN: La demostración es por contradicción. Todo isomorfismo entre F y F' induciría un isomorfismo entre los grupos cocientes F/Fn y F'/F'n, en contradicción con el lema.

Ejercicio 3.2 Probar que el corolario anterior es aún cierto si S es un conjunto finito y S' un conjunto infinito.

Sea F un grupo abeliano libre sobre un conjunto S. El cardinal de S se llama

96

libres y productos libres de grupos

el rango de F. Hemos que dos grupos abelianos libres son si y sólo si tienen el mismo rango, por lo Elenos en el caso en que uno de ellos es de rango finito. Acabamos esta sección sobre grupos abelianos con un breve estudio de la estructura de los grupos abelíanos finítamente generados. Sea A un grupo abeliano; se ve fácilmente que el conjunto de todos los elementos de A que tienen orden finito es un· subgrupo, llamado el subgrupo de torsión de A. Si el subgrupo de torsión consta sólo del elemento 1, se dice que A es un grupoabeliano sin torsión. Por otra parte, si todo elemento de A tiene orden finito, A se llama un grupo de torsión. Si designamos el subgrupo de torsión por T, entonces es, evidentemente, A/T sin torsión. Está claro que si A y A' son isomorfos, entonces también lo son sus ,grupos de torsión T y T' Y sus grupos cocientes sin torsión A/T y A'/T'. Sin embargo, el recíproco no es cierto en general: no podemos afirmar que A sea isomorfo a A' si T = T' Y A/T = A'/T'. Sin embargo, para grupos abe lianas generados por un conjunto finito tenemos el siguiente teorema que nos describe completamente su estructura:

Teorema 3.6 (a) Sea A un grupo abeliano finitamente generado y T su subgrupo de torsión. Entonces T y A/T son también finitamente generados, y A es isomorfo al producto directo TXA/T. Por tanto, la estructura de A está completamente determinada por su subgrupo de torsión y su grupo cociente sin torsión. (b) Todo grupo abeliano sin torsión y finitamente generado es un grupo abeliano libre de rango finito. (c) Todo grupo abe liana de torsión T finitamente generado es isomorfo a un producto C, XC 2 X oo. XC n, donde cada C i es un grupo cíclico finito de orden. Ei, tal que, para cada i = 1, ... , n -1, Ei es un divisor de Ei+l' Además, los enteros E" E2 , ••• , En están unívocamente determinados por el grupo de torsión T y determinan completamente su estructura. Los números El' E2 , • • . , En se llaman los coeficientes de torsión de T, y más en general, si T es el subgrupo de torsión de A, se denominan coeficientes de torsión de A. Análogamente, el rango del grupo libre A/T se llama el rango de A. Con esta terminología podemos resumir el teorema 3.6, diciendo que el rango y los coeficientes de torsión forman un conjunto completo de invariantes para todo grupo abeliano finitamente generado. El teorema 3.6 nos asegura que todo grupo abeliano' finitamente generado es un producto directo de grupos cíclicos, pero nos dice aún mucho más. Obsérvese que un grupo de torsión finitamente generado es un grupo de orden finito. Parecen ahora convenientes unas palabras de explicación sobre los varios isomorfos mencionados en el teorema 3.6. Estos isomorfismos no son naturales, o unívocamente determinados en ningún sentido. En cada caso, hay normalmente muchas elecciones para el isomorfismo en cuestión y cada una de ellas es tan buena como las otras.

Teorema 3.7

Sea F un grupo abeliano libre sobre el conjunto S, y F' un

Producto libre de grupos

de F. Entonces F' es un grupo abeliano libre sobre un cierto conque el de S.

y el cardinal de S' es menor o

las demostraciones de los teoremas 3.6 y 3.7 no son difíciles, no las daremos aquí, porque pertenecen propiamente al estudio de Álgebra lineal y módulos sobre un anillo de ideales principales.

3.3 Dar un ejemplo de un grupo abeliano libre con torsión. 3.4 Sea A un grupo abeliano, producto directo de dos grupos cíclicos de órdenes 12 y 13 respectivamente. ¿Cuáles son los coeficientes de torsión de A? (Obsérvese que los coeficientes de torsión han de verificar una condición de divisibilidad.! 3.5 Dar un ejemplo en el que se demuestre que en el teorema 3.7 el subconjunto S F y el sub grupo F' F pueden ser disjuntos, incluso en el caso en que los cardinales de S y S' sean iguales.

e

4

e

grupos

El producto libre de una colección de grupos es totalmente análogo para grupos arbitrarios (esto es, no necesariamente abelianos) al producto débil para grupos abelianos. (Hay que hacer notar que todos los grupos considerados en esta sección pueden ser abelianos o no, salvo cuando se exprese lo contrario.)

Definición Sea {Gi : i El} una colección de grupos y supongamos que, para cada Índice i, tenemos un homomorfismo (f)i de G i en un grupo fijo G. Diremos que G es el producto libre de los grup~s G i (respecto los homomorfismos Cjli) si y sólo si se verifica la siguiente condición: Para todo grupo H y homomorfismos Ij.¡i : Gi

existe un único homomorfismo f : G diagrama es conmutativo:

--+

H,

i E 1,

->

H tal que, para todo i E 1, el siguiente

En primer lugar, tenemos las siguiente proposición de unicidad sobre los productos libres:

Proposición 4.1 Supongamos que G y G' son productos libres de una colección {G i : i E I} de grupos (respecto a los homomorfismos Cjli : Gi --+ G y

98

Grupos libres y

np"m.u"",o

epi: G i -'> G', respectivamente), Entonces existe un único tal que, para todo i E 1, el siguiente es conmutativo:

DEMOSTRACIÓN:

libres de grupos h,G~,

G',

La demostración es casi palabra por palabra la de la propo-

sición 2.2, Aunque hemos definido productos libres de grupos y demostrado su UnICldad, aún falta probar su existencia, Demostraremos ahora que cada uno de los homomorfismo s (J)i que aparecen en la definición, es un monomorfismo, que el producto libre es'tá generado por la unión de las imágenes epi (G;), y penetraremos más detalladamente en la estructura algebraica de un producto libre,

Teorema 4.2 Dada una colección arbitraria {G i siempre su producto libre,

:

i El} de grupos, existe

Definimos como una palabra en los G; a una suceSlOn finita x ll ) donde cada Xk pertenece a uno de los grupos G i , dos términos consecutivos en la sucesión pertenecen a distintos grupos, y no hay ningún término que sea el neutro de algún G i , El entero n se llama la longitud de la palabra, Consideramos también la palabra vacía, es decir, la única palabra de longitud 0, Designemos por W el conjunto de todas estas palabras, Para cada índice i, definimos ahora una operación por la izquierda del grupo G i sobre el conjunto W (véase Apéndice B), Sea g E G i y (Xl' , , , , x n ) E W; hemos de definir g(x l , " " x ll ), DEMOSTRACIÓN:

(Xl' X 2 '

""

Caso 1:

Xl

ti G i , Entonces, si g "'" 1, g(Xl' ""

x

l1 )

=

(g, Xl' ""

x

l1 ),

Podemos también definir la acción de 9 sobre la palabra vacía por una fórmu!:l similar, es decir, g( ) = (g), Si 9 = 1, entonces,

Caso 2:

Xl

E G i , Entonces,

{

(gx¡, Xz, "" x n )

si gX I

(X2, "" x

si gX I = L

l1 )

"'"

1,

99

Producto libre de grupos

gx, = 1 Y n = 1, se sobrentiende, desde luego, que g(x,) es la palabra vacía.] Debemos ahora comprobar que se cumplen las condiciones para que G i sea un grupo de operaciones por la izquierda sobre W; es decir, que para toda palabra w,

l'w = w, (gg') w = 9 (g'w).

En efecto, se trata de una trivial comprobación de los distintos casos. Está claro que cada uno de los grupos G i actúa efectivamente. Así, cada elemento 9 de G i puede considerarse como una permutación del conjunto W y G i puede considerarse como un subgrupo del grupo de todas las permutaciones de W (véase Apéndice B). Designemos por G el subgrupo del grupo de todas las permutaciones de W generado por la unión de los G i . Entonces G contiene a cada Gi como subgrupo; designemos por <:pi : Gi G -)o

la correspondiente inclusión. Todo elemento de G puede expresarse como un producto finito de elementos de los G i . En este producto, si dos factores consecutivos pertenecen al mismo G i , evidentemente pueden ser reemplazados por un solo factor. Así, todo elemento 9 r= 1 de G puede expresarse como un producto finito de elementos de los Gi en forma reducida, o sea, que no existen dos factores consecutivos que pertenezcan al mismo grupo, y ningún factor es el elemento neutro. Afirmamos ahora que la expresión de todo elemento 9 r= 1 de 9 en forma reducida es única: Si donde ambos productos tienen forma reducida, entonces m = n y gi = h i para 1 2 i 2 m. Para ver esto, consideremos el efecto de las permutaciones 9 192 ... gm y h 1h 2 ... h n sobre la palabra vacía; resultan, entonces, las palabras (g1' g2' ... , gm) y (h!, h 2 , ••• , h n ) respectivamente. Puesto que estas dos palabras deben ser iguales, las dos expresiones anteriores son idénticas. Es inmediato cómo se forma el inverso de un elemento de G escrito en forma reducida, y cómo se obtiene el producto de dos de tales elementos. Es ahora fácil comprobar que G es efectivamente el producto libre de los G i respecto los <:pi. En efecto, sea H un grupo arbitrario y\)¡: G i H, i E I, una colección arbitraria de homomorfismos. Definimos una función f : G H de la siguiente manera: sea -)o

-)o

un elemento arbitrario 9 r= 1 en forma reducida, y pongamos entonces

Desde luego suponemos f(l)=1. Está claro que f es un homomorfismo y que hace

100

Grupos libres y productos libres de grupos

conmutativos todos los diagramas requeridos, y también que f es el único homomorfismo que hace conmutativos estos diagramas. C.Q.D. Puesto que los homomorfismos epi: G i ---l> G son monomorfismos, se suele identificar cada grupo G i con su imagen por epi, y considerarlo como un subgrupo del producto libre G. Entonces, epi es una inclusión, y normalmente no es necesario mencionarla explícitamente. Los dos puntos más importantes a recordar de la demostración del teorema 4.2 son los siguientes: (a) Todo elemento g ,,= 1 del producto libre puede expresarse unívocamente como lln producto en forma reducida de elementos de los grupos G i . (b) Las reglas para multiplicar dos de tales productos en forma reducida (o para formar sus inversos) son las obvias y naturales. Estos dos hechos dan un profundo conocimiento de la estructura de un producto libre de grupos.

4.1 Sean G , y G, grupos cíclicos de orden 2, G , = ¡ 1, Xl) Y G, = ¡ 1, x21. Entonces todo elemento g,,= 1 de su producto libre puede escribirse unívocamente como un producto de X, y x, con los factores X, y X, alternados. Por ejemplo,

o

Obsérvese que los elementos X,X, y X,X , son ambos de orden infinito, y distintos. Obsérvese también la gran diferencia entre el producto directo o producto débil de G, y G, y su producto libre, en este caso. El producto directo es un grupo abeliano de orden 4, mientras que el producto libre es un grupo no abeliano con elementos de orden infinito.

Notación: Al producto libre de los grupos G I , G 2 , G1 * G2 * ... * Gn o

••. ,

G n lo designaremos por

Gi .

II* l~i~n

Al producto libre de una familia {G i

:

i El} de grupos lo designaremos por

II* Gi . iEI

Ejercicios 4.1 Sea {G i : i E Il una colección de grupos que contenga más de un elemento y tal que cada grupo posea más de un elemento. Probar que su producto libre es no abeliano, contiene elementos de orden infinito, y su centro se reduce al elemento neutro.

Producto libre de grupos un sub grupo de C¡ (propio o impropio). Probar que el Para cada índice i, sea producto libre de la colección ¡ : i El l puede considerarse como un sub grupo del produeto libre de los C¡. 4.3 Sean. {G i : E I) y ¡G~ : i E Ij dos familias de grupos con el mismo conjunto de índices l. Para cada índice i E l, sea f¡ : C¡ --> C: un homomorfismo. Probar que existe un único homomorfismo j : C --> C' del producto libre de la primera familia de grupos en el producto libre de la segunda tal que, para cada índice i, el siguiente diagrama es conmutativo:

G'----> G' ep/ t

Demostrar que si cada j¡ es un monomorfismo (respectivamente un epimo~fismo), entonces f es un monómorfismo (respectivamente un epimorfismo). 4.4 Sean C y H grupos cíclicos finitos de órdenes m y n respectivamente, donde m > 1 y n > 1. Probar que los únicos elementos de su producto libre que son de orden finito son los elementos de C y H Y todos sus conjugados. (INDICACIÓN: Sea x E C <. H con x q = 1. Expresar x co'mo una palabra en elementos de C y H en forma reducida; entonces proceder por inducción respecto de la longitud de esta palabra.) Deducir que el orden máximo de un elemento arbitrario de C '.\ H (de orden finito) es máx (m, n) 4.5 Sea ¡G i : i E Ij una colección de grupos abelianos, y C su producto libre respecto los homomorfismos ep¡ : C¡ --> C. Sea C' = c/[C, Cl el grupo cociente de C por su conmutador 3 y ep: : C¡ --> C' la composición de ep¡ con el homomorfismo natural C --> C'. Probar que C' es un producto débil de los grupos ¡G i ) respecto los homomorfismos epi (es decir, se verifica la proposición 2.1l. 4.6 Sean C, H, C' y H' grupos cíclicos de órdenes m, n, m' y n' respectivamente. Si C * H es isomorfo a C' * H', entonces m = m' y n = n' o bien m = n' y n = m'. (INDICACIÓN: Aplicar el ejercicio 4.5 a C ,;, H Y C' '.\ H'; con esto vemos que, si «abelizamos» C "H y C'" H', obtenemos grupos abelianos finitos de' órdenes mn y m'n' respectivamente. Ahora podemos aplicar el ejercicio 4.4.) 4.7 Sean H y H' sub grupos conjugados de C. Probar que si f es un homomorfismo de C en algún otro grupo tal que f(H) = 1, entonces también j(H') = 1. 4.8 Sea C el producto libre de la familia de grupos (Gi : i E I), donde suponemos Gi ~ (1) para todo índice i. Probar que, para cualesquiera dos índices distintos i, i' E l, los sub grupos C¡ y C¡· de C no son conjugados. (INDICACIÓN: Aplicar el ejercicio 4.7. Usar el ejercicio 4.3 para construir un homomorfismo f de C en otro producto libre con las propiedades requeridas.) 4.9 Sea C = C, "C" y N el menor sub grupo normal de C que contenga a C,. Probar que C/N es isomorfo a C,. (rNDIcAcróN: Usar el ejerciCio 4.3. Pongamos C~ = {1), C~ = c" f, : C , --> C; el homomorfismo trivial, y j, : C, --> C; la identidad. Probar que N es el núcleo del homomorfismo inducido f : C = C'.) 4.111 Supongamos que G admite dos descomposiciones distintas como producto libre:

G = Go * (II* Gi ) = Ho iEI

3

* (II* H i ) iEI

Inmediatamente antes de la proposición 5.3 de la próxima sección explicaremos esta terminología y notación.

102

Grupos libres y productos libres de grupos

con el mismo conj unto de índices l. Supungamos también que, para cada índice i E r, G, y H, son sub grupos conjugados de G. Probar que G" y H" son isomorfos (INDICACIÓN: El método de la demostración es similar al del ejercicio 4.9.)

5

libres

Como el lector puede suponer, la definición de grupo libre es totalmente análoga a la de grupo abeliano libre.

Definición Sea S un conjunto arbitrario. Un grupo libre sobre el conjunto S (o un grupo libre generado por S) es un grupo F junto con una función ep : S --7 F. que verifican las siguientes condiciones: Para todo grupo H y toda función Ij; : S --7 H, existe un único homomorfismo f : F --7 H que hace conmutativo el siguiente diagrama

Exactamente igual que en los casos anteriores, esta definición caracteriza completamente un grupo libre. Con más precisión:

Proposición 5.1 Sean F y F' grupos libres sobre el conjunto S respecto las funciones ep : S --7 F y ep' : S -> F', respectivamente. Entonces existe 1m único isomorfismo h : F --7 F' que hace conmutativo el siguiente diagrama:

Falta aún probar que, dado un conjunto S arbitrario, existe un grupo libre sobre el conjunto S, y establecer sus propiedades principales. Usaremos exactamente el mismo método que en el caso de grupos abelianos libres. Supongamos, pues, que

donde los subconjuntos Si son disjuntos y no vacíos. Para cada índice i, sea Fi un grupo libre sobre el conjunto Si respecto una función epi : Si --7 Fi. Designemos por F el producto libre de los grupos Fi respecto los homomorfismos

103

Grupos libres

1]i : Fi -> F (¡recordemos que hemos demostrado que cada 1]i es un monomorfismo 1). Puesto que los subconjuntos Si son dos a dos disjuntos, podemos definir una función ep : S -+ F mediante ep I Si = 1]iepi.

i"r,opOSllCll¡)n 5~2 Con las hipótesis anteriores, F es el grupo libre sobre el conjunto S respecto la !lmdón ep : S -+ F.

La demostración de esta proposición es la misma, salvo obvias modificaciones, que la de la proposición 3.2. No es necesario, pues, pasar de nuevo por estos detalles. Esta proposición puede también enunciarse como sigue: El producto libre de una colección arbitraria de grupos libres es un grupo libre. Aplicaremos ahora esta proposición para probar la existencia de grupos libres exactamente igual como hemos aplicado la proposición 3.2 para probar la existencia de grupos abelianos libres. Sea S = {Xi: i El} un conjunto arbitrario no vacío, y, para cada índice i pongamos Si = {xi}. Designemos por Fi un grupo cíclico infinito, generado por Xi,

Fi =

{x~ : n

E Zl,

y por epi : Si -+ Fi la inclusión. Entonces, se ve en seguida que Fi es un grupo libre sobre el conjunto Si respecto la función epi (como veremos más adelante, en este caso, cuando S tiene un solo elemento, es el único en el que el grupo libre sobre un conjunto S y el grupo abeliano libre sobre S coinciden). Puesto que se verifican las hipótesis de la proposición 5.2, F es un grupo libre sobre el conjunto S respecto la función ep : S -+ F. Obsérvese que F es un producto libre de grupos cíclicos infinitos. De lo conocido sobre productos libres, resulta que todo elemento 9 ~ 1 del grupo libre F puede expresarse unívocamente en la forma

X% son elementos de S, tales que dos elementos consecutivos donde Xl' X 2 , son siempre distintos, y ni' n 2 , ••• , nk son enteros no nulos, positivos o negativos. Tal expresión se llama palabra reducida con los elementos de S. Para no tener excepciones diremos que el elemento neutro está representado por la palabra vacía. Las reglas para formar inversos y productos de palabras reducidas son obvias. De lo expuesto resulta que la función ep : S -+ F es inyectiva, y que F está generado por el subconjunto ep(S) en el sentido definido anteriormente. En muchos casos es conveniente considerar S como un subconjunto de F y ep como la inclusión. En tal caso no haremos mención de la aplicación ep. o

••

,

104

Grupos libres y productos libres de grupos

5.1 Probar que un grupo libre sobre un conjunto S no vacío es abeliano, si y sólo si S tiene un solo elemento. 5.2 Probar que el centro de un grupo libre sobr~ un conjunto con más de un elemento, consta sólo del elemento neutro. 5.3 Sean g y h dos elementos de un grupo libre sobre. un conjunto S con más de un elemento. Dar una condición necesaria y suficiente, por medio de las expresiones de g y h como palabras reducidas, para que sean conjugados. (INDICACIÓN: Considerar permutaciones cíclicas de los factores de una palabra reducida.)

Concluimos esta sección estudiando la relación entre grupos libres y grupos abelianos libres. Recordemos que si x e y son dos' elementos arbitrarios de un grupo G, [x, y] designa el elemento xyx-1y-l E G, y se llama el conmutador de x e y (en el orden dado). [G, G] designa el subgrupo de G generado por todos los conmutadores; se denomina subgrupo conmutador y se comprueba fácilmente que es un subgrupo normal. El grupo cociente G/[G, G] es abeliano. Recíprocamente, si N es un subgrupo normal cualquiera de G tal que G/N es abeliano, entonces N:::l [G, G].

5.3 Sea F un grupo libre sobre el conjunto S respecto la funcwn ep : S --> F, Y denotemos por re : F --> F /[F, F] la proyección natural de F sobre el grupo cociente. Entonces F /[F, F] es un grupo abeliano libre sobre el conjunto S respecto la función reep : S --> F /[F, F]. La demostración es un bonito ejercicio sobre las definiciones y resultados establecidos en el párrafo anterior.

Co:rolario 5.4 Si F Y F' son grupos libres sobre conjuntos finitos S y S' entonces F y F' son isomorfos si y sólo si S y S' tienen el mismo cardinal. DEMOSTRACIÓN: Todo isomorfismo de F sobre F' induce un isomorfismo de los grupos cocientes F /[F, F] Y F' /[F', F']. Llegamos entonces a una contradicción en virtud de la proposición precedente y del corolario 3.5. Esto prueba la parte «sólo si» del corolario. La demostración de la parte «si» es triviaL

Ejercicio 5.4 Probar que este corolario es aún cierto si S es un conjunto finito y S' un conjunto arbitrario.

Si F es un grupo libre sobre un conjunto S, el cardinal de S se llama el rango de F. El corolario 5.4 muestra que el rango es un invariante del grupo, por lo menos en el caso de grupos libres de rango finito. Puede demostrarse también que el rango de un grupo libre es un invariante incluso en el caso en que sea un cardinal infinito. La demostración es más un ejercicio de Arit-

Presentación

105

grupos por generadores y relaciones

mética de números cardinales que de de grupos, y no la daremos Si F es un grupo libre sobre el conjunto S respecto la función : S _> puesto que (j) es inyectiva, normalmente es conveniente considerar como un subconjunto de F y (j) como la inclusión, como hemos dicho antes. Con este convenio, se dice que S es una base de F. En otras palabras, una base de F es cualquier subconjunto S de F tal que F sea un grupo libre sobre S respecto la inclusión S -7 F. Un grupo libre tiene diferentes bases. En los Capítulos VI y VII demostraremos varios importantes teoremas sobre grupos libres.

Presentación

grupos por

y

Empezamos con un resultado análogo a la proposición 3.3 para grupos arbitrarios.

Proposición 6.1 Todo grupo es imagen homomórfica. de un grupo libre. Para ser precisos, si S es un conjunto arbitrario de generadores del grupo G, y F es un gru·po libre sobre S, entonces la inclusión S -> G determina un único epimorfismo de F sobre G. La demostración es la misma que la de la propOSlClOn 3.3. Esta propOSlClOn nos permite dar un significado preciso al término «relación no trivial entre generadores» por un método análogo al utilizado en el caso de grupos abelianos. Hay una ligera diferencia entre el caso abeliano y el presente, pues en el caso de grupos abelianos todo subgrupo puede ser el núcleo de un homomorfismo, mientras que en el caso de grupos no abelianos, sólo puede serlo un subgrupo normal. Por esta razón haremos un estudio completo de este caso. Sea S un conjunto de generadores del grupo G y F un grupo. libre sobre el conjunto S respecto la aplicación (j): S -> F; sea tjJ : S -> G la inclusión y f : F -> G el único homomorfismo tal que f(j) tjJ. Todo elemento r "" 1 del núcleo de f es (por definición) una relación entre los generadores de S para el grupo G. En virtud de lo que hemos probado, r puede expresarse unívocamente como palabra reducida con los elementos de S. Como todo elemento de S es también un elemento de G, esta palabra reducida puede considerarse como un producto en G; sin embargo, en G, este producto se reduce al elemento neutro. Así, mediante este artificio de introducir el grupo libre F sobre el conjunto S, hemos dado a la relación r «un lugar donde vivir», usando una figura de lenguaje. Si {r¡} es una colección arbitraria de relaciones, entonces cualquier otra relación r se dice que es consecuencia de las relaciones ri si y sólo si r pertenece al menor subgrupo normal de F que contiene a las relaciones ri. Si toda relación es consecuencia del conjunto de relaciones {r¡}, entonces el núcleo de f está completamente determinado por el conjunto {r¡}; es la intersección de todos los subgrupos normales que contienen el conjunto { r¡}. En este caso, el grupo G está (;Ompletamente determinado, salvo un isomorfismo, por el conjunto de generadores S y el conjunto de relaciones {r¡},

=

Grupos libres y productos libres de grupos

106

puesto que es isomorfo al grupo cociente de F, módulo el menor subgrupo normal que contiene el conjunto {r¡}. Un conjunto tal de relaciones se llama un conjunto completo de relaciones.

Definición Una presentación de un grupo G es un par (S, {r¡}) formado por un conjunto de generadores de G y un conjunto completo de relaciones entre estos generadores. La presentación se dice finita si tanto S como {r¡} son conjuntos finitos, y el grupo G se dice que es de presentación finita. si posee por lo menos una tal presentación. Hagamos notar que todo grupo admite muchas presentaciones distintas, las cuales pueden tener apariencias muy diferentes. Recíprocamente, dadas dos presentaciones (S, {r¡}) y (S', {rk}) es a menudo casi imposible determinar si los grupos que definen son isomorfos o no.

Ejemplos 6.1 Un grupo cíclico de orden n admite una presentación con un generador x y una relación X". 6.2 Probaremos más adelante que el grupo fundamental de la Botella de Klein admite, entre otras, las dos siguientes presentaCiones distintas: (a) Dos generadores a y b Y una relación baba-'. (b) Dos generadores a y c y una relación a'c'. La relación entre estas dos presentaciones es bastante simple, en este caso: c =ba-' o b = ea. Para ser precisos, designemos por F(a, b) y F(a, e) los grupos libres sobre los conjuntos {a, b 1 y ( a, e 1 respectivamente. Definimos homomorfismos f : F(a, bl ..,. F(a, cl y g : F(a, el ..,. F(a, b) por las siguientes condiciones:

f(a)

=

a,

f(b) = ca,

g(a)

=

a,

g(e) = ba- 1•

Se deduce directamente de la definición de grupo libre que estas ecuaciones definen dos únicos homomorfismos. Se verifica:

g[j(a)]

a,

g[j(b)]

b,

f[g(a)]

a,

f[g(e)]

e.

Por tanto, gf es la identidad de F(a, bl y fg es la identidad de F(a, e). Así pues f y g son isomorfismos inversos uno del otro. SegUidamente comprobamos que

a 2e2

=

e-1[f(baba- 1) le,

baba- 1

=

(ba- 1 )[g(a 2e2)] (ba- 1)-1.

Por lo tanto el sub grupo normal de F(a, bl generado por baba-" y el sub grupo normal

107

Problemas de aplicaciohes universales

de F(a, c) generado por a'c' se corresponden por los isomorfismos f y g. Así pues, f y 9 inducen isomorfismos de los correspondientes grupos cocientes. Obsérvese que la esencia del razonamiento anterior está contenida en los dos simples cálculos: (a) Si b = ca, entonces baba- l = ca'e y a'e' = c-l(baba-IJc. (b) Si c = ba- l , entonces a2c' = a'ba- lba- 1 y baba- 1 = (ba- 1)(a 2c') (ba-1)-1. 6.3 Consideremos las dos siguientes presentaciones: (a) Dos generadores a y b y una relación a"b-'. (b) Dos generadores x e y y una relación xyxy-'x-'y-'. Afirmamos que son presentaciones de grupos isomorfos. La relación entre estos dos pares de generadores viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones:

a

b

x

y

Dejamos al lector el desarrollo de los detalles. Veremos en la seCClOn IV.6 que ésta es una presentación del grupo fundamental del complementario en el 3-espacio euclídeo de un cierto círculo anudado.

Al trabajar con grupos presentados por generadores y relaciones, es a menudo conveniente seguir un método menos formal. Para ilustrar lo que queremos decir, consideremos la primera presentación del ejemplo 6.3. El grupo G en cuestión, es el cociente de un grupo libre F de dos generadores a y b por el menor subgrupo normal que contiene el elemento a3 b- 2 • Designemos por las. mismas letras las imágenes de los generadores a y b en el grupo G. Entonces, en G : a3 b- 2 = 1, o a3 = b 2 • Cuando operemos con elementos de G (que son productos de potencias a y b), podemos utilizar la ecuación a 3 = b 2 de la manera que nos sea más conveniente.

6.1 Supongamos que tenemos presentaciones de dos grupos G, y G, por generadores y relaciones. Obtener a partir de estas presentaciones una presentación del producto directo G, X G" del producto libre G, * G" y del grupo cociente por el conmutador G,![G" G,].

7

Problemas de aplicaciones universales

En las secciones precedentes de este capítulo hemos definido y estudiado los siguientes tipos de objetos algebraicos: productos débiles de grupos abelianos, grupos abelianos libres, productos libres de grupos, y grupos libres. En cada uno de estos casos, el objeto algebraico en cuestión consistía de dos elementos con una aplicación entre ellos, como (jJ : S --> G. Este sistema formado por dos

108

Grupos libres y productos libres de grupos

elementos y una aplicación entre ellos, estaba caracterizado por un cierto grama triangular, tal como

dia~

Como el lector recordará, el objeto H y la aplicación if; de este diagrama, podían elegirse de manera bastante arbitraria, sujetos sólo a restricciones, menores. Se requería entonces que existiera una aplicación f única que hiciera conmutativo el diagrama. Al considerar este métodG de caracterizar el sistema Cjl : S --> G" se suele decir normalmente que Cjl : S --> G (o más brevemente, G) es la solución de un «problema de aplicaciones universales». Veremos otro ejemplo importante de problema de aplicaciones universales en el próximo capítulo. El definir o caracterizar objetos matemáticos como solución de un problema de aplicaciones universales ha llegado a ser muy normal en los últimos años. Por ejemplo, uno de los algebristas contemporáneos más prominentes (C. Chevalley) ha escrito un libro de álgebra [10] que contiene problemas de aplicaciones universales como uno de los temas más importantes. Si un objeto matemático se define o caracteriza como solución de un problema de aplicaciones universales, resulta fácilmente (por el método usado en la demostración de la proposición 2.2) que este objeto es único salvo un isomorfismo. ¡De hecho, el isomorfismo está incluso unívocamente determinado! Sin embargo, la existencia de un objeto que verifique un cierto problema de aplicaciones universales es otra cuestión. El lector observará que en los cuatro casos tratados en este capítulo, se han dado por lo menos tres construcciones distintas para probar la existencia de una solución. Sin embargo, cada demostración de existencia comportaba algo útil, en el sentido de que nos daba un' mayor conocimiento de la estructura del objeto matemático considerado. Existe un métoao bastante general para probar la existencia de soluciones de problemas de aplicaciones universales (véanse [9] y [11]). Sin embargo, este método general no profundiza en absoluto en la estructura matemática de la solución. Es una pura demostración de existencia. Damos ahora dos ejemplos más de caracterización de objetos matemáticos como soluciones de problemas de aplicaciones universales. Estos ejemplos no serári usados en los próximos capítulos,

Ejemplos 7.1, AnilLo conmutativo libre con unidad. Designemos por Z[x" X" ... , x n ] el anillo de polinomios a coeficientes enteros en las «variables» o «indeterminadas» x" x" ... , X n• Cada elemento no nulo de este anillo puede expresarse como una combinación lineal finita a coeficientes enteros de monomios X~,l x~,' ... , x~n donde k" k" ... , k n son enteros no nega-

109

Problemas de aplicaciones universales

tivos. Este anillo puede considerarse como el anillo connlUtativo libre con unidad generado por el conjunto S = ! x" ... , x" l. Vamos a precisar lo anterior: Designemos por <'jl : S -> Z[x" ... , x"] la inclusión. Entonces, para todo anillo conmutativo R (con unidad) y toda función \ji : S -> R, existe un único homomorfismo de anillos f : Z[x" ... , x"] -> R (con f
7.2 La compactificación de Stone-Cech. Para todo espacio de Tychonoff X, tenemos definido un cierto espacio compacto de Hausdorff ~(X) que contiene a X como un subconjunto denso; se ,denomina compactificación de Stone-Cech de X. Designemos po~ cp : X -> ~(X) la inclusión. Entonces, tenemos' la siguiente caracterización:. para todo espacio compacto de Hausdorff y y toda aplicación continua \ji: X -> Y, existe una única aplicación continua f : ~(X) -> y que hace conmutativo el diagrama siguiente:

f3(X)

/1

x'-.......

!

>,b~y

Para un estudio más completo véase J. L. Kelley, Genera! Topo!ogy. Princeton, N.J.: Van Nostrand, 1955, pp. 152-153.

Para un estudio axiomático preciso de problemas universales con otros ejemplos, véanse [9] y [11].

NOTAS Definición de grupos libres, productos libres, etc. Los conceptos de grupo abeliano libre, grupo libre, producto libre de grupos, etc., son bastantes antiguos. La diferencia más importante entre el tratamiento moderno de esta materia y el clásico radica en el método de definir estos objetos algebraicos. Formalmente se definían por medio de algunas de las que ahora se consideran como propiedades características. Por ejemplo, un grupo libre sobre un conjunto S se definía como la colección de todas las clases de equivalencia de «palabras» formadas con elementos de S. Desde un punto de vista estrictamente lógico no hay ninguna objeción a este procedimiento. Sin embargo, desde el punto de vista conceptual, tiene la desventaja de que la definición de cada tipo de objeto libre requiere un nuevo estudio e ingenio, y puede constituir un problema difícil. La idea de definir objetos libres como soluciones de problemas de aplicaciones universales fue gradualmente desarrollada durante los años de la Segunda Guerra Mundial e inmediatamente posteriores, y parece que ha sido una de las ideas unificadoras más importantes de la Matemática moderna. La elegante demostración dada en el texto para la existencia de productos libres de grupos (teorema 4.2), que es más sencilla que otras demostraciones, se debe a B. L. Van

110

Grupos libres y productos libres de grupos

der Waerden (Amer. J. Math., 70, 1948, pp. 527-528). En un artículo más -reciente (Prac. Kan. Ned. Akad. Weten. (series A), 69, 1966, pp. 78-83), Van der Waerden ha indicado cómo la idea básica de la demostración del teorema 4.2 es aplicable para demostrar la existencia de soluciones de problemas de aplicaciones universales en muchas otras situaciones algebraicas. Diferentes niveles de abstracción en matemáticas La primera vez que el estudiante se enfrenta con la materia de este c?pítulo, le puede parecer bastante extraña. Probablemente es debido a que este capítulo es de un nivel de abstracción superior a cualquiera de los estudios de matemáticas realizados anteriormente. Para aclarar este punto, trataremos de describir brevemente los diferentes niveles de abstracción que aparecen de manera natural en las Matemáticas. El nivel más bajo de abstracción es el de los últimos cursos de Matemáticas de enseñanza general·básica y de los primeros de bachillerato. Este nivel se caracteriza por el estudio de unos cuantos objetos matemáticos concretos, tales como los números enteros, racionales, reales, complejos, el plano euclídeo, etc. El siguiente nivel de abstracción aparece cuando ciertas propiedades comunes a varios objetos matemáticos· concretos distintos se aíslan y estudian por sí mismas. Esto nos lleva al estudio de sistemas matemáticos abstractos y generales, tales como grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, espacios topológicos, etc. Normalmente los estudiantes de Matemáticas pasan a este nivel de abstracción durante sus estudios en los primeros cursos universitarios. El contenido de este capítulo nos mtroduce en el siguiente nivel de abstracción. Tal como hemos señalado en el ejemplo 4.1, el producto débil de dos grupos abelianos, G, y G" y su producto libre G , * G, son tipos de grupos distintos. Existe, sin embargo, una gran analogía entre el producto débil de grupos abelianos y el producto libre de grupos arbitrarios. Para percibir esta analogía es preciso considerar la categoría de todos los grupos abelianos y la categoría de todos los grupos (no necesariamente abelianos). Ésta es una característica de este nuevo nivel de abstracción: la consideración simultánea de todos los sistemas matemáticos de un cierto tipo (tales como grupos, anillos o espacios topológicos), y el estudio de las propiedades de una tal colección de sistemas matemáticos. La historia de las Matemáticas en los últimos doscientos años se ha caracterizado más o menos por la consideración de sistemas matemáticos de un nivel de abstracción cada vez más elevado. Es presumible que esta tendencia continúe en el futuro. Hay que hacer notar, sin embargo, que este proceso no se sigue por el placer de la abstracción misma. Los matemáticos se han visto forzados a ello por varias razones, tales como la de poner de manifiesto las analogías entre fenómenos aparentemente muy distintos. Presentación de grupos por generadores y relaciones Hagamos notar que la determinación de un grupo por medio de generadores y relaciones no es satisfactoria en muchos aspectos, porque algunos de los problemas más naturales que aparecen en conexión con presentaciones de grupos son muy difíciles o imposibles. Para un estudio más profundo de este punto, véanse los textos de Kurosh [3], Cap. X, o Rotman [5], Cap. 12.

BIBLIOGRAFíA Teoría de grupos 1. Crowell, R. H., y R. H. Fox. Introduction to Knot Theory. Boston: Ginn and Ca., 1963. Capítulos In y IV. 2. Hall, M. The Theory oi Groups. New York : Macmillan, 1959. Capítulos 7 y 17. 3. Kurosh, A. G. The Theory oi Groups. Tra.d. y ed.. por K. A. Hirsch, 2 vols. New York: Chelsea, 1955-56. Capítulos IX y X.

Problemas de aplicaciones universales 4. Reidemeister, K. Einführung in die kombinatoTische Topo!ogie. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932. Capítulo U. 5. Rotman, J. J. The Theory of Groups. Boston: Allyn and Bacon, 1965. 1I. 6. Schenkman, E. GTOUp Theory. Princeton, N.J.: Van Nostrand, 1965. V. 7. Scott, W. R. GTOUp Theory. Englewood Cliffs, N.J.: Prentíce-Hall, 1964. Capítulo 8. 8. Specht, W. Gruppentheorie (Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Tomo LXXXII). Berlin-Giittíngen-Heídelberg: Springer-Verlag, 1956. Capítulos 2.1 y 2.2. Problemas de aplicaciones universales

9. Bourbaki, N. Théorie des Ensembles (Actualités Scientifíques et Industrielles, No. 1258). París: Hermann et Cíe., 1957. Capítulo IV, seccíón 3. 10. Chevalley, C. Fundamental Concepts oi A!gebra. New York: Academíc Press, 1956. 11. Samuel, P. «On Universal Mappings and Free Topological Groups». Bu!r. Amer. Math. Soc., 54, 1948, pp. 591-598.

1

Introducción

Hasta aquí sólo hemos determinado la estructura del grupo fundamental de muy pocos espacios (por ejemplo, espacios contráctiles, la circunferencia). Para poder aplicar el grupo fundamental a una gama más amplia de problemas, debemos poseer métodos que nos permitan determinar su estructura para otros espacios. A tal fin desarrollaremos en este capítulo métodos bastante más generales. . . Supongamos que queremos determinar el grupo fundamental de un espacio arco-conexo X, que sea unión de dos subespacios U y V, cada uno de los cuales sea arco-conexo y cuyos grupos fundamentales sean conocidos. Elijamos un punto base X o E:: U n V; parece plausible que existan relaciones entre los grupos 1dU, x o ), 1t(V, x o ) y 1t(X, x u ). El principal teorema de este capítulo (descubierto independientemente por H. Seifert y E. Van Kampen) afirma que, si U y V son ambos abiertos y si su intersección U n V es también arco-conexa, entonces 1t (X, x o) está completamente determinado por el siguiente diagrama de grupos y homomorfismos: 7r(U) ~ (4.1-1) 7r(U (\ V)

~(V) donde
~/ 7r(U (\ V)

~l ) 7r(X).

~

7r(V)

113

~2

(4.1-2)

Teorema de Seifert y Van Kampen

114

donde todas las flechas indican homomorfismo s inducidos por inclusiones, y el punto base xI) ha sido sistemáticamente omitido. Entonces el teorema de SeifertVan Kampen asegura que ')t(X) es el grupo más libre posible con el que podemos completar el diagrama (4.1-1) para obtener un diagrama conmutativo como (4.1-2). Como de costumbre, la frase «más libre posible» se precisa considerando un cierto problema de aplicaciones universales. De hecho, estableceremos y probaremos una versión más general del teorema, en la cual supondremos que X es la unión de un número arbitrario de subconjuntos abiertos arco-conexos, y no precisamente dos. Esta versión más general no es más difícil de demostrar, y en algunos casos es la única versión aplicable. Una vez demostrado el teorema de Seifert-Van Kampen, estableceremos diversos corolarios y los aplicaremos para determinar la estructura del grupo fundamental de las superficies compactas y de varios otros espacios. En la sección final de este capítulo mostraremos cómo estos métodos pueden aplicarse para distinguir entre diferentes tipos de nudos.

2

teorema

Enunciado

En primer lugar vamos a dar un enunciado preciso del teorema. Supongamos que U y V son subconjuntos abiertos arco-conexos de X tales que X = U U V y U V es no vacío y arco-conexo. Elijamos un punto base X o E U V para todos los grupos fundamentales que consideremos.

n

n

Teo:rema 2.1 Sea H un grupo arbitrario y PI' P2 Y P3 tres homomorfismos tales que el siguiente diagrama sea. conmutativo: '/r(U) ~1/, /

~1 Pa

'/r(U (\ V)

~

) H.

~'/r(V) ~ Entonces existe un único homomorfismo mas siguientes son conmutativos:

cr' :

')t (X)

->

H tal que los tres diagra-

Enunciado y demostración del teorema de Seifert y

(Los homomorfismos

qJi

y

i

= 1,

Kampen

2, 3 están inducidos por las

Los métodos usados en el Capítulo 3, nos permiten demostrar que el grupo está caracterizado por este teorema salvo un isomorfismo. Dejamos al lector el .enunciado preciso y la demostración de esta caracterización. Vamos a establecer ahora la versión general del teorema de Seifert-Van Kampen. La generalización consiste en considerar un recub~imiento abierto arbitrario de X en lugar de un recubrimiento por sólo dos abiertos como en el teorema 2.1. Desde luego, todos los abiertos del recubrimiento deben ser arco-conexos, y la intersección de cualquier número finito de ellos también arco-conexa y además debe contener el punto base. Para ser precisos, supondremos las siguientes hipótesis: 11:

(a) X es un espacio topológico arco-conexo y X o E X. (b) {U A : A E A} es un recubrimiento de X por abiertos arco-conexos, tales que; para todo A E A, X O E UA · (c) Para cada dos índices A" A2 E A existe un índice A E A tal que U Al n UA2 U A (expresaremos este hecho diciendo que la familia de conjuntos {U A} es «cerrada respecto de las intersecciones finitas»).

=

Consideremos ahora los grupos fundamentales de todos estos conjuntos, con base todos en el punto x o' Para mayor brevedad omitiremos el punto base en la notación. Si U A e u¡." designamos por

el homomorfismo inducido por la inclusión. Análogamente, para todo índice

A,

indica el homomorfismo inducido por la inclusión U A -+ X. Obsérvese que si U A e Uv., entonces el diagrama

es conmutativo.

Teorema 2.2

Con las hipótesis anteriores el grupo

11: (X)

verifica la siguien-

Teorema de Seifert y Van HU"",,,,,,

116

te condición de aplicación universal: Sea H un grupo arbitrario y una colección de homomorfismos, definidos para todo A E A, U" e U¡J. el diagrama

:n(U¡)-+H

que si

1f(U)J~

j

~. ~H 1f(U~)~ sea conmutativo. Entonces existe un único homomorfismo para todo A E A, hace conmutativo el diagrama

(j :

n(X)

-+

H tal que,

Además, esta condición de aplicación universal caracteriza n (X) salvo un isomorfismo. La demostración de la última parte del teorema es puramente rutinaria y puede dejarse al lector. Daremos ahora la demostración del resto del teorema. En las secciones 3 a 6 daremos algunas aplicaciones.

Lema 2.3

El grupo n (X) está generado por la unión de las imágenes

\jJA,[n(U,,)], A E A. DEMOSTRACIÓN: Sea a E n (X); elij amos un camino cerrado f : 1 -+ X que represente a (1.. Elijamos un entero n suficientemente grande para que l/n sea menor que el número de Lebesgue del recubrimiento abierto {f-l(U).) : A E A} del espacio métrico compacto 1. Subdividimos el intervalo 1 en subintervalos J¡ = [i/n, (i + l)/n], O ~ i ~ n-l. Para cada subintervalo Ji elegimos un índice A¡ E A tal que j(J¡) e U).il' Sea g¡ un camino en U";_J n U).i que una el punto X o con el punto j(i/n), 1 ~ i ~ n-l. Sea ji : 1 -+ X el camino definido por la composición

donde h¡ es el único homeomorfismo lineal que conserva la orientación. Entonces Jo . gIl, gl . f1 . g'2\ g2 . f2 . g-¡\ ... , gn-2 . fn-2 . g;:\, gn-1 . fn-l son caminos cerrados, cada uno de ellos contenido en un U"' y su producto en el orden dado es equivalente a j. Así pues, podemos escribir 01.

=

01.0 • 01.1 • 01.2' . . . • OI.n -l,

117

Enunciado y demostración del teorema de Seitert y Van Kampen

donde O~i~n-1.

Esto completa la demostración del lema.

Observación: Las hipótesis pueden ser ligeramente debilitadas para la demostración de este lema. Basta que {U A} sea un recubrimiento abierto de X por subconjuntos arco-conexos, tales que la intersección de cualesquiera dos abiertos del recubrimiento sea arco-conexa. No importa si la intersección de tres de tales conjuntos es arco-conexa o no. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA

2.2: Sea H un grupo arbitrario, y p)..: n (U)..) --l>

A E A, un conjunto de homomorfismo s que verifiquen las hipótesis del teorema. Hemos de demostrar la existencia de un único homomorfismo tal que, para todo A E A, sea conmutativo el siguiente diagrama:

(j:

n (X)--l>

A partir del lema anterior, es claro que tal homomorfismo (j, si existe, debe ser único, y tiene que estar definido según la siguiente regla: sea O!. E n(X), entonces por el lema 2.3 tenemos (4.2-1) donde O!.i E n(U¡.), i = 1, 2, ... , n. Así pues, si el homomorfismo berá verificar

(j

existe, de( 4.2-2)

Tomemos, pues, la ecuación (4.2-2) como definición de (j. Para justificar esta definición hemos ~e probar que es independiente de la elección de la representación de ex. en la forma (4.2-1). Si esto ocurre, entonces claramente será un homomorfismo, y se verificará la relación de conmutatividad deseada. Para probar que (j es independiente de la representación de ex. en la forma (4.2-1), es suficiente probar el siguiente lema:

Lema 2.4

Sean

~i

E n(U,,), i = 1, ... ,

q

tales que

if;A.(fh) . if;A,({32) ..... h,({3Q)

Entonces

= 1.

118 DEMOSTRACIÓN:

Teorema de Seifert y Van Kampen

Elijamos caminos cerrados

i - 1 fi: [ -q-' que representen a cada

~i,

i = 1, , .. , q. Entonces el producto

está representado por el camino cerrado f : [0,1] -. X definido por

f

i - 1

iJ

I [ -q-'q

=fi,

~=l,2,

... ,q.

Por hipótesis f es equivalente al camino constante. Por tanto, existe una aplicación continua F:IXI-.X tal que, para todo s, t E 1

F(s, O) = fes), F(s, 1) = F(O, t) = F(l, t) = xo. Designemos por E el número de Lebesgue del recubrimiento abierto {F-l(U)J:

A E A} del espacio métrico compacto 1 X 1 (dotamos a 1 X 1 de la métrica inducida como subconjunto del plano euclídeo). Subdividimos el cuadrado 1 X 1 en pequeños rectángulos de diámetro menor que E, como se indica a continuación. Elegimos números So

= 0,

SI, S2, . . . , Sm

= 1,

to =0, que verifiquen las tres t o < tI < ... < t n . (b) Las los números SI' S2' ... , Sm. por las líneas horizontales S

condiciones siguientes: (a) So < SI < ... < Sm y fracciones l/q, 2/q, ... , q-l/ q están incluidas entre (c) Si subdividimos el cuadrado 1 X 1 en rectángulos y verticales

=

Si,

i=O,l, ... ,m, j

=

0,1, ... , n,

la longitud de la diagonal de cada rectángulo es menor que E. Evidentemente, una tal subdivisión es siempre posible. Antes de seguir más adelante en la demostración, debemos introducir una

119

Enunciado y demostración del teorema de Seifert y Van Kampen

notación conveniente para los vértices, aristas y rectángulos de esta subdivisión: Vértices:

o~ i

~

o ~ j.~

m,

n.

Subintervalos de 1 = [0, 1]:

Ji = [Si-1, Si],

1

~

i ~ m,

K j = [tj-l, ti],

1

~

j

~

m,

~

n.

Rectángulos:

Rij = Ji X Kj¡

1

~

i

1

~

~

j

n.

Aristas horizontales: 1 ~ i ~ m,

o~ j

o~

1

~

n.

~

n.

Aristas verticales:

i

~

m,

~

j

En la figura 4.1 indicamos cómo hemos designado un rectángulo genérico de esta subdivisión, con sus vértices y aristas. Necesitaremos aún la siguiente notación para ciertos caminos:

Aij(s) = F(s, tj), BiiCt)

=

F(si, t),

Con un ligero abuso de notación, podemos poner

Bij = F I bij. Para cada rectángulo

R ij ,

elegimos un conjunto abierto

UlI(i,i)

tal que

La condición (c) impuesta a las subdivisiones nos asegura que siempre es posible una tal elección. Cada vértice Vij es un vértice de 1, 2, ó 4 de los rectángulos Rkl; designemos por U¡J(i,j) la intersección de los correspondientes abiertos UX(k,I). Entonces U~(i,j) es un conjunto abierto del recubrimiento dado, y

Elij amos un camino (jij :

I

->

U¡J(i,j)

120

Teorema de Seifert y Van Kampen

o FIGURA. 4.1 Notación empleada en la demostración del lema 2.4.

con origen X o y extremo F(Vij); si F(Vij) = x o' entonces tomamos gij como el camino constante. Hemos introducido más notación de la necesaria, por lo cual intercalamos ahora el siguiente sublema.

Sublema Sean V A Y V p. dos conjuntos de un recubrimiento abierto de X, y

h(O) = h(l) = Xc,

un camino cerrado. Designemos por ex. E n(VA, x o) y ~ E n(Vp., x o) la clase de equivalencia del lazo h en los dos distintos grupos. Entonces, p:>..(ex.) = p.l''(~). DEMOSTRACIÓN DEL SUBLEMA: Por hipótesis, el conjunto V = VA n Vp. también pertenece al recubrimiento, y h representa un elemento y E n(V v, x o)· Entonces, claramente p

a

=

~v¡'.(-Y),

(3

=

~v¡.¡{'Y).

Enunciado y demostración del teorema de

y

Van Kampen

121

Por lo tanto

C.Q.D.

Este sub lema nos permite adoptar una notación menos formal sin temor de ambigüedad. Podemos designar al elemento p).,(a) = p[l.(~) E H simplemente por No necesitamos preocuparnos sobre si hemos tomado la clase de equivalencia de h en el grupo 16 (U).,), o en el 16 (U[I.). Con este convenio, sean

OLij = p[(gi-l.iAi¡) (gij)-l], {3ij = p[ (gi,j-lB;¡) (gi¡)-lj. [donde (gij)-l denota el camino definido por t -> gij (1- t)]. Obsérvese que tanto aij como ~ij son ambos elementos bien definidos de H. Afirmamos ahora que, en correspondencia a cada rectángulo Rij, existe una relación en el grupo de la siguiente forma (4.2-3)

PaTa probar esto observemos, en primer lugar, que entre los caminos (no cerrados) de U'A(i,j) tenemos la siguiente equivalencia:

Esta equivalencia resulta de aplicar el lema n.8.1 y el ejercicio n.3.3 a la aplicación F I Rij : Rij -> Ul\(i,j). Por tanto tenemos, entre caminos cerrados de U'A(i,j), l.a siguiente equivalencia: gi-l,j-1Ai,i-l (Yi,i-l)-lgi,i_lBi/Yi¡)-l ,....., Yi-l,i_lBi_l,¡({Ji_l,¡)-lgi_l,jAi¡({Ji¡)-l.

(4.2-4)

Tomando ahora cla~es en 16 (Uh(i,))) en ambos miembros, y aplicando el homomorfismo Pl\(i,¡), obtenemos la ecuación (4.2-3). [NOTA: Puesto que la multiplicación de caminos no es asociativa, para ser estrictamente correctos, deberíamos poner paréntesis en (4.2.-4). Sin embargo, los paréntesis puede colocarse de cualquier modo.] La próxima relación que necesitamos es m

II

i=1

q

OLiO

= II P'Ak({3k),

( 4.2-5)

k=l

que es una consecuencia de las definiciones y construcciones dadas, junto con

122

Teorema de Seifert y Van Kampen

(b), ya que los puntos l/q, 2/q, ... , q -l/q están entonces incluidos en el conjunto {Si: O < i < m}. Finalmente tenemos las relaciones ain

= 1,

(30;

=

1

(3m;

~

i;;:;

= 1,

(4.2-6)

m,

1 ;;:; j ;;:; n.

(4.2-7)

Estas relaciones resultan de

F(s, 1)

F(l, t) =

F(O, t)

Xo

para todo S, t E:: 1. En virtud de la relación (4.2-5) tenemos que probar m

TI

aiO

=

(4.2-8)

1.

i=l

Para ello utilizaremos las relaciones (4.2-3), (4.2-6) y (4.2-7). Demostremos primero que, para todo entero j, 1 ~ j ~ n m

m

TI

ai,j-l

i=l

= TI

ai,;

(4.2-9)

i=l

En efecto, tenemos por (4.2-7) por (4.2-3) por (4.2-3)

=

(30;al,ja 2,j ... am-l,jam,j

por (4.2-3) por (4.2-7)

En total hemos aplicado (4.2-3) m veces. Si ahora aplicamos (4.2-9) sucesivamente para j = 1, 2, ... , n, obtenemos m

m

TI

aiO

i=l

TI

ain.

i= 1

Pero, en virtud de (4.2-6) m

TI

ain =

1.

i=l

Esto completa la demostración de (4.2-8), y por tanto del lema 2.4.

C.Q.D.

Primera aplicación del teorema 2.1

3

Primera

teorema

Supongamos, como en el teorema 2.1, que X es la unión de dos abiertos U y n V son todos arco-conexos. Demos a epi y t[;i el significado que les hemos asignado en la sección 2.

y que U, V y U

Teorema Si U n V es simplemente conexo, entonces r¡; es el producto libre de los grupos r¡;(U) y r¡;(V) respecto a los homomorfismos t~,: r¡;(U)-+ r¡;(X) y t[;2:r¡;(V)-+r¡;(X). DEMOSTRACIÓN: Es un corolario directo del teorema 2.1. Si r¡; (U entonces el diagrama

n V)

= {l},

es conmutativo, cualesquiera que sean P, y P2; por tanto, estos homomorfismos son completamente arbitrarios, mientras que P3 está unívocamente determinado. Análogamente, el diagrama

es conmutativo, cualquiera que sea (J; su conmutatividad no impone ninguna condición a (J. Las otras dos condiciones de (J en el teorema 2.1, son exactamente las que resultan de la definición de producto libre de dos grupos. C.Q.D. Damos ahora algunos ejemplos en los que se aplica este teorema. Estos ejemplos serán utilizados más tarde para estudiar, a SU vez, otros ejemplos.

Ejemplos 3.1 Sea X un espacio tal que X = A U B, A n B = {xo}, y A y B sean cada uno de ellos homeomorfos a una circunferencia S' (véase figura 4.2). X puede representarse como una curva en forma de «8». Si A Y B fueran abiertos, podríamos aplicar el teorema 3.1 con U = A Y V = B, para determinar la estructura de 1t(X). Desgraciadamente A y B no son abiertos.

Teorema de Seifert y Van Kampen Sin embargo, haremos una ligera modificación. Elijamos puntos a E A y b E B tales que a ~ X o y b ~ Xo' Sean U = X -- ¡b 1 y V = X -- ¡al, Cada Uno de ellos es homeomorfo a una circunferencia con dos «antenas». Entonces es claro que A y B son retractos de deformación de U y V respectivamente, y que U (\ V = X -- ¡a, b 1 es contráctil, y por lo tanto simplemente conexo. Así resulta que 1I:(X) es el producto libre de los grupos 1I:(U) y 1I:(V), o, en forma equivalente el producto libre de 1I:(A) y 1I:(B) [ya que '!tCA) = 1I:CU) y 1I:(B) = 1I:CVn Puesto que A y B son círculos, 1I:CA) y 1I:(B) son grupos cíclicos infinitos. Por tanto, 1I:CX) es el producto libre de dos grupos cíclicos infinitos; en virtud

a

b

FIGURA 4,2 Ejemplo 3.1, una curva en forma de «s». de la propOSIClon III.5.2, 1I:CX) es un grupo Libre con dos generadores. Podemos tomar como generadores clases de caminos cerrados IX y ~, con base en el punto x" que recorran exactamente una vez A y B respectivamente. y

Xo

--~------~~------~~~--------------~~X

FIGURA 4,3 Ejemplo 3.2, Un disco con dos agujeros. 3.2 Sea E' el disco unidad cerrado del plano, a y b dos puntos distintos interiores a E', e Y = E' ~ la, b l. Se ve fácilmente que podemos encontrar un subconjunto X Y,

e

Primera

del teorema 2.1

tal que X sea la unión de dos CÍrculos con un punto común, como en el ejemplo 3.1, y que además X sea un retracto de deformación de Y (véase figura 4.3). Por lo tanto, n(Y) n(X), es decir, n(Y) es un grupo libre con dos generadores. Podemos tomar como generadores clases de caminos a y ~, con base en el punto x" que den la vuelta una vez a los «agujeros» a y b. Existe una verificación física experimental de este resultado, sustentada por la intuición geométrica. Tomemos una chapa de madera, o de algún otro material fuerte y ligero, que tenga la forma de un disco circular, y fijemos dos clavijas verticales en los puntos a y b, separadas unos cuantos centímetros. Un poco más lejos, en un punto x, de la madera, clavemos con tina chincheta los dos extremos de un trozo de cuerda. Todo elemento ~ 1 del grupo fundamental de Y puede expresarse unívocamente como una «palabra reducida» en a Y ~; para cada tal palabra reducida podemos escoger un camino en Y que la represente, y entonces extender la cuerda a lo largo de este camino. Podemos entonces comprobar experimentalmente si este camino es equivalente o no al camino constante, moviendo la cuerda sobre la madera. Desde luego no está permitido levantar la cuerda por encima de las clavijas. 3.3 Se puede aplicar el mismo razonamiento si Y es un disco abierto menos dos puntos, o todo el plano menos dos puntos, o una esfera !henos tres puntos. Se puede aplicar también si, en lugar de quitar puntos aislados de un disco, quitamos pequeños discos circulares, tanto abiertos como cerrados.

=

FIGURA 4.4 Ejemplo 3.4 para el caso n = 4. 3.4

Sea X la unión de n circunferencias, n

>

2 con un solo punto común; es decir,

donde cada A, es homeomorfo a S', y si i ~ j, Ai n A¡ = x,. El espacio X puede dibujarse como una «flor de n pétalos» en el plano. (Véase figura 4.4 para el caso n = 4.> Probaremos por inducción respecto de n que n(X) es un grupo libre de n generadores, a" C(" ... , an, donde cada ai está representado por un camino que recorre una vez el círculo A,. Hemos probado ya este resultado para n = 2. Para efectuar la inducción apliquemos el teorema 3.1 de la siguiente manera. Elijamos un punto ai E Ai distinto de X,. Pongamos

Entonces U Y V son conjuntos abiertos, A,V .. , V An_. es un retracto de deformación de U, An un retracto de deformación de V, y U n V es contráctil. Así pues, el teorema 3.1

126

Teorema de Seifert y Van Kampen

nos permite afirmar que TI (X, x,,) es el producto libre de TI(U) y TI(V), o lo que es equivalente, de TI(A,U ... U A n _,) y TI(A n ). Podemos ahora aplicar la proposición III.5.2 para completar la demostración de este proceso inductivo. 3.5 Podemos utilizar este resultado que acabamos de probar, para el siguiente ejemplo: Sea Y el espacio obtenido al suprimir n puntos de un disco (abierto o cerrado), o del plano entero. Por un razonamiento análogo al usado en el ejemplo 3.2, resulta ·que TI(Y) es un grupo libre de n generadores (J." (J." ••• , (J.n. Dicho con imprecisión, pero de forma expresiva, (J.i está representado por un camino cerrado que da una vuelta al i-ésimo agujero. Dejamos al lector el estudio de un modelo físico que nos muestre que TI(Y) es un grupo libre de n generadores, tal como hemos hecho en el ejemplo 3.2.

Estos ejemplos ilustran un punto importante: para aplicar efectivamente el teorema de Seifert-Van Kampen, se necesita, por lo general, utilizar propiedades de los retractos de deformación. Como referencia para futuras aplic'aciones damos ahora una formalización de la idea que hemos utilizado en estos ejemplos. Sea {V A : A E A} un recubrimiento abierto de un espacio X que verifique las hipótesis del teorema 2.2. Supongamos que {A A : A E A} es una familia de subconjuntos de X que verifique las siguientes condiciones: (a) X o E AA, para todo A E A. (b) Para cada A E A, A A e VA' y la inclusión induce un isomorfismo 1t(AA, x o ) = 1t(VA, x o )' (c) Si VA e VIJ., entonces AA e Aw Designemos por Ij.¡\: 1t(AA) -Jo 1t(X) y ep'AIJ.:1t(AA)-Jo1t(AIJ.) los homomorfismos inducidos por las inclusiones. Lema 3.2 Con las hipótesis anteriores, el teorema 2.2 sigue siendo cierto, si, para cada A, reemplazamos 1t (VA) por 1t (AA) y Ij.¡ A por lj.¡'A y, para cada par (A,¡...t) tal que VA e VIJ., reemplazamos epAIJ. por ep'AIJ. DEMOSTRACIÓN:

La demostración es obvia.

En la práctica, el caso que se da con más frecuencia, es cuando cada AA, es un subconjunto cerrado de X que es un retracto de deformación de VA' Dejamos al lector el trabajo de establecer explícitamente los casos especiales del lema 3.2 que corresponden a los teoremas 2.1 y 3.1.

Ejercicios 3.1 Probar la siguiente generalización del teorema 3.1. Sea {W) U {Vi: i EIj un recubrimiento de X por conjuntos abiertos arco-conexos, que verifique las siguientes propiedades: (a) W es un subconjunto propio de Vi, para todo i E 1. (b) Para todo par de índices distintos i, jE l, Vi (\ V¡ = W. (c) W es simplemente conexo. (d) x" E W. Aplicando el teorema 2.2 probar que TI(X, x") es el producto libre de los grupos 7C(Vi, x") [respecto los homomorfismo s Ij.¡i : 7C(Vi) .....,. 1t(X) incluidos por las inclusiones]. 3.2 Sea

x=

UA i ¡

iEI

0e!
aplicación del teorema 2.1

donde cada A, es homeomorfo a S', tal que. para todo par de índices distintos i, j E l, A, (\ A¡ = {x,,}, y la topología de X verifique el axioma de separación de Hausdorff y la siguiente condición: un subconjunto B de X es cerrado (abierto) si y sólo si, para todo i E l, B (\ A, es un subconjunto cerrado (abierto) de A,. Para cada índice i E J, sea a, un generador del grupo cíclico infinito 11:(A" x"l. Utilizar el ejercicio 3.1 para probar que 11:(X, x"l es un grupo libre sobre el conjunto (01.; : i E 1 l. 3.3 Dar un ejemplo de un espacio compacto de Hausdorff

x=u1 i=

donde cada A, sea homeomorfo a S', A, (\ A¡ = {Xo 1 para i ~ j, y X no verifique la condición del ejercicio anterior. (SUGERENCIA: Existe un subconjunto del plano euclídeo que tiene las propiedades deseadas,) ¿Es TI: (X, x"l un grupo libre sobre el conjunto (OI.i 1, como en el ejercicio 3.2? 3.4 Sea Y el complementario del siguiente subconjunto del plano R': (x, O) E R' : :r es un entero ¡. Probar que Tl:CYl es un grupo libre sobre un conjunto numerable de generadores. 3.5 Sea X un espacio de Hausdorff tal que X = A U B, donde A y B son cada uno de ellos homeomorfos a un toro, y A (\ B = (xo l. Estudiar la estructura de 11: (X, x"l. 3.6 Sean M, y M, n-variedades conexas disjuntas. Probar que el siguiente método para 't:onstruir la suma conexa M, ~ M, es equivalente a la definición dada en la sección 1.4, para el caso n = 2. Elegimos puntos m, E M" Y entornos abiertos U, de mi tales que existan homeomorfismos hi de U i sobre Rn con h,(m,) = O, i = 1,2. Definimos M, ~ M, como el espacio cociente de (M, - (m¡)l U (M, - ( m2)l obtenido identificando puntos XI E U I - ( m¡) y x, E U, - (mzl si y sólo si

¡

.) _ ( h IXI -

h 2 (xz)

Ih z(X2)

3.7 Si M, y M, son n-variedades conexas, n ducto libre de TI:(M,) y TI:(M,l.

4

Segunda aplicación

>

1

2

2, probar que

11:(M,

# M,l

teorema 2.1

Pongámonos de nuevo en la situación del teorema 2.1: U, V y U conjuntos de X abiertos y arco-conexos, X = U U V y X o E U n

Teorema \)¡l : 'Ji: (U) --->

es el pro-

nV

v.

son sub-

Supongamos que V es simplemente conexo. Entonces es un epimorfismo, y su núcleo es el menor subgrupo normal de 'Ji: (U) que contiene la imagen q¡J'Ji: (U V)]. 'Ji: (X)

n

Obsérvese que este teorema determina completamente la estructura de 'Ji: (X): es isomorfo al grupo cociente de 'Ji: (U) módulo el subgrupo normal mencionado. DEMOSTRACIÓN:

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo:

128

Teorema de Selfert y Van Kampen

Puesto que n = {1}, ~:¡ es un homomorfismo trivial y la imagen de Cj), está contenida en el núcleo de ~,. En consecuencia, es claro que ~, es un epimorfismo; lo que resulta del lema 2.3, o bien puede probarse directamente a partir del teorema 2.1. Así pues, lo único que queda por probar es que el núcleo de ~, es el mínimo sub grupo normal de n (U) que contiene la imagen de Cj)1 (en principio, podría pensarse que era· ím subgrupo normal mayor que contiene la imagen de Cj),). Para ello pongamos H = n(U)/N, donde N es el menor subgrupo normal de n (U) que contiene la imagen de Cj)1' y sea P,: n (U) --+ H la proyecc~ón natural de n (U) sobre su grupo cociente. Sean P2: n (V) --+ H Y p,: n (U n V) --+ H homomorfismos triviales. Entonces se verifican las hipótesis del teorema 2.1. Por tanto, existe un homomorfismo CJ : n(X) --+ H que hace conmutativo el siguiente diagrama

1r(X)

1r(U)

Yj .

~H

".

De esto resulta núcleo ~, e núcleo P, = N.

y como sabemos que N e núcleo ~I' podemos concluir que núcleo ~, = N. C.Q.D.

En la prOXlma sección combinaremos este teorema con nuestros resultados precedentes, para determinar la estructura de los grupos fundamentales de las distintas 2-variedades conexas compactas.

Ejercicio 4.1 Con las hipótesis y notación del teorema 2.1, probar las siguientes proposiciones: (a) Si Cjl, es un isomorfismo, entonces también lo es \ji,. (b) Si Cjll Y Cjl, son ambos epimorfismos, entonces \ji, es también un epimorfismo, y su núcleo es el menor sub grupo normal de 11: (U n V) que contiene el núcleo de Cjl' y el núcleo de Cjl,. (c) Si 11: (U V) es un grupo cíclico generado por (l., entonces 11: (K) es isomorfo al grupo cociente del producto libre de 11:(U) y 11: (V) por el menor sub grupo normal qu!= contiene a (Cjl,(I.) (Cjl,a)-'. (d) 11:(K) es isomorfo al grupo cociente del producto libre 11:(U) * 11:(V) por el menor sub grupo normal que contenga a {( )( )-1 . (U V) 1

n

cp,a

CP2a

.a E

'ir

n

.

(e) Supongamos que nos han dado presentaciones de los grupos 11:(U) y 11: (V), y también un conjunto de generadores de 11:( U n Vl. Dar un procedimiento para obtener una presentación de 11: (K) con estos datos, supuestos conocidos los homomorfismos

Estructura del grupo

de una superficie compacta

129

q¡, y q¡,. Probar que si 1I:(U) y 1I:(V) tienen presentaciones finitas, y 1\:(U (\ V) es finitamente generado, entonces 1I:(X) admite una presentación finita.

5

Mediante unos ejemplos, mostraremos cómo podemos aplicar el teorema 4.1 para determinar la estructura del grupo fundamental de las distintas 2-varie~ dades conexas compactas.

5.1

El toro, T. Puesto que T = S' X S', por el teorema n.7.! sabemos que

es el producto de dos grupos cíclicos infinitos, es decir, un grupo abeliano libre de dos generadores. Sin embargo, vamos a obtener este mismo resultado a partir del teorema 4.1. Este caso sencillo nos servirá de introducción para el resto de los ejemplos. Representemos el toro como el espacío obtenido al identificar los lados opuestos de un cuadrado, tal como muestra la figura 4.5. Los lados a y b se convierten, por la

xo

b

xo

a

a

xo

xo

FIGURA 4.5 Determinación del grupo fundamental de un toro. identificación, en circunferencias que se cortan en el punto X,. Sea y el centro del cuadrado,. y U = T - {y j. Sea V la imagen del interior del cuadrado por la identificación. Entonces, U y V son subconjuntos abiertos, U, V y U (\ V son arco-conexos y V es simplemente conexo (Ves homeomorfo a un disco abierto). Así, podemos aplicar el teorema 4.1 para demostrar que

130

Teorema de Seifert y Van Kampen

es un epimorfismo, y su núcleo es el menor sub grupo normal que contiene la imagen del homomorfismo SOl :

Un

Puesto que el borde de un cuadrado es un retracto de deformación del cuadrado menos un punto, resulta que la unión de los círculos a y b es un retracto de deformación de U. Por tanto, J1:(U, x,) es un grupo libre de dos generadores. Para ser más precisos, 1t(U, x o) es un grupo libre de dos generadoresot y ~, donde ot y ~ están representados por los círculos a y b respectivamente. Así, 1t(U, x,) es un grupo libre de dos generadores

donde 15 es la clase de equivalencia de un camino d de X o a x, (véase figura 4.5). Es también claro que U n V es del mismo tipo de homotopía que una circunferencia. Por tanto, 1t(U n V, x,) es un grupo cíclico infinito, generado por la clase de equivalencia y de un camino cerrado e que dé una vuelta alrededor del punto y. A partir de la figura 4.5, resulta que

Por consiguiente, 1t(T, x,) es isomorfo al grupo libre de generadores ot' y W módulo el subgrupo normal generado por el elemento ot'Wa:-'~L'. Cambiando el punto base x" vemos que 1t(T, x o) es isomorfo al grupo libre de generadores ot y ~. módulo el subgrupo normal generado por a~ot-'~-'. Esto significa exactamente que tenemos una representación del grupo 1t(T) (véase sección III.6). En este caso podemos determinar fácilmente la estructura de 1t(T) a partir de esta presentación. Por una parte, los generadores a y ~ de 1t(T) conmutan, y en consecuencia 1t(T) es un grupo conmutativo, por lo que el menor subgrupo normal del grupo libre generado por a Y ~ que contiene aa.~a-'~-" contiene al sub grupo conmutador. Por otra parte es obvio que este subgrupo normal está contenido en el conmutador. Por tanto, los dos sub grupos coinciden. Así pues, en virtud de la proposición lH.5.3, 1t(Tl es un grupo abe liana libre de generadores a. y ~,. a

xo

a

FIGURA 4.6 Determinación del grupo fundamental de un plano proyectivo.

131

superficie compacta

Estructura del grupo fundamental de

El plano proyectivo real, P,. Vamos a aplicar el teorema 4.1 para demostrar que es un grupo cíclico de orden 2. Consideremos P, como el espacio obtenido al identificar los lados opuestos de un polígono de dos lados, tal como muestra la figura 4.6. La arista a se convierte, por la identificación, en una circunferencia. Sea y el centro del polígono, u = P,-{y}, 11:(P,)

V

= imagen

del interior del polígono por la identificación.

Entonces se verifiCan todas las condiciones para poder aplicar el teorema 4.1. En este caso la circunferencia a es un retracto de deformación de U; por tanto, 11: (U, x,) es un grupo cíclico infinito, generado por un elemento a representado por el camino cerrado a. Por tanto, 11:\ U, x,) es un grupo cíclico infinito, generado por a' = 0-'11.0, donde o tiene el mismo significado que en el éjemplo 5.1. Finalmente 11:(U n V, x,l es un grupo cíclico infinito generado por la clase y, representada por un camino cerrado c que dé una vuelta al punto y. Es claro que

Por lo tanto, 11:(P" x,) es el cociente de un grupo cíclico infinito, generado por a' módulo el sub grupo generado por a"; o lo que es equivalente, 1t(P" x,) es el cociente de un grupo cíclico infinito generado por a' módulo el subgrupo generado por a'. Así pues, TI:(P,) es un grupo cíclico de orden 2. 5.3 La suma, conexa de n toros. En este caso el método es completamente análogo al de los dos ejemplos precedentes, pero el resultado final es nuevo y más complicado. Podemos considerar a la suma M de n toros como un polígono de 4n lados con las aristas. identificadas a pares, tal como muestra la figura 4.7. Las aristas a" b" a" b" ... , an, b n se convierten, por la identificación, en círculos de M, y dos cualesquiera de estos círculos sólo se cortan en el punto base x,. Como antes, pongamos U = M - ( y 1, complementario del centro del polígono, y V = imagen del interior del polígono por la identificación; V es un disco abierto en M. La unión de los 2n círculos a" b" ... , an, bn es un retracto de deformación de U; por tanto,1i: (U, x,) es un grupo libre de 2n generadores (/;" ~" {M, ~2' • • • , an, ~n, donde a, está representado por el círculo a, y ~i por el círculo bi. Al igual que en el caso anterior, 1t(U (\ V, x,) es un grupo cíclico infinito, generado por la clase y del círculo c, y n

\1'1(1')

=

rr

la~, ¡J~],

i=1

donde Ia~, ¡J~l indica el conmutador a~¡J~a:-l¡J~-l; y

Resulta, pues, que 1t(M, x,) es el cociente del grupo libre de generadores módulo el sub grupo normal generado por el elemento

0(."

~"

••• ,

an, ~n,

n

rr [ai, ¡Ji]; ;=1 es decir,

{(/;"

~"

11: (M,

... , ,O¡;n,

x,) admite una presentación formada por el conjunto de generadores ~n} y

la única relación n

rr laí, ¡Ji]. ;=1

132

Teorema de Seifert y Van Kampen

FIGURA 4.7 Determinación del grupo fundamental de una superficie orientable de género n.

FIGURA 4.8 Determinación del grupo fundamental de una superficie no orientable de género n (primer método), En el caso n > 1 no existe ninguna descripción intrínseca sencilla de este grupo. Sin embargo, se ve fácilmente que, si «abelizamos» 1C(M, x,J (o sea, si hacemos su cociente módulo el sub grupo conmutador), obtenemos un grupo abeliano libre de 2n generadores, como

Estructura del grupo

133

compacta

de una

consecuencia de que la única relación existente está contenida en el sub grupo conmu· tador del grupo libre de generadores IX" ~" " " IX" ~n, Resulta de esto que si m rf n, la suma conexa de m toros y la suma conexa de n toros tienen grupos fundamentales no isomorfos, Por tanto no son del mismo tipo de homotopía. Este resultado es más fuerte que el probado en el Capítulo r, donde demostramos que estos espacios no eran homeomorfos (en el supuesto de que la característica de Euler era un invariante topológico). 5.4 La suma conexa de n pLanos proyectivos. La suma conexa M de n planos proyectivos puede obtenerse al identificar a pares los lados de un polígono de 2n lados, tal como muestra la figura 4.8. Siguiendo exactamente el mismo proceso que en el caso anterior, obtenemos que el grupo fundamental lt(M, x,) 'admite una presentación formada por el conjunto de generadores

donde

Cti

está representado por el círculo

ai,

y una relación

De nuevo, para n > 1, este grupo no admite una descripción intrínseca sencilla. Si lo abelizamos obtenemos un grupo abeliano que tiene también una presentación formada por n generadores y una relación. El lector familiarizado con la teoría de grupos abelianos finitamente generados puede determinar fácilmente el rango y los coeficientes de torsión de este grupo, reduciendo a forma canónica una cierta matriz a coeficientes enteros. Nosotros vamos a obtenerlos por un procedimiento geométrico. Aplicando el teorema 1.7.2, vemos que una superficie no orientable M de género n, admite una de las dos siguientes representaciones: (al Si n es impar, M es homeomorfa a la suma conexa de una superficie orientable de género %(n-1) y un plano proyectivo. (b) Si n es par, M es homeomorfa a la suma conexa de una superficie orientable de género %(n - 2) Y una Botella. de Klein. Esto nos lleva a una representación de M como el espacio obtenido identificando las aristas de un polígono de 2n lados como muestra la figura 4.9 (a) y (b). En el caso (a) vemos que 1t(M, x o) admite una presentación con generadores

y una relación

mientras que en el caso (b) existe una presentación de

lt(M,

x,) con generadores

{al, {3I, ... , ak, (3k, ak+l, ~ l y la relación

Mediante esta presentación, podemos determinar fácilmente la estructura del grupo abe lizado

1r(M)

134

Teorema de Seifert y Van Kampen

Ól

(h)

FIGURA 4.9 Determinación del grupo fundamental de un'a superficie no orientable de género n (segundo método), (a) n impar, k = \12 (n-l). (b) n par, k = \12 (n-2).

Estructura del grupo fundamental de una superficie compacta

135

En el caso (a) es el producto directo de un grupo abeliano libre de 2k generadores {O(" ~" "', O(k, ~k} Y un grupo cíclico de orden 2 (generado por E); es decir, se trata de un grupo abeliano de rango 2k = n - 1 y con un coeficiente de torsión de orden 2, En el caso (b) es el producto directo de un grupo abeliano libre de 2k + 1 generadores {O(" (31)''' Olk, (3k,. 0I:k+l'} Y un grupo cíclico de orden 2 (generado por E); es decir, se trata de un grupo abelíano de rango 2k + 1 = n -1 y con un coeficente de torsión de orden 2,

Podemos resumir estos resultados sobre los grupos fundamentales abelizados, de la siguiente manera:

5.1

Si M es la suma conexa de n toros, entonces el grupo fundamental abelizado 1t(M)/[ 1t(M), 1t(M)] es un grupo abeliano libre de rango 2n, Si M es la suma conexa de n planos proyectivos, entonces el grupo fundamental abelizado es de rango n -1 y tiene un coeficiente de torsión, que es de orden 2, Este resultado nos muestra que una superficie conexa, compacta y orientable no es nunca del mismo tipo de homotopía que una superficie conexa, compacta y no orientable, porque el grupo fundamental abelizado de una superficie no orientable contiene siempre un elemento de orden 2, mientras que en el caso orientable todo elemento es de orden infinito, Se sigue también, que, si m ~ n, entonces la suma conexa de m planos proyectivos y la de n planos proyectivos no son nunca del mismo tipo de homotopía, Estos resultados representan un ligero progreso sobre los del Capítulo l, obtenidos usando la característica de EuleL

Ejercicios 5,1 Utilizando los resultados de las secciones LI0-L12, probar que el grupo fundamental de una superficie con borde, conexa y compacta, es un grupo libre, Expresar el rango del grupo fundamental en función de la característica de Euler y del número de componentes del borde, tanto en el caso orü~ntable como en el no orientable, 5.2 Obtener geométricamente las dos presentaciones del grupo fundamental de la Botella de Klein mencionados como ejemplo en la sección IIL6, 5.3 Considérese la presentación del grupo fundamental de la Botella de Klein con dos generadores, a y b, Y una relación baba-', Probar que el subgrupo generado por b es un sub grupo normal, y que el grupo cociente es cíclico infinito, Probar también que el subgrupo generado por a es cíclico infinito, 5.4 El hecho de que la suma conexa de tres planos proyectivos sea homeomorfa a la suma conexa de un toro y un plano proyectivo, da lugar a dos presentaciones distintas del grupo fundamental (como en el problema 5,2), Probar algebraicamente que estas presentaciones representan grupos isomorfos, 5.5 Construir, para cada entero n > 2, un espacio cuyo grupo fundamental sea cíclico de orden n, 5.6 Probar que el grupo fundamental de una superficie compacta no orientable de género n. admite una presentación formada por n generadores {x" " ' , IXn y una relación 1 D:1D:2 " , D: n D:I D::;-1 " , D:;;-~lD:n (véase ejercicio 1,8010), 5.7 Probar que el grupo fundamental de una superficie compacta orientable de género n. admite una presentación con 2n generadores IX" IX" " , ,a,n Y una relación 1 D:1D:2 ' , , D:2 n D:l D::;-1 , , , D::;-; (véase ejercicio 1,8011),

136

Teorema de Seifert y Van Kampen

6

Un nudo es, por definición, una curva cerrada simple en el 3-espacio euclídeo. Es una abstracción matemática de nuestra idea intuitiva de un nudo hecho con un trozo de cuerda; los dos extremos de la cuerda deben considerarse empalmados, de manera que el nudo no pueda deshacerse. Es necesario definir cuándo dos nudos se consideran equivalentes O' no equivalentes. Sería muy deseable dar la definición de manera que corresponda a la idea usual de que dos nudos iguales hechos en dos trozos distintos' de cuerda son el mismo. De entre los varios caminos para hacer esto, la siguiente defini.ción es actualmente aceptada como la más conveniente (como resultado de muchos años de experiencia). Definición Dos nudos Kl y K 2 contenidos en R3 son equivalentes si existe un homeomorfismo h: R3 -> R3 que conserva la orientación, tal que h(K 1 ) = K 2 • Obviamente, si Kl y K 2 son equivalentes según esta definición, entonces h aplica R3 - Kl homeomórficamente sobre R3 - K •. Por tanto R3 - Kl Y R3 - K 2 tienen grupos fundamentales isomorfos. Así, dados dos nudos Kl y K 2 de R 3 , si probamos que los grupos n(R3 - K 1 ) Y n(R3 - K 2 ) no Son isomorfos, entonces los nudos Kl y K 2 no son equivalentes. Éste es el método más común de distinguir dos nudos. El grupo fundamental n(R 3 - K) se llama el grupo del nudo K. Mostraremos cómo se puede aplicar el teorema de Seifert-Van Kampen para determinar una presentación del grupo de ciertos nudos, y entonces discutir el problema de probar que estos grupos no son isomorfos. En ciertos casos será conveniente considerar los nudos como sumergidos en la 3-esfera S3, más que en R3. Hay entonces una pequeña diferencia, porque S3 es homeomorfo, a la compactificación de Alexandroff de R3 (compa,ctificación por un punto), como puede probarse por proyección estereográfica (véase Newmann, M. H. A. Elements of the Topology of PIane Sets of Points. Cambridge: The University Press, 1951, pp. 64-65).

Ejercicio 6.1 Si K es un nudo en R', y consideramos S' como la compactificación de Alexandroff de R', probar que los grupos fundamentales 1t(R' - K) Y 1t(S3 - K) son isomorfos . . (INDICACIÓN: Aplicar el teorema 4.1.)

Consideraremos una clase de nudos, llamados nudos tóricos, porque están contenidos en un toro sumergido en R3 de la manera ordinaria (es decir, cuando el toro se genera por la rotación de una circunferencia que gira alrededor de una recta de su plano). Recordemos que un toro puede considerarse como el

137

la teoría de nudos

obtenido al identificar los lados opuestos del cuadrado unidad {(x, y) E R2 : O

~

x

~

1,

O~ y

~

1),

o también, como el espacio obtenido d partir del plano R2 al identificar los puntos (x, y) y (x', y') si y sólo si x - x' e y - y' son ambos enteros. Designemos por p : R2 -> T la identificación. Sea L una línea que pase por el origen de R2 con pendiente m/n, .donde 1 < m < n, y m y n son enteros primos entre sí. Se ve fácilmente que la imagen K = p(L) es una curva cerrada simple sobre el toro T; que se enrolla en espiral m veces sobre el toro y da n vueltas lo largo de él en el otro sentido. Si suponemos ahora que T está sumergido en R3 de la manera ordinaria, entonces K e T e R3, y K es un nudo en R3, llamado nudo tórico de tipo (m, n). Centraremos nuestro estudio sobre tales nudos.

a

FIGURA 4.111 Nudo tórico de tipo (2, 3).

Consideraremos también circunferencias sin nudos en R3, es decir, nudos ·que son equivalentes a una circunferencia ordinaria en un plano de R3. Primeramente vamos a obtener una presentación del grupo de un nudo tórico de tipo (m, n) y del grupo de un círculo sin nudos. El primer paso conl'iste en obtener una cierta descomposición de la 3-esfera S3 en dos piezas, para poder aplicar el teorema de Seifert-Van Kampen. Sean éstas

A

{(Xl,

X2,

Xa,

X4)

B

{(Xl,

X2,

Xa,

X4)

+ x; ~ xi + x!l, E S3 : xi + x~ ~ xi + x!l. E S3 : xi

138

Teorema de Seifert y Van

,.u,,,,,,,,,,

Es inmediato que A y B son subconjuntos cerrados de S", A U B = S3, y

Entonces se ve fácilmente .que A n B es un toro, pues es el producto cartesíanu del círculo xi x~ = Yz (en el plano (Xl' x 2 y el círculo xi x! = Yz (en el plano (X 3 , x 4 ». Afirmamos ahora que tanto A como B son toros sólidos (es decir, homeomorfos al producto de un disco y una circunferencia). Vamos a'· demostrarlo construyendo efectivamente un homeomorfismo. Sean

+

»

+

+ x; ~ tI E R2 : xi + x¡ = tI

D = {(Xl, X2) E R2 : xi SI

= {(X3, X4)

un disco cerrado y una circunferencia, cada uno de radio Yz aplicación f: D X S1-7 A

Y2. Definimos

una

por la fórmula

Esta función es obviamente continua. Dejamos al lector la verificación de que es biyectiva y, por tanto, un homeomorfismo. Una demostración análoga sirve para el conjunto B. Resulta entonces evidente que el toro A n B es el borde común a los dos toros sólidos A y B. Dejamos al lector la comprobación de que, en proyección estereográfica, el toro A n B corresponde a un toro sumergido en R3 de manera natural. Consideremos primero el grupo de un círculo sin nudos K en S3. Podemos tomar como nuestra circunferencia sin nudos la «línea de centros» del toro sólido A:

Entonces, K es la circunferencia unidad en el plano (x 3 , x 4 ). Claramente el borde de A es un retracto de deformación de A - K; por tanto, B es un retracto de deformación de S3 - K. También es claro que la línea de centros de B,

es un retracto de deformación de B. Por tanto, la línea de centros de B es un retracto de deformación de S3 - K. En consecuencia, S3 - K es del mismo tipo

139

Aplicación a la teería de nudos

de homotopía que una circunferencia, y el grupo de K será un grupo cíclico infinito. Hemos, pues, demostrado la

rl:'OpOSjlCl'On

6,1

El grupo de un círculo sin nudos en

R3

es cíclico

Consideremos, un nudo tórico K de tipo en S3. Podemos considerar K como un unto del toro A n B e S3. Sería cómodo aplicar el teorema de Seifert-Van Kampen para determinar el grupo fundamental de S3 - K utilizando la descomposición

- K)

U

pues A - K, B - K y - K) n (B son todos arco-conexos, pero desgraciadamente A - K y B - K no son subconjuntos abiertos de S3 - K. El camino para bordear esta dificultad es claro: ensanchamos ligeramente A y B hasta obtener conjuntos abiertos del mismo tipo de homotopía que A y B. Para ser precisos, elijamos un número ¡:: > O suficientemente pequeño para que, si N es un entorno tubular de K de radio E, entonces S3 - N sea un retracto de deformación de S3 - K. Evidentemente esto siempre se puede conseguir, supuesto que E sea suficientemente pequeño; el significado preciso de la expresión ({suficientemente pequeño» depende de los enteros m y n. Sean entonces U y V los YzE-entornos de A y B respectivamente. Tanto U como V son homeomorfos al producto de un disco abierto y una circunferencia, y A y B son retractos de deformación de U y V. Por tanto, U n V es un toro {(engordadOll, es decir, homeomorfo al producto de A n B y el intervalo abierto (- Yz¡::, Yz él Podemos ahora usar que

S3 - N = (U - N)

U

(V - N)

y aplicar el teorema de Seifert-Van Kampen para obtener una presentación de 1c(S3 - N) = 1dS 3 - K).

En primer lugar, U - N Y V - N son ambos del mismo tipo de homotopía que un círculo ;en efecto, las líneas de centros de A y B son retractos de deformación de estos dos espacios. Por tanto sus grupos fundamentales son cíclicos infinitos. En segundo lugar, los espacios (U - N) (V - N) = (U V) - N y - K) n (B - K) = (A n B) - K son ambos del mismo tipo de homotopía. En efecto, el conjunto (A - N) n (B - N) = (A n B) - N es un retracto de deformación de cada uno de estos espacios. Podemos ver fácilmente que n B) - K es un subconjunto del toro A n B homeomorfo al producto de una circunferencia y un intervalo abierto. Es una cinta enrollada en espiral sobre el toro, como un vendaje. Su grupo fundamental es cíclico infinito. Finalmente, debemos determinar los homomorfismos

n

n

\01 :

7r(U

V - N) -+ 7r(U - N),

\02 :

7r(U n V - N) -+ 7r(V - N).

n

Teorema de Seifert y Van Kampen

los detalles al lector. Uno de estos homomorfismo s es de m y el otro es de grado n. (Decimos que un homomorfismo de un grupo cíclico infinito en otro es de grado m si la imagen de un generador del primer grupo es la potencia m-ésima de un generador del segundo grupo.) Combinando estos resul-. tados con el ejercicio 4.1 (c) obtenemos la siguiente . Proposición 6.2 El grupo G de un nudo tórico de presentación con dos generadores, {(J.., ~}, y una relación,

admite una am~n.

Tenemos finalmente que probar que, para diferentes valores del par (m, n), estos grupos no son isomorfos. Lo haremos siguiendo un método debido a O. Schreier. Consideremos el elemento (J..m = ~-n de este grupo. Este elemento conmuta con a y~, Y por tanto con cualquier elemento; pertenece, pues, al centro. Designemos por N el subgrupo generado por este elemento; es, obviamente, un subgrupo normal. Consideremos el grupo cociente G/N. Designemos por a' Y Wlas clases de ex y ~ en G/N. Evidentemente, G/N está generado por los elementos a' y W, y admite la siguiente presentación: Generadores: a',

W·

Relaciones: a'm, Wn.

De esta presentación resulta que G/N es el producto libre de un grupo cíclico de orden m. (generado por ex') y un grupo cíclico de orden n. (generado por B'). La demostración, que no es difícil, la dejamos al lector. Aplicamos ahora el ejercicio III.4.1 para concluir que el centro de G/N es {1}. Puesto que la imagen del centro de G está contenida en el centro de G/N, se sigue que N es todo el centro de G. Por consiguiente, el cociente de G por su centro es el producto libre de dos grupos cíclicos (de órdenes m y n). Podemos aplicar ahora el ejercicio III.4.6 para concluir que los enteros m y n están completamente determinados (salvo el orden) por G. Hemos, pues, demostrado la siguiente Proposición 6.3 Si dos nudos tóricos de tipos (m, n) y (m', n') son equivalentes, entonces m = m' y n = n'; o bien m = n' y n = m'. Un nudo tórico nunca es equivalente a un círculo sin nudos (supuesto m, n > 1).

Así, mediante los nudos tóricos hemos construido una familia infinita de nudos no equivalentes. Desde luego, la mayoría de los nudos no son nudos tóricos. Los párrafos anteriores deben considerarse sólo como una breve introducción a la teoría de nudos. El lector que desee profundizar en esta materia, puede consultar los textos de Crowell y Fax [3J o Neuwirth [5].

NOTAS En 1931, H. Seifert, en un trabajo titulado «Konstruktion dreidimensionaler geschlossener R1i.ume» (Ber. Siichs. Akad. Wiss., 83, 1931, pp. 26-66), demostró un teorema siguiendo la línea del teorema 2.1. Un poco más tarde. E. R. Van Kampeh descubrió y" demostró un

Aplicación a la teoría de nudos

141

teorema similar «(On the connection between the fundamental groups of sorne related spaces», Amer. J. Matn., 55, 1933, pp. 261-267>. A pesar de esto, los textos y artículos americanos citan ordinariamente al «teorema de Van Kampen». Desde luego, la formulación de este teorema como solución de un problema de aplicaciones universales vino más tarde. Nuestra exposición está basada en un artículo de R. H. Crowell [2], que, parece ser, se inspiró en unas lecciones dadas por R. H. Fox en Princeton; véase su texto [3]. El lector familiarizado con la teoría de complejos simpliciales puede fácilmente' deducir la versión de Seifert del teorema de Seifert-Van Kampen (tal como aparece en la sección 52 de Seifert y Threlfall [6]), a partir del teorema 2.1 y del lema 3.2 de este capítulo. Para ello hay que hacer uso de las propiedades de un entorno regular de un subcomplejo de un complejo simplicial, tal como se especifica en el Capítulo n, sección 9, del libro de S. Eilenberg, y N. Steeñrod (Foundations of Algebraic Topo!ogy. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1951).

Productos Ubres con subgrupos amalgamados Sea {W) U {V, : i E 1) un recubrimiento de X por conjuntos abiertos arco-conexos tales que V, n Vi = W si i 7'" j, y x, E W. (Véase ejercicio 3.1.) Supongamos que, para cada índice i, el homomorfismo 11:(W, x o) -> 11:(V" x o) sea un monomorfismo. Entonces el grupo fundamental 11: (X, x o), tal como especificamos en el teorema 2.2, tiene una estructura que ha sido estudiada a fondo por los especialistas en teoría de grupos; se llama «producto libre con sub grupo amalgamado». Es un grupo cociente del producto libre de los grupos 11:(V,) obtenido al ((amalgamar» o identificar los distintos sub grupos que corresponden a 11:(W, x,) por los monomorfismos dados. Todo elemento de un tal producto libre con subgrupo amalgamado admite una única expresión como «palabra en forma canónica». A pesar de que estos grupos han jugado un papel importante en la Teoría de grupos, son sólo de menor importancia en Topología. Para mayor información sobre esta materia, consúltense los libros sobre Teoría de grupos que figuran en la bibliografía del Capítulo IIl.

La conjetura de Pomcaré Se deduce de los cálculos realizados en este capítulo que toda superficie compacta simplemente conexa es homeomorfa a la 2-esfera S'. H. Poincaré conjeturó a principios de este sigla que se verificaba un resultado análogo para 3-variedades. a saber, que toda 3-variedad compacta simplemente conexa es homeomorfa a la 3-esfera S'. A pesar de los grandes esfuerzos de muchos destacados matemáticos desde los años de Poincaré, no se sabe aún si esta conjetura es cierta o no. Es fácil dar ejemplos de 4-variedades compactas simplemente conexas que no son homeomorfas a la 4-esfera S' (por ejemplo, S' X S'). Sin embargo, para todo entero n > 3, existe un análogo a la conjetura de' Poincaré, a saber: toda n-variedad compacta del mismo tipo de homotopía que una n-esfera es horneo morfa a Sn. Esta conjetura de Poincaré generalizada fue probada, para n > 4, por S. Smale en 1960 (véase Ann. Matn., 74, 1961, pp. 391-406). El caso n = 4 es aún una cuestión abierta. Hasta que no se haya resuelto la clásica conjetura de Poincaré (en el caso n =3) parece improbable un teorema de clasificación para 3-variedades compactas.

Tipo de homotopía frente a tipo topológico para variedades compactas Del cálculo de los grupos fundamentales de las superficies compactas que hemos hecho en este capítulo, destaca el sigUiente hecho: dos superficies compactas que no sean homeomorfas no son del mismo tipo de homotopía. Se sabe que una afirmación análoga para 3-variedades compactas es falsa; hay ejemplos bastante simples de variedades 3-dimensionales compactas que son del mismo tipo de homotopía pero no son homeomorfas (los llamados «espacios lenticulares»). La demostración de este resultado es la culminación del trabajo de matemáticos de todos los países durante muchos años. Los detalles son bastante laboriosos.

142

Teorema de Seifert y Van Kampen

Usando un teorema de S, p, Novikov (invariancia topológica de las clases de Pontrjagin racionales) se han construido ejemplos de variedades de dimensión superior que son de,l mismo tipo de homotopía pero no son homeomorfas,

GJrupo fundamental de una superficie no compacta El grupo fundamental de una superficie no compacta (con base nt;merable) es un grupo libre con un conjunto finito o numerable de generadores, Toda superficie no compacta simplemente conexa es homeomorfa al plano R', Para una demostración de estos resultados véase Ahlfors y Sario [1], Capítulo r, o los ejercicios de la sección VI,;),

Esbozo de la demostración de que todo puede ser el gJrupo fundamental de una

con presentación finita compacta

Observemos primero que el grupo fundamental de S' X S" es cíclico infinito, Por consiguiente, formando la suma conexa de n ejemplares de S' X S" obtenemos una 4-variedad compacta orientable cuyo grupo fundamental es un grupo libre de n generadores (véase ejercicio 3,7), Supongamos, ahora, que M sea una 4-variedad compacta orientable y e una curva cerrada simple suficientemente regular en M; puede demostrarse que todo entorno tubular N de C, suficientemente pequeño, es homeomorfo a S' X E' (lo cual no sería cierto si M no fuera orientable), Por tanto el borde de N es homeomorfo a S' X S', Pero S' X S' es también el borde de E' X S', que es una variedad 4-dimensional con borde, Designemos por M' el complementario del interior de N, Designemos por M, el espacio cociente de M' U (E' X S') obtenido identificando puntos correspondientes del borde de N y del borde de E' X S', Entonces se ve fácilmente que M, es también una 4-varied"td compacta orientable; el proceso seguido para obtener M, a partir de M se llama a menudo «cirugía», ¿Cuál es el grupo fundamental de M,? Podemos responder a esta cuestión aplicando dos veces el teorema de Seifert-Van Kampen, En primer lugar, M = M' U N, Y M' Í\ N es homeomorfo a S' X S', Se ve fácilmente que el homomorfismo 1t(M'Í\ N) -> 1t(N) (inducido por la inclusión) es un isomorfismo; por tanto, por el ejercicio 4,1 (a), el homomorfismo 1t(M') -> 1t(M) es también un isomorfismo, En segundo lugar M, = M' U (E'XS'), y M' Í\ (E' X S') = M' Í\ N, Puesto que E2 X S2 es simplemente conexo, se puede aplicar el teorema 4,1 para deducir que j'¡CM') -> 1t(M,) es un epimorfismo y su núcleo es el mínimo subgrupo normal que contiene la imagen de 1tCM'Í\ N) -Jo 1tCM'); pero se ve fácilmente que las imágenes de 1t(M' Í\ N) -Jo 1t i M') Y 1t(C) -> 1tCM) son equivalentes, (NOTA: Cada vez que aplicamos el teorema de Seifert-Van Kampen, es necesario invocar el lema 3,2, ya que M' y N no son subconjuntos abiertos de MJ, Podemos resumir la conclusión que acabamos de obtener de la siguiente manera: 1t(M,) es naturalmente isomorfo al grupo cociente de 1t(M) respecto del mínimo subgrupo normal que contenga la imagen de 1tCC) -Jo 1t(M), En otras palabras, hemos «eliminado» el elemento IX de 1t(M) representado por el camíno cerrado C. Si el grupo 1t(M) estaba presentado por generadores y relaciones, entonces 1t(M,) admite una presentación con los mismos generadores y con una relac'ión adicional, a saber, (x, No es difícil demostrar que todo elemento IX E 1t(M) puede representarse por una curva cerrada suficientemente regular C sin puntos dobles, como hemos utilizado en el razonamiento anterior. En efecto, esto es cíerto para toda n-variedad orientable M, supuesto que n ~ 3, En una variedad de dimensión ~ 3 hay suficiente «espacio» para deshacerse de los puntos dobles de cualquier camino cerrado por medio de pequeñas deformaciones, Sea ahora G un grupo que admita una presentación con n generadores x" "" x" Y k relaciones r" roo "" n, Sea M la suma conexa de n ejemplares de S' X S"; entonces 1t(M) es un grupo libre con n generadores, que podemos designar por x" ' , , , x", Hacemos ahora k veces la cirugía en M eliminando sucesivamente los elementos r" "" n, El resultado será una 4-variedad orientable compacta M k , tal que 1t(Mk) = G, como deseábamos,l 1

Este resultado es debido a Seifert y Threlfall [6], p, 180,

143

la teoría de nudos

Esta construcción fue utilizada por A. A. Markov en su demostración de que no puede existir ningún algoritmo para decidir si dos 4-variedades triangulables, orientables y compactas son homeomorfas. La demostración de Markov se basa en que no existe ningún algoritmo general para decidir si dadas dos presentaciones de grupos, representan grupos isomorfos o no (véase Proceedings oi Internationa! Congress oi Mathematicians, 1958, pp. 300-306; también, un artículo de W. Boone, W. Haken, y V. Poenaru: «On Recursively Unsolvable Problems in Topology and Their Classification» en Contributions to Mathematica! Logic, editado por H. Schmidt, K. Schutte y H. J. Thiele, North-Holland Pub. Co., 1968).

BIBUOGRAF1A 1. Ahlfors, L. V., y L. Sario. Riemann Surfaces. Princeton. N. J.: Princeton University Press, 1960. Capítulo l. 2. Crowell, R. H. «On the Van Kampen Theorem». Paco J. Math., 9, 1959, pp. 43-50. 3. crowell, R. H., Y R. H. Fox. Introduction to Knot Theory. Boston; Ginn, 1963. Capítulo V y Apéndice III. 4. Hilton, P. J., y S. Wylie. Homo!ogy Theory, an Introduction to A!gebraic Topo!ogy. Cambridge: The University Press. Capítulo VI. 5. Neuwirth, L. P. Knot Groups. (Annals of Mathematics Studies No. 56). Princeton, N.J. : Princeton University Press, 1965. 6. Seifert, H., y W. Threlfall. Lehrbuch der Topo!ogie. New York: Chelsea, 1947. Capítulo 7.

1 Sea X un espacio topológico; un espacio recubridor de X consiste en un espacio

X y una aplicación continua p. de Jt sobre X que debe satisfacer ciertas condiciones muy fuertes de regularidad. La definición precisa la daremos más adelante. La teoría de espacios recubridores es importante no sólo en Topología, sino también en disciplinas afines tales como la Geometría diferencial, la Teoría de grupos de Lie, y la Teoría de superficies de Riemann. La teoría de espacios recubridores está estrechamente relacionada con el estudio del grupo fundamental. Muchas cuestiones topológicas básicas sobre espacios recubridores pueden reducirse a cuestiones puramente algebraicas sobre los grupos fundamentales de los distintos espacios involucrados. Sería prácticamente imposible dar una exposición completa de uno de estos temas sin que surgiera el otro.

peiíIlllclón y algunos

espados

En este capítulo supondremos que todos los espacios son arco-conexos y localmente arco-conexos (para la definición véase sección II.2), mientras no se diga lo contrario. Para ahorrar palabras, no iremos repitiendo esta hipótesis. Por otra parte no es necesario suponer que los espacios con los que tratemos veriningún axioma de separación. Definición Sea X un espacio topológico. Un espacio recubridor de X es un par formado por un espacio X y una aplicación continua p : X --> X de manera que verifique la siguiente condición: Todo punto x E:: X tiene un entorno arcoconexo U tal que cada arco-componente de p-l(U) se aplica por p topológica.mente sobre U (en particular se supone que p-l(U) no es vacío). Todo entorno abierto U que satisfaga la condición que acabamos de enunciar se llama entorno elemental. La aplicación p se llama a menudo proyección. Vamos a dar ahora varios ejemplos que aclaren esta defmición. En alguno

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1 Sea X un espacio topológico; un espacio recubridor de X consiste en un espacio una aplicación continua p de g sobre X que debe satisfacer ciertas condiciones muy fuertes de regularidad. La definición precisa la daremos más adelante. La teoría de espacios recubridores es importante no sólo en Topología, sino también en disciplinas afines tales como la Geometría diferencial, la Teoría de grupos de Lie, y la Teoría de superficies de Riemann. La teoría de espacios recubrid ores está estrechamente relacionada con el estudio del grupo fundamental. Muchas cuestiones topológicas básicas sobre espacios recubridores pueden reducirse a cuestiones puramente algebraicas sobre los grupos fundamentales de los distintos espacios involucrados. Sería prácticamente imposible dar una exposición completa de uno de estos temas sin que surgiera el otro.

Xy

2

ejemplos de espacios recubrldores

En este capítulo supondremos que todos los espacios son arco-conexos y localmente arco-conexos (para la definición véase sección II.2), mientras no se diga lo contrario. Para ahorrar palabras, no iremos repitiendo esta hipótesis. Por otra parte no es necesario suponer que los espacios con los que tratemos verifiquen ningún axioma de separación.

Definición Sea X un espacio topológico. Un espacio recubridor de X es un par formado por un espacio X y una aplicación continua p : X -)o X de manera que verifique la siguiente condición: Todo punto x E X tiene un entorno arcoconexo U tal que cada arco-componente de p-l(U) se aplica por p topológica.mente sobre U (en particular se supone que p-l(U) no es vacío). Todo entorno abierto U que satisfaga la condición que acabamos de enunciar se llama entorno elementaL La aplicación p se llama a menudo proyección. Vamos a dar ahora varios ejemplos que aclaren esta defmición. En alguno

145

146

Espacios recubridores

de los ejemplos haremos un estudio algo que a menudo es mús útil que un estudio más riguroso y formal, para dar una idea del concepto espacío recubridor.

Ejemplos 2.1

Definamos p : R

->

S' por

p(t) = (sen t, cos t) para todo tER Entonces el par (R, p) es un espacio recubridor de la circunferencia unidad S'. Todo subintervalo abierto del círculo S' puede servir como entorno elemental. Éste es uno de los ejemplos más simples e importantes. 2.2 Utilicemos coordenadas polares (r, e) en el plano R'. Entonces, la circunferencia unidad está definida por la condición r = 1. Para todo entero n, positivo o negativo, definimos una aplicación pn : S' -)o S' por la ecuación

pn(l, O) = (1, nO). La aplicación pn enrolla la circunferencia n veces sobre sí misma. Se ve fácilmente que, si n ~ 0, el par (S" Pn) es un espacio recubridor de S'. De nuevo todo intervalo abierto propio de S' es un entorno elemental. 2.3 Si X es un espacio arbitrario, e i : X X denota la identidad, entonces el par (X,ü es un ejemplo trivial de espacio recubridor de X. Análogamente, si f es un homeomorfismo de Y sobre X, entonces (Y, f) es un espacio recubridor de X, que es también un ejemplo bastante trivial. Más adelante, en ,este capítulo, demostraremos que si X es simplemente conexo, entonces todo espacio recubridor de X es uno de estos espacios recubridores triviales. Así, sólo podemos esperar ejemplos de espacios recubridores no triviales en el caso de espacios que no sean simplemente conexos. 2.4 Si (X, p) es un espacio recubridor de X, y ('Y, q) un espacio recubridor de Y, entonces (X xY, p x q) es un espacio recub-ridor de X X Y (la aplicación p X q está definida por (p X q) (x, y) = (px, qy». Dejamos la demostración al lector. Es claro que si U es un entorno elemental del punto x E X Y V un entorno elemental del punto y E Y, entonces U X V es un entorno elemental de (x, y) E X X Y. Usando este resultado y los ejemplos 2.1 y 2.2, el lector puede construir ejemplos de espacios recubridores del toro T = S' X S'. En particular, el plano R' = R X R, el cilindro R X S', o el mismo toro pueden servir como espacios recubridores del toro. El lector debería intentar visualizar la proyección p en cada uno de estos casos. 2.5 En la sección lA definimos el plano proyectivo P como un espacio cociente de la 2-esfera S'. Designemos por p : S' -+ P la proyección natural. Entonces se ve fácilmente que (S', p) es un espacio recubridor de P. Podemos tomar como entorno elemental de cada punto x E P un disco abierto que contenga a x. 2.6 Sea S una superfiCie compacta orientable de género 2. Vamos a demostrar cómo se puede construir una gran variedad de espacios recubridores de S. Obsérvese que podemos considerar S como un espacio cociente de una superficie con borde M, compacta orientable, de género 0, y tal que su J;lorde conste de cuatro círculos e;, e;, e~ e:~ La aplicación natural M -> S identifica los círculos del borde a pares (véase figura 5.1): e; y e;' se identifican en un sólo círculo e¡ por medio de un homeomorfismo h¡ de e: sobre el', i = 1, 2. Podemos también lmagmar a M como obtenida a partir de S cortando a lo largo de los círculos e, y e,. . Sea D el conjunto finito {1, 2, 3, ... , nI con la topología discreta, y q : M X D -+ M la proyección del espacio producto sobre el primer factor. Podemos considerar M X D formado por n ejemplares disjuntos de M, cada uno de los cuales se aplica por q homeomór-)o

Definición y

elt'm,OIC'S

de espacios recubridores

c/{

FIGURA 5.1 Una superficie de género 2 como espacio cociente de una superficie con borde, ficamente sobre M. Vamos ahora a describi!: una manera de formar un espacio cociente de M X D, será una 2-variedad conexa S y tal que la aplicación q inducirá una aplicación p: -Jo S de los espacios cocientes; es decir, tendremos un diagrama conmutativo

M

)8

Resultará que (.S. p) será un espacio recubridor de S. Las identificaciones mediante las que formamos § a partir de M X D serán todas de la siguiente forma: el círculo e: x {ji se identifica con el círculo e:' x {k} por un homeomorfismo que aplique el punto (x, j) sobre un punto Ch¡(x), k), donde i = 1 ó 2, y j y k son enteros positivos ~ n. Podemos llevar a cabo esta identificación de círculos a pares de maneras muy distintas, con tal que obtengamos un espacio S que sea conexo. Por ejemplo, en el caso n = 3, podríamos llevar a cabo nuestras identificaciones según el siguiente esquema: identificamos

C~X {I}

con

C~' X {2},

C~X {2}

con

C~' X {3 },

C~ X {3}

con

C~' X {I},

C~ X {I)

con

C~' X (2),

C~ X {2}

con

C~' X {I },

C~ X {3}

con

C~' X (3).

148

Espacios recubridores

Dejamos para el lector la construcción cada caso obtenemos efectivamente un un procedimiento análogo para obtener de género superior. 2.7 Sea X un subconjunto del plano

de otros demostración de que en espacio podríamos usar ejemplos de espacios recubridores de superficies formado por dos círculos tangentes en un punto:

{ ( x, y ) : ( x

{(X, y) : (x

1) 2

+ y2

11

+ 1)2 + y2

1),

Vamos a dar dos ejemplos distintos de espacios recubridores de X. Para el primer ejemplo, designemos por X el conjunto de todos los puntos (x, y) E R' tales que x o y (o ambos) sean enteros; X es unión de líneas rectas horizontales y verticales. Definimos p : X -> X mediante

p(x, y)

=

(1 {

+

(-1

COS

(7r - 27rx), sen 27rx)

+ cos 27rY, sen 27ry)

si y es entero, si x es entero.

La aplicación p enrolla cada línea horizontal a lo largo de la circunferencia C, y cada línea vertical a lo largo de la circunferencia C,. Para el segundo ejemplo, designemos por Dn la circunferenGia {(x, y) E R' : (x - 1 ) ' + (y - 3n)' = l} para todo entero n, positivo, negativo o cero, y por L la línea vertical [(x, y) : x = O}. Las circunferencias Dn son dos a dos disjuntas y cada una de ellas es tangente a la línea L. Definimos

X' -+ X de la siguiente manera: p' aplica cada circunferencia Dn homeomórficamente sobre C, por una traslación vertical conveniente. p' enrolla la línea L a lo largo de la circunferencia C, según la fórmula

y p' :

Entonces ex', p') es un espacio recubridor de X. 2.8 Damos aquí un ejemplo para estudiantes que estén al menos ligeramente familiarizados con la teoría de funciones de una variable compleja. Como de costumbre, designamos por

exp (z)

i n=O

zn n!

la función exponencial, donde z es un número complejo arbitrario. La función exponencial es una aplicación, exp : e -> e - {O l, donde e designa el plano complejo. Afirmamos que (e, exp) es un espacio recubridor de e-lO}, y que, para todo z E e-{o\. el disco abierto

Uz

=

{w E

e : Iw - zl < Izl}

de p,."nru",o Ifec'unlf¡aoil'i~g

Definición y

149

es entorno elemental. Para probar esto deberíamos demostrar toda componente V de la imagen inversa de U, se aplica por exp sobre U,; es decir que existe una función continua f : U, -> V tal que, para todo w E U"

exp y, para todo v

= w,

E V,

f(exp v)

=

v.

En los libros sobre variable compleja, a una tal función f se le llama «rama de la función, logarítmica en el disco U,», y en el curso de la demostración de las propiedades del loga. ritmo se establecen los resultados requeridos. Recordemos que si z = x + iy, entonces exp z = (exp x). (cos y + i sen y), donde exp x = eX se refiere ahora a la función exponencial real, exp : R -> I tER: t> O}. De esta fórmula resultan> los siguientes hechos. Podemos considerar e = R x R y e - ¡O1 = E R : r > O} X S' (usamos coordenadas polares). Entonces podemos considerar la aplicación exponencial exp : e -> e - ¡O} como una aplicación p X q : R X R -> {r E R : r > O} X sr, donde p(x) = eX y q(y) = (cos y, sen y). Compárense los ejemplos 2.1, 2.3 Y 2.4. 2.9 Vamos a dar otro ejemplo de la teoría de funciones de una variable compleja. Para cada entero n;; e definida por Pn(Z) = zn. Entonces (e-lO), pn) es un espacio recubridor de e - {O}. La demostración puede encontrarse en los libros sobre variable compleja cuando se discute la existencia y propiedades de las distintas «ramas}) de la función Vz. La, situación es análoga a la del ejemplo 2.8. Obsérvese que es necesario omitir el O en el dominio y recorrido de la función pn; de otro modo no obtendríamos un espacio recubridor. Como en el ejemplo 2.8, podemos considerar e - {O 1= { r E R : r > OJ X S' y descomponer el espacio recubridor (e - 10 J, Pn) en el producto cartesiano de dos espacios recubridores.

Ir

Para aclarar más el concepto de espacio recubridor, daremos algunos ejemplos de espacios que son casi, aunque no completamente, espacios recubridores. Definición Una aplicación continua f: X -> Y es un homeomorfismo local si cada punto x E X tiene un entorno abierto V tal que f(V) es abierto y f aplica topológicamente V sobre f(V). Se prueba fácilmente que si eX, p) es un espacio recubridor de X, entonces, p es un homeomorfismo local (la demostración se basa en que, en un espacio localmente arco-conexo, las arco-componentes de un conjunto abierto son abiertas). Igualmente, la inclusión de un subconjunto abierto de un espacio topológico en el espacio total es un homeomorfísmo local. Finalmente, la composición de dos homeomorfismos locales es un homeomorfismo local. Esto nos permite construir muchos ejemplos de homeomorfismos locales. Por otra parte, es fácil construir ejemplos de homeomorfismos locales que sean aplicaciones exhaustivas pero no espacios recubridores. Por ejemplo, sea p la aplicación del intervalo abierto (O, 19) sobre el círculo SI, dada por

p(t) = (cos t, sen t). Entonces p es un homeomorfismo local, pero «0,10), no es un espacio recubridor de SI. (¿Cuáles son los puntos de SI que no tienen un entorno elemen-

Espacios recubridores

150

tal?) De forma más general: si es un espacio recubridor de y V es un subconjunto propio de X, abierto y conexo, entonces pi V es un homeomorfismo local, pero (V, pI V) no es un espacio recubridor de V. Es importante tener presente siempre esta distinción entre espacios recubridores y homeomorfismos locales. Obsérvese que un homeomorfismo local es una aplicación abierta (para la definición, véase el Apéndice A). En particular, si (X, p) es un espado recubrídar de X, entonces p es una aplicación abierta. Damos ahora un lema que nos permitirá construir más ejemplos de espacios recubridores.

Lema 2.1 Sea (X, p) un espacio recubridor de X, A un subespacio de X arco-conexo y localmente arco-conexo, y A una arco-componente de p-1(A). Entonces CA, p I A) es un espacio recubridor de A. La demostración es inmediata. Los dos espacios recubridores del ejemplo 2.7, pueden obtenerse también aplicando este lema a los espacios recubridores R2 = R X R y R X Sl del toro SI X SI, descritos en el ejemplo 2,4 [tomar como A el siguiente subconjunto de SI X SI : A = (Sl X {x o}) U ({ xo} X SI) donde X o E SI]. , . Cerramos esta sección enunciando dos de los problemas más importantes ·de la teoría de espacios recubridores: (a) Dar condiciones necesarias y suficientes para que dos espacios recubridores (Xl' PI) Y (X o ' pJ de X sean isomorfos (por definición, dos espacios recubridores son isomorfos si y sólo si existe un homeomorfismo h de Xl sobre Xo tal que Po h = p). (b) Dado un espaéio X, determinar (salvo isomorfismos) todos los posibles espacios recubridores de X. Como veremos, estos problemas admiten respuestas razonables por medio de los grupos fundamentales de los espacios involucrados.

Ejercicios 2.1 Probar que en un espacio topológico son equivalentes las siguientes cuatro condiciones: (a) Las arco-componentes de todo subconjunto abierto son abiertas. (b) Todo punto posee una base de entornos abiertos arco-conexos. (c) Todo punto posee una base de entornos arco-conexos (no se supone que sean abiertos). (d) Para todo punto x, y todo entorno U de x, existe un entorno V de x tal que ve U y cualesquiera dos puntos de V pueden unirse por un camino en U. En consecuencia, cualesquiera de estas condiciones podría tomarse como definición de espacio localmente arco-conexo. 2.2 Probar que si f : X -> Y es un homeomorfismo local, y A X, entonces f I A es un homeomorfismo local de A sobre f(A). 2.3 Probar que si X es compacto y j : X -> Y un homeomorfismo local, entonces, para

e

todo punto y E Y, f-'(y) es un conjunto finito. Si además se supone que Y es un espacio de Hausdorff conexo, entonces f es exhaustiva Supongamos que X e Y son espacios arco-conexos y localmente arco-conexos, X es compacto, e Y es de HausdorH. Sea f : X -+ Y un homeomorfismo local; probar que (X, f) es un espacio recubridor de Y.

3 En esta sección probaremos algunos lemas sencillos que son la clave de muchos de los resultados de este capítulo. Sea eX, p) un espacio recubridor de X, y 9 : 1 ---+ X un camino en X; entonces pg es un camino en X. Igualmente. si 9 0 , g, : 1 ---+ X y 90 - g" entonces pg" - pgl' Podemos ahora plantearno; la cuestión de la existencia de un resultado inverso: Si f : 1 ---+ X es un camino en X, ¿ existe algún camino 9 : 1 ---+ X tal que pg = f? Si go' 9 1 : 1 ---+ X y pgo - pgl' ¿se deduce que go - 9 1 ? Veremos que la respuesta a ambas cuestiones es: Sí. Estos resultados expresan una de las propiedades básicas de los espacios recubridores.

Lema 3.1 Sea eX, p) un espacio recubridor de X, Xo E X, y X o = p(x o )' Entonces, para todo camino f : 1 ---+ X con origen x"' existe un único camino 9 : 1 ---+ X con origen Xo tal que pg = f. DEMOSTRACIÓN: Si el camino f estuviera contenido en un entorno elemental V no habría problema. Pues, si designamos por V la arco-componente de p-I (V) que contiene a xo' entonces, puesto que p aplica topológicamente V sobre V, existiría un único 9 en V con las propiedades requeridas. Naturalmente que, en general, f no estará contenido en ningún entorno elemental V. Sin embargo, podemos siempre expresar f como producto de un número finito de caminos «más cortos», cada uno de los cuales esté contenido en un entorno elemental, y entonces, podemos aplicar sucesivamente el razonamiento del párrafo anterior a cada uno de estos caminos cortos. Los detalles de este proceso son los siguientes. Sea {Vi} un recubrimiento de X por entornos elementales, entonces {f- I (Vi)} es un recubrimiento abierto del espacio métrico compacto 1. Elegimos un entero n tal que 11n sea menor que el número de Lebesgue de este recubrimiento. Dividimos el intervalo 1 en los subintervalos cerrados [0, lln], [l/n, 2In], ... , [(n -l)ln, 1]. Obsérvese' que f aplica cada sub intervalo en un entorno elemental de X. A partir de [0, 1/n], vamos definiendo 9 sucesivamente sobre estos intervalos. La unicidad del camino elevado es consecuencia del siguiente lema más general:

Lema 3.2 Sea (X, p) un espacio recubridor de X, e Y un espacio conexo y localmente conexo. Dadas dos aplicaciones continuas fo, f 1 : y ---+ X tales que pi o = pf l , el conjunto {y E y : f,,(y) = f I (y)} es vacío o es todo Y.

152

Espacios recubridores

DEMOSTRACIÓN: Puesto que Y es conexo, basta probar que el conjunto en cuestión es a la vez abierto y cerrado. Probaremos primero que es cerrado. Sea y un punto de la adherencia' de este conjunto, y

x = pfo(Y) = pf¡(y). ,Sea U un entorno elemental de x. Puesto que pf" y pf, son continb.as e Y es localmente conexo, podemos encontrar un entorno conexo W de y tal que pf,,(W) e U y pf,(W) e U. Puesto que f,,(W) y f,(W) son conexos, cada uno de ellos debe estar contenido en una componente de p-I (U), y puesto que W corta al conjunto en cuestión, deben estar contenidos en la misma componente de p-l(U). Designemos por Vesta componente de p-I (U). Entonces f'I(Y) = f l (y), ya que p aplica topológicamente V sobre U. Un razonamiento análogo nos permite demostrar que todo punto del conjunto {y E:: y : fo(Y) = f¡(y)} es interior. C.Q.D.

Lema 3.3 Sea eX, p) un espacio recubridor de X, y gil' gl : 1 -+ X caminos en X con el mismo origen. Si pgo - pgl' entonces go ~ gl; en particular gIl y g¡ tienen el mismo extremo. DEMOSTRACIÓN: La línea de esta demostración es esencialmente la misma que la del lema 3.1. Sea x" el origen de go y g" La hipótesis pgu - pg¡ implica la existencia de una aplicación F : 1 X 1 -+ X tal que

F(s, O)

POo(s),

F(s, 1)

PO¡ (s),

F(O, t)

POo(O) = p(Xo),

F(1, t)

POo(l) .

Por un razonamiento usando el número de Lebesgue, etc., podemos encontrar números = So < s, < ... < Sm = 1 Y = t" < t I < ... < t l1 = 1 tales que F aplique cada rectángulo [Si_ l , Si] X [ti-l' ti] en algún entorno elemental de X. Vamos a probar que existe una única aplicación G : 1 X 1 -+ X tal que pG = F y G(O, O) = xu • Primero definimos G sobre el rectángulo [0, s,] X [0, tJ] de manera que se verifiquen las propiedades requeridas. Es claro que esto puede hacerse, pues F aplica este rectángulo en un entorno elemental del punto p(x o )' Entonces extendemos la definición de G sucesivamente a los rectángulos [SLl' Si] X [0, tI]' para i = 2, 3, ... , m, teniendo en cuenta que las definiciones coinciden sobre la arista común de dos rectángulos consecutivos cualesquiera. A$Í tenemos definida G sobre la banda 1 X [0, tJ Entonces se define G sobre los rectángulos de la banda 1 X [tI' t 2 ], etc. La unicidad de G está asegurada por el lema 3.2. Análogamente, en virtud

°

°

El grupo fundamental de un espacio recubrídor

de la unicidad en el lema 3.1, G(s, O) = 0 0 {l} X 1 en un solo punto tal que

G(O, t)

=

yG

Por tanto, G define una equivalencia entre los caminos go y g"

C.Q.D.

Como corolario de estos resultados sobre elevación de caminos probaremos el siguiente lema:

Lema 3.4 Si (X, p) es un espacio recuoridor de X, entonces los conjuntos p-I(X) tienen el mismo cardinal, para todo x E X. DEMOSTRACIÓN: Sean X o y X, dos puntos arbitrarios de X. Elegimos un camino f con origen Xu y extremo Xl' A partir del camino f podemos definir una aplicación p-I(X O) --l> p-'(x I ) de la siguiente manera. Dado un punto cualquiera Yo E p-' (x o ), elevamos f a un camino g en X con origen Yo y tal que pg = f. Designemos por YI el extremo_de g. Entonces ?f.o --l> y, es la aplicación deseada. Mediante el camino inverso f (definido por f(t) = f(l- t», podemos definir análogamente una aplicación p-' (x,) --l> p-l (x o )' Estas dos aplicaciones son inversas una de la otra y, por tanto, cada una es biyectiva. C.Q.D.

Este cardinal común de los conjuntos p-I(X), X E X, se denomina número de hojas del espacio recubridor (X, p). Por ejemplo, se habla de un espacio recubridor de n hojas, o un espacio recubridor de una infinidad de hojas.

4

El grupo fundamental de un espacio

Como corolario del lema 3.3, tenemos el siguiente resultado fundamental:

X,

=

Teorema 4.1 Sea eX, p) un espacio recubridor de X, .i\ E y Xo p(x o )' Entonces el homomorfismo inducido p* : rr;(X, o) --l> rr;(X, x o ) es un monomorfismo.

x

Es una consecuencia directa del lema 3.3 en el caso particular en que go y g 1 sean caminos cerrados. Este teorema nos lleva a la siguiente cuestión: Supongamos que' Xo y x, son puntos de X tales que p(x o) = p(x,) = x o' ¿Cómo podemos comparar las imágenes de los homomorfismos

P* : 7r(X, xo)

---'?

7r(X, xo),

P* : 7r(X, Xl)

---'?

7r(X, xo)?

La respuesta es muy simple. Elijamos una clase y de caminos en X de Xu a

x, ;

i:JS¡iJac'IOS

recubridores

esta clase define un isomorfismo u: ']1; ---+ ']1; Obtenemos entonces el siguiente diagrama conmutativo de la sección

donde v(~) = (p*'Y)-I~(p* Pero p* (y) es la clase de un camino cel!ado y, por tanto, un elemento de ']1; x o)' Así vemos que las imágenes de 7r(X, Xo) y 7r(X, Xl) por P-l< son subgrupos conjugados de ']1; (X, Surge entonces la siguiente cuestión: ¿puede obtenerse cada subgrupo conjugado del P*7r(X, Xo), con imagen P*7r(.Y, Xl)' para algún Xl E:: p-I(X O )? La respuesta es: Sí. Para probarlo, observemos que todo subgrupo de esta clase de conjugación es de la forma 0/-1 [P*7r(X, xo)] 01 para algún elemento (:l E:: ']1;(X, x o )· Elijamos un camino cerrado f : 1 ---+}f. que represente a (:l. Aplicando el lema 3.1 obtenemos un camino 9 : 1 ---+ X elevación de (:l con origen iD. Sea Xl el extremo de este camino elevado. Entonces se ve fácilmente que

Podemos resumir lo que acabamos de demostrar en el siguiente teorema:

Teorema 4.2 Sea (X, p) un espacio recubridor de X, y X o E:: X. Entonces, los subgrupos P*7r(X, i), para i E p-l(xo), forman exactamente una clase de conjugación de subrupos de ']1; (X, x o ). El estudiante que desee ejemplos de este teorema, puede considerar los distintos ejemplos de espacios recubridores dados en la sección 2.

Ejercicio 4.1 Estudiar en el enunciado del teorema 4.2 el efecto del cambio del «punto base» x, por un nuevo Xl E X.

Esta clase de conjugación de subgrupos de ']1; (X, x o ) es un invariante algebraico del espacio recubridor (X, p). Probaremos más adelante que determina completamente el espacio recubridor, ¡salvo isomorfismos!

5

Elevación

En la sección 3 hemos estudiado la «elevación» de caminos de X a un espacio

arbitrarias

Elevación de

un espacio

rpr¡Wli'lnllr

155

recubridor Estudiamos ahora el problema análogo para de un arbitrario Y en X. Para discutir esta cuestión, introducimos la siguiente notación: Si X e Y son espacios topológicos, x E X e y E entonces -+ y) significa que f es una aplicación continua de X en Y y = y. Con esta notación podemos establecer de manera concisa nuestro objetivo principal, como sigue: Sea un espacio recupridor de Xo E Xo = p(xo), Yo E Y, y

sea conmutativo? Si una tal aplicación ép existe, decimos que

Puesto que p * es un monomorfismo, la existencia de un homomorfismo ép'f-: ?rey, Yo) --+ ?r(X, xo), que haga conmutativo el diagrama, es equivalente a la condición de que la imagen de
Teo:rema 5.1

Sea

(X,

p) un espacio recubridor de X, Y un espacio conexo

y localmente arco-conexo, Yo E Y, XO E X, y Xo = p(xo). Dada una aplicación

(X, xo) si y sólo si
156

Espacios recubridores

origen YiI Y extremo y. Consideremos los caminos -> fa) de la siguiente manera: para cada punto y E y elegimos un camino cerrado f : 1 -> Y con origen y" y extremo y. Entonces X cuyo origen es fa Y tal que' pg =
Para justificar esta definición tenemos que demostrar que ¿P(y) es independiente de la elección del camino f. En virtud del lema 3.3 podemos reemplazar f por un camino equivalente sin alterar la definición de ij;(y); es decir, rp(Y) sólo depende de la clase de equivalencia a del camino f. Supongamos que a Y 0 son dos clases de equivalencia distintas de caminos en Y de YiI a y. Entonces, a0- 1 es un camino cerrado con punto base Yo; así pues, a0- 1 E 1dY, Yo) y. por j:anto, por las hipótesis del teorema.
rp resulta también evidente a partir de la demostración del teorema. 2. Este teorema es una bella ilustración de la estrategia de la Topología algebraica: una cuestión puramente topológica (la existencia de una aplicación continua que verifique ciertas propiedades) se reduce a una cuestión puramente algebraica. En la mayoría de casos que en Topología algebraica puede efectuarse una reducción como ésta, los detalles son mucho más complicados que en el teorema 5.1. de

Ejercicios 5.1

Sea G un espacio topológico con una multiplicación continua

[J. :

G XG

-->

G, con

Homomorfismos y automorfismos de espacios recubridores un elemento uniQad e tal que ~t(e, x) = !-t(x, e) = x, para_ todo x E G. (Véase ejerclcio 11,,7.5,). Sea (G, p) un espacio recubridor de G, y e E G un punto tal que p(e) = e. Probar que existe una única multiplicación contillua fl: G X G -+ G tal que é es una unidad Lo sea, ¡:iCe, y) = ¡:i(y, e) = y para todo y E GJ, Y P conmuta con las multiplicaciones de G y G [es decir, !-t(px, py) = p¡:i(x, y)]. (INDICACIÓN: Aplicar el teorema 5.1 junto con el resultado del ejemplo 2.4 y el ejercicio de la sección n.7 al que nos hemos referido más arriba.) Suponer que G es arco-conexo y -localmente arco-conexo, como de costumbre. Probar también que, si la multiplicación [.!- es asociativa, también lo es ¡l. 5.2 Sea G un grupo topológico conexo, localmente arco-conexo, con unidad e. Sea (C, p) un espacio recubridor de -G, Y e E G tal que p(e) = e. Probar que existe una única multiplicación continua !-t : G X G -+ G tal que G es un grupo topológico con unidad 12, y p es un homomorfismo. (INDICACIÓN: Usar los resultados de los ejercicios 5.1 y II. 7.6 para demostrar la existencia de inversos en G.) Probar también que el núcleo de p es un sub grupo normal discreto de G y, por tanto, está contenido en el centro de G. 5.3 Aplicar las consideraciones del ejercicio anterior al caso en que G = S" grupo multiplicativo de los números complejos de módulo 1. En la sección 2 hemos descrito algunos ejemplos de espacios recubridores de S'. 5.4 Probar que, en los ejercicios 5.1 y 5.2, si la multiplicación de G es conmutativa, también lo es la multiplicación de C.

6

Homomorfismo!> y automorfismos de espacios recubridores

Deseamos obtener información sobre los posibles espacios recubridores de un espacio X dado. Como veremos, la consideración de homomorfismos y automorfismos de espacios recubridores de X permite profundizar más en este problema. Esta manera de proceder está de acuerdo con el siguiente principio que parece guiar una gran parte de la investigación matemática actual: Siempre que deseamos obtener más información acerca de cierta clase de objetos matemáticos, acostumbra a ser útil considerar también la clase apropiada de aplicaciones y automorfismos admisibles de estos objetos. Definición Sean (Xl' PI) Y (X 2 , P2 ) espacios recubridores de X. Un homomorfismo de (Xl' PI) en (X 2 , P2 ) es una aplicación continua q¡ : Xl --> X 2 que hace conmutativo el diagrama siguiente:

Obsérvese que la compOSlClOn de dos homomorfismo s es de nuevo un homomorfismo, y que, si eX, p) es un espacio recubridor de X, entonces la identidad X --> X es un homomorfismo. Definición Un homomorfismo q¡ de {Xl' PI) en_eX 2 , P 2 ) se llama isomorfismo si existe un homomorfismo \jJ de (X 2 , P 2 ) en (Xl' PI) tal que las composiciones \jJq¡Y q¡\jJ son ambas la identidad. Dos espacios recubridores se dicen iso-

158

Espacios recubridores

morfos si existe un isomorfismo de uno sobre el otroe Un es un isomorfismo de un espacio recubridor en sí mismo; puede ser o no la identidad. Los automorfismos de espacios recubridores se suelen llamar en la literatura transformaciones recubridoras (en alemán: Deckbewegung). Obsérvese' que un homomorfismo de espacios recubridores es un isomorfismo si y sólo si es un homeomorfismo en el sentic!? usual. El conjunto de todos lQs automorfismos de un espacio recubridor (X, p) de X constituye obvi3.mente un grupo con la composición de aplicaciones. Designemos a este grupo por A eX, p). Deducimos ahora algunas propiedades básicas de los homomorfismos y automorfismos de espacios recubridores.

Lema 6.1 Sea:!; tpu y tpl homomorfismos de (Xl' PI) en (X 2, P2)· Si existe algún punto x E Xl tal que tpo(x) =tpl(X), entonces tpo = tpl· Es un caso particular del lema 3.2.

es

i tp

Corolario 6.2 El grupo A(X, p) opera sin puntos fijos sobre el espacio X; decir, si tp E A (X, p) y tp ~ 1, entonces tp no tiene puntos fijos.

ex

Lema 6.3 Sean (Xl' PI) Y 2 , P2) espacios recubridores de X y Xi E Xi, 2!- puntos tal~s que p ¡ (Xl) = P2 (x 2 ). Entonces existe un hOTf}:lJmorfismo de jX l , PI) en (X 2 , P2) tal que tp(x I ) = x2 ' si y sólo si Pl*1t(X l , Xl) e

= 1,

P2,1t(X

O'

x

0 )·

.

"Es ;n caso particular del teorema 5.1.

Corolario 6.4 (Xl' PI) sobre P2 'l' 1t 2 , x2 )·

ex

Con las hipótesis del lema 6.3, existe un isomorfismo tp de p,,) tal que tp(x l ) = X2, si y sólo si Pl'k1tCXl' Xl) = o,

ex

--

Es una consecuencia del lema 6.3, de la definición de isomorfismo, y del corolario 6.2.

Corolario 6.5 Sea (X, p) un espacio recubridor de X y Xl' x2 E p-l(X,), donde Xo E X. Existe un automorfismo tp E A(X, p) tal que tp(x¡) = x2 si y sólo si p,,1t(X, x) = p*n(X, x 2). Es un caso particular del Corolario 6.4. Teorema 6.6 Los espacios recubridores (XI' PI) y~ (X 2, P2) d~ X son isomorfos si y sólo si para todo par de P70tos x¡ E X, y~ i.\ E X'l tales que PI (XI) = P2(X 2) = xu' los subgrupos PI." n(X I, Xl) y P2*1t(X 2 , x2 ) pertenecen a la misma clase de conjugación en n (X, x o).

Homomorfismos y automorfismos de espacios recubridores

159

Se deduce directamente del corolario 6.4 y del teorema 4.2. Este teorema demuestra que la clase de conjugación de los subgrupos mencionados en el teorema 4.2 determina completamente, salvo isomorfismos, un espacio recubridor. DEMOSTRACIÓN:

ex!,

Lema 6.7 Sean P,) y (X 2 , P2) espacios recubridores de X, y _cp un homomorfismo deL primer e~pacio recubridor en eL segundo. Entonces (Xl' cp) es un espacio recubTidor de X 2 • DEMOSTRACIÓN: Observemos, en primer lugar, que todo punto x E:: X posee un entorno abierto U arco-conexo que es un entorno elemental de x, simultáneamente para cada uno de los espacios recubridores. Un tal entorno puede obtenerse eligiendo entornos abiertos ª-e x, U, y _U 2 , que sean entornos elementales para los espacios recubridores (X" p,) y (X 2 , pJ respectivamente, y entonces tomar como U la arco-comp0l2.ente de !J, n U 2 que contenga a x. _ Probemos ahora que cp aplica X, sobre X 2 • Sea y un punto arbitrario de X 2 ; tenemos que demostr~r que existe un punto x E:: X, tal que cp(x) = y. Elijamos un punto base xLE:: X , Y pongamos X 2 = cp(x,), X o = p,(x,) = P2(X 2 ). Elijamos un camino j en X 2 con origen x 2 y extremo y, y designemos por 9 = P.J el camino imagen en X. Por el lema 3.1 existe un único camino h en Xl coñ origen Xl y tal que p,h = g. Designemos por X el extremo de h. Entonces los caminos cph y j tienen ambos el mismo origen y P2cph = 9 = P.'!, de donde cph = j, en virtud de la unicidad dada por el lema 3.1. Por tanto ~(x) = y. Es inmediato ahora cómo elegir un entorno elemental de un punto arbitrario z E:: X". Se toma primero un entorno U de x = p" (z) que sea elemental para los dos espacios recubridores y luego la componente W de P2 -, (U) que contenga a z. La demostración de que W verifica las propiedades requeridas es C.Q.D. fácil. Sea (X, p) un espacio recubridor de X tal que X sea simplemente conexo. Si eX', p') es cualquier otro espacio recubridor de X, entonces, por el lema 6.3, existe un homomorfi~mo cp de (X, p) sobre (X', p'), y, P,2.r el lema qu~ acabamos de demostrar, (X, cp) es un espacio recubridor de X'; es decir, X puede servir como espacio recubridor de cualquier espacio recubridor de X. Por esta razón, un espacio recubridor simplemente conexo, tal como eX, p), se llama espacio recubridor universal, o más brevemente, un recubrimiento universaL En virtud del teorema 6.6, dos recubrimientos universales de X son isomorfos.

Ejercicios 6.1 Probar que, si X es un espacio simplemente conexo y (X, p) es un espacio recubrid9r de X, entoncés p es un homeomorfismo de X sobre X. 6.2 Determinar todos los espacios recubridores (salvo isomorfismos) de cada uno de los siguientes espacios: la circunferencia S'; el plano proyectivo P; el subconjl;!nto del plano {(x, y) E R' : 1 ~ x' + y' ~ 41. Dar explícitamente un espacio recubridor (X, p) en cada clase de isomorfia. (SUGERENCIA: Considerar los ejemplos de la sección 2.)~ 6.3 Sea X un espacio topológico cuyo grupo fundamental sea abeliáno. Si (X,. p,) Y

160

Espacios recubridores

y ex" pJ son espacios recubridores de X, definimos óL p,) 2:: ex" p,) si y sólo si existe un hom¿morfismo de (X" PI) sobre (X" p,). Probar que esta -;elación es transitiva y reflexiva, y que si (XI' p,) ~ (X" p,) y (X" p,) ~ CX" p), entonces (X" PI) Y (X" p,) son isomorfos. Finalmente probar que cualesquiera dos espacios recubridores de X tienen una mínima cota superior y una máxima cota inferior respecto esta relación de orden parcial. [NOTA: Este resultado es totalmer¡te falso si omitimos la hipótesis de que TI(X) sea abeliano.] (Ver Lema 10.1.) 6.4 Sea

un diagrama conmutativo de espacios y aplicaciones continuas. Supongamos que (X, p) es un espacio recubridor de Y, y (X, q) un espacio recubridor de Z. Probar que (Y, r) es un espacio recubridor de Z. (INDICACIÓN: Sea U Z un entorno elemental para el espacio recubridor (X, q) y V una arco-componente de r-'(U). Aplicar el lema 2.1 a V, considerado como subespacio de y). 6.5 Sea X un espacio que admita un recubrimiento universal. Si (X" p,) es un espacio recubridor de 'x y (X" p,) un espacio recubridor de XI' entonces (X" p,p,) es un espacio recubridor de X.

e

7

La aCClOn del grupo -re(X, x) sobre el conjunto p-l(X}

Para estudiar más a fondo el grupo de automorfismos de un espacio recubridor p) de X, definimos, para cada x E X, una acción del grupo 1dX, x) sobre el conjunto p-l (x); es decir, hacemos operar -re (X, x) por la derecha sobre el conjunto p-l(X). La definición es muy natural y sencilla; depende de los lemas 3.1 y 3.3 sobre elevación de caminos.

ex,

Definición Sea (X, p) un espacio recubridor de X, y x E X. Para todo punto x E p-l (x) y todo IX E -re (X, x), definimos x . IX E p-l (x) como sigue: en virtud de los lemas 3.1 y 3.3, existe una única clase de caminos fi en X tal que P.y. (a) = IX Y el origen de fi es el punto X. Definimos x . ti. como el extremo de la clase de caminos Oi. Dej amos al lector la comprobación de las fórmulas: (x . a) . (3 = X . (a . (3),

(5.7-1)

=

(5.7-2)

X' 1

X.

Estas condiciones son exactamente las que ha de cumplir -re(X, x) para que sea un grupo de operadores por la derecha sobre el conjunto p-l(X) (véase Apéndice B). Para probar que el grupo -re(X, x) opera transitivamente sobre el con-

acción del grupo

x) sobre el

p-l consideremos x(» E p-l que hemos supuesto X arco" conexo, existe una clase de caminos ¿¿ en con origen x() y extremo Sea (J. = p * Entonces (J. es una clase de equivalencia de caminos y obviamente Xo • (J. = xl' como queríamos demostrar. Así pues, el conjunto p-l(X) es un n x)-espacio homogéneo por la derecha (tal como se define en el Apéndice B). A partir de esta definición vemos inmediatamente que,para todo punto E p-I (x), el subgrupo de isotropia correspondiente a este punto es precisamente el subgrupo P" n eX, x) de n x). Por tanto, como n x)-espacio por la derecha, p-l(X) es isomorfo al espacio de clases laterales n(X, x)/p* nCil, X), yel ~úmero de hojas del espacio recubridor es igual al índice del subgrupo p* n(X, x). Tenemos ahora el siguiente importante resultado, que establece una conexión entre el grupo de automorfismos de un espacio recubridor y la acción de n(X, x) sobre p-l(X).

x

Pr([}p~[)sici(jln 7.1 y todo

(J.

Para todo automorfismo
E n(X, x), ¡o(x' O/)

= (¡ox)' O/;

es decir, cada elemento

es decir,

162

Espacios recubridores

en el grupo de automorfismos del TI por la derecha Además, se deduce del lema 2.1 del Apéndice corolario 6.5 que la aplicación q¡ ---+ q¡1 p-l es un epimorfismo de , sobre el grupo de automorfismo de p-l (x). De donde resulta el teorema enunciado. C.Q.D.

p-l

Corolario 7.3 Para todo punto x E:: X Y todo E:: p-l (x), el grup.9 de automorfismos A(X, p) es isomorfo al grupo cociente N[p*x)J!p* TI eX, donde N[p" TI(X, x)] denota el normalizador del subgrupo P* TI x) en TI x). Este corolario se obtiene al aplicar el teorema 2.2 del Apéndice B al teorema 7.2. Una clase particularmente importante de espacios recubridores la forman aquellos para los cuales P* TI (X, x) es un sub grupo normal de TI(X, x). [Obsérvese que esta condición es independiente de la elección del punto x E:: p-l (x)]. Un tal espacio recubridor se llama regular.

7.4 Si (X, p) es un espacio recubridor regular de X, entonces p) es isomorfo al grupo cociente TI (X, x)/p* TI (X, x) para x E:: X Y x E:: p-l (x) cualesquiera.

A

Resulta del corolario 7.3, ya que, en este caso, N[p-l'TI(X, x)] = TI(X, x). Este corolario se aplica en particular a los recubrimientos universales: Corolario 7.5 Sea (X, p) un recubrimiento universal de X. Entonces, A(X, p) es isomorfo a TI (X), y el orden del grupo TI(X) es igual al número de hojas del espacio recubridor (X,p).

Ejemplos 7.1 Consideremos el espacio recubridor (R., p) del círculo S" definido por p(t) = (sen t, cos D, para todo tE R (véase ejemplo 2.1). Puesto que la recta real R es contráctil, es simplementé conexa. Por tanto (R, p) es un recubrimiento universal de S', y podemos aphcar el corolario' 7.5. Determinemos el grupo de automorfismos de este espacio recubridor. De la periodicidad de las funciones sen·t y cos t, resulta que la «traslación» Tn : R -> R definida por T~(t) = t + 2n1l: es un automorfismo, para todo n. Más aún, es claro que, si x es un punto cualquiera de S' y t, Y t 2 son dos puntos arbitrarios de p-' (x), entonces existe un entero n tal que TnCt,) = t,. Esto implica que todo automorfismo del espacio recubridor (R, p) es una de estas traslaciones (véase lema 6.1 y corolario 6.2). Puesto que el grupo de todas estas traslaciones {Tn : n E Z 1 es evidentemente cíclico infinito, hemos demostrado de nuevo que 1I:(S') es cíclico infinito. En la demostración de la segunda parte de este resultado en la sección II.5, se usaban ya, aunque de manera encubierta, algunas de las ideas de la teoría de Espacios recubridores. En efecto, la noción de argumento a(z), para todo z E S" contiene implícitamente la de espacio recubridor (R, p) de S'; y el razonamiento expuesto para definir el grado de un camino cerrado de S' lleva consigo la elevación de dicho camino de S' al espacio recubridor (R, p). 7.2 Designemos por p : S2 -> P la aplicación natural de la 2-esfera en su espacio cociente, el plano proyectivo; entonces (S', p) es un espacio recubridor de P (véase ejem-

Espacios recubridores

y espacios cocientes

plo 2.5), y, puesto que S' es simplemente conexo, es un recubrimiento universal. Puesto que es un espacio recubridor de dos hojas, el grupo fundamental n S" T(x, y, z) = (-x, -y, -z).

7,1 Sea p : O- 7 G un homomorfismo continuo de gruPlls topológicos tal que CO, p) sea un espacio recubridor de G. (Se supone, desde luego, que tanto G como O son ambos conexos y localmente arco-conexos.) Designemos por K el núcleo de p; entonces K es un sub grUpo discreto de O contenido en el centro (véanse los ejercicios de la sección 5). Para cada elemento k E K definimos una aplicación
8

Espacios recubrid ores regulares y espacios cocientes

Sea (X, p) un espacio recubridor de X; puesto que p es una aplicación abierta, X tiene la topología cociente inducida por p (véase Apéndice Así pues, podemos considerar X como obtenido a partir de X por un proceso de identificación de ciertos puntos: para cada x E X, todos los puntos del conjunto p-l (x) se identifican a un solo punto. Recordemos que el grupo de automorfismos A (X, p) permuta los puntos del conjunto p.:l (x) !ntre sÍ. Sin embargo, en general, no es cierto que el espacio cociente X/A (X, p) sea naturalmente homeomorfa a X, ya que pueden existir puntos distintos Xl, X2 E p-l(X) para los cuales no exista ningún automorfismo q> E A (X, p) tal que q>(Xl) = xz; en otras. palabras, el grupo de automorfismos A (X, p) no tiene por qué operar transitivamente sobre p-l (x). En efecto, tenemos el siguiente lema:

Lema 8.1 Sea (X, p) un espacio recubridor de X. El grupo de automorfismos A (X, p)15pera transitivamente sobre p-l(X), x E X, si y sólo si (X, p) es un espacio recubridor regular de X. Es una consecuencia inmediata del teorema 4.2 y del corolario 6.5. Consecuencia de este lema es que, si (X, p) es un espacio recubridor regular de X, entonces X es naturalmente homeomorfo al espacio cociente XjA(X, p).Esto nos lleva a la siguiente cuestión bastante natural: Sea Y un espacio topológico y G un grupo de homeomorfismos de Y. Designemos por p : Y --+ Y /G la proyección natural de Y sobre un espacio cociente. ¿En qué condiciones (Y, p)es un espacio recubridor regular de Y /G con G = A(Y, p)? En primer lugar, es natural que deban satisfacerse algunas condiciones necesarias. Por ejemplo, si (X, p) es un espacio recubridor regular de X, entonces A (X, p) actúa sobre X sin puntos fijos (éste es el contenido del corolario 6.2). Por consiguiente la órbita de todo punto x E X por la acción del grupo A(X, p) (es decir. el conjunto de puntos {q>(x) : q> E A(X, p) }), es un subconjunto cerrado

164

Espacios recubridores

discreto de Incluso se verifica la siguiente condicIón más fuerte: todo punco i! E X tiene un entorno U tal que los conjuntos ep(U), ep E A(X, p), son disjuntos dos a dos (podemos elegir U como una de las componentes de la imagen inversa de un entorno elemental apropiado en X). Un grupo de homeomorfismas que satisfaga esta condición se dice que es propiamente discontinuo.Obsérvese que un ,grupo propiamente discontinuo de homeomorfismos carece de puntos fijos. Resulta que esta condición necesaria es también sufici~nte.

Proposición 8.2 Sea Y un espacio topológico conexo y localmente arcoconexo, y G un grupo propiamente discontinuo de homeomorfismos de Y. Designemos por p: Y -+ Y /G la proyección natural de Y sobre su espacio cociente. Entonces (Y, p) es un espacio recubridor regular de Y /G, y G = A(Y, p). DEMOSTRACIÓN: Sea x E Y/G; tenemos que demostrar que x posee un entorno elemental. Elegimos un punto y E Y tal que p(y) = x. Por hipótesis existe un entorno N de y tal, que los conjuntos ep(N), ep E G, son dos a dos disjuntos. Puesto que Y es localmente arco-conexo, existe un entorno abierto arcoconexo V de y tal, que VeN. Sea U = p(V). Vamos a ver que U es un entorno elemental de x. Puesto que p es una aplicación abierta (véase sección 1 del Apéndice A), U es un conjunto abierto, y además claramente arco-conexo. Es inmediato también que p aplica V continua y biyectivamente sobre U; y puesto que p es una aplicación abierta, es un homeomorfismo de V sobre U. Sea W una componente arbitraria de p-l(U) diferente de V; entonces existe un ep E G tal que W = ep(V). Puesto que ep es un homeomorfismo de V sobre W, y p = Pep, resulta que p aplica también W hom~omórficamente sobre U. Así pues, U es un entorno elemental de x, y (Y, p) un espacio recubridor de Y /G. Es obvio que todo ep E G es un automorfismo de (Y, p); por tanto, G e A(Y, p). La hipótesis de que G sea un subgrupo p1'Opio de A (Y, p), implica fácilmente que A(Y, p) contiene elementos con puntos fijos. Por tanto, G = A(Y, p). Finalmente del lema 8.1 resulta que (Y, p) es un espacio recubridor regular de Y /G. C.Q.D.

Daremos ahora algunos ejemplos sencillos de este teorema.

Ejemplos Sea Y = R la recta real, y, para cada entero n, definamos R por Sea G = ¡

= x + n.

Espacios recubridores

y espacios cocientes

165

identidad; por tanto, T genera un grupo G de homeomorfismos de S" que es un grupo cíclico de orden 2. Es obvio que G es un grupo propiamente discontinuo de homeomorfismos; por tanto. S" es un espacio recubridor del n-espacio proyectivo real S"IG. Puesto que S" es simplemente conexo. es un recubrimiento universal, y el grupo fundamental de un n-espacio proyectivo real es cíclico de orden 2 (véase ejemplo 7.2 para el caso n=2).

8.1 Sea Y un espacio de Hausdorff y G un grupo finito de homeomorfismos de Y tal que todo elemento cp ~ 1 de G carezca de puntos fijos. Probar que G es un grupo propiamente discontinuo de homeomorfismos. 8.2 Sea Y un grupo topológico y G un sub grupo discreto de Y. Probar que existe un entorno U del elemento neutro tal que los conjuntos g . U. para g E G. son dos a dos disjuntos. (NOTA: g. U = Ig . X ; X E U J). INDICACIÓN: Tomar un entorno V del elemento neutro tal que V n G = f 1}. Entonces probar que existe un entorno U del elemento neutro tal que Ix. y-' : x, y E uJe v. 8.~ Sea Y un grupo topológico y G un subgrupo discreto. Designemos por Y IG el espacio de clases laterales {G . Y : Y E y J con la topología cociente. y por p : Y --> Y /G la proyección natural. Probar que (Y, p) es un espacio recubridor regular de Y IG con A(Y, p) = G. donde G opera sobre Y multiplicando por la izquierda. (INDICACIÓN: Usar el resultado del ejercicio 8.2 y la proposición 8.2,) Obsérvese que el ejemplo 8.1 es un caso particular de este ejercicio.

Concluimos esta sección con dos ejemplos que nos ilustrarán algunas de las posibilidades de la proposición 8.2. En el primer ejemplo, se demuestra que el espacio cociente Y jG no tiene por qué ser de Hausdorff, aun cuando el espacio Y verifique todos los axiomas de separación. Damos un ejemplo de esto en el caso en que Y es el plano euclídeo R2 y G un grupo propiamente discontinuo de homeomorfismos de R2 cíclico infinito.

Ejemplos 8.3 Empecemos considerando el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en el plano (x, y):

dx dt dy

dt

= sen x.

Se ve fácilmente que las' curvas integrales son las curvas

y = sec

X

+e

para los distintos valores de la constante de integración C. y las líneas verticales X

(n

+ t)7r

166

Espacios recubridores

e

I I

3

-'Ir

-2"/T

e -t7r

FIGURA 5.2 Diagrama para los ejemplos 8.3 y 8.4.

----t-----

167

Espacios recubi'idores regulares y espacios cocientes

para todo entero 1L Podemos considerar este sistema de ecuaciones diferenciales como las ecuaciones del movimiento de una partícula en el plano; t representa el tiempo, y (x, y) son las coordenadas de la partícula en el instante t. La partícula debe moverse a lo largo dé una de las curvas integrales. El que se mueva sobre una curva u otra depende de la posición inicial. Mediante esta ecuación diferencial, definiremos una operación del grupo aditivo de los números reales, R, sobre el plano euclídeo. Para todo número real t y todo punto (x, y) del plano, definimos t . (x, y) como la posición en el instante t de la partícula que estaba en el punto (x, y) en el instante O. Se tiene 8 .

+ t) . (x,

[t . (x, y) 1

(8

Q·(x,y)

(x, y).

y),

Además, la aplicación R X R' -+ R' definida por (t, (x, y» -+ t . (x, y) es continua (es incluso diferenciable), como resulta de los teoremas corrientes sobre ecuaciones diferenciales. Es también inmediato que R opera sobre el plano sin puntos fijos. Consideremos ahora la acción del subgrupD Z de R sobre el plano; obtendremos así el ejemplo deseado. Probamos primero que la acción de Z sDbre R' es propiamente discontinua. Dado un punto arbitrario P = (x, y), sea C la única curva integral que pasa por P. Sean C, y C, dos curvas integrales próximas, una por cada lado de C. Sea T o una curva suficientemente regular que pase por P y sea ortogonal a todas las curvas integrales entre C, y C, Para todo número real t, pongamos T, = t . T o• Sea U un entorno de P acotado por T~1/3J T+!/3J Y las curvas e, y C,. Entonces se ve fácilmente que los sucesivos «trasladados» de U

{n' U: n E Z} son dos a dos disjuntos. Vamos a probar ahora que el espacio cociente no es de Hausdorff. Consideremos los puntos del plano

Demostraremos que sus imágenes en el espacio cociente R'iZ no poseen entornos disjuntas. Para ello basta probar que, dados entornos arbitrarios N, de P, y N, de P" existe un punto de N, equivalente, por la acción del grupo Z, a un punto de N,. En efecto, consideremos para cada número pequeño a > O, los dos puntos « ni2) - a, O) y (- (ni2) + a, O). Estos dos puntos están evidentemente sobre una misma curva integral. ¿Durante cuánto tiempo se ha de desplazar, a lo largo de una curva integral, una partícula situada en el punto ( - (ni2) + a, O) para que llegue al punto «ni2)- a, O)? Para calcularlo basta calcular durante cuánto tiempo se ha de desplazar su proyección sobre el eje x desde la primera posición a la segunda. Puesto que dxidt = cos' x, el tierno en cuestión viene dado por la integral

!

Úr/2)-a

dx

- ("./2) +a COs 2 X

[ t an x

2 tan

J

("./2)-a

-("./2)+a

168

Espacios recubridores

De esta fórmula, que nos da el tiempo transcurrido, podemos sacar varias conclusiones: (1) El tiempo transcurrido es una función, continua de a. (2) Cuando a -'> 0, el tiempo transcurrido la tiende a + oo. (3) Para todo número E> 0, hay infinitos valores de a tales que O
Recordemos que los puntos «-11:/2) - a, O) y (- (n/2) + a, O) son equivalentes si y sólo el tiempo transcurrido l, es entero. A partir de esto se deduce fácilmente la conclusión deseada. 8.4 Damos ahora un ejemplo 1 de un grupo cíclico infinito de homeomorfismos que actúan sin puntos fijos sobre un buen espacio de manera que la «órbita» de cada punto es un subespacio discreto y cerrado, i pero la acción no es propiamente discontinua! Este ejemplo es una muestra de que la condición de que G sea propiamente discontinuo en la proposición 8.2 es muy fuerte. Consideremos la acción del grupo Z de los enteros, sobre el plano euclídeo R', que acabamos de describir. Todo elemento del grupo Z aplica la banda infinita SI

s =

{(X,

y) : -

~ ~ X ~ + ~}

en sí misma. Formamos ahora el espacio cociente de S obtenido al identificar los puntos (n/2, y) Y (-n/2, -y), para todo número real y. El espacio cociente es una banda de M6bius sin borde (una superficie no compacta). Además, se ve fácilmente que la acción del grupo Z sobre S es compatible con las identificaciones, y, por tanto, Z actúa sobre el espacio cociente. Evidentemente que Z opera sin puntos fijos sobre la banda de M6bius abierta, y que la órbita de todo punto x (es decir, el conjunto de todos los puntos n . x para n E Z) es un sUbconjunto cerrado y discreto. El razonamiento del último ejemplo para demostrar que el espacio cociente no era de Hausdorff, puede aplicarse a este ejemplo para demostrar que el punto (n/2, O) [que está identificado con el (-n/2, O)], no tiene ningún entorno U tal que los conjuntos n . U, para n E Z, sean dos a dos disjuntos. Por tanto, la acción del grupo sobre la banda de M6bius no es propiamente discontinua.

9

Aplicación: El teorema para la 2-esfera

Borsuk-Ulam

Como de costumbre, designamos por Sn la n-esfera unidad de Rn+l:

Sn = {x E Rn+1 : Ixl =

11.

Para cada par de enteros positivos m y n, diremos que una aplicación f: S/1l--. Sn conserva antípodas si f(- x) = - f(x), para todo x E Sin. El siguiente teorema muy conocido, debido a los matemáticos polacos K. Borsuk y S. Ulam, tiene muchas consecuencias interesantes.

Teorema 9.1 No existe ninguna aplicación continua f que conserve antípodas.

1

Este ejemplo fue sugerido al autor por Joseph Auslander.

Sn --. Sn-l (n

rel="nofollow"> O)

169

Aplicación: El teorema de Borsuk-Ulam

Probaremos este teorema sólo para n ~ 2. Antes de dar la demostración indiquemos y probemos algunos corolarios interesantes. Corolario 9.2 Supongamos que f : Sn -+ Rn es una aplicación continua tal que f(- x) = -f(x) para todo x E Sn. Entonces existe un punto x E Sil tal que f(x) =

o.

DEMOSTRACIÓN: Supongamos, por el contrario, que f(x) Para cada x E Sn definimos

g(x)

;;é

O para todo x E Sil.

j(x) Ij(x) I

Entonces, g es una aplicación continua Sn contra del teorema 9.1.

-+

Sn-\ que conserva antípodas, en

Corolario 9.3 Supongamos que f : S" -+ R" es una aplicación continua. Entonces, existe un punto x E Sn tal que f(x) = fe-x). En particular f no es inyectiva. Supongamos, por el contrario, que, para todo punto x E S", Definimos g(x) = f(x) - fe-x). Entonces, g(-x) = - g(x), y O para todo x, que contradice el corolario 9.2.

DEMOSTRACIÓN:

f(x) g(x)

;;é ;;é

f(-x).

Corolario 9.4 No existe ningún subconjunto de Rn homeomorfo a Sil. Es una consecuencia inmediata del corolario 9.3. Existe otra interpretación interesante del corolario 9.3. Si f : Sn -+ Rn es una aplicación continua, podemos escribir

j(x) = (h(x), ... , jn(X» donde f , (x), ... , f,,(x) son funciones reales continuas sobre S". En consecuencia, podemos reformular el corolario en los siguientes términos: Sean f f 2 , oo. fn

funciones reaLes continuas sobre S". Entonces existe un punto x E Sn" tal que f¡(x) = f¡(-x) para i = 1, ... , n. Por ejemplo, si f , (x) y f 2 (x) representan la

temperatura y la presión barométrica en un cierto instante en un punto arbitrario x de la superficie terrestre, y suponemos que tanto la temperatura como la presión barométrica varían con continuidad sobre la superficie de la tierra, entonces podemos afirmar que existe un par de puntos antipodales en la superficie de la Tierra i que simultáneamente tienen la misma temperatura y la misma presión! Este teorema es topológico por excelencia; en su enunciado y demostración sólo aparecen hipótesis topológicas.

170

Espacios recubridores

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 9.1: Caso n ~ 2. Si n = es trivial, ya que S' es conexo y So no lo es. Nos centraremos, por tanto, al caso n = 2. La demostración es por reducción al absurdo; supongamos que existiera una aplicación continua f : S2 -7 S' que conserve antípodas. Consideremos los espacios cocientes de S2 y S' obtenidos al identificar puntos diametralmente opuestos. Estos espacios son, respectivamente, el plano proyectivo real p", y un espacio que es de nuevo homeomorfo a S'. Designemos por P 2 : S2 -7 P 2 -y PI : S' -7 S' las aplicaciones naturales de cada uno de estos espacios sobre sus cocientes. Puesto que f conserva antípodas, induce una aplicación continua 9 : P 2 -7 S' que hace conmutativo el siguiente diagrama:

S2 ~ Si

lp2 P2

lpl --7 g

SI

Obsérvese que (S2, P 2 ) y (S', P,) son espacios recubridores de dos hojas, de P 2 y S' respectivamente, como resulta de la proposición 8.2 (tomando G como un grupo cíclico de orden 2). Llegaremos ahora a una contradicción razonando sobre el homomorfismo

inducido en los grupos fundamentales. Por una parte, sabemos que re (P 2) es cíclico de orden 2, y re (S1) cíclico infinito. Por tanto, por motivos puramente algebraicos, el homomorfismo 9 ¡, debe ser trivial. Por otra parte, designemos por a una clase de equivalencia de caminos de S" tal que sus extremos sean puntos antipodales de S". Puesto que f conserva antípodas, los extremos de f>l- (a) son puntos antipoda1es de S'. Pero P 2 '" (a) y Pl'f.f.y. (a) son caminos cerrados de P 2 y S" y por tanto representan elementos de los grupos fundamentales re (P 2) Y re (S') respectivamente. Considerando la acción de los grupos fundamentales re (P 2' X o) y re (SI, Y II ) sobre los conjuntos P2 -'(x o ) y Pi-ley,,) respectivamente (véase sección 7)~ se ve en seguida que P2 *(a) ~ 1 Y p ,f *(a) ~ 1. Resulta entonces de las definiciones, que P2,,(a) Y " p, *f>l- (a) no operan trivialmente sobre estos conjuntos. Entonces, por la conmutatividad del diagrama anterior

Por tanto, 9 * aplica Pz*(rx) sobre P1>l-f;«a), en contradicción con la trivialidad de g",. C.Q.D. Es evidente que para demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer (véase Capítulo II) y el teorema de Borsuk-Ulam en los casos en que n > 2, nece-

Teorema de existencia de espacios recubridores

171

sitaremos estructuras análogas del grupo fundamental en dimensiones res. El grupo fundamental es esencialmente un invariante 1- dimensional y no será suficiente para nuestros propósitos. Es uno de. los objetivos más importantes de la Topología algebraica, desarrollar una teoría completa de tales estructuras análogas al grupo fundamental en dimensiones superiores, y aplicarlas a la obtención de teoremas como los de Brouwer y Borsuk-Ulam.

9.1 Generalizar el razonamiento usado en la demostración del teorema de BorsukUlam de la siguiente manera: Sean X e Y espacios conexos y localmente arco-conexos, G un grupo que opere por la izquierda sobre X e Y, que sea un grupo propiamente discontinuo de homeomorfismos de cada uno de ellos, y f : X -t Y una aplicación continua G-equivariante (para la definición véase Apéndice Bl. Designemos por p : X -t X/G y q : Y -t Y /G las aplicaciones naturales, y por 9 : X/G -> Y /G la aplicación inducida por f. Probar que el homomorfismo g*: TI;(X/G) -> 7t(Y /G) induce un isomorfismo entre los grupos cocientes 7t(X/G)/P*7t(X) = 7t(Y/Gl/q,.7t(Y).

10

Teorema

existencia

espacios recubrid ores

Hemos probado que todo espacio recubridor eX, p) de X está deJerminado, salvo isomorfismos, por la clase de conjugación del subgrupo p * 1t (X,;í;) de 1t (X, x). Este resultado da lugar a la siguiente cuestión: Supongamos que tenemos un espacio topológico X y una clase de conj ugación de subgrupos de 1t (X, x), ¿ existe un espacio recubridor (X, p) de X tal que P,~1t(X, ;í;) pertenezca a la clase de· conjugación dada? Demostraremos que esta pregunta puede ser respondida afirmativamente, supuesto que X verifique algunas hipótesis adicionales. Probemos, primero, que basta considerar este problema en el caso particular en que la clase de conjugación dada conste únicamente del subgrupo tri· vial {1}.

Lema 10.1 Sea X un espacio topológico que admita un recubrimiento universaL Entonces, para toda clase de conjugación de subgrupos de 1t(X, x), existe un espacio recubridor (X, p) de X tal que P .. 1t(X, ;í;) pertenece a la clase de conjugación dada. DEMOSTRACIÓN: Sea (Y, q) un recubrimiento universal de X; esto es, Y es simplemente conexo. De acuerdo con lo establecido en la sección 7, 1t(X, x) opera transitivamente por la derecha sobre el conjunto q-l (x), y puesto que Y es simplemente conexo, opera sin puntos fijos. Por tanto, el grupo de automorfismos A(Y, q) es isomorfo a 1t(X), y opera transitívamente sin puntos fijos por la izquierda sobre el conjunto q-l(X). Elijamos un punto y E q-l(X) y un subgrupo G de 1t(X, x) que pertenezca a la clase de conjugación dada. Sea H el subgrupo de A(Y, q) definido de la siguiente manera:

172

L~,¡.;UC'tU~

recubridores

Puesto que H es un subgrupo de A(Y, es un grupo propiamente discontinuo de homeomorfismos de Y. Designemos por el espacio cociente Y IH, por r : Y -l> X la proyección natural, y por p : X -l> X la aplicación inducida por q : Y -l> X. Entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

y

.r;x~ ~ x/p

Por hipótesis, (Y, q) es un espacio recubridor de X, y por la propOSlClOn 8.2, (Y, r) es un espacio recubridor de X. Un sencillo razonamiento nos muestra. que (X, p) es un espacio recubridor de X (véase ejercicio 6.4). Puesto que (X, p) es un espacio recubridor de X, el grupo 7t(X, x) opera por la derecha sobre el conjunto p-l(X). Sea X = rey) E p-l(X). Resulta de la construcción de X, que el subgrupo de isotropía de 7t(X, x) correspondiente al punto x es precisamente el subgrupo G. Pero esta condición equivale a que p -l< 7t(X, x) = G (véase sección 7). C.Q.D. COI1sideremos ahora el siguiente problema: Dado un espacio topológico X, ¿ admite siempre un recubrimiento universal? Deduzcamos, en primer lugar, una condición necesaria bastante simple. Sea (X, p) un recubrimiento universal de X, x un punto arbitrario de X, x un punto de p-l(X), U un entorno elemental de x, y V la componente de p-l(U) que contiene el punto x. Tenemos, entonces, el siguiente diagrama conmutativo de grupos fundamentales:

1f(V, x) (plV)*

-l>

1f(X, x)

1

1

p* •

1f(U, x) -¿ 1f(X, x)

'* Puesto que p I V es un homeomorfismo de V sobre U, (p I V) * es un isomorfismo. Obsérvese también que, por hipótesis, 7t(X, x) = {1}. De esto y de la conmutatividad del diagrama se deduce que i * es un homomorfismo trivial; es decir, imagen de i-l< = {1}. Por consiguiente, el espacio X tiene la siguiente propiedad: Todo punto x E X posee un entorno U tal que el homomorfismo 7t(U, x) -+ 7t(X, x) es triviaL Un espacio con esta propiedad se llama semilocal- . mente simplemente conexo. 2 Esta definición puede también redactarse en los siguientes términos: Un espacio X es semilocalmente simplemente conexo si y

2

Este nombre es bastante largo y embarazoso, pero describe exactamente la propiedad en cuesfión. Es un concepto intermedio entre el de simplemente conexo ordinario y el de localmente simplemente conexo, propiamente dicho (que no consideraremos en este libro). Más aún. el uso de este nombre está avalado por muchos años de común aceptación.

Teorema de existencia de espacios recubridores

173

sólo si cada x'c X admite un entorno U tal que todo lazo en U puede contraerse a un punto en X. Damos a continuación un ejemplo de un espacio que es conexo y localmente arco-conexo, pero no es semilocalmente simplemente conexo. Para cada entero positivo n, pongamos

en

=

{(X,

y) E R2 :

es decir, en es un círculo de radio l/n con centro en el punto (l/n, O). Designemos por X la unión de los círculos en, para todo entero positivo n. Entonces X no es semilocalmente simplemente conexo; el punto (O, O) no posee ningún. entorno que verifique la propiedad requerida. Afortunadamente, la mayoría de los espacios topológicos que surgen en los problemas de otras ramas de la Matemática, en los que aparecen espacios recubridores, son semilocalmente simplemente conexos. Por ejemplo, todas las variedades y las variedades con borde tienen esta propiedad. Probaremos ahora que esta condición necesaria para la existencia de un recubrimiento universal, es también suficiente.

Teorema 10.2 Sea X un espacio topológico conexo, localmente arco-conexo y semi localmente simplemente conexo. Entonces, para toda clase de conjugación

de subgrupos de 1t(X, x), existe un espacio recubrídor eX, p) de X que corresponde a la clase de conjugación dada [es decir, tal que P*1t(X, x) pertenece a la clase de conjugación dada]. DEMOSTRACIÓN: En virtud' del lema 10.1, basta probar que X admite un recubrimiento universal. Lo haremos por una construcción directa. Para motivar esta construcción intentamos describir cómo podría haberla descubierto un antiguo topólogo. Supongamos por el momento que X admite un recubrimiento universal eX, p). Elijamos un punto base :Eo E g, Y pongamos Xo = p(xo). Puesto que X es arco-conexo, para todo punto y E X existe una clase de caminos o: con origen Xo y extremo y. Puesto que X es simplemente conexo, esta clase de caminos es única. Consideremos ahora la función que asigna al punto y la clase de caminos p"" (o:) de X. En virtud de los lemas 3.1 y 3.3 se trata de una aplicación biyectiva de Y sobre el conjunto de clases de caminos de X con origen xI)' Por tanto, podemos identificar los puntos de X con las clases de caminos de X con origen el punto x O' Esta simple observación es la base de la siguiente demostración. Sea X o un punto de X. Definimos X como el conjunto de todas las clases de equivalencia de caminos o: de X que tienen X o como origen. Definimos una función p : X ---'> X poniendo p(o:) igual al extremo de la clase de caminos 0:. Demostraremos ahora que podemos dotar a X de una topología que lo haga simplemente conexo, y tal que (X, p) sea un espacio recubridor de X.

174

Espacios recubridores

Obsérvese que nuestras hipótesis implican que la topología de X admite una base de conjuntos abiertos V con las siguientes propiedades: V es arcoconexo, y el homomorfismo 1t (V) ---+ 1t (X) (inducido por la inclusión) es trivial. De forma equivalente, todo camino cerrado en V es equivalente (en X) a t¡n camino constante. Por brevedad, convengamos en llamar a un tal abíerto V, un abierto básico. Observemos que si x e y son dos puntos arbitrarios de un abierto básico V, entonces dos caminos cualesquiera f y g de V 'Con origen x y extremo y son equivalentes (en X). Para todo camino a E X y todo abierto básico V que contenga el extremo p(G(), designemos por (G(, V) el conjunto de todos los caminos {3 E X tales que, existe una cl':.se de camino (J.' en V, con 0 = G( . G('. Entonces (G(, V) es un subconjunto de X. Para que la familia de todos estos conjuntos (G(, V) pueda tomarse como base de abiertos de una topología en X, es necesario probar que si, y E (G(, V) n (0, V), entonces existe un abierto básico W tal que (y, W) e (G(, V) n (~, V). Sin embargo, esta demostración es muy simple, pues basta elegir W como_un abierto básico arbitrario tal que p(y) E W e V n v. Entonces, dotamos a X de la topología que admite a la familia de todos estos conjuntos (G(, V) como base de abiertos. Antes de pasar a la demostración de que (X, p) es un recubrimiento universal de X, será conveniente hacer las siguientes dos observaciones: (a) Sea G( E X y V un entorno abierto básico de p(G(). Entonces pi (G( V) es una aplicación biyectiva de (G(, V) sobre V. (b) Sea V un abierto básico cualquiera y x un punto arbitrario de V. Entonces

donde ¡al. 1 designa la totalidad de las clases de caminos de X con origen X o y extremo x. Además, los conjuntos (a" V) son dos a dos disjuntos. La demostración de estas dos observaciones es fácil y puede dejarse al lector. Obsérvese que (b) implica que p es continua. Por tanto, por (a), pi (G(, V) es una aplicación biyectiva continua de (G(, V) sobre V. Veamos que pi (G(, V) es una aplicación abierta de (G(, V) sobre V. En efecto, todo subconjunto abierto de (G(, V) es unión de conjuntos de la forma (~, V), donde V e V, y por tanto (a) implica que p I (G(, V) es abierta. Así pues, p aplica homeomórficamente (G(, V) sobre V. Puesto que V es arco-conexo, también lo será (G(, V). Puesto que los conjuntos (ax, V) que aparecen en (b) son dos a dos disjuntos, resulta que todo abierto básico, V e X, verifica las propiedades requeridas para que sea un entorno elemental. Probemos ahora que el espacio X es arco-conexo. Designemos por ~o E X la clase de equivalencia del camino constante en x". Basta que, para todo punto a E X, encontremos un arco que una los puntos ~o y G(. Para ello, elijamos un camino f: I ---+ X de la clase de equivalencia G(. Para cada número real

El espacio recubridor inducido sobre el subespacío

s E 1, definamos f, : 1 -> X por t E Entonces f, = f y f = camino constante en Xo- Designemos por as la clase de equivalencia del ca~mo f5. Veamos que la ~plícación s -+ as es una aplicación continua I -+ ,es decir, es un camino en X. Para ello tenemos que ver que, para todo s" E 1 y todo entorno. básico U de f(s,), existe un número real o > O tal que si Is - s,,1 < o, entonces as E (as" U). En virtud de la continuidad de f podemos elegir 8 tal que, si Is - sol < o, entonces f(s) E U. En consecuencia, s -+ as es un camino en X con origen Xo y extremo a. Finalmente, probemos que es simplemente conexo. P* 11: (X, :ro) es el subgrupo de isotropía correspondiente al punto :ro por la acción de 11: (X, sobre p-l (x o ) (véase sección 7). Debemos, pues, determinar :ro· a para todo a E 11: (X, XII)' Elijamos un camino cerrado f : 1 -> X en la clase de equivalencia de a, y siguiendo el mismo método del párrafo anterior, definamos el camino s -> as de X. Este camino de X tiene origen :ro y extremo aE X, y es obviamente una elevación del camino 1. Por tanto, :ro . a = a, por la misma definición de la acción de 11: (X, x) sobre p-' (x,,). Por tanto, :ro . a = :ro si y sólo si a = 1, de donde resulta que el subgrupo de isotropía consta únicamente del elemento 1. C.Q.D.

111.1 Probar que, para todo entero positivo n existe una superficie no compacta S y un grupo propiamente discontinuo G de homeomorfismos de S tal que G es un grupo abeliano libre de rango 2n, y S/G es una superficie compacta orientable de género n.

11

El espacio

Sea

(X, p) un espacio recubridor de X,

sobre un subespacio A un sub espacio de X que sea conexo

y localmente arco-conexo, y A una arco-componente de p-l(A). Entonces, según el lema 2.1 (A, p A) es un espacio recubridor de A. Es natural preguntarse, ¿a qué clase de conjugación de subgrupos de 11: (A) corresponde este espacio recubridor? ¿ En qué condiciones p-l (A) es conexo; es decir, A = p-l (A)? 1

Como veremos, estas preguntas tienen respuestas relativamente sencillas. Para fijar la notación, sean fi E A, a = p(fi), p' = p lA : A -+ A, y designemos por i : A -> X la inclusión.

Proposición 11.1 Con las hipótesis anteriores

176

Espacios recubridores

DEMOSTRACIÓN: Probemos primero que p~1l:(A, a) e 1l:(X, a)]. Esto es una consecuencia directa de la conmutatividad del siguiente diagrama:

Probemos ~hora la in¡clusión contraria P"'1l:(A, a)=:J i-,J[p-::.,1l:(X, a)l Sea es decir, existe un elemento ~ E 1l:(X, i'i) tal que i -l< (a) =P.y. (~). Elijamos un camino cerrado f : 1 -+ A que represente a la clase a. En virtud del lema 3.1 existe un único camino 9 : 1 -+ A con origen á y tal que pg = f. En virtud de la unicidad, 9 tiene que pertenecer a la clase de eql!ivalencia ~ E 1l:. eX, i'i); es decir, 9 es un camino cerrado. Designemos por y E 1l:(A, á) la clase de equivalencia de g. Entonces p~(y) = a como se deC.Q.D. seaba.

a E i-¡[p:¡.1l:(X, a)];

Proposición 11.2 Con las hipótesis anteriores, p-l(A) es conexo [es decir, A = p-l(A)] si Y sólo si el subgrupo i*1l:(A, a) tiene elementos comunes con toda cIase lateral del subgrupo p* 1l:(X, i'i). DEMOSTRACIÓN: Haremos uso de las consideraciones de la seCClOn 7. El conjunto p-l(a) es un 1l:(X, a)-espacio por la derecha homogéneo, y p.y.1l:(X, á) es el subgrupo de isotropía correspondiente al punto á. Análogamente el conjunto p'-l(a) = A n p-l(a) es un 1l:(A, a)-espacio por la derecha homogéneo con p* 1l:(A, á) como subgrupo de isotropía correspondiente al punto á. En virtud de la definición de la acción de los grupos 1l:(X, a) Y 1l:(A, a) sobre estos dos conjuntos, se ve fácilmente que, para todo x E p'-l(a) y todo a E 1l:(A, a),

Obsérvese, ahora, que si p-l(A) es conexo, entonces p-l(a) = p'-l(a). ReCÍprocamente, si p-l(a) = p'-l(a), entonces podemos afirmar que p-l (A) es conexo; en efecto, sea x un punto arbitrario de p_l (A) Y f : 1 -+ A un camino con origen p(x) y extremo a. En virtud del lema 3.1 existe un camino 9 : 1 -+ k con origen x tal que pg = f. Entonces el extremo de 9 es un punto de p-l (a) = p'-l(a), y por tanto, un punto de A. Puesto que pg es un camino de A, 9 es un camino de p- 1 (A). Hemos probado, pues, que todo punto de p-l (A) puede unirse a algún punto de A por un camino de p-l(A). Por tanto, p-l(A) es conexo. En vista de esto, debemos estudiar en qué condiciones p-l(a) = p'-l(a). p-l(a), como 1l:(X,a).esp~cio por la derecha homogéneo, es isomorfo al espacio de clases 1l:(X, a)/p *1l: (X, á); análogamente, p'-l(a) es isomorfo a 1l:(A, a)/ p~1l:(A, á) como 1l:(A, a)-espacio por la derecha (véase sección 2 del Apéndice E).

.1. '

El espacio recubridor inducido sobre el subespacio

En de estos isomorfismos, la inclusión p'-l a la aplicación

177 es equivalente

inducida por i.~: a) -+ a), según las consideraciones hechas en el primer párrafo de esta demostración. Así pues, p'-l (a) = p-l (a) si y sólo si esta aplicación entre espacios de clases es exhaustiva. De esto se deduce inmediatamente la condición del enunciado de la proposición. CQ.D. Consideremos ahora algunos ejemplos y casos especiales de este teorema. Mantendremos la misma notación.

Ejemplos 11.1 Supongamos que ex, p) es un espacio recubridor regular de X; entonces (A, p') es un espacio recubridor regular de A. En efecto, si P*"!t(X, iD es un sub grupo normal de "!t(X, a), entonces i",'[p"rc(X, iD] es un subgrupo normal de "!teA, a). Obsérvese que el grupo de automorfismos de Oí, p') puede considerarse como un sub grupo del grupo de automorfismos de ex, p). En este caso, p-'(A) es conexo si y sólo si el homomorfismo de grupos cocientes

inducido por i -r. es un epimorfismo (este homomorfismo es siempre un monomorfismo). Obsérves~ que puede suceder que (A, p') sea un espacio recubridor regular de A incluso cuando (X, p) no sea un espacio recubridor regular de X. 11.2 Supongamos que (X, 1l.) es un recubrimiento universal de X. Entonces p;¡. "!teA, a) es el núcleo de i-r.. Por tanto, A es simplemente conexo si y sólo si i-r., es un mono morfi smo. En virtud de la proposición 11.2, A = p-' (A) si y sólo si i * es un epimorfismo. Así pues, p-'(A) es un espacio recubridor de A simplemente conexo, si y sólo si h es un isomorfismo de "!teA) sobre "!t(X). n.3 Supongamos "!t(X) es el homomorfismo trivial; esto es, imagen í ,¡. = ¡ l).Entonces p' : A -> A es un espacio rec:ubridor trivial; es decir, p' es un homeomorfismo de A sobre A. Así, en este caso, p-'(A) se descompone en arco-componentes, cada una de las cuales se aplica por p homeomórficamente sobre A. Podemos aplicar esto al caso particular en que A sea un conjunto abierto arco-conexo: Resulta, entonces, que si el homomorfismo i*: "!teA) ---> "!t(X) es trivial, A es un entorno elemental de X para todo espacio recubridor (X, p) de X. Este resultado es el que ha motivado la definición de la topología de X, en la construcción usad'! para demostrar el teorema 10.2. 11.4 Si i 7< es un epimorfismo de "!teA) sobre rc(X), entonces, para todo espacio recubridor (X, p) de X, p-'(A) es conexo. 11.5 Si i* es un isomorfismo de rc(A) sobre rc(X), entonces, para todo espacio recubridor Ui, p') de A, existe un espacio recubridor (X, p) de X, tal que (A, p') es isomorfo al espacio recubridor (p-'(A), pI p-'(A). (Supuesto que X sea semilocalmente simplemente conexo). Dicho de otra manera, en estas condiciones todo espacio recubridor de A puede considerarse como la parte sobre A de algún espacio recubridor de X. Así, pues, existe una correspondencia biyectiva natural entre los' espacios recubridores de X y los espacios recubridores de A.

Espacios recubridores

178 Sea X

= S'

X

S' un toro

p(x, y)

=

y

(COS

, p)

el recubrimiento universal de X definido por

21TX, sen 21TX,

CoS

21TY, sen 21TY)

para todo punto (x, y) E R'. Sea A el subconjunto de S' X S' formado por todos los~ puntos (u, v) tales que u = (1, O) o v = (1, O). Entonces A es la unión de dos círculos con un solo punto común; y n(A) es un grupo libre de dos generadores. En el Capítulo IV hemos demostrado que i.k : TICA) --7 n.(X) es un epimorfismo, y su núcleo es el subgrlmo conmutador de n(A). En este caso A = p~'(A) es la unión de las líneas horizontales y = entero, y las líneas verticales x = entero. En consecuencia, (A, p) es esencialmente el espacio recubridor correspondiente a la primera parte del ejemplo 2.7. Vemos entonces, por la proposición 11.1, que (Á, p) es el espacio recubridor regular de A correspondiente al subgrupo conmutador de TI(A).

FIGURA. 5.3 Diagrama para el ejemplo 11.7. Este ejemplo podría ser modificado de muchas maneras: (a) En lugar de tomar el recubrimiento universal del toro, podríamos tomar cualquier otro espacio recubridor. (b) En lugar de tomar X = S' X S', podríamos tomar como X el producto de n ejemplares de S', y como A el subconjunto de X formado por todos los puntos con (n - 1) coordenadas iguales a (1, O). Entonces A es la unión de n círculos con un solo punto común. Dejamos al lector los detalles de estas modificaciones. 11.7 Sea X un conjunto compacto que sea la adherencia de la región de R' acotada por una superficie orientable de género 2 (sumergida de manera ordinaria), y A la superficie borde (véase figura 5.3). Geométricamente es evidente que la unión de los dos círculos a y b de la figura 5.3 es un retracto de deformación de X. Así pues, TI(X) es un grupo libre generado por las clases de equivalencia de los caminos cerrados a y b. En el Capítulo IV hemos demostrado que TI(A) es un grupo generado por las clases de equivalencia de los cuatro lazof a, b, c y d, sujetos a una relación. Por tanto, i" : TI(A) --7 TI(X) es un epimorfismo y su núcleo es el menor sub grupo normal que contiene las clases de equivalencia de los caminos c y d. Si (X, p) es un espacio recubridor de X, podemos aplicar las proposiciones 11.1 y 11.2 al espacio recubridor (A, p') inducido sobre A. Puesto que la unión de los dos círculos a y b es un retracto de deformación de X, según el ejemplo 11.5 el problema de construir un espacio recubridor de X es equivalente al de construir un espacio recubridor de la unión de dos círculos con un solo punto común. Estos espacios recubridores son relativamente más fáciles de imaginar; dejamos al lector 18 construcción de ejemplos.

179

Topología conjuntista de los espacios recubridores

los En esta sección consideraremos algunos resultados sobre la topología conjuntista de los espacios recubridores, que son útiles en determinadas situaciones y que no son del todo inmediatos. Supongamos, como en el resto del capítulo, que todos los espacios son conexos y localmente arco-conexos.

12.1 Sea X un espacio semilocalmente simplemente conexo que tenga una base numerable de abiertos. Entonces, todo espacio recubridor de X tiene también una base numerable de abiertos. DEMOSTRACIÓN: Hagamos, en primer lugar, las dos observaciones siguientes, que serán útiles en el curso de la demostración:

(a) Todo subconjunto abierto de X tiene a lo sumo una infinidad numerable de arco-componentes. (b) Sea V un subconjunto abierto arco-conexo de X tal que el homomorfismo natural TI(V) ..... TI(X) sea trivial; si Xii' XI E V, entonces cualesquiera dos caminos de V que unan Xii y XI son equivalentes (en X). El primer paso de la demostración consiste en probar que el grupo fundamental de X es numerable. Para ello, observemos que nuestras hipótesis implican que X es un espacio de Lindelóf; esto es, todo recubrimiento abierto de X admite un subrecubrimiento numerable. Podemos, pues, elegir un recubrimiento abierto numerable {VI' V 2 , ••• } de X tal que cada Vi sea arco-conexo y que el homomorfismo natural TI (Vi) ..... TI (X) sea trivial. Si Vi V í r= ep, entonces Vi Vi tiene a lo sumo una infinidad numerable de componentes. [Véase la observación (a).] Elijamos un punto en cada componente de la intersección Vi n Vi para todos los pares (i, j) tales que Vi n Vi r= ep. A tales puntos les llamaremos puntos distinguidos. A lo sumo hay una infinidad numerable de puntos distinguidos. Para cada par de puntos distinguidos que estén en un mismo Vi, elijamos un camino en Vi que conecte estos dos puntos. A un tal camino le llamaremos un camino distinguido. Obsérvese que, a lo sumo, hay una infinidad numerable de caminos distinguidos. Nótese también que la observación (b) implica que la clase de equivalencia de cualquier camino distinguido particular es única. Elijamos un punto distinguido x" como punto base. Completamos la demostración probando que todo elemento de TI (X, xo) es equivalente a un producto (finito) de caminos distinguidos. Sea

n

n

f: 1 ..... X

un camino cerrado que represente a un elemento IX E TI (X, x o )' Vamos a probar (usando el número de Lebesgue) que existe una partición del intervalo unidad I = [0, 1],

to = O < tI

< t 2 < ... < tn

1

Espacios recubriJores

180

tal que, para cada subintervalo [ti, ti+,], f([ti, ti+lJ) está contenido en uno de los abiertos Ui ; para ser precisos, para cada i = 1, 2, ... , n, elijamos un conjunto abierto Ua(i) tal que ~ =

1, 2, ... , n.

Podemos suponer que U a(i) Y U a(i+l) son distintos; si no lo fueran," podríamos refundir los intervalos [ti_l' ti] y [ti, t i + 1] en un solo intervalo [ti-l' t i +¡] suprimiendo el punto ti en la subdivisión. Designemos por a¡ la clase de equivalencia del camino f I [ti_l' t¡J, para 2 1, 2, ... , n. Entonces a¡ es una clase de caminos en el conjunto Ua(i), y

=

a

=

cqa2 ... a n ·

Cada punto j(ti), i = 1, ... , n -1, pertenece a una cierta componente de la intersección Ua(i) n U a (i+l}; designemos a esta componente por C;. Elijamos en C; una clase de caminos Si que una el punto f(ti) con un punto distinguido en C;. Entonces

y los caminos

unen puntos distinguidos en los conjuntos Ua(1) , Ua(2), •.• , Ua(n); así pues, cada uno de ellos es equivalente a un camino distinguido [por la observación (b)], y por tanto hemos demostrado que (J.. puede expresarse como un producto de caminos distinguidos.

Ejercicio 12.1 Probar que, si X es semilocalmente simplemente conexo y compacto, entonces el grupo fundamental de X está finitamente generado.

Puesto que 1dX) es numerable, todo subgrupo de -¡¡;(X) tiene índice numerable, y por tanto todo espacio recubridor de X tiene a lo sumo una infinidad numerable de hojas. Así, pues, para completar la demostración basta probar el siguiente lema.

Lema 12.2 Sea X un espacio semilocalmente simplemente conexo que tenga una base numerable de abiertos. Si (X, p) es un espacio recubridor de X con una infinidad numerable de hojas, entonces X tiene también una base numerable de abiertos.

Topología conjuntista de los espacios recubridores

181

DEMOSTRACIÓN: Elijamos una base numerable de abiertos U U 2 , Ua ... de " tal que cada U i sea arco-conexo y 11:(U i ) ---+ 11: sea ut!' homomorfismo triviaL Es fácil demostrar la existencia de una tal base. Según el ejemplo 11.3, para cada entero i, p-l (U i ) tiene a lo sumo una infinidad numerable de componentes, cada una de las cuales se aplica por p homeomórficamente sobre U i ; designemos por Uil' U i2 , . . . estas componentes. Entonces {U ii } es una familia numerable de conjuntos abiertos, y puede probarse que forman una base de la topología de X. C.Q.D.

Probaremos ahora una propOSlClOn que hace referencia a la topología de algunos espacios recubridores que usaremos en los próximos capítulos. El lector puede omitir esta proposición hasta cuando la necesite. Consideremos el siguiente problema. Sea (Y, p) un espacio recubridor de Y. Como de costumbre, suponemos que tanto Y como Y son conexos y localmente arco-conexos. Más aún, suponemos que Y es un espacio de Hausdorff regular (es decir, verifica el axioma de separación T 3 de Alexandroff y Hopf). Esto implica que Y satisface el mismo axioma de separación. Sea {X). : A E A} una familia de espacios de Hausdorff compactos que sean localmente arco-conexos, conexos y simplemente conexos, y {f;.:X),---+Y:AEA} una familia de aplicaciones continuas. Nuestras hipótesis implican que cada una de las aplicaciones fA puede elevarse (de diferentes maneras) a aplicaciones hi : X), ---+ Y tales que fA = pf).¡. Designemos por U») : i E M),} el conjunto de todas las elevaciones de fA. Una vez sentados estos preliminares, podemos enunciar nuestro problema en la forma siguiente: Supongamos que y tiene la topología más fina que hace continuas todas las aplicaciones fA (es decir, un conjunto U e Y es abierto si y sólo si, para todo A, fi ' (U) es abierto en X).). ¿ Tiene entonces Y la topología más fina que hace continuas todas las aplicaciones h¡? El siguiente lema, esencialmente debido a J. H. C. Whitehead, demuestra que, con algunas hipótesis adicionales, la respuesta es afirmativa.

Lema 12.3 Con las hipótesis y notaciones anteriores supongamos que (Y, p) .es un espacio recubridor regular de Y, o bien que Y es semilocalmente simplemente conexo. Si Y tiene la topología más fina que hace continuas todas las aplicaciones h, entonces Y tiene la topología más fina que hace continuas todas las aplicaciones h i· DEMOSTRACIÓN: Introducimos, en primer lugar, algo de terminología. Como de costumbre, un entorno elemental de un punto de Y, significa un entorno abierto arco-conexo U tal que cada componente de p-l(U) se aplique por p homeomórficamente sobre U. Un entorno abierto básico V de un punto de Y es un entorno abierto arco-conexo tal que 11 esté contenido en algún entorno elemental U. La hipótesis de que Y es regular nos asegura que todo punto de Y admite entornos básicos arbitrariamente pequeños. Si V es un entorno básico de Y, a cada componente W de p-l(V) le llamaremos entorno básico de Y.

182

Espacios recubridores

La idea a seguir, es demostrar este lema primeramente en el caso en que sea un espacio recubridor regular, y después en el caso general. Así pues, supongamos que (r, es un espacio recubridor regular de Y, y designemos por G el grupo de automorfismos de (r, p). Hacemos, en primer lugar, dos afirmaciones que necesitaremos en la demostración. Afirmación 1. Un subconjunto A e cerrado para todo entorno básico W de como antes).

r

r

es cerrado si y sólo si A n es (donde un entorno básico está definido

r

Afirmación 2. Si X es un espacio compacto, f : X --+ una aplicación continua y W un entorno básico de entonces sólo hay un número finito de conjuntos

r,

no vacíos. 1: Puesto que los entornos básicos recubren A es la unión de conjuntos W - A, donde W recorre la familia de todos los entornos básicos. Pero W - A = W - (A n W) es obviamente abierto. Por tanto, A es abierto, y A es cerrado. DEMOSTRACIÓN DE LA AFIRMACIÓN

r, r -

r-

DEMOSTRACIÓN DE LA AFIRMACIÓN 2: Sea V = p(W); entonces V es un entorno básico de Y. Existe, pues, un entorno elemental V en Y tal que 11 e V. Designemos por Ü la componente de p-l (V) que contiene W. Para todo

Obsérvese que los conjuntos V", son dos a dos disjuntos. Además, obsérvese que

es un subconjunto cerrado de X, que debe ser, por tanto, compacto. Más aún, {V", :

r

Podemos proceder ahora a demostrar el lema. Sea A un subconjunto de tal que, para toda j:;/ (A) sea un subconjunto cerrado de Xx; hemos de demostrar que A es cerrado. En virtud de la afirmación 1, basta probar la siguiente implicación: Para todo subconjunto A e y todo entorno básico W de si f:;/(A) es cerrado, para toda fJ..i, entonces W n A es cerrado. Reemplazando A por A n W si fuera necesario, es claro que basta probar esta implicación en el

r

r,

183

Topología conjuntisla de los espacios recubridores

caso especial en que A e y esto es lo que haremos. Sea p = BeY. Puesto que p aplica homeomórficamente sobre su imagen, basta probar que B es cerrado. Para ello tenemos que demostrar que h' (B) es cerrado, para todo A E A. Se ve fácilmente que U f¡:/(A).

(5.12-1)

Elijamos un particular índice j; entonces U f¡:/(A) = U f¡:/¡p-I(A). 'f'EG

i

En virtud de la afirmación 2, 1;:jI cp'-' (W) es no vacío sólo para un número finito de cP E G; por tanto, f;:jI cp-' (A) es no vacío sólo para un número finito de cp E G. En consecuencia, en la ecuación (5.12-1), el segundo miembro es una unión finita de conjuntos cerrados. Por tanto, el primer ;miembro es cerrado. Probaremos ahora el lema en el caso en que (Y, p) sea un espacio recubridor no regular; supongamos, en este caso, que Y sea semilocalmente simplemente conexo. Existe, entonces, un recubrimiento universal (Y, q) de Y, y una aplicación r : Y ---+ Y tal que (Y, r) es un espacio recubridor de Y; por tanto, Y tiene la topología cociente determinada por r. Podemos ahora aplicar lo que acabamos de demostrar, para deducir que el espacio recubridor Y tiene la topología más fina que hace continuas ciertas elevaciones X A --+ Y. Para completar la demostración podemos entonces aplicar el lema 2.4 del Apéndice A, a la aplicación r : Y ---+ Y. C.Q.D.

Ejemplo 12.1 Toda superficie compacta M es un espacio cociente de un disco poligonal D por una aplicación f:D ..... M

que identifica ciertos lados de D a pares. Si de M, existen, entonces, elevaciones

fi : D ---+

M,

(M,

p)

es un espacio recubridor arbitrario

pfi = f,

de f. Entonces, en virtud del lema 12.3, M tiene la topología más fina que hace continuas todas las f¡. Obsérvese que las imágenes f;(D) recubren M. Cada una de estas imágenes se llama un dominio fundamenta! de M. (Véase también el ejemplo 2.6,)

Ejercicios 12.2 Sea X un espacio conexo y localmente arco-conexo, y (X, p) un espacio recubridor de X. Probar que, si X verifica una de las siguientes propiedades, también la verifica X: (a) Hausdorff.

184

Espacios recubridores

(b) Regular. (e) Completamente regular. (d) Localmente compacto. 12.3 Sea X un espaci~ conexo y localmente arco-conexo y (X, p) un espacio recubridor de X. Probar que X es compacto si y sólo si X es compacto y el espacio recubridar tiene sólo un número finito de hojas. 12.4 Sea X un espacio métrico separable, conexo, localmente arco-conexo y semilocalmente simplemente conexo. Probar que todo espacio recubridor de X es también métrico separable. (INDICACIÓN: Usar el teorema de metrización de Urysohn :vi Tychonoff: un espacio es métrico separable si y sólo si es regular y tiene una base de abiertos numerable.)

NOTAS Espacios recubrldores ramificados La superficie de Riemann de una función analítica «multi-valuada» no es, en general, un espacio recubridor del dominio de definición de la función, debido a la existencia de «puntos ramificados». Es un ejemplo de «espacio recubridor ramificado». Para la teoría general de espacios recubridores ramificados, véase el artículo de R. H. Fax, titulado «Covering Spaces with Singularities» en el libro A!gebraic Geometry and Topo!ogy: A Symposium in Honor oi S. Lejschetz (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1957), pp. 243-257; véase también E. Michael, Proc. Kan. Ned. Akad. Weten. Amsterdam (ser. Al 66, 1963, pp 629-633. En general, parece que no es mucho lo que se sabe sobre espacios recubridores ramificados.

Espacios recubrldores sin ninguna hipótesis de conexidad local Es natural preguntarse si la hipótesis que hemos impuesto a lo largo de todo este capítulo, de que los espacios que aparezcan sean todos localmente arco-conexos podría ser debilitada u omitida. Este problema ha sido considerado por varios autores. Por ejemplo, en el libro de Chevalley [1], la hipótesis de localmente arco-conexo se reduce a la de localmente conexo. Otros trabajos que tratan este tema son los siguientes: B. Banaschewski. Math. Nachr., 15, 1956, pp. 175-180. J. Dugundji. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 36, 1950, pp. 141-143. J. Gil de Lamadrid y J. P. Jans. Proc. Amer. Math. Soc., 10, 1959, pp. 710-715. C. N. Lee. Duke Math. J., 24, 1957, pp. 547-554. R. S. Novosad. Trans. Amer. Math. Soc., 79, 1955, pp. 216-228. S. Lubkin. Trans. Amer. Math. So c., 104, 1962, pp. 205-238. Estos autores hacen referencia a trabajos más antiguos sobre el tema. Muchos de estos trabajos son resúmenes, y no se ha intentado reconstruir toda la teoría con estas hipótesis más débiles. Hasta ahora no se ha probado que las ideas desarrolladas en estos trabajos sean importantes, porque en las situaciones en que la teoría de espacios recubridores se aplica de manera natural, los espacios involucrados verifican todas las condiciones locales que uno pueda desear. Desde Juego, puede suceder que alguien, en el futuro, necesite aplicar la teoría de espacios recubridores a espacios que sean localmente «malos». El lector debería prestar atención al ejemplo, debido a E. C. Zeeman, dado en la página 258 de Hilton y Wylie [2]. Este ejemplo muestra que la hipótesis de que Y sea localmente conexo, en el teorema 5.1, es necesaria.

Ordenación parcial de clases de isomorfia de espacios recubrldores de un espacio dado En el ejercicio 6.3 hemos demostrado que, si X es un espacio con grupo fundamental n(Xl abeliano, entonces existe una ordenación parcial natural de las clases de isomorfía de

Topologia conjuntista de los espacios recubridores

185

espacios resoubridores de lf. Definimos óL p,) ~ (iE-" p,) si y sólo si existe un homomorfismo de (X" p,) sobre (X" p,). Con esta ordenación parcial las clases de isomorfía de espacios recubridores constituyen un retículo isomorfo al retículo de todos los sub grupos de n(X). Este resultado permanece cierto si imponemos la hipótesis, ligeramente más débil, de que el grupo fundamental de X sea hamiltoniano; es decir, que todo subgrupo de n(X) sea normal. Para la estructura de los grupos hamiltonianos, véase M. Hall, The Theory oi Groups (New York: Macmillan, 1939), p. 190. Si intentamos extender este resultado a grupGS más generales, encontraremos serias dlficultades. Por ejemplo-,- puede §..uceder q1.!..e existan ~espacios recubridores (X" p,) y (X" p,) de X tales que (X" p,) ~(X" p,) y (X" p,) ~ (X" p,), pero (X" p,) y Cl'i oe p,) no sean isomorfos. Esto se puede conseguir de la siguiente manera. Elijamos un punto base x E X, y supongamos que existen puntos x" xf E p,-'(x) y x" x: E p, -'(x) con las siguientes propiedades: (a) Los subgrupos p,*n(X" x,) y p,*n(X" x,l no son subgrupos conjugados en n(X, x). (b) Se verifican las siguientes relaciones de inclusión

PW7r(X\, Xl) :) P2*7r(X 2, X~), P2*7r(X 2, X2) :) PI*7r(X 1, X~). Entonces, en virtud de los resultados de la sección 6, los espacios recubridores (X" p,) y (X" p,) verifican las relaciones anteriores. No hay ninguna dificultad algebraica en construir un grupo que tenga cuatro subgrupos con las propiedades deseadas; y en el Capítulo VII demostraremos que todo grupo puede «realizarse» como grupo fundamental de un espacio X conexo, localmente arcoconexo y semilocalmente simplemente conexo.

Los espacios recubridores como espacios fibra dos o como fibrados El lector que esté familiarizado con la teoría de espacios fibrados y con la teoría de fibrados, reconocerá que, tal como lo hemos definido, un espacio recubridor es un espacio fibra do localmente trivial con fibra discreta. Así, la teoría de espacios recubridores puede considerarse como un capítulo de la teoría general de espacios fibrados. Podemos también considerar que un espacio recubridor (X, p) de X es un fibrado con grupo estructural n(X) y fibra el espacio homogéneo discreto TI(X)/p",n(X). Los espacios recubridores regulares corresponden, entonces, a los fibrados principales. Este tema viene tratado en el libro The Topology of Fibre Bundles de N. E. Steenrod (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1951); especialmente en las secciones 13 y 14.

Grupos de homoíopÍa de orden superior de un espacio recubridor Para todo espacio X y todo punto x" E X, se designa por 1t,,(X, x o ) el conjunto de todas las clases de homotopía de aplicaciones (S", y,,) -> (X, x o), donde Yo E S", y se sobreentiende que todas las homotopías son relativamente al punto base Yo elegido (véase la sección HA para la definición de homotopía relativa). Obsérvese que, para n = 1, 1t,cX, x,) = 1t(X, x,,) es precisamente el grupo fundamental. Se puede también definir de manera natural una suma en 1t,,(X, x o ) para n > 1, de manera que se obtiene un grupo abeliano, llamado el n-ésimo grupo de homotopía de X. Se verifica que, si (X, p) es un espacio recubridor de X, la proyección p induce un isomorfismo de TI.(X, x) sobre n".(X, p(x», para todo punto x E X y todo entero n > 1. La demostración es una simple aplicación del teorema 5.1. Si ep : (S", y,,) -> (X, p(x» e~ una aplicación continua arbitraria, entonces existe una única aplicación iP : (S", y,,) .... (X, x) tal que p (¡i = ep. Más aún, dos cualesquiera de tales aplicaciones ep", epI : (S", Yo) -> (X, p(x» son homotópicas (relativamente a Yo) si y sólo si las correspondientes elevaciones qio, ij)1 : (S", y,,) -'> (X, x) lo son. Este resultado es a menudo útil en el estudio de los grupos de homotopía de orden superior.

186 Detenninación de todos número finito de hojas

Espacios recubridores espados recubridores con un

Probablemente, no debemos esperar en disponer de un procedimiento efectivo para determinar en general todos los espacios recubridores de un espacio dado X [o lo que es equivalente, determinar todas las clases de conjugación de subgrupos de 1t(X)]. Sin embargo, si el grupo fundamental 7r(X) es de presentación finita, entonces, para cada entero n, existe un procedimiento efectivo para obtener todos los espacios recubridores de X de n hojas.'Este procedimiento puede encontrarse en las pp. 201-203 de Seifert y Threlfall [3].

BIBLIOGRAFíA 1. Chevalley, C. The Theory of Lie Groups l. Princeton, N. J.: Princeton University Press,

1946. Capítulo n, secciones VI-X. 2. Rilton, P. J., y S. Wylie. Homo!ogy Theory, An lntroduction to A!gebraic Topo!ogy. Cambridge: The University Press, 1960. Capítulo 6. 3. Seifert, R., y W. Threlfall. Lehrbuch der Topo!ogie. New York: Chelsea, 1947. Capítulo 8. 4. Kinoshita, S. «Notes on Covering Transformation Groupsll. Proc. Amer. Math. Soc., 19, 1968, págs. 421-424. 5. Gray, W. J. «A Note on Covering Transformationsll. Indag. Math., 31, 1969, págs. 283-284.

1 Un grafo es un espacio topológico formado por una colección de puntos, llamados vértices, y una colección de aristas. Cada arista es homeomorfa a un intervalo de la recta real, y une dos vértices distintos, o bien es homeomorfa a una circunferencia y une un vértice dado consigo mismo. Se supone que dos aristas cualesquiera son siempre disjuntas o que sólo tienen un vértice común .. Los grafos son objetos que aparecen con bastante frecuencia; por ejemplo, los diagramas de instalación que usan los ingenieros eléctricos pueden considerarse como grafos. Muchos problemas de varias ramas de las matemáticas y otras materias afines, en particular problemas de naturaleza combinatoria,' pueden reducirse a problemas de grafos. Como consecuencia, durante el siglo pasado, se desarrolló una amplia teoría de grafos. Hay que hacer notar, sin embargo, que esta teoría trata principalmente las propiedades combinatorias de los grafos, es decir, propiedades relativas a las relaciones entre vértices y aristas. Muy a menudo, se prescinde de las propiedades topológicas. Existen varios textos sobre teoría de grafos; véase [1] ó [2]. Nuestro objetivo en este capítulo consistirá en estudiar el grupo fundamental y los espacios recubridores de un grafo; de este modo destacaremos las . propiedades topológicas de los grafos. Aplicaremos entonces, los resultados obtenidos a la teoría de grupos, para demostrar algunos teoremas clásicos. A pesar de que para estos teoremas de teoría de grupos pueden darse demostraciones puramente algebraicas, las demostraciones topológicas que daremos son más claras y mejor motivadas. De hecho, muchos de estos teoremas fueron probablemente descubiertos estudiando el grupo fundamental y los espacios recubridores de un grafo. Si un grafo tiene sólo un número finito de vértices y aristas, no hay ninguna dificultad en definir su topología: Hay una manera bastante simple de dotarlo de una topología. Para un grafo infinito, el problema es más delicado. Es necesario considerar este problema con detalle, ya que un espacio recubridar de un grafo finito puede ser muy bien un grafo infinito. Un grafo, tal como lo hemos definido, es un CW-complejo l-dimensional. Por tanto, el material de este capítulo puede considerarse como una introducción a la teoría de CW-complejos de J. H. C. Whitehead.

187

188 2

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

lJe1:1m.clojnes y

Un grafo es un par formado por un espacio de Hausdorff X y un subespacio X" (llamado «el conjunto de vértices de X»), de manera que se verifiquen las siguientes condiciones: (a) XO es unsubespacio cerrado discreto de X. Los puntos de Xtl -\,e llaman «vértices». (b) X - X" es la unión disjunta de subconjuntos abiertos ej, cada uno de los cuales es homeomorfo a un intervalo abierto de la recta reaL Los conjuntos ej se llaman «aristas». (c) Para cada arista ej, su borde ei - ei es un subconjunto de XO formado por uno o dos puntos. Si ei - ei consta de dos puntos, entonces el par (ei, ei) es homeomorfo al par!([O, 1], (0, 1»; si ei - ei consta de un solo punto, entonces el par (ei, ei) es homeomorfo al par (SI, SI - {1 donde SI es la circunferencia unidad del plano. (d) X tiene la llamada topología débil: Un subconjunto A e X es cerrado (abierto) si y sólo si, para toda arista ej, A n ei es cerrado (abierto).

n,

De estas condiciones, (d) es la más difícil de comprender. Se verifica automáticamente en el caso en que X tenga sólo un nÚmero finito de aristas, por lo que sólo tiene interés en el caso en que X tenga una infinidad de aristas. Aclararemos esta condición mediante algunos ejemplos.

Ejemplos 2.1 Para cada entero n > O, designemos por Cn el círculo del plano xy con centro en el punto (l/n, O) y radio l/n. Es tangente al eje y en el origen. Designemos por X la unión de todos los círculos C", n > O. Sea X" = ¡ (O, O) l; es decir, hay un solo vértice. Entonces se verifican las condiciones (a), (b) y (c), pero no la condición (cH. El estudiante puede e~contrar un conjunto A que no sea cerrado en X, pero que, para toda arista ei, A n ei sea cerrado. 2.2 Usando coordenadas polares (r, 8) en el plano, sea

1 n para todo entero n

>

y

O. Pongamos

x

U

en,

n=l

donde en designa la adherencia de en en la topología del plano. Definimos X", como formado por el origen y los puntos (r, = (1, l/n), para todo n > O. Nuevamente se verifican las condiciones (al, (bl y (el, pero no la (dJ. 2.3 Sea X = R la recta real, y X" el subconjunto de los puntos de coordenada entera. Entonces se verifican todas las condiciones (al-(d). Dejamos como ejercicio para el lector la comprobación de (d).

e)

189

Propiedades básicas de los grajos 2,4

Para cada entero, positivo o negativo, pongamos

{(x, y) ER2:X

=

nI,

{(x, y) ER2:y

=

ni.

Entonces, cada A, es una recta vertical del plano, y cada B" una recta horizontal. Sea X la unión de todas estas rectas, y X" el conjunto de todos los puntos de intersección de rectas horizontales y verticales; es decir, el conjunto de los puntos del plano de coordenadas enteras. Entonces, se verifican las condiciones (a)-(d).

En los ejemplos 2.1 y 2.2 podemos definir una nueva topología en el espacio X, de manera que en cada caso se verifique la condición (d). En el ejemplo 2.1 no cambiamos la topología de los círculos en; entonces, definimos un conjunto A e X como cerrado si y sólo si A n en es cerrado en en, para todo n: Podemos proceder de manera análoga en el ejemplo 2.2, tomando las aristas en en lugar de los círculos en. El lector comprobará que, en cada caso, X es un espacio de Hausdorff. Dejamos para el lector la construcción de ejemplos de grafos con un número finito de vértices y aristas. Puede probarse que todo grafo de este tipo es homeomorfo a un subconjunto del 3-espacio euclídeo. No vamos a demostrarlo, ya que no utilizaremos para nada este resultado. Obsérvese que, si X es el espacio de un grafo, se puede dar a X estructura de grafo, de muchas maneras distintas. Por ejemplo, si X = [0, 1], podemos tomar XO = {O, 1/ 2, 1}, o bien X" = {O, 1/3' 2/ 3, 1}; es decir, podemos subdividir el intervalo unidad en dos o tres subintervalos. En general, si X" y X'o son dos elecciones distintas de vértices en un espacio X, decimos que (X, X'O) es una subdivisión de (X, XO) si X" e X'o. Es evidente que todo grafo puede subdividirse, intercalando nuevos vértices en algunas o todas las aristas.

Ejercicios 2.1 Sea X un grafo e Y un espacio topológico. Probar que una función f : X --;. Y es continua si y sólo si f I ei es continua, para cada arista e, de X. 2.2 Sea X un grafo e 1 el intervalo unidad [O, 1J. Probar que un subconjunto A X x 1 es cerrado (abierto) si y sólo si, para toda arista e y todo vértice v de X, A n (e xl) y A n (v x n son cerrados (abiertos>. 2;3 Sea X un grafo e Y un espacio topológico. Probar que una función f: X X 1 -7 Y es continua si y sólo si, para toda arista e y todo vértice v de X, son continuas las funciones f I e x 1 y f I v X l.

e

3

Propiedades básicas de los grafos

Se puede ver con ejemplos sencillos que un grafo puede ser conexo o no conexo. De hecho, no hay ninguna condición en nuestra definición que excluya la existencia de vértices que sean puntos aislados; esto es, puntos que no pertenezcan a la adherencia de ninguna arista.

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

190

Diremos que un grafo es finito si y sólo si tiene un número finito de vértices y aristas. Un grafo finito es compacto, ya que es la unión de un número finito de subconjuntos compactos. Recíprocamente, si un grafo es compacto, entonces es finito; la demostración es fácil. Un grafo se dice localmente finito si cada vértice es incidente únicamente con un número finito de aristas (un vértice v y una arista e son incidentes si y sólo si v E:: e). Un grafo es localmente compacto si y sólo si es localmente finito. La demostración e:¡¡, nuevamente, fácil. Obsérvese que si no hubiéramos impuesto la condición en la definición, estas propiedades no serían ciertas, co~o muestra el ejemplo 2.1. Un subconjunto A de un grafo (X, XO) se llama un subgrafo, si el par (A, A 0) es un grafo, donde A ° = A n Xo. Esto ocurrirá si A es exactamente la unión de una colección de vértices y aristas cerradas de X. Resulta, entonces, que A es un subconjunto cerrado de X. El siguiente lema nos demuestra que un grafo es localmente tan «agradable» como pudiéramos desear.

Lema 3.1

Todo punto de un grafo tiene una base de entornos contráctiles.

DEMOSTRACIÓN: El lema es claro para los puntos interiores de una arista y para los vértices aislados. Sea v un vértice no aislado y U un conjunto abierto que contenga a v. Debemos encontrar un entorno V de v que sea contráctil, y tal que V e U. Para cada arista e incidente con v, U n é es un entorno abierto de v en é. Elegimos V de manera que V n é sea un entorno abierto contráctil de v en é, V é e U é, y que para cada arista e' no incidente con v, V n é' <1>. Esta elección es manifiestamente posible, en virtud de la condición (c). Por (d), V es un conjunto abierto. Falta probar que V es contráctil. Para cada arista e incidente con v, elegimos una homotopía

=

n

tal que, para todo x E:: V

n

IPe :

(V n

né

y todo t E:: l,

Entonces, definimos f : V X l

->

é) X

I

~

IPe(X, O)

= x,

IPe(X, 1)

= v,

IPe(V, t)

= v.

V n

é

l por

.f I (V n

é) X 1 = IPe'

La demostración de que f es continua depende del hecho de que cada una de las aplicaciones
191

básicas de los grafos

Resulta, pues, que un grafo es localmente arco-conexo y semilocalmente simplemente conexo. Por tanto, puede aplicarse toda la teoría de espacios recubridores. Además, si un grafo es conexo, es entonces arco-conexo. En particular, todo par de vértices de un grafo conexo pueden unirse por un camino. Una arista e de un grafo queda orientada colocando una flecha que indique una elección de dIrección positiva a lo largo de la arista. Toda arista tiene dos posibles orientaciones. Esta idea intuitiva puede rigorizarse de la siguiente manera. Por definición, una arista e es homeomorfa al intervalo abierto (O, 1). Diremos que dos homeomorfismos

h o, h 1 : e -+ (O, 1) son equivalentes si el homeomorfismo compuesto h oh," : (O, 1) --> (O, 1) es una aplicación monótona creciente. Se ve fácilmente que hay dos clases de equivalencia de homeomorfismos e --> (O, 1). Orientar la arista e es elegir una de estas dos clases de equivalencia de homeomorfismos como distinguida. Sea e una arista de un grafo, incidente con dos vértices. Supongamos que e está orientada; entonces queda claro lo que significan las expresiones vértice inicial y vértice final de la arista orientada e. Para que quede todo completo, vamos a dar las definiciones rigurosas de estos conceptos. Por hipótesis, el par (e, e) es homeomorfo al par ([O, 1], (O, 1». Podemos elegir un homeomoifismo determinado h : e --> [O, 1], tal que h I e pertenezca a la clase de equivalencia distinguida determinada por la elección de la orientación de e. Entonces el vértice inicial de e es h- 1 (0) y el vértice final h-"(l). En el caso de una arista incidente con un solo vértice [es decir, el par (e, e) es homeomorfo al par (Sr, S" - {1})], tomamos, por convenio, que el vértice es a la vez vértice inicial y final de la arista. Un camino de aristas en un grafo es una sucesión finita de aristas orientadas (el' e2 , ••• , en) (n ~ 1) tal que el vértice final de eu coincida con el vértice inicial de ei, para 1 < i 2 n. El camino de aristas (el' e2 , . • • , e,,) se llama reducido si no se da el caso de que ei_ l Y ei sean la misma arista con orientaciones opuestas, i = 2, 3, ... , n. Normalmente estaremos sólo interesados con caminos de aristas reducidos, y salvo cuando digamos lo contrario, supondremos que todos los caminos de aristas en cuestión son reducidos. Si (el' e 2 , . , . , e,,) es un camino de aristas, entonces el vértice inicial de el se llama vértice inicial del camino de aristas, y el vértice final de en vértice final del camino de aristas. Se dice que el camino de aristas une sus vértices inicial y final; un camino de aristas se llama cerrado si sus vértices inicial y final son el mismo. Un camino de aristas cerrado se llama, también, un circuito o un circuito cerrado.

Ejercicios 3.1 Probar que todo subconjunto compacto de' un grafo está contenido en un sub grafo finito. 3.2 Probar que un grafo es conexo si y sólo si todo par de vértices puede unirse por un camino de aristas.

192

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

3.3 Probar que la unión y la intersección de cualquier colección de subgrafos de un grafo X, es también un sub grafo. 3.4 Sea X un grafo no localmente finito, y v un vértice de X incidente con una infinidad de aristas. Probar que v no tiene una base numerable de entornos. Deducir de esto que, si un grafo es metrizable, entonces es localmente finito

4

Arboles

Un árbol es un grafo conexo que no contiene caminos de aristas (reducidos) cerrados. Por ejemplo, un grafo formado por una arista e y dos vértices incidentes con ella, o un grafo formado por un solo vértice y ninguna arista, son árboles. El ejemplo 2.3 es un árbol, así como el ejemplo 2.2 si damos la topología débil tal como hemos explicado en la sección 2. Por otra parte, un grafo que contenga una arista e incidente con un solo vértice (esto es, que e sea homeomorfo a S'), no puede ser un árbol. Dejamos al lector la demostración de las dos siguientes propiedades de los árboles: (a) Todo subgrafo conexo de un árbol, es también un árbol. (b) En un árbol, dos vértices distintos arbitrarios pueden unirse siempre por un único camino de aristas reducido. El principal teorema sobre la topología de un árbol es el siguiente.

Teorema 4.1

Todo árbol es contráctil.

DEMOSTRACIÓN: Probemos primero el teorema para árboles finitos, por inducción respecto del número de aristas. En el caso de un árbol que no tenga ninguna arista (es decir, un grafo formado por un solo vértice), o que tenga exactamente una arista, el teorema es obvio. Supongamos que hemos probado el teorema para todo árbol que tenga menos de n aristas, y sea T un árbol con n aristas, n> 1. Vamos a demostrar, por reducción al absurdo, que existe un vértice v de T, incidente con una sola arista de T. Si todo vértice de un grafo finito conexo es incidente con dos o más aristas, puede construirse fácilmente un camino de aristas cerrado. Sea e la única arista incidente con v, y T' = T - (e U {v}). Entonces, se prueba fácilmente que T' es un subgrafo conexo de T. Por tanto, T' es contráctil. La demostración quedará completada probando que T' es un retracto de deformación de T. Dejamos al lector la descripción de una retracción de deformación. Sea, ahora, T un árbol arbitrario. Elijamos un vértice V o E T; definiremos una homotopía

f:TXI ..... T

tal que f(x, O) = x, f(x, 1) = VD' Y f(vo, t) = V o para todo xE T y todo t E l. Construimos la aplicación f en sucesivos pasos, de la siguiente manera. Para cada vértice v E T, elegimos un subgrafo conexo finito T(v) de T, que con-

193

Árboles

los vértices V o y v. Esta elección es ya que T es conexo. Para cada tal vértice v elegimos un camino t -> f(v, t), O ~ t ~ 1, en T(v) con origen v y extremo vo. Entonces definimos f(v,p t) = VII' para todo t. Hemos, pues, definido la función f sobre el conjunto TO X r, donde TU indica el conjunto de vértices deT. Sea ahora e una arista arbitraria de T, mostraremos cómo se puede extender la aplicación f sobre e X 1. Sean V I Y 1'2 los vértices incidentes con e. Entonces T(v , ) U T(v 2 ) U e es un subgrafo de T, conexo y finito, y por lo tanto es un árbol. En virtud de la primera parte de la demostración, este árbol finito .es contráctil, y por tanto simplemente conexo. El conjunto e X 1 es homeomorfa a un cuadrado. La aplicación f la tenemos definida ya sobre los dos lados {v,} X 1 Y {v 2 } X 1 del cuadrado. Sobre los otros dos lados del cuadrado sólo hay una manera de definir f. Sobre el lado e X {O} debe verificarse

f(x, O) = x, mientras que sobre el lado

e X {1} f(x,

debemos tener 1)

=

VI!'

Así tenemos los cuatro lados del cuadrado aplicados sobre el espacio simplemente conexo T(v 1 ) U T(v 2 ) U e; en virtud del lema lI.S.l, la aplicación f puede extenderse sobre el interior del cuadrado. Mediante este proceso, podemos extender la aplicación f : TO X 1 ---7 T a una aplicación f : T X 1 -> l. Falta probar que la aplicación así definida es continua. Pero, esto es consecuencia de que, para cada arista e, f es continua sobre e X 1, Y de que T tiene la topología débil (comparar con el ejercicio 2.3). C.Q.D.

Observación: En la segunda parte de la demostración hemOS elegido el vértice arbitrariamente; por consiguiente, hemos probado un resultado ligeramente más fuerte, a saber: un árbol puede contraerse homotópicamente en cualquier vértice prefijado v u ' de manera que la imagen de v" permanece fija durante la contracción. Haremos uso de esta observación en la demostración del teorema 5.2. Todo grafo contiene subgrafos que son árboles; por ejemplo, un subgrafo formado por un solo vértice. El conjunto de todos los árboles contenidos en un grafo dado está parcialmente ordenado por inclusión. Teorema 4.2 Sea X un grafo; entonces todo árbol ' contenido en X está contenido en un árbol maximal ' de X. DEMOSTRACIÓN:

I

Si X es un grafo finito, entonces sólo hay un número finito

En este teorema se sobreentiende que sólo consideramos árboles contenidos en X que sean sub grafos de X.

194

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

de subgrafos de X y el teorema es obvio. Para tratar el caso en que X es grafo infinito, recurrimos al lema de Zorn. Para ello debemos probar que, si {TI- : A E:: A} es una familia de árboles contenidos en linealmente ordenados por inclu¡;ión, entonces la unión U T, ,EA

es un subgrafo de X, que también es un árbol. Dejamos para el lector la correspondiente demostración. El teorema se sigue ahora, directamente, del lema de Zorn. C.Q.D. El siguiente teorema profundiza más en la naturaleza de los árboles maximales de un grafo.

Teorema 4.3 Sea X un grafo conexo y T un subgrafo de X que sea un árbol. Entonces, T es un árbol maximal si y sólo si T contiene todos los vértices de X. DEMOSTRACIÓN: Supongamos que T es un árbol maximal que no contenga todos los vértices de X. Puesto que X es conexo, podemos encontrar un camino de aristas (el' ... , e,,) en X cuyo vértice inicial esté contenido en T y cuyo vértice final no lo esté. Un sencillo razonamiento muestra que existe una arista e¡ de este camino de aristas, cuyo vértice inicial está en T y cuyo vértice final no lo está. Por tanto éi no está contenida en T. Sin embargo, T U éi es un subgrafo conexo de X, se ve fácilmente que es un árboL Esto contradice la maximalidad de T. Así pues, hemos probado la mitad del teorema. Para probar la otra mitad, supongamos que T contiene todos los vértices de X. Sea e una arista cualquiera de X no contenida en T; entonces los vértices de e están contenidos en T; esto implica que T U e es un subgrafo de X conexo. Se ve fácilmente que T U e debe contener un camino de aristas cerrado, y por tanto no es un árbol. Puesto que este razonamiento es válido para toda arista e que no esté en T, resulta que T es un árbol maximal. C.Q.D.

5

El grupo fundamental de un grafo

Estamos ahora en condiciones de probar uno de los teoremas más importantes de este capítulo.

Teorema 5.1 libre.

El grupo fundamental de todo grafo conexo X es un grupo

El teorema es obvio si X es un árbol, ya que el grupo fundamental es trivial (para evitar casos especiales, podemos considerar el grupo trivial como un

El grupo

195

de un grafo

grupo libre sobre el conjunto vaCÍo de generadores). En el caso en que X no sea un árbol, probaremos el teorema siguiente más explícito. Primeramente, hagamos notar que, aunque un camino de 'aristas en un grafo es un objeto totalmente distinto de un camino tal como lo hemos definido en el Capítulo n, existe una relación bastante obvia entre los dos conceptos: Un camino de aristas (e""" en) en el grafo X que una los vértices V o y V, determina una única clase de equivalencia de caminos en el espacio topológico X que unan los puntos V o y v" de la siguiente manera: para cada arista orientada ei elijamos una aplicación fi : 1 ---> ei tal que f¡ I (O, 1) sea un homeomorfismo de (0, 1) sobre e¡ cuyo inverso pertenezca a la clase de equivalencia distinguida, determinada por la orientación de e¡. Designemos por f1..i la clase de equivalencia del camino f¡. Entonces, el producto 1X , IX 2 ••• IXn está unívocamente determinado por el camino de aristas (e" ... , e,,). En el resto de este capítulo será conveniente que nos permitamos cierto abuso de lenguaje, cuando hablemos de caminos de aristas y sus clases de caminos asociados. Normalmente estará claro lo que queramos decir, y no habrá peligro de confusión. Sea X un grafo conexo, V o un vértice de X, y T un árbol maximal en X que contenga a vo' Designemos por {eA: A E:: A} el conjunto de aristas de X no contenidas en T. Elijamos una orientación determinada para cada una de las aristas e A; designemos por a A y b A los vértices inicial y final de e A . (desde luego, puede ocurrir que aA = b A). A cada arista e A asociamos un elemento IX A E:: TI (X, vo) de la siguiente manera. Existe un único camino de aristas reducido AA en T de V o a ah' y un único camino de aristas reducido Bxen T de b A a vo' Entonces, IX A es la clase de caminos asociada al camino de aristas (AA, eA) B A)· Si a A = V O) omitimos A A; análogamente, si b A = vo' omitimos B A·

Teorema 5.2 El grupo fundamental conjunto de generadores {a. A I A E:: A}.

TI (X, vo)

es un grupo libre sobre el

DEMOSTRACIÓN: Probemos primero este teorema en el caso en que el conjunto de índices contenga sólo un elemento; es decir, existe sólo una arista de X no contenida en T. Designemos a esta arista por e l ' Puesto que X no es un árbol, existe un camino de aristas cerrado en X, que debe contener claramente a la arista el' Demos a la arista e, una orientación determinada. Entonces existen caminos de aristas cerrados en X que empiezan con el' es decir, son caminos de aristas de la forma (e l' . . . , e,,). Eligiendo el «más corto» de todos estos caminos de aristas cerrados, podemos obtener un camino de aristas cerrado simple; esto es, tal que ningún vértice o arista aparezca dos veces. Designemos a este camino de aristas cerrado simple por (el' ... , e m ). Pongamos

c=

m

Ui"j;.

;=1

Entonces, e es un subgrafo de X homeomorfo a una circunferencia. Consideremos el complementario X - C; designemos por {Y¡} el conjunto

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

de todas las componentes de X-C. Cada es un subgrafo de T; por tanto, es un árbol. Un sencillo razonamiento muestra que Yi tiene exactamente un vértice común con C. En virtud de la observación que hemos hecho después del teorema 4.3, cada uno de los árboles Yi puede contraerse a este vértice. Esto demuestra que e es un retracto de deformación de X; por tanto, la inclusión e --* X induce un isomorfismo entre sus grupos fundamentales, lo que prueba que n(X) es un grupo cíclico infinito. Dejamos al lector la "comprobación de que está generado como indica el enunciado del teorema 5.2. Para probar el caso general del teorema 5.2, utilizamos la forma general del teorema de Seifert-Van Kampen. Para cada A E A, elijamos mi punto x),. E e),.. El conjunto {x),.: A E A} es cerrado y discreto, ya que X tiene la topología débil. Designemos por U al complementario de {x),. : A E A} en X. Entonces, T es un retracto de deformación de U; por tanto, U es contráctil. Para todo índice A, sea

IEntonces, VA

::::J

U, para todo

A, y si A rS-

[.L,

Claramente T U e),. es un retracto de deformación de VA; por tanto, el grupo fundamental n (V),., v,) es cíclico infinito, generado por a),.· Podemos aplicar ahora el teorema IV.2.2 al recubrimiento abierto de X formado por los conjuntos V),. y U. Resulta que n (X, vo) es el producto libre de los grupos n (V),. , v,) (véase ejercicio IV.3.1). C.Q.D.

Ejercicios 5.1 Sea T un triángulo del plano R' con vértices a, b, c. (a) Probar que el segmento cerrado ab es un retracto de deformación de T. (b) Probar que la unión de los dos segmentos cerrados ab y bc es un retracto de deformación de T. 5.2 Sea S una superficie compacta con borde, con una triangulación dada. Probar que existe un grafo conexo finito X S tal que X es unión de aristas y vértices de la triangulación, X es un retracto de deformación de S, y X tiene la misma característica de Euler que S. Deducir de lo anterior que TI(S) es un grupo libre con 1 - X(S) generadores. [INDICACIÓN: Sea T un triángulo de la triangulación dada tal que T tenga al menos una de sus aristas contenida en el borde. Demostrar que S - T es un retracto de deformación de T. (Hay dos casos, según que T tenga una o dos aristas contenidas en el borde.) Utilizar el resultado del ejercicio anterior. Repitiendo sucesivamente este proceso, podemos deshacernos de todos los triángulos. X es lo que queda al final.] 5.3 Sea X un grafo conexo, Y un sub grafo conexo, y v un vértice de Y. Probar que es posible escoger generadores (ai) de TI(Y, v) y (b;) de TI~X, v) tales que TI (X, v) y TI(Y, v) sean grupos libres sobre los conjuntos (b j ) y (ad, respectivamente, y el homo'morfismo i* : TI(Y, v) -> TI(X, v) aplique el conjunto de generadores (ad en el conjunto de generadores {b j ) inyectivamente. En particular, i* es un monomorfismo. (INDICACIÓN: Tomar un árbol maximal en Y y ampliarlo a un árbol maximal en X.) 5.4 Sean S y S' superficies compactas con borde tales que S' esté contenida en el interior de S, cada componente de S - S' corte al borde de S, y exista una triangulación

e

e

197

La característica de Euler de un grafo finito

de S tal que S' sea unión de ciertos triángulos de esta triangulación. Probar es posible encontrar generadores {ad de -¡¡;CS', x) y {b;} de -¡¡;(S, x) tales que , x) y -¡¡;(S, x) sean grupos libres sobre los conjuntos {ai l y {b;), respectivamente, y el homomorfismo i* : -¡¡;(S', x) -> -¡¡;(S, x) aplique el conjunto de generadores {ai} en el conjunto de genera<;lores {b;), inyectivamente. (INDICACIÓN: Llevar a cabo el proceso de eliminación de triángulos descrito en el ejercicio 5.2, de manera que eliminemos los triángulos de S - S' antes que los de S' . .Con este método, reducimos el problema al del jercicio 5.3.) Observación: Puede demostrarse que las hipótesis sobre la existencia de una cierta triangulación de S, se verifican siempre automáticamente. 5.5 Sea S una superficie no compacta con una triangulación dada. Probar que existe una sucesión S" S" S" ... de superficies compactas con borde contenidas en S, con las siguientes propiedades: (a) Para cada n, SM está contenida en el interior de SM+1' (b)

s

= U Sn .. n=l

Cada componente de SM+' - SM corta al borde de SM+1' (d) Cada superficie Sn puede triangularse de manera que SM-1 sea unión de triángulos de la triangulación dada. (rNDICACACIÓN: Construir SM por inducción respecto de n. Tomar S, como un triángulQ de la triangulación. Suponer que hemos construido S" ... SM de manera que verifiquen las condiciones' dadas. Construir SM+1 adjuntando triángi.llos y piezas de triángulos a SM' Para que se satisfaga la condición (c) en el siguiente paso de la construcción, elegir SM+1 de manera que verifique la siguiente condición: la adherencia de cada componente de S - SM+1 es no compacta. Obsérvese que, puesto que en toda triangulación de S hay sólo una infinidad numerable de triángulos, no es difícil satisfacer la condición (b),) 5.6 Utilizar los ejercicios 5.4 y 5.5. para demostrar que el grupo fundamental de toda superficie no compacta (que pueda triangularse) es un grupo libre con una infinidad numerable de generadores. (INDICACIÓN: Observar que en la construcción del ejercicio 5.5, si e es un subconjunto compacto de S, entonces existe un entero n tal que C 3M. Por tanto, se puede aplicar el resultado del ejercicio HA.lI). 5.7 Supongamos que S es una superficie triangulable no compacta que sea simplemente conexa. Probar que, si aplicamos a S la construcción del ejercicio 5.5, entonces cada Sn es homeomorfo al disco unidad E'. (INDICACIÓN: Utilizar el ejercicio 5.6 y el teorema de clasificación de superficies compactas con borde, dado en la sección 1.10.) Observación: Resulta de lo anterior que S es homeomorfa al plano R,'. En la demostración interviene el clásico teorema de Schonfliess. (e)

e

6

La característica de Euler de un grafo finito

Al igual que en el caso de las 2-variedades compactas, definimos la característica de Euler de un grafo finito X [que designaremos por X(X)] como el número de vértices de X menos el número de aristas. Dejamos al lector la comprobacióri de que la característica de Euler es invariante respecto de las su bdi visiones.

Proposición 6.1

Si T es un árbol finito, entonces X(T) =

+ 1.

DEMOSTRACIÓN: La demostración es por inducción respecto del número de aristas del árbol. Si hay O aristas y 1 vértice, o 1 arista y 2 vértices, el resultado es obvio. Para el proceso inductivo hacemos uso del razonamiento de la primera parte de la demostración del teorema 4.1. Dejamos los detalles al lector.

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

Teorema Sea X un grafo conexo finito. Entonces, el grupo fundamenes un grupo libre con 1 - X generadores.

tal re

DEMOSTRACIÓN: Sea T un árbol maximal en X, y el' contenidas en T. Aplicando la proposición 6.1, vemos que

x(X)

=

ek las aristas no

1 - k.

Por otra parte, en virtud del teorema 5.2, re (X) es un grupo libre con k generadores. Entonces, el teorema es inmediato.

Corolario Si dos grafos conexos finitos X e Y son del mismo tipo de homotopía, entonces X (Y) = X(X); es decir, la característica de Euler es un invariante del tipo de homotopía. El recíproco de este corolario es también cierto, aunque nosotros no trataremos esta cuestión.

Corolario 6.4 Si X es un grafo conexo finito, y X(X) = 1, entonces X es

un árbol. Corolario 6.5

Si X es un grafo conexo finito, entonces X(X) 2 1.

Obsérvese, sin embargo, que si suprimimos la hipótesis de que X sea conexo, X(X) puede ser arbitrariamente grande.

7

Espacios recubrid ores de un

Como ya antes hemos hecho observar, en este capítulo, un grafo conexo tiene propiedades locales suficientemente agradables para que podamos aplicar toda la teoría de espacios recubridores. Demostraremos, ahora, que todo espacio recubridor de un grafo es también un grafo, de manera natural. Teorema 7.1 Sea X un grafo conexo con conjunto de vértices xo, (Y, p) un espacio recubridor de X, e yo = p-l(XO). Entonces, Y es un grafo con conjunto de vértices yo. DEMOSTRACIÓN: Evidentemente que yo es un conjunto cerrado, discreto de Y. Sea e una arista de X. Entonces, por el lema V.2.1, toda componente de p-l (e) es un espacio recubridor de e. Pero, puesto que e es simplemente conexo, esto significa que cada componente de p-l(e) se aplica homeomórficamente sobre e.

199

Espacios recubridores de un grafo

a

b

(a)

(b)

VI

(e)

FIGURA 6.1 Ejemplo 7.1. Dos espacios recubridores regulares distintos de 6 hojas de un grafo. (a) Espacio base. (b) Primer espacio recubridor. (e) Segundo espacio recubridor.

200

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

Por tanto, en virtud de la conexidad local, toda componente de p-l es abierta en p-l (e). Por tanto, se verifica la condición (b) de la sección 2. Análogamente es fácil probar la condición (e); si e es homeomorfo a [0,1], entonces, cada componente de p-l (e) se aplica homeomÓrficamente. Si e es homeomorfo a S' podemos aplicar lo que ya sabemos sobre los posibles espacios recubridores del círculo. Finalmente, la condición (d) es consecuencia directa del lema V.12.3, ya que, para cada arista ej, existe una aplicación fj : 1 -> Xi' tal que fi(1) = ei y fi aplica el intervalo abierto (0, 1) homeomórficamente sobre ej. C.Q.D. Existe una manera muy simple de indicar en un dibujo toda la información interesante sobre un espacio recubridor de un grafo. Sea X un grafo conexo, preferiblemente uno finito. Llamemos a, b, C, ... a las aristas, cada una con una orientación dada, e indiquemos las orientaciones elegidas colocando una pequeña flecha sobre cada arista. Designemos por U, V, W, ... , etc., los vértices. Sea eX, p) un espacio recubridor de X. La aplicación p puede indicarse en un diagrama de X de la siguiente manera. Designemos a las aristas de p-l(a) con los símbolos al' a2, a y coloquemos sobre cada arista ai una pequeña flecha que indique una orientación que coincida, por p, con la orientación de a. Hagamos lo mismo con las aristas de p-l(b), p-l(C), etc. Designemos a los vértices de p-'(U) con los símbolos U]' U 2 , U" ... , etc. j ,

••• ,

Ejemplos 7.1 En la figura 6.1 (a) se muestra un grafo y en las figuras 6.1 (b) y 6.1 (c) dos espacios recubridores, con la notación que acabamos de describir. Aunque los dos espacios recubridores son regulares de 6 hojas, no son isomorfos. Puede probarse que el grupo de automorfismos del espacio recubridor de la figura 6.1 (b) es cíclico de orden 6, mientras que el de la figura 6.1 (c) es un grupo no abeliano de orden 6. Sugerimos al lector que, en cada caso, intente describir los diferentes automorfismos. Este ejemplo muestra la importancia de las flechas para indicar las orientaciones de ~as aristas. Obsérvese que, a partir de estos diagramas, es fácil ver la actuación del grupo 1t(X, V) sobre el conjunto de vértices p-'(V). 7.2 En la figura 6.2 mostramos otro espacio recubridor del grafo de la figura 6.1 (a). El lector probará que el grupo de automorfismos de este espacio recubridor consta únicamente del elemento neutro.

Una consecuencia directa del teorema 7.1 es el siguiente importante resultado de teoría de grupos:

Teorema 7.2

Todo subgrupo de un grupo libre es un grupo libre.

DEMOSTRACIÓN: Sea F un grupo libre sobre el conjunto S y F' un subgrupo de F. Construimos un grafo conexo X tal que 1t(X) F. Esto puede hacerse de la siguiente manera: X consta de un vértice y un conjunto de aristas en correspondencia biyectiva con los elementos de S; es decir, X es la unión de una colección de círculos, tales que cada dos de ellos tienen el único vértice

=

201

Espacios recubridores de un grafo

de X común. Dotamos a X de la topología débil. Por la teoría de espacios recubridores, existe un 'espacio recubridor eX, p) de X tal que 11: (X) = F'. Por el teorema 7.1, es un grafo. Por lo tanto, F' es un grupo libre. C.Q.D.

bz

FIGURA 6.2 Ejemplo 7.2; un espacio recubridor no regular de 3 hojas de un grafo

Más adelante consideraremos el problema de describir un conjunto de generadores libres del subgrupo F'. Por el momento nos limitaremos a grupos libres finitamente generados.

Teorema 7.3 Sea F un grupo libre con k generadores, k ~ 1, Y F' un subgrupo de índice n. Entonces, F' es un grupo libre con n(k - 1) + 1 generadores. DEMOSTRACIÓN:

Sea X un grafo finito tal que

11: (X)

= F. Entonces

x(X) = 1 - k en virtud del teorema 6.2. Sea X un espacio recubridor de X que corresponda al subgrupo F'. Entonces, X es un espacio recubridor de X de n hojas. Por lo tanto,

x(X)

= n . x(X) = n - nk.

Así, pues, F' es un grupo libre con

1 - x(X) generadores.

1- n

+ nk C.Q.D.

202

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

Comparando con la teoría de grupos abelianos libres o con la de grupos finitos, este resultado parece paradójico. Si k > 1, entonces, a medida que aumenta el índice, también aumenta el número de generadores. Por otra parte, para grupos finitos, cuanto mayor es el Índice de un subgrupo, menor es el orden del subgrupo. Si A es un grupo abeliano libre con k generadores, entonces, todo subgrupo de índice finito es también un grupo abeliano libre de rango k.

8

Generadores de un

un grupo

En la sección precedente hemos probado que todo subgrupo de un grupo libre era también un grupo libre, usando el hecho de que todo espacio recubridor de un grafo es también un grafo, y que el grupo fundamental de un grafo es un grupo libre. Sin embargo, en nuestro teorema sobre el grupo fundamental de un grafo, probamos incluso algo más: dimos una descripción explícita de un conjunto de generadores del grupo fundamental. Parece razonable esperar que podamos usar este resultado más explícito para especificar efectivamente un conjunto de generadores de un subgrupo de un grupo libre. Vamos a mostrar cómo podemos proceder. Puesto que la elección de generadores del grupo fundamental de un grafo depende de la elección de un árbol maximal, nuestra primera tarea es demostrar cómo la elección de ciertos elementos del grupo fundamental de X determina un árbol maximal en el espacio recubridor X de X. Sea F un grupo libre sobre el conjunto S, y F' un subgrupo de F. Queremos determinar un conjunto S' de generadores de F', tal que F' sea un grupo libre sobre el conjunto S'. Como en la demostración del teorema 7.2, sea X un grafo conexo con un solo vértice va' y tal que 1t(X, va) = F; las aristas de X están en correspondencia biyectiva con los elementos del conjunto S. Se supone que cada arista tiene una orientación determinada. Sea (X, p) u~ espacio recubridor de X tal que P*1t(X, Vl) = F', para algún vértice VI de X. Intentamos, ahora, aplicar el teorema 5.2 para determinar generadores del grupo fundamental 1t(X, Vl). Sea T un árbol maximal de X. Para cada vértice V de X" existe un único camino de aristas reducido "(ven T con vértice inicial VI y vértice final v. Designemos por p,,("(v) el camino de aristas de X que es imagen de "(v por la aplicación p; es un camino de aristas cerrado de X, y su clase de equivalencia de caminos asociada, es un elemento de 1t (X, v u ), que seguiremos designando por la misma notación p" ("(v). Este conjunto de caminos cerrados verifica las siguientes propiedades: (1) La colección de caminos de aristas cerrados {p;< ("(v) : V es un vértice de X}, determina completamente el árbol T (inmediato). (2) Toda clase lateral F' . (J., del subgrupo F' contiene exactamente una de las clases de caminos p" ("(v). (Se deduce fácilmente de las consideraciones del Capítulo V). (3) El conjunto {p"("(v): v es un vértice de X} es un sistema de Schreier en el grupo libre F = 1t(X, v u )' Por un sistema de Schreier en el grupo libre F

Generadores de un

203

de un grupo libre

sobre el conjunto de generadores S queremos indicar un subconjunto no vacío de F que satisfaga la siguiente condición. Supongamos que 9 """ 1 pertenece al sistema de Schreier. Expresamos 9 como una palabra reducida en los generadores:

Sea si nk si nk

< O, > O.

Entonces, imponemos la condición de que g' pertenezca también al sistema (g' puede imaginarse como la palabra reducida obtenida suprimiendo la última letra de g). Obsérvese que el 1 pertenece a todo sistema de Schreier. Dejamos _al lector la comprobación de que el conjunto {p * (yv) : v es un vértice de X} es efectivamente un sistema de Schreier en F; la demostración no es difícil. Recíprocamente, si G es un sistema de Schreier arbitrario en el grupo libre F, tal que toda clase lateral F' . ex del subgrupo F' contenga a lo sumo un elemento de G, entonces existe un único árbol T en X que contiene a v, y verifica la propiedad {p* (yv) : v es un vértice de T} = G,

donde yv designa el camino de aristas de T, de v, a v. Si toda clase F' . !!- contiene un elemento de G, entonces este árbol T es un árbol maximal de X. Estos resultados, todos fácilmente demostrables, prueban que existe una correspondep.cia biyectiva entre los árboles maximales de X y los sistemas de Schreier G en F, tales que toda clase lateral de F' contenga exactamente un elemento de G. Vamos a explotar esta correspondencia biyectiva para obtener un conjunto de generadores de F'. De acuerdo con nuestra notación, un conjunto de generadores de 71: (X, VI) se obtiene de la siguiente manera. Sea e una arista de X que no esté contenida en T; orientemos e de manera que su orientación coincida, por p, con la orientación de p(e), y designemos por v y v' sus vértices inicial y final. Entonces yve(yv)-' es un generador típico de 71: (X, VI)' y obtendremos un conjunto completo de generadores tomando todos los generadores típicos correspondientes a cada arista de X que no esté en T. Si aplicamos el isomorfismo P*, obtenemos un conjunto de generadores libres del subgrupo F'. Se verifica (6.8-1)

En esta expreSlOn, p" (yv) y p* (y",) son ambos elementos de G, y p" (e) es un generador de F (esto es, un elemento del conjunto S). Obsérvese que, puesto que la expresión entera representa un elemento del subgrupo F', (p * y,,) (p" e) y (p "yv') pertenecen a la misma clase lateral de F'. Podemos poner esta expresión en una forma algebraicamente más cómoda,

204

El grupo fundamental y espacios recubridores de un grafo

de la siguiente manera. Para todo elemento a E designemos por el umco elemento de G que pertenece a la misma clase lateral de r. Entonces, el miembro de la derecha de (6.8-1) es una expresión de la forma . (6.8-2) donde g E G, y s E S. Así pues, hemos demostrado que el subgr1Jpo F' de F es un grupo libre generado por ciertos elementos de la forma (6.8-2). En general no todo elemento de la forma (6.8-2) es uno de los generadores libres de F' dados por la fórmula (6.8-1). Dejamos al lector el comprobar que sólo hay dos posibilidades: Para todo g E G y todo s E S, gs[cp(gs)]-l=l o gs[cp(gS)]-l es uno de los generadores dados por la fórmula (6.8-1). En consecuencia, hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 8.1 Sea F un grupo libre sobre el conjunto S, F' un subgrupo de F, y G un sistema de Schreier que contenga exactamente un elemento de cada clase lateral de F', Entonces, F' es un grupo libre sobre el siguiente conjunto de generadores:

{gS[(gS)]-l: g E

(J,

s E S, gs[(gS)]-l

~

1).

(La función cp asigna a cada elemento de F el único elemento de G que pertenece a la misma clase lateral de F'.)

Ejemplo 8.1 Sea F un grupo libre sobre un conjunto S de dos elementos: S = (81, 821; sea F: el sub grupo conmutador de F. En este caso, el grafo X es una curva con forma de «S», formada por dos círculos con un punto común, y X es un grafo formado por las dos siguientes familias de rectas paralelas del plano: las rectas verticales x = m y las horizontales y = n, donde m y n recorren todos los enteros (véase ejemplo 2.4). La aplicación p : X --> X enrolla cada recta horizontal alrededor qel grculo s, y cada recta vertical alrededor del círculo S,. Para la demostración de que (X, p) es un espacio recubridar de X que corresponde al sub grupo conmutador de n(X), véase el ejercicio V.l1.6. El grupo cociente FjF' es un grupo abeliano libre con dos generadores s, y s,. Podemos, pues, tomar como representantes de las clases laterales los elementos s,'''s;', donde m y n son enteros. Este conjunto es claramente un sistema de Schreier. El correspondiente árbol maximal en el grafo X consta de la unión del eje x y todas las rectas verticales x = m. Los elementos de la forma gs[(gs)]-' son los siguientes:

(SrS~)81 (sr+ls~)-\

(6.S-3)

(srs~) S2( srs~+l )-1,

(6.S-4)

Estos elementos se obtienen tomando 9 = s,ms!, y s = s, o S,. Se ve fácilmente que el elemento dado por la fórmula (6.S-4) es el neutro, mientras que el dado por (6.S-3) es igual a 'SrS~8¡S2nSlm-l Así pues, hemos probado que eL subgrupo conmutador de un grupo

Generadores de un sub grupo de un grupo libre

¡

libre de dos generadores 81, S2), es un grupo libre sobre los generadores donde (m, n) recorre todos los pares de enteros;;'" (O, O).

205 S;"S28¡82"ns1m-l,

Recomendamos al lector el estudio de este ejemplo, ya que se puede representar fácilmente,. e ilustra el caso general bástante bien. En particular, el lector comprobará por sí mismo que los generadores que hemos obtenido para el subgrupo conmutador, corresponden exactamente a los generadores del grupo fundamental del grafo X obtenidos a partir del teorema 5.2. El lector considerará también la posibilidad de utilizar otros árboles maximales en el grafo X, y obtener los correspondientes sistemas de Schreier en F.

Ejercicios 8.1 Determinar un conjunto de generadores libres del sub grupo conmutador de un grupo libre de n generadores ¡SI, 82, . . . , Sn ¡. 8.2 Sea F un grupo libre con dos generadores s" s,; ¿cuántos subgrupos de índice 2 tiene F? (INDICACIÓN: Todo sub grupo de índice 2 es normal y el grupo cociente es cíclico de orden 2,) Determinar un conjunto de generadores libres para cada subgrupo de índice 2.. Interpretar los resultados obtenidos mediante grafos. 8.3 Sea F un grupo libre y N un sub grupo normal no trivial de índice infinito. Probar que N no es de generación finita. 8.4 Sea F un grupo libre con dos generadores a y b, Y designemos por S, el grupo simétrico de grado 3 considerado como el conjunt0 de todas las permutaciones del conjunto {1. 2, 3). Definimos un epimorfismo f:F -> S" poniendo fea) = 0,2) Y f(b) = (1,2,3), donde O, 2) Y 0, 2, 3) son las notaciones usuales para permutaciones cíclicas. Aplicar el teorema 8.1 para encontrar un conjunto de generadores libres del núcleo de f. Interpretar los resultados obtenidos con auxilio de un espacio recllbridor de un grafo. 8.5 Sea F un grupo libre con dos generadores a y b, Y designemos por H un grupo cíclico de orden 6 generado por x. Definimos un epimorfismo f: F --> H poniendo fea) = x' y f(b) = x'. Aplicar e]' teorema 8.1 para encontrar un conjunto de generadores libres del núcleo de f, e interpretar los resultados con auxilio de un espacio recubridor de un grafo. Comparar los espacios recubridores de los ejercicios 8.4 y 8.5 (ambos son espacios recubridores regulares de 6 hojas de una curva en forma de «8») con los del ejemplo 7.1. 8.6 Sea F un grupo libre con dos generadores a y b. Definimos una operación de F sobre el conjunto ¡ 1, 2, 3) de la siguiente manera: a es la trasposición (1, 2) Y b la permutación cíclica (1, 2, 3) (consideramos que los elementos de F operan por la derecha). Sf)a F' el subgrupo de isotropía correspondiente al el~mento 1, es decir, el conjunto de todos los elementos de F que dejan fijo el 1. Aplicar el teorema 8.1 para determinar un conjunto de generadores libres de F', e interpretar los resultados obtenidos por medio de grafos. (INDICACIÓN: Utilizar los resultados de la sección 2 del Apéndice B.J Comparar con el ejemplo 7.2.

NOTAS La mayor parte de los resultados sobre grupos libres que hemos dado en este capítulo, son posteriores al año 1920, y constituyen, principalmente, el trabajo de tres hombres: los matemáticos alemanes K. Reidemeister y O. Schreier, y el matemático danés J. Nielsen. La mayoría de artículos de Reidemeister y Schreier fueron publicados en la revista Hamburger Abhandlungen, y los resultados fueron más tarde recopilados por Reidemeister en un libro [7].

El grupo fundamental y espacios recubriclores de un grafo Teorema de Kuratow"ki sobre el sumergimiento de grafos en el plano Uno de los teoremas más famosos sobre la topología de los grafos, fue probado por el topólogo polaco K. Kuratowski, en 1930. En la sección 2 hemos mencionado que todo grafo finito puede sumergirse topológicamente en el 3-espacio euclídeo. Sin embargo, no todo grafo puede sumergirse en el plano. Damos a continuación dos ejemplos : .• (a) Sea X un grafo con cinco vértices y diez aristas, tal que, para todo par de vértices distintos, hay una arista que los conecta. (b) Sea Y un grafo con seis vértices (a, b, e, a', b', e' 1 y nueve aristas tales que existe una arista que conecta cada uno de los vértices a, b, e con uno de los vértices al, b/, e/.

Dejamos al lector la comprobación de que ni X ni Y pueden sumergirse en el plano (aplicar el 'teorema de la curva de Jordan). El teorema de Kuratowski nos asegura que todo grafo finito que no pueda sumergirse en el plano contiene un subgrafo homeomorfo' a X o a Y. Para la demostración, véase Berge [1], Capítulo 21, o un trabajo de G. A. Dirac y S. Schuster titulado «A Theorem of Kuratowski» (Proc. Kan. Neder! Akad. Weten. (ser. A), 57, 1954, pp. 343-348). Este trabajo considera también brevemente el problema de sumergir grafos numerables en el plano. También se consideran otras condiciones para que un grafo pueda ser sumergido en el plano, en un trabajo de S. Mac Lane «A Structural characterization of Planar Combinatorial Graphs» (Duke Math. J., 3, 1937, pp. 460472). El teorema de Kuratowski fue generalizado a una clase más amplia de espacios métricos compactos por S. Claytor «Peanian Continua Not Imbeddable in a Spherical Surface» (Ann. Math., 38, 1937, pp. 631-646).

La topología débil de un grafo Nuestra definición de grafo dada en la sección 2, está escogida de manera que un grafo sea un CW-complejo 1-dimensional en el sentido de J. H. C. Whitehead (<
BIBLIOGRAFíA Teoría de grafos 1. Berge, C. The Theory oi Graphs and Its Applications. Trad. por A. Doig. New York:

Wiley, 1962. 2. Ore, O.

Theory oi Graphs (Colloquium Publications, Vol. XXXVIII). Providence: American Mathematical Society, 1962.

Topología 3. Hilton, P. J., y S. Wylie. Homology Theory, An Introduction to Algebraic Topo!ogy.

Cambridge: The University Press, 1960. Capítulo 6. 4. Seifert, H., y Threlfall. Lehrbuch der Topo!ogie. New York: Chelsea, 1947. Capítulos 7 y 8.

Teoría de grupos 5. Hall, M. The Theory oi Groups. New York: Macmillan, 1959. Capítulo 7. 6. Kurosh, A. G. Tne Theory oi Groups. 2 vals. Trad. y ed. por K. A. Hirsch. New York: Chelsea, 1955-56. Capítulo IX. 7. Reidemeister, K. Einführung in die kombinatorische Topo!ogie. Braunschweig: Friedr Vieweg & Sohn, 1932. Capítulos 3 y 4. 8. Rotman, J. J. Tite Theory of Groups. Bastan. Allyn and Bacon, 1965. Capítulo 11.

Ceneradores de un subgrupo de un grupo libre

207

9. Schenkman, E. Group Theory. Princeton, N. J.: Van Nostrand, 1965. Capítulo V. 10. Scott, W. R. Group Theory. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice Hall, 1964. Capítulo 8. 11. Specht, W. Gruppentheorie (Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Tomo LXXXII). Berlin-Góttingen-Heidelberg: Springer- Verlag, 1956. Capítulo 2.1.

1 En el Capítulo IV hemos aprendido a determinar la estructura del grupo fundamental de una 2-variedad conexa compacta. Consideremos, ahora, estos resultados a la luz de los resultados del capítulo anterior. S'ea M una 2-variedad conexa compacta. Podemos considerar M como obtenida al identificar a pares las aristas de un cierto polígono. Designemos por X el subconjunto de M imagen de estas aristas por la identificación. Entonces, X es la unión de cierto número de circunferencias, de forma que dos cualesquiera de ellas tienen un único punto común; por lo tanto, X puede considerarse como un grafo finito con un solo vértice. Podremos, pues, considerar que M se obtiene al «pegan> un disco al grafo X. Si reconsideramos los resultados del Capítulo IV; vemos que la inclusión de X en M induce un epimorfismo 1t(X) .,-+ 1t(M), Y su núcleo está generado por el elemento de 1t(X) que hemos «eliminado» al pegar el disco. En este capítulo generalizaremos estos resultados de la siguiente manera. Partiendo de un grafo conexo arbitrario X, podemos formar un nuevo espacio Y pegando un número arbitrario de discos sobre X de cualquier manera. Probaremos que la inclusión de X en Y induce un epimorfismo 1t(X) ...,. 1t(Y), Y que su núcleo está generado precisamente por los elementos de 1t (X) que hemos «eliminado» al pegar los distintos discos. Así pues, 1t(Y) admite una presentación con un generador por cada generador de 1t(X), y una relación por cada disco añadido. El espacio Y puede agrandarse más, pegándole bolas o discos de dimensión superior; demostraremos que esto no afecta para nada al grupo fundamental. En cierto sentido, éste es un resultado negativo. Demuestra que el grupo fundamental es estrictamente un invariante topológico de «baja dimensiÓn». Pone de relieve la necesidad de invariantes topológicos análogos en dimensiones superiores. Este proceso nos lleva al importante concepto de CW-complejo, debido a J. H. C. Whitehead. Un CW-complejo es un espacio que se obtiene a partir de un grafo, pegándole celdas de dimensiones sucesivamente superiores. La experiencia ha demostrado que, para los fines de la Topología algebraica, la cate209

210

El grupo turWü'mémt,lt de espacios de dimensión superior

goda de los CW-complejos es una de las categorías de espacios útiles. Los CW-complejos tienen locales suficientemente bIes como para evitar la mayoría de situaciones patológicas, y, al mismo tiempo, son suficientemente generales como para incluir a la mayoría de espacios que necesitamos considerar. Como fruto secundario de estas consideraciones, demostraremos que todo grupo es isomorfo al grupo fundamental de algún espacio razonabl!\!, en particular de un espacio obtenido pegando cierto número de discos a un decir, un CW-complejo 2-dimensional). Finalmente, en las secciones 5 y 6 aplicaremos estas ideas para dar demostraciones topológicas de conocidos teoremas de teoría de grupos.

2

Adjunción de 2-celdas a un espacio

En esta sección suponemos que X* es un espacio de Hausdorff obtenido por adjudicación, o «pegando», una colección de discos 2-dimensionales ordinarios a un espacio arco-conexo X.' Para ser precisos, supongamos que existe un subconjunto cerrado X e X* tal que X* - X es unión disjunta de subconjuntos abiertos e~, A E A, cada uno de ellos homeomorfo al disco abierto U2 del plano R2. Cada subespacio e~ se llama «2-celda abierta». Además, suponemos que, para cada celda e~ existe una «aplicación característica», es decir, una aplicación continua

donde, como de costumbre E2 = { x E R2 : Ixl ~ 1}; se supone que h aplica homeomórficamente el disco abierto U2 sobre e~, y que h. (SI) e X. Finalmente, suponemos que X* tiene la topología «débil»: un subconjunto A de X* es cerrado si y sólo si A n X y f5: 1 (A) son cerrados, para todo A E A. Como hemos dicho en la introducción, toda 2-variedad conexa compacta puede obtenerse por adjunción de una 2-celda a un cierto grafo X. Desde luego, si X* se obtiene adjuntando un número finito de 2-celdas a X, como en el caso de las 2-variedades compactas, entonces X* tiene automáticamente la topología débil. La condición de que X* deba tener la topología débil, presenta sólo .interés en el caso en que haya una infinidad de 2-celdas. Nuestro principal objetivo es determinar la relación entre el grupo fundamental de X y el de X*. Para ello, introducimos la siguiente notación. Elijamos un camino cerrado fijo e¡> : I --> SI que represente un generador del grupo fundamental 1t(S\ (1, O»; es decir, el camino e¡> da exactamente una vuelta alrededor del círculo SI. Para cada disco e)., designemos por ex.). la clase del camino cerrado definido por la aplicación compuesta f).e¡>. Elijamos un punto base X o E X; y, para cada disco e)., una clase ~). de caminos en X con origen X o y extremo h (1, O). Entonces,

es un elemento de 1t(X, x o)'

211

Adjunción de 2-celdas a un espacio

Teorema Con las hipótesis anteriores, el homomorfismo xu) --> ,xu> es un epimorfismo, y su núcleo es el menor subgrupo normal que contiene al conjunto {YA : A E:: A}.

TI

DEMOSTRACIÓN: Dividimos la demostración en tres casos. En el primer caso, suponemos que el conjunto A consta de un solo elemento; es decir, X* se obtiene adjuntando a X una única celda, que por simplicidad designaremos por e":

,X*

= X

U é.

Elijamos un punto y E:: e 2 , y pongamos U = X* - {y}, V = e 2 • Entonces U y V son conjuntos abiertos, y V es contráctil. Además X es un retracto de deformación de U. Podemos, pues, aplicar el teorema rV.4.1 para probar nuestro teorema en este caso. Los detalles son parecidos a los de la sección rv.5 para la determinación de la estructura del grupo fundamental de una superficie compacté¡., y los dejamos para el lector. En el segundo caso, suponemos que A es finito. Podemos, ahora, considerar que adjuntamos las celdas {ei : A E:: A} a X sucesivamente, una tras otra, en lugar de hacerlo todas a la vez, y probamos el teorema por inducción sobre el número de elementos del conjunto A. En el proceso de inducción hay que usar el primer caso. El tercer caso es el que falta: suponemos que A es un conjunto infinito. Para cada A E:: A, elijamos un punto y). E:: ei· Entonces A = {y). : A E:: A} es un subconjunto cerrado discreto de X*, ya que X 1' tiene la topología débil. Para cada subconjunto S e A tal que A - S sea finito o vacío, designemos por Us el complementario de S en X*; es decir, U s = X*-S.

Entonces, U s es un subconjunto abierto arco-conexo de X*, y {U s : A - S es un subconjunto finito de A}

es un recubrimiento abierto de X* que satisface las hipótesis del teorema de Seifert-Van Kampen generalizado (teorema rv.2.2), ya que U s n U T = U s UT' Obsérvese que, si A - S = {x).l' X).2' ••• , x)..}, entonces U s = X* - S admite al sub espacio X U e~l U U . . . U e~k> como retracto de deformación. Para este subespacio puede aplicarse el segundo caso. Así pues, falta probar que aplicando el teorema rV.2.2, en esta situación, se obtiene el resultado deseado. Lo dejamos al lector. C.Q.D.

et

Corolario 2.2 Dado un grupo arbitrario G, existe un espacio arco-conexo Y tal que TI(Y) es isomorfo a G. Si G tiene una presentación con un número finito de generadores y relaciones, entonces Y puede tomarse compacto.

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior DEMOSTRACIÓN: Elijamos una presentación de G; es representemos G corno grupo cociente de un grupo libre F. Elijamos un grafo conexo X tal que n(X) = F, corno en el Capítulo VI. Adjuntemos una 2-celda a X de manera que obtengamos un espacio Y, tal corno hemos descrito en el teorema prece-. dente. Adjuntarnos las celdas de manera que «eliminemos» todas las relaciones; así obtenernos n (Y) = G. C.Q.D.

En la sección 4 veremos que Y es un CW-complejo, y por tanto tiene muchas propiedades agradables.

3

Adjunción

dimensión

En esta sección, suponernos que X* ha sido obtenido adjuntando celdas de dimensión > 2 al espacio X. Las hipótesis a imponer son análogas a las de la sección precedente: existe un subespacio cerrado arco-conexo X e X* tal que X* - X es unión disjunta de subconjuntos abiertos e~, A E A, cada uno de ellos homeomorfo al disco n-dimensional Un de Rn. Cada subespacio el se llama «n-celda abierta». Se supone, también, que, correspondiendo a cada n-celda el, existe una aplicación característica

continua, que aplica Un homeomórficamente sobre el y Sn-l en X (donde En = { X E Rn : Ixl ~ l}). Si el número de celdas e~ es infinito, se supone que X* tiene la topología débil. Teorema 3.1

Si n

>

2, la inclusión de X en X* induce un isomorfismo de

n(X) sobre n(X*).

La demostración de e.ste teorema es análoga a la del teorema 2.1, sólo que aquí los detalles son más fáciles, ya que todos los homomorfismo s son isomorfismos en lugar de epimorfismos. La razón de esta diferencia entre este teorema y el teorema 2.1 pude resumirse como sigue: El complementario de un punto en Un es del mismo tipo de homotopía que una (n-l)-esfera Sn-l. Para n > 2, Sn-l es simplemente conexo, pero, para n = 2, su grupo fundamental es cíclico infinito.

4

CW-complejos

El proceso de adjuntar celdas a un espacio, tal corno lo hemos descrito en las secciones 2 y 3, lleva de manera natural al importante concepto de CW-compIejo. Hablando con imprecisión, un CW-complejo es un espacio X que puede construirse de la siguiente manera: Partirnos de un grafo Xl (que no tiene

213

CW-complejos

por qué ser una colección de 2-celdas tal como hemos descrito en la seCClOn obteniendo un espacio X2. Después adjuntamos una colección de 3-celdas como hemos descrito en la sección 3, obteniendo un espacio X3, y así sucesivamente. Entonces

x

= U Xn n=l

es un CW-complejo. Vamos a dar una descripción más precisa. Una estructura de CW-complejo sobre un espacio de Hausdorff X consiste en una sucesión creciente

xo e Xl e

X2

e ...

de subespacios cerrados de X que verifican las siguientes condiciones: (a) xo es un espacio discreto. (b) Para cada n > O, Xn se obtiene adjuntando una colección de n-celdas a Xn-l tal como hemos descrito en la sección 3. (c)

X = U Xn. n=O

(d) El espacio X y cada uno de los subespacios Xn tienen la topología débil; es decir, un subconjunto A de X (o de Xn) es cerrado si y sólo si, para toda q-celda eq, A n éq es cerrado. El subconjunto Xn se llama n-esqu.eleto de X. Hay que hacer notar que puede ocurrir que, para algún valor de n, no haya ninguna n-celda; es decir, que Xn = Xn-l. También es posible que X = Xn; es decir, que no haya celdas de dimensión > n. En este caso se dice que X es de dimensión finita. Si X es un CW-complejo de dimensión finita, y n es el menor entero tal que X = Xn, entonces se dice que X es de dimensión n o n-dimensional. Un CW-complejo no tiene por qué ser conexo. En general, un espacio de Hausdorff X no tiene por qué admitir una estructura de CW-complejo. Por ejemplo, un espacio que no sea localmente conexo, o no sea normal, no puede ser un CW-complejo. Normalmente, si un espacio admite una estructura de CW-complejo, entonces admite una gran variedad de tales estructuras. Un subespacio Y de un CW-complejo X se llama subcomplejo si Y es unión de celdas de X, y para toda q-celda e q , e q e y implica éq e Y. En este caso definimos el n-esqueleto yn por

214

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior

Puede demostrarse que Y es también un CW-complejo, y que es un subconjunto cerrado de X. Para cada entero n, el n-esqueleto X" es un ejemplo de subcomplejo. La unión o la intersección de una colección arbitraria de subcompIejos es un subcompIejo.

Ejemplos 4.1 Nuestro primer ejemplo es el espacio proyectivo real infinito-dimensional. Definimos el espacio proyectivo real de dimensión n, P'" como el espacio cociente de la esfera S" que resulta al identificar todo par de puntos diametralménte opuestos x y-x. Si consideramos R" como el subconjunto de R"+' formado por todos los puntos (x" '" x,,+,) tales que x,,+, = O, entonces S"-' es un subconjunto de S". Esto nos induce una inmersión natural de los' espacios cocientes p,,_, p", para todo n > O. Definimos el espacio proyectivo real infinito-dimensional P por

e

dotado de la topología débil (un subconjunto A de P es cerrado si y sólo si P" (\ A es cerrado, para todo n). Dejamos para el lector la comprobación de que P" se obtiene adjuntando una n-celda a p"_,, tal como hemos descrito en la sección 3 (el método de obtener P, a partir de P, adjuntando un disco es típico). Así pues, P tiene una estructura de CW-complejo con una sola celda en cada dimensión, y el n-esqueleto de P es el espacio proyectivo real de dimensión n, P". 4.2 Una triangulación de una variedad de dimensión 2 (con borde o sin borde) nos da una estructura de CW-complejo 2-dimensional, de manera obvia. Con más generalidad, una subdivisión de una 2-variedad en polígonos, no necesariamente triángulos, tal como lo hemos descrito en la sección L8, da también una estructura de CW-complejo 2-dimensional. Finalmente, la representación usual de una superficie compacta, obtenida identificando a pares los lados de un polígono, da lugar a un CW-complejo con una sola O-celda o vértice, y una sola 2-celda. Se pueden aplicar consideraciones análogas a las variedades de dimensiones superiores que puedan triangularse.

En esta breve introducción a los CW-complejos no podemos dar muchos detalles. El lector que esté interesado puede encontrar estos detalles en el trabajo original de J. H. C. Whitehead sobre esta materia [4], o en los libros de Hilton [1] y S. T. Hu [2]. En ellos se demuestra que un CW-complejo verifica las siguientes propiedades: (a) Todo CW-complejo es un espacio paracompacto de Hausdorff, y por tanto un espacio normal. (b) Todo CW-complejo es localmente contráctil. Esto significa que, para todo punto x y todo entorno U de x, existe un entorno V de x tal que V e U y V es contráctil. Esta condición implica que X es localmente arco-conexo, semilocalmente simplemente conexo, y mucho más; se trata de una condición muy fuerte. En particular se puede aplicar toda la teoría de espacios recubridores. (c) Todo espacio recubridor de un CW-complejo es un CW-complejo. (d) Todo subconjunto compacto de un CW-complejo sólo tiene intersección no vacía con un número finito de celdas, y está contenido en un subcomplejo finito.

215

CW-complejos

En los párrafos precedentes hemos descrito un CW-complejo como un espacio construido de una manera determinada. La definición usual es algo distinta y hace referencia a la descomposición de X en n-celdas abiertas e'~, para n = 0, 1, 2, ... , con ciertas condiciones. Se demuestra entonces como teorema que todo CW-complejo puede construirse por el método que hemos descrito. Podemos aplicar directamente los resultados del Capítulo VI y de las secciones 2 y 3 al grupo fundamental de un CW-complejo. En particular tenemos el siguiente:

Teorema 4.1 Sea X un CW-complejo conexo. La inclusión deL 2-esqueleto X" en X induce un isomorfismo de 11:(X") sobre 11: Es consecuencia del teorema 3.1 y de la propiedad (d) anterior; véase el ejercico I1.4.11. El 1-esqueleto XL de un CW-complejo es un grafo ; podemos, pues, aplicar los resultados del Capítulo VI. El teorema 2.1 es aplicable directamente para determinar la relación entre los grupos 11: (Xl) y 11: (X"). En las dos secciones siguientes necesitaremos el siguiente lema sobre el grupo fundamental de ciertos CW-complejos.

Lema 4.2 Sea X un CW-complejo que sea umon de una colección de subcomplejos conexos {A A: A, E A}. Supongamos que existe un árbol no vacío T que sea un subcomplejo del l-esqueLeto tal que, para todo par de índices distintos A, y ¡.t, A A n Al-' = T. Entonces, para todo vértice v de T, eL grupo fundamental 11: (X, v) es el producto libre de los grupos 11: (AA' v) respecto los homomorfismos epA: 11:(AA' v) --+ 11: (X, v) inducidos por las inclusiones.

X"

DEMOSTRACIÓN: Consideremós, primero, el caso en que X, y por tanto todos los A A sean complejos de dimensión 1. Si aplicamos los resultados de la sección V1.5, el lema es prácticamente inmediato en este caso; basta elegir un árbol maximal en X que contenga al árbol dado T, y aplicar el teorema VL5.2 a X y a cada AA' Consideremos, ahora, el caso en que X es de dimensión 2. Debemos probar que, dado un grupo H y una colección arbitraria de homomorfismo s tIJA: 11:(AA) --+ H, existe un único homomorfismo (J' : 11:(X) --+ H tal que crepA = tIJA' para todo A,. Designemos por A~ y Xl los l-esqueletos de A A Y X, y por j A: 11:(At) --+ 11:(A) Y j : 11:(X') --+ 7T(X) los homomorfismo s inducidos por las inclusiones. Entonces, para cada índice A" tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

7T(AD

1A 'P

I

7T(Xl)

h

---t

7T(A)J

1

'P).

7T(X)

'"A

---t

H

216

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior

En virtud del párrafo precedente de la demostración, existe un único homomorfismo (¡' : re ---> H tal que

para todo A. E A. En virtud del teorema 2.1, el homomorfismo j (respectivamente jA) es un epimorfismo, y los generadores del núcleo están en correspondencia biyectiva con las 2-celdas de X (respectivamente de Sea una 2-celda arbitraria de X y "(i el correspondiente generador del núcleo de j. Elijamos un índice A. tal que e AA; entonces "(i es también un generador del núcleo de jA. De la ecuación (7.4-1) y del hecho de que CPt es un monomorfismo se sigue que (J'(Yi) = o. Puesto que esto es cierto para toda 2-celda e~, resulta que existe un único homomorfismo (J : re (X) ---> H tal que (J' = (Jj. Se comprueba fácilmente que CT tiene las propiedades requeridas. Finalmente, pasemos al caso general. Consideremos los esqueletos 2-dimensionales de X y de los AA, y apliquemos el teorema 4.1. Los detalles son análogos a los que acabamos de dar, sólo que ligeramente más simples. Los dejamos para el lector. C.Q.D.

e;

e;

Este lema podría también haberse demostrado construyendo entornos abiertos VA de los subcomplejos AA, de manera que cada AA fuera un retracto de deformación de VA' y aplicando entonces el lema IV.3.2. Sin embargo, parece más fácil el método de demostración que hemos seguido.

5

El teorema del suhgrupo de Kurosh

Supongamos que G es un producto libre de una familia de grupos:

G

=

TI* G¡... l\EA

En los ejercICIOS de la seCCIOn III.4 señalamos que si, para cada A. E A, escogemos un subgrupo G'A de G A, entonces el producto libre G' = TI* G~ '-EA

puede considerarse como un subgrupo de G. Es natural preguntarse si todo subgrupo de G es de este tipo. Algunos ejemplos sencillos muestran que la respuesta a esta cuestión es definitivamente no. Sin embargo, el siguiente conocido teorema de Kurosh demuestra que la respuesta se acerca mucho al sí.

Teorema 5.1

Sea H un subgrupo del producto libre G = re*GA• Entonces,

H es un producto libre,

H = F* (TI* H.),

El teorema del

217

de Kurosh

donde F es un grupo libre y cada H v es uno de los factores libres Gleo

en G de un

de

DEMOSTRACIÓN: Daremos una demostración topológica haciendo uso de los resultados y métodos de los Capítulos V, VI y VII Para cada A E A, sea un CW-complejo 2-dimensional con un solo vértice VA tal que

Sea V o un punto que no pertenezca a ninguno de los espacios X le ; unimos el vértice V o al vértice VA mediante una arista eA' para cada A E A Designemos por X la unión de todos los espacios X A, todas las aristas ele' y el vértice v o ; y dotamos a X de la topología débil. Entonces X es un CW-complejo 2-dimensional conexo, y 1C(X, v o ) puede identificarse al producto libre G (véase lema 402)0 Sea (X, p) un espacio recubridor de X que- corresponda al subgrupo Ho Tal como hemos mencionado en la sección 4, el espacio X tiene una estructura natural de CW-complejoo Elijamos un vértice V o E p-l (v,J tal que

Completaremos la demostración aplicando el lema 402 para demostrar que 1C'(X, vo) es un producto libre de ciertos subgruposo Para llevar a cabo la demostración con la generalidad requerida, necesitamos una notación bastante elaboradao El lector ha de procurar que esta notación no oscurezca la simplicidad esencial de la demostracióno Quizás pueda penetrar mejor en los detalles que siguen, considerando un caso especial, relativamente sencillo; por ejemplo, cuando A = {1, 2, 3}, cada G A es un grupo abeliano libre con 2 generadores, cada Xle un toro, H un sul:igrupo de G de índice finito, y (X, p) un espacio recubridor con un número finito de hojaso Para cada A E A, designemos por

el conjunto de componentes de p-l(Xle)o En virtud del lema Y2J, (X h,., p I Xh,.) es un espacio recubridor de Xleo Cada XA[l es un CW-somplejo 2-dimensional; elijamos un árbol maximal Tle[l en el l-esqueleto de XA[lo Designemos por Y el grafo conexo contenido en el l-esqueleto de X siguiente: Y será la unión de todos los árboles Tle[l junto con todas las aristas p-l(e;), para todo A E A Sea T un árbol maximal en Y que contenga a cada uno de los árboles Tle[l ; no es difícil probar la existencia de un árbol maximal en estas condicioneso ' 1

Una manera de demostrarlo es formar un nuevo grafo Y', a partir de Y, contrayendo cada uno de los árboles TA¡.L a un vértice vA[l Designemos por q : Y ---> y' la proyección naturaL Elegimos un árbol maximal T' Y', y entonces tomamos T = q-'(T')o

e

218

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior

Estamos ahora en condiciones de aplicar el lema 4.2 para determinar la es~ tructura del grupo fundamental '!t (X, vo). Para ello consideremos el recubrimiento del espacio X formado por los siguientes subcomplejos: Y, y UT para todo par 0", ¡.t). Cada uno de estos subcomplejos es conexo, contiene el vértice vo, y la intersección de dos cualesquiera de ellos es el árbol T. Entonces, por el lema 4.2, '!t (X, vo) es el producto libre de los grupos '!t(Y, VII) Y 11: (X A[.< U T, vo). '!t (Y) es un grupo libre por el teorema VI.5.1, y.,x).[.< es un retracto de deformación de X).[.< U T (véase teorema l'or tanto, '!t(XA~ U T)= 1dX).[.<). Está claro que, por el monomorfismo P* : 7r(X, vo) ----> 7r(X, vo),

r¡;(X).[.< U T,

vo)

se

aplica

sobre

un

conjugado

de

un

subgrupo

de

Jt(X A U c)., v o ) = G A; este conjugado depende de la elección del árbol maxi-

mal T.

C.Q.D.

Muchas veces es necesario tener una descripción más precisa de los factores libres H v del enunciado del teorema anterior, y tener alguna idea del grado en que estos factores libres están determinados por el subgrupo H. Para establecer este perfeccionamiento del teorema 5.1, es conveniente utilizar el concepto de clase lateral doble. Recordemos que, para todo g E:: G, el conjunto

se llama clase lateral doble de los subgrupos H y G", y que dos clases laterales dobles de H y G~ distintas son siempre disjuntas, como ocurre con las clases laterales ordinarias. (Véase M. Hall [8], p. 14, o Kurosh [9], vol. 1, p. 63.)

Teo:rema 5.2 Supongamos verificadas las hipótesis del teorema 5.1. Entonces, para cada índice A, E:: A, existe un conjunto de representantes ¡¡3,,~ : J.L E

M,},

uno para cada clase lateral doble de H y GA, tal que H

= F * [ll* ll* (H n AEAI'EMA

¡3'I'GA¡3~~)),

donde F es un grupo libre como en el teorema 5.1. Ésta es una forma más concreta del teorema 5.1, ya que da información sobre el número de factores H v del teorema 5.1, y sobre cómo podemos determinarlos. Obsérvese que, si a y ~ son elementos de una misma clase lateral doble de H y G A, entonces, los subgrupos H aG",a- 1 y H ~G",~-l son conjugados en H. Por ello, es razonable que los ~).[.< sean representantes de las distintas clases laterales dobles.

n

n

El teorema del subgrupo de Kurosh

219

que hacer notar que o todos los H n del teorema 5.2 pueden constar sólo del elemento neutro, incluso en el caso en que H sea un subgrupo propio de G. En ejercicios posteriores daremos algunos ejemplos de estos casos. DEMOSTRACIÓN: La demostración consiste en perfeccionar la del teorema 5.1, razonando con más cuidado. Conservaremos la notación de aquella demostración algo más elaborada. Para cada índice A, sea y).. = x).. U eA; entonces YA es un subcomplejo de X que contiene el punto base V(J" Designemos por {YA¡l : !-t E M A} el conjunto de las componentes de p-l (Y,J, con índices tales que YA¡.t =:) X)..¡.t, para todo ¡J,. Cada subcomplejo í\.¡, puede imaginarse que ha sido obtenido adjuntando un cierto número de «patillas», a .:\\¡.t; el número de patillas debe ser igual al de hojas del espacio recubridor (X}.¡.t, p I ji\¡.t) de X,.' En cada subcomplejo Y)..¡.t elijamos un vértice h¡.t tal que P(VA¡.t) = v u ; para cada A, existirá un sólo índice ¡.t E MA tal que pueda elegirse VA¡.t = vu' pero no insistiremos en esta elección. A pesar de que los v}.¡.t con el primer índice A fijo son todos distintos, no tienen por qué serlo si los primeros índices Al y A2 son distintos. La demostración del teorema se lleva a cabo a través del diagrama conmutativo de grupos y homomorfismos de la figura 7.1. Existe uno de estos diagramas para cada par de índices (A, !-t). En este diagrama,

FIGURA 7.1 Diagrama conmutativo para la demostración del teorema 5.2.

P)..¡.t = pi Y\I-" y los homomorfismos i).., i)..l-" j)..1-' Y
Los isomorfismos

u)..1-'

y

w)..1-'

están definidos por

Obsérvese que hl-' es un isomorfismo, W)..I-' es un automorfismo interno, y que todos los homomorfismo s del diagrama son monomorfismos.

El grupo

220

tunam11.prl1aL

de espacios de dimensión superior

Por construcción, tenemos

Vo) = Pongamos P*<j))"lL'ltCf\.lL U T, vo) = H)"lL e H. Entonces, tal como demostramos en el teorema 5.1, H es el producto libre de F y de todos los grupos HAlL (que designábamos por H v ). Apliquemos, ahora, la proposición V.n.1 a este diagrama; se entonces

Si aplicamos,' ahora, los isomorfismos u AlL y W AlL a esta relación, y hacemos uso de todas las relaciones de conmutatividad de la figura 7.1, obtenemos

Para completar la demostración, debemos comprobar que {~AlL: p. E M A } es un conjunto de representantes de la clase lateral doble HxG¡". Para ello, consideremos la acción por la derecha de G = 1dX, vo) sobre el conjunto p-l(V O)' como en la sección V.7. El subgrupo H es el subgrupo de isotropía correspondiente al punto 1\, y podemos identificar los puntos de p-l(V O) con las clases laterales Hx, en la forma acostumbrada. Consideremos la acción del subgrupo G)" sobre p-l(v o ) o, lo que es equivalente, sobre el espacio de clases laterales G/H. Para todo p. E M A , G A permuta los puntos de Y AlL n p-l(V O) transitivamente. En consecuencia, el conjunto de componentes CY\lL : p. E M A } está en correspondencia biyectiva con el conjunto de clases laterales dobles HxG A ; y toda elección de caminos ~AlL E G tales que Vo • ~AlL = V AlL E :VAlL' para todo p. E M A , es una elección de representantes para estas clases laterales dobles. C.Q.D.

Proposición 5.3 Supongamos en el teorema 5.1 que A = {1, 2, ... , n}, G = G, * G 2 * ... * G n, y que H es un subgrupo de G de índice k < oo. Entonces, eL rango del factor libre F del teorema 5.1 viene dado por la fórmula rang F

= 1 + k(n - 1) -

n

¿

C).,

).,=1

donde CA designa el número de clases laterales dobles distintas HxG)" para A = 1,2, ... , n. DEMOSTRACIÓN:

Recordemos que,

en

la

demostración del teorema 5.1, X. Si X (Y) designa la ca-

F = 'lt (Y), donde Y es un cierto grafo contenido en racterística de Euler del grafo Y, entonces

rang

F=

1 -

xCV)

El teorema del

.221

de Kurosh

en virtud del teorema VI.6.2. Por tanto, .!enemos que determinar X El comX tiene n + 1 vértices; por tanto X tiene k + 1) vértices. Puesto que Y contiene todos los vértices de X., y tiene k(n + 1) vértices. Ahora, tenemos que contar el número de aristas del grafo Y. Las aristas de Y son de dos clases: las que se proyectan sobre una de las aristas de X, y las que pertenecen a alguno de los árboles TA.¡J.' Evidentemente, hay k . n aristas de la primera clase, que se proyectan sobre algún el.. Vamos a ver que hay

e"

n

nk -

¿

CA

A=1

aristas de la segunda clase. Para ello, obsérvese que, para 1 ~ A ~ n, c" designa tanto el número de componentes {XA.¡J.: ¡..t E M A }, como el número de árboles TA.¡J., ¡..t E M).. Puesto que la característica de Euler de cada árbol TA.¡J. es + 1, la característica de Euler de la unión

es cA' Como hay k vértices en

resulta que hay k - c A. aristas en

Sumando ahora respecto de A = 1, 2, ... , n, se obtiene el número de aristas de la segunda clase. De todo esto se deduce que n

x(Y) = (1 - n)k

+ A=l ¿ cA,

y, por tanto, la fórmula deseada para el rango de F.

C.Q.D.

Proposición 5.4 Conservemos las hipótesis y notación del teorema 5.2. Para todo B E G y todo v E A, si H n BGvB- 1 o;é { 1}, entonces, uno exactamente de los subgrv,pos H n SA.¡J. GA.B5:~ mencionados en el enunciado del teorema 5.2 es conjugado de H n BGvB-I en H. DEMOSTRACIÓN: Puesto que {S A.¡J.: ¡..t E Mv} recorre un conjunto completo de representantes de las clases laterales dobles HxG v , existe exactamente un índice ¡..t E Mv tal que ~ y ~I[L pertenecen a la misma clase lateral doble. Tal como ya hemos observado previamente, esto implica que H n ~GvS-l y H ~v¡J.GvBui son subgrupos conjugados de H. Si H ~Gv~-l fuera conjugado de dos de los subgrupos H n ~,,¡J.G,,~i" entonces estos dos subgrupos serían conjugados uno del otro. Aplicando a 'Ji el ejercicio IlI.4.8, vemos que esto es imposible. C.Q.D.

n

n

222

de espacios de dimensión superior

El grupo

Podemos esta proposiclOn de la siguiente manera: consideremos la siguiente familia de subgrupos de H:

H

n

1l.

fjG x(3-1 ~

Al igual que toda familia de subgrupos de H, esta familia se escinde en varias clases de conjugación. Entonces, entre los grupos H n ~A¡;'~ ~i~ .. que aparecen en la conclusión del teorema 5.2, hay exactamente un representante de cada clase de conjugación. Así, aunque los subgrupos H n ~A¡;.G),. ~-;:~ de la descomposición de H en producto libre en el teorema 5.2 no son en ningún sentido canónicos o únicos, las clases de conjugación de estos subgrupos son únicas y canónicas. De esto, se deduce fácilmente, que si se tienen dos descomposiciones distintas de H como un producto libre de la forma descrita en el teorema 5.2, los factores libres F de estas dos descomposiciones deben ser isomorfos (véase ejercicio III.4.10). En el caso en que el índice de H sea finito, este resultado es también consecuencia de la proposición 5.3. A partir de todo lo que acabamos de probar, puede demostrarse fácilmente que dos descomposiciones cualesquiera de un grupo arbitrario como producto libre poseen refinamientos isomorfos, y que, si existe una descomposición libre de un grupo dado G con factores indescomponibles, entonces, dos cualesquiera de estas descomposiciones son siempre isomorfas. Para los detalles, véase Kurosh [9], vol. II, sección 35, o bien Specht [10]. p. 189.

Ejercicios S.l En el teorema 5.2 supongamos que H es un sub grupo normal de G. Probar que cada uno de los factores libres H n ~¡.¡;.GA~l'¡;. es conjugado (en Gl de H n~, y que H n G A es un sub grupo normal de GA. Si cada G A es un grupo simple, ¿qué puede decirse sobre los factores libres H n ~A¡;.GA~);~ de H? 5.2 Sea G = G, * G" Y N el menor 'subgrupo normal de G que contenga a G,. Probar que N es el producto libre de la familia de subgrupos {gG,g~' : g E G, l. (Véase ejercicio III.4.9') 5.3 En el teorema 5.2, supongamos que cada uno de los grupos GAes un grupo infinito y que H es un sub grupo de G de índice finito. Probar que, para todo par O .. , [J.), H

n

~A¡;.GA~l~ rf

{ll.

5.4 Probar que en el teorema 5.2 es posible elegir los representantes ~A¡;' de manera que, para cada)., E A , e2Sista un [J. E M A tal que ~AI-' = 1. (INDICACIÓN: En la demostración del teorema 5.2, si Vo E YAI-" elegir VAl-' = o'> 5.5 En el teorema 5.2 supongamos que H es el sub grupo conmutador. Probar que, para todo índice )." H n G A es el subgrupo conmutador de G A. [INDICACIÓN: Es obvio que el sub grupo conmutador de G A está contenido en H n G A. Para probar la inclusión contraria, supongamos qu~ [J. E Mx es tal que V o E 11\1-' y V),I-' = 13 como en el ejercicio precedente. Probar que JY),¡;., p),~ es un recubrimiento regular de YA' y que el grupo de automorfismos
v

0

223

Teorema de Grushko

abeliano finito. (INDICACIÓN: Para determinar el índice del sub grupo conmutador H en este caso particular, aplicar el ejercicio III.4.5J 5.7 Probar que la intersección de dos factores libres cualesquiera de un grupo es nuevamente un factor libre; concretando, si G" G" G~ y G: son sub grupos de G tales que G = G I 7< G, = GIl 7< G~, entonces G , n G; es un factor libre de G, (INDICACIÓN: Aplicar el teorema 5,2, considerando H = G; como subgrupo de G , 1< G,; utilizar el refinamiento sugerido en el ejerciCio 5.4'>

ti

Teorema

Uno de los teoremas más importantes sobre grupos libres y productos libres de grupos es el siguiente, debido al matemático ruso 1. Grushko (1940). Para motivar este teorema, recordemos que, si {G¡J y {G\} son dos familias de grupos con el mismo conjunto de índices A, y, para cada A E A, tenemos un 'homomorfismo f.;" : G).. -» GL entonces existe un único homomorfismo

f : ll* GA -+ ll* G~ A

A

que es una extensión de los homomorfismos f A (véase ejerclclO II1.4,3). Para mayor brevedad, cuando nos refiramos al homomorfismo f, se denominará producto libre de la familia de homomorfismos {f ¡J. El teorema de Grushko dice esencialmente que todo epimorfismo de un grupo libre (esto es, un producto libre de grupos cíclicos infinitos) sobre un producto libre arbitrario de grupos, es un producto libre de homomorfismos. El enunciado preciso es como sigue:

Teorema 6.1 Sea

un epimorfismo de un grupo libre F sobre un producto libre arbitrario de grupos. Entonces existe una descomposición de F como producto libre, F = ll* FA A

tal que
F -+ ll* Gx A

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior

de la siguiente manera. Para cada índice A, designemos por B A un CW-compIejo 2-dimensional con un solo vértice v).. tal que 11: (BA' vA) = G A. Podemos suponer que los B A son dos a dos disjuntos. Designemos por Y el espacio cociente de

obtenido al identificar todos los vértices vA a un solo vértice v. Entonces, Y es un CW-complejo 2-dimensional con un solo vértice, y

-¡rey, v) =

ll* Gl\, ).

en virtud del lema 4.2. Sea {y T } una base del grupo libre F. Para cada índice 1:, cp (y T ) admite una única representación como palabra reducida en el producto libre ll*G A :

Elijamos una circunferencia S T para cada índice 1:. Dividimos las circunferencias Sr en n segmentos, intercalando n vértices. Designemos a estos segmentos por Wl' W 2 , ••. , W n . De esta manera, Sr se convierte en un grafo con n vértices y n aristas. Definamos una aplicación continua ir: Sr -> y de manera que i I W i sea un camino cerrado en algún B A representante de la clase ai, i = 1, ... , n. Hagamos esto para cada índice '1:, y designemos por X la unión de todos los círculos Sr con todos los vértices iniciales identificados a un solo vértice de X. Entonces, X es un grafo conexo finito, 11: (X) = F, Y las aplicaciones ir: Sr -> Y, que hemos definido, determinan una única aplicación continua i: X -> Y tal que el homomorfismo inducido i", : 11:(X) -> 11: (Y) es equivalente al homomorfismo dado cp. Podemos asociar a cada arista Wi de ST un único índice A tal que f(W;) e B A • Designemos por AA el subgrafo de X formado por todos los vértices junto con todas las aristas W i asignadas al índice A (en general, AA no es conexo). Entonces, i aplica AA en BA , y n AA consiste en el conjunto de todos los vértices de X. A Para probar el teorema construiremos un CW-complejo 2-dimensional conexo y finito X' que contenga a X como retracto de deformación, y una aplicación f: X' -> Y que sea una extensión de f. Resultará que 11: (X') = 7C (X) = F, Y f* : 11:(X') -> 11:(Y) será el homomorfismo dado cp. Además, X' será la unión de subcomplejos conexos A'A tales que cada A\::J AA, Y f(AU e B A, Y existirá un árbol T que contendrá todos los vértices de X', estará contenido en cada A~, y tal que, para todo par de índices distintos A y ¡J.,

A~ nA~ = T. Del lema 4.2 se deducirá que 7C(X') es el producto libre de los grupos 11:(AU; por tanto, podremos tomar F" = 11: (AD, Y el teorema quedará demostrado.

225

Teorema de Grushko

Antes de dar la ingeniosa demostración de Stallings de que siempre es posible una construcción como la anterior, la ilustraremos en un caso particular. Sea G = G l * G 2 , donde G l es cíclico de orden 2 generado por a, y G z es cíclico de orden 3 generado por b. Sea F un grupo libre con dos generadores x e y, y supongamos que definimos cp : F ----> G por cp(x) = aba, cp(y) = ababa. Dejamos para el lector la comprobación de que cp es un epimorfismo. El espacio X de este ejemplo es la unión de dos circunferencias, una dividida en tres segmentos y la otra en cinco. Podemos suponer que X está sumergido en el plano, como indica la figura 7.2 (La razón de este método asimétrico de representar X en la figura 7.2 quedará clara en breve.) Es útil pensar que las aristas del complejo X que se aplican en BI y Bz están pintadas de colores distintos, por ejemplo, anaranjado y verde. Entonces Al es el subcomplejo de X formado por todas las aristas anaranjadas al' a z' ... , as' y A 2 al subcomplejo formado por las aristas verdes b l , b 2 y ba . Los vértices v o' .•• , ve deben imaginarse como coloreados a la vez de anaranjado y verde. La flecha sobre cada arista indica cómo se aplica para representar el elemento a E:: 1t (B I) = G l o bE:: 1t(B2) = G 2 •

VII

FIGURA 7.2 El complejo X.

226

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior

La figura 7.3 muestra el complejo X'. Desgraciadamente no puede sumergirse en el plano; por tanto, está expuesto en dos piezas que deben pegarse a lo largo de la línea indicada. X' se obtiene adjuntando a X las aristas el' c 2 ' ••• , C ü y las 2-celdas el' e 2 , ••. , e ü ; no añadimos ningún nuevo vértice. Las 2-celdas e 4 y e 5 están coloreadas de verde, mientras que el' e 2 , e 3 y e ü están coloreadas de anaranjado. Las nuevas aristas cl' ... , C ü están coloreadas a la vez de verde y anaranjado. La aplicación f : X --> Y se extiendl2 a una aplicación continua f : X' --> Y de la siguiente manera: Cada una de las aristas c¡ se aplica en el punto base común de B, y B 2 , las 2-celdas anaranjadas se apli/'(;

FIGURA 7.3 El complejo X'. Las dos piezas deben pegarse a lo largo de la línea

V,V,.

Teorema de Grushko

can en Bl' y las 2-celdas verdes en En cada uno de los seis casos sin dificultad que la aplicación l' puede realmente extenderse con continuidad sobre cada 2-celda (utilizar el lema II.8.1 y las relaciones a 2 = 1, b" = Resulta, entonces, claro que X es un retracto de deformación de X', que los subcomplejos anaranjado ,Y verde son ambos conexos, y que la intersección A', n A'2 consiste en la unión de las aristas el' e2, ... , e G, que es un árbol que contiene todos los vértices. Así, en virtud del lema 4.2,

y puesto que 1'(A\) e Bl Y j'(A'z) e B 2 , tenemos demostrado el teorema en este caso. Este ejemplo ilustra muy bien la estrategia de la demostración en el caso general. Adjuntamos las aristas e" c2 , • . . a X sucesivamente para conectar los vértices y construir un árbol. Debemos adjuntar, también, 2-celdas el' e 2 , ••• sucesivamente de manera que Cí sea parte del borde de eí , para asegurar que X sea un retracto de deformación de X'. Finalmente, toda la construcción debe hacerse de manera que la aplicación f pueda extenderse con continuidad sobre cada 2-celda e í para aplicarla en uno de los subcomplejos B . Demostramos ahora formalmente que siempre podemos llevar a cabo una construcción como la anterior. En primer lugar, introducimos algo de terminología. El CW-complejo y que es unión de los subcomplejos Bl\" A E A, permanece fijo a lo largo de toda la demostración. A un sistema formado por un CW-complejo 2-dimensional conexó y finito K, una colección de' subcomplejos CA, A E A, y una aplicación continua f : K Y le llamaremos un sistema de StaLlings, si verifica -)o

(a)

K = U Cx; x

(b) para todo par de índices distintos

CM

Í\

Cv

=

¡.t

n

y

'V

CA;

AEA

A, iCCA) e B A ; Y (d) f aplica el n-esqueleto de K en el n-esqueleto de Y, para todo n. Supondremos siempre que en un tal sistema de Stallings hemos elegido de una vez por todas un punto base de K. que sea un vértice de (c) para todo índice

nA

CA'

Obsérvese que no suponemos que los subcomplejos CA o sus intersecciones

sean conexos. Es conveniente suponer los índices A como representantes de

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior

diferentes colores, como en el caso particular anterior. Por esta razón, diremos que un camino de K es monocromático si está enteramente contenido en algún CA' Llamaremos lazo a un camino del l-esqueleto de K cuyos extremos coincidan en un vértice, y ligadura a un camino tal que sus extremos sean vértices de distintas componentes de la intersección

Una ligadora g : 1 --+ K se llama una ligadura atadora si existe un índice A tal que g(1) e CA' y el camino fg : 1 ---+ Y es equivalente, en B A, al camino constante. Obsérvese que una ligadura atadora es siempre monocromática. Esta definición de ligadura atadora puede también redactarse en los siguientes términos: Designemos por 1j la clase de equivalencia del camino 9 en CA, y por fA: CA ---+ B A la restricción de f a CA' Entonces, se exige que fA ... (1j) = 1 en 1t(B,,).

Describimos ahora una construcción fundamental que puede llevarse a cabo siempre en un sistema de Stallings con una ligadura atadora dada. Sean K, { CA: A E:: A}, y f : K ---+ Y un sistema de Stallings, y 9 : 1 ---+ C" una ligadura atadora de color [J., tal como la hemos definido. Sea D un disco cerrado 2-dimensional cuyo borde esté dividido en dos segmentos c, y c 2 que sólo tengan los extremos comunes. Identifiquemos c, con el intervalo unidad 1 de manera que podemos considerar g como una aplicación de c l en el.<' Designemos por K' el espacio cociente de K U D obtenido al identificar todo punto t E:: c l como su imagen g(t) E:: K. Entonces K' es un eW-complejo que contiene a K como subcomplejo, y además una arista c 2 y una 2-celda D. Evidentemente K es un retracto de deformación de K'. Designemos por C'I.< la unión de CiJo y la 2-celda cerrada D (con las identificaciones dadas), y para cada índice A ~ [J., por C~ la unión de e A con la arista c 2 (los extremos de c 2 están identificados con los extremos del camino g). Entonces,

nA

C~

se obtiene a partir de

adjuntando el arco c 2 ' que une dos componentes distintas de

Ahora, extendemos la aplicación f : K ---+ Y a una aplicación f : K' ---+ Y de la siguiente manera: f aplica el arco c 2 en el único vértice v de Y, y entonces se extiende f a una aplicación continua de la 2-celda D en BiJo. Esta última extensión es siempre posible en virtud de la hipótesis de que fg : 1 ---+ B iJo es equivalente al camino constante (véase lema lI.S.l). Es inmediato que el siste-

Teorema de Grushko

ma formado por K', {C'A : A E A}, y f : K' --7 Y es nuevamente un sistema de Stallings. Esta construcción puede utilizarse para conectar dos componentes de

siempre que exista una ligadura atadora. Vamos a abordar ahora la cuestión de la existencia de ligaduras atadoras.

Lema 6.2 Sea K, {C A : A E A}, f : K --7 Y un sistema de Stallings tal f;< : 1dK) --7 1t(Y) sea un epimorfismo. Si

qUE

no es conexo, entonces existe una ligadura atadora. DEMOSTRACIÓN:

Para cada componente de

elijamos un vértice como punto base. Consideremos cualquier lazo o ligadura g cuyos extremos sean puntos base. Se deduce fácilmente del Capítulo VI que todo lazo o ligadura en estas condiciones es equivalente a un producto de caminos, cada uno de los cuales corta a una sola arista, por lo que será equivalente a un producto de caminos monocromáticos. Agrupando estos caminos en bloques monocromáticos maximales, vemos que g r v glg2 ... gn, donde cada gi es monocromático, y, para todo i, gi Y gi+I tienen colores distintos. Por lo tanto, los extremos de cada camino gi deben pertenecer a

esto es cierto, por hipótesis, para el origen de g, y el extremo de gn. Para 1 ~ i < n,sea h i un camino de aristas en

que una el extremo de gi con el punto base de su componente en

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior

Entonces,

Aquí, cada término es monocromático, y los extremos de cada término están entre los puntos base elegidos. Por tanto, cada término es un lazo o una ligadura. Así pues, hemos demostrado que todo lazo o ligadura en nn sistema de Stallings es equivalente a un producto de lazos y ligaduras monocromáticos cuyos extremos pertenecen al conjunto de puntos base elegidos, y los términos sucesivos del producto tienen colores distintos. Afirmamos ahora que existe una ligadura 9 en K cuya clase 1] verifica f" (1]) = 1 en 1t(Y). En efecto, puesto que K es conexo y

no lo es, existe una ligadura h en K cuyos extremos son puntos base en componentes distintas de

Designemos por O la clase de h. Puesto que f * : 1t (K) --7 1t (Y) es un epimorfismo, existe un lazo k en K con punto base en el origen de h, cuya clase de equivalencia S E 1t(K) satisface la ecuación h(~) = 1*(0). Entonces k- ' h = g es la ligadura deseada, ya que 1"" (S-lO) = 1. En virtud de la afirmación anterior, podemos suponer que

es un producto de lazos y ligaduras monocromáticos. Designemos por 1]¡ la clase de equivalencia del lazo o ligadura monocromáticos g¡, para i = 1, ... , n. Afirmamos ahora que existe una ligadura g,..., g,g2 ... gIl en la clase 1] = 1]11]2 ... 1]", que verifica las tres condiciones siguientes: (a) 1""(1]) = 1. (b) Para todo i, los lazos o ligaduras monocromáticos g¡ y gl+1 tienen colores distintos. (e) Para todo i,si Q¡ es un lazo, entonces 1*(1]¡) ~ 1. Hemos visto ya cómo pueden satisfacerse las condiciones (a) y (b); para que se verifique la condición (c), omitimos simplemente del producto todo lazo g¡ tal que 1""(1]¡)=1. Puesto que g¡ es un lazo, sus extremos coinciden, y g, ... g¡-,g¡+1 ... gIl es aún un producto bien definido de caminos. Una vez omitido este g¡ del producto g,g2 ... gIl es posible que podamos agrupar en uno solo los términos gi-1 y giH porque son del mismo color. En todo caso, después de un número finito de estas reducciones, obtenemos la ligadura deseada. El número de factores n debe permanecer ~ 1, ya que los extremos de 9 son distintos y permanecen invariables por todas estas reducciones. Consideremos una ligadura cualquiera 9 ,..., g,g2 .. gIl que verifique las tres

231

Teorema de Grushko

condiciones anteriores. Tenemos entonces en 11:

la siguiente ecuación:

Para todo i, los factores f * (¡Ji) y f * (YJ¡ + 1) pertenecen a factores libres distintos 11:(B)J de Y, y además n~L Por tanto, debe existir un índice i tal que f* =1; de lo contrario tendríamos en el producto libre

una representación de la unidad como palabra reducida de longitud ~ 1. Pero, no puede ser un lazo, ya que hemos eliminado todos los lazos triviales. Por tanto, g¡ es una ligadura. Es monocromática, por construcción, y es una ligadura atadora, ya que f*(¡ji) = 1 en n(Y). Puesto que n(Y) es un producto libre, debemos tener f * (YJJ = 1 en el grupo n (B ) para un apropiado color 'A. Esto completa la demostración del lema 6.2. g¡

Podemos completar ahora la demostración del teorema 6.1. Consideremos el sistema de Stallings X, {Aj. : 'A E A}, f : X -> Y construido al principio de la demostración, de manera que f'l-: n (X) -> 11: (Y) represente el epimorfismo dado cp. En este sistema de Stallings,

es el conjunto de vértices del grafo finito X. Si la intersección no es conexa, podemos aplicar el lema 6.2 para deducir la existencia de una ligadura atadora. Entonces podemos aplicar la construcción fundamental para obtener un sistema de Stallings XI, {Al}; f1 : Xl -> Y tal que X sea un retracto de deformación de XI, f1 una extensión de f, y

tenga ilna componente menos que ya que hemos unido dos vértices de

nA, por un arco. Si

no es conexo, repetimos este proceso para obtener un nuevo sistema de Stall-

232

El grupo fundamental de espacios de dimensión superior

ings X2, {A~}, f" : X" --+ y así sucesivamente. Este proceso debe acabarse después de un número finito de pasos, ya que

(\ A, A

posee sólo un número finito de componentes. Así pues, si (\ A

tiene n + 1 componentes, después de n pasos obtenemos un sistema de Stallings Xn, {An lo fn : Xh --+ y tal que A

es conexo; claro que esta intersección tiene que ser un árbol. Si ponemos X' 'Xn, A~ A~ y f fn, hemos llevado a cabo la construcción que deseábamos. Esto completa la demostración del teorema de Grushko.

=

=

=

Ejercicios 6.1 Supongamos que G '" G,* ... ;¡. Gk. Sea n el número mínimo de generadores de G para cada 1 ~ i ~ k, n¡ el mínimo número de generadores de G¡. Probar que n '" n, + n, + ... + nk. Deducir de esto que un grupo generado por n elementos no puede ~er un producto libre de más de n factores no triviales, y que todo grupo finitamente generado puede descomponerse en el producto libre de un número finito de factores indescomponibles. 6.2 Probar que un grupo libre de rango n no puede estar generado por menos de n elementos. 6.3 Sean F y G grupos libres de rango n, y q¡ : F -+ G un epimorfismo. Probar que q¡ es un isomorfismo. Deducir de esto los dos corolarios siguientes: (a) Si G es un grupo libre de rango n, y a" .. . ,a n E G son n generadores cualesquiera de G, entoncesla" . '" a,,) es una base de G. (b) Si G es un grupo libre de rango finito y N un subgrupo normal propio de G, entonces G/N no es isomorfo a G. 6.4 Supongamos que y,

G

U Gn , n=l

donde cada G n es un subgrupo de G, para todo n, G" es un sub grupo propio de G n "" y G n está generado· por lo menos por m elementos, para n", 1, 2, .... Si G '" H,*H con Ho finitamente generado, entonces H, está generado por menos de m elementos y H no es finitamente generado (W. Specht [10]). (INDICACIÓN: Probar sucesivamente los siguientes pasos: 1. G no es finitamente generado. 2. H no es finitamente generado. 3. Existe un entero n, tal que H, eGo,. 4. Aplicar el teorema del sub grupo de Kurosh para obtener una descomposición en producto libre de Gn,. 5. Utilizar el ejercicio 6.1.)

NOTAS CW-Complejos La introducción y uso sistemático de los CW-complejos en Topología son debidos a

Teorema de Grushko R e Whitehead [4]. A pesar de que se han utilizado muchas clases de complejos muchos años antes que éstos, se ha puesto de manifiesto para los que trabajan en esta materia que los CW-complejos tienen muchas ventajas; d. [3] a este respecto.

El teorema del subgrupo de Kurosh En el Apéndice C del volumen II de [9] hay una serie de seis demostraciones distintas del teorema de Kurosh. Artículos más recientes sobre este tema son los de S. Mac Lane (<
El teorema de Grushko La demostración que hemos dado del teorema de Grushko se debe a John Stallings' (<
BIBLIOGRAFíA CW-complejos 1. Hilton, P. J. An lntroduction to Homotopy Theory (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics No. 43). Cambridge: The University Press, 1953. Capítulo VII. 2. Hu, S. T. E!ements oi Genera! Topo!ogy. San Francisco: Holden-Day, 1964. Capítulo IV. 3. Milnor, J. «On Spaces Having the Homotopy Type of a CW-Complex». Trans. Amer. Math. Soc., 90, 1959, pp. 272-280. 4. Whitehead, J. H. C. «Combinatorial Homotopy h. BuLl. Amer. Math. So c., 55, 1949, pp. 213-245.

Grupo fundamental de un complejo 5. Hilton, P. J., Y S. Wylie. Homo!ogy Theory, An Introduction to A!gebraic Topo!ogy. Cambridge: The University Press, 1960. Capítulo 6. 6. Reidemeister, K. Einiührung in die kombinatorische Topo!ogie. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932. Capítulos 5 y 6. 7. Seifert, H., y W. Threlfall. Lehrbuch der Topo!ogie. New York: Chelsea, 1947. Capítulo 7.

Teoria de grupos 8. Hall, M. The Theory oi Groups. New York: Macmillan, 1959. Capítulo 17. 9. Kurosh, A. G. The Theory of Groups. 2 vols. Trad. y ed. por K. A. Hirsch. New York: Chelsea, 1955-56. Capítulos IX y X. 10. Specht, W. Gruppentheorie (Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Tomo LXXXII). Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1956. Capítulo 2.2.

En los capítulos precedentes hemos introducido al lector en algunos temas de la Topología algebraica. En este capítulo exponemos algunas indicaciones sobre los temas que deberá abordar si prosigue el estudio de la Topología algebraica. En las secciones Ir.6 y V.9 indicábamos que uno de los objetivos de la Topología algebraica es definir estructuras análogas al grupo fundamental en dimensiones superiores, que nos permitan demostrar teoremas tales como el. teorema del punto fijo de Brouwer o el teorema de Borsuk-Ulam. Veremos que hay varias de tales estructuras en dimensiones superiores. Describiremos, primero, la que está más estrechamente relacionada con el grupo fundamental, a saber, los grupos de homotopía de dimensiones superiores de Hurewicz (mencionados en las notas de los capítulos Ir y V). Estos grupos se definen de una manera muy simple: Para todo entero positivo n, designemos por

In

=

{(;¡;l.... , x n) E Rn : O ~

Xi ~

1,

i=1,2, ... ,nl

el cubo n-dimensional unidad, y por In su borde,

jn =

{(Xl, ... ,

x n) E In : Xi = O ó 1 para algún i}

Para todo espacio topológico X y todo punto base

Xo

E X, designemos por

'TCn(X, x o) el conjunto de todas las clases de homotopía relativa de aplicaciones f : In --)o X tales que f(Ín) = X O' Con la expresión {(clases de homotopfa relativa»

queremos expresar que todas las homotopías son relativas al borde in (véase sección n.4 para la definición). Si f y g son dos aplicaciones In --)o X tales que f(Ín) = g(Ín) = x o' definimos su suma f + g por la fórmula

¡

f(2xI, X2, ... , x n )

si O ~

g(2XI - 1, X2, ... , x n )

sd

Xl ~

i,

~ Xl ~ 1.

Puede demostrarse que esta fórmula define una suma en el conjunto de clases de homotopía 'TCn(X, x o), de manera que 'TCn(X, x o) es un grupo, llamado el n-ésimo grupo de homotopía de X; la demostración es casi exactamente la

235

Epílogo

236

misma que la dada para el grupo fundamental en la sección II.3. De hecho, para n = 1, el grupo que acabamos de definir es el grupo fundamental ')1; x o ). Puede también demostrarse sin gran dificultad que, para n rel="nofollow"> 1, el grupo ')1;,,(X, x,.) es abeliano. El grupo ')1;,,(X, x o) es también análogo al grupo fundamental en muchas otras cosas. Por ejemplo, toda aplicación continua

1; la determinación de estos grupos es uno de los problemas más importantes aún no resueltos de la Topología algebraica. Aunque los grupos de homotopía de orden superior han sido de gran importancia teórica en la Topología algebraica desde su introducción por Hurewicz en 1935, no han sido de mucha ayuda para demostrar teoremas tales como el del punto fijo de Brouwer o el de Borsuk-Ulam. Para teoremas como éstos, se utilizan normalmente los grupos de homología o los grupos de cohomología. Estos grupos verifican propiedades análogas a las que acabamos de señalar para los grupos de homotopía de Hurewicz, y tienen una importante ventaja sobre estos últimos: su estructura es calculable, para una amplia gama de espacios topológicos. Los grupos de homología fueron introducidos por Poincaré en 1895. Desgraciadamente, la definición de los grupos de homología o de cohomología de un espacio X, es algo más complicada que la definición de los grupos de homotopía de Hurewicz. Realmente, hay varias maneras diferentes de definir los grupos de homología y de cohomología de un espacio X. Si X es compacto y localmente «agradable» (por ejemplo, una variedad o un CW-complejo), estas diferentes definiciones dan lugar a grupos isomorfos. Para espacios que no sean compactos o que sean localmente patológicos en algún sentido (por ejemplo, que no sean localmente conexos, o semilocalmente simplemente conexos), las distintas definiciones dan lugar a grupos no isomorfos. Todas las definiciones asignan a cada par (X, G), formado por un espacio topológico X y un grupo abeliano G (llamado «grupo de coeficientes»), una sucesión de grupos abelianos

»,

237

Epílogo

G),

n

=

0, 1,2, ... ,

llamados grupos de homología de X (con el grupo de coeficientes cesión de grupos abelianos

Hn(X, G),

y otra su-

n = O, 1,2, ... ,

llamados grupos de cohomología de X (con el grupo de coeficientes G). La mayoría de las veces, los grupos de coeficientes G más usados son el grupo aditivo de los enteros, Z, o un grupo cíclico finito, Al igual que para los grupos de homcitopía de Hurewicz, toda aplicación continua

Y induce homomorfismos de los grupos de homología 'P* :

Hn(X, G)

-+

Hn(Y, G),

n = 0, 1, 2, ... ,

y de los grupos de cohomología

n

=

0, 1,2, ....

Obsérvese que estos homomorfismos inducidos van en sentidos opuestos para la homología y la cohomología. Los homomorfismos inducidos en los grupos de homología y de cohomología tienen propiedades totalmente análogas a las de los homomorfismos inducidos en el grupo fundamental, que hemos descrito en la sección II.4. En particular, si dos aplicaciones <po, Y son homotopas, entonces inducen el mismo homomorfismo. Resulta que, si

Y es una equivalencia homotópica, entonces loshomomorfismos O. (A menudo es conveniente y natural definir H,,(X, G) = H"(X, G) = {O}, para todo n < O; también puede definirse de manera natural el conjunto TI o(X, x o )' sin ninguna estructura de grupo, pero no parece razonable definir TIn(X, x o) para n < O.) (c) Los grupos de homología y de cohomología de un espacio son abelianos, mientras que el grupo fundamental a menudo no lo es. Esto lleva consigo que, en las teorías de homología y de cohomología pueda aplicarse toda la técnica y maquinaria de la teoría de grupos abelianos (especialmente, la teoría de grupos abelianos finitamente generados), lo que le da un aire diferente de la teoría del grupo fundamental que hemos presentado en este libro.

238

Epílogo

Tal como hemos dicho antes, las definiciones de los grupos de homología y de cohomología de un espacio son demasiado complicadas para reproducir las aquÍ. Sin embargo, podemos describir la estructura de estos grupos para n = O y n = 1. Sea X un espacio con k componentes. Entonces Ho(X, G) y HO(X, G) son cada uno de ellos isomorfos a la suma directa de k ejemplares del grupo de coeficientes G. Así pues, la estructura de estos grupos O-dimensionales depende sólo del número de componentes conexas del espacio X. Si X·, es arcoes naturalmente isomorfo al grupo fundamental abeconexo, entonces H 1 (X, lianizado 11: (X)/[ 11: (X), 11: (X)]. Recordemos que hemos hecho uso del grupo fundamental abelianizado de las superficies compactas en la sección IV.5; así pues, en realidad, considerábamos los grupos de homología l-dimensionales de estás superficies. Si X es arco-conexo, entonces el primer grupo de cohomología es naturalmente isomorfo al grupo de todos los homomorfismo s de 1I:(X) en el grupo de coeficientes G. Más en general, puede demostrarse que los grupos l-dimensionales H 1 (X, G) y Hl(X, G) están completamente determinados por los grupos fundamentales de las componentes de X. En contraste con estos resultados generales sobre Hn(X, G) y Hn(X, G) para 'n = O ó n = 1, existen varios resultados particulares para estos grupos, para valores mayores de n. Daremos ahora tres ejemplos de estos resultados. (a) Si X es un espacio que consta de un solo punto, entonces si n

= O,

si n

~

O.

Resulta, pues, que esta fórmula vale también para todo espacio contráctil X. (b) Si M es una n-variedad conexa compacta orientable, entonces

Hn(M, G) = Hn(M, G) = G y, para q

>

n,

En particular, este resultado se aplica si M = Sn es la n-esfera. Esto permitE. utilizar los grupos de homología para probar que Sn no es un retracto de la bola (n + l)-dimensional En+l, por un método análogo al usado en la sección n.6 para probar que Si no es un retracto de E2. Entonces, tal como señalamos en' la sección n.6, el teorema del punto fijo de Brouwer es un fácil corolario. (c) Si X es un CW-complejo de dimensión n, tal como hemos definido en la secCión Vn.4, entonces Hq(X, G) y Hq(X, G) son cero para todo q > n. Este resultado da alguna indicación acerca de la conexión entre la teoría de la homología y la teoría de la dimensión. Para los grupos de homología y de cohomología existe un teorema análogo al de Seifert-Van Kampen, el llamado teorema de Mayer-Vietoris. Este teorema es útil para determinar los grupos de homología y de cohomología de muchos espacios. ' Para una amplia clase de espacios (por ejemplo, CW-complejos finitos), los grupos de cohomología de un espacio están completamente determinados por

239 los grupos de homología, y viceversa. Así, en' muchos problemas pueden em~ plearse indistintamente los grupos de homología o de cohomología, Sin embargo, a los grupos de cohomología de un espacio puede dotárseles de una estructura más rica, introduciendo las llamadas «operaciones de cohomología», Esta estructura adicional es necesaria para la resolución de algunos problemas. Por ejemplo, una manera de probar el teorema de Borsuk-Ulam en general (véase sección V.9 para su enunciado) es usar ciertas operaciones de cohomología llamadas {(cUP productos». Intentaremos ahora indicar algunos de los posibles problemas en los que se pueden aplicar las teorías de homología y cohomología, En primer lugar, hay problemas en el campo general de la teoría de la homotopía: (a) Clasificación homotópica de aplicaciones. Dados dos espacios X e Y, ¿podemos obtener alguna información sobre el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones continuas de X en Y? Dadas dos aplicaciones f y g de X en Y, ¿podemos asociar a f y g algún invariante algebraico que nos ayude a saber si f y g son homotopas o no? (b) Extensión de aplicaciones continuas. Sean X e Y espacios topológicos, A un subconjunto cerrado de X, y f : A ---¡. Y una aplicación continua. ¿ Existe una extensión de f a X ; esto es, una aplicación continua g : X ---¡. Y tal que g IA = f? (c) Tipo de homotopía de espacios. Encontrar condiciones necesarias y/o suficientes para que dos espacios sean del mismo tipo de homotopía. Se ha trabajado mucho sobre estos problemas y para abordarlos se han desarrollado muchas técnicas sobre los grupos de homología y de cohomología. Los resultados obtenidos han encontrado aplicación en otras ramas de la Matemática. La estrategia general ha consistido en reducir problemas de teoría de homotopía a problemas de álgebra. Otro amplio grupo de problemas surge en el estudio de las variedades. Podemos considerar tres tipos generales de variedades: Las variedades topológicas, que hemos definido en el Capítulo I, las variedades combinatoriales (es decir, variedades con una clase de triangulaciones distinguida), y las variedades diferenciales (es decir, variedades con alguna estructura adicional tal que tenga sentido el concepto de función diferenciable). Uno de los problemas básicos es el problema de clasificación en cada una de estas tres categorías de variedades. Por ejemplo, en el Capítulo I hemos tratado el problema de clasificación para variedades 2-dimensionales. Otros dos problemas básicos son los siguientes: «Admite toda variedad topológica una estructura combinatorial, es decir, una triangulación? ¿Admite toda varíedad combinatorial una estructura diferenciable? No se conoce la respuesta a la primera cuestión, salvo para dimensiones 2 3 (véanse las notas del Capítulo 1). La respuesta a la segunda cuestión es afirmativa para dimensiones < 8, y negativa para dimensiones ~ 8. El primer ejemplo de una variedad triangulable que no admite ninguna estructura diferenciable fue dado por M. Kervaire. Si sumergimos una tal val'edad en el espacio 'euclídeo, es imposible regularizarla totalmente sin que teng" «esquinas». Unú rle los resultados más llamativos obtenidos en los últimos años sobre

240

Epílogo

variedades ha sido la demostración de la conjetura de Poincaré generalizada, por S. Smale (véanse las notas del Capítulo IV), y el estudio de las diferentes estructuras diferenciables sobre las esferas, por Kervaire y Mílnor. Estos dos autores .han demostrado que el número de estructuras diferencia bIes distintas sobre una n-esfera Sn, viene dado por la siguiente tabla: n

n.O de estructuras

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

1

28

2

8

6

992

1

3

2

16,256

Demuestran, también, que, para todo entero n, el número de estructuras diferenciables distintas sobre Sn es finito. Es interesante observar que la demostración de estos resultados depende esencialmente de la teoría de homotopía. La Topología algebraica es una disciplina que crece y se expansiona rápidamente. La exposición de la mayoría de resultados obtenidos en los últimos años es bastante complicada; no ha pasado aún suficiente tiempo para que los investigadores sobre esta materia, hayan podido pulir y reunir torios los detalles en una teoría coherente y bien organizada. Muchas definiciones y demostraciones carecen de motivación para el estudiante. Uno de los grandes desafíos para el futuro es dar una exposición legible de las diferentes partes de esta materia. BIBLIOGRAFíA Teoría de homología y de cohomología L Séminaire Henri Cartan. 1. 1948/49. Topologie Algébrique. 2 a edición. Paris; Secrétariat Mathématique, 1955. 2. Séminaire Henri Cartan. 3. 1950/51. Cohomologie des groupes, suite spectrale, faisceaux. 28 edición. Paris; Secrétariat Mathématique, 1955. 3. Eilenberg, S., y N. Steenrod. Foundations of Algebraic Topology. Princeton; Princeton University Press, 1952. 4. Hilton, P. J., y S. Wylie. Homology Theory, An Introduction to Algebraic Topology. Cambridge; The University Press, 1960. 5. Schubert, H. Topologie. Stuttgart; B. G. Teubner, 1964. 6 Seifert, H., y W. Threlfall. Lehrbuch der Topologie. New York; Chelsea, 1947. 7. Spanier, E. H. Algebraic Topology. New York; McGraw"Hill, 1966. 8. Steenrod, N. E., Y D. B. A. Epstein. Cohomology Operations. Annals of Mathematics Studies, No. 50. Princeton; Princeton University Press, 1962. 9. Wallace, A. H. An Introduction to Algebraic Topology. New York; Pergamon Press, 1957.

Teoría de homotopía 10. Artin, E. y H. Braun. Introduction to Algebraic Topology. Columbus; Charles E. Merill, 1969. 11. Séminaire Henri Cartan. 2. 1949/50. Espaces Fibrés et Homotopie. 2 a edición. Paris; Secrétariat Mathématique, 1956. 12. Hilton, P. J. An Introduction to Hamotopy Theory. Cambridge Tracts, No. 43. Cambridge; The University Press, 1953. 13. Hilton, P. J. Homotopy Theory and Duality. New York; Gordon and Breach, 1965. 14. Hu, S. T. Homotopy Theory. New York; Academic Press, 1959. 15. Steenrod, N. E. The Topology of Fibre Bundles. Princeton; Princeton University Press, 1951. .

Epílogo

Topología diferencial 16, Munkres, J, R Elementary Differential Topology, Annals oí Mathematics Studies, No, 54, Princeton: Princeton University Press, 1963, 17, Smale, S, «A Survey oí sorne recent developments in differential topology», .BulL Amer. Math, Soc" 69, 1963, pp, 131-145, 18, Wall, C, T, C, «Survey Article, Topology of Smooth Manifolds», J, London Math, Soc" 40, 1965, pp, 1-20, 19, Wallace, A, H, Difjerential Topology: First Steps, New York W, A, Benjamin, 1968, 20, Milnor, J. W. Topo!ogy From the Difjerentiable Viewpoint. Charlottesville: University oí Virginia Press, 1965.

A

o

1 El espacio cociente responde a nuestra idea intuitiva de formar un nuevo espacio topológico identificando ciertos puntos de un espacio topológico dado. Corresponde a la idea de «pegan> o «coser» juntos dos o más espacios. Es un método importante de formar nuevos espacios topológicos a partir de una co. lección de espacios topológicos dados, Definición Sea X un espacio topológico, Y un conjunto, y f : X -> Y una aplicación de X sobre Y. La topología cociente en Y determinada por f (también llamada la topología identificación en Y determinada por 1) se define de la siguiente manera: Un subconjunto U e Y es abierto si y sólo si f- l (U) es un subconjunto abierto de X. Desde luego, hay que comprobar que los conjuntos abiertos así definidos verifican los axiomas de una topología; lo dejamos para el lector. El lector observará también las siguientes dos propiedades: (a) La topología cociente es la topología más fina de Y que hace continua la aplicación f; de hecho, esto motiva la definición de la topología cociente. (b) Un subconjunto A de Y es cerrado en la topología cociente si y sólo si f-l(A) es cerrado en X.

Ejemplos 1.1 Designamos por X el intervalo cerrado [O,2n] Y por y la circunferencia unidad = 1. Definimos f por f(t) = (cos t, sen t). Entonces se comprueba fácilmente que la topología usual de la circunferencia Y es la topología cociente determinada por f. Este ejemplo corresponde al hecho de que si soldamos los dos extremos de un trozo de alambre delgado, obtenemos un anillo circular 1.2 Un ejemplo parecido es el siguiente: Sea Y el cilindro

x' + y'

y = {(x, y, z) E R3: X2

+ y2

243

= 1, O ~ z

~

1),

Topología del espacio cociente y X el rectángulo

x Definimos f : X

-->

{(x, y) E R2 : O ~ x ~

Y por f(x, y)

= (cos

x, sen x, y).

Entonces la topología usual de Y es también la topología cociente inducida par f. Podemos imaginar que hemos obtenido el cilindro pegando dos lados opuestos del rectángulo. 1.3 Designemos por R una relación de equivalencia (esto es, una relación reflexiva, simétrica y transitiva) en el espacio topológico X, por X/R el conjunto de todas las clases de equivalencia, y por f : X --> X/R la aplicación natural que asigna a cada punto de X su clase de equivalencia. Entonces es natural dotar a X/R de la topología cociente determinada por f;' con esta topología, X/ R se llama normalmente el espacio cociente de X módulo R. Como ejemplo, sea X = R, la reda real, y R la siguiente relación de equivalencia: x s y mód R si y sólo si x - y es un entero. Entonces, el espacio cociente X/R es homeomorfa a un círculo. 1.4 otra manera de tratar el tema de las relaciones de equivalencia es el siguiente: Sea 'U una partición o d.escomposición del espacio topológico X, esto es, una familia de subconjuntos no vacíos dos a dos disjuntos que recubran X. Si R es una relación de equivalencia, el conjunto de clases de equivalencia constituye una partición o descomposición. Recíprocamente, toda partición determina una relación de equivalencia: decimos que x e y son equivalentes si y sólo si pertenecen al mismo elemento de la partición. Sea f : X --> 'U la aplicación natural que asigna a cada punto x EX el único elemento de 'U que lo contiene. Entonces, es natural dotar a 'U de la topología cociente determinada por f; con esta topología 'U se llama un espacio descomposición. 1.5 Sea X un espacio tOPológico y G un grupo que opere sobre X por la izquierda (véase Apéndice B para la definición). Esta acción de G sobre X define una relación de equivalencia de la siguiente manera: x e y son equivalente si y sólo si existe un elemento g E G tal que g . x = y. Dejamos para el lector la comprobación de que esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva: El espacio cociente se suele designar por X/G. Cada clase de equivalencia se llama una órbita. En la mayoría de los casos se impone además la siguiente condición: Para todo g E G, la aplicación X --> X definida por x --> g . x para todo x E X debe ser continua. Resulta entonces que es un homeomorfismo de X sobre sí mismo (ya que x --> g-' . x es una inversa). Si G es un grupo topológico, entonces se suele imponer la siguiente condición más fuerte: La aplicación G X X --> X definida por (g, x) --> g . x ha de ser continua. En el Capítulo V pueden encontrarse ejemplos de grupos que actúan sobre espacios (el grupo de automorfismos de un espacio recubridor).

En este punto, hay que hacer una advertencia: Si X e Y son espacios topológicos, y f es una aplicación continua de X sobre Y, entonces Y no tiene por qué tener la topología cociente determinada por 1. Es fácil construir contraejemplos. Sin embargo, si f es una aplicación cerrada \ o, si f es una aplicación abierta, entonces Y debe tener la topología cociente. La demostración es fácil. 1

Una aplicación f : X --> Y es cerrada si la imagen por f de todo conjunto cerrado es un conjunto cerrado; una definición análoga vale para aplicaciones abiertas. Una aplicación continua puede no ser ni abierta ni cerrada, abierta pero no cerrada, cerrada pero no abierta, o abierta y cerrada a la vez. El ledor construirá ejemplos que ilustren las cuatro posibilidades. Una aplicación abierta se llama también una aplicación interior.

Una flelter,Clli¿:ac,ión de la top'olo'gía cociente

245

Si Y tiene la cociente determinada por una f: X ---+ Y, entonces la condición de que F sea una cerrada o abierta es a me~ nudo una hipótesis útil en los teoremas. A este respecto, observemos las siguientes formas equivalentes de estas condiciones: La aplicación f es cerrada si y sólo si, para todo subconjunto cerrado A de X, el conjunto f-lf(A) es también cerrado. (b) La f es abierta si y sólo si, para todo subconjunto abierto U de X, el conjunto f-lf(U) es también abierto. Obsérvese que en cada uno de estos dos enunciados estamos suponiendo que y tiene la topología cociente. 'Por ejemplo, si G es un grupo que opera por la izquierda sobre el conjunto X de manera que, para todo g E:: G, la aplicación X ---+ X definida por x ---+ g . x sea continua, entonces, la aplicación natural X -> X/G es una aplicación abierta. Si G es un grupo finito, entonces la aplicación natural X ---+ x/e es además una aplicación cerrada. Dejamos las demostraciones al lector. Probablemente el lector ha estudiado ya la topología de un subespacio y la topología de un espacio producto, y ha aprendido varios teoremas sobre estas topologías. Cabría esperar teoremas de naturaleza similar para los espacios cocientes. Desgraciadamente, las cosas no van por este camino. Por ejemplo, todo producto de espacios de Hausdorff, o todo subespacio de un espacio de Hausdorff, son también espacios de Hausdorff. Sin embargo, no es cierto que un espacio cociente de un espacio de Hausdorff sea de Hausdorff. Por ejemplo, si X es el intervalo cerrado [0, 1] Y 'U la partición de X formada por los tres conjuntos {O}, (0, 1), Y {1}, entonces el espacio descomposición 'U tiene sólo tres elementos y su topología obviamente no es de Hausdorff. Este ejemplo ilustra uno de los problemas más comunes que surgen en relación con los espacios cocientes, pues incluso si el espacio X verifica todos los axiomas de separación que deseemos, un espacio cociente de X no tiene por qué satisfacer ningún axioma de separación.

Proposición 1.1 Supongamos que Y tiene la topología cociente determinada por una aplicación f : X ---+ Y. Si X es compacto, conexo, o arco-conexo, también lo es Y. Es un caso especial del conocido resultado de que la imagen continua de un espacio. compacto, conexo o arco-conexo, tiene también la misma propiedad.

2

Una generalización de

topología cociente

La definición de tÜ'pología cociente es un caso particular del siguiente proceso más general: Sea Y un conjunto, {X). : A E:: A} una familia arbitraria de espacios topológicos y {fA : X). -> y : A E:: A} una familia arbitraria de aplicaciones. En esta situación es natural dotar a Y de la topología más fina que

246

Topología del espacio cociente

hace continuas todas las aplicaciones h.. Esta topología se define de la siguiente manera: Un subconjunto V c. Y es abierto si y sólo si f);,l(U) es abierto para todo A. E:: A. O también, un subconjunto A e Y es cerrado si y sólo si fi! (A) es cerrado para todo A. E:: A. Otro caso particular importante de este proceso general es la formaciónd~ lo que N. Bourbaki llama la ({suma topológica» de una colección de espaCÍl' Si en la definición anterior cada una de las aplicaciones fA : X A --> Y !fs in ,;,.~. tiva, las imágenes h.. (Xl,.) son dos a dos disjuntas y recubren entm:ces (l y). : A. E:: A} una familia arbitraria de aplicaciones. En esta situación, es natural dotar a X de la topología menos fina que hace continuas todas las aplicaciones f).. Los conjuntos de la forma f:;:' (V).), para todo subconjunto abierto arbitrario U). de y)., forman una subbase de esta topología. Los dos ejemplos más frecuentes e importantes de este método de definir una topología en un espacio, son los siguientes: (a) X es el producto cartesiano de los espacios y).,

X = II YA, h

y f). es la proyección. del espacio producto sobre el factor YA' En este caso, este método general da lugar a la topología usual del espacio producto. (b) El conjunto de índices A consta de un solo elemento; existe, pues, un único espacio y)., que designaremos por Y. Supongamos que X es un subconjunto de Y, y designemos por f : X --> Y la inclusión. Si aplicamos a este caso el proceso general que hemos descrito, obtenemos la topología inducida por Y sobre el subespacio X. Así pues, los dos procesos familiares de formar subespacios y espacios productos son casos particulares de un método muy general de definir una topología en un espacio. No sólo son duales uno del otro estos dos métodos generales de definir una topología en un espacio, sino que, en un cierto sentido, son duales también los procesos de formar subespacios y espacios cocientes, así como los procesos de formar espacios producto y sumas topológicas.

Lema 2.1 Sea {X).: A. E:: A} una familia de espacios topológicos,

fA.: X).

-->

Y

Una generalización de la

una familia de aplicaciones, y supongamos que Y tiene la topología más que hace continuas todas las aplicaciones Entonces, una aplicación g: Y ---+ Z de Y en un espacio topológico Z es continua si y sólo si lo son cada una de las aplicaciones compuestas gh : ---+ Z. La demostración, que es muy fácil, se deja al lector.

Corolario 2.2 Sea X un espacio topológico e Y el espacio cociente determinado por una aplicación exhaustiva f: X ---+ Y. Entonces, una aplicación g : Y ---+ Z es continua si y sólo si lo es la aplicación compuesta gf : X ---+ Z.

Corolario 2.3 Sea Y una suma topológica de una familia de espacios {X). : A E A} respecto aplicaciones f).: X A---+ Y. Entonces, una aplicación g : Y ---+ Z es continua si y sólo si lo son cada una de las aplicaciones compues·tas gf A: X). ---+ Y. Para que todo quede completo, establecemos el dual del lema 2.1.

Lema 2.1' Sea {YA: A E A} una familia de espacios topológicos, fA: X ---+ YA una familia de aplicaciones, y supongamos que X tiene la topología menos fina que hace continuas todas las aplicaciones fA' Entonces, una aplicación g: W ---+ X es continua si y sólo si lo son cada una de las aplicaciones compuestas fAg : W ---+ YA' Dejamos para el lector el enunciado y demostración de los duales de los corolarios 2.2 y 2.3, que expresan conocidas propiedades de los subespacios y de los espacios producto, respectivamente. Obsérvese que, con las hipótesis del lema 2.1, no existe ningún lema general que nos dé una condición necesaria y suficiente para que una aplicación h : W ---+ Y sea continua; en particular, no existe ninguna condición general para la continuidad de una aplicación en un espacio cociente. Análogamente no existe ninguna condición general para la continuidad de una aplicación h : X ---+ Z en las hipótesis del lema 2.1'. Para el próximo lema, supongamos que nos han dado: Z, un espacio topológico. {Y). : A E A}, una familia de espacios topológicos. {/;. : YA -'> Z}, una familia de aplicaciones continuas. Para cada A E A, una familia {X}.[1 : [.t E M A} de espacios topológicos y aplicaciones continuas {/;.¡.c : X}.[1 ---+ YA : [.t E M A}·

Lema 2.4 Supongamos que cada espacio YA tiene la topología más fina que hace continuas todas las aplicaciones f A[1' [.t E M A, Y que Z tiene la topología

248

Topología del espacio cociente

más fina que hace continuas todas las aplicaciones fA' Entonces, la de Z es la más fina que hace continuas todas las aplicaciones compuestas f).f).tJ. : X).tJ. -+ Z, La demostración es trivial. Damos ahora tres aplicaciones de este sencillo lema: (a) Sean f : X -+ Y Y 9 : Y -> Z aplicaciones exhaustivas de espacios topológicos. Supongamos que Y tiene la topología cociente determinada por f y Z la topología cociente determinada por g. Entonces, la topología de Z es la topología cociente determinada por gf. Si consideramos que Z se ha obtenido a partir de X por un proceso de identificación de puntos, entonces, no importa si hemos hecho todas las identificaciones a la vez, o si las hemos hecho en dos pasos, obteniendo primero Y y después Z. (b) Supongamos que Z es la suma topológica de una familia de espacios y)., y que cada espacio YA es la suma topológica de una familia de espacios XAtJ.. Entonces, Z es la suma topológica de todos los espacios XAtJ.. (c) Los procesos de formar espacios cocientes y sumas topológicas son intercambiables; es decir, no importa en qué orden se realicen. Con más precisión, para cada 'Iv E A sea fA: X A-+ YA una aplicación exhaustiva de espacios topológicos, y supongamos que cada espacio YA tiene la topología cociente determinada por fA' Sean X e Y las sumas topológicas de las familias {X A } e {YA}' respecto aplicaciones qJA:XA-+X y ~)..:Y).. -+ Y, respectivamente. Se ve fácilmente que existe una única aplicación f : X -> Y que es continua y exhaustiva, y, para cada 'Iv, hace conmutativo el siguiente diagrama: lA

XA -7

YA

l'PA

lh

X

~Y

Afirmamos ahora que la topología de Y como espacio cociente, determinada por j, es la misma que la topología de Y como suma topológica. La demostración resulta inmediata a partir 'del lema 2.4 y de la conmutatividad del diagrama anterior. Dejamos para el lector el enunciado del dual del lema 2.4. Los duales de las aplicaciones (a), (b) y (c) son propiedades sobre los subespacios y espacios productos tan triviales, que normalmente no se enuncian explícitamente en los libros.

3

Espacio cociente y espacio

Surge de manera natural la siguiente cuestión: ¿ es lo mismo un espacio co-

249

Espacio cociente y

ciente de un espacio producto que un producto de espacios cocientes? Para ser más precisos, supongamos que, para cada índice A E A, tenemos una ción continua y exhaustiva f, : --+ Y" y que tiene la topología cociente determinada por f,. Podemos formar, entonces, el producto de espacios y

y las aplicaciones f, determinan, de manera obvia, una aplicación f : X -> Y: Para todo x E X, (jx), = f,(x,). Es evidente que la aplicación f es continua y exhaustiva. Entonces, la pregunta es: ¿ tiene Y la topología cociente determinada por f? Dicho de otra manera, podemos dotar al espacio Y de una topología como espacio producto o como espacio cociente. ¿Son iguales las dos topologías? En general, la respuesta a esta cuestión es negativa, como muestra el siguiente ejemplo de J. L. Kelley [2]: Sea X un espacio de Hausdorff que no sea regular. Podemos elegir, pues, un subconjunto cerrado A y un punto b de X que no tengan entornos abiertos disjuntos; es decir, para cualesquiera conjuntos abiertos U y V que contengan a A y b respectivamente, la intersección U n V es no vacía. Sea Y el espacio cociente de X obtenido identificando todos los puntos de A en un solo punto a E Y. Entonces, Y no es un espacio de Hausdorff ya que los puntos a y b no tienen entornos disjuntos. Sea f: X -> Y la aplicación natural, y consideremos la aplicación f X f : X X X -> Y X Y, donde Y X Y tiene la topología producto. Entonces, Y X Y no tiene la topología cociente determinada por f X f. En efecto, la diagonal de Y X Y no es un conjunto cerrado, ya que Y no es de Hausdorff; pero, la imagen inversa por f X f de la diagonal es claramente un subconjunto cerrado de X X X. En general, todo lo que podemos decir es que la topología cociente es más fina que la topología producto (es decir, tiene más conjuntos abiertos). La siguiente proposición da una condición suficiente para que las dos topologías de Y coincidan: Proposición 3.1 Además de las hipótesis y notación anteriores, supongamos que cada una de las aplicaciones fx : X"h --+ Y, es una aplicación abierta. Entonces, la topoloqía producto y la topología cociente de

y =

n

Y,

A

coinciden. DEMOSTRACIÓN: El que cada una de las aplicaciones fA sea abierta y exhaustiva implica que la aplicación f : X -> Y es también una aplicación abierta. Por tanto, Y tiene la topología cociente determinada por la aplicación f (véase la observación de la sección 1). C.Q.D.

250

del espacio cociente

Para otros teoremas de este tipo, véase el siguiente artículo: C. J. Himmelberg, «On the Product of Quotient Spaces», Amer. Math. Monthly, 1965, pp. 1103-1106.

4

Suhespacio un cociente un suhespacio cociente

a espacio

Otra cuestión que se presenta de manera natural es la siguiente: ¿ Un espacio cociente de un subespacio es lo mismo que un subespacio de un espacio cociente? Esta pregunta podemos concretarla de la siguiente manera: Supongamos que f : X.-+ Y es una aplicación exhaustiva, Y tiene la topología cociente determinada por f, A es un sub espacio de X, y B = f(A) e Y. Entonces podemos dotar a B de una topología como subespacio de Y, o bien dotarlo de la topología cociente determinada por la aplicación f lA: A -+ B. ¿Son iguales estas dos topologías? En general la respuesta es negativa. Aquí tenemos un sencillo contraejemplo: Sea f : X -+ Y como en el ejemplo 1.2; X es un rectángulo e Y un cilindro. Sea

A = {(x, y) EX:O

~ x

<

27T, Y =

Ol·

Entonces, A es un intervalo semiabierto, que es uno de los lados de X. Si dotamos a B de la topología inducida como subespacio de Y, B = jeA) es una de las circunferencias del borde de Y. Por otra parte, puesto que f lA: A -+ B es biyectiva, la topología cociente de B hace que B sea homeomorfo a A. Pero un intervalo semiabierto y un círculo no son homeomorfos; uno es compacto y el otro no lo es. Por tanto, las dos topologías de B son distintas.

Proposición 4.1 Con las hipótesis del princ1pw de esta seCC1on, la topoLogía cociente de B es más fina que la topología inducida como subespacio de Y. DEMOSTRACIÓN: Designemos por i : A -+ X Y j : B tonces, el siguiente diagrama es conmutativo:

-+

Y las inclusiones.

En~

A~B

il

li.

X--+Y f

Si dotamos a B de la topología cociente, se sigue del corolario 2.2 y de la conmutatividad del diagrama que j es continua. Esto implica la proposición, ya que la topología de B como subespacio es la menos fina de entre las que hacen continua la inclusión j. Damos ahora una condición suficiente para que la topología cociente de B y la inducida como subespacio de Y coincidan.

Condiciones para que

espacio

r""""JuP.

sea

Con las mismas hipótesis anteriores, si A es un subconjunto cerrado de X y f : X ---> Y es una aplicación cerrada o bien si A es un subconjunto abierto de X y f es una aplicación abierta, la topología cociente B y la inducida como subespacio de Y coinciden. DEMOSTRACIÓN: Dotemos a B de la topología inducida como subespacio de Y. Consideremos primero el caso en que A sea un subconjunto abierto de X y f una aplicación abierta. Entonces B es un subconjunto abierto de Y, y se ve fácilmente que f lA: A ---> B es una aplicación abierta. Por tanto, B tiene la topología cociente determinada por f I A. En el caso en que A sea un subconjunto cerrado y f una aplicación cerrada, 'vale una demostración similar. Basta sustituir la palabra «abierto» por la palabra «cerrado» cada vez que aparece en el párrafo anterior.

5

Condiciones para que un espacio cociente sea un espacio de Hausdorff

Vamos a abordar ahora uno de los problemas más serios referentes a espacios cocientes. En primer lugar, tenemos la siguiente condición necesaria:

Lema 5.1 Sea f ; X ---> Y una aplicación continua. Si Y es un espacio de Hausdorif, entonces {(Xl' x 2 ) E X X X : f(x) = f(x 2 )} es un subconjunto cerrado de X X X. DEMOSTRACIÓN: Nos apoyamos en el siguiente resultado fácil de probar; El espacio Y es de Hausdorff si y sólo si la diagonal D = {(y Y2) E y X Y : " Y, = Y2} es un subconjunto cerrado de Y X Y. Consideremos la aplicación ixi: XXX ---> YXY; es continua, y (fXf)-l(D) es el conjunto mencionado en el enunciado del lema. Puesto que es la imagen inversa de un conjunto cerrado por una aplicación continua, este conjunto es también cerrado, lo que implica el lema. C.Q.D.

Obsérvese que en este lema no se ha supuesto que Y tenga la topología cociente. Da, pues, una condición necesaria para la existencia de alguna topología en Y que sea de Hausdorff y haga continua la aplicación 1. Sin embargo, si existe una tal topología en Y, entonces la topología cociente determinada por i es también una topología de Hausdorff; pues, toda topología más fina que una de Hausdorff es también de Hausdorff. En general el recíproco de este lema es falso, incluso para la topología cociente. Sin embargo, tenemos el siguiente lema que puede considerarse parcialmente como un recíproco.

Lema 5.2

Sea i : X

--->

Y una aplicg.ción abierta y exhaustiva. Si el con-

252

VIl'.JIU,"""

} es

del espacio cociente

entonces Y es un

DEMOSTRACIÓN: De nuevo, consideremos la aplicación f X f : X X X que es también una aplicación abierta. Por hipótesis, el conjunto

->

Y

X

es abierto en X X X; por tanto, su imagen por f X f es abierta en Y X Y. Pero esta imagen es el complementario en Y de la diagonal D e Y X Y. Por tanto, D es un conjunto cerrado e Y es de Hausdorff. C.Q.D. En este lema no hemos supuesto que f fuera continua. Podemos combinar los dos lemas de la siguiente manera. Proposición 5.3 (N. Bourbaki [1]) Sea f : X --> Y una aplicación continua, abierta y exhaustiva. Entonces Y es un espacio de Hausdorff si y sólo si el conjunto

es cerrado en X XX. Nótese que las hipótesis implican que Y tiene la topología cociente determinada por f. La situación es algo más agradable al considerar espacios cocientes de espacios compactos de Hausdorff. En este caso, tenemos el siguiente importante, teorema (véase N. Bourbaki [1]): Teorema 5.4 Sea X un espacio compacto de Hausdorff y f : X --> Y una ,aplicación continua exhaustiva. Supongamos que Y tiene la topología cociente determinada por f. Entonces, las tres condiciones siguientes son equivalentes: (a) y es un espacio de Hausdorff. (b) f es una aplicación cerrada. (e) El conjunto {(Xl' X 2 ) E X X X·: f(x l ) = f(x 2 )} es cerrado en X X X. DEMOSTRACIÓN: Demostraremos el teorema, probando las implicaciones siguientes: (a) --> . (e), (e) --> (b), y (b) --> (a). La implicación (a) ....¡. (e) está contenida en el lema 5.1. Demostremos que (e) --> (b): Supongamos que el conjunto e = {(Xl x 2 ) E' X X X : f(x l ) = f(x 2 )} es cerrado en X X X. Puesto que Y tiene la topología cociente, para probar que f es una aplicación cerrada, tenemos que demostrar que, para todo conjunto cerrado A e X, el conjunto f-lf(A) es también celTado. Designemos por Pl' P2: X X X --> X las proyecciones, Pl (xl' x 2 ) = Xl'

253

Condiciones para que un espacio cociente sea un espacio de

Ac

fácilmente que, para todo f-1f(A) =

Si A es cerrado, entonces también lo es p_l (A), Y por tanto e n p-l (A). Así pues, e n p-l(A) es compacto, ya que X X X lo es. Por tanto P, n es compacto, y desde luego cerrado, ya que X es de Hausdorff. Demostremos que (b) -+ (a): Sean Y , e Y 2 puntos distintos de Y, debemos probar que tienen entornos disjuntos. Observemos que f-l(y l ) y f- l (y 2) son subconjuntos cerrados disjuntos de X. Puesto que X es compacto de Hausdorff, también es normal, y por tanto existen subconjuntos abiertos disjuntos U I y U 2 de X, tales que

Por hipótesis, f es una aplicación cerrada; por tanto, f(X - U I ) y feX - U 2 ) son subconjuntos cerrados de Y. Sean VI y V 2 sus complementarios, que serán abiertos: VI = y - f(X - UI), V2

= y - f(X - U 2).

Entonces, se comprueba fácilmente que YI E:: VI' Y2 E:: V 2 , y VI

nV

2

=
En coneXlOn con este teorema, recordemos que una aplicación continua de un espacio compacto en un espacio de Hausdorff es siempre una aplicación cerrada; la demostración es elemental. Este teorema demuestra la utilidad de la hipótesis «f es una aplicación cerrada». En la obra de R. L. Moore, G. T. Whyburn, y sus discípulos, adoptan siempre el punto de vista indicado en el ejemplo 1.4, cuando tratan con espacios cocientes. En el caso en que la aplicación natural f : X -+ 'ti es una aplicación cerrada, llaman a la partición 'ti, descomposición semi continua superiormente «
Ejercicio 5.1 Sean X e Y espacios topológicos, y f : X .... Y, g : Y .... X aplicaciones continuas tales que fg sea la identidad de Y en sí mismo. Probar que se verifica: (a) f es exhaustiva y g es inyectiva.
254

Topología del espacio cociente BIBLIOGRAFíA

1. Bourbaki, N. Topo!ogie Généra!e. (Actualités Scientifiques et Indust.rielles, No. 1142) Za ed. Paris: Hermann et Cie, 1951. Capítulo 1, secciones 9 y 10. 2. Kelley, J. L. General Topo!ogy. Princeton, N. J.: Van Nostrand, 1955. Capítulos 3 y 5 3. Dugundji, J. Topo!ogy. Bastan: Allyn and Bacon, 1966. Capítulo VI.

B

o

1

básicas

Sin duda, en sus estudios de teoría de grupos, el lector se habrá familiarizado con los siguientes hechos: Si E es un conjunto cualquiera (finito o infinito), entonces, el conjunto de todas las permutaciones de E (es decir, aplicaciones bi,yectivas E ---+ E) es un grupo con la operación de composición o superposisión de permutaciones. Habrá considerado sin duda ejemplos de tales grupos (llamados el grupo simétrico del conjunto E), especialmente en el caso en que E sea un conjunto finito. Probablemente, habrá estudiado también algunos subgrupos del grupo simétrico de un conjunto finito. Si G es un grupo arbitrario, un homomorfismo de G en el grupo simétrico de' un conjunto E se llama una representación de G por permutaciones de E. Si el homomorfismo es un monomorfismo, la representación se llama fiel. Se demuestra fácilmente que todo grupo admite una representación fiel por permutaciones. Omitimos la demostración porque no necesitamos este teorema en este libro. Consideremos ahora otra forma de introducir estas ideas, que aparece con frecuencia. A primera vista parece bastante distinta, pero nos lleva al mismo resultado. Definición Sea E un conjunto y G un grupo. Diremos que E es un G-espacio por la iquierda o que E admite a G como grupo de operadores por la izquierda, si tenemos una aplicación G X E ---+ E, tal que, si para todo g E: G y x E E la designamos por (g, x) ---+ g . x, verifica las dos propiedades siguientes: (1) Para todo x E E, 1 . x = x. (2) Para todo x CE y gl' g2 E G,

Por. ejemplo, si G es un subgrupo del grupo simétrico de E, y la notación g .

255

X.o

Grupos de permutaciones

256

el efecto de aplicar la permutación 9 al elemento x E E, entonces E es un G-espacio por la izquierda. Otro ejemplo sencillo es el siguiente: Designemos por E el 3-espacio euclídeo ordinario y por G el grupo de todas las rotaciones de E que dejan fijo el origen. Designemos por 9 . x la imagen del punto x por la rotación g. Entonces E es un G-espacio por la izquierda. Se definen de manera análoga los G-espacios por la derecha. Se SUPQne dada una aplicación E X G -> E, que designamos por (x, g) --> x . g, que verifique las dos condiciones siguientes: (1') x . 1 = x. (2') x . (glg2)

= (x

gl)· g2·

La diferencia esencial entre G-espacios por la derecha y por la izquierda no está en que los elementos de G se escriban a la derecha o a la izquierda de los de E. El punto importante radica en la diferencia entre la condición (2) y la condición (2'). Si E es un G-espacio por la izquierda, entonces el producto glg2 opera sobre x E E de manera que g2 opera primero y luego g1 opera sobre el resultado, mientras que para los G-espacios por la derecha, primero opera gl y después g2.

Ejercicio 1.1

Supongamos que E es un G-espacio por la izqUIerda. Para todo x E E Y todo

g E G, definimos

x .

g = (g-') .

x.

Con esta definición, probar que E es un G-espacio por la derecha.

Teorema 1.1 Sea E un G-espacio por la izquierda. Para todo 9 E G, la aplicación E -> E definida por x --> 9 . x es una permutación de E. DEMOSTRACIÓN: Designemos por E la aplicación en cuestión. Consideremos la aplicación
Este sencillo pero importante teorema demuestra que la noción de G-espacio por la iquierda es equivalente a la noción de representación de G por permutaciones del conjunto E. No podemos afirmar, sin embargo, que esta representación sea fiel; puede muy bien ocurrir que exista un elemento 9 "" 1 de G tal que 9 . x = x para todo x E E. En el caso en que no exista un elemento 9 E G en estas condiciones, diremos que G opera efectivamente sobre el con· junto E.

G-espacios homc)fl.éne,os

257

Si E, Y --+ E 2 es

son G-espacios por la diremos que una o simplemente una aplicación de G-espacios por la izquierda., si se verifica

f : El

j(g . x)

=

g . (fx)

para todo 9 E G, y todo x E E. Una aplicación G-equivariante f : E, --+ E 2 se denomina isomorfismo de G-espacios por la izquierda, si existe otra aplicación G-equivariante f' : E 2 --+ E, tal que f'f es la identidad en El y ff' la identidad en E 2 • Esta condición es equivalente a que f sea biyectiva. Esta definición de isomorfismo es la natural en este contexto. El lector observará que, a veces, es posible que un grupo G opere de varias maneras diferentes no isomorfas sobre un conjunto dado E. Como de costumbre un automorfismo de un G-espacio es un isomorfismo sobre sí mismo ..

2

G-espacios homogéneos

Sea E un G-espacio por la izquierda. Diremos que G opera transitivamente sobre E o que E es un G-espacio por la izquierda homogéneo si se verifica la siguiente condición: para todo par de elementos x, y E E existe un elemento 9 E G tal que 9 . x = y. Los G-espacios homogéneos aparecen con frecuencia, y por tanto son importantes.

Ejemplo 2.1 Sea G un grupo y H un subgrupo arbitrario de G. Designemos por G/H el conjunto de las clases laterales g . H para todo g E G. Se ve fácilmente que, si multiplicamos por la izquierda todos los elementos de una clase lateral dada por un elemento arbitrario g E G, obtenemos elementos que pertenecen todos a la misma' clase lateral. Esto define una aplicación G X G/H -, G/H, Y se comprueba fácilmente que se verifican las dos condiciones de G-espacio por la izquierda. Es claro también que GIH es un G-espacio por la izquierda homogéneo.

Demostramos ahora que todo G-espacio por la izquierda homogéneo es isomorfo a un espacio de clases laterales G/H. Sea E un G-espacio por la izquierda homogéneo arbitrario. Elijamos un elemento x" E E, Y pongamos

H = ¡g E G : g . Xo = xo). Comprobamos fácilmente que H es un subgrupo de G. Se llama el subgrupo de isotropía correspondiente al elemento x o ' Consideremos la aplicación G --+ E definida por 9 --+ 9 . xo' Esta aplicación es exhaustiva, ya que E es un G-espacio homogéneo. ¿En qué condiciones dos elementos g" g2 E G se aplican sobre

de permutaciones

258

el mismo elemento de E? Esto se determina fácilmente como sigue: glXO

=

g2XO

=

{=}

g-;lglXO

{=}

g-;lgl EH.

Xo

Por tanto, gl y g2 se aplican sobre el mismo elemento de E si y sólo si pertenecen a la misma clase lateral de H. Así pues, la aplicación G -? E induce una aplicación f : GfH -? E que es biyectiva. Por tanto, GfH y E son G-espacios por la izquierda isomorfos, como queríamos demostrar. El isomorfismo f y el subgrupo H del razonamiento anterior dependen de la elección del punto X o de E. Una elección distinta de X o daría lugar a un subgrupo conjugado. Para poderlo aplicar al Capítulo V, necesitamos conocer la estructura del grupo de automorfismos de un G-espacio homogéneo. Para ser coherentes con el uso que se hace en aquél capítulo, consideraremos un G-espacio por la derecha homogéneo, E. Sea <:P : E -? E un automorfismo de E. Entonces, se comprueba, directamente a partir de las definiciones, que, para todo punto x E E, los puntos x y <:p(x) tienen el mismo subgrupo de isotropía. Recíprocamente, supongamos que x e y son puntos de E que tienen el mismo subgrupo de isotropía. Vamos a ver que existe un automorfismo <:P de E tal que <:p(x) y. Definimos <:P de la manera sencilla y natural siguiente: sea z E E, entonces, existe un g E G tal que

=

z = x· g, y se define <:P por

¡o(z) = ¡o(x . g)

(¡oX) . g = y . g.

es decir, por definición es <:pez) = y . g. Desde luego, tenemos que comprobar que esta definición es independiente de la elección de g; es decir, que si x . g = x . g', entonces y . g = y . g'. Pero esto es consecuencia de la hipótesis de que x e y tienen el mismo sub grupo de isotropía. Debemos comprobar también que la aplicación así definida es G-equivariante, y que es biyectiva. Lo primero es trivial, y para demostrar que <:p es biyectiva, construimos por el mismo método una inversa de <:p tal que <:p-I(y) = x. Observemos, ahora, que si <:PI y <:P2 son automorfismos del G-espacio por la derecha homogéneo E, y para algún punto x E E, <:PI (x) = <:P2(X), entonces <:PI <:P2' Es una consecuencia directa del hecho de que G actúe transitivamente sobre E. Como consecuencia de estas consideraciones tenemos el siguiente lema:

=

Lema 2.1 Un grupo A de automorfismos de un G-espacio homogéneo E es todo el grupo de automorfismos, si y sólo si, para todo par de puntos x, y E E que tengan el mismo subgrupo de isotropía, existe un automorfismo <:P E A tal que cp(x) = y.

G-espacios homogéneos

Determinemos ahora la estructura del grupo de automorfismos de un G-espacio hon:lOgéneo. Necesitamos, primero, una ·definición. Sea H un sub grupo de G, y

N(H) = [g E G : gHg-l = H}. N(H) es un subgrupo de G que contiene a H, y se llama normalizador de H.

Es el mayor subgrupo de G que contiene a H como subgrupo normal.

Teorema 2.2 Sea E un G-espacio homogéneo, y H el subgrupo de isotropía de G correspondiente al punto X o E E. Entonces el grupo de automorfismos de E es isomorfo a N(H)jH. DEMOSTRACIÓN: Designemos por S el conjunto de todos los puntos x E E cuyo subgrupo de isotropía sea H. En vista de lo que acabamos de probar, el grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre S. Vamos a ver, ahora, que si x E S y 9 E G, entonces x . 9 E S si y sólo si 9 E N(H). En efecto, la condición xg E S es equivalente a la condición

{hEG:x'g'h=x'g} =H. Pero xgh =xg si y sólo si xghg- 1 = x; esto es, si ghg- 1 E H, o h E g-lHg. Por tanto, el subgrupo N(H) actúa transitivamente sobre el sub espacio S, y los elementos de H dejan fijo cada punto de S. Luego, el grupo cociente N(H)jH actúa transitivamente por la derecha sobre S sin puntos fijos. Construimos ahora un isomorfismo entre el grupo de automorfismos y N(H)jH, de la siguiente manera. Sea ep un automorfismo; existe un único elemento a E N(H)jH tal que

Xo . a =


de donde epljJ y morfismo.

a0

se corresponden. Por tanto. la correspondencia es un isoC.Q.D.

260

Grupos de permutaciones

Hay que hacer notar que este isomorfismo entre y el grupo de automorfismos no es natural; depende de la elección del punto X o E E. El estudiante debería investigar el efecto de una nueva elecci6n del punto base X o sobre la correspondencia biyectiva que acabamos de establecer.

Aplicación abierta, 244 - cerrada, 244 - equivariante, 256-257 - inclusión, XII Aplicaciones homotópicas, 64 Árboles, 192 maximal, 193, 194 Arco, 56 Automorfismos de espacios recubridores, 159, 161-162 Banda de Móbius, 3 Base para un grupo libre, 104 Bola, n-dimensional, XII Borde ideal, 49 Borsuk-Ulam, teorema (ver Teorema de Borsuk-Ulam) Botella de Klein, 9 Boy, W., 51 Brahana, H.-R., 52 Brouwer, teorema del punto fijo (ver Teorema del punto fijo de Brouwer) Camino, 56 cerrado, 62 equivalencia, 56 producto, 57 - de aristas, 191 Característica de Euler: de un grafo, 197 de una superficie, 29 de una superficie con borde, 42 Clasificación de superficies compactas con borde, 36-42 Compactificación de una superficie, 4849

261

Conectividad: arco conexo o conexo por caminos, 56 localmente arco conexo, 56 semilocalmente simplemente conexo, 172 simplemente conexo, 66 Conjetura de Poincaré, 141, 240 grupo, 62 Conjunto convexo, 67 Conmutador, 104 Crowell, R. H., 140 CW-complejos, 212-216 Descomposición del espacio, 244 Diagrama conmutativo, XI-XII Disco n-dimensional, XII Dominio fundamental, 183 Elevación: de aplicaciones, 154, 155 de caminos, 151, 152 Entorno elemental, 145 Epimorfismo, XI Esfera n-dimensional, XIII Espacio contráctil, 66 - fibrado, 185 - recubridor, 145, 186 de un CW-complejo, 215 de un grafo, 198 de un grupo topológico, 157, 163 inducido sobre un sub espacio, 150, 175 regular, 162 teorema de su existencia, 171 universal, 159

262

Euler, característica Característica de Euler) Extremos -de una compactificación, 49 Fibrados, 185 Fox, R. H., 141, 184 Generadores de un grupo, 89 Género: de una superficie, 33 de una superficie con borde, 43 G-espacios homogéneos, 257 grupo de automorfismos, 258-259 Grado de un camino cerrado, 70-74 Grafo, 188 Grupo fundamental, 55-83, 113-140 de una circunferencia, 68 del complemento de un nudo, 136-140 de una curva conexa de variedades, 127 de una curva en forma de «8», 123 de una 4-variedad compacta, 142 de un CW-complejo, 215 definición, 62 de un disco o plano puntuado, 124126 de un espacio producto, 76 de un espacio recubridor, 153 de un grafo, 194-195 de un grupo topológico, 78 de un n-espacio proyectivo real, 164165 de una superficie compacta, 129, 135 de una superficie compacta con borde, 135, 196 de una superficie no compacta, 142, 197 de una unión de circunferencias, 125 - del nudo, 136 ~ de operadores, 255 - propiamente discontinuo de homeomorfismos, 164, 167 - simétrico, 255 Grupos abelianos libres, 89-97 - de cohomología, 236-239, 240-241 - de homología, 236, 240

lndice alfabético

Grupos libres, 102-105 subgrupos de, 200-205 - de permutaciones, 255-260 - de transformaciones, 255-260 Grushko, teorema (ver Teorema de Grushko) Hirsch, M., 50 Hojas del espacio recubridor, 153, 161 Homeomorfismo local, 149 Homomorfismo: inducido por una aplicación continua, 63, 236, 237 de espacios recubridores, 157 Homotopía, 64 equivalencia, 82 grupos, 235-236 de un espacio recubridor, 185 tipo, 82 frente a tipo topológico, 141 Hurewicz, W., 83, 235, 236 Inmersión topológica, 51 Isomorfismo (de grupos),

XI

Kerekjarto, B., 50 Kervaire, M., 239, 240 Kuratowski, teorema (ver Teorema de Kuratowski) Kurosh, teorema del subgrupo (ver Teorema del sub grupo de Kurosh) Lateral doble, 218 Lazo, 62 Markov, A. A., 52, 143 Milnor, J., 240 Moise, E., 51 Monomorfismo, XI Nielsen, J., 205 Normalizador de un sub grupo, 259 Nudos, 136 Número de hojas del espacio recubridor, 153, 162 - de Lebesgue, 69

lndice alfabético

Órbita, 244 Palabra reducida, 103 Plano proyectivo, 7 Poincaré, H., 83, 141, 236 conjetura (ver Conjetura de Poincaré) Presentación de grupos, 105-107 Problemas de aplicaciones universales, 107-109 Producto: de conjuntos, XII de grupos: débil, 86 directo, 85 libre, 91 - libre de grupos, 97-100, 216-231 con subgrupos amalgamados, 141 subgrupo de, 216 Proyección, 145 Prüfer, superficie (ver Superficie de Prüfer) Radó, T., 16, 46, 51 Rango: de un grupo abeliano libre, 95 de un grupo libre, 104 Reidemeister, K., 205 Restricción de una aplicación, XII Retracto, 65 - de deformación, 66 Richards, 1, 50 Schreier, O., 140, 205 sistema (ver Sistema de Schreier) Seifert, H., 140 teorema (ver Teorema de Seifert) Sistema de Schreier, 202 Smale, S., 141 Stallings, J., 223, 233 Subdivisión baricéntrica, 39 - de un grafo, 189 Subgrupo de isotropía, 257 Suma conexa, 8-10, 51 Superficie, 6 con borde, 36-45

Superficie no compacta, 46-51 - de Prüfer, 46 clasifISuperficies compactas con cación (ver Clasificación de sUDerficies compactas con borde) L -

Teorema de Borsuk-Ulam 168-171 - de clasificación: ' para superficies compactas, 10, 18-29 para superficies no compactas, 50 - de Grushko, 223, 233 - de Kuratowski, 206 - de Seifert, 113-116 - de Van Kampen, 113 - del punto fijo de Brouwer, 74 - del sub grupo de Kurosh, 216, 218, 233 Tipo de topología, XIII Topología cociente, 243 - débil, 188, 196, 213 - de identificación, 243, 254 Toro, 6 nudo, 137 Torsión: coeficientes, 96 subgrupo, 96 Transformaciones recubridoras, 158 Triangulación: de una superficie con borde, 38 de una superficie compacta, 15-18 de una superficie no compacta, 47 de variedades, 51, 239 Van der Waerden, B. L., 109-110 Van Kampen, E. R., 140 teorema (ver Teorema de Van Kampen) Variedades, 239 con borde, 34-36 definición, 2 orientables y no orientables, 3-6 n-dimensionales, 2 con borde, 35 Whitehead,

J.

H. C., 50, 206, 209, 233