Resolución De Problemas Del Capítulo 3

Resolución de problemas del capítulo 3 “Aproximaciones y errores de redondeo” 1. Convierta los números siguientes en base 2 a números en base 10: a) 1011101 26 25 24 23 22 21 20 1 01 11 0 1

1x1= 1 0x2= 0 1x4= 4 1x8= 8 1x16= 16 0x32= 0 1x64= 64 93 b) 101.101 2

1

0

−1

−2

−3

1 x 2 + 0 x 2 +1 x 2 .1 x 2 +0 x 2 +1 x 2 4 +0+1.1 x

( 12 )+ 0 x ( 14 )+1 x ( 18 )

1 1 5. + 0+ 2 8 5.0,625 5,625

c) 0.01101 0

−1

−2

−3

−4

−5

0 x 2 .0 x 2 + 1 x 2 +1 x 2 +0 x 2 +1 x 2 0.0 x

( 12 )+ 1 x ( 14 )+1 x ( 18 )+ 0 x ( 161 )+ 1( 321 )

0.0+0,25+ 0,125+ 0+0,03125

0.0,40625

0,40625

2. Realice su propio programa con base en la figura 3.9 y úselo para determinar la épsilon de máquina de su computadora.

Según el MATLAB: Abrir el MatLab Click en la Command Window Escribir eps Finalmente se tiene el resultado

3. Evalúe

−5

e

e−x =1−x+

e−x =

1 = ex

con el uso de dos métodos

2

3

x x − +… 2 3! 1 2

1+ x +

x x3 + +… 2 3!

Y compárelo con el valor verdadero de 6.737947 × 10–3. Utilice 20 términos para evaluar cada serie y calcule los errores relativos aproximado y verdadero como términos que se agregaran. Solución: Estimación 1: −5

e =1 εt =

6.737947 x 10−3−1 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−14741.315

Estimación 2: e−5=1−(−5 )=6 6.737947 x 10−3−6 εt = x 100 6.737947 x 10−3 ε t =−88947.895 εa =

6−1 x 100 6

ε a =83.333

Estimación 3:

(−5 )2 e =1−(−5 ) + =18.5 2 −5

εt =

6.737947 x 10−3−18.5 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−274464.3443 εa =

18.5−6 x 100 18.5

ε a =67.56756 Estimación 4:

(−5 )2 (−5 )3 e =1−(−5 ) + − =39.333 2 3! −5

6.737947 x 10−3−39.333 εt = x 100 6.737947 x 10−3 ε t =−583653.478 εa =

39.333−18.5 x 100 39.333

ε a =52.9657

Estimación 5:

(−5 )2 (−5 )3 (−5 )4 e =1−(−5 ) + − + =65.3744 2 3! 4! −5

εt =

6.737947 x 10−3−39.333 x 100 −3 6.737947 x 10

ε t =−970149.5434 εa =

65.3749−39.333 x 100 65.3749

ε a =39.8347

Estimación 6: e−5=65.3744−

εt =

(−5 )5 =91.416 5 5!

6.737947 x 10−3−91.4165 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−1356641.156 εa =

91.4165−65.3749 x 100 91.4165

ε a =28.4867 Estimación 7: e−5=91.416 5+

(−5 )6 =113.1178 6! −3

εt =

6.737947 x 10 −113.1178 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−1678717.005 εa =

113.1178−91.4165 x 100 113.1178

ε a =19.1846

Estimación 8:

e−5=113.1178−

εt =

(−5 )7 =128.618 7 7!

6.737947 x 10−3−128.618 7 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−1908770.758 εa =

128.618 7−113.1178 x 100 128.6187

ε a =12.0518

Estimación 9: e−5=128.618 7+

εt =

(−5 )8 =138.3068 8!

6.737947 x 10−3−138.3068 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−2052554.911 εa =

138.3068−128.618 7 x 100 138.3068

ε a =7.004

Estimación 10: e−5=138.3068−

εt =

(−5 )9 =143.689 9!

6.737947 x 10−3−143.689 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−2132433.842 εa =

143.689−138.3068 x 100 143.689

ε a =3.7457 Estimación 11: e−5=143.689+

εt =

(−5 )10 =146.38 10!

6.737947 x 10−3−146.38 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−2172371.823 εa =

146.38−143.689 x 100 146.38

ε a =1.8383 Estimación 12: e−5=146.38−

(−5 )11 =147.603 11 ! −3

εt =

6.737947 x 10 −147.603 x 100 −3 6.737947 x 10

ε t =−2190522.752 εa =

147.603−146.38 x 100 147.603

ε a =0.8285 Estimación 13: e−5=147.603+

(−5 )12 =148.1126 12!

−3

εt =

6.737947 x 10 −148.1126 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−2198085.887 εa =

148.1126−147.603 x 100 1148.1126

ε a =0.3440

Estimación 14: e−5=148.1126−

(−5 )13 =148.3086 13! −3

εt =

6.737947 x 10 −148.3086 x 100 −3 6.737947 x 10

ε t =−2200994.785 εa =

148.3086−148.1126 x 100 1148.1126

ε a =0.1321

Estimación 15:

(−5 )14 e =148.3086+ =148.3786 14 ! −5

εt =

6.737947 x 10−3−148.3786 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =− εa =

148.3786−148.3086 x 100 148.3786

ε a =0.0471

Estimación 16:

(−5 )15 e =148.3786− =148.4019 15 ! −5

εt =

6.737947 x 10−3−148.4019 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−2202379.479 εa =

148.4019−148.3786 x 100 148.4019

ε a =0.0157

Estimación 17: e−5=148.4019+

εt =

(−5 )16 =148.409 16 !

6.737947 x 10−3−148.409 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−2202.484 εa =

148.409−148.4019 x 100 148.409

ε a =4.784 x 10−3

Estimación 18:

(−5 )17 e =148.409− =148.4111 17 ! −5

−3

εt =

6.737947 x 10 −148.4111 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−2202516.019 εa =

148.4111−148.409 x 100 148.4111

ε a =1.4149 x 10−3 Estimación 19:

(−5 )18 e =148.4111+ =148.411 18 ! −5

6.737947 x 10−3−148.411 εt = x 100 6.737947 x 10−3 ε t =−2202514.535 εa =

148.411−148.4111 x 100 148.411 −5

ε a =6.738 x 10

Estimación 20: e−5=148.411+

εt =

(−5 )19 =148.411 19 !

6.737947 x 10−3−148.411 x 100 6.737947 x 10−3

ε t =−2202514.535 εa =

148.411−148.411 x 100 148.411

ε a =0

f (x) =

4.

1 2 2 (1−3 x )

X=0,577 f (x) =

f (x) =

1 2 2 (1−3 ( 0,577 ) )

1 2 (1−0,998787)

Usando 3 dígitos: f (x) =

1 (1−0,99)2

f (x) =

1 0,0001

Usando 3 dígitos: f (x) =

1 0,00

f (x) =

1 0

El lector llegaría a esto lo cual es una inconsistencia ya que no existe un número que multiplicado por cero nos de 1 Ahora evaluemos con 4 dígitos f (x) =

1 2 (1−0,9987)

f (x) =

1 0,00000169

Usando 4 dígitos: f (x) =

1 0,00 0

f (x) =

1 0

El lector llegaría a esto lo cual es una inconsistencia ya que no existe un número que multiplicado por cero nos de 1 5. 3 2 a) y= x −7 x + 8 x +0.35

Resolviendo aritméticamente con 3 dígitos con corte DATO: x= 1,37 S1=

x

REEMPLAZANDO: Y=0,743

3

S2= S1 – 7 x

S1=

1.37

3

3

2

2

S2= 1.37 7(1.37)

S3=S2 +8 x

S2= 1.37

3

(4,10)

3 S3= 1.37 (4,10)

S4=S3 +0,35 +¿ 8(1,37)

S3=

1.37

3

(0,162) FORMULA:

S4=

1.373 (0,162)

+¿ 0,35 %ERROR=

(S 4−Y ) x 100 Y

%ERROR=

(0,766−0,743) x 100 0,766

%ERROR=

0,031

b) y= [ ( x−7 ) x+ 8 ] x +0.35 Resolviendo aritméticamente con 3 dígitos con corte DATO: x= 1,37

REEMPLAZANDO: Y=0,743

S4= 0,766

S1=

x−7

S1= 1.37 - 7

S2= S1 x

(1,37) (-4,10)

S1=

S3=S2 +8

S2=

(1,37) (-4,10)

S4= S3 x

S2=

( 1.37 )2 (−4,10)

S5= S4 +0.35

S3=

(1,37)

( 1.37 )2 (−4,10)+8

FORMULA:

S3=

( 1.37 )2 (0,162)

S4=

1.37

2

(0,162)

(1,37)

(S 5−Y ) x 100 Y

%ERROR=

%ERROR=

(0,766−0,743) x 100 0,766

%ERROR=

0,031

S4=

1.373 (0,162)

S5= 0,766

6. Calcule la memoria de acceso al azar (RAM) en megabytes, que es necesaria para almacenar un arreglo multidimensional de 20 × 40 × 120. Este arreglo es de doble precisión, y cada valor requiere una palabra de 64 bits. Recuerde que una palabra de 64 bits = 8 bytes, y un kilobyte = 210 bytes. Suponga que el índice comienza en 1. 96000 en base binaria es 10111011100000000

Teniendo en cuenta:

7. 2 Y = x −5000,002 x +40

Resolviendo aritméticamente con 5 dígitos con corte DATO: x1= 3,12 S1=

x

REEMPLAZANDO: Y= -15580

2

3,12

S1=

S2= S1 – 5000,002 x

2

S2=

3,122−5000,002(3,12) S3=S2 +40

S2=

FORMULA: %ERROR=

(S 3−Y ) x 100 Y

3,122 (-1601,5)

S3=

3,122 (-1601,5) +40

S3=

−15579

%ERROR=

(−15579−(−15580)) x 100 −15580

%ERROR=

0,008

DATO: x2= 3,13 S1=

x

REEMPLAZANDO: Y= -15580

2

S1=

S2= S1 – 5000,002 x

3,13

2

S2=

3,132−5000,002(3,13) S3=S2 +40

S2=

3,132 (-1596,4)

S3=

3,132 (-1596,4) +40

S3=

−15628

FORMULA: %ERROR=

(S 3−Y ) x 100 Y

%ERROR=

(−15628−(−15580)) x 100 −15580

%ERROR=

0,014

8. ¿Cómo puede emplearse el épsilon de la máquina para formular un criterio de detención es para sus programas? Dé un ejemplo. Del ejemplo 3.4 y 3.5 dado por el libro 1 × 21 + 1 × 20 = 3 1 × 2–1 + 0 × 2–2 + 0 × 2–3 = 0.5 +0.5 × 2–3= 0.0625

Aplicaos la fórmula del épsilon E(épsilon) = 2^(1–3) = 0.25

La diferencia de 0.015625 =0.25 0.0625