Arequipa – Perú Julio – 2017

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL

MATEMÁTICA III TRABAJO DE INVESTIGACIÓN FORMATIVA BÚSQUEDA Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMÁTICA III A LA INGENIERÍA AMBIENTAL

TRABAJO PRESENTADA POR: ANDRADE QUISPE NATALY DENISE MONTESINOS PACHAPUMA KAREN ADRIANA VALDEZ COARI ROCIO NOELIA YANARICO HUAMANI GREISS DANITZA

ASESOR: MG. PARISACA ZAIRA, OSCAR LEONIDAS

AREQUIPA – PERÚ JULIO – 2017

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

INTRODUCCION El álgebra se ha ocupado tradicionalmente de la solución de ecuaciones de diferentes tipos, uno de ellos corresponde a las ecuaciones lineales y para ser más precisos, los sistemas de ecuaciones lineales. Civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china, plantearon y resolvieron problemas lineales, muchos de los cuales requiere la solución de ecuaciones del tipo ax=b, también se ocuparon de sistemas de ecuaciones lineales, cuya solución establecieron ciertas reglas. Estas civilizaciones llegaron a dominar el método de la eliminación sucesiva de incógnitas, por el cual un sistema se transforma paso a paso hasta llegar al punto en que tan sólo se debe despejar la x en una expresión como: ax=b, para luego hallar las demás incógnitas. El álgebra lineal es una herramienta con problemas en relación con la física, la química, la ecología y las tecnologías del medio ambiente. INGENIERIA AMBIENTAL Es la rama de la Ingeniería que estudia las problemáticas ambientales de forma integrada teniendo en cuenta sus dimensiones Ecológicas, Sociales, Económicas y Tecnológicas, con el objetivo de promover un desarrollo sostenible del medio ambiente. Se basa en el diseño, aplicación y la gestión de procesos, productos y servicios tecnológicos para la prevención de problemas de Degradación Ambiental.

[10/07/2017]

Página 2

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

TEMA Nº 01: APLICACIONES MATEMATICAS EN ING. AMBIENTAL Al buscar la palabra “lineal” en el diccionario se encuentra, entre otras definiciones, la siguiente: lineal: (del lat. linealis). 1. adj. Perteneciente o relativo a la línea.1 Sin embargo, en matemáticas la palabra “lineal” tiene un significado mucho más amplio. Una gran parte de la teoría de álgebra lineal elemental es, de hecho, una generalización de las propiedades de la línea recta. El estudio de vectores y matrices es la médula del álgebra lineal. El estudio de vectores comenzó esencialmente con el trabajo del gran matemático irlandés sir William Hamilton (1805-1865). Su deseo de encontrar una forma de representar un cierto tipo de objetos en el plano y el espacio lo llevó a descubrir lo que él llamó cuaterniones. Esta noción condujo al desarrollo de lo que ahora se conoce como vectores. A lo largo de toda su vida y del resto del siglo XIX hubo un debate considerable sobre la utilidad de los cuaterniones y de los vectores. Al final del siglo el gran físico inglés lord Kelvin escribió que los cuaterniones, “aun cuando son bellamente ingeniosos, han sido un mal peculiar para todos aquellos que los han manejado de alguna manera y los vectores… nunca han sido de menor utilidad para ninguna criatura”. Pero Kelvin estaba equivocado. En la actualidad casi todas las ramas de la física clásica y moderna se representan mediante el lenguaje de vectores. Los vectores también se usan, cada vez más, en las ciencias biológicas y sociales.

1.1.

APLICACIÓN EN EL LABORATORIO PARA EL BALANCEO DE

ECUACIONES QUÍMICAS

En química – ambiental es frecuente trabajar con reacciones. Para ello se utiliza una expresión gráfica para representar una ecuación química, en la primera parte expresamos los reactivos y en la segunda los productos de la reacción. Para balancear o equilibrar ecuaciones químicas existen diversos métodos. En todos el objetivo que se persigue es que la ecuación química cumpla con la ley de la conservación de la materia, esto es, la materia no se crea ni se destruye solamente se trasforma.

[10/07/2017]

Página 3

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

1.1.1. EJEMPLO 1 Balancear la ecuación química. 𝐶3 𝐻8 + 𝑂2 → 𝐶𝑂2 + 𝐻2 𝑂 Solución: Para balancear la ecuación debemos obtener valores x, y, z y w de tal manera que el número de átomos en ambos lados de la ecuación sea el mismo. Por lo tanto: 𝑥𝐶3 𝐻8 + 𝑦𝑂2 → 𝑧𝐶𝑂2 + 𝑤𝐻2 𝑂 Con lo que obtenemos: 

Carbono (C):

3x=z



Hidrógeno (H):

8 x = 2w



Oxígeno (O):

2 y = 2z + w

El cual representa un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas, esto es, 

3x + 0y − z + 0w = 0



8x + 0y + 0z − 2w = 0



0x + 2y − 2z − w = 0

Ahora debemos escalonar para resolver el sistema de ecuaciones. 3 0 −1 0 0 [8 0 0 −2 | 0] 0 2 −2 −1 0

1 𝑟; 2 1

3 0 −1 0 0 𝑟3 − 2𝑟1 [ 4 0 0 −1| 0] −6 2 0 −1 0

3x − z = 0 4x − w = 0 −6x + 2y − w = 0

[10/07/2017]

z = 3x ∴

w = 4x 2y = 6x + w = 6x + 4x = 10x

Página 4

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL Así el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones y el conjunto solución está dado por: x y { z w

= = = =

t 5t 3t 4t

con t ∈ R

Si t = 2 entonces una solución particular del sistema es: x = 2, y = 10, z = 6, w = 8. Por lo tanto la ecuación balanceada es: 2𝐶2 𝐻8 + 10𝑂2 → 6𝐶𝑂2 + 8𝐻2 𝑂

1.1.2. EJEMPLO 2 Balancear la siguiente ecuación química. 𝐴𝑙(𝑂𝐻)3 + 𝐻2 𝑆𝑂4 → 𝐴𝑙2 (𝑆𝑂4 )3 + 𝐻2 𝑂 Solución: Como en el ejemplo anterior debemos obtener valores x, y, z y w de tal manera que el número de átomos en ambos lados de la ecuación sea el mismo. Por lo tanto: 𝑥 𝐴𝑙(𝑂𝐻)3 + 𝑦 𝐻2 𝑆𝑂4 → 𝑧 𝐴𝑙2 (𝑆𝑂4 )3 + 𝑤 𝐻2 𝑂 Con lo que obtenemos: 

Aluminio (Al):

x=2z



Oxígeno (O):

3 x + 4 y = 12 z + w



Hidrógeno (H):

3x+2y=2w



Azufre (S):

y=3z

El cual representa un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, esto es, 

x + 0y − 2z + 0w = 0



3x + 4y − 12z − w = 0



3x + 2y + 0z − 2w = 0



0x + y − 3z + 0w = 0

[10/07/2017]

Página 5

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL Ahora debemos escalonar para resolver el sistema de ecuaciones.

Así el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones y el conjunto solución está dado por: x = 2t y = 3t { z = t w = 6t

; Con t ∈ R

Si t = 1 entonces una solución particular del sistema es: x = 2, y = 3, z = 1, w = 6. Por lo tanto la ecuación balanceada es: 𝟐𝑨𝒍(𝑶𝑯)𝟑 + 𝟑𝑯𝟐 𝑺𝑶𝟒 → 𝟏𝑨𝒍𝟐 (𝑺𝑶𝟒 )𝟑 + 𝟔𝑯𝟐 𝑶

1.2.

APLICACIÓN DE GAUSS JORDAN EN DIVERSAS SITUACIONES: 1.2.1. EJEMPLO 3

Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo 1 requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo 2 requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad de tipo 3 requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material del químico disponible? SOLUCIÓN 

Sea x el número de unidades de fertilizante del tipo 1.



Sea y el número de unidades de fertilizante del tipo 2.



Sea z el número de unidades de fertilizante del tipo 3.

[10/07/2017]

Página 6

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

TIPO 1 (x) TIPO2(y) TIPO 3 (z) TOTAL DISPONIBLE COMPUESTO A 10 kg

20 kg

50 kg

1600 kg

COMPUESTO B 30 kg

30 kg

0 kg

1200 kg

COMPUESTO C 60 kg

50 kg

50 kg

3200 kg

De la tabla se obtiene las siguientes ecuaciones:  El número total de kilogramos del compuesto A 10𝑥 + 20𝑦 + 50𝑧 = 1600  El número total de kilogramos del compuesto B 30𝑥 + 30𝑦 + 0𝑧 = 1200  El número total de kilogramos del compuesto C 60𝑥 + 50𝑦 + 50𝑧 = 3200 Se obtiene el siguiente S.L 

10𝑥 + 20𝑦 + 50𝑧 = 1600



30𝑥 + 30𝑦 + 0𝑧 = 1200



60𝑥 + 50𝑦 + 50𝑧 = 3200

SIMPLIFICANDO 

𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 160



3𝑥 + 3𝑦 + 0𝑧 = 120



6𝑥 + 5𝑦 + 5𝑧 = 320

1 2 5 ⋮ 160 (3 3 0 ⋮ 120) 𝑓2 − 3𝑓1 6 5 5 ⋮ 320

[10/07/2017]

1 2 5 160 (0 −3 −15 −360) 𝑓3 − 6𝑓1 6 5 5 320

1 (0 0

2 5 160 −3 −15 −360) −7 −25 −640

Página 7

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL 1 2 5 160 1 1 − 3 𝑓2 (0 1 5 120 ) 𝑓1 − 2𝑓2 (0 0 −7 −25 −640 0 1 𝑓3 − 7𝑓2 (0 0

0 −5 −80 1 0 1 1 5 120 ) 10 𝑓3 (0 1 0 10 200 0 0

1 0 𝑓1 + 5𝑓3 (0 1 0 0

0 −5 −80 1 5 120 ) −7 −25 −640 −5 −80 5 120 ) 1 20

0 20 1 0 0 5 120) 𝑓2 − 5𝑓3 (0 1 0 1 20 0 0 1

20 20) 20

𝑥 20 (𝑦) = (20) 𝑧 20 INTERPRETACIÓN: Se pueden producir 20 unidades del tipo 1, 20 del tipo 2 y 20 tipo 3.

1.2.2. EJEMPLO 4 Suponga que las demandas externas en un sistema económico con tres industrias son 10, 25 y 20, respectivamente. Suponga que a11 = 0.2, a12 = 0.5, a13 = 0.15, a21 = 0.4, a22 = 0.1, a23 = 0.3, a31 = 0.25, a32 = 0.5 y a33 = 0.15. Encuentre la producción de cada industria de manera que la oferta sea exactamente igual a la demanda. Solución: En este caso n = 3, 1 - a11 = 0.8, 1 - a22 = 0.9 y 1 - a33 = 0.85 y el sistema lineal es: 0.8x1 - 0.5x2 - 0.15x3 = 10 20.4x1 + 0.9x2 - 0.3x3 = 25 20.25x1 - 0.5x2 + 0.85x3 = 20 Si se resuelve el sistema por método de eliminación de Gauss-Jordan en una calculadora o computadora, trabajando con cinco decimales en todos los pasos, se obtiene

0 0 110.30442 (0 1 0) (118.74070) 0 0 1 125.81787 1

Se concluye que la producción necesaria para que la oferta sea (aproximadamente) igual a la demanda es

[10/07/2017]



x1 = 110



x2 = 119



x3 = 126

Página 8

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

1.3.

ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN: Un espacio vectorial V con coeficientes en un campo K que denotamos con (V, +, ·), es un conjunto con una operación binaria llamada suma y una multiplicación escalar, que además cumple: i)

Si →,→ ∈ 𝑉; ∈ 𝐾 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 → + → ∈ 𝑉

ii)

Si r∈ 𝐾 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑟 → ∈ 𝑉

𝑢 𝑣

𝑢

𝑣

𝑢

1.3.1. SUBESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN: Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto de V. W es un subespacio vectorial si W es un espacio vectorial, el cual denotamos con W ≤ V. OBSERVACIÓN: El siguiente resultado que no probaremos caracteriza a los subespacios vectoriales. Teorema Si V un espacio vectorial y W un subconjunto de V, entonces W es un subespacio vectorial, si y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones: 1) 0 ∈ W 2) Si u y v ∈ W entonces u + v ∈ W. 3) Si r es un escalar y v ∈ W entonces rv ∈ W. Es claro que todo espacio vectorial V tiene al menos dos subespacios, a saber, V y el conjunto {0}.

[10/07/2017]

Página 9

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

1.4.

AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS 1.4.1. EJEMPLO 6

Determine la población de la región recién descrita para los años 2015 y 2016, si la población en el año 2011 era de 600,000 habitantes en la ciudad y 400,000 en los suburbios. Solución: La población inicial en el año 2011 es: 𝑋𝑜 = [ Para el 2015: 𝑋1 = [

600,000 ] 400,000

0.95 0.03 600.000 582.000 ][ ]= [ ] 0.05 0.97 400.000 418.000

Para el año 2016: 𝑋2 = [

0.95 0.03 582.000 565.440 ][ ]= [ ] 0.05 0.97 418.000 434.560

1.4.2. EJEMPLO 7 Los siguientes datos muestran la cantidad de metales pesados en intervalos de una hora

𝒕𝒊

1

2

3

4

5

6

7

𝒚𝒊

0.65

1.34

1.36

2.34

2.63

3.23

3.72

a) Determine el polinomio de mínimos cuadrados que relacione “x” con “y” b) Utilice la ecuación obtenida en (a) para estimar el contaminante atmosférico cuando t=10

ANALITICAMENTE 0.65 1.34 1.36 b = 2.34 2.63 3.23 (3.72)

[10/07/2017]

1 2 3 A= 4 5 6 (7

1 1 1 1 1 1 1)

Página 10

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

1 2 𝐴𝑇 × 𝐴 = ( 1 1

1 𝐴𝑇 × 𝑏 = ( 1

3 4 5 1 1 1

2 3 1 1

1 2 3 6 7 )× 4 1 1 5 6 (7

4 5 6 1 1 1

1 1 1 140 28 ) 1 =( 28 7 1 1 1)

0.65 1.34 1.36 7 75.34 ) × 2.34 = ( ) 15.27 1 2.63 3.23 (3.72) [𝐴𝑎 = (𝐴𝑇 × 𝐴

⋮ 𝐴𝑇 × 𝑏)]

140 28 ⋮ 75.34 1 1 0.2 ⋮ 0.54 1 0.2 ⋮ 0.54 𝐴𝑎 = ( ) 140 𝑓1 ( ) 𝑓2 − 28𝑓1 ( ) 28 7 ⋮ 15.27 28 7 ⋮ 15.27 0 1.4 ⋮ 0.15 1 𝑓 1.4 2

1 ( 0

0.2 ⋮ 0.54 1 0 ) 𝑓 − 0.2𝑓2 ( 1 ⋮ 0.11 1 0 1

⋮ 0.52 ) ⋮ 0.11

𝑎1 0.52 𝑋̅ = (𝑎 ) = ( ) 0 0.11 a) 𝑦 = 0.52𝑥 + 0.11 b) 𝑦 = 0.52(10) + 0.11 = 5.31 cantidad de metal para t=10

[10/07/2017]

Página 11

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

1.5.

PROGRAMACION LINEAL 1.5.1. EJEMPLO 8

Un fabricante de cierto producto químico tiene dos plantas en las que lo elabora. La planta X puede entregar a lo más 30 toneladas por semana y la planta Y rinde a lo más 40 toneladas en el mismo lapso. El fabricante quiere producir un total de al menos 50 toneladas por semanas. Se mide la cantidad de partículas suspendidas determinadas semanalmente en la atmosfera de una población cercana y se determina que es de 20 libras por cada tonelada dl producto fabricado por la planta X y 30 libras por cada tonelada elaborada por la planta Y ¿Cuántas toneladas deben fabricarse semanalmente en cada planta para minimizar la cantidad total de partículas suspendidas en la atmosfera? Sean X y Y las cantidades de toneladas del producto fabricadas en las plantas X y Y, respectivamente, cada semana. Entonces, la cantidad total producida cada semana es: X+Y Como queremos fabricar al menos 50 toneladas por semana, debemos tener: X+Y ≥ 50 Como la planta X puede fabricar a lo más 30 toneladas, debemos tener: X ≤ 30 De manera similar, como la planta Y puede fabricar a lo más 40 toneladas, debemos tener: Y ≤ 40 Por supuesto, X y Y no pueden ser negativos, por lo que decimos: X ≥ 0; Y ≥ 0 La cantidad total de partículas suspendidas (en libras) es: Z = 20X + 30Y Lo cual queremos minimizar. Así una formulación matemática de nuestro problema es: Determinar los valores de X y Y que minimicen Z=20X+30Y sujeto a las restricciones sobre X y Y: X+Y ≥ 50; X ≤ 30; Y ≤ 40; X ≥ 0; Y ≥ 0

[10/07/2017]

Página 12

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

Sacamos puntos estremos: 

A(30,20)----- Z = 20(30) + 30(20) = 1200



B(10,40)----- Z = 20(10) + 30(40) = 1400



C(30,40)----- Z = 20(30) + 30(40) = 1800

Respuesta: Para minimizar las emisiones atmosféricas se debe de producir 30 toneladas de producto en la planta X y 20 toneladas de producto en la planta Y semanalmente.

[10/07/2017]

Página 13

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

1.6.

METODO SIMPLEX 1.6.1. EJEMPLO 9 Una municipalidad en Arequipa busca ser amigable con el ambiente y por esto realiza campañas y eventos. Para realizar esto cuenta con dos proyectos: manejo de residuos sólidos y manejo del consumo de agua. Tomando en cuenta la cantidad de horas para cada proyecto

Residuos

Agua

Campañas

3 horas

3 horas

Eventos

3 horas

6 horas

El máximo número de horas de trabajo para este proyecto quincenalmente es de 120 en manejo de residuos sólidos y 180 en manejo del consumo de agua, debido a las limitaciones del personal encargado. Si el beneficio de concientización de personas es de 300 en campañas y de 400 en eventos, ¿Cuantas deben realizarse quincenalmente para obtener el máximo beneficio?

Residuos

Agua

Personas

Campañas (x)

3

3

300

Eventos (y)

3

6

400

120

180

Variables de decisión: 

Utilitarias

 x



Lujo

 y

Función Objetivo: Max

[10/07/2017]

z=300x +400y

Página 14

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL Restricciones: 3𝑥 + 3𝑦 ≤ 120 3𝑥 + 6𝑦 ≤ 180 𝑥, 𝑦 ≥ 0 1. Convertir a igualdad las restricciones: 3𝑥 + 3𝑦 + ℎ1 + 0ℎ2 = 120 3𝑥 + 6𝑦 + 0ℎ1 + ℎ2 = 180

2. Igualar la función objetivo a 0 𝑧 − 300𝑥 − 400𝑦 = 0

Escribir la tabla inicial simplex

Base

X

Y

h1

h2

Vs

h1

3

3

1

0

120

h2

3

6

0

1

180

Z

-300

-400

0

0

0

Base

X

Y

h1

h2

Vs

1 𝑓1 − 𝑓2 2 1 𝑓 6 2 200 𝑓3 − 𝑓 3 2

h1

3/2

0

1

-1/2

30

Y

1/2

1

0

1/6

30

Z

-100

[10/07/2017]

0

0

200/3

12000

2 𝑓 3 1 1 𝑓2 − 𝑓1 3 200 𝑓3 + 𝑓 3 1

Página 15

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

Base

X

y

h1

h2

Vs

X

1

0

2/3

-1/3

20

Y

0

1

-1/3

1/3

20

Z

0

0

200/3 100/3 14000

Respuestas: x= 20 y=20 z=14000 Deberán realizarse 20 campañas y 20 eventos.

1.6.3. EJEMPLO 10 Suponga que una economía de energía ambiental consiste en los sectores de energía eólica, electricidad (energía hidráulica) y energía solar, y que el rendimiento de cada sector se distribuye entre los diferentes sectores como en la tabla, donde las entradas de una columna representan fracciones de la producción total de un sector. La segunda columna de la tabla 1, por ejemplo, muestra que la producción total de electricidad se divide como sigue: un 40% de energía eólica, un 50% de energía solar, y el restante 10% de electricidad. (El sector eléctrico trata este 10% como un gasto en que incurre para hacer funcionar una empresa.) Ya que debe tomarse en cuenta la producción total, las fracciones decimales de cada columna deben sumar 1. Los precios (es decir, valores en moneda) de la producción total de energía de los sectores de energía eólica, electricidad y energía solar se denotarán como pC, pE y pS, respectivamente. Si es posible, encuentre los precios de equilibrio que permiten a los ingresos de cada sector igualar sus gastos y mejorar el rendimiento de producción energética

Distribución del rendimiento y producción Energía eólica

electricidad

Energía solar

0

4

6

6

1

2

4

5

2

Solución

[10/07/2017]

Página 16

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL Un sector observa una columna para ver a dónde va su producción, y examina una fila para ver qué necesita como entradas. Por ejemplo, la primera fi la de la tabla 1 indica que el sector de energía eólica recibe (y paga por) el 40% de la producción del sector eléctrico y el 60% de la producción de energía solar. Puesto que los valores respectivos de producción totales son pE y pS, el sector energía eólica debe gastar 0.4pE dólares por su parte de producción de electricidad, y 0.6pS por su parte de producción energía solar. Entonces los gastos totales del sector carbón son de 0.4pE + 0.6pS. Para hacer que los ingresos de sector de energía eólica, pC, sean iguales a sus gastos, se desea

pC = 0.4pE + 0.6pS ……………………………….. (1)

La segunda fi la de la tabla de intercambio muestra que el sector eléctrico gasta .6pC en carbón, .1pE en electricidad, y .2pS en acero. Entonces, el requisito ingreso/gastos para electricidad es

pE = 0.6pC + 0.1pE + 0.2pS ………………………. (2)

Por último, la tercera fi la de la tabla de intercambio conduce al requisito final:

pS = 0.4pC + 0.5pE + 0.2pS ………………………... (3)

Para resolver el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3), traslade todas las incógnitas al lado izquierdo de las ecuaciones y combínelas como términos. [Por ejemplo, a la izquierda de (2) escriba pE − 0.1pE como 0.9pE.] pC − 0.4pE − 0.6pS = 0 −0.6pC + 0.9pE − 0.2pS = 0 −0.4pC − 0.5pE + 0.8pS = 0

Lo que sigue es reducir por fi las. Aquí, para simplificar, los decimales se redondean a dos posiciones.

[10/07/2017]

Página 17

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL 1 −0.4 −0.6 0 1 −0.4 −0.6 0 1 −0.4 −0.6 0 1 −0.4 −0.6 0 [−0.6 0.9 −0.2 0] ~ [0 0.66 −0.56 0] ~ [0 0.66 −0.56 0] ~ [0 1 −0.85 0] −0.4 −0.5 0.8 0 0 −0.66 0.56 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ~ [0 0

0 −0.94 0 1 −0.85 0] 0 0 0

La solución general es pC = 94pS, pE = 85pS, y pS es libre. 𝑃𝑐 0.94𝑃𝑠 0.94 𝑃 = [𝑃𝑒] = [ 0.85𝑃𝑠] = 𝑃𝑠 [0.85] 𝑃𝑠 𝑃𝑠 1 Cualquier selección (no negativa) para pS se convierte en una selección de precios de equilibrio. Por ejemplo, si se toma pS como 100 (o $100 millones), entonces pC = 94 y pE = 85. Los ingresos y gastos de cada sector serán iguales si la producción de energía eólica se valora en $94 millones, la producción eléctrica en $85 millones, y la producción de energía solar en $100 millones.

[10/07/2017]

Página 18

BUSQUEDA Y ANALISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMATICA III A LA INGENIERIA AMBIENTAL

CONCLUSIONES 

El álgebra lineal es muy importante para la ingeniería ambiental, química y entre otras ingenierías no solo para la química sino para todos los campos del saber porque ayuda a agilizar los procesos. El método que se utiliza en la química en ingeniería ambiental sirve para poder igualar los reactivos de una manera más precisa y rápida.



La programación lineal es una técnica poderosa para tratar problemas de asignación de recursos escasos entre actividades que compiten, al igual que otros problemas cuya formulación matemática es parecida. Se ha convertido en una herramienta estándar de gran importancia para muchas organizaciones industriales y de negocios. Aún más, casi cualquier organización social tiene el problema de asignar recursos en algún contexto y cada vez mayor el reconocimiento de la aplicabilidad tan amplia de esta técnica.



La toma de decisiones juega un papel muy importante dentro del ámbito empresarial, social, ambiental y económico donde la aplicabilidad de la programación lineal es fundamental para optar por la mejor solución.



Un problema de programación línea no solo se lo puede comprobar por el método grafico sino que para su mayor seguridad se puede optar por el método simplex.

[10/07/2017]

Página 19