Ii Bimestre-geometría-3ro-secundaria.pdf

Triángulos OBJETIVOS: Al finalizar el presente capítulo, el alumno será capaz de: • Definir un triángulo e indicar cuáles son sus elementos. • Reconocer y saber graficar los diferentes tipos de triángulos que existen. DEFINICIÓN.- Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos.

B Elementos: Vértices: A, B y C Lados: AB, BC y AC Notación: Triángulo ABC: ABC C

A

ABC = AB  BC  CA

• Regiones determinadas respecto al triángulo

B Región interior Región exterior relativo a AB

A

Organización Educativa TRILCE

Región exterior relativo a BC

Región exterior relativo a AC

C

75

Triángulos • Ángulos determinados respecto al triángulo

B

y°

° a

c

x°

°

°

A

b

-

Medida de los ángulos internos: "°", "°" y "°"

-

Medida de los ángulos externos: "x°", "y°" y "z°"

-

Perímetro de la región triangular ABC: (2pABC)

z°

C

2pABC = a + b + c -

Semiperímetro de la región triangular ABC: (pABC)

p ABC 

a+b+c 2

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS I. SEGÚN LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS a. Triángulo oblicuángulo.- Es aquel que no tiene ángulo recto y puede ser: - Triángulo acutángulo.- Es aquel triángulo que tiene sus ángulos internos agudos.

B ° 0° < °, ° , ° < 90° ABC: Acutángulo A

°

°

C

- Triángulo obtusángulo.- Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso.

B 90° < ° < 180° ABC: obtusángulo, obtuso en "A" ° A

76

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA b. Triángulo rectángulo.- Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto.

B m ABC  90

c

a

Catetos : AB y BC

°

A

° b

C

Hipotenusa : AC     90

Nota: Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. 2

2

ABC se cumple: b = a + c

En el

2

II. SEGÚN LAS LONGITUDES DE SUS LADOS a. Triángulo escaleno.- Es aquel triángulo en el cual sus lados tienen diferente longitud.

B °

Si: "a", "b" y "c" son diferentes entre si

a

c

ABC: escaleno A

°

° b

C

°, °, ° son diferentes entre si

b. Triángulo isósceles.- Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.

B

A

a

a



 BASE

C

c. Triángulo equilátero.- Es aquel triángulo cuyos lados son de igual longitud.

B 60°

L

A

L

60°

60°

L

C

Organización Educativa TRILCE

77

Triángulos TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIÁNGULO TEOREMA 1 En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a 180°

B °

En el triángulo ABC se cumple: ° + ° + ° = 180°

°

A

°

C

TEOREMA 2 En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores no adyacentes a él.

B °

En el triángulo ABC se cumple: x° = ° + ° x°

°

A

C

TEOREMA 3 En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°

B

y°

En el triángulo ABC se cumple: x° + y° + z° = 360°

x°

C

A

z°

TEOREMA 4 En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de mayor medida y viceversa.

B 

c

a



Si:  >> a > b > c 

A

b

C

TEOREMA 5 En todo triángulo la longitud de un lado es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la suma de los mismos.

B c A

78

Sea: a > b > c  a-c
a b

C Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Test de Aprendizaje 1. Los valores de los lados de un triángulo escaleno son números consecutivos y su perímetro es 36 cm. Calcular la longitud del menor lado. Resolución:

2. Calcular el menor ángulo interno de un triángulo, si uno de ellos es el doble del otro y el tercero mide 126º. Resolución:

3. Calcular el mayor ángulo externo de un triángulo rectángulo isósceles. Resolución:

4. Dos lados de un triángulo miden 5m y 8 m. ¿Qué valores pares puede tomar el tercer lado? Resolución:

Organización Educativa TRILCE

79

Triángulos 5.

C

a

l c

u

l a

r

e

l

m

í n

i m

o

y

e

l

m

á

x

i m

o

v

a

l o

r

e

n

t

e

r

o

d

e

u

n

l a

d

o

e

n

u

n

t

r

i á

n

g

u

l o

,

d

o

n

d

e

l o

s

o

t

r

o

s

d

o

s

l a

d

o

s

m

i d

e

n

9

 y 11.

Resolución:

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B": AC = 10. Calcular el máximo valor entero de AB. Resolución:

7. En la figura, calcular "x°". 30° 60° 5 7

70°

x°

Resolución:

8. En la figura, ¿cuántos valores enteros puede tomar el lado AC ? Resolución:

B 4u

A

80

6u

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 9. Calcular “x°”, si: m

A = 70º, m

B

B = 36º y EC = CD Resolución:

E

A

xº

C

D

10.Calcular el máximo y el mínimo valor entero que toma "x" para que el triángulo exista. Resolución:

5u

10u

x

Practiquemos 1. Calcular "x"

3. Si: BC = 20, calcular el mínimo valor entero de “x”.

B

x 80° 45°

30°

A

C 2. Calcular "x"

4. Calcular "x°" x°

x

100°

70°

60° + w° w°

80°

Organización Educativa TRILCE

x°

81

Triángulos 5. Si: a° + b° = 240°, calcular m A

ACB.

7. Un triángulo isósceles tiene dos lados que miden 13 y 6 u. Hallar el perímetro del triángulo.

a°

8. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto “D” de modo que: AC=AD, m ADC  80 y m BCD  15 . Hallar: m BAD . b°

C

B

6. Si: AB = BE = EC, hallar m

ABE .

9. En un triángulo ABC, se ubica el punto "P" en su región interior, tal que: m BAP = 2 m PCB; m B = 80º y m APC = 152º. Calcular m PCB.

B 10.En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), “R” y “S” son

A

puntos que pertenecen a AC y BC respectivamente, tal que: BR=BS. Hallar: m SRC , si: m ABR  20 .

40°

E

C

Autoevaluaciòn 1. En el gráfico si: AM = MC = AB y m BAM  m ACB , hallar: m AMC .

4. En un triángulo equilátero ABC, exterior y relativo a AB se ubica el punto "E", tal que: AE = AB. Hallar: m CEB .

B M C

A

5. En un triángulo ABC, m BAC  30 y m ABC  120  . En la prolongación de AB se ubica el punto "P" y sobre AC el punto "Q", tal que: AB=BP=QC. Hallar: m PQC .

2. Dos lados de un triángulo miden 8 y 15 u. Determinar el máximo valor entero del tercer lado, si su ángulo interior opuesto es agudo.

3. En el gráfico, si: AB = BD y AC = BC, calcular: m ABD m ACB

B

A

82

D

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Tarea domiciliaria 1. Calcular el menor lado de un triángulo escaleno, si su perímetro es 48 cm y los valores de sus lados son números consecutivos (graficar). 2. Calcular el menor ángulo interno de un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), si: m A = 4m C. (graficar) 3. En el triángulo ABC: m A = 118º y AC = AB. Calcular el mayor ángulo externo de dicho triángulo.

10.En la figura, hallar: m HQP; si la m PQR = 120°. Q

P

H

40° R

11.En la figura, calcular “°”. 11°

4. ¿Cuántos valores enteros puede tomar el lado de un triángulo, si los otros dos miden 7 y 15? 5. En la figura, calcular "°".

12°

50°

12.En la figura, calcular "x°".

30°

120°

°+°

70°+°

5x°

2x°

6. Calcular "x°"

13.Calcular "°", para que el ángulo AOC sea recto. x°-10°

B 3°

x°+30°

x°+10°

°

O

7. ¿Cuál es el mayor valor par que puede tomar “x” para que el triángulo exista?

° 2

A

C

14.Según el gráfico, calcular "° + °", si: ° + ° = 280° 9u

5u

° °

x

8. Calcular "x°"

°

°

x° 100°

15.Los lados de un triángulo isósceles miden 5 y 11 u. Calcular su perímetro. 160°

16.En la figura mostrada AB = BC y el triángulo QSC es equilátero. Hallar: m BQS.

9. ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar “x”?

B S

7

x+2 Q A

Organización Educativa TRILCE

20°

C

83

Triángulos 17. En un triángulo ABC, sobre AC se ubica "P", tal que: AP = PB y PC = BC. Hallar m A , si: m C  40. 18.

S

i :

C

D

=

B

D

,

h

a

l l a

r

:

m

23.En la figura: AB = AC, m BAP = 28° y AP = AQ. Hallar: m QPC A

ABD. Q

B

B A

80°

40°

D

C

24.Hallar: m

QSR, si: PQ = QR. P 80°

19.Hallar el mínimo y el máximo valor entero que toma "x", para que el triángulo exista.

x

S

60°

Q

140°

8u

6u

C

P

R

25.Según el gráfico, calcular "x°", si: ° + ° = 120°.

20.En la figura mostrada, calcular "x°", siendo la medida del ángulo formado por L y P de 60°. °

P

L

° 2x°

x°

3

2

x° 

26.En la figura, BD = AC. Calcular "°". B

21.En un triángulo PQR se traza PN ("N" en QR ), donde la mNPR = 20° y mR = 80°, además: QN = PR. Hallar: m  QPN. 22.Los lados de un triángulo isósceles miden 9 y 19 m, calcular su perímetro.

°

D 7° ° A

5°

C

27. Calcular “°” ° ° 3°

   26°

84

Tercer Año de Secundaria

Líneas notables asociadas al triángulo I OBJETIVOS Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en la capacidad de: • Establecer la diferencia que existe entre las principales líneas notables asociadas al triángulo. • Reconocer su ubicación en los diferentes tipos de triángulo 1. CEVIANA.- Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.

B En el triángulo ABC - BR: Ceviana interior relativa a AC - BQ: Ceviana exterior relativa a AC A

R

C

Q

2. ALTURA.- Es la ceviana perpendicular al lado al cual es relativo. -

Triángulo acutángulo B

En el triángulo acutángulo ABC BH: Altura relativa a AC A

-

H

C

Triángulo obtusángulo B

En el triángulo obtusángulo ABC BH: Altura relativa a AC H

-

A

C

Triángulo rectángulo B

En el triángulo rectángulo ABC BH: Altura relativa a la hipotenusa AC A

H

Organización Educativa TRILCE

C

NOTA: "B": ortocentro del triángulo ABC

85

Lí neas not ables asociadas al t riángulo I 3.

B

I

S

-

E

C

T

R

I

Z

.

Es la ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior.

-

Bisectriz interior B  

En el triángulo ABC BR: Bisectriz interior relativa a AC

A

-

C

R

Bisectriz exterior B

En el triángulo ABC



 A

BQ: Bisectriz exterior relativa a AC Q

C

Nota: En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo exterior cuyo vértice es opuesto a la base, siempre es paralela a dicha base.

° B ° ° °

A

°

L

° base

L

es bisectriz exterior

L

// AC

C

Propiedades b)

a)

B

B x = 90° + B 2

I A

 

x

 

A

C







C 

x = 90°

B 2

x E c)

E

B

 A

86



x

  C

x= B 2 Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Test de Aprendizaje 1. En un triángulo ABC: m

B = 38º y AB = BC. Si se traza la bisectriz interior AE , calcular: m

AEC.

Resolución:

2. En el triángulo ABC: m

B = 24º y m

C = 36º; luego se traza la altura BH . Calcular: m

HBA.

Resolución:

3. En el triángulo ABC: m de AC ). Calcular: m

A = 26º y m

C = 120º; luego se traza la bisectriz exterior BF ("F" en la prolongación

BFA. A.

Resolución:

4. En el triángulo rectángulo PQR (recto en "Q"); se traza la altura QH . Si: m

P = 56º, hallar: m

HQR.

Resolución:

5. Dado el triángulo MNE, tal que: m

M = 50º y m

E = 30º, luego se trazan la altura a NH y la bisectriz interior,,

ND . Calcular: m HND. Resolución:

Organización Educativa TRILCE

87

Lí neas not ables asociadas al t riángulo I 6. En el triángulo rectángulo ALE (recto en "L") se traza la altura LN y la bisectriz exterior LP ("P" en la prolongación de AE ). Si: m

A = 20º, calcular: m

NLP..

Resolución:

7. Si: BE es bisectriz, calcular "x°" Resolución:

B

A

80°

x°

30°

E

C

8. Calcular "x°", si: ° + ° = 80° y BE es bisectriz interior en el triángulo ABC. B

Resolución:

° A

°

E

°

C

x°

F

9. Calcular "x°", si CD es bisectriz exterior del triángulo ABC. Además: ° = 34° y ° = 34° C

B

88

°

°

A

Resolución:

x°

D

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 10.Calcular "x°" Resolución:

B

80°

x° ° °

A

° °

C

Practiquemos 1. Se tiene el triángulo rectángulo ABC (recto en "B") y se trazan las bisectrices interiores AE y CF que se intersectan en "M". Calcula m AMC.

7. Calcular "x°" en la figura mostrada.

2. En un triángulo PQR: m Q = 34º; luego se trazan la bisectriz interior del P y la bisectriz exterior del R que se cortan en "E". Calcular: m PER. 3. Calcular la medida del ángulo AFB en el triángulo ABC, si: m ACB = 110º y "F" es el punto de intersección de las bisectrices exteriores de los ángulos "A" y "B". 4. Se traza la altura AH en el triángulo isósceles ABC (AB = BC). Si: m B = 30º, calcular: m HAC.

140°

B x°

A

 





C

8. En la figura, calcular “x°”.

5. Hallar “x”: 20

80°

°

° ° x°

x° 3°

3 °

°

°

6. Calcular “x°”

°

° °

9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD. Si: AB=BD=DC, hallar: m BCA .

°

x°

° °

10.En un triángulo ABC: m B  68 y m C  12 . Hallar la medida del menor ángulo que se forma al prolongar las alturas trazadas de los vértices "B" y "C". 40°

x°

Organización Educativa TRILCE

89

Lí neas not ables asociadas al t riángulo I

Autoevaluaciòn 1. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM. Hallar: m BMC , si: m BAC  m BCA  30 . 2. Se tiene un triángulo ABC en el cual la medida del mayor ángulo formado por la bisectriz interior AD y la altura BH ("H" en AC ) es 110°. Hallar: m ABC , si: AD=DC. 3. En un triángulo rectángulo ABC se trazan la altura BH y la bisectriz interior AF, que se cortan en "M". Si: BH=9u y BF = 6u, calcular "MH".

4. En un triángulo ABC (AB  BC) se trazan las bisectrices interiores AD y CE. Luego por "D" se traza una paralela a AC que corta a AB en "H" y a la prolongación de CE en "F". Calcular "FH", si: AH = 5 cm y CD = 8 cm. 5. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AD, tal que la medida del ángulo ADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de "A" y "B". Calcular "BD", si además AC=12 cm y BC=16 cm.

Tarea domiciliaria 1. Calcular "x°"

5. Calcular "x°" x°

50°

x°

° °

°

°

°

2 ° °

2°

2. Calcular "x°" 6. En la figura, BH es altura. Si: m A = 38° y m C = 27°, calcular: m CBH - m ABH.

42°

B x°

° °

° °

3. Calcular "x°"

A ° °

7. Calcular "x°", si: AE y CF son alturas.

x°

B °

48°

C

H

70° °

E

F x° A

4. Calcular "x°" B

C

8. Calcular "x°" B

x° A

20° 60°

C

A

90

 

x°

 

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 9. Calcular “x°”, si: AD y CD son bisectrices.

15.En la figura AI y CI son bisectrices. Si: m ABC + m AIC = 150°, hallar: m B.

B

B 44° D x°

I

A

C

C

A

10.Si BH es altura y CP es bisectriz interior del ángulo “C”, calcular "x°", si además: m C = 50°.

16.Calcular "x°"

B 2x°

P

x°

A

C

H

4x°

° °

° °

17. Calcular "x°", si: BH es altura y BD es bisectriz del ángulo ABC.

11.Calcular “x°”

B

° ° x° 60°

°

x°

°

A

12.Calcular “x°” ° °

x°

°

76°

70°

D

H

30°

C

18.Calcular “x°”

°

°

° x°

13.Calcular "x°"

° °

40° ° °

x°

19.Si: AB = BC, calcular "x°". B

° °

64°

40°

14.Calcular “x°”

2x°

° °

6x°

A

x°

C

° °

Organización Educativa TRILCE

91

Lí neas not ables asociadas al t riángulo I 20.En la siguiente figura: AB = BC y m EAC = 21°, hallar: m ABC.

25.Calcular "b° + c°" b°

B

c°

E A

C

° °

150°

° °

26.Calcular "x° + y°" 21.Si: AE es bisectriz del ángulo BAH, m C = 40° y m  B = 60°, calcular "x°". 57°

B

x°   

x° E

A

C

H

y°

  

27. Calcular "x°"

22.Calcular “x°”

 

7x°

x°

2x° -10 ° 30°

 

w°

w°

° °

ˆ , hallar: 28.Si: AB = AC, AD = DB y BD es bisectriz del ABC m DCB. A

23.Calcular "x°" 100°

x°

D B

°

°

° °

24.Calcular “x°”

C

29.En un triángulo ABC: m B = 45° y m C = 35°. ¿Cuánto mide el menor ángulo que forman las alturas trazadas de “B” y “C”? 30.Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en “B”. Se traza la altura BH y la bisectriz interior AD cortándose en el punto "P", entonces ¿de qué tipo es el triángulo BPD?

x° 75° 2°

92

°

Tercer Año de Secundaria

Líneas notables asociadas al triángulo II 1. MEDIANA.- Es el segmento cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. B

En el triángulo ABC "M" es punto medio de AC A

b

M

BM: Mediana relativa a AC

C

b

-

El punto de intersección de las medianas de un triángulo es el BARICENTRO.

-

El Baricentro (G) de una región triangular divide a una cada de las medianas en la razón de 2 a 1 (midiendo desde el vértice)

B En el triángulo ABC

A

G: Baricentro de la región triangular ABC

N

P

M

Organización Educativa TRILCE

C

Propiedad del Baricentro AG = 2(GN) BG = 2(GM) CG = 2(GP)

93

Lí neas not ables asoci adas al tr iángulo II 2.

M

E

D

I

A

T

R

I

Z

.

-

Es aquella recta perpendicular que divide en dos medidas iguales (biseca) al lado de un triángulo.

L

B

En el triángulo ABC

N

L

AC y AM = MC

L : mediatriz de AC A

b

M

b

C

B

B a

c

L1 c A

L 1 : Mediatriz de: _________

94

L2

a C

A

C

L 2 : Mediatriz de: _________

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Test de Aprendizaje 1. En el triángulo ABC, BM es mediana. Calcular "x".

B

A

Resolución:

M

x-1

8

C

2. En el triángulo ABC, MN es mediatriz de AC . Calcular "AM" B

Resolución: N

A

x2 - 1

M

C

8

3. En el triángulo ABC, MN es mediatriz de AC . Calcular "x°", si: m

A = 36º

C

Resolución: N B

A

M

4. En el triángulo ABC, CM es la mediana relativa a AB , calcular: B

BM AB

Resolución:

M

A

C

Organización Educativa TRILCE

95

Lí neas not ables asoci adas al tr iángulo II 5. En el triángulo ABC, calcular:

BO BR

Resolución:

B a M O A

b

a R

b

6. En el triángulo ABC: m Calcula m

C

A = 20º y m

B = 150º; luego se traza la mediatriz de AC , que corta a BC en "E".

BEM, siendo "M" punto medio de AC .

Resolución:

7. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la mediana AM . Calcular: MC AB Resolución:

8. Se tiene el triángulo rectángulo ABC, recto en "B" y m

A = 18º. Luego se traza la mediatriz de AC . Calcular la

medida del mayor ángulo formado por AB y la mediatriz mencionada. Resolución:

96

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 9.

E

n

u

n

t

r

i á

n

g

u

l o

e

s

c

a

l e

n

o

A

B

C

,

s

e

t

r

a

z

a

n

l a

s

m

e

d

i a

n

a

s

AP y CQ que se cortan en "O". Si: AO = 12, calcular

"AP". Resolución:

10.Si: L1 y L2 son mediatrices de AB y BC respectivamente, calcula "º". Resolución:

B L1

L2

76º º A

C

Practiquemos 1. En un triángulo PQR: m P = 42º y m Q = 108º. Luego se traza la mediatriz de PR que corta a PR y QR en "M" y "N" respectivamente. Hallar: m QNM.

6. Si: BH es altura en el triángulo ABC, L es mediatriz de BC y º = 142º, calcular: m ACB

B L

2. En un triángulo ABC: m BAC = 72º. Calcular el mayor ángulo formado por las mediatrices de AB y AC . 3. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, tal que: AB = 10, BC = 8 y el perímetro del triángulo ABC mide 30. Calcular “AM”.

A

H

C

º 4. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM que se cortan en “G”. ¿Cuántos valores enteros puede tomar AB , si: MG = 2 y GN = 3u? 5. En un triángulo ABC se traza la mediatriz de BC que corta a BC y AB en “M” y “P” respectivamente. Hallar: m BPM , si: m BAC  90 y m ACB  62 .

Organización Educativa TRILCE

7. En el triángulo PQR, se traza la mediana QM tal que: PM = QM. Calcular m PQR.

8. En el triángulo rectángulo ABC: m C = 20º; luego se traza la bisectriz interior BD cuya prolongación corta a la mediatriz de AC en el punto "Q". Calcular m BQM, siendo "M" punto medio de AC .

97

Lí neas not ables asoci adas al tr iángulo II 9. Calcular el mayor y menor valor entero de AC , si: PM = 5 y PN = 3.

10.Hallar "º", si: AD es bisectriz y L es mediatriz de BC .

L

B

B

80º

= M

D

º

N

P

=

A

C

30º

A

C

Autoevaluaciòn 1. En un triángulo ABC, se traza la altura BH, tal que m A  2m C , AH = 8 y HC = 20. Calcular “AB”.. 2. Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz interior BL y la mediatriz de AC de un triángulo ABC, si: m BAC - m BCA = 80°. 3. En un triángulo equilátero ABC se traza las cevianas AE y BD. Si: m ABD = m  EAC, hallar la medida del menor ángulo formado por dichas cevianas.

4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la altura BH. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y HBC. 5. Las bisectrices interiores de un triángulo ABC se intersecan en el punto "I". Por "I" se trazan dos rectas paralelas a AC y BC respectivamente que intersecan a AB en los puntos "P" y "Q". Si: AB = 10 u, calcular el perímetro del triángulo PQI.

Tarea domiciliaria 1. En un triángulo ABC, se trazan las medianas BM y CQ que se cortan en "O", ¿qué es el punto "O" del triángulo ABC? 2. En el triángulo ABC, PQ es mediatriz de AC . Calcular:

4. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AM y BN que se interceptan en "K". Calcular "BN", si: KN = 8 u. 5. Calcular "x°" B

AQ AC

c

B

c

P

A

Q

A

C

80°

x° b

b

C

6. Calcular “x”, si BM es mediana del triángulo ABC. B

3. En la figura, calcular "AC", si: BM es mediana.

B A

A

98

2

x -1

M

8u

C

C x 2 - 3 M 2x + 5 Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 7. En el triángulo ABC, AM y BR son medianas. Calcular:

AG GM

12.En la figura, L es mediatriz de BC . Si: mA = 80° y mC = 72°, hallar: m  BPM. B

B

M

M

P

G

L

A

A

C

C

R

8. Si HM es mediatriz de AC , hallar: m  ACB, si: m MHC = 50°.

13.Si L es mediatriz de BC y BH es altura, calcular "x°". B

L

B H

A

x°

H

20 °

A

C

C

M

9. En el triángulo ABC, RT es mediatriz de AC , AR = 4 u y RT = 3 u. Calcular “CT”.

14.Si BM es mediana relativa a AC y AC = 2BM, hallar: m ABC. B

B T

A A

C

R

10.En el gráfico, L1 y L2 son mediatrices de AB y BC respectivamente. Calcular “x°”. B L1

A

C

M

15.Si BM es una mediana y el triángulo MDC es equilátero, calcular "x°". B

L2

140° x°

A

x°

C

D

16.En la figura, AN y BM son medianas. ¿Cuántos valores enteros puede tomar "AB", si: MG = 4  y GN = 5 ?

11.Si BH es mediatriz, calcular "x°".

B

B x°

A

C

M

N G

50° H

Organización Educativa TRILCE

C

A

M

C

99

Lí neas not ables asoci adas al tr iángulo II 17. En el triángulo ABC, calcular el máximo valor entero que toma AB , si: OR= 3u y OQ = 4u.

25.Calcular "x°"

B

x°

100° a R a

O A

Q

b

 

 

C

b

26.Calcular "x°"

18.En un triángulo ABC se traza la mediana CM. Si: AM = MG,

B

AB calcular: . GC (G: Baricentro del triángulo ABC)

 

 

A

x°

C

20° E D

19.En un triángulo ABC, m ABC  50 . Calcular la medida del menor ángulo formado por las mediatrices de AB y BC .

27. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD, tal que: ABD = 80°, hallar: m C.

20.En un triángulo ABC, se traza la mediatriz de AC que corta a BC y AC en los puntos "M" y "N" respectivamente. Hallar: m NMC , si: m ACB  40 .

28.En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la ceviana AD tal que: AD = AC. Si: m ABC = 40°, hallar: m DAC.

21.En un triángulo equilátero ABC se traza la ceviana BD. ABD = 20°, hallar: m BDC.

29.Si AE es una bisectriz interior y el triángulo EDC es equilátero, calcular “x°”.

S

i :

m

A

B

=

B

D

=

D

C

.

S

i :

m

B

22.Calcular "x°"

x°

B

E

80° x°

 

A

20° A

 

C

D

C

30.Calcular "x°", si: mA - mC = 64°. B

23.En la figura, AI y CI son bisectrices. Si: mABC + mAIC = 120°, hallar: mB.

 

B A

x°

D

C

I A

C

24.Calcular "x°"

B

A

100

4x°

 

x° 



C Tercer Año de Secundaria

Triángulos rectángulos notables I. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

C º

a2 + c2 = b2 b

a

B

90º - º

A

c

Ejemplos: Hallar “x”

1. 2

3.

2.

x

5

x

17

13

3

x

15

Sol.:

Sol.:

Sol.:

x2 = 22 + 32 x = 13

x 2 + 5 2 = 13 2 x 2 = 13 2 - 5 2 x2 = x=

II. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Se denominan así a ciertos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos internos (denominados ángulos notables) se tendrá presente una determinada relación entre las longitudes de sus lados. a.

notable de 45°

45°

45°

k

k 2

a 2

2a

45° k

Organización Educativa TRILCE

45° a 2

101

Tr iángulos r ectángulos b.

not ables

notable de 30° y 60°

60°

2k

k

30° k 3 c.

notable de 37° y 53°

53°

5k

3k 37° 4k TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES ADICIONALES a.

notable de

53°  26°30' 2

c.

74º 25a 7a

n 53° 2

16º 24a

2n

b.

notable de 37° = 18°30' 2

m 37° 2 3m

102

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Test de Aprendizaje 1. Calcular "x" e "y" Resolución:

16

x

30°

y

2. Calcular:

y x

Resolución:

5

x

45° y

3. Calcular "x + y" Resolución:

x

12

53°

y

4. Calcular "x" Resolución: x

30° 7 3

Organización Educativa TRILCE

103

Tr iángulos r ectángulos

not ables

5. Calcular "x + y" Resolución:

10

y

45° x

6. Hallar "AC":

Resolución:

B 8 2

A

45°

C

7. En el triángulo ABC, recto en "B", su perímetro es 60. Calcula "AB", si: m

A = 37º

Resolución:

8. En el triángulo rectángulo PQR: m

P = 30º; PR + QR = 18 y m

Q = 90º. Calcular "PQ".

Resolución:

104

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 9.

E

n

u

n

t

r

i á

n

g

u

l o

e

q

u

i l á

t

e

r

o

d

r

a

A

B

C

d

e

p

e

r

í m

e

t

r

o

1

2

m

c

a

l c

u

l a

r

l a

l o

n

g

i t

u

d

d

e

l a

a

l t

u

r

a

BH .

Resolución:

10.

E

l

p

e

r

í m

e

t

r

o

d

e

u

n

c

u

a

d

o

e

s

i g

u

a

l

a

3

6

. Calcular la longitud de una de sus diagonales.

Resolución:

Organización Educativa TRILCE

105

Tr iángulos r ectángulos

not ables

Practiquemos 1. Calcular el cateto mayor de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa es igual a 8 y el menor ángulo interno mide 30º.

2

.

C

i s

a

ó

l

s

c

u

c

l

e

a

l e

r

l

s

,

a

s

h

i

u

i

n

p

o

c

t

a

e

t

n

e

u

t

o

s

a

m

d

i d

e

e

u

n

t

r

i

á

n

g

u

l

o

r

e

c

t

á

n

g

u

l

6. Calcular "BC", si: AB = 12 u. B

o

5 2 30°

A

45°

C

3. En el triángulo rectángulo ABC (recto en "B") m

A = 53º y AC = 30. Calcular: AB + BC

4. Calcular "m"

7. Se tiene un triángulo ABC, de modo que: m A  30 , m C  45 y AB = 24 u. Calcular "BC". 8. Calcular "AC"

B

12

m

3 2

45° A 5. Calcular "x"

45°

37°

C

9. Calcular "x"

x

x 30°

53° 45°

53°

20

10 2

10.En un triángulo ABC se cumple que: m A = 37° , m C = 45° y AC = 14u. Calcular "AB".

106

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Autoevaluaciòn 1. Calcular "BC", si: AM = MD = 12u

3. Calcular "HR", si: AB = 10 u. A

D

H

53°

C

B

M

53°

C

30°

B

R

4. En un triángulo ABC, m B  127 y BC = 15u. Calcular la distancia del vértice "C" a la recta AB. A

5. En un triángulo ABC, m 2. En un triángulo ABC, m BAC  37 , m ACB  8 y AC = 50u. Calcular "AB"

A=37°, AB = 3u y AC = 15u.

Hallar: m B .

Tarea domiciliaria 1. Calcular “a + b”

4. Calcular “x + y”

7 2u

x

60°

2u

a

45° 30°

b

y

5. Calcular “x”

2. Calcular “a + b”

x

45° 10 u

a

b

3 2 30° 6. Calcular "y"

3. Calcular "a + b"

7 2

a

8u

b

45°

30°

Organización Educativa TRILCE

y

107

Tr iángulos r ectángulos

not ables 13.Calcular “BC”, si: AD = 10 u.

7. Calcular “x + y”

B

53°

20 u

x

A

37°

y

37°

45°

C

D

8. Calcular “x + y” 14.Calcular “x”

B

53°

80 u

x

x

5u y

A

53°

30°

C

9. Calcular "x" 15.Calcular "x".

x

x

10 u

37°

45 u

53°

10.Calcular “x + y”

30°

16.Calcular “x”

y

x

15 u

x

30 °

53°

53°

10 u

17. Calcular “x”

11.Calcular “x”

x

45°

B

30 °

53°

C

25 u

x 45°

y

x

30°

18.Calcular “x”

12.Calcular “x + y”

12 u 30°

45°

37°

20 u

108

6u

x

D

A

30°

C

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 19.Calcular “x”

25.Calcular “AE”, si: EC = 6 u.

A

4u

x 45°

15°

30°

20.Calcular "BC", si: AC = 35 u.

B

B

45°

E

C

26.Calcular “BH”, si: AC = 25 u.

A

45°

B

37°

C

21.Calcular “BC”, si: AC = 42 u.

A

B

37°

H

C

27. Calcular “BH”, si: AC = 20 u.

A

37°

45°

B

C

22.Calcular “BP”, si: AC = 8 2 u.

A

A

30°

H

C

8° 28.Calcular “x”

B

P

45°

C

37° x

9u

23.Calcular “BP”, si: AC = 20 2 u

A

29.Calcular “x”

8°

B

P

45°

37°

C

x

18 u

24.Calcular “AE”, si: EC = 10 u.

30.Calcular “HP”, si: AC = 32 u.

A

B

15°

B

P

E

45°

Organización Educativa TRILCE

C

A

H

30°

C

109

Repaso III Test de Aprendizaje 1. Si "t" es mediatriz del lado EF , calcula el ángulo "x". Resolución:

t x 53° E

60°

F

2. Si BP es bisectriz interior del ángulo "B" y "t" es mediatriz del lado AC , calcula la medida del ángulo "x " .

t

B 40° A

Resolución:

50°

x P

Organización Educativa TRILCE

C

111

Repaso II I 3. Sea ABC un triángulo y AE una bisectriz interior ("E" está en BC ). Si: mC=60° y mBAE=40°, calcular la mAEC. Resolución:

4. En un triángulo ABC cuyos ángulos interiores son agudos, el mayor ángulo que forman las alturas trazadas a los lados BC y AB mide 100°. Calcular la mB. Resolución:

5. Se tiene un triángulo acutángulo ABC y se traza la altura BH . Si el ángulo exterior adyacente a "C" mide 150°, hallar la mHBC. Resolución:

6. Calcula la medida del ángulo "x".

40°

a

a

x

b b

Resolución:

112

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 7. Calcular la medida del ángulo "x".

80° x 

  Resolución:

8.

E

l

ABC es equilátero, calcular la medida del ángulo "x".

B

A a

a

b

C b

x Resolución:

9. Calcular el valor de "x".

x

30° 53°

30 Resolución:

Organización Educativa TRILCE

113

Repaso II I 10.Hallar "x", si BD : bisectriz interior del ángulo "B". B x m m

A

n

D

n

C

Resolución:

Practiquemos 1.

A = 30º y m C = 50º; luego se trazan la altura BH y la bisectriz exterior BE ("E" está en la prolongación de AC ). Calcular: m HBE. E

n

e

l

t

r

i á

n

g

u

l o

A

B

C

:

m

6. BM es bisectriz interior del ángulo "B". Hallar el ángulo "x", si: a – c = 30°.

B

2. En el triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la altura BH , tal que: AH = 9 y m C = 37º. Calcular "HC"

x

a

c

M 3. En el triángulo ABC: m A = 80º y m C = 40º, luego se trazan la altura AH y la bisectriz interior BD , que se cortan en "P". Calcular m HPD.

7. Si el  ABC es equilátero, calcular: MN . NP

B 4. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si su perímetro es 108 cm y un ángulo interno mide 37º. 5. Si: m

N

B = 60º y EC = 16 cm, calcular "CH".

A

B E

H A

114

P

º

º

º C

12

M

12

C

8. Grafique el triángulo rectángulo ABC de modo que mA=53° y AC=10 cm. Exteriormente construya el triángulo rectángulo BFC de modo que el ángulo ABF mida 120°. Calcule "FB".

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 9. Dado un triángulo ABC, se traza la altura AD y la bisectriz interior BE que se cortan en "F". Si: mA=64° y mC=42°, hallar la mAFB .

n E n B

10.Si: AB=BC, hallar la medida del ángulo "x" .

50°

x

A

D

C

Autoevaluaciòn 1. Hallar: m AEB.

3. Calcular "°", si: AB = BC = AD.

B

40° 20°

B

° 20 A

50°

C

30°

A

5° 14°

D

D

E

4. Los ángulos “A”, “B” y “C” de un triángulo ABC son entre si como 3; 4 y 5 respectivamente. Calcular el valor del ángulo formado por la altura y la bisectriz interior trazadas desde el vértice “B”.

2. Halle la medida del ángulo "x". 60° 40°

C

3°





x

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B", se traza la altura BH , tal que: m ABH = 30º y AC = 32. Calcular la distancia del punto "H" al lado BC .

Tarea domiciliaria 1. Calcular "x°"

3. Calcular "x°", si BH es altura y BS es bisectriz del ABC.

B

80° x°

20°

x°

40 °

2. Calcular "x°"

A

H

S

20°

C

4. Calcular "x°" 100°

x°

57°  

x°

 

Organización Educativa TRILCE

2 

2 

115

Repaso II I 5. Los valores de dos lados de un triángulo son 6 y 8 cm. Hallar la suma de las longitudes del máximo y mínimo valor entero del tercer lado.

12.Calcular "x°"

B 

6. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en la relación de uno, dos y tres. Hallar la medida del mayor ángulo.

x°

60°

 2 

 65°

85°

A

7. Calcular "x°"



C 

x°

D

13.Hallar: m  ACB, si: BH es altura y BS es bisectriz del ABC, además: m HBS = 20°.

B

2 

8. Hallar el complemento de la medida del ángulo "B".

B

A

4x°

 

A

H

14.Calcular "x°"

6x°

 

60° B x°

C

9. Calcular "x°"

3°

2° D

A

x° 120° + w°

w°

C

S

x°



C

15.En un triángulo ABC: m  A + m C = 124°. Calcular la medida del mayor ángulo formado al cortarse las bisectrices interiores de "A" y "C". 16.En la figura, AB = 6 u y BC = 4 u. Calcular la longitud de BD , sabiendo que es un número entero.

10.Calcular "x°"

B

B 80°

x° A

w° w°

 

C A

C

D

17. Hallar: m APC, si: AB = BC = BP 11.En el triángulo equilátero ABC, AD es altura y AC = 48 u. Calcular "DH".

B

20°

A

H C

116

D

A B

P C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 18.En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BP , tal que: AB = BP = PC. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices interior del ángulo "B" y exterior del ángulo "A".

25.El triángulo ABD es equilátero y BE es bisectriz del ángulo CBD. Hallar "x".

A

19.En la figura: CH es altura y CL es bisectriz interior.. Además: mA - mB = 20°. Hallar: mHCL.

D

x

B H

C

B

L a) 30° d) 53°

A

E

b) 37° e) 60°

c) 45°

C

20.Hallar: m RMN, si: PQ = QR y QM = QN.

26.Si: m - n = 32° y BC : bisectriz del EBD, calcular la medida del ángulo "x".

40 °

Q N

m

n

A P

E

B

R

M

x

D

C

27. En la figura, calcular la medida del ángulo "x". 21.En un triángulo acutángulo las longitudes de dos de sus lados suman 29 u. Calcular el mayor valor entero que puede tomar la longitud de la altura relativa al tercer lado.

80°

22.Hallar el mínimo valor entero que toma "x", si: AB = 8 u, BC = 15 u y  rel="nofollow"> 90°

m m

n n

x

B 28.En el triángulo ABC equilátero, m Hallar “x”.

°

FAC = m

ECB..

B

A 23.

H

a

l l a

r

:

m

E

C

x

xº

QPR, si: PS = SQ = SR.

F

A

Q 29.Calcular: m

P

C

AEC

B

R

E

60º

S 24.Calcular "x°", si: EBCD es un cuadrado.

A

2

2 



C

C

30. Calcular "x"

B

A

x°

D E

Organización Educativa TRILCE

xº

2



117

Congruencia de Triángulos OBJETIVOS: Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en la capacidad de:

Ángulo - Lado - Ángulo (ALA) Dos triángulos son congruentes si tienen ambos un lado de igual longitud y los 2 ángulos adyacentes a este lado de igual medida.

• Reconocer los tres casos de congruencia de triángulos. • Aplicar estos casos en la resolución de problemas.

C

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Un triángulo es congruente a otro triángulo si uno de ellos " es la fotocopia del otro triángulo" considerando el orden correcto de sus vértices.

P

A



 a

B

M

Lado - Lado - Lado (LLL) Un triángulo es congruente a otro triángulo si en ambos sus lados correspondientes tienen igual longitud .



a





A

P B

R



c

C

b

Q





b

A

a



Q

C



R

P

c

N





DEFINICIÓN: Un triángulo es congruente a otro triángulo si sus lados correspondientes tienen igual longitud y sus ángulos correspondientes tienen igual medida .

B

a



Notación:  ABC  PQR Se lee "El triángulo ABC es congruente al triángulo PQR"

Ejemplos: 1. Decir si los siguientes pares de triángulos son congruentes o no. Si lo son diga por cuál caso.

CASOS DE CONGRUENCIA Significa que es suficiente reconocer la congruencia de tres de sus elementos correspondientes (Lados ó Ángulos) : Lado - Ángulo - Lado (LAL) Un triángulo es congruente a otro si tienen ambos dos lados de igual longitud y el ángulo que forman estos lados de igual medida.

P A

C

 a





c B

Organización Educativa TRILCE

.......................

a N

c M

119

Co ngruenci a de t ri ángulo s

.......................

.......................

.......................

.......................

Test de Aprendizaje 1. Calcular "x + y"

Resolución:

x

6

7

y









2. Calcular "" Resolución: 70°



120

60°

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 3. Calcular "x"

Resolución: x 68°

54°

4. Halla el valor de "x2 + 3", si OM es bisectriz del ángulo "O" Resolución:

2x + 3 M  O

5



5. Hallar el valor de x3, si la recta "n" es mediatriz del lado AB.

n

6x - 2

Resolución:

10

A

B

6. Graficar el triángulo ABC, tal que: m

AC en "E". Calcular m

A = 10º y m

C = 20º. Luego se traza la mediatriz de BC que corta a

EBC.

Resolución:

Organización Educativa TRILCE

121

Co ngruenci a de t ri ángulo s 7. En el triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la bisectriz interior AE . Si: BE = 7m, calcular la distancia de "E" al lado AC . Resolución:

8. Calcular "AB", si: PC = 10 y L es mediatriz de AC .

B

L P Resolución:

37º

C

A

9. Calcular "OF", si: OE = 9 Resolución:

F P

O

º º

45º M

E

10.Si: AE = 10, calcular “x”.

M

Resolución:

A 70º E

122

F

x-1

H

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Practiquemos 1. Calcular el valor de "x".

6. Si: ABCD es un cuadrado, AM=5 y CN=1 , calcula "MN".

B A C

40° 110°

M

x

40°

N

D

7. Hallar "PQ", si: AB = 8 y AC =17. 2. Calcular x , si los triángulos mostrados son congruentes. y

m

n

x-y

7

5 m

C Q



n

A

6 3. Calcular "x - 20°", si la recta "n" es mediatriz de AC .

n

B

 B

8. Si t: mediatriz del lado BC y PC=8 cm, hallar "AB".

B

60°

A

x

35°

A

A 8  

3x + 2 P 5

5y - 2

t

C

4. Hallar el valor de "y + x".

O

P

x+y

B

2

 P

C

9. En un triángulo ABC, se sabe que el ángulo externo en "A" es el triple del ángulo interno "C"; la mediatriz del lado AC corta al lado BC en P. Calcular "BP", si: AB=9 cm y BC=13 cm.

5. Calcula el valor de "x", si: PB=BQ ; AP=x2-1 y QC= 15. 10.En un triángulo ABC, se traza la mediatriz de BC que

A

P

interseca al lado AC en "Q", tal que: AB = QC y

B

mC=38°. Hallar la medida del ángulo ABQ.

Q

Organización Educativa TRILCE

C

123

Co ngruenci a de t ri ángulo s

Autoevaluaciòn 1. En un triángulo, mABC=135°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en "P" y "Q" respectivamente. Si AP=3 m y QC=4 m, entonces "PQ" es: 2. En un triángulo rectángulo, la bisectriz interior del ángulo agudo mayor y la mediatriz de la hipotenusa se intersectan en un punto sobre el cateto mayor. Hallar la medida de uno de los ángulos agudos . 3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la bisectriz interior AR ( "R"  BC ). Hallar la mACB, si: BR=3 y RC = 5.

4. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", AB=4 y AC=10. Si la bisectriz interior del ángulo "A" y la mediatriz de AC , se intersecan en el punto "P", calcular la distancia de "P" a BC . 5. En el triángulo rectángulo ABC, recto en "B"; en el lado AC se ubica el punto "P", tal que: AB = PC; luego se trazan las mediatrices de AP y BC que se cortan en "N". Si: m C = 26º, calcula m ACN.

Tarea domiciliaria 1. Calcular "x°"

5. Calcular “x”, si: AB = BC.

70°

m

2

x°

A

x +1

k

k

70°

60°

B

m

2. Calcular "x + y"

17



12 u

2u





Q



x

b

6. Calcular "x"

b

y

O

2x + 3 P

 

x+5

3. Calcular "° - °"

R 7. Calcular “AQ”, si: BA + PQ = 10 u y BC = CP.

30° c

b

a 



c

P

b a

B

70°

4. Si el ABC es congruente al PQR, calcular "x° + y°".

Q

B x°

C

C

P

a

40°

P

R Q

124

Q

S

b y°

b

A

8. Calcular "QT", si: PQ = 5 u, ST = 12 u y PR = RS.

a A

C

R

T

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 9. Si: AC = EC, AB = 6 u y ED = 9 u, calcular "BD".

14.Calcular "PQ", si: AB = 17 u y AR = 8 u.

B

E

P

Q

A

B

D

C

10.Si: AB = 4 u y BD = 12 u, calcular "BC"

 

A

C

R

15.En la figura, calcular "PQ", si: BC = 25 u y HC = 7 u.

A

B

B

b

P

C b

Q

A

D

H

E

11.Calcular "MN", si ABCD es un cuadrado; AM = 15 u y CN = 11 u.

B 2

C N

C

16.Calcular "AB", si: NC = 12 u.

B

A

 

A

N  b

M

b

C

D M

17. Calcular "PQ", si: AB = 8 u y BC = 15 u.

12.Si: AB = BC, PQ = 10 u y AP = 3 u, calcular "CQ"

C

C

Q  

A

A

P

Q

B

P 2

x +1

5u

B A

P

A

B

18.Calcular "x"

13.Calcular "°", si: AP = BC y PM es mediatriz de AC .

70°

P

n

B

n

19.Calcular "x°", si la recta "L" es mediatriz del segmento AB .

 M

C

35 °

L

A Organización Educativa TRILCE

x°

B

125

Co ngruenci a de t ri ángulo s 20.Calcular “x°”, si la recta “L” es mediatriz de AC .

B 60°

25. BM es mediatriz de AD ; BN es mediatriz de DC y AB = 0,9 u. Calcular “BC”

B

L

C

x°

35°

A

N

C

A

D

M

21.Calcular "x + 1" 26.Calcular "BD", si: AB = BC, CD = DE, AP = 3 u y EH = 4 u.

x

C

3u

 

E

A

22.Calcular "AP", si: BQ = a.

P

A P  

O

H

D

B

27. Si: AB = 9 u, calcular "BC".

Q

H B

F



23.Calcular "x°"

E x° b

A

b

b a

a



C

B

28.En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la bisectriz interior AL ("L"  BC ). Hallar la distancia de

24.Calcular “BC”, si: DC = 18 u.

"L" a la hipotenusa, si: BL = 8 u.

B A

20° 20°

17° 10° D

C

29.En un triángulo ABC, se traza la mediatriz de AC que corta a BC en "R". Calcular "AR", si: RC = 10 u. 30.Calcular "CE", si: AB = 8 u y AC = DC.

D

A

 30° B

126

C

30°

E

Tercer Año de Secundaria

Aplicaciones de la congruencia de triángulos BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO Definición.- Es el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados de un triángulo III. Teorema de los puntos medios (Base media) Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una recta paralela a uno de los lados, dicha paralela divide al tercer lado del triángulo en dos segmentos congruentes.

B En el triángulo ABC

c M

Si : MN // AC y AM = MB



N Entonces:

c A



BN = NC MN =

C

AC 2

IV. Teorema de la mediana en el triángulo rectángulo En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa, es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

A En el triángulo ABC BM : Mediana

M

BM = B

Organización Educativa TRILCE

AC 2

C

127

Aplicacio nes de la co ngruenci a de t ri ángulo s

Test de Aprendizaje 1. Si "M" es punto medio de AB y BN = NC, calcular "x°". B

Resolución:

80° 70°

M

N x°

A

C

2. Calcular "°", si: BM es mediana y m C = 32°. Resolución:

A

M

°

C

B

3. Calcular "x", si: MN = x + 2 y AC = 10.

Resolución:

B a

b

M

N

a

b C

A

4. Calcular "EF", si: AC = 18 cm. B

Resolución: N

M F

E A

128

P

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 5. En la figura: AC + MN = 9u, calcular "MN". Resolución:

B c

a

M

N a

c

C

A

6. Calcular "BM", si: PQ=2u y AP=PM. B

Resolución: M P

A

 

C

Q

7. En el gráfico mostrado, calcular "AB", si: MC=15u y AN = NB. C

Resolución: 37 ° M

A

N

Organización Educativa TRILCE

B

129

Aplicacio nes de la co ngruenci a de t ri ángulo s 8. Calcular "MQ", si: AC = 26u y QN = 12u. Resolución:

B N

M Q

A

C

9. Calcular "AC", si: AM = MC, BG = GM y FG = 4u.

B

Resolución:

G A

C

M

F

10.Calcular "x°", si: MC = 2AB.

Resolución:

B x° A

130

M

20°

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Autoevaluaciòn 1.

E

n

u

n

t

r

i

á

n

g

u

l

o

A

B

C

s

e

u

b

i

c

a

n

l

o

s

p

u

n

t

o

s

m

e

d

i

o

s

"

M

"

AB y BC respectivamente y el segmento que une los puntos medios de MB y NB mide 1u. Calcular "AC". y

"

N

"

d

e

2. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AE y EC . B 5

6. En un triángulo ABC, se traza la mediana AM y la altura BH que biseca a dicha mediana en el punto "O". Calcular "OH", si: BH=16u. 7. Sea ABC un triángulo cuyo perímetro es de 30 u y trazamos la altura BH . Hallar el perímetro del triángulo que se forma al unir "H" con los puntos medios de AB y BC . 8. Hallar "HM", si: BM = MC; AC = 16 cm y AB = 10 cm.

12

B C

A

H  A

M



C

E

3. Calcular la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8u y 15u. 4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la ceviana BL (" L "  AC) tal que: m ABL  15 y m ACB  35 . Calcular "BL", si: AC = 36 cm. 5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la mediana BE y sobre el cateto BC se ubica el punto "F", tal que: m BEF = m BFE. Si: BF = K, hallar "AC".

9. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 16u, BC = 18u y AC = 20u. Desde el vértice "B" se trazan perpendiculares a la bisectriz interior del ángulo "A" y a la bisectriz exterior del ángulo "C"; BP y BQ respectivamente. Calcular "PQ". 10.En un triángulo ABC se traza la mediana AM y la altura BH que biseca a dicha mediana en el punto "O". Calcular "OH", si: BH=12u.

Tarea domiciliaria 1. Hallar el máximo y mínimo valor entero que puede tener la mediana relativa al tercer lado de un triángulo, si los otros dos lados miden 4  y 10 . 2. En un triángulo escaleno ABC, sobre la prolongación del lado AB se toma BD = BC y en la prolongación de CB se toma BE = BA. Luego se traza DE prolongándola hasta que corte a la prolongación de CA en el punto "F". Indicar qué línea notable es FB del triángulo AFD. 3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la bisectriz interior AM , por "C" se traza CN perpendicular a la prolongación de AM . Hallar la distancia de “N” a AC , si: BC = 16 m.

Organización Educativa TRILCE

4. Si: BM = MC; AN = ND; AB = 10 m y CD = 24 m, calcular “MN”.

C

M B A

N

D

ˆ ", se traza 5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en " B la mediana BM , por "C" se traza una recta por el punto medio de BM y corta a AB en "N". Hallar “MN”, si: NC = 12m.

131

Aplicacio nes de la co ngruenci a de t ri ángulo s

Practiquemos 1. Calcular "x°"

6. Calcular “x”

B

a

x+1

2x°

5u

a A

M

b

b

x°

b

C

b

7. Del gráfico, calcular “x” 2. Calcular "x°"

B

B

x 40 °

70° R

A

M

b

b

x°

C

A

5u 40° C 8u

M

8u

8. En la figura: m + n = 12 u, calcular "n".

3. Calcular "x"

B

B 60°

x A

a

P

4u a

b

Q

P b

A

C

9. Calcular "x°"

B a

b

M

x°

B

Q b

C

10.Calcular “x”

C

8

b

9x°

b

x+1

A

a

n

A

P

Q

m

c

C

4. Calcular "x"

a

a

c

x

B a

5. Calcular "x"



P

B

2x + 12 Q

a A

8x



C

4u A

3u b

M x

b

C

11.Si: AD = DC = 8 u y BD = BQ, calcular “DQ” .

B

30°

A

132

60°

D

Q

C

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 12.Calcular “°”, si: BP = PC y PC = 2PQ. 18.En la figura: BC = CD =

Q

B

AD 2

. Calcular "x°".

B

P 2°

A

C

°

C A

13.Calcular "°", si: AQ = QC y PB = PQ

B

40°

x°

19.Calcular "AB", si: AH = 3 u y HC = 7 u.

B

P ° 30°

A

D

C

Q

14.En la figura: L1 // L2 // L3, AM = MB y MN = NE. Calcular "NP", si: AC = 12 u.



H

C

20.Si: AC = 12 u, calcular el máximo valor entero que toma

B

BH . (AB  BC)

Q

M

L1

P

N A

2

A

C

E

B

L2 L3

15.Calcular “x”

A

C

H

21.Calcular "x°", si: RC = 2BR y AM = MC.

8

P

30°

 

4x B R

16.Calcular "x"

A

a x  

5u

C

M

22.Calcular “BE”, si: AE = ED, AB = 2BC y BD = 12 u.

a

A

12 u E

17. Calcular "°"

B 6u A

x°

5u

B °

M

C 5u

Organización Educativa TRILCE

D

C

133

Aplicacio nes de la co ngruenci a de t ri ángulo s 23.En el gráfico, calcular “BC”, si: DC = 6 u.

28.En un triángulo rectángulo ABC (m B = 90°), se traza la mediana BM y la altura BH , tal que: m HBM = 50°. Hallar: m ACB.

B A

20° 20°

17° 10°

C 29.En la figura: PH = 1 u, calcular "BH".

D

B a

24.En un triángulo ABC se traza la ceviana BD , tal que: AB = BD y AD = BC. Si la m  BCA = 30°, hallar: m DBC. 25.En un triángulo ABC se traza la altura BH, tal que: m  ABH = 2m  HBC. Si: AH = 9 u y HC = 4 u, hallar: m BAC.

n A

M

n

P

a C

H

30.En la figura, calcular "ab", si: a + b = 15 u. 26.En un triángulo rectángulo, calcular la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa, si los catetos miden 7 y 24 u.

27. En un triángulo rectángulo ABC (m B = 90°) se traza la mediana BM , tal que: m ABM = 70° . Hallar: m ACB.

134

B n

m m A

P

b a

Q

n C

Tercer Año de Secundaria

Repaso IV Resolución:

Test de Aprendizaje 1. Graficar el triángulo ABC: m

C = 10º y trazar las alturas AH y CN .

A = 30º y m

Resolución:

2. Graficar el triángulo rectángulo ABC, recto en "C" y m ángulo HCB, que corta a BC en "P". Calcular m

A = 48º. Luego se traza la altura CH y la bisectriz del

CPA.

Resolución:

3.

E

n

u

n

t

r

i á

n

g

u

l o

A

B

C

;

"

M

"

y

"

N

"

s

o

n

p

u

n

t

o

s

m

e

d

i o

s

d

e

AB y BC . Calcular “AC”, si: MN + AC = 18.

Resolución:

Organización Educativa TRILCE

135

Repaso 4.

E

n

u

n

t

r

IV i á

n

g

u

l o

r

e

c

t

á

n

g

u

l o

A

B

C

,

r

e

c

t

o

e

n

"

B

"

,

A

B

=

la hipotenusa.

8

 y BC = 17. Calcular la longitud de la mediana relativa a

Resolución:

5. En un triángulo ABC, calcular el ángulo formado por las bisectrices interior y exterior del ángulo "C". Resolución:

6. Calcular "x°"

x° +1 0°

Resolución:

x°-10°

3x°-20°

7. Calcular el valor mínimo entero de "x".

9u

6u

Resolución:

x

136

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 8. Calcular "x°"

° °

Resolución:

° °

x°

9. Calcular "AH", si: HF=8u, AF=EM y FE=EH.

F Resolución:

E ° A

°

M

H

10.En el triángulo rectángulo ABC, AC  50 2 u, m C  2230 ' y AM=MC. Calcular "GF". B

Resolución: G

A

M

C

F

Organización Educativa TRILCE

137

Repaso

IV

Practiquemos 1. La hipotenusa AC de un triángulo rectángulo ABC mide 14u y m A  50 . Se ubica "R" en AC , tal que: m ABR  30 . Calcular "BR".

8. Calcular “PM”, si: BM = MC; AB = 8 y AC = 18.

B

2. En un triángulo rectángulo ABC, m BAC  60 . Se ubica un punto interior "D", tal que AD y CD son bisectrices y "M" es punto medio de AC . Hallar: m MDC . 3. El ángulo "B" de un triángulo ABC mide 60°. Sobre BC y AC se toman los puntos "P" y "Q" respectivamente tal que: PB=QA=AB y m QAB  m PQA . Hallar: m QPC .

P º º

A

C

9. Del gráfico, calcular “xº”, si: AB = CD.

4. En un triángulo ABC se traza la altura BH y la mediana AM . Hallar: m AMH , si: m A  45 y m C  30 . 5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), sobre BC se ubica el punto "P". Si "P" dista de la mediana BM 3m y de MC 5m, calcular la longitud de la altura BH .

M

B xº 70º

A

40º

6. Si: AD = AC, AB = 3 y BC = 1, calcular “xº”

E

40º C

D

10.Calcular “PQ”, si: AB = 24, BC = 16 y AC = 12.

B xº

B

A

C

Q

P

D

A

º º

º

º

C

7. Si: CR = RA; CD = DO = OM y AM = 8, calcular “CM”

A R

C

138

D

O

M

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA

Autoevaluaciòn 1. La mediana AM y la altura BH de un triángulo ABC se cortan en "P". Si: AP = PM, calcular "BP", si: PH=1u. 2. En un triángulo ABC, m A  45 y m C  30 . Calcular "AB", si: BC=6u. 3. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la altura BH . Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BAC y HBC.

4. Sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC se construye un cuadrado ACEF. Si los catetos miden 5 y 9 u, calcular la distancia de "F" al cateto BC . 5. En un triángulo rectángulo ABC, (recto en "B"), AC=3u. Por el vértice "C" se traza una recta que corta al cateto AB en "D" y a la paralela trazada por "A" al cateto BC en "E". Calcular "ED", si: m ECA  2m ECB .

Tarea domiciliaria 1. Calcular "AD", si: BM = MC, AB = 3 u y CD = 4 u. 5. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y luego se traza la mediatriz de BD que intersecta a la prolongación de AC en "E". Hallar: mEBC, si: mA = 70°.

C B

A

D

M

2. Calcular "°", si: AP = BC y PM es mediatriz de AC .

6. Calcular "°", si: BM es mediana.

A

B P °

A

°

70°

M 80°

C

M

3. Hallar la distancia del punto “H” al punto medio de BC, si: AB = 6 u y AC = 10 u.

B

C

7. Si: CM = MB, AC =5 u y NM = 3 u, calcular "AB".

C

B

M

N  

A

A

B

E

C

H

8. Si: AM = MC y AC = 80 u, calcular "BQ".

4. Calcular "PQ", si: AB = 23 u y AR = 8 u.

B

B

A

 

Q

P

Q

A R

Organización Educativa TRILCE

53° M

C

C

139

Repaso

IV

9. Calcular "x", si "M" y "N" son puntos medios de AB y BC .

16.En el gráfico, calcular "x°", si: AB = BC = CD y AM = MD.

B M

A

N

2x + 6

A

x°

B

C

36 u

C

D

M

17. Si: AN = NB y BC = 48 u, calcular "MN".

10.Sobre la mediatriz de un segmento AC se ubica el punto "P". Si: PA = 2x + 3 y PC = 3x - 5, calcular "PA".

B  

11.En el triángulo ABC equilátero, calcular "MN + NP". N

B P A

N A

8u

M

18.Calcular "BP", si: PC = 10 u.

C

8u

B

12.Calcular "x° + 10°"

B

P

x°

 A

A

C

M

c

35° c

M

C



37°

C

19.En el gráfico, calcular "x°", si: BC = 2 u y CD = 4 u.

B

13.Calcular "x"

x° C 4 a x a b

b

14.En un triángulo ABC, AB + BC = 14 u y "M" es punto medio de AC . Si se traza CH perpendicular a la bisectriz exterior del ángulo "B", calcular "MH". 15.En un triángulo ABC, la mediatriz de AB biseca al lado AC . Hallar la mABC.

140

x°

A

D

20.La mediatriz de AC de un triángulo rectángulo ABC C (recto en "B") corta a BC en el punto "P". Calcular "AB", si: BP = 3 u y PC = 5 u. 21.Calcular "°"

m

80°

60°

n

n

°

80°

m

Tercer Año de Secundaria

GEOMETRÍA 22.Hallar la medida de la mediana QT , si: PQ = 9 u y QR = 40 u.

26.En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la ceviana BR , tal que m ABR = 30° y m ACB = 40°. Calcular "BR", si: AC = 12 u.

Q

P

R

T

23.Calcular "PR"

28.En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, luego

Q 2x + 3 O

27. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la bisectriz interior BD , luego por "D" se traza una perpendicular a la hipotenusa AC , la cual corta a BC en "E". Calcular "DE", si: AC = 16 u y CD = 10 u.

P

 

x+5 R 24.En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se traza la altura BH y la bisectriz interior AR . Calcular la distancia de "R" a BH , si: AH = 5 u y BH = 12 u.

se traza AH perpendicular a BM tal que: AH = 3 u y HM = 2 u. Calcular "HC". 29.En un triángulo obtusángulo ABC (obtuso en "A") mB = 2mC y se traza AP perpendicular a AC ("P" en BC ). Calcular "PC", si: AB = 12 u.

30.El ángulo "A" de un triángulo ABC mide 57°. La bisectriz interior del ángulo "B" y la mediatriz del lado BC se cortan ambas en un mismo punto de AC . Calcular la medida del ángulo "B".

25.En un triángulo ABC se sabe que el ángulo externo de "A", es el triple del ángulo interno de "C" y la mediatriz del lado AC corta al lado BC en "P". Calcular "BP", si: AB = 7 u y BC = 10 u.

Organización Educativa TRILCE

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