Ii Bim - 5to. Año - Trig - Guía 1 - Raz. Trig. De áng. En Po (2)

TRIGONOMETRÍA

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

RAZONES RAZONESTRIGONOMÉTRICAS TRIGONOMÉTRICASDE DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMALII

UN POCO DE HISTORIA . Fue Renato Descartes (1 596 – 1 650) quien, al publicar en 1 637 su obra La Géometrie, puso los cimientos de la Geometría Analítica. Es por ello que a veces, en memoria de su fundador, la denominan Geometría Cartesiana que en resumidos cuentos vendría a ser el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un álgebra. La Trigonometría, en su origen, se desarrollo en conexión con el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. El presente capítulo esta dedicado a aquellas partes de la trigonometría que tratan con la geometría del plano cartesiano. No obstante cometeríamos un grave error limitando el estudio de la trigonometría a su aplicación a triángulos. Sus aplicaciones son más extensas en muchos campos teóricos y prácticos como por ejemplo en el estudio de ondas; vibraciones; corrientes alternas; los sonidos; etc.

NOCIONES PREVIAS . SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES y

IIC

+

IC

Donde:

+

– IIIC

x

O

x

: Eje de Abscisas

y

: Eje de Ordenadas

IC

: Primer Cuadrante

IIC : Segundo Cuadrante IIIC : Tercer Cuadrante

–

IVC : Cuarto Cuadrante

IVC

O

: Origen del Sistema

Ubicación de un punto y

Donde: P(a; b)

b

P

: Punto del Sistema Bidimensional

a

: Abscisa del Punto P

b

: Ordenada del Punto P

(a; b): Coordenadas del Punto P a

x

radio vector . Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo

171

TRIGONOMETRÍA

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Es el segmento de recta dirigido (flecha) que parte del origen hacia un punto cualquier del sistema; su longitud o módulo esta representado por “r”. y

(a; b)

Donde: r: Longitud del Radio Vector 2

2

r =a +b |b|

2

r r

+

x |a|

2

|a| = a

2

Ángulo en posición normal . Es aquel Ángulo Trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema bidimensional y su lado inicial descansa en el semieje positivo de las abscisas, mientras que su lado final puede encontrarse en cualquiera de los cuadrantes o coincidir con algún semieje en cuyo caso es llamado ángulo cuadrantal. y

Donde: α, β ∧ θ son las medidas de los ángulos en posición normal

β

mostrados.

α x

L.I.: Lado Inicial

θ

L.F.: Lado Final

También son llamados ∢s en posición canónica o estándar.

Del siguiente gráfico definiremos las Razones Trigonométricas para un ángulo en posición normal los cuales son independientes del sentido de giro o el número de vueltas que pudiera realizar. y

(x; y)

senθ =

y Ordenada = M.R.V. r

cos θ = r

θ

tgθ = x C R.T.

IC

IIC

IIIC

IVC

172

+

-

-

+

tg

+

-

+

-

cot

+

-

+

-

sec

+

-

-

+

csc

+

+

-

-

y Ordenada = Abscisa x

M.T .V. r = Ordenada y

sec θ = cot θ =

M.R.V. r = Abscisa x

Abscisa x = Ordenada y

y

REGLA .sen + DE +SIGNOS cos

Abscisa x = M.R.V. r

csc θ =

Segund Primero o x Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo

Tercero Cuarto

Sen

+

Tg

+

csc

cot

Positivas Todas

Cos

sec

+

TRIGONOMETRÍA

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

comprobación . Utilizamos el siguiente gráfico para un ángulo en posición normal de medida “θ”. y (-; +)

(+; +)

x; y ∧ r son positivos entonces todas las divisiones son positivas.

IIC.

senθ =

IIIC. tgθ =

x (-; -)

IC.

(+; -) IVC.

cos θ =

y r y x

+ = + +

= – –

=

cosθ = +

⇒

= + ⇒

cotθ = +

x + = = + r +

secθ = +

⇒

Ejemplo 1

Solución 1

Del siguiente gráfico calcular:

a) Con el par ordenado del dato calculamos “r”: 2

2

r = r + (-3)

E = 10 senθ −12 cot θ

y

2

r=

⇒

10

b) Reemplazamos las definiciones:

 −3 E = 10 .   10

x

θ

E = -3 + 4

⇒

  1   − 12    −3 

E=1

(1; -3)

Ejemplo 2

Solución 2

Indicar el signo resultante de la siguiente operación:

IIC

IIIC

IVC

E = sen130º . cos230º . tg330º

E = sen130º . cos230º . tg330º E= + . - . -

⇒

E= +

Ejemplo 3

Solución 3

Indicar el cuadrante al que pertenece la

tgθ = -

{ IIC ∧ IVC }

medida angular “θ” si:

cscθ = +

{ IC ∧ IIC }

tgθ < 0

∧

θ ∈ IIC

cscθ > 0

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo

173

TRIGONOMETRÍA 1.

Del

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

gráfico

calcular:

6.

E = 11 cos θ−6 2 tgθ

final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “α”. Calcular: “

y

a) 1

(−3; 2 )

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2.

x

θ

7.

y a) 1

x

β

c) 3 (1; -2)

d) 4

3.

a) 1

b) 2

d) -3

e) -2

Si: senα = −

7 csc α”.

c) 3

2 ∧ α ∈ IIIC 3

Calcular: E = 5 (tgα+ sec α)

Del gráfico calcular: E = 5 sec β + 4 cot β

b) 2

Por el punto Q( − 2 ; − 7 ) pasa el lado

8.

a) -1

b) -2

d) 2

e) 3

Si: cot θ = −

3 2

c) -3

∧ θ ∈ IVC

e) 5

Calcular: E = 21 sec θ + 7 senθ

Del gráfico calcular: E = cotα - cotθ

a) 1

b) 2

Si: ABCD es un cuadrado

d) 4

e) 5

c) 3

y a) 1

B

9.

C

b) 2 c) 3

4.

D

θ

e) 5

Si: ABCD es un cuadrado y b) -0,2 d) -0,4 e) -0,5

C(2; 2)

II.

tg190º cot320º

a) +, +, +

b) -, -, -

d) -, -, +

e) +, -, -

c) +, +, -

Indicar el signo de cada expresión: I.

sen200º tg200º

II.

cos100º cot100º

III. sen100º cos300º

θ

c) -0,3

5.

10.

B(-1; 2)

sen100º cos200º

x

Del gráfico calcular “tgθ”

a) -0,1

I.

III. sec200º csc350º

α

A

d) 4

Indicar el signo de cada expresión:

x A

2; Por el punto P( −

D

5 ) pasa el lado final

11.

a) +, +, +

b) -, -, -

d) +, -, -

e) +, -, +

c) -, +, +

A que cuadrante pertenece “θ” si: tgθ < 0

de un ángulo en posición normal cuya medida

∧ cosθ > 0

es “θ”. Calcular: “secθ” a) -1/2

b) -2/3

d) -4/3

e) -3/2

a) IC

b) IIC

d) IVC

e) IC ∧ IIC

c) -3/4 12.

A que cuadrante pertenece φ si: senφ < 0 a) IC

174

c) IIIC

Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo

∧

secφ < 0 b) IIC

c) IIIC

TRIGONOMETRÍA d) IVC

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

e) IIC ∧ IIIC

c) -3 d) -4

13.

Del gráfico calcular: E = tgα . tgθ (AB = BC)

B

y

a) 1

e) -5 3.

A

b) 2

y

C

c) 3

b) -2

x

e) -2

c) -3

θ

d) -4 14.

Del gráfico calcular “cotθ” y 4.

b) 4/7

M=

c) 5/7 θ

d) -3/7

gráfico

x

calcular:

5 ( senβ + cos β)

y

a) 1

e) -4/7 15.

Del

x

φ

-3

e) -5

53º

a) 3/7

4

a) -1

α

d) -1

Del gráfico calcular: M = senφ - 2cosφ + 3tgφ

b) 2 x

β

c) 3

2

Del gráfico calcular: E = 3sec θ - tgθ

d) 4

y

(2; -1)

e) 5

a) 10 b) 11 c) 12

θ

d) 13 e) 14

x

5.

Del gráfico calcular “tgθ” Si: ∆AOB → Equilátero 2AN = BN

(-5; -3)

y

a) − 2 / 2 b) − 3 / 3 c) − 2 / 3

θ

O

B

x

d) − 3 / 2

TAREA DOMICILIARIA Nº 1

1.

b) 3

e) 9

2

Del gráfico calcular: “tgθ + sec θ” y

a) 1

N

b) 2 x

θ

d) 7

A

MN = 2NP

α

c) 5

N

3 2

(24; 7)

a) 1

2.

6.

Del gráfico calcular E = 25senα + tgθ y

e) −

c) 3 d) 4

(-4; -8)

45º M

P θ x

e) 5

Del gráfico calcular “tgθ” a) -1 b) -2

(1-x; 2x)

17

7.

y

1; Si el punto P( −

3 ) pertenece al lado

final de un ángulo en posición canónica cuya medida es “α” calcular: E = cotα + cscα θ

Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo x

175

TRIGONOMETRÍA

8.

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

a)

3 2

b)

3 3

d)

3 5

e)

3 6

c)

3 4

12.

un ángulo en posición estándar cuya medida es “α” calcular: M = 6tgα + 5cosα. b) -2

d) -4

e) -5

I.

tg500º . cos880º

II.

sen200º . cot400º

III. sec310º . tg220º

Si el punto A(3; -4) pertenece al lado final de

a) -1

Indicar el signo de cada expresión:

13.

a) +, +, +

b) -, -, -

d) -, +, -

e) +, +, -

c) +, -, +

Del gráfico calcular “tgφ” y

c) -3

a) -3/7 b) -4/7

9.

Si: senθ = 0,28

∧ θ ∈ IIC

Calcular: “cosθ”

10.

d) -6/7

a) -0,90

b) -0,92

d) -0,96

e) -0,98

Si: cosφ = 0,3

∧

e) -7/4

c) -0,94 14.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

sen140º . tg260º

II.

cos160º . cot320º

b) -, -, -

d) -, +, -

e) -, +, +

y 3

b) -2/3

c) 3

c) -3/4

C

d) -4/3

-1

e) -3/2 15.

β x

Del gráfico calcular “tgθ” y

III. tg280º . csc310º a) +, +, +

B

a) -1/2

Indicar el signo de cada expresión: I.

Del gráfico calcular “tgβ” A

2

x

φ

(AB = BC)

φ ∈ IIC

Calcular: E = tg φ + secφ

11.

37º

c) -5/7

a) 1/2 c) +, -, +

b) 2/3 c) 3/4

θ x

d) 4/3 e) 3/2

176

Prof. Joseph Carlos Supo Mollocondo

(2; -3)