Análisis Básico De Cerchas 3d: Calculo De Reacciones Y Acciones Internas De Fuerza

Análisis estructural básico​ ​ 2019-I Proyecto cercha 3D

Proyecto cercha 3 dimensiones - ​Grupo 5

N.V. Avila Espinel, A. Gomez Mosquera, T. Gutiérrez Rico, C. Pachón Corredor, R.E. Quiroga Barrera. (05 de Julio 2019) Docente: Ricardo Parra Arango UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola Análisis estructural básico 2019 - I Marco Teórico

El método de la rigidez es utilizado para el análisis de estructuras estáticamente determinados e indeterminados obteniendo los desplazamientos y las fuerzas de forma directa. Este método requiere subdividir la estructura en elementos finitos e identificar los puntos extremos del mismo. El método permite la determinación de la fuerza- desplazamiento en cada elemento que compone la estructura mediante la relación de ecuaciones de equilibrio de fuerza para cada uno de los nodos. la identificación de las coordenadas globales y de cada elemento es importante para precisar el sentido correcto de la dirección. El sistema de coordenadas global (x,y) nos indica la fuerzas externas y desplazamientos en los nodos, mientras el sistema de coordenadas del elemento indica el sentido de sus desplazamientos y cargas internas, estos elementos se identifican con los ejes x´ y y´. La identificación de los grados de libertad es necesario para el posterior análisis de la estructura, donde cada grado de libertad tendrá un código numérico dentro de la misma, el cual se refiere a la dirección de las coordenadas, los números de código más bajo se usarán para identificar los desplazamientos desconocidos (grados de libertad no restringidos), y los números de código más altos se utilizan para los desplazamientos conocidos ( grados de libertad restringidos) ​[1]​. Luego de la identificación de las coordenadas se procede a realizar el planteamiento de la matriz de rigidez de la estructura ​K. ​Para realizar este procedimiento se debe establecer la matriz de rigidez para cada elemento de la estructura ​K´​, con el fin de establecer la relación carga desplazamiento del elemento en términos de las coordenadas locales. Ya que no todos los elementos se encuentran con la misma dirección, se debe realizar una transformación del sistema local de coordenadas x´ ,y´, al sistema global de coordenadas x, y, para cada elemento de la estructura, por medio de la transformación de la fuerza y el desplazamiento, finalmente se crea la matriz de rigidez de la estructura ​K, ​la cual nos permite el cálculo de los desplazamientos y las reacciones en los apoyos. A continuación se presenta la matriz de rigidez para cada elemento:

Ecuación 1. Matriz de Rigidez para cada elemento de la estructura

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La matriz de transformación de los desplazamientos se obtiene a partir del cálculo de los cosenos directores de cada elemento de la forma λx = C osθx y λy = C osθy

Ecuación 2. Matriz de transformación de desplazamientos.

La matriz de transformación de fuerzas se obtiene a partir del cálculo de los cosenos directores de cada elemento de la forma, la cual es la matriz transpuesta de la matriz de desplazamientos, la cual es de la forma:

Ecuación 3. Matriz de transformación de fuerzas.

Finalmente la matriz de rigidez global del elemento está dada por K = T T K´T

Ecuación 4. Matriz de rigidez global del elemento.

Una vez obtenidas las matrices de rigidez de cada elemento en coordenadas globales, se ensamblan en el orden correcto para determinar la matriz de rigidez de Kg de toda la armadura, esta matriz tendrá un orden igual al número de código mayor asignado a la estructura, ya ques esta representa la cantidada total de grados de libertad de la misma. Al momento de ensamblar las matrices K, cada uno de estos elementos se ubican en la misma fila y columna en la matriz de rigidez de la estructura, cuando dos elementos o más están conectados al mismo nodo, alguno de los elementos de cada matriz se ubica a la misma posición de la matriz de rigidez global Kg, donde estos elementos en común se suman. Para el cálculo de los desplazamientos y cargas en la estructura se realiza la construcción del sistema primal y dual, donde el primero consiste en la construcción basada en la matriz del sistema global en la cual se eliminan las filas y columnas que estén asociados con los grados de libertad restringidos, obteniendo así los desplazamientos desconocidos, mientras que el segundo consiste en la eliminación de

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las celdas que no estén asociadas a las reacciones y a la vez las columnas asociadas con los grados de libertad restringidos, obteniendo así las reacciones de la estructura . Finalmente en la fase final del análisis se realiza el cálculo de las acciones internas de fuerza de los elementos aplicando la ecuación de equilibrio. Metodología -

Geometría de la estructura:​ En la siguiente imagen se presenta los esquemas de la geometría de la estructura con la cual se realizó el proyecto.

Imagen 1 : Geometría de la estructura y valores de su área.

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Datos de la estructura: ​En la siguiente tabla se encontrar las coordenadas en las que se encuentran los nudos que componen la estructura y la elección de la dirección de donde se plantea el análisis de cada elemento.

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(a)

(b)

Tabla 1: (a) Coordenadas de los nodos (x,y,z) , (b) Dirección de los elementos

Resultados ● Reacciones

Resultado 1 : Reacciones del sistema.

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Solicitaciones

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​ esultado 2 : Solicitaciones R Desplazamientos nodales

Resultado 3 : Desplazamientos nodales

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Acciones internas de fuerzas

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Resultado 4: Acciones internas de fuerza

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Validación del equilibrio

Resultado 5 : Validación de equilibrio

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Manejo de los datos:

1. La estructura se divide en elementos más pequeños, en este caso la estructura cuenta con 12 elementos y a cada elemento se le realiza la siguiente caracterización:

(a) (b) (c) Tabla 2: (a)Tipología del elemento , (b) Propiedades del elemento , (c) Coeficientes del elemento.

Esta caracterización nos permite la automatización del proceso, en la cual se ingresa la ubicación de las coordenadas de cada nodo, el valor de su área y el módulo de Young, obteniendo los coeficientes que se requieren en las fases I, II y III. 2. Se realiza el cálculo de la matriz de rigidez global para cada elemento de la estructura, posteriormente realiza la automatización de las matrices las cuales deben ser constantes y dependen de los coeficientes calculados anteriormente. Este proceso se repite 12 veces debido a que la estructura cuenta con 12 elementos. Para hacer el llamado de estas variables se realiza mediante el comando “=” para cada celda.

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Tabla 3: Matriz de rigidez global para cada elemento.

Este proceso se realiza de manera repetitiva tantas veces como sea necesario. Se realizan en la misma cantidad de veces como elementos conformen la estructura. en este caso 12. 3. Para realizar el cálculo de la matriz de rigidez global de la estructura, se identifica la incidencia de cada elemento sobre la esta, nuevamente este proceso se realiza 12 veces debido a la cantidad de elementos que posee la estructura. Las 12 matrices convergen en sola matriz por medio de su suma, siendo esta última la matriz de rigidez global de la estructura.

Tabla 4:Matriz de rigidez global para la estructura.

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Tabla 5:Matriz de rigidez global

4. Para encontrar los desplazamientos, se utiliza el sistema primal en donde se crea una matriz que restringe filas y columnas que no multiplicaran a los desplazamientos que están restringidos en la estructura a causa de los apoyos compuestos. Para la obtención de los desplazamientos se multiplican las matrices de rigidez global inversa por la suma entre de los vectores de cargas en los nudos y las cargas distribuidas en los elementos.

(a)

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(b) Tabla 6: (a) Matriz del sistema primal- Cálculo de desplazamientos , (b) Resultado de los desplazamientos obtenidos.

Observación: ​Al realizar el cálculo de la inversa de la matriz primal del sistema, se encontró que los números subrayados como se muestran la imagen 2 difieren de los valores calculados por nosotros, pero estos valores no afectaron el resultados final.

Imagen 2 : Matriz primal del sistema.

5. Posteriormente como se mencionó en el marco teórico para el cálculo de las reacciones es necesario formar una matriz dual , la cual se multiplicará por la matriz de vectores que se calculó en el apartado anterior.

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Tabla 7: Matriz del sistema dual.

6. Por último se realiza el cálculo de A.I.F (acciones internas de fuera), en donde se cuentan con los desplazamientos globales de la estructura, y es necesario tener los desplazamientos locales de cada elemento que componen el sistema. Estos se obtienen por medio de una transformación. Luego de su obtención, los anteriormente hallados multiplican a la matriz de rigidez local hallada para cada elemento, para finalmente tener el sistema resuelto y completo con sus acciones de fuerza correspondientes.

Tabla 8:Càlculo de las reacciones internas de fuerza

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Tabla 9: Validaciòn del equilibrio del sistema.

Referencias [1] ​HIBBELER, R. (2012). ​Análisis estructural.​ México: Pearson. [2] ​Universiad de Navarra. ​Anàlisis estructural, resumen mètdo de la rigidez​. Tomado de :https://dadun.unav.edu/bitstream/10171/19064/1/Metodo%20de%20rigidez.pdf [3] Blanco J.L, González Herrera C.A, García Manrique M. ​Análisis estático de estructuras por el método matricial.​Tomado de: http://ingmec.ual.es/~jlblanco/papers/blanco2012calculo_matricial_estructuras.pdf