14+introducción+a+la+trigonometría.pdf

Introducción a la Trigonometría

Resolución de problemas

normal.

problemas sobre sistemas de medición 1. Resuelve angular. problemas sobre razones trigonomé2. Resuelve tricas de ángulos agudos y ángulos en posición

2.

Analiza las razones trigonométricas de ángulos agudos y ángulos en posición normal.

equivalencias entre los sistemas de 1. Formula medidas angulares.

Comunicación Matemática

Establece relaciones matemáticas entre los sistemas de medidas angulares.

1. el valor de las razones trigonométricas 2.Evalúa de ángulos agudos y ángulos en posición normal

Razonamiento y demostración

Aprendizajes esperados

La trigonometría es una de las ramas de la matemática que presenta diversas aplicaciones tanto en el campo científico como el tecnológico. Asi en la foto se observa la construcción de un túnel para lo cual previamente los topógrafos, que con teodolito en mano, tienen la tarea de medir ángulos y longitudes los cuales se relacionan mediante expresiones trigonométricas en su gabinete de trabajo, ello es una aplicación concreta de la trigonometría.

14

Unidad

manera

Muestra perseverancia para la obtención de resultados de situaciones problemáticas. argumentos de 2. Plantea coherente y ordenada.

1.

Actitudes ante el Área

Solidaridad

Responsabilidad

Valores

Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental.

Tema Transversal

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

ACERTIJO MATEMÁTICO: LOS BARRILES Un bodeguero compró 5 barriles de vino y 1 de cerveza con las cantidades que se ven en la imagen de arriba. Vendió una cantidad de vino a un cliente y el doble de esa cantidad a otro, pero conservó su barril de cervezas. Puedes deducir qué barril es el de la cerveza?

15 31 20

Calcula F=

16

18

π (10y − 9 x )

Calcula DB.

Halla

19

2π + z

a° a " a" Reduce

9° + 100g π rad + 90° 20

Calcula

40 x g x°

24 ; 7 cos θ < 0 halla − 7 sec θ tg θ =

Calcula x° x ' x'

268

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

Halla Q = csc5 x + sec 2 2x + 2

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Demostrando responsabilidad desarrollo los siguientes ejercicios ." entre los demas” 1 Del gráfico mostrado, calcula el valor de “x”

PARA LA CLASE

2 A partir del gráfico, calcula el valor de “x” (OB: bisetriz)

30° - x = x - 20°

x + 80° + x = 180° ∴





∴

Rpta.

Rpta.

50°

3 Del gráfico, establece una relación entre x e y.



x - y - x - y = 2x - 3y



25°

4 De la figura, calcula el valor de x.



x = 25°

x = 50°

6x = 180° ∴

x = 30°

y = 2x

∴ Rpta. 5 Del gráfico, calcula el valor de “x”.

Rpta.

x = 30°

6 A partir de la figura, calcula α si OB es bisectriz del  AOC.

i) a + 20° - b + 3b - 4° = 90°

x2 + 14° + 7x – 2 = 90°



x2 + 7x – 78° = 0

a + 2b = 74° …Œ

ii) 3b - 4° = 20 - b ® b = 6°

x +13

iii) En Œ

x -6 ∴ x = {- 13;6} Rpta.

x = {- 13; 6 }



a + 12° = 74°



a = 62°

Rpta.

a = 62°

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

269

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

7 En la figura, BM es bisectriz del ABC, halla x.

8 A partir del gráfico, expresa x en términos de α y β.

a = -x + b + 360° a = b - a + 360°

2x – 35° = 75° – 3x 5x = 110° x = 22°

22°

Rpta. 9 Según el gráfico, determine el valor positivo de x.

i) –x – y + 30° = 180°

x



+ 13

x



-8

∴ x=8

ii) y – 2x + 30° = 90° ® 2x – y = -60°… iii) De Œ y 





270



∴ y = 28°

Rpta.

Rpta.

∴ x – y = 10°

10°

12 De la figura halla una relación entre a, β y θ.

y - 24° + 3y + 12° + 2y + 24° = 180°

x = -70° ∧ y = -80°

8

Rpta.

11 Del gráfico, calcula el valor de “y”.



x + y = -150º …Œ



x2 + 5x – 104° = 0



x = β - a 360°

10 Del gráfico, halla “x - y”.

5x – 11 + x2 – 3 = 90°



Rpta.

a - b + q = 2 vueltas

∴ a- b + q = 720°

28°

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta.

a - β + θ = 720°

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas” 1 A partir del gráfico, halla “x”.

PARA LA CASA

2 De acuerdo al gráfico, halla el valor de x.

O

x - 40° + x + 20° = 80°

∴

∴



2x + x - 30° = 90°

x = 50°

x = 40

Rpta.

40°

3 En la figura, halla el valor de x, siendo OB: bisectriz.

Rpta.

50

4 Halla .

O x + y + x - y = 5y - x x + 14° = 46° - x ∴



3x = 5y

x = 16°

Rpta.

Rpta.

16 6 Halla y – x.

5 Halla y si OC es bisectriz del  BOD.

–30° y–2x

–x–y

i) 3x = 2y…Œ

i) – x – y – 30° = –180°

x + y = 150° …Œ

ii) 4x – y + 5x + 2y + 3x = 360°

ii) y – 2y – 30° = -90°



12x + y = 360°





4(3x) + y = 360°

iii) De: Œ y 



4(2y) + y = 360°



∴

y = 40°

Rpta.

40°

2x – y = 60° … x = 70° ∧ y = 80°

∴ y – x = 10°

Rpta.

10°

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

271

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Demostrando responsabilidad desarrollo los siguientes ejercicios ." entre los demas”

PARA LA CLASE

1 Expresa en grados sexagesimales:

2 Expresa en grados centesimales:

a) 70g =

a) 56° =

b)

3p rad = 4

b)

c) 40,3g =

c) 40,5° =

3 Expresa en radianes:

4 Expresa en minutos sexagesimales: a) 60° =

a) 160° =

b) 50g =

b) 10g =

c) 22°30’ = c)

5 Sabiendo que: rad <>

3p rad = 20

p rad = 2

6 Calcula el valor de: C P=

°

Calcula a + b + c



∴ P = 10

∴ a + b + c = 9

Rpta.

272

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

9

Rpta.

19

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

8 Calcula la medida de un ángulo en radianes, siendo S = x – 5; C=x + 5.

7 Calcula el valor de:

M=

i)

10x – 50 = 9x + 45



x = 95

ii) S = 95° - 5° ® S = 90°

M=4

∴

Rpta.

Rpta.

4

9 Dos ángulos de un triángulo miden 60° y 80g, calcula la medida del tercer ángulo expresada en radianes.

10 La suma de las medidas de dos ángulos es 40g; la diferencia es 16°. Halla la medida del menor ángulo en el sistema radial. i) a + b = 40g ® a + b = 36°…Œ

i)

ii) a - b = 16°

ii) 60° + 72° + x = 180°



a + b = 36…Œ



a = 26° ∧ b = 10°

∴ Rpta.

11 Calcula la medida de un ángulo en radianes si se cumple que: 2C + S = 58

rad

rad, halla el valor de 12 Si 50g + 30° <> 2 (k2 + k). i)

i) 2(10k) + 9k = 58

Rpta.

rad

k=2

ii)



45° + 30° = k(15°)



k=5

ii) (k2 + k) = 30

Rpta.

rad

Rpta.

30

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

273

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas”

PARA LA CASA

1 Expresa en radianes:

2 Expresar en grados centesimales:

a) 30g =

a) 72° =

b)

rad = ?

b)

c) 30°5g =

rad =

c) 50,5° =

3 Expresa en radianes:

4 Simplifica la expresión:

a) 40° =



b) 150g =

E=

E=6

c) 11°15’ = Rpta. 5 Calcula la medida de un ángulo expresado en radianes si se cumple que: S = 3x + 6; C = 4x – 10.

6

6 Calcula la medida de un ángulo en radianes sabiendo que: C – S = 5. i) 10k - 9k = 5

i)

k = 5 ii)

x = 25° ® S = 3(25°) + 6

S = 81°

ii)

Rpta.

274

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

rad

Rpta.

rad

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 Del gráfico, calcula el valor de x. A) 20° B) 30° C) 40° D) 60° E) 90° 2 Establece una relación entre los ángulos a y b mostrados en la figura. A) a + β= 360° B) a + β = -360° C) a – β = 360° D) b – a = 360° E) a – β = -360° 3 Expresa el resultado de la siguiente operación: W = 30° + 100g + rad

6 Establece una relación de orden entre los ángulos 1°; 1g y 1rad. A) 1° > 1g > 1rad

D) 1rad > 1g > 1°

B) 1° < 1g < 1rad

E) 1rad > 1° > 1g

C) 1g > 1° > 1rad 7 Un determinado ángulo contiene a’ y a su vez bg. Establece una relación entre a y b. A) a = 6b

C) a = 10b

B) a = 9b

D) a = 54b

E) a = 60b

8 De acuerdo a la figura, establece una relación entre S; C y R. A) S > C > R B) S < C < R C) S = C = R D) C > S > R E) R > C > S

en el sistema radial. A) 2π rad

C)

rad

B) π rad

D)

rad

E)

rad

4 De acuerdo al gráfico, establece una relación entre a y b.

9 Establece cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. 30° <> II. 40g <> 36° III.

rad <> 20g

IV. 1 rad <> 57°17’44’’ V. prad <> 3,14° VI. 1° <> 1g <> 1 rad A) a B)

b C)

E)

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

D)

5 Siendo x e y los números de segundos sexagesimales y centesimales contenidos en un mismo ángulo, establece una relación entre x e y. A)

C)

B)

D)

E)

Clave de Respuestas

1. B 2. C 3. B

4. E 5. E 6. E

7. D 8. D 9. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

275

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas”

APRENDIZAJES

Comunicación matemática 1 A partir del gráfico, formular una equivalencia entre a y b. A) a + b = 480° B) a - b = 480° C) a - b = 240° D) a - b = 480° E) a + b = 120°

2 Del gráfico, determina el valor de x. A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° 3 Si se cumple que 3π < > 4 halla “a + b + c”. A) 9

B) 8

C) 7

B) 2

D) 6

E) 5

C) 3

D) 4

E) 5

D) 1,8

E) 2,4

P = 72g° 50 B) 1,4

C) 1,6

6 Expresa α = 15°45’ en el sistema centesimal. A) 15g 75m D) 17g 25m

B) 16g 40m E) 17g 50m

4π rad < > 25 B) 5 C) 4

7 Sabiendo que A) 6

B) 2

D)

276

4p rad 5

C) 16g 75m

E) 5

A)

3π rad 20

D)

6π rad 13

4π rad 15 8π E) rad 15 B)

C)

5π rad 12

11 Simplifica la expresión

A) 2

B) 4

C) 6

D) 3

E) 5

A) 500 D) 1200

B) 800 E) 1500

C) 1000

p π π rad B) rad C) rad 8 9 10 π D) π rad E) rad 2 5 14 Calcula la medida de un ángulo en radianes si C – S = 38 9 10 A)

A) 4π rad D) 9π rad

B) 6π rad E) 10 π rad

C) 8π rad

15 Halla el valor de:

, calcula E = a + b . a–b D) 3 E) 2

5p B) rad 9 E)

D) 4

10 Halla la medida de un ángulo expresado en radianes si se cumple que C – S = 3.

A) 154

B) 162

8 Expresa θ = 6000’ en radianes. 4p A) rad 9

C) 3

13 Halla la medida de un ángulo expresado en radianes si 3S – 2C = 14.

5 Calcula el valor de

A) 1,2

A) 1

12 En 540 minutos sexagesimales, ¿cuántos minutos centesimales hay?

4 Halla “x” si se cumple que S = 2x + 1 y C = 3x – 2 A) 1

9 Sabiendo que: S = xx – 9 y C = xx – 7, halla el valor de “x”.

3p C) 10 rad

2p rad 9

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

Clave de Respuestas

C) 165

1. B 2. C 3. A 4. D 5. C

D) 180

6. E 7. B 8. B 9. C 10. A

11. D 12. C 13. A 14. D 15. B

E) 200

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas”

Resolución de problemas 1 Halla la medida de un ángulo en radianes si

A) π rad D) 4π rad

B) 2π rad E) 5π rad

C) 3π rad

2 Calcula la medida de un ángulo expresado en radianes si C + 2R = S + 3 p C – 2R S – 3 p 4π rad 5 2π D) rad 5

5π rad 3 3π E) rad 10 B)

A)

C)

6π rad 7

3 Halla la medida de un ángulo expresado en radianes, si: S + 2C + 4R = 145 + π. π π π A) rad B) rad C) rad 2 4 3 π π D) rad E) rad 6 5 4 En un triángulo isósceles los ángulos congruentes miden: (5x + 4)° y (6x)g . Calcula la medida del ángulo desigual expresado en radianes. 5π rad 9 π E) rad 5

3π rad 4 2π D) rad 5

B)

A)

C)

4π rad 5

APRENDIZAJES

8 A partir del gráfico, halla a . b A) 0,2 B) 0,3 C B C) 0,4 bg D) 0,5 3q E) 0,6 2q a° O

9 Las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un ángulo verifican S + 3 C = 27 – 6 R p 12 10 Calcula la medida radial de dicho ángulo. A) π B) π C) π D) π E) π 2 3 6 4 5 10 Determina la medida radial del ángulo que cumpla con la igualdad S5 + C5 + 20R5 = 12 _S 4 + C 4 + R 4i p 9 10 π π A) rad B) π rad C) rad 5 3 2 2π 3π D) rad E) rad 5 5 11 Si S = x3 + x2 + x + 2 C = x3 + x2 + x + 7 halla “R”. π rad 10 D) π rad 5 A)

5 Halla la medida de un ángulo expresado en radianes, si S = ax2 + b x + 5 ; y C = ax2 + bx + 6. π π π A) rad B) rad C) rad 60 50 40 π π D) rad E) rad 30 20 6 Un determinado ángulo cumple que C2 + S2 = 2 CS. Calcula el valor de

A

B) π rad 8 π E) rad 4

C) π rad 6

12 Calcula la medida radial de un ángulo que verifique la siguiente relación 2 p 18 2 20 2 CR a S k + a C k + d 10R n = p S A)

π π 3π B) C) 10 5 10

D)

3π 2π E) 5 20

2 2 P = C –2S + 4 R +1

A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 4

7 Calcula el valor de A) 160

g m E = 1°1' + 1 1 1' 1m B) 171 C) 162 D) 163

Clave de Respuestas

1. B 2. B 3. C 4. D

5. E 6. E 7. C 8. E

9. B 10. E 11. E 12. A

E) 174 Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

277

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Solucionario: Razonamiento y demostración

8

1

∴ C > S > R Rpta. D

9 I.

3x + 2x + x = 180° ∴



x = 30°

Rpta. B



2

a - b = 360°

(V)

II. 40g <> 36° III.

(V)

(V)

IV. 1 rad <> 57°17’44°

(V)

V. p rad <> 3,14°

(F)

VI. 1° <> 1g <> 1rad

Rpta. C



3

Solucionario: Comunicación matemática

Rpta. C

1



(F)

W = p rad Rpta. B

4



a’ = bm



a - 120° - b = 360°



∴ a - b = 480° Rpta. B

2



∴

Rpta. E

5 x’’ = y5



x + 40° = -x + 100



∴ x = 30° Rpta. C

3

∴

Rpta. E



6 1° ;

1g

; 1 rad

∴ 1 rad > 1° > 1g Rpta. E

278

4 S = 2x + 1 , C = 3x - 2

a’ = 100 bm



Rpta. A



7

∴ a + b + c = 9

20x + 10 = 27x - 18

x = 4 Rpta. D 5

∴ a = 54 b Rpta. D

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

P = 1,6 Rpta. C

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

15

6



Rpta. E

E = 162 Rpta. B

7

Solucionario: Resolución de problemas

E = 5 Rpta. B 8

1





Rpta. B

∴ k=2



R= p k

9 S = xx - 9 , c = xx - 7

®

R=2 p







Rpta. B

2

10xx - 90 = 9 xx - 63 xx = 27 = 33 Rpta. C 10 C - S = 3

∴



Rpta. B



Rpta. A



11



3 S + 2C + 4R = 145 + p



4R(145 + p ) =



∴

(145 + p )

Rpta. C

∴ E = 3 Rpta. D 4

12

Rpta. C

13 3S - 2C = 14

50 x + 40 = 54x



x = 10

54 . 2 + a = 180º





Rpta. A

14



Rpta. D



R = 9p rad Rpta. D Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

279

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

5 S = ax2 + bx + 5 ;

C = ax2 + bx + 6

;



9



10ax2 + 10bx + 50 = 9ax2 + 9bx + 54



Rpta. B

ax2 + bx = 4

10

S



∴

Rpta. E

6 C2 + S2 = 2 C . S

C = S = 0 ®





R=0



∴ P = 4 Rpta. E

7



∴ E = 162 Rpta. C 8

O

280

C = x3 + x2 + x + 7



C=S–2+7



C=S+5



∴

Rpta. E

12

2q a° A



.....(I)

…(II)













11 S = x3 + x2 + x + 2

B bg 3q



Rpta. E



E = 60 + 1 + 100 + 1

C

∴

Igualamos I y II : Rpta. E

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

Luego:

Rpta. A

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 A partir del gráfico, calcula el valor de “x”.

2 De la figura, establece una relación entre a y b.

4x - x + 60° = 90°

∴

x = 10°

3 Simplifica la expresión:



a - b = 180°

4 Según el gráfico, establece una relación entre a y b.

E=

∴ E = 1

i) a’’ = bm ii) 9° = 10g

540° = 1000m



27’ = 50m



1620’’ = 50m



162’’ = 5m



a = 162 ∧ b = 5

∴

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

281

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Comunicación matemática 1 Si se cumple que:



rad < >

°

2 Simplifica la expresión:

N=

Calcula. a + b + c i)

N=6

ii) a + b + c = 6

3 A partir del gráfico, formula una equivalencia entre a y β.

4 Halla la medida de un ángulo expresado en radianes que cumple la siguiente condición: C – S = 20 i) 10k – 9k = 20°

k = 20°

ii) a - b = 2 vueltas a - b = 720°

282

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche



R = p rad

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Resolución matemática 1 Calcula la medida de un ángulo expresado en radianes siendo: S = x2 + x – 2 C = x2 + x + 8

2 A partir de la figura, calcula el valor de “x”.

i) S + 2 = x2 + x…Œ

C – 8 = x2 + x …

ii) De Œ y 

9k + 2 = 10k - 8



k = 10

i) ii)

Luego

x = 13



3 Calcula la medida de un ángulo expresado en radianes si se cumple que:

4 Halla la medida de un ángulo en radianes si se verifica que:









i)



k=4

ii) R = p (4)

(400 + 3p)(36k - p) = (400 - 3p)(36k + p)

R = 4p rad

∴

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

283

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Demostrando responsabilidad desarrollo los siguientes ejercicios ." entre los demas” ABC, recto en B, a=1; c=2. Halla las 1 En un seis razones trigonométricas del ángulo A.

PARA LA CLASE

2 En un

BCA, recto en C, se sabe que 5 tg B = . Halla las seis razones trigonométricas 2 del ángulo A.

Tg A = 1/2 » b2

=

12

+

22

Ctg A = 2



b a

» »

3 En un ABC, recto en B, sen A = 0, 333 ...., simplifica K=

cos2A + tg2C

ABC, recto en C, si cosec B = 10 , 7 calcula el valor de

4 En un

J = senA cosA tgB

sen2A $ cot g2A

k = 10 Rpta.

Rpta.

10

5 Del gráfico, calcula “cotg q “ si se sabe que cotg a = 2.

6 A partir de la figura, calcula E = cotg a + cotg q

6 6 » ctg

a =2

10

E = ctg a + ctg q

∴ ctg q = 1

E= Rpta.

284

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

1

E = 7/4

Rpta.

7/4

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

BAC, recto en A, se cumple que 8 En un sen C = 2 sen B. Halla el valor de

7 En un triángulo ABC, recto en B, se cumple que senA · senC = 1 6 Calcula tg A + tg C. » Sen A . Sen C =

2 L = cosec B = tgB + tgC

... Œ



»

»

De Œ ® L = 2

Sen C = 2 Sen B



De Œ

9 En un ABC, recto en C, se cumple que 4 sen A cosec B = 3. Calcula M = 4 sen A + 2 sen B. »

4sen A . csc B = 3

c = 2b ... Œ



6

Rpta.

∴ Tg A + Tg C = 6

a) Halla a si sen(2a - 45°) cosec(a - 15°) = 1 2a - 45° = a - 15° a = 30° b) Halla x si tg(3x - 20°) - cotg(x - 30°) = 0





3x - 20° + x - 30° = 90°

M = 4sen A + 2sen B

x = 35° M=4 Rpta.

4





Rpta.

a) 30°

b) 35°

12 Calcula (α – θ) si

11 Calcula (α + β) si



i) 2a + b = 90° ...Œ

i) q + a + 80° - a = 90°

ii) a - b + 60° = 90°





2

10 Resolver cada una de los siguientes casos:



»

Rpta.

q = 10°

ii) 2a + q = 4q

a - b = 30° ...

a = 15°

iii) Resolviendo Œ en 



a = 40° ∧ b = 10°

∴ a - q = 5°

∴ a + b = 50°

Rpta.

50°

Rpta.

5°

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

285

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas” 1 En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se tiene que: a = 8 y b = 17. Obtenga las 6 razones trigonométricas del ángulo C.

PARA LA CASA

2 En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que tg A = ½. Halla el valor de: E = sec A . cosec A

sen C = 15/17 cos C = 8/17 tg C =15/8 ctg C = 8/15 sec C = 17/8 csc C = 17/15



E = sec A . csc A



E=

∴ E = 5/2 3 Siendo a un ángulo tal que sec a = valor de: K = 3sen a + cos a

, calcula el

Rpta.

5/2

4 A partir del gráfico, calcula: E = 3cotg a + 2sen2 θ 5

5

5

a

E = 3ctg a + 2sen2 q



∴ Rpta.

a) sen (5x + 20°) = cos 40° 5x + 20° + 40° = 90°

5

i) x + 20° + y + 30° = 90°

x = 6°



x + y = 40°…Œ

ii) x – 12° = y + 8°

b) cos (7x – 10°) . sec (2x + 30°) = 1



7x - 10° = 2x + 30°

x – y = 20° …

iii) De Œ y 

x = 8°

Rpta.

286

Rpta.

6 Si se cumple que: sen (x + 20°) = cos (y + 30°).....(1) tg (x – 12°). cotg (y + 8°) = 1.....(2) Calcular el valor de x e y.

5 En cada caso calcula el valor de “x”



∴ E = 5

a) 6° b) 8°

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

x = 30° ∧ y = 10° Rpta.

x = 30° ; y = 10°

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

Ser lider es promover las buenas relaciones "Demostrando responsabilidad desarrollo los siguientes ejercicios entre los demas” ." 1 De acuerdo al gráfico, expresa “x” en términos de a;ayq

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

2 Del gráfico, halla “x” en términos de a ; b y a



AH = a ctg a

AC = a ctg a CE = b sen a



HC = a tg q

x = a ctg a + b sen a



x = a ctg a + atg q

∴ x = a(ctg a + tg q) Rpta. a(ctg a + tg q) 3 A partir del gráfico, expresa “x” en términos de a;ayθ

x = a sec a . cos q

Rpta.

a.cotg a + b sen a

4 Halla x en términos de α, θ y a.

x = a sen a . ctg q

Rpta.

a sec a. cos θ

5 En el rectángulo ABCD, halla EF en términos de a y α.

Rpta.

a sen a cotg θ

6 Calcula el valor de E=

cos 30°tg45° + cotg 60°sen30° 3tg60° – sec245° cos 30°

a i) AE = a sen a ; FC = a sen a

AC = acsc a

ii) EF = AC – (AE+FC) ∴ EF = a csc a - 2a sen a Rpta.

a cosec a - 2a sen a

Rpta.

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

287

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

7 Simplifica la expresión T=

8 Calcula el valor de “x” si se cumple que:

sen230° + cos245° + tg260° 2

2

= cotg 37°

2

sen 60° + cos 30° + tg 45°

3x + 6 = 4x - 8



x = 14

∴ T = 3/2

Rpta.

Rpta. 10 Calcula AB, si EB = 9 . 8

9 De la figura. Calcula tg x.

3a = 90°

5

a = 30° 9/8

5 4 7

3 »

Se traza PQ PQO (37° ∧ 53°)

En

OP = 5 : PQ = 4 ∧ OQ = 3

»

En el



tg x = 4/7



Rpta.

Rpta.

»

3 1 3 BAD (37° ∧ 53°) EDC

i) El

CD = ED = AB = 3



Luego AE = 1 ∴ En el

BCD (37° ∧ 53°)

a = 37°

ii) Tg 37° + Ctg (37° + 8°)

BAE Rpta.



288

BC = 9/8 sec2 30°

AB = 3 ; AD = 4

ii) En el

»

12 En la figura CD = 2(ED), calcula: tgα + cotg( α + 8°).

3

i) En el

BD = 9/8 sec 30°

»

PQB

11 Calcula tg θ.



»

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

=

= 7/4

Rpta.

14

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas” 1 De acuerdo al gráfico, expresa “x” en términos de a y a.

PARA LA CASA

2 A partir del gráfico, halla “x” en términos de a, ayβ

a



AH = a . tg a



HC = a ctg a

∴ x = a (ctg a - ctg b)

∴ x = a (tg a + ctg a) a (tg a + cotg a)

Rpta.

a (ctg a - cotg β)

4 Siendo x un ángulo agudo, tal que: secx = sen60° cotg45° + tg30° cos60°

3 Calcula el valor de “x” si se cumple que:

Rpta.

= cosec 30°

calcula: 4 tg22x + 2 senx ; x Î á0°; 90°ñ. »



∴ x = 7

» 4tg2

2x + 2sen x = 4tg2 60° + 2sen 30°

= = 13 Rpta.

Rpta. 6 A partir de la figura, calcula tg a.

5 Si se cumple que: sen(x + 10°) =

7

tg 37°

13

3

2 1

tg(y – 10°) = sen30°cosec60° calcula el valor de cos(x + y).

5

4

4

5

»

⇒ x = 20°

5

3

»

∴

y = 40° Rpta.

Rpta.

1/2

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

289

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." entre los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 En el triángulo rectángulo ACB, recto en “C”; si cos A = 5 , halla el valor de “tg B”. 13 A) 13 B) 12 C) 5 5 12 12

D) 12 13

E) 13 5

2 En el triángulo rectángulo ABC, recto en “B”; si tg C = 3/5, halla el valor de “cosec A”. 34 34 B) C) 34 3 34 D) E) 5 5 4 A)

130 7

24 _ tg A + cotg Ai 5 cosec A B) 8

C) 5

D) 9

6

B) – 6 7

C) – 8 15

D) –16 E) –5 7 15

En el triángulo ABC, recto en “B”, se sabe que sen A = 0, 272727 ..., halla el valor de “sen C”. 2 7 4 7 11 7 B) C) 7 11 11 4 7 D) E) 11 3 5 A)

A) 10°

cot g2B + tg2B 4

290

B) 1 3

C) 32 65

C) 1

B) 12°

A) 5°

D) 0

C) 15°

B) 28°

E) - 1

D) 18°

E) 20°

D) 65 16

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

E) 65 32

C) 9°

D) 10°

E) 12°

D) 36°

E) 40°

11 Si se cumple que: tg (2x +15°) = cotg (y + 23°) cos (x -10°) sec (y – 2°) = 1 Calcula: “x + y” A) 1

B) 28°

C) 32°

12 Sabiendo que: sen 2x = cos 40° Calcula el valor de : E = 3 tg (x + 5°). Cotg (2x -5°) A) 1

B)

C)



D) 3

E) 6

D) 4

E) 5

D) 9

E) 11

13 Evalua la expresión K= A) 1

B) 2

C) 3

14 En la siguiente igualdad:

= cotg 37° Calcula el valor de “x” A) 1

B) 2

7 En el triángulo BAC, recto en “A”, se sabe que 3 cos C = 1; halla el valor de

A) 65 18



9 Calcula x en : sen (2x + 15°) = cos (3x + 25°)

E) 12

5 En el triángulo ACB, recto en “C”, se sabe que 7 sen B = 5, halla el valor de 4 _senA – tgAi 3 cos B A) – 15 8

B)

10 Determina el valor de x en: tg (5x – 12°). cotg (2x + 15°) = 1

4 En el triángulo ABC, recto en “B”, se sabe que 5 cos A = 3, halla el valor de

A) 6

A) 2

5 34

3 En el triángulo ACB, recto en “C”, se sabe que cotg A = 0,777 ..., halla el valor de “sen B”. 130 A) B) 9 C) 7 9 7 130 9 D) E) 130 130

8 En el triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que : cotA = . Halla el valor de: T = cosecA - tan 60°

Clave de Respuestas

C) 5

1. C 2. D 3. E 4. B 5. C

6. B 7. E 8. D 9. A 10. C

11. C 12. C 13. A 14. E

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas”

APRENDIZAJES

Comunicación matemática 1 Analiza la figura, y expresa “x”, en términos de “m” C y “α”. A) m sen α cos α B) m cotg α sen α C) m sen2 α D) m cos2 α E) m tg2 α

A) m sen α tg θ B) m tg α sen θ C) m cosec α tg θ

A

D) m cosec θ tg α E) m sec θ cotg α

D

x

E

m

a

B

2 De la figura, halla el área de la región del rectángulo ABCD, en función de “α” y “m”. A) m sen α tg α B) m cos α sen α C) m2 sen α cos α D) 2m2 cos α cotg α E) m2 tg α sec α

7 En un triángulo ABC, recto en “C”, se tiene que tg B = cos A(4 – cosec A), halla “sen A”. A)

2 2

C) 1 D) 1 2

B) –1

E)

3 2

8 En un triángulo BAC, recto en “A”, se tiene que cos B · cos C = 3/7, halla “tg B + tg C”. A) 7/3

3 Analiza el gráfico, y expresa “CD” en términos de “m”, “α” y “θ”. C

A) m sen α tg θ B) m sen α cotg α D C) m cos α cotg α D) m cos α tg α E) m cos α cos θ

B) 7/5

C) 7/4 D) 7/2

E) 3/7

9 En un triángulo BAC, recto en “A”: halla “tg B + tg C” si 5 sen B + sen C = 2 A) 4 B) 8 C) 12 D) 2 E)

5

10 En un triángulo ABC, recto en “B”, halla “tg A”; sabiendo que 3 sen A + 2 sec C = 7 B

A

m

4 Determina el perímetro del triángulo ABC. A) m (1+sen α+cos α) B) m (1+sec α+tg α) C) m (1+cosec α+cotg α) D) m (1+sec α+cosec α) E) m (1+tg α+cotg α) A

C

A)

2 2 B) C) 1 D) 4 3 2

8 E)

2 8

11 En un triángulo ABC (A = 90°), se cumple que sen B · cos C = 5 cos B Halla Q = 2 + cotg2C – 5 sec B. A) 1

B) 2

C) 3

D) 1,5

E) 2,5

m a

12 Si α + β = 90°, reduce B

5 Analiza el gráfico, y expresa BH en función de m y a. A) m sen α cos α B) m sec α cosec α C) m tg α sec α D) m cotg α a A H C E) m tg α m 6 Del gráfico calcula EC en términos de “m”; “α” y “θ”.

tg _ a + 30°i sec _2 a – b i J = 3sen a + cos b cotg _ b –30°i + cosec _2 b – a i A) 1

B) 2

Clave de Respuestas

C)3

1. C 2. C 3. A 4. C 5. A

D) 4

6. D 7. C 8. A 9. B 10. B

E) 5

11. B 12. E

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

291

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas”

Resolución de problemas 1 En un triángulo ABC, recto en “B”. Si sen A · sen C = 1 , calcula “tg A + tg C”. 8 A) 1 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 2 En un triángulo ABC, recto en C, se conoce “a” y “b”. Calcula J = tgA + tg B – sec A · sec B + 1 A) a D) 0

B) b E) a2 + b2

C) 1

ABC ,(B = 90°), se tiene que senA = 1 . 3 Calcula “sen C”. B)

2

C) 2 2 D)

2 2 3

E) 3 2

4 Si en un triángulo rectángulo ABC se sabe que un cateto es el triple del otro, calcula K = sec θ · cosec θ, si “θ” es el menor ángulo agudo de dicho triángulo. A) 2

B) 10,3 C) 10 3

D) 0,3

E) 5,2

5 En un triángulo ACB, (recto en “C”), la relación a sen A + b sen B es igual a c A) 2 sen A B) 2 sen B C) 1/c D) 1 E) ab 6 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la hipotenusa es igual a 7m y la altura relativa a la hipotenusa es igual a 3m. Halla el valor de E = sen A · sen C A) 2/7

B) 3/7

C) 4/7

D) 5/7

E) 6/7

7 En un triángulo rectángulo ABC (recto en A), calcula el valor de 2 B + sen2C E = sen 2 tg B – cosec2C

A) 2

B) 1

C) 0

A) 15°

D) –1

E) –2

B) 20°

A) 4°

292

B) 6°

C) 8°

D) 12°

E) 16°

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

D) 36°

E) 37°

Calcula el valor de R = 5tgA + 3tgB. B) 5

C) 8

D) 9

E) 12

11 Si: sen x – cos 2y = 0...........................(1) cos x · sec (3y – 10°) = 1.................(2) halla “x + y”. A) 60°

B) 70°

C) 80°

D) 50°

E) 40°

12 Apartir de la figura, calcula el valor de “tg θ” A) B) C) D) E)

/2 /3 /6 /9

13 Del gráfico, halla el valor de “cotg a” A) 3 B) 4 C) 5 D) E) 14 Según el gráfico, determine el valor de: K = sec 2 a + cosec a A) 10 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4

8 Si se cumple que: sen [(a – b) + x – 4°] · cosec [5x – (b – a) – 36°] = 1 halla el valor de “x”.

C) 14°

10 En un triángulo retángulo ABC, recto en C, se cumple que 5 sen A – 3 sen B = sec A – cosec B

A) 4

3 En un

A) 3

APRENDIZAJES

9 En la expresión 1 , “x” es igual a cotg a 5x – 96° k = 2 cotg a 4x k 3

Clave de Respuestas

1. C 2. C 3. D 4. C 5. D

6. B 7. D 8. C 9. D 10. B

11. B 12. B 13. B 14. E

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

Solucionario: Razonamiento y demostración

5



1 Rpta. C 6 sen a = 0,272727…

2

Rpta. C



∴

Rpta. B 3

34

7

Rpta. D

3

Rpta. E

7

130

8 T = csc A – Tg 60° 9





Ctg A = 0,777…





Rpta. E

∴ T=0

Rpta. D 9 (2x + 15°) + (3x + 25°) = 90°

4

3

10 5x – 12° = 2x + 15°

5



∴ x = 10° Rpta. A





∴ x = 9° Rpta. C

8 4 Rpta. B

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

293

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

11 (2x + 15°) + y + 23° = 90°

2x + y = 52°…Œ



x – 10° = y – 2°



x = 20°

∧

m Sen a = AB



m Cos a = BC

A

x – y = 8º…

= AB . BC

A = m2 Sen a . Cos a

De Œ ∧ 





∴ x + y = 32° 12 2x + 40° = 90° ® x = 25°

E = 3 Tg (x + 5°). Ctg(2x – 5°)



E = 3 Tg30° . ctg 45°



Rpta. C

C

3 mtg q = BC

y= 12°



D

Rpta. C

CD = mSena . Tg q A B m Rpta. A 4



∴

Rpta. C

13

Rpta. C 5



2p = m (1 + Csc a + Ctg a)

∴ K = 1 Rpta. A

14

x+ 1 = 4/3 (x – 2)



∴ x = 11 Rpta. E

BH = m Sen a . Cos a Rpta. A 6

Solucionario: Comunicación matemática C

1



AD = x Csc a D

x

E

A

2

294

x = m Sen2 a







m





B

Rpta. C

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche



EC = m Tg a . csc q Rpta. D

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

7

10 3 Sen A + 2 Sec C = 7



3a2 + 2b2 = 7 ab 3a2 – 7ab + 2b2 = 0

(3a – b) (a – 2b) = 0



Tg B = cos A (4 – Csc A)



b = 3a



Ctg A = cos A (4 – Cos a)



a = 2b





∴



1 = 4 Sen A – 1



Rpta. C

Rpta. B



11 Sen B . Cos C = 5 C0s B

8 b2=5ac







Q = 2 + Ctg2C – 5 Sec B





Rpta. A Q=2 Rpta. B

9

12 a + b= 90° (complementarios)

4a2 + 8bc = 5a2



∴ J = 5 Rpta. E



∴





Tg B + Tg C = 8

Rpta. B

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

295

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Solucionario: Resolución de problemas 6 E = SenA . Sen C

1









7

a 3 c

Rpta. B Tg A + Tg C = 8

Rpta. C

7

2 1 = tg A + Tg B – Sec a Sec B + 1



E = -1 Rpta. D

J = 1 Rpta. C

8 Sen [(a – b) + x – 4] . Csc [5 X – (b - a ) – 36] = 1

3



a – b + x – 4 = 5x – b + a – 36

x = 8° Rpta. C



9

Rpta. D 4 K = Sec q . Csc q



23 x = 828°

x = 36° Rpta. D

5

10a

a

3a



















Rpta. C



Rpta. D

296

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

10 5 Sen A – 3 Sen B = Sec A – Csc B

13 En el



a=3



∴ R = 8 Rpta. C



cos x . Sec (3y – 10) = 1



x = 3y – 10…. 5y = 100



Y = 20°

ABCD es un cuadrado



AB = CD = 4 ∧ NC = 1

14 2 a = 60° a = 30°



K = Sec 60° + Cosec 30°



K=2+2=4

Rpta. E

Reemplazando  en Œ





11 Sen x = Cos 2y x + 2y = 90°…Œ

AB = 4 ∧ BN = 3

Rpta. B

b=5





Ctg a = 4

R = 5tg A + 3 tg B



ABN

En  : x = 50°

∴ x + y = 70°

Rpta. B

12



Se traza MN y se forma el



MC = BM = 2



En el

de 30° y 60°

ABC:



En el

ABM:

Rpta. B

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

297

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se tiene que a = 1 y b = 2. Calcula las 6 razones trigonométricas del ángulo A.

2 En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°) se sabe que sen A = 5/13, evalúa la expresión E = sec A – tg A

E = sec A - tg A





csc A = 2

3 Si se cumple que: tg (3x – 5°) = cotg (x + 15°) cos (2y – 5°) . sec (y + 20°) = 1 evalúa el valor de tg (x + y) i) 3x – 5° + x + 15° = 90°

x = 20°

ii) 2y – 5° = y + 20°

y = 25°

∴ Tg (x + y) = Tg 45°

298

=1

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

4 Sabiendo que: F(x) = sen (x – 20°) + cos2(x + 10°) Evalúa F (50°) F(50°) = sen (50° - 20°) + cos2 (20° + 10°) F(50°) = sen 30° + cos2 30°

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Comunicación matemática 1 De la figura, halla “x” en términos de “β” y “a”. A

2 Analizar el gráfico y expresar “x” en términos de aya C

b

x M

H

a

x

B

a

A

C

i) BM es mediana

i) En el

⇒ AM = MC = x



ii) AC = a csc b

ii) En el

2x = a csc b



a

B

BHC

HB = a cos a AHB

∴ x = a cos a . ctg a

∴

3 En un triángulo ABC, recto en C, se cumple que : 5 cos A + 4 cosec B = 9. Calcula el valor de K = 3 cotg A – 4

4 Analiza el gráfico y calcula el valor de: K = tg a + tg 30°

1

i) 5 cos A + 4 csc B = 9

k = tg a + tg 30°



5b2 - 9bc + 4c2 = 0

5b

- 4c



b

-c





∴ k = 1

5b = 4c

ii) k = 3 ctg A - 4 ∴ k = 0

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

299

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Resolución de problemas 1 En un triángulo retangulo se sabe que la tangente del menor ángulo es igual a 0,75. Si el perímetro del triángulo es de 120 cm, calcula el área de dicho triángulo.

2 En un triángulo retángulo ABC, recto en C, se cumple que a + b = 17 . a–b 7 Calcula E = cotg A + sec B.

tg a = 0, 75

i) 12k = 120 ® k = 10 cm ii) A

=

A

= 600 cm2

» »

E = ctg A + sec B



3 Hallar el valor de la expresión:

4 Según el gráfico, determina el valor de x en términos de R y θ

K=

i) OC = R . csc q k=2

i) x = R csc q - R

300

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

x = R (csc q - 1)

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Demostrando responsabilidad desarrollo los siguientes ejercicios entre los demas” ." 1 Halla las seis razones trigonométricas del ángulo α.

PARA LA CLASE

2 Halla las seis razones trigonométricas del ángulo β.

sen a = -5/3 cos a = 12/13

cos b = -3/4

tg a = -5/12 ctg a = -12/5 sec a = 13/12 csc a = -13/5

sec b = -4/3

Si P(– 2; 2) es un punto del lado final del ángulo φ en posición normal, calcula sen f sec f J = tg + cotg f f 3

i) x = -2

4 El lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es “θ“ pasa por (–24; –7). Halla E = 5senq + 12tgq. i) x = -24

y=2

y = -7





ii) E = 5 sen q + 12 tg q

ii) ∴ E = 2,1



Rpta.

5 Del gráfico calcula 5 senα +13 cosβ.

Rpta.

2,1

Rpta.

-2

6 De la figura halla: tgθ + cotgθ.

i) Para “a”

x = -3



y=4



r=5

⇒ sen a = 4/5 ii) Para “b”: x = -5 ; y = -12

tg q + ctg q = -1 + -1



= -2

r = 13 ® cos b = -5/13

Luego:

5 sen a + 13 cos b = 1

Rpta.

-1

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

301

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

8 Si secq = – 1, ! 6 ; calcula

7 Si tgα = 1,5; aÎQ3, calcular K = 13cosecα+ 1 cotgα 2

4 cosec q –3tg q

A= i)

i) a ∈ Q3

ii) q ∈ Q2

∴ A = 3

E = -4 Rpta.

Rpta.

-4

10 Si sen q = 1 Ù q Î Q2; calcula el valor de 3 M = tgq – secq

9 Del gráfico mostrado, halla F = 25(sena + cosa)+7 tga

i) ii) q ∈ Q2



F = -7 Rpta.

Rpta.

-7 12 Si se cumple que

11 Si seca = 5 y tga > 0, halla 2(tga + ctga).



, calcula

i)

P = cosθ - senθ

ii) tg a > 0

i)

⇒ a ∈ Q1

ii) q ∈ Q3

iii) 2(tg a + ctg a) =



=5

∴ Rpta.

302

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

5

Rpta.

3

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas” 1 A partir del gráfico, calcula las 6 razones trigonométricas del ángulo a

PARA LA CASA

2 Siendo P(2, -1) un punto del lado final de un ángulo q en posición normal, calcula: E = 2 sec2θ + tgθ i) P(2;-1) ® x = 2 y = -1 ii) q ∈ Q4

sen a = 4/5 ctg a = -3/4 cos a = -3/5

sec a = -5/3



tg a = -4/3 csc a = 5/4



E=2 2

Rpta. 3 De la figura, halla el valor de K = coseca + cotga

4 Siendo: seca = -

; a∈IIC

Calcula: P = 3 sena + cotga

13 i)

ii) a ∈ II c

k = csc a + ctg a

P = 3 sen a + ctg a



k = 0,2 Rpta.

0,2

5 Según el gráfico, halla el valor de: U = tga + cotga

Rpta. 6

-

De la figura, calcula: M = cosa . cosecβ

M = cos a . csc b

U = 5/2 Rpta.

5/2

Rpta.

2

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

303

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Demostrando responsabilidad desarrollo los siguientes ejercicios ." entre los demas”

PARA LA CLASE

1 Calcula el valor de

2 Determina el valor de:



B=

A=

A = -1 ∴ B = 1 Rpta.

-1

3 Reduce la expresión 2

Rpta.

1

4 Calcula x en 2 – cos 180°sen270° + x cos 0° = –1 sec 180° – sen90° + cos 90°

2

_a + bi cos 0° + _a – bi cos 180° S= _a sec 180°i_b cosec 270°i



1+x=2 x=1

∴ S = 4

Rpta.

4

5 Sabiendo que: a∈IIC y β∈IVC, determina el signo de la expresión:

Rpta. 6 Si se cumple que: secθ<0 y cosecθ >0 Halla el signo de la expresión

K= i) a ∈ IIc ∧ b ∈ IVc

E= i) sec q < 0 ∧ csc q > 0



1

II c ó IIIc

Ic ó IIc

Luego q ∈ IIc

k = (+)

ii)

Rpta.

304

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

(+)

∴ E = (+)

Rpta.

(+)

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

7 Indica el signo de cada una de las siguientes expresiones:

x = tg

A = sen160° cos 300° = tg200°

sen

» »

x = (-) (-)

A = (+)

B=

8 Si a Î Q3 ; b Î Q4 , indica el signo de los siguientes productos:

x = (+)

tg210° cotg290° = cos 100°

y = cos

»

»

. tg

y = (+) (-)

B = (+)

y = (-) Rpta.

(+) ; (+)

9 De los siguientes valores indica aquellos que NO pueden ser posibles que tome una razón trigonométrica. I. sena =

2 ® No (-1 ≤ sen ≤ 1)

Rpta.

10 Determina entre qué valores se halla comprendido “a” para que se cumpla que: sen θ =

II. tgb = 2014 III. cosq =



3 –2



IV. secf= 2 ® No (sec ∈ <-∞;-1>U<1;∞>) 5



V. cosecf = –10

∴ Rpta.

I ; IV

11 Si: tg2a - 2 tga + 3a = 0 determina entre qué valores se halla comprendido “a”. i) tg2

a - 2 tg a + 3a = 0

Rpta.

[- 2 ; 5]

12 Determina la extensión de la expresión: E = 5 sena - 3 cos2β ; a ≠ β i) ... Œ

(tg a - 1)2 = 1 - 3a







ii) 1 - 3a ≥ 0

iii) Sumando Œ con 

ii) ... 



∴

(+) ; (-)

∴ Rpta.

Rpta.

[- 8 ; 5]

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

305

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas”

2 Halla a si b

1 Calcula el valor de:

PARA LA CASA

M=

M=2



- a - b = 2a



- b = 3a

∴

Rpta. 3 Indica el signo de la expresión

-

Rpta.

2

4 Si: sena < 0 y cotga > 0, determina el signo de la expresión:

A=



K= i) sen a < 0 ® a ∈ III ó IV ctg a > 0 ® a ∈ I ó III

A = (-)

ii)

Rpta.

k = (+)

(-)

5 Si sena = x + 2 , halla la suma del mínimo y el 7 máximo valor que puede tomar x para que sena exista.

Rpta.

(+)

6 Halla los límites entre los cuales varía la expresión: E = 4 sen2a + 5 cos3β ; a≠β i) 0 ≤ sen2 a ≤ 1







0 ≤ 4 sen2 a ≤ 4 ...Œ

ii) -1 ≤ cos3 b ≤ 1

⇒



∴ Máx = 5 ∧ min = -9

-5 ≤ 4 sen2 a ≤ 4 ...

iii) Sumando Œ con 

∴ Suma = -4

Rpta.

306

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

–4

∴

Rpta.

[- 5 ; 9]

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta tu cometido." entre lograr los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 Siendo A(–2 ; 1) un punto del lado final de un ángulo “α” en posición normal, evalua la expresión. E = sen α – 2 cos α. A)

3

B)

5

C) 2 2

D) 3 5

E) 4 3

2 El punto P(–4 ; –3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “θ”. Halla M = sec θ · cosec θ – 2 A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 4 2 8 9 12 3 Del gráfico, calcular el valor de “tg α”. A) –2 y B) – 1 2 C) 1

B) 1,3

C) 1,4

D) 1,5

E) 1,6

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

! 10 Si cotg α = – 1,3 ; α ∈ IIC, calcula K = sec α + tg α.

11 Si: tg α = – 5 , α ∈ IVC, calcula “sec α”. A)

2

B)

3 C)

6 D)

7

E) 2 2

P=

x a

A) –1

B(–1; –2)

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

13 Halla el valor de “x” en 2x + sec 180° = 1 x–sen270°

4 Siendo sec α = – 13 ; α ∈ IIC , calcula 5 E = cosec α + cotg α A) 1 3

A) 1,2

12 Evalua la expresión:

O

D) 1 2 E) 2

9 Siendo A(–15 ; 8) un punto del lado final de un ángulo “φ” en posición normal, calcula P = sen φ – sec φ.

A) 0

B) 2 C) 5 D) 3 E) 4 5 3 3 2

5 A partir del gráfico, halla el valor de: y U = 13 sen α · sen β A) 4 B) 5 O C) 6 D) 7 A(–2; –3) E) 8

B) 1

B(3; –2)

6 Sabiendo que: sena ; a∈IIC ; evaluar la expresión

D) 3

E) 4

14 Sabiendo que α ∈ IIIC y β ∈ IVC, halla el signo de la expresión sen a + tg b E = cotg a – cosec b A) (+) D) Absurdo

x

C) 2

B) ( – ) C) ( + ) o ( – ) E) Falta información

15 Evalua la expresión: E = (a + 1) sen x + (b + 1) cos2x + (a + b) tg Para x = 90°. A) a

B) b

C) a –b

D) 2a

E) 2b

U = 3 tga - 5 cosa A) - 12 B) - 4 C) - 1

D) 0

E) 1

7 Siendo tgθ = 5/12 ; θ∈IIIC Evalua la expresión: M = cosecθ + cotgθ A) - 1/5 B) - 1/10 C) - 1

D) 1/2

E) 4/13

D) 12

E) 15

8 Si (tg x)tg x = 4 ; x ∈ IIIC , calcula E = 4 sec x · cosec x A) 5

B) 8

C) 10

Clave de Respuestas

1. B 2. E 3. E 4. B 5. C

6. C 7. A 8. C 9. E 10. A

11. C 12. C 13. C 14. B 15.D

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

307

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." entre los demas”

APLICO MIS APRENDIZAJES

Comunicación matemática 1 Analiza la figura y determina el valor de “cotg θ”. y

B) 1/2

A

C) 0

B(24; y)

D) - 1

25 O A) – 7 24

E) - 2 x

B) – 24 C) 7 D) 24 E) 25 7 7 24 24

C) 2 D) 3 E) 4

C) 3 2 D) 4 2 O

7 Analiza la figura y calcula el valor de la expresión F = tga + sec (a - b) A) 0 B) 1

2 Analiza el gráfico y calcula el valor de: A = sec α · cosec β y A) 2 P(1; 3) Q(–2; 1) B) 2 2

E) 5 2

A) 1

x

3 Analiza el gráfico y calcula el valor halla: E = tg α – cotg β. B y 2 4 A) B) 5 3 A(3; 1) C) 4 D) 2 5 3 E) 1 O x 6 4 Analiza en qué cuadrante (s) es negativa la expresión E = cos x . cosec x A) IC y IIC D) II C y IV C B) II C y III C E) I C y III C C) III C y IV C

8 Analiza la expresión: Sen q=

y determina los límites entre los

cuales se encuentra “a” A) - 3 ≤ a ≤ 2 D) - 4 ≤ a ≤ 1 B) - 3 ≤ a ≤ 4 E) 1 ≤ a ≤ 3 C) - 2 ≤ a ≤ 3 9 Sabiendo que: cosecθ = 2a – 3; analizar cual de los siguientes valores no admite “a” A) 5

B)



C) 2

D)



10 Analiza a qué cuadrante pertenece el ángulo “q” si la expresión E=sen q . cos q, es positivo. A) IC y IIC B) II C y IV C C) I C y III C

D) I C y IV C E) II C y III C

5 Sabiendo que θ∈IIC, analizar el signo que admite la expresión A= A) (+) D) Falta informe B) (-) E) Absurdo. C) (+) ó (-) 6 Analiza el gráfico y determina el valor de la expresión M = tg a . tg β

308

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

E) 1

Clave de Respuestas

1. B 2. E 3. D 4. D

5. B 6. D 7. D 8. A

9. B 10. C

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, no tienes que detenerte hasta lograr tu cometido." entre los demas”

APRENDIZAJES

Resolución de problemas 1 Del gráfico ; calcula el valor de E = tga . cotgβ A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

7 Reduce la expresión: 2

senx +

P=

cos (x + 90°)

para x = 90° A) - 3ab B) ab

C) 2b

D) 3ab

E) 3

D) 1

E) 2

8 Si. F(x) = senx + cosx + tgx Calcular F(0) + F (π) A) - 2 B) - 1

2 A partir de la figura calcula el valor de tga. A) - 2/3 B) - 3/2 C) - 3 D) - 2 E) - 1 3 Siendo P (- ; 1) un punto del lado final de un ángulo en posición normal, halla el valor de: E = coseca + cotga A)

–

B)

– 1

D) E)

C) 0

9 Calcula el valor de M = sen (cos 90°) + cos (sen 180°) A) 0

B)

C) 2

D) 4

E) 5

10 Si se cumple que: ; θ∈IIIC Calcula: J = secθ + cosecθ A) -

B) -

C)

D)

E)

+ 11 A partir del gráfico, halla el valor de: K=tg a + cotg b.

+

C) 2 – 4 Sean dos vértices opuestos de un cuadrado ABCD los puntos A (2 ; 5) y C (– 6; – 3). Calcula la suma de las tangentes de los ángulos en posición normal cuyos lados finales contienen los vértices del cuadrado. A) B) C)

D)2

A) 4

B) 3

C) 2

D) 1

E)

E) 3

5 Si cotg θ = 2,4 y cos θ < 0, calcula el valor de sec q – tg q P = cosec – cotg q q A) 0,1

B) 0,2

C) 0,3

D) 0,4

E) 0,5

6 Si “tg α” y “sec β” son raíces de la ecuación x2 + x – 2 = 0, tal que α ∈ Q1 y β ∈ Q2, calcula K = 6 sena · cosecb A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

Clave de Respuestas

1. C 2. A 3. C 4. C

5. C 6. B 7. A 8. C

9. B 10. A 11. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

309

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Solucionario: Razonamiento y demostración

5

1 5

1

O



E =Sen a - 2Cos a











U= 13Sen a . Sen b











U= 6















Rpta. C

Rpta. B

2

6 5

U= 3Tg a - 5 Ctg a 4



P(-4;-3)

5

U= -1

3

Rpta. C



7



3

















Rpta. E

5



Tg a = 2

13

M= Csc q + Ctg q

12

∴

Rpta. A ; x ∈ III c

8

Rpta. E

13

12





E= 4Sec x . Csc x

5

2

x 1

∴

® ∴ E = 10

Rpta. C

9 A=(-15; 8)

O



310

® Tg x=2



4 E=Csc a + Ctg a





x= -15 ; y = 8 ∧ r = 17

P=Sen f - Sec f



















Rpta. B

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche



∴ P=1,6 Rpta. E

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

10

; x = 90°

15

5

3

4



a

®

II C

∴ E= 2a Rpta. D

Solucionario: Comunicación matemática 1



∴ k = - 2 Rpta. A ; a ∈ IV c

11

6

5





∴

Rpta. B

2 1 Rpta. C

∴

12





∴ P= 1 Rpta. C



Rpta. E B

y

= 1

∴

A(1; 3)

x = 2 Rpta. C

14 a ∈ III C ;

b ∈ IV C

O

x

E=Tg a - Ctg b



∴

3

13



A = Sec a . Csc b

∴ E= (-) Rpta. B



∴

Rpta. D



Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

311

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

4 E = Cosx . Cscx

®

E= (-)

9

Cos x : (-) ∧ Csc x : (+)



II C

x



Cos x : (+) ∧ Csc x : (-)



x



∴ x



IV C

5 q II C

II C

IV C

Rpta. D

∴ No admite :

Rpta. B

10

∧

®



Sen q : (+) ∧ Cos q: (+)



q

IC



A = (+) . (-)

Sen q : (-) ∧ Cos q: (-)



∴ A = (-) Rpta. B



q

∴ q

6

III C IC yq

III C

Rpta. C

Solucionario: Resolución de problemas 1







∴ E = 1









∴ M = -1













Rpta. C

Rpta. C 2

7



a - b = 360°



F= Tg a + Sec ( a - b)

3



F=2+1





∴ F=3 Rpta. D

8



312

∴

Rpta. A

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta. A

; y=1 ;





∴

∴

Rpta. A

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

4

7 x = 90° (-6;5)

D

C

(2;5)



∴ P = -2ab Rpta. A

8 F(x) = Sen x + Cos x +Tg x (-6;-3) A

B

(2;-3)

F(0) = Sen 0° + Cos 0° + Tg 0° = 1

F(p) = Sen p + Cos p + Tg p = -1



∴ F(0) + F(p) = 0 Rpta. C

9 Sen(Cos 90°) + Cos (Sen 180°)





∴

Rpta. C q III C

5



M = Sen 0° + Cos 0°



∴ M = 1 Rpta. B

; q

10

13

5

Rpta. C

6 x2 + x - 2 = 0

x x



Tg =1

+2 -1

a ®

IC y b

II C

∴





q















1



Rpta. A

11

∧ Sec = -2

1

1





x = 1 ∧ x = -2

1



5

2



12

∴

Tg q = 2



III C

∴ K = 2 Rpta. B



x2 = x + 2



x2 - x - 2 = 0 x -2 x +1



(x - 2) = 0 ® x = 2



(x + 1) = 0 ® x = -1 ∧



Luego : A (2; 4) ∧ B (-1; 1)



K =Tg a + Ctg b



K=2 + (-1)



∴ K=1 Rpta. D

∧ y = 4 y= 1

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

313

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 A partir del gráfico, evalua la expresión: A = 4 sena - 3 cosa

A = 4 sen a - 3 cos a

2 De la figura, evalúa la expresión: E = seca + tga

E = sec a + tg a

A=5

3 Siendo P (- 1; 3) y Q (2 ; -1) puntos pertenecientes a los lados finales de los ángulos en posición normal a y b respectivamente, calcula el valor seca . cosecb de: N = i) P(-1;13)

4 Evalúa la expresión en x = 90°

x = -1

y = 3 ⇒ ii) Q(2;-1)

x=2

y = -1 ⇒ iii)

314

N = 10

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

S(90°) = 2

S=

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Comunicación matemática 1 Analiza la expresión:

W=

2 Analiza la expresión W = sena . cosa + tga e indica en que cuadrante(s) es negativo.

e indica el signo que admite siendo a∈IIC. i) W = sen a . cos a + tg a

i) a ∈ IIc



W = (-) . (+) + (-)



W = (-)

ii) W = sen a . cos a + tg a

W = (-)



W = (+) . (-) + (-)



W = (-)

∴ IIc

3 Analiza la expresión e indica entre qué valor se halla comprendido “a” -1 ≤ cos a ≤ 1 -1 ≤

a ∈ IVc

a ∈ IIc

∧ IVc

4 Analiza la igualdad: tg2a + tga + a = 0 e indica entre que valores varía “a”. i) tg2 a + tg a + a = 0

≤1

-3 ≤ 4a - 5 ≤ 3



2 ≤ 4a ≤ 8 ∴

≤a≤2

ii) ∴

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

315

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Resolución de problemas 1 Sabiendo qué:

2 Del gráfico, calcula tga

tga < 0 y coseca = Calcula el valor de: E = sena . cosec a i) Tg a < 0 Tg a : ( - )

a

Q2

Q4

ii) Csc a =

a

∴ a

: (+)

Q1

Q2

Q2



i) Si : x = 2 en y = x2

1





E = Sen a . Csc a



3



y = 22 ® y = 4 Luego: B(-2; 4)

ii) x = - 2 ; y = 4



∴ tg a = -2 E=1

4 Simplifica la expresión:

3 Analiza la expresión <0

P = (a + b) sen 90° + (a +b) cos 180°

y determina en qué cuadrantes se encuentra θ. i)

: (+)



luego: Sen q < 0

P = a+b - a - b



® Sen q : ( - )

P=0

∴ q

316

P = (a+b)(1) + (a+b)(-1)

Q3

Q4

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

COEVALUACIÓN Nombre del evaluador: ……………………….............................................. Equipo: ………………................................................................................. INSTRUCCIONES:

En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario.

ASPECTOS A EVALUAR: 1. Su actitud fué de apoyo para la elaboración del trabajo. 2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo. 3. Cumplió con lo acordado. 4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones. 5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo.

Compañeros

Aspectos a evaluar 1

2

3

4

5

Comentarios

1. 2. 3. 4. 5. 6. aTUOEVALUACIÓN Nombre del alumno:…………………………........................................... Equipo:………………….............................................................................. INSTRUCCIONES:

N°

1. 2. 3. 4. 5.

Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación. Aspectos a evaluar

SI

NO

¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad en clase? ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo? ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo? ¿Fuí tolerante ante las ideas de mis compañeros? ¿Siento que aprendí el capítulo?

REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO:

............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 14

317

Libro de actividades - Cuarto grado de secundaria

HETEROEVALUACIÓN INSTRUCCIONES:

El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el recuadro realizando un comentario sobre tu participación.

N°

1. 2. 3. 4. 5.

Aspectos a evaluar

SI

NO

¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad? ¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo? ¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo? ¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros? ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?

REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO:

............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... METACOGNICIÓN Responde de manera personal las siguientes preguntas: 1. ¿Qué dificultades he tenido para comprender el tema? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ¿Cómo he superado estas dificultades? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 4. ¿Cómo me sentí durante el desarrollo de la clase? ............................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

318

MATEMATICA 4 | Manuel Coveñas Naquiche