Ecuaciones Básicas Del Flujo De Fluidos

CAPÍTULO 4 ECUACIONES BÁSICAS DEL FLUJO DE FLUIDOS

Introducción Para llegar a la ecuación general que describe el comportamiento del flujo de fluidos, se requieren los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos, que son las tres las ecuaciones fundamentales de un fluido:  Ecuación de continuidad, que es una expresión matemática del principio de conservación de la masa.  Ecuación de momento, que es una expresión matemática del principio de conservación de la cantidad de movimiento.  Ecuación de la energía, que es una expresión matemática del principio de conservación de la energía. En esta última, se verá una de las ecuaciones más importantes en flujo de fluidos: la ecuación de Bernoulli. El principio de Bernoulli establece que dentro de un flujo horizontal de fluido, los puntos de mayor velocidad del fluido tendrán menor presión que los de menor velocidad. Así, dentro de una tubería horizontal de agua que cambia de diámetro, las regiones donde el agua se mueve más rápido se encontrarán a menor presión que las regiones donde se mueve más lento

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Descripción del tema Ecuaciones diferenciales y balances de concha Es posible deducir ecuaciones útiles para algunos sistemas bien definidos haciendo un balance de concha macroscópico, en el cual los flujos a través de los límites de todo el sistema entero se utilicen en lugar de aquellos que tengan un elemento de volumen diferencial. BALANCE DE MASA EN UN FLUIDO EN MOVIMIENTO: CONTINUIDAD Para un pequeño elemento de volumen ∆x ∆y ∆z , fijo en el espacio, la ecuación para un balance de masa es:

Esta se convierte en la ecuación de continuidad:

La ecuación de continuidad para un fluido de densidad constante es:

Al transformar de coordenadas rectangulares a cilíndricas, la ecuación de continuidad se convierte en:

En coordenadas esféricas, la ecuación de continuidad se convierte en:

Flujo unidimensional Una línea de corriente es una trayectoria imaginaria en la masa de fluido en movimiento, representada de tal manera que en cada punto, el vector de la velocidad neta a lo largo de la línea de corriente u , es tangente a dicha línea. A través de tal línea no hay flujo neto. En el flujo turbulento, los remolinos cruzan en una y otra dirección las líneas de corriente, pero el flujo neto de tales remolinos en cualquier dirección distinta a la del flujo es cero. El flujo a lo largo de la línea de corriente es por lo tanto unidimensional, y se necesita sólo un término para la velocidad.

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La velocidad 𝑉̅ es igual a la velocidad de flujo volumétrico total, dividida entre el área de la sección transversal del conducto, y se considera como el flujo de volumen en m3 /m2 · s o ft3 /ft2 · s.

Balance de concha para el flujo de masa Las velocidades promedio son útiles para el balance de coraza o de flujo a través de una tubería o un sistema de tuberías. Considere el flujo a través de un conducto de área seccional transversal Sa a la entrada y de área Sb a la salida, en el cual la velocidad local del fluido varía dentro de la seccional transversal. La velocidad promedio y la densidad a la entrada son 𝑉̅ a y ρa ; y a la salida son son 𝑉̅ b y ρb . En el estado estacionario, el flujo de masa que entra es igual al flujo de masa que sale, y la ecuación de continuidad se convierte en

Velocidad de masa La siguiente ecuación define la velocidad de masa G , que expresa en kg/m 2-s o lb/ft2-h La ventaja de utilizar G consiste en que es independiente de la temperatura y la presión cuando el flujo es estacionario (m constante) y la sección transversal no varía (S constante).

BALANCE DIFERENCIAL DEL MOMENTO: ECUACIONES DEL MOVIMIENTO Los conceptos básicos del balance de momento son los siguientes:

Las ecuaciones generales del movimiento para un fluido newtoniano cuando varían la densidad y la viscosidad se ejemplifican en la siguiente ecuación para la dirección x.

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Ecuaciones de Navier-Stokes. Para un fluido de densidad y viscosidad constantes, se emplean las ecuaciones de movimiento, conocidas como las ecuaciones Navier-Stokes, y son las siguientes:

En forma vectorial estas ecuaciones se convierten en: Ecuación de Euler Para una densidad constante y viscosidad cero, como es el caso del flujo potencial, se utiliza la ecuación del movimiento, conocida como la ecuación de Euler, que es la siguiente:

Flujo de Couette Cuando las placas en un sistema son horizontales (o en cualquier situación donde la fuerza de gravedad sea despreciable), la velocidad del fluido varía linealmente con la distancia de la placa estacionaria, y el gradiente de velocidad es constante. La viscosidad entonces está relacionada con la tensión de corte (o esfuerzo cortante) F /A por la ecuación siguiente: s

El fluido bajo estas condiciones se conoce como flujo de Couette.

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BALANCES MACROSCÓPICOS DEL MOMENTO Puede expresarse un balance de momento promedio, bajo el supuesto de que el flujo es estacionario y unidireccional en la dirección x:

Momento de la corriente total; factor de corrección del momento El factor de corrección se obtiene mejor a partir del flujo de momento convectivo, es decir, el momento transportado por el fluido que circula a través de la unidad de área de la sección transversal del canal en la unidad de tiempo. Si se considera el flujo unidimensional en la dirección x, una situación típica se representa por la ecuación siguiente:

Flujo de capa con superficie libre El número de Reynolds para el flujo debajo de una placa plana está definido por la ecuación

Para el flujo de un líquido debajo de la entrada o salida de la tubería, en general el espesor de la capa es una fracción muy pequeña del diámetro de la tubería y el número de Reynolds es el mismo que para una placa plana. Ecuación del momento angular El momento angular de un objeto que se mueve alrededor de un centro de rotación es el producto vectorial del vector de posición por el vector de momento tangencial del objeto (su masa por su componente tangencial de la velocidad).

ECUACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Al aplicar producto escalar de la velocidad local V con la ecuación del movimiento. se obtiene una ecuación general que establece que la velocidad de aumento en la energía cinética por unidad de masa es igual a la velocidad neta de entrada de la energía cinética por convección menos lo siguiente: 1) velocidad de trabajo hecha por la presión de los alrededores; 2) velocidad de la conversión reversible para la energía interna; 3) velocidad de trabajo efectuada por las fuerzas viscosas; 4) 5

conversión irreversible para la energía interna; 5) velocidad de trabajo hecho por la gravedad (este término puede ser positivo o negativo). Aquí las derivaciones son inicialmente restringidas al flujo de fluidos unidireccional de densidad constante y viscosidad cero, utilizando la ecuación de Euler. Ecuación de energía para flujo potencial; ecuación de Bernoulli sin fricción En el flujo potencial unidireccional a una velocidad constante, la magnitud de la velocidad no afecta a la caída de presión en el tubo; la caída de presión depende sólo de la velocidad del cambio de elevación. En consecuencia, en un tubo recto horizontal, no hay caída de presión en el flujo potencial de velocidad constante estacionario.

La ecuación anterior es conocida como la ecuación de Bernoulli sin fricción. Es una forma particular de un balance de energía mecánico. Para aplicar la ecuación de Bernoulli a un problema específico, es esencial identificar la línea de corriente o el tubo de corriente y elegir unos puntos definidos de corriente de salida o entrada. Los puntos a y b se seleccionan con base en su conveniencia y, por lo general, se toman en localizaciones donde se dispone de la mayor información acerca de las presiones, velocidades y alturas. Ecuación de Bernoulli: corrección debida a los efectos de los límites sólidos En la mayoría de los problemas de flujo de fluidos que se presentan en ingeniería, intervienen corrientes que están influidas por superficies sólidas y que por lo tanto contienen capas límite. Para aplicar la ecuación de Bernoulli a estos casos prácticos, son necesarias dos modificaciones. La primera es una corrección del término de la energía cinética debida a la variación de la velocidad local u con posición en la capa límite; la segunda consiste en una corrección de la ecuación debida a la existencia de fricción del fluido, la cual aparece cada vez que se forma una capa límite. Energía cinética de la corriente La energía cinética por unidad de masa de fluido en movimiento, la cual reemplaza a u2 /2 en la ecuación de Bernoulli, es

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Factor de corrección de la energía cinética.

Para calcular el valor de α a partir de la ecuación debe conocerse la velocidad local, como una función de la localización en la sección transversal, de tal manera que puedan evaluarse las integrales de dicha ecuación. Corrección de la ecuación de Bernoulli debido a la fricción del fluido En el caso de fluidos no compresibles, la ecuación de Bernoulli se corrige por la fricción, añadiendo un término al lado derecho de la ecuación. Entonces, al introducir también los factores de corrección de la energía cinética αa y αb , la ecuación se convierte en

La fricción se produce en las capas límite, debido a que el trabajo realizado por las fuerzas de corte para mantener los gradientes de velocidad, tanto en el flujo laminar como en el turbulento, se convierte finalmente en calor por la acción viscosa. La fricción que se genera en las capas límite no separadas se llama fricción de superficie . Cuando las capas límite se separan y forman estelas, se produce una disipación adicional de energía en la estela, y a la fricción de este tipo se le llama fricción de forma , ya que es una función de la posición y de la forma del sólido. Trabajo de bomba en la ecuación de Bernoulli Puesto que la ecuación de Bernoulli es sólo un balance de la energía mecánica, se debe tomar en cuenta la fricción que tiene lugar en la bomba. En una bomba real no sólo existen todas las fuentes de fricción activa del fluido, sino que también hay fricción mecánica en los cojinetes y sellos o prensaestopas. La energía mecánica suministrada a la bomba como trabajo de eje negativo hay que descontarla de esas pérdidas por fricción para obtener la energía mecánica neta realmente disponible para el fluido en movimiento.

Esta ecuación es una expresión final de la ecuación de Bernoulli para el tratamiento de problemas sobre el flujo de fluidos no compresibles.

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Conclusiones 

Para un flujo unidimensional en movimiento, se pueden deducir ecuaciones útiles a partir del balance de masas en un elemento diferencial de volumen

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Una de las leyes más fundamentales en todas las ciencias es la ley de la conservación de la materia. De ella deriva la ecuación de continuidad, siendo parte esencial de la mecánica de fluidos, ya que establece que la masa que entra a través de dos secciones de un conducto, es igual a la masa que sale

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Es imprescindible conocer el funcionamiento de la ecuación de cantidad de movimiento, ya que permite conocer las fuerzas que actúan sobre un fluido.

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La ecuación de Bernoulli es de gran importancia en la mecánica de fluidos, ya que gracias a ella se puede definir cuáles son las características del fluido durante su paso por una tubería, ya sea la presión, la rapidez de flujo, la altura o las pérdidas (locales o por fricción).

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