Notas Sobre álgebra

1.

Funciones Exponenciales

Definici´ on . La funci´ on f definida por f (x) = bx donde b > 0 , b 6= 1 y el exponente x es cualquier n´ umero real, se llama funci´ on exponencial con base b. Ejemplo 1.1. Gr´ afica de las funciones exponenciales b > 1 Grafique las funciones exponenciales f (x) = 2x y f (x) = 5x

Se pueden hacer las observaciones siguientes: 1. El dominio de las funciones es : R y la imagen son los reales positivos. 2. Cada gr´ afica tiene intersecci´on con y : (0, 1) 3. Tienen la misma forma general : “cada una asciende de izquierda a derecha ”

1

4. f (x) aumenta indefinidamente en las dos gr´aficas. La gr´afica de 5x aumenta m´ as r´ apidamente que la gr´afica de 2x porque la base 5x es mayor que la base en 2x . Ejemplo 1.2. Gr´ afica de las funciones exponenciales 0 < b < 1 1x Grafique las funci´ on exponencial f (x) = 2

Se pueden hacer las observaciones siguientes: 1. El dominio de las funciones es : R y la imagen son los reales positivos. 2. La gr´ afica tiene intersecci´on con y : (0, 1) 3. Tienen la misma forma general : “cada una desciende de izquierda a derecha ” 4. f (x) disminuye indefinidamente . Se pueden resumir las propiedades siguientes: 1. El dominio de la funci´on exponencial consiste en R y la imagen son los reales positivos. 2. La gr´ afica tiene intersecci´on con y : (0, 1) y no hay intersecci´on con x. 3. S´ı b > 1 la gr´ afica asciende de izquierda a derecha 4. S´ı 0 < b < 1 la gr´ afica desciende de izquierda a derecha. 5. S´ı b > 1 la gr´ afica se acerca al eje x conforme x se vuelve m´as y m´as negativa. 6. S´ı 0 < b < 1 la gr´ afica se acerca al eje x y se vuelve m´as y m´as negativa. Ejemplo 1.3. Use la gr´ afica de y = 2x para obtener la gr´ afica de y = 2x − 3

2

Definici´ on . El n´ umero e ≈ 2,7182818284590452354 se usa como la base para una funci´ on exponencial. La funci´ on exponencial con base e se le conoce como funci´on exponencial natural

2.

Logaritmos loga y es la potencia a la cual a debe elevarse para obtener y. a > 0 a > 1

Ejemplo 2.1. Escriba cada enunciado en forma logar´ıtmica. 1. 24 = 16  −3 1 =8 2. 2 Ejemplo 2.2. Escriba cada enunciado en forma exponencial. 1. log4 8 = 2. log27

3 2

1 2 =− 9 3

Ejemplo 2.3. Calcular los valores de 1. log2 16 2. log 1 243 3

3

2.1.

Propiedades de logaritmos

Se pueden enlistar las siguientes: 1. loga 1 = 0 2. loga a = 1 3. loga uv = loga u + loga v 4. loga

u = loga u − loga v v

5. loga

1 = − loga v v

Ejemplo 2.4. Si x = log2 3, exprese las cantidades siguientes en t´erminos de x Calcular los valores de 1. log2

1 3

2. log2

2 3

3. log2 18 r 4. log2

27 2

Definici´ on . Los logaritmos de base e se denominan logaritmos naturales y se denotan por ln as´ı y = ex x = loge y = ln y Ejemplo 2.5. Dado que ln 2 = 0,6931 y ln 3 = 1,0986, eval´ ue: 1. ln 18 √ 2. ln 54   1 3. ln e 4 Ejemplo 2.6. Simplifique la expresiones siguiente sin usar tablas o calculadoras E = ln 2 + 16 ln

16 25 81 + 12 ln + 7 ln 15 24 80

4

2.2.

Ecuaciones Exponenciales y logaritmicas

Ejemplo 2.7. Resuelva las siguientes ecuaciones para x   12x 1. 2 ln(2x + 2) = ln 1 + + 2 ln 10 25 2. logx (3 − 2x) = 2 3. (25)x+2 = 53x−4 4. 5 + (3)4x−1 = 12 5. log2 x = 5 − log2 (x + 4) Ejemplo 2.8. Ecuaci´ on de demanda La ecuaci´ on de demanda para un producto es p = 121−0,1q . Utilice logaritmos para expresar a q en terminos de p. Ejemplo 2.9. Inversion La ecuaci´ on A = P (1,05)t da el valor A al final de t a˜ nos de una inversi´ on P d´ olares compuesta anualmente a una tasa de inter´es de 10,5

5