Modelos Discretos Ejercicios Resueltos Análisis Estadístico Usach

3. Variable Aleatoria Discreta y Distribuciones Discretas – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1.- En una multitienda se realiza un estudio para analizar la cantidad de freezers de cierta marca que se venden diariamente. Considere la siguiente función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X: “nº de freezers vendidos diariamente” 𝒙 𝒑(𝒙)

1 0,18

2 0,23

3 0,20

4 0,15

5 0,14

6 0,10

1.1) La multitienda decide no comercializar esta marca de freezer si vende en promedio menos de cuatro diariamente. ¿Cuál es la decisión que se toma en la multitienda? Utilice medida estadística adecuada. 1.2) Calcule la desviación estándar del número de frezers vendidos diariamente. 1.1) Solución: Sabemos que el valor esperado o esperanza matemática de la variable aleatoria discreta, se calcula por medio de la siguiente fórmula: 𝑛

𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑝(𝑥) 𝑖 =1

Por lo tanto, al reemplazar los datos otorgados por el problema, tenemos: 𝐸(𝑥) = 1 ∙ 0,18 + 2 ∙ 0,23 + 3 ∙ 0,20 + 4 ∙ 0,15 + 5 ∙ 0,14 + 6 ∙ 0,10 = 3,14 Respuesta: Debido a que el valor esperado es menor a cuatro freezers, la decisión que se toma es no comercializar esta marca de freezer. 1.2) Solución: Por otro lado, conocemos que la fórmula de la varianza en variable aleatoria discreta, es la siguiente: 𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑥 2 ) − [𝐸(𝑥)]2 Donde, 𝐸(𝑥 2 ) = 12 ∙ 0,18 + 22 ∙ 0,23 + 32 ∙ 0,20 + 42 ∙ 0,15 + 52 ∙ 0,14 + 62 ∙ 0,10 = 12,4 Finalmente:

𝑉(𝑥) = 12,4 − [3,14]2 = 2,5404

→

𝑆(𝑥) = √𝑉(𝑥) = 1,594

Respuesta: La desviación estándar del número de frezers vendidos diariamente es 1,594. 2.- El ingeniero a cargo de una planta productora de circuitos integrados, preocupado por la rentabilidad de la planta y de dar buena atención a sus clientes, ha logrado modelar probabilísticamente el “número de empleados que se faltan semanalmente a la empresa por diversos motivos” (𝑿), mediante la siguiente función: 𝑿 𝑷 (𝑿 = 𝒙)

0 0,4

1 0,3

2 0,2

3 0,1

El ingeniero también ha observado que la probabilidad de que la Empresa pueda cumplir con los requerimientos de sus clientes es 0,98, cuando no faltan empleados, 0,8 cuando falta 1 empleado 0,5 cuando faltan 2 empleados y 0,35 cuando faltan 3 empleados. 2.1) Grafique 𝑭𝒙 (𝒙). Calcule e interprete: 𝑭𝒙 (𝟏), 𝑭𝒙 (𝟐. 𝟓), 𝑭𝒙 (𝟖) Página 46

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2.2) ¿En las semanas en que se cumple con los requerimientos de los clientes, cuál es la probabilidad de que en esas semanas falten dos o más empleados? 2.1) Solución: Primeramente, definimos la notación a utilizar: 𝑥 = “Número de empleados que faltan semanalmente a la empresa por diversos motivos” Luego, pasaremos de la función de cuantía a una función de distribución acumulada, quedando expresado como sigue:

0 0,4 𝐹𝑥 (𝑥) = 0,7 0,9 {1,0

𝑠𝑖 𝑠𝑖 𝑠𝑖 𝑠𝑖 𝑠𝑖

𝑥<0 0≤𝑥<1 1≤𝑥<2 2≤𝑥<3 𝑥≥3

Después, procedemos a calcular e interpretar lo que nos piden en el ejercicio: 𝐹𝑥 (1) = 0,7 → Probabilidad que en una semana falte a lo más un empleado 𝐹𝑥 (2,5) = 0,9 → Probabilidad que en una semana falten a lo más 2.5 empleados 𝐹𝑥 (8) = 1 → Probabilidad que en una semana falten a lo más 8 empleados. 2.2) Solución: Utilizaremos las siguientes notaciones: 𝑅 = “Empresa cumple con los requerimientos de sus clientes” 𝑥 = “Número de empleados que faltan en una semana” En seguida, plasmaremos los datos que nos otorga el problema: 𝑃(𝑅⁄𝑥 = 0) = 0,98 𝑃(𝑅⁄𝑥 = 1) = 0,80 𝑃(𝑅⁄𝑥 = 2) = 0,50

𝑃(𝑅⁄𝑥 = 3) = 0,35

Luego, por Teorema de Probabilidad Total, tenemos: 𝑃(𝑅) = 𝑃(𝑅 ⁄𝑥 = 0) ∙ 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑅 ⁄𝑥 = 1) ∙ 𝑃(𝑥 = 1) + 𝑃(𝑅 ⁄𝑥 = 2) ∙ 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑅 ⁄𝑥 = 3) ∙ 𝑃(𝑥 = 3)

𝑃(𝑅) = 0,98 ∙ 0,4 + 0,80 ∙ 0,3 + 0,50 ∙ 0,2 + 0,35 ∙ 0,1 = 0,767 Luego, por Teorema de Bayes: 𝑃(𝑅/𝑥 ≥ 2) ∙ 𝑃(𝑥 ≥ 2) 𝑃(𝑅/𝑥 = 2) ∙ 𝑃(𝑥 = 2) + 𝑃(𝑅/𝑥 = 3) ∙ 𝑃(𝑥 = 3) = 𝑃(𝑅) 𝑃(𝑅) 0,50 ∙ 0,2 + 0,35 ∙ 0,1 𝑃(𝑥 ≥ 2⁄𝑅 ) = = 0,176 0,767 Respuesta: En las semanas en que se cumple con los requerimientos de los clientes, la probabilidad de que en esas semanas falten dos o más empleados, corresponde a 0,176. 𝑃(𝑥 ≥ 2⁄𝑅) =

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 Distribución Binomial 3.- El porcentaje de reclamos en una empresa de correos es de 15%, se realiza un seguimiento de estos reclamos ya que esta cifra se considera excesiva. Se toma una muestra de 25 despachos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos tengan reclamos? 3) Solución: Primeramente definimos la notación a utilizar: 𝑥 = “Número de reclamos en una muestra” Luego, notemos que estamos en presencia de una distribución binomial, por lo que queda expresado de la siguiente manera: 25 (0,15)𝑥 (0,85)25 − 𝑥 ; 𝑥 = 1,2, … 𝑥 ~ 𝐵(𝑛 = 25; 𝑝 = 0,15) 𝑃(𝑥) = { ( 𝑥 ) 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Finalmente, calculamos la probabilidad de que al menos dos de ellos tengan reclamos: 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑥 < 2) = 1 − [𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1)] 25 25 𝑃(𝑥 ≥ 2) = 1 − [( ) (0,15)0 (0,85)25 + ( ) (0,15)1 (0,85)24 ] = 0,907 0 1 Respuesta: La probabilidad que al menos dos de ellos tengan reclamos en una muestra de 25 despachos, corresponde a 0,907  Distribución Hipergeométrica 4.- Una empresa solicita a la oficina de colocaciones de una municipalidad, obreros para realizar un trabajo de pintura exterior en un edificio. La oficina de colocaciones envía a 6 obreros con experiencia, en este tipo de trabajo y 4 sin experiencia. La empresa decide contratar a 5 obreros. 4.1) Determine la función de cuantía de la variable aleatoria, 𝒙: “Número de obreros con experiencia, dentro de los contratados”. 4.2) ¿Cuál es la probabilidad que el número de obreros sin experiencia, que fueron contratados sea a lo más 2? 4.1) Solución: Sea: 𝑥: “Número de obreros con experiencia, dentro de los contratados”. Cuya variable es una distribución Hipergeométrica, lo que se representa como continúa:

𝑥 ~ 𝐻𝑖𝑝 (𝑁 = 10; 𝑛 = 5; 𝑝 =

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6 = 0,6) 10

6 4 ( )( ) 𝑥 5−𝑥 ; 𝑥 = 1,2, … ,5 𝑃(𝑥) = 10 ( ) 5 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 {

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Luego, calculamos los valores las probabilidades para 𝑥 = 1,2, … ,5 𝑃(𝑥 = 1) =

6 4 ( )( ) 1 4 10 ( ) 5

𝑃(𝑥 = 2) =

6 4 ( )( ) 2 3 10 ( ) 5

= 0,2381

𝑃(𝑥 = 3) =

6 4 ( )( ) 3 2 10 ( ) 5

= 0,4762

= 0,0238

𝑃(𝑥 = 4) =

𝑃(𝑥 = 5) =

6 4 ( )( ) 4 1 10 ( ) 5

6 4 ( )( ) 5 0 10 ( ) 5

= 0,2381

= 0,0238

Finalmente, la función de cuantía de la siguiente forma: 𝑥 𝑃(𝑥)

1 0,0238

2 0,2381

3 0,4762

4 0,2381

5 0,0238

4.2) Solución: Sea 𝑦 = “Número de obreros sin experiencia dentro de la contratación” 𝑃(𝑦 ≤ 2) = 𝑃(𝑥 > 2) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) 𝑃(𝑦 ≤ 2) = 0,4762 + 0,2381 + 0,0238 = 0,7381 Respuesta: La probabilidad que el número de obreros sin experiencia, que fueron contratados sea a lo más 2, es 0,7381. 5.- Una empresa exportadora empaca sus productos en cajas de 6 unidades. El encargado del proceso de control decide revisar al azar 4 unidades de cada caja. Suponga que en cada caja se han distribuido 2 unidades con pequeños defectos. Encuentre la probabilidad que la tercera caja que revisa el encargado sea la primera donde la muestra contenga las dos unidades con pequeños defectos. 5) Solución: Definimos las notaciones a utilizar: 𝑦 = “Número de unidades con pequeños defectos en una muestra aleatoria de tamaño 4” 𝑤 = “Número de cajas revisadas hasta encontrar la primera de ellas donde la muestra contiene las dos unidades con pequeños defectos” Donde "𝑦", "𝑤", tienen una distribución Hipergeometrica y Geométrica, respectivamente, quedando expresado de la siguiente manera: 1

𝑦 ~ 𝐻𝑖𝑝 (𝑁 = 6; 𝑛 = 4; 𝑝 = 3)

2 4 ( )( ) 𝑦 4−𝑦 6 ( ) 4

𝑃(𝑦) = {

0

Luego, aplicando la probabilidad para 𝑦 = 2

𝑦 = 0,1,2 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

2 4 ( )( ) 𝑃(𝑦 = 2) = 2 2 = 0,4 6 ( ) 4 Además, tenemos: 𝑤 ~ 𝐺𝑒𝑜 (𝑝 = 0,4)

𝑤 −1

𝑃(𝑤) = { (0,4)(0,6) 0

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𝑤 = 1,2, … 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

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𝑃(𝑤 = 3) = (0,4)(0,6)2 = 0,144

Donde:

Respuesta: La probabilidad de que la tercera caja que revisa el encargado sea la primera donde la muestra contenga las dos unidades con pequeñas defectos, es 0,144.  Distribución “Mixta” 6.- De un lote grande de artículos fabricados el 10% tiene defectos. Se extraen al azar 8 artículos. 6.1) Determine la probabilidad de que a lo más uno de los artículos elegidos tenga defecto. 6.2) El costo (en UF) de hacer efectiva la garantía al vender estos productos está dado por 𝑪 = 𝟑𝒙𝟐 , donde 𝒙 es número de artículos defectuosos entre los ocho vendidos ¿Cuál es el costo esperado de hacer efectiva la garantía? 6.3) El gerente de la industria exige probar uno a uno artículos elegidos al azar de diferentes lotes. Si el primer artículo con defecto resulta antes de la sexta prueba el gerente subirá el precio del artículo debido a la garantía. Determine la probabilidad de que se lleve a efecto la medida propuesta por el gerente 6.4) En la industria ocurren en promedio dos accidentes laborales por semana. Determine la probabilidad de que en las siguientes dos semanas ocurran más de tres accidentes laborales. 6.1) Solución: Para comenzar definimos la siguiente notación: 𝑥 = “Número de artículos defectuosos entre 8 elegidos independientemente” Además, notemos que estamos en presencia de una distribución binomial, quedando expresado de la siguiente manera: 8 𝑥 8−𝑥 𝑥 = 0,1,2, … ,8 𝑥 ~ 𝐵(𝑛 = 8; 𝑝 = 0,1) 𝑃(𝑥) = {(𝑥 ) (0,1) ∙ (0,9) 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 En seguida procedemos a calcular la probabilidad requerida por el problema: 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) 8 8 𝑃(𝑥 ≤ 1) = ( ) (0,1)0 (0,9)8 + ( ) (0,1)1 (0,9)7 = 0,8131 0 1 Respuesta: La probabilidad de que a lo más uno de los ocho artículos tenga defecto es 0,8131 6.2) Solución: Lo primero, será calcular mediante formula la esperanza y varianza de 𝑥 , con 𝑝 = 0,1 ; 𝑞 = 0,9 ; 𝑛 = 8 , lo que se expresa como sigue: 𝐸(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑝

𝑉(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞

→

𝐸(𝑥) = 8 ∙ 0,1 = 0,8 𝑉(𝑥) = 8 ∙ 0,1 ∙ 0,9 = 0,72

Además, sabemos que 𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑥 2 ) − [𝐸(𝑥)]2 → 𝐸(𝑥 2 ) = 𝑉(𝑥) + [𝐸(𝑥)]2 𝐸(𝑥 2 ) = 0,72 + 0,82 = 1,36

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Luego, calculamos el costo esperado de hacer efectiva la garantía, de la siguiente manera: 𝐸(𝐶) = 𝐸(3𝑥 2 ) = 3𝐸(𝑥 2 ) = 3 ∙ 1,36 = 4,08 [𝑈. 𝐹] Respuesta: El costo esperado de hacer efectiva la garantía es 4,08 U.F. 6.3) Solución: Utilizaremos esta notación: 𝑦 = “Número de artículos elegidos independientemente hasta encontrar uno defectuoso” 𝑦 ~ 𝐺𝑒𝑜 (𝑝 = 0,1) (0,1)(0,9)𝑦 − 1 𝑦 = 1,2,3, … 𝑃(𝑦) = { 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Procedemos a calcular la probabilidad que se nos pide: 𝑃(𝑦 < 6) = 𝑃(𝑦 = 1) + 𝑃(𝑦 = 2) + 𝑃(𝑦 = 3) + 𝑃(𝑦 = 4) + 𝑃(𝑦 = 5) 𝑃(𝑦 < 6) = (0,1)(0,9)0 + (0,1)(0,9)1 + (0,1)(0,9)2 + (0,1)(0,9)3 + (0,1)(0,9)4 = 0,40951 Respuesta: La probabilidad de que el primer artículo con defecto resulte antes de la sexta prueba, por lo tanto, que el gerente lleve a cabo la medida propuesta por el gerente, es 0,40951. 6.4) Solución: Sea:

𝑟 = “Número de accidentes laborales en una semanas” 𝑟 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 ( = 2 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)

Luego, utilizamos la siguiente notación: 𝑤 = “Número de accidentes laborales en dos semanas” 𝑤 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 ( = 2 ∙ 2 = 4 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) Tenemos: 𝑃(𝑤) = {

𝑒 −4 (4)𝑤 𝑤!

0

, 𝑤 = 0,1,2, … 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

En seguida calcularemos la probabilidad de que se nos solicita: 𝑃(𝑤 > 3) = 1 − 𝑃(𝑤 ≤ 3) = 1 − [𝑃(𝑤 = 0) + 𝑃(𝑤 = 1) + 𝑃(𝑤 = 2) + 𝑃(𝑤 = 3)] 𝑒 −4 (4)0 𝑒 −4 (4)1 𝑒 −4 (4)2 𝑒 −4 (4)3 𝑃(𝑤 > 3) = 1 − [ + + + ] = 0,5665 0! 1! 2! 3! Respuesta: La probabilidad de que en las siguientes dos semanas ocurran más de tres accidentes labores es 0,5665  Distribución Poisson 7.- Una cajera de supermercado demora en promedio 100 segundos en atender a un cliente. Si se establecen como válidos los supuestos de Poisson: 7.1) ¿Cuál es la probabilidad que la cajera atienda a más de un cliente en dos minutos? 7.2) Si la cajera es observada en 5 períodos diferentes de dos minutos cada uno elegidos al azar ¿Cuál es la probabilidad que en sólo uno de los períodos atienda a un cliente?

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7.1) Solución: Utilizamos la notación que sigue: 𝑦 = “Número de clientes que atiende la cajera en 100 segundos” 𝑦 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 ( = 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) Luego, utilizamos la siguiente notación: 𝑥 = “Número de clientes que atiende la cajera en 120 segundos” 120 𝑥 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 ( = = 1,2 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠) 100 Tenemos: 𝑃(𝑥) = {

𝑒 −1,2 (1,2)𝑥 𝑥!

0

, 𝑥 = 0,1,2, … 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

Luego, la probabilidad requerida: 𝑃(𝑥 > 1) = 1 − 𝑃(𝑥 ≤ 1) = 1 − [𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1)] 𝑒 −1,2 (1,2)0 𝑒 −1,2 (1,2)1 𝑃(𝑥 > 1) = 1 − [ + ] = 1 − 0,6626 = 0,3374 0! 1! Respuesta: La probabilidad que la cajera atienda a más de un cliente en dos minutos, corresponde a 0,3374 7.2) Solución: Nos encontramos frente a una distribución binomial, por lo que utilizaremos la siguiente notación: 𝑤 = “Número de periodos en que la cajera atiende a un cliente en dos minutos” Aplicaremos la distribución Poisson en 𝑥 = 1, para poder definir el valor de la probabilidad de éxito (𝑝): 𝑝 = 𝑃(𝑥 = 1) =

𝑒 −1,2 (1,2)1 = 0,3614 1!

Por ende, queda expresado de la siguiente manera: 5 (0,3614)𝑤 (0,6386)5 − 𝑤 ; 𝑤 = 1,2, . . ,5 𝑤 ~ 𝐵(𝑛 = 5; 𝑝 = 0,3614) 𝑃(𝑤) = { (𝑤 ) 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Finalmente, calculamos la probabilidad pedida: 5 𝑃(𝑤 = 1) = ( ) (0,3614)1 (0,6386)4 = 0,3005 1 Respuesta: Si la cajera es observada en 5 periodos diferentes de dos minutos cada uno elegidos al azar, la probabilidad de que sólo uno de los periodos atienda a un cliente, corresponde a 0,3005. 8.- Un Ciber cobra $500 la hora por uso de un computador. El número (X) de fallas que se pueden producir por computador, es una variable aleatoria distribuida según una Poisson con media 0,2 fallas por hora, mientras que el costo C, en pesos de reparación por hora por computador está dado por C = 700X2. 8.1) Determine la probabilidad de que en 6 horas no se produzca ninguna falla. 8.2) Calcule la utilidad esperada por hora por computador.

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8.1) Solución: Lo primero que haremos es definir la variable que se distribuye Poisson: 𝑤 = “Número de fallas en un computador en una hora” 𝑤 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 ( = 0,2 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠) Luego, utilizamos la siguiente notación: 𝑦 = “Número de fallas en un computador en 6 horas” 𝑦 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 ( = 0,2 ∙ 6 = 1,2 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠) Tenemos: 𝑃(𝑦) = {

𝑒 −1,2 (1,2)𝑦 𝑦!

0

, 𝑦 = 0,1,2, … 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

En seguida, procedemos a calcular la probabilidad requerida: 𝑃(𝑦 = 0) =

𝑒 −1,2 (1,2)0 = 𝑒 −1,2 = 0,3012 0!

Respuesta: La probabilidad de que en 6 horas no se produzca ninguna falla es 0,3012 𝑥 = “Número de fallas por computador, en una hora” 𝑥 ~ 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 ( = 0,2 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑎𝑠)

8.2) Solución: Sea:

Después, sabemos que la utilidad por hora es: 𝑈 = 500 − 𝐶 = 500 − 700𝑥 2 Por lo tanto, la utilidad esperada queda expresada de la siguiente manera: 𝐸(𝑈) = 𝐸(500 − 700𝑥 2 ) = 500 − 700𝐸(𝑥 2 ) También conocemos que:

𝑉(𝑥) = 𝐸(𝑥 2 ) − [𝐸(𝑥)]2 → 𝐸(𝑥 2 ) = 𝑉(𝑥) + [𝐸(𝑥)]2

Como ya sabemos que corresponde a una distribución Poisson, se desprende lo siguiente: 𝐸(𝑥) = 

𝑉(𝑥) = 

→

𝐸(𝑥) = 0,2

𝑉(𝑥) = 0,2

Luego, procedemos a reemplazar, quedando: 𝐸(𝑈) = 500 − 700𝐸(𝑥 2 ) = 500 − 700 ∙ [(0,2) + (0,2)2 ] = 332 [$] Respuesta: La utilidad esperada por hora por computador es igual $332.

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