Fundamentos De álgebra Lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

FUNDAMENTOS DE

ÁLGEBRA LINEAL Y

EJERCICIOS Francisco Barrera García

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

BARRERA GARCÍA, Francisco. Fundamentos de álgebra lineal y ejercicios. 2ª. ed., México, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería, 2019, 469 p.

Fundamentos de álgebra lineal y ejercicios Primera edición digital: 22 de noviembre de 2014 Segunda edición digital: 21 de agosto de 2019

D.R. © 2019, UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Av. Universidad 3000, Col. Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, Cd. Mx., México, C. P. 04510. FACULTAD DE INGENIERÍA Avenida Universidad 3000, Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán, C. P. 04510, México, Cd. Mx. http://www.ingenieria.unam.mx ISBN 978-607-30-2144-9 Prohibida la reproducción o transmisión total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales. Impreso y hecho en México. Tiraje = 1 Tamaño del documento = 50 Mb Archivo en formato PDF

UNIDAD DE APOYO EDITORIAL Corrección de estilo y cuidado de la edición: Elvia Angélica Torres Rojas Diseño de la portada: Nismet Díaz Ferro ii

PRÓLOGO A LA SEGUNDA EDICIÓN Debido a la buena aceptación que ha tenido el libro Fundamentos de Álgebra Lineal y Ejercicios por parte de alumnos y profesores, y tomando en cuenta la actualización de los planes y programas de estudio que realizó nuestra facultad en 2016, se tomó la decisión de elaborar esta segunda edición con el fin de atender los siguientes aspectos: 1) Cubrir al 100% los contenidos teóricos del programa de la asignatura Álgebra Lineal de nuestros planes y programas de estudio. 2) Ampliar y mejorar las partes teóricas, así como incrementar, de manera significativa, el número de ejercicios resueltos y propuestos, con la idea de presentar una amplia gama de posibilidades de cómo pueden ser planteados y preguntados los conceptos teóricos en cada uno de los temas tratados. 3) Se pretende también con esta segunda edición, mejorar la claridad y sencillez con que son explicados los conceptos teóricos, buscando facilitar aún más la comprensión de ellos, pero manteniendo la formalidad y el rigor matemático que caracterizó a la primera edición. 4) Asimismo, se busca atender las observaciones y sugerencias que me hicieron llegar, alumnos y profesores, con el propósito de enriquecer la obra. Aprovecho este espacio para agradecer infinitamente a todos ellos sus valiosos comentarios. Esta segunda edición consta de cinco capítulos, uno más que la edición anterior: 1) Grupos y campos, 2) Espacios vectoriales, 3) Transformaciones lineales, 4) Espacios con producto interno y 5) Operadores lineales en espacios con producto interno. En cada uno de estos capítulos se mantiene el esquema que fue utilizado en la versión anterior, es decir, se presentan los conceptos teóricos en la forma más sencilla posible, se incluyen algunos ejercicios resueltos, los cuales son explicados paso a paso y en forma detallada, con la finalidad de que los alumnos los entiendan fácilmente y asimilen cada uno de los conceptos teóricos presentados. Al final de cada capítulo, se incluye una serie de ejercicios propuestos con su respuesta, con la idea de que los estudiantes los resuelvan, reafirmen los conceptos estudiados y adquieran un aprendizaje más sólido del Álgebra Lineal. La gran mayoría de los ejercicios propuestos y resueltos que se tienen en la primera edición se han mantenido en esta segunda, solamente se hicieron algunos cambios y ajustes menores; sin embargo, lo que cambió de manera significativa, fue el número de ejercicios que fueron incluidos en esta edición. En cuanto al número de ejercicios resueltos, en la primera edición se tenían 47 y en esta segunda se presentan 103; por lo que toca al número de ejercicios propuestos, en la iii

versión anterior se tenían 49 y en esta edición se tienen 228. Se pasó de 96 ejercicios entre resueltos y propuestos en la primera edición a 331 en esta nueva versión. A pesar de que esta obra mantiene su filosofía de ser un material escrito que resulte de gran apoyo a los estudiantes que cursan la asignatura Álgebra Lineal, también se pensó en los profesores que la imparten, presentándoles un trabajo que les puede resultar muy útil en la preparación de sus clases, o bien en la conformación de las tareas que les dejen a sus alumnos. Quiero hacer patente de nueva cuenta mi agradecimiento al Ing. Gonzalo López de Haro, Secretario General de la facultad y a la Mtra. en Letras María Cuairán Ruidíaz , Jefa de la Unidad de Apoyo Editorial de nuestra facultad por todo el gran apoyo y facilidades que me brindaron durante todo el proceso de revisión y preparación de la versión final de esta obra. De igual forma quiero reiterar mi agradecimiento a la Lic. Elvia Angélica Torres Rojas por todo el trabajo realizado en la corrección de estilo y editorial de este libro, así como por su gran compromiso, su profesionalismo, su invaluable colaboración y por su siempre buena disposición al trabajo durante todo este tiempo que compartimos esta tarea. A los tres, mi más sentido agradecimiento. Agradezco infinitamente a la Srita. María Guadalupe Martínez Dávalos por todo el trabajo realizado en la captura de esta obra. Su gran dedicación y compromiso hicieron posible que este trabajo llegara a feliz término. Lupita, de nueva cuenta ¡Mil gracias! Consciente de que todo trabajo es perfectible, mucho agradeceré todas las observaciones y comentarios que tengan a bien hacerme, los usuarios de la obra, con el fin de mejorar futuras ediciones y que éstas sean de mayor utilidad. Todos sus comentarios serán siempre bien recibidos.

FRANCISCO BARRERA GRACÍA Ciudad Universitaria, Ciudad de México, agosto de 2019

iv

INTRODUCCIÓN La presente obra fue elaborada con la intención de ofrecer a los estudiantes un material escrito que les pueda facilitar el estudio y la comprensión de los conceptos fundamentales del Álgebra Lineal. La obra consta de cuatro capítulos: 1. Espacios vectoriales, 2. Transformaciones lineales, 3. Espacios con producto interno y 4. Operadores lineales en espacios con producto interno. En cada uno de estos capítulos se presentan los conceptos teóricos de la manera más sencilla posible, buscando facilitar su comprensión, pero sin perder formalidad y rigor matemático; se incluyen también ejercicios resueltos donde se explica, en forma detallada cada uno de los pasos realizados en la resolución del problema, con la finalidad de que al estudiante le resulte sencillo comprenderlos y asimile con ello más fácilmente los conceptos teóricos presentados. Al final de cada capítulo se incluye una serie de ejercicios propuestos con respuesta, con la idea de que el estudiante los resuelva, reafirme los conceptos estudiados y adquiera un aprendizaje más sólido del Álgebra Lineal. Es importante señalar que buena parte de los ejercicios resueltos y propuestos incluidos en la obra, han sido tomados o rediseñados de exámenes colegiados departamentales que fueron aplicados en nuestra Facultad desde 1980. Es necesario entonces reconocer el trabajo de muchos profesores que participaron en el diseño de tales ejercicios y que en la actualidad algunos de ellos ya no laboran en la Facultad o bien ya no se encuentran entre nosotros. A pesar de que esta obra fue elaborada pensando en proporcionar un material escrito que fuese de gran ayuda para los estudiantes que cursan la asignatura Álgebra Lineal, se considera que este trabajo puede resultar de mucha utilidad también para los profesores que la imparten como un material de apoyo para sus clases. v

A los profesores Alicia Pineda Ramírez y Juan Velázquez Torres quiero expresarles mi agradecimiento por la revisión de este trabajo, ya que con sus atinados comentarios y observaciones permitieron mejorar esta obra.

Agradezco también

profundamente a la señorita María Guadalupe Martínez Dávalos la paciencia, el esmero y todo el trabajo realizado en la captura de este libro, quien con su gran interés y entusiasmo hizo posible la culminación del mismo. ¡Mil gracias Lupita! Quiero hacer patente mi agradecimiento a la Mtra. María Cuairán Ruidíaz, Jefa de la Unidad de Apoyo Editorial de nuestra Facultad, por el apoyo y las facilidades que me brindó durante todo el proceso de revisión y preparación de la versión final de esta obra. De igual forma quiero agradecer a la Lic. Elvia Angélica Torres Rojas por todo el trabajo realizado en la corrección editorial y cuidado de la edición de este libro, así como por su profesionalismo y buena disposición durante todo el tiempo que trabajamos juntos. A las dos, mi más sentido agradecimiento. Finalmente, agradezco también al Comité Editorial de nuestra Facultad, que preside el Ing. Gonzalo López de Haro, por realizar el dictamen técnico de esta obra y dar el visto bueno para su publicación. Consciente que todo trabajo es perfectible, mucho agradeceré todas las observaciones y comentarios que tengan a bien hacerme los usuarios de la obra con el fin de mejorar futuras ediciones y que ésta sea de mayor utilidad.

FRANCISCO BARRERA GARCÍA Ciudad Universitaria, México D.F., noviembre de 2014

vi

ÍNDICE Prólogo a la Segunda edición ....................................................... iii Introducción (Primera edición) ..................................................... v CAPÍTULO 1 GRUPOS Y CAMPOS .................................................................................................. 1 Operación binaria ....................................................................................................... 3 Estructura de grupo ................................................................................................... 3 Propiedades de los grupos ......................................................................................... 4 Grupo abeliano......................................................................................................... 13 Estructura de campo ................................................................................................ 29 Ejercicios propuestos ............................................................................................... 46 Respuestas a los ejercicios resueltos ....................................................................... 52

CAPÍTULO 2 ESPACIOS VECTORIALES .......................................................................................... 55 Espacio vectorial....................................................................................................... 57 Subespacio vectorial ................................................................................................ 67 Combinación lineal ................................................................................................... 73 Dependencia lineal ................................................................................................... 77 Conjunto generador ................................................................................................. 77 Base .......................................................................................................................... 77 Dimensión ................................................................................................................ 78 Vector de coordenadas ............................................................................................ 79 Isomorfismo entre espacios vectoriales .................................................................. 93 Matriz de transición ................................................................................................. 99 Espacio renglón y espacio columna de una matriz ................................................ 110 Rango de una matriz .............................................................................................. 111 Criterio del Wronskiano ......................................................................................... 118 Ejercicios propuestos ............................................................................................. 123 Respuestas a los ejercicios resueltos ..................................................................... 138

CAPÍTULO 3 TRANSFORMACIONES LINEALES ............................................................................ 147 Transformación ...................................................................................................... 149 vii

Transformación lineal............................................................................................. 149 Recorrido y núcleo de una transformación lineal .................................................. 150 Matriz asociada a una transformación lineal ......................................................... 162 Álgebra de transformaciones lineales.................................................................... 184 Propiedades de las operaciones con transformaciones lineales ........................... 185 Propiedades de la adición y la multiplicación por un escalar ................................ 185 Propiedades de la composición de transformaciones lineales .............................. 185 Transformaciones lineales inyectivas, suprayectivas y biyectivas ......................... 192 Inversa de una transformación lineal .................................................................... 192 Propiedades de la transformación inversa ............................................................ 193 2 2 Efectos geométricos de las transformaciones lineales de en ................. 202 Valores y vectores característicos (valores y vectores propios) ............................ 211 Propiedades de los valores y vectores característicos ........................................... 212 Espacio característico ............................................................................................. 212 Matrices similares .................................................................................................. 227 Propiedades de las matrices similares ................................................................... 227 Diagonalización ...................................................................................................... 228 Ejercicios propuestos ............................................................................................. 246 Respuestas a los ejercicios resueltos ..................................................................... 268

CAPÍTULO 4 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO..................................................................... 285 Producto interno .................................................................................................... 287 Propiedades del producto interno ......................................................................... 287 Norma de un vector ............................................................................................... 295 Propiedades de la norma ....................................................................................... 295 Vectores unitarios .................................................................................................. 296 Desigualdad de Cauchy – Schwarz ......................................................................... 296 Distancia entre vectores ........................................................................................ 296 Propiedades de la distancia entre vectores ........................................................... 297 Ángulo entre vectores ............................................................................................ 297 Vectores ortogonales ............................................................................................. 298 Conjuntos ortogonales y ortonormales ................................................................. 307 Coordenadas de un vector con respecto a una base ortogonal y respecto a una base ortonormal ...................................................................................... 307 Proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt .................................................... 308 Complemento ortogonal ........................................................................................ 319 Proyección de un vector sobre un subespacio ...................................................... 319 viii

Teorema de proyección ......................................................................................... 320 Mínimos cuadrados ................................................................................................ 344 Ejercicios propuestos ............................................................................................. 355 Respuestas a los ejercicios resueltos ..................................................................... 371

CAPÍTULO 5 OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO .......................... 379 Adjunto de un operador ......................................................................................... 381 Propiedades del operador adjunto ........................................................................ 381 Operador normal.................................................................................................... 388 Propiedades de los operadores normales ............................................................. 388 Operadores hermitianos, antihermitianos, simétricos y antisimétricos ............... 393 Propiedades de los operadores hermitianos, simétricos, antihermitianos y antisimétricos.................................................................................................. 394 Operadores ortogonales y unitarios ...................................................................... 403 Propiedades de los operadores unitarios y ortogonales ....................................... 404 Teorema espectral ................................................................................................. 411 Formas cuádricas.................................................................................................... 429 Ejercicios propuestos ............................................................................................. 447 Respuestas a los ejercicios resueltos ..................................................................... 460 BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................... 469

ix

CAPÍTULO 1 GRUPOS Y CAMPOS

GRUPOS Y CAMPOS

Operación binaria Una operación binaria definida en un conjunto no vacío A , es una regla o criterio que asigna a cada par ordenado de elementos de A , un único elemento llamado resultado, que puede o no pertenecer al mismo conjunto A .

Estructura de grupo

Sea A un conjunto no vacío y sea  una operación binaria definida en A . Se dice que el sistema

( A,  )

tiene estructura de grupo si se cumplen los siguientes

axiomas: 1) Cerradura:

 a, b  A

( a b )

A

2) Asociatividad:

 a, b, c  A a(b c

)=( a b )c

3) Existencia del elemento idéntico:

 aA;  e  A

ae = ea = a

4) Existencia de elementos inversos:

 aA;

i  A

ai = ia = e

Si alguno de los axiomas no se cumple, entonces el sistema estructura de grupo.

3

( A,  )

no tendrá

GRUPOS Y CAMPOS

Propiedades de los grupos Sea

( A ,  ) un grupo

1) Cancelación:



a, b, c  A

si

ab = ac  b = c

si

ba = ca  b = c

2) Si e es idéntico izquierdo para  , entonces e es el idéntico del grupo. 3) El elemento idéntico de un grupo es único. 4) Si a

−1

es el inverso izquierdo de a  A , entonces a

−1

5) El elemento inverso de cada elemento de A es único. 6) Si a

−1

es el inverso de a  A , entonces

7) Si a , b  A , entonces 8) Si a 1 , a 2 ,

(a

1

 a2 

( ab )

−1

(a ) −1

−1

= a.

= b −1  a −1

, a n  A , entonces:

 an )

−1

−1

= an 

−1

−1

 a 2  a1

9) Si a , b  A , entonces cada una de las ecuaciones:

ax = b ya = b tiene solución única, donde x , y  A.

4

es el inverso de a .

GRUPOS Y CAMPOS

Ejercicio 1.1 Sean el conjunto F =

a +

 y la operación binaria

a 

2



definida por:

(a+

2

)  (b+

2

(

Determine si el sistema

) = ( a+b) +

2

 a+

;

2 , b+

2  F

F ,  ) tiene estructura de grupo.

SOLUCIÓN: Determinemos si la operación binaria  cumple con los cuatro axiomas de grupo. 1) Cerradura

 a+

2 ,

(a+

)  (b+

2

b+

2  F

2

) = ( a+b) +

2  F

( a+b )

dado que



.

2) Asociatividad

 a+

(

 a+ 

2 , b+ 2

2 , c+

)  (b+

2

2  F

)   ( c +

)=(a+

2

2

)   ( b +

)  (c+

2

2

) 

aplicando  dentro de los corchetes, tenemos:

( a+b+

2

)



(a+b+c)

(c+ +

2

) = (a+ =

2



2

)  (b +c +

(a+b+c)

+

2

)

2

cumple

3) Existencia del elemento idéntico

 a+

2 F ; e+

2 F

(a +

) (

2  e+

2

) = (e +

) (

2  a+

2

) = a+

Dado que no se sabe si la operación  es conmutativa, entonces se tienen que obtener los elementos idénticos derecho e izquierdo y si ambos existen y son iguales, entonces se podrá concluir que el elemento idéntico existe. 5

2

GRUPOS Y CAMPOS

Idéntico derecho:

(a+

)  (e+

2

) = a+

2

( a +e) +

2

= a+

2

2

La igualdad se cumple si e = 0, por lo que el idéntico derecho es:

e+

2 = 0+



2 F

existe

Idéntico izquierdo:

(e+

)(a +

2

) = a+

2

(e+a) +

2

= a+

2

2



e=0

de donde, el idéntico izquierdo es:

e+

2 = 0+

2  F



existe

Dado que ambos elementos idénticos existen y son iguales, entonces podemos concluir que el elemento idéntico existe en el conjunto F y es igual a 0 +

2.

4) Existencia de elementos inversos De igual forma al caso del elemento idéntico, para el caso de los elementos inversos, se tienen también inversos izquierdos y derechos, si ambos existen y son iguales, entonces podemos concluir que los elementos inversos existen en el conjunto F . Inversos izquierdos:

(i+

2

) ( a +

(i

+a

)

2

+

)

2

= e+

2

= 0+

2

Para que la igualdad se cumpla i = − a , con lo cual el inverso izquierdo es de la forma:

i+

2 = −a +

2  F 6



existe

GRUPOS Y CAMPOS

Inversos derechos:

( a+

2

)( i +

2

)

(

a +i ) +

2

= e+

2

= 0+

2

De donde i = − a para que la igualdad se cumpla, por lo que el inverso derecho es de la forma:

i+

2

= −a +

2  F



existe

Como ambos elementos inversos existen y son iguales, entonces podemos concluir que los elementos inversos existen en el conjunto F y son de la forma − a +

2.

Dado que se cumplieron los cuatro axiomas, entonces podemos afirmar que el sistema

( F,  )

tiene estructura de grupo.

Ejercicio 1.2 Sea el sistema

(

, 

)

donde

es el conjunto de los números

racionales y la operación binaria  está definida por:

a  b = a + b + ab ; Determine si el sistema

,

 a, b 

tiene estructura de grupo:

SOLUCIÓN: 1) Cerradura

 a, b 

( a  b)



( a + b + ab )



Dado que la adición y la multiplicación de racionales son cerradas.

 cumple

7

GRUPOS Y CAMPOS

2) Asociatividad

 a, b, c  a (b  c)

(ab)c

=

a  ( b + c + bc ) =

( a + b + ab )

c

aplicando  en ambos lados de la igualdad, tenemos:

a + ( b+c+bc ) + a ( b+c+bc ) =

( a+b+ab ) + c + ( a+b+ab ) c

a + b + c + bc + ab + a c + abc = a + b + ab + c + a c + bc + abc ordenando términos:

a + b + c + ab + ac + bc + abc = a + b + c + ab + ac + bc + abc Como la igualdad se cumple, entonces el axioma de la asociatividad se cumple. 3) Elemento idéntico

 a 

;  e

ae=ea=a

Idéntico derecho:

ae = a a + e + ae = a e + ae = 0 e( 1+ a

 e=0 Idéntico izquierdo:

)=0 

existe

ea = a e + a + ea = a e + ea = 0 e( 1+ a

 e=0 

)=0 

8

existe

GRUPOS Y CAMPOS

Como ambos idénticos existen y son iguales, entonces el elemento idéntico existe . en 4) Elementos inversos

a 

;  i

ai = ia = e

Inversos derechos:

ai =e a + i + ai = 0 i + ai = − a i ( 1+ a

)

= −a

i =

−a 1+ a

Como se puede apreciar, para a = −1 no existe su correspondiente inverso, lo que implica que no existen inversos para todos los elementos de

, por lo tanto, el

axioma de la existencia de los elementos inversos para todos los elementos del ,  ) no tiene conjunto no se cumple, con lo cual se concluye que el sistema ( estructura de grupo.

Ejercicio 1.3 Sean el conjunto E = por:

e

x1

Determine si el sistema

(

e

x2

E, 

= e

)

 ex

x1 + x 2

x ;  e

 x1

y la operación binaria  definida

, e

x2

 E

tiene estructura de grupo.

SOLUCIÓN: 1) Cerradura

 e

x1

, e

(e

x2

x1

 E

e e

x2

x1 + x 2

)E  E

Dado que la suma de enteros es un número entero. 9

GRUPOS Y CAMPOS

2) Asociatividad

 e

x1

, e

x2

, e

x3

 E

e

x1



(e e

x2

x1

e

 e e

x3

)=(e

x2 + x3

x1 + x 2 + x 3



= e

x1

e

x1 + x 2

= e

x2

 e

) e

x3

x3

x1 + x 2 + x 3

cumple

3) Elemento idéntico

 e x  E ;  eu  E

e x  eu = eu  e x = e x

Idéntico derecho:

 ex  E ;  eu  E

ex  eu = ex e x  eu = e x e x+ u = e x

Para que la igualdad se cumpla, se tiene que:

u=0



eu = e0  E



existe

Idéntico izquierdo:

 e x  E ;  eu  E

eu  e x = e x

eu  e x = e x e u+ x = e x



eu = e 0  E





u=0 existe

Dado que ambos idénticos existen y son iguales, entonces el elemento idéntico existe. 4) Elementos inversos

 e x  E ;  e w  E e x  e w = e w  e x = eu

10

GRUPOS Y CAMPOS

Inversos derechos:

e x  e w = eu e x+w = e 0 de donde

w = −x

entonces



e w = e −x  E

existen

Inversos izquierdos:

e w  e x = eu ew+ x = e0 entonces





e w = e −x  E

w = −x existen

Como ambos elementos inversos existen y son iguales, entonces podemos concluir que los elementos inversos existen en el conjunto E y, por lo tanto, el sistema

(

E, 

)

tiene estructura de grupo.

Ejercicio 1.4 Sea el conjunto H =  a , b , c



y sea la operación binaria

definida por:

a b c Si se sabe que la operación

a a b c

b b c a

c c a b

es asociativa, determine si el sistema

(

H,

) tiene

estructura de grupo. SOLUCIÓN: 1) Cerradura Para comprobar que este axioma se cumple, sería necesario plantear todas las operaciones posibles con los elementos del conjunto H tomados de dos en dos y verificar que todos los resultados obtenidos pertenezcan al mismo conjunto H . 11

GRUPOS Y CAMPOS

Lo anterior se puede comprobar fácilmente, si al observar la tabla que define a la operación, todos los resultados obtenidos pertenecen al mismo conjunto. Dado que esta condición sí se cumple para , entonces podemos concluir que la operación es cerrada. 2) Asociatividad Dado que en el enunciado del ejercicio se dice que la operación entonces ya no es necesario hacer la demostración.

es asociativa,

3) Elemento idéntico Para obtener el elemento idéntico del conjunto H , es necesario identificar cuál de los elementos del conjunto tiene la característica de que al ser operado con otro elemento del conjunto H , da por resultado ese otro elemento. Al observar la tabla que define a la operación

, nos damos cuenta que el

elemento idéntico resulta ser " a " , pues:

a

a = a

a

b = b

a = b

a

c = c

a = c

4) Elementos inversos Para obtener el inverso de cada uno de los elementos del conjunto H , se debe buscar aquel elemento que, operado con el elemento elegido, dé por resultado el elemento idéntico. De esta forma se tiene que:

a

a = a  que a es el inverso de a

b

c = a  que c es el inverso de b

c

b = a  que b es el inverso de c

Con lo cual todos los elementos de H tienen su correspondiente inverso. Dado que se cumplen los cuatro axiomas, entonces el sistema estructura de grupo. 12

( H,

) tiene

GRUPOS Y CAMPOS

Grupo abeliano

Un sistema

(

A ,  ) tiene estructura de grupo abeliano si se cumplen los siguientes

axiomas: 1) Cerradura. 2) Asociatividad. 3) Elemento idéntico. 4) Elementos inversos. 5) Conmutatividad.

Ejercicio 1.5 Sean el conjunto B =

5

a

a



y sea la operación binaria 

definida por:

5 a  5 b = 5 a + b +1 ; Determine si el sistema

( B,

 5a , 5b  B

 ) tiene estructura de grupo abeliano:

SOLUCIÓN: 1) Cerradura

 5a , 5b  B

(5

a

 5b

)

 B

5 a + b +1  B Dado que la adición de números reales es cerrada.

2) Asociatividad



5a , 5b , 5c  B

(

5a  5b  5c

)=(5 13

a

 5b

) 5

c

GRUPOS Y CAMPOS

5 a  5 b + c +1 = 5 a + b +1  5 c 5 a+b+ c + 2 = 5 a+b+ c + 2

 cumple 3) Conmutatividad De acuerdo con la definición de grupo abeliano, el tercer axioma que debe ser demostrado es la existencia del elemento idéntico; sin embargo, en la solución de este ejercicio se demostrará primero el axioma de la conmutatividad, pues de cumplirse este axioma, entonces no será necesario obtener los elementos idénticos e inversos izquierdos y derechos y comprobar que estos son iguales para garantizar su existencia. Será suficiente con obtener uno de ellos, si estos existen y pertenecen al conjunto, entonces se puede garantizar su existencia, siempre y cuando, el axioma de la conmutatividad se cumpla. En lo que resta de este capítulo, cuando sea necesario demostrar la existencia del elemento idéntico y de los elementos inversos, se procederá de esta forma. Demostremos entonces el axioma de la conmutatividad:

 5a , 5b  B 5a  5b = 5b  5a 5 a + b +1 = 5 b + a +1 Dada la conmutatividad de la adición en los números reales, se cumple el axioma. 4) Elemento idéntico



5a  B ;  5e  B

5a  5e = 5e  5a = 5a 5a  5e = 5a 5 a + e +1 = 5 a

de donde:

a + e +1 = a





e = −1 existe 14



5 e = 5 −1  B

GRUPOS Y CAMPOS

5) Elementos inversos

 5a  B ;  5i  B

5a  5i = 5i  5a = 5e

5a  5i = 5e 5 a + i + 1 = 5 −1 de donde:

a + i + 1 = −1



i = − a− 2



 5 i = 5 −a−2  B

existen

Dado que se cumplen los cinco axiomas, entonces podemos concluir que el sistema

(

B,  ) es un grupo abeliano.

Ejercicio 1.6 Determine si el sistema

  M =   y la operación binaria

 a    0

(M, )

0    a 

a

1) Cerradura



  con a  0  

es la multiplicación usual de matrices.

SOLUCIÓN:

 a 0  , A=     0 a 

es un grupo abeliano, si:

b 0    M B=     0 b 

(

A B

15

)

 M

GRUPOS Y CAMPOS

 a 0       0 a 

b 0     M    0 b 

 ab    0

0    M  ab 

Dada la cerradura de la multiplicación en

.

2) Asociatividad

 a  A=    0

0    a 

b , B=    0 A

a    0

0    a 

    

b    0 a    0

0   b  0    a 

(

c    0  bc    0

 abc    0

0    b 

)

B C

0   c 

 c C=    0

,

=

(

A B

  a     =      0   

0    b c 

 ab =    0

  abc  =     0 a b c  0

 cumple 16

)

0    c 

 M

b    0

0   b 

C

0   a 

0    a b 

c    0

   a b c  0

    

0   c 

c    0

0   c 

GRUPOS Y CAMPOS

3) Conmutatividad

 a  A=    0

0    a 

b , B=    0

0    M  b  A B = B A

 a    0

0    a 

b    0

0   b  =    b   0

 ab 0    0 ab

0    b 

  ba  =      0

 a    0

0    a 

0    ba  , se cumple.

Dada la conmutatividad de la multiplicación en 4) Elemento idéntico

 a  A=    0

0    M ;  a 

 e  I=    0

0    M  e 

A I= I A= A

A I =A a   0

0    a 

e   0

0 a =   e   0

0    a 

 ae 0   a  =     0 ae   0

0    a 

de donde:

ae = a



e =1



 1

 I = 

 0

existe 17

0    M 1 

GRUPOS Y CAMPOS

5) Elementos inversos

 a A =    0

0   i   M ;  A−1 =    a   0

0   M  i 

A A−1 = A−1 A = I

A A−1 = I  a    0

0    a 

 i    0

0   1  =    i   0

0    1 

 ai    0

0   1  =    ai   0

0    1 

de donde:

ai = 1  i =

1 a

 A− 1

 1  a =   0 

 0   M 1  a 

Los inversos existen para todo elemento del conjunto M dado que a  0 . Por lo tanto, el sistema

(M, )

es un grupo abeliano.

Ejercicio 1.7 Sean el conjunto P =

ax + b

a, b 

 y la operación binaria

definida por:

P1 # P2 =

(a

1

a2

) x + (b

Determine si el sistema

( P,

1

b2

#

)

)

;

 P1 = a1 x + b 1

es un grupo abeliano.

18

y

P2 = a 2 x + b 2  P

#

GRUPOS Y CAMPOS

SOLUCIÓN: 1) Cerradura

 P1 = a 1 x + b 1 , P 2 = a 2 x + b 2  P

(

(

 a 1 x + b1   ( a1 a 2 

P1 # P 2

)P

) # (a

x + b2

2

) x + (b

1

b2

)   P

)   P

Dado que la multiplicación de números reales es cerrada. 2) Asociatividad

 P1 = a 1 x + b 1 ,

P2 = a 2 x + b 2 , P1 # ( P 2 # P3

(a

1

) (

) (

P3 = a 3 x + b 3  P

) = (P

1

# P2

)

# P3

)

(

) (

x + b 1 #  a 2 x + b 2 # a 3 x + b 3  = ( a 1 x + b 1 ) # a 2 x + b 2  # a 3 x + b 3    

(a

1

)

x + b1 # ( a 2 a 3 x + b2 b 3 ) =

(a

1

(

a 2 x + b1 b2 ) # a 3 x + b 3

a 1 a 2 a 3 x + b1 b2 b 3 = a 1 a 2 a 3 x + b1 b2 b 3



cumple

3) Conmutatividad

 P1 = a 1 x + b 1

, P2 = a 2 x + b 2  P P1 # P2 = P2 # P1

(a

1

x + b1 ) # ( a 2 x + b 2 ) =

(a

2

x + b 2 ) # ( a 1 x + b1 )

a1 a 2 x + b 1 b 2 = a 2 a 1 x + b 2 b 1 Se cumple dada la conmutatividad de la multiplicación en 19

.

)

)

GRUPOS Y CAMPOS

4) Elemento idéntico

 P1 = a 1 x + b 1  P ;  P E = e 1 x + e 2  P

P1 # P E = P E # P1 = P1

P1 # P E = P1

(a

1

x + b1

)#(e

1

)

x + e2

= a 1 x + b1

a 1 e 1 x + b1 e 2 = a 1 x + b1 La igualdad se cumple si e 1 = 1 y e 2 = 1, con lo cual el elemento idéntico es:

PE = x + 1  P



existe

5) Elementos inversos



P1 = a 1 x + b 1  P ;

 Pi = i 1 x + i 2  P

P1 # P i = P i # P1 = P E

P1 # Pi = P E

(a

1

x + b1

) # (i

1

x + i2

)

= e1 x + e2

a 1 i 1 x + b1 i 2 = x + 1 de donde:

a1 i1 = 1



i1 =

1 a1

b1 i 2 = 1



i2 =

1 b1

con lo cual, los elementos inversos son de la forma:

Pi =

1 1 x + a1 b1

Es evidente que si a 1 = 0 y/o b 1 = 0 , entonces sus correspondientes inversos no existen, por lo tanto, el axioma de la existencia de los elementos inversos para todos los elementos del conjunto P no se cumple, con lo cual se concluye que el sistema

(

P, #

) no tiene estructura de grupo abeliano. 20

GRUPOS Y CAMPOS

Ejercicio 1.8 Sean el conjunto F =

 1, 2 

y la operación binaria  definida

por:

Determine si el sistema

( F,



)



1

2

1

1

2

2

2

1

tiene estructura de grupo abeliano.

SOLUCIÓN: Dado que se trata de un conjunto con un número finito de elementos, en este caso, el conjunto F tiene cardinalidad 2 , entonces la demostración de los cinco axiomas de grupo abeliano se deberá hacer en forma exhaustiva, es decir, se deberán demostrar todos los casos posibles. 1)

Cerradura

1  1 = 1 1  2 = 2

Como todos los resultados obtenidos son elementos del

2  1 = 2 2  2 = 1

conjunto F , entonces la operación  es cerrada.

Este axioma se puede comprobar fácilmente al observar que en la tabla que define a la operación, todos los resultados posibles son elementos de F . 2)

Asociatividad El número de posibilidades que se tienen de tomar tres elementos de un conjunto de dos elementos considerando la repetición, viene dado por la expresión 2 3 = 8 , es decir, se tienen 8 posibilidades, las cuales se deberán cumplir.

1

( 11 )

=

( 11 )  1

11 = 11 1 = 1 21

GRUPOS Y CAMPOS

1

( 1 2 )

=

( 11 )  2

1 2 = 1 2 2 = 2 1

(

)

2 1

=

( 1 2 ) 1

1 2 = 2 1 2 = 2 2 

( 11 )

=

(

2 1 ) 1

21 = 2 1 2 = 2 1

(

)

22

=

( 1 2 )  2

1 1 = 2  2 1 = 1

2 

( 1 2 )

=

(

2 1 )  2

2 2 = 2  2 1 = 1 2 

(

2 1

)

=

(

2  2 ) 1

2 2 = 1 1 1 = 1 2 

(

22

)

=

(

22 )2

21 = 1  2 2 = 2 Dado que se cumplen las ocho posibilidades, entonces la asociatividad se cumple.

22

GRUPOS Y CAMPOS

3)

Conmutatividad Se tienen las siguientes posibilidades considerando la repetición.

1 1 = 1 1



1=1

1 2 = 2 1



2= 2

2 1 = 1 2



2= 2

22 = 22



1 =1



se cumple

Este axioma se puede comprobar fácilmente, si la tabla que define a la operación resulta ser simétrica con respecto a la diagonal principal.

4)

Elemento idéntico Al observar la tabla que define a  , nos damos cuenta de que el elemento idéntico del conjunto es el "1" , pues:

11 = 1 1 2 = 2 1 = 2 Por lo tanto, el elemento idéntico existe.

5)

Elementos inversos

1  1 = 1 , lo que implica que 1 es el inverso de 1 2  2 = 1 , lo que implica que 2 es el inverso de 2

Por lo tanto, los elementos inversos existen. Dado que se cumplen los cinco axiomas, entonces el sistema grupo abeliano.

23

(

F, 

)

es un

GRUPOS Y CAMPOS

( A,  ) ,

Ejercicio 1.9 Sea el grupo

donde A =

( a, b )

 , lim

a, b 

x →

es

el conjunto de los números enteros, y la operación binaria  está definida por:

( a,

b )  ( c, d

)

( a + c + 1,

=

( A,  ) ,

a)

Determine si

b)

Obtenga el idéntico de

c)

Calcule el inverso del elemento

d)

Obtenga el elemento

( − 5,

b + d −1 ) ;



( a,

b ),

( c,

d

)

 A

es un grupo abeliano.

(

( A,  ) . )

x, y

( 7,

− 3 ).

 A que satisface a la ecuación

− 2 )  ( x , y )  ( 3, 4

)

=

( 0,

−1 ) .

SOLUCIÓN: a) Para determinar si el sistema

( A,  )

es un grupo abeliano, solo falta demostrar

el axioma de la conmutatividad. Conmutatividad



( a,

b ),

( c,

d

)

A

( a, b )  ( c, ( a + c + 1,

d

)

=

b + d −1 ) =

( c,

d )  ( a, b

( c + a + 1,

)

d + b −1 )

La igualdad se cumple dada la conmutatividad de la adición en los números enteros, por lo tanto, b) 

( a,

b

)

A ; 

( A,  )

(e

1

es un grupo abeliano.

, e2

)

( a,

A

( a , b )  ( e1 ,

(a+e

1

e2

+ 1, b + e 2 − 1

(

b )  e1 , e 2

)

=

( a, b )

)=

( a, b )

)

=

( a,

b

)

La igualdad se cumple si e 1 = −1 y e 2 = 1, por lo tanto, el idéntico del grupo es:

(e

1

, e2

) = ( − 1, 24

1) A

GRUPOS Y CAMPOS

( 7,

c)

(7+i

1

−3

)

(i

1

, i2

)

=

(e ,

e2

)

)

=

( − 1,

1

)

+ 1, − 3 + i 2 − 1

1

de donde:

7 + i 1 + 1 = −1 − 3 + i2 − 1 = Por lo tanto, el inverso de

1

( 7,



i1 = − 9



i2 = 5

− 3 ) es

( −9 ,

(i



1

, i2

)

=

( − 9,

5

)

A

5)

d) Se tiene que:

( − 5,

− 2 )  ( x , y )  ( 3, 4

)

=

( 0, − 1 )

operando en ambos lados de la ecuación con el inverso de

( − 5, como

−2 )

( − 5,

−1

 ( − 5, − 2 )  ( x , y )  ( 3, 4 ) =

−2 )

−1

 ( − 5, − 2 ) =

( − 1, 1 )  ( x , al ser

( − 1, 1 )

( − 1, 1 ) ,

y )  ( 3, 4 ) =

( − 5,

( − 5,

−2 )

− 2 ) , tenemos: −1

 ( 0, − 1 )

entonces:

( − 5,

−2 )

−1

 ( 0, − 1 )

el idéntico del grupo, entonces:

( x,

y )  ( 3, 4 ) =

( − 5,

−2 )

−1

 ( 0, − 1 )

operando en ambos lados de la ecuación con el inverso de

( x , y )  ( 3,

4 )  ( 3, 4 )

−1

=

( − 5,

−2 )

−1

( 3,

4 ) , tenemos:

 ( 0, − 1 )  ( 3, 4 )

−1

dado que todo elemento operado con su inverso da el idéntico, entonces tenemos:

( x,

y) =

( − 5,

−2 )

−1

25

 ( 0, − 1 )  ( 3, 4 )

−1

GRUPOS Y CAMPOS

obteniendo los inversos requeridos, tenemos:

( − 5,

( −5 + i

3

(

) = (e ,

− 2 )  i 3 , i4

1

+ 1, − 2 + i 4 − 1

e2

)

) = ( − 1, 1 )

de donde:

− 5 + i 3 + 1 = −1



− 2 + i4 − 1 = 1 dado que

( − 5,

−2 )

−1



i3 = 3 i4 = 4



(i

3

, i4

) = ( − 5, − 2 )

−1

= ( 3, 4 ) , entonces ya no es necesario calcular

= ( 3, 4

)

( 3, 4 )

,

−1

pues la ecuación quedaría como:

( x, y )

=

( 3,

4 )  ( 0 , − 1 )  ( 3, 4 )

−1

y como  es conmutativa, entonces:

( x, y )

=

( 3,

4 )  ( 3, 4 )

−1

 ( 0 , −1 )

con lo cual el elemento que satisface la ecuación planteada es:

( x,

y) =

( 0,

−1 )

Ejercicio 1.10 El sistema algebraico ( G ,  ) es un grupo abeliano. El conjunto

G está dado por:

G =  3 , 7, 30, 3 −1, 7 −1 , 30 −1, e  donde 3

−1

indica el inverso de 3 y e el idéntico de G con la operación binaria .

Dada la ecuación:

7  x  3  x  30 = 3  7  x obtenga el valor de x que satisface a la ecuación, si se sabe que x  G .

26

GRUPOS Y CAMPOS

SOLUCIÓN: Dado que ( G ,  ) es un grupo abeliano, entonces cumple con los cinco axiomas que se tienen para esta estructura. Aplicando la conmutatividad con los elementos 3 y 7 en el lado derecho de la ecuación, tenemos:

7  x  3  x  30 = 7  3  x operando con 7 − 1 en ambos lados de la ecuación, se tiene:

7 −1  7  x  3  x  30 = 7 −1  7  3  x como 7 −1  7 = e , entonces:

e  x  3  x  30 = e  3  x como e  x = x y e  3 = 3, entonces:

x  3  x  30 = 3  x aplicando la conmutatividad en el miembro izquierdo de la ecuación con los elementos x y 3 , tenemos

3  x  x  30 = 3  x aplicando la asociatividad, tenemos:

(3 x) operando en ambos lados con

(3 x)

−1

 x  30 =

(3 x)

−1

(3 x)

, se tiene:

 ( 3  x )  x  30 = ( 3  x )

con lo cual se llega a:

e  x  30 = e 27

−1

(3 x )

GRUPOS Y CAMPOS

como e  x = x , entonces:

x  30 = e operando en ambos lados con 30 −1 , tenemos:

x  30  30 −1 = e  30 −1 x  e = 30 −1 finalmente:

x = 30 −1 Otra forma de resolver este problema es la siguiente: Dado que ( G ,  ) es un grupo abeliano, entonces cumple con la asociatividad, por lo que la ecuación puede ser escrita como:

( 7  x  3 )  ( x  30 )

=

(37 x)

Dado que se cumple la conmutatividad, entonces el primer miembro de la ecuación se puede expresar como:

( 3  7  x )  ( x  30 ) = ( 3  7  x ) operando en ambos lados de la ecuación con el término

(37 x)

−1

(37 x)

 ( 3  7  x )  ( x  30 ) = ( 3  7  x )

de donde se obtiene:

e  ( x  30 ) = e x  30 = e por lo tanto:

x = 30 −1

28

−1

−1

, tenemos:

(37 x )

GRUPOS Y CAMPOS

Estructura de campo Sea A un conjunto de por lo menos dos elementos y sean  y binarias definidas en A. El sistema

( A,

,

)

cumple que: 1)

Cerradura:



a, b  A

(ab) 2)

A

Asociatividad:

 a, b, c  A a(bc 3)

)

=

(ab)c

Conmutatividad:

 a, b  A ab = ba 4)

Existencia del elemento idéntico:

 a A ;  e A 5)

Existencia de elementos inversos:

 a A ;  i A 6)

ae = ea = a

ai = i a = e

Cerradura:

 a , b  A

(a 7)

b) A

Asociatividad:

 a , b , cA a

(b

c) =

(a

b)

c

29

dos operaciones

tiene estructura de campo si se

GRUPOS Y CAMPOS

8)

Conmutatividad:

 a , b A a 9)

b = b

a

Existencia del elemento idéntico:

aA ; EA

a

E = E

a=a

10) Existencia de elementos inversos:

 a  A con a  e ;  I  A a

I = I

a=E

11) Distributividad:

 a, b, cA a

(bc)

(a

=

b)(a

c)

Una definición equivalente a la anterior para la estructura de campo sería: Estructura de campo Sea A un conjunto de por lo menos dos elementos y sean  y binarias definidas en A. El sistema

( A,

,

)

dos operaciones

tiene estructura de campo si se

cumple que: I)

( A , )

es un grupo abeliano, donde el elemento idéntico lo representamos

con e y recibe el nombre de “cero” del campo. II)

( A,

)

cumple con los cinco axiomas de grupo abeliano, donde deben

existir inversos para todos los elementos del conjunto excepto para el “cero” de campo. Al elemento idéntico de la segunda operación se le conoce como la “unidad” del campo. III)

La operación

es distributiva sobre

30

.

GRUPOS Y CAMPOS

Ejercicio 1.11 Determine si el sistema ( B , ,

B=



y las operaciones binarias  y

( a+b

3

( a+b

3

)  (c+d



están definidas por:

3 ;

)=

3

tiene estructura de campo, si:

a, b 

3

) = ( a+c ) + ( b + d )

3

) (c+d

a+b

)

( ac )

+

( bd )

 a+b

3 , c+d

3  B

3

SOLUCIÓN: Determinemos si

(

B, 

)

tiene estructura de grupo abeliano.

1) Cerradura



a+b

3 ,

3  B

c+d

(

 a+b 

3

)  ( c+d

 ( a+b) + 

( b+d )

3

)   B

3   B cumple dada la cerradura de la adición en

.

2) Asociatividad

 a+b

3 ,

c+d

( a+b

3

)   ( c + d

( a+b

3

)

3 ,

)  ( e+ f

3

(c+e) + 

( a+c+e )

+

3  B

e+f

(d+ f )

3

) 

(

=  a+b 3 

3  =  ( a + c ) +

( b+d + f )

3 =

 31

( b +d )

( a+c+e )

cumple

)  ( c+d

+

3

3  

( b+d + f )

)   ( e + f ( e+ f 3

3

)

3

)

GRUPOS Y CAMPOS

3) Conmutatividad

 a+b

3  B

3 , c+d

( a+b

3

)  (c+d

(a+c)

+

)

3

( b+d )

=

3 =

(c+d

3

)  ( a+b

(c+a )

+

( d +b )

3

)

3

.

Cumple dada la conmutatividad de la adición en 4) Elemento idéntico

 a+b

3  B ;  e1 + e 2

( a+b

( a+b

3 B

)  (e

3

(a+e )

+ e2

2

)(e )=

3

(b+e )

+

1

1

3

1

+ e2

3

a+b

3

3 = a+b

3

) = a+b

3

la igualdad se cumple si:

e1 = 0 e2 = 0 con lo cual el elemento idéntico es:

e1 + e 2

3 =0+0



3  B

existe

5) Elementos inversos

 a +b

3  B ;  i1 + i 2

(a+b

3 B 3

)  (i

(a+i ) 1

+

1

( a +b

3

+ i2

)=e

(b+i ) 2

32

3

) (i

1

+ i2

+ e2

3

3 = 0+0

3

1

3

)=e

1

+ e2

3

GRUPOS Y CAMPOS

la igualdad se cumple si:

i1 = − a i2 = − b

con lo cual:

i1 + i 2

3 = −a − b



3 B

existen

Al cumplirse los cinco axiomas, entonces el sistema

( B,

 ) tiene estructura de

grupo abeliano. Determinemos ahora si el sistema

( B,

)

cumple con los axiomas de grupo

abeliano. 6) Cerradura

 a +b

3 , c+d

(

 a +b 

3  B 3

)

(c+d

 ( ac ) + 

)   B

3

( bd )

3   B cumple dada la cerradura de la multiplicación en

.

7) Asociatividad

 a +b

( a +b

3

)

( a +b

3 , c+d

(

 c+d  3

)

3

3 ,

e+ f

) (e+ f

 ( ce ) + ( d f 

3

)

( ace ) + ( bd f )

) 

 B

3

(

=  a +b



3

) (c+d

3  =  ( a c ) + ( b d 3

 33

=

)

( ace ) + ( bd f )

cumple

3  3

3

)  ( e + f

(e+ f

3

)

3

)

GRUPOS Y CAMPOS

8) Conmutatividad

 a +b

3

3  B

, c+d

( a +b

3

)

(c+d

( ac )

+

) = (c+d

3

( bd )

( ac )

3 =

3

)

( a +b

( bd )

+

3

)

3

.

Cumple dada la conmutatividad de la multiplicación en 9) Elemento idéntico

 a+b



3 B − 0 + 0 3

 ; E

( a+b

3

+E2

1

) (E

1

+ E2

3

) (E

) = a+b

3

3 = a+b

3

3

a E1 + b E 2 la igualdad se cumple si:

( a +b

3 B

1

)

+ E 2 3 = a+b

3

E1 = 1 E2 = 1

con lo cual el elemento idéntico es:

E1 + E 2

3 = 1+1



3  B

existe

10) Elementos inversos

 a+b

3  B ;  I1 + I 2

( a+b

3

3 B

) (I

1

+I2

aI1 + bI 2

( a+b 3 3

34

)=

3

) (I

E1 + E 2

= 1+1

3

1

3

+I2

3

)=E

1

+ E2

3

GRUPOS Y CAMPOS

la igualdad se cumple si:

aI1 = 1



I1 =

1 a

bI 2 = 1



I2 =

1 b

con lo cual los elementos inversos son de la forma:

I1 + I 2

1 1 + a b

3 =

3  B

Obsérvese que existen inversos para todos los elementos del conjunto B , excepto para el elemento idéntico de la primera operación; sin embargo, elementos como 0 +

3, 0+2

3 , 0 + 3 3 , etc., tampoco tienen inversos, o bien,

elementos como 1 + 0 3 , 2 + 0

3, 3+0

3 , etc., que también pertenecen

al conjunto B y de igual forma, no tienen su correspondiente elemento inverso, es decir, existen una infinidad de elementos del conjunto B que no tienen inverso, por lo tanto, podemos concluir que el sistema

Ejercicio 1.12 Sea el sistema ( W , + ,

W =

(

y las operaciones binarias + ,

( B,

)

,

no es un campo.

) , donde:

x, y, z )

x, y, z 



están definidas por:

+ es la adición usual de vectores.

(x

1

, y1 , z1

) (x

2

) (

)

(

)(

)

, y 2 , z 2 = 3 x1 x 2 , y 1 y 2 , 3 z 1 z 2 ;  x1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2  W

Determine si el sistema ( W , + ,

)

tiene estructura de campo.

35

GRUPOS Y CAMPOS

SOLUCIÓN: Determinemos si el sistema ( W , + ) tiene estructura de grupo abeliano. 1) Cerradura

(

) ( ( x 

) W ) + (x

 x1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , y1 , z1

1

(x

1

2

)

, y2 , z2   W 

)W

+ x 2 , y1 + y 2 , z1 + z 2

Dada la cerradura en la adición de números reales. 2) Asociatividad

(

), ( x , y , z )  W ( x , y , z ) + ( x , y , z ) + ( x , y , z )  = ( x , y , z ) + ( x , y , z )  + ( x , y , z ) ( x , y , z )+ ( x + x , y + y , z + z ) = ( x + x , y + y , z + z )+( x , y , z ) ( x + x + x , y + y + y , z + z + z ) = ( x1 + x 2 + x 3 , y1 + y 2 + y 3, z 1 + z 2 + z 3 ) 

1

1

1

1

1

1

2

1

2

),(

x1 , y1 , z 1

2

2

3

x2 , y2 , z2 2

3

1

3

2

2

3

3

3

3

2

3

3

1

3

1

2

1

3

1

1

2

2

1

2

2

2

3

1

2

3

3

3

3

3

3



cumple

3) Conmutatividad



(x

) , (x , y ,z ) W (x , y ,z )+(x , y ,z ) = (x , y ,z )+(x , y ,z ) (x +x , y +y , z +z )= (x +x , y +y , z +z )

1

, y1 , z1 1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

1

1

Se cumple el axioma dada la conmutatividad de la adición en los números reales. 4) Elemento idéntico



( x,

(

)W ( x, y, z ) + ( e , e , e ) = (x+e , y+e , z+e ) =

y , z )  W ;  e1 , e 2 , e 3 1

1

2

2

(

( x,

y , z ) + e1 , e 2 , e 3

3

( x,

y, z

3

( x,

y, z )

36

)

) = ( x, y, z )

GRUPOS Y CAMPOS

esta igualdad se cumple, si y solo si:

(e

1

, e2 , e3

) = ( 0, 0, 0 )  W



existe

5) Elementos inversos



( x,

y, z )  W ; 

(i

1

)W

, i2 , i3

( x,

(

( x,

)

=

(e

)

=

( 0,

y , z ) + i1 , i 2 , i 3

( x+i

1

, y + i2 , z + i3

(

y , z ) + i1 , i 2 , i 3

1

, e2 , e3

) = (e

1

, e2 , e3

)

0, 0 )

la igualdad se cumple, si:

i1 = − x ,

i2 = − y , i3 = − z

con lo cual:

(i

1

, i2 , i3

)

=



( − x,

− y, − z )  W

existen

Dado que se cumplieron los cinco axiomas, entonces el sistema

(W , + )

es un

grupo abeliano. Como segundo paso, ahora debemos demostrar que el sistema con los cinco axiomas de grupo abeliano. 6) Cerradura



(x

1

, y1 , z1

) , (x , y ( x , y  2

1

2

, z2

1

, z1

( 3x

1

) W ) (x

2

)

, y2 , z2   W 

x 2 , y1 y 2 , 3 z1 z 2

)W

dada la cerradura en la multiplicación de números reales. 37

(W ,

)

cumple

)

GRUPOS Y CAMPOS

7) Asociatividad

(x



1

(x , y , z ) 1

(x

1

1

(

 x2 , y2 , z2 

1

, y1 , z1

(9 x

) , (x

, y1 , z1

) ( 3x

1

2

, y2 , z2

) (x

3,

) , (x

3

, y3 , z3

) (

y 3 , z 3  =  x1 , y 1 , z 1  

) W ) (x

2,

) (x

y2 , z2  

) (

x 3 , y 2 y 3 , 3 z 2 z 3 = 3 x1 x 2 , y1 y 2 , 3 z 1 z 2

2

) (x

3

y3 , z3

)

, y3 , z3

)

3,

) (

x 2 x 3 , y1 y 2 y 3 , 9 z1 z 2 z 3 = 9 x1 x 2 x 3 , y1 y 2 y 3 , 9 z 1 z 2 z 3



)

cumple

8) Conmutatividad

(x



1

, y1 , z1

(x

1

) , (x

1

, y2 , z2

) (x

)W

, y2 , z2

)

=

(x

x 2 , y1 y 2 , 3 z1 z 2

)

=

( 3x

, y1 , z1

( 3x

2

2

2

, y2 , z2 2

) (x

1

, y1 , z1

x1 , y 2 y1 , 3 z 2 z 1

)

)

Como se tiene producto de reales, entonces cumple.

9) Elemento idéntico



(x

1

(x

)

(

)

, y1 , z1  W ;  E1 , E 2 , E 3  W

1

, y1 , z1

( 3x

1

) (E

1

, E2 , E3

E1 , y1 E 2 , 3 z1 E 3

)

(x

1

, y1 , z1

(x

1

, y1 , z1

)

) = (x

1

, y1 , z1

)

=



) (E

1

) (

, E 2 , E 3 = x1 , y1 , z1

E1 =

1 , 3

de donde:

(E

1

, E2 , E3

) =  13 ,

1,

38

1  W 3



existe

E2 =1 ,

E3 =

)

1 3

GRUPOS Y CAMPOS

10) Elementos inversos



(x

1

)

(

)

(x

, y1 , z1  W ;  I 1 , I 2 , I 3  W

(x

1

, y1 , z1

(3x

1

) (I

1

1

, I2, I3

) (I

, y1 , z1

)

I 1 , y1 I 2 , 3 z1 I 3

=

)

(E

1

1

) (

, I 2 , I 3 = E1 , E 2 , E 3

, E2 , E3

)

1   1 =  , 1,  3   3

de donde:

1  3 x I = 1 1  3    y1 I 2 = 1   1  3 z1 I 3 = 3 



 1  I1 = 9 x1    1  I2 = y1    1  I3 = 9 z1 

con lo cual:

(

I1, I 2 , I 3

)

 1 =  ,  9 x1 

1 1 , y1 9 z1

  W  

Es evidente que el elemento idéntico de la primera operación ( 0, 0, 0 ) no tiene inverso,

pero

también

elementos

( 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1, 1 ) , ( 1, 0 , 1 ) ,

como

( 1, 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1, 0 ) ,

etc., tampoco tienen inverso, es decir, cualquier

elemento del conjunto W que tenga uno o más ceros en sus componentes, no tendrá inverso, por lo tanto, este axioma no se cumple y, en consecuencia, el sistema

(W , +, )

no tiene estructura de campo.

Ejercicio 1.13 Sean el conjunto:

 a A= + 7 b 

a, b 

39

con

 b0  

)

GRUPOS Y CAMPOS

y las operaciones binarias  ,

definidas por:

a c  a   c  +7  +7  = + +7  b d  b   d  ;   a  +7    b 

ac  c  +7  = +7  bd  d  ,

)

Determinemos si el sistema

( A,

Determine si el sistema

( A,

a + 7, b

c +7 A d

tiene estructura de campo.

SOLUCIÓN:

 ) tiene estructura de grupo abeliano.

1) Cerradura



a c +7 , +7  A b d

 a   c   b + 7    d + 7   A     c  a   + +7 A d b 

dado que la suma de los números racionales

a c + da como resultado b d

otro número racional.

2) Asociatividad



a +7 , b

c +7 , d

e +7  A f

   a  a   c   e   c   e + 7   =  + 7    + 7     +7  + 7    + 7    b   d   f   d   f  b  

40

GRUPOS Y CAMPOS

  e  a   c  a c   e +7 + +7 =  + +7 +7  f  b   d  b d   f   a c e a c e + + + 7 = + + + 7 b d f b d f



cumple

3) Conmutatividad



a c +7 , +7  A b d

 a   c   c   a  +7 =  +7 +7  +7 b   d   d   b  a c c a + +7 = + +7 b d d b Se cumple dada la conmutatividad de la adición en los números racionales.

4) Elemento idéntico



e1 a + 7  A ;  + 7 A b e2

 e1  a  a  + 7  + 7 + 7   =    e2  b  b   

 e1  a  a  + 7 = + 7  + 7     e b  b   2  e1 a a + + 7 = + 7 b e2 b de donde:

e1 e2

= 0

e1





e2

+ 7 = 0 + 7  A

existe 41

GRUPOS Y CAMPOS

5) Elementos inversos



 i1  e1  a  + 7  + 7 + 7   =    i2  e2 b   

i1 a + 7  A ;  + 7 A b i2

 i1  e1  a  + 7  + 7 + 7   =    i2  e  b  2   i1 a + + 7 = 0 + 7 b i2 de donde:

i1 i2

= −

a b

i1



i2



+ 7 = −

a + 7  A b

existen

Dado que se cumplieron los cinco axiomas, entonces el sistema

( A,

 ) es un

grupo abeliano. Determinemos ahora si el sistema

( A,

) cumple con los cinco axiomas de grupo

abeliano.

6) Cerradura



a +7 , b

c +7  A d

 a    b +7  

 c   +7   A   d  

 ac  +7  A   bd  42

dada la cerradura de la multiplicación en los números racionales.

GRUPOS Y CAMPOS

7) Asociatividad



a c e +7 , +7 , +7  A b d f

 a  +7   b 

 c  +7    d  a  +7   b 

 e +7   f

   a  +7   =      b

 ce   ac  +7 =  +7   df   bd 

 c  + 7    d 

 e  +7    f 

 e  +7    f 

ace ace +7 = +7 bd f bd f



cumple

8) Conmutatividad



a c +7 , +7  A b d

 a   +7   b 

 c   c  +7  =  +7   d   d  ac +7 = bd

 a  +7   b 

ca +7 db

Se cumple dada la conmutatividad de la multiplicación en los números racionales.

9) Elemento idéntico



E1 a +7  A ;  +7 A b E2

 a   +7 b 

43

 E1  a +7 = +7   E2  b  

GRUPOS Y CAMPOS

 E1 +7   E2 

 a   +7  b 

a E1

 a +7  =  b 

+7 =

b E2

a +7 b

de donde:

E1 E2

=1

E1



E2



+ 7 =1+ 7  A

existe

10) Elementos inversos



a   +7 b 

I1 a +7  A ;  +7 A b I2  a  +7    b 

 I1 +7   I2  a I1 bI2

  =  

 I1 +7   I2  E1 E2

 E1 +7  =  E 2 

+7

+ 7 = 1+ 7

de donde:

I1 I2

=

b a

I1





I2

+ 7 =

b + 7  A a

existen

Obsérvese que existen inversos para todos los elementos del conjunto A excepto para el cero del campo. De acuerdo con la definición de campo, solo resta demostrar que la operación es distributiva sobre  . 44

GRUPOS Y CAMPOS

11)



a c e +7 , +7 , +7 A b d f

 a   + 7  b 

 c   a   e    + 7    + 7   =  + 7    f   b   d  a   + 7  b 

 ac  c  e +7  + + 7 =  d f b d   

 c    a   + 7     + 7   d    b 

 e   + 7   f 

  ae  +7   bf 

 ac ae  a  c e  +  +7  + +7 =  b  d f  bd b f  ac ae ac ae + +7 = + +7 bd bf bd bf



cumple

Podemos concluir entonces que el sistema campo.

45

( A,

,

)

tiene estructura de

GRUPOS Y CAMPOS

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.



Sean el conjunto A =  a

a =



n ; 5

 n

  y la operación 

binaria # definida por:

a # b = a + b + Determine si el sistema 2.

(

A

A , # ) tiene estructura de grupo.

det ( A ) = 1 , A es de orden 3  3

(M, )

Determine si el sistema binaria



tiene estructura de grupo, siendo la operación

la multiplicación ordinaria entre matrices.

Sean el conjunto B =

e

x1

e

 e

Determine si el sistema 4.

; a, b A

Sea M el conjunto de las matrices cuadradas de orden 3 , cuyo determinante es igual a uno, esto es:

M =

3.

1 5

x

x2



x

= e

( B,  )

2 x1 x 2

y la operación binaria  definida por:

;  e

x1

,e

x2

 B

tiene estructura de grupo.

Sea el conjunto:

 B=  

a    a + 2 b

Determine si el sistema

(M, +)

−a b

2b   − a 

a, b 

  

tiene estructura de grupo abeliano, donde la

operación binaria + es la adición usual de matrices.

46

GRUPOS Y CAMPOS

5.

Sea

( G,  )

un grupo. Demuestre que:

(ab) 6.

Dado el conjunto A =

u

−1

= b −1  a −1

 u,



a, b

 a, b  G

;

donde estos tres elementos son distintos y

es el elemento idéntico con la operación  . Si se sabe que el

sistema

(

A, 

)

tiene estructura de grupo abeliano, complete la tabla,

escribiendo en los cuadros en blanco el resultado correspondiente:



u

a

b

u a

b

b

7.

Sean el conjunto L =

y

a

y = ln x con x 

+

y

la operación binaria

definida por:

Determine si el sistema 8.

x1 x 2

ln x 2 = ln

ln x1

( L, )

Sean el conjunto B =  b

;  ln x1 , ln x 2  L

2

tiene estructura de grupo abeliano.



b = 2 m con m 

y la operación binaria

definida por:

y =

x Determine si el sistema 9.

( B, a

Dado el conjunto F =  binaria  definida por:

a1 b1



a2 b2

determine si el sistema

1 xy ;  x, y  B 2

b

=

)

tiene estructura de grupo abeliano.



con a  0 y b  0  y la operación

a,b 

2 a1 a 2

;

b1 b 2

( F, )





a1 b1

,

a2 b2

 F

tiene estructura de grupo abeliano. 47

GRUPOS Y CAMPOS

10. Sean el conjunto A =

 0, 1,

2, 3  y la operación binaria  definida por:



0

1

2

3

0 1 2 3

0 1 2 3

1 0 3 2

2 3 1 0

3 2 0 1

Si se sabe que la operación  cumple con el axioma de la asociatividad, determine si el sistema 11. Sean el conjunto B =

donde i =

( A,  )

 1,

tiene estructura de grupo abeliano.

−1, i , − i



y la operación binaria  definida por:



1

-1

i

-i

1 -1 i -i

1 -1 i -i

-1 1 -i i

i -i -1 1

-i i 1 -1

−1 .

Determine si el sistema

 ) tiene estructura de grupo abeliano.

, @ ) , donde es el conjunto de los números enteros y las operaciones binarias # y @ están definidas por:

12. Dados los grupos

(

( B,

, #) y

(

a#b = a+b−3 a@b = a+b+5 a) Obtenga el elemento idéntico de

(

 a, b  , #) y

(

, @ ).

b)

Determine cuál es el inverso de 9 para la operación # .

c)

Determine cuál es el inverso de − 8 para la operación @ .

d)

Obtenga el valor de x 

, tal que x sea solución de la ecuación:

−2 # 3 # x # 4 = 5 # 1 48

GRUPOS Y CAMPOS

  a

0   0 − a    

13. Sean el conjunto M =  



a

con a  0  y la operación binaria 



definida como:

0  a 0  b 0   ab      =    0 − a   0 − b   0 − a b 

Determine si el sistema 14. Sean el conjunto A =

Si se sabe que

(M, )

 a,

( A,  )

b, c

a 0  b 0  ;    ,   M  0 − a   0 − b 

tiene estructura de grupo abeliano.



y la operación binaria  definida por:



a

b

c

a b c

a b c

b c a

c a b

forman un grupo abeliano, determine el valor

de x  A que satisface a la ecuación:

( a  x )  b −1 = ( a −1  c )

b

−1 donde a indica el inverso de a con la operación  .

15. Sea el sistema algebraico

( S,

 S =  

 ) , donde S es el conjunto de matrices:

a   b

b   a 

a, b 

  

y la operación  está definida por:

a   b

b  c    a   d

d   ac  =  c   b d

bd   a  ;   a c   b 49

b   c  ,  a   d

d    S c 

GRUPOS Y CAMPOS

a)

Obtenga, si existe, la matriz A  S tal que:

−1   −1  =  1   1

 1 A   −1

1  A −1 

b)

Obtenga el elemento idéntico de la operación  en caso de que exista.

c)

¿Existen los elementos inversos para  ? Si así es, determínelos.

16. Sea el sistema

(H,

 ,  ) donde H =

6m

y

m

las operaciones

binarias  y  están definidas por:

ab = b+ a

 a, b  H

; ab 3

ab = Si se sabe que

( H, )

forma un grupo abeliano, determine si

(H,

 ,  ) tiene

estructura de campo.



17. Sean el conjunto F = a cos x



binarias  y

con x  0 ,

   y las operaciones 2  

están definidas por:

a 1 cos x  a 2 cos x = a 1 cos x

 

a 

a 2 cos x =

(a (a

1

1

)

+ a2

cos x ;

a 2 ) cos x

Determine si el sistema

( F,

,

18. Sean el conjunto A =

 ( 1,

a

)

)

 a 1 cos x , a 2 cos x  F

tiene estructura de campo.

,

a

donde

números racionales y las operaciones binarias  y

( 1, a ) ( 1, a )

 ( 1, b ) = ( 1, a + b )

( 1, b ) = ( 1, 0 ) 50

;

es el conjunto de los están definidas por:

 ( 1, a ) ,

( 1,

b)  A

GRUPOS Y CAMPOS

( A,

Determine si el sistema 19. Sea el sistema binarias

+

)

,

tiene estructura de campo.

, donde B =  ( a , b ) a , b 

( B, +,  )



y las operaciones

y  están definidas por:

( a, b ) + ( c, d ) ( a, b )  ( c, d ) Determine si

(a+c ,

= =

( ac,

( B, + ,  )

bd

b+ d

) ;

)

b = a+b ; b =

a

( a, b ) , ( c,

(

)

 B

y las operaciones binarias  y

 a, b 

ab 2

Determine si el sistema

d

tiene estructura de campo.

20. Dado el conjunto de los números reales definidas por:

a



,

,

)

tiene estructura de campo.

51

GRUPOS Y CAMPOS

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

( A,

# ) sí es un grupo.

2.

(M, )

3.

( B,

4.

( M , + ) sí es un grupo abeliano.

sí es un grupo.

 ) no es un grupo.

6. *

u

a

b

u a b

u a b

a b u

b u a

7.

( L,

)

sí es un grupo abeliano.

8.

( B,

)

no es un grupo abeliano.

9.

( F , )

sí es un grupo abeliano.

10.

( A, )

sí es un grupo abeliano.

11.

( B,

 ) sí es un grupo abeliano.

12. a) El idéntico para # es 3. El idéntico para @ es − 5. b) El inverso de 9 es − 3. c) El inverso de − 8 es − 2. d) x = 7 . 52

GRUPOS Y CAMPOS

13.

(M,

 ) sí es un grupo abeliano.

14. x = b .

0

0  0 

15. a) A = 

 0

1 b) E =   1

1  1 

c) No existen. 16.

(H,

,  )

17.

(F,

,

18.

( A,

,

)

no es un campo.

19.

( B , +,  )

no es un campo.

20.

(

sí es un campo.

, ,

no es un campo.

)

)

sí es un campo.

53

CAPÍTULO 2 ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES

Espacio vectorial Sea V un conjunto no vacío, en el cual se definen dos operaciones llamadas adición y multiplicación por un escalar y, sea K un campo. Se dice que V es un espacio vectorial sobre K si las dos operaciones cumplen con los diez axiomas siguientes:

 u, v, w  V

   K

y

1)

(

u +v

)

2)

(

u +v

) +w =u +(v +w)

V

3)

 0 V

4)

 u V ;

5)

u + v = v +u

6)

(

7)

( u +v

)

8)

(

+

)

u = u +  u

9)

 ( u

)

=

u

)

 u V ; 

(−u )

V

u +0=0+u =u u +

(−u )

=

(−u )

+ u = 0

V =  u + v

(

 ) u

10) Si 1 es la unidad de K , entonces 1 u = u ;

 u V

A los elementos del conjunto V se les llama vectores y a los elementos del campo K se les llama escalares.

57

ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 2.1 Determine si el conjunto

A =

x

x 

+



y las operaciones

de adición y multiplicación por un escalar definidas por:

x + y = xy

;



x, y 

 x = x

;



x 

+

+

y

 

es un espacio vectorial. SOLUCIÓN: Veamos si se cumplen los diez axiomas de espacio vectorial.

 x, y , z A 1)

 , 

y

,

tenemos:

x + y = x y  A , dado que la multiplicación de dos reales positivos da un real positivo, entonces se cumple.

2)

(x+y)+

z = x+

(

y+z

)

xy + z = x + yz xyz = xyz



cumple

Con el fin de simplificar la demostración del cumplimiento de los axiomas 3 y 4, se demostrará primero el cumplimiento del axioma 5. De no ser así, en los axiomas 3 y 4 se tendrían que determinar los idénticos e inversos izquierdos y derechos, y compararlos para saber si son iguales en cada caso, y con ello concluir sobre su existencia o no existencia. Si se procede como se está sugiriendo, entonces no será necesario realizar el procedimiento descrito renglones arriba, pues se demuestra primero el axioma de la conmutatividad. De lo anterior se tiene que: 5)

x+ y = y+x

xy = yx

Se cumple dada la conmutatividad de la multiplicación

58

.

ESPACIOS VECTORIALES

3)

x  A ;  e  A de donde:

e + x = x + e = x

x + e = x xe = x



e = 1 A 4)

x A ;  i A de donde:

cumple

i + x = x + i = e

x+i = e xi = 1 i =

6)

1  A x

cumple

 x = x   A dado que: ❖ Si

  0, entonces x  es positivo.

❖ Si

 = 0, entonces x  = 1

❖ Si

  0, entonces x −  =



7)





(x+ y)

1 x

que es positivo.

cumple

= x + y:

(

(

xy

)



= x y 

(

xy

)



=

xy

)

= x + y 



(

xy

)

59





cumple

ESPACIOS VECTORIALES

(+)x

8)

= x + x

x +  = x  + x  x +  = x  x  x +  = x +   ( x

9)

)



(  ) x

=



( x )

(

x

)

= x



= x

x = x   

10)

cumple



cumple

x = x ;   A

x = x x = x



 = 1 que es la unidad en

cumple

Dado que se cumplen los diez axiomas, podemos concluir que el conjunto A es un espacio vectorial. Ejercicio 2.2 Determine si

2

es un espacio vectorial sobre

para la adición y

la multiplicación por un escalar definidas por:

(x

1

, y1

)+(x 

2

, y2

(x,

) =(x

y) =

(

1

+ x 2 , y1 + y 2

y , x

)

; 

)

;  ( x1 , y 1 ) ,

(x,

y) 

2

(x

2

, y2 ) 

;  

En caso de no serlo, indique cuáles axiomas de la definición no se cumplen. 60

2

ESPACIOS VECTORIALES

SOLUCIÓN:



(x

1

, y1

), (x

2

, y2

), (x

2

, y2

)

1)

(x

+

(x

2)

 ( x1 , y 1 ) + 

(x

1

, y1

(x

1

)

2

1

(x

) + (x

)

, y3 1

3



2

) = (x ,

+ x 2 + x 3 , y1 + y 2 + y 3

)

=

(x

) = (x



)



, tenemos:

 cumple

2

y 1 ) +  ( x 2 , y 2 ) + ( x 3 , y 3 ) 

1

, y3

 

y

+ x 2 , y1 + y 2

, y 2 )  + ( x 3 , y 3

+ x 2 , y1 + y 2

(x

=

3

1

1

, y1

)

+

(x

2

+ x3 , y 2 + y3

+ x 2 + x 3 , y1 + y 2 + y 3

)

)

cumple

Siguiendo la recomendación hecha en el ejercicio anterior, demostraremos primero que se satisface el axioma 5 .

5)

(x , 1

y1 ) +

(x

1

(x

, y2

)

=

(x

+ x 2 , y1 + y 2

)

=

(x

2

2

, y2 ) +

2

+ x1 , y 2 + y 1 )

Dada la conmutatividad de la adición en

3)

 ( x, y ) 

2

; 

(e

1

, e2 ) 

2

(x

1

, y1 )

, entonces se cumple.

( x , y ) + ( e1 ,

e2

) = (e

De donde se tiene que:

( x, y )

+

( e , e ) = ( x, y ) 1

2

esta igualdad se cumple, si y solo si:

(e

1

, e2

)

=

(

0, 0

)



2

61



cumple

2

, e1 ) + ( x , y ) = ( x , y )

ESPACIOS VECTORIALES

4)  ( x , y ) 

; 

2

(i

1

, i2 )

Considerando:

( x,

2

)

y

( x +i

1

+ ,

( x, y ) + ( i1 ,

i2

) = (i

(i

=

(e

1

=

( 0,

1

, i2

)

y + i2

)

)

−x , −y

1

, i2

) + ( x, y ) = ( e

)

, e2 0)

con lo que se llega a:

i1 = −x

(i



i2 = −y

6)

 ( x1 , y 1

)

7)

  ( x1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2

=

(y

1

1

, i2

,  x1

)

) 

 ( x1 + x 2 , y 1 + y 2  

(y

1





2

)

(y

=

+ y 2 ) ,  ( x 1 + x 2 )  = 

( + )

(x

1

, y1

)

)





2

1

(y

,  x1 ) +

1

(y

2

)

,  x2

)

+ y 2 ) ,  ( x 1 + x 2 ) 

cumple

=  ( x1 , y 1

)

+  ( x1 , y 1

(y

)

) + (y

 (  +  ) y 1 ,

(  +  ) x1

 =

 (  +  ) y 1 ,

(  +  ) x1

 =  (  +  ) y 1 ,



cumple

cumple

=  ( x1 , y 1 ) +  ( x 2 , y 2

 8)

(

=

cumple

62

1

,  x1

1

,  x1

(  +  ) x1



)

1

, e2

)

ESPACIOS VECTORIALES

9)

   ( x1 , y 1 )  =

(   ) ( x1 ,

   y 1 ,  x 1  =

( y

( x

1

,   y1

)





(

10)  x 1 , y 1

)

( y

y1 )

1

,  x 1

)

1

,  x 1

)

no cumple 2

 ( x1 , y 1

;  

) = (x

1

, y1

)

de donde:

(y

1

,  x1

)

=

(x

1

, y1

)

por igualdad:

 y 1 = x1



=

x1

 x1 = y 1



=

y1

(1)

y1

( 2)

x1

Se aprecia en ( 1 ) y ( 2 ) que  toma valores diferentes, lo cual no es posible, pues  es la unidad del campo y este valor es único.



no cumple

En consecuencia, podemos concluir que

2

no es un espacio vectorial con las

operaciones definidas. Ejercicio 2.3 Determine si el conjunto

P=

 ax

2

+ bx + c

c = b − a ; a, b, c 



es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales, considerando las operaciones de adición y multiplicación por un escalar usuales en los polinomios. 63

ESPACIOS VECTORIALES

SOLUCIÓN: El conjunto P puede ser expresado de la siguiente forma:

P=

 ax

+ bx + ( b − a )

2



a, b 

Veamos si se cumplen los diez axiomas de espacio vectorial.

 P1 ( x ) = a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 ) , P3

 P1

1)

(x)

(x)

= a 3 x 2 + b3 x +

+ P2

( x ) 

(b

3

− a3

P2 ( x ) = a 2 x 2 + b 2 x + ( b 2 − a 2 ) ,

)P

 , 

y

 P

(

) (

)

 a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 ) + a 2 x 2 + b 2 x + ( b 2 − a 2 )   P    ( a1 + a 2 

) x2 + ( b

+ b2 ) x +

1

((b

1

+ b2

)−(a

1

+ a2

) )   P

Dado que el polinomio suma es de la forma de los elementos del conjunto, entonces cumple.

( (a x

(

2)  a 1 x 2 + b1 x + b1 − a 1



2

1

)) + ( a

2

) ( x + ( b − a )) + ( a

)

x 2 + b 2 x + ( b 2 − a 2 )  + a 3 x 2 + b3 x + ( b3 − a 3 ) = 

) (

+ b1 x + ( b1 − a 1 ) +  a 2 x 2 + b 2 

(

2

2

3

)

x 2 + b3 x + ( b3 − a 3 )  

) (

)

 ( a 1 + a 2 ) x 2 + ( b1 + b 2 ) x + ( b1 + b 2 ) − ( a 1 + a 2 )  + a 3 x 2 + b 3 x + ( b 3 − a 3 ) =  

(a x 1

2

)

(

)

+ b1 x + ( b1 − a 1 ) + ( a 2 + a 3 ) x 2 + ( b 2 + b 3 ) x + ( b 2 + b 3 ) − ( a 2 + a 3 )   

(

)

(

)

(a

1

+ a 2 + a 3 ) x 2 + ( b1 + b 2 + b 3 ) x + ( b1 + b 2 + b 3 ) − ( a 1 + a 2 + a 3 ) =

(a

1

+ a 2 + a 3 ) x 2 + ( b1 + b 2 + b 3 ) x + ( b1 + b 2 + b 3 ) − ( a 1 + a 2 + a 3 )

Como la igualdad se cumple, entonces el axioma se satisface.

64

ESPACIOS VECTORIALES

3)

(a x

) (

(a (a

1

)

+ b1 x + ( b1 − a 1 ) + a 2 x 2 + b 2 x + ( b 2 − a 2 ) =

2

1

) (

x 2 + b 2 x + ( b 2 − a 2 ) + a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 )

2

( (b + b ) − ( a + a ) ) = ) x + (b + b ) x + ( (b + b ) − ( a

+ a 2 ) x 2 + ( b1 + b 2 ) x +

(a

2

+ a1

1

2

2

1

1

)

2

2

2

1

2

+ a1 )

)

Dada la conmutatividad en la suma de reales, entonces cumple.

(

)

(

)

4)  a 1 x 2 + b1 x + b1 − a 1  P ;  d 1 x 2 + e1 x + e1 − d 1  P

(d x

(a x

2

1

)

+ e1 x + ( e1 − d 1 ) = a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 )

2

1

de donde se tiene que:

(a

1

+ d 1 ) x 2 + ( b1 + e1 ) x +

( (b

1

)

+ e1 ) − ( a 1 + d 1 ) = a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 )

la igualdad se cumple si:

d1 = 0 e1 = 0 por lo tanto, el elemento idéntico es:

d 1 x 2 + e1 x + ( e1 − d1 ) = 0 x 2 + 0 x + 0  P

(

)

5)  a 1 x 2 + b1 x + b1 − a 1  P ;

(a

1

 existe

 i1 x 2 + j 1 x + ( j 1 − i 1 )  P

) (

)

x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 ) + i 1 x 2 + j 1 x + ( j 1 − i 1 ) = d 1 x 2 + e1 x + ( e1 − d 1 )

de donde se tiene que:

(a

1

+ i1 ) x2 +

(b

1

+ j1 ) x +

(( b

1

+ j1 ) − ( a 1 + i 1 )

65

) = 0x

2

)

+ b1 x + ( b1 − a 1 ) +

+ 0x + 0

ESPACIOS VECTORIALES

la igualdad se cumple si:

i 1 = − a1 j 1 = − b1 con lo cual, los elementos inversos son de la forma:

i 1 x 2 + j1 x +

(

(

)P

j 1 − i 1 ) = − a 1 x 2 − b1 x + − b1 − ( − a 1 )

(b

6)   a 1 x 2 + b1 x + 

− a 1 )   P

1

  a 1 x 2 +  b1 x + (  b1 −  a 1 

(

7)   a 1 x 2 + b1 x +

(b

1

) 



 P

) (

− a1 ) + a 2 x 2 + b 2 x + ( b 2 − a 2

(

)

cumple

) ) 

(

=

 a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 ) +  a 2 x 2 + b 2 x + ( b 2 − a 2   ( a 1 + a 2 ) x 2 + ( b1 + b 2 ) x + 

( a x

2

1

 existen

((b

1

+ b 2 ) − ( a1 + a 2

))

) ) 

=

) (

+  b1 x +  ( b1 − a 1 ) +  a 2 x 2 +  b 2 x +  ( b 2 − a 2

 ( a 1 + a 2 ) x 2 +  ( b1 + b 2 ) x +  ( b1 + b 2

) − ( a

1

+ a2

)

=

 ( a 1 + a 2 ) x 2 +  ( b1 + b 2 ) x +  ( b1 + b 2 ) −  ( a 1 + a 2

 8)

(  +  ) ( a1 x 2 + b1 x + ( b1 − a1 ) )

(

cumple

=

)

(

 a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 ) +  a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 )

(  +  ) a1 x 2

( a x 1

2

)

)

+ (  +  ) b1 x + (  +  ) ( b 1 − a 1 ) =

) (

+  b1 x +  ( b 1 − a 1 ) +  a 1 x 2 +  b 1 x +  ( b 1 − a 1 )

66

)

))

ESPACIOS VECTORIALES

(  +  ) a1 x 2 ( + )

+ (  +  ) b1 x + (  +  ) ( b1 − a 1 ) =

a 1 x 2 + (  +  ) b1 x + (  +  ) ( b1 − a 1 )

 cumple

(

(

9)    a 1 x 2 + b1 x + b1 − a 1



) ) 

=

(  ) ( a1 x 2 + b1 x + ( b1 − a1 ) )

   a 1 x 2 +  b1 x +  ( b1 − a 1 )  =  a 1 x 2 +  b1 x +  ( b1 − a 1 )  a 1 x 2 +  b1 x +  ( b1 − a 1 ) =  a 1 x 2 +  b1 x +  ( b1 − a 1 )

 cumple 10)  a 1 x 2 + b1 x +

(b

1

(

− a1 )  P ;   

)

 a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 ) =

a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 ) de donde:

 a 1 x 2 +  b1 x +  ( b1 − a 1 ) = a 1 x 2 + b1 x + ( b1 − a 1 ) esta igualdad se cumple si:

 existe

 =1 

Dado que se cumplen los diez axiomas, podemos concluir que el conjunto P es un espacio vectorial. Subespacio vectorial Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V. Si W es a su vez un espacio vectorial con respecto a las operaciones de adición y multiplicación definidas en V, se dice entonces que W es un subespacio de V.

67

ESPACIOS VECTORIALES

Teorema Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Si W es un subconjunto no vacío de V, entonces W será un subespacio de V, si y solo si, se cumplen las condiciones siguientes: 1)

 u, v  W ,

(

2)

 u  W

 K ,

y

u +v

) W

( u )

W

Ejercicio 2.4 Determine si el conjunto

A =

 ax

2

+ bx + c

2a + b − c = 0 ; a , b , c 



es un subespacio del espacio vectorial

P2 = definido sobre el campo

 ax

2

+ bx + c

a, b, c 



.

SOLUCIÓN: Despejando c de la ecuación que se tiene en el conjunto A, tenemos:

c = 2a + b Si se sustituye como término independiente en A, entonces dicho conjunto se puede expresar como:

A =

 ax

2

+ b x + ( 2a + b ) a , b 



Dado que el conjunto A es un subconjunto del espacio P2, entonces solo restaría comprobar que A es cerrado para la adición y la multiplicación por un escalar, para demostrar que es un subespacio.

68

ESPACIOS VECTORIALES

De esta forma se tiene que: 1)

 a 1 x 2 + b1 x +

( 2a

1

+ b1

)

(

, a 2 x 2 + b2 x +

( 2a

)

2

+ b2

(

)

A

)

a 1 x 2 + b 1 x + 2 a 1 + b 1  +  a 2 x 2 + b 2 x + 2 a 2 + b 2  =    

( a 1 + a 2 ) x 2 + ( b 1 + b 2 ) x +  2 ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2 )   A  cumple 2)

 ax2 + bx +

( 2a

2   ax + bx + 

+ b)  A

( 2a

+ b

)

y



 = ax2 + bx + 

( 2a

+ b ) A

 cumple Dado que se cumplen las dos cerraduras, entonces podemos concluir que A es un subespacio de P2.

Ejercicio 2.5

Sea M n  n el espacio vectorial de las matrices cuadradas de

orden n con elementos en

. Si W es un subconjunto de M n  n definido por: W =  B B E = EB 

donde E es una matriz dada de orden n x n, demuestre que W es un subespacio de

M nn . SOLUCIÓN: 1) Cerradura para la adición:

 A, B  W

69

ESPACIOS VECTORIALES

Al ser A y B elementos de W , entonces se cumple que:

AE = E A

B E = EB

y

debemos demostrar que:

( A +B) se tiene que

( A +B)

W

será un elemento de W si se cumple que:

( A +B) E =

E ( A +B)

( A +B) E =

EA +EB

considerando ( I ) , tenemos:

( A + B )E =

AE + B E

( A + B )E = ( A + B ) E por lo tanto,

( A +B)

sí es un elemento de W .

2) Cerradura para la multiplicación por un escalar:

 AW

y

  

(A) W es decir, se debe cumplir que:

(  Α )E

= E(  Α )

(  Α )E

= ( E Α )

al ser A elemento de W , entonces:

(  Α )E

= ( ΑE )

(  Α )E

= 70

(  Α )E

(I)

ESPACIOS VECTORIALES

por lo tanto,

(Α)

sí es un elemento de W .

Al cumplirse las dos cerraduras, entonces podemos afirmar que W es un subespacio vectorial de M n  n .

Ejercicio 2.6 Determine si el conjunto de funciones:

H =



f ( x ) x f ( x ) + f ( x ) = 0

es un subespacio del espacio vectorial

  

F



de funciones reales derivables

, sobre el campo real.

SOLUCIÓN: 1) Cerradura para la adición:

 f1 ( x ) ,

f2 ( x )  H  f 1 ( x ) + f 2 ( x )   H

Para que la suma de f 1 y f 2 pertenezca a H , entonces se debe cumplir que:

x  f 1 ( x ) + f 2 ( x )   +  f 1 ( x ) + f 2 ( x )  = 0 por propiedades de la derivada se tiene que:

x f ( x) + x f  ( x) +  f ( x) + f 1 2 2  1  

( x ) 

= 0

reagrupando:

x f ( x) + f ( x) + x f ( x) + f ( x) = 0 1 1 2 2    

71

(I)

ESPACIOS VECTORIALES

como f 1 ( x ) y f 2 ( x ) son elementos de H , entonces se cumple que:

x f 1 ( x ) + f 1 ( x ) = 0 x f 2 ( x ) + f 2 ( x ) = 0 sustituyendo en

( I ),

tenemos:

0+0 = 0 0 = 0 por lo tanto,  f 1 ( x ) + f 2 ( x )  sí pertenece a H .





2) Cerradura para la multiplicación por un escalar:

 f(x)  H

y

  

  f ( x )   H Se debe cumplir que:

x   f ( x )   +   f ( x )  x   f 

(x)

= 0

 +   f ( x )  = 0

  x f 

(x)+ f(x)

 = 0

( 0) = 0 0 = 0 por lo tanto,  f

(x)

sí pertenece a H .

Al cumplirse las dos cerraduras, entonces H sí es un subespacio de F . 72

ESPACIOS VECTORIALES

Combinación lineal Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea v  V . El vector v es una combinación lineal de los vectores v1 , v 2 , , v n si puede ser expresado de la forma:

v = 1 v 1 +  2 v 2 +

donde los escalares 1 ,  2 ,

Ejercicio 2.7 Dada la matriz

+ n v n

, n  K

 3 A=  y

x   11 

a) Determine los valores de las constantes x , y  matriz A sea una combinación lineal de las matrices:

 5 −3  B=    2 −1 

y

, de tal manera que la

 9 7  C =    − 5 4 

b) Con los valores de  y  obtenidos, exprese a la matriz A como una combinación lineal de las matrices B y C . SOLUCIÓN: a) Para obtener los valores de x , y solicitados, se procederá de la siguiente forma:

A = B + C sustituyendo las matrices:

 3   y

x  5  =    2 11 

−3   9  +    − 5 −1 

7   4 

al multiplicar y sumar se llega a:

 3   y

x   5 + 9  =   2  − 5  11  73

− 3 + 7   −  + 4  

ESPACIOS VECTORIALES

por igualdad de matrices se llega al sistema de ecuaciones:

 5    − 3   2    −

+ 9 = 3 + 7 = x − 5 = y + 4  = 11

al resolverlo por el método de Gauss, tenemos:

( 2 )( −3 )( 5 )  −    5   − 3  2 

+ 4  = 11 + 9 = 3 + 7 = x

 −  + 4  = 11   29  = 58  − 5  = x − 33   3  = y + 22 



− 5 = y

de la ecuación (2), tenemos que:

β=2 de (1)

α = −3 con los valores de α, β y las ecuaciones (3) y (4), tenemos:

− 5( 2) = x − 33



x = 33 − 10



x = 23

3( 2) = y + 22



y = 6 − 22



x = −16

con lo cual la matriz A es igual a:

 3 A=   − 16

23    11 

b) La combinación lineal solicitada es:

A = −3 B + 2 C 74

(1) ( 2) ( 3) ( 4)

ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 2.8 Sean el espacio vectorial subconjunto de

2

2

y S =

 ( 1, −1 ) , ( 3, 0 ) ( 2, 1 ) 

un

.

Exprese de dos maneras diferentes al vector v =

( 5, 1)

como una combinación

lineal de los vectores de S .

SOLUCIÓN: Expresando al vector v como una combinación lineal de los elementos de S , tenemos:

( 5, 1)

=  ( 1, −1 ) +  ( 3 , 0 ) +  ( 2 , 1 )

al multiplicar y sumar, se llega a:

( 5, 1)

=

(

 + 3 + 2 , −  + 

)

por igualdad de vectores, se llega al sistema:

  + 3  + 2  = 5  = 1  −  + 

(1) (2)

Dado que se trata de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado, es decir, con múltiples soluciones, entonces esto implica que existe una infinidad de posibilidades de expresar al vector v como una combinación lineal de los elementos del conjunto S . Obtengamos las dos formas distintas que se nos pide en el enunciado del ejercicio. De la ecuación (2), tenemos que:

γ = 1+ α si

=1

(3)  75

=2

ESPACIOS VECTORIALES

al sustituir en la ecuación (1), se tiene que:

1 + 3  + 2( 2) = 5 3 + 5 = 5



 = 0

Por lo tanto, una forma de expresar al vector v como combinación lineal de los elementos de S es:

v = 1 ( 1, −1 ) + 2 ( 2 , 1 ) Asignando un valor distinto a  en la ecuación (3), tenemos: si

 = −1



 =0

sustituyendo en (1), tenemos:

−1 + 3 + 2( 0) = 5 3 = 6

 =2 con lo cual la otra combinación lineal es:

v = − ( 1, −1 ) + 2 ( 3, 0 ) Es muy importante resaltar lo siguiente: a) Cuando un vector es expresado como una combinación lineal de los elementos de una base dada, entonces dicha combinación lineal es única. b) Si un vector se quiere expresar como una combinación lineal de los elementos de un conjunto generador, entonces existen una infinidad de posibilidades. Este es el caso que se presentó en este ejercicio. Los conceptos de base y conjunto generador citados se definirán a continuación. 76

ESPACIOS VECTORIALES

Dependencia lineal

Sea

A =

v ,v 1

2

, ... , v n



Se dice que A es

un conjunto de vectores.

linealmente independiente si la ecuación

1 v1 +  2 v 2 + solo se satisface cuando  1 =  2 =

+ n vn = 0 =  n = 0 . En caso contrario, es decir, si

existen escalares  1 ,  2 , ... ,  n no todos nulos, para los cuales se satisface dicha ecuación, entonces se dice que el conjunto A es linealmente dependiente.

Conjunto generador

Sea V un espacio vectorial sobre K , y sea

G =

v

1

, v 2 , ... , v n



un

conjunto de vectores de V . Se dice que G es generador de V , si todo vector de V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de G .

Base

Se define como base de un espacio vectorial V , a cualquier subconjunto B de vectores de V , tal que: 1)

Cualquier vector de V puede expresarse como una combinación lineal de los vectores de B .

2)

B es linealmente independiente.

77

ESPACIOS VECTORIALES

Dimensión La dimensión de un espacio vectorial V ,

se define como la cantidad de

elementos de cualquiera de sus bases y se denota como:

Dim V Si V =

0,

entonces Dim V = 0

Teorema Todo conjunto de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente.

Teorema Si W es un conjunto linealmente independiente, entonces cualquier subconjunto de W es linealmente independiente.

Teorema Sea V un espacio vectorial sobre un campo K . Si B = una base de V ,

v

1,

v2 ,

, vn

 es

entonces cualquier conjunto de vectores de V con más

de n elementos es linealmente dependiente.

Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces cualquier base de V deberá contener exactamente n vectores.

78

ESPACIOS VECTORIALES

Teorema

Si V es un espacio vectorial de dimensión n , entonces cualquier conjunto linealmente independiente que contenga n vectores del espacio V es una base de dicho espacio.

Vector de coordenadas

Sea B =

v

1,

v2 ,

 una base del espacio vectorial V

, vn

y sea v

un

vector cualquiera de V tal que:

v = 1 v1 +  2 v 2 + A los escalares  1 ,  2 ,

+ n vn

,  n se les llama coordenadas de v en la

base B y al vector:

( v )B = ( 1 ,  2 ,

, n

)

T

se le llama vector de coordenadas de v en la base B .

Ejercicio 2.9 Sean

subespacios de

 ( a, =  ( a,

S1 =

b, c )

a = 2c ; a, b, c 

S2

b, c )

b = c ; a, b, c 

3

 

.

a) Determine si el conjunto S 1  S 2 es un subespacio de

3

.

b) En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga una base y la dimensión de S 1  S 2 . 79

ESPACIOS VECTORIALES

SOLUCIÓN: a) De acuerdo con las condiciones dadas en S 1 y S 2 , dichos conjuntos se pueden expresar de la siguiente forma:

S1 =

 ( 2c,

S2 =

(a,

b, c )

b, c 



)

a, c 



c, c

Obsérvese que la característica de las ternas del conjunto S 1 , es que la primera componente es el doble de la tercera, en tanto que en S 2 , la característica es que la segunda componente y la tercera son iguales. Tomando en cuenta lo anterior, el conjunto que considera ambas características, es precisamente la intersección de ambos conjuntos, esto es:

 ( 2 c,

S1  S 2 =

c, c

)

c 



S 1  S 2 es empleando los conceptos

Otra forma de obtener el conjunto

estudiados en la asignatura Geometría Analítica. En estos términos el planteamiento sería el siguiente: El conjunto S 1 es el conjunto de puntos que pertenecen al plano a = 2 c y el conjunto S 2 son los puntos que pertenecen al plano b = c ; ambos planos contienen al punto

(

0 , 0 , 0 ) , lo que implica que dichos planos se intersecan y,

por lo tanto, definen una recta cuyos puntos son precisamente el conjunto buscado

S 1  S 2 . Lo que se hará es obtener la recta de intersección entre

estos planos. Sean

 1 : a − 2 c = 0  N1 = 2 : b − c

= 0 

80

N2 =

( 1, (

0, −2

)

0, 1 , − 1

)

ESPACIOS VECTORIALES

Un vector u paralelo a la recta viene dado por:

u = N1  N 2 =

i

j

k

1

0

−2

0

1

−1

entonces:

u =

(

2 , 1, 1

P0 =

(

0, 0, 0

= 2i + j + k

) )

de donde la ecuación de la recta en forma paramétrica es:

 x = 2t  L:  y=t   z = t de esta forma, se tiene que:

(

1   2 = S1  S 2 =

2t , t , t

)

t 



que es igual al conjunto intersección que se obtuvo en primera instancia. Determinemos ahora si S 1  S 2 es un subespacio de

3

.

Comprobando si se cumplen las dos cerraduras, tenemos:

Cerradura para adición



(2c

(2c

1

1

, c1, c1

) , (2c

) (

2

, c2, c2

, c 1 , c 1 + 2c 2, c 2 , c 2

)

 S1  S 2

) =  2 ( c



cumple

81

1

)

+ c 2 , c 1 + c 2 , c 1 + c 2   S1  S 2 

ESPACIOS VECTORIALES

Cerradura para multiplicación por un escalar



(

2 c , c , c )  S1  S 2 

(

y

2c, c, c) =

(

  2  c ,  c ,  c )  S1  S 2

 cumple con lo cual podemos concluir que S 1  S 2 es un subespacio de

3

.

b) Es evidente que el conjunto S 1  S 2 es de dimensión uno, puesto que depende de una sola variable, con lo cual se tiene que una base será:

B =



( 2,

1, 1

)

Dim S 1  S 2 = 1

Ejercicio 2.10 Sea el conjunto A =

 ( − 1,

k, 2 ) ,

( − 1,

1, − 1 ) ,

( 1,

0, 2 ) .

a) Determine el valor de k para que el conjunto A sea linealmente dependiente. b) Con el valor obtenido en el inciso anterior, obtenga el espacio vectorial que genera el conjunto A. c) Determine una base y la dimensión del espacio vectorial obtenido en el inciso anterior. SOLUCIÓN: a) Para obtener el valor de k solicitado, se mostrarán tres caminos distintos, con la idea de que el estudiante pueda utilizar cualquiera de ellos en problemas de dependencia o independencia lineal de conjuntos.

82

ESPACIOS VECTORIALES

MÉTODO 1: Aplicando la ecuación de dependencia lineal.

 1 ( − 1, k , 2 ) +  2

( − 1,

1, − 1 ) +  3 ( 1, 0, 2 ) = 0

( −

1,

k  1 , 2 1 + −  2 ,  2 , −  2 +

) (

) (

( −

1−

 2 +  3,

3,

k  1 +  2 , 2 1 −  2 + 2 3

0, 2  3

(1)

) = ( 0, 0, 0 )

) = ( 0, 0, 0 )

Por igualdad de vectores se llega al sistema:

 −1− 2+ 3 = 0   k1+ 2 = 0    2 1 −  2 + 2 3 = 0  Conmutando la primera columna con la tercera, tenemos:

3−2−1= 0 ( −2 )     2+ k1= 0     2 3 −  2 + 2 1 = 0 

 3− 2−1= 0     2+ k1= 0    ( −1)   2 + 4 1 = 0 

 3−2−1= 0     2 + 4 1 = 0     ( k − 4) = 0 1  Se trata de obtener el valor de k , de tal forma que el sistema de ecuaciones sea compatible indeterminado y, con esto, existan valores  1 ,  2 ,  3 distintos de 83

ESPACIOS VECTORIALES

cero para los cuales se satisfaga la ecuación (1) y entonces poder concluir que el conjunto A es linealmente dependiente. Es evidente en el sistema escalonado que con k = 4 , el sistema se reduce a dos ecuaciones con tres incógnitas y se convierte en un sistema compatible indeterminado, que admite múltiples soluciones y, por lo tanto, el conjunto

A

sería un conjunto linealmente dependiente. Si por el contrario k toma valores diferentes de cuatro, entonces A sería un conjunto linealmente independiente. MÉTODO 2: Este método consiste en formar una matriz con los vectores del conjunto A y mediante el escalonamiento de dicha matriz, buscar el valor de k para el cual uno de los renglones de la matriz se hace ceros. Cuando se realiza el escalonamiento de una matriz y uno o más renglones se hacen ceros, esto implica que dichos renglones son linealmente dependientes. De esta forma se tiene:

 −1 k  −1 1   1 0

2 −1 2

   



(1)  1 0 −1 1   − 1 k

2 −1 2

   

 1 0 2  ( − 4 )  0 1 1  0 k 4

   



1  0  0

0 2   1 1  ( k − 4 ) 0 

Con k = 4 el tercer renglón se hace ceros y se puede concluir que, con este valor, el conjunto A es linealmente dependiente. MÉTODO 3: Este tercer y último método consiste en formar un determinante con los vectores del conjunto A y determinar para qué valor de k el determinante es igual a cero. Cuando un determinante es igual a cero, implica que los renglones o las columnas que lo conforman son linealmente dependientes. De acuerdo con esto, tenemos:

−1

k

2

−1

1

−1

1

0

2

= − 2 − k − 2 + 2k = 0

84

ESPACIOS VECTORIALES

de donde se obtiene que:



k − 4 = 0 k = 4

con este valor de k, el conjunto A es linealmente dependiente. b) Dado que con k = 4 el conjunto A es linealmente dependiente, entonces podemos suprimir cualquiera de los vectores de A y con los restantes, que resultan ser linealmente independientes, generar el espacio vectorial solicitado. Si suprimimos el primer vector, entonces el espacio generado sería:

a ( −1 , 1 , −1 ) + b



E

( A) = (− a + b ,

( 1,

)

=

( −a + b ,

a , − a + 2b

)

a, b 

0, 2

a , −a + 2b

)



Es importante aclarar que al suprimir el segundo o tercer vector, el espacio vectorial que se genera es igual al espacio generado con los vectores considerados. c)

Una base del espacio vectorial sería:

B =

 ( − 1,

1, − 1 ) ,

( 1,

0, 2

)

dado que se trata de un conjunto generador con vectores linealmente independientes, entonces:

Dim E ( A ) = 2 Ejercicio 2.11 Sean el espacio vectorial

P = y el conjunto

A =

 at t

2

2

+ bt + c

+ 4 t −3,



a, b, c 

t2− 2t +5,

2 t 2 − 3 t, t + 3 

a) Determine si el conjunto A es generador del espacio vectorial P. b) En caso afirmativo, obtenga una base de dicho espacio. c) Determine las coordenadas del vector P 1 = t 2 + 2 t + 1, referidas a la base obtenida en el inciso anterior. 85

ESPACIOS VECTORIALES

SOLUCIÓN: a) Como se sabe, el conjunto P de los polinomios de grado menor o igual a dos es de dimensión tres, por lo que el conjunto A, al tener cuatro elementos, se puede afirmar que es un conjunto linealmente dependiente. De acuerdo con esto, se tomará un subconjunto de A con tres elementos y, si este es linealmente independiente, sería entonces una base de P y, por lo tanto, generador de dicho espacio vectorial. Consideremos entonces el subconjunto:

t

B =

2

+ 4t − 3, 2t 2 − 3t , t + 3 

Para determinar si B es linealmente independiente, se formará un determinante de 3  3 con los coeficientes de cada polinomio y, si dicho determinante es diferente de cero, entonces B es un conjunto linealmente independiente. De esta forma, se tiene:

1

4

−3

2

−3

0

0

1

3

= − 9 − 6 − 24 = − 39

Al ser el determinante diferente de cero, podemos concluir que B es linealmente independiente y, por lo tanto, una base de P y generador del mismo. De acuerdo con lo anterior se ha dado respuesta tanto al inciso a) como al inciso b), con lo cual, solo resta dar respuesta al inciso c). c) Las coordenadas del vector P1 = t 2 + 2 t + 1 vienen dadas por:

t 2 + 2t + 1 = 1

(t

2

+ 4t − 3

) +  ( 2t 2

2

− 3t

) +  ( t+3 ) 3

de donde se llega a:

t2 + 2t +1 =

(

1

+ 22

)t

2

+

( 4 86

1

− 3 2 + 3

)t

+

( −3 

1

+ 3 3

)

ESPACIOS VECTORIALES

por igualdad de polinomios, se obtiene:

(3) ( − 4)

  1 + 2 2    4  1 − 3 2 +  3  −3  + 3 3 1 

  1 + 2 2 = 1   ( −3 )  − 11  2 +  3 = − 2   6  2 + 3 3 = 4 

= 1 = 2



= 1

  1 + 2 2 = 1   − 11  2 +  3 = − 2    39  2 = 10  2 =

de (3):

(1) (2) ( 3)

10 39

( 4)

sustituyendo ( 4 ) en ( 2 ) :

 10  − 11   +  3 = −2  39   3 = −2 + 3 =

110 39

32 39

(5)

sustituyendo ( 4 ) en ( 1 ) :

 10  1 + 2  =1  39  1 = 1 − 1 =

20 39

19 39

por lo que el vector de coordenadas es:

( P1 ) B

10  19 =  , , 39  39 87

32   39 



ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 2.12 Para el espacio vectorial

A=

 ( x,

y, z )

x + y − z = 0 ; x, y , z 



Determine cuáles de los siguientes conjuntos son una base del espacio A :

 ( 1, 0, 0 ) , ( 0, 1, 0 ) , ( 0, 0, 1 )  B 2 =  ( 1, 0, 1 ) , ( 1, 1, 2 )  B 3 =  ( 1, 0, 1 ) , ( 1, 1, 2 ) , ( 0, 1, 1 ) 

a) B 1 = b) c)

SOLUCIÓN: Como puede apreciarse, el espacio vectorial A está conformado por el conjunto de puntos que pertenecen al plano cuya ecuación es x + y − z = 0 . Al tratarse de un plano en el espacio, es claro que el espacio A es un subespacio de

3

. Este espacio A puede ser expresado de la siguiente forma:

A =

 ( x,

y, x+ y )

x, y 



La cual se obtuvo al incluir la condición z = x + y en la definición del conjunto. Con esta forma de expresión del conjunto A, podemos apreciar que la característica que distingue a los elementos de este es que la tercera componente de los vectores viene dada por la suma de las dos primeras. Con esto, fácilmente podemos determinar si un vector pertenece o no al espacio A. Hechos estos comentarios, procedamos ahora a la resolución del ejercicio. a) Determinemos si el conjunto B 1 =

 ( 1, 0, 0 ) , ( 0, 1, 0 ) , ( 0, 0, 1 ) 

es una

base del espacio A. Este conjunto B1 que está conformado por los vectores unitarios i , j , k resulta ser la llamada base canónica de Todo vector de como A 

3

3

3

.

puede ser generado a partir de los elementos de esta base y

, entonces podemos afirmar que todo vector del conjunto A 88

ESPACIOS VECTORIALES

puede ser generado con los elementos de la base B 1 y por tratarse de una base, entonces sus elementos son linealmente independientes. Así pues, el conjunto

B 1 tiene las dos características requeridas para ser una base del espacio A, conjunto generador y linealmente independiente; sin embargo, se está pasando por alto un detalle que es muy importante, el conjunto B 1 solo podrá ser base del espacio A, si sus elementos pertenecen a este. Al revisar si los elementos de B 1 pertenecen al espacio A, nos damos cuenta que ninguno de ellos cumple con la condición de que la tercera componente es la suma de las dos primeras, por lo tanto, ningún elemento de B 1 pertenece al espacio A y, por consiguiente, el conjunto B 1 no es una base de A. b) Determinemos si el conjunto B 2 =

 ( 1, 0, 1 ) , ( 1, 1, 2 )  es

una base del

espacio vectorial A. Con base en lo planteado en el inciso a), determinemos en primera instancia si los elementos de B 2 pertenecen al espacio A. Como puede apreciarse fácilmente, los dos vectores de B 2 cumplen con la condición de que la tercera componente es igual a la suma de las dos primeras, por lo tanto, podemos afirmar que los dos elementos de B 2 sí pertenecen al espacio A. Por otro lado, al ser el espacio A el conjunto de puntos que pertenecen a un

A es igual a dos. Dado que el conjunto B 2 contiene únicamente dos vectores y estos pertenecen al espacio A, plano,

entonces

la

dimensión

de

además de ser linealmente independientes dado que no son proporcionales, entonces podemos concluir que el conjunto B 2 sí es una base del espacio vectorial A. c) Analizando

el

conjunto B 3 =

 ( 1, 0, 1 ) , ( 1, 1, 2 ) , ( 0, 1, 1 )  ,

se

puede

apreciar que sus tres elementos pertenecen al espacio A, es decir, cumplen con la característica señalada de la tercera componente. En el inciso anterior, se concluyó que el espacio A es de dimensión 2 y al tener B 3 tres elementos, entonces de acuerdo con uno de los teoremas enunciados anteriormente, B 3 es linealmente dependiente y, por lo tanto, no es una base del espacio A. 89

ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 2.13

Determine una base y la dimensión del espacio vectorial:

 M =  

 z1   0

− z1   z 2 

z1 , z 2 

  

a) Si M está definido sobre el campo complejo. b) Si M está definido sobre el campo real. SOLUCIÓN: a) Expresemos al conjunto M de la siguiente forma:

 M =  

− a − bi   c + d i 

 a + bi   0

a, b, c, d 

  

Lo que haremos a continuación es generar un conjunto de vectores de M y a partir de él llegaremos a una de sus bases. Asignando valores de unos y ceros a las literales a , b , c y d llegamos a:

1  B1 =    0

−1  , 0

 i −i  0  ,  0  0 0

0 0 ,  1 0

0  i 

    

Dado que el campo de definición es complejo, entonces:

 i  0

−i  1 = i   0 0

−1   0

0  0

0 0 = i   i  0

0  1

Con lo cual es evidente que el conjunto B 1 es linealmente dependiente. Si eliminamos los elementos dependientes, llegaríamos al conjunto:

1  B2 =    0

−1   , 0 90

0  0

0  1

    

ESPACIOS VECTORIALES

Como se trata de matrices no proporcionales, entonces son linealmente independientes. Por otro lado, el conjunto B 2 es generador del espacio M , dado que:

−1   0 

1 Z1   0

 Z1 0  =   0 1 

0 + Z2   0

− Z1   Z 2 

Al ser B 2 un conjunto generador y linealmente independiente, entonces B 2 es una base del espacio M , por lo tanto, cuando el campo de definición es complejo, la dimensión de M es dos. b) Analicemos ahora el caso de que M esté definido sobre el campo real. El procedimiento será el mismo, es decir, partiremos del conjunto B 1 generado en el inciso anterior. Si planteamos que:

 i   0

−i    0

0   0

0   i 

=

1 1   0

−1    0

(1)

=

0   0

0   1

( 2)

2

y considerando que el campo de definición es real, entonces no existen valores para  1 y  2 dentro del campo, con los cuales se satisfagan las igualdades

(1) y ( 2), lo que implica que dichos vectores no son proporcionales y, por lo tanto, son linealmente independientes. Con esto, podemos concluir que el conjunto:

  B1 =  

1   0

−1  ,  0

 i   0

−i  ,  0 91

0   0

0 ,  1

0   0

0   i 

   

ESPACIOS VECTORIALES

es linealmente independiente y, además, es generador de M , pues:

1 a   0

−1   i  + b    0 0 

−i  0  + c    0 0 

0  a + bi − a − bi  =     0 i  c + di

0 0  + d     0 1 

   

Por lo tanto, el conjunto B 1 es una base del espacio M , lo que implica que la dimensión de M es cuatro cuando el campo de definición es real.

Ejercicio 2.14 Sea B =

v , 1

v2 , v3



un conjunto de vectores linealmente

independiente. Determine si el conjunto D =

v

1

− v 2 , v 2 − v 3 , v1 + v 3

 es

linealmente dependiente o independiente. SOLUCIÓN: Analicemos el conjunto D mediante la ecuación de dependencia lineal:

(

 v1 − v 2

) + ( v

2

) + ( v

− v3

1

+ v3

)=0

(1)

al desarrollar los productos y factorizar v 1 , v 2 y v 3 , se llega a:

(

 + 

) v1

+

(

− +  ) v2 +

(

− + 

) v3

=

(

0, 0, 0

)

por igualdad de vectores se llega al sistema

  +  = 0   − +  = 0   −  +  = 0

92

( 2)

ESPACIOS VECTORIALES

Calculemos el determinante de la matriz de coeficientes para determinar si se trata de un sistema compatible determinado o indeterminado.

1 −1 0

0 1 −1

1 0 1

= 1+1 = 2

Dado que el determinante resultó diferente de cero, entonces el sistema es compatible determinado, es decir, la única solución del sistema es la trivial, esto es:

 ==  = 0 Por lo tanto, la única solución para la ecuación (1) es que todos los escalares sean cero, lo cual implica que el conjunto D es linealmente independiente. Es conveniente señalar que el sistema de ecuaciones (2) es un sistema homogéneo. Estos sistemas siempre son compatibles y una de sus soluciones es la trivial, lo importante en este caso es poder determinar si el sistema es compatible determinado o indeterminado y con ello poder concluir sobre la dependencia o independencia lineal del conjunto D. El llegar a la solución del sistema de ecuaciones no resulta relevante para el propósito del ejercicio.

Isomorfismo entre espacios vectoriales Sean U y V dos espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un campo K . Se dice que la función f : U → V es un isomorfismo de U a

V , si f es biyectiva y además cumple con las condiciones siguientes: 1)

f

(u

2)

f

( u )

1

+ u2

)

= f1 ( u1

=  f

(u )

)

+ f

(u )

;

2

;  u  U

y

 u1 y u 2  U    K

Los espacios vectoriales isomorfos solo difieren en la naturaleza de sus elementos, sus propiedades algebraicas son idénticas. 93

ESPACIOS VECTORIALES

Teoremas 1) Si

V

es un espacio vectorial real de dimensión n , entonces n

isomorfo a

V

es

.

2) Todo espacio vectorial es isomorfo a sí mismo. 3) Si un espacio vectorial V es isomorfo a otro espacio W , entonces W es isomorfo a V . 4) Si un espacio vectorial U es isomorfo a un espacio V y V es a su vez isomorfo a un espacio W , entonces U es isomorfo a W . 5) Dos espacios vectoriales de igual dimensión son isomorfos.

Ejercicio 2.15

Para cada espacio vectorial dado, establecer un isomorfismo con n

un espacio del tipo

 ax

a)

Q =

b)

 N =  

2

.

+ b x + ( 2a + 6 b

 a   a + b

b   c 

)

a, b 

c = 2a ;



a, b, c 

  

SOLUCIÓN: a) La base natural del espacio vectorial Q es:

B =

x

2

+2, x+6

Con lo cual Q es un espacio vectorial de dimensión dos, entonces Q es isomorfo a

2

o a cualquier otro subespacio del tipo

94

n

de dimensión dos. De

ESPACIOS VECTORIALES

acuerdo con lo anterior, podemos establecer las funciones f y g entre el espacio Q y los espacios: 2

H

 ( a, b) a, b   =  ( a, b , 2a + 6b ) a, b   =

Ambos espacios de dimensión dos. Con lo cual se tiene:

f

( ax

2

+ b x + ( 2a + 6 b ) ) =

( a, b) ,

g

( ax

2

+ b x + ( 2a + 6 b ) ) =

( a,

esto es ,

f:Q→

2

b , 2 a + 6 b ) , esto es , g : Q → H

Las dos funciones cumplen con ser biyectivas, por lo que se procederá a verificar el cumplimiento de las dos condiciones para ver si establecen o no un isomorfismo. Para f , se tiene:

1)

 a 1 x 2 + b1 x +

( 2a

1

+ 6 b1

f f  

(a

1

x 2 + b1 x +

f  a 1 x 2 + b 1 x +

(u

( 2a

( 2a

1

1

1

)

, a 2 x2 + b2 x +

)

=

f

))

+

(a

+u2

+ 6 b1

+ 6 b1

) 

(u ) 1

2

( 2a

+ f

2

)Q

+ 6b2

(u )

x2 + b2 x +

2

( 2a

+ f  a 2 x 2 + b 2 x +

2

+ 6b2

( 2a

2

) ) 

+ 6b2

=

) 

Sumando del lado izquierdo de la igualdad y aplicando f del lado derecho, tenemos:

f  ( a 1 + a 2 ) x 2 + ( b 1 + b 2 ) x + 2 ( a 1 + a 2 ) + 6 ( b 1 + b 2 )  = ( a 1 , b 1 ) + ( a 2 , b 2 )

95

ESPACIOS VECTORIALES

Aplicando f del lado izquierdo y sumando del lado derecho, tenemos:

(a

1

+ a2 , b1 + b 2

)

=

 2)

 a x 2 + b x + ( 2a + 6 b )  Q f

(a

)

+ a2 , b1 + b 2

cumple

 

y

( u )

1

(u )

= f

f   ( a x 2 + b x + ( 2 a + 6 b ) )  =  f  a x 2 + b x + ( 2 a + 6 b )  de donde:

f   a x 2 +  b x +

(

2 a + 6b

(a, 

)

 =  ( a , b )

b ) =

(a,

b )

cumple

Dado que f es biyectiva, entonces f establece un isomorfismo entre los espacios Q y

2

.

Para g se tiene: 1)

 a1 x 2 + b 1 x +

( 2a g

+ 6 b1 ) , a2 x 2 + b 2 x +

1

(u

1

+ u2

)

= g

(u

1

( 2a + 6b )  Q )+ g( u ) 2

2

2

g  a 1 x 2 + b 1 x +

( 2a

1

+ 6b1 )

g  a 1 x 2 + b 1 x +

( 2a

1

+ 6 b 1 )  + g  a 2 x 2 + b 2 x +

+ a2 x 2 + b 2 x +

( 2a

2

+ 6b 2

( 2a

2

) 

+ 6b 2

sumando y aplicando g : g  ( a 1 + a 2

)x

(a , 1

2

+ ( b1 + b 2

)x

+ 2 ( a1 + a 2

b 1 , 2 a1 + 6 b 1 ) + 96

(a

2

) + 6(b

1

+ b2

, b 2 , 2a2 + 6 b 2

)

=

) 

=

) 

ESPACIOS VECTORIALES

aplicando g y sumando, tenemos:

(a

1

+ a 2 , b 1 + b 2 , 2 ( a1 + a 2

) + 6(b

1

+ b2

))= ( a

1

+ a 2 , b 1 + b 2 , 2 ( a1 + a 2

) + 6 (b

1

+ b2

 cumple 2)

 a x 2 + b x + ( 2a + 6 b )  Q

 

y

g ( u

)

= g ( u

)

g   ( a x 2 + b x + ( 2 a + 6 b ) )  =  g  ( a x 2 + b x + ( 2 a + 6 b ) )  de donde:

g   a x 2 +  b x + ( 2  a + 6  b

(

)  )

 a, b, 2 a + 6b

=  ( a, b, 2a + 6b =

(

)

 a, b, 2 a + 6b

)

 cumple Dado que g es biyectiva, entonces g establece un isomorfismo entre los espacios Q y H .

b) El espacio vectorial N se puede expresar como:

  N =   

 a    a+b

b    2a 

    

a, b 

La base natural de N es:

  B =   

1   1

0   ,  2 

 0   1

1    0 

    

Con lo cual N es un espacio vectorial de dimensión dos, entonces N es isomorfo a

2

o a cualquier otro subespacio del tipo 97

n

de dimensión dos.

))

ESPACIOS VECTORIALES

De

acuerdo

h: N →

2

con lo anterior, podemos establecer la función biyectiva con la siguiente regla de correspondencia:

 h   

 a    a+b

b    2a 

  =  

( a, b )

Veamos si h cumple con las dos condiciones.

1)

 a1     a1 + b 1

b1   ,  2 a1 

a2     a2 + b 2

h ( u1 + u 2

b2    N  2a2 

) = h( u ) + h( u ) 1

2

de donde:

  a1 b1   a2 b2     h +       a1 + b 1 2 a1   a 2 + b 2 2 a 2

  a1   a2 b1   b2   = h  + h            a1 + b 1 2 a1     a2 + b 2 2a2

sumando y aplicando h , tenemos:

 h    

a1 + a 2     ( a 1 + a 2 ) + ( b 1 + b 2

b1 + b 2

)

2 ( a1 + a 2

)

   

  =   

(a

1

, b1

aplicando h y sumando, se tiene:

(a

1

+ a2 ,

b1 + b 2

)

=

 2)

 a    a + b

b    N 2 a 

y

(a

1

+ a2 ,

cumple

 

h ( u

)

= h 98

(u )

b1 + b 2

)

) + (a

2

, b2

)

    

ESPACIOS VECTORIALES

de donde:

  a h     a+b    h   

b   2 a 

a     a +  b

b   2  a 

(

a, b

   a  = h      a+b      =   

)



(

=

(

   

)

a, b

a, b

b   2 a 

)

cumple 2

Entonces h establece un isomorfismo entre los espacios N y

.

Matriz de transición Sean A =

v

1

, v2 ,

, vn



y B =  w1 , w 2 ,

, wn

 dos

bases de un

espacio vectorial V . La matriz de transición M BA tiene por columnas los vectores de coordenadas de los elementos de la base A con respecto a la base B , esto es:

( ) (v )

M BA =  v 1 

2

B

(v ) n

B

B

 

Esta matriz M BA conocida también como matriz de cambio de base, es tal que, si conocemos

( v )A

donde v  V y deseamos

coordenadas de v en la base B , esto es

obtener

el

vector

de

( v ) B , entonces es suficiente con

efectuar el producto:

M BA

( v )A

=

( v )B

Además, se tiene que la matriz de transición es una matriz no singular, esto es, siempre tiene inversa y se cumple que:

(M ) A B

−1

= M AB

99

ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 2.16 Sean

A =

 ( 0,

1, 1 ) ,

B =

 ( 0,

−1, 1 ) ,

( −1,

3

dos bases del espacio vectorial

( 1,

−1, 2 ) ,

( 0,

0, 2

)

0, 1 ) ,

( −1,

1, 0

)

.

a) Obtenga la matriz de transición M BA . b) Si se tiene que

( v )B

( 1,

=

− 2, 1 ) , obtenga

( v )A.

c) Obtenga los vectores v 1 y v 2 si se sabe que:

(v

1

( 2v

1

− v2

)

+ v2

)

3   =  2, 0, −  2  

A

B

=

( 0,

4, 1

)

SOLUCIÓN: a) Para obtener la matriz de transición M BA , lo que se tiene que hacer es obtener los vectores de coordenadas de los elementos de la base A con respecto a la base B . La disposición en columna de estos vectores de coordenadas nos permitirán llegar a la matriz de transición solicitada. Para el primer vector, tenemos:

( 0, 1, 1 )

=  1 ( 0, − 1, 1 ) +  1 ( 1, 0, 1 ) +  1 ( − 1, 1, 0 )

al multiplicar y sumar, se tiene:

( 0, 1, 1 )

=

( − 1

1

, − 1 +  1 ,

 1 + 1

por igualdad de vector, se llega al sistema:

  1 − 1    −  1 + 1    1 +  1 100

=

0

=

1

=

1

)

ESPACIOS VECTORIALES

al resolver el sistema, se obtiene que:

1 = 0 ,

1 = 1 ,

por lo que:

( 0, 1, 1 ) B

1 = 1

= ( 0, 1, 1 )

Tomando ahora el segundo vector de la base A , tenemos:

( − 1,

− 1, 2 ) =  2 ( 0, − 1, 1 ) +  2 ( 1, 0, 1 ) +  2 ( − 1, 1, 0 )

de donde se llega al sistema:

  2 − 2    −  2 + 2    + 2 2 

=

−1

=

−1

=

2

al resolverlo, se obtiene que:

2 = 2 , por lo tanto:

2 = 0 ,

( − 1,

− 1, 2 ) B =

2 = 1

( 2,

0, 1 )

Para el tercer vector de la base A, tenemos:

( 0,

0, 2 ) =  3 ( 0, − 1, 1 ) +  3 ( 1, 0, 1 ) +  3 ( − 1, 1, 0 )

de donde se llega al sistema:

  3 − 3    −  3 + 3    + 3 3 

=

0

=

0

=

2

cuya solución es:

3 = 1 ,

3 = 1 , 101

3 = 1

ESPACIOS VECTORIALES

con lo cual:

( 0,

0, 2 ) B = ( 1, 1, 1 )

Al colocar los vectores de coordenadas en columnas, se llega a la matriz solicitada.

M BA =

b) Nos piden obtener

( v )A

      

0

2

1

1

0

1

1

1

1

sabiendo que

( v )B

=

      

( 1,

−2 , 1).

Este inciso lo resolveremos por tres caminos distintos: MÉTODO

1.

A partir del

( v )B

=

( 1,

− 2 , 1 ) y la base B obtendremos el vector v ,

( v ) A . Se tiene que:

posteriormente con v y la base A obtendremos

v = 1 ( 0 , −1, 1

)

− 2 ( 1, 0 , 1

de donde:

v = Obteniendo ahora

(

(

− 3 , 0 , −1

)

+ 1 ( −1, 1, 0

)

)

( v ) A , tenemos:

− 3 , 0 , −1

)

=  ( 0 , 1, 1

)

+  ( −1, −1, 2

)

+ 

(

0, 0, 2

llegando al sistema:

−  = −3    = 0  −     +   +   = −1  cuya solución es:

 =3 ,

=3 , 102

 = −5

)

ESPACIOS VECTORIALES

Por lo tanto, el vector de coordenadas solicitado es:

( v )A MÉTODO

( 3,

=

)

3, − 5

2.

Para llegar al

( v )A

, haremos

uso de la expresión:

( v )A

M BA

( v )B

=

(1)

Dado que M BA es una matriz no singular, entonces

(M ) A B

−1

existe, por lo que

premultiplicaremos la ecuación (1) con dicha matriz inversa.

(M ) A B

−1

M BA ( v

de donde:

( v )A

=

)A

(M ) (v ) −1

A B

=

(M ) (v )

B

−1

A B

( 2)

B

Al obtener la inversa de la matriz M BA , se llega a:

( M BA )

−1

=

       

−1

−1

2

0

−1

1

1

2

−2

       

= M BA

Al sustituir los elementos conocidos en la ecuación ( 2), se tiene:

( v )A

por lo tanto:

=

       

−1

−1

2

0

−1

1

1

2

−2

       

( 3,

3 , −5

( v )A

=

103

 1   −2   1

)

  3      =  3     − 5

     

ESPACIOS VECTORIALES

MÉTODO

3:

El procedimiento a seguir en este tercer método será sustituir directamente los datos conocidos en la ecuación (1) y expresar al vector incógnita de componentes

( x,

( v )A

como un vector

y , z ) . De esta forma tenemos que:

M BA

( v )A

=

( v )B

sustituyendo, tenemos:

 0   1   1

2 0 1

1  1  1 

 x 1      y  = −2       z   1 

de donde:

2y + z    1       x + z  =  −2       x + y + z   1  por igualdad de matrices se llega al sistema:

2y + z = 1   x + z = −2    x + y + z = 1 cuya solución es:

x =3 ,

y =3 ,

z = −5

con lo cual, llegamos a:

( v )A

= ( 3, 3, − 5

)

Como era de esperarse, con los tres métodos mostrados llegamos a la misma respuesta.

104

ESPACIOS VECTORIALES

c) Se nos pide obtener los vectores v 1 y v 2 sabiendo que:

(v

1

− v2

)

A

( 2v

1

+ v2

)

B

3   =  2, 0, −  2  

(

=

0 , 4, 1

)

Con estos vectores de coordenadas, obtendremos los vectores v 1 − v 2 y

2 v1 + v 2 :

v 1 − v 2 = 2 ( 0, 1, 1 ) − de donde:

por otro lado:

3 2

( 0,

0, 2 )

v1 − v 2 = ( 0, 2, −1 )

(3)

2 v1 + v 2 = 4 ( 1, 0 , 1 ) + 1 ( − 1, 1, 0 )

con lo cual:

2 v1 + v 2 =

( 3,

1, 4 )

con las expresiones (3) y (4), se llega al sistema:

 v 1 − v 2 = ( 0, 2, −1 )     2 v 1 + v 2 = ( 3, 1, 4 ) al sumar ambas ecuaciones, se llega a:



3 v1 =

( 3,

3, 3 )

v1 =

( 1,

1, 1 )

de la segunda ecuación del sistema, tenemos:

v 2 = ( 3, 1, 4 ) − 2 v1 sustituyendo v 1 :



v2 =

( 3,

1, 4 ) − 2 ( 1, 1, 1 )

v2 =

( 1,

−1, 2 ) 105

( 4)

ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 2.17 Sean

u

A =

1

, u 2, u3



B =

y

v

1

, v2, v3

 dos

bases

de un espacio vectorial de dimensión tres, las cuales están relacionadas de la siguiente manera:

v1 = u1 + u 3 v 2 = 2u 2 v3 = u2 + u3 a) Obtenga la matriz de transición de la base A a la base B. b) Obtenga las coordenadas en la base B del vector w , si se tiene que

( w )A

=

( 3,

5 , 2 ).

SOLUCIÓN: a) La relación que se proporciona entre los elementos de las bases A y B , nos define la matriz de transición de la base B a la base A, esto es:

M

B A

1 = 0   1

0 2 0

0 1 1

   

Se sabe que:

(M ) B A

−1

= M BA

Entonces será suficiente con obtener la inversa de la matriz M AB para llegar a la matriz solicitada. Al obtener la inversa de M AB se llega a:

M BA

   =    

1

0

1 2

1 2

−1

0

b) Se tiene que:

M BA ( w ) A =

( w)B 106

0   1  − 2   1 

ESPACIOS VECTORIALES

entonces

( w )B

 1   1 =  2   − 1

0   1  − 2   1 

0 1 2 0

 3   3        5  =  3     2   − 1

     

 ( w ) B = ( 3, 3, − 1 )



Ejercicio 2.18 Sean A = a 1 , a 2 , a 3 y

= x

2

+ x −3, 3x 2 + x −5, x 2 − 2x + 2 

B =  b 1 , b 2 , b 3  dos bases del espacio vectorial



P = ax2 + bx + c

a, b, c 



Si se sabe que:

(a ) 1

B

( 1,

=

0, 1

)

,

(a ) 2

B

=

(

2, 1, 2

)

,

(a ) 3

obtenga los vectores de la base B . SOLUCIÓN: Este ejercicio se resolverá siguiendo dos métodos distintos. MÉTODO

1.

De los datos del enunciado se tiene que:

M BA

1  = 0   1

107

2 1 2

−1   1   0 

B

=

(

− 1, 1, 0

)

ESPACIOS VECTORIALES

si se obtiene la inversa de esta matriz, se llega a:

(M ) A B

−1

 −2  =  1   − 1

= M BA

−2

3  −1   1 

1 0

considerando las columnas de M AB , se tiene que:

(b ) 1

A

=

(

− 2, 1, − 1

)

(b )

,

2

A

(

=

− 2, 1, 0

)

(b )

,

3

A

(

=

3, − 1, 1

)

son los vectores de coordenadas de los elementos de la base B con respecto a la base A , con lo cual se tiene que:

b1 = − 2 ( x 2 + x − 3

) + 1 ( 3x

2

+ x −5

) −1 ( x

2

− 2x+2

al realizar las operaciones y simplificar, se llega a:

b1 = x − 1 en forma análoga, se tiene que:

b 2 = −2

(

x 2 + x−3

) + 1 ( 3x

2

+ x−5

)

b 2 = x 2 − x +1 finalmente:

b3 = 3 ( x 2 + x − 3

) − 1 ( 3x

+ x−5

) + 1( x

x 2 − x + 1,

x2 − 2 

2

2

b3 = x 2 − 2 por lo tanto, la base B es

B =

 x − 1,

108

− 2x + 2

)

)

ESPACIOS VECTORIALES

MÉTODO

2.

En el enunciado del problema nos proporcionan los vectores de coordenadas de los elementos de la base A con respecto a la base B . Con las componentes de estos vectores podemos obtener los vectores a 1 , a 2 , a 3 expresándolos como una combinación lineal de los elementos de la base B , esto es:

 b1 + b3 = a1     2b1 + b 2 + 2b 3 = a 2   = a3  − b 1 + b 2 sustituyendo los vectores a 1 , a 2 , a 3 , se llega al sistema:

 b1 + b3 = x2 + x−3    2  2b 1 + b 2 + 2b 3 = 3 x + x − 5   = x2 − 2x + 2  − b 1 + b 2 escalonando el sistema, tenemos:

( 1 ) ( − 2 )  b1 + b3 = x 2 + x − 3    2  2 b 1 + b 2 + 2 b3 = 3 x + x − 5   = x2 − 2x + 2  − b 1 + b 2



 b1 + b3 = x 2 + x − 3    b2 = x2 − x + 1    b 2 + b3 = 2 x 2 − x − 1 

de ( 2 ) , se tiene:

b2 = x2 − x + 1 109

(1) (2) ( 3)

ESPACIOS VECTORIALES

sustituyendo ( 2 ) en ( 3 ) , tenemos:

(x

2

− x +1

)+b

3

= 2 x 2 − x −1

de donde:

b3 = x 2 − 2

(4)

sustituyendo ( 4 ) en ( 1 ) , se tiene:

b1 +

(x

2

−2

)=

x2 + x − 3

entonces

b1 = x − 1 con lo cual se llega a que la base B es:

B =

 x − 1,

x 2 − x + 1, x 2 − 2 

Espacio renglón y espacio columna de una matriz Sea A una matriz de orden m  n . 1) Si consideramos a los renglones A como vectores del espacio al espacio generado con los renglones de se le representa con:

L ( AR

n

, entonces

A se le llama espacio renglón y

)

2) Si consideramos a las columnas de A como vectores del espacio

m

,

entonces al espacio generado con las columnas de A se le llama espacio columna y se le representa con:

L ( AC

110

)

ESPACIOS VECTORIALES

Teorema Para cualquier matriz A , se tiene que:

Dim L ( AR

) = Dim L (

AC

)

Teorema Dos matrices equivalentes tienen el mismo espacio renglón. Es importante recordar lo siguiente: Se dice que una matriz A es equivalente a una matriz B , si B se puede obtener a partir de la matriz A mediante un número finito de transformaciones elementales. Conviene aclarar que las transformaciones elementales aplicadas a la matriz A para llegar a la matriz B , deben ser todas ellas por renglón. El teorema enunciado no aplica si se realizan en la matriz A transformaciones elementales por columna.

Rango de una matriz Sea A una matriz de orden m  n . El rango de la matriz A se define como el número de renglones distintos de cero después de haber concluido el escalonamiento de la matriz.

Teorema Para cualquier matriz A , se tiene que:

Rango

( A)

= Dim L ( A R

111

) = Dim L ( A ) C

ESPACIOS VECTORIALES

Ejercicio 2.19 Para la matriz

 1   A =  2   − 1

2

−1

−1

2

3 −3

3    2   1 

Obtenga: a)

El espacio renglón L

( A ), R

una base y su dimensión.

b)

El espacio columna L

( A ),

una base y su dimensión.

C

SOLUCIÓN: a)

Para obtener el espacio renglón, se obtendrá primero una base del mismo mediante el escalonamiento de la matriz A.

(1) ( − 2 )  1 2 −1 3       2 −1 2 2       − 1 3 − 3 1 



2 −1 3  1     (1)  0 − 5 4 −4       0 5 −4 4 



2 −1 3  1     0 −5 4 −4       0 0 0 0 

Los renglones no nulos de la matriz equivalente, una vez concluido el escalonamiento, constituyen una base del espacio renglón y, por consiguiente, el número de renglones no nulos, nos definen la dimensión de dicho espacio vectorial. A este número también se le conoce como rango de la matriz A. De acuerdo con lo anterior, se tiene que una base del espacio renglón será:

BR =



 ( 1,

2 , − 1, 3 ) ,

Dim L ( AR

)=2 112

(

0 , − 5 , 4, − 4

)

ESPACIOS VECTORIALES

Generando el espacio renglón, tenemos:

a ( 1, 2 , − 1, 3 ) + b ( 0 , − 5 , 4 , − 4

L ( AR



) =  ( a,

)

=

( a,

2 a − 5 b , − a + 4 b , 3a − 4 b

2 a − 5 b , − a + 4 b , 3a − 4 b )

a, b 

)



b) Como sabemos que la dimensión del espacio columna es igual a la dimensión del espacio renglón, entonces será suficiente con tomar dos vectores columna de la matriz original, cuidando que estos no sean proporcionales, para obtener una base del espacio columna. De esta forma, una base será:

 ( 1,

BC =

2, − 1 ) ,

Dim ( AC



)

(

2, − 1, 3

)

= 2

y el espacio columna será:

a

( 1,

 L ( AC

2, − 1

)

+ b ( 2, − 1, 3

) =  ( a + 2b,

)

=

(

a + 2 b , 2 a − b , − a + 3b

2 a − b , − a + 3b

)

a, b 

)



Ejercicio 2.20 Sea la matriz

   A =    

1

−1

1

0

0

−1

3

−1

3   −2   5   − 1 

Determine: a) Si el conjunto B =

 ( 1, −1, 3 ) , ( −1,

generado por los renglones de la matriz A.

113

−1, 7

)

es una base del espacio

ESPACIOS VECTORIALES

b)

Si el vector v = ( − 4, 5, − 9, 6 columnas de la matriz A .

)

T

pertenece al espacio generado por las

SOLUCIÓN: a) Para poder determinar si el conjunto B es una base del espacio renglón de la matriz A , lo primero que se podría hacer es generar dicho espacio y determinar su dimensión. Si esta es igual a dos, entonces tendríamos que verificar si los elementos de B pertenecen a dicho espacio; de ser así, podríamos afirmar que el conjunto B sí es una base, pues los vectores de B al no ser proporcionales son linealmente independientes. Si la dimensión del espacio renglón es diferente de dos, entonces B no puede ser una de sus bases. Escalonemos la matriz A para obtener una base del espacio renglón.

( − 3 ) ( −1)       

1 −1

3  1 0 −2   0 −1 5   3 −1 −1 

  ( − 2 ) (1)      

1 −1

3   0 1 − 5  (1)   0 −1 5   0 2 −10 

      

1 −1 0 0 0

3  1 −5   0 0  0 0 

de donde una base del espacio renglón es:

B R =  ( 1, 0, − 2 ) ,

( 0,

1, − 5 )



 Dim L ( AR ) = 2 con los elementos de la base se llega a que:

L ( AR

) = ( a,

b, −2a − 5 b

114

)

a, b 





      

1 0 0 0

0 −2   1 −5   0 0   0 0 

ESPACIOS VECTORIALES

(

Dado que la dimensión del L AR

)

es igual a dos, entonces solo faltaría

comprobar que los elementos del conjunto B pertenecen a este espacio. El conjunto B = Para el vector

 ( 1,

( 1,

−1, 3 ) ,

( −1,

−1, 7 ) .

−1, 3 ) , se tiene que:

a = 1 b = −1 entonces se debe cumplir que:

− 2 a − 5b = 3 sustituyendo:

− 2 ( 1 ) − 5 ( −1 ) = 3 −2 + 5 = 3 3 = 3 Para el vector

( −1,

 ( 1, −1, 3 )  L ( A R

)

 ( −1, −1, 7 )  L ( AR

)

−1, 7 ) , se tiene que:

a = −1 b = −1 al sustituir:

− 2 ( − 1 ) − 5 ( −1 ) = 7 2 + 5 = 7 7 = 7

Podemos concluir entonces que el conjunto B sí es una base del espacio renglón. b) Dado que el espacio renglón es de dimensión dos, entonces el espacio columna también es de dimensión dos. De acuerdo con esto, dos vectores cualesquiera

(

del L A C

) , que no sean proporcionales, formarán una base de este espacio. 115

ESPACIOS VECTORIALES

Considerando las dos primeras columnas de A , tenemos que:

BC =

(

 ( 1, 1, 0, 3 )

es una base de L A C

T

,

( − 1,

0, − 1, − 1 )

T



).

Para determinar si el vector v = ( − 4, 5, − 9, 6

)

T

(

pertenece al L A C

),

será

suficiente con averiguar si v puede ser expresado como una combinación lineal de los elementos de B C .

( − 4,

5, − 9, 6 ) =  ( 1, 1, 0, 3 ) +  ( − 1, 0, − 1, − 1 )

Al desarrollar las operaciones y por igualdad de vectores, se llega al sistema:

  −      −    3  − 

= −4 = 5 = −9 = 6



 = 5  = 9

Como los valores obtenidos de  y  satisfacen todas las ecuaciones del sistema, entonces podemos concluir que el vector v sí pertenece al espacio columna de la matriz A . Ejercicio 2.21 Sea la matriz

 1  A =  3   − 8

2

1

3

2

5

−1

4   7   k 

Determine el valor de k para que el espacio columna asociado a la matriz A sea de dimensión 2 . SOLUCIÓN: Este ejercicio lo resolveremos por dos caminos distintos. 116

ESPACIOS VECTORIALES

MÉTODO

1:

Para realizar el escalonamiento de la matriz A por renglones en lugar de hacerlo

AT .

por columnas, trabajaremos con

( − 4 ) ( −1) ( − 2 )       



      

1

3

2

3

1

2

4

7

1

3

0

0

0

−1

0

0

−8   5   −1   k 

     ( −5 ) ( −3 )   

−8   0   7   k − 3 



      

−8   −3 21   −1 7   − 5 k + 32 

1

3

0 0 0

1

3

0

−1

0

0

0

0



−8

  7   0   k − 3 

Si k = 3 entonces los dos últimos renglones de la matriz se hacen cero, por lo que una base del espacio columna sería:

BC =

 ( 1, 3,

−8 ) , T

( 0,

−1, 7 )

T



Por lo tanto, si k = 3 la dimensión del espacio columna es igual a dos.

MÉTODO

2:

Como sabemos, para una matriz dada, la dimensión del espacio columna es igual a la dimensión del espacio renglón; por consiguiente, buscaremos el valor de k para el cual la dimensión del espacio renglón es igual a dos.

117

ESPACIOS VECTORIALES

( 8 ) ( −3 )  1    3    − 8

2 3 5

1 4    2 7    −1 k 



 1   (7)  0    0

2

1

−3

−1

21

7

   −5    k + 32  4



2 1    0 −3    0 0

1 −1 0

4    −5    k − 3 

Como se puede apreciar, si k = 3 entonces la dimensión del espacio renglón y, por consiguiente, la dimensión del espacio columna es igual a dos. Criterio del Wronskiano

Sea



f1 , f 2 ,

, fn



un conjunto de n funciones reales de variable real,

cada una de las cuales admite por lo menos n − 1 derivadas en el intervalo

( a,

b ) . El determinante

W(x) =

f1

f2

fn

f1

f 2

f n

f1n −1

f 2n −1

f nn −1

se denomina Wronskiano del conjunto de funciones dado. Si existe al menos un valor x 0  ( a , b ) , para el cual W

(x ) 0, 0

entonces

el conjunto de funciones es linealmente independiente en dicho intervalo. Cabe hacer notar que si W

(x)

= 0 ,  x  ( a , b ) , entonces no se puede

concluir nada en cuanto a la dependencia o independencia lineal del conjunto de funciones. En este caso se deberá recurrir a la ecuación de dependencia lineal para su análisis.

118

ESPACIOS VECTORIALES

e

x

)+

e x ( e 2x

Ejercicio 2.22 Determine si el conjunto de funciones linealmente dependiente o independiente en el intervalo

( −,

, e 2 x , e x+ 2

 ).



es

x+2

)

SOLUCIÓN: Obteniendo el Wronskiano, tenemos:

W(x) =

W( x) =

ex

e2 x

ex+2

ex

2 e2 x

ex+2

ex

4 e2 x

ex+2

e x ( 2 e 2x )

− e x ( 2 e 2x

) (e

(e

x+2

x+2

)−

) + e ( 4e ) ( e x

2x

e x ( e 2x

)(e

x+2

x+2

)(e

) − e ( 4e ) ( e x

2x

x+2

)

W ( x ) = 2 e 4x+2 + 4 e 4x+2 + e 4x+2 − 2 e 4x+2 − e 4x+2 − 4 e 4x+2 de donde:

W(x) = 0 Dado que W

(x)

= 0 , entonces el criterio del Wronskiano no permite decidir en

cuanto a la dependencia o independencia lineal del conjunto de funciones. Por lo tanto, se procederá de la siguiente manera:

Como se puede apreciar:

e x+2 = e 2 e x

119

ESPACIOS VECTORIALES

es decir, e

x+2

se puede obtener al multiplicar la función e x por la constante

e 2 , esto implica que las funciones e x y e x + 2 son linealmente dependientes entre sí, con lo cual podemos concluir que el conjunto de funciones dado es linealmente dependiente.

Ejercicio 2.23 Si H =

e

x

+ 2 e− x , 2 + sen 2 x , e − x + 2  es un subconjunto del

espacio vectorial de las funciones reales de variable real, determine si el conjunto H es linealmente independiente en el intervalo

( −,

 ).

SOLUCIÓN: Calculando el Wronskiano, tenemos:

W

W

(x)

(x)

=

e x + 2e −x

2 + sen 2 x

e x − 2e −x

2 cos 2 x

e x + 2e −x

− 4 sen 2 x

− e −x e −x

=

(e

+

( 2 + sen 2 x ) ( − e − x ) ( e x + 2 e − x

) − (e

x

+ 2e −x

) ( 2 cos 2 x ) ( e

−

( − 4 sen 2 x ) ( − e − x ) ( e x + 2 e − x

) − (e

x

− 2e −x

) ( 2 + sen 2 x ) ( e )

x

+ 2 e− x

) ( 2 cos 2 x ) ( e ) + ( e

e −x + 2

−x

x

− 2e −x

) ( − 4 sen 2 x ) ( e

−x

+ 2) −x

+ 2) −x

Si hacemos x = 0 , tenemos:

W ( 0 ) = ( 3)( 2 )(1) + ( −1)( 0 )( 3) + ( 2 )( −1)( 3) − ( 3)( 2 )( 3) − ( 0 )( −1)( 3 ) − ( −1)( 2 )(1) W ( 0 ) = − 16 120

ESPACIOS VECTORIALES

Esto implica que al menos existe un valor de x en el intervalo de definición de las funciones, esto es, x 0 = 0 , para el cual W

( x )  0, 0

lo que nos permite

concluir que el conjunto H es linealmente independiente.

Ejercicio 2.24 Determine si el conjunto de funciones

G =



2 sen 2 x , − cos 2 x , 3

es linealmente dependiente o independiente en el intervalo

 ( −,

 ).

SOLUCIÓN: Obteniendo el Wronskiano, tenemos:

W

(x)

=

2 sen 2 x

− cos 2 x

3

4sen x cos x

2cos x sen x

0

− 4 sen 2 x + 4 cos 2 x

2cos 2 x − 2 sen 2 x

0

Aplicando el método de cofactores en la tercera columna, tenemos:

W ( x ) = 3  ( 4 sen x cos x ) ( 2cos 2 x − 2sen 2 x ) − ( 2cos x sen x ) ( − 4sen 2 x + 4cos 2 x )  desarrollando los productos y simplificando, se tiene:

W ( x ) = 3 ( 8 sen x cos 3 x − 8 sen 3 x cos x + 8 sen 3 x cos x − 8 sen x cos 3 x ) W( x)= 0 Dado que el Wronskiano resultó igual a cero, entonces el criterio no decide, por lo que se tendrá que recurrir a la ecuación de dependencia lineal para determinar si el conjunto G es linealmente independiente o dependiente.

121

ESPACIOS VECTORIALES

Se sabe que:

sen 2 x + cos 2 x = 1 de donde

− cos 2 x = − 1 + sen 2 x

con lo cual, la ecuación de dependencia lineal se puede expresar como:

 1 ( 2 sen 2 x ) +  2 ( − 1 + sen 2 x ) +  3 ( 3 ) = 0

(1)

multiplicando y factorizando términos semejantes, tenemos:

( 2

1

+ 2

) sen

2

x +

( −

2

+ 3 3

)

= 0 sen 2 x + 0

por igualdad, se tiene:

  1 +  2    −  + 3 2 3 

= 0 = 0

Se trata de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado, que admite múltiples

soluciones,

esto

es,

se

pueden

obtener

valores

para

los

escales  1 ,  2 ,  3 diferentes de cero, con los cuales se satisface la ecuación

( 1 ) , por lo que, se puede concluir que el conjunto G dependiente.

122

es linealmente

ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS PROPUESTOS 1)

Demuestre que el conjunto

  A =   

 a  0   0

0 0 c

0 b 0

   

a + 2b = 0 ;

    

a, b, c 

es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales, considerando las operaciones de adición y multiplicación por un escalar usuales con matrices. 2)

Determine si el conjunto P =

 ax + b



a, b 

es un espacio vectorial

sobre el campo de los números reales, si la adición de vectores es la adición ordinaria de polinomios y la multiplicación por un escalar se define como:

k ( ax + b ) = kb 3)

Sea V =

 ( a,

b)

;

 k 

 , el

a, b 



y

( ax +b )

 P

conjunto en el cual se definen las

operaciones de adición y multiplicación por un escalar de la siguiente manera:

( a, b )

+

( c, d )

=

 ( a, b ) =

(

)

a+d, b+c

( a, b )

;

;





( a, b ) , ( c, d ) y



( a, b )

V

V

Determine si V es un espacio vectorial sobre . En caso de no serlo, indique los axiomas de la definición de espacio vectorial que no se cumplen. 4)

Determine si el conjunto

( x, y )

+ k

( z,

w) =

( x, y )

=

2

con las operaciones:

( x + z, ( 0,

kx)

y+w)

;

;  k  123



( x, y ) , ( z, y



w) 

( x, y )



2

2

ESPACIOS VECTORIALES

. Si no lo es, indique los axiomas de la definición que

es un espacio vectorial no se cumplen. 5)

Determine si el conjunto de matrices cuadradas de orden dos con elementos

H=

reales

A

A = −AT

 es un espacio vectorial sobre el campo de los

números reales, con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar usuales en matrices. 6)

Determine si el conjunto: 2

=

( z

)

, z2

1



z1 , z 2 

es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales, si las operaciones de adición y multiplicación por un escalar están definidas por:

(z

1

, z2

) + (z

3

, z4

 ( z1 , z 2 7)

) = (z

1

) = (z

1

,  z2

)

;



(z

  

;

1

, z2

y

), (z



(z

1

3

, z4

)

, z2 ) 

2

2

Determine si el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales

( x,

y , z ) con las operaciones:

(x , 1

y1 , z 1 ) +

(x

2

, y2 , z2

) = (x

 ( x, y, z ) = es un espacio vectorial sobre definición que no se cumplen. 8)

)

+ z3 , z2 + z4

1

+ x 2 , y1 + y 2 , z 1 + z 2 )

( x,

 y, z )

. Si no lo es, indique los axiomas de la

3

Sea A un subconjunto del espacio vectorial

, tal que:

A =  ( x, y, z ) 2 x − y − z = 0 ; x, y, z 



a)

Determine si A es un subespacio de

b)

En caso afirmativo, obtenga una base y la dimensión del subespacio A . 124

3

.

ESPACIOS VECTORIALES

9)

Sea M el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden dos con elementos en y sea N el conjunto definido por:

  a N =     b

b   −a 

a, b 

  

Determine si N es un subespacio de M ; si lo es, obtenga para  y  , una base y su dimensión. 10) Dado el conjunto:

W =

x

x = a ( 1, 0 , 2 ) + b ( 1, −1, 3 ) ;

a, b 



a)

Determine si W es un subespacio de

b)

En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga una base y la

3

.

dimensión de W .

11) Determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacio del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos sobre los reales.

a)

   0 A =     2b 

b)

   a B =      b

0   c 

a − 1 = 0 ; a, b, c 

c)

   a C =      c

b   d 

c=d ;

a   b 

    

a, b 

a, b, c, d 

125

         

ESPACIOS VECTORIALES

12) Determine si los siguientes subconjuntos S son subespacio del espacio vectorial V respectivo. a)

S b)

 ax =  ax

V =

2

+ bx + c

2

+ bx + c

a, b, c 



c = 0; a, b 



 f (x) x   =  f ( x)  0 x  

V = S

13) Sean A y B dos subespacios de subespacio de

3

3

. Demuestre que A

B es también un

.

A =

 ( x,

y, z

)

2x − y = 0 ;

x, y, z 



B =

 ( x,

y, z

)

3x − z = 0 ;

x, y, z 



14) Sea P 2 el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales. Determine si el conjunto:

W =

 P( x )  P

2

P (1) − P ( −3 ) = 0



es un subespacio de P 2 . 15) Determine los valores de c y d 

E =

 ( x,

, de manera que el conjunto:

y, z, w ) x + y + z = 0,

forme un subespacio de

4

x − y + cz = 0,

x − y − z=d



de dimensión dos. Dé una base del subespacio

E que justifique la respuesta.

126

ESPACIOS VECTORIALES

16) Dado el conjunto A = a)

 ( a,

−1, 1 ) ,

Determine el valor de a 

( 0,

a , −2 ) ,

( −1,

0, 1 ) 

, tal que el espacio generado por A sea de

dimensión 2 . b)

Con el valor obtenido en el inciso a), obtenga el espacio generado.

  x   z 

17) Sea N =  

a)

y  0

   un espacio vectorial.  

z = x − y ; x, y, z 

Determine cuál de los siguientes conjuntos es una base de N :

  1 0  1 1  1 1   B1 =   ,  ,    0 0  1 0     0 0    2 B2 =     3

b)

−1   1 0   ,    0  1 0   2 1  respecto a la base elegida 1 0

Obtenga el vector de coordenadas de  en el inciso anterior.

18) Sea el conjunto B = a)

 1,

2 x, 3x 2

.

Determine si el conjunto B es una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos

b)

(P ). 2

Obtenga un conjunto formado únicamente por polinomios de grado dos que sea base del espacio P 2 .

127

ESPACIOS VECTORIALES

19) Dados los conjuntos de vectores de

A =

 ( 1,

5, 3 ) ,

B =

 ( 1,

0 , −3 ) ,

( 2,

3

:

2, 6 ) ,

( 4,

( 6,

1, −12 ) ,

0 , 18 ) 

( 5,

5 , −15 ) 

a)

Determine si los conjuntos Α y B generan espacios vectoriales de la misma dimensión.

b)

¿Los conjuntos Α y B generan el mismo espacio vectorial? Fundamente su respuesta.

20) Determine si el conjunto:

 P ( x)

B =

, P  ( x ) , P  ( x ) , P  ( x ) 

es linealmente dependiente o independiente, donde:

P( x ) = ax3 + bx2 + cx + d P ( x ) =

d d2 d3  ( x ) = P ( x ) , P ( x ) = P x , P P( x ) ( ) dx dx2 dx3

21) Dados los siguientes subconjuntos de

a)

A =

 ( 1,

3, − 7 ) ,

B =

 ( 1,

−1, 1 ) ,

( 2, ( 1,

−1, 0 ) ,

1, − 3 ) ,

3

:

( 3, ( 1,

−1, −1 ) ,

( 4,

− 3, 2 ) 

2, − 5 ) 

Demuestre que los conjuntos Α y B generan el mismo subespacio vectorial de

b)

a, b, c, d 

con

3

:

Obtenga una base y la dimensión del espacio generado por los conjuntos Α y B .

128

ESPACIOS VECTORIALES

22) Determine si los vectores:

( −1,

u = 3

de

i, −i

),

( −i,

v =

1, i

)

y

w =

(

i, −i, 0

)

, son linealmente dependientes o independientes, si el campo en el que

está definido el espacio vectorial

3

es:

a) b) 23) Si

v ,

v2 , v3 

1

es un conjunto de vectores linealmente independiente,

determine si cada uno de los siguientes conjuntos: a)

v

1

+ v2 ,

v 2 + v 3 , v1 + v 3



b)

v

1

− v2 ,

v 2 − v 3 , v 3 − v1



es linealmente dependiente o independiente. 24) Sea P 2 el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y sean A =

x

2

− 2x + 2,

2 x 2 + x + 1, − x + 1  y

B =

x

a)

Determine los espacios vectoriales L ( A ) y L ( B ) , y una base para

2

+ 2 x − 1, x 2 − 1  dos subconjuntos de P 2 .

cada uno de ellos.

( A)

b)

Obtenga L

c)

Compruebe que L

L(B).

( A)

L ( B ) es un subespacio de P 2 .

25) Sean los subespacios vectoriales de

 ( a, b, c, d ) =  ( a, b, c, d )

4

:

H =

a+b+c=0

W

b + c = 0, d = 2 a 129

con a , b , c , d 



con a , b , c , d 



ESPACIOS VECTORIALES

Obtenga: a)

Una base y la dimensión de H .

b)

Una base y la dimensión de W .

c)

El subespacio H

d)

Una base y la dimensión de H

W.

26) En el espacio vectorial P1 =

W.

b +ax

a, b 

  =    

7  2    1  

M BA

3 4 3 2

es la matriz de transición de la base A =

6

,

la matriz

+ 3 x , 10 + 2 x



a la base B .

a)

Determine cuál es la base B .

b)

Calcule el vector de coordenadas en la base B del vector P ( x ) = − 4 + x .

27) Sean B =

 2 sen x + cos x ,

3 cos x



 sen x ,

y B' =

cos x



dos bases del

espacio vectorial

F =

f

f ( x ) = a sen x + b cos x ;

a, b 



a)

Obtenga la matriz de transición de la base B a la base B '.

b)

Si h ( x ) = 2 sen x − cos x , obtenga  h ( x ) 

28) Sea el espacio vectorial sobre el

A=

 ( 1,

campo

1, 1 + i

de

3

los

), (

=

( z

reales

1

B

.



, z2 , z3

)

y sea

W un subespacio de

3, 2, 3 + 2i

son bases de W , determine: 130

)

y

z1 , z 2 , z 3 

B =

 ( 1,

0, 1 ) ,

(

3

. Si

0, 1, i

)

ESPACIOS VECTORIALES

a)

La matriz de transición de la base B a la base A .

b)

El vector de coordenadas de v  W en la base B , utilizando una matriz de transición, si se sabe que el vector de coordenadas de v en la base A es:

( v )A  2 1 29) Sea P =  −1 −1   0 0

0 0 1

( 1,

=

3)

  la matriz de transición de la base A a la base B de un  

espacio vectorial V . Si el vector de coordenadas del vector a con respecto a la base B es:

( a )B

=

(

−1, 0, 1 )

 ( 1,

y A =

−i ) ,

( 0,

−i ) ,

( 1,

1

) ,

obtenga las componentes del vector a . 30) Sean A =

 cos

2

x , sen 2 x  y B =

vectorial real H y sea  g de g

(x)

 cos ( 2 x ) , 1 

dos bases del espacio

   =  − ,   el vector de coordenadas  2 

( x )  A

respecto a la base A .

Determine: a)

La matriz de transición de la base A a la base B .

b)

El vector de coordenadas de g

31) Los conjuntos A =

v

1

, v2



(x)

y B=

respecto a la base B .

w

1

, w2

 son

bases del espacio

vectorial complejo V, cuyos vectores satisfacen las ecuaciones:

i w1 − w 2 + v 1 = 0

( − 2 + i ) w2 − v 2

= i w1 − v 1

a)

Determine la matriz de transición M

b)

Obtenga

( u )B

si se sabe que

A B

( u )A

131

.

=

( − 2, i ) .

ESPACIOS VECTORIALES

x

32) Sean Α y B =

2

+ x , x + 1, x 2 + 1  dos bases del espacio vectorial V

y sea:

2       =  −3 1 2   −1 − 2    

M BA

la matriz de transición de la base A a la base B . El vector de coordenadas

w = 3 x 2 − x + 2  V respecto a la base A es Determine los valores de  ,     . 33) Sean A =

a

1

, a2 , a3



y B =

b , b 1

2

, b3

vectorial V . El vector de coordenadas de

(a ) 2

B



( w )A

=

(

2,   3 ) .

dos bases de un espacio

a 2 respecto a la base B es

= ( −1,   0 ) , además se sabe que:

a1 + a 3 = b2 − a1 − a 2 + a 3 = b3 a)

Obtenga la matriz de transición de la base A a la base B .

b)

El vector de coordenadas de w en la base B es

( w )B

=

( −1,

2, 1 ) .

Exprese al vector w como una combinación lineal de los vectores de la base A . 34) Sean A = bases de

u 2

1



, u 2 , B =  ( 2, 1 ) ,

( −1,

3)  y C =

1

, donde:

 u 1 = − 2 w1 − w 2   u 2 = w1

  

( 2, 1 ) ( − 1, 3 )

= − 3 w1 − 2 w 2 =

Obtenga: a)

w ,

La matriz de transición de la base B a la base A .

132

5 w1 + w 2

w2



tres

ESPACIOS VECTORIALES

b)

El vector de coordenadas del vector v en la base A , si se sabe que

( v )B

=

( 2,

−1 ) .

35) Dada la matriz

 3  2 A=   −1   1

5 1 3 4

9  7 −5   2 

Determine: a)

El espacio vectorial generado por los renglones de la matriz A .

b)

El espacio vectorial generado por las columnas de la matriz A .

c)

Una base y la dimensión del espacio renglón y del espacio columna de la matriz A .

d)

Si los espacios renglón y columna son isomorfos.

36) Obtenga una base del espacio renglón de cada una de las siguientes matrices y determine si ambos espacios representan el mismo espacio vectorial.

2  A= 3 1 

1 −2 −1

−3   −8  − 3 

 1  B =  3  1 

−1 −1 1

3   7  1 

37) Sea la matriz

 1 −2 3 2 4   1 −1 4 4 5 M =   3 − 8 7 2 10   −1 5 0 4 −1 a)

Obtenga el espacio vectorial generado por las columnas de la matriz M y determine su dimensión.

b)

−1   −2   −1   − 2 

Determine el rango de la matriz M . 133

ESPACIOS VECTORIALES

38) Si V es el espacio renglón de la matriz A y W es el espacio columna de la matriz B , donde:

1  1 A =  −1 1   2 −1

3 1 0

   

 1 B =  2   1

y

a)

Demuestre que V

b)

Obtenga una base y la dimensión de V

1 0 −1

   

W es un espacio vectorial. W.

39) Para la matriz

 a −1 −1    B =  −1 a 1   −a 1 1   determine, en cada uno de los siguientes casos, el valor de a tal que: a)

El espacio renglón sea de dimensión 1.

b)

El espacio columna sea de dimensión 2 .

40) Para la matriz

 2 4 a    C =  1 2 4   3 b 12    a)

Determine los valores de a , b  sea uno.

b)

Con los valores obtenidos en el inciso anterior, determine el espacio renglón de la matriz C y dé una de sus bases.

134

, tales que el rango de la matriz C

ESPACIOS VECTORIALES

41) Si B =

 ( 1,

0, 1 ) ,

( 0,

1, −1 )  es una base del espacio columna de la

matriz:

x 9   3 −1   A=  1 y −3 6    0 − 2 3   z Determine: a)

Los valores de

b)

Con los valores obtenidos en el inciso anterior, obtenga una base del

x, y, z 

.

espacio renglón de A . 42) Dado el conjunto de funciones

 2,

cos 2 x , cos 2 x



a)

Calcule el Wroskiano del conjunto.

b)

Determine si el conjunto es linealmente dependiente o independiente.

43) Determine si los conjuntos de funciones: a)

A =

 −x

b)

B =

 sen x ,

2

+ 2 x + 1,

3x2 − 2,

x2 + 4x



cos x , 1 

son linealmente dependientes o independientes en el intervalo

(

− , 

).

44) Sea A el siguiente conjunto de funciones reales de variable real definidas en el intervalo

(

− ,  ) :

A =

 2,

2 sen x 2 , 1 − cos 2 x



a)

Obtenga el Wroskiano de las funciones del conjunto A .

b)

Determine si A es un conjunto linealmente dependiente o independiente.

135

ESPACIOS VECTORIALES

45) Obtenga el Wronskiano del conjunto de funciones:

 x +1, definidas en el intervalo

sen x ,

( − 0).

x



Concluya, a partir únicamente del

Wronskiano, sobre la dependencia o independencia lineal del conjunto dado. 46) Sean las funciones:

(x)=

con

m0, m 

g ( x ) = sen p x

con

p0,

p 

h ( x ) = cos p x

con

p0,

p 

f

definidas en el intervalo

m

( −   ) .

a)

Obtenga el Wroskiano para estas funciones.

b)

Determine si las funciones f , g , h son linealmente dependientes o independientes en el intervalo

( −   ) .

        H =  sen x , cos  x −  , sen  x +   un conjunto de funciones 8  8      reales de variable real. Determine si H es linealmente dependiente o

47) Sea

independiente en el intervalo

(

− , 

48) Sea el conjunto de funciones G =

).

 2e

x



, e − x , e k x . Determine, haciendo

uso del Wroskiano, para qué valores de k dentro del intervalo −10  k  10 , no se puede asegurar la independencia lineal del conjunto G .

136

ESPACIOS VECTORIALES

49) Dadas las funciones f

(x)

que debe cumplir   

=

1 x

y



h ( x ) = x  , determine la relación

, para que las funciones f y g sean linealmente

independientes en el intervalo

(

0,  ) .

137

ESPACIOS VECTORIALES

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1)

El conjunto A sí es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales.

2)

El conjunto P no es un espacio vectorial.

3)

El conjunto V no es un espacio vectorial. El axioma que no se cumple es

4)

El conjunto

2

(

+  ) u = u + u

no es un espacio vectorial con las operaciones definidas.

Los axiomas que no se cumplen son:

 ( u + v ) = u + v   ( u 

)

1u

=

(  ) u

= u ;

 u 

2

5)

El conjunto H sí es un espacio vectorial.

6)

El conjunto

2

sobre el campo real sí es un espacio vectorial.

7)

El conjunto

3

no es un espacio vectorial con las operaciones definidas.

8)

a)

El conjunto A sí es un subespacio vectorial de

b)

Una base sería B =

 ( 1, 0, 2 ) , ( 0, 1,

−1 ) 

Dim A = 2

9)

El conjunto N sí es un subespacio vectorial de M .

138

3

.

ESPACIOS VECTORIALES

BM

  =   

1    0

0 0  ,     1 0 

BN

  =   

1    0

0 0  ,     1 −1 

10) a) b)

1 0  ,     0 0  1   0 

    

0   1 

    

Dim N = 2

;

3

El conjunto W sí es un subespacio vectorial de Una base sería B w =

Dim M = 3

;

 ( 1, 0, 2 ) , ( 1,

.

− 1, 3 ) 

Dim W = 2 11) Si consideramos a M 2  2 como el conjunto de las matrices cuadradas de orden dos sobre los reales, entonces: a)

El conjunto A sí es un subespacio vectorial de M 2  2 .

b)

El conjunto B no es un subespacio vectorial de M 2  2 .

c)

El conjunto C sí es un subespacio vectorial de M 2  2 .

12) a)

Para este caso, S sí es un subespacio vectorial de V .

b)

En este caso, S no es un subespacio vectorial de V .

13) El conjunto A vectorial de

B = 3

 ( x, 2 x, 3x )

x 

,

el cual sí es un subespacio

.

14) El conjunto W sí es un subespacio vectorial de P 2 . 15) Si c = − 1 y d = 0 , el conjunto E es un subespacio vectorial de dimensión 2 . 139

4

de

ESPACIOS VECTORIALES

Con estos valores para c y d , el conjunto E se puede expresar como:

E =

 ( x, y, z, w )

o también

E =

x = 0, y + z = 0 ;

 ( 0, y , − y , w )

x, y, z, w 





y, w 

Una base del subespacio E sería:

B =

 ( 0,

) , ( 0,

1, −1, 0

0, 0, 1

)



Dim E = 2

16) a)

Con a = 1 y a = − 2 , el espacio generado por el conjunto A es de dimensión dos.

b)

Con a = 1 y tomando al segundo y tercer vector del conjunto A como una base, se tiene que:

L ( A) =

 ( − y,

x, −2x + y

)

x, y 



Con a = − 2 y tomando al segundo y tercer vector del conjunto A como base, se tiene que:

L ( A) =

 ( − y,

−2x, −2x + y

)

x, y 

NOTA: En el inciso b) las respuestas no son únicas.

17) a)

b)

18) a)

  2 B2 =     3

−1   , 0 

1   1

 2    1  

  =   B2

(

1  0 

0     base de N . 0  

−1, 4

)

El conjunto B sí es una base de P 2 .

140



ESPACIOS VECTORIALES

b)

B1 =

x

2

, x 2 + x , x 2 + x + 1  es una base P 2 formada únicamente

con polinomios de segundo grado. NOTA: La respuesta del inciso b) no es única. 19) a)

Los conjuntos A y B generan espacios de la misma dimensión y esta es igual a dos.

b)

Los espacios generados por los conjuntos A y B son de la forma:

L(A) L(B

 ( a,

)  ( a,

b, 3a

)

b, −3a

)

a, b 



a, b 



Por lo tanto, los conjuntos A y B no generan el mismo espacio vectorial. 20) El conjunto B es linealmente independiente. 21) a)

Los conjuntos A y B sí generan el mismo subespacio de es de la forma:

L( A) = L b)

B = Dim

 ( 1,

(B)

0, −1 ) ,

(

=

 ( a,

0, 1, − 2

L( A) = 2

b , − a − 2b

)

)

NOTA: En el inciso b) la base dada no es única. 22) a) b) 23) a) b)

u , v y w son linealmente independientes. u , v y w son linealmente dependientes. El conjunto dado es linealmente independiente. El conjunto dado es linealmente dependiente. 141

a, b 



3

y este

ESPACIOS VECTORIALES

24) a)

L ( A ) = P 2 , esto es, L ( A ) = P 2 = una base de L

(

 ax

A ) es B 1 =

2

+ bx − a

L(B

)

=

una base de L

(B)

x

2

( ax

x

+ bx + c )

a, b, c 

, x, 1 



a, b 

es B 2 =

2

2

− 1, x





b)

L( A)

L( B ) = P2

L( B ) = L( B )

c)

L( A)

L ( B ) sí es un subespacio vectorial de P 2 .

NOTA: Las bases dadas en el inciso a) no son únicas. 25) a)

Una base es B H =

Dim b)

 ( 1, 0, −1, 0 ) , ( 0, 1,

−1, 0 ) ,

( 0,

0, 0, 1 )

2

0  3 

H =3

Una base es B W =

 ( 1, 0, 0, 2 ) , ( 0, 1,

−1, 0 ) 

Dim W = 2 W =

 ( 0, k , − k , 0 )

c)

H

d)

Una base es

Dim 26) a)

b)

27) a)

b)

H

BH

W



=  ( 0, 1, −1, 0

)

W =1

La base B es igual a:

 P ( x

k 

)  B

 11 = − ,  4

B =

 2,

3 + 2x



1   2 

La matriz de transición de la base B a la B ' es M BB ' = 

 1

El vector de coordenadas solicitado es  h ( x

142

)  B

2   =  1, −  3  



ESPACIOS VECTORIALES

28) a)

b)

La matriz M

B A

3  −2 M BA =   1 − 1

es

El vector de coordenadas solicitado es

29) El vector a solicitado es

30) a)

b)

31) a)

b)

M BA

  =    

1 2 1 2

−

a =

M BA

( v )B

= ( 10 , 7

)

( 0, 1 )

1  2   1   2 

 3 ,  g ( x )  B =  − 4 

La matriz

  

es

   4 

 −i M BA =   1

El vector de coordenadas pedido es

  −1 + i  0

( u )B = (

2i, − 3 − i

32) Los valores de  ,  y  pedidos son:

 = 1,

33) a)

b)

M BA

 1  2   1 =  −  2   −1  2

 = 0 −1 2 0

−

y

1  2   3   2   1  2 

w = − a1 + a 3

143

 = −1

)

ESPACIOS VECTORIALES

34) a)

b)

M

B A

( v )A

=

(

35) a)

L ( AR ) =

b)

L ( AC ) =

c)

−1   3 

2 =   1

5, −1

( (

)

a , 4 a + 7 b , 2 a − 3b

)

a , b, a − 2b, a − b

)

T

Una base del espacio renglón es:

BR =

 ( 1,

4, 2 ),

( 0,

7 , −3 ) 

a, b 

 Dim L ( A R ) = 2

Una base del espacio columna es:

BC = d)

 ( 1, 0, 1, 1 )

T

,

(

 

a, b 

0, 1, − 2, −1

)



T

 Dim L ( A C ) = 2

Como ambos espacios son de igual dimensión, entonces son isomorfos.

(A ) L(B )

36) Una base del L Una base del

R

es

B1 =

 ( 1, =  ( 1,

2, 0 ) ,

1, 1 ) 

R

es

B2

2,

1, −1 ) 

( 0, 0 ) , ( 0,

Como el primer vector de ambas bases es el mismo y el segundo vector de las bases no son proporcionales, entonces podemos concluir que los espacios renglón de ambas matrices son distintos. 37) a) b)

L (MC ) =

 ( a , b , 5 a − 2 b , − 4 a + 3b )

a, b 



El rango de la matriz M es igual a dos.

R (M 38) a)

T

El espacio V

)

= 2

W es V

W =

 ( −k ,

cumple con las dos cerraduras, por lo que V

144

2k , 3k

)

k 

,

W es un subespacio de

el cual 3

.

ESPACIOS VECTORIALES

b) 39) a) b)

BV

W

=

 ( − 1,

2, 3 ) 

 Dim V W = 1

Con a = 1 el espacio renglón de la matriz B es de dimensión uno. con a  1 el espacio columna de la matriz B es de dimensión

 a  dos.

40) a) b)

Con a = 8 y b = 6 el rango de la matriz C es igual a uno.

(

L ( CR ) =

 ( 1,

BR = 41) a)

a, 2a, 4a 2, 4

)



a 

)

Los valores de x , y , z son:

x = − 5 , y = −1 , z = 2 b)

Una base del espacio renglón de la matriz A es:

BR = 42) a) b) 43) a) b) 44) a) b)

W

(x)

 ( 1,

−1, − 3, 6

)

,

(

0, 2, 4, − 9

)

= 0

El conjunto dado es linealmente dependiente. El conjunto A es linealmente dependiente. El conjunto B es linealmente independiente.

W

(x)

= 0

El conjunto A es linealmente dependiente.

45) W ( x ) = − sen x Como W

(x ) 0

 0 para valores de x  ( −  , 0 ) , entonces el conjunto

dado es linealmente independiente.

145

ESPACIOS VECTORIALES

46) a) b)

W

(x)

= − mp

Como W

(x) 0

 x

( − ,  ),

entonces las funciones

f , g, h

son linealmente independientes. 47) El conjunto H es linealmente dependiente. 48) Se tiene que W

W

(x)

(x)

= − 4ekx

(k

−1

2

)

con lo que si k =  1 , entonces

= 0 , con lo cual no se puede asegurar la independencia lineal del

conjunto G . 49) Si  +   0 , entonces W

(x) 

0 , con lo cual las funciones f y g

resultan linealmente independientes.

146

CAPÍTULO 3 TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES

Transformación Sean V y W espacios vectoriales definidos sobre el mismo campo K . La función T : V → W recibe el nombre de transformación y, los espacios V y W se llaman dominio y codominio de la transformación, respectivamente. Esquemáticamente se tiene:

T

V

Dominio

W

Codominio

Transformación lineal

Sean V y W espacios vectoriales definidos sobre un campo K . La función T : V → W se llama transformación lineal si se cumplen las siguientes dos propiedades:

 u, v  V 1) T

(u

2) T

(u )

+v

)

y    K

= T(u

)

= T(u

)

+ T(v

)

149

TRANSFORMACIONES LINEALES

Recorrido y núcleo de una transformación lineal

Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal. 1) Se llama recorrido de T al conjunto de todas las imágenes de los vectores del dominio, el cual se denota como T ( V

T (V

)

=

)

y es tal que:

T (v )

v V



2) Se llama núcleo de T al conjunto de vectores del dominio, cuya imagen es el vector cero de W , el cual se denota como N ( T

N (T

)

=

vV

T

)

y es tal que:

( v ) = 0W 

Teoremas

Si

T : V → W es una transformación lineal, entonces:

1) T

(0 )= V

0W

2) T ( V

)

es un subespacio de W .

3) N ( T

)

es un subespacio de V .

 v , v , , v n  es una base V , entonces el conjunto =  T ( v ) , T ( v ) , , T ( v n )  es generador del recorrido de T .

4) Si B =

G

1

1

2

2

5) Si V es un espacio de dimensión finita, entonces se cumple que:

Dim V = Dim T ( V ) + Dim N ( T )

150

TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejercicio 3.1 Determine si la transformación T : P → D , donde

P=

 ax + b



a, b 

definida por:

T

y

 f (0) f )=   0

(

  D=  

 a    0

  ;  f (1) 

0    b 

   

a, b 

0

 f P

es lineal. SOLUCIÓN: Para que una transformación sea lineal se deben cumplir las dos propiedades que se señalan en la definición de este concepto. Dichas propiedades se conocen con los nombres de superposición y homogeneidad, respectivamente, de acuerdo con el orden en que aparecen en la citada definición. Verifiquemos si se cumplen estas propiedades:

1) Superposición

 f 1 ( x ) = a 1 x + b1 , T sustituyendo

T 

(a

1

(

f2

(x)

f1 + f2

= a 2 x + b 2  P , se tiene que:

)=T(

f1 ) + T

(

f2

)

f 1 y f 2 , tenemos:

x + b1 ) +

(a

2

x + b2

) 

= T

(a

1

x + b1 ) + T

( a2x + b2 )

efectuando la suma del lado izquierdo de la igualdad y aplicando T del lado derecho, tenemos:

T 

(a

1

+ a2

)

 b1 x + ( b 1 + b 2 )  =    0 151

  b2  +    a 1 + b1   0 0

   a 2 + b2  0

TRANSFORMACIONES LINEALES

aplicando T del lado izquierdo y sumando del lado derecho, se tiene:

 b1 + b 2   0 

0

(a

1

+ a2

) + (b

1

+ b2

)

  b1 + b 2  =    0  



0

(a

1

+ a2

) + (b

1

+ b2

)

cumple

2) Homogeneidad

 f ( x) = a x + b

y

  T

(f )=

T( f

)

de donde:

T   ( a x + b )  =  T ( a x + b )

T



 a x + b

 b    0



b =     0

 =  a + b  0



 b    0

   a+b  0

   a + b  0

cumple

entonces podemos concluir que la transformación T es lineal.

Ejercicio 3.2 Sea M el espacio vectorial real de matrices cuadradas de orden dos con elementos reales y sea H : M → M una transformación definida por:

H ( A ) = A + AT Determine si H es una transformación lineal.

152

;

 A M

   

TRANSFORMACIONES LINEALES

SOLUCIÓN: 1) Superposición

 A, B  M

H ( A + B) = H ( A) + H ( B)

(A+ B) (A+ B)

(A+ B)

+

T

(A

+

T

=

+ BT ) =

(A+ A )+ (B+ B ) T

T

(A+ B)

+

(A

T

+ BT )

 cumple 2) Homogeneidad

 A M

y

  

T ( A ) = T ( A )  A + (  A ) =  ( A + AT T

 A +  AT

)

=  A +  AT  cumple

Entonces concluimos que H es una transformación lineal.

Ejercicio 3.3 Dada la transformación T :

3



→ P1 , donde P1 = a x + b

cuya regla de correspondencia es:

T

(

a, b, c ) =

(a +b) x

+

(a −c)

;  ( a, b, c ) 

a) Determine si T es lineal. b) Obtenga el recorrido y el núcleo de T . c) Dé una base y la dimensión del recorrido y del núcleo.

153

3

a, b 

,

TRANSFORMACIONES LINEALES

SOLUCIÓN: a) Las dos propiedades de superposición y homogeneidad que son necesarias demostrar para determinar si una transformación es o no lineal, se pueden juntar en una sola expresión y, si esta se cumple, se puede concluir sobre la linealidad de la misma, como a continuación se muestra.

 v1 =

(a

1

),

, b1 , c 1 T

v2 =

( v

(a

+ v2

1

)

2

, b2 , c2 = T

)

(v ) 1

3

y  

+ T ( v2)

T  ( a 1 , b 1 , c 1 ) + ( a 2 , b 2 , c 2 )  =  T ( a 1 , b 1 , c 1 ) + T ( a 2 , b 2 , c 2 ) de donde se tiene:

T ( a 1 + a 2 ,  b1 + b 2 ,  c 1 + c 2 ) =  ( a 1 + b1 ) x + ( a 1 − c 1 ) + ( a 2 + b 2 ) x + ( a 2 − c 2 ) aplicando la regla de correspondencia de T del lado izquierdo y efectuando operaciones y factorizando del lado derecho, se tiene:

(  a 1 + a 2 ) + (  b1 + b 2 )  x + (  a 1 + a 2 ) − (  c 1 + c 2 )  =    

( a

1

+  b1 ) x + (  a 1 −  c 1 ) +

(a

2

+ b2

)

x +

(a

2

− c2 )

(  a 1 + a 2 ) + (  b1 + b 2 )  x + (  a 1 + a 2 ) − (  c 1 + c 2 )  =     (  a 1 + a 2 

) + ( b

1

+ b 2 )  x +  (  a 1 + a 2

) − ( c

1

+ c 2 ) 

como se cumple la igualdad, entonces podemos concluir que la transformación T es lineal. b) Para obtener el recorrido, se hará uso del teorema 4 enunciado anteriormente. Tomemos entonces la base canónica del dominio, esto es:

B =

 ( 1, 0 , 0 ) , ( 0 , 1, 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) 154

TRANSFORMACIONES LINEALES

de donde:

T ( 1, 0, 0 ) = x + 1 T ( 0, 1, 0 ) = x T ( 0, 0, 1 ) = − 1 con lo cual el conjunto G =  x + 1 , x , −1  es generador del recorrido. Es evidente que G es un conjunto linealmente dependiente ya que x + 1 se puede obtener como una combinación lineal de los otros dos elementos del conjunto. De acuerdo con esto, se puede llegar a que el conjunto C =  x , 1  es una base del recorrido y, por lo tanto, se tiene que:

a ( x ) + b(1) = ax + b con lo cual se llega a que el recorrido es:

T

(

3

) =  ax + b

a, b 



Por otro lado, el núcleo se obtiene a partir de la igualdad:

T ( a , b, c) = 0 x + 0 de donde:

(a

+b

)

x +

(a−c)

= 0x + 0

por igualdad de polinomios, se llega al sistema:

 a+b = 0    a − c = 0



 b = − a   c = a

por lo tanto, el núcleo de la transformación es:

N (T

)

=

 ( a,

−a , a

155

)

a



TRANSFORMACIONES LINEALES

c) Una base del recorrido es:

C =



x, 1 

 Dim T

(

3

)

= 2

Una base del núcleo es:

D =

 ( 1,

− 1, 1 ) 

 Dim N ( T ) = 1

Obsérvese que el teorema 5 se cumple, ya que:

Dim T

(

3

)+

Dim N

(T)

= 3

que es igual a la dimensión del dominio. Nota: Cuando se traten los temas de transformaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas e inversa de una transformación, se retomarán los conceptos de recorrido y núcleo. Ejercicio 3.4 Sean el espacio vectorial real

P3 =

 ax

3

+ bx2 + cx + d

y la transformación lineal T :

3

a, b, c, d 



→ P 3 definida por:

T ( a , b , c ) = ( a − 2b ) x3 + ( b + c ) x 2 + ( a + 2c ) x + ( a − b + c ) a) Determine el núcleo de T y su dimensión. b) Obtenga el recorrido de T y una de sus bases.

SOLUCIÓN: a) Para obtener el núcleo, se plantea el sistema:

= 0  a − 2b   b+ c = 0  + 2c = 0 a   a − b + c = 0 156

;  (a , b , c ) 

3

TRANSFORMACIONES LINEALES

Aplicando el método de eliminación de Gauss, tenemos:

= 0 ( − 1)  a − 2 b   b+ c = 0  + 2c = 0  a   a − b + c = 0

 a − 2b  ( − 1) ( − 2 )  b + c  2b + 2c   b + c 

= 0 = 0 = 0 = 0

= a − 2 b   b+c =  0=   0= 

0

(1)

0

(2)

0 0

de las ecuaciones (1) y ( 2) , se tiene:

a = 2b c = −b si b = k , entonces:

a = 2k c = −k por lo tanto, el núcleo es:

N (T

)

=

 ( 2k , k , −k )

k 



Una base del núcleo es:

BN =

 2,

1, −1 

 Dim N ( T ) = 1 b) Para obtener el recorrido de T , se obtendrán las imágenes de los elementos de la base canónica del dominio y a partir de estas imágenes y haciendo uso de un isomorfismo, se obtendrá una base del recorrido aplicando los conceptos estudiados en el tema de espacio renglón y columna de una matriz. Consideremos los siguientes isomorfismos:

f f

( ax −1

3

( a,

+ bx2 + cx + d b, c, d

)=

) = ( a, b, c, d )

ax3 + bx2 + cx + d

157

TRANSFORMACIONES LINEALES

entonces, la regla de correspondencia de T se puede expresar como:

T

( a,

b, c ) =

(

a − 2b, b + c, a + 2c , a − b + c

)

obteniendo las imágenes de los elementos de la base canónica, tenemos:

T ( 1, 0, 0 ) = ( 1, 0, 1, 1 ) T ( 0, 1, 0 ) = ( − 2, 1, 0, −1 ) T ( 0, 0, 1 ) = ( 0, 1, 2, 1 ) formando una matriz que tenga por renglones las imágenes obtenidas, se tiene:

 1    −2   0

1    0 −1   2 1 

0

1

1 1

escalonando esta matriz, obtenemos: (2) 

1

   −2   0

0 1 1

1    0 −1   ( −1)  2 1 

1

 1    0   0

0 1 1

1 1    2 1    2 1 

 1    0   0

0 1 0

1 1    2 1   0 0 

por lo que una base del recorrido es:

BR =

 ( 1, 0 , 1, 1 ) , ( 0 , 1, 2 , 1 ) 

Aplicando el isomorfismo inverso f

f f

−1

( 1,

−1

( 0 , 1,

−1

a los vectores de la base, tenemos:

0 , 1, 1 ) = x 3 + x + 1 2, 1 ) = x2 + 2x + 1

158

TRANSFORMACIONES LINEALES

Por lo tanto, la base del recorrido en términos de polinomios es:

B R =  x 3 + x + 1, x 2 + 2 x + 1  Al generar el recorrido a partir de esta base, se tiene:

a ( x 3 + x + 1 ) + b ( x 2 + 2 x + 1 ) = a x 3 + b x 2 + ( a + 2b ) x + ( a + b

)

Por lo tanto, el recorrido es:

T

(

3

) =  ax

Ejercicio 3.5 Sea T :

T

(a)

3

+ b x 2 + ( a + 2b ) x + ( a + b )

3

→

3

a, b, 



una transformación definida por:

= Comp. Vect. b a

;  a 

3

b = ( 1, 0 , −1 )

y

a)

Determine si la transformación T es lineal.

b)

Obtenga el núcleo de T , una de sus bases y su dimensión.

c)

Determine la dimensión del recorrido

SOLUCIÓN: a) La regla de correspondencia de la transformación, corresponde al concepto de componente vectorial de un vector sobre otro, cuya fórmula es:

Comp. Vect. b a =

a

b

b

b

=

b

b

Con lo cual, la regla de correspondencia de T es:

T

(a)

=

a

b b

2

Veamos ahora si esta transformación es lineal:

159

a

b

b 2

b

TRANSFORMACIONES LINEALES

1) Superposición

 a1 , a 2 

3

(a

1

+ a2

)

(a

1

+ a2

)

T

1

b

)+(a b

b

b =

2

b

(a

=

)

b =

2

+ T

1

a1

b 2

b b

2

(a )

T

b +

(a ) 2

a2 b

  a1 b 2   b 

+

b 2

 b  b 2   b 

a2

de donde:

  a1 b + a 2 + b 2 2   b b 

    b =  a1 b + a 2 b  b 2 2      b  b   



cumple

2) Homogeneidad

 a 

3

y

  

T

( a )

( a ) b

b 2

( a ) b

b 2

= T

(a)

  a b   b=  b 2    b    b=

( a ) b

b 2

b

 cumple Con lo cual podemos concluir que la transformación T es lineal.

160

b

TRANSFORMACIONES LINEALES

b) Expresemos ahora la regla de correspondencia de la transformación T de la siguiente forma: si a =

( x,

y, z

)

( 1,

y b =

T (a

0 , −1 ) , entonces:

)

=

a b

sustituyendo

T

como

( 1,

( x,

)

x, z

0, −1 ) =

( x,

=

x, z

( 1,

b 2

) ( 1,

b

0 , −1 )

( 1,

2

0 , −1 )

0 , −1 )

2 , entonces: x − z 2

T

( x,

y, z

)

=

( 1,

0 , −1 )

T

( x,

y, z

)

−x + z   x − z =  , 0,  2 2  

para obtener el núcleo T, hacemos que:

−x + z   x − z , 0,   = 2 2  

( 0,

0, 0 )

por igualdad de vectores, se llega a:

 x−z = 0  2   −x + z = 0  2 de donde:



x = z

 x−z = 0    −x + z = 0 

si

z = k1





 x−z = 0    0 = 0 

x = k1

Como " y " no interviene en el sistema, entonces puede tomar cualquier valor, esto es y = k 2 , con lo cual el núcleo de T es:

N (T

)

=

(k

1

, k 2 , k1

161

)

k1 , k 2 



TRANSFORMACIONES LINEALES

una base del núcleo es:

BN =

 ( 1,

Dim N ( T

)

0, 1 ) ,

( 0,

1, 0

)

= 2

c) Como la dimensión del dominio es igual a la dimensión del núcleo más la dimensión del recorrido, esto es:

Dim

= Dim N ( T

)

3 = 2 + Dim T

(

3

+ Dim T 3

(

3

)

)

por lo tanto, la dimensión del recorrido es:

Dim T

(

3

) =1

Matriz asociada a una transformación lineal

Sean V y W sean A =

v

1

dos espacios vectoriales de dimensión n y m , respectivamente, y

, v2 ,

, vn



y B =

w

1

, w2 ,

, wm

 bases de dichos espacios.

Si T : V → W es una transformación lineal, existe una matriz única M BA ( T ) , de orden m  n , tal que:

M BA ( T

) ( v )A

=  T

( v )  B

;

 v V

Las n columnas de la matriz M BA ( T ) , llamada matriz asociada a T , son los vectores de coordenadas en la base B , de las imágenes de los vectores de la base A , esto es:

M BA ( T

)

=   T ( v 1 )  

B

162

T ( v 2 )   

B

T (vn )    B 

TRANSFORMACIONES LINEALES

Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión n . La matriz asociada a la transformación identidad I : V → V , referida a cualquier base de V es la matriz identidad I n .

Teorema

Sean T : V → W una transformación lineal y A y B dos bases de V y W , respectivamente. El rango de la matriz asociada M

(T )

A B

es igual a la dimensión

del recorrido de T , esto es:

R  M

A B

( T ) 

= Dim T ( V

)

Ejercicio 3.6 Sean los espacios vectoriales

P2 =

 ax

 M =  

2

 a   b

+ bx + c b   c 



a, b, c 

a, b, c 

  

Ambos definidos sobre el campo real, y sea la transformación lineal T : P 2 → M definida por:

T

(

ax2 + bx + c

)

 a+c =   3 b

3b   ; a − c 

Obtenga la matriz asociada a la transformación T .

163

 a, b, c 

TRANSFORMACIONES LINEALES

SOLUCIÓN: Para obtener la matriz asociada a la transformación, se requiere una base del dominio y una del codominio. Consideremos las bases:

A =

x

2

, x, 1 

  B =  

y

1   0

0 ,  0

0   1

1 0  ,    0 0

0   1

   

Las imágenes de los elementos de la base A son:

T

(x )

1 =   0

0   1

( x)

0 =   3

3   0

T (1)

1 =   0

0   −1 

2

T

Obteniendo los vectores de coordenadas de estas imágenes referidas a la base B , tenemos:

1   0

0 1  = 1    1 0

0  + 2  0

0   1

1  + 3  0

0   0

0   1

Al realizar las operaciones correspondientes y por igualdad de matrices, fácilmente puede llegarse a:

   

1   0

0   1

  =  B

164

( 1,

0, 1 )

TRANSFORMACIONES LINEALES

En forma análoga con las otras dos imágenes, se llega a:

 0   3

3   0 

 1 = 1   0    



 1   0

0   −1 

0   0  + 2   1 0   0   3

 1 = 1   0    



3   0 

  =  B

1   0  + 3   0 0 

( 0,

0   0 +   2   1 0 

 1   0

0   −1 

0   1 

3, 0 )

1   0 +   3   0 0 

0   1 

  = ( 1, 0, − 1 )  B

Con lo cual, la matriz asociada a la transformación viene dada por la disposición en columna de dichos vectores de coordenadas, esto es:

M BA ( T

)

1  = 0   1

3 0

Ejercicio 3.7 Sea la transformación lineal H :

H

( x,

y, z

)

=

( 2x + z,

1   0  −1 

0

3

→

− y + z, − 4x − y − z )

3

;

, definida por:



( x,

y, z

)

Obtenga la matriz asociada a la transformación H referida a la base canónica de 3

.

SOLUCIÓN: Como se sabe, la base canónica de

B =

 ( 1,

0, 0 ) ,

3

( 0, 165

es:

1, 0 ) ,

( 0,

0, 1 )



3

TRANSFORMACIONES LINEALES

Las imágenes de sus elementos son:

T ( 1, 0, 0 ) =

( 2,

0, − 4 )

T ( 0, 1, 0 ) =

( 0,

− 1, − 1 )

T ( 0, 0, 1 ) =

( 1,

1, − 1 )

Los vectores de coordenadas de las imágenes vienen dados por:

( 2,

0, − 4 ) =  1 ( 1, 0, 0 ) +  2 ( 0, 1, 0 ) +  3 ( 0, 0, 1 )

Realizando las operaciones correspondientes y mediante la igualdad de vectores, se llega a:

 ( 2, 0, − 4 )  B =

( 2,

0, − 4 )

En forma similar, fácilmente se puede llegar a:

 ( 0, − 1, − 1 )  B =

( 0,

− 1, − 1 )

 ( 1, 1, − 1 )  B =

( 1,

1, − 1 )

Con lo cual, la matriz asociada a la transformación H es:

M BB ( H

)

 2  =  0   − 4

0 −1 −1

1   1   −1 

Obsérvese que las columnas de la matriz asociada a la transformación H , son precisamente las imágenes de los vectores de los elementos de la base canónica. En general, cuando se obtenga la matriz asociada a una transformación lineal del tipo

T:

n

→

n

, será suficiente con obtener las imágenes de los

elementos de la base canónica del dominio, y dichas imágenes disponerlas como columnas para llegar a definir la matriz asociada a la transformación. 166

TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejercicio 3.8 Sea la transformación lineal T : P → M , donde:



P= a x 2 +b x+c

Obtenga la matriz M

T

( ax

2



a, b, c 

A B

+ bx + c

(T )

)

  a M =   b

y

b   c 

a, b, c 

  

asociada a la transformación:

 a+b =   c−a

c−a    b 



;

ax2 + bx + c  P

referida a las bases:

A =

 x,

x + x, x −1 2

2



y

  B =  

 1    1

1   0  ,    1   1

1   1  ,    0   0

0    0 

   

SOLUCIÓN: Como se ha procedido en los ejercicios anteriores, obtengamos primero las imágenes de los elementos de la base del dominio:

T

T

(x

2

T

(x

2

(x)

0 =   1

+ x

 2 =    −1

−1    1

 1 =    −2

−2    0

− 1)

)

1   0

Obtengamos ahora los vectores de coordenadas en la base B de cada una de las imágenes obtenidas:

167

TRANSFORMACIONES LINEALES

0   1

1 1 =   1   1 0 

0   1

  1+  1 1  =    1+  1 0 

1 0 +   1   1 1 

1 1 +   1   0 0 

0  0 

 1+  1    1 

por igualdad de matrices se llega al sistema:

 1 + 1 = 1     1 + 1 = 0  1 = 1 

1 = 1 

 1 = −1 1 = 0

por lo tanto, el vector de coordenadas buscado es:

   

0   1

1  0 

  =  B

( 1,

−1, 0

)

Considerando la segunda imagen, se tiene:

 2   −1

−1   1  = 2   1 1 

1   0  + 2   1 1 

1   1  + 2   0 0 

de donde se llega al sistema:

 2 + 2 = 2     2 +  2 = −1  2 = 1 



  2     −1  

−1   1 

168

2 = 1 

2 = −2 2 = 1

  =  B

( 1,

−2, 1)

0   0 

TRANSFORMACIONES LINEALES

Tomando la tercera imagen, se tiene:

 1    −2

−2  1  = 3    0  1

1 0  + 3    1 1

1 1  + 3    0 0

0   0

de donde se llega al sistema:

 3 + 3 = 1    3 + 3 = −2   3 = 0     



−2    0 

 1    −2

Con lo cual, la matriz asociada M

A B

M

Ejercicio 3.9 Sea T : referida a cierta base B =

M

4

(T )

→

v

B B

1

A B

3 = 0 

3 = 1   =  B

(T )

 1  =  −1   0

4

3 = −2

( 0,

−2, 1)

solicitada es:

0   −2   1 

1 −2 1

una transformación lineal cuya matriz asociada

, v 2 , v 3 , v 4  es igual a:

(T )

   =    

1

2

0

3

0

−1

2

5

3

1

2

1

169

1   2   1   3 

TRANSFORMACIONES LINEALES

Obtenga la matriz asociada a esta transformación T referida a la base:

v

, v3 , v2 , v4 

a)

B1 =

b)

B 2 =  v1 , v1 + v 2 , v1 + v 2 + v 3 , v1 + v 2 + v 3 + v 4 

1

SOLUCIÓN: a) Como se sabe, la matriz M

B B

(T )

tiene como columnas los vectores de

coordenadas en la base B , de las imágenes de los elementos de la misma base B , esto es:

(T ( v )) 1

B

(T ( v ))

B

(T ( v ))

B

(T ( v ))

B

2

3

4

=

( 1,

=

(

2, 0, 5, 2

)

=

(

0, −1, 3, 1

)

=

( 1,

3, 2, 1

2, 1, 3

)

)

Con estos datos se tiene que:

T

(v )

= v1 + 3 v 2 + 2 v 3 + v 4

(1)

T

(v )

= 2 v1 + 5 v 3 + 2 v 4

(2)

T

(v )

= − v 2 + 3v3 + v 4

( 3)

T

(v )

= v1 + 2 v 2 + v 3 + 3 v 4

(4)

1

2

3

4

En este inciso nos piden obtener la matriz asociada M que la base B 1 =

v , 1

B1 B1

(T ),

considerando

v 3 , v 2 , v 4  . Como ya tenemos las imágenes de los

elementos de B 1 , lo que nos queda por hacer es obtener los vectores de coordenadas, en la base B 1 , de dichas imágenes.

170

TRANSFORMACIONES LINEALES

De (1), se tiene que:

v1 + 3 v 2 + 2 v 3 + v 4 =  1 v1 +  2 v 3 +  3 v 2 +  4 v 4 por igualdad, se llega a:

(T (v )) 1

( 1,

=

B1

2, 3, 1 )

de (3), se tiene que:

− v 2 + 3 v 3 + v 4 =  1 v1 +  2 v 3 +  3 v 2 +  4 v 4 de donde se tiene:

(T (v )) 3

B1

( 0,

=

3, −1, 1 )

de (2), se tiene que:

2 v1 + 5 v 3 + 2 v 4 =  1 v1 +  2 v 3 +  3 v 2 +  4 v 4 de donde se obtiene:

(T (v )) 2

B1

( 2,

=

5, 0, 2 )

de (4), se tiene que:

v1 + 2 v 2 + v 3 + 3 v 4 =  1 v1 +  2 v 3 +  3 v 2 +  4 v 4 finalmente, se llega a:

(T (v )) 4

B1

=

( 1,

1, 2, 3 )

Al disponer en columnas los vectores de coordenadas obtenidos, se llega a la matriz solicitada.



M

B1 B1

(T )

   =    

1

0

2

2

3

5

3

−1

0

1

1

2

171

1   1   2   3 

TRANSFORMACIONES LINEALES

b) Para obtener M

B2 B2

(T )

se procederá de la misma forma que en el inciso

anterior, esto es, se obtendrán las imágenes de los elementos de la base B 2 y posteriormente, se obtendrán los vectores de coordenadas, en la base B 2 , de dichas imágenes. Se tiene que la base B 2 es:

B2 =

v ,

v1 + v 2 , v1 + v 2 + v 3 , v1 + v 2 + v 3 + v 4 

1

Obteniendo las imágenes de los elementos de esta base, se tiene:

T

(v ) = v 1

+ 3 v2 + 2 v3 + v4

1

(5)

Que corresponde a la expresión (1) del inciso anterior. Para el segundo elemento de B 2 y teniendo en cuenta que T es una transformación lineal, tenemos:

T

(v

1

+ v2

)

=T

(v ) 1

+T

(v ) 2

sustituyendo (1) y (2):

T

(v

1

+ v2

)

=

(v

T

(v

1

1

+ 3 v2 + 2 v3 + v4

+ v2

)

) + ( 2v

1

+ 5 v3 + 2 v4

= 3 v1 + 3 v 2 + 7 v 3 + 3 v 4

) (6)

Para el tercer elemento de B 2 , se tiene:

T

(v

1

+ v2 + v3

) =T(v ) + T(v ) + T(v ) 1

2

3

sustituyendo (1) , ( 2) y (3):

T ( v1 + v 2 + v 3 ) = ( v1 + 3 v 2 + 2 v 3 + v 4 ) + ( 2 v1 + 5 v 3 + 2 v 4 ) + ( − v 2 + 3 v 3 + v 4 de donde:

T ( v1 + v 2 + v 3

)=

3 v 1 + 2 v 2 + 10 v 3 + 4 v 4

172

(7 )

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

Para el cuarto elemento de B 2 , tenemos:

T

(v

1

) = T(v ) + T(v ) + T (v ) + T (v )

+ v2 + v3 + v4

1

2

3

4

sustituyendo (1) , ( 2) , (3) y (4):

T ( v1 + v 2 + v 3 + v 4

)

=

(v

+ 3 v2 + 2v3 + v4

1

( −v

2

+ 3v3 + v 4

)

+

) + (v

1

( 2v

+ 5v3 + 2v4

1

+ 2 v2 + v3 + 3 v4

)

+

)

de donde:

T ( v 1 + v 2 + v 3 + v 4 ) = 4 v 1 + 4 v 2 + 11 v 3 + 7 v 4

(8)

Obtengamos ahora los vectores de coordenadas, en la base B 2 , de las imágenes obtenidas: Para (5), tenemos que:

v1 + 3 v 2 + 2 v 3 + v 4 =  1 ( v1

)

+  2 ( v1 + v 2

 4 ( v1 + v 2 + v 3 + v 4

)

+  3 ( v1 + v 2 + v 3 ) +

)

desarrollando el lado derecho y factorizando, tenemos:

v1 + 3 v 2 + 2 v 3 + v 4 =

(

1

(

3

+ 2 + 3 + 4 + 4

)

)v

v3 + (  4

)

1

+

v4

de donde se llega al sistema:

 1 +  2 +  3 +  4   2 + 3 + 4   3 + 4    4  173

=1 = 3 = 2 =1

(

2

+ 3 + 4

)v

2

+

TRANSFORMACIONES LINEALES

al resolver el sistema, se llega a:

4 = 1 ,

3 = 1 ,

2 = 1

 1 = −2

y

por lo tanto, el vector de coordenadas es:

(T (v )) 1

=

B2

(

− 2, 1, 1, 1

)

Para (6), tenemos que:

3 v1 + 3 v 2 + 7 v 3 + 3 v 4 =  1 ( v1

)

+  2 ( v1 + v 2

)

 4 ( v1 + v 2 + v 3 + v 4

)

+  3 ( v1 + v 2 + v 3 ) +

de donde:

(

3 v1 + 3 v 2 + 7 v 3 + 3 v 4 =

1

(

+ 2 + 3 + 4

3

+  4 ) v3 + (  4

)v )

+

1

(

2

+ 3 + 4

v4

para este caso, el sistema es:

 1 +  2 +  3 +  4   2 + 3 + 4   3 + 4    4 

= 3 = 3 = 7 = 3

al resolverlo, se llega a:

4 = 3 ,

3 = 4 ,

2 = −4

y

1 = 0

con lo cual el vector de coordenadas es:

(T (v

1

+ v2

))

B2

174

=

(

0, − 4, 4, 3

)

)v

2

+

TRANSFORMACIONES LINEALES

Para (7), tenemos que:

3 v 1 + 2 v 2 + 10 v 3 + 4 v 4 =  1 ( v 1

)

+  2 ( v1 + v 2

)

 4 ( v1 + v 2 + v 3 + v 4

)

+  3 ( v1 + v 2 + v 3 ) +

ahora, el sistema sería:

 1 +  2 +  3 +  4   2 + 3 + 4   3 + 4    4 

= 3 = 2 = 10 = 4

al resolverlo, llegamos a:

4 = 4 ,

3 = 6 ,

2 = −8

1 = 1

y

por lo tanto, el vector de coordenadas es:

(T (v

1

+ v2 + v3

))

B2

=

( 1,

− 8, 6, 4

)

)

1

Finalmente, para (8) tenemos que:

4 v 1 + 4 v 2 + 11 v 3 + 7 v 4 =  1 ( v 1 ) +  2 ( v 1 + v 2 4

(v

1

+ v2 + v3 + v4

+ 3

)

el sistema sería:

 1 +  2 +  3 +  4   2 + 3 + 4     3 + 4   4 

175

= 4 = 4 = 11 = 7

(v

+ v2 + v3

)+

TRANSFORMACIONES LINEALES

cuya solución sería:

4 = 7 ,

3 = 4 ,

2 = −7

1 = 0

y

entonces, el vector de coordenadas es:

(T ( v

1

+ v2 + v3 + v4

))

B2

=

(

0, − 7, 4, 7

)

Disponiendo en columnas los vectores de coordenadas obtenidos, se llega a que la matriz M

B2 B2

(T )



es:

M

B2 B2

(T )

 −2    1 =   1    1

0

1

−4

−8

4

6

3

4

0    −7   4    7 

Ejercicio 3.10 Sea la transformación lineal T : P 2 → P 2 , donde:

P2 = Si se sabe que:

 ax

2

+ bx + c

a, b, c 



T ( x2 + 1) = 1 T ( x2 + x ) = x2 − x +1 T ( 2x −1) = 2x2 − x

obtenga la regla de correspondencia de T .

SOLUCIÓN: Para resolver este ejercicio se seguirán dos caminos distintos.

176

TRANSFORMACIONES LINEALES

MÉTODO

1:

Lo primero que resulta conveniente determinar es si el conjunto formado por los tres vectores, de los cuales conocemos sus imágenes, resulta ser una base del dominio.

Dado que el espacio P 2 es de dimensión tres, entonces el conjunto

x

2

+ 1, x 2 + x , 2 x − 1  será una de sus bases, si se demuestra que es

linealmente independiente. Para ello, será suficiente formar un determinante con los coeficientes de los polinomios y, si este es diferente de cero, entonces el conjunto es una base de P 2 . Se tiene, por tanto, que:

1

0

1

1

1

0

0

2

−1

= 1 0

Entonces, el conjunto dado es una base de P 2 . De lo anterior sabemos que, cualquier vector de P 2 puede ser expresado como una combinación lineal de los elementos de dicho conjunto. Tomemos entonces un vector genérico de P 2 . Sea a x 2 + b x + c  P 2 . Se tiene que:

a x 2 + b x + c = 1 ( x 2 + 1 ) x 2 +  2 ( x 2 + x ) +  3 ( 2 x − 1 )

… (a)

realizando operaciones y factorizando en el segundo miembro, tenemos:

ax2+ bx + c =

(

1

+ 2 ) x2 +

177

(

2

+ 2 3 ) x +

(

1

− 3

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

por igualdad de polinomios se llega al sistema:

 1 +  2 = a    2 + 2 3 = b    − 3 = c   1 Aplicando el método de eliminación de Gauss para obtener la solución del sistema, tenemos:

= a ( −1 )   1 +  2    2 + 2 3 = b    − 3 = c   1

 1 +  2 = a    (1)   2 + 2 3 = b    − 2 − 3 = c − a 

 1 +  2 = a    2 + 2 3 = b    3 = −a + b + c 

(1 ) (2) (3)

sustituyendo (3) en ( 2) :

2 + 2 ( − a + b + c

)

= b

de donde:

 2 = 2a − b − 2c

( 4)

sustituyendo (4) en (1) :

1 + ( 2 a − b − 2c ) = a



1 = − a + b + 2c

178

(5)

TRANSFORMACIONES LINEALES

Aplicando T en ambos lados de la expresión (a), tenemos:

T

( ax

2

+ b x + c ) = T  1 ( x 2 + 1 ) +  2 ( x 2 + x ) +  3 ( 2 x − 1 ) 

Dado que T es una transformación lineal, entonces la expresión anterior se puede escribir como:

T ( a x 2 + b x + c ) = 1 T

(x

2

+ 1) + 2 T

(x

2

+ x ) + 3 T ( 2x − 1)

del enunciado sabemos que:

T

(x

2

+ 1) = 1

T

(x

2

+ x ) = x2 − x + 1

T ( 2x − 1) = 2x2 − x sustituyendo, tenemos:

T

( ax

2

+ b x + c ) = 1 ( 1 ) +  2 ( x 2 − x + 1 ) +  3 ( 2 x 2 − x )

sustituyendo ahora (3) , (4) y (5) , tenemos:

T ( a x 2 + b x + c ) = ( − a + b + 2c ) ( 1 ) + ( 2a − b − 2c ) ( x 2 − x + 1 ) + ( − a + b + c ) ( 2 x 2 − x )

desarrollando los productos:

T

(ax

2

+ b x + c ) = ( − a + b + 2c ) + ( 2 a x 2 − 2 a x + 2a − b x 2 + b x − b − 2 c x 2 + 2 c x − 2c ) + ( −2 a x 2 + a x + 2b x 2 − b x + 2 c x 2 − c x )

179

TRANSFORMACIONES LINEALES

al agrupar y factorizar, se tiene:

T ( a x 2 + b x + c ) = ( 2 a − b − 2 c − 2 a + 2 b + 2 c ) x 2 + ( −2 a + b + 2 c + a − b − c ) x + ( − a + b + 2 c + 2 a − b − 2 c) finalmente, se llega a:

T

( ax

+ bx + c

2

)

= bx2 + ( c − a ) x + a

Que es la regla de correspondencia de T solicitada.

MÉTODO 2: Del enunciado, se tiene que:

T

(x

2

+ 1) = 1

T

(x

2

+ x ) = x2 − x + 1

T ( 2x − 1) = 2x2 − x Dado que T es una transformación lineal, entonces lo anterior se puede expresar como:

T

(x )

+ T (1) = 1

(6)

T

(x )

+ T

(x)

(7)

2

2T

2

(x)

= x2 − x + 1

− T ( 1 ) = 2x2 − x

(8)

de (6) y (7), se tiene que:

T (1) = 1− T T

(x)

=

(x 180

2

(x ) 2

− x + 1) − T

(9)

(x ) 2

(10 )

TRANSFORMACIONES LINEALES

sustituyendo (9) y (10) en (8), tenemos:

2  x 2 − x + 1 − T

( x )  2

−  1 − T

( x )  2

(x ) −1+T (x )

2x2 − 2x + 2 − 2 T

2

2

= 2x2 − x = 2x2 − x

de donde:

−T

( x ) + 2x 2

2

− 2x + 1 = 2x2 − x

 T ( x2

)

= − x +1

(11)

sustituyendo (11) en (9), se tiene:

T ( 1 ) = 1 − ( −x + 1)



T (1) = x

(12 )

sustituyendo (11) en (10) :



(

x2 − x + 1) −

T

(x)

=

T

(x)

= x2

( −x + 1) (13)

2 Por otro lado, si aplicamos T al polinomio a x + b x + c y teniendo presente que T es lineal, entonces se tiene que:

T ( ax2 + bx + c ) = a T ( x2

)

+ b T ( x ) + c T (1)

sustituyendo (11), (12) y (13), tenemos:

T ( ax2 + bx + c ) = a ( − x + 1) + b ( x2



) + c(x)

T ( ax2 + bx + c ) = bx2 + ( c − a ) x + a

Que resulta ser la misma regla de correspondencia que se obtuvo por el método 1.

181

TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejercicio 3.11 Para la transformación lineal T :

M

A B

(T )

2

→

3

se tiene que:

−1    0   1 

 2   =  1   −1

donde:

A =

 ( 1, −1 ) , ( − 1, 2 ) 

B =

 ( 1, 0 , 1 ) , ( − 1, 1, 0 ) , ( 0 , 1, 2 ) 

es una base de

2

es una base de

3

Determine la regla de correspondencia de la transformación T . SOLUCIÓN: Para resolver este ejercicio, se hará uso de la expresión:

M

A B

( T ) ( v )A

=  T ( v

)  B

(1)

que viene dada en la definición del concepto de matriz asociada a una transformación lineal. En esta expresión, el vector v representa un vector cualquiera

(

x, y

)

del dominio de T , esto es:

Como el conjunto A es una base de

2

v =

( x,

y ).

, entonces el vector

(

x, y

)

puede

ser expresado como una combinación lineal de los elementos de A, esto es:

( x,

y

)

=  1 ( 1, −1 ) +  2 ( − 1, 2 )

de donde surge el sistema:

 1 −  2 = x    −  1 +  2 = y

182

TRANSFORMACIONES LINEALES

al resolver este sistema, se llega a:

1 = 2 x + y 2 = x + y Con lo cual, el vector de coordenadas de v referido a la base A es:

(v )A sustituyendo M

A B

(T )

( 2x +

=

(v )A

y

 T ( v )  B

y, x + y )

en la expresión (1), tenemos:

−1   0  1 

 2  =  1  −1 

 2x +   x +

y   y 

de donde:

 T ( v

)  B

 4x + 2 y − x − y   =  2x + y   − 2 x − y + x + y

     

 3x + y      = 2 x + y     − x 

entonces, el vector de coordenadas de la imagen de v referido a la base B, es:

 T ( v )  = B

(

3x + y , 2x + y , − x

)

Con este vector de coordenadas y la base B, se tiene que:

T ( x , y ) = ( 3 x + y ) ( 1, 0, 1 ) +

( 2x

+ y ) ( − 1, 1, 0 ) +

( − x ) ( 0, 1, 2 )

T ( x , y ) = ( 3 x + y , 0, 3 x + y ) + ( −2 x − y , 2 x + y , 0 ) + finalmente:

T

( x, y )

=

( x, 183

x + y,

x + y

)

( 0,

− x , −2 x )

TRANSFORMACIONES LINEALES

Álgebra de transformaciones lineales Adición y multiplicación por un escalar Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre un campo K , y sean

T : V → W y H : V → W dos transformaciones lineales. 1) La suma T + H de T y H es de V en W definida por:

(T+H )(v )

= T (v

2) El producto de un escalar

)

una

+ H (v

  K

)

transformación

lineal

 v V

;

por la transformación T es una

transformación lineal de V en W que se denota con  T y se define como:

( T ) ( v )

= T

(v )

 v V

;

Composición 3) Sean

T : U → V y H : V → W dos transformaciones lineales. La operación H T es una transformación lineal de U en W definida por:

(H

T

) (u )

= H  T

(u )



;

 u U

La operación composición puede representarse gráficamente de la siguiente forma:

V T

U

u

H

T(u

)

H T

184

W

H T ( u ) 

TRANSFORMACIONES LINEALES

Propiedades de las operaciones con transformaciones lineales Propiedades de la adición y la multiplicación por un escalar Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo K y sean las transformaciones lineales:

T: V → W R: V → W S: V → W Se tiene que: 1) T + R = R + T 2) 3) 4) 5)

(T + R ) + S = T + ( R + S )  ( T ) = (  ) T ;  (  +  ) T = T +  T ;  ( T + R ) = T +  R ;

,   K  ,   K    K

Propiedades de la composición de transformaciones lineales Sean U , V , W y X espacios vectoriales sobre un campo K y sean las transformaciones lineales: T: U → V

R: U → V H: W → X S: V → W F: V → W Se tiene que:

(

1) H 2) 

(

3) S 4)

(S

S

T

)=(

H

S

) = ( S )

)

T

(

T=S

)

T

S

T

(T

+ R)=

(

S

T

)+(

S

R

)

+ F

)

(

S

T

)+(

F

T

)

T =

185

;

  K

TRANSFORMACIONES LINEALES

Teoremas Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre un campo K , y sean A y B bases de V y W , respectivamente. Si T y H son dos transformaciones lineales cualesquiera de V en W , entonces: 1) M BA ( T + H 2) M BA

( T )

)

= M BA ( T

=  M BA ( T

)

+ M BA ( H

)

)

 K

;

Sean U , V y W tres espacios vectoriales definidos sobre un campo K , y sean

A , B y C bases de U , V y W , respectivamente. Si T : U → V 3) M CA

(H

y H : V → W son dos transformaciones lineales, entonces:

T

)

= M CB ( H

)

M BA ( T

)

Ejercicio 3.12 Dadas las transformaciones lineales:

T:

2

→

2

donde

T

( x, y )

=

( − x,

2 x − 3 y)

S:

2

→

2

donde

S

( x, y )

=

( x − y,

=

(

)

Obtenga el vector v , tal que:

(S

T

) (v)

− 1, 1

SOLUCIÓN: Considerando a

(S

v =

( x, y ) ,

entonces se tiene que:

T

) ( x, y )

= S  T

( x , y ) 

2x − 3y

)

de donde:

S

( − x,

186

=

=

( − 1, 1 )

( − 1, 1 )

3 y)

TRANSFORMACIONES LINEALES

aplicando la regla de la transformación S , tenemos:

 − x − ( 2 x − 3 y

),

3 ( 2 x − 3 y )  =

( − 1, 1 )

simplificando, se tiene:

(

− 3x + 3 y , 6 x − 9 y ) =

( − 1,

1

)

por igualdad de vectores se llega al sistema de ecuaciones:

 − 3 x + 3 y = −1    6 x − 9 y = 1 cuya solución es:

x=

2 3

y=

1 3

con lo cual el vector v es:

 2 1  v =  ,   3 3 

Ejercicio 3.13 Sea el espacio vectorial

  M =  

 x    0

0    y 

0    y 

; 

   y 

x, y 

las transformaciones lineales:

H:

2

→M

S:

2

→

2

dada por H

( x,

y)

S

( x,

y

dada por

)

 x+ y =    0 =

( − x, 0 )

;



( x, y )

( x, y )

Determine la regla de correspondencia de la transformación T : M →

 2 S + ( T

H

)  ( x , y ) 187

=

( 0, y )

 2



2

2

, tal que:

TRANSFORMACIONES LINEALES

SOLUCIÓN: Partiendo de la expresión dada, tenemos:

 2S + ( T 

H

)  ( x , y )

= ( 0, y )

de donde se tiene:

2S

( x,

y

)

(T

H

)(

+ (T

H

) ( x,

y

)

( 0,

=

y)

Despejando:

x, y

)

=

( 0,

y ) − 2S

( 0,

(

x, y

)

aplicando S , tenemos:

(T

H

)(

x, y

)

=

(T

H

)(

x, y

)

=

y ) − 2 ( − x, 0 )

( 2 x,

y)

(1)

Por otro lado, en términos de matrices asociadas sabemos que:

M

(T )

M(H

)

= M (T

H

)

Siempre que las matrices asociadas estén referidas a bases canónicas o bases naturales. Esta ecuación resulta ser una ecuación matricial, de la cual podemos despejar M ( T ) , esto es:

M (T

)

M(H

)

M −1 ( H ) = M ( T

H

)

M −1 ( H )

de donde se tiene:

M (T Para

(T

obtener M

H

)

)

(T ),

= M (T

H

necesitamos

y de H.

188

)

M

−1

obtener

( H) las

(2) matrices

asociadas

de

TRANSFORMACIONES LINEALES

Si aplicamos isomorfismo, podemos expresar a la transformación H como:

H

(

x, y

)

(

=

 x + y , y ) ; aplicando f   

a   0

0  b 

  =  

(

a, b

)

Considerando la base canónica, tenemos:

H

( 1,

0) =

( 1,

0) 

H

(

0, 1) =

M

(H)

( 1, 1 )

1 =   0

1  1 

(3)

Por otro lado, considerando la expresión (1), tenemos:

(T (T

H H

) ( 1, 0 ) )(

=

0, 1 ) =

( 2, 0 )

 M (T

H

( 0, 1 )

)

2 =  0

0 1 

(4)

de (3), se obtiene que:

M

−1

(H )

−1   1 

1 =   0

(5)

sustituyendo ( 4 ) y ( 5 ) en ( 2 ) , tenemos:

M (T

)

2 =   0

0  1 

1   0

−1   1 

de donde:

M (T

)

2 =   0

Como la transformación T : M → podemos lograr que T :

T

( x,

y

)

2

→

 2 =   0

2

2

−2   1  , entonces mediante el isomorfismo

, con lo cual se puede expresar:

−2   1  189

 2x − 2y  x    =    y  y 

   

TRANSFORMACIONES LINEALES

esto es:

( x,

T

y

)

( 2x − 2 y,

=

y

)

Finalmente, aplicando el isomorfismo inverso, tenemos:

 T   

 x   0

Ejercicio 3.14 Si M ( T ) , M

0    y 

  =  

(S)

( 2x − 2 y,

y M

(H)

y

)

son las matrices asociadas a las

transformaciones lineales T , S y H respectivamente, donde:

T:

3

→

2

,

3

S:

→

2

H:

y

2

→

2

y sus matrices asociadas son:

M (T

)

0 0 1  , M (S =    1 0 0

)

1 2 0  , M =    0 0 3

(H )

 1   =  2   0

1    −1   2 

obtenga la regla de correspondencia de la transformación:

( 3T

H + S

H

) ( x,

y

)

SOLUCIÓN: Antes de iniciar con la solución del ejercicio, es conveniente hacer la siguiente aclaración: Cuando en una matriz asociada a una transformación no se especifican las bases a las cuales está referida y los espacios vectoriales sobre los cuales actúa la n , como las matrices asociadas dadas en este transformación son del tipo ejercicio, entonces se deberá entender que dichas matrices asociadas están referidas a las bases canónicas del dominio y del codominio de la transformación.

190

TRANSFORMACIONES LINEALES

Las operaciones

( 3T

H + S

)

H

pueden ser expresadas en términos

matriciales de la siguiente forma:

3M (T

)M (H )

M

(H )

) M (H )

+ M

+ M

(S )

con lo cual se tiene que:

M ( 3T

H + S

H

)

= 3M (T

(S ) M (H )

si factorizamos M (H), tenemos:

M ( 3T

H + S

H

)

=  3 M ( T

)

+ M(S

) 

M(H

)

sustituyendo las matrices asociadas se tiene que:

M ( 3T

)

H +S H

M

( 3T

 0 = 3   1  

H +S H

1 1 +    0 0 

0 0

1 =   3

)

3  3 

2 0

5

 M ( 3T H + S H ) = 

 3

0

0   3 

 1   2   0

1   −1   2 

2

1    2     0

5   9 

Con lo cual, si se obtiene la imagen de un vector cualquiera

( x,

y

)

por medio

de la matriz asociada, se tiene que:

M

(

3T H + S H

) ( x,

y

)

5 =    3

5   9 

 x   5x + 5y   =      y   3 x + 9 y

Por lo tanto, la regla de correspondencia buscada es:

( 3T

H + S

H

) ( x,

y

)

191

=

(

1   −1   2 

5x + 5 y , 3x + 9 y

)

   

TRANSFORMACIONES LINEALES

Transformaciones lineales inyectivas, suprayectivas y biyectivas 1) Transformación inyectiva: Una transformación lineal es inyectiva, si y solo si, el núcleo de dicha transformación es de dimensión cero. 2) Transformación suprayectiva: Una transformación lineal es suprayectiva, si y solo si, la dimensión del recorrido es igual a la dimensión del codominio, o bien, si la dimensión del núcleo es igual a cero, entonces la transformación será suprayectiva, si la dimensión del dominio es igual a la dimensión del codominio. 3) Transformación biyectiva: Una transformación lineal es biyectiva, si y solo si, es inyectiva y suprayectiva, es decir, si la dimensión del núcleo es igual a cero y la dimensión del recorrido es igual a la dimensión del codominio.

Inversa de una transformación lineal Sea T : V → W una transformación lineal. La inversa de T es una transformación −1

lineal T 1) T 2) T

−1

T

: W → V , para la cual se cumple que:

T = IV −1

= IW

Donde I V e I W son transformaciones identidad en V y W , respectivamente. Gráficamente:

T

V

W

T

v

T

−1

192

(v )

TRANSFORMACIONES LINEALES

Teorema Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita, T : V → W una transformación lineal y A, B bases de V y W , respectivamente: 1) T

−1

2) Si T

M BA ( T

existe, si y solo si,

existe, entonces  M BA

−1



)

es no singular.

(T

)

 

−1

= M BA

( T −1 ) .

Propiedades de la transformación inversa

U, V y W

Sean

espacios

vectoriales

sobre

un

campo

K

y

sean

T : U → V y R: V → W dos transformaciones lineales biyectivas. Se tiene que: 1) T

−1

es única

2)

(T −1 )

−1

3)

(R

)

4)

( T )

T

= T

−1

−1

=

= T −1 1 T 

R−1

−1

;

   K con   0

Ejercicio 3.15 Sea la transformación lineal T : M → P1 definida por:

 T   

a   b

b  a 

  =  

( a−b ) x

+

( a+b )

 a ;    b

b    M a 

donde:

  a M =     b

b  a 

a, b 

  

y

P1 =

 ax

a) Determine si T es biyectiva. b) De ser posible, obtenga la transformación inversa T 193

−1

.

+ b

a, b 



TRANSFORMACIONES LINEALES

SOLUCIÓN: a) Obteniendo el núcleo de T . Al igualar a cero el recorrido, se genera el sistema de ecuaciones:

 a−b = 0    a + b = 0 cuya única solución es:

a = 0 b = 0

de donde el núcleo de T es:

N (T

)

=

0

Dim N ( T



)

= 0

con lo cual podemos concluir que T es inyectiva. Por otro lado, se puede apreciar que el dominio y el codominio de T

son

espacios de dimensión dos, y como el núcleo es de dimensión cero, entonces T es suprayectiva. Al ser T

inyectiva y suprayectiva, entonces T

es biyectiva. b) Como T resultó ser biyectiva, entonces T Para obtener T

−1

−1

existe.

, primeramente transformaremos los espacios vectoriales

M y P1 a espacios del tipo

n

, mediante dos isomorfismos.

Como M y P1 son espacios vectoriales de dimensión dos, entonces son isomorfos a

2

. De acuerdo con esto, podemos plantear los isomorfismos:

  a f     b   g

b   a 

  =  

( ax + b) 194

=

( a,

b

)

( a,

b

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

con lo cual la regla de correspondencia de T quedaría como:

(

T

a, b ) =

(

a −b, a +b )

Obteniendo la matriz asociada a T con la base canónica, tenemos:

T ( 1, 0

)

= ( 1, 1 ) M (T



( 0, 1 )

T

=

( − 1, 1 )

)

1 =   1

−1    1

de donde se tiene que:

 M (T 

)

 

−1

 1 1  = 2  −1 

1   = M  1 

( T −1 )

a partir de esto, tenemos que:

T

−1

( a, b )

 1 1  = 2  −1 

1    1 

 a+b a   2   =     −a + b b  2 

    

esto es:

T

−1

( a, b )

 a+b b−a  =  ,  2   2

aplicando los isomorfismos inversos y tomando en cuenta que T tenemos:

T −1 ( a x + b

)

 a+b  2 =    b−a  2

195

b−a  2    a+b  2 

−1

: P1 → M ,

TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejercicio 3.16 Sea

T : P1 → P1 ,

P1 =

donde

 ax + b

a, b 

,

una transformación lineal tal que:

M

A B

(T )

−4    1 

 2 =    0

es su matriz asociada referida a las bases:

A =

 2x ,

3

B =

y



x , x +3 

del dominio y codominio respectivamente. a) Determine si la transformación T es biyectiva. b) Obtenga, si existe, T

−1

.

SOLUCIÓN: a) Dado que Det

(

M BA ( T

)

)

= 2 , entonces podemos garantizar que:

 M BA ( T 

(

)

−1

 

existe −1

)

=  M BA ( T )    podemos asegurar que T es biyectiva. Como M BA

b) Como M

A B

T

(T)

−1

 2 =    0

−4    1 



, entonces T

M

B A

(T )

Para obtener la regla de correspondencia de T forma:

196

−1

−1

−1

existe, por lo que

 1 1  = 2  0 

4    2 

, se procede de la siguiente

TRANSFORMACIONES LINEALES

Obtengamos primero el vector de coordenadas de un vector cualquiera a x + b de P1 , referido a la base B .

ax + b = α ax + b =

(x)

+ β ( x + 3)

(α +β)x +

3β

por igualdad de polinomios:

 α+β = a   3β = b  



β =

b 3

sustituyendo en la primera ecuación, se tiene:

b = a  3

α = a −

 ( ax + b )B =

b  a − , 3 

α+

b 3 b   3 

al multiplicar este vector de coordenadas por la matriz se obtiene es  T 

T 

−1

−1

( a x + b )  A

( ax

M BA

lo que

+ b )  , entonces: A

1 1  = 2   0

b  b 4b   4  a − a − + 3  3 3 1     =    2   b 2b 2     3 3   

por tanto:

T 

( T −1 ) ,

−1

( a x + b )  A

197

 a+b    2  =    b   3  

     

TRANSFORMACIONES LINEALES

de donde:

a+b b   T − 1 ( a x + b )  =  ,   A 3   2 con este vector de coordenadas y la base A, se tiene:



T −1 ( a x + b ) =

a+b 2

T −1 ( a x + b ) =

(a+b)x+b

( 2x )

b 3

+

Ejercicio 3.17 Sean las transformaciones lineales T :

2

(3)

→ P y H : M → P,

cuyas reglas de correspondencia están definidas por:

T

( a, b )  a H   b

(a+b)x−a

;



0  2  = cx + ax + b c 

;

 a    b

= ax2 +

(a,b)

ax

2

  a M =     b

+ bx + c 0   c 



a, b, c 

a, b, c 

  

y sean las bases:

A =

x

B =

 ( 1,

2

, x, 1  −1 ) ,

(

base de P

0, 1

198

)

base de

2

0    M c 

donde:

P =



2

TRANSFORMACIONES LINEALES

  1 C =     0

0   , 0 

 0   1

0   , 0 

Obtenga la regla de correspondencia de H

−1

 0   0

0     1  

base de M

T.

SOLUCIÓN: El procedimiento que seguiremos para resolver este ejercicio será: obtener la matriz asociada a la transformación H referida a las bases C y A . A partir de la inversa de esta matriz, obtendremos la regla de correspondencia −1 de H ; finalmente, se obtendrá la composición de H − 1 con T . Obteniendo

M CA

( H ),

tenemos:

 1 H    0  

0  0 

  = x  

 H   

0   1

0  0 

  = 1  

 H   

0   0

0  1 

  = x2  

Los vectores de coordenadas de estas imágenes referidas a la base

A =

x

2

, x , 1  son:

( x )A

=

( 0,

1, 0 )

( 1 )A

=

( 0,

0, 1)

=

( 1,

0, 0 )

(x ) 2

A

199

TRANSFORMACIONES LINEALES

Por lo tanto, la matriz asociada a H es:

M

(H )

C A

 0   =  1   0

1    0   0 

0 0 1

Se sabe que:

 M 

C A

(H)

 

−1

= M

( H −1 )

A C

Al obtener la inversa de esta matriz, se llega a:

M

A C

 0   =  0   1

( H −1 )

0    1   0 

1 0 0

(1)

Para obtener la regla de correspondencia de H

M

A B

( T ) ( v )A

=  T

−1

(v )

, se hará uso de la fórmula:  B

que, adaptada a nuestro problema, queda como:

M

A C

( H − 1 )  a x

2

     + b x + c  =  H −1  a x 2 + b x + c   A    

Dado que, si H : M → P , entonces H

−1

(2) C

:P→M.

Por otro lado, se tiene que:

  2  ax + bx + c  =  A

200

( a,

b, c

)

(3)

TRANSFORMACIONES LINEALES

sustituyendo (1) y (3) en (2) , tenemos:

  H 

−1

   2 a x + b x + c      C

 0   =  0   1

0    1   0 

1 0 0

 a   b           b  =  c       c   a 

de donde:

  H 

−1

   2  ax + bx + c     

=

(

b, c, a

)

C

con este vector de coordenadas y la base C , se tiene que:

H



H

−1

−1

1   2  a x + b x + c  = b    0 b   2  a x + b x + c  =    c

Procedamos

T:

2

0 0  + c    0 1

ahora

a

0 0  + a    0 0

0    a 

obtener

la

composición

entre H

−1

→ P , entonces:

( H −1

T

) ( a,

b) = H

−1

 T ( a, b)   

( H −1

T

) ( a,

b) = H

−1

 a x 2 +

finalmente, al aplicar H

(H

−1

−1

(

a+b

)

x − a 

, se llega a:

T

0   1

) ( a,

b

201

)

 a+b =    −a

0    a 

y T . Como

TRANSFORMACIONES LINEALES

Efectos geométricos de las transformaciones lineales de Transformación

y

Sobre el eje x

T

0 −1  y

 −1 0   0 1   

y 1 x

x

1

y -1

T

0 −1 

x -1

y

y

 k  0 

0 1  0 k 1

T

1

1 x

k

Vertical

x

1

1 0  0 k   

T

y

k

0 k 1

x

1 y

Horizontal

y

 k  0  Expansión

x

-1

Horizontal

Contracción

T

1

Con respecto al origen

 −1  0 

1 -1

Sobre el eje y Reflexión

2

Efecto geométrico Dominio Codominio

Matriz de transformación

1 0 

en

2

0 1  k 1

T

1

1

k

Vertical

1

1 0  0 k   

x

x

y k

T

k 1

1

202

x

TRANSFORMACIONES LINEALES

Efectos geométricos de las transformaciones lineales de Transformación

Dominio

y

1 0 0 0  

(Cont.)

Codominio y

T

1 x 1

Sobre el eje y

1

0 0 0 1   

x

y

T

1

x

A lo largo del eje x

y

k0 1 k  0 1   

con

1

T

k

k 0 1 k  0 1   

y

con

1

1

T

1

1 k

A lo largo del eje y

k0  1 0  k 1  

con

x

1

1

k

k 0  1 0  k 1  

con

1

 cos   sen  

− sen   cos  

x

y

T

1

1

203

x

y k 11 kk

T

y

x

y 1

T

A lo largo del eje y

Rotación

x

y

A lo largo del eje x

Deformación o Deslizamiento

2

Efecto geométrico

Matriz de transformación

Sobre el eje x

Proyección

en

2

x

 1

x

TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejercicio 3.18 Determine el efecto geométrico que produce: a) El realizar un giro de 90 y, posteriormente, efectuar una expansión horizontal considerando k = 3 . b) El realizar primero la expansión horizontal con k = 3 y, posteriormente, realizar el giro de 90 . Realice, para cada caso, la representación geométrica considerando la región que se define con los puntos

( 0 , 0 ) , ( 1, 0 ) , ( 1, 1 )

y

( 0, 1) .

SOLUCIÓN: a) De acuerdo con la tabla anterior, la matriz de giro es:

 cos    sen 

− sen   

cos  

Como  = 90, entonces:

0 Matriz de giro =   1

−1   = G 0 

La matriz de expansión horizontal es:

k   0

0  1 

como k = 3, entonces:

3

Matriz de expansión = 

 0

0  = E 1 

Como se nos pide realizar primero el giro y después la expansión, esto equivale a realizar la composición de ambas transformaciones, esto es:

(E

G ) u = E  G ( u ) 

204

TRANSFORMACIONES LINEALES

Obsérvese que, en el lado derecho de la igualdad, se aplica primero el giro al vector u y posteriormente se aplica la transformación de expansión E . Sabemos que:

M

(E

G) =M

(E)

M (G)

de donde:

M

(E

G)

3 =   0

0   1

0   1

−1  0  =    0 1

−3   = T  0 

Aplicando esta transformación a los puntos dados, tenemos:

T

( 0, 0 )

 0 =   1

−3   0 

 0   0    =    0   0 

 T ( 0, 0 ) = ( 0, 0 )

 0 T ( 1, 0 ) =   1

−3   1   0     =    1  0   0 

 T ( 1, 0 ) = ( 0 , 1 )

 0 T ( 1, 1 ) =   1

−3   1   −3  =      0   1   1 

 T ( 1, 1 ) = ( − 3 , 1 )

−3   0 

 T ( 0 , 1 ) = ( −3 , 0 )

T

( 0, 1)

 0 =   1

 0   −3   =   1   0

Gráficamente:

205

  

TRANSFORMACIONES LINEALES

b) Si se aplica primero la expansión horizontal y, posteriormente, el giro de 90, entonces se tiene:

M

(

G

E

)

0 =   1

−1   3   0   0

0 0 =    3 1 

−1   = H 0 

Aplicando esta transformación a los puntos, tenemos:

( 0, 0 )

 0 =    3

−1    0 

 0   0    =        0   0 

 H ( 0, 0 ) = ( 0, 0 )

H ( 1, 0 )

 0 =    3

−1    0 

 1   0    =        0   3 

 H ( 1, 0 ) = ( 0 , 3 )

H ( 1, 1 )

 0 =    3

−1    0 

1  −1   =     1  3

   

 H ( 1, 1 ) = ( − 1, 3 )

( 0, 1)

 0 =    3

−1    0 

 0   −1    =        1   0

 H ( 0 , 1 ) = ( − 1, 0 )

H

H

Gráficamente:

206

TRANSFORMACIONES LINEALES

Como podemos darnos cuenta, el orden en que se aplican las transformaciones sí modifica el resultado que se obtiene, lo cual era de esperarse, pues la composición de transformaciones lineales, en general, no es conmutativa.

Ejercicio 3.19

Para la región definida por los puntos

( 0, 0 ) , ( 4, 0 )

y

( 2, 2 ) ,

determine el efecto geométrico que produce: a) Una contracción vertical considerando K = largo del eje x con K = 1 .

1 , sumada a un deslizamiento a lo 2

b) La composición de una contracción vertical con

K =

deslizamiento a lo largo del eje x con K = 1 . c) La composición de un deslizamiento a lo largo del eje x de una contracción vertical con K =

1 , 2

seguida de un

con K = 1 , seguido

1 . 2

SOLUCIÓN: a) Las matrices que producen los efectos solicitados son:

 1 C =   0

0   1  2 

y

 1 D =    0

1    1 

Al sumar los dos efectos se tiene:

1 C + D =   0

0  1  +  1   0 2 

207

2 1  =    1  0

1   3  = T 2 

TRANSFORMACIONES LINEALES

La matriz obtenida produce la suma de ambos efectos. Al aplicar la transformación T a los puntos dados, tenemos:

T

T

T

( 0,

( 4,

( 2,

0

0

2

)

 2 =   0

1   0   0     =   3      0  0  2   

 T ( 0 , 0 ) = ( 0, 0 )

)

 2 =   0

1   4   8     =   3      0     0  2 

 T ( 4 , 0 ) = ( 8, 0 )

)

 2 =   0

1   2   6     =   3      2  3  2   

 T ( 2 , 2 ) = ( 6, 3 )

Gráficamente: y

y

T

(6 ,3 ) 3 (2 ,2 ) 2

x (0 ,0 )

2

x (0 ,0 )

(4 ,0 )

6

(8 ,0 )

b) En este inciso se nos pide realizar primero la contracción vertical, seguida del deslizamiento, con lo cual se tiene:

(D

C ) u = D C

( u )

en forma matricial:

M

(

D

C

)

= M

208

(D)

M

(C)

TRANSFORMACIONES LINEALES

sustituyendo las matrices, tenemos:

M

(

1 1  1   0 

1 C) =  0

D

0 1 2

  1  =   0  

1 2 1 2

   = H  

La matriz obtenida produce la composición de ambos efectos, aplicando primero la contracción y después el desplazamiento. Aplicando esta transformación H a los puntos dados, tenemos:

H ( 0, 0 )

 1 =  0 

1 2 1 2

  0 0    =   0  0 



H ( 0, 0 ) =

( 0, 0 )

H ( 4, 0 )

 1 =  0 

1 2 1 2

  4 4    =   0  0 



H ( 4, 0 ) =

( 4, 0 )

H ( 2, 2 )

 1 =  0 

1 2 1 2

  2 3    =   1  2 



H ( 2, 2 ) = ( 3, 1)

Gráficamente: y

y H

2

(2 ,2 ) 1

(3 ,1 )

x (0 ,0 )

2

x (0 ,0 )

(4 ,0 )

3

(4 ,0 )

c) En este inciso se nos pide primero realizar el deslizamiento y después la contracción, se tiene entonces que:

(

C

D ) u = C  D ( u ) 

209

TRANSFORMACIONES LINEALES

en forma matricial:

M

(

C

D) = M

(C)

M

(D)

sustituyendo:

M

(

C

D)

 1 =   0 

0 1 2

  1   0 

1 1 =   0 1 

1 1 2

  = S  

Aplicando esta transformación S a los puntos dados, tenemos:

S ( 0, 0

S ( 4, 0

S ( 2, 2

)

1 =  0 

1 1 2

  0 = 0 0   0    



S ( 0, 0

)

=

( 0, 0 )

)

1 =  0 

1 1 2

  4 = 4 0   0    



S ( 4, 0

)

=

( 4, 0 )

)

1 =  0 

1 1 2

  2 = 4 1   2    



S ( 2, 2

)

=

( 4, 1 )

Gráficamente: y

y S

2

(2 ,2 ) 1

(4 ,1 )

x (0 ,0 )

2

x (0 ,0 )

(4 ,0 )

(0 ,4 )

Con las gráficas obtenidas en cada uno de los tres incisos, resulta evidente que el efecto geométrico producido es diferente.

210

TRANSFORMACIONES LINEALES

Valores y vectores característicos (valores y vectores propios) A las transformaciones lineales que se aplican de un espacio vectorial

V al

mismo espacio V , se les conoce como operadores lineales.

T: V →V Para este tipo de transformaciones pueden existir vectores diferentes de cero que tienen la siguiente característica:

T

( v ) = v

donde v  V y  es un escalar perteneciente al campo de definición del espacio V. El concepto anterior se puede definir formalmente de la siguiente manera: Definición Sea V un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre un campo K y sea T : V → V un operador lineal para el cual:

T(v

) = v

con v  0

donde  es un escalar perteneciente a K . Al escalar  se le llama valor característico de T y al vector v , diferente de cero, se le conoce como vector característico de T correspondiente al valor  . El vector característico tiene que ser diferente de cero, pero el valor característico  sí puede tomar el valor de cero. Algunos autores llaman al valor característico valor propio y al vector característico le llaman vector propio.

211

TRANSFORMACIONES LINEALES

Teorema Sean V un espacio vectorial sobre un campo K , y sea T : V → V un operador lineal. El escalar   K es un valor característico de T , si y solo si,  es una raíz del polinomio característico asociado a T .

Propiedades de los valores y vectores característicos 1.

Los vectores característicos asociados a valores característicos distintos son linealmente independientes.

2.

Si v es un vector característico asociado a un valor característico   entonces a 

3.

 v es

también

un

vector

característico

asociado

   K y   0.

Si u y v son dos vectores característicos asociados a  y u  − v , entonces u + v es un vector característico asociado  .

Espacio característico Al conjunto formado por todos los vectores característicos asociados a un valor característico  , al cual se le agrega el vector cero, se le llama espacio característico y se representa con E (  ) .

Teorema Sea A una matriz asociada a un operador lineal T . Si A es una matriz singular, esto es, Det ( A ) = 0, entonces  = 0 es un valor característico de T .

212

TRANSFORMACIONES LINEALES

Teorema Sea A una matriz asociada a un operador lineal T . Si A es una matriz no singular, esto es, Det valor característico de T , Es evidente que si el Det

1



( A )  0,

entonces si  es un

es un valor característico de T

( A )  0,

−1

.

entonces   0.

Ejercicio 3.20 Sea P el espacio de polinomios de grado menor o igual a dos sobre el campo real y sea T : P → P el operador lineal definido por:

T  f

( x ) 

= f

(x)

+ f"( x) + x f '(x) ;  f

(x)

 P

a) Obtenga los valores y vectores característicos de T . b) Determine los espacios característicos asociados a cada valor característico.

SOLUCIÓN: a) Expresemos primero la regla de correspondencia de T , de la siguiente manera: Sea f

( x ) = a x2 + bx + c

un polinomio cualquiera del espacio P .

Se tiene

que: Si

f ( x ) = ax2 + bx + c



f ( x ) = 2 a x + b f  ( x ) = 2 a

sustituyendo en la definición de la regla de correspondencia dada, tenemos:

T ( a x2 + bx + c ) = ( a x2 + bx + c ) +

213

( 2a )

+ x ( 2a x + b )

TRANSFORMACIONES LINEALES

simplificando:

T ( a x 2 + b x + c ) = a x 2 + b x + c + 2a + 2a x 2 + b x T ( a x 2 + b x + c ) = 3a x 2 + 2 b x + ( 2 a + c ) Con la finalidad de simplificar el procedimiento, aplicaremos el concepto de isomorfismo. Como el espacio vectorial P es de dimensión tres, entonces es isomorfo con con lo cual se aplicarán los siguientes isomorfismos:

h

(ax

h −1

(

2

+ bx + c ) =

(

a , b, c )

a , b, c ) = a x 2 + b x + c

de acuerdo con esto, la regla de correspondencia del operador T queda:

T ( a , b, c ) =

( 3a ,

2b, 2 a + c )

Obteniendo la matriz asociada a T referida a las bases canónicas, tenemos:

T ( 1, 0, 0 ) = ( 3, 0, 2 ) T ( 0, 1, 0 ) =

( 0,

2, 0 )

T ( 0, 0, 1 ) =

( 0,

0, 1 )

por tanto, la matriz asociada a T es:

M

(T )

3  = 0   2

0 2 0

214

0  0 = A  1 

3

,

TRANSFORMACIONES LINEALES

Obteniendo el polinomio característico, se tiene:

Det

( A − I )

3−

0

0

0

2 − 

0

2

0

1− 

=

=

( 3 −  ) ( 2 − ) ( 1 − )

con lo cual el polinomio característico en forma factorizada es:

P(

)

( 3 −) ( 2 −) (1−)

=

los valores característicos son:

1 = 3 2 = 2 3 = 1

Obteniendo

( A − Ι)

los

vectores

característicos haciendo uso de la expresión

u = 0 , tenemos: 3−

0

0

0

2 −

0

2

0

1− 

x  y   z

 0     = 0      0 

(1)

Para  1 = 3 , sustituyendo en (1) y por igualdad de matrices, se tiene:

0=0   −y =0   −2z = 0  2 x



y = 0



x = z

si hacemos z = k 1 , entonces:

x = k1 con lo cual se tiene:

(v ) 1

B

=

(k

215

1

, 0, k 1 )

TRANSFORMACIONES LINEALES

siendo B la base con la cual se obtuvo la matriz asociada a la transformación, pero del espacio P . Aplicando h tenemos:



La base B es:

−1

a los elementos de la base canónica,

h −1

( 1,

0, 0 ) = x 2

h −1

( 0, 1, 0 )

h −1

( 0,

= x

0, 1 ) = 1

B =  x2, x, 1 

Con la base B y el vector de coordenadas de v 1 , se tiene:

v 1 = k 1 x 2 + k 1 con k 1  0 vectores característicos asociados a  1 Para  2 = 2 , se tiene:

= 0  x   0 = 0    2x − z = 0 



x = 0



z = 0

Como y no figura en el sistema de ecuaciones, entonces cualquier valor, esto es:

y = k2

si

entonces:

(v ) 2

B

=

( 0,

k2 , 0

)

con lo cual los vectores característicos asociados a  2 son:

v2 = k2 x

con

216

k2  0

y puede tomar

TRANSFORMACIONES LINEALES

Para  3 = 1, se tiene:

= 0  2x  y = 0   = 0  2 x entonces:

x =0



(v ) 3

 z = k3

y=0

= ( 0, 0, k 3 )

B

de donde los vectores característicos asociados a  3 son:

v3 = k 3

con

k3  0

b) De acuerdo con los resultados obtenidos en el inciso anterior, se tiene que los espacios característicos son:

E

( ) = k

1

x2 + k1 k1 

E

( ) = k

2

x k2 

E

( ) = k

3

k3 

1

2

3



 

Ejercicio 3.21 Para el operador lineal T : M → M , donde:

 M =  

 a   b

b   c 

a, b, c 

  

y cuya regla de correspondencia es:

 T   

 x    y

y    z 

  3x + y − 5z  =     x + 3y − 5z 

x + 3y − 5z    2z 

 x ;     y

obtenga los valores, vectores y espacios característicos de T .

217

y   M  z 

TRANSFORMACIONES LINEALES

SOLUCIÓN: Como el espacio vectorial M es de dimensión tres, entonces se emplearán los siguientes isomorfismos:

  a b   f     =   b c   f

−1

( a,

b, c

)

( a,

b, c

)

 a b  =    b c 

con lo cual la regla de correspondencia de T queda:

T

(

x, y, z

)

=

(

3x + y − 5z,

x + 3y −5z,

2z

)

; 

(

x, y, z

)

3

Obteniendo la matriz asociada a T referida a las bases canónicas, tenemos:

T ( 1, 0, 0 ) = ( 3, 1, 0 ) T ( 0, 1, 0 ) = ( 1, 3, 0 ) T ( 0, 0, 1 ) =

( − 5,

− 5, 2 )

entonces la matriz asociada a T es:

M (T

)

 3  =  1   0

1 3 0

−5   −5  = A  2 

con lo cual el polinomio característico se obtiene a partir de:

Det

( A − I )

1  3−   =  1 3−   0 0

−5

   −5  =  2 −  

218

( 3− ) ( 3− ) ( 2− ) − ( 2− )

TRANSFORMACIONES LINEALES

Det

( A −  )

=

( 2 −  )  ( 3 −  )

2

− 1 = 

( 2 −  ) ( 2 − 6 + 8 )

factorizando, se tiene:

Det ( A −  

)

=

(2− ) (−2)(−4)

entonces los valores característicos son:

1 = 2 2 = 2 3 = 4 Como

(

A −   3−    1   0

)

u = 0 es: −5

1 3− 0

   −5   2 −  

 x  0          y  = 0      z   0 

los vectores característicos se obtienen a partir del siguiente procedimiento: Para

 1 =  2 = 2 , sustituyendo en (1), tenemos:  1    1   0

1 1 0

−5    −5   0 

 x   0        y  =  0     z   0

219

     

(1)

TRANSFORMACIONES LINEALES

con lo cual se llega al sistema de ecuaciones:

 x + y − 5z = 0    x + y − 5z = 0   0 = 0  al escalonarlo, se obtiene:

 x + y − 5z = 0   0 = 0    0 = 0  Se trata de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado con dos grados de libertad, entonces: Si y = k1

y

z =



x = − k1 + 5 k 2

k2

de donde se obtiene que:

(v ) 1

B

=

( −k

1

+ 5 k 2 , k1 , k 2

)

como la base B es:

  B =  

1   0

0 0 ,    0 1

Esta base se obtiene al aplicar f

−1

1 0 ,    0 0

0   1

   

a los elementos de la base canónica, que es

la base con la cual se obtuvo M ( T ) .

220

TRANSFORMACIONES LINEALES

Conocido el vector de coordenadas de v 1 y la base B , entonces los vectores

 1 y  2 son:

característicos asociados a

 − k1 + 5 k 2 v1 =   k1  Para

k1    k2 

con

k 1 y/ o k 2  0

 3 = 4 , se tiene que:  −1    1   0

−5    −5   − 2 

1 −1 0

 x   0           y  =  0       z   0 

de donde se llega a:

 − x + y − 5z = 0    x − y − 5z = 0   − 2z = 0  al escalonarlo, se obtiene:

 x − y − 5z = 0   − 10 z = 0    − 2z = 0  Como z = 0 , entonces de la primera ecuación se obtiene: si

y = k3



x = k3

con lo cual:

(v ) 2

B

=

(k 221

3

, k3, 0

)

x=y

TRANSFORMACIONES LINEALES

entonces, de la misma forma como se procedió en el caso anterior, se llega a:

v2

 k3 =    k3

k3    0 

k3  0

con

vectores característicos asociados a  3 = 4 . Finalmente, se tiene que los espacios característicos son:

E

(

1

)

  =   

 − k1 + 5 k 2   k1 

( )

  =   

 k3    k3

y 

E

2

3

k3    0 

k1    k2 

k1 y k

k3 

    

2



    

Obsérvese que el espacio característico asociado a 1 y 2 es de dimensión dos. Ejercicio 3.22 En el espacio vectorial lineal T :

T

(

2

→

x, y ) =

2

2

sobre el campo

se tiene el operador

, definido por:

( ax + by,

a y − bx ) ;  ( x, y ) 

2

con

a, b 

Obtenga: a) Los valores característicos de T . b) Los vectores característicos de T . c) Los espacios característicos de T y la dimensión de cada uno de ellos. SOLUCIÓN: a) El espacio vectorial

2

con campo de definición complejo es un espacio de

dimensión dos, por lo que una base de

222

2

resulta ser la base canónica

TRANSFORMACIONES LINEALES

B =  ( 1, 0 ) , a T , tenemos:

T

( 1,

0

(

0, 1

)

=

) .

( a,

Obteniendo con esta base la matriz asociada

−b ) M (T

 T

(

0, 1

)

=

( b,

)

a)

 a =   − b

b   = A a 

Obteniendo el polinomio característico, se tiene:

Det

( A − I )

=

a −

b =

a −

−b

(a−)

2

+ b2

P (  ) = a 2 − 2 a  + 2 + b 2 P (  ) = 2 − 2 a  + ( a 2 + b 2

)

Aplicando la fórmula para ecuaciones de segundo grado, tenemos:

 =

 =

2a 

( − 2 a)

2

− 4(1) ( a2 + b2

2 (1)

2a 

− 4b 2 2

)

2 a  2 bi = 2

=

2a 

4 a 2 − 4 a 2 − 4b 2 2   1 = a + bi     = a − bi  2



b) Obteniendo los vectores característicos, tenemos: Para  1 = a + b i y haciendo uso de la expresión:

( A − I ) u tenemos:

 a − ( a + bi    −b

)

= 0

   a − ( a + bi )  b

223

 x  0   =        y   0 

TRANSFORMACIONES LINEALES

simplificando:

b  −bi   − b − b i

  

 x   0    =    y   0 

de donde surge el sistema:

 − bi x + b y = 0    − b x − bi y = 0 resolviendo el sistema por Gauss:

( i )  − bi x + b y = 0    − b x − bi y = 0  con lo cual

y = ix

con

1 b

 − bi x + b y = 0 − ix + y = 0        0 = 0 0=0  



b0

Si hacemos que x = k 1 , entonces y = i k 1 . Dado que M ( T

)

está referida a la base canónica, entonces los vectores

característicos asociados a  1 , son:

v1 =

(k

1

, i k 1 ) con k 1  0

Para  2 = a − bi :

 a − ( a − bi ) b    −b a − ( a − bi )

   

 x  0   =      0  y 

   

simplificando:

 bi    −b

b    bi 

 x   0    =        y   0 

224



 bi x + b y = 0    − b x + b i y = 0

TRANSFORMACIONES LINEALES

resolviendo el sistema por Gauss:

(− i )  bi x + b y = 0    −b x + bi y = 0 

1 b

 bi x + b y = 0    0 = 0 



i x + y = 0    0 = 0 



de donde: y = − i x con b  0 Si hacemos que x = k 2 , entonces y = − i k 2 , por tanto:

v2 =

(k

2

, −ik2

)

con

k2  0

c) Con lo cual los espacios característicos son:

E

( ) = (k

E

( ) = (k

1

2

1

2

, i k1

)



k1 

)

, −ik2

k2 



Dado que los espacios característicos son subespacios del dominio, entonces, al igual que el dominio, su campo de definición es complejo y como ambos dependen de una sola variable, la dimensión de ellos es uno, esto es:

Dim E (  1

)=1

Dim E (  2

)=1

Ejercicio 3.23 Sea el operador lineal T :

T

( x,

y, z ) =

3

( 2 x + a y,

Determine el o los valores de a , b 

→

3

, definido por:

b y + z, 2z

, de tal manera que:

P (  ) = − 3 + 6  2 − 12  +  sea el polinomio característico de T .

225

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

SOLUCIÓN: Obteniendo M

(T ),

tenemos:

T ( 1, 0 , 0 ) =

( 2,

0, 0 )

T ( 0 , 1, 0 ) =

(a,

b, 0)

T ( 0, 0, 1) =

( 0 , 1, 2 )



 2   M (T )=  0   0

0    1  = A  2 

a b 0

Obteniendo P (  ) a partir de la matriz A , se tiene:

Det

(A−

 ) =

2−

a

0

0

b−

1

0

0

2−

=

(2−



) (b− ) 2

de donde:

P() =

( 2− ) ( b− )

P() =

( 4 − 4 +  ) ( b − )

2

2

P (  ) = 4b − 4 − 4b  + 4 2 + b  2 −  3 P (  ) = −  3 + ( b + 4 )  2 + ( − 4b − 4 )  + 4b como el polinomio característico debe ser:

P (  ) = − 3 + 6  2 − 12  + 8 entonces:

−  3 + 6  2 − 12  + 8 = −  3 + ( b + 4 )  2 + ( − 4 b − 4 )  + 4 b

226

TRANSFORMACIONES LINEALES

por igualdad de polinomios, se tiene:

b+4 = 6     − 4 b − 4 = −12   4b = 8 



b=2

Dado que a no interviene en el sistema, entonces a puede tomar cualquier valor, por lo tanto, la respuesta al ejercicio es:

a b = 2 Matrices similares

Se tiene que dos matrices A y B de orden n  n son similares, si existe una matriz no singular C , tal que:

B = C − 1 AC

Teorema

Dos matrices representan al mismo operador lineal, si y solo si, son similares.

Propiedades de las matrices similares

( A)

= Det ( B ) .

1.

Si A y B son matrices similares, entonces Det

2.

Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos valores característicos.

227

TRANSFORMACIONES LINEALES

Diagonalización Si V es un espacio vectorial de dimensión n y T : V → V es un operador lineal, entonces existe una matriz diagonal asociada a T , cuando se puede definir una base de V formada por vectores característicos de T . La matriz asociada a T referida a esta base, es una matriz diagonal D cuyos elementos d ii son los valores característicos de T .

Teorema Sea A de n  n una matriz asociada a un operador lineal T .

A será similar a una matriz diagonal D , si y solo si, existe un conjunto linealmente independiente formado por n vectores característicos de T. Para este La matriz

−1

caso, existe una matriz no singular P , para la cual se cumple que D = P AP , P tiene como columnas a los n vectores característicos de T donde correspondientes a los valores característicos d i i que definen a la matriz diagonal D .

Teorema Sea A una matriz asociada a un operador lineal T . 1) Si los valores característicos de A son todos diferentes, entonces A es diagonalizable. 2) La matriz A es diagonalizable, si y solo si, la suma de las dimensiones de los espacios característicos es igual a la dimensión del dominio de T .

Ejercicio 3.24 Para el operador lineal T :

T

( x,

y, z

)

=

( x,

3

→

5x + 2 y − 2z, x + 3z )

228

3

, definido por:

;



( x,

y, z ) 

3

TRANSFORMACIONES LINEALES

a) Obtenga los valores y vectores característicos de T . b) Determine los espacios característicos de T . c) Defina una matriz diagonalizadora P . d) Compruebe que D = P

−1

A P.

SOLUCIÓN: a) Obtengamos primero la matriz asociada al operador T referida a la base canónica de

3

.

T ( 1, 0, 0 ) = ( 1, 5, 1 ) T ( 0, 1, 0 ) =

( 0,

2, 0 ) 

T ( 0, 0, 1 ) =

( 0,

− 2, 3 )

M

(T )

 1 =  5  1

0 2 0

0 −2 3

  = A  

de donde el polinomio característico se obtiene con:

Det

( A − I )

 1−    =  5   1

   −2  =  3 −  

0

0

2− 0

por lo tanto, los valores característicos son:

1 = 1 2 = 2 3 = 3 Obteniendo los vectores característicos, tenemos:

229

(1 − ) ( 2

− )

(3 − )

TRANSFORMACIONES LINEALES

Para λ 1 = 1 , se tiene:

 0    5   1

 x   0   5x + y − 2z = 0            x = −2z  y  =  0           z   0  + 2z = 0  x

0    −2   2 

0 1 0

si

z = k1



x = − 2k1

 v 1 = ( − 2 k 1 , 12 k 1 , k 1

y = 12 k 1

Para

)

con k 1

 0

vectores característicos asociados a λ 1

λ 2 = 2 , se tiene:

 −1    5   1

0 0 0

0    −2   1 

 x   0           y  =  0        z   0 

 x    5x    x

= 0 − 2z = 0 z

= 0

de donde se obtiene que:

x = 0 y = k2



z = 0 Para

 −2    5   1

v2 =

( 0,

k2, 0

)

con k 2

0

vectores característicos asociados a λ

2

λ 3 = 3 , se tiene:

0 −1 0

0    −2   0 

= 0  x   0   − 2x            y  =  0    5x − y − 2z = 0        z   0  = 0  x

230



y = − 2z

TRANSFORMACIONES LINEALES

de donde se obtiene que:

x = 0 y = − 2k 3



z = k3

( 0,

v3 =

− 2k 3 , k 3

)

con k 3

 0

vectores característicos asociados a λ

b) Los espacios característicos son:

 ( λ 1) =  ( λ 2) =  ( λ 3) =

 ( − 2 k , 12 k , k ) k    ( 0, k , 0 ) k    ( 0, − 2 k , k ) k   1

1

1

2

1

2

3

3

3

c) En forma general, la matriz P es:

 − 2k 1   P =  12 k 1   k 1 

0

0

k2

− 2k 3

0

k3

si se hace que:

k1 = 1 k

2

= 2

k

3

= −1

entonces, una matriz diagonalizadora sería:

 −2   P =  12   1

231

0 2 0

0    2   − 1 

      

3

TRANSFORMACIONES LINEALES

cuya inversa es:

P −1

 −1  1  = 7 2    − 1

0 1 0

0    2   − 2 

d) Sustituyendo, tenemos que:

 −1  1  D = 7 2    − 1

0   2  − 2 

0 1 0

1   5   1

0

0    2   − 2 

 −2    12   1

2 0

0    −2   3 

 −2    12   1

desarrollando los productos, se tiene:

 −1  1  D = 7 2    − 1

D =

1 2

 2    0   0

0 1 0

0    0   6 

0 4 0

de donde:

 1   D =  0   0

0 2 0

0    0   3 

232

0 4 0

0    6   − 3 

0 2 0

0    2   − 1 

TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejercicio 3.25 Para el operador lineal T : P 2 → P 2 donde:

P2 =

 ax

2



+ b x + c a, b, c 

definido por:

T ( a x 2 + b x + c ) = ( a − 2c ) x 2 + ( −2a + 4c ) ;

 a x 2 + b x + c  P2

a) Determine si la matriz que representa al operador T es diagonalizable. b) En caso afirmativo, obtener una matriz diagonal D asociada a T. c) Determine una base a la cual está referida la matriz diagonal D del inciso anterior. SOLUCIÓN: Con el fin de simplificar el procedimiento se emplearán los siguientes isomorfismos:

( ax

f f

−1

(

2

) = ( a,

+ bx + c

a, b, c

)

b, c

)

= ax2+ bx + c

De esta forma, la regla de correspondencia del operador T es:

T

( a,

b, c

)

=

(

a − 2c , 0 , −2a + 4c

)

;



( a,

b, c ) 

3

a) Obteniendo los valores y vectores característicos, tenemos:

T ( 1, 0, 0 ) = ( 1, 0, − 2 ) T ( 0, 1, 0 ) =

( 0,

0, 0 )

T ( 0, 0, 1 ) =

( − 2,



M (T

0, 4 ) 233

)

 1 =  0  − 2

0 0 0

−2 0 4

  = A  

TRANSFORMACIONES LINEALES

El polinomio característico viene dado por:

Det ( A − λ I )

 1− λ   =  0   − 2

−2

   0  =  4 − λ 

0 −λ 0

( 1− λ ) ( − λ ) ( 4 − λ ) + 4λ

P ( λ ) = − λ ( 4 − λ − 4 λ + λ2

) + 4λ

P ( λ ) = − λ3 + 5 λ 2 − 4 λ + 4 λ P ( λ ) = − λ3 + 5 λ 2 = λ 2

( −λ + 5 )

Por lo que los valores característicos son:

λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 = 5 Obteniendo los vectores característicos, tenemos: Para λ 1 = λ 2 = 0 , se tiene:

 1    0   − 2

0 0 0

−2    0   4 

 x  0          y  = 0      z   0 



 x − 2z = 0   0 = 0     −2 x + 4 z = 0

al escalonar el sistema, se reduce a:

 x − 2z = 0



234

x = 2z

TRANSFORMACIONES LINEALES

Se trata de un sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad, con lo cual se tiene que su solución general es: si

z = k1  x = 2k1

con

y = k2

con lo cual los vectores característicos asociados a λ 1 y

(

)

v1 = 2 k 1, k 2 , k 1 Para

− 4    0   − 2

k1  0

con

y /o

λ

2

son:

k2 0

k 3 = 5 , se tiene:

0 −5 0

−2    0  −1 

 x  0         y =   0      z   0 

− 2z = 0  − 4x   − 5y = 0    −z = 0  − 2x





y = 0

al escalonar el sistema, se llega a:

 2x + z = 0    y = 0



z = −2x

obteniendo la solución general, tenemos: Si

x = k3



z = − 2k3

con

y=0

por lo que los vectores característicos asociados a λ 3 son:

v3 =

(k

3

, 0 , −2 k 3

)

con k 3  0

Obsérvese que el espacio característico asociado a λ 1 y λ dos, por lo que una base de dicho espacio sería:

B =

 ( 2,

0, 1 ),

235

( 0,

1, 0

)

2

es de dimensión

TRANSFORMACIONES LINEALES

Los elementos de esta base son vectores característicos asociados a λ 1 y λ

2

.

Para el caso de v 3 , un vector característico es:

( 1, Como

la

0, −2

P

matriz diagonalizadora

)

está

formada

con

los

vectores

característicos dispuestos en forma de columna, entonces tenemos que:

 2   P=  0   1 Si P es no singular, diagonalizable.

esto

es,

1    0   − 2 

0 1 0 si

existe P −1, entonces

la

matriz A es

Dado que:

Det ( P ) =

entonces:

Det ( P )  0

2

0

1

0

1

0

1

0

−2



= −5

P −1 existe

con lo cual podemos asegurar que A es diagonalizable. Tenemos que los valores y vectores característicos del operador original

T , aplicando f

−1

, son:

Para

λ1 = λ 2 = 0

Para

λ1 = 5

 v1 = 2 k1 x2 + k 2 x + k1  v3 = k 3 x2 − 2 k 3

236

con k 1  0

con k 3  0

y/o k 2  0

TRANSFORMACIONES LINEALES

b) Con esta matriz P y empleando la expresión D = P −1 A P , se llega a que la matriz D es:

0  D = 0   0

0  0  5 

0 0 0

c) Una base a la cual está referida la matriz D es la formada por los vectores característicos obtenidos, esto es:

f f f



−1

(

2, 0, 1

−1

(

−1

( 1,

)

)

0 , 1, 0

0, −2

La base solicitada es B =

Ejercicio 3.26 Al

diagonalizar

la

= 2 x 2 +1 = x

)

= x2 −2

 2 x 2 + 1,

matriz

asociada

x2− 2

x,

al



operador

lineal

T : P 2 → P 2 , donde P 2 es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, se llega a que una matriz diagonal asociada a T es:

 2   0   0

0 0 0

0   0   −1 

y una matriz diagonalizadora es:

 0   0   1 Obtenga la imagen del polinomio

0 1 2

1   2   1 

P ( x ) = x 2 + x + 1 bajo T . 237

TRANSFORMACIONES LINEALES

SOLUCIÓN: Resolveremos el ejercicio por dos caminos distintos. MÉTODO 1 A partir de la matriz diagonalizadora, se obtiene que una base de P 2 , formada por vectores característicos del operador T , es:

B =

 1,

x + 2, x2 + 2x +1 

Para obtener la imagen solicitada del polinomio P

(x),

se hará uso de la

expresión:

M

donde la matriz M

B B

B B

( T ) ( P )B

(T )

=  T( P)   B

(1)

es la matriz diagonal del operador T .

Obteniendo el vector de coordenadas de P , tenemos:

x 2 + x + 1 = 1 ( 1 ) +  2

(x+2)

+ 3

(x

2

+ 2x + 1 )

de donde se obtiene el sistema:

 1 + 2 2 +  3 = 1    2 + 2 3 = 1    3 = 1  cuya solución es:

1 = 2 , por lo que:

 2 = −1

( P )B

=

(

2 , −1, 1

238

3 = 1

y

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

sustituyendo M

 T 

B B

(T )

(P)

 B



( P )B

y

en la expresión

 2  =  0   0

 T 

(P)

0   0   − 1 

0 0 0  = B

(

(1):

 2   −1   1

4 , 0 , −1

  4    =  0     − 1

    

)

con este vector de coordenadas y los elementos de la base B , tenemos:

T

(x

2

+ x + 1 ) = 4 ( 1 ) − 1 ( x 2 + 2x + 1 )

con lo cual la imagen solicitada es:

T

(x

2

+ x +1 ) = − x2 − 2x + 3

MÉTODO 2 De la matriz diagonal, se tiene que los valores característicos del operador T son:

1 = 2 ,

2 = 0

 3 = −1

y

Obteniendo las imágenes de los elementos de la base B , tenemos:

T ( 1) = 2( 1) T

( x + 2) = 0( x + 2)



T ( 1) = 2



T

(2)

(x + 2) = 0

dado que T es lineal, se tiene que:

T

(

x+ 2

)

sustituyendo ( 2 ) y despejando T

T

(x)

( x ) + 2T ( 1 )

= T

( x ),

= −4 239

= 0

tenemos:

(3)

TRANSFORMACIONES LINEALES

además:

T

(x

+ 2 x + 1 ) = −1 ( x 2 + 2 x + 1 ) = − x 2 − 2 x − 1

2

Por otro lado, se tiene que:

T

(x

2

+ 2x + 1 ) = T

( x ) + 2T ( x ) + T ( 1 ) 2

sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) y despejando T

( x ), 2

( x )+ 2( −4 )+ 2=−x 2

T

2

= − x2 − 2x −1

tenemos:

− 2x −1

de donde:

T

(x )

= − x2 − 2x + 5

2

(4)

La imagen del polinomio P solicitada, se obtiene de la siguiente forma:

T

(x

2

+ x + 1) = T

( x ) + T ( x) + T ( 1) 2

sustituyendo ( 2 ) , ( 3 ) y ( 4 ) , tenemos:



T

(x

2

+ x + 1) =

T

(x

( −x

2

+ x + 1) = −x2 − 2x + 3

2

− 2x + 5 ) +

( −4 ) + ( 2)

Un tercer método de solución del ejercicio sería obtener la regla de correspondencia del operador T , sabiendo que:

T

( 1)

T

(

T

(x

= 1

x+ 2) = 0 2

+ 2x + 1) = − x2 − 2x − 1

Teniendo las imágenes de los vectores de la base B y siguiendo el procedimiento que se muestra en el ejercicio 3.10 , fácilmente se obtiene la regla de correspondencia de T y con ella, se obtendría la imagen del polinomio P .

240

TRANSFORMACIONES LINEALES

Ejercicio 3.27 Para el operador lineal T : definido sobre el campo

T

( x,

y, z ) =

3

→

3

, donde el espacio

3

está

y cuya regla de correspondencia es:

( 3 x,

2y − 5 z , y − 2z

)



;

( x,

y, z ) 

3

a) Determine si el operador T es diagonalizable. b) En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga la matriz diagonal

D asociada a T y una base a la cual esté referida. SOLUCIÓN: 3

a) Dado que el espacio vectorial

está definido en el campo complejo, entonces 3

su dimensión es igual a tres, por lo que una base de

B=

 ( 1, 0 , 0 ) ,

es:

( 0 , 1, 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) 

Obteniendo la matriz asociada:

T ( 1, 0 , 0

)

=

( 3, 0, 0 )

T

( 0 , 1, 0 )

=

( 0, 2, 1 )

T

( 0, 0, 1 )

=

( 0,

M (T



−5, −2

)

)

 3  =  0   0

0 2 1

0   −5  = A  − 2 

Los valores característicos se obtienen a partir de:

Det ( A − λ I )

 3−λ  =  0   0

0

  −5  =  − 2 − λ  0

2 −λ 1

( 3 −λ ) ( 2 −λ ) ( −2 −λ ) + 5 (3 −λ )

P(λ) =

(3−λ)

P(λ) =

( 3 − λ ) ( − 4 − 2 λ + 2 λ + λ2 + 5 )

P(λ) =

( 3 − λ ) ( λ2



( 2 −λ ) ( −2 −λ ) + 5 + 1)

241



TRANSFORMACIONES LINEALES

Por lo tanto, los valores característicos son:

λ1 = 3 ,

λ2 = i

λ3 = −i

y

Dado que los tres valores característicos son diferentes, entonces podemos afirmar que el operador T sí es diagonalizable. b) La matriz diagonal D que se nos pide obtener en este inciso se puede dar directamente:

 3  D =  0   0

0 i 0

0   0   − i 

Para obtener la base a la cual está referida esta matriz, será necesario obtener los vectores característicos y a partir de ellos formar la base solicitada. Para λ 1 = 3 :

 0    0   0

0 −1 1

0    −5   − 5 

 x  0          y  = 0      z   0 



0 = 0     − y − 5z = 0    y − 5z = 0

Al escalonar el sistema, se reduce a:

 y − 5z = 0    −10 z = 0   0 = 0 

y =0  z =0

Dado que x no interviene en el sistema, entonces puede tomar cualquier valor:

x = k1 242

TRANSFORMACIONES LINEALES

Por lo tanto, los vectores característicos asociados a λ 1 = 3 son:

v1 =

(k

1

, 0, 0

)

k1  0

con

y el correspondiente espacio característico es:

E

(λ ) =k 1

1

k1 

, 0, 0



Para λ 2 = i :

 3−i    0   0

0 2−i 1

   −5   − 2 − i  0

 (3−i ) x = 0  x  0           y = 0   ( 2 − i ) y − 5z = 0            z   0   y + ( −2 − i ) z = 0

 x=0

Ordenando el sistema como más conviene para resolverlo con el método de Gauss, tenemos:

( −2 )  y + ( − 2 − i ) z = 0    ( 2 − i ) y − 5z = 0    x = 0 

 y +(−2−i) z = 0   0 = 0    x = 0 



y +(−2−i    − i y + ( −1 + 2i   

(i) 

y = (2 + i) z

de donde:

si

z = k2



y =( 2+i

243

)

k2

)z

= 0

)z

= 0

x = 0

TRANSFORMACIONES LINEALES

Con lo cual los vectores característicos asociados a λ

v2 = ( 0,

(

2+i

)

k2, k2

)

con

2

= i son:

k2  0

y el correspondiente espacio característico es:

E

Para

 3+i    0   0

( λ ) =  ( 0, ( 2 + i ) 2

k2, k2

)

k2 



λ 3 = −i : 0 2+i 1

   −5   − 2 + i  0

 (3+i ) x = 0  x  0           y = 0   ( 2 + i ) y − 5z = 0            z   0   y + ( −2 + i ) z = 0

al escalonar el sistema con el método de Gauss, se llega a:

 y + ( −2 + i ) z = 0   0 = 0    x = 0  si

z = k3





y =( 2−i

)

y =

(2−i)z

k3

Con lo cual los vectores característicos asociados a λ 3 = − i son:

v3 = ( 0,

(

2−i

)

k3, k3

)

con

k3  0

y su correspondiente espacio característico es:



E ( λ 3 ) = (0 , ( 2 − i ) k 3 , k 3 )

244

k3



 x=0

TRANSFORMACIONES LINEALES

Si tomamos un vector característico de cada uno de los espacios característicos, obtendremos una base a la cual está referida la matriz diagonal D .

Si hacemos que:

k1 = 1 ,

k2 = 1

k3 = 1

y

Entonces la base solicita sería:

B =

 ( 1,

0, 0 ),

( 0,

2 + i, 1 ),

( 0,

2 − i, 1 )



Es evidente que si se dan otros valores a k 1 , k 2 y k 3 , se obtendría una base distinta y, por lo tanto, se podrían obtener una infinidad de bases formadas con vectores característicos a los cuales estaría referida la matriz diagonal D . La que se dio como respuesta en este ejercicio es solo una de ellas. Por otro lado, es importante resaltar el hecho de que los tres espacios característicos obtenidos son de dimensión uno y, por lo tanto, se cumple que la suma de las dimensiones de los espacios característicos es igual a la dimensión del dominio del operador.

245

TRANSFORMACIONES LINEALES

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sea F el espacio vectorial de funciones reales de variable real y sea la transformación T : F → F definida por:

( f (x) ) =

T

f ' ( x ) − f "( x ) ;  f

(x)

 F

Determine si la transformación T es lineal. 2. Determine si la transformación T :

T

(

)

x, y

=

(

2

→

2 x, y + 1

2

)

definida por:

; 

(

x, y

)



2

es lineal. 3. Determine si la transformación T :

T

(z)

=

(

→

z, iz

2

)

definida por:

; z 

es lineal, cuando: a)

y

2

están definidos sobre el campo

.

b)

y

2

están definidos sobre el campo

.

4. Sea P 3 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres, definido sobre

T

. Determine si la transformación T : P 3 → P 3 definida por:

( P(x) )

= P(x

)

+

dP(x dx

es lineal.

246

)

;  P(x

)

 P3

TRANSFORMACIONES LINEALES

5.

Sea M el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden dos sobre sea T : M → M un operador definido por:

T

(x)

= Ax − x A

;  x  M

donde:

1 A =   2

0   1

a) Determine si T es lineal. b) Obtenga el núcleo y la dimensión del recorrido de T . 6.

Sean P 4 y P 3 los espacios vectoriales reales de los polinomios de grado menor o igual a cuatro y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T : P 4 → P 3 la transformación definida por:

T

3

di

i =1

d xi

( P ( x) )= 

P ( x ) ;  P ( x )  P4

a) Determine si T es lineal. b) Obtenga el núcleo de T . 7.

8.

Sea M el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n con elementos reales. Determine si cada una de las siguientes transformaciones es lineal: a) T : M →

definida por T

( A)

= Det

( A)

b) S : M →

definida por

S

( A)

= Tr

( A)

;

 A M

;  A M

, donde M es el espacio de matrices Sea la transformación T : M → cuadradas de orden dos con elementos reales, tal que: 3

  a T     c  

b   d 

  =  

(

a+b+c , a − d , b+c+d

247

)

 a ;    c

b    M d 

y

TRANSFORMACIONES LINEALES

a) Determine si T es lineal. b) Obtenga el núcleo de T y su dimensión. c) Determine el recorrido de T y su dimensión. 9.

Para la transformación lineal S :

S

(

)

x, y, z

 x−2y =    y+z

3

→ M definida por:

y+z    x −y+z 

;  ( x, y, z

)



3

donde M es el espacio vectorial real de las matrices simétricas de orden dos con elementos reales, obtenga: a) El núcleo de la transformación, su dimensión y una de sus bases. b) El recorrido de la transformación, su dimensión y una de sus bases. 10. Para la transformación lineal T :

( x,

T

y, z

)

3

= x−y

→

definida por:

; 

( x,

y, z

)

3

Obtenga: a) El núcleo de T , su dimensión y una de sus bases. b) El recorrido de la transformación, su dimensión y una de sus bases. 11. Sea la transformación lineal T :

T

( x,

y, z ) =

(

3

→

3

definida por:

y −2 z , y + z , x +2 y −3z

)

; 

( x,

y, z ) 

3

a) Determine si T es lineal. b) Obtenga el recorrido y el núcleo de T y la dimensión de ambos. c) Verifique que se cumple que la dimensión del dominio es igual a la dimensión del recorrido más la dimensión del núcleo. d) Obtenga

(T

3T

−1

) ( x, y, z ) . 248

TRANSFORMACIONES LINEALES

12. Sea el espacio vectorial:

 B =  

b   0

0   b 

  

b 

y la transformación T : B →

sobre el campo

 b T =   0

0   = b 

( 0, 0, 0 )

;

definida por:

 b    0

0    B b 

Determine: a) Si T es una transformación lineal. b) El núcleo y el recorrido de T . c) La dimensión del núcleo y del recorrido de T . 13. Sea una transformación lineal T :

T

( x,

y, z ) =

(

3

→

3

definida por:

)

a x +b y , a x +bz , a y +bz

;

 a, b 

Determine la relación que debe existir entre a y b para que la dimensión del recorrido sea dos. 14. Sean las transformaciones lineales T : P 2 →

S : P2 →

y

, definidas

por:

T

S

( ax

2

(P)

+ bx + c

)

=

=



1

P(x)dx ;

 P  P2

0

2a b + + c 3 2

; 

( ax

2

+ bx + c

)

 P2

donde P 2 es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos. a) Obtenga el recorrido y núcleo de la transformación S . b) Determine una base y la dimensión del núcleo de S . c) Obtenga la regla de correspondencia de la transformación H = T + S . 249

TRANSFORMACIONES LINEALES

15. Sean V y W lo espacios vectoriales:

V =



ax +b



a, b 

W =

y



ax2 + bx + c

a, b, c 



Si la transformación lineal T : V → W se define por:

T

( P(x) ) =

x P(x)



;

P(x)  V

obtenga la matriz asociada a T referida a las bases:

A =



x , 1  del dominio

B =

x

2

+ 2 x + 1, 9 x + 2 ,

4 x 2 + 3 x + 3  del codominio.

16. Sea W un subespacio del espacio vectorial de las funciones reales de variable real y sea

B =



e 2x ,

xe 2x ,

x 2 e 2x



una base de W . Obtenga

matriz asociada al operador D : W → W definido por:

(

D

f

)

= f'

;  f  W

17. Sean los espacios vectoriales:

P1 =

 ax + b

P2 =

 ax

2

a, b 

+ bx + c



a, b, c 



y la transformación lineal T : P 1 → P 2 definida por:

T

(

ax + b

)

=

b 2 x + ax 2

Obtenga la matriz asociada a T referida a las bases:

A =



x + 1, −x + 1 

B =

x

2

+ x+ 1,

x2 − x + 1,

250

− x2 + x + 1 

la

TRANSFORMACIONES LINEALES

18. Sean el espacio vectorial

T

( 1,

de

2

2

)

=

( − 1,

4

)

2

T:

y el operador lineal

2

→

2

tal que

T = I , donde I es el operador identidad

y T

. Determine la matriz asociada a T respecto a la base canónica.

19. Sea T :

3

→

3

una transformación lineal definida por:

T

 i,

donde

j, k



(i)

T

(

T

(i+ j)

j+k

)

= 2i + 3 k = 2j = i− j 3

es la base canónica de

.

a) Obtenga la matriz asociada a la transformación M

(T ).

b) Determine la regla de correspondencia de T . 20. Sea T :

3

→

3

una transformación lineal. Si se sabe que:

T

i =

donde

( 1,

= 2i + 3 j + 5 k

(

j+k

)

= i

(i+

j+k

)

= j−k

j =

( 0,

T T

( k)

0, 0 ) ,

1, 0

)

y

k =

( 0,

0, 1 )

Obtenga: a) T

(

j + 2 j + 3k ) .

b) La regla de correspondencia de T . c) La matriz asociada a T referida a la base

251

B =

 k,

j +k, i + j +k

.

TRANSFORMACIONES LINEALES

21. Sean los espacios vectoriales:

P =



ax + b



a, b 

y

 N =  

 a   0

0   b 

a, b 

  

ambos sobre el campo de los reales y sean:

A =

 2x , 1 

 B =  

y

1   0

0 0  ,   0 0 

0     1  

dos de sus bases. Para la transformación lineal T : P → N , se tiene que:

M a) Obtenga T

A B

(T )

 2 =   − 2

1   1 

( 2x −1) .

b) Determine la regla de correspondencia de T . 22. Sea T : es el espacio vectorial de → D una transformación lineal, donde los números complejos sobre los reales y D es el espacio vectorial de las matrices diagonales de 2  2 sobre los reales. Si.

M

A B

 2 =   2

(T )

0   m 

donde:

A =

 1 + 2i , i 

 B =  

y

y se sabe que:

T

(i)

1 =   0

0   − 1 

a) Obtenga el valor de m . b) Determine la regla de correspondencia de T .

252

1   0

0 1  ,   0 1 

0     − 1  

TRANSFORMACIONES LINEALES

23. Obtenga una regla de correspondencia de la transformación lineal T :

3

→

tal que el conjunto (1, − 1, 2 ) , ( 3, 1, − 1) sea una base para el recorrido de T . 24. Sea T :

2

→

2

la transformación lineal tal que T

( 1, 2 ) = ( 4 ,

cuyo núcleo es el conjunto:

N (T

)

=

 ( x,

−2x )



x

a) Determine la regla de correspondencia de T . b) Obtenga una base del recorrido de T . 25. Sea S :

2

→

2

una transformación lineal cuya matriz asociada es:

M donde:

A A

A=

y sea T :

2

→

2

(S ) (

−2   − 3 

 1 =   2

−1, 0 ) ,

( 0,

)

2

la transformación lineal definida por:

T

(

x, y

)

=

( 3x +

y, x − 2y

Obtenga la matriz asociada a la transformación T

)

S referida a las bases:

B =

 ( 1,

2 ),

(

− 1, 1

C =

 ( 1,

0 ),

(

2, 2

)

)

26. Para las transformaciones lineales:

S:

3

→

2

tal que

S

( a,

b, c ) =

T:

3

→

3

tal que

T

( a,

b, c ) = ( c , b , a )

Q:

3

→

2

tal que

Q ( a, b, c ) = ( b + c , a + b ) 253

( a+b,

b+c )

6

)

y

3

,

TRANSFORMACIONES LINEALES

a) Determine si existen las transformaciones:

T

S ,

Q T ,

S

Q

Q T

y

T

b) Para las transformaciones del inciso anterior que existan, obtenga su matriz asociada y su regla de correspondencia. 27. Sean las transformaciones lineales:

W:

T:

 ( T

H

→ M

2

→ M

2

) − W 

:

2

W

tal que

T

tal que

(

x, y )

( x,

→ M tal que  ( T

H

y)

 2x − y 0 =   0 x+ y   3x + 2 y =   0 

) − W  ( x ,

y)

   

0    x   2x + 2 y 0   =    0 x−y  

donde:

  M =  

 a    0

0    b 

a, b 

   

Obtenga la regla de correspondencia de la transformación lineal H : 28. Sean las transformaciones lineales:

W:

2

→

3

donde

W

( x,

S:

3

→

2

donde

S

( x,

y, z ) =

( 2x + y,

T:

3

→

2

donde

T

( x,

y, z ) =

( z,

254

y)

=

( x+ y,

x)

x− y, 3z )

y)

2

→

2

TRANSFORMACIONES LINEALES

H

( x,

y) =

→

2

Si la transformación lineal H :

( 2T

2

está definida por:

) ( x,

W +S W

y)

obtenga el núcleo y el recorrido de H . 29. Sean las bases:

A =  ( 1, 0 ) ,

( 0, 1) 

B =  ( − 1, 1 ) , ( 1, 1 )

y



2

de

y sean las transformaciones lineales:

→

2

T:

2

2

S:

y

→

2

para las cuales se tiene que:

M

A B

1 =   1

(T )

0    3 

S ( 1, 0 ) =

( 1, 1 )

S ( 0, 1) =

( − 1, 1 ) →

2

;  v 

2

2

Obtenga la regla de correspondencia de la transformación W : que:

(W

T

)(v )

= ( 2W

)(v )

S

+

(S

T

)(v )

30. Sean las transformaciones lineales

S:

2

→

2

,

T:

2

→

2

H:

y

→ M

2

definidas por:

S

( x,

y) =

( 2x − y,

T

( x,

y) =

( y,

T

( x,

y)

 x =    0

x+ y)

x) 0    y  255

;



( x,

y) 

2

;



( x,

y) 

2

;



( x,

y) 

2

tal

TRANSFORMACIONES LINEALES

donde:

  x M =    0

0   y 

x, y 

  

Determine la regla de correspondencia de la transformación Q , tal que:

3S + T = Q

H

31. Dadas las transformaciones lineales:

T:

2

→

2

definida por

T

( x, y )

S:

2

→

2

definida por

S

( x, y )

=

( 2x +7 y, 9x + y )

H:

2

→

2

definida por

H

( x, y )

=

( x + 2y, 2x + y )

determine las componentes del vector u 

T 

−1

(

S − 3H

) 

2

=

(− y, x+6y )

tal que:

u = ( 8, − 3 )

32. Sea P el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos y sea M el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden dos con elementos

reales.

T: P → M y S:M →

T

( ax

  S   

2

 a    b

Para 3

+ bx + c

b    c 

las

transformaciones

definidas por:

)

 c + 2b =    2 a + c

   =  

( a +b,

256

2a + c    a − b 

c − a , −b − c

)

lineales

TRANSFORMACIONES LINEALES

a) Obtenga S

T.

(S

b) En caso de ser posible, obtenga

−1

)

T

.



33. Para la transformación lineal T : P → P donde P = a x + b

a, b

,

definida por:

T

(f)

= f ( 1

)

+ f

 f P

;

determine: a) Si T es biyectiva. b) Si existe la transformación T c) T

−1

−1

.

, en caso de ser posible.

34. Sea la transformación lineal T :

T

( x,

y

)

=

(x−

→

2

y, ax + y

2

)

cuya regla de correspondencia es:



;

( x,

y

)

2

Determine el valor de a de tal forma que:

T

−1

( 0,

2 ) = ( 1, 1 )

35. Sean los espacios vectoriales:



P2 = a x + b x + c

a, b, c 

2



 a  M =    b

y

b   c

a, b, c 

   

ambos definidos sobre el campo real, y sea la transformación lineal T : P 2 → M definida por:

T

( ax

2

+ bx + c

)

 a+ c =    3 b

3b    a − c 

Obtenga la regla de correspondencia de T 257

−1

;

.

 ax2 + bx + c  P2

TRANSFORMACIONES LINEALES

36. Sea M el espacio vectorial real de las matrices cuadradas de orden dos con elementos

T:

2

reales

y

las

transformaciones

lineales

2 a T ( a , b) =   b

   3a − 2b 

→M

S :

2

; 

( a , b) 

y

→ M definidas por:

a S ( a , b) =   0

b    a− c 

y

0

2

a) Obtenga la matriz asociada a la transformación 2 S − T referida a las bases:

A =

 ( 1, 0 ) , ( − 1,

  B =   

 −1    0

−1 )



0   0  ,     0 0 

1   0  ,     2 2 

0   0  ,     0 0 

0    1 

    

b) Determine si la transformación 2 S − T tiene inversa. c) Obtenga

( 2S − T )

37. Sea T :

2

→

T

( x,

y

Determine

2

)

si

= T

−1

, en caso de ser posible.

la transformación lineal no singular definida por:

( x + 2y, −1

=

1 7

−3x + y

)

( 2I − T ) ,



;

( x,

donde

y

I:

) 2

2

→

2

es

la

transformación identidad. 38. En los espacios vectoriales

  M =  

 0   b

a    0 

a, b 

   , 

P1 =

 ax + b

a, b 



las transformaciones lineales

S : M → P1 ,

T : P1 → 258

2

y

H:

2

→ M

y

2

TRANSFORMACIONES LINEALES

se definen como:

 S   

 0   b T

a    0 

  =  

( ax + b)

H

( a,

b)

=

(a +b)x

+(a −b)

(b−a,

a+b

 0 =    a

)

 0 ;    b

 a x + b  P1

;

b−a    0 

a    M  0 



;

( a,

b) 

2

Determine la regla de correspondencia de la transformación X tal que:

3(S + X

)

39. Sean las transformaciones lineales T :

=

(H 3

→

T 3

)

−1

, S:

3

→

3

y U:

3

→

3

definidas por:

T ( x, y, z ) = ( x − y + 2 z , 3 x + y + 4 z , 5 x − y + 8 z ) S ( x, y , z ) = (−x + 2 y + z , 2 x − 4 y − 2 z , − 3 x + 6 y + 3 z ) ;  ( x, y , z ) 

3

U ( x, y, z ) = ( x + y , x − y , 2 x + 3 y) Obtenga, de ser posible, la regla de correspondencia de N 40. Sea la transformación lineal T :

T

( x,

3

→

3

−1

, si N = ( T +2 U

definida por:

y, z ) = ( x + 3 y , 2 x + 6 y + k z , − x − 4 y + 2 z ) ;  ( x, y, z ) 

a) Determine para qué valores de k existe la transformación inversa T b) Con k = 1 , obtenga la regla de correspondencia T

259

)

−1

.

3

−1

.

S.

TRANSFORMACIONES LINEALES

41. Dada la transformación lineal T :

T

( x, y )

=

2

( x− y,

→

2

3x + 3 y

definida por:

)

; 

( x, y )



2

Obtenga la transformación lineal S , de manera que:

 

( 2T

−1

)

S − 2I  

( x, y )

=

( 10 x + 4 y ,

4 x + 14 y

)

donde I es la transformación identidad. 42. Sea la región definida por los puntos

( 0 , 0 ) , ( 1, 0 ) , ( 1, 1 )

( 0, 1) .

y

Determine el efecto geométrico que produce: a) El realizar primero una reflexión con respecto al origen y después una contracción vertical con k =

1 . 2

b) Realizar primero una deformación a lo largo del eje x con k = 1 y después una reflexión sobre el eje y . 43. Sea T :

2

→

2

una transformación lineal cuyo efecto geométrico sobre el

cuadro unitario es el que se muestra en la figura:

Obtenga la matriz asociada a T referida a las bases

A=

 ( 1, 1 ) , ( 0 , 1 ) 

y

B =  ( 0, 2 ),

260

( − 1, 1 ) 

de

2

.

TRANSFORMACIONES LINEALES

44. Para la región que definen los puntos

( 0 , 1 ) , ( − 1,

−1 )

( 1,

y

−1 ) ,

determine el efecto geométrico que produce: a) Primero una expansión horizontal con k = 2 , seguida de un giro de 90. b) Primero el giro de 90, seguido de una expansión horizontal con k = 2 . 45. Para la región que definen los puntos

( 0 , 0 ) , ( 1, 1 ) , ( 2 , 1 )

y

( 3, 0 ),

determine el efecto geométrico que producen: a) Primero, una expansión vertical con k = 2 , seguida de una reflexión sobre el eje x y, posteriormente, un giro de 90. b) Primero, la reflexión sobre el eje x , seguida de un giro de 90 y, posteriormente, la expansión vertical con k = 2 . c) Primero, el giro de 90, seguido de la expansión vertical con k = 2 posteriormente, la reflexión sobre el x . 46. Sean A =

y sea T :

u

2

T

1

, u2

B =

v

1

, v 2  dos bases de

u1 =

( 2, 1 )

v1 =

( 1,

u2 =

( 1,

v2 =

( 0, 1 )

→

2

(u ) 1

y

−1 )

−2

2

, donde:

)

una transformación lineal, tal que:

= 2 v1 + v 2

y

T

(u ) 2

= v1 − v 2

Determine: a)

Los valores y vectores característicos de T .

b)

Los espacios característicos asociados a cada valor característico.

261

y,

TRANSFORMACIONES LINEALES

47. Sean el espacio vectorial

2

2

y el operador lineal T :

asociada respecto a la base A =

 ( 1, i ) , ( 1,

1 N =   0

−i

)

→

2

cuya matriz

es:

0  − 1 

Determine: a) Los espacios característicos de T . b) La regla de correspondencia de T . 48. Para el operador lineal T : M → M , donde:

 M =  

 a   c

b   d 

a, b, c, d 

  

y cuya regla de correspondencia es:

 a T   c 

b   d 

  2 a + 2b  =    2 a − c 

− a + 5b

  4 a − 8 c + 3 d 

;

 a    c

b    M d 

Obtenga los valores, vectores y espacios característicos de T . 49. Sea el operador lineal T : canónica es:

M (T

3

)

→

3

cuya matriz asociada respecto a la base

 2 =  0  0

0 −4  −3 k  k − 1 

Si se sabe que uno de los valores característicos de T determine: a) El valor de k . b) Los espacios característicos de T

262

−1

.

−1

es  = −

1 , 3

TRANSFORMACIONES LINEALES

50. Un operador lineal T :

3

→

3

tiene los siguientes valores característicos:

 1 = 2 con multiplicidad dos .  2 = −1 para los cuales se tienen los siguientes espacios característicos asociados:

E

(  ) =  ( a, b, b )

E

(  ) =  ( a, 0, −a )



a, b 

1

2



a

Determine la regla de correspondencia de T . 51. Los valores característicos de un operador lineal T :

1 es

Si un vector característico asociado al valor característico

a − 3 es

asociado

2

( −1, 1 ) ,

→

son 1 y − 3 .

2

( 3, 9 )

obtenga

la

y un vector regla

de

correspondencia del operador T . 52. Sea la matriz:

M (T

)

 2   =  −2   0

0 1 0

la representación matricial del operador T : canónica. a) Obtenga

los

espacios

característicos

0    2   2  3

→

3

, referida a la base

asociados

a

los

valores

característicos del operador T . b) Determine si T es diagonalizable. c) En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga la matriz diagonal asociada a T y una base a la cual esté referida.

263

TRANSFORMACIONES LINEALES

53. Sea T :

T

( x,

y, z

3

→

)

=

3

un operador lineal definido por:

( 4x + z ,

2x +3y + 2z , x + 4z )

a) Obtenga los espacios característicos característicos del operador T .

 ( x, y, z

;

asociados

a

los

)



3

valores

b) Determine si T es diagonalizable. c) En caso de resultar afirmativo el inciso anterior, obtenga una matriz diagonalizadora P . d) Compruebe que se cumple la expresión D = P

−1

AP con la matriz P

obtenida en el inciso anterior. e) Dé una base de

3

para la cual la matriz asociada a T es diagonal.

54. Sea el operador lineal T :

( x, y )

T

2

=

a) Obtenga el valor de

(

→

2

definido por:

x + y, y )

,  

;



( x, y )

para que  = 0

,



2

sea un valor

característico de T . b) Determine los valores de  , además del obtenido en el inciso anterior, para que el operador T sea diagonalizable. 55. Para la transformación lineal T : M → P , donde:

 M =  

 a   0

b   c 

  

a, b, c 

y

P =

ax

2

+ bx + c

y cuya regla de correspondencia es:

 T   

a   0

b  c 

  = ( a + 2b ) x 2 + ( b + 2c ) x + 2c   264

a, b, c 



TRANSFORMACIONES LINEALES

a) Obtenga los valores y vectores característicos de T . b) Determine si T es diagonalizable. Justifique la respuesta. c) En caso de ser posible, obtenga la matriz diagonal asociada a T y una matriz diagonalizadora P . 56. Sean el espacio vectorial

2

=

(z

1

, z2

)



z1 , z 2  2

campo de los complejos y la transformación lineal T :

definido en el

→

2

, definida

por:

T

(z

1

, z2

)

=

(z

2

, − z1

)

;

 z1 , z 2 

a) Obtenga los valores y vectores característicos de T . b) Determine los espacios característicos. c) Obtenga una matriz diagonalizadora P . −1

d) Verifique que se cumple que D = P

57. Sea la transformación lineal T :

T

( x,

y, z

)

=

( z,

3

y, x

→

)

3

;

AP .

, definida por:

 ( x, y, z

)



3

Obtenga: a) Los espacios característicos asociados a los valores característicos de T . b) Una matriz diagonal D que represente al operador T y dé una base a la cual está referida dicha matriz. 58. Para el operador lineal T : P 2 → P 2 , donde:

P2 =

 ax

2

+ bx+ c

265

a, b, c 



TRANSFORMACIONES LINEALES

y cuya regla de correspondencia es:

T ( a x 2 + b x + c ) = ( a + c ) x 2 + ( b + 2c ) x + ( 2a − b ) ;  a x 2 + b x + c  P 2 a) Obtenga los valores característicos del operador T . b) Determine si T es diagonalizable y, en caso afirmativo, obtenga una matriz

P que diagonalice al operador. 59. Sea A una matriz simétrica de 2  2 con valores característicos 1 y 9 .

v1 =

( 1,

−1 ) es

un

vector

( −2,

característico 1 y v 2 =

característicos

asociado

canónica de

B =

3

3

valor

− 2 ) es un vector característico asociado al

valor característico 9 , determine los elementos de la matriz 60. Sea el operador lineal S :

al

Si

→

3

A.

cuya matriz asociada respecto a la base

es M y respecto a la base

 ( 1,

2, 1 ) ,

( 1,

0, 1 ) ,

( 0,

1, − 1 )



es:

1  D = 0   0

0 2 0

0   0   2 

Determine: a) S ( ( 1, 2 , 1 ) + 2 ( 1, 0 , 1 ) ) b) Los espacios característicos de S . c) Los valores a , b , c 

D = P −1 M P .

1 de la matriz P =  a   1

266

b 0 2

0 2 c

  tal que  

TRANSFORMACIONES LINEALES

61. Sea el operador lineal T :

B =

 ( 1,

3

→

0 , −1 ) ,

3

cuya matriz asociada a la base

( 0,

1, 0 ) ,

( 1,

es:

 1+ i  D =  0   0

0 1 0

Determine: a) Los espacios característicos de T . b) Los valores característicos de T

−1

c) La regla de correspondencia de T .

267

.

  0   1 − i  0

0, 1 )



TRANSFORMACIONES LINEALES

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

La transformación T es lineal.

2.

La transformación T no es lineal.

3.

a) La transformación T no es lineal cuando . el campo

y

2

están definidos sobre

b) La transformación T sí es lineal cuando . el campo

y

2

están definidos sobre

4.

La transformación T es lineal.

5.

La transformación T es lineal.

6.

a) La transformación T es lineal. b) N

7.

(T )

=

e

e 



a) La transformación T no es lineal. b) La transformación S sí es lineal.

8.

a) La transformación T es lineal. b)

N (T

)

 =  

Dim N ( T

)

 d   c

−c − d    d

c, d 

= 2

268

  

TRANSFORMACIONES LINEALES

c)

R (T

)

=

Dim R ( T 9.

a)

N

(S)

=

Dim N ( S

 ( a, a −b, b ) )

= 2

 ( − 2k , − k , )

)

k

k



=1

 ( − 2,

BN =



a, b 

− 1, 1

)

una de las bases del núcleo.

b) El recorrido de S es:

R(S

  x =    y

)

Dim R ( S

 BR =   10. a)

N (T

)

)

Dim N ( T

x, y 

  

= 2

1   0

0 , 1 

( k

=

  x + y  y

)=

1

1     una de las bases del recorrido. 1  

0   1

, k1 , k 2

)

k1 , k 2 



2

Una de sus bases sería:

 ( 1, 1, 0 ) , ( 0 ,

BN = b) R ( T

)

)

=

Dim R ( T

BR =

0, 1

)  1

=1

11. a) La transformación T es lineal. b) N

(T )

=

(

0, 0, 0

Como la Dim R ( T

)

)

 Dim N ( T ) = 0

= 3 , esto implica que el recorrido de T es

269

3

.

TRANSFORMACIONES LINEALES

c) Sí cumple. d)

(T

−1

3T

) ( x,

y, z

)

=

(

3x , 3 y , 3z

)

12. a) La transformación T es lineal. b)

N (T

)

 =  

R (T

)

=

0   b 

b 

  

0

c) Dim N ( T

Dim

b   0

) R (T )

= 1 = 0

13. La relación es a + b = 0 con b  0 14. a) El recorrido de la transformación S es

N(S

 b   2a =  ax2 + bx −  +  2   3 

)

b) Una base del núcleo es

Dim N ( S c)

15.

M

16. M

H

A B

B B

( ax

2

)

(T )

 21  =  −3   − 5

(D)

 2  =  0   0

)

= a + b + 2c

8   −1   − 2  1 2 0

a, b 

2  BN =  x 2 − , 3 

= 2

+ bx +c

.

0   2   2 

270

x−

  

1   2 

TRANSFORMACIONES LINEALES

17. M

18.

M

19. a)

A B

(T )

(T )

3   4   1 =  − 2    −1  4

 −1 =   2

(T )

M

0   1 

(

x, y, z

20. a) T

(

i + 2 j + 3k

b) T

(

x, y, z

M

21. a) T

B B

−1

 2  =  0   3

b) T

c)

1  4   1   2   1  − 4  −

(T )

)

)

−1 −3

(

=

)

=

2 x − y + z , − y + 3z , 3x − 3 y + 3z

)

= 3i + 4 j + 4 k

(

 2  =  1   2

( 2x −1 )

1   3  3 

 1 =   0

−x − y + 2z,

0 −1 1

−2   1   0 

0   − 3 

271

x − 3 y + 3z , − x − 5 y + 5z

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

b)

T

( ax + b )

 a+b =   0

  − a + b  0

22. a) m = 1

b)

T

( a + bi )

 2a + b =   0

  2 a − b  0

23. Una regla de correspondencia sería:

T

(

x, y, z

)

=

(

x + 3 y, − x + y, 2x − y

)

Otra regla de correspondencia sería:

T

(

x, y, z

24. a) T

( x,

)

=

(

x + 3z, − x + z, 2x − z

6x + 3 y   y ) =  2x + y ,  2  

b) Una base del recorrido de T es:

BR =

 ( 2,

)

 − 24 =  23  2

3    −1  

B C

(T

26. a) T

S

no se puede realizar .

Q

T

sí se puede realizar .

S

Q

no se puede realizar .

Q

T

25.

M

S

T

)

3

sí se puede realizar . 272

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

(Q

b)

M

T

(Q

(Q M

27.

H

28. H

) ( a,

T

T

(Q

1 =   0

)

T

b, c ) =

) ( a,

T

(

x, y

)

 =  2x, 

(

x, y

)

=

(

(

)

x, y

  x  0  

32.

(

(

0   y 

30. Q  

31. u =

=

  =  

)

( ax

2

(S b) ( S

T

)

T

)

−1

( b + c,

1 1

−1

c) T

−1

=

)

2x + 5y

)

0

2

(

− x + 11 y

)

6x − 2y, 4x + 3y

+ bx + c

)

=

)

( 2 a + 2b + 2 c ,

no existe.

sí existe.

( ax + b )

a+b

1   0

33. a) T es biyectiva. b) T

)

− 2x + y   2 

x − 5 y,

− 4 , −1

a)

b, c ) =

(H)

Recorrido de H : 29. W

1

3x + 3 y,

Núcleo de H : N

b+c

0   1

1

0 =   1

)

T

( a + b,

= ax + ( −a + b

)

273

a − 3b − c , − 3 a + b − c

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

34. a = 1

35. T

36. a)

b) c)

37. T

   

−1

M

( ( −1

a   b

(

A B

)

2S − T

y

 0

)

1 ( 2I − T 7

=

N ( x, y, z

0    −2  1   2   5 

)

) ( x,

y

 x − 2y =  , 7 

)

3x + y   7 

 −5a − 6b   − 5 a + 8b   =  x +     6 6     

a   0 

 b  

 0    0 =   0    −1

) no tiene inversa. −1 no existe. )

2S − T

( x,

 a+c  2 b  a−c   =  x + x +     3  2   2  

2S − T

38. X  

39.

b  c 

=

( − 7 x + 14 y + 7 z ,

− 19 x + 38 y + 19 z , − 23 x + 46 y + 23 z )

Como el determinante de la matriz asociada a la transformación N es igual a cero, entonces N 40. a) T

−1

b) T

−1

41. S

( x,

y

existe

( x,

y, z

)

(

=

−1

no existe.

 k 

)

=

k0

con

( 16 x − 6 y + 3 z ,

4 x − 6 y , 24 x + 30 y

)

274

−5x + 2 y − z , − 2x + y

)

TRANSFORMACIONES LINEALES

1  R =   0

0   1  2 

 −1   0

 −1 0    =  − 1   0

1 b) D R =   0

1  1 

 −1   0

0   −1  =   0 1 

42. a) C

275

0   1  =T −  2 

1   = H 1 

TRANSFORMACIONES LINEALES

1 Dx =   0

43. R x

0  −1 

 1   0

1   1  =   0 1 

1   = T − 1 

de donde:

T

( x,

y

)

=

(

x + y, − y



44. a) G

0 E =   1

b) E

2 G =   0

M

A B

−1   2   0   0

0  1 

0   1

)  1  =  2  − 2

 0   −1 

0 0 =    2 1 

−1   = T 0 

−1  0  =   1 0 

−2   = H 0 

(T )

276

TRANSFORMACIONES LINEALES

45. a) G

R

0 E =   1

−1   0 

b) E

G

1 R=   0

0 0   2   1

1   1

0  −1 

1   0

−1   1   0   0

277

0 0  =   1 2 

0 0 =    2 −1 

2  = T 0 

1  = H 0 

TRANSFORMACIONES LINEALES

c)

R

E

 0 G =   0

0   1   − 1   0

0   0   2   1

−1   0 =    − 2 0 

(- 1, - 2 )

(- 1, - 4 )

46. a)  1 =  2 = 1

v1, 2 =

(

0 , k ) con k  0

278

−1   = W 0 

TRANSFORMACIONES LINEALES

b) E

47. a)

(  ) =  ( 0, k )

( k = −1 ) =  ( k

E ( 1 = 1 ) = E ( 2

b) T

( x,

y

)

=

( − iy,



k 

1, 2

)

, k1 i

2

, − k2 i

ix

)



k1 

1

) 

;



k2 

( x,

y

)

2

48. Los valores característicos son:

 1 = −1 ,

 2,3 = 3

4 = 4

y

Los vectores característicos respectivos son:

  2 k 1 

con

k1  0

 2k2 v 2, 3 =   k 2

k2   k 3 

con

k 2 y/o k 3  0

 5k 4 =   2 k 4

5k 4   4 k 4 

con

k4  0

v1

v4

 0 =   k 1

0

Los espacios característicos son:

E

(λ )

 =  

E

(λ )

 =  

 2k2   k 2

k2   k 3 

k2 , k3 

(λ )

 =  

 5k4   2 k 4

5k4   4 k 4 

  

E

1

2, 3

4

 0   k 1

  2 k 1 

0

k1 

k4 

279

     

TRANSFORMACIONES LINEALES

49. a)

k = 0

b)

Los valores característicos de T

1 , 2

1 = E

( )

=

( k

E

( )

=

 ( 4k

E

( )

=

 ( 0,

)

=

1

2

3

50. T

(

x, y, z

51. T

(

x, y

52. a)

)

=

( ) E(  )

E

b) T

=

3

=

 ( 1,

( ) E(  )

b) T

)



k1 

, 0 , 3k 2 k3 , 0

)

)

3 = −

k2 

k3 



2x − 3 y + 3z , 2 y , 3 y − z

)

)

 ( k , −2 k + 2k  ( 0, k , 0 ) k 1

0 2 0

1

3

2

, k2



3

)



k1 , k 2 

0  0  1 

−2 , 0 ) ,

1, 2

=

3

=

(

0, 2, 1 ) ,

 ( k , k , −k )  ( 0, k , 0 ) k 1

2

1 3



sí es diagonalizable.

B =

E

y

, 0, 0

2

son:

 2 = −1

−2x + y , 3x

1, 2

2  c) D =  0   0

53. a)

(

(

1

−1

(

sí es diagonalizable. 280

)

k1 , k 2 

1

3

0 , 1, 0

3









TRANSFORMACIONES LINEALES

 1 P =  0  −1

c) Una matriz diagonalizadora es:

d) Sí se cumple que

0 1 0

1 2 1

   

D = P − 1 AP .

e) Una base formada por vectores característicos sería:

B = 54. a)

P(

 ( 1, )

0 , −1 ) ,

(

0 , 1, 0 ) ,

( 1,

2, 1

)

 −  ) Para que  = 0 sea un valor característico, entonces  = 0 . =

( −  )(

(  =)

=  , entonces para que T sea diagonalizable   1 con   . Si   1, entonces los valores característicos de T serían diferentes y, por lo tanto, T sería diagonalizable.

b) Como Dim E

55. a) Los valores característicos de T son:

 1, 2 = 1

y

3 = 2

Los vectores característicos correspondientes son:

 k1 v 1, 2 =   0 v3

 4k2 =   0

0   0 

con

k1  0

2k2   k 2 

con

k2  0

b) Como la suma de las dimensiones de los espacios característicos es diferente de la dimensión del dominio, entonces T no es diagonalizable. c) No es posible. 56. a) Los valores característicos de T son:

1 = i

y

281

2 = −i

TRANSFORMACIONES LINEALES

Los vectores característicos correspondientes son:

v1 =

(k

1

, k1 i )

v2 =

(k

2

, − k2 i

( ) E(  ) 1

=

2

=

b) E

k1  0

con

)

( k , k i ) k ( k , −k i ) 1

1

2

k2  0

con





1



k2 

2

c) Si k 1 = k 2 = 1 , entonces:

1 P =   i d) D = P

57. a)

−1

1  − i 

A P si se cumple, donde:

 i D =   0

0   − i 

E (  1, 2 ) =

( k , k , k ) k  ( k , 0, − k )

E

( ) 3

 1  b) D =  0   0

=

1

2

3

0 1 0

1

1

, k2 

k3 

3

 

0   0   −1 

Una base sería:

B =

 ( 1,

0, 1 ) ,

(

0 , 1, 0 ) ,

( 1,

0 , −1

)

58. a) Los valores característicos de T son:

 1, 2 = 1

y

b) El operador T no es diagonalizable.

282

3 = 0

TRANSFORMACIONES LINEALES

 5

4   5 

59. A = 

 4

60. a)

S ( ( 1, 2 , 1

b)

E E

(

2, 3

+ 2 ( 1, 0 , 1

 ( k , 2k ) = ( k , k

( ) 1

)

=

1

2

))

=

)

(

5, 2, 5



k1 

1

, k1

3

, k2 − k3

)

)



k2 , k3 

a = 2

c)

b = 2 c = −2 61. a)

( E(  E(  E

1

=1+ i

2

=1

3

=1− i

)

=

)

1

=

)

 ( k , 0, − k )  ( 0, k , 0 ) k  ( k , 0, − k )

=

2

3

1 =

2

3

b) Los valores característicos de T

−1



k1 

1



 k3 



son:

1 1 − i 2 2

2 = 1 3 = c) T

(

1 1 + i 2 2

x, y, z

)

=

(

x− iz, y, − ix + z

283

)

;  ( x, y, z

)



3

CAPÍTULO 4 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Producto interno

Sea V un espacio vectorial sobre un campo de definición complejo. Un producto interno es una función de V  V en

u y v

V un escalar

de

(u

que asocia a cada pareja de vectores

)

v

, llamado el producto interno de

u y v , que satisface los siguientes axiomas: 1.

(u

v

2.

(u

v + w) = (u

3.

( u

4.

(u

u

)

(v

=

v

)

)

 0

u

) v

= (u v

) + (u

w)

)

u  0

si

Propiedades del producto interno

Sean u , v y w vectores de un espacio V sobre sea  

.

1.

(

)

2.

(u

u

)

3.

(0

u

) = (u

0

4.

(u

u

)

si y solo si

5.

(u

v −w) =

u v

= 

(u

)

v



= 0

)=0

(u

v

) − (u

u = 0 w)

287

con producto interno y

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.1 Sea F el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo



0, 1  . Determine si la función:

(

f

)

g



=

1

et f (t

)

g (t ) dt

;

 f, g  F

0

es un producto interno. SOLUCIÓN: Para determinar si la función dada es un producto interno, se deberá demostrar el cumplimiento de los cuatro axiomas de la definición.

(

1)

f

g

)

(g

=

)

f

Esto es:



1

e

t



f (t ) g (t ) dt =

0

1

et g (t ) f

(t ) dt

0

como el producto de funciones es conmutativo, entonces se cumple la propiedad.

(f

2)

)

g+h

=

(

f

g

)

+

(

f

h)

De donde:

 

1

e f ( t )  g ( t ) + h ( t )  d t =



 e f ( t ) g ( t ) d t + e f ( t ) h ( t ) d t  =



1

t

0

t

0

t

1

e f (t ) g (t ) dt + t

0 1

e f (t ) g (t ) dt + t

0

 

1

et f (t ) h(t ) dt

0 1

et f (t ) h(t ) dt

0

como la integral de una suma es igual a la suma de las integrales, se tiene:



1

e f (t ) g (t ) d t + t

0



1

e f (t ) h (t ) d t = t

0



cumple

288

1

e f (t ) g (t ) d t + t

0



1 0

e t f (t ) h (t ) d t

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

3)

(f

g

)

= ( f

g

)

entonces



1

e

t

0

  f ( t )  g ( t ) d t = 



1

et f (t ) g (t ) dt

0

por propiedades de las integrales, se tiene:





1

e

f (t ) g (t ) d t = 

t

0



1

e t f (t ) g (t ) d t

0

 cumple 4)

(

f

f

)

 0

f  0 axioma conocido como positividad.

si

De donde, se tiene que:

 

1

et f (t ) f (t ) dt  0

0 1

0

e t  f ( t ) 

2

dt  0

y la función  f ( t )  también es por estar elevada al cuadrado, entonces la gráfica de la

t Como e es una función positiva  t 

positiva  t  función

e t  f ( t ) 

2

2

se encuentra por arriba del eje de las abscisas y, en

consecuencia, el área bajo la curva en el intervalo

 0,

1



siempre será

positiva. Por lo tanto, se cumple el axioma de la positividad, con lo cual, podemos afirmar que la función:



1

et f (t ) g (t ) dt

0

es un producto interno. 289

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.2 En el espacio vectorial

  W =   sobre

b  a    a + b 2a

   

   

a, b 

se define la función:

b   a   , ( u v ) = ac − 2 ad − 2 bc + 4 bd ;  u =    a+b 2 a 

 c v=   c+d

d   W  2c 

Considerando que se cumplen:

(u

v + w) =

(u determine si

(u

(u

v

)

(u

)

;

w)

 u, v, w  W

;

v

)

)

es un producto interno en W .

v

= (u v

+



y  u, v  W

SOLUCIÓN: Dado que se da por hecho que se cumplen dos de los cuatro axiomas, entonces solo resta comprobar el cumplimiento de los restantes (simetría y positividad). Simetría:

(u

v

) = (v

u

)

Dado que el campo de definición son los reales, entonces el conjugado no tiene ningún efecto, por lo que la propiedad a demostrar es:

(u

v

) = (v

u

)

a  ;  u =    a+b

290

b   c  , v =    2a   c+d

d   W  2c 

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

esto es:

   

 a    a+b

b    2a 

 c   c+d

d    2c 

   c =        c+d

d    2c 

 a    a+b

b    2a 

   

a c − 2 a d − 2 bc + 4 b d = c a − 2 cb − 2 d a + 4 d b dada la conmutatividad del producto de reales, tenemos:

ac − 2 ad − 2 bc + 4 bd = ac − 2 ad − 2bc + 4 bd

 cumple Positividad:

(u

u

)

 0 si u  0

esto es:

   

 a    a+b

b    2a 

 a    a+b

b    2a 

   0  

de donde se tiene:

a 2 − 2 ab − 2 ab + 4 b 2  0 a 2 − 4 ab + 4 b 2  0

(

a − 2b

)

2

 0

cuando a = 2 b entonces a − 2 b = 0 , por lo que podemos concluir que este axioma no se cumple, por lo tanto:

(u

v

)=

a c − 2 a d − 2 bc + 4 b d

no es un producto interno.

291

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.3 En el espacio vectorial: 3

sobre

(v

=

( z

1

)

, z2 , z3



z1 , z 2 , z 3 

se define la función: 3

w) =



;  v =

vi wi

i =1

(v

1

, v2 , v3

),

(w

w=

1

)

, w 2 , w3

3

donde w i es el conjugado de w i .

(v

Determine si

w ) es un producto interno en

3

.

SOLUCIÓN: Antes de proceder a la resolución del ejercicio, expresemos la función dada en forma desarrollada, esto es:

(v

w ) = v1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3

Veamos ahora si se cumplen los cuatro axiomas de la definición. 1)

(v

w) =

(w

v

)

Sustituyendo, tenemos:

(( v , v 1

2

(( w , w , w ) ( v , v

2

v 1 w1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 =

(w

v 1 w1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 =

(w

, v3

) (w, 1

w 2 , w3

))

=

1

v 1 w1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = finalmente:

2

3

1

, v3

1

v1 + w 2 v 2 + w 3 v 3

)

1

v1 ) +

(w

(w

2

v2

)

+

w1 v 1 + w 2 v 2 + w 3 v 3

v 1 w1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3

 cumple 292

3

))

v3

)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

2)

(u

v + w) =

(u , u , u 2 3  1

) ((v

(u 1

v

) + (u

, v2 , v3

w)

) + (w , 1

w 2 , w3

) ) 

=

((u , u 1

2

, u3

) (v

((u , u

2

, u3

) (w ,

1

 ( u1 , u 2 , u 3 

) (v

1

+ w1 , v 2 + w 2 , v 3 + w 3 ) 

1

, v2 , v3

1

)) +

w 2 , w3

))

= ( u 1v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) +

(u

1

w1 + u 2 w 2 + u 3 w 3

)

u 1 ( v 1 + w1 ) + u 2 ( v 2 + w 2 ) + u 3 ( v 3 + w 3 ) = u 1 ( v 1 + w1 ) + u 2 ( v 2 + w 2 ) + u 3 ( v 3 + w 3 ) finalmente:

u 1 ( v 1 + w1 ) + u 2 ( v 2 + w 2 ) + u 3 ( v 3 + w 3 ) = u 1 ( v 1 + w1 ) + u 2 ( v 2 + w 2 ) + u 3 ( v 3 + w 3 )

 cumple 3)

( v

w) = (u w

( (v , v

, v3

) (w

,  v3

) (w

1

( ( v , v 1

2

)

2

1

1

, w 2 , w3

))

= 

((v , v

, w 2 , w3

))

=  ( v1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3

1

2

, v3

) (w

1

, w2 , w3

))

)

 v1 w 1 +  v 2 w 2 +  v 3 w 3 =  v1 w 1 +  v 2 w 2 +  v 3 w 3

 cumple 4)

(v

v

)



si

v  0

((v , v , v ) (v , v , v ))  0 1

2

3

1

2

3

v1 v1 + v 2 v 2 + v 3 v 3  0

293

(1)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Para poder afirmar que este axioma se cumple se procederá de la siguiente forma: Si

v 1 = a 1 + b1 i

con

a 1 , b1 

v 2 = a 2 + b2 i

con

a 2 , b2 

v 3 = a 3 + b3 i

con

a 3 , b3 

entonces:

v 1 = a 1 − b1 i v 2 = a 2 − b2 i v 3 = a 3 − b3 i de donde:

v1 v1 =

(a

1

+ b1 i ) ( a 1 − b1 i )

= a 12 − ( b1 i ) = a 12 + b 12

( 2)

v2 v2 =

(a

2

+ b 2 i ) ( a 2 − b 2 i ) = a 22 − ( b 2 i ) = a 22 + b 22

(3)

v3 v3 =

(a

2 2 2 3 + b3 i ) ( a 3 − b3 i ) = a 3 − ( b3 i ) = a 3 + b 3

( 4)

sustituyendo

2

2

2

( 2 ) , ( 3 ) y ( 4 ) en (1) , tenemos:

(a

2 1

+ b 12

)+(a

+ b 22

2 2

)+(a

2 3

+ b 32

)

 0

Como se tiene la suma de cuadrados y estos siempre son positivos, entonces el axioma cuatro se cumple. Por lo tanto, podemos afirmar que:

(v

w) =

3



i =1

v i wi

sí es un producto interno en el espacio vectorial 294

3

.

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

En general, al producto interno definido por:

(v

w) =

n



i =1

v i wi

;

 v, w

se le conoce como producto escalar ordinario en n

interno usual en

n

n

, o también como producto

. n

De igual forma, si se está trabajando con espacios vectoriales del tipo

, al

producto escalar de vectores o producto punto, se le llama producto escalar n

ordinario en

, o bien, simplemente, el producto interno no usual en

n

.

Norma de un vector

Sea V un espacio vectorial sobre un campo de definición complejo, en el cual se define un producto interno. La norma del vector v  V , denotada por define como:

v

=

(v

v

)

Propiedades de la norma Sea V un espacio vectorial con producto interno.

 u, v V 1.

v

2.

v

3.

u +v

y   

 0 y



= 0 si y solo si v = 0

v

= 

, se tiene que:

v u

+

v

295

1 2

v

, se

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Vectores unitarios

Si

v

= 1, entonces al vector v se le llama vector unitario. Si v es un vector

diferente de cero, entonces el vector unitario se obtiene como:

   

  v  

1 v

Desigualdad de Cauchy - Schwarz

, en el cual se define un producto interno.

Sea V un espacio vectorial sobre

 u, v  V

(u donde

(u

v

)

v

)

es el módulo de

2

(u



(u

u

) (v

v

)

).

v

La igualdad se cumple si y solo si u y v son vectores linealmente dependientes.

Distancia entre vectores

Sean u y v dos vectores de un espacio V con producto interno. Se define como distancia de u a v , y se denota con d

d

(

u, v

)

(

u, v

=

296

)

al número definido por:

v −u

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Propiedades de la distancia entre vectores

Sea V un espacio con producto interno. La distancia entre vectores tiene las siguientes propiedades: 1. d

(u,

v

)

 0

2. d

(u,

v

)

= 0

3. d

(u,

v

)

= d

(v,

u

)

4. d

(u,

w)  d

(u,

v

)+d(v,

si y solo si

u = v

w)

Ángulo entre vectores

Sean u y v dos vectores no nulos de un espacio vectorial V sobre con producto interno. El ángulo entre los vectores u y v está dado por la expresión:

cos θ =

(u u

v

)

donde

v , entonces el ángulo entre u y v está dado

Si el campo de definición de V es por:

cos θ =

R(u v) u

donde R ( u v

)

0  θ  π

representa la parte real de

297

v

(u v).

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Vectores ortogonales Sea V un espacio vectorial con producto interno. Dos vectores u , v  V son ortogonales si:

(u

v

)=0

Ejercicio 4.4 Sea el espacio vectorial

P2 =

 ax

2

+ bx + c



a, b, c 

donde se define el producto interno:

(

f

g

) = f (1) g (1) + f ( 0 ) g ( 0 )

;

 f , g  P2

a) Calcule la distancia y el ángulo entre los polinomios p ( x ) = x 2 − 1 y

q ( x ) = − 2x +1 .

b) Si f

(x) =

ortogonal a

2 x + 1, determine un polinomio distinto del polinomio nulo, que sea f

(x).

SOLUCIÓN: a) Sabemos que la distancia viene dada por:

d

( p,

q) =

q− p

se tiene que:

q ( x ) − p ( x ) = −x2 − 2x + 2 Si

h ( x ) = q ( x ) − p ( x ) = − x2 − 2x + 2

298

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

entonces

h(x)

=

(h(x)

h(x)

1 2

)

=  h ( 1 ) h ( 1 ) + h ( 0 ) h ( 0 )  =  ( − 1 ) ( − 1 ) + = h(x)

(1+ 4 )

=

1 2

1

( 2 ) ( 2 )  2

1 2

5

por lo que la distancia entre los polinomios p ( x ) y q ( x ) es:

d

(

p, q

)=

5 u

Calculando el ángulo entre los polinomios p ( x ) y q ( x ) , tenemos:

p(x)

=

(

p(x) p(x)

)

1 2

=  p ( 1 ) p ( 1 ) + p ( 0 ) p ( 0 )  =  ( 0 ) ( 0 ) + =

1 =1

299

( − 1 ) ( − 1 ) 

1 2

1 2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO



p(x)

= 1

q(x)

=

(

q(x) q(x)

)

1 2

=  q ( 1 ) q ( 1 ) + q ( 0 ) q ( 0 )  =  ( − 1 ) ( − 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) 



q(x)

1 2

=

2

=

2

)=

p (1) q (1) + p ( 0 ) q ( 0 )

además, se tiene que:

( p(x)

q(x)

=

( p(x)

q(x)

)=

( 0 ) ( −1 )

+

( −1 ) ( 1 )

−1

Como el ángulo entre los polinomios viene dado por:

cos θ =

( p(x) p(x)

entonces

cos θ =

−1

(1) (

θ = 135 300

)

q(x)

2

)



1

 

2

θ = cos −1  −



q(x)

   

1 2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

b) Se pide determinar un polinomio g

(x) 

0 que sea ortogonal a f

(x).

Si hacemos:

g ( x ) = ax2 + bx + c

(1)

entonces, se debe cumplir que:

(

f (x)

g(x)

)

= 0

esto es:

f (1) g (1) + f ( 0 ) g ( 0 ) = 0

(3) ( a+b+c )

+ (1) ( c ) = 0

3 a + 3b + 3 c + c = 0 3 a + 3b + 4 c = 0 de donde:

4 c = − 3 a − 3b 

c = −

3 3 a − b 4 4

 

sustituyendo c en (1) , tenemos g ( x ) = a x 2 + b x +  −

si hacemos que:

3 3  a − b 4 4 

a = 0 y b = 4 , entonces g ( x ) = 4 x − 3. Este polinomio

g ( x ) resulta ser ortogonal a f

(x).

Evidentemente la solución no es única.

301

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.5 Sea F el espacio de funciones reales de variable real, donde se define el producto interno:

(

f

g

Para las funciones f

)



=

(t)

1

f (t) g (t) dt

 f, g  F

;

0

= t +1

g(t ) = t2 :

y

a) Obtenga un vector unitario a partir de la función f . b) Determine si f y g son ortogonales. c) Verifique la desigualdad de Cauchy – Schwarz. SOLUCIÓN: a) Calculando la norma de la función f , tenemos:

(

f

f

)

=



 =  

1



f (t) f (t) dt =

0

( t +1)

  

3

3

1

= 0

(2)

1

(t

+ 1) ( t + 1) dt =

0

3

−

3

1 8 1 7 = − = 3 3 3 3

entonces:

7 3

=

f

por lo que el vector unitario pedido será:

(t) f(t)

f

b) Si

=

t +1

=

7 3

3 t + 7

3 7

f y g son ortogonales, entonces se debe cumplir que:

(

f 302

g

)

= 0



1 0

(t

+1)

2

dt

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

entonces

(

f

)

g



=

1



(t ) dt =

( t + 1)

2

0

1

(t

3

+t

)

2

0

 t4 t3  dt =  +  3   4

1

0

1  7  1 =  +  − 0 = 3  12  4 como

(

f

g

)

 0 , entonces f y g no son ortogonales.

c) La desigualdad de Cauchy – Schwarz establece que:

(

f

g

)

2



(

f

como en los incisos anteriores ya se obtuvo solo falta calcular

(

g

g

)

(

g g

=



1

).

(t ) (t ) 2

dt =

2

0

)(

f

(



f

g

1

t 0

)

g g

4

)

y

(

f

f

),

 t5  dt =    5 

entonces

1

= 0

1 5

sustituyendo en la desigualdad, tenemos:

7 12

49 144



7 15



2

 7   1        3   5 

se verifica la desigualdad de Cauchy – Schwarz .

303

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.6 Sea M el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos , donde se define el producto interno: con elementos en

(A

B) = Tr

( AB ) T

;

 A, B M

Determine el o los valores de x para que las matrices:

0 A=   2 a) Sean ortogonales. b) Formen un ángulo de

 3

0   2

0 B =   0

y

2   x 

.

SOLUCIÓN: a) Las matrices A y B serán ortogonales, si:

(A

B) = 0

(1)

Calculando el producto interno, tenemos:

(A

B ) = Tr

(

A BT

(A de

)

 = Tr   

0   2

0  2 

0   2

0  x 

  = Tr  

B ) = 2x

2x = 0

cos  =

0   2 x  (2)

(1) y (2) , se tiene que:

b) Sabemos que:

0   4

(A A

 B

) B

304

x = 0

y

 =

 3

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

como cos

 3

=

1 , entonces: 2 (A B)

A

=

B

1 2

(3)

calculando las normas de las matrices A y B , tenemos: 1 2

A

1 2

 0 0 0 0     0 0 0 2   0 0  =   = T r   = T r               2 2 2 2      2 2   0 2      0 8     



B

1 2

 =   

A

=

… (4)

8

1

1

 0 2 0 0   2    4 2x    0 2 0 2  2  = T r      = T r    0 x   0 x      2          0 x   2 x      2 x x     



B

=

4 + x2

... (5)

sustituyendo (2) , (4) y (5) en (3) , tenemos:

2x 8

4 + x2 2x

2

2

4 + x2 x 8 + 2x2

2x =

= 1 2 = 1 2 = 1 2

8 + 2x2

4x2 = 8 + 2x2 2x2 = 8 x2 = 4



x = 2 305

1 2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.7 Sea

el

espacio

vectorial

2

. Para

sobre

los

vectores

u = ( 2 + 4 i , 1 + i ) y v = ( a − 2 i , −1 + bi )  , determine el valor de a y el de b para que u y v sean ortogonales respecto al producto interno 2

definido por:

(

z w

)

= z 1 w1 + z 2 w 2

 z =

;

(

z1 , z 2

),

w=

(w

1

, w2

SOLUCIÓN: Se debe cumplir que:

(u

v

)

= 0 + 0i

sustituyendo:

( ( 2 + 4i , 1 + i )

(

a − 2 i , − 1 + bi

))

= 0 + 0i

aplicando la regla de correspondencia del producto interno, tenemos:

( 2 + 4 i ) ( a − 2 i ) + ( 1 + i ) ( −1 + b i )

= 0 + 0i

( 2 + 4 i ) ( a + 2 i ) + ( 1 + i ) ( −1 − b i )

= 0 + 0i

2a + 4 i + 4ai + 8 i 2 − 1 − bi − i − bi

2

= 0 + 0i

agrupando:

(

2a − 8 − 1 + b

(

2a + b − 9

)

+

(

4 + 4a − b − 1 ) i = 0 + 0 i

)

+

(

4a − b + 3 ) i

= 0 + 0i

por igualdad de números complejos se llega al sistema:

 2a + b − 9 = 0    4a − b + 3 = 0  por sumas y restas, se tiene:

6a − 6 = 0 con lo cual el vector v = ( 1 − 2 i ,



a =1 y b = 7

−1 + 7 i ) . 306

)



2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Conjuntos ortogonales y ortonormales Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea A = subconjunto de V . Se dice que A

(v

i

v

v

1

, v2,

, vn



un

es un conjunto ortogonal cuando:

j

)=0

i  j

;

Si cada vector del conjunto A tiene norma igual a uno, entonces al conjunto A se le llama conjunto ortonormal. Es importante destacar que todo conjunto de vectores ortogonales no nulos, es linealmente independiente.

Coordenadas de un vector con respecto a una base ortogonal y respecto a una base ortonormal

Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea B =

v

1

, v2 ,

, vn

 una

base ortogonal de V . Si a  V y se tiene que:

a = 1 v1 +  2 v 2 +

+ n vn

entonces los escalares  i vienen dados por la expresión:

i =

(a (v

i

vi vi

) )

Si los vectores de la base B fueran vectores unitarios, es decir, si B fuese una base ortonormal, entonces las coordenadas del vector a respecto a la base B vendrían dadas por:

ya que

(v

i

vi

) =1

i =

(a

307

vi

)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Sea V un espacio con producto interno y sea B =

b

1

, b2 ,

, bn

 una

base

cualquiera de V . Si

Bort =

v

1

, v2 ,

, vn



es una base ortogonal del espacio V , entonces sus

elementos vienen dados por:

v 1 = b1

(b (v

v2 = b2 −

. . . vi = bi −

2

v1

1

v1

(b  (v i −1

k =1

para i = 1 , 2 ,

Ejercicio 4.8 En el espacio vectorial

(

x

y

)

 1 1  , − , 2   2

v1

i

vk

k

vk

) )

vk

, n

2

= x1 y1 + 3 x 2 y 2 ; 

y la base A =  

) )

se tiene el producto interno:

(

x1 , x 2

1    1,   de 3  

), ( 2

y1 , y 2

)

2

.

a) Determine si la base A es ortonormal. b) En caso de resultar negativo el inciso anterior, obtenga una base ortonormal a partir de A . c) Obtenga las coordenadas del vector u = propuesta. 308

(

3 , −1

)

en la base ortonormal

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

SOLUCIÓN: a) Determinemos primero si la base A es ortogonal:

  1 1   1   1 1 1  1  − 3   , −   1,   =  = − = 0 2   3   2 2 2  6    2

 A

es una base ortogonal

Calculando la norma de los vectores de A para determinar si es una base ortonormal, tenemos:

1   1  , −  2   2

  1 1   1 1   =   , −   , −   2   2 2     2

3   1 =  +  4   4

1 2

= (1)

1 2

1 2

=1

el primer vector de A es unitario.

1    1,  3  

  1   1   =   1,   1,   3   3     1

1 2

1

  1  2  4 2 =  1+ 3    =    9    3   1    1,  3  

=

2 3

como el segundo vector de A no es unitario, entonces A no es una base ortonormal. 309

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

b) Una base ortonormal sería:

 1 1   B =   , − , 2   2 

 3  1   1,  2  3  

esto es:

  1  1  B =  , −  ,   2     2

( 3,

c) Las coordenadas del vector u =

  =  

( 3,



β =  ( 3, −1 )  

 3 ,  2 

3 6

3 6

  

  

−1 ) serán:

1    1  , −   = 2    2

−1 )

3 , 2

  

3  1  + 3  = 3 2  2 

  3  3 3  = − 3 =  6   2   

3

con lo cual, el vector de coordenadas de u referido a la base B , es:

( u )B

=

( 3,

3

)

Ejercicio 4.9 En el espacio vectorial

  M =  

 a    0

0    b 

a, b 

   

se define el producto interno:

(

A B

)=

Tr

(

AB

)

;

 A, B  M

Obtenga, mediante el método de Gram–Schmidt, una base ortonormal de M a partir del conjunto:

  G =  

1   0

0   ,  −1 

0   0 310

0 1  ,    1 0

0   1

   

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

SOLUCIÓN: Como puede apreciarse fácilmente, el espacio vectorial M es de dimensión dos, por lo que, cualquiera de sus bases deberá contener únicamente dos vectores. Como el conjunto G contiene tres elementos, entonces podemos asegurar que G es un conjunto linealmente dependiente y, por lo tanto, no es una base de M . En el enunciado del ejercicio nos piden obtener una base ortonormal de M a partir del conjunto G , entonces apliquemos el método de Gram–Schmidt directamente al conjunto G y veamos lo que sucede. Si consideramos que:

G =

b

1

, b2 , b3



entonces, aplicando el método de Gram–Schmidt, tenemos:

v 1 = b1 esto es:

1 v1 =   0 además:

v 2 = b2 −

(b (v

0  − 1  2

v1

1

v1

) )

v1

(1)

desarrollando, tenemos:

(b 



(

2

v1

b2 v1

  0    0

) = 

0  1 

1  0 

  0 0   = Tr    − 1     0

0    − 1  

) = −1

(v

1

v1

)=

 1     0

(v

1

v1

)=

2

0   1 − 1   0

311

  1 0    = Tr    −1     0

0    1  

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

sustituyendo en (1) , tenemos:



0 v2 =   0

0 0 −1  1  −   2  0 − 1  1 

0 v2 =   0

0 0 1 1  +   2  0 − 1  1 

v2

 1  2 =    0 

 0   1   2 

De acuerdo con el método de Gram–Schmidt, tenemos que:

v 3 = b3 −

(b (v

) )

v1 −

0  1 

 1  0 

0  1 

 1  2   0 

3

v1

1

v1

(b (v

3

v2

2

v2

) )

v2

( 2)

desarrollando, tenemos:







  1 =     0 

(

b3 v1

)

(

b3 v1

)=

(b

3

v2

)

(b

3

v2

)=1   =    

2

v2

)

(v

2

v2

)=

0    − 1  

0

   1 =     0  

(v

  1 0    = Tr    −1     0

 1  2   0 

 0   1  2 

 1  2   0 

1 2 312

 0   1  2 

   = Tr   

 0   1  2 

     

 1  2   0 

   1     = Tr   4    0      

 0   1  2 

     

 0   1  4 

     

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

sustituyendo en ( 2 ) , tenemos:



1 v3 =   0

0 0 1  −  2  0 1 

1 v3 =   0

0 1  −   0 1 

0 v3 =   0

0  0 

 1 0 1  2  − 1  − 1  2  0

 0   1   2 

0  1 

Como era de esperarse, la base ortogonal B estará formada únicamente por los vectores v 1 y v 2 , esto es:

   1 B =     0 

  0      base ortogonal 1   2  

 1  2   0 

0  , − 1 

Calculando la norma de cada vector, tenemos:

=

(v

v1

=

v1 como

(v

1

v1

) = 2,

1

v1

)

1 2

entonces:

2

Por otro lado:

=

v2 como

(v

2

v2

)=

(v

2

v2

1 , entonces: 2

v2

=

1 2

313

)

1 2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

con lo cual, la base ortonormal B será:

   B =   

1 2

 1   0

0   , − 1 

1   0

0   , − 1 

 1  2 2    0 

 0   1   2 

     

o también:

  B =   

1 2

1   0

2 2

0      1   

Ejercicio 4.10 Sea el espacio vectorial

P2 =



a x 2 + b x + c a, b, c 



en el cual se define el producto interno:

(

f

g

)

A partir de la base

=



B =

1 −1

f (t

 1,

)

g(t ) dt

x, x 2

,

;

 f , g  P2

empleando el método de Gram–Schmidt,

obtenga una base ortonormal del espacio P 2 . SOLUCIÓN: Sabemos que:

v1 = b 1

esto es:

v1 = 1

v2 = b2 −

(b (v

2

v1

1

v1

) )

v1

(1 )

desarrollando por partes:

(b

2

v1

)

=



1 −1

1( x) d x =



1 −1

314

 x2  xdx =    2 

1

= −1

1 1 − = 0 2 2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

al sustituir este resultado en (1), tenemos que:

v2 = x Se tiene que:

v3 = b3 −

(b (v

3

v1

1

v1

) )

v1 −

(b (v

3

v2

2

v2

) )

v2

( 2)

desarrollando, tenemos:

(b (b (v

3

3

1

)

v1

)

v2

v1

)

=

=

=

  

1

( x ) (1) d x 2

−1

1

(x )(x)dx

=

(1) (1) d x



2

−1

1 −1



=

=

1

 x3  x dx =    3  −1



1

2

1

 x4  x dx =    4  −1

−1

1

3

1

dx = −1

x

1 −1

=

−1

1 2  1 =  +  = 3 3  3

1  1 =  −  = 0 4  4

( 1 + 1)

= 2

sustituyendo en (2), se tiene que:

v3

2 = x 2 − 3 (1) 2

v3 = x2 −

1 3

por lo que la base ortogonal es:

1   Bort =  1, x , x 2 −  3   Obteniendo la norma de cada uno de los vectores de la base ortogonal, tenemos: 315

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

v1

v2

=

(v

=

(v

1

v1

)

v2

)

2

1 2

=

(v

3

v3

)

2 1

 =   

1 2

  x3  1 =     3  −1  v3

=

   

1 2



2  x(x)dx  =    −1   1



 x2 dx   −1  1

1 2

1

1 2  1 =  +  = 3   3

2 3

1 2

se tiene que:

(v

3

v3

)=

1 −1

 2 1  2 1   x −  x − dx = 3  3 



1

 4 2 2 1  x + dx  x − 3 9  −1 

1

 x5  1 2 3 1  2 1   1 2 1  =  − x + x  =  − + −  −  − +  9 9  −1   5 9 9   5 9 9    5 =

entonces:

4 4  8  −  −  = 45 45  45 

v3

=

8 8 = 45 3 5

al dividir cada vector entre su norma, se tiene que la base ortonormal pedida es:

B or tonormal

   =    

1 2

,

x 2 3

  1 x2 − 3  ,  8   3 5 

simplificando, se tiene:

 B or tonormal =  

1

3 x, 2

,

2

316

5 8

(

3x2 − 1

)

  

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.11 Sean

B =  v1 , v 2 

V un espacio vectorial con producto interno real, una base ortogonal de V y el vector a  V cuyo vector de

( a ) B = ( −2, 1 ) .

coordenadas respecto a la base B es del

vector v 1 es

a 2 y

igual

que

el

ángulo



Si se sabe que la norma

entre v 1 y a es

tal

que

cos  = − 4 , determine las normas de los vectores v 2 y a . 5 SOLUCIÓN: Obtengamos primero la norma del vector a . De los datos del ejercicio, tenemos que:

a = − 2 v1 + v 2

(v

cos  =

v1 Se tiene que:

(v

1

como:

a

) = (v

(v

1

v1

que:

(v (v

1

v2

= −

a

− 2 v1 + v 2

)=

entonces:

y como

1

)

a

1

v1

2

v1

1

4 5

(1)

) = −2( v

y

)=

v1

1

v1

) + (v

1

= 2

1

a

)

= − 2 ( 4 ) = −8

sustituyendo ( 2) y (3) en (1) , tenemos:

−8 2 a −

4 a

317

) ( 2)

4

) = 0 por ser elementos de la base ortogonal (v

v2

= −

4 5

= −

4 5

B , tenemos

(3)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

al multiplicar por −

1 , se tiene: 4 1 1 = 5 a



a

= 5 a = − 2 v1 + v 2

Para obtener la norma del vector v 2 , se tiene que:

v 2 = a + 2 v1

de donde:

=

v2

entonces:

(

v2 v2

=

(

a + 2 v1 a + 2 v1

)

)

+ 2 ( a v1

)

+ 2 v1 a

1 2

)

1 2

desarrollando:

v2 como

(a

a

=

((

a a

)

=

a

2

y

(

)

(

+ 4 v1 v1

))

1 2

(4)

= 5 , entonces:

a

(a

a

)

= 25

( 5)

Por otro lado, como se tiene un producto interno, entonces se cumple el axioma de la simetría, esto es:

(a

por lo tanto:

(

2 a v1 sustituyendo (3), tenemos:

(

2 a v1 se sabe además que:

(v

1

v1

v1

) = (v

) + 2(v ) + 2(v )=

a

1

)

)

= 4 ( v1 a

1

a

1

a ) = 4 ( −8

)

) = − 32

4

(7)

sustituyendo (5) , (6) y (7) en (4) , se tiene:



(

v2

=

v2

= 3

(6)

25 − 32 + 16

318

1

)2

=

1

( 9 )2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Complemento ortogonal Sea V un espacio con producto interno y sea W un subespacio de V . Se dice que un vector v  V es ortogonal a W , si se cumple que:

(

v u

)

= 0

;

 u W

Al conjunto de todos los vectores de V ortogonales a W se le llama Complemento ortogonal de W y se denota con W ⊥ , esto es:

W⊥=

v V ( v

u

)=0

 u W

;



Proyección de un vector sobre un subespacio Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea W un subespacio de V . Cualquier vector

v  V puede expresarse en forma única como la suma de dos

vectores, uno de W y el otro de W ⊥ , esto es:

v = w + w

wW

donde

y

w  W

⊥

Gráficamente:

La proyección de v  V sobre el subespacio W viene dada por la expresión:

w =

n

(v



i =1

donde el conjunto

e

1

, e2 ,

, en



ei

)e

i

es una base ortonormal de W .

319

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Teorema de proyección Sea V un espacio con producto interno y sea W un subespacio de V . La proyección de un vector v  V sobre W es más próxima a v que cualquier otro vector de W . Esto es, si w es la proyección de v sobre W , entonces:

v −w



v −t

;  t W

El signo de igualdad se cumple, si y solo si, t = w .

Ejercicio 4.12 Determine el conjunto de vectores de vector v =

( 1,

0, −1

)

con el producto interno usual en

3

que son ortogonales al 3

y simultáneamente

con el producto interno definido por:

(x

y ) = 2 x1 y1 + 3 x 2 y 2 + x 3 y 3 ;  x = ( x1 , x 2 , x 3 ) , y =

(y, 1

y2 , y3

)

SOLUCIÓN:

u = ( a , b , c )  3 . Se debe cumplir que el producto interno de u con v debe ser igual a cero con ambos productos internos, esto es:

Sea

Con el producto escalar ordinario

( ( a, b, c )

( 1,

))

0 , −1

= a−c=0

(1)

Con el segundo producto interno definido:

( ( a, b, c )

( 1,

0 , −1

))

= 2a−c=0

( 2)

con las ecuaciones (1) y ( 2 ) , se forma el sistema:

 a − c = 0    2 a − c = 0 que al resolverlo se obtiene: a = 0 y c = 0

D =

Por lo tanto, el conjunto solicitado es: 320

 ( 0, b, 0 )

b 



3

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.13 Sea el espacio vectorial

(x 3

con producto interno definido por:

y ) = x1 y1 + 2 x 2 y 2 + x 3 y 3 ;  x = ( x1 , x 2 , x 3 ) , y = ( y1 , y 2 , y 3 ) 

sea W =  ( x , y , z

y

3

)

x+2y− z = 0



con x , y , z 

un

subespacio

3

de

. Determine el complemento ortogonal de W .

SOLUCIÓN: Si se despeja z de la ecuación del plano, entonces el subespacio W puede ser expresado de la siguiente forma:

 ( x,

W = Una base de W es:

B =

y, x + 2y )



x, y 

 ( 1, 0, 1 ) , ( 0, 1, 2 ) 

Si consideramos un vector cualquiera u =

(

a , b, c

)

que pertenezca al

complemento ortogonal de W , entonces se debe cumplir que:

(( a , b ,

c

)

( 1,

0, 1

))

= 0

y

(( a , b ,

c

)

(

0, 1, 2

))

= 0

desarrollando ambos productos internos, se tiene que:

y

a+c = 0

... ( 1 )

2b + 2 c = 0

... ( 2 )

de (1) y ( 2 ) , se llega a:

a = −c

y

b = −c

Por lo tanto, al sustituir en el vector u  W ⊥ , se obtiene que:

W

⊥

=

(− c ,

− c , c) c 



Para comprobar que se llegó al resultado correcto, se tomará un vector cualquiera de W y otro de W ⊥ para comprobar que dichos vectores son ortogonales.

321

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Sean v = (1, 1, 3)  W

y

u = ( − 3 , − 3 , 3 )  W ⊥ . Con el producto interno

definido, se tiene que:

(v

u

) = ( ( 1, 1, 3 )

(−3 ,

− 3, 3 ) ) = −3 −6 + 9 = 0

por lo tanto, v y u resultan ser ortogonales.

Ejercicio 4.14 Sea M el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden dos con elementos complejos y definido en el campo complejo, y sea

  H =  

 ( 1 + 2i   0 

)z

0

(1 − i )

   w 

    

z, w

un subespacio de M .

Obtenga el complemento ortogonal H interno definido en M :

(A

B) = Tr

⊥

de H , considerando el siguiente producto

( AB* )

;

 A, B  M

donde B * es la matriz conjugada transpuesta de la matriz B . SOLUCIÓN: Dado que el subespacio vectorial H está definido en el campo complejo, entonces la dimensión de H es dos, por lo tanto, una base de H sería:

  B =    a Sea la matriz E =   c

 1 + 2i    0

0  0  ,    0  0

   1−i  0

   

b    M , para la cual se cumple que: d  322

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

   

 a    c    

 a    c

0    0 

  = 0  

(1)

   1−i 

  = 0  

(2)

 1 + 2i    0

b    d  b    d 

 0    0

0

de (1) , se tiene:

   

 a   c

b   d 

 1 + 2i   0  Tr   

0   0 

   

 = Tr   

 ( 1 − 2i ) a   ( 1 − 2 i ) c

0   0 

 a   c

 1 − 2i   0

b   d 

0   0 

  =0  

 = 0  

( 1 − 2i ) a

=0

 a=0 de ( 2 ) , se tiene:

   

 a   c

b   d 

 0   0  Tr   

0

  = Tr  

 0   0

(1 + i )b

  1 − i 

   

  ( 1 + i ) d 

 a   c

b   d 

 0   0

  1 + i  0

  =0  

  = 0  

(1 + i ) d

=0

 d =0 Al sustituir estos valores en la matriz ortogonal de H es:

 H⊥ =  

 0   c

b   0  323

E , se llega a que el complemento

b, c 

  

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.15 Mediante

el

teorema

de

proyección,

expresar

al

vector

v = ( − 1, 2, 6,0 ) en la forma v = w1 + w 2 , donde w 1 pertenece al subespacio W generado por los vectores u 1 = ( − 1, 0 , 1, 0 ) y u 2 = ( 0 , 1, 0 , 1 ) y w 2 es W . Considere como producto interno el producto escalar ordinario

ortogonal a en

4

.

SOLUCIÓN: Una base del subespacio W es el conjunto:

B =

 ( −1 ,

0 , 1, 0

), (

0 , 1, 0 , 1

)

=

b

1

, b2

))

= 0



Si efectuamos:

(b

b2

1

) = ( ( − 1, 0 , 1, 0 )

(

0 , 1, 0 , 1

con lo cual podemos afirmar que B es una base ortogonal de W . Calculando las normas de los vectores de B , tenemos:

b1 b2

= =

(

b1 b1

(b

2

b2

)

1 2

)

1 2

= =

((

− 1, 0 , 1, 0

( ( 0 , 1,

0, 1

) (

) (

− 1, 0 , 1, 0

0 , 1, 0 , 1

)

)

)

)

1 2

1 2

=

=

2 2

Dividiendo cada vector entre su respectiva norma, tenemos que una base ortonormal de W es:

  Bortonormal =   

  −  

1

,

1

0,

2

2

Se tiene que la proyección de v

,

 0,  

  0,  

2

, 0,

1 2

    

sobre W , es decir, el vector w 1 , se obtiene

a partir de la expresión:

w1 =

1

(v 2

i =1

324

ei

)e

i

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

desarrollando:

w1 =

(v

)e

e1

1

+

(v

e2

)e

(1)

2

donde los vectores e 1 y e 2 son los vectores de la base ortonormal de W , esto es:

 =  −  

e1

1

 , 0   2 

1

, 0,

2

 e2 =  0,  

1

, 0,

2

   

1 2

sustituyendo v , e 1 y e 2 en ( 1 ) , tenemos:

 w1 =       

(

− 1, 2 , 6 , 0

( − 1,

2, 6, 0

 −  

)

1 2

  0,  

)

, 0,

1

 , 0  2 

1

, 0,

2

1 2

   

   

   

 −  

  0,  

1

, 0,

2

1

, 0,

2

 , 0 +  2 

1

   

1 2

desarrollando los productos internos, tenemos:

w1 =

7 2

  −  

1

, 0,

2

 , 0  +  2 

1

7  7  w 1 =  − , 1, , 1 2  2  como: entonces:

v = w1 + w 2 w 2 = v − w1 325

2 2

  0,  

1 2

, 0,

1 2

   

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

sustituyendo, tenemos:

w2 =

(

−1, 2, 6 , 0

)

7  7  −  − , 1, , 1 2  2 

5  5  w 2 =  , 1, , −1  2  2  por lo tanto, se tiene que:

7 5  7   5  v = w 1 + w 2 =  − , 1, , 1  +  , 1, , −1  = 2 2  2   2 

(

− 1, 2 , 6 , 0

)

Ejercicio 4.16 Sea el espacio vectorial:

P =

 ax

3

+ bx2 + cx + d

a, b, c, d 



y el subespacio de P :

W =

a

a 



con el producto interno en P definido por:

(p

q)=



1 −1

p( x ) q( x ) d x ;  p , q  P

a) Determine el complemento ortogonal W b) Exprese al polinomio P de W y otro de W

⊥

( x)

⊥

de W .

= − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 3 como la suma de un vector

.

326

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

SOLUCIÓN: a) Una base de W es:

B =

P(x

Sea

1

) = a x3 + b x2 + c x + d

 P

un

polinomio

cualquiera

perteneciente al complemento ortogonal de W , entonces se debe cumplir que:

( P( x) 1) = 0 de donde:

( P ( x ) 1) = 

1

1

( a x + b x + c x + d ) ( 1 ) d x =  a4 x 4 + b3 x 3 + 2c x 2 + d x  −1 −1 3

2

b c b c  a   a  =  + + +d  −  − + −d  = 0 3 2 3 2  4   4  simplificando:

2b + 2d = 0 3 2b + 6d = 0 b + 3d = 0 b = − 3d

Por lo tanto, al sustituir en el vector P

W

⊥

=

 ax

3

(x)

 W

− 3 d x2 + cx + d

327

⊥

, se obtiene que:

a, c, d 



ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

b) Necesitamos obtener la proyección de P ( x

)

= − x 3 + 3 x 2 − 2 x + 3 sobre el

subespacio W . Para ello, se requiere que la base B =

1

sea ortonormal.

Calculando la norma de 1 , tenemos:

1

1

=

( 1 1)

1 2

 =   

=  1 − ( − 1 ) 



1

(1)(1)

−1

1 2

=

( ) 2



Si suponemos que P

P

(x)

(x)

1 2

1 2

 dx   =

 =   



 dx   −1  1

1 2

2  1  =   2  

B or tonor ma l

puede ser expresado como:

= P1 + P 2

P1  W

donde

P2  W siendo P 1 la proyección de P

(x)

sobre W .

El polinomio P 1 viene dado por la expresión:

P1 =

 ( P( x) 1

i =1

ei

)e

i

esto es:

P1 =

( P( x)

e1

)e

1

siendo e 1 el elemento único de la base ortonormal B .

328

⊥

=  

(

x

) −1 1

 

1 2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Sustituyendo tenemos:

P1 =

   

( −x

2



2



1

P1 =

+ 3x − 2x + 3

3

1

1 −1

(

( −x

1  2 

)

P1

1 = 2

P1

 1  x4 = + x3 − x2 + 3x   − 2  4  −1

−1

)

− x3 + 3x2 − 2x + 3

3

+ 3x2 − 2x + 3

1 2  1    dx  2   

)dx

1

P1 =

1  1   1  − + 1 − 1 + 3 − − − 1 − 1 − 3     2   4   4 

P1 =

1  11 21  32 + = 4   = 2  4 4  8

 P1 = 4 como P

(x)

= P 1 + P 2 , entonces P 2 = P P2 =

( −x

3

(x)

− P 1 , con lo cual:

+ 3x 2 − 2x + 3

)−4

 P2 = − x3 + 3x 2 − 2x − 1 entonces:

P

(x)

= P1 + P 2 = 4 +

( −x

3

+ 3x 2 − 2x − 1

329

)

= − x3 + 3x 2 − 2x + 3

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 4.17 Sea el espacio vectorial real

  M =  

 a    c

b    d 

a, b, c, d 

   

con producto interno definido por:

    

 a1    c1

 a1     c1

y sea

b1    d1 

 a2    c2

b1   a 2  ,    d1   c2

 x  W =    y 

  =a a + b b +c c + d d ; 1 2 1 2 1 2 1 2   

b2    d2 

b2   M  d2 

y   x, y, z   z 

    

1 Obtenga la proyección ortogonal de E =   0

un subespacio de M .

1  sobre W .  −1 

SOLUCIÓN: Para obtener la proyección solicitada se mostrarán dos métodos de solución. MÉTODO 1: Este método de solución consistirá en obtener una base ortonormal del espacio W y, a partir de ella, con la fórmula correspondiente, obtener la proyección solicitada.

330

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Una base del espacio W es:

  B =  

 1    0

0   ,  0 

 0    1

1   ,  0 

 0    0

0    1 

   

Con el producto interno definido, esta base resulta ser ortogonal. Calculemos las normas de los vectores de la base.

1   0 0   1 0   0

0   0

 =   

1   0

 =   

0   1

 =   

1   0

0   0

1   0

1 2

0   0

   

1   0

2  =  

=

1

(1) 2

= 1

1

0   1 0   0

1   0

0   1

0   1

0   0

   

0   1

(2)

1 2

=

2

1 2

=

1

(1) 2

= 1

Por lo tanto, la base ortonormal de W es:

B or tonor ma l

   =    

 1    0

      

0   ,  0 

1

0

2 1

0

2

Se tiene que la proyección de la matriz

1 E =   0

    ,   

 0    0

1  sobre el espacio W ,  −1 

que representaremos con la letra P , viene dada por la expresión:

P =

3



i =1

331

(E

ei

)e

0    1 

      

i

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

desarrollada sería:

P =

(E

e1

)e

1

+

(E

e2

)e

2

+

(E

e3

)e

3

donde los vectores e 1 , e 2 y e 3 son elementos de la base ortonormal de W . Sustituyendo, tenemos:

 1 1 P =    0 −1  

 1 1     0 − 1  

  1 0  1 0  1 1    +    0 0    0 0    0 −1    

0 1 2

  2    0   1

0 0   0 0        0 1    0 1 

1 0 P =1   +  0 0 

1 P =   0

      

1 2

  0 0  +   1 0    2

      

0

    +   

1 2

1

0

2

( −1 )

0 0    0 1 

1  0 0 2   +     0 − 1  0  

Por lo tanto, la proyección de la matriz E sobre W es:

  1 P =   1  2 332

1  2   −1  

       

      

0 1 2

  2   +  0   1

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

MÉTODO 2: Este método de solución consistirá en obtener el complemento ortogonal de W y proyectar la matriz E sobre W

E = P + Q , donde P  W

⊥

, posteriormente, expresar a la matriz E como

y Q W

⊥

. La matriz P se obtiene de esta

ecuación por despeje.

Obteniendo W

⊥

, tenemos:

  B =  

1   0

 a Sea la matriz    c

0 0  ,    0 1

b    W  d 

⊥

1 0  ,    0 0

0   1

   

, se debe cumplir que:

   

 a    c

b    d 

 1    0

0    0 

  = 0 de donde a = 0  

   

 a    c

b    d 

 0    1

1    0 

  = 0 de donde b + c = 0  c = − b  

   

 a    c

b    d 

 0    0

0    1 

  = 0  

de donde d = 0

con lo cual se tiene que:

W

⊥

  =  

 0   −b

b    0 

333

b

   

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Una base de W

⊥

es:

 B =  

 0   − 1

1  0 

  

calculando la norma, tenemos:

 0    −1

 =   

1   0

 0    −1

1   0

con lo cual la base ortonormal de W

   =    

B ortonormal

  Proyectando la matriz E =  

   Q =    

Q =

 1   0

1 2

1   −1 

 0    − 1  2 

 1   0

 0    − 1  2  1 2 0

 0    −1

⊥

1 2

=

(2)

1 2

=

sería:

     − 

1

0

2 1

0

2

1   −1 

1 2 0

      

1   0

   



334

     

      

  ⊥  sobre W , tenemos: 

      

      

 0    − 1  2 

  0 Q =  −1  2

1 2 0

1  2   0  

      

2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

como E = P + Q , entonces P = E − Q . de donde:

 1  0  −   −1 −1   2

 1 P =   0   1 P =   1  2



1  2   0  

1  2   −1  

( x )  W que tiene la menor distancia al g ( x )  P2 .

Ejercicio 4.18 Obtenga el polinomio h polinomio g

(x)=

x 2 − 2 x − 1 , si

Se sabe que W es un subespacio de P 2 y que dichos espacios son:

P2 =

ax

W =

 ax

2

2

+ bx + c − 3 ax

a, b, c  a 





considere para su desarrollo, el producto interno en P 2 definido por:

(

P q

)

=

2



p(i

)

q

(i)

;  p

(x)

, q

( x)

i=0

 P2

SOLUCIÓN: El polinomio h

(x)

que se pide es la proyección del polinomio g

(x)

sobre el

subespacio W . Para

calcular h ( x ) necesitamos

obtener

una

base

ortonormal

W . Como W es un espacio de dimensión uno, entonces una base sería:

B =  x 2 − 3x 335



de

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Calculando la norma del elemento de la base, tenemos:

x − 3x 2

(x

=

2

− 3x

x − 3x 2

)

1 2

=  p ( 0 ) p ( 0 ) + p ( 1 ) p ( 1 ) + p ( 2 ) p ( 2 ) 

2 =  (0) + 

( −2)

2

+

de donde la base ortonormal de W es:

La proyección del polinomio g

(x)

( −2)

2

 

1 2

=

1 2

8

 Bortonormal =  

(

1 8

sobre el espacio W

x2 − 3x



)  

viene dada por la

expresión:

h(x) =

( g (x)

e1

)

e1

donde e 1 es el elemento de la base ortonormal de W . Sustituyendo, tenemos:

 h(x) =   

(

x2 − 2x −1

)

1 8

(

 x 2 − 3x )   

   

1 8

(

por propiedades del producto interno, se tiene que:

h(x) =

1   8 

(x

2

− 2x −1 )

(x

336

2

− 3x

)  ( x

2

− 3x

)

x 2 − 3x

)

   

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

aplicando el producto interno:

h(x) =

1  8 

h(x) =

1 8

(6)

h(x)=

3 4

(x

h(x) =

3 2 9 x − x 4 4

( −1 ) ( 0 ) + ( − 2 ) ( − 2 ) + ( −1 ) ( − 2 )

2

(x

2

− 3x

− 3x

(x

2

− 3x

)

)

)

 1  Ejercicio 4.19 Sea B =      6

,

1

,

6

distancia entre el vector v = ( 1, 0 , k

2 6

base ortonormal de un subespacio W de

es

 

)

3

  1 ,    2  

, −

  , 0   una  2 

1

con el producto interno usual. La

y el vector

w  W más cercano a v

3 .

Determine: a) Un valor de k . b) El vector w más próximo a v , utilizando el valor obtenido en el inciso a). SOLUCIÓN: Este ejercicio se resolverá siguiendo dos caminos distintos. MÉTODO 1: Este método consiste en obtener la proyección del vector v sobre el subespacio W , como el vector v depende de k , es evidente que su proyección quedará en términos de k ; posteriormente, se calculará la distancia entre los vectores v y w , la cual deberá ser igual a

337

3 . De esta igualdad se

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

k solicitado y, finalmente, el vector w  W más

obtendrá el valor de próximo v .

a) Se tiene que la proyección del vector v sobre el subespacio W viene dada por la expresión:

w=

(v

e1

)e

1

+

(v

e2

)e

2

donde los vectores e 1 y e 2 son elementos de la base B . Sustituyendo, tenemos:

 w =  ( 1, 0 , k     ( 1, 0 , k  

w =

1 6

1

)

6

)

1 2

( 1 + 2 k ) ( 1, 1,

 ( 1, 1, 2 )   

2

2+k ,  3

 w = 

)

+

1 2

( 1, 1, 2 ) +

6

 ( 1, −1, 0 )   

1 + 2k  1 + 2k w =  , , 6 6   4 + 2k w =  , 6 

1

1

( 1,

( 1 ) ( 1,

−1, 0

2 + 4k   1  +  , 6   2

− 2 + 2k , 6

−1, 0

)

2

) 1  − , 0 2 

2 + 4k   6 

−1 + k 1 + 2k  ,  3 3 

338

(1)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Calculando la distancia entre v y w , tenemos:

 2+k ,   3

−1 + k 1+ 2k  ,  − 3 3 

d

(

v, w

)

=

w−v

d

(

v, w

)

=

 −1 + k ,   3

)

  −1 + k =   ,   3

)

2 2   −1 + k  2  −1 + k   1− k  =   +   +     3   3   3  

)

  −1 + k  2  =  2 +     3   

)

  −1 + k  =  2   3  

d

d

d

d

(

(

(

(

v, w

v, w

v, w

v, w

=

( 1,

0, k

)

−1 + k 1− k  ,  3 3  −1 + k 1− k  ,  3 3 

2

d

(

v, w

)

  −1 + k  2 =  3   3  

d

(

v, w

)

= 

 −1 + k ,   3

( −1 ) ( −1 + k ) 3

 −1 + k  +    3 

2

1

−1 + k 1− k   2 ,   3 3  

  

1

2   1

  

2

2   

1 2

1

2  

 −1 + k  3    3 

3 , tenemos:

Como la distancia entre v y w debe ser igual a



 −1 + k  3   = 3  

339

3

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

3 , tenemos:

Si consideramos el valor positivo de

 −1 + k  3   = 3  

3

−1 + k = 1 3 −1 + k = 3



k1 = 4

Tomando el signo negativo, se tiene:

−

 −1 + k  3   = 3  

3

−1 + k = −1 3 −1 + k = − 3



k2 = − 2

En el inciso a) solo se nos pide obtener un valor de k ; sin embargo, se obtuvieron los dos posibles.

Si

k = 4



v =

( 1,

0, 4

)

Si

k = −2



v =

( 1,

0, −2

)

b) Para obtener el vector w más próximo a v , se tomará el valor de k = 4 y al sustituirlo en la expresión (1) , se obtiene que:

w =

(

2 , 1, 3

340

)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

MÉTODO 2: Este método consiste en obtener el complemento ortogonal del subespacio W y ⊥

3 . A partir de esto, se obtendrán los valores de k y con ellos el vector w más próximo a v . se buscará un vector del W

cuya norma sea igual a

a) A partir de la base ortonormal dada en el enunciado del ejercicio, se llega a que una base del subespacio W es:

B1 =

 ( 1, 1, 2 ) , ( 1,

−1, 0

)

simplificando esta base, se tiene:

( −1 )

1    1

1 −1

 1  0 2     2      1 0 

2   0       1 0 

2 −1

1 −1

1    0 

por lo tanto, otra base de W sería:

B2 =

 ( 1,

−1, 0

), (

0 , 1, 1

)

Al generar el espacio W con B 2 , se llega a:

W =

 ( a,

b − a, b

Considerando un vector cualquiera

)



a, b 

u =

(

x, y, z

)

que pertenezca al

complemento ortogonal de W , entonces se debe cumplir que:

( ( x , y , z ) ( 1, −1, 0 ) ) = 0 ( ( x , y , z ) ( 0 , 1, 1 ) ) = 0 por lo tanto, W

⊥



x− y=0



x=y



y+ z=0



z=−y

es:

W

⊥

=

(

y, y, −y

341

)

y 



ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Como buscamos un vector del W

(

((

y, y, −y

) (

⊥

cuya norma sea igual a

)

y, y, −y

y, y, −y

)

)

3

=

3

1 2

y2 + y2 + y2



=

=

3

3y2

=

3

3 y

=

3

 y =  1



3 , se tiene que:

y1 = 1 y 2 = −1

Como se sabe, el vector v puede ser expresado como la suma de dos vectores, uno de W y el otro del W

⊥

, esto es: w1  W

v = w1 + w 2

(2)

donde

w2  W

⊥

Para el caso de w 2 , tenemos: si

y =1



w2 =

( 1,

si

y = −1



w2 =

(

1, −1

)

−1, −1, 1

(3)

)

( 4)

y como w 1  W , entonces es de la forma:

w1 =

(

a, b − a, b

342

)

(5)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

sustituyendo (3) , (5) y v en ( 2 ) , tenemos:

(

1, 0 , k

)

=

(

a, b − a, b

)

(

(

1, 0 , k

)

=

(

a + 1, b − a + 1, b − 1

+

1, 1, −1

)

)

de donde surge el sistema:

a +1 = 1     b − a +1 = 0   b −1 = k 



a=0



b = −1



k = −2

Por otro lado, si sustituimos (4) , (5) y v en ( 2 ) , se tiene:

(

1, 0 , k

)

=

(

a, b − a, b

)

(

1, 0 , k

)

=

(

a − 1, b − a − 1, b + 1

+

(

−1, −1, 1

)

)

con lo cual:

a −1 = 1     b − a −1 = 0   b +1 = k 



a=2



b=3



k =4

entonces los valores de k solicitados en el inciso a) son:

k = 4

y

k = −2

b) Si tomamos el valor de k = 4 , entonces a = 2 y b = 3 , con lo cual el vector w  W más próximo a v , se obtiene al sustituir los valores de a y b en ( 5 ) :

w1 =

(

2 , 1, 3

343

)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Mínimos cuadrados La solución de mínimos cuadrados v de un sistema incompatible:

Ax = y donde A es una matriz de orden m  n , satisface la ecuación normal:

AT A x = AT y y recíprocamente, cualquier solución de la ecuación normal es solución de mínimos cuadrados. Además, si el rango de la matriz A es igual a n , la solución es única y viene dada por la expresión:

v =

(

AT A

)

−1

AT y

Ejercicio 4.20 Determine la ecuación de la curva de mínimos cuadrados de segundo grado que mejor ajuste a los puntos

( −1, 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1, 1 )

y ( 1, 2 ) .

SOLUCIÓN: Se nos pide ajustar a un polinomio de segundo grado de la forma:

y = P

(x)

= ax2 + bx + c

(1)

al sustituir en esta expresión las coordenadas de los puntos dados, se llega al sistema de ecuaciones:

 a −b + c = 0   c = 1   a +b + c = 1   a + b + c = 2 Es evidente que este sistema de ecuaciones es incompatible, es decir, no admite solución, pues en la tercera ecuación se tiene que la suma de a , b y c debe ser igual a uno y, en la cuarta ecuación, la misma suma debe ser igual a dos. 344

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Este sistema de ecuaciones puede ser expresado matricialmente de la siguiente forma:

      

1

−1

0

0

1

1

1

1

1  1  1  1 

0   a  1    b  =   1      c   2  x y

A

de donde se llega a la ecuación matricial:

Ax = y donde:

   A =    

1

−1

0

0

1

1

1

1

1  1  1  1 

a    x = b     c 

;

;

   y =    

0  1  1   2 

Se sabe que toda solución de mínimos cuadrados satisface la ecuación normal:

AT A x = AT y

(2)

T T obteniendo A A y A y , tenemos:

 1  T A A =  −1   1

 1  A T y =  −1   1

0 0 1

1 1 1

0

1

0

1

1

1

1  1  1 

      

1

−1

0

0

1

1

1

1

1  1  1 

      

0    3 1    =  3  1    4  2 

345

1  3 1   = 1  1   3 1      

1 3 1

3  1   4 

(3)

(4)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

sustituyendo (3) y (4) en (2) , se tiene:

3  1   3

3  1   4 

1 3 1

a  3     b  = 3      c   4 

lo que genera el sistema de ecuaciones:

 3a + b + 3 c = 3    a + 3b + c = 3   3a + b + 4c = 4  al resolver este sistema, se obtiene que:

a = −

1 4

,

b =

3 4

y

c =1

Al sustituir estos valores en la expresión (1), se tiene que el polinomio buscado es:

P( x

Ejercicio 4.21 Para

los

)

= −

puntos

1 2 3 x + x + 1 4 4

( − 2, 1 ) , ( −1, 0 ) , ( 0, 2 ) , ( 1, 3 )

y

( 2, 6 ) ,

determine: a) La ecuación de la recta de mínimos cuadrados que mejor se ajuste a los puntos dados. b) La ecuación de la curva de mínimos cuadrados de segundo grado que mejor se ajuste a dichos puntos. c) Cuál de las dos opciones presenta el menor error. Considere al producto escalar ordinario en

2

como producto interno. 346

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

SOLUCIÓN: a) Consideremos que la ecuación de la recta buscada es de la forma:

y = mx + b Al sustituir las coordenadas de los puntos dados en la ecuación de la recta, se genera el siguiente sistema de ecuaciones:

    S1 :     

−2m + b = 1 −m

+ b = 0

0m

+ b = 2

m

+ b = 3

2m

+ b = 6

si se expresa matricialmente este sistema, se tiene:

 −2   −1   0   1   2

1   1   1   1   1 

  

    m  =   b    x 

A dando lugar a la ecuación matricial

 −2   −1  A =  0   1   2

1   1   1  ;  1   1 

1   0   2   3   6  y

A x = y , donde:

 m  x =   ;  b 

347

    y =     

1   0   2   3   6 

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Se sabe que toda solución de mínimos cuadrados satisface a la ecuación normal:

AT A x = AT y

(1)

se tiene que:

− 2 T A A =   1

−1

0

1

1

1

1

2  1 

 −2   −1   0   1   2

1   1    10 1  =    0 1   1 

0   5 

(2)

por otro lado, se tiene que:

A

T

− 2 y =   1

−1

0

1

1

1

1

2  1 

        

1   0    13  =  2   12 3   6 

sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) en (1) , tenemos:

 10    0

0   5

m  13    =        b   12 

de donde se tiene que:

10 m = 13



m =

13 10

5 b = 12



b=

12 5

Por lo tanto, la recta buscada tiene por ecuación:

y =

13 12 x + 10 5 348

  

(3)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

b) Se nos pide ajustar a un polinomio de segundo grado de la forma:

y = P

(x)

= a x2 + b x + c

( 4)

cuyos coeficientes a , b y c desconocemos y vamos a determinar. Al sustituir en la expresión ( 4) las coordenadas de los puntos dados, se llega al sistema de ecuaciones:

    S2 :     

4a − 2b + c = 1 a

−

b

+ c = 0 c = 2

a

+

b

+ c = 3

4a + 2b + c = 6

Este sistema puede ser expresado matricialmente de la siguiente forma:

      

−2 −1 0 1 2

4 1 0 1 4

1 1 1 1 1

      

A

  a   b     =   c    x

1 0 2 3 6

      

y

de donde:

    A =     

4

−2

1

−1

0

0

1

1

4

2

1   1   1  ;  1   1 

349

 a    x =  b     c 

;

    y =     

1   0   2   3   6 

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

obteniendo:

 4  T A A =  −2   1

1

0

1

−1

0

1

1

1

1

4   2   1 

        

4

−2

1

−1

0

0

1

1

4

2

1  1  34   1 =  0    10 1  1 

0 10 0

10   0   5 

(5)

además:

 4  T A y =  −2   1

1

0

1

−1

0

1

1

1

1

4   2   1 

        

1   0   31     2  =  13      12  3   6 

sustituyendo ( 5 ) y ( 6 ) en (1) , tenemos:

 34    0   10

0 10 0

10    0   5 

a   31           b  =  13       c   12 

lo cual genera un sistema de ecuaciones que al resolverlo, se obtiene:

a =

1 2

b =

13 10

c =

7 5

sustituyendo estos valores en ( 4 ) , se tiene que el polinomio buscado es:

P (x) =

1 2 13 7 x + x + 2 10 5 350

(6)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

c) Cálculo del vector de errores para cada curva de ajuste, tenemos: Para el caso de la recta, se tiene: Tomando las abscisas de los puntos dados y sustituyéndolas en la ecuación de la recta tenemos que: Para

1   P 1 ( − 2 , 1 ) , se tiene que el punto en la recta es Q 1  − 2 , −  5  

Para

P2

(

11   −1, 0 ) , se tiene que el punto en la recta es Q 2  −1,  5  

Para

P3

(

0, 2 ) ,

se tiene que el punto en la recta es

12   Q3  0,  5  

Para

P 4 ( 1, 3 ) ,

se tiene que el punto en la recta es

37   Q 4  1,  10  

Para

P5

se tiene que el punto en la recta es

Q5

(

2, 6 ) ,

(

2, 5

)

de donde se tiene que las componentes del vector de errores vienen dadas mediante la diferencia de las ordenadas de los puntos P i y Q i , esto es:

6  1  e1 = y − y1 = 1 −  −  = 5  5  11 11 e2 = y − y2 = 0 − = − 5 5 e3 = y − y3 = 2 −

12 5

= −

2 5

e4 = y − y4 = 3 −

37 10

= −

7 10

=

1

e5 = y − y5 = 6 − 5 por lo que el vector error es:

11 2 7  6  e1 =  , − , − , − , 1 5 5 10  5  351

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Calculando su norma:

e1

(

=

e1 e1

)

1 2

=

(e

1

e1)

1 2

1

121 4 49  36 2 =  + + + +1 25 25 100  25 

entonces, se tiene que el error es:

= 2.816

e1

Para el caso del polinomio de segundo grado, tenemos:

Para

P1

(

− 2, 1 ) , se tiene que el punto en

P(x)

es

R1

( −2,

0 .8

)

Para

P2

(

− 1, 0 ) , se tiene que el punto en

P(x)

es

R2

( −1 ,

0.6

)

Para

P3

(

0, 2

),

se tiene que el punto en

P(x)

es

R3

(0,

1. 4

)

Para

P4

(

1,

3

),

se tiene que el punto en

P(x)

es

R 4 ( 1 , 3. 2

)

Para

P5

(

2, 6

),

se tiene que el punto en

P(x)

es

R5

(2,

6

)

Obteniendo la diferencia de las ordenadas, tenemos:

e 1 = 1 − 0.8 =

0.2

e 2 = 0 − 0.6 = − 0.6 e 3 = 2 − 1.4 =

0.6

e 4 = 3 − 3.2 = − 0.2 e5 = 6 −

6 =

por lo que el vector de errores para el caso de P

0

(x)

es:

e 2 = ( 0.2 , − 0.6 , 0.6 , − 0.2 , 0

)

calculando su norma:

e2

=

(

e2 e2

)

1 2

=

(

e2

e2

)

1 2

352

=

(

0 .04 + 0 .36 + 0 .36 + 0 .04 + 0

)

1 2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

entonces, se tiene que el error es:

e2

= 0.894

Por lo tanto, el menor error se obtiene con el polinomio de segundo grado, lo cual quiere decir que dicha curva es la que mejor se ajusta a los puntos dados. Ejercicio 4.22 Obtenga, empleando el método de mínimos cuadrados, una solución aproximada del sistema de ecuaciones:

 x + y + z = 0    x + y + z =1   x + y = 0   y + z = 0  SOLUCIÓN: Es evidente que se tiene un sistema de ecuaciones incompatible, pues en las dos primeras ecuaciones del sistema se tiene que la suma de tres números deber ser igual a cero y, al mismo tiempo, su suma debe ser igual a uno, lo cual resulta imposible. Del sistema de ecuaciones, se tienen las matrices:

   A =    

1

1

1

1

1

1

0

1

1   1   0   1 

 x    x =  y     z 

;

;

   y =    

0  1  0  0 

La solución por mínimos cuadrados viene dada por: T

T

A Ax = A y

353

(1)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

obteniendo

T

T

A A y A y , tenemos:

1  T A A = 1   1

1  T A y = 1   1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

0  1  1 

      

1

0  1  1 

      

0   1 1    = 1  0    1  0 

1

1

1

1

1

0

1

1  3 1   = 3  0   2  1

3 4 3

2  3  3 

    

(3)

sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) en (1) , tenemos:

3   3   2

3 4 3

2   3  3 

 x       y     z 

1     = 1    1 

con lo cual se llega al sistema:

 3x + 3 y + 2z = 1    3x + 4 y + 3z = 1    2 x + 3 y + 3 z = 1 cuya solución es:

x =

1 2

,

y = −

1 2

,

z =

1 2

Estos valores resultan ser la mejor aproximación a la solución del sistema de ecuaciones planteado. 354

( 2)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En el espacio vectorial

 ax

P2 =

q

)



a, b, c 

= p ( 0 ) q ( 0 ) + p (1) q(1) + p ( 2 ) q ( 2 )

Determine si

(

p q

)

2

)

(u

v

 p , q  P2

, se define la función:

v = x1 x 2 + x1 y 2 + y1 x 2 +3 y1 y 2 ;  u = (x1 , y1 Determine si

;

es un producto interno en P 2 .

2. En el espacio vectorial

(u

+ bx + c

, se define la operación:

sobre

(p

2

)

),

v =( x2, y2) 

es un producto interno.

3. Para el espacio vectorial F de funciones reales de variable real, continuas e integrables en el intervalo

(

f

g

)=



  0 ,

   , determine si: 2 

 2

f ( x ) g ( x ) cos x d x

;



f , g F

0

es un producto interno. En caso de serlo, calcule la norma del vector f serlo, indique los axiomas que no se cumplen. 355

(x)

= 3 sen x ; en caso de no

2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

4. Sea la función f :

f

(u

v

)=u

1

2



2

v1 − u2 v 2

→

, cuya regla de correspondencia es:

;  u =

(u

1

, u2

),

v = ( v1, v2

)



2

2

. En caso afirmativo, obtener, respecto a este producto interno, la distancia entre los vectores w 1 = ( 2, 1 ) y Determine si f es un producto interno en

w2 =

( 3,

−1 ) ; en caso negativo, indicar los axiomas que f no cumple.

5. En el espacio vectorial

(v

w

)=v

2

A wT

, se define la operación:

 v = ( v1 , v2

;

),

w = ( w1 , w2

) 2

donde v y w están representados como matrices renglón y A =  1 Determine si

(v

w

)

2

1  . 2 

es un producto interno, si se sabe que la positividad se

cumple. 6. Sea el espacio vectorial:

P1 =

 ax + b

a, b 



Determine si la operación:

(p

q

) = 

d p   dq     dx   dx 

;  p , q  P1

es un producto interno. 7. En el espacio vectorial real M de las matrices de orden n  n con elementos reales, se define la operación:

(A

B

) = Det (

Determine si la operación

(A

B

AT B )

;

 A, B  M

) es un producto interno y en caso de no serlo,

indique los axiomas que no se cumplen.

356

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

8. En el espacio vectorial:

  W =  

b    2a 

a, b 

   

, se define la función:

sobre

(

 a    a+b

b   a  c A B = ac − 2 ad − 2 bc+ 4 bd ;  A =   , B=   c + d  a + b 2 a 

)

d   W 2 c 

Si se sabe que se cumplen:

(A B+C) = (A B) +(A C) ;  (A B) =  ( A B) ;    determine si

(A

B

v

)=x

1

2

( 9, 1 )

, se define el producto interno:

2

v

1

, v2, v3, v4

2

que, con el producto interno dado, sea ortogonal al

y su norma sea

10. Si en el espacio vectorial que B =

 A, B W

x 2 − x 1 y 2 − x 2 y 1 + 3 x 2 y 2 ;  u = ( x1 , y1 ) , v = ( x 2 , y 2 ) 

Obtenga un vector w  vector

y

) es un producto interno en W .

9. En el espacio vectorial

(u

A, B, C W

4

33 .

se define el producto escalar ordinario y se tiene

 es su base canónica, obtenga un vector unitario

que cumpla simultáneamente las dos condiciones siguientes: a) Que sea ortogonal a v 1 y v 4 , y b) que forme ángulos iguales con v 2 y v 3 .

357

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

11. En el espacio vectorial:

  M =   

 a   d   g

c   f   i 

b e h

a, b, c, d , e, f , g , h, i 

    

se define el producto interno:

(A

B

) = Tr ( B A) T

;

 A, B  M

Considerando las matrices:

1  A = 0   1

1  0  1 

2 1 −1

0  B = 2   1

y

−1 1 0

1  1  1 

calcule: a) La norma de la matriz A . b) La distancia entre las matrices A y B . c) El ángulo que forman las matrices A y B . 12. Sea P 1 el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a uno con coeficientes reales y el producto interno en P 1 definido por:

(p

q

)

= 



2

p(x)q(x)dx

13. Sean B =

w

1



p , q  P1 ;



,  0

−1

Determine el valor de 

m ( x ) = 2x + 1

;

y

para que la distancia entre los polinomios

n ( x ) = 3 sea igual a tres.

, w2 , w3



un conjunto ortonormal de vectores de un

espacio vectorial real. 358

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

a) Determine los escalares    y  para que el vector u =  w 3 − w 1 −  w 2 sea ortogonal tanto a w 1 como a w 2 . b) Calcule la distancia entre los vectores u y w 3 , utilizando los escalares

   y  obtenidos en el inciso anterior.

 ax

14. Sea el espacio vectorial P 2 =

2

+ bx + c

a, b, c 

 , en el cual

se define el producto interno:

(p Determine

q

)

=



1

p(x) q

(x)

( x )  0 que f 2 ( x ) = x − 1.

vector f 3

un

f1 ( x ) = x2 +1

y

; 

dx

p , q  P2

0

15. En el espacio vectorial

sea

ortogonal

a

los

vectores

F de funciones continuas reales en el intervalo

 −  ,   , se define el siguiente producto interno:

(f

g

)

=



 −

f

(t)

a) Determine si las funciones f

g (t ) dt

;

( t ) = sen t

y g

b) Calcule la norma de la función g

 f, g  F

( t ) = cos t

( t ) = cos t .

16. Sea el producto interno usual en el espacio complejo

(u

v

)=u

1

v1 + u 2 v 2

;

son ortogonales.

 u = (u1, u 2

2

)

definido por:

, v = ( v1 , v2

)

2

donde v 1 y v 2 representan el conjugado de v 1 y v 2 , respectivamente. Obtenga un vector

z 

2

con primera componente real, que sea ortogonal

al vector u = ( − 3, i ) y tal que la distancia entre z y w = (1 + i , − 2 i igual a la distancia entre u y w . 359

)

sea

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

17. Sea V un espacio vectorial real y sean u , v  V . Demuestre que si

u +v

=

u −v

, entonces los vectores u y v son ortogonales.

18. Sea el espacio vectorial usual:

(z

w

)=

2

, en el cual se define el producto interno

sobre

z 1 w1 + z 2 w 2 ;  z = ( z 1 , z 2

),

w = ( w1 , w2

)

2

donde w 1 y w 2 representan el conjugado de w 1 y w 2 , respectivamente. Para los vectores z = ( 1 − i ,

− 2 i ) y w = ( 2 i , 2 − i ) , calcule:

a) La distancia entre z y w . b) El ángulo entre z y w . 19. Sea V un espacio vectorial definido sobre el campo real con producto interno y sea v  V con v  0 . Obtenga los valores de k  vectores:

para los cuales los

x = kv + 2v y = k

2

v − 5 k v + 6v

son ortogonales. 20. Sea el espacio vectorial

(u

v

)=u

1

2

con producto interno definido por:

v 1 + 4 u 2 v 2 ;  u = (u 1 , u 2 ) , v = (v 1 , v 2 ) 

2

donde v 1 y v 2 representan el conjugado de v 1 y v 2 , respectivamente.

z = ( 1, i

Para los vectores

)

y w = ( i, a

a) Determine el número a para que

(z

w

)



2

:

) = 3i .

b) Con el valor de a obtenido en el inciso anterior, compruebe que:

z+w



z

+

w

. 360

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

21. Sean P 2 el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y el producto interno en P 2 definido por:

(p

q

)=a

1

a 2 + b1 b 2 + c 1 c 2 ;  p ( x ) = a 1 x 2 + b1 x + c 1 , q ( x ) = a 2 x2 + b2 x + c2

 P2

y sean los vectores u = x 2 + x + a y v = x − 3 . Determine el conjunto de valores a  , tal que: a) El ángulo entre u y v sea b) La norma de u sea igual a

22. Sea el espacio vectorial real

 2

radianes.

18 .

  a M =     0

0  b 

a, b 

  con producto 

interno definido por:

(A

B

) = T r ( AB ) T

;  A, B  M

Obtenga una matriz D  M que forme un ángulo de 45 con la matriz

1 E =  0

0 0 

y que diste una unidad de la matriz

0 F =  0

0 . 1 

23. Sea el espacio vectorial:

P =

 ax

2

+ bx + c

a, b, c 



con producto interno definido por:

(p y sea

q

)=



k

p(x) q(x) dx

;  p(x) ,q(x)  P

0

B =  x , x − 2  un subconjunto de P . 361

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Determine el valor de k para que: a) El conjunto B sea ortogonal. b) La distancia entre los vectores x , x − 2 sea igual 4 .

u,

24. Sean V un espacio vectorial con producto interno, A =

v , w  una base

ortogonal de V y los vectores:

m= u +v + w n = − v − w Las normas de los vectores de A son

=3,

u

v

=1 y

w =

2.

a) Obtenga el ángulo que forman m y n . b) Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, determine si el conjunto  m , n  es linealmente dependiente o linealmente independiente. 25. En el espacio vectorial

(u

v

)=u

1

2

, está definido el producto interno:

v1 + 2 u 2 v 2

;

 u =

(u

1

, v2

),

v = ( v1 , v 2

)



2

Determine, mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el valor de para el cual el conjunto: k 

A=

(

k + 5,

k −1) ,

(

−2, 1

)

es linealmente dependiente. 26. Sea F el espacio vectorial de las funciones reales de variable real continuas en el intervalo

 0,

(f

g

2

)

=





y el producto interno definido por: 2

f ( x ) g( x ) d x

;

 f , g  F

0

a) Calcule el ángulo y la distancia entre las funciones

f

(x)

= 3

y

g( x

)

= cos x ;  x 

362

 0,

2



ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

b) Obtenga una base ortogonal del subespacio de F generado por el conjunto:

A=

 3,

cos x ,

27. Sea el conjunto B =  ( 1, 1, −1 ) , 3

espacio vectorial

( 0 , 1,

−9 

−1 ) ,

( 1, 1, 0 ) 

. Determine a partir de B una base ortonormal de dicho

espacio, considerando el siguiente producto interno definido en

( x y ) = 3x

1

una base del 3

:

y1 + 2 x 2 y 2 + x 3 y 3 ;  x = ( x1 , x 2 , x 3 ) , y = ( y1 , y 2 , y 3 ) 

3

28. En el espacio vectorial:

 M =  

 a 0     0 b 

a, b 

  

se define el producto interno:

(M

1

M2

)

 =  

 a1   0

0   b 1 

 a2   0

0   b 2 

  = a1 a 2 + b 1 b 2 ;  M 1 , M 2  M  

Empleando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, obtenga una base ortonormal del espacio M a partir de la base:

 B =  

0  1   0 − 2

  0  ,    0

0     1  

29. Si en el espacio vectorial P 2 de los polinomios de grado menor o igual a dos se define el siguiente producto interno:

(p

q

)

2

=

 p(i)

q ( i ) ;  p , q  P2

i= 0

363

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

a) Determine los valores de a , b , c 

B =

 1,

tales que el conjunto:

x + a , x2 + bx + c



sea ortogonal para dicho producto interno. b) Obtenga a partir de B una base ortonormal de P 2 para el producto interno dado. 30. Obtenga una base ortonormal del espacio vectorial P 2 de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales a partir de la base:

B=

 1,

2 t , 12 t 2 − 12 t + 2 

considerando como producto interno a:

(p

q

)

=



1

p(t

) q(t)

31. Obtenga los valores de a , b , c 

( x y) = ax

1

2

( x y) = 2x

;  p , q  P2

tales que para el producto interno:

y1 + b x1 y 2 + b x 2 y1 + c x 2 y 2 ;  x = ( x1 , x 2 ) , y = ( y1 , y 2 ) 

el conjunto 32. En

dt

0

 ( 1, 0 ) , ( 1, 1 ) 

es una base ortonormal de

2

.

se define el producto interno:

1

y 1 − x 1 y 2 − x 2 y1 + x 2 y 2 ;  x = ( x 1 , x 2

),

y = ( y1 , y 2 ) 

a) Calcule la norma del vector v = ( 2 , 2 ) . b) Obtenga el conjunto de vectores ortogonales al vector u = ( 1, 0 ) . c) Obtenga una base ortogonal de

2

364

a partir de su base canónica.

2

2

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

33. Sea M el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos en donde se define el producto interno real:

(A

B

) = Tr (B

T

A)

;  A, B  M

Obtenga una base ortogonal de M a partir de:

  1 B =     0

0   1 ,    0 1 

34. Si en el espacio vectorial

(z

3

1  1 ,    1 0 

1     1  

0  1 ,    1 1 

se define el producto interno:

)

w = z1 w 1 + z 2 w 2 + z 3 w 3 ;  z = ( z1 , z 2 , z 3 ) , w = ( w1 , w2 , w 3 )  w1 , w 2 y w3

donde

denotan

a

los

conjugados

w1 , w 2 y w 3 ,

de

respectivamente, obtenga una base ortonormal del espacio generado por el conjunto de vectores:

B= 35. Sean

B =

v

el 1

espacio

 1,

i, 1 ,

vectorial

1+ i , V

real

0, 2  con

producto

interno,

, v 2 , v 3  una base ortonormal de V y el vector u  V ortogonal

a v 1 , que forma un ángulo de 60  con v 2 y tal que

= 2 . Determine

u

un vector de coordenadas de u respecto a la base B . 36. Sean el espacio vectorial W con producto interno y B = ortogonal de W cuyo

( v )B

vector

=

( 1,

tal que de

e1

=2 y

coordenadas

− 2 ) . Obtenga

37. Sean el espacio vectorial

4

(v

)

1

, e2



una base

e 2 = 3 , y sea el vector v  W

respecto

e1

e

y

(v

a

)

la

base

B

es

e2 .

con producto interno usual, H =

 ( 1, 1, 1, 1 ) 

4 un subconjunto y W el subespacio generado por H . Determine una base ortonormal del complemento ortogonal de W .

365

3

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

38. Sean el espacio vectorial P 2 =

 ax

2

+ bx + c

a, b, c 

 , en el cual

se define el producto interno: 1

( p q) = 

p(n) q(n)

;  p , q  P2

n= −1





W = ax2+ b a , b 

y sea

un subespacio de P 2 . Obtenga el

complemento ortogonal de W . 39. Sean M el espacio vectorial real de las matrices de orden 2  2 , W el subespacio de M generado por el conjunto:

  G =  

1   0

0 0  ,    0 1

1 0  ,    0 0

0   1

   

y el producto interno en M definido por:

( A B) = Tr ( B A) T

;

 A, B  M

Obtenga el complemento ortogonal de W . 40. Sea W = 3

de

 ( x,

y , z ) x − 2 y + 5 z = 0 con x , y , z 



un subespacio

y sea el producto escalar usual, el producto interno definido en

3

.

a) Determine el complemento ortogonal de W . b) Obtenga un vector que pertenezca al W ⊥ y que tenga norma igual a

4

30 .

41. Sea P 2 el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales con producto interno definido por: 2

( p q) = 

p ( i ) q ( i ) ;  p , q  P2

i=0

366

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

y sea W =

B=

x

2

 ax

2

+ b x − ( 2a + b

)

a, b 

 un subespacio de

P 2 . Si

− 2 , 4 x 2 − 9 x + 1  es una base ortogonal de W , determine el q ( x )  W más cercano a h ( x ) = x 2 − x + 1 .

polinomio

42. Sea el espacio vectorial real:

 M =  

 a   c

b   d 

a, b, c, d 

  

con producto interno definido por:

 M=  

a 1 b 1  a 2 b 2   a 1 b 1  a 2 b 2  = a a + b b + c c + d d ;   c d  c d   c d  , c d   M 1 2 1 2 1 2 1 2  1 1  2 2    1 1  2 2  y sea:

 W =  

 x   y

y   z 

x + y+z=0

con

  

x, y, z 

un subespacio de M . Determine la proyección de la matriz

1 H =  2

2  3 

sobre W .

43. Sean W = espacio de interno:

(u v)=x

1

 ( x, 3

x, y )

x, y 



y B =

( 1, 1, 0 ) , (

0, 0, 1)

 un sub-

y una base de W , respectivamente. Considerando el producto

x 2 + 3 y1 y 2 + z1 z2 ;  u = ( x1 , y1 , z 1 ) , v = ( x2 , y 2 , z 2 ) 

obtenga: a) El vector w  W más próximo al vector a = b) La distancia entre los vectores w y a . 367

(

6, 2, 1 ) .

3

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

44. Sean M el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden dos con elementos reales y el producto interno en M definido por:

(

 a A B =   c 

b  x d   z

)

y w 

  a

 T  = Tr ( A B ) ;  A = 

a−b   a 

y sea W =  

  b

a c 

b x , B=  d z

y M w

  un subespacio de M . 

a, b 

a) Determine el complemento ortogonal W ⊥ de W .

3 b) Exprese al vector A =   2 B  W y C  W ⊥. c) 45. Sea

2  como la suma de B + C , donde 0 

Obtenga la proyección del vector A sobre W ⊥ .



H = ( x , y , z)

subespacio de

3

x + y+z = 0, 2x − y − z = 0

y el producto interno ordinario en

con x , y , z  3



un

.

a) Determine el complemento ortogonal H ⊥ de H . b) Exprese al vector v = ( − 2 , 1, 4

w1  H 46. Usando

el

y

w2  H

teorema

de

⊥

)

como v = w 1 + w 2 , donde:

.

proyección,

obtenga

el

punto

del

plano

 : 2 x − 5 y + z = 0 más cercano al punto A ( 2 , 3 , − 1 ) , usando como producto interno el producto escalar de vectores. 47. Sean P 1 el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a uno con coeficientes reales, W el subespacio de P 1 generado por el conjunto

G = 1 + x , − 3 − 3 x y el producto interno en P 1 definido por:

( p q) = p ( 0 ) q ( 0 ) +

p(1) q(1) 368

;  p , q  P1

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Obtenga el polinomio g ( x )  W que mejor se aproxime a p ( x ) = − 4 x + 2.

48. Sean W =

( x , y , z )

3

y el producto interno usual en

v W

⊥



x + 2 y − z = 0 con x , y , z 

, tales que d ( u , v

)=

un subespacio de

3

. Determine dos vectores u  W y

32 y la abscisa de ambos sea igual a dos.

49. Sean los espacios vectoriales:

V =

 ( a, b, c )

a+b+c=0 ;

 W =  ( a, b, c ) 



a, b, c 

1 a=−b−c ; 3

a=b+c ,

a, b, c 

a) Obtenga el complemento ortogonal del espacio V producto interno usual en

3

  

W , empleando el

.

b) Exprese al vector u = ( 1 , 1 , 1 ) como la suma w 1 + w 2 , donde:

w1  V 50. Sean

el

W y

espacio 3

subespacio

w2  ( V

es

( a )B

)

3

vectorial

)

⊥

con

producto

W

cuyo complemento ortogonal

bases a B =  ( 1 , 2 , 1 ) ,

v = ( 1, 1, 0

W

( 1 , 0 , −1 )  .

interno ⊥

usual

y

W el

tiene como una de sus

El vector a es la proyección de

sobre W ⊥ y su vector de coordenadas respecto a la base B

 1 1  = ,  . Obtenga:  2 2 

a) El vector b  W más cercano a v . b) Una base de W . 51. Determine la ecuación de la recta de mínimos cuadrados que mejor se ajuste a los puntos

( 1,

2

), (

2, 3

), (

3, 3

369

)

y

(

0, 0

).

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

52. Determine la ecuación de la curva de mínimos cuadrados de segundo grado que

( −1,

mejor se ajuste a los puntos

53. Para los puntos

(

2, 2 ) ,

(

− 1) ,

3, 4 ) ,

(

(0 , 4, 5

1),

)

y

( (

0, 0 ) y

( 1, 1 ) .

5 , 7 ) , determine:

a) La ecuación de la recta de mínimos cuadrados que mejor se ajuste a los puntos dados. b) La ecuación de la curva de mínimos cuadrados de segundo grado que mejor se ajuste a dichos puntos. c) Explique por qué se llega a la respuesta obtenida en el inciso b). 54. Obtenga, empleando el método de mínimos cuadrados, una solución aproximada del sistema de ecuaciones:

 x + y + z   − x + y  2y + z   − z  x

= 0 = 1 = 0 = 1

55. Obtenga, empleando el método de mínimos cuadrados, una solución aproximada del sistema de ecuaciones:

 −a + b + c   a − b + c  b + c   + c  a 370

=

0

=

0

= −1 =

1

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

(

2.

(u

3.

(

p q

f

v

)

sí es un producto interno.

)

sí es un producto interno.

)=

g

3 sen x 4.

f

(u

v

 2

f

(x) g(x)

cos x d x sí es un producto interno.

0

=

) =u

3

1

v 1 − u 2 v 2 no es un producto interno y el axioma que no se

cumple es la positividad. El vector u = ( 0, 1 )  0 no satisface este axioma. 5.

(v

6.

(

7.

(A

)

w = v A w T sí es un producto interno.

p q

) =  dd xp   dd qx 

no es un producto interno.

) = Det ( A B )

no es un producto interno.

B

T

Solo se cumple el axioma de la simetría o conmutatividad, los tres axiomas restantes no se cumplen. 8.

(A

B

) = a c − 2 a d − 2 bc + 4 b d

no es un producto interno. El axioma que

no se cumple es la positividad. La matriz axioma. 371

 2 1  A =   no satisface este  3 4 

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

9.

Se tienen dos respuestas:

w1 = ( 3 , 4 ) 1

10. u =

( 0,

1, 1, 0 )

w2 = ( − 3, − 4 )

y

(La respuesta no es única)

2 11. a)

=

A

b) d

( A,

10

B) = 4

c)  = 78.46

12.  =

3 4

13. a)  

 = 0

 u = w3

 = 0 b) d 14.

f3

15. a)

(u,

(x) f

b)

)=

w3

1− 

con

 

= 110 x 2 − 112 x + 19 (La respuesta no es única)

(t)

g ( t ) son ortogonales.

y

g (t )



=

16. Se tienen dos respuestas:

z 1 = ( 1, 3 i

)

y

z2 =

( −2 ,

−6i

17. Sí se demuestra. 18. a) d

(

z, w

)

=

15 372

)

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

b)  = 90

Obsérvese que

(z

w

)  0 , por

lo tanto, z y w no son

ortogonales; sin embargo, el ángulo entre z y w es 90. 19.

k1 = −2 ,

k2 = 2

k3 = 3

y

20. a) a = 4 b)



19

21. a) a =

+

2



17

4.36  5.54

1 3

b) a =  4

1

22. D = 

 0

0  1 

23. a) k 1 = 0

k2 = 3

y

b) k = 4 24. a)  = 120 b) El conjunto

 m,

n



es linealmente independiente.

25. k = − 1 26. a) El ángulo entre

f

(x)

y g ( x ) es 90 y d

(

f, g

b) El subespacio generado por el conjunto A es:

E

( A)

=

 a + b cos x

y una base ortogonal de E

( A)

B or t . =

es:

 1, 373

a, b 

cos x





)

=

19  .

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

27.

Bortonormal

 1  =     6

28. Bortonormal

1

,

1

,−

6

   =   

6

 1   0

0   , − 2 

b = −2

y

1 5

29. a) a = − 1 ,

   , −    

1

1

,

6

,−

6

6

 2  5 5    0  c =

1

 0   1   5 

   , 0 ,    

     

1 3

Por lo que la base ortogonal es:

1   Bor t. =  1, x − 1, x 2 − 2 x +  3   b) Bortonormal

30. Bortonormal =

 1,

31. a = 1 ,

32. a)

v

  =   

1

1

,

( x − 1) ,

3

2

3

( 2t −1 ) ,

b = −1

y

 ( 3 x − 6 x + 1 )   

1

2

6

5

( 6t

2

− 6t +1)



c = 2

= 

b) El conjunto de vectores ortogonales al vector u = ( 1, 0

 ( a, c) Bortonormal

 =  

1 2

( 1, 0 ) ,

2a ) a 



 1   2  , 1   2   374

)

es:

1 6

,

2 6

    

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

33. Bortonormal

   =   

 1   0



1



3

34. Bortonormal = 

0   , 1 

 1  2    0 

 1   , 1  −  2 

1

( 1, i , 1 ) ,

 0   1

0   , 0 

 1  −3   0  

(

2 i , 1 − 3i , 3 − i

=

( 0,

2 6

)

1   3     1    3  

  

35. Se tienen dos posibles respuestas:

36.

( 0,

( u )B

=

(v

)=4

e1

  1

37. Bortonormal = 

  2

38. W ⊥ =

 bx

1,

u =

(

e2

1, −

2  1 1  − , 1 , 0 , − , 3  2 2



b 

b   0 

( a,

  

b 

− 2a , 5a

4 , − 8 , 20

)

3

)

) = − 18

( 1 , 0 , 0 , −1 ) ,

  − b

b)

( u )B

y

(v

y

  0 39. W ⊥ =  

40. a) W ⊥ =

)

3

)

a 



(La respuesta no es única)

41. q ( x ) = − x 2 + 3x − 1

375

3  1 1 1    − , − , 1 , −  2  3 3 3  

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

42. La proyección de la matriz H sobre W es:

1 E = 5 43. a) w =

(

b) d

44. a) W

(

3, 3, 1

w, a

⊥

  =  

)

12 = 2

 − y −w   y 

 2  1

3

y    w 

1   W y 2 

2 A =   1



4  3 

)

=

b) B = 

 −7   4

1   2 

y, w 

1

=

 ( a,

 

b) w1 =  0 , −



b, b

 1

1 +   1

a, b 

3 3  ,   H 2 2 

3  v =  0, − , 2 

46. El punto del plano

)

1   W − 2 

C = 

y

⊥

es el vector

1 C =   1

1  − 2 

 5 5   w2 =  − 2 , ,   H 2 2  

3  5 5   ,  +  −2,  2  2 2  

 más cercano al punto A es: 3   14 P , 1 −  5   5 376

⊥

1  − 2 

c) La proyección del vector A sobre W

45. a) H ⊥

   

⊥

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

47. g

(x)

= −

2 2 x − 5 5

48. u =

(

2, 0, 2

v =

(

2, 4, −2

49. a)

(V

W

)

⊥

)

W

)

W

=

 ( x,

b) Como u ⊥ ( V

(

u =

(La respuesta no es única)

0, 0, 0

W

)

+

⊥

),

y, y

)

entonces

( 1,

1, 1



x, y 

u 

(V

W

)

⊥

, por lo tanto:

)

50. a) Como resulta que a = v , esto implica que v  W ⊥ , por lo tanto, el vector b  W más cercano a v es: b) B W =

51. y = x +

52. y = −

 ( 1,

− 1, 1

b =

(

0, 0, 0

)

)

1 2

1 2 1 x + x + 2 2

53. a) y =

8 11 x − 5 10

b) y =

8 11 x − 5 10

c) Como se busca un polinomio que pertenezca al conjunto de los polinomios de grado menor o igual a dos, el que mejor se ajusta es el polinomio obtenido, que resulta ser de primer grado e igual a la respuesta del inciso a), esto es, no existe un polinomio de segundo grado que se ajuste mejor que la recta obtenida. 377

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

54. Los valores de x , y , z que resultan ser la mejor aproximación a la solución del sistema es:

x = 0 ,

y =

2 , 3

z = −1

55. Los valores de a , b , c que resultan ser la mejor aproximación a la solución del sistema es:

a =

1 , 5

b = −

378

1 , 5

c = 0

CAPÍTULO 5 OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Adjunto de un operador

En un espacio vectorial V con producto interno, cada operador lineal T tiene un operador llamado su adjunto que también es lineal y representamos con T * , cuya definición es: Definición Sea V un espacio con producto interno y sea T : V → V un operador lineal. Un operador T * : V → V se dice que es el adjunto de T si se cumple que:

(T(u )

v

)

=

(u

T*( v

)

)

;

 u , v  V

Esta definición está basada en el producto interno, por lo que, el operador adjunto depende del producto interno considerado, es decir, el operador T tiene tantos adjuntos como productos internos se consideren, pero para cada producto interno el adjunto es único.

Propiedades del operador adjunto

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K , con producto interno. Si son operadores lineales en V y  es un escalar de K , entonces: 1.

( T *) * = T

2.

(

3.

(S

4.

(

T*

5.

(

S T

 T )* =  T * +T

)

−1

)* = =

S* + T*

( T )* −1

)* = T *

S*

381

S y T

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Teorema

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno y sea B una base ortonormal de V . Si T : V → V es un operador lineal, entonces:

M BB Donde el matriz.

*

( T* )

=  M BB (T )  *

del lado derecho de la igualdad representa la conjugada-transpuesta de la

Ejercicio 5.1 Obtenga el adjunto del operador lineal

P1 =

 ax + b

a, b  T



T : P1 → P1 ,

donde

y cuya regla de correspondencia es:

( ax+b)

= 2b x + ( a − b )

con respecto al producto interno en P 1 definido por

( ( a x+b )

( m x+r ) ) = 2 a m + 2 b r

;  p = a x+b , q = m x+r  P 1

SOLUCIÓN: Como el espacio P 1 es de dimensión dos, entonces es isomorfo a

2

, con lo

cual si aplicamos dicho isomorfismo tenemos que la regla de correspondencia de T y el producto interno quedarían como:

T ( a , b ) = ( 2b, a − b )

(( a, b )

(1)

( m , r ) ) = 2 am+2br

Se sabe que el adjunto de T es un operador T *: P 1 → P 1 para el cual se debe cumplir que:

(T ( p )

) (p

q =

T*

382

(

q

))

(2)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Si suponemos que el adjunto de T es de la forma:

T *( m, r ) =

(  m + βr ,

γm + δr )

(3)

y como:

p =

( a, b)

q =

y

( m, r )

entonces al sustituir en ( 2 ) , tenemos:

(T ( a, b )

( m, r ) ) = ( ( a, b )

T * ( m, r )

)

Aplicando las reglas de correspondencia de T y T * , tenemos:

( ( 2b, a − b )

( m, r ) )

(( a, b)

=

( m +

βr , γm + δr

))

desarrollando el producto interno en ambos lados:

4 bm + 2 ar − 2 br = 2  am + 2 β ar + 2 γ bm + 2 δ br al agrupar tenemos:

(

4b

)m

+

(

2 a − 2b

)r

=

(

2  a + 2 γb

)m

+

(

2 β a + 2 δb

por igualdad, se llega a:

 = 0

β =

γ = 2

δ = −1

1

con lo cual al sustituir estos valores en ( 3 ) , tenemos que:

T* ( m, r

)

=

(r ,

2m − r

)

Si se aplica el isomorfismo inverso, entonces el adjunto de T es:

T * ( m x + r ) = r x + ( 2m − r) 383

)r

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 5.2 Sea el espacio vectorial

2

definido en el campo de los números

complejos, en el cual se define el producto interno usual, y sea el operador lineal

T:

2

→

2

con regla de correspondencia:

T( x, y ) =

( x + y,

i x +( 3 + 2i ) y )

Obtenga el operador adjunto de T . SOLUCIÓN: Para resolver este ejercicio, haremos uso del teorema de las matrices asociadas a estos operadores que establece: Si T : V → V es un operador lineal y B es una base ortonormal de V , entonces:

M BB

(T ) *

=  M BB

(

T

)

 *

Dado que el campo de definición del espacio vectorial V es de los números complejos, entonces la dimensión de V es dos, por lo que una base ortonormal del espacio es:

 ( 1, 0 ) , ( 0 , 1 ) 

B=

Dado que se trata de la base canónica, entonces la matriz asociada a T referida a dicha base sería:

T ( 1, 0 T ( 0, 1

Como

M BB

) )

= =

( 1, ( 1,

( T *)

i

)

3 + 2i

=  M BB

M

B B

)

( T ) 

( ) T*



*

M

B B

(T)

, entonces:

1 =   1 384

−i

   3 − 2i 

 1 =    i

   3 + 2i  1

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

de donde la regla de correspondencia del operador adjunto de T viene dada por:

T * (w, z )

(w −

T * (w, z ) =



−i

1 =    1

   3 − 2 i 

w    z

w − iz     =      w + ( 3 − 2 i ) z  

i z , w + (3 − 2 i ) z )

Ejercicio 5.3 Sean el espacio vectorial real

P =

 ax + b

a, b 

 con

producto interno definido por:

(

p

q

) = ac + bd

;  p ( x ) = ax +b ,

q

(x)

= cx + d  P

y el operador lineal T : P → P cuya regla de correspondencia es:

T (p ( x )) =

d p(x) dx

;

 p(x)  P

Determine el operador adjunto de T . SOLUCIÓN: Este ejercicio lo resolveremos siguiendo los dos procedimientos utilizados en los ejercicios 5.1 y 5.2. MÉTODO 1: El espacio P es de dimensión dos, por lo tanto, isomorfo con aplicamos dicho isomorfismo, tenemos que: Si

p

( x ) = ax T

+ b , entonces:

( p)

=

d p(x) dx

 385

T (a x + b ) = a

2

, entonces, si

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

( ax+b ) = ( a, b ),

Al aplicar el isomorfismo f

la regla de correspondencia

de T y el producto interno quedarían como:

( a, b)

T

(( a, b)

=

( 0, a )

( m , r ) ) = am + br

Si suponemos que el adjunto de T es de la forma:

T * ( m, r ) =

( m +  r ,

m + r )

(1)

Además, se sabe que el adjunto T es un operador T * : P → P , para el cual se debe cumplir que:

( T ( p) donde:

q

)=(

p = ( a, b)

T* ( q

p

))

(2)

q = ( m, r )

y

sustituyendo en ( 2) , tenemos:

(T ( a, b)

( m, r ) )

=

((a, b)

T *( m , r

))

Aplicando las reglas de correspondencia de T y T * , tenemos:

( ( 0,

a)

( m, r ) )

=

(( a, b)

(

m + r ,

desarrollando el producto interno: a r =  a m +  a r +  bm +  br

por igualdad se llega a:

 = 0

γ = 0

β =1

δ = 0 386

 m + r

))

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Sustituyendo en (1), se tiene que:

T*( m, r ) =

(r, 0)

Al aplicar el isomorfismo inverso, se llega a:

T *(m x + r ) = r x MÉTODO 2: Resolviendo el ejercicio mediante matrices asociadas, tenemos:

T( a, b) = Obteniendo M

(T )

( 0,

a)

considerando la base ortonormal B =

 ( 1, 0 ) , ( 0 , 1 )  ,

tenemos:

T T

( 1, (

0

0, 1

)

=

)

=

(

0, 1

(

0, 0

como:

) )

( T *)

M BB

M BB ( T

)

=  M BB

( T ) 

*

 0 =   0

1  0 



0 =   1

0  0 

entonces:

M BB

( ) T*

de donde:

T *( m , r esto es:

)

 0 =   0

1  m   r  =      0   r   0 

T *( m , r ) =

(r, 0)

Al aplicar el isomorfismo inverso, tenemos que el adjunto de T es:

T * (m x + r ) = r x 387

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Operador normal Sea V un espacio con producto interno y sea T : V → V un operador lineal. Se dice que T es un operador normal si se cumple que:

T* = T* T

T

Debido a que para cada producto interno considerado el adjunto es diferente, un operador puede ser normal respecto a un producto interno y no serlo respecto a otro.

Propiedades de los operadores normales Sea V un espacio con producto interno y sea T : V → V un operador normal. 1.

(v )

T

2. Si T

=

(v )

T*( v

)

;

 v V

= λ v , entonces T * ( v

)

= λv

3. Si v 1 y v 2 son vectores característicos de T, correspondientes a valores característicos distintos, entonces los vectores v 1 y v 2 son ortogonales, es decir,

(v

1

v2

)=0.

Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión finita definido en

con producto interno y

sea T : V → V un operador normal. Existe una base ortonormal de V formada por vectores característicos de T , lo cual garantiza que todo operador normal es diagonalizable.

388

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 5.4 Determine si el operador lineal

2

T:

→

2

con regla de

correspondencia

T

(

x, y

)

(

=

2i x + y , − x − 2i y

) 2

es un operador normal, considerando el producto interno usual en

.

SOLUCIÓN: Lo primero que tenemos que determinar es el operador adjunto de T . Para ello, consideremos a los vectores:

u =

(

x, y

)

y

=

(

v =

(

w, z

)

(1)

y supongamos que:

T * ( w, z

)

1

w + 2z , 3w + 4z

)

( 2)

con lo cual se debe cumplir:

(T(u

)

v

)

(u

=

T*

(

v

)

)

( 3)

sustituyendo ( 1 ) y ( 2 ) en ( 3 ) , tenemos:

( T ( x,

y

)

(

w, z

)

)

( ( x,

=

y

)

T * ( w, z

)

(

1

)

)

de donde:

( ( 2i x + y , − x − 2i y )

(

w, z

))=((

x, y

w + 2 z , 3 w + 4 z )

aplicando la regla de correspondencia del producto interno, se tiene:

2i x w + y w − x z − 2i y z = 1 xw +  2 xz +  3 yw +  4 yz agrupando y factorizando, tenemos:

(

2i w − z

)x

+

(

w − 2i z

)y

=

( 389

1

w + 2 z

)x + ( 

3

w + 4 z

)y

)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

por igualdad, se tiene que:

si

1 = 2 i



1 = − 2 i

si

2 = − 1



2 = − 1

si

3 = 1



3 = 1

si

4 = − 2i



4 = 2i

Al sustituir los valores de  i en la expresión ( 2 ) , tenemos que el adjunto de

T es:

T * ( w, z ) = (− 2 i w − z , w + 2 i z )

Para determinar si T es un operador normal, debemos comprobar si se cumple

T

que: esto es:

(T

) ( x,

T*

T * = T* T

(T *

y) =

T T * ( x , y )   

= T * T

T

) ( x,

( x,

y)

y ) 

aplicando las reglas de correspondencia de T y T * dentro de los corchetes, tenemos:

T

( − 2ix

− y , x + 2 i y ) = T * ( 2 i x+ y , − x − 2 i y

)

aplicando de nuevo dichas reglas, se tiene:

 2 i ( − 2 i x − y

)+ (

x + 2i y ) , −

(

− 2ix − y

 − 2 i ( 2 i x + y

)

− x − 2i y ) ,

(

2i x + y

−

(

)

− 2i ( x + 2 i y

) + 2i (

− x − 2i y

) 

=

) 

realizando operaciones:

( 4x

− 2 i y + x + 2i y , 2 i x + y − 2 i x + 4y ) =

( 4x

− 2 i y + x + 2i y , 2 i x + y − 2i x + 4 y )

sumando términos semejantes, tenemos:

(

5x , 5 y ) =

(

5x , 5 y )

Como se cumple la igualdad, entonces se puede concluir que T es un operador normal. 390

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

  a   0

0  b 

Ejercicio 5.5 Sean el espacio vectorial real M =  

a, b 

  

con producto interno definido por:

  a     0 

0   b 

 c   0

0   d 

  = ac + bd ;  

 a   0



0   c  ,  b   0

0    M d 

y el operador lineal H : M → M cuya regla de correspondencia es:

  a H     0  

0   b 

  a+b  =    0 

  a − b  0

;

 a    0

0    M b 

a) Obtenga el operador adjunto H . b) Determine si H es un operador normal.

SOLUCIÓN: a) Como el espacio vectorial M es de dimensión dos, entonces es isomorfo con

2

. Si aplicamos el isomorfismo

 f   

 a   0

0   b 

  =  

( a,

b

)

a las reglas de correspondencia del operador H y del producto interno, tenemos:

H

(( a , b )

( a, b) (c,

d

=

( a + b,

))=

ac + bd

a −b)

Resolviendo el ejercicio mediante matrices asociadas, tenemos:

B=

 ( 1, 0 ) , ( 0 , 1 ) 

es una base ortonormal, por lo que:

391

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

H ( 1, 0 ) = ( 1, 1 )



H ( 0 , 1 ) = ( 1, −1 )

M BB

(H)

1 =   1

1  − 1 

de donde:

M BB

(

1 H*) =   1

1  − 1 

entonces:

H *( m , r con lo cual:

)

1 =   1

H *( m, r

1  − 1 

 m   m+r   =   r   m − r

) =( m+r,

m−r

  

)

Al aplicar el isomorfismo inverso, tenemos que el adjunto de H es:

 H*   

 m   0

0   r 

  m+r  =    0 

  m − r  0

Cabe hacer notar que, el operador adjunto H * tiene la misma regla de correspondencia que el mismo operador H . A los operadores que tienen esa característica se les llama operadores hermitianos o, también, operadores simétricos cuando el campo de definición del espacio vectorial sobre el cual actúa el operador es real. Este tipo de operadores serán estudiados en el tema siguiente. b) Para determinar si H es un operador normal, se debe cumplir que:

H

H* = H*

H

Como H y H * tienen la misma regla de correspondencia, resulta evidente que esta igualdad se cumple, por lo tanto, podemos concluir que H sí es un operador normal. Se deja al lector el verificar que H correspondencia.

H* = H*

392

H aplicando las reglas de

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Existen casos especiales o particulares de los operadores normales. A continuación, nos ocuparemos de definir algunos de ellos: Operadores hermitianos, antihermitianos, simétricos, antisimétricos, unitarios y ortogonales. Los nombres con que nos referimos a estos operadores lineales suelen cambiar cuando cambia el campo de definición del espacio vectorial sobre el cual actúa el operador. Estos campos, a los que nos referimos, son el campo complejo y el campo real. En cada una de las definiciones se hará la especificación correspondiente. Operadores hermitianos, antihermitianos, simétricos y antisimétricos Definición Sea V un espacio vectorial definido en

, en el cual se define un producto

interno y sea T : V → V un operador lineal. Si se cumple que:

(T ( v ) 1

v2

) = (v

1

T (v 2 )

)

 v1 , v 2  V

;

entonces se dice que T es un operador hermitiano. Al operador T se le llama antihermitiano si se cumple que:

(T ( v ) 1

v2

) = − (v

1

T (v 2 )

)

;

 v1 , v 2  V

Si T es un operador hermitiano definido sobre el campo de los números reales, se le llama también operador simétrico. Si T es un operador antihermitiano definido sobre el campo de los números reales, se le llama también operador antisimétrico. Un operador T puede ser hermitiano con respecto a un producto interno y no serlo con respecto a otro; sin embargo, es suficiente con que sea hermitiano para algún producto interno para que se le llame de esta forma y cumpla con todas las propiedades de todo operador hermitiano. Existe una forma alternativa para poder identificar a este tipo de operadores, a través de la característica que presenta el operador adjunto en relación con el operador original. Lo anterior se establece en la siguiente definición. 393

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Definición Sea V un espacio vectorial definido sobre T : V → V un operador lineal. Se tiene que:

con producto interno y sea

1) T es un operador hermitiano, si se cumple que T * = T . 2) T es un operador antihermitiano, si se cumple que T * = − T .

, entonces a los operadores Si el espacio V está definido sobre hermitianos también se les llama operadores simétricos y a los operadores antihermitianos también se les llama operadores antisimétricos. Propiedades de los operadores hermitianos, simétricos, antihermitianos y antisimétricos 1) Si T es un operador hermitiano, entonces: a) T es diagonalizable. b) Sus valores característicos son números reales. c) Los vectores característicos son ortogonales, siempre y cuando los valores característicos sean diferentes. 2) Si T : V → V es un operador hermitiano y B es una base ortonormal de V para algún producto interno definido en V , entonces

M BB ( T

)

es

una matriz hermitiana.

M BB ( T ) es una matriz asociada a un operador hermitiano referida a una base B ortonormal, entonces:

3) Si

a) La matriz diagonalizadora P es una matriz unitaria, si el campo de definición del espacio vectorial es complejo. b) La matriz diagonalizadora P es una matriz ortogonal, si el campo de definición del espacio vectorial es real. 4) Si T es un operador antihermitiano, entonces sus valores característicos son imaginarios puros. 5) Si T : V → V es un operador antihermitiano y B es una base ortonormal de V , entonces

M BB ( T

)

es una matriz antihermitiana. 394

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

2 2 2 → Ejercicio 5.6 Sea el operador lineal T : , donde está definido en el campo de los números complejos y cuya regla de correspondencia es:

T

( a + bi ,

c+ di ) =

(a − d +(b+c) i,

Considerando al producto escalar ordinario en

b − ai 2

)

;  a, b, c, d 

como producto interno:

a) Determine si T es un operador hermitiano. b) En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior, obtenga una matriz 2 asociada a T referida a una base ortonormal de y compruebe que dicha matriz es hermitiana. c) Si T es un operador hermitiano, compruebe que sus valores característicos son reales. d) ¿Los vectores característicos de T resultan ser ortogonales? SOLUCIÓN: a) Para determinar si T es un operador hermitiano, se debe cumplir que:

(T (v )

v2

1

)

=

(v

1

T

( v2 ) )

 v1 , v 2 

;

2

si consideramos los vectores:

v1 =

(

a + bi , c + d i

)

y

v2 =

(

x + y i , z + wi

)

entonces

(T ( a + bi , c + d i )

(x + yi ,

) ((a + bi , c + d i )

z + wi ) =

T ( x + y i , z + wi )

)

desarrollando el lado izquierdo de la igualdad, tenemos:

( T ( a +bi ,

c +d i )

( x + yi ,

) ( ( a − d + ( b + c ) i , b − ai )

z +wi ) =

( x + yi ,

z +wi )

)

=  ( a − d ) + ( b + c ) i  ( x − yi ) + ( b − ai ) ( z − wi ) = ( a x − a yi - d x + d yi + b xi + b y + c xi + c y ) + ( b z − b wi − a z i − a w ) = ( a x − d x+b y+cy+b z − a w ) + ( − a y+ d y+b x+c x −bw − a z ) i 395

… (1)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

desarrollando el lado derecho se tiene:

) ( ( a +bi , c +d i ) ( x − w+ ( y + z ) i , y − xi ) )

( ( a +bi , =

c +d i ) T ( x + yi , z +wi ) =

( a + bi )  ( x − w ) − ( y + z ) i  + ( c +d i ) ( y + xi )

= ( a x − a w − a yi − az i + b xi − b wi + b y + b z ) + ( c y + c xi + d yi − d x ) = ( a x − a w+ b y + bz + c y − d x ) + ( − a y − a z + b x − b w+ c x + d y ) i

… ( 2)

Como las expresiones ( 1 ) y ( 2 ) son iguales, entonces el operador T es hermitiano. 2 b) Como el campo de definición del espacio es complejo, entonces su dimensión es igual a dos y una base ortonormal de dicho espacio es:

B =

 ( 1, 0 ) , ( 0, 1 ) 

con lo cual, la matriz asociada al operador T será:

T T

( 1, (

0

0, 1

) )

= =

( 1, (

−i

i, 0

)

)



(

M BB

T

)

 1 =   − i

i   = A 0 

Comprobando que A es hermitiana, tenemos:

 1 A* =   − i

i   0 

como A = A* , entonces A es una matriz hermitiana. c) Obteniendo los valores característicos de T , tenemos:

det

(

A − λI

)

=

1− λ

i

−i

−λ 396

= −λ

( 1−λ )

−1 = λ2 − λ − 1

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Aplicando la fórmula para ecuaciones de segundo grado, se tiene:

1

λ=

1+ 4 1 5 = 2 2

por lo tanto, los valores característicos son:

λ1 =

1 + 2

5 2

λ2 =

1 − 2

5 2

que resultaron ser números reales como se esperaba. d) Dado que los valores característicos son diferentes, entonces, de acuerdo con la propiedad 1. c , los vectores característicos son ortogonales.

Ejercicio 5.7 Sea el operador lineal T :

T

(

x, y

)=(

2

→

2

0, kx − 2y

definido por:

)

Determine el o los valores de k  , de tal forma que simétrico con el siguiente producto interno:

((x

1

, y1 )

(x

2

, y2

))

=

25 1 x1 x 2 + 144 9

(

T

sea un operador

y1 y 2 − x1 y 2 − x 2 y1 )

SOLUCIÓN: Para que T sea un operador simétrico, se debe cumplir la igualdad:

(T(v ) 1

v2

)

(v

=

1

T

, y2

))

(v ) )

;  v1 , v 2 

2

2

esto es:

(T(x

1

, y1 )

(x

2

=

397

( (x

1

, y1 ) T ( x 2 , y 2

))

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

aplicando la regla de T , tenemos:

( ( 0,

k x1 − 2 y1 )

(x

, y2

2

))

=

( (x

1

, y1 )

( 0, k x

2

− 2y2

))

desarrollando el producto interno en ambos lados:

1  1 k x 1 − 2 y1 ) y 2 − 0 − x 2 ( k x1 − 2 y1 )  =  y 1 ( k x 2 − 2 y 2 ) − x1 ( k x 2 − 2 y 2 ) − 0  (  9 9 de donde se obtiene:

k x1 y 2 − 2 y 1 y 2 − k x1 x 2 + 2 x 2 y 1 = k x 2 y 1 − 2 y 1 y 2 − k x 1 x 2 + 2 x 1 y 2 simplificando términos semejantes, tenemos:

k x1 y 2 + 2 x 2 y 1 = k x 2 y 1 + 2 x1 y 2 de donde se puede concluir que con k = 2 se cumple la igualdad y, por lo tanto, con dicho valor, el operador T es simétrico.

Ejercicio 5.8 Sea la transformación lineal T : P → P definida por:

(

T ax2+ bx + c

) = bx

donde:

P =

2

+ ( 2 c − a ) x − 2b ;  a x 2 + b x + c  P

 ax

2

+ bx + c

a, b, c 



Determine si el operador T es antihermitiano con el producto interno:

( p ( x)

)

q ( x) =

1 p  ( 1 ) q  ( 1 ) + p  ( 0 ) q  ( 0 ) + p ( 0 ) q ( 0 ) ;  p ( x ) , q ( x )  P 4

SOLUCIÓN: Este ejercicio lo resolvemos por dos caminos distintos. Aplicaremos las dos definiciones que nos permiten identificar a los operadores antihermitianos.

398

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

MÉTODO 1: Sabemos que un operador es antihermitiano si se cumple que:

(T ( p ) Considerando:

q

)

= −

(p

T

(q ))

(1)

p ( x ) = a 1 x 2 + b1 x + c 1 q ( x ) = a 2 x 2 + b2 x + c 2

se tiene que:

T ( p ( x )) = T ( a1 x 2 + b 1 x + c 1 ) = b 1 x 2 + ( 2 c1 − a1 ) x − 2 b 1 T ( q ( x )) = T ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) = b 2 x 2 + ( 2 c 2 − a 2 ) x − 2 b 2 de donde:

(T ( p )

q

)

(

= b1 x 2 + ( 2 c 1 − a 1 ) x − 2b1 a 2 x 2 + b 2 x + c 2

)

Si:

p 1 ( x) = b1 x 2 + ( 2 c 1 − a 1 ) x − 2b1

q ( x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2

p1 ( x ) = 2 b 1 x + ( 2 c 1 − a 1 )

q ( x ) = 2 a 2 x + b 2

p 1 ( x ) = 2 b 1

q  ( x ) = 2 a 2

Aplicando la regla de correspondencia del producto interno, tenemos:

(T ( p ) q ) = 14 ( 2 b ) ( 2 a ) + ( 2 c 1

(T ( p ) q ) = a

2

2

1

− a 1 ) ( b 2 ) + ( −2 b 1

) (c ) 2

b 1 + 2 b 2 c1 − a1 b 2 − 2 b 1 c 2

(2)

Por otro lado, se tiene que:

(p

T(q

))

=

(a

1

x 2 + b1 x + c 1 399

b2 x 2 + ( 2 c 2 − a 2 ) x − 2 b 2

)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

(p

T(q

))

=

(p

T(q

))

= a1 b 2 + 2 b 1 c 2 − a 2 b 1 − 2 b 2 c 1

1 ( 2 a 1 ) ( 2 b 2 ) + ( b 1 ) ( 2 c 2 − a 2 ) + ( c 1 ) ( −2 b 2 4

)

con lo cual:

−

(p

T

( q ))

= − a 1 b 2 − 2 b1 c 2 + a 2 b1 + 2 b 2 c 1

(3)

Sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) en (1) , tenemos:

a 2 b 1 + 2 b 2 c1 − a 1 b 2 − 2 b 1 c 2 = − a 1 b 2 − 2 b 1 c 2 + a 2 b 1 + 2 b 2 c1 Como la igualdad se cumple, entonces podemos concluir que el operador T es antihermitiano. MÉTODO 2: En este método, obtendremos el adjunto de T y si se cumple la igualdad

T * = − T , entonces concluiremos que T es un operador antihermitiano. Se sabe que:

(T ( p ) Si

q)=

p ( x ) = a 1 x 2 + b1 x + c 1

y

(p

T*( q

))

(1)

q ( x ) = a 2 x2 + b2 x + c 2

y suponemos que:

T *( q

)

= T * ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) = 1 a 2 x 2 +  2 b 2 x +  3 c 2

entonces:

( T ( p)

q

)=(T(a

( T ( p)

q

)=(b

1

1

x 2 + b 1 x + c1

x2+

( 2c

1

− a1 400

)

a 2 x2 + b2 x + c2

) x − 2b

1

)

a 2 x2 + b2 x + c2

)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Si

p1

(x)

=

b1 x 2 +

( 2c

p 1

(x)

= 2 b1 x +

( 2c

p 1

(x)

= 2 b1

1

1

− a1

)

− a1

)

x − 2 b1

q

(x)=

a2 x2 + b 2 x + c2

q ( x ) = 2 a 2 x + b 2 q  ( x ) = 2 a 2

Aplicando la regla de correspondencia del producto interno, tenemos:

( T ( p)

q

)

=

( T ( p)

q

)

= a 2 b1 + 2 b 2 c 1 − a 1 b 2 − 2 b1 c 2

1 4

( 2b ) ( 2a ) + ( 2c 1

2

1

) ( b ) + ( − 2b ) ( c )

− a1

2

1

2

( 2)

Por otro lado, tenemos:

(p

T* ( q

)) = ( a 1 x 2 + b 1 x +

c1 1 a 2 x 2 +  2 b 2 x +  3 c 2

)

Aplicando la regla de correspondencia del producto interno, tenemos:

(p

T *( q

))

=

(p

T*(q

))

= 1 a1 a 2 +  2 b 1 b 2 +  3 c1 c 2

1 4

( 2 a ) ( 2 1

1

a2

) + (b )( 1

2

b2

)+(c )( 1

3

sustituyendo ( 2 ) y ( 3 ) en (1) , tenemos:

a 2 b1 + 2 b 2 c 1 − a 1 b 2 − 2 b1 c 2 = 1 a 1 a 2 +  2 b1 b 2 +  3 c 1 c 2 factorizando y reordenando términos:

− a1 b 2 + ( a 2 − 2 c 2

)b

1

+ 2 b 2 c1 = 1 a 1 a 2 +  2 b 1 b 2 +  3 c1 c 2

401

c2

)

( 3)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Por igualdad, se tiene:

(a

2

− a1 b 2 = 1 a1 a 2

 1 =

− 2 c 2 ) b1 =  2 b1 b 2

 2 =

2 b2 c1 = 3 c1 c 2

 3 =

− a1 b2 a1 a 2

(a

2

− 2 c 2 ) b1 b1 b 2

2 b2 c1 c1 c 2



 2 =



b2

1 = −

3 =

a2

a2 − 2c2 b2 2b2 c2

Sustituyendo en la expresión del adjunto, tenemos:

 b2  T *( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) =  − a x2 +  a 2  2  

 a 2 − 2c 2  b2 

  2b2   b 2 x +   c 2 c 2   

por lo tanto, el adjunto de T es:

T *( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) = − b 2 x 2 + (a 2 − 2 c 2 ) x + 2 b 2 Veamos ahora si se cumple la igualdad:

T* = −T sustituyendo:

− b 2 x 2 + ( a 2 − 2 c 2 ) x + 2 b 2 = − (b x 2 + ( 2 c − a ) x − 2 b ) − b 2 x 2 + (a 2 − 2 c 2 ) x + 2 b 2 = − b x 2 + (a − 2 c ) x + 2b Si eliminamos el subíndice 2 de la expresión del lado izquierdo de la igualdad, el cual fue colocado únicamente para identificar al polinomio q ( x ) , entonces podemos afirmar que la igualdad sí se cumple y, por lo tanto, el operador T es antihermitiano.

402

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Operadores ortogonales y unitarios Definición Sea V un espacio vectorial definido en interno y sea

, en el cual se define un producto

T : V → V un operador lineal.

Si se cumple que:

( T (v ) T (v ) ) = ( v 1

2

1

v2

)

;  v1 , v 2  V

entonces se dice que T es un operador unitario. Si T

es un operador unitario definido sobre el campo de los números reales, se

le llama también operador ortogonal.

En forma alternativa, podemos identificar a este tipo de operadores a través de la siguiente definición:

Definición Sea V un espacio vectorial definido sobre

con producto interno y sea

T : V → V un operador lineal. Se tiene que: T es un operador unitario, si se cumple que T * = T

−1

.

, entonces a los operadores unitarios

Si el espacio V está definido sobre

también se les llama operadores ortogonales.

403

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Propiedades de los operadores unitarios y ortogonales Cabe resaltar el hecho de que todo operador ortogonal es también un operador unitario, por lo que las propiedades que a continuación se enuncian se cumplen para ambos operadores. 1) Si T es un operador unitario, entones T conserva las normas, esto es:

T

(v )

=

v

;

 v V

2) Los valores característicos de un operador unitario tienen módulo uno, esto es:

λ =1 3) La matriz asociada a un operador unitario referida a una base ortonormal es una matriz unitaria y tiene las siguientes propiedades: a)

La suma de los productos de los elementos de cualquier fila (renglón o columna) por los conjugados de los correspondientes elementos de cualquier otra fila paralela es igual a cero, es decir, si las filas se consideran como vectores, entonces estos resultan ser ortogonales.

b)

La suma de los cuadrados de los módulos de los elementos de cualquier fila es igual a uno, esto es, si las filas se consideran como vectores, entonces estos son vectores unitarios.

Ejercicio 5.9 En el espacio vectorial 2

tiene el operador ortogonal T :

T

Calcule T

(

(

1, 0

)

→

 =   

2

2

1 2

0, 1 ).

404

con el producto escalar ordinario, se

, en donde:

, −

1 2

 .  

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

SOLUCIÓN: Se sabe que un operador ortogonal cumple la condición:

(T(v )

(v ))

T

1

=

2

(v

1

v2

)

de donde, se tiene:

( T ( 1, 0 )    

   

T

1

( 0, 1 ) )

, −

   

1

2

2

( ( 1, 0 )

=

(

( 0, 1 ) )

 a, b ) = 0  

desarrollando el producto interno:

1

a −

2

1

b = 0

2 a−b = 0

(1)

Por otro lado, como se trata de un operador ortogonal, entonces preserva la norma, esto es:

T

( 0, 1 )

=

( a, b )

= 1

a2 + b2

= 1

( 0, 1 )

a2 + b2 = 1

(2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma con ( 1 ) y ( 2 ) , tenemos:

 a − b = 0   2 2   a + b = 1 405



a = b

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

de ( 2 ), se tiene:

a2 + a2 = 1 2a2 = 1 a2 =

1 2



1

a = 



1

b = 

2

2

Dado que los vectores para los cuales se obtiene su imagen bajo T , esto es,

T ( 1, 0

)

matriz M

y T

(T)

(

0, 1

)

2

constituyen una base ortonormal de

, entonces la

referida a dicha base tiene que ser ortogonal, es decir, debe

cumplir que:

MM

T

= M TM = I

entonces, las únicas imágenes correctas del vector

T1

T2

( (

0, 1

0, 1

) )

 =   

1

,

2 1

0, 1

)

son:

   

1

2

 =  −  

(

1

, −

2

2

   

Es importante aclarar que, el hecho de tener dos posibles imágenes para el

0 , 1 ) , en realidad esto implica que existen dos operadores ortogonales T 1 y T 2 con los cuales se satisfacen las condiciones del vector

(

problema y con cada uno de estos operadores se obtiene la imagen correspondiente del vector

(

0 , 1 ) . Las matrices asociadas a estos

operadores, referidas a la base canónica son:

M

(T ) = 1

1 2

 1    −1

1    1 

y

M

(T ) = 2

1 2

Lo cual implica, obviamente, dos operadores ortogonales T 1 y T respectivas reglas de correspondencia. 406

−1    −1 

 1    −1 2

con sus

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 5.10 Determine si el operador lineal T :

→

3

3

cuya regla de

correspondencia es

T

(

x, y, z

)

2x + y − 2z x + 2 y + 2z   2x − 2 y + z =  , ,  3 3 3  

es un operador ortogonal, considerando como producto interno el producto escalar 3 . ordinario en SOLUCIÓN: Para resolver este ejercicio se pueden seguir dos métodos: El primero de ellos sería verificar si el operador T satisface la condición

(T(v ) 1

T

(v ) ) 2

=

(v

1

v2

)

si es así, entonces T es un operador ortogonal. El otro método sería verificando la condición relativa a la matriz asociada a dicho operador. Si T es un operador ortogonal, entonces la matriz asociada a

T referida a una base ortonormal deber ser una matriz ortogonal. De estos dos métodos de solución, el primero resulta ser muy laborioso dadas las características de la regla de correspondencia de T , por lo cual se optará por el segundo método descrito. 3

Si consideramos como base de

a la base canónica, esta resulta ser una

base ortonormal con el producto interno considerado. Obteniendo la matriz asociada a T , tenemos:

T

( 1,

0, 0

)

2 1   2 =  , ,  3 3   3 407

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

T ( 0 , 1, 0

T

(

0, 0, 1

 M (T )

)

2 1 2   =  − , ,  3 3 3  

)

2 2   1 =  , − ,  3 3   3

    =      

2 3

−

2 3

2 3

1 3

1 3

2 3

1  3    2  − = A 3   2   3 

Comprobando si la matriz A es ortogonal, se tiene que:

    A AT =     

2 3

−

2 3

2 3

1 3

1 3

2 3

1   2   3 3   2   2 −   − 3   3 2   1   3   3

2 3 1 3 −

2 3

1   1 3     2   0 =  3    2   0  3 

0 1 0

0    0  = I   1 

Como A A T = I , entonces A es una matriz ortogonal y, por lo tanto, podemos afirmar que T es un operador ortogonal.

Ejercicio 5.11 Sea el espacio vectorial lineal T :

2

→

(

)

 1+ i =  x +  3 

T

x, y

2

2

definido sobre

y el operador

cuya regla de correspondencia es:

i

y ,

1

3

3 408

 x + y  ;   

(

x, y

)



2

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Determine el valor de  

para el cual T sea un operador unitario. Considere 2

como producto interno al producto escalar ordinario usual en

.

SOLUCIÓN: Para que T sea un operador unitario, se debe cumplir que:

(T ( v )

T (v 2

1

si consideramos v 1 =

(x

(T(x , y ) 1

1

T

1

))

=

(v

v2

1

)

;

 v1 , v 2 

2

, y 1 ) y v 2 = ( x 2 , y 2 ) , entonces:

(x

2

, y2)

) = ((x , y ) (x 1

1

2

)

, y2)

aplicando T , tenemos:

 1 + i  i 1  x1 + y1 , x1 +  y 1     3 3 3  

1 + i  i 1 x + y2 , x 2 +  y 2   = x1 x 2 + y 1 y 2   3 2  3 3  

desarrollando el producto interno del lado izquierdo, se tiene:

1 + i  1 + i   1  i i x1 + y 1  x2 + y2 +  x 1 + y 1    3   3   3  3 3       1

conjugando y factorizando

 1  x 2 + y 2  = x 1 x 2 + y 1 y 2   3   

, tenemos:

3

(

1  (1 + i ) x 1 + i y 1 3 

) (( 1 − i ) x

2

(

− i y 2 ) + x1 +

3  y1

)(x

2

)

+ 3  y 2  = x1 x 2 + y1 y 2 

multiplicando por 3 en ambos lados y desarrollando los productos, tenemos:

2 x1 x 2 − i x1 y 2 + x1 y 2 + i x 2 y 1 + x 2 y 1 + y 1 y 2 + x1 x 2 + 3  x1 y 2 +

= 3 x1 x 2 + 3 y 1 y 2 409

3  x 2 y1 + 3   y1 y 2

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

simplificando y agrupando:

(

3 x1 x 2 + 1 − i +

)

(

)

3  x 2 y1 + (1 + 3   ) y1 y 2 = 3 x1 x 2 + 3 y1 y 2

3  x1 y 2 + 1 + i +

Por igualdad, se tiene:

 1 − i + 3  = 0    1 + i + 3  = 0  1 + 3  = 3  

(1) ( 2) (3)

de ( 2 ), tenemos que:

 = −

1 + i 3

verificando si el valor de  satisface a las ecuaciones (1) y ( 3 ) , se tiene: sustituyendo en ( 1 ) :

 1+ i    = 0 3 −  3  

1−i +

1−i +

(

−1 + i

)

= 0

0 = 0

 satisface

sustituyendo en ( 3 ) :

 1+ i   1+ i    −  = 3 1+3  −     3 3     1+

(

−1 − i

)(

−1 + i

)

= 3

1+ 2 = 3 3 = 3 Por lo que si

 = −

1+i

 satisface

, entonces el operador T es unitario.

3 410

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Teorema espectral Sea V un espacio vectorial sobre

de dimensión finita y con producto interno,

y sea T : V → V un operador normal: Si

E

λ1, λ2,

( ) i

, λk

son

los

diferentes

característicos

de

T,

es el espacio característico correspondiente a λ i y P i es el

operador de proyección ortogonal sobre E a) T = λ 1 P 1 + λ 2 P 2 + b) P1 + P 2 + c) P i

valores

(  ) , entonces: i

+ λk Pk

+ Pk = I

P j = 0 , para toda i  j

Si el espacio vectorial V está definido sobre un campo real, entonces el teorema espectral también se cumple para un operador T simétrico.

Ejercicio 5.12 Para correspondencia es:

T

el

(

operador

x, y

)

=

(

simétrico T :

2

→

− x + 2y , 2x + 2y

2

cuya

)

a) Obtenga la descomposición espectral del operador T . b) Verifique que se cumple la condición P 1 + P 2 = I c) Compruebe que P 1

P2 = 0 .

SOLUCIÓN: a) Obteniendo los valores, vectores y espacios característicos, tenemos:

T T

( 1, (

0

0, 1

)

=

)

=

(

− 1, 2

(

2, 2

)

)

 M

411

(T )

 −1 =    2

2  = A  2

regla

de

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

de donde:

det

(

A−λI

)

=

−1 − λ

2

2

2−λ

=

( −1 − λ ) (

2−λ

= λ2 − λ − 2 − 4 entonces:

P( λ

)

= λ2 − λ − 6

P( λ

)

=

( λ−3 )( λ+2 )

con lo cual los valores característicos son:

λ1 = 3 λ 2 = −2 Obteniendo los vectores característicos, se tiene: Para

λ1 = 3: −4   2

2  − 1 

 x 0   =    y   0 

de donde surge el sistema de ecuaciones:

 − 4x + 2 y = 0     2x − y = 0 si

x = k1





 2x − y = 0    0 = 0 



y = 2x

y = 2k1

con lo cual los vectores característicos asociados a λ 1 = 3 son:

v1 =

(k

1

, 2k1 412

)

con

k1  0

)−4

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Para

λ2 = −2:

1   2

2   4

si

x 0  x + 2y = 0 x + 2y = 0    =            0 = 0 y 0  2 x + 4 y = 0 

y = k2



 x = − 2y

x = − 2k2

con lo cual los vectores característicos asociados a λ

v2 =

( − 2k

2

)

, k2

2

= − 2 son:

k2  0

con

Por lo que, los correspondientes espacios característicos son:

Obsérvese

que

E

(λ )

=

( k

E

(λ )

=

 ( −2k

1

2

los

vectores

1

, 2 k1

2

)

, k2

k1 

)

 

k2 

característicos

con

el

producto escalar

2

ordinario en como producto interno, resultan ser ortogonales y por lo tanto, los espacios característicos son uno complemento ortogonal del otro, 2 por lo que cualquier vector ( x , y )  puede ser expresado en forma única como la suma de dos vectores que, en este caso, serían uno de cada espacio característico. Los operadores P 1 y P 2 que proyectan cualquier vector de

2

sobre los

espacios característicos son:

P1

(

a, b

P2

(

a, b

)

=

)

=

(

a, 2a

(

− 2 b, b

Al expresar un vector cualquiera

(

)



)

x, y

E

 E

)



(λ ) 1

(λ ) 2

2

    

(Ι)

como la suma de vectores

pertenecientes a los espacios característicos, tenemos:

(

x, y

)

=

(

a, 2a

)

413

+

(

− 2 b, b

)

(1)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

de donde surge el sistema de ecuaciones:

 x = a − 2b    y = 2 a + b

(3)

a = x + 2b

(4)

(2)

de ( 2 ), se tiene:

sustituyendo ( 4) en (3) :

y = 2 ( x + 2 b) + b y = 2x + 5b −2x + y 5

b =

(5)

sustituyendo (5) en ( 4) :

 − 2x + y  a = x+2   5   a =

x + 2y 5

(6)

De acuerdo con las reglas de correspondencia que tienen los operadores proyección que se muestran en ( I ) y los valores obtenidos de a y b , se tiene que:

P1

(

x, y

)

 x + 2y =  , 5 

P2

(

x, y

)

 4x − 2y =  , 5 

2x + 4 y   5  −2x + y   5 

Como la descomposición espectral del operador T es de la forma:

T = λ 1 P1 + λ 2 P 2 414

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

entonces la descomposición espectral de T es:

T

(

x, y

)

 x + 2 y 2x + 4 y   4x − 2 y −2x + y  = 3 , ,  − 2   5 5 5 5    

realizando las operaciones indicadas para comprobar que dicha descomposición es correcta, tenemos:

T

(

x, y

)

 3 x + 6 y 6 x + 12 y   −8x + 4y =  ,  +  5 5 5   

+

4x − 2y   5 

sumando se llega a:

T

(

x, y

)

=

(

− x + 2y , 2x + 2 y

)

Como se llega a la misma regla de correspondencia dada en el enunciado del ejercicio, entonces podemos concluir que la descomposición espectral de T a la que se llegó, es correcta. b) Se debe verificar que la suma de los operadores proyección es igual al operador identidad, esto es:

P1 + P 2 = I Esto se puede expresar como:

I ( x, y ) = (P1 + P 2 )

( x, y )

I ( x, y ) = P1 ( x, y ) + P 2 ( x, y ) sustituyendo P 1 y P 2 tenemos:

 x + 2y 2x + 4y   4x − 2y −2x + y  I ( x, y ) =  , ,  +   5 5 5 5     al sumar, se obtiene:

I

(

x, y

)

=

(

x, y 415

)



cumple

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

c) Se debe cumplir que:

P2 = 0

P1

Cabe hacer notar que el " 0 " de la expresión P 1 P 2 = 0 , en realidad nos representa al operador nulo, esto es:

0 ( x, y ) =

( 0, 0 )

; 

( x,

y) 

2

De acuerdo con esto, entonces se tiene que:

(

P1

P2

) ( a, b )

= 0 ( a, b

)

donde

(

a, b

)



2

Aplicando la definición de la operación composición del lado izquierdo de la igualdad y el operador nulo del lado derecho, tenemos:

P 1  P 2

(

a, b

) 

=

(

0, 0 )

Ahora, aplicando la regla de correspondencia del operador P 2 , se tiene que:

 4a − 2b P1  , 5 

−2a + b   = 5 

(

0, 0

)

y aplicando la regla de P 1 , tenemos:

 4a − 2b  − 2a + b  + 2    5 5   ,  5  

 4a − 2b   − 2a + b   2  + 4    5 5      = 5  

( 0, 0 )

realizando operaciones, se tiene:

−4a + 2b  4a − 2b +  5 5 ,  5  

8a − 4b −8a + 4b + 5 5 5

416

   =  

( 0, 0 )

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

sumando:

 0 ,   5

(

0   = 5 

(

0, 0

)

)

(

0, 0

)

0, 0

=

Con lo cual se comprueba que la composición de los operadores proyección nos da el operador nulo.



Ejercicio 5.13 Sea el espacio vectorial real P = a x 2 + b x + c a , b , c 



y sea el operador hermitiano T : P → P cuya regla de correspondencia es:

T = ( ax2 + bx + c ) =

( 2a + b ) x 2

+ ( a + 2b ) x + 4c ;  a x 2 + b x + c  P

y con producto interno:

( p q ) = ( a1 x 2 + b 1 x + c1

)

a 2 x 2 + b 2 x + c 2 = a1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 ;  p , q  P

a) Obtenga la descomposición espectral del operador T . b) Verifique que se cumple la condición c) Compruebe que

P1 + P 2 + P 3 = I .

Pj = 0 ;  i  j

Pi

SOLUCIÓN: a) Aplicando el isomorfismo:

f

( ax

2

+ bx + c

) = ( a, b, c )

las reglas de correspondencia de T y del producto interno quedan como:

T

(

a, b, c

((a , b, c ) (a 1

1

1

) 2

=

(

2 a + b , a + 2b , 4c

, b2 , c 2

417

))=a

1

)

a 2 + b 1 b 2 + c1 c 2

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Obteniendo los valores, vectores y espacios característicos, tenemos:

T

( 1,

0, 0

)

=

(

)

2, 1, 0

T

(

0, 1, 0

)

=

( 1,

2, 0

)

T

(

0, 0, 1

)

=

(

0, 0, 4

)

M (T



)

2 =  1  0

1 2 0

0 0 4

  = A  

de donde:

det ( A −  I ) =

2−

1

0

1

2−

0

0

0

4−

= (2 − ) (2 − ) (4 − ) − (4 − )

2 P (  ) = ( 4 −  ) ( 2 −  ) − 1  = ( 4 −  )  

(

2

− 4  + )

P (  ) = ( 4 −  ) (  − 3) (  − 1) con lo cual los valores característicos son:

1 = 1 ,

2 = 3

x 0      y = 0      z   0 

 x+ y= 0  x+ y= 0      x+ y= 0   z = 0   0 = 0  3 z = 0 

y

3 = 4

Para  1 = 1 :

 1   1   0

1 1 0

si

0   0   3 

x = k1



y = − k1

z = 0

con

con lo cual los vectores característicos asociados a  1 = 1 son:

v1 =

(k

1

, − k1, 0 418

)

con

k1  0

y = −x

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Para  2 = 3 :

 −1   1   0

1 −1 0

si y = k 2

0  0  1  

− x + y = 0 − x + y = 0  x = y   x − y = 0  z = 0     z = 0 0 = 0  

x 0      y = 0      z   0  x = k2

z =0

con

por lo que los vectores característicos asociados a 

2

= 3 son:

v 2 = ( k 2 , k 2 , 0 ) con k 2  0 Para  3 = 4 :  −2   1   0

1 −2 0

0  0  0 

− 2x + y = 0 x 0       y  =  0    x − 2y = 0       z   0  0 = 0 

 x − 2y = 0    −3y = 0  y = 0  0 = 0 

x=0 ,

z = k3

de donde:

y =0 ,

con lo cual los vectores característicos asociados a  3 = 4 son:

v 3 = ( 0, 0 , k 3

)

k3  0

con

por lo que los espacios característicos son:

E (  1) =

( k

1

, −k1 , 0 )

E (  2) =

( k

2

, k2 , 0)

E (  3) =

( 0 , 0 , k ) 3

419



k1 



k2  k3 



OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Aplicando el isomorfismo inverso, los espacios característicos son:

k E (  ) = k E (  ) = k E (  1) =

1

x2 − k1 x

k1 

2

2

x2 + k 2 x

k2 

3

3

k3 

 



entonces los operadores P1 , P 2 y P 3 que proyectan cualquier vector de P sobre los espacios característicos son:

P1 ( a x 2 + b x + c ) = a x 2 − a x

 E (  1)

P2 ( a x 2 + bx + c ) = bx 2 + bx

 E (  2)

P3 ( a x 2 + b x + c ) = c

 E (  3)

Sabemos también que un polinomio cualquiera del espacio P puede ser expresado como la suma de sus tres proyecciones, por lo que:

 x2 + x + 

x2 + x +  =

( ax

2

 P , se tiene que:

− ax

) + ( bx

2

+ bx

)

+ c

por igualdad, surge el sistema:

 a+b =    −a + b =   c =  



 a+b =    2b =  +   c =  

 b =

sustituyendo en la primera ecuación, tenemos:

a +

+ =  2



 a = 420

a =  − − 2

+ 2

+ 2

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

con lo cual se tiene que:

a =

− , 2

b =

+ 2

y

c = 

entonces los operadores proyección quedan como:

 − 2  − P1 (  x 2 +  x +  ) =   x −   2   2

 x 

 + 2 + P2 (  x 2 + x +  ) =   x +   2   2

 x 

P3 (  x 2 +  x +  ) =  por lo que la descomposición espectral del operador T es:

  −   2   −      +   2   +    T (  x 2 +  x +  ) = 1   x −  x  + 3  x +   x + 4 (  )  2    2   2    2  Veamos si se cumple la condición:

T =  1 P1 +  2 P 2 +  3 P 3 tenemos entonces que:

  +   2   −    3  + 3   2  3  + 3    T (  x 2 +  x +  ) =   x −  x  +   x + x + 4 2  2    2      2  sumando términos semejantes, tenemos:

T ( x 2 + x +  ) =

( 2 +  ) x 2

+

(  + 2 ) x + 4 

que resulta igual a la regla de correspondencia de T , dada en el enunciado del ejercicio.

421

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

b) Veamos si se cumple la condición:

I = P1 + P 2 + P 3 de donde:

I (  x 2 +  x +  ) = ( P1 + P 2 + P 3 ) (  x 2 +  x +  ) I (  x 2 +  x +  ) = P1 (  x 2 +  x +  ) + P 2 (  x 2 +  x +  ) + P 3 (  x 2 +  x +  ) sustituyendo las reglas de correspondencia de los operadores proyección, tenemos:

  −   2 I (  x 2 +  x +  ) =  x −  2 

  −      +   2   x  +  x +  2    2 

 +     x +   2  

sumando términos semejantes, tenemos:

 ( x2 + x +  ) = x2 + x +  por lo tanto, se cumple la condición. c) Se debe comprobar que

Pi P j = 0

;  i  j

Con lo cual los casos por analizar son:

P1

P2 = 0

P1

P3 = 0

P2

P3 = 0

Recuerde que el cero del lado derecho de estas igualdades representa al operador nulo. Para P1 P 2 = 0 , tenemos:

(P

1

P2

) ( x

2

+ x +  ) = 0 ( x2 + x +  )

422

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Aplicando la definición de composición, tenemos:

P 1  P 2

( x

+  x +  )  = 0 (  x 2 +  x +  )

2

  +   2 +  2 P1   x +   x = 0 ( x +  x +  )  2    2  Aplicando la regla de correspondencia de P 1 , tenemos:

  +     +      +     +     2  −  2    2  −  2           x = 0 x2 + x +  2   x +  ( ) 2 2         de donde, se llega a:

0 ( x2 + x +  ) = 0x2 + 0x + 0

 Para P1

P 3 = 0 , tenemos:

(

P1

P3

P 1  P 3

) ( x ( x

2

2

+ x +  ) = 0 ( x2 + x +  )

+  x +  )  = 0 (  x 2 +  x +  ) P1



()

= 0 ( x2 + x +  )

0 ( x2 + x +  ) = 0 x2 + 0x + 0

 Para P 2

cumple

cumple

P 3 = 0 , tenemos:

423

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

(

P2

P3

) ( x

2

+ x +  ) = 0 ( x2 + x +  )

P 2  P 3 (  x 2 +  x +  )  = 0 (  x 2 +  x + 

= 0 ( x2 + x +  )

()

P2

)

0 ( x2 + x +  ) = 0 x2 + 0x + 0





cumple

Ejercicio 5.14 Sea el espacio vectorial real:

  M =  

a   b

b   c 

   

a, b, c 

y sea el operador simétrico T : M → M cuya regla de correspondencia es:

 T   

 a    b

b    c 

  2a  =    b + c 

b + c   b + c

;

 a     b

b   M  c 

y con producto interno definido por:     

 a1    b1

b1    c1 

 a2    b2

b2    c2 

  a1  = a a +b b +c c ;   1 2 1 2 1 2     b1 

b1   a2 ,    c1   b2

Obtenga la descomposición espectral del operador T .

SOLUCIÓN: Aplicando el isomorfismo:

 f   

a   b

b    c  424

  =  

(

a, b, c

)

b2   M  c2 

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Las reglas de correspondencia de T y del producto interno quedan como:

T   

(a

1

(

a, b, c

) (a

, b1 , c 1

)

(

=

2a, b + c, b + c

, b2 , c 2

2

) 

)

= a1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2

Obteniendo los valores, vectores y espacios característicos, tenemos:

T

( 1,

0, 0

)

=

(

)

2, 0, 0

T

(

0, 1, 0

)

=

(

0, 1, 1

)

T

(

0, 0, 1

)

=

(

0, 1, 1

)

M (T



)

 2 =  0  0

0 1 1

0 1 1

  = A  

de donde:

det ( A −  I

)

=

2−

0

0

0

1−

1

0

1

1− 

P(

)

=

( 2 −  )  ( 1 −  )

P(

)

= (2−)

2

=

−1  = 

( 2 −  ) (1 −  )

(2−)

(

2

2

−(2−)

−2

)

( − 2)

con lo cual los valores característicos son:

1 = 0 Para

 2   0   0 Si

y

 2, 3 = 2

 1 = 0: 0 1 1

y = k1

0   1   1 



= 0 2x  y + z = 0  z = −y x 0        y = 0   y+ z= 0   x = 0        z   0  0 = 0  y + z = 0 

z = − k1

con 425

x=0

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

con lo cual los vectores característicos asociado a  1 = 0

v1 = Para  0   0   0

Si

( 0,

son:

k 1 , − k 1 ) con k 1  0

 2, 3 = 2 : 1 −1 1

z = k2

0   1   − 1 

0= 0  y − z = 0  y = z x 0        y  =  0   − y + z = 0   0 = 0        z   0  0 = 0  y − z = 0 



y = k2

x = k3

con

con lo cual los vectores característicos asociados a  2, 3 = 2 son:

v2 =

(k

3

, k2, k2

)

con

k3

k2  0

y/ o

por lo que los espacios característicos son:

E (  1) = E (  2, 3 ) =

( 0 , ( k

3

k1 , −k1) k1 

 

, k 2 , k 2) k 2 , k3 

Aplicando el isomorfismo inverso, los espacios característicos son:

E (  1)

  =   

 0    k1

k1    −k1 

E (  2, 3 )

  =   

 k3    k2

k2    k2 

426

k1 

    

k 2 , k3 

    

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

entonces los operadores P1 y P 2 que proyectan cualquier vector de M sobre los espacios característicos son:

 P1   

 a    b

b    c 

 0  =    a 

a   −a 

   

 a    b

b    c 

  c  =    b 

b    b 

P2

 E

( ) 1

 E (  2, 3 )

Obsérvese que los vectores característicos resultan ser ortogonales con el producto interno definido, lo cual implica que los espacios característicos resultan ser, uno complemento ortogonal del otro, por lo que cualquier vector

 x  y 

y   M puede ser expresado como la suma de dos vectores (como se z 

afirma en la definición de la proyección de un vector sobre un subespacio dada en el capítulo anterior), uno de cada espacio característico, esto es:

 x    y

y  0  =    z  a

a  c  +    −a  b

b   b

de donde se obtiene:

 x = c    y = a+b   z = b − a  al resolver el sistema, se llega a:

a =

y−z 2

,

b =

427

y+z 2

y

c = x

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Entonces los operadores proyección quedan como:

 P1   

 x    y

y    z 

  0  =    y−z   2

  2  −y + z   2

 P2   

 x    y

y    z 

  x  =    y+z   2

y + z 

y−z

 2  y + z 2

 

con lo cual la descomposición espectral del operador T es:

 T   

 x    y

y    z 

  0  = 0    y−z  2 

  x   2  + 2  −y + z   y+z  2 2  y− z

y+ z   2  y+ z  2



Veamos si se cumple la condición:

T =  1 P 1 +  2, 3 P 2 de donde:

 T   

 x    y

y    z 

  2x  =     y+z 

y+z    y+z 

que resulta ser igual a la regla de correspondencia de T , que se da en el enunciado del ejercicio. Se deja al lector el comprobar que:

P1 + P 2 = I P1

P2 = 0 428

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Formas cuádricas Una de las múltiples aplicaciones que tienen los valores y vectores característicos es la que se da en las formas cuádricas, que nos permite simplificar el estudio de las cónicas y de las superficies, cuando estas tienen sus ejes oblicuos a los ejes del sistema de referencia, esto es, los valores y vectores característicos pueden ser usados para resolver problemas donde se requiere hacer una rotación de ejes. Las ecuaciones:

ax 2 + bx y + c y ax 2 + by 2 + cz

2

2

+ dx + ey + f = 0

+ d x y + exz + f yx + g x + h y + iz + j = 0

corresponden a las ecuaciones generales de segundo grado en respectivamente.

2

3

y

,

A las expresiones que solo consideran los términos de segundo grado, se les llaman formas cuádricas o formas cuadráticas, esto es:

ax 2 + bxy + cy

⎯⎯ → Forma cuádrica para el caso de

2

a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y+e x z+ f y z ⎯⎯ → Forma cuádrica para el caso de

2

3

.

.

Las formas cuádricas pueden ser expresadas matricialmente de la siguiente forma:

2

ax + bx y + c y

2

= x

y

xT



  a    b  2

b  2    c   A

429

 x    = x TAx  y  x

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

a x 2 +b y 2 +c z 2 + d x y + e x z + f y z =  x y z



xT

         

d 2

a d 2

b

e 2

f 2

e   2   f  2    c  

x    y  = xTAx   z x

A Considerando la ecuación general de segundo grado, se tiene:

a x 2+ bx y + c y 2 + d x + e y + f = 0 representando en forma matricial esta ecuación, tenemos:

x

y

xT



  a    b   2

b  2   x      +  y  c      x

 x  e   + f =0  y 

d k

x

A con lo cual la ecuación queda como:

x TAx +k x + f = 0 si se hace:

esto es:

x = P x  x   x    =P    y   y  

430

(1)

(2)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Donde x y y son los ejes del nuevo sistema de referencia ya rotado. P es la matriz diagonalizadora de la matriz A , que figura en la ecuación ( 1 ) , formada por vectores característicos unitarios, con lo cual P es una matriz ortogonal, es decir, P

−1

= P T . Se debe cuidar además que det

( P)

= 1, lo cual garantiza

el giro de ejes. Si el det ( P ) = − 1 , entonces será suficiente con intercambiar las columnas de P . Al sustituir la expresión ( 2) en (1) , se tiene:

( P x )

T

A ( P x ) + k ( P x ) + f = 0

de donde:

(

x ) P T A P x  + ( k P ) x  + f = 0 T

dado que el producto de matrices es asociativo, tenemos:

( x )

T

(P

T

A P ) x +

(kP)

x + f = 0

(3)

como

P

T

 λ1 AP =   0

0   λ 2 

donde λ 1 y λ 2 son los valores característicos de A .

Entonces la ecuación ( 3 ) expresada con matrices quedaría como:



x

y



 λ1   0

0   λ 2 

 x    +  y  



d

e



 P 11   P 21

P 12   P 22 

 x   + f =0  y  

efectuando los productos indicados llegaríamos a una ecuación de la forma:

λ 1 ( x ) + λ 2 2

( y )

2

+ d  x  + e y  + f = 0

431

(4)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

donde:

d  = d P 11 + e P 21 e = d P 12 + e P 22

Como se puede apreciar en la ecuación ( 4 ) , se trata de una ecuación de segundo grado donde el término x y ya no aparece, lo cual quiere decir que los ejes de la cónica son coincidentes o paralelos a los ejes del nuevo sistema de referencia x , y . Para el caso de la ecuación general de segundo grado en

3

, es decir, cuando

se tienen superficies cónicas cuyos ejes sean oblicuos al sistema de referencia, el procedimiento a seguir para rotar dicho sistema, de tal manera que los nuevos ejes resulten coincidentes o paralelos a los ejes de la superficie, es exactamente el mismo al seguido para el caso de matriz A ahora será de

2

,

con la única diferencia de que la

3  3 y se tendrán tres valores y tres vectores

característicos.

Ejercicio 5.15 Para la cónica cuya ecuación es:

9 x 2 + 4 x y + 6 y 2 + 12 x + 36 y + 44 = 0 a) Determine una matriz P correspondiente al giro que hace paralelos los ejes coordenados con los ejes de la cónica. b) Obtenga la ecuación de la cónica en un sistema de referencia

( x ,

y  ) , que

no contenga término mixto ni términos lineales. c) Calcule el ángulo de giro. d) Dibuje la cónica, así como los distintos sistemas de referencia. SOLUCIÓN: a) La matriz P que se pide determinar es la matriz diagonalizadora de A . 432

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

La representación matricial de la ecuación de la cónica es:

x T A x + k x + 44 = 0

(1)

donde:

 9 A =    2

2    6 

;

k =  12

36 

 x  ; x =      y 

Como se sabe, la matriz P está formada por la disposición en columna de los vectores característicos unitarios de la matriz A , entonces:

det ( A − λ I ) =

9−λ

2

2

6−λ

 λ 1 = 10     λ2 = 5 

= ( 9 − λ )( 6 − λ ) − 4 = λ 2 − 15 λ + 50 = ( λ − 10 ) ( λ − 5 )

valores característicos

Obteniendo los vectores característicos tenemos: Para λ 1 = 10 :

 −1    2

2   − 4

( 2) −x + 2 y = 0 − x + 2 y = 0  x = 2 y  x  0      =           2 x − 4 y = 0  0=0  y  0 

si y = k 1  x = 2 k 1

 v 1 = ( 2k1 , k1 )

con k 1  0 vectores característicos

=5:

Para λ

2

 4    2

2    1 

4x + 2y = 0  x 0   =          ( − 2 ) 2x + y = 0  y 0

433

2 x + y = 0  y = − 2 x    0=0

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

si

x = k2  y = − 2k2

 v 2 = (k2 , − 2 k 2 )

con k2  0 vectores característicos

Si hacemos que k 1 = 1 y k 2 = − 1 , entonces se obtienen los siguientes vectores característicos:

u1 = ( 2 , 1

)

u 2 = ( −1 , 2

)

donde

u1

=

5

donde

u2

=

5

Considerando como producto interno el producto escalar ordinario.

Entonces los vectores característicos unitarios son:

 e1 =   

2 5

 e2 =  −  

   

1

,

5 1

2

,

5

5

   

Con lo cual la matriz diagonalizadora P buscada es:

   P =     Se tiene además que:

2

−

1

5

5

1

2

5

5

      

det ( P ) = 1

y al ser P una matriz ortogonal, entonces se cumple que:

P T = P −1 Por otro lado, si realizamos:

(u

1

u2

) = ( ( 2 , 1)

( −1 , 434

2)

) = −2 + 2 = 0

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

con lo cual se tiene que los vectores característicos son ortogonales. Estos vectores nos definirán la dirección de los ejes del nuevo sistema de referencia con el giro requerido. b) Si hacemos x = P x y sustituimos en la ecuación ( 1 ) , tenemos:

( P x )

T

A

( P x )

+ k

( P x )

+ 44 = 0

de donde se tiene que:

(

x ) P T A P x + ( k P ) x + 44 = 0 T

agrupando:

( x ) Como P T = P

−1

T

(PT A P )

x + ( k P ) x + 44 = 0

entonces P T A P = D , con la cual se llega a:

( x )

T

D x + ( k P ) x + 44 = 0

sustituyendo tenemos:

 x

y 

 10    0

0   5

 x    +  12 36    y 

      

2

−

1

5

5

1

2

5

5

      

 x    + 44 = 0   y 

realizando operaciones:

10

( x )

2

+ 5

( y )

2

+

1 5

 2  12 36     1

435

−1    2 

 x    + 44 = 0   y 

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

10 ( x ) + 5 2

( y )

2

+

  60 60    

1 5

10 ( x ) + 5 2

( y )

2

+

60

60

x +

5

x   + 44 = 0  y 

y  + 44 = 0

5

Obsérvese que en esta ecuación ya no se tiene término con producto entre las variables; sin embargo, aún se tienen términos lineales. Para eliminar estos términos, se hará un desplazamiento del sistema de referencia para hacer coincidir el centro de la cónica con el origen del nuevo sistema de referencia

(

x  , y  ) . Para esto, se requiere completar trinomios que sean cuadrados

perfectos y hacer la factorización correspondiente. Agrupando y factorizando tenemos:

 2 10 ( x ) +  

    x + 5     

6 5

(

  y  = − 44  

12

y ) + 2

5

completando trinomios:

 2 10 ( x ) +  

6 5

 9 2  x + + 5  ( y ) + 5   

5

2

 10  x +     x +  

36   = − 44 + 18 + 36 y + 5  

12

   + 5  y +    

3 5

3 5

   

2

1   y + + 2  

436

2

6 5

6 5

  = 10      

2

= 1

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

si se hace que:

3

x  = x  +

5

6

y  = y  +

5 entonces se tiene:

( x ) En este sistema de referencia

2

+

( x ,

( y  )

2

=1

2

y  ) la ecuación carece de término mixto y

lineal, que es lo que se pedía obtener en el inciso b). Al observar la ecuación a la que se llegó, es evidente que se trata de una elipse con centro en el origen y con semiejes a = 1 y b =

2 .

c) Para calcular el ángulo de giro, se deberá obtener el ángulo que forman el vector característico u 1 = ( 2 , 1 ) que define la dirección del eje x , con el vector unitario i =

( 1,

0 ).

Sabemos que:

cos θ =

(u

1

i

u1 sustituyendo:

cos θ =

cos θ =

( (2, ( 2 5 437

) i

1) 5

(1,

0)

) (1)

)

 θ = 26.56

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

d) Trazo aproximado de la cónica y los sistemas de referencia.

y x

y 

x 

Ejercicio 5.16 Para la cónica cuya ecuación es:

2x 2 + 4x y + 2y 2 + 6

2 x+ 2

2 y+ 4 = 0

a) Determine una matriz P correspondiente al giro que hace coincidir los ejes coordenados con los ejes de la cónica. b) Obtenga la ecuación de la cónica, en un sistema de referencia no contenga término mixto. c) Calcule el ángulo de giro. d) Dibuje la cónica, así como los dos sistemas de coordenadas.

438

( x ,

y  ) , que

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

SOLUCIÓN: a) La matriz P que se pide es la matriz que diagonaliza a la matriz A . La representación matricial de la ecuación de la cónica es:

x TAx + k x + 4 = 0

(1)

donde:

 2 A=    2

2    2 

k = 6 

;

2

2

2  

;

x x =     y

La matriz P está formada por la disposición en columna de los vectores característicos unitarios de la matriz A , entonces tenemos:

det ( A −  I ) =

2−

2

2

2−

= ( 2 −  ) − 4 =  2 − 4 =  (  − 4) 2

Los valores característicos son:

1 = 4

y

2 = 0

Obteniendo los vectores característicos tenemos: Para  1 = 4 :

 −2   2 si

2   − 2 

y = k1

− 2 x + 2 y = 0 − x + y = 0  x = y  x  0     =     y  0  0=0  2 x − 2 y = 0 



 v1 = ( k 1 , k 1 )

x = k1 con k 1  0 vectores característicos

439

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Para 

2   2 si

2

= 0:

 2 x + 2 y = 0  x + y = 0  y = − x x 0     =      y   0  0=0  2 x + 2 y = 0 

2  2 

x = k2



y = −k2

 v2 = ( k 2 , − k 2 )

con k 2  0 vectores característicos

si hacemos que k 1 = 1 y k 2 = − 1, entonces se obtienen los siguientes vectores característicos:

u1 = (1, 1)

donde

u1 =

u 2 = ( −1 , 1 )

donde

u2 =

2

Considerando como producto interno el producto escalar ordinario.

2

Entonces los vectores característicos unitarios son:

 e1 =   

1

,

2

1 2

   

 e2 =  −  

y

1 2

,

1 2

por lo tanto, la matriz diagonalizadora P solicitada es:

   P =   

1

−

     

1

2

2

1

1

2

2

donde

det ( P ) = 1

y al ser P una matriz ortogonal, entonces se cumple que:

P T = P −1 Por otro lado, si realizamos:

(u

1

u2

) = ( ( 1, 1 ) 440

( − 1, 1 )

) = −1 + 1 = 0

   

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

lo cual implica que los vectores característicos son ortogonales. Estos vectores nos definirán la dirección de los ejes del nuevo sistema de referencia con el giro requerido. b) Al sustituir x = P x en la ecuación (1) , se llega a:

( x ) Como P T = P

−1

T

(P

A P ) x + ( k P ) x + 4 = 0

T

, entonces P T A P = D , con lo cual se llega a:

( x )

D x + ( k P ) x + 4 = 0

T

sustituyendo, tenemos:

4  x y    0

0   0

 x    + 6    y 

 4 x

2

2

 x  0    + 8   y 

   2      − 4

1

−

2 1 2

  2   1   2  1

 x   +4=0   y 

 x    + 4 = 0   y 

4 ( x ) + 8 x − 4 y  + 4 = 0 2

( x )

2

+ 2 x − y  + 1 = 0

Completando el trinomio cuadrado perfecto, tenemos:

( x )

2

+ 2 x + 1 = y  − 1 + 1

( x + 1 )

2

= y

Se trata de una parábola con vértice en el punto lado positivo del eje y .

441

( − 1,

0

)

que abre hacia el

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

c) El ángulo de giro se calcula con el vector u 1 = ( 1, 1

) que define la dirección

del eje x y el vector unitario i = (1, 0 ) , considerando como producto interno el producto escalar ordinario.

cos  =

cos  = cos  =

( u i) 1

u1

( ( 1,

i 1) 2

( 1, (1)

0

)

)

1 2

  = 45 d) Trazo aproximado de la cónica y los sistemas de referencia

y

y

x´x

y´

−

45  θ= = 

442

x

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Ejercicio 5.17 Para la cónica cuya ecuación es:

4x y = 1 a) Determine una matriz P correspondiente al giro que hace coincidentes los ejes coordenados con los ejes de la cónica. b) Obtenga la ecuación de la cónica, en un sistema de referencia

( x ,

y  ) , que

no contenga término mixto. c) Calcule el ángulo de giro. SOLUCIÓN: a) La representación matricial de la ecuación de la cónica es:

x

T

Ax + k x = 1

donde:

0 A=   2 como k =  0

2   0

k =0

;

0

;

x x =     y

0  , entonces se tiene: x

T

Ax =1

Obteniendo los valores y vectores característicos unitarios, tenemos:

det ( A −  I ) =

−

2

2

−

=  2 − 4 = ( − 2) ( + 2)

Los valores característicos son:

1 = 2

y

443

 2 = −2

(1)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Obteniendo los vectores característicos, tenemos: Para  1 = 2 :

 −2    2

 − 2x + 2 y = 0 x 0   =          2 x − 2 y = 0 y 0

2   −2 

 x= y

y = k1  x = k1

si

 v1 = ( k 1 , k 1 ) Para 

2   2

si

 x − y=0     0=0

2

2   2

= −2 :

x 0   =       y 0

y = k2



con k 1  0 vectores característicos

 2x + 2y = 0    2 x + 2 y = 0



 x + y=0     0=0



x = −y

 x =−k2

v2 =

( − k2,

k2

)

con k

2

 0 vectores característicos

si hacemos k 1 = k 2 = 1, entonces se obtienen los siguientes vectores característicos:

u1 = ( 1, 1

)

u1

donde

=

2

Considerando como producto interno el producto escalar ordinario.

u 2 = ( −1, 1

)

u2

donde

=

2

Entonces los vectores característicos unitarios son:

 e1 =   

1 2

,

1 2

   

y

444

 e2 =  −  

1 2

,

1 2

   

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Por lo tanto, la matriz diagonalizadora P solicitada es:

   P=    

1

1

−

2

de donde:

2

1

1

2

2

      

det ( P ) = 1

y al ser P una matriz ortogonal, entonces se cumple que:

P T = P −1 También se tiene que:

(u

1

u2

) = ( ( 1, 1 )

( − 1, 1 )

) = −1 + 1 = 0

Lo cual implica que los vectores característicos son ortogonales. Estos vectores nos definirán la dirección de los ejes del nuevo sistema de referencia con el giro requerido. b) Al sustituir x = P x en la ecuación (1) , se llega a:

( x ) Como P T = P

−1

T

(P

T

A P ) x = 1

, entonces P T A P = D , con lo cual se llega a:

(

x

)

T

D x = 1

sustituyendo tenemos:

 x

y 

2   0

0   −2

 x    = 1   y 

2 ( x ) − 2 ( y  ) = 1 2

445

2

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

En este sistema de referencia

( x ,

y

)

la ecuación carece de término mixto.

Se trata de una hipérbola con centro en el origen, cuyas ramas abren en ambos sentidos del eje x . c) El ángulo de giro se calcula con el vector u 1 = (1, 1) que define la dirección del eje x y el vector unitario i = ( 1 , 0 ) , considerando como producto interno el producto escalar ordinario.

(u i) 1

cos  =

cos  =

cos  =

u1

i

( ( 1,

1) 2

1 2

  = 45

446

( 1, (1)

0

)

)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Obtenga el adjunto del operador lineal correspondencia es:

T

( x,

y) =

( 2x −

T:

2

→

2

,

cuya regla de

y, x − 3y )

Considere como producto interno el producto escalar ordinario en

2

.

2. Sea el espacio vectorial:

  a M =     0

0   b 

a, b 

  

definido en el campo de los números reales y sea el operador lineal T : M → M con regla de correspondencia:

 T   

 a   0

0   b 

  a−b  =    0 

  a + b  0

 a ;   0

0    M b 

Determine el operador adjunto de T , considerando el siguiente producto interno:

   

 a   0

0   b 

 x   0

  = ax + by  

0   y 

3. Sea el espacio vectorial definido por:

(z

 a ;    0

0   x  ,  b   0

0    M y 

definido en el campo complejo con producto interno

w

)=

z w

donde w representa el conjugado de w .

447

;

 z, w 

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

Obtenga el adjunto correspondencia es:

del

S donde  

operador

(z)

= z

→

S:

lineal

cuya

regla

de

 z 

;

es un número fijo dado.

4. En el espacio vectorial de los polinomios P =

 ax + b

 sobre el

a, b 

campo de los reales, se define el siguiente producto interno:

(

f

g

)

(0)

= f

g (0) + f

Obtenga el adjunto correspondencia es:

( ax + b)

T

del

=

(( x , y , z ) ( x , y 1

1

1

2

2

operador

( 3a + b )

5. En el espacio vectorial

(0)

3

x +

sobre

g ( 0 )

 f,g  P

;

T : P→ P

lineal

(a +b)

cuya

regla

de

 ax + b  P

;

con producto interno:

)

, z 2 ) = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ;  ( x1 , y 1 , z 1 ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) 

donde x 2 , y 2 y z 2 son los conjugados de x 2 , y 2 y z 2 respectivamente, se define el operador lineal T :

T

(

x, z, y

)

=

(

3

→

3

como:

2 z , i y , 3i x

)

; 

(

x, z, y

)

3

Obtenga el adjunto del operador T . 6. Obtenga el adjunto del operador lineal correspondencia es:

T

(

x, y

)

T:

2

→

−x + y   x− y =  ,  ;  ( x, y 2  2 

2

)

,



Considere como producto interno el producto escalar ordinario en 448

cuya regla de

2

2

.

3

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

7. Sea el espacio vectorial:

 M =  

 a   b

b   c 

  

a, b, c 

definido en el campo de los números reales lineal T : M → M con regla de correspondencia:

  a T     b  

b   c 

 a−c   =    a + 2 b + c 

a + 2b + c   2 a + 4 c 

y

sea

el

 a    b

;

operador

b    M c 

Determine el adjunto de T , considerando el siguiente producto interno:

(A

B

) = T r ( AB ) T

8. Para el operador lineal T :

T

( x,

y, z ) =

3

→

( x + 2 y + 3z,

3

;  A, B  M

con regla de correspondencia:

x − y, y − z ) ;



( x,

y, z ) 

3

Obtenga el operador adjunto T *, utilizando el producto interno usual en

→ , donde 9. Sea el operador lineal T : complejo y cuya regla de correspondencia es: 2

T

( x,

y) =

2

( 2x + i y,

2

y − ix )

.

está definido en el campo

( x,



;

3

y) 

2

a) Determine si T es un operador normal respecto al producto interno usual en

2

.

T *( 1 + i , 1 − i

b) Obtenga

10. Sea el espacio vectorial complejos y sea el correspondencia es:

T

(

x, y

)

=

2

)

definido sobre el campo de los números

operador

( ix + ( 1+ i )

.

y ,

lineal

T:

(−1+ i )

2

→

2

cuya

regla

x + 2i y ) ;  ( x , y ) 

Determine si T es un operador normal respecto al producto interno usual en 449

de

2

2

.

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

11. Sea el espacio vectorial real:

P =

 ax

2

+ bx + c



a, b, c 

con producto interno definido por:

(p

q

) =a

1

a 2 + b1 b 2 + c1 c 2 ;  p = a 1 x 2 + b1 x + c 1 , q = a 2 x 2 + b 2 x + c 2  P

y sea el operador lineal H : P → P cuya regla de correspondencia es:

H ( a x 2 + b x + c ) = ( 2a + b ) x 2 + ( −c ) x + a ; a x 2 + b x + c  P a) Obtenga el adjunto del operador H . b) Determine si H es un operador normal.

12. Para el operador lineal T :

T

(

x, y, z

)

=

3

( 3x + 2 z,

→

3

con regla de correspondencia:

3 y + z, 2z

)

Considerando el producto escalar ordinario en

;  3

(

x, y, z

)

3

:

a) Obtenga el adjunto del operador T . b) Determine si T es un operador normal. 13. En

el

T:

T

2

espacio

→

( x,

2

y) =

vectorial

2

sobre

se

define

el

operador

lineal

como:

( 4 x + ( 2 + i) y , ( 2 − i ) x )

Considerando el producto escalar ordinario en a) Obtenga el adjunto del operador T . b) Determine si T es un operador normal. 450

;  2

( x, y )



2

como producto interno:

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

14. Sea el espacio vectorial de polinomios P =

 ax + b

 sobre el

a, b 

, y sea T : P → P un operador lineal definido por:

campo

T( ax + b) =

( 2 a − 2b ) x

+ ( 5b − 2 a )

;

 ax + b  P

f ( 0) g ( 0) + f  ( 0) g  ( 0)

;  f, g  P

Considerando como producto interno:

(f

g

)=

a) Determine si T es un operador hermitiano. b) En caso de ser afirmativa la respuesta del inciso anterior, obtenga una matriz asociada a T referida a una base ortonormal de P y compruebe que dicha matriz es hermitiana. c) Si T es un operador característicos son reales.

hermitiano,

compruebe

que

sus

valores

d) Verifique que los vectores característicos de T resultan ser ortogonales. 15. Determine la relación que deben tener a , b 

T:

2

→

T

(

2

x, y

, tal que el operador lineal

cuya regla de correspondencia es:

)

=

(

2x + a y , bx − y

)

; 

(

x, y

)

2

sea un operador simétrico con el producto escalar ordinario. 16. Sea el operador lineal T : P → P definido por:

T

( ax

2

+ b x + c ) = − 2b x 2 + ( 2 a + c ) x − b

donde:

P =

 ax

2

+ bx + c

;

a, b, c 

 a x 2 + b x+c  P



Determine si T es un operador antihermitiano con el producto interno:

(p

q

)=

1 p  ( 1 ) q  ( 1 ) + p  ( 0 ) q  ( 0 ) + p ( 0 ) q ( 0 ) ;  p , q  P 4 451

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

17. Sea el espacio vectorial

3

sea el operador lineal T :

3

sobre

→

con producto interno usual en

3

3

y

con regla de correspondencia:

T ( a , b , c ) = ( a + b + 3c + ( 4 b − c ) i , a + 2 b + (c − 4 a ) i , 3 a + (a − b ) i ) ;  (a , b , c )  Determine si el operador T es hermitiano. 18. Sean el espacio vectorial 3

S:

→

3

3

con producto interno usual y el operador lineal

tal que:

S ( 1, 1, 0 )

( 3,

=

2, 0 )

S ( 0 , −1 , 0 ) =

( −2,

S ( 0, 2, 2 )

( 6,

=

0, 1)

−2, 4 )

Determine si S es un operador simétrico. 19. Sea el operador lineal T :

2

→

2

definido por:

T ( x, y ) = ( x + k y, 2 x + 5 y )

;

( x,



y) 

2

y el producto escalar ordinario.

k

Determine el valor de

de tal manera que T sea un operador

hermitiano. 20. Sea el operador lineal T :

T

( x,

y) =

3

→

3

definido por:

(y , x)

; 

( x,

y) 

2

  0 para T sea un operador simétrico con el

Determine el valor de producto interno:

( (x , x ) ( y , y ) ) = 2 x 1

2

1

2

1

y 1 + x1 y 2 + x 2 y 1 + x 2 y 2 ;  ( x1 , x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) 

452

3

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

2 21. Sea el espacio vectorial definido sobre el campo de los números 2 complejos, con el producto interno usual en y el operador lineal 2 2 H: → cuya regla de correspondencia es:

H ( x, y ) =

( i x + ( 1 + i ) y , ( −1 + i ) x + 2 i y )

;

( x,



y) 

2

Determine si H es un operador antihermitiano. 22. Demostrar que el operador lineal T :

T

(z

1

, z2 ) =

(z

1

→

2

)

+ z 2 , z1

;

2



definido por:

(z

1

, z2 ) 

2

es un operador hermitiano con el producto escalar ordinario en

2

y verificar

que, como consecuencia de ello, sus valores característicos son reales. 23. Sea el operador lineal S :

S ( a, b, c ) =

3

( a + b − c,

→

3

definido por:

a + 3b − 2 c , − a + 2 b + c ) ; 

( a, b, c ) 

3

3

Determine si S es un operador simétrico respecto al producto interno usual en 24. Sea el espacio vectorial sea el operador lineal T :

T ( x, y ) =

2

sobre

2

→

2

cuya regla de correspondencia es:

( 2 x + ( 1 + i ) y , ( −1 + i ) x + 5 y )

; 

( x,

Determine si T es un operador hermitiano. 25. Determine si el operador lineal H :

H

(

x, y, z

)

=

(

3

x, y, z

2

con producto interno usual en

) 3

es, respecto al producto escalar en a) Hermitiano. b) Antihermitiano. c) Unitario. 453

→

3

; 

(

:

definido por:

x, y, z

)

3

y) 

2

y

.

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

2 26. En el espacio vectorial sobre 2 2 T: → de la siguiente manera:

se define el operador lineal

T ( a + bi , c + d i ) = ( − b + a i , d − c i ) ; 

( a + bi , c + d i ) 

2

a) Determine si el operador T es hermitiano, antihermitiano y/o unitario, considerando como producto interno al producto escalar ordinario complejo. b) En caso de ser posible, obtenga una matriz diagonal que represente al operador lineal T . 27. Determine si el operador lineal T : es:

3

→

3

cuya regla de correspondencia

 2x y 3z x y z 4x 5y z  T (x, y , z)=  + + , + − ,− + +  ;  ( x, y , z )  14 14 3 3 3 42 42 42   14 es un operador ortogonal, considerando como producto interno el producto escalar ordinario en

3

.

28. Sea el espacio vectorial:

= sobre

z

z = a + bi ;  a , b 

y sea el operador lineal T :

T

(z)

= zi

→ ;

con

i 2 = −1



definido por:

 z 

Determine si T es un operador unitario con el siguiente producto interno:

(u

v

) = uv

donde v es el conjugado de v .

454

;

 u, v 

3

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

29. Sean T y S operadores lineales de reglas de correspondencia:

T

( x,

y, z ) =

(y+z,

S

( x,

 3 4 y, z ) = x , − y + z, 5 5 

3

3

en

x, z− y)

definidos por las siguientes

 (x, y, z

;

4 3  y+ z  5 5 

)



3

 (x, y , z) 

;

3

a) Determine cuál de los operadores es un operador ortogonal con el producto escalar ordinario. b) Si se sabe que

T

(v )

= 15 y

S

(v )

= 10 2 , determine la

v , usando los resultados del inciso anterior. 30. Para el operador lineal T :

T

(z

1

2

donde

, z2

) = ( − i z

31. Sean el espacio vectorial 3

→

T ( x, y, z

2

2

definido por:

, i z1

)

es un espacio vectorial sobre +

Determine el valor de  

T:

→

2

3

3

; 

(z

1

, z2

)

2

, con producto interno usual en

2

.

, tal que T sea un operador unitario.

con producto interno usual y el operador lineal

cuya regla de correspondencia es:

) = ( x cos  − y sen  ,

x sen  + y cos  , z )

;  (x, y , z) 

3

Determine si T es un operador ortogonal. 32. Sea un operador lineal T :

2

→

2

definido por:

 3x − y x + 3y T ( x , y ) =  ,  2 2  

; 

( x, y)



2

Determine si T es un operador ortogonal considerando como producto interno el producto escalar ordinario. 455

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

33. Para el operador hermitiano T :

2

→

2

cuya regla de correspondencia es:

1   T ( x, y ) = 2 x, − x + y  3  

; 

( x,

y) 

2

y el producto interno:

( x y) = x

1

 x = ( x1 , y1 ) , y = ( x 2 , y 2 ) 

x 2 + x1 y 2 + x 2 y1 + 3 y1 y 2 ;

2

a) Obtenga la descomposición espectral del operador T . b) Verifique que se cumple la condición P1 + P 2 = I . c) Compruebe que P1 P 2 = 0 . 34. Para el operador simétrico T :

T ( x, y ) =

( 2x −

2

→

2

cuya regla de correspondencia es:

y , − x + 2y ) ;  2

y el producto escalar ordinario en

( x,

y) 

2

, obtenga la descomposición espectral

del operador T . 35. Sea el espacio vectorial

2

con producto interno complejo usual. Determine

la descomposición espectral del operador lineal T : asociada respecto a la base B = ( 1, 0

M

(T )

 4 =    − 3i

) , ( 0 , 1 )

es:

− 3i    4 

Compruebe, además, que se cumple que P1 + P 2 = I . 36. Sea el espacio vectorial real:



P = a x2 + b x + c 456

a, b, c 



2

→

2

cuya matriz

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

y sea el operador normal H : P → P cuya regla de correspondencia es:

H ( a x2 + b x + c ) = 5 a x2 + (3b + 2 c ) x + ( 2 b + 3 c )

;  a x2 + b x + c  P

y con el producto interno definido por:

((a

1

x2 + b 1 x + c1 )

(a

)

x2 + b 2 x + c 2 ) = a1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2

2

Obtenga la descomposición espectral del operador H .

37. Sea el espacio vectorial real:

  a M =    0

0   b 

  

a, b 

y sea el operador simétrico T : M → M cuya regla de correspondencia es:

 T   

 a   0

0   b 

  a−b  =    0 

  − a + b  0

 a ;    0

0   M b 

y con producto interno definido por:

   

 a1   0

0   b 1 

 a2   0

0   b 2 

  a1  = a1 a 2 + b 1 b 2 ;     0 

0   a2 ,  b 1   0

0   M b 2 

Obtenga la descomposición espectral del operador T .

38. Sean el espacio vectorial simétrico T :

2

→

2

2

con producto interno usual, el operador lineal

y sus vectores característicos

v1 = ( 2 , 1 )

v 2 = ( 1, − 2 ) asociados a los valores característicos  1 = 1 y  respectivamente.

Obtenga

la

regla

de

correspondencia

operador T , utilizando la descomposición espectral de T .

457

2

y

= 6, del

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

39. Para la cónica cuya ecuación es:

x2 + 2 x y + y 2 −

10 2

x +

2 2

y + 14 = 0

a) Determine una matriz P correspondiente al giro que hace paralelos los ejes coordenados con los ejes de la cónica. b) Obtenga la ecuación de la cónica, en un sistema de referencia

( x ,

y  ) , que no contenga término mixto ni términos lineales.

c) Calcule el ángulo de giro. d) Dibuje la cónica, así como los distintos sistemas de referencia. 40. Dada la elipse de ecuación 3 x 2 + 2 y 2 = 5 , obtenga la ecuación de esta elipse referida a un sistema ( x  , y  ) , donde el eje x forma un ángulo de 30 , medidos en sentido antihorario, con respecto al eje x. 41. Para la cónica cuya ecuación es:

2x 2 +

3x y + y2 = 4

a) Determine una matriz P correspondiente al giro que hace paralelos los ejes coordenados con los ejes de la cónica. b) Obtenga la ecuación de la cónica, en un sistema de referencia

(

x , y  ) ,

que no contenga término mixto. c) Dibuje la cónica, así como los distintos sistemas de referencia. 42. Sea la cónica de ecuación:

2x 2 − 4x y − y 2 + 8 = 0 a) Obtenga la matriz mediante la cual se realice un giro de ejes que elimine el término x y de la ecuación. 458

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

b) Obtenga la ecuación de la cónica en el nuevo sistema

( x ,

y ) .

c) Dibuje la cónica, así como los dos sistemas de coordenadas. 43. Sea la cónica de ecuación:

3 x 2 − 4 x y + 3 y 2 = 15 a) Obtenga la matriz mediante la cual se realice un giro de ejes que elimine el término x y de la ecuación. b) Obtenga la ecuación de la cónica en el nuevo sistema

( x ,

y ) .

c) Dibuje la cónica, así como los dos sistemas de coordenadas. 44. Sea la cónica de ecuación:

11 x 2 + 10 3 x y + y 2 = 4 a) Obtenga la matriz mediante la cual se realice un giro de ejes que elimine el término x y de la ecuación. b) Obtenga la ecuación de la cónica en el nuevo sistema

( x ,

y ) .

c) Calcule el ángulo de giro. d) Dibuje la cónica, así como los distintos sistemas de referencia.

459

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

(

w, z

   

 w    0

)

(

2w + z , − w − 3z

)

  w+z  =     0 

0

1.

T*

2.

T

*

3.

S* ( w ) =  w

4.

T * ( x + 

)

=

(

3 + 

5.

T * ( a, b, c

)

=

(

− 3i c , − i b , 2 a

6.

T *( w, z

 w − z −w + z  =  ,  2 2  

7.

  x T*     y  

8.

T * ( a, b, c

9.

a) T es un operador normal. b)

=

0    z 

)

y   z 

)

)x

   −w+z 

+

(

+

  x + 2y + 2z  =   2y  

=

(

a + b,

T * ( 1 + i, 1 − i

)

=

)

  − x + 2 y + 4 z 

2a − b + c,

26

460

)

2y

3a − c

)

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

10. T es un operador normal.

( x

11. a) H *

2

+ x + 

) = ( 2 +  ) x

+ x − 

2

b) H no es un operador normal. 12. a) T *

(

a, b, c

)

(

=

3 a , 3b , 2 a + b + 2 c

)

b) T no es un operador normal. 13. a) T *

(

a, b

)

=

(

4a +

(

2−i

) b, (

2+i

)a )

b) T es un operador normal.

14. a) T es un operador hermitiano. b) M

B B

(T )

 2 =   − 2

−2  es una matriz hermitiana donde 5 

B =  x , 1  es una base ortonormal. c)  1 = 1 y

 2 = 6 son valores característicos reales.

d) Los vectores característicos asociados a  1 y  15. a = b 16. T sí es un operador antihermitiano. 17. T sí es un operador hermitiano. 18. S

sí es un operador simétrico.

19. Con k = 2 , el operador T es hermitiano.

461

2

sí son ortogonales.

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

20. Con  =

1 , T es un operador simétrico. 2

21. H

sí es un operador antihermitiano.

22. T

sí es un operador hermitiano y sus valores característicos son:

1 =

1 + 2

5  2

2 =

1 − 2

5  2

23. S

no es un operador simétrico.

24. T

no es un operador hermitiano.

25. a) H

sí es un operador hermitiano.

b) H

no es un operador antihermitiano.

c) H

sí es un operador unitario.

26. a) T

no es un operador hermitiano.

T sí es un operador antihermitiano. T sí es un operador unitario.  i b) D =   0

0   − i 

27. T

sí es un operador ortogonal.

28. T

sí es un operador unitario.

462

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

29. a) T

no es un operador ortogonal.

S sí es un operador ortogonal. b)

= 10

v

2

30. T

es un operador unitario si  = 1 

31. T

sí es un operador ortogonal.

32. T

sí es un operador ortogonal.

 

33. a) T ( x , y ) = 2  x , −

+

.

x x   + y  + 1 0 , 3 3  

b) Sí se cumple. c) Sí se cumple.

34. T

(

x, y

)

35. T ( x , y ) =

x+ y  −x + y   x+ y  x− y =1 , ,  + 3   2  2  2  2 

( 4 + 3i )

 x − y −x + y   x+ y x+ y , ,   + ( 4 − 3i )   2 2   2   2

La condición P1 + P 2 = I se cumple.

(

2 36. H  x +  x + 

37.

 T   

 x   0

(

x, y

38. T

) = 1   −2   x +  −2+   + 

 x+ y  2 0     = 0   y    0 

)

=

(



  +     +   5  x 2 +   x +   2   2  

  x−y   2  + 2   x+ y    0 2   0

2x − 2 y , −2x + 5 y 463

)

   −x+ y   2  0

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

   39. a) P =    b)

( x )

2

1 2 1 2

−

  2   1   2 1

= − 3 ( y )

c)  = 45 d)

40. 11 ( x )

2

− 2 3 x y  + 9

( y )

2

= 20

464

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

   41. a) P =   

b) 5

( x )

1   2   3  2 

3 2

−

1 2

2

+

( y )

2

= 8

o

(

x ) 8 5

c)

465

2

+

( y ) 8

2

= 1 , elipse

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

 1  5 42. a) P =   2   5

b) 2

( x)

2

−

2  5  1   5 

− 3 ( y ) = 8 2

o

( x ) 4

c)

466

2

−

( y) 8 3

2

= 1 , hipérbola

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

 1  2 43. a) P =   1   2

b)

( x )

2

+ 5

−

( y )

1  2  1   2 

2

= 15

o

( x ) 15

c)

467

2

+

( y ) 3

2

= 1

OPERADORES LINEALES EN ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO

44.

 3   2 a) P =   1  2

b) 4

( x )

2

−

−

( y )

1   2   3  2 

2

= 1

o

( x ) 1 4

c)  = 30  d)

468

2

−

( y ) 1

2

= 1

BIBLIOGRAFÍA

ANTON, H., R. Chris, Introducción al Álgebra lineal, 5a. edición, México, Limusa Noriega, 2011. AYRES, Frank Jr., Álgebra moderna, México, Mc Graw Hill, 2011. GROSSMAN, S. I., J.J. Flores G., Álgebra lineal, 7a. edición, México, Mc Graw Hill, 2012. LAY, D. C., S. R. Lay, J.J. McDonald, Álgebra lineal y sus aplicaciones, 5a. edición, México, Pearson, 2016. LARSON, R., D. Falvo, Fundamentos de Álgebra lineal, 7a. edición, México, Cengage Learning Editores, 2015. LIPSCHUTZ, Seymour, Álgebra lineal, 2a. edición, México, Mc Graw Hill, 1992. POOLE, D., Álgebra lineal, 4a. edición, México, Cengage Learning Editores, 2017. SOLAR G. E., L. Speziale, Apuntes de Álgebra lineal, 3a. edición, México, LimusaFacultad de Ingeniería-UNAM, 1996. WEISS-DUBISCH, Álgebra superior, México, Limusa, 1986.

469